线性代数_ 向量空间及向量的正交性_向量空间_

定义5 设V 是r维向量空间，a1, a2 ,, ar和b1, b2 ,, br
是V 的两个基，则存在矩阵
p11
P
=
p21
pr1
p12 p1r
p22
p2
r
pr 2
prr
使得 [b1, b2 ,, br ] = [a1, a2 ,, ar ] P，
(1)
矩阵P为可逆阵，称为从基a1, a2 ,, a（r 旧基）到基b1, b2 , , b（r 新基）的过渡矩阵,(1)称为基变换公式。
0 −1 1 4
1 0 1 3 r3+r2→ 0 1 1 0
0 0 2 4
1 0 1 3 r3÷2→ 0 1 1 0
0 0 1 2
1 0 0 1 rr12−−rr33→ 0 1 0 −2 ,
0 0 1 2
所以向量b在该基下的坐标向量为x= [1, −2, 2]T .
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4 基变换与坐标变换
向量空间
主讲： 杨雪峰 大连理工大学数学科学学院
向量空间
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1 向量空间的概念 例1 设S是m × n型齐次方程组Ax = 0的全部解向量的集合。 1）对任何的两个向量u, v ∈ S，有Au = 0, Av = 0，
从而A(u = + v) 0，即u + v ∈ S；
2）对任何的向量u ∈ S，和实数α ∈ R，有A(αu) = 0, 即αu ∈ S.
x = [ x1, x2 ,, xr ]T 称为向量v在这个基下的坐标向量。 令A [= a1, a2 ,, ar ]，则有Ax v.
向量空间
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例6 求= R3中的向量b [= 3, 0,10]T 在基a1 [1, 0, 2]T , a2 =[0,1, −1]T , a3 =[1,1, 3]T 下的坐标向量。
O
=
B1
O
，
可得 X=B1. 所以B1就是要求的过渡矩阵。
向量空间
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定理1 设r维向量空间V中的向量v在旧基a1, a2 ,, ar和 新基b1, b2 ,, br下的坐标向量分别为x和y，从旧基到
新基的过渡矩阵为P，则有坐标变换公式 =x P= y 或 y P−1x.
= 证明 记 A [= a1, a2 ,, ar ], B [b1, b2 ,, br ].
这表明集合S中的向量经过线性运算后还在S中。
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若向量的集合V 满足
∀u, v ∈V , ∀α ∈ R, 有u + v ∈V ,αu ∈V，
则称集合V 对于线性运算封闭。
定义1 设V 是n元向量的非空集合，如果V 对于向量的
线性运算封闭，则称V 是一个向量空间。
显然，只含有零向量的集合V = {0}是一个向量空间。
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例5 设a1, a2 ,, am是m个已知的n元向量，则集合
∑ = V =v
m
x ja j
x1
,
x2
,
, xm
∈
R
是一个向量空间,
j =1
称为由向量a1, a2 ,, am所生成的向量空间，
记作V = span{a1, a2 ,, am }.
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定义2 设V1和V2是两个向量空间, (1) 若V1 ⊆ V2，则称V1是V2子空间； (2) 若V1 ⊆ V2且V2 ⊆ V1，则称向量空间V1与V2相等， 记做 V1 =V2.
解 令A = [a1, a2 , a3 ]，
下面来解线性方程组Ax = b.
1 0 1 3
1 0 1 3
[A, b] = 0
1
1
0
r3−2r1→ 0
1
1 0
2 −1 3 10
0 −1 1 4
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10
1 0 1 3
1 0 1 3
[A, b] = 0
1
1
0
r3−2r1→ 0
1
1 0
2 −1 3 10
则 B= AP，v= x1a1 + x2a2 + + xrar = Ax， v = y1b1 + y2b2 + + yrbr = By = APy.
前式减后式可得 A(x − Py) = 0. 由于 A的列向量组线性无关，所以x = Py.
向量空间
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例7 已知向量空间V的两个基：
1 0
2 −1
= a1
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3 向量在基下的坐标 定义4 设V 是r维向量空间，a1, a2 ,, ar是V的基。 则V中任意向量v都可以由基a1, a2 ,, ar线性表示，并且 表达式唯一，即存在唯一的一组有序数x1, x2 ,, xr，使得
v= x1a1 + x2a2 + + xrar 这组数x1, x2 ,, xr称为向量v在基a1, a2 ,, ar下的坐标。
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由于 r( [A,= B]) r= (A) r= (B) r,
因此 [ A,B]的行最简形为
Er
O
B1 O
，
即存在可逆阵G使得G
[
A,
B]
=
Er O
B1 O
，
于是GA=
Er
O
，GB=
B1 O
，
从而矩阵方程
AX = B
变为
Er
O
X
=
B1
O
，
即
Er X
记做dim(V )，此时V 称为r维向量空间。
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规定向量空间V = {0}的维数为零，没有基。
dim（Rn）=n，e1, e2 ,, en是一个基.。
( ) dim span{a1, a2 ,am } = a1, a2 ,am的秩，
向量组a1, a2 ,am的一个极大无关组是它的一个基。
向量空间
向量空间
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从基b1, b2,, br到基a1, a2,, ar的过渡矩阵为P−1.
记 A [= a1, a2 ,, ar ], B [b1, b2 ,, br ].
求从旧基a1, a2 ,, ar到新基b1, b2 ,, br的过渡矩阵P就是
求解矩阵方程 AX = B.
可以用初等行变换解此矩阵方程。
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例1中齐次方程组Ax = 0的解向量的集合S是一个向量空间， 称为该方程组的解空间。 例2 所有n元实向量的集合Rn是一个向量空间。 例3 若V 是向量空间，则V中一定含有零向量。 显然 0 = 0 ⋅ v ∈V . 例4 非齐次线性方程组Ax = b的解集中不含有零向量， 因此不是向量空间。
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2 向量空间的基与维数 定义3 设V 是向量空间，若V中的向量组a1, a2 ,, ar 满足 （1）向量组a1, a2 ,, ar 线性无关； （2）V中任意向量v都可以由向量组a1, a2 ,, ar 线性表示。 则称a1, a2 ,, ar是向量空间V的基，r称为向量空间V的维数。