平面向量题型归纳
平面向量题型归类及解题方法
平面向量题型归类及解题方法
1. 平面向量的定义和性质
平面向量是指在平面上具有大小和方向的量，用箭头来表示。平面向量通常用一个字母加上一个箭头（如a→）来表示。
平面向量有以下性质： - 零向量的方向是任意的，大小为0。 - 向量的大小等于其模长，记作∥a∥。 - 向量可以相等，相等的向量有相同的大小和方向。 - 向量可以相反，相反的向量大小相等，方向相反。 - 向量可以相加，向量相加满足三角形法则。 - 向量可以缩放，即乘以一个标量。 - 向量可以平移，即使原点发生变化。
2. 平面向量的基本运算
2.1 向量的加法
向量a和b的和记作a + b，其几何意义是将向量b的起点放在向量a的终点，然后连接a的起点和b的终点。
2.2 向量的减法
向量a和b的差记作a - b，其几何意义是将向量b的起点放在向量a的终点，然后连接a的起点和b的起点。
2.3 向量的数乘
向量a与一个实数k的积记作k a，其几何意义是将向量a的长度缩放为原来的k 倍，方向不变（当k>0时）或反向（当k<0时）。
2.4 平行向量和共线向量
如果两个向量的方向相同（可能大小不同），那么它们是平行向量。如果两个向量共线，即一个向量是另一个向量的倍数，那么它们是共线向量。
2.5 两个向量的数量积（点积）
设a = (x1, y1)和b = (x2, y2)，则向量a和b的数量积（点积）定义为：a·b
= x1x2 + y1y2。
2.6 向量的模长和方向角
设向量a = (x, y)，则向量a的模长定义为∥a∥= √(x^2 + y^2)。
向量a的方向角定义为与x轴的正方向之间的夹角θ，其中tanθ = y / x。
平面向量题型归纳
平面向量题型归纳（全）
题型一：共线定理应用
例一：平面向量→
→b a ,共线的充要条件是（ ）A.→
→b a ,方向相 同 B. →
→b a ,两向量中至少有一个为零向量 C.存在
,R ∈λ→→=a b λ D 存在不全为零的实数0,,2121=+→
→b a λλλλ
变式一：对于非零向量→→b a ,，“→→→=+0b a ”是“→
→b a //”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
变式二：设→
→b a ,是两个非零向量（ ）
A.若→→→→=+b a b a _则→→⊥b a
B. 若→→⊥b a ，则→
→→→=+b a b a _ C. 若→
→→→
=+b a b a _，则存在实数λ，使得
→→
=a b λ D 若存在实数λ，使得→
→=a b λ，则
→
→→→
=+b
a b a _
例二：设两个非零向量→
→
21e e 与，不共线，
（1）如果三点共线；求证：D C A e e CD e e BC e e AB ,,,28,23,212121--=+=-= （2）如果三点共线，且D C A e k e CD e e BC e e AB ,,,2,32,212121-=-=+=求实数k 的值。
变式一：设→
→
21e e 与两个不共线向量，,2,3,2212121e e CD e e CB e k e AB -=+=+=若三点A,B,D 共线，求实数k 的值。
变式二：已知向量→
→b a ,，且,27,25,2b a CD b a BC b a AB +=+-=+=则一定共线的三点是（ ） A.A,B,D B.A,B,C C.B,C,D D.A,C,D
高中数学高一平面向量常见题型分类总结
平面向量常见题型
题型一、利用平面向量待定系数求参数值（平面向量基本定理的应用）
例题1： 在正方形中， 分别是的中点，若，则
的值为（ ）
变式1： 如图，两块斜边长相等直角三角板拼在一起．若AD →＝xAB →＋yAC →，则x ＝___y ＝___
题型二、向量基本定理与不等式,、三角函数相结合
例题2： 在Rt ABC ∆中，090A ∠=，点D 是边BC 上的动点，且3AB =,4AC =,
(0,0)AD AB AC λμλμ=+>>，则当λμ取得最大值时， AD 的值为
变式2： 已知点A 在线段BC 上（不含端点），O 是直线BC 外一点，且20OA aOB bOC −−= 则221a b
a b b
+
++的最小值是___________
变式3： 给定两个长度为1的平面向量,OA OB ，它们的夹角为120.如图1所示，点C 在以
ABCD ,M N ,BC CD AC AM BN λμ=+λ
μ
+
O 为圆心的圆弧AB 上变动.若,OC xOA yOB =+其中,x y R ∈，则x y +的最大值是______.
变式4：
变式5： 若非零向量a b 、满足a b b −=，则下列不等式恒成立的为（ ） A. 22b a b >− B. 22b a b <− C. 22a a b >− D. 22a a b <−
题型三、坐标系法处理平面向量的数量积
在处理向量数量积问题时，若几何图形特殊（如正方形，等边三角形等），易于建系并写出点的坐标，则考虑将向量坐标化解
向量题型归纳(全)
向量题型归纳(全)
平面向量部分常见的题型
类型（一）：向量共线问题
1.设向量a=(2,1)，b=(2,3)，若向量λa+b与向量c=(-4,-7)
共线，则λ=?
2.已知A(1,3)，B(-2,-3)，C(x,7)，设AB=a，BC=b且a∥b，则x=?
3.已知a=(1,2)，c=25，且a∥c，求c的坐标。
4.n为何值时，向量a=(n,1)与向量b=(4,n)共线且方向相同？
5.已知a,b不共线，c=ka+b，d=a-b，如果c∥d，那么k=？c与d的方向关系是？
类型（二）：向量的垂直问题
1.已知向量a=(1,n)，b=(-1,n)，若2a-b与b垂直，则a=?
2.已知a=2,b=4，且a与b的夹角为π/3，若ka+2b与ka-
2b垂直，求k的值。
3.已知单位向量m和n的夹角为π/3，求证：(2n-m)⊥m。
4.已知a=(4,2)，求与a垂直的单位向量的坐标。
5.已知a∥b，c⊥(a+b)，则c=？
类型（三）：向量的夹角问题
1.平面向量a,b，满足a=1,b=4且满足a·b=2，则a与b的
夹角为？
2.已知非零向量a,b满足a=b，(a-b)·(2a+b)=-4且a=2，
b=4，则a与b的夹角为？
3.已知平面向量a,b满足|a|=|b|，a+b=c，则⟨a,b⟩=？
4.设非零向量a、b、c满足|a|=|b|=|c|，a+b=c，则⟨a,b⟩=？
5.已知a=2,b=3,a+b=7，求a与b的夹角。
6.若非零向量a,b满足a=b，(2a+b)·b=0，则a与b的夹角为？
类型（四）：求向量的模的问题
(完整版)向量题型归纳(全)
平面向量部分常见的题型
类型（一）：向量共线问题
1. 设向量），（，（3212==若向量b a +λ与向量)74(--=，c 共线，则=λ
2．已知）
，（），，（），，（73231x C B A --，设a AB =，b BC =且a ∥b ，则x 的值为 （ ）
(A) 0 (B) 3 (C) 15 (D) 18
3．已知，是同一平面内的两个向量，其中=（1，252=，且∥，求的坐标
4.n 为何值时，向量），（1n =与),4(n b =共线且方向相同？
5.已知,不共线，b a d b a k c -=+=,，如果∥，那么k= ,与的方向关系是
类型（二）: 向量的垂直问题
1．已知向量=--==n n 与），若，（，（211
242==，且b a 与的夹角为3
π，若的值垂直，求与k b a k b a k 22-+。 3.已知单位向量⊥-，求证：（的夹角为和23
π
4.已知,24），（=a 求与垂直的单位向量的坐标。
5. ，若向量），（+-==)3,2(,21∥，___=+⊥c b a c ），则（
类型（三）：向量的夹角问题
1.平面向量b a ,41==且满足
2.=b a ，则b a 与的夹角为
2.已知非零向量,）（a b b 2-⊥=，则b a 与的夹角为
3.已知平面向量,满足
424)2.(==-=+-b a b a ）（且，则的夹角为 4.设非零向量a 、b 、c 满足c b a c b a =+==|,|||||，则>=<b a ,
5.的夹角。与求b a ,732=+==
6.若非零向量,,0).2(=+=b b a 则b a 与的夹角为
平面向量专题复习
平面向量专题复习
考点一、平面向量的概念，线性表示及共线定理
题型一、平面向量的概念
1．给出下列命题：
①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB ＝DC 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ；⑤若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .其中正确命题的序号是( )
A ．②③
B ．①②
C ．③④
D ．④⑤
2．设a 0为单位向量，下列命题中：①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |·a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.假命题的个数是( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
题型二、平面向量的线性表示
1．(2014·新 课 标 全 国 卷Ⅰ)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB ＋FC ＝( )
A ．AD B.12AD C ．BC D.12
BC 2．(2013·江 苏 高 考)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23
BC .若DE ＝λ1AB ＋λ2AC (λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．
3．(2015·聊 城 二 模 )在△ABC 中，AB ＝c ，AC ＝b .若点D 满足BD ＝2DC ，则AD ＝( )
A.23b ＋13c
B.53c －23b
C.23b －13c
D.13b ＋23
平面向量部分常见的考试题型总结
平面向量部分常见的题型练习
类型(一)：向量的夹角问题
1•平面向量a,b，满足a =1,b =4且满足a.b = 2，则a与b的夹角为_________
2•已知非零向量a,b满足a = b,b丄(b—2a),则a与b的夹角为___________
3•已知平面向量a,b满足(a -b).(2a - b)二-4且*2,” 以且，则a与b的夹角为________________ 4•设非零向量a、b、c满足| a |=| b |=| c |,a ■ b = c，则：:：a,b z ___
5•已知a =2,冃=3, a +b = J7,求a与b的夹角。
6•若非零向量a,b满足a = b ,(2a+b).b=0,则a与b的夹角为____________
类型(二)：向量共线问题
1. 已知平面向量a =(2,3x),平面向量b =( 一2,18),若a // b，则实数x ____________
2. 设向量a = (2,1),b = (2,3)若向量，a b与向量c = (-4, - 7)共线，则，-
3・已知向量a (1,1),b (2, x)若a b与4b - 2a平行，则实数x的值是( )
A. -2
B. 0
C. 1
D. 2
4已知向量OA =(k,12),OB〉(4,5),OC =(-k,10),且A, B, C三点共线，
则k = _____
5. 已知A (1,3), B (—2,—3), C (x,7)，设AB =a , BC = b 且a // b，则x 的值为()
(A) 0 (B) 3 (C) 15 (D) 18
高考平面向量题型归纳总结
高考平面向量题型归纳总结
在高考数学考试中，平面向量是一个常见的考点，也是学生普遍认
为较为困难的部分之一。平面向量题型包括向量的加减、数量积、向
量方向等。本文将对高考平面向量题型进行归纳总结，帮助学生更好
地掌握此类题型。
一、向量的加减
1. 向量的加法
向量的加法满足交换律和结合律，即a + b = b + a，(a + b) + c = a + (b + c)。
在解题过程中，可以利用向量的平移性质，将向量平移至同一起点，再连接终点得到新的向量。
2. 向量的减法
向量的减法可以转化为加法进行处理，即a - b = a + (-b)。其中，-b
表示b的反向量，即方向相反的向量，模长相等。
二、数量积
数量积又称为内积或点积，记作a·b。
1. 定义
对于两个向量a(x₁, y₁)和b(x₂, y₂)，它们的数量积a·b = x₁x₂ +
y₁y₂。
另外，数量积还可以表示为向量模长和夹角的乘积，即a·b =
|a| · |b| · cosθ，其中θ为a与b的夹角。
2. 性质
(1) 交换律：a·b = b·a
(2) 分配律：a·(b + c) = a·b + a·c
(3) 结合律：k(a·b) = (ka)·b = a·(kb)，其中k为实数
(4) 若a·b = 0，则a与b垂直或其中一个为零向量
(5) 若a·b > 0，则夹角θ为锐角；若a·b < 0，则夹角θ为钝角。
三、向量方向
向量的方向可以用两种方式来表示：
1. 向量的方向角：向量a(x, y)的方向角为与x轴正方向之间的夹角α，其中-π < α ≤ π。
平面向量题型归纳
平面向量题型归纳
一．向量有关概念：【任何时候写向量时都要带箭头】
1．向量的概念：既有大小又有方向的量，记作：AB 或a 。注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。 例：已知A （1,2），B （4,2），则把向量AB 按向量a ＝（－1,3）平移后得到的向量是 2.向量的模：向量的大小（或长度），记作：||AB 或||a 。
3．零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任意的； 4．单位向量：单位向量：长度为1的向量。若e 是单位向量，则||1e =。(与AB 共线的单位向量是||
AB AB ±)；
5．相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性； 6．平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：∥，规定零向量和任何向量平行。
提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；
②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；
③平行向量无传递性！（因为有0)；
④三点A B C 、、共线⇔ AB AC 、
共线； 如图，在平行四边形ABCD 中，下列结论中正确的是 （ ）
A.AB CD =
B.AB AD BD -=
C.AD AB AC +=
D.AD BC +=0
7．相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是－、AB BA =-。例：下列命题：（1）若a b =，则a b =。（2）若,a b b c ==，则a c =。（6）若//
平面向量题型总结
平面向量题型总结
题型1. 基本概念判断正误：
（1）共线向量就是在同一条直线上的向量。
（2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。 （3）与已知向量共线的单位向量是唯一的。
（4）若AB CD =，则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形。 （5）直角坐标平面上的x 轴、y 轴都是向量。
（6）相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等； （7）若a 与b 共线， b 与c 共线，则a 与c 共线。
（8）若ma mb =，则a b =。 （9）若ma na =，则m n =。 （10）若a 与b 不共线，则a 与b 都不是零向量。 （11）若||||a b a b ⋅=⋅，则//a b 。
（12）若a 与b 均为非零向量，||||a b a b +=-，则a b ⊥。 2.给出命题
（1）零向量的长度为零，方向是任意的. （2）若a ，b 都是单位向量，则a ＝b . （3）向量AB 与向量BA 相等.
（4）若非零向量AB 与CD 是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点共线. 以上命题中，正确命题序号是
A.（1）
B.（2）
C.（1）和（3）
D.（1）和（4）
题型2. 向量的线性运算
1.设a 表示“向东走8km ”, b 表示“向北走6km ”,则||a b += 。
2.化简()()AB MB BO BC OM ++++= AB AC BC -+=_______;
AB AD DC --=________；
3.已知||5OA =,||3OB =,则||AB 的最大值和最小值分别为 、 。
平面向量常见题型汇编(含答案)
解析：外心 在 上的投影恰好为它们的中点，分别设为 ，
所以 在 上的投影为 ，而 恰好为 中点，
故考虑 ，
所以
2.范围问题
例题8： 若过点 的直线 与 相交于 两点，则 的取值范围是_______
解析：本题中因为 位置不断变化，所以不易用数量积定义求解，可考虑利用投影，即过 作直线 的垂线，
分析： 为两个圆的公共弦，从而圆心 到弦 的投影为 的中点，进而 在 上的投影能够确定，所以考虑计算 和 时可利用向量的投影定义。
解析：取 中点 ，连结 ，由圆的性质可得：
例题7：如图，在 中， ， 是边 上的高，则 的值等于
解析：由图中垂直可得： 在 上的投影为 ，所以 ，只需求出 的高即可。由已知可得 ，所以
分析：菱形 方向大小确定，在求数量积时可想到投影定义，即 乘以 在 上的投影，所以 的最大值只需要寻找 在 上的投影的最大值即可，而 点也确定，所以只需在菱形内部和边界寻找在 投影距离 最远的，结合图像可发现 的投影距离 最远，所以 ，再由 表示后进行数量积运算；
解析：
变式13：如图，在等腰直角 中， ，点 分别是 的中点， 点是 内（包括边界）任一点，则 的取值范围是____________
（2）从模长角度出发，在求数量积的范围中，如果所求数量积中的向量中有一个模长是定值，则可以考虑利用投影，从而将问题转化为寻找投影最大最小的问题
高三高考平面向量题型总结,经典
平面向量
一、平面向量的基本概念：
1.向量：既有大小又有方向的量叫做________.我们这里的向量是自由向量，即不改变大小和方向可以平行移动。
向量可以用_________来表示.向量的符号表示____________________. 2.向量的长度：向量的大小也是向量的长度（或_____），记作_________. 3.零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作________. 4.单位向量：__________________________.
5.平行向量和共线向量：如果向量的基线平行或重合，则向量平行或共线；两个非零向量方向相同或相反.记作________规定：___________________. 注意：理解好共线（平行）向量。
6.相等向量：_______________________. 例：下列说法正确的是_____
①有向线段就是向量，向量就是有向线段；
②,,c b b a == 则c a =
；③,//,//c b b a c a //
④若CD AB
=，则A ，B ，C ，D 四点是平行四边形的四个顶点；
⑤所有的单位向量都相等； 二、向量的线性运算： （一）向量的加法：
1.向量的加法的运算法则：____________、_________和___________.
（1）向量求和的三角形法则：适用于任何两个向量的加法，不共线向量或共线向量；模长之间的不等式关系_______________________；“首是首，尾是尾，首尾相连” 例1.已知AB=8，AC=5，则BC 的取值范围__________ 例2.化简下列向量
最新平面向量题型归纳
平面向量题型归纳
一．向量有关概念：【任何时候写向量时都要带箭头】
1．向量的概念：既有大小又有方向的量，记作：AB u u u r 或a r
。注意向量和数量的区别。向量
常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。
例：已知A （1,2），B （4,2），则把向量AB u u u r 按向量a r ＝（－1,3）平移后得到的向量是
2.向量的模：向量的大小（或长度），记作：||AB u u u r 或||a r 。
3．零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的；
4．单位向量：单位向量：长度为1的向量。若e r 是单位向量，则||1e =r
。(与AB u u u r 共线的单
位向量是||
AB AB ±u u u r
u u u r )； 5．相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性； 6．平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作：a ∥，规定零向量和任何向量平行。
提醒：∥相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；
∥两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；
∥平行向量无传递性！（因为有0r
)；
∥三点A B C 、、共线⇔ AB AC u u u r u u u r
、
共线； 如图，在平行四边形ABCD 中，下列结论中正确的是 （ ）
A.AB CD =u u u r u u u r
B.AB AD BD -=u u u r u u u r u u u r
平面向量题型归纳总结
平面向量题型归纳
一．向量有关概念：【任何时候写向量时都要带箭头】
1．向量的概念：既有大小又有方向的量，记作：AB u u u r 或a r
。注意向量和数量的区别。向量
常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么（向量可以平移）。
例：已知A （1,2），B （4,2），则把向量AB u u u r 按向量a r ＝（－1,3）平移后得到的向量是
2.向量的模：向量的大小（或长度），记作：||AB u u u r 或||a r
。
3．零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的；
4．单位向量：单位向量：长度为1的向量。若e r 是单位向量，则||1e =r
。(与AB u u u r 共线的单
位向量是||
AB AB ±u u u r
u u u r )； 5．相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；
6．平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：
∥，规定零向量和任何向量平行。
提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；
②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；
③平行向量无传递性！（因为有0r
)；
④三点A B C 、、共线⇔ AB AC u u u r u u u r
、
共线； 如图，在平行四边形ABCD 中，下列结论中正确的是 （ ）
A.AB CD =u u u r u u u r
B.AB AD BD -=u u u r u u u r u u u r
平面向量专题
平面向量专题
运 算
图形语言
符号语言
坐标语言
加法与减法
→--OA +→--OB =→
--OC
→
--OB -→--OA =→
--AB
记→
--OA =(x 1,y 1)，→
--OB =(x 1,y 2) 则→
--OA +→
--OB =(x 1+x 2,y 1+y 2) →
--OB -→
--OA =（x 2-x 1,y 2-y 1）
→--OA +→--AB =→
--OB
实数与向量 的乘积
→
--AB =λ→
a
λ∈R
记→
a =(x,y) 则λ→
a =(λx,λy)
两个向量 的数量积
→
a ·→
b =|→
a ||→
b | cos<→
a ,→
b >
记→
a =(x 1,y 1), →
b =(x 2,y 2)
则→a ·→
b =x 1x 2+y 1y 2
位置关系
图形语言
符号语言
坐标语言
（理科用）重要性质
PB n
m m PA n m n PA PB n m m
PA AB n
m m
PA AC PA PC +++=-++
=++=+=)(
例：如图，在ABC ∆中，点M 是BC 的中点，点N 在AC 上，且AN=2NC ，AM 与BN 相交于点P ，求AP ：PM 与BP ：PN. 思路：
5
41432143
21)4321()]
2
3
(21[)]
(2
1
[=⇒=+⇒+=+=+=+==λλλλλλλλλAN
AB AN AB AN AB AC AB AM AP
题型一：向量的加、减法、向量数乘运算及其几何意义
1设P 是ABC △所在平面内的一点，2BC BA BP +=，则（ ）
A ．0PA P
B += B ．0P
(完整版)平面向量题型汇总
《平面向量》题型汇总
类型（一）：向量的夹角问题
1.平面向量b a ,41==且满足
2.=b a ，则b a 与的夹角为 .
2.已知非零向量b a ,）（a b b 2-⊥=，则b a 与的夹角为 .
3.已知向量b a ,满足
424)2.(==-=+-b a b a ）（，则b a 与的夹角为 . 4.设非零向量a 、b 、c 满足c b a c b a =+==|,|||||，则>=
类型（二）：向量共线问题
1.已知向量），（），，（x b a 211==若a b b a 24-+与平行，则实数x 的值是 .
2.已知），（），，（），，（73231x C B A --a AB =，b BC =且a ∥b ， 则x= . 3．已知a =（1，2），b =（-3，2）若k a +2b 与2a -4b 共线，则k= .
4.已知b a ,不共线，b a d b a k c -=+=,，如果c ∥d ，那么k= ,c 与d 的方向关系是 .
5. 已知向量且），（），，（,221m b a -==a ∥b ，则=+b a 32 .
类型（三）: 向量的垂直问题
1．已知向量=--==b b a n b n a 垂直，则与），若，（），，（211 .
2.已知),1,1(),0,1(==b a 当λ= 时，a b a 与λ+垂直？
3.已知,24），（=a 与a 垂直的单位向量的坐标为 .
4. 已知向量的值为垂直，则实数与且向量），（λλb a b a b a 2)0,1(,23-+-=-=
5. =⊥-===k b c a k c b a ，则）若（，），（),2,()3,1(,13 .
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平面向量题型归纳
题型一 平面向量的线性运算
例 1：记 N ᰰᰰ ᰰ，y ＝ ᰰt ᰰ ≤ y t N i !{ᰰ，y }＝ y t ᰰ ≤ y
设 a t b 为平面向量，则(
)
yt ᰰ ݔ y ᰰt ᰰ ݔ y
A ．N i !{ a + b t |a －b |} ≤ N i !{ a t |b |}
B ．N i !{ a + b t |a －b |} ≤ N i !{ a t |b |}
C ．N ᰰᰰ
a +
b 2t a －b 2
≤ a 2 + b 2
D ．N ᰰᰰ
a +
b 2t a －b 2
≤
a 2 +
b 2
【答案】：D
【解析】
方法一：对于平面向量 a t b t |a + b |与|a －b |表示以 a t b 为邻边的平行四边形的两条对角线的长度，而根据平面几何知识可得，平行四边形两对角线长度的较小者与相邻两边长度的较小者，没有确定的大小关系，故选项A ，B 均错；又 a + b t |a －b |中的较大者与 a t |b |一定构成非锐角三角形的三条边，由余弦定理知，必有 N ᰰᰰ a + b 2t a －b
2
≤ a 2 + b 2 ,故选项 D 正确，选项 C 错误．
方法二：若 a t b 同向，令 a ＝2t |b |＝3，这时
|a + b |＝5，|a －b |＝1，N i !{|a + b |，|a －b |}＝1，N i !{|a |，|b |}＝2；若令|a |＝2，|b |＝6，这时 a + b
＝8t a －b ＝4t N i !{ a + b t |a －b |}＝4 ， 而 N i !{ a t |b |}＝2 ， 显然对任意 a t b ， N i !{|a + b |，|a －b |} 与
N i !{ a t |b |}的大小关系不确定， 即选项 A 、B 均错． 同理， 若 a t b 同向， 取|a |＝1t |b |＝2， 则 a + b
＝3t |a －b |＝1，这时 N ᰰᰰ
a +
b 2
t a －b 2
= ⸹，而 a 2
+
b 2 ＝5，不可能有 N ᰰᰰ a + b 2t a －b 2
≤
a 2 +
b 2，故选 C 项错．
【易错点】平面向量加减法线性运算性质。
【思维点拨】解题的关键是结合向量模的几何意义，加减运算的几何意义，通过图形分析得到正确选项； 也可从选择题的特点入手，通过对 a t b 特殊化，从而得到 a + b t |a －b |的值，通过比较大小关系排除错误选项，得出正确答案．
题型二 共线向量定理、平面向量基本定理的应用
例 1.O A B C 中,A B 边的高为 C ,若¯C ¯¯B ¯˙＝a t ¯C ¯¯A ˙＝b t a ·b ＝O t a ＝1t b ＝2t 则¯A ¯¯¯˙＝( ) A.1 a －1
b
B.2 a －2
b
C.3 a －3
b
D.4 a －4
b
3
3
3
3
5
5
5
5
【答案】 D
【解析】方法一： a ·b ＝0t ᰰA C B ＝⸹0°t A B ＝ 5t C ＝ 2 5 .
5
B ＝ 5
t A ＝
4 5
t A : B ＝4 : 1. ¯A ¯¯¯˙＝4 ¯A ¯¯B ¯˙＝4 (¯C ¯¯B ¯˙ — ¯C ¯¯A ˙)＝ 4 a －4
b .
2
方法二：如图,以 C 为原点，C A t C B 所在直线分别为 ᰰ 轴、y 轴建立平面直角坐标系．由已知得
A 2t 0 t
B 0，1 .
又因为 C T AB ，所以可求得
( 2 t 4 ),于是¯A ¯¯˙＝( — 8 t 4 ),而 a ＝ 0t1 tb ＝(2t0),若设¯A ¯
¯˙＝ᰰa + yb ，则有 5 5
5 5
2y =— 8 ᰰ = 4 5即 5 ,故¯A ¯¯˙＝ 4 a －4 b.
ᰰ = 4 5 y =—
4 5 5 5
【易错点】平面向量加减法线性运算性质,平面向量的坐标表示；
【思维点拨】根据题设条件确定出 A 、B 、三点坐标，再利用三点共线的性质即可解决.
例 2. 若点 M 是∆A B C 所在平面内一点,且满足: 设¯A ¯¯M ¯˙＝ 3
¯A ¯¯B ¯˙ + 1 ¯A ¯¯C
˙. 4
4
（1） 求∆ABM 与∆ABC 的面积之比.
（2） 若 N 为 A B 中点,A M 与 C N 交于点 0,设B ¯¯¯¯˙ = ᰰ¯B ¯¯M ¯˙ + y B ¯¯¯N ¯˙,求 ᰰt y 的值. 【答案】 见解析；
【解析】（1）由¯A ¯¯M ¯˙＝ 3
¯A ¯¯B ¯˙ + 1 ¯A ¯¯C ˙可知 M 、B 、C 三点共线
4
4
如图令¯B ¯¯M ¯˙ = h ¯B ¯¯C ¯˙ ‹ ¯A ¯¯M ¯˙ = A ¯¯¯B ¯˙ + B ¯¯¯M ¯˙ = A ¯¯¯B ¯˙ + h ¯B ¯¯C ¯˙ = ¯A ¯¯B ¯˙ + h ¯A ¯¯C ˙ — ¯A ¯¯B ¯˙
h = 1 ; S ∆ABM = 1.即面积之比为 1：4
= 1 — h ¯A ¯¯B ¯˙ + h ¯A ¯¯C ˙； 4 S ∆ABC
4
（2）由B ¯¯¯0¯˙ = ᰰ¯B ¯¯M ¯˙ + y ¯B ¯¯N ¯˙ ‹ ¯B ¯¯0¯˙ = ᰰB ¯¯¯M ¯˙ + y B ¯¯¯A ¯˙ = ¯B ¯¯0¯˙ = ᰰ ¯B ¯¯M ¯˙ + y ¯B ¯¯N
¯˙; 2
4
ᰰ + y = 1
ᰰ = 4
由 0、M 、A 三点共线及 0、N 、C 三点共线‹
ᰰ + y = 1 ‹ 4
7. y = 6
7
【易错点】面积比值与线段比值的关系，三点共线的性质；
【思维点拨】.利用共线性质得出 AB 与 AC 的线段长度之比，即可得到面积之比； 第二问中利用 0、M 、A 三点共线及 0、N 、C 三点共线性质进行解决即可；
例3.设双曲线ᰰ2
— y 2
= 1(ᰰ 及 b 及 0)的右焦点为F ,过点F 与ᰰ 轴垂直的直线l 交两渐近线于A.B 两点,与双曲
ᰰ2
b 2