二项式系数的性质学案

§1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质
【学习目标】 1.了解杨辉三角，并能由它解决简单的二项式系数问题．
2.了解二项式系数的性质并能简单应用．
3.掌握“赋值法”并会灵活应用．
【重难点扫描】 重点：二项式系数性质的应用．易错点：“赋值法”的应用．
难点：杨辉三角的特点．
一、复习引入：
1．二项式定理及其特例：（1）（a+b ）n
=
（2）（1+X ）n =
2．二项展开式的通项公式：1r n r r r n T C a b -+=
3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r 的限制；求有理
项时要注意到指数及项数的整数性
4.二项式系数：
下面我们来研究二项式系数有些什么性质？我们先通过杨辉三角观察n 为特殊值时，二项式系数有什么特点？ 1．“杨辉三角”的来历及规律
n b a )(+展开式中的二项式系数 数字形式 组合数形式 1)(b a + 2)(b a + 3)(b a +
4)(b a + 5)(b a + 6)(b a +
…… …… ……
n b a )(+ 2．二项式系数的性质：
()n a b +展开式的二项式系数是0
n
C ，1n C ，2n C ，…，n n C ．r n C 可以看成以r 为自变量的函数()f r 定义域是{0,1,2,,}n ，例当6
n =时，其图象是7个孤立的点（如图）
（1） 对称性．
与首末两端“等距离”的两个二项式系数____ 直线______是图象的对称轴． （2）增减性与最大值:
1.二项式系数大小先______后______,且在中间一项或两项取得最大值；
2.当n 是偶数时，中间一项_____取得最大值；当n 是奇数时，中间两项_____，_____取得最大值．
（3）展开式各项二项式系数和： ，
1.=+++++n
n n n n n C C C C C 3210 _____ 2.=++++n n n n n C C C C 321 _____
小结：一般地，n
b a )(+ 展开式的二项式系数 n n n n C C C ,,10 有如下性质： 1.m n n m n C C -= 2.m n m n m n C C C 11+-=+
3.当21-<
n r 时，1+<r n r n C C ；当2
1->n r 时r
n r n C C <+1 4.n n n n n C C C 210=+++ 课堂练习：
1）已知b C a C ==915515,，那么10
16
C = ； 2 10)(b a +的展开式中，二项式系数在第_____项取得最大值 ，
3）若n b a )(+的展开式中的第十项和第十一项的二项式系数最大，则项数n= ；
三、典例分析
题型一 与杨辉三角有关的问题
例1：如图在“杨辉三角”中，斜线AB 的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，记其前n 项和为Sn ，求S 19的值．
变式练习：如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第________行中从左到右第14与第15个数的比为2∶3.
题型二：利用“赋值法”及二项式性质3求部分项系数，二项式系数和
例2:求证：在()n a b +的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，并求出奇数项和偶数项的二项式系数和。

变式练习：教材P35：练习1.（2）（3），2.
例3：在10)32(y x -的展开式中,求:
①二项式系数的和为________ ②各项系数的和为________;
③奇数项的二项式系数和为________偶数项的二项式系数和为________; ④奇数项系数和为________偶数项系数和为________;
⑤x 的奇次项系数和为________x 的偶次项系数和为________.
点评:要把“二项式系数的和”与“各项系数和”,“奇(偶)数项系数和与奇(偶)次项系数和”严格地区别开来,“赋值法”是求系数和的常规方法之一.
变式练习1．若443322104)32(x a x a x a x a a x ++++=+， 则2312420)()(a a a a a +-++的值为 ； :
变式练习2：若2004221020042004...)21(x x a x a a x ++++=-，则=++++++)(...)()(200402010a a a a a a __
变式练习3：设0155666...)12(a x a x a x a x ++++=-， 则=++++6210...a a a a ；
常用结论：若f(x )= a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3……+a n x n ，则系数a 0,a 1,a 2,a 3,…,a n 满足：：
⑴ a 0+a 1+a 2+a 3……+a n =f(1) ⑵ a 0-a 1+a 2-a 3……+(-1)n a n =f(-1)
⑶ a 0+a 2+a 4+a 6……=2
)1()1(-+f f ⑷ a 1+a 3+a 5+a 7 (2)
1()1(--f f
题型三：求展开式系数最大项和展开式二项式系数最大项相关问题 (1)一般的系数最大或最小问题
例4：n x )21(+的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项。

(2)特殊的系数最大或最小问题
例5：（1）7)21(x -的展开式中系数最大的项为________
(2)在二项式11)1(-x 的展开式中，系数最小的项的系数是_______；
（3）系数绝对值最大的项
例6：在（7)y x -的展开式中，系数绝对值最大项是_______；
课后作业： 1.若 n x
x )21(4+
展开式中前三项系数成等差数列，求（1）展开式中含x 的一次幂
的项； （2）展开式中所有x 的有理项；
2.已知22)n x 的展开式的二项式系数和比(31)n x -的展开式的二项式系数和大992，求21(2)n
x x
-的展开式中：（1）二项式系数最大的项；（2）系数的绝对值最大的项
3.已知*22)()n
n N x
∈的展开式中的第五项的系数与第三项的系数之比是10：1.(1)求展开式中含32
x 的项；(2)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项.。