(第三板块_数列)利用递推关系求数列通项的九种类型及解法

利用递推关系求数列通项的九种类型及解法1.形如)(1n f a a n n =-+型（1）若f(n)为常数,即：d a a n n =-+1,此时数列为等差数列，则n a =d n a )1(1-+.（2）若f(n)为n 的函数时，用累加法. 方法如下： 由 )(1n f a a n n =-+得：2≥n 时，)1(1-=--n f a a n n ，)2(21-=---n f a a n n ，)2(23f a a =- )1(12f a a =-所以各式相加得 )1()2()2()1(1f f n f n f a a n+++-+-=-即：∑-=+=111)(n k nk f a a .为了书写方便，也可用横式来写：2≥n 时，)1(1-=--n f a a n n ，∴112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=---=1)1()2()2()1(a f f n f n f ++++-+- .例 1. 已知数列｛a n ｝满足)2(3,1111≥+==--n a a a n n n ,证明213-=n n a证明：由已知得：故,311--=-n n na a112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=---=.213133321-=++++--n n n ∴213-=n n a .例 2.已知数列{}n a 的首项为1，且*12()n n a a n n N +=+∈写出数列{}n a 的通项公式.答案：12+-n n例3.已知数列}{n a 满足31=a ，)2()1(11≥-+=-n n n a a n n ，求此数列的通项公式.答案：na n12-= 评注：已知a a =1,)(1n f a a n n =-+，其中f(n)可以是关于n 的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项n a .①若f(n)是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; ②若f(n)是关于n 的二次函数，累加后可分组求和;③若f(n)是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和; ④若f(n)是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和。

例4.已知数列}{n a 中, 0>na 且)(21nn n a na S +=,求数列}{n a 的通项公式. 解:由已知)(21n n na n a S +=得)(2111---+-=n n n n n S S nS S S , 化简有n S S n n=--212,由类型(1)有n S S n ++++= 32212,又1S 0>n ,,则a n此题也可以用数学归纳法来求解. 2.形如)(1n f a a nn =+型 （1）当f(n)为常数，即：q a a nn =+1（其中q 是不为0的常数），此时数列为等比数列，n a =11-⋅n q a . （2）当f(n)为n 的函数时,用累乘法. 由)(1n f a a n n =+得 2≥n 时，)1(1-=-n f a an n ， ∴112211a a aa a a a a n n n n n ⋅⋅⋅⋅=--- =f(n)f(n-1)1)1(a f ⋅⋅ . 例 1.设{}n a 是首项为1的正项数列，且()011221=+-+++n n n n a a na a n （n =1，2， 3，…），则它的通项公式是n a =________.解：已知等式可化为：[]0)1()(11=-++++n n n n na a n a a0>n a (*N n ∈)∴(n+1)01=-+nn na a , 即11+=+n na a n n ∴2≥n 时，nn a a n n 11-=- ∴112211a a a a a a a a n n n n n ⋅⋅⋅⋅=--- =121121⋅⋅--⋅- n n n n =n 1.评注：本题是关于n a 和1+n a 的二次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用求根公式）得到n a 与1+n a 的更为明显的关系式，从而求出n a . 例2.已知1,111->-+=+a n na a n n ,求数列{a n}的通项公式.解：因为,11-+=+n na a n n 所以,11n na a n n +=++故),1(11+=++n n a n a 又因为11->a ,即011>+a ，所以由上式可知01>+na ,所以na n =++11,故由累乘法得)111++a a n=)1()!1()1(12)2()1(11+⋅-=+⋅⋅⋅⋅-⋅-a n a n n所以=na )1()!1(1+⋅-a n -1. 评注：本题解题的关键是把原来的递推关系式,11-+=+n na a n n 转化为),1(11+=++n n a n a 若令1+=n n a b ,则问题进一步转化为n n nb b =+1形式，进而应用累乘法求出数列的通项公式. 3.形如)(1n f a a n n =++型（1）若d a a n n =++1（d 为常数），则数列{n a }为“等和数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论;（2）若f(n)为n 的函数（非常数）时，可通过构造转化为)(1n f a a n n =-+型，通过累加来求出通项;或用逐差法(两式相减)得)1()(11--=--+n f n f a a n n ，，分奇偶项来分求通项.例1. 数列{n a }满足01=a ,n a a n n 21=++,求数列{a n}的通项公式.分析 1：构造 转化为)(1n f a a n n =-+型解法1：令n n n a b )1(-=则n a a a a b b n n n n n n n n n n 2)1()()1()1()1(111111⋅-=+-=---=-++++++.2≥n 时,⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=⨯⋅-=--⋅-=--⋅-=-----012)1()2(2)1()1(2)1(112121211a b b b n b b n b b n n n n n n各式相加:[]1)1(2)1()2()1()1()1(2231⋅-+⋅-++--+--=- n n b n n n当n 为偶数时，n n n b n=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅-+-=22)1()1(2.此时n b a n n ==当n 为奇数时，1)21(2+-=--=n n b n 此时n na b -=,所以1-=n a n .故⎩⎨⎧=.,,1为偶数为奇数n n n n a n 解法2： na a n n 21=++∴2≥n 时，)1(21-=+-n a a n n ，两式相减得：211=--+n n a a .∴,,,,531 a a a 构成以1a ,为首项，以2为公差的等差数列; ,,,,642 a a a 构成以2a ,为首项，以2为公差的等差数列∴22)1(112-=-+=-k d k a a k k d k a a k 2)1(22=-+=.∴⎩⎨⎧-=.,,,1为偶数为奇数n n n n a n评注：结果要还原成n 的表达式. 例2.已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n －S n －2=3,23,1),3()21(211-==≥--S S n n 且求数列{a n}的通项公式. 解：方法一：因为),3()21(31112≥-⋅=++=-----n a a a a S S n n n n n n n 所以以下同例1，略答案 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋅+-⋅-=--.,)21(34,,)21(3411为偶数为奇数n n a n n n4.形如)(1n f a a n n =⋅+型（1）若p a a n n =⋅+1(p 为常数)，则数列{n a }为“等积数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论;（2）若f(n)为n 的函数（非常数）时，可通过逐差法得)1(1-=⋅-n f a a n n ，两式相除后，分奇偶项来分求通项.例1. 已知数列满足}{n a )(,)21(,3*11N n a a a n n n ∈=⋅=+,求此数列的通项公式.注：同上例类似，略. 5．形如0(,1≠+=+c d ca a n n ,其中a a =1)型（1）若c=1时，数列{n a }为等差数列; （2）若d=0时，数列{n a }为等比数列; （3）若01≠≠且d c时，数列{n a }为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.方法如下：设)(1λλ+=++n n a c a ,得λ)1(1-+=+c ca a n n ,与题设,1d ca a n n +=+比较系数得d c =-λ)1(,所以)0(,1≠-=c c dλ 所以有：)1(11-+=-+-c da c c d a n n 因此数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+1c d a n 构成以11-+c d a 为首项，以c 为公比的等比数列， 所以 11)1(1-⋅-+=-+n nc c da c d a 即：1)1(11--⋅-+=-c d c c d a a n n . 规律：将递推关系d ca a n n +=+1化为)1(11-+=-++c d a c c d a n n ,构造成公比为c 的等比数列}1{-+c da n 从而求得通项公式)1(1111-++-=-+c da c c d a n n 有时我们从递推关系d ca a n n +=+1中把n 换成n-1有d ca a n n +=-1,两式相减有)(11-+-=-n n n n a a c a a 从而化为公比为c 的等比数列}{1n n a a -+,进而求得通项公式.)(121a a c a a n n n -=-+,再利用类型(1)即可求得通项公式.我们看到此方法比较复杂.例1．已知数列}{n a 中，,2121,211+==+n n a a a 求通项n a . 分析：两边直接加上1-c d,构造新的等比数列。

解：由,21211+=+n n a a 得)1(2111-=-+n n a a ,所以数列}1{-n a 构成以111=-a 为首项，以21为公比的等比数列所以1)21(1-=-n n a ,即 1)21(1+=-n n a . 方法二：由 ,1d ca a n n +=+∴2≥n 时，,1d ca a n n +=-两式相减得 )(11-+-=-n n n n a a c a a∴c a a a a n n nn =---+11,数列}{1--n n a a 是以12a a -=da c +-1)1(为首项，以c 为公比的等比数列.∴⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫-=-⋅-=-⋅-=-⋅-=------12121223312212121)()()(a a a a ca a a a c a a a a c a a a a n n n n n n ⇒)1)((2121-+++-=-n n c c a a a a=(cc a a n --⋅--11)112 ∴1)1(1---+=-c d c c d a a n n. 方法三：迭代法 由 递推式,1d ca a n n +=+直接迭代得)1()(2221++=++=+=---c d a c d d ca c d ca a n n n n= =+++-)1(233c cd a cn =)1(2211--+++++n n c c c d a c=1)1(1---+-c d c c d an . 方法四：归纳、猜想、证明.先计算出321,,a a a ,再猜想出通项n a ,最后用数学归纳法证明. 注：请用这三种方法来解例题，体会并比较它们的不同. 6.形如)(1n f pa a n n +=+型.(1)若b kn n f +=)((其中k,b 是常数，且0≠k )方法：相减法 例1.在数列}{n a 中，,23,111n a a a n n +==+求通项n a .解： ，,231n a a n n +=+ ①∴2≥n 时，)1(231-+=-n a a n n ，两式相减得2)(311+-=--+n n n n a a a a .令n n n a a b -=+1,则231+=-n n b b利用类型5的方法知2351+⋅=-n n b即 13511-⋅=--+n n n a a ②再由累加法可得213251--⋅=-n a n n. 亦可联立 ① ②解出213251--⋅=-n a n n . 例2. 在数列{}n a 中，362,2311-=-=-n a a a n n ,求通项n a .解：原递推式可化为y n x a y xn a n n++-+=++-)1()(21比较系数可得：x=-6,y=9,上式即为12-=n n b b所以{}n b 是一个等比数列，首项299611=+-=n a b ,公比为21.1)21(29-=∴n n b 即：n n n a )21(996⋅=+- 故96)21(9-+⋅=n a nn .(2)若n q n f =)((其中q 是常数，且n ≠0,1)①若p=1时，即：n n n q a a +=+1，累加即可.②若1≠p 时，即：n n n q a p a +⋅=+1，求通项方法有以下三种方向：i. 两边同除以1+n p .即：nnn n n q p p q a p a )(111⋅+=++,令n n n pa b =，则nn n qp p b b )(11⋅=-+, 然后类型1，累加求通项. ii.两边同除以1+n q. 即：qq a q p q a n n n n 111+⋅=++, 令nn nq a b =,则可化为qb q p b n n 11+⋅=+.然后转化为类型5来解， iii.待定系数法： 设)(11n n n n p a p q a ⋅+=⋅+++λλ.通过比较系数，求出λ，转化为等比数列求通项.例1.设0a 为常数，且)(2311N n a a n n n∈-=--．证明对任意n ≥1，012)1(]2)1(3[51a a n n n n n n⋅-+⋅-+=-； 证法1：两边同除以（-2）nn a a )23(-⋅ 令nb )2(-∴112211)()()(b b b b b b b b n n n n n +-++-+-=---=2)23()23()23(31121-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-+--a n n =)21(21)23(1])23(1[)23(31012a n -------⋅-=0]1)23[(51a n+--=∴==-= n n n b a )2(012)1(]2)1(3[51a n n n n n ⋅-+⋅-+-.证法2：由)(2311N n a a n n n∈-=--得11332313--⋅-=n n nn a a .设nn na b 3=，则b 31321+-=-n n b . 即：)51(32511--=--n n b b ,所以⎭⎬⎫⎩⎨⎧-51nb 是以)51(325101a b -=-为首项，32-为公比的等比数列.则10)32)(51(3251---=-n na b =(n n a )32()1)(5110---, 即：51)32()1)(51(310+--==-n n n nna b a , 故 012)1(]2)1(3[51a a n n n n n n⋅-+⋅-+=-. 评注：本题的关键是两边同除以3n，进而转化为类型5，构造出新的等比数列，从而将求一般数列的通项问题转化为求等比数列的通项问题. 证法3：用待定系数法 设)3(2311--⋅+-=⋅+n n n na a λλ, 即:11352--⋅--=n n n a a λ,比较系数得：15=-λ,所以 =λ51-所以)351(235111--⋅--=⋅-n n n n a a , 所以数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-53nn a 是公比为－2，首项为531-a 的等比数列.).(1N n a n n n ∈∴- 即012)1(]2)1(a a nn n n n n ⋅-+⋅-+-.方法4：本题也可用数学归纳法证.（i －2a 0，等式成立； ( ii)假设当n=k （k ≥1）等式成立，则,2)1(]2)1(3[5101a a k k k k k ---+=- 那么01112)1(]2)1(3[52323a a a k k k k k k k k k +-+---+-=-=.2)1(]2)1(3[5101111a k k k k k ++++-+-+=也就是说，当n=k+1时，等式也成立. 根据（i ）和（ii ），可知等式对任何n ∈N ，成立. 规律：)(1n f pa a n n +=+ 类型共同的规律为：两边同除以1+n p ，累加求和，只是求和的方法不同. 7.形如sra qpa a n n n ++=+1型（1）0,0,,=≠q s r p 即sra pa a n n n +=--11取倒数法.例1. 已知数列{}n a 中，21=a ，)2(1211≥+=--n a a a n n n ，求通项公式n a 。