安徽省芜湖市2014届高三5月模拟考试 数学理试题 扫描版含答案
2014年安徽省芜湖市高考数学模拟试卷(理科)
2014年安徽省芜湖市高考数学模拟试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共10小题，共50.0分)1.已知复数z=，则|z|=（）A.1B.C.D.5【答案】C【解析】解：化简可得复数z===1-2i，∴|z|==故选：C化简复数，由模长公式可得．本题考查复数的模长，利用复数的基本运算进行化简是解决本题的关键，属基础题．2.已知集合M={x|y=ln（1-x）}，集合N={x|x2-x=0}，则M∩N=（）A.{0，1}B.{0}C.{1}D.∅【答案】B【解析】解：M={x|y=ln（1-x）}={x|1-x＞0}={x|x＜1}，集合N={x|x2-x=0}={x|x=1或x=0}，则M∩N={0}，故选：B．求出集合M，N的元素，利用集合的基本运算即可得到结论．本题主要考查集合的基本运算，求出集合的基本元素即可得到结论．3.已知命题p：平行于同一直线的两个平面平行；命题q：垂直于同一平面的两条直线平行，那么（）A.“p或q”是假命题B.“p且q”是真命题C.“￢p或q”是假命题D.“￢p且q”是真命题【答案】D【解析】解：对于命题p，若α∩β=m，a⊄α，a⊄β，a∥m，则由线面平行的判定定理，得a∥α，a∥β，则满足条件，故命题p为假命题；由直线和平面垂直的性质定理，得命题q正确．故￢p为真，“p或q”是真命题，“p且q”是假命题，“￢p或q”是真命题，“￢p且q”是真命题．故选D．首先运用线面平行的判定定理和线面垂直的性质定理，判断p，q的真假，然后运用复合命题的真值表即可得到答案．本题主要考查复合命题的真假判断，注意运用真值表，同时考查空间直线与平面的位置关系：平行和垂直，是一道基础题．4.阅读程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为（）A.3B.4C.5D.6【答案】B【解析】解：该程序框图是循环结构经第一次循环得到i=1，a=2；经第二次循环得到i=2，a=5；经第三次循环得到i=3，a=16；经第四次循环得到i=4，a=65满足判断框的条件，执行是，输出4故选B通过程序框图的要求，写出前四次循环的结果得到输出的值．本题考查解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环结果，找规律．5.下列双曲线的渐近线方程为y=±2x的是（）A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1【答案】C【解析】解：A中，双曲线的渐进线方程为即；B中，双曲线的渐进线方程为即；C中，双曲线的渐进线方程为即y=±2x；D中，双曲线的渐进线方程为即；故选：C．令双曲线方程右边的常数1为0，即得到双曲线的渐近线方程．本题考查双曲线的渐近线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线的简单性质的灵活运用．6.若a=20.5，b=log63，c=log2（sin），则（）A.a＞b＞cB.b＞a＞cC.c＞a＞bD.b＞c＞a【答案】A【解析】解：∵a=20.5＞20=1，0=log61＜b=log63＜log66=1，c=log2（sin）=log2（）=-1，∴a＞b＞c．故选：A．根据指数函数与对数函数的单调性质将a，b，c分别与1与0比较即可．本题考查对数的运算性质，考查指数函数与对数函数的单调性，属于基础题．7.已知定义在R上的函数f（x）满足f（4）=2-，且对任意的x都有f（x+2）=，则f（2014）=（）A.-2-B.-2+C.2-D.2+【答案】A【解析】解：∵f（x+2）=，∴f（x+4）=，即函数的周期为4，则f（2014）=f（503×4+2）=f（2），∵f（4）=2-，∴f（2）=-===-（2+）=-2-，故选：A．根据条件确定函数的周期为4，利用函数的周期即可求出函数的值．本题主要考查函数值的计算，利用条件求出函数的周期性是解决本题的关键．8.已知函数y=g（x）的图象由f（x）=sin2x的图象向右平移φ（0＜φ＜x）个单位得到，这两个函数的部分图象如图所示，则φ=（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解：f（x）=sin2x的图象在y轴的右侧的第一个对称轴为2x=，∴x=，-=，图象中与函数值相同的右侧相邻点的横坐标为，故φ=-=，故选：C．根据所给的图象，依据，y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，求得图象中与函数值相同的右侧相邻点的横坐标为，根据φ=-求得结果．本题主要考查利用y=A sin（ωx+∅）的图象特征，由函数y=A sin（ωx+∅）的部分图象求解析式，y=A sin（ωx+∅）的图象变换规律，属于中档题．9.若变量x，y满足约束条件，则x+2y的最大值为（）A.π+2B.C.3D.2【答案】B【解析】解：作出不等式组的对应的平面区域如图，阴影部分，设z=x+2y，则y=-，平移直线y=-，由图象可知当直线y=-与圆在第一象限相切时，即经过点A时，直线y=-的截距最大，此时z最大，由y=，得x2+y2=2，则圆心O到直线x+2y-z=0的距离d=，即|z|=，即z=或-，故x+2y的最大值为，故选：B作出不等式组对应的平面区域，设z=x+2y，利用z的几何意义，利用数形结合即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用以及直线与圆的位置关系的应用．结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．10.已知R t△ABC中，∠C=90°，•=9，S△ABC=6，P为线段AB上的点，且=x•+y•，则xy的最大值为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】解：∴；∴；设．=；∴；∴x=3λ，y=4（1-λ）∴xy=12λ（1-λ0=-；∵λ∈[0，1]∴时，xy最大为：3．故选：C．根据便可求出=3，能求出．P 为线段AB上的点，所以存在λ，0≤λ≤1，使得：．所以=，所以会得到：，这样便能用λ表示x，y，所以xy能用λ表示，并且能表示成关于λ的二次函数，求这个二次函数在其定义域上的最值即可求得xy的最大值．得出x，y用λ表示是求解本题的关键，这样就将求两个变量的最大值，变成了求一个变量的最大值，这样就转变成了求函数的最值了．二、填空题(本大题共5小题，共25.0分)11.已知随机变量X服从正态分布N（3，1），且P（1≤X≤5）=0.6826，则P（X＞5）= ______ ．【答案】0.1587【解析】解：∵随机变量ξ服从正态分布N（3，1），∴正态曲线的对称轴是x=3，∵P（1≤X≤5）=0.6826，∴P（X＞5）=0.5-P（1≤X≤5）=0.5-0.3413=0.1587．故答案为：0.1587．根据随机变量ξ服从正态分布，可知正态曲线的对称轴，利用对称性，即可求得P（X ＞5）．本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，注意根据正态曲线的对称性解决问题．12.△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=，b=2，sin B+cos B=，则角A的大小为______ ．【答案】【解析】解：由sin B+cos B=得1+2sin B cos B=2，即sin2B=1，因为0＜B＜π，所以B=45°，b=2，所以在△ABC中，由正弦定理得：，解得sin A=，又a＜b，所以A＜B=45°，所以A=30°．故答案为由条件由sin B+cos B=得1+2sin B cos B=2，即sin2B=1，根据三角形的内角和定理得到0＜B＜π得到B的度数．利用正弦定理求出A即可．本题考查了三角恒等变换、已知三角函数值求解以及正弦定理，考查了同学们解决三角形问题的能力．13.若二项式（x-）6（a＞0）的展开式中x3的系数为A，常数项为B，若B=4A，则a的值是______ ．【答案】2【解析】解：展开式的通项为令得r=2，所以A=令得r=4，所以B=∵B=4A，即=4，解得a=2故答案为：2利用二项展开式的通项公式求出通项，令x的指数为1，0求出A，B；列出方程求出a．本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．14.设f1（x）=，f n+1（x）=f1[f n（x）]，且a n=，则a2014= ______ ．【答案】（-）2015【解析】解：∵f1（x）=，f n+1（x）=f1[f n（x）]，∴a n==∵f1（0）=2，，∴f n+1（0）=f1[f n（0）]，∴f n+1（0）=f1[f n（0）]=，∴=，∴数列{a n}是以为首项，为公比的等比数列，∴，∴a2014=．故答案为：（-）2015根据条件求出数列{a n}是等比数列，然后根据等比数列的通项公式即可得到结论．本题主要考查函数值的计算，利用条件构造数列，并证明数列是等比数列是解决本题的关键，考查学生的计算能力．15.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为棱DD1和AB上的点，则下列说法正确的是______ ．（填上所有正确命题的序号）①A1C⊥平面B1CF；②在平面A1B1C1D1内总存在与平面B1EF平行的直线；③△B1EF在侧面BCC1B1上的正投影是面积为定值的三角形；④当E，F为中点时，EF与平面BCC1B1所成角的正切值为；⑤当E，F为中点时，平面B1EF与棱AD交于点P，则AP=．【答案】②③④⑤【解析】解：对于①A1C⊥平面B1EF，不一定成立，因为A1C⊥平面AC1D，而两个平面面B1EF与面AC1D不一定平行．对于②在平面A1B1C1D1内总存在与平面B1EF平行的直线，此两平面相交，一个面内平行于两个平面的交线一定平行于另一个平面，此结论正确；对于③△B1EF在侧面BCC1B1上的正投影是面积为定值的三角形，此是一个正确的结论，因为其投影三角形的一边是棱BB1，而E点在面上的投影到此棱BB1的距离是定值，故正确；对于④EF与平面BCC1B1所成角等于EF与平面A1D1DA所成角，连接EA，则∠FEA为EF与平面A1D1DA所成角，tan∠FEA==；故正确．对于⑤，当E，F为中点时平面B1EF截该正方体所得的截面图形是五边形B1QEPF，由面面平行的性质定理可得EQ∥B1F，故D1Q=，B1Q∥PF，故AP=，故正确．综上所述，说法正确的是②③④⑤故答案为：②③④⑤由正方体的结构特征，对所给的几个命题用线面，面面之间的位置关系直接判断正误即可得到答案．本题考点是棱柱的结构特征，考查对正方体的几何特征的了解，以及线面垂直，线面平行等位置关系的判定，涉及到的知识点较多，综合性强．三、解答题(本大题共6小题，共75.0分)16.如图，点A，B是单位圆O上的两点，点C是圆O与x轴正半轴的交点，将锐角α的终边OA按逆时针方向旋转到OB．（Ⅰ）若A的坐标为（，），求点B的横坐标；（Ⅱ）若△ABC的面积为，求角α的大小．【答案】解：（Ⅰ）由题意可知∠x OA=α，A的坐标为（，），即cosα=，sinα=，锐角α的终边OA按逆时针方向旋转到OB．∴点B的横坐标为cos（）=cosαcos-sinαsin=-=；（Ⅱ）∵△ABC的面积为，∴S△ABC=S△OAB+S△x OA-S△XOB，即：=，∴，∵α是锐角，∴角α的大小为：．【解析】（Ⅰ）通过A的坐标为（，），利用两角和与差的三角函数直接求点B的横坐标cos （）；（Ⅱ）利用△ABC的面积为，推出S△ABC=S△OAB+S△x OA-S△XOB，通过解三角方程即可求角α的大小．本题考查任意角的三角函数的定义，两角和与差的三角函数，考查转化思想以及计算能力．17.某高中毕业学年，在高校自主招生期间，把学生的平时成绩按“百分制”折算，排出前n名学生，并对这n名学生按成绩分组，第一组[75，80），第二组[80，85），第三组[85，90），第四组[90，95），第五组[95，100]，如图为频率分布直方图的一部分，其中第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的人数依次成等差数列，且第四组的人数为60．（Ⅰ）请在图中补全频率分布直方图；（Ⅱ）若Q大学决定在成绩高的第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进行面试．①若Q大学本次面试中有B、C、D三位考官，规定获得两位考官的认可即面试成功，且面试结果相互独立，已知甲同学已经被抽中，并且通过这三位考官面试的概率依次为、，，求甲同学面试成功的概率；②若Q大学决定在这6名学生中随机抽取3名学生接受考官B的面试，第3组中有ξ名学生被考官B面试，求ξ的分布列和数学期望．【答案】解：（Ⅰ）∵第四组的人数为60，∴总人数为：5×60=300，由直方图可知，第五组人数为：0.02×5×300=30人，又为公差，∴第一组人数为：45人，第二组人数为：75人，第三组人数为：90人（4分）（Ⅱ）①设事件A=甲同学面试成功，则P（A）=…..（8分）②由题意得，ξ=0，1，2，3，，，，，分布列为：…..（12分）【解析】（Ⅰ）由第四组的人数能求出总人数，由此能补全频率分布直方图．（Ⅱ）①设事件A=甲同学面试成功，由此利用独立事件概率公式能求出甲同学面试成功的概率．②由题意得，ξ=0，1，2，3，分别求出其概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．本题考查频率分布直方图的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望，是中档题，是历年高考的必考题型．18.如图，E是以AB为直径的半圆上异于A、B的点，矩形ABCD所在的平面垂直于该半圆所在的平面，且AB=2AD=2．（1）求证：EA⊥EC；（2）设平面ECD与半圆弧的另一个交点为F．若EF=1，求二面角D-EC-B的正切值．【答案】（1）证明：∵平面ABCD⊥平面ABE，平面ABCD∩平面ABE=AB，BC⊥AB，BC⊂平面ABCD∴BC⊥平面ABE∵AE⊂平面ABE，∴BC⊥AE∵E在以AB为直径的半圆上，∴AE⊥BE∵BE∩BC=B，BC，BE⊂面BCE∴AE⊥面BCE∵CE⊂面BCE，∴EA⊥EC（2）以A为原点，AB、AD所在直线为y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则D（0，0，1），E（，，0），B（0，2，0），C（0，2，1），有（1）知，=（，，0）是平面BEC的一个法向量，设=（x，y，z）是平面DEC的一个法向量则由得取=（2，0，）可得：cos＜，＞===因为D-EC-B的二面角大小为钝角，故其正切值为-．【解析】（1）利用面面垂直的性质，可得BC⊥平面ABE，再利用线面垂直的判定证明AE⊥面BCE，即可证得结论；（2）以A为原点，AB、AD所在直线为y轴、z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D-EC-B的正切值．本题考查面面垂直的性质，线面垂直的判定与性质，考查线线垂直，考查二面角正切值的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19.设椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，上顶点为A，点B满足=且•=0．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）P是过A、B、F2三的圆上的点，若△AF1F2的面积为，求P到直线l：x-y-3=0距离的最大值．【答案】解：（Ⅰ）设B（x0，0），由F2（c，0），A（0，b），得=（c，-b），=（x0，-b），∵，∴cx0+b2=0，，∵=，即F1为BF2中点，∴-，∴b2=3c2=a2-c2，∴椭圆离心率e=．（Ⅱ）由，解得a=2，b=，∴△ABF的外接圆圆心为F1（-1，0），半径r=2，∵F1（-1，0）到直线l的距离为d==2，∴P到直线l：x-y-3=0距离的最大值为d+r=4．【解析】（Ⅰ）设B（x0，0），由F2（c，0），A（0，b），，得，由此能示出椭圆离心率．（Ⅱ）由，得a=2，b=，由此求出△ABF的外接圆圆心为F1（-1，0），半径r=2，F1（-1，0）到直线l的距离为d=2，由此能求出P到直线l：x-y-3=0距离的最大值．本题考查椭圆的离心率的求法，考查点到直线的距离的最大值的求法，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．20.已知函数f（x）=ax-lnx，其中a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求f（x）在点（1，f（1））处切线l的方程，并判断l与f（x）的图象交点的个数；（Ⅱ）若f（x）存在零点，求实数a的取值范围．【答案】解：（Ⅰ）f（1）=1，k1=f′（1）=0，所以切线l的方程为y=1；作F（x）=f（x）-1=x-lnx-1，x＞0，则F′（x）=1-，解F′（x）=0得x=1．f（x）＞即函数y=f（x）（x≠1）的图象在直线l的上方，l与f（x）的图象交点的个数为1个；（Ⅱ）若f（x）存在零点，则ax-lnx=0有解，∴a=（x＞0），令y=（x＞0），则y′=，∴0＜x＜e，y′＞0，x＞e，y′＜0，∴函数在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，∴y≤，∴a≤．【解析】（Ⅰ）已知f（x）=lnx-ax+1，对你进行求导，根据导数和斜率的关系，求出切线的方程，可得结论；（Ⅱ）若f（x）存在零点，则a=（x＞0），求出函数的最值，即可求实数a的取值范围．本题主要考查利用导数研究函数的性质，考查学生的运算能力，综合性较强21.已知数列{a n}满足a1=3，a n+1=a n2-na n+λ（n∈N*，λ∈R）．（Ⅰ）对∀n∈N*，a n≥2n恒成立的充要条件为λ≥-2；（Ⅱ）若λ=-2，证明：++…+＜2．【答案】解：（Ⅰ）先证明必要性：由题意知∀n∈N*，a n≥2n恒成立，则当n=2时，a2=6+λ≥2×2，得出λ≥-2，成立．充分性：当n=2时，显然成立，假设当n=k，（k≥2）时，a k≥2k成立，则当n=k+1时，a k+1=a k2-ka k+λ=a k（a k-k）+λ≥2k2-2=2（k+1）（k-1）≥2（k+1），故对所有的n≥2，有a n≥2n恒成立，故a n≥2n恒成立的充要条件为λ≥-2．（Ⅱ）当λ=-2．时，a n≥2n，即a n+1-2=a n2-na n-4=a n（a n-n）-4≥na n-4≥2（a n-2）＞0，（n≥2），则×=，（n≥3）++…+＜1+=＜．即不等式成立．【解析】（Ⅰ）根据充要条件的定义分别证明充分性和必要性，即可得到证明对∀n∈N*，a n≥2n 恒成立的充要条件为λ≥-2；（Ⅱ）根据数列的通项公式，利用放缩法，即可证明不等式．本题主要考查充要条件的证明，以及数学归纳法的应用，综合性较强，运算量较大．。
安徽省芜湖市高三5月模拟考试理科数学试题(解析版)
安徽省芜湖市高三5月模拟考试理科数学试题（解析版）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合，则（）A. [-2，-1]B. [-1，2)C. [-1，1]D. [1，2)2. 设复数，则下列命题中错误的是A. B. C.在复平面上对应的点在第一象限 D.z的虚部为13. 若满足约束条件则的最大值为（）A. 2B. 6C. 7D. 84. 若圆锥曲线的离心率为，则（）A. B. C. D.5. 芜湖高铁站芜湖至地上午发车时间分别为7:00，8:00，8:30，小明需在当天乘车到地参加一高校自主招生，他在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（）A. B. C. D.6. 我国古代数学著作《九章算术》中，其意是：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升．问：米几何？右图是源于其思想的一个程序框图，若输出的（单位：升），则输入的值为（）A. 6B. 7C. 8D. 97. 已知是定义在上偶函数，对任意都有且，则的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 58. 某几何体的三视图如右图所示，图中的四边形都是边长为1的正方形，其中正(主)视图、侧(左)视图中的两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（）A. B. C. D.9. 已知函数．将的图象向左平移个单位长度后所得的函数为偶函数，则关于函数，下列命题正确的是（）A. 函数在区间上有最小值B. 函数的一条对称轴为C. 函数在区间上单调递增D. 函数的一个对称点为10. 设，，均为实数，且，，，则（）A. B. C. D.11. 已知椭圆的右焦点为．圆上所有点都在椭圆的内部，过椭圆上任一点作圆的两条切线，为切点，若，则椭圆C的离心率为（）A. B. C. D.12. 已知函数，其中为自然对数的底数．若函数在区间内有两个零点，则的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 已知向量的夹角为，，，则=_______．14. 已知展开式中只有第4项的二项式系数最大，则展开式中常数项为_______．15. 在三棱锥中，，当三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为_______．16. 已知的内角的对边分别为，若，则最小值是_______．三、解答题：共70分。
2014年安徽省高考数学试卷(理科)答案与解析
2014年安徽省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）（2014•安徽）设i是虚数单位，表示复数z的共轭复数．若z=1+i，则+i•=（）代入+i•∴∴==取相同的长度单位．已知直线l的参数方程是（t为参数），圆C的极坐标方程是ρ=4cosθ，则直线l被的参数方程是=＜=2，5．（5分）（2014•安徽）x、y满足约束条件，若z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a 或﹣16．（5分）（2014•安徽）设函数f（x）（x∈R）满足f（x+π）=f（x）+sinx．当0≤x＜π时，f（x）=0，则f（）（（）+sin）+sin+sin）+sin+sin+sin=sin+sin+sin==8+=21+．=66解：，﹣﹣﹣∴﹣≥，+1＞﹣，+1或﹣时，﹣10．（5分）（2014•安徽）在平面直角坐标系xOy中．已知向量、，||=||=1，•=0，点Q满足=（+），曲线C={P|=cosθ+sinθ，0≤θ≤2π}，区域Ω={P|0＜r≤||≤R，r＜R}．若C∩Ω为两段分离的曲线，则（）不妨令=），=||中．已知向量、，||=||=1•=0不妨令=），=则（+，=cos+|||二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡相应位置．11．（5分）（2014•安徽）若将函数f（x）=sin（2x+）的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是．﹣轴对称可得，）的图象向右平移﹣，﹣﹣，故答案为：．的等比数列列式求出公差，则由得：整理得：q=13．（5分）（2014•安徽）设a≠0，n是大于1的自然数，（1+）n的展开式为a0+a1x+a2x2+…+a n x n．若点A i（i，）的展开式的通项为）的展开式的通项为，，14．（5分）（2014•安徽）设F1，F2分别是椭圆E：x2+=1（0＜b＜1）的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E 于A、B两点，若|AF1|=3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为x2+=1．（﹣，﹣bc，﹣代入椭圆方程可得==++15．（5分）（2014•安徽）已知两个不相等的非零向量，，两组向量，，，，和，，，，均由2个和3个排列而成，记S=•+•+•+•+•，S min表示S所有可能取值中的最小值．则下列命题正确的是②④（写出所有正确命题的编号）．①S有5个不同的值；②若⊥，则S min与||无关；③若∥，则S min与||无关；④若||＞4||，则S min＞0；⑤若||=2||，S min=8||2，则与的夹角为．++++•+++=+•++•+=﹣•≥+2|||≥个个S=2+3S=+2•+2S=4•++++，=•+•+，=+•++•++2•+﹣2||≥⊥，则=||∥，则=4•，与||||4||=4|||4||||+＞﹣=0||=2||=8|=与的夹角为．区域．16．（12分）（2014•安徽）设△ABC的内角为A、B、C所对边的长分别是a、b、c，且b=3，c=1，A=2B．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求sin（A+）的值．A+）的值．a=6a=2cosB=sinB=sinA=sin2B=，A+）则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立．（Ⅰ）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；，，（+（+×（=，，=，，×+3×+4×+5×=．18．（12分）（2014•安徽）设函数f（x）=1+（1+a）x﹣x﹣x，其中a＞0．（Ⅰ）讨论f（x）在其定义域上的单调性；＜＜）和（在（19．（13分）（2014•安徽）如图，已知两条抛物线E1：y=2p1x（p1＞0）和E2：y=2p2x（p2＞0），过原点O的两条直线l1和l2，l1与E1，E2分别交于A1、A2两点，l2与E1、E2分别交于B1、B2两点．（Ⅰ）证明：A1B1∥A2B2；（Ⅱ）过O作直线l（异于l1，l2）与E1、E2分别交于C1、C2两点．记△A1B1C1与△A2B2C2的面积分别为S1与S2，求的值．的方程，然后分别和两抛物线联立求得交点坐标，得到的联立，解得联立，解得联立，解得联立，解得因此11111且AD=2BC，过A1、C、D三点的平面记为α，BB1与α的交点为Q．（Ⅰ）证明：Q为BB1的中点；（Ⅱ）求此四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积之比；，则，== ahd====，ahdahd所分成上、下两部分的体积之比=1，．21．（13分）（2014•安徽）设实数c＞0，整数p＞1，n∈N．（Ⅰ）证明：当x＞﹣1且x≠0时，（1+x）p＞1+px；（Ⅱ）数列{a n}满足a1＞，a n+1=a n+a n1﹣p．证明：a n＞a n+1＞．=a+a a，写成相加，上式左边当且仅当，即a a，即＞a a c成立，即从数列。
2014年高考——安徽卷(理科数学)试题及答案(WORD版)
2014年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数 学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第II 卷第3至第4页。
全卷满分150分，考试时间为120分钟。
参考公式：如果事件A 与B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+；如果事件A 与B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =第Ⅰ卷（选择题 共50分）一． 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数，若z =1+i ，则i z +i ·z = （A ）-2 （B ）-2i（C ）2 （D ）2i（2）“0<x ”是“0)1ln(<+x ”的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（3）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（A ）34 （B ）55（C ）78 （D ）89（4）以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位。
已知直线l 的参数方程是⎩⎨⎧-=+=3,1t y t x (t 为参数)，圆C 的极坐标方程是θρcos 4=,则直线l 被圆C 截得的弦长为（A ）14 （B ）214（C ）2 （D ）22（5）x , y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≤-+.022,022,02y x y x y x 若z=y-ax 取得最大值的最优解不唯一．．．，则实数a 的值为 （A ）21 或-1 （B ）2或21 （C ）2或1 （D ）2或-1（6）设函数f(x)（x ∈R ）满足f(x+π)=f(x)+sinx.当0≤x ＜π时，f(x)=0，则)623(πf = （A ）21 （B ）23 （C ）0 （D ）21- （7）一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（A ）321+ （B ）318+ （C ）21 （D ）18（8）从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有（A ）24对 （B ）30对 （C ）48对 （D ）60对（9）若函数f(x)=|x+1|+|2x+a|的最小值为3，则实数a 的值为（A ）5或8 （B ）-1或5（C ）-1或 -4 （D ）-4或8（10）在平面直角坐标系xOy 中，已知向量a, b, |a|=|b| = 1 , a ·b = 0,点Q 满足OQ =2(a+b).曲线C={P|OP=acos θ+bsin θ,0≤θ＜2π},区域Ω={P|0＜r ≤|PQ |≤R, r ＜R}．若C ∩Ω为两段分离的曲线，则（A ）1＜r ＜R ＜3 （B ）1＜r ＜3≤R（C ）r ≤1＜R ＜3 （D ）1＜r ＜3＜R第Ⅱ卷（非选择题 共100分）考生注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．．作答，在试题卷上答题无效．．．．．．．．．． 二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．（11）若将函数)42sin()(π+=x x f 的图像向右平移ϕ个单位，所得图像关于y 轴对称，则ϕ 的最小正值是 .（13）设a ≠0，ｎ是大于１的自然数，na x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+1的展开式为.2210n n x a x a x a a ++++ 若点),(i i a i A (i =0,1,2)的位置如图所示，则a= ． （14）若F 1，F 2分别是椭圆E ：1222=+b y x （0＜b ＜1）的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若B F AF 113=，x AF ⊥2轴，则椭圆E 的方程为 .（15）已知两个不相等的非零向量a ，b ，两组向量x 1，x 2，x 3，x 4，x 5和y 1，y 2，y 3，y 4，y 5均由2个a 和3个b 排列而成．记S=x 1`y 1+x 2`y 2+x 3`y 3+x 4`y 4+x 5`y 5，S min 表示S 所有可能取值中的最小值．则下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号）.①S 有5个不同的值②若a ⊥b ，则S min 与a 无关③若a ∥b ，则S min 与b 无关 ④若a b 4>，则S min ＞0 ⑤若a b 2=，S min =28a ，则a 与b 的夹角为4π 三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内．（16）（本小题满分12分）设△ABC 的内角A,B,C 所对边的长分别是a,b,c,且b=3,c=1,A=2B.(Ⅰ)求a 的值；(Ⅱ)求⎪⎭⎫ ⎝⎛+4sin πA 的值.（17）（本小题满分 12 分）甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完 5 局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛。
安徽省示范高中2014届高三上学期第一次联考数学(理)试卷(扫描版)
2014届安徽省示范高中高三第一次联考理科数学参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．C 【解析】(1)2f =，f (f (1))＝f (2)＝4＋2a,，由已知4a ＝4＋2a ，解得a ＝2．故选C ．2．B 【解析】由题意可知向量OB 的模是不变的，所以当OB 与OA 同向时OA OB +最大，结合图形可知，max 1OA OB OA +=+=13+=．故选B ．3. C 【解析】法一：从0开始逐一验证自然数可知{}1,2,3A =，{}0,1B =，要使,S A S B φ⊆≠，S 中必含有元素1，可以有元素2,3，所以S 只有{}{}{}{}1,1,2,1,3,1,2,3.法二：31A x N x ⎧⎫=∈≥=⎨⎬⎩⎭310x N x ⎧⎫∈-≤⎨⎬⎩⎭30x x N x ⎧-⎫=∈≤⎨⎬⎩⎭{|03}x N x =∈<… {}1,2,3=，()2{|log 11}B x N x =∈+≤{}|012x N x =∈<+…＝{|11}x N x ∈-<…{}0,1=，所以集合S 中必含元素1，可以是{}{}{}{}1,1,2,1,3,1,2,3，共4个．故选C ．4．B 【解析】通过画树形图可知由1、2、3、4四个数构成的没有重复数字的四位数共有24个，四位数为“锯齿数”的有：1324,1423,2143,2314,2413,3142,3241,3412,4132,4231共10个，所以四位数为“锯齿数”的概率为1052412=．故选B ． 5.C 【解析】函数4()log 1y f x x =+-与x 轴的交点个数，为方程4()log 10f x x +-=的解的个数，即方程4()log 1f x x =-+解的个数，也即函数4()log 1y f x y x ==-+，交点个数，作出两个函数图像可知，它们有3个交点．故选C ．6.B 【解析】sin()sin παα-==，又α∈3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴cos α＝＝23=-．由2cos 2cos 12αα=-，3,224αππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得cos2α===，所以sin cos222παα⎛⎫+==⎪⎝⎭．故选B．7.D【解析】法一：因为3324a S S=-=，所以234b a==，222log log42b==，验证可知A,B,C均不符合，故答案为D.法二：因为3324a S S=-=，所以234b a==，又2314n n nb b b+-=，即2214n nb b+=，∴22124nnbqb+==，2q=．所以数列{b n}的通项公式是222422n n nnb b q--==⨯=，所以22log log2nnb n==．故选D．8.A【解析】圆C的标准方程为()2214x y++=，圆心为（0,－1），半径为2；直线方程l 的斜率为1-，方程为10x y+-=．圆心到直线的距离d==．弦长AB===O到AB，所以△OAB的面积为112⨯=．故选A．9．B【解析】①由系统抽样的原理知抽样的间隔为52÷4＝13，故抽取的样本的编号分别为7,7＋13,7＋13×2,7＋13×3，即7号、20号、33号、46号，①是假命题；②数据1,2,3,3,4,5的平均数为1(123345)35+++++=，中位数为3，众数为3，都相同，②是真命题；③由题可知样本的平均值为1，所以01235a++++=，解得a＝－1，所以样本的方差为15[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2，，③是假命题；回归直线方程为2y a x=+过点(),x y，把（1,3）代入回归直线方程为2y a x=+可得1a=．④是真命题；⑤产品净重小于100克的频率为(0．050＋0．100)×2＝0．300，设样本容量为n，则36n＝0．300，所以n＝120，净重大于或等于98克并且小于104克的产品的频率为(0．100＋0．150＋0．125)×2＝0．75，所以样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是120×0．75＝90．⑤是真命题．10．C【解析】作出函数()f x的图像，然后作出2()log(0)f x x x=>关于直线y x=对称的图像，与函数2()32(0)f x x x x=++…的图像有2个不同交点，所以函数的“和谐点对”有2对．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上。
安徽省芜湖市2014届高三数学5月模拟考试试题_理
试题解析一、选择题1．[答案] C[命题立意]本题主要考查复数的概念与运算。
[解题思路] 由于z=i 215+=)21)(21()21(5i i i -+-=5)21(5i -=1－2i ，则|z|=22)2(1-+=5。
2．[答案] B[命题立意]本题主要考查函数的定义域，方程的根，集合的运算。
[解题思路] 由于M={x|y=ln （1－x ）}={x|1－x>0}={x|x<1}，N={x|x 2－x=0}={0，1}，则M ∩N={0}。
3．[答案] D[命题立意]本题主要考查空间线面的位置关系的性质与判定，复合命题及其应用判定。
[解题思路] 由面面平行的判定知命题p 是假命题，由线面垂直的性质知命题q 是真命题，那么“⌝p 且q ”是真命题。
4．[答案] B[命题立意]本题主要考查算法的程序框图及其应用。
[解题思路] 开始时a=1，i=0，则有i=0+1=1，a=1×1+1=2，此时不满足条件a>50；接下来有i=1+1=2，a=2×2+1=5，此时不满足条件a>50；接下来有i=2+1=3，a=3×5+1=16，此时不满足条件a>50；接下来有i=3+1=4，a=4×16+1=65，此时满足条件a>50；输出i=4。
5．[答案] C[命题立意]本题主要考查双曲线的几何性质。
[解题思路] 选项A 中的渐近线方程为y=±2x ，选项B 中的渐近线方程为y=±22x ，选项C 中的渐近线方程为y=±2x ，选项D 中的渐近线方程为y=±21x 。
6．[答案] A[命题立意]本题主要考查指数式与对数式及其大小比较。
[解题思路] 由于a=20.5=20>1，b=log 43∈（log 41，log 44）=（0，1），c=log 2（sin3π）=log 223<log 21=0，故a>b>c 。
2014安徽省省级示范高中名校高三五月联考数学(理科)参考答案
2014安徽省省级示范高中名校高三联考数学（理科）参考答案（1）D 解析：24(3i)(3i)223i,223i 3iz z -==-=-=++. （2）C 解析：[]0,1A =，()(),12,B =-∞-+∞，[]R 1,2B =-ð，故R ()A B ⊆ð.（3）B 解析：233log 2log ||,x a x a =⇒=故选B.（4）D 解析：由-⊥（）a b a 可得0,|| 2.m =∴=b （5）B 解析：由图中数据可得月用电量落在[)[)[)200,250250,300300,350，，内的用户数分别为36,24,12，故抽取的月用电量落在[)250,300内的用户数为1224=472⨯. （6）A 解析：由已知可得直线l ：4320x y --=，圆C ：222(2)2x y ++=，圆心到直线l 的距离为228224(3)--=+-，故直线l 与圆C 相切.（7）A 解析：先令 12x =-，可得2014120220140222a a a a =-+-+，再令0x =，可得01a =，∴201412220141222a a a -+-+=-. （8）B 解析：由图可知()f x '的周期为4π，∴12ω=，又2A ω=，∴4A =，故()4s i n ()2x f x ϕ=+，由导数零点可知1ππ222ϕ⨯+=，π4ϕ=，∴π()4sin 22xy f x =-=.（9）C 解析：约束条件表示的是以()()()1,1,3,2,2,4A B C 为顶点的三角形区域，设2,ym x=则当2y mx =过B 点时，m 取最小值2,9当2y mx =与AC 相切时，m 取最大值98.（10）C 解析：设22,2==BF t AF t ，有1122,2=-=-AF a t BF a t ， ∵()()211116222cos 9⋅=--∠=AF BF a t a t BF A a ，① 而()()()()222222111112229cos 22222-+--+-∠==⋅--a t a t tBF AF AB BF A BF AF a t a t , ②由①②可得13=t a 或103=-t a （舍去）,∴3AB t a ==，143=AF a ，153=BF a ，可知22211AB AF BF +=，得1∠=F AB π2.（11）159 解析：程序运行如下：2419100;29119100a a =⨯+=<=⨯+=<；219139100;2391791002791159100,159.a a a =⨯+=<=⨯+=<=⨯+=>；输出（12）12解析：由题意得011(0)201,(1)(1)212f b b f f -=-=⇒=∴=--=-+=.（13）92解析：画出图形可知面积为2219(2)d 2x x x -⎰+-=.（14）6041 解析：当n 是偶数时（即5,11,17n a =⋅⋅⋅），设2,n m =则()2561n m a a m ==+-6131m n =-=-，2014=6041.a ∴（15）①②④ 解析：由PB ⊥AE ，PD ⊥AG AB AD =，，可得PB ,,PD PE PG ==//,BD//EG BD ∴∴平面AEFG ,①正确；由已知可得BC ⊥平面PAB ，CD ⊥平面PAD ，,AE BC AG CD ∴⊥⊥,又PB ⊥AE ，PD ⊥AG ,,,AE PC AG PC ∴⊥⊥∴PC ⊥平面AEFG ,②正确；由②可知EF PC EF ⊥∴，与BC 必相交，假设//EF 平面PAD ，由//BC 平面PAD 可得平面PAD //平面PBC ，显然矛盾,③错误；由②可知1=2OA OB OC OD OE OF OG AC ======，∴点,,,,,,A B C D E F G 在同一球面上,④正确；连接AF ，取AF 的中点M ，连接OM ，则//,OM PC OM AEFG ∴⊥平面,由已知可得2663,2363AE AF EF OM ==∴==∴，，，四棱锥O AEFG -的体积1,318AE EF OM V ⋅⋅==⑤错误.（16）解析：（Ⅰ）3sin cos cos sin sin 5A B A B C -=333=sin()=sin cos cos sin ,555A B A B A B ++∴tan sin cos sin cos 4cos sin ,4tan cos sin A A B A B A B B A B=∴=⨯=.（6分） （Ⅱ）∵334πcos ,π,342C C =-∴<<5345sin ,tan ,343C C ==- ∴()()5tan π,tan 3A B A B -+=-+=⎡⎤⎣⎦tan tan 5,1tan tan 3A B A B +=-由（Ⅰ）可得25tan 514tan 3B B =-，解得tan 1B =-（舍去），1tan 4B =.（12分） （17）解析：记第i 名工人选择的项目属于基础设施类、民生类、产业建设类分别为事件i A 、i B 、i C ,1,2,3i =.由题意知1A 、2A 、3A ，1B 、2B 、3B ，1C 、2C 、3C 均相互独立.则()301602i P A ==，()201603i P B ==，()101606i P C ==,1,2,3i =.(3分)（Ⅰ）3人选择的项目所属类别互异的概率()331231111A 62366P P A B C ==⨯⨯⨯=.（6分） （Ⅱ）任意一名工人选择的项目属于基础设施类或产业建设类工程的概率30102,603P +== 由 23,3X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭ ，∴()3322133kkk P X k C -⎛⎫⎛⎫==- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()0,1,2,3k =,∴X 的分布列为X0 1 2 3 P127 29 49827其数学期望为2()323E X =⨯=.（12分）（18）解析：（Ⅰ)连接AC,BD 交于点O ，连接OF ，则OF 12PA ,又//,//,DE PA DE OF ∴////,EF ABCD ODEF ABCD OD EF OD ⋂=∴平面，平面平面，∴ODEF 为平行四边形，1,2DE PA ∴=又4,CD DE 3 1.PA CD DE +=+=∴=，（6分） （Ⅱ）延长,PE AD 交于点G ，连接CG ,∵2PA DE =，∴DG AD BC ==，∴CG ∥BD ， 又,,BD AC BD PA BD ⊥⊥∴⊥平面PAC ，∴CG ⊥平面PAC ，∴PCA ∠为二面角P CG A --的平面角, 在Rt △PAC 中，6cos 3AC PCA PC ∠==， ∴ 平面PCE 与平面ABCD 所成锐二面角的余弦值为63.（12分）(亦可建立空间直角坐标系解答) （19）解析：（Ⅰ)12323(1)2,nn a a a na n S n +++⋅⋅⋅+=-+①1231123(1)2(1),n n n a a a na n a nS n +++++⋅⋅⋅+++=++②②-①得111(1)(1)2()2n n n n n n n a nS n S n S S S ++++=--+=-++, 化简得12,n n a S +=+③ 当2n ≥时，12,n n a S -=+④ ③-④得12n n a a +=，由12224a a S +=+得24a =,又12a =，212a a ∴=,∴数列{}n a 是以12a =为首项，2为公比的等比数列,2nn a ∴=.（6分）（Ⅱ）∵p q r ,,成等差数列，∴2p r q +=，假设存在p q r ,,使得111p q r a a a ,,---成等比数列，则2111q p r a a a -=--()()()，即2212121q p r-=--()()()，化简得2222qp r ⨯=+，又p r ≠，∴2222222p r p r q +>⨯=⨯，这与2222qp r ⨯=+矛盾，故假设不成立，∴不存在p q r ,,使得111p q r a a a ,,---成等比数列.（13分）（20）解析：（Ⅰ）由题意得()()2e ,x f x x x a -'=-+-令()0f x '=得0x =或2,x a =-当2a =时，()2e 0,xf x x -'=-≤()f x 没有极值，∴ 2.a ≠①当2a >时，列表如下：x(),2a -∞-2a -()2,0a -()0,+∞()f x ' -+-()f x极小值极大值∴()f x 在2x a =-处取极小值，极小值为()()224e 0a f a a --=-=,∴4;a =②当2a <时，列表如下：x (),0-∞0 ()0,2a -2a -()2,a -+∞()f x ' -+-()f x极小值极大值∴()f x 在0x =处取极小值，极小值为()00f a ==.∴0a =或4a =.（6分） （Ⅱ）由（Ⅰ）可知：①当2a >时，()f x 在0x =处取极大值，极大值为()0,f a = ∴当3a =时，()f x 的极大值为3；②当2a <时，()f x 在2x a =-处取极大值，极大值为()()224e,a f a a --=-则()()2223e43e ,a a f a a ----=--令()()2243e ,13e ,a a g a a g a --'=--=-+ ∵2e1,a->∴()0,g a '>即()g a 是增函数，且()210,g =-<∴当2a <时，()23,f a -<∴当2a <时，()f x 的极大值不是3. 综上可知，当且仅当3a =时，()f x 的极大值是3.（13分）（21）解析：不妨设()0,0P x t t >（），()00,R x y ，则()0,0Q x ,2002y px =. （Ⅰ）∵,,P R Q 三点共线，∴令()0PQ RQ λλ=>，即0t y λ=，()00,P x y λ，∴直线OP 的方程为00y y x x λ=，由0022y y x x y pxλ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得002,x y S λλ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴直线RS 的方程为()000021111y y y x x x λλ⎛⎫- ⎪⎝⎭-=-⎛⎫- ⎪⎝⎭，令0y =，解得0x x λ=-，∴0,0x A λ⎛⎫-⎪⎝⎭， λλ1||||0021===x x OQ AO S S ,λλ1||||0043===y y PQ RQ S S ，∴3124S S S S =.（7分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得0,02x A ⎛⎫-⎪⎝⎭，00,42x y S ⎛⎫ ⎪⎝⎭,()00,2P x y ,又直线SQ 的方程为()00023y y x x x =--，令0x =，解得023y y =，∴020,3y B ⎛⎫⎪⎝⎭，由于003,22x PA y ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，0000432,,2332y x PB x y ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,∴23PB PA =，∴,,P B A 三点共线.(13分)。
2014年高考理科数学安徽卷(含答案解析)
数学试卷 第1页（共16页） 数学试卷 第2页（共16页）绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学(理科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷第1至第2页,第Ⅱ卷第3至第4页.全卷满分150分,考试时间120分钟. 考生注意事项：1.答题前,务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号,并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致.务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位.2.答第Ⅰ卷时,每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.3.答第Ⅱ卷时,必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．书写,要求字体工整、笔迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卡．．．规定的位置绘出,确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚.必须在题号所指示的答题区域作答,超出答题区域书写的答．．．．．．．．．．案无效．．．,在答题卷．．．．、草稿纸上．．．．答题无效. 4.考试结束,务必将试题卷和答题卡一并上交. 参考公式：如果事件A 与B 互斥,那么 ()()()P A B P A B +=+如果事件A 与B 相互独立,那么()()()P AB P A B =第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.设i 是虚数单位,z 表示复数z 的共轭复数.若1i z =+,则i =izz +( ) A .2- B .2i - C .2D .2i2.“0x ＜”是“ln(1)0x +＜”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件 3.如图所示,程序框图（算法流程图）的输出结果是 ( )A .34B .55C .78D .894.以平面直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线l 的参数方程是1,3x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）,圆C 的极坐标方程是4cos ρθ=,则直线l 被圆C 截得的弦长为( )AB. CD.5.x ,y 满足约束条件20220,220x y x y x y +-⎧⎪--⎨⎪-+⎩≤，≤≥.若z y ax =-取得最大值的最优解不唯一,则实数a的值为( )A .12或1- B .2或12C .2或1D .2或1-6.设函数()()f x x ∈R 满足(π)()sin f x f x x +=+.当0πx ≤＜时,()0f x =,则23π()6f = ( ) A .12 BC .0D .12- 7.一个多面体的三视图如图所示,则该多面体的表面 积为 ( ) A.21+B.18+ C .21 D .18 8.从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对,其中所成的角为60的共有 ( )A .24对B .30对C .48对D .60对9.若函数()|1||2|f x x x a =+++的最小值为3,则实数a 的值为( )A .5或8B .1-或5C .1-或4-D .4-或810.在平面直角坐标系xOy 中,已知向量a ,b ,||||1==a b ,0=a b ,点Q 满足2()OQ =+a b .曲线{|cos sin ,02π}C P OP θθθ==+a b ≤＜,区域{|0,}P r PQ R r R Ω=＜≤||≤＜,若C Ω为两段分离的曲线,则( )A .3r R 1＜＜＜B .3r R 1＜＜≤C .3r R ≤1＜＜D .3r R 1＜＜＜姓名________________ 准考证号_____________------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效---------------数学试卷 第3页（共16页） 数学试卷 第4页（共16页）2014年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学(理科)第Ⅱ卷（非选择题 共100分）考生注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在．答题卡上．．．．作答,在试．．题．卷上答题无效．．．．．．. 二、填空题：本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填写在答题卡的相应位置. 11.若将函数π()sin(2)4f x x =+的图象向右平移ϕ个单位,所得图象关于y 轴对称,则ϕ的最小正值是 .12.数列{}n a 是等差数列,若11a +,33a +,55a +构成公比为q 的等比数列,则q = .13.设0a ≠,n 是大于1的自然数,(1)n xa+的展开式为2012n n a a x a x a x ++++.若点(,)(0,1,2)i i A i a i =的位置如图所示,则a = .14.设1F ,2F 分别是椭圆E ：2221(01)y x b b+=＜＜的左、右焦点,过点1F 的直线交椭圆E 于A ,B 两点.若11||3||AF F B =,2AF x ⊥轴,则椭圆E 的方程为 .15.已知两个不相等的非零向量a ,b ,两组向量1x ,2x ,3x ,4x ,5x 和1y ,2y ,3y ,4y ,5y 均由2个a 和3个b 排列而成.记1122334455S =++++x y x y x y x y x y ,min S 表示S 所有可能取值中的最小值,则下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号）.①S 有5个不同的值；②若a b ⊥,则min S 与||a 无关； ③若a b ∥,则min S 与||b 无关； ④若||||b a ＞4,则min 0S ＞；⑤若||=2||b a ,2min =8||S a ,则a 与b 的夹角为π4.三、解答题：本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内. 16.（本小题满分12分）设ABC △的内角A ,B ,C 所对边的长分别是a ,b ,c ,且3b =,1c =,2A B =. （Ⅰ）求a 的值； （Ⅱ）求πsin()4A +的值.17.（本小题满分12分）甲、乙两人进行围棋比赛,约定先连胜两局者直接赢得比赛,若赛完5局仍未出现连胜,则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为23,乙获胜的概率为13,各局比赛结果相互独立.（Ⅰ）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；（Ⅱ）记X 为比赛决出胜负时的总局数,求X 的分布列和均值（数学期望）. 18.（本小题满分12分）设函数23()1(1)f x a x x x =++--,其中0a ＞.（Ⅰ）讨论()f x 在其定义域上的单调性；（Ⅱ）当[0,1]x ∈时,求()f x 取得最大值和最小值时的x 的值. 19.（本小题满分13分）如图,已知两条抛物线1E ：2112(0)y p x p =＞和2E ：2222(0)y p x p =＞,过原点O 的两条直线1l 和2l ,1l 与1E ,2E 分别交于1A ,2A 两点,2l 与1E ,2E 分别交于1B ,2B 两点.（Ⅰ）证明：1122A B A B ∥；（Ⅱ）过O 作直线l （异于1l ,2l ）与1E ,2E 分别交于1C ,2C 两点.记111A B C △与222A B C △的面积分别为1S 与2S ,求12S S 的值. 20.（本小题满分13分）如图,四棱柱1111ABCD A B C D -中,1AA ⊥底面ABCD .四边形ABCD 为梯形,AD BC ∥,且2AD BC =.过1A ,C ,D 三点的平面记为α,1BB 与α的交点为Q . （Ⅰ）证明：Q 为1BB 的中点；（Ⅱ）求此四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积之比； （Ⅲ）若14AA =,2CD =,梯形ABCD 的面积为6,求平面α与底面ABCD 所成二面角大小.21.（本小题满分13分）设实数0c ＞,整数p ＞1,*n ∈N .（Ⅰ）证明：当1x -＞且0x ≠时,(1+)+px px ＞1；（Ⅱ）数列{}n a 满足11pa c ＞,111p n n n p ca a a p p-+-=+.证明：11p n n a a c +＞＞.数学试卷 第5页（共16页） 数学试卷 第6页（共16页）1i i i (1i)(i 1)iz +=+-=--及z 代入i izz +，然后直接利用复数代数形式的乘除运算化简求值【解析】画出约束条件表示的平面区域如图，17πsin 6数学试卷 第7页（共16页） 数学试卷 第8页（共16页）222所以共有3618⨯=对不满足题意，故满足题意的共有66-18=48对.故选：C.【答案】A【解析】设(1,0)a =，(0,1)b =.则(cos ,sin OP θθ=，(2,OQ =Ω为圆环（如图）.||2OQ =，13r R ∴<<<令(1,0)a =，(0,1)b =，则||,PQ R r ≤CΩ为两段分离的曲线，则单位圆与圆环的内外圆均相交，进而根据圆圆相交的充要条件得到答【解析】{113n a =，214nCa⎛⎫=⎪⎝⎭，【提示】求出1n x⎛⎫+的展开式的通项为3⎪⎩51c⎛⎫【解析】S有下列三种情况：22222a ab b b=++++，222S a a b a b b b=++++，2S a b a b a b a b b=++++，222212232()||0S S S S a b a b a b a b-=-=+-=-=-≥，∴若a b⊥，则2min3S S b==，与||a无关，②正确；若a b∥，则2min34S S a b b==+，与||b有关，③错误；||4||b a>，则222234||||cos||4||||||||||0 S S a b b a b b b bθ=+≥-+>-+=，④正确；||2||b a=，2||S a=，则222248||cos4||8||S S a b b a a aθ==+=+=，cos2θ=，3θ∴=，⑤错误.】依题意，可求得S种结果22222a ab b b=++++，2222S a a b a b b b=++++，2a b a b a b a b b=++++可判断①错误.进一步分析有222212232()||0S S S S a b a b a b a b-=-=+-=-=-≥，即再对②③④⑤逐一分析即可得答案【考点】向量的基本运算，向量的新定义数学试卷第9页（共16页）数学试卷第10页（共16页）数学试卷 第12页（共16页）2A B =222a c b bac +-3b =，1c =，∴（Ⅱ）222a c b b ac+-π⎫10)81=（Ⅱ）0a >，∴（ⅰ）当4a ≥时，在0x =和3 2数学试卷 第13页（共16页） 数学试卷 第14页（共16页）⎝所以2p A B ⎛= 22p A B ⎛=- 1p A B A B =，所11A B ∥，同理可得112B C B C ∥211||||A B A B ⎫⎪⎪⎭.又1p A B A B =知111||||A B p p A B =【提示】（Ⅰ）由题意设出直线得到A B ，A B 的坐标，然后由向量共线得答（Ⅰ）证明：1 //BQ AA =BC BQ B ，1AD AA A =.AD ，从而平面与这两个平面的交线相互平行，即QC 的对应边相互平行，于是1A AD ∽△1112323a h d ahd =12113224a a d h +⎛⎫= ⎪⎝⎭1712A AD Q ABCD V -+=221212下1AEAA A =.平面1AEA 1为平面α BC AD ∥又梯形于是tan ∠数学试卷 第15页（共16页） 数学试卷 第16页（共16页）1112323a h d ahd =12113224a a d h +⎛⎫= ⎪⎝⎭32ahd =棱柱，即可求出此四棱柱被平面分成上、下两部分的体积之比11p k cp p a ⎛⎫- ⎪⎝⎭时，不等式1p n a c >也成立。
安徽省芜湖市高考数学模拟试卷(理科)(5月份)解析版
高考数学模拟试卷（理科）（5月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A＝{x|x＜1}，B＝{x|2x＞1}，则( )A. A∪B＝{x|x＜1}B. A∪B＝{x|x＞0)C. A∩B＝{x|0＜x＜1)D. A∩B＝{x|x＜0)2.设复数z满足，则下列说法正确的是（）A. z为纯虚数B. z的虚部为C. 在复平面内，z对应的点位于第二象限D. |z|=3.已知向量=（1，-1），=（-2，3），且⊥（+m），则m=（）A. B. - C. 0 D.4.设{a n}是等差数列，下列结论中正确的是（）A. 若a1+a2＞0，则a2+a3＞0B. 若a1+a2＜0，则a2+a3＜0C. 若0＜a1＜a2，则a2＞D. 若a1＜0，则（a2-a1）（a2-a3）＜05.直线l过抛物线C：x2=4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于（）A. B. 2 C. D.6.若函数f（x）=的最小值为f（2），则实数a的取值范围为（）A. a＜0B. a＞0C. a≤0D. a≥07.已知a＞b＞0，且a+b=1，x=（）b，y=log ab（），z=log b，则x，y，z的大小关系是（）A. z＞x＞yB. x＞y＞zC. z＞y＞xD. x＞z＞y8.如图，网格纸上小正方形的为长为1，粗实线面出的是某几何体的三视图，该几何体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（）A. 6B. 9C.D. 69.中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术，蕴涵了极致的数学美和丰富的传统文化信息．现有一幅剪纸的设计图，其中的4个小圆均过正方形的中心，且内切于正方形的两邻边．若在正方形内随机取一点，则该点取自黑色部分的概率为（）A. B. C. D.10.已知函数f（x）=sin（ωx+φ），其中ω＞0，|φ|≤，为f（x）的零点：且f（x）≤|f（）|恒成立，f（x）在区间（-）上有最小值无最大值，则ω的最大值是（）A. 11B. 13C. 15D. 1711.在直角坐标平面内, 已知,以及动点是的三个顶点, 且, 则动点的轨迹曲线的离心率是（）A. B. C. D.12.已知函数f（x）=，g（x）=f（x）-ax，若g（x）有4个零点，则a的取值范围为（）A. （0，）B. （0，）C. （）D. （）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.在二项式（）6的展开式中，常数项的数值为______．14.若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为______．15.已知数列{a n}的各项均为正数，记S n为{a n}的前n项和，若a n+1=（n∈N*），a1=1，则使不等式S n＞2019成立的n的最小值是______．16.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2，D为BB1的中点，平面ADC1与平面ABC所成的锐二面角的正切值是，则四棱锥A-BCC1B1外接球的表面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.已知△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin（A+C）=4sin2．（1）求cos B；（2）若b=2，△ABC面积为2，求a+c的值．18.为建立健全国家学生体质健康监测评价机制，激励学生积极参加身体锻炼，教育部印发《国家学生体质健康标准（2014年修订）》，要求各学校每学年开展覆盖本校各年级学生的《标准》测试工作．为做好全省的迎检工作，某市在高三年级开展了一次体质健康模拟测试，并从中随机抽取了200名学生的数据，根据他们的健康指数绘制了如图所示的频率分布直方图．（1）估计这200名学生健康指数的平均数和样本方差s2（同一组数据用该组区间的中点值作代表）；（2）由频率分布直方图知，该市学生的健康指数X近似服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均，σ2近似为样本方差s2．①求P（63.4＜X＜98.2）；②已知该市高三学生约有10000名，记体质健康指数在区间（63.4，98.2）的人数为ξ，试求Eξ．附：参考数≈1.16，若随机变量X服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ-σ＜X＜μ+σ）≈0.683，P（μ-2σ＜X＜μ+2σ）≈0.955，P（μ-2σ＜X＜μ+3σ）≈0.997．19.如图，已知圆柱OO1，底面半径为1，高为2，ABCD是圆柱的一个轴截面，动点M从点B出发沿着圆柱的侧面到达点D，其路径最短时在侧面留下的曲线记为Γ：将轴截面ABCD绕着轴OO1，逆时针旋转θ（0＜θ＜π）角到A1B1C1D1位置，边B1C1与曲线Γ相交于点P．（1）当时，求证：直线D1B1⊥平面APB；（2）当时，求二面D-AB-P的余弦值．20.如图，已知椭圆P：=1（a＞b＞0）的长轴A1A2，长为4，过椭圆的右焦点F作斜率为k（k≠0）的直线交椭圆于B、C两点，直线BA1，BA2的斜率之积为．（1）求椭圆P的方程；（2）已知直线l：x=4，直线A1B，A1C分别与l相交于M、N两点，设E为线段MN的中点，求证：BC⊥EF．21.已知函数f（x）=（1-x）e kx-x-1（k＞0）．（1）若f（x）在R上单调递减，求k的取值范围；（2）若x＞0，求证：（2-x）e x-（2+x）e-x＜2x．22.以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立的极坐标系中，直线C1：ρsin（θ）=；在平面直角坐标系xOy中，曲线C2：（φ为参数，a＞0）．（1）求直线C1的直角坐标方程和曲线C2的极坐标方程；（2）曲线C3的极坐标方程为（ρ＞0），且曲线C3分别交C1，C2于A，B两点，若|OB|=4|OA|，求a的值．23.已知函数f（x）=|ax+1|-|x-2|．（1）若a=2，求不等式f（x）≤2的解集；（2）若关于x的不等式f（x）≤|x-1|在[1，2]上恒成立，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查交集、并集的求法及应用，涉及指数函数单调性的应用，是基础题．先求出集合B，再利用交集定义和并集定义能求出结果．【解答】解：由2x＞1得x＞0，所以B={x|x＞0}．又集合A＝{x|x＜1}，所以A∩B={x|0＜x＜1}．A∪B=R，故选C．2.【答案】D【解析】【分析】本题考查复数代数形式的乘法运算及复数相等的概念，考查复数的基本概念，是基础题．设z=a+bi，利用复数的运算及复数相等的概念建立方程，解得z，然后逐一核对四个选项得答案．【解答】解：∵z+1=zi，设z=a+bi，则（a+1）+bi=-b+ai，∴，解得．∴z=．∴|z|=，复数z的虚部为，复数z在复平面内所对应的点的坐标为（，-），在第三象限．∴正确的是D．故选D．3.【答案】A【解析】【分析】考查向量垂直的充要条件，向量坐标的加法、数乘和数量积的运算．可求出，根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出m．【解答】解：；∵；∴；解得．故选A．4.【答案】C【解析】【分析】根据{a n}是等差数列，结合等差数列的定义及基本不等式等，逐一分析四个答案的正误，可得答案．本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了等差数列，基本不等式，难度中档．【解答】解：若a1+a2＞0，d＜0，则a2+a3＞0不一定成立，故A错误；若a1+a2＜0，d＞0，则a2+a3＜0不一定成立，故B错误；若0＜a1＜a2，则a2=＞，故C正确；若a1＜0，则（a2-a1）（a2-a3）=-d2≤0，故D错误；故选C.5.【答案】C【解析】【分析】本题考查封闭图形的面积，考查直线方程，解题的关键是确定直线的方程，求出积分区间，确定被积函数．先确定直线的方程，再求出积分区间，确定被积函数，由此利用定积分可求直线l与抛物线围成的封闭图形面积．【解答】解：抛物线x2=4y的焦点坐标为（0，1），∵直线l过抛物线C：x2=4y的焦点且与y轴垂直，∴直线l的方程为y=1，由，可得交点的横坐标分别为-2，2．∴直线l与抛物线围成的封闭图形面积为=（x-）=．故选C．6.【答案】D【解析】【分析】本题考查了分段函数的应用及分段函数的最值的求法，考查了指对函数的单调性，属于中档题．由分段函数分别讨论函数在不同区间上的最值，从而可得log2（x+a）≥1恒成立，可解得a的范围．【解答】解：当x≤2时，f（x）=2|x-2|=22-x，单调递减，∴f（x）的最小值为f（2）=1，当x＞2时，f（x）=log2（x+a）单调递增，若满足题意，只需log2（x+a）≥1恒成立，即x+a≥2恒成立，∴a≥（2-x）max，∴a≥0，故选D．7.【答案】D【解析】【分析】本题为比较大小的题目，考查了对数函数的单调性的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．由题意a＞b＞0，a+b=1，可得1＞a b＞0，利用指数函数和对数函数的单调性即可比较大小．【解答】解：∵a＞b＞0，a+b=1，∴1＞a b＞0，∴1，∴x=（）b＞（）0=1，y=log（ab）（）=log（ab）=-1，z=log b=-log b a＞-1．∴x＞z＞y．故选D．8.【答案】A【解析】【分析】本题考查三视图与直观图的关系，解题的关键是几何体的直观图的形状，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题．画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解即可．【解答】解：由三视图还原原几何体，可知该几何体的各个面分别为，两个梯形PQCD和PQBA，一个矩形ABCD，两个三角形PDA和三角形QCB，∴两个梯形的面积相等，和为S=．故选A．9.【答案】A【解析】【分析】本题考查了几何概型的概率计算问题，确定面积是关键．如图所示，设正方形的边长为1，其中的4个圆过正方形的中心，且内切正方形的两邻边的小圆的半径为r，求出圆的面积，根据概率公式计算即可.【解答】解：如图所示，设正方形的边长为1，其中的4个圆过正方形的中心，且内切正方形的两邻边的小圆的半径为r，故BE=O2E=O2O=r，∴BO2=r，∵BO2+O2O=BO=BD=，∴r+r=，∴r=，∴黑色部分面积S=π（）2=π，正方形的面积为1，∴在正方形内随机取一点，则该点取自黑色部分的概率为π，故选A．10.【答案】C【解析】【分析】本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质，考查了分析转化的能力，难度较大．属难题．先根据x=为y=f（x）图象的对称轴，x=-为f（x）的零点，判断ω为正奇数，再结合f（x）在区间（-，）上单调，求得ω的范围，对选项检验即可．【解答】解：由题意知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=为y=f（x）图象的对称轴，x=-为f（x）的零点，∴•=，n∈Z，∴ω=2n+1．f（x）在区间（-，）上有最小值无最大值，∴周期T≥（+）=，即≥，∴ω≤16．∴要求ω的最大值，结合选项，先检验ω=15，当ω=15时，由题意可得-×15+φ=kπ，φ=-，函数为y=f（x）=sin（15x-），在区间（-，）上，15x-∈（-，，），此时f（x）在x=-时取得最小值，∴ω=15满足题意．则ω的最大值为15，故选：C．11.【答案】A【解析】【分析】本题考查了三角函数的化简，考查了点的轨迹方程的求法及椭圆的离心率，属于中档题．将sin A sin B-2cos C=0，化简得tan A tan B=2，即k AC•k BC=-2，设C（x，y），依题意得k AC•k BC=-2，由A（-2，0），B（2，0），得（y≠0），由此能求出动点C的轨迹方程，进而求得离心率．【解答】解：∵sin A sin B-2cos C=0，∴sin A sin B=2cos C=-2cos（A+B）=-2（cos A cos B-sin A sin B），∴sin A sin B=2cos A cos B，即tan A tan B=2，∴k AC•k BC=-2，设C（x，y），又A（-2，0），B（2，0），所以有（y≠0），整理得，∴a=，c=2，离心率为：,故选：A．12.【答案】B【解析】【分析】本题考查分段函数的零点，考查了利用导数解决函数零点的问题，考查了分析转化问题的能力，属于较难题．由题意可得x=0为1个零点，只需要x≠0时，a=，即y=a与y=有3个交点，作出y=的图象，即可得出结论．【解答】解：由题意，可知：①当x=0时，g（0）=f（0）-0=0，∴x=0为g（x）的1个零点．②当x≠0时，由题意，可得a=，即y=a与y=有3个交点．可设h（x）=，x＞0，则h′（x）=，令h′（x）==0，解得x=，则函数h（x）在（0，）单调递增，在（，+∞）上单调递减．∴y=的大致图象如下：又∵h（）=，若y=a与y=有3个交点，则必有0＜a＜．故选B．13.【答案】60【解析】【分析】通过二项式展开式的通项，令x的指数等于零，求得r的值，从而求得常数项．本小题主要考查二项式展开式的通项公式．需要将二项展开式公式化简后，再来求指定项的值，属于基础题．【解答】解：在二项式（）6的展开式中，通项公式为T r+1=·2r·，令3-=0，求得r=2，可得常数项的数值为·22=60，故答案为60．14.【答案】5【解析】【分析】本题考查了简单线性规划问题，正确画出平面区域及利用目标函数的几何意义求最值是关键．首先画出平面区域，利用z的几何意义求最大值．【解答】解：x，y满足平面区域如图：z=x+y代表直线y=-x+z，其中z为直线的截距，当直线y=-x+z经过A（3，2）时，z最大，所以z的最大值为5；故答案为：5．15.【答案】11【解析】【分析】本题考查了数列递推关系的应用，考查了等比数列的判断及求和公式，考查了指数不等式的解法，属于中档题．由a n+1=，可得数列{a n}是等比数列，利用等比数列求和公式计算S n，解不等式即可．【解答】解：由a n+1=，可得，则（a n+1-2a n）（a n+1+a n）=0，又数列{a n}的各项均为正数，∴a n+1-2a n=0，即a n+1=2a n，可得数列{a n}是首项为a1=1，公比为q=2的等比数列，∴，由2n-1＞2019，因为210=1024，211=2048，又n∈N*，∴n的最小值是11，故答案为11．16.【答案】19π【解析】解：如图，延长C1D与CB的延长线交于点M，连接AM．∵B1C1∥BC，D为BB1的中点，∴D也是C1M的中点，又取E是AC1的中点，∴AM∥DE．∵DE⊥平面ABB1A1，∴AM⊥平面ACC1A1．∴∠C1AC为平面AC1D与平面ABC所成二面角的平面角．∴tan∠C1AC=，∴，又AC=，则，又四棱锥A-BCC1B1外接球即为正三棱柱ABC-A1B1C1的外接球，其球心在底面ABC中心正上方的处，又底面外接圆的半径为2r=，∴，∴四棱锥A-BCC1B1外接球的表面积4πR2=19π，故答案为：19π．延长C1D与CB的延长线交于点M，连接AM．推导出D也是C1M的中点，AM∥DE，AM⊥平面ACC1A1，可得；再根据四棱锥A-BCC1B1外接球即为正三棱柱ABC-A1B1C1的外接球，找到球心位置，根据勾股数求得半径，即可得到表面积．本题考查球的组合体问题，考查了线面垂直的证明，考查四棱锥外接球半径的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题．17.【答案】解：（1）由题设及A+B+C=π，得：sin B=4sin2，故sin B=2（1-cos B）．上式两边平方，整理得：5cos2B-8cos B+3=0，解得：cos B=1（含去），cos B=．（2）由cos B=，得sin B=，又S△ABC=ac sin B=2，则ac=5．由余弦定理，b2=a2+c2-2ac cos B=（a+c）2-2ac（1+cos B）=（a+c）2-16=4．所以a+c=2．【解析】本题考查了三角形面积公式及余弦定理的运用，考查了二倍角公式的应用，属于基础题．（1）化简已知sin（A+C）=4sin2，平方得到关于cos B的方程，解之即可．（2）由三角形面积公式可得ac，再由余弦定理解得a+c．∴=（45×5+55×15+65×40+75×75+85×45+95×20）×=75，s2=（45-75）2×+（55-75）2×+（65-75）2×+（85-75）2×+（95-75）2×=135．（2）①由（1）知X服从正态分布N（75，135），且≈11.6，∴P（63.4＜X＜98.2）=P（μ-σ＜X＜μ+2σ）==0.819．②依题意，ξ服从二项分布，即ξ～B（104，0.819），则Eξ=np=8190．【解析】本题考查了正态分布的性质与应用，考查了二项分布的期望公式，考查了频率平均数与方差的运算，属于中档题．（1）以组中值代替小组平均值，根据加权平均数公式计算平均数，根据方差公式计算S2；（2）①利用正态分布的性质求得P（63.4＜X＜98.2）；②根据二项分布的期望公式得出Eξ．19.【答案】证明：（1）方法一：当时，建立如图所示的空间直角坐标系，则有A（0，-1，0），B（0，1，0），P（-1，0，1），C1（-1，0，2），B1（-1，0，0），D1（1，0，2），=（0，2，0），=（-1，1，1）．设平面ABP的法向量为=（x，y，z），则，可取x=1，得=（1，0，1），∵=（-2，0，-2），∴∥．∴直线D1B1⊥平面APB．方法二：在正方形A1B1C1D1中，OP∥A1C1，D1B1⊥A1C1，∴OP⊥B1D1，AB⊥OO1，AB⊥A1B1，OO1∩A1B1=O，∴AB⊥平面A1B1C1D1，又B1D1⊂平面A1B1C1D1，∴AB⊥BD，又OP⊥B1D1，AB∩OP=O，AB，OP⊂平面APB，∴直线D1B1⊥平面APB．解：（2）当时，以AB所在直线为y轴，过点O与AB垂直的直线为x轴，OO1所在的直线为z轴，建立如图空间直角坐标系，A（0，-1，0），P（-），B（0，1，0），=（-），=（0，2，0），设平面ABP的法向量为=（x，y，z），则，取x=2，得=（2，0，3），又平面ABD的一个法向量为=（1，0，0），则|cos＜＞|==，所以二面角D-AB-P的余弦值为．【解析】（1）法一：建立如图所示的空间直角坐标系，写出各点坐标，求得平面ABP 的法向量，可得结论；法二：由已知条件推导出AB⊥A1B1，AB⊥OO1，得到AB⊥平面A1B1C1D1，可得AB⊥B1D1，结合OP⊥B1D1由此能证明直线B1D1⊥平面PAB．（2）以AB所在直线为y轴，过点O与AB垂直的直线为x轴，OO1所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系，分别求得两个面的法向量，利用向量法能求出二面角D-AB-P的余弦值．本题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的大小等基础知识，考查了利用空间向量解决线面关系及空间角度问题，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，属于中档题．20.【答案】解：（1）设B（x1，y1），C（x2，y2），因点B在椭圆上，所以，故．又A1（-a，0），A2（a，0），所以，即，又a=2，所以b=故椭圆P的方程为．（2）设直线BC的方程为：y=k（x-1），B（x1，y1），C（x2，y2），联立方程组，消去y并整理得，（4k2+3）x2-8k2x+4k2-12=0，则．直线A1B的方程为：（x+2），令x=4得，同理，；所以=，代入化简得，即点E（），又F（1，0），所以，所以BC⊥EF．（1）由长轴长为4可得a，设出点B，C的坐标，利用斜率之积为，可得，【解析】即可得到b2，可得椭圆方程；（2）设直线BC的方程为：y=k（x-1）与椭圆方程联立，得到根与系数的关系，直线A1B的方程为：（x+2）与x=4联立，可得点M，N的坐标，可得线段MN的中点E．利用根与系数的关系及其斜率计算公式可得k EF，只要证明k•k EF=-1即可．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、斜率计算公式、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于较难题．21.【答案】解：（1）因f（x）在R上单调递减，所以f′（x）=e kx（k-kx-1）-1≤0恒成立．令g（x）=f′（x）=e kx（k-kx-1）-1，则g′（x）=ke kx（k-kx-2）．因k＞0，当x时，g′（x）＜0；当x时，g′（x）＞0，所以g（x）（-∞，）在上单调递增，在（，+∞）上单调递减，所以g（x）max=g（）=e k-2-1＜0，即0＜k≤2．（2）由（1）知当k=2时，f（x）在R上单调递减，当x＞0时，则f（x）＜f（0）=0，即（1-x）e2x-x-1＜0，又x＞0时，-x＜0，则f（-x）＞f（0）=0，即（1+x）e-2x+x-1＞0，从而（1+x）e-2x+x-1＞（1-x）e2x-x-1．，即，（2+2x）e-2x+（2x-2）e2x+4x＞0．令t=2x，则：（2+t）e-t+（t-2）e t+2t＞0，即x＞0时，：（2-x）e x-（2+x）e-x＜2x．【解析】（1）令f′（x）≤0在R上恒成立，令g（x）=f′（x），研究单调性求得g （x）的最小值，令其小于等于0，即可得出k的范围；（2）由（1）知当k=2时，f（x）在R上单调递减，可得x＞0时，则f（x）＜f（0）=0，f（-x）＞f（0）=0，从而（1+x）e-2x+x-1＞（1-x）e2x-x-1．，化简后令t=2x，构造新函数可证得结论．本题考查了导数与函数单调性的关系，考查了利用函数单调性解决不等式的证明问题，运用了构造函数的技巧，属于较难题．22.【答案】解：（1）由ρsin（θ）=，得，即x+y=1．由，消去参数φ得C2的普通方程：x2+（y-1）2=a2．又x=ρcosθ，y=ρsinθ，得C2的极坐标方程为：（ρcosθ）2+（ρsinθ-1）2=a2．即C2的极坐标方程为ρ2-2ρsinθ+1-a2=0；（2）曲线C3的直角坐标方程为y=x（x＞0），由，得A（，）．|OA|=，|OB|=．即点B的极坐标为（，），代入ρ2-2ρsinθ+1-a2=0，得a=．【解析】（1）利用极坐标方程、参数方程与普通方程的互化公式直接转化即可；（2）在直角坐标系下求得A点的坐标，可得OB长，即得B的极坐标，代入C2的极坐标方程即可．本题考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查曲线的极坐标的应用，是中档题．23.【答案】解：（1）当a=2时，f（x）=|2x+1|-|x-2|，∴f（x）≤2等价于或或，解得-5≤x≤1，所以不等式f（x）≤2的解集是[-5，1]．（2）当x∈[1，2]时，f（x）≤|x-1|等价于|ax+1|-|x-2|≤|x-1|，即|ax+1|≤|x-1|+|x-2|．又x∈[1，2]时，|x-1|+|x-2|=1，所以|ax+1|≤1在x∈[1，2]上恒成立，只需，解得-1≤a≤0．所以a的取值范围是[-1，0]．【解析】本题主要考查绝对值不等式的解法，考查不等式恒成立问题，运用分类讨论的思想方法和绝对值不等式的性质是解题的关键，考查运算能力，属于基础题．（1）分类讨论去绝对值符号，即可求出不等式的解集；（2）由绝对值不等式的性质，不等式可化为|ax+1|≤1恒成立，只需，解得a的范围．。
2014年 安徽省 高考数学 试卷及解析(理科)
2014年安徽省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）设i 是虚数单位，表示复数z的共轭复数．若z=1+i，则+i•=（）A．﹣2 B．﹣2i C．2 D．2i2．（5分）“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（）A．34 B．55 C．78 D．894．（5分）以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l 的参数方程是（t为参数），圆C的极坐标方程是ρ=4cosθ，则直线l被圆C截得的弦长为（）1A ． B．2C ．D．25．（5分）x，y 满足约束条件，若z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（）A ．或﹣1 B．2或C．2或﹣1 D．2或16．（5分）设函数f（x）（x∈R）满足f（x+π）=f（x）+sinx．当0≤x＜π时，f （x）=0，则f （）=（）A ．B ．C．0 D ．﹣7．（5分）一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（）A．21+B．18+C．21 D．188．（5分）从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对．其中所成的角为60°的共有（）2A．24对B．30对C．48对D．60对9．（5分）若函数f（x）=|x+1|+|2x+a|的最小值为3，则实数a的值为（）A．5或8 B．﹣1或5 C．﹣1或﹣4 D．﹣4或810．（5分）在平面直角坐标系xOy 中．已知向量、，||=||=1，•=0，点Q 满足=（+），曲线C={P |=cosθ+sinθ，0≤θ≤2π}，区域Ω={P|0＜r≤||≤R，r＜R}．若C∩Ω为两段分离的曲线，则（）A．1＜r＜R＜3 B．1＜r＜3≤R C．r≤1＜R＜3 D．1＜r＜3＜R二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡相应位置．11．（5分）若将函数f（x）=sin（2x +）的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是．12．（5分）数列{a n}是等差数列，若a1+1，a3+3，a5+5构成公比为q的等比数列，则q=．13．（5分）设a≠0，n是大于1的自然数，（1+）n的展开式为a0+a1x+a2x2+…+a n x n．若点A i（i，a i）（i=0，1，2）的位置如图所示，则a=．314．（5分）设F1，F2分别是椭圆E：x2+=1（0＜b＜1）的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A、B两点，若|AF1|=3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为．15．（5分）已知两个不相等的非零向量，，两组向量，，，，和，，，，均由2个和3个排列而成，记S=•+•+•+•+•，S min表示S所有可能取值中的最小值．则下列命题正确的是（写出所有正确命题的编号）．①S有5个不同的值；②若⊥，则S min与||无关；③若∥，则S min与||无关；④若||＞4||，则S min＞0；⑤若||=2||，S min=8||2，则与的夹角为．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答早答题卡上的指定区域．16．（12分）设△ABC的内角为A、B、C所对边的长分别是a、b、c，且b=3，c=1，A=2B．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求sin（A+）的值．417．（12分）甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立．（Ⅰ）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；（Ⅱ）记X为比赛决胜出胜负时的总局数，求X的分布列和均值（数学期望）．18．（12分）设函数f（x）=1+（1+a）x﹣x2﹣x3，其中a＞0．（Ⅰ）讨论f（x）在其定义域上的单调性；（Ⅱ）当x∈[0，1]时，求f（x）取得最大值和最小值时的x的值．19．（13分）如图，已知两条抛物线E1：y2=2p1x（p1＞0）和E2：y2=2p2x（p2＞0），过原点O的两条直线l1和l2，l1与E1，E2分别交于A1、A2两点，l2与E1、E2分别交于B1、B2两点．（Ⅰ）证明：A1B1∥A2B2；（Ⅱ）过O作直线l（异于l1，l2）与E1、E2分别交于C1、C2两点．记△A1B1C1与△A2B2C2的面积分别为S1与S2，求的值．520．（13分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，A1A⊥底面ABCD，四边形ABCD 为梯形，AD∥BC，且AD=2BC，过A1、C、D三点的平面记为α，BB1与α的交点为Q．（Ⅰ）证明：Q为BB1的中点；（Ⅱ）求此四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积之比；（Ⅲ）若AA1=4，CD=2，梯形ABCD的面积为6，求平面α与底面ABCD所成二面角的大小．21．（13分）设实数c＞0，整数p＞1，n∈N*．（Ⅰ）证明：当x＞﹣1且x≠0时，（1+x）p＞1+px；6（Ⅱ）数列{a n}满足a1＞，a n+1=a n +a n1﹣p．证明：a n＞a n+1＞．72014年安徽省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）设i 是虚数单位，表示复数z的共轭复数．若z=1+i，则+i•=（）A．﹣2 B．﹣2i C．2 D．2i【分析】把z 及代入+i•，然后直接利用复数代数形式的乘除运算化简求值．【解答】解：∵z=1+i，∴，∴+i•==．故选：C．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．2．（5分）“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的（）8A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．【解答】解：∵x＜0，∴x+1＜1，当x+1＞0时，ln（x+1）＜0；∵ln（x+1）＜0，∴0＜x+1＜1，∴﹣1＜x＜0，∴x＜0，∴“x＜0”是ln（x+1）＜0的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键，比较基础．3．（5分）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（）A．34 B．55 C．78 D．89【分析】写出前几次循环的结果，不满足判断框中的条件，退出循环，输出z的9值．【解答】解：第一次循环得z=2，x=1，y=2；第二次循环得z=3，x=2，y=3；第三次循环得z=5，x=3，y=5；第四次循环得z=8，x=5，y=8；第五次循环得z=13，x=8，y=13；第六次循环得z=21，x=13，y=21；第七次循环得z=34，x=21，y=34；第八次循环得z=55，x=34，y=55；退出循环，输出55，故选：B．【点评】本题考查程序框图中的循环结构，常用的方法是写出前几次循环的结果找规律，属于一道基础题．4．（5分）以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l 的参数方程是（t为参数），圆C的极坐标方程是ρ=4cosθ，则直线l被圆C截得的弦长为（）A ． B．2C ．D．2【分析】先求出直线和圆的直角坐标方程，求出半径和弦心距，再利用弦长公式求得弦长．10【解答】解：直线l 的参数方程是（t为参数），化为普通方程为x﹣y﹣4=0；圆C的极坐标方程是ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ，化为直角坐标方程为x2+y2=4x，即（x﹣2）2+y2=4，表示以（2，0）为圆心、半径r等于2的圆．弦心距d==＜r，∴弦长为2=2=2，故选：D．【点评】本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法，把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式、弦长公式的应用，属于中档题．5．（5分）x，y 满足约束条件，若z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（）A ．或﹣1 B．2或C．2或﹣1 D．2或1【分析】由题意作出已知条件的平面区域，将z=y﹣ax化为y=ax+z，z相当于直线y=ax+z的纵截距，由几何意义可得．【解答】解：由题意作出约束条件，平面区域，11将z=y﹣ax化为y=ax+z，z相当于直线y=ax+z的纵截距，由题意可得，y=ax+z与y=2x+2或与y=2﹣x平行，故a=2或﹣1；故选：C．【点评】本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，注意目标函数的几何意义是解题的关键之一，属于中档题．6．（5分）设函数f（x）（x∈R）满足f（x+π）=f（x）+sinx．当0≤x＜π时，f （x）=0，则f （）=（）A ．B ．C．0 D ．﹣【分析】利用已知条件，逐步求解表达式的值即可．【解答】解：∵函数f（x）（x∈R）满足f（x+π）=f（x）+sinx．当0≤x＜π时，12f（x）=0，∴f （）=f （）=f （）+sin=f （）+sin+sin=f （）+sin+sin+sin=sin+sin+sin==．故选：A．【点评】本题考查抽象函数的应用，函数值的求法，考查计算能力．7．（5分）一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（）1314A ．21+B ．18+C ．21D ．18【分析】判断几何体的形状，结合三视图的数据，求出几何体的表面积． 【解答】解：由三视图可知，几何体是正方体的棱长为2，截去两个正三棱锥，侧棱互相垂直，侧棱长为1， 几何体的表面积为：S 正方体﹣2S 棱锥侧+2S棱锥底==21+．故选：A ．【点评】本题考查三视图求解几何体的表面积，解题的关键是判断几何体的形状．8．（5分）从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对．其中所成的角为60°的共有（）A．24对B．30对C．48对D．60对【分析】利用正方体的面对角线形成的对数，减去不满足题意的对数即可得到结果．【解答】解：正方体的面对角线共有12条，两条为一对，共有=66条，同一面上的对角线不满足题意，对面的面对角线也不满足题意，一组平行平面共有6对不满足题意的直线对数，不满足题意的共有：3×6=18．从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对．其中所成的角为60°的共有：66﹣18=48．故选：C．【点评】本题考查排列组合的综合应用，逆向思维是解题本题的关键．9．（5分）若函数f（x）=|x+1|+|2x+a|的最小值为3，则实数a的值为（）A．5或8 B．﹣1或5 C．﹣1或﹣4 D．﹣4或8【分析】分类讨论，利用f（x）=|x+1|+|2x+a|的最小值为3，建立方程，即可求出实数a的值．【解答】解：＜﹣1时，x ＜﹣，f（x）=﹣x﹣1﹣2x﹣a=﹣3x﹣a﹣1＞﹣1；15﹣≤x≤﹣1，f（x）=﹣x﹣1+2x+a=x+a﹣1≥﹣1；x＞﹣1，f（x）=x+1+2x+a=3x+a+1＞a﹣2，∴﹣1=3或a﹣2=3，∴a=8或a=5，a=5时，﹣1＜a﹣2，故舍去；≥﹣1时，x＜﹣1，f（x）=﹣x﹣1﹣2x﹣a=﹣3x﹣a﹣1＞2﹣a；﹣1≤x ≤﹣，f（x）=x+1﹣2x﹣a=﹣x﹣a+1≥﹣+1；x ＞﹣，f（x）=x+1+2x+a=3x+a+1＞﹣+1，∴2﹣a=3或﹣+1=3，∴a=﹣1或a=﹣4，a=﹣1时，﹣+1＜2﹣a，故舍去；综上，a=﹣4或8．故选：D．【点评】本题主要考查了函数的值域问题．解题过程采用了分类讨论的思想，属于中档题．1610．（5分）在平面直角坐标系xOy 中．已知向量、，||=||=1，•=0，点Q 满足=（+），曲线C={P |=cosθ+sinθ，0≤θ≤2π}，区域Ω={P|0＜r≤||≤R，r＜R}．若C∩Ω为两段分离的曲线，则（）A．1＜r＜R＜3 B．1＜r＜3≤R C．r≤1＜R＜3 D．1＜r＜3＜R【分析】不妨令=（1，0），=（0，1），则P点的轨迹为单位圆，Ω={P|（0＜r ≤||≤R，r＜R}表示的平面区域为：以Q点为圆心，内径为r，外径为R的圆环，若C∩Ω为两段分离的曲线，则单位圆与圆环的内外圆均相交，进而根据圆圆相交的充要条件得到答案．【解答】解：∵平面直角坐标系xOy 中．已知向量、，||=||=1，•=0，不妨令=（1，0），=（0，1），则=（+）=（，），=cosθ+sinθ=（cosθ，sinθ），故P点的轨迹为单位圆，Ω={P|（0＜r≤||≤R，r＜R}表示的平面区域为：以Q点为圆心，内径为r，外径为R的圆环，若C∩Ω为两段分离的曲线，则单位圆与圆环的内外圆均相交，故|OQ|﹣1＜r＜R＜|OQ|+1，∵|OQ|=2，17故1＜r＜R＜3，故选：A．【点评】本题考查的知识点是向量在几何中的应用，其中根据已知分析出P的轨迹及Ω={P|（0＜r≤||≤R，r＜R}表示的平面区域，是解答的关键．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡相应位置．11．（5分）若将函数f（x）=sin（2x +）的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是．【分析】根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得所得图象对应的函数解析式为y=sin（2x+﹣2φ），再根据所得图象关于y 轴对称可得﹣2φ=kπ+，k∈z，由此求得φ的最小正值．【解答】解：将函数f （x）=sin（2x +）的图象向右平移φ个单位，所得图象对应的函数解析式为y=sin[2（x﹣φ）+]=sin（2x +﹣2φ）关于y 轴对称，则﹣2φ=kπ+，k∈z，即φ=﹣﹣，故φ的最小正值为，故答案为：．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象18的对称性，属于中档题．12．（5分）数列{a n}是等差数列，若a1+1，a3+3，a5+5构成公比为q的等比数列，则q=1．【分析】设出等差数列的公差，由a1+1，a3+3，a5+5构成公比为q的等比数列列式求出公差，则由化简得答案．【解答】解：设等差数列{a n }的公差为d ，由a1+1，a3+3，a5+5构成等比数列，得：，整理得：，即+5a1+a1+4d．化简得：（d+1）2=0，即d=﹣1．∴q==．故答案为：1．【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了等比数列的性质，是基础的计算题．1913．（5分）设a≠0，n是大于1的自然数，（1+）n的展开式为a0+a1x+a2x2+…+a n x n．若a=3．点A i（i，a i）（i=0，1，2）的位置如图所示，则【解答】解：（1+）n的展开式的通项为，由图知，a0=1，a1=3，a2=4，∴，，，，a2﹣3a=0，解得a=3，故答案为：3．【点评】本题考查解决二项式的特定项问题，关键是求出展开式的通项，属于一道中档题．2014．（5分）设F1，F2分别是椭圆E：x2+=1（0＜b＜1）的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A、B两点，若|AF1|=3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为x2+=1．【分析】求出B（﹣c，﹣b2），代入椭圆方程，结合1=b2+c2，即可求出椭圆的方程．【解答】解：由题意，F1（﹣c，0），F2（c，0），AF2⊥x轴，∴|AF2|=b2，∴A点坐标为（c，b2），设B（x，y），则∵|AF1|=3|F1B|，∴（﹣c﹣c，﹣b2）=3（x+c，y）∴B（﹣c，﹣b2），代入椭圆方程可得，∵1=b2+c2，∴b2=，c 2=，∴x2+=1．故答案为：x2+=1．21【点评】本题考查椭圆的方程与性质，考查学生的计算能力，属于中档题．15．（5分）已知两个不相等的非零向量，，两组向量，，，，和，，，，均由2个和3个排列而成，记S=•+•+•+•+•，S min表示S所有可能取值中的最小值．则下列命题正确的是②④（写出所有正确命题的编号）．①S有5个不同的值；②若⊥，则S min与||无关；③若∥，则S min与||无关；④若||＞4||，则S min＞0；⑤若||=2||，S min=8||2，则与的夹角为．【分析】依题意，可求得S有3种结果：S 1=++++，S2=+•+•++，S3=•+•+•+•+，可判断①错误；进一步分析有S1﹣S 2=S 2﹣S3=+﹣2•≥+﹣2||•||=≥0，即S中最小为S3；再对②③④⑤逐一分析即可得答案．【解答】解：∵x i ，y i（i=1，2，3，4，5）均由2个和3个排列而成，∴S=x i y i 可能情况有三种：①S=2+3；②S=+2•+2；③S=4•+．S有3种结果：S1=++++，22S2=+•+•++，S3=•+•+•+•+，故①错误；∵S1﹣S2=S2﹣S3=+﹣2•≥+﹣2||•||=≥0，∴S中最小为S3；若⊥，则S min=S3=，与||无关，故②正确；③若∥，则S min=S3=4•+，与||有关，故③错误；④若||＞4||，则S min=S3=4||•||cosθ+＞﹣4||•||+＞﹣+=0，故④正确；⑤若||=2||，S min=S3=8||2cosθ+4=8，∴2cosθ=1，∴θ=，即与的夹角为．综上所述，命题正确的是②④，故答案为：②④．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，着重考查平面向量的数量积的综合应用，考查推理、分析与运算的综合应用，属于难题．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演23算步骤．解答早答题卡上的指定区域．16．（12分）设△ABC的内角为A、B、C所对边的长分别是a、b、c，且b=3，c=1，A=2B．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求sin（A +）的值．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理，可得a=6cosB，再利用余弦定理，即可求a的值；（Ⅱ）求出sinA，cosA，即可求sin（A +）的值．【解答】解：（Ⅰ）∵A=2B ，，b=3，∴a=6cosB，∴a=6，∴a=2；（Ⅱ）∵a=6cosB，∴cosB=，∴sinB=，∴sinA=sin2B=，cosA=cos2B=2cos2B﹣1=﹣，24∴sin（A +）=（sinA+cosA）=．【点评】本题考查余弦定理、考查正弦定理，考查二倍角公式，考查学生的计算能力，属于中档题．17．（12分）甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立．（Ⅰ）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；（Ⅱ）记X为比赛决胜出胜负时的总局数，求X的分布列和均值（数学期望）．【分析】（1）根据概率的乘法公式，求出对应的概率，即可得到结论．（2）利用离散型随机变量分别求出对应的概率，即可求X的分布列；以及均值．【解答】解：用A表示甲在4局以内（含4局）赢得比赛的是事件，A k表示第k 局甲获胜，B k表示第k局乙获胜，则P（A k）=，P（B k）=，k=1，2，3，4，5（Ⅰ）P（A）=P（A1A2）+P（B1A2A3）+P（A1B2A3A4）=（）2+×（）2+××（）2=．（Ⅱ）X的可能取值为2，3，4，5．P（X=2）=P（A1A2）+P（B1B2）=，25P（X=3）=P（B1A2A3）+P（A1B2B3）=，P（X=4）=P（A1B2A3A4）+P（B1A2B3B4）=，P（X=5）=P（A1B2A3B4A5）+P（B1A2B3A4B5）+P（B1A2B3A4A5）+P（A1B2A3B4B5）==，或者P（X=5）=1﹣P（X=2）﹣P（X=3）﹣P（X=4）=，故分布列为：X2345PE（X）=2×+3×+4×+5×=．【点评】本题主要考查概率的计算，以及离散型分布列的计算，以及利用期望的计算，考查学生的计算能力．18．（12分）设函数f（x）=1+（1+a）x﹣x2﹣x3，其中a＞0．（Ⅰ）讨论f（x）在其定义域上的单调性；（Ⅱ）当x∈[0，1]时，求f（x）取得最大值和最小值时的x的值．【分析】（Ⅰ）利用导数判断函数的单调性即可；（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，讨论两根与1的大小关系，判断函数在[0，1]时的单调性，得出取最值时的x的取值．26【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（﹣∞，+∞），f′（x）=1+a﹣2x﹣3x2，由f′（x）=0，得x1=，x2=，x1＜x2，∴由f′（x）＜0得x ＜，x ＞；由f′（x）＞0得＜x ＜；故f（x ）在（﹣∞，）和（，+∞）单调递减，在（，）上单调递增；（Ⅱ）∵a＞0，∴x1＜0，x2＞0，∵x∈[0，1]，当时，即a≥4①当a≥4时，x2≥1，由（Ⅰ）知，f（x）在[0，1]上单调递增，∴f（x）在x=0和x=1处分别取得最小值和最大值．②当0＜a＜4时，x2＜1，由（Ⅰ）知，f（x）在[0，x2]单调递增，在[x2，1]上单调递减，因此f（x）在x=x2=处取得最大值，又f（0）=1，f（1）=a，∴当0＜a＜1时，f（x）在x=1处取得最小值；当a=1时，f（x）在x=0和x=1处取得最小值；当1＜a＜4时，f（x）在x=0处取得最小值．27【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性及最值的知识，考查学生分类讨论思想的运用能力，属中档题．19．（13分）如图，已知两条抛物线E1：y2=2p1x（p1＞0）和E2：y2=2p2x（p2＞0），过原点O的两条直线l1和l2，l1与E1，E2分别交于A1、A2两点，l2与E1、E2分别交于B1、B2两点．（Ⅰ）证明：A1B1∥A2B2；（Ⅱ）过O作直线l（异于l1，l2）与E1、E2分别交于C1、C2两点．记△A1B1C1与△A2B2C2的面积分别为S1与S2，求的值．【分析】（Ⅰ）由题意设出直线l1和l2的方程，然后分别和两抛物线联立求得交点坐标，得到的坐标，然后由向量共线得答案；（Ⅱ）结合（Ⅰ）可知△A1B1C1与△A2B2C2的三边平行，进一步得到两三角形相似，由相似三角形的面积比等于相似比的平方得答案．【解答】（Ⅰ）证明：由题意可知，l1和l2的斜率存在且不为0，28设l1：y=k1x，l2：y=k2x．联立，解得．联立，解得．联立，解得．联立，解得．∴，．，∴A1B1∥A2B2；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知A1B1∥A2B2，同（Ⅰ）可证B1C1∥B2C2，A1C1∥A2C2．∴△A1B1C1∽△A2B2C2，因此，29又，∴．故．【点评】本题是直线与圆锥曲线的综合题，考查了向量共线的坐标表示，训练了三角形的相似比与面积比的关系，考查了学生的计算能力，是压轴题．20．（13分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，A1A⊥底面ABCD，四边形ABCD 为梯形，AD∥BC，且AD=2BC，过A1、C、D三点的平面记为α，BB1与α的交点为Q．（Ⅰ）证明：Q为BB1的中点；（Ⅱ）求此四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积之比；（Ⅲ）若AA1=4，CD=2，梯形ABCD的面积为6，求平面α与底面ABCD所成二面角的大小．30【分析】（Ⅰ）证明平面QBC∥平面A1D1DA，可得△QBC∽△A1AD，即可证明Q 为BB1的中点；（Ⅱ）设BC=a，则AD=2a，则==，V Q﹣ABCD ==ahd，利用V棱柱=ahd，即可求出此四棱柱被平面α所分成上、下两部分的体积之比；（Ⅲ）△ADC中，作AE⊥DC，垂足为E，连接A1E，则DE⊥平面AEA1，DE⊥A1E，可得∠AEA1为平面α与底面ABCD所成二面角，求出S△ADC=4，AE=4，可得tan ∠AEA1==1，即可求平面α与底面ABCD所成二面角的大小．【解答】（Ⅰ）证明：∵四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，∴平面QBC∥平面A1D1DA，∴平面A1CD与面QBC、平面A1D1DA的交线平行，∴QC∥A1D∴△QBC∽△A1AD，∴=，∴Q为BB1的中点；（Ⅱ）解：连接QA，QD，设AA1=h，梯形ABCD的高为d，四棱柱被平面α所分成上、下两部分的体积为V1，V2，设BC=a，则AD=2a，∴==，V Q﹣ABCD ==ahd，31∴V2=，∵V棱柱=ahd，∴V1=ahd，∴四棱柱被平面α所分成上、下两部分的体积之比；（Ⅲ）解：在△ADC中，作AE⊥DC，垂足为E，连接A1E，则DE⊥平面AEA1，∴DE⊥A1E，∴∠AEA1为平面α与底面ABCD所成二面角的平面角，∵BC∥AD，AD=2BC，∴S△ADC =2S△ABC，∵梯形ABCD的面积为6，DC=2，∴S△ADC=4，AE=4，∴tan∠AEA1==1，∴∠AEA1=，∴平面α与底面ABCD 所成二面角的大小为．3233【点评】本题考查面面平行的性质，考查体积的计算，考查面面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21．（13分）设实数c ＞0，整数p ＞1，n ∈N *． （Ⅰ）证明：当x ＞﹣1且x ≠0时，（1+x ）p ＞1+px ；（Ⅱ）数列{a n }满足a 1＞，a n +1=a n +a n 1﹣p ．证明：a n ＞a n +1＞．【分析】第（Ⅰ）问中，可构造函数f （x ）=（1+x ）p ﹣（1+px ），求导数后利用函数的单调性求解；对第（Ⅱ）问，从a n +1着手，由a n +1=a n +a n 1﹣p ，将求证式进行等价转化后即可解决，用相同的方式将a n ＞a n +1进行转换，设法利用已证结论证明．【解答】证明：（Ⅰ）令f （x ）=（1+x ）p ﹣（1+px ），则f′（x ）=p （1+x ）p ﹣1﹣p=p [（1+x ）p ﹣1﹣1]．①当﹣1＜x ＜0时，0＜1+x ＜1，由p ＞1知p ﹣1＞0，∴（1+x ）p ﹣1＜（1+x ）0=1， ∴（1+x ）p ﹣1﹣1＜0，即f′（x ）＜0，∴f（x）在（﹣1，0]上为减函数，∴f（x）＞f（0）=（1+0）p﹣（1+p×0）=0，即（1+x）p﹣（1+px）＞0，∴（1+x）p＞1+px．②当x＞0时，有1+x＞1，得（1+x）p﹣1＞（1+x）0=1，∴f′（x）＞0，∴f（x）在[0，+∞）上为增函数，∴f（x）＞f（0）=0，∴（1+x）p＞1+px．综合①、②知，当x＞﹣1且x≠0时，都有（1+x）p＞1+px，得证．＞．（Ⅱ）先证a n+1=a n +a n1﹣p ，∴只需证a n +a n1﹣p ＞，∵a n+1将写成p﹣1个相加，上式左边=，当且仅当，即时，上式取“=”号，当n=1时，由题设知，∴上式“=”号不成立，34∴a n +a n1﹣p ＞，即a n+1＞．再证a n＞a n+1．只需证a n ＞a n +a n1﹣p，化简、整理得a n p＞c，只需证a n＞c．＞成立，即从数列{a n}的第2项开始成立，由前知a n+1又n=1时，由题设知成立，∴对n∈N*成立，∴a n＞a n+1．综上知，a n＞a n+1＞，原不等式得证．【点评】本题是一道压轴题，考查的知识众多，涉及到函数、数列、不等式，利用的方法有分析法与综合法等，综合性很强，难度较大．35。
2014年全国高考理科数学试题-安徽卷(含答案)
数学（理科）2014年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数. 若,1i z +=则=⋅+z iz 1（ ） A. 2- B. i 2- C. 2 D. i 2（2）“0<x ”是“0)1ln(<+x ”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件（3）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ）A. 34B. 55C. 78D. 894.以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立学科网极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l 的参数方程是⎩⎨⎧-=+=31y y t x ，（t 为参数），圆C 的极坐标方程是θρcos 4=则直线l 被圆C 截得的弦长为（ ） A.14 B.142 C.2 D.225.y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≤-+02202202y x y x y x ，若ax y z -=取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为（ ） A,121-或 B.212或 C.2或1 D.12-或 6.设函数))((R x x f ∈满足.sin )()(x x f x f +=+π当π<≤x 0时，0)(=x f ，则=)623(πf （ ） A.21 B. 23 C.0 D.21- 7.一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（ ）A.21+3B.18+3C.21D.188.从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60︒的共有（ ）A.24对B.30对C.48对D.60对9.若函数()12f x x x a =+++的最小值为3，则实数a 的值为（ ）A.5或8B.1-或5C.1-或4-D.4-或810.在平面直角坐标系xOy 中，已知向量,,1,0,a b a b a b ==⋅=点Q 满足2()OQ a b =+.曲线cos sin ,02C P OP a b θθθπ==+≤≤，区域0,P r PQ R r R Ω=<≤≤<.若C ⋂Ω为两段分离的曲线，则( )A.13r R <<<B.13r R <<≤C.13r R ≤<<D.13r R <<< 第I I 卷（非选择题 共100分）二.选择题:本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.若将函数()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移ϕ个单位，所得图像关于y 轴对称， 则ϕ的最小正值是________.12.数列{}a n 是等差数列，若1a 1+，3a 3+，5a 5+构成学科网公比为q 的等比数列，则q =________.（13）设n a ,0≠是大于1的自然数，na x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+1的展开式为n n x a x a x a a ++++ 2210.若点)2,1,0)(,(=i a i A i i 的位置如图所示，则______=a（14）设21,F F 分别是椭圆)10(1:222<<=+b b y x E 的左、右焦点，过点1F 的直线交椭圆E 于B A ,两点，若x AF BF AF ⊥=211,3轴，则椭圆E 的方程为__________ （15）已知两个不相等的非零向量,,b a 两组向量54321,,,,x x x x x 和54321,,,,y y y y y 均由2个和3个排列而成.记5544332211y x y x y x y x y x S ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=， min S 表示S 所有可能取值中的最小值.则下列命题的是_________（写出所有正确命题的编号）.①S 有5个不同的值.②若,⊥则min S .③若,∥则min S 无关.>，则0min >S .学科网,min S ==则与的夹角为4π三．解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文子说明、证明学科网过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.16.设ABC 的内角,,A B C 所对边的长分别是,,a b c ，且3,1,2.b c A B ===（1）求a 的值；（2）求sin()4A π+的值.17（本小题满分12分）甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立.(1) 求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；(2) 记为比赛决出胜负时的总局数，求的分布列和均值（数学期望）18（本小题满分12分） 设函数其中. （1） 讨论在其定义域上的单调性； （2） 当时，求取得最大值和最小值时的的值.(19)(本小题满分13分)如图，已知两条抛物线()02:1121>=p x p y E 和()02:2222>=p x p y E ，过原点O 的两条直线1l 和2l ，1l 与21,E E 分别交于21,A A 两点，2l 与21,E E 分别交于21,B B 两点.(1)证明：;//2211B A B A (2)过原点O 作直线l （异于1l ，2l ）与21,E E 分别交于21,C C 两点。
2014年安徽省高考理科数学试卷及参考标准答案(word版)
2014年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数 学（理科） 第Ⅰ卷（选择题 共50分）一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数．若i z +=1，则=⋅+z iz1（ ）A ．－2 Ｂ．－2i Ｃ．２ Ｄ．2i（2）“0<x ”是“0)1ln(<+x ”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 （3）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ） A ．34 B ．55 C ．78 D ．89（4）以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l 的参数方程是⎩⎨⎧-=+=31y y t x （t 为参数），圆C 的极坐标方程是θρcos 4=，则直线l 被圆C 截得的弦长为（ ）A ．14B ．142C ．2D ．22（5）x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≤-+02202202y x y x y x ，若ax y z -=取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为（ ）A ．21或-1 B ．2或21C ．2或1D ．2或-1 （6）设函数)(x f （R x ∈）满足x x f x f sin )()(+=+π．当π≤≤x 0时，0)(=x f ，则=)623(πf （ ） A ．21 B ．23 C ．0 D ．21-（7）一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（ ）． A ．21+3 B ．18+3 C ．21 D ．18（8）从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有（ ）对．A ．24B ．30C ．48D ．60（9）若函数a x x x f +++=21)(的最小值为3，则实数a 的值为（ ） A ．5或8 B ．-1或5 C ．-1或-4 D ．-4或8（10）在平面直角坐标系xoy 中，已知向量,，1==,0=⋅，点Q 满足)(2+=．曲线πθθθ20,sin cos ≤≤+==b a P C丨，区域R r R r P <≤≤<=Ω，丨0．若Ω⋂C 为两段分离的曲第（13）题图第II 卷（非选择题 共100分）二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． （11）若将函数)42sin()(π+=x x f 的图像向右平移ϕ个单位，所得图像关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是 ． （12）数列{}n a 是等差数列，若11+a ，33+a ，55+a 构成公比为q 的等比数列，则q = ． （13）设0≠a ，n 是大于1的自然数，na x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+1的展开式为nn x a x a x a a ++++ 22210．点),(i i a i A （2,1,0=i ）的位置如图所示，则a = ．（14）设21,F F 分别是椭圆E ：1222=+by x （10<<b ）的左、右焦点，过点1F 的直线交椭圆E 与A,B 两点，若x AF BF AF ⊥=211,3轴，则椭圆E 的方程为 ．(15)已知两个不相等的非零向量a ,b ，两组向量54321,,,,x x x x x 和54321,,,,y y y y y 均由2个a 和3个b 排列而成．记5544332211y x y x y x y x y x S ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=，min S 表示S 所有可能取值中的最小值．则下列正确的命题的是（写出所有正确命题的编号）．①S 有5个不同的值； ②若⊥，则min S 与a无关； ③若∥，则min S 与b 无关； ④若b >a 4，则min S >0； ⑤若b =a 4,min S =28a ，则与的夹角为4π三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内． （16）（本小题满分12分） 设△ABC 的内角C B A ,,对边的长分别是a ,b ,c ，且3=b ,1=c ,B A 2=． （I ）求a 的值： （II ）求)4sin(π+A 的值．（17）（本小题满分12分）甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为32，乙获胜的概率为31，各局比赛结果互相独立． （I ）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；（II ）记X 为比赛决出胜负时的总局数，求X 的分布列和均值（数学期望）．第（20）题图D A D 1（18）（本小题满分12分）设函数32)1(1)(x x x a x f --++=，其中0>a ． （I ）讨论)(x f 在其定义域上的单调性；（II ）当][1,0∈x 时，求)(x f 取得最大值和最小值时的x 的值．（19）（本小题满分13分）如图，已知两条抛物线1E ：x p y 122=（01>p ）和2E ：x p y 222=1l 与1E ,2E 分别交于1A ,2A 两点，2l 与1E ,2E 分别交于1B ,2B 两点．（I ）证明：2211B A B A ∥；（II ）过O 作直线l （异于1l ,2l ）与1E ,2E 分别交于1C ,2C 两点，记111C B A △,与222C B A △的面积分别为1S 与2S ，求21S S的值．（20）（本小题满分13分）如图，四棱柱1111D C B A ABCD -中，⊥A A 1底面ABCD ．四边形为梯形，∥，且．过D C A ,,1三点的平面记为α，1BB 与α的交点为Q ．（I ）证明：Q 为1BB 的中点；（II ）求此四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积之比；（III ）若41=AA ,2=CD ，梯形ABCD 的面积为6，求平面α与底面ABCD 所成二面角的大小．（21）（本小题满分13分）设实数0>c ，整数1>p ，*N n ∈．（I ）证明：当1->x 且0≠x 时，()px x p+>+11；（II ）数列{}n a 满足p n n n pa pc a p p a c a -++-=>11111,，证明：p n n c a a 11>>+．数学（理科）试题参考答案一．选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分50分．（1）C （2）B （3）B （4）D （5）D （6）A （7）A （8）C （9）D （10）A二．填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分25分． （11）83π （12）1 （13）3 （14）12322=+y x （15）②④三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内． （16）（本小题满分12分） 解：（I ）∵B A 2=，∴B B B A cos sin 22sin sin ==．由正、余弦定理得：acb c a b a 22222-+⋅=．∵1,3==c b ，∴32,122==a a ．（II ） 由余弦定理得：31612192cos 222-=-+=-+=bc a c b A ．∵π<<A 0，∴322911cos 1sin 2=-=-=A A ． ∴62422)31(223224sincos 4cossin )4sin(-=⨯-+⨯=+=+πππA A A ．（17）（本小题满分12分）解：用A 表示“甲在4局以内（含4局）赢得比赛”，k A 表示“第k 局甲获胜”，k B 表示“第k 局乙获胜”， 则32)(=k A P ，31)(=k B P ，5,4,3,2,1=k ． （I ）)()()()(432132121A A B A P A A B P A A P A P ++==)()()()()()()()()(432132121A P A P B P A p A P A P B P A P A P ++=8156323132323132222=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎪⎭⎫⎝⎛ （ ）X 的可能取值为2,3,4,5．95)()()()()()()2(21212121=+=+==B P B P A P A P B B P A A P X P ， 92)()()()()()()()()3(321321321321=+=+==B P B P A P A P A P B P B B A P A A B P X P ，8110)()()()()()()()()()()4(4321432143214321=+=+==B P B P A P B P A P A P B P A P B B A B P A A B A P X P 818)4()3()2(1)5(==-=-=-==X P X P X P X P ∴X 的分布列为8181581493952=⨯+⨯+⨯+⨯=EX ．（18）（本小题满分12分）解：（I ）)(x f 的定义域为()+∞∞-,，2321)(x x a x f --+='．令0)(='x f ，得2121,3341,3341x x ax a x <++-=+--=．∴))((3)(21x x x x x f ---='．当1x x <或2x x >时，0)(<'x f ；当21x x x <<时，0)(>'x f ． ∴)(x f 在()1,x ∞-和()+∞,2x 内单调递减，在()21,x x 内单调递增． （II ）∵0>a ，∴0,021><x x ．① 当4≥a 时，12≥x ．由（I ）知，)(x f 在][1,0上单调递增．∴)(x f 在0=x 和1=x 处分别取得最小值和最大值． ② 当40<<a 时，12<x ．由（I ）知，)(x f 在][2,0x 上单调递增，在][1,2x 上单调递减． ∴)(x f 在33412ax x ++-==处取得最大值．又1)0(=f ,a f =)1(，∴当10<<a 时，)(x f 在1=x 处取得最小值；当1=a 时，)(x f 在0=x 处和1=x 处同时取得最小值；（19）（本小题满分13分）（I ）证：设直线21,l l 的方程分别为x k y x k y 21,==（0,21≠k k ），则 由⎩⎨⎧==x p y xk y 1212，得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1121112,2k p k p A ，由⎩⎨⎧==x p y xk y 2212，得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1221222,2k p k p A ．同理可得⎪⎪⎭⎫⎝⎛2122112,2k p k p B ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2222222,2kp k p B ． ∴⎪⎪⎭⎫- ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫- ⎝⎛-=122122111212112211111,11222,22k k k k P k p k p k p k p B A ， ⎪⎪⎭⎫- ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫- ⎝⎛-=122122212222122222211,11222,22k k k k P k p k p k p k p B A ． 故222111B A p p B A =，∴2211B A B A ∥． （II ）解：由（I ）知2211B A B A ∥，同理可得2211C B C B ∥，2211A C A C ∥． ∴222111C B A C B A ∽△△．∴221=S S ．又由（I ）中的222111B A p p B A =21P P =． ∴222121P PS S =．（20）（本小题满分13分）（I ）证：∵1AA BQ ∥，AD BC ∥，B BQ BC =⋂，A AA AD =⋂1． ∴平面QBC ∥平面AD A 1．从而平面CD A 1与这两个平面的交线互相平行，即D A QC 1∥． ∴△QBC 与△AD A 1的对应边相互平行，于是△∽QBC △AD A 1．第（20）题图1αEQ D AB A 1D 1C 1B 1C（II ）解：如第（20）题图1，连接QA ,QD ．设h AA =1，梯形ABCD 的高为d ，四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积分别为上V 和下V ，a BC =，则a AD 2=．ahd d h a V AD A Q 31221311=⋅⋅⋅⋅=-， a h dh d a a V A B C D Q 41)21(2231=⋅⋅+⋅=-， ∴ahd V V V ABCD Q AD A Q 1271=+=--下．又ahd V ABCD D C B A 231111=-，∴ahd ahd ahd V V V ABCD D C B A 121112723-1111=-==-下上，故711=下上V V ． （III ）解法1如第（20）题图1，在ADC △中，作DC AE ⊥，垂足为E ，连接E A 1． 又1AA DE ⊥，且A AA DE =⋂1． ∴1AEA DE 平面⊥，于是E A DE 1⊥．∴∠1AEA 为平面α与底面ABCD 所成二面角的平面角． ∵AD BC ∥，BC AD 2=，∴BCA ADC S S △△2=．又∵梯形ABCD 的面积为6，2=DC ，∴4=ADC S △，4=AE ． ∴1tan 11==∠AE AA AEA ，41π=∠AEA ． 故平面α与底面ABCD 所成二面角的大小为4π． 解法2如第（20）题图2，以D 为原点，1,DD DA 分别为x 轴和z 轴正方向建立空间直角坐标系． 设θ=∠CDA∵6sin 222=⋅+=θaa S ABCD ，∴θsin 2=a ．从而)(0,sin 2,cos 2θθC ，⎪⎭⎫⎝⎛4,0,sin 41θA ， ∴()0,sin 2,cos 2θθ=DC ，⎪⎭⎫⎝⎛=4,0,sin 41θDA ．由⎪⎩⎪⎨⎧=+=⋅=+=⋅0sin 2cos 204sin 41θθθy x n DA ，得θsin -=x ，θcos =y ，∴)1,cos ,sin (θθ-=n ．又∵平面ABCD 的法向量)1,0,0(=，∴22,cos =>=<m n ， ∴平面α与底面ABCD 所成二面角的大小为4π．（21）（本小题满分13分） （I ）证：用数学归纳法证明① 当2=p 时，x x x x 2121)1(22+>++=+，原不等式成立． ② 假设),2(*N k k k p ∈≥=时，不等式kx x k+>+1)1( 成立． 当1+=k p 时，x k kx x k kx x x x x k k )1(1)1(1)1)(1()1)(1()1(21++>+++=++>++=++．∴1+=k p 时，原不等式也成立．综合①②可知，当0,1≠->x x 时，对一切整数1>p ，不等式px x p+>+1)1(均成立．（II ）证法1：先用数学归纳法证明pn c a 1>．① 当1=n 时，由题设p c a 11>知，pn c a 1>成立． ② 假设）（*,1N k k k n ∈≥=时，不等式pk c a 1>成立． 由pn n n a pc a p p a -++-=111易知*,0N n a n ∈>． 当1+=k n 时，)1(1111-+=+-=-+p kp k k k a cp a p c p p a a ． 由01>>pk ca 得0)1(111<-<-<-p ka cp p ． 由（I ）中的结论得p k p k pp k pk k a c a c p p a c p a a =-⋅+>⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+)1(11)1(111． 因此c a pk >+1，即pk c a 11>+．1综合①②可得，对一切正整数n ，不等式pk c a 1>均成立． 再由)1(111-+=+p nn n a cp a a 可得11<+n n a a ，即n n a a <+1．综上所述，*11,N n c a a pn n ∈>>+．证法2：设p p c x x p cx p p x f 111)(≥+-=-，，则c x p ≥，并且p p p c x xcp p x p p c p p x f 10)1(1)1(1)(>>--=-+-='-，．由此可得，)(x f 在),[1+∞pc 上单调递增．因而，当p c x 1>时，pp c c f x f 11)()(=>．① 当1=n 时，由011>>p ca ，即c a p>1可知1111112)1(111a a c p a a p c a p p a p p <⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=+-=-，并且pc a f a 112)(>=，从而p c a a 121>>．故当1=n 时，不等式pn n ca a 11>>+成立．②假设），（*1N k k k n ∈≥=时，不等式pk k c a a 11>>+成立，则 当1+=k n 时，)()()(11pk k c f a f a f >>+，即有pk k c a a 121>>++．∴1+=k n 时，原不等式也成立．综合①②可得，对一切正整数n ，不等式pk k c a a 11>>+均成立．。
2014年安徽高考理科数学试题及参考答案
2014年安徽高考理科数学试题第I 卷 （选择题 共50分）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【2014年安徽卷（理01）】设i 是虚数单位，_z 表示复数z 的共轭复数，若i z +=1，则=⋅+z i iz（A ）2- （B ）i 2- （C ）2（D ）i 2【答案】C 【解析】2)2()(=-=-=⋅+⋅-=⋅+i i z z i z i z i z i iz【2014年安徽卷（理02）】“0<x ”是“0)1ln(<+x ”的（A ） 充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件【答案】B【解析】}01|{0)1ln(<<-⇒<+x x x 是}0|{<x x 的真子集【2014年安徽卷（理03）】如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（A ）34 （B ）55（C ）78（D ）89【答案】B【解析】本程序涉及“斐波拉切数列”即：2、3、5、8、13、21、34、55、89…，并输出第一个大于50的数 第（3）题图【2014年安徽卷（理04）】以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴， 建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l 的参数方程是⎩⎨⎧-=+=31t y t x ，（t 为参数），圆C 的极坐标方程是θρcos 4=,则直线l 被圆C 截得的弦长为（A ）14 （B ）142 （C ） 2 （D ）22【答案】D【解析】直线与圆都化成普通方程，直线04:=--y x l ，圆4)2(:22=+-y x C 。
圆心C 到直线l 的距离为2=d ，弦长为22222=-d r【2014年安徽卷（理05）】y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧+-≤--≤-+202202y x y x y x ，若ax y z -=取得最大值的最优解不唯一，则实数 a 的值为（A ）21或1-（B ）2或21（C ）2或1（D ）2或1-【答案】D【解析】可行域如右图所示，ax y z -=可化为z ax y +=，由题意知2=a 或1-【2014年安徽卷（理06）】设函数))((R x x f ∈满足x x f x f sin )()(+=+π，当π<≤x 0时，0)(=x f ，则=)623(πf （A ）21（B ）23（C ）0 （D ）21-2=02=-【解析】法一：2165sin )65(21611sin )611(617sin )617()623(=+=++=+=πππππππf f f f 法二：x x f x x x f x x f x f sin )()2sin()sin()()2sin()2()3(+=+++++=+++=+ππππππ2165sin )65()623(=+=πππf f【2014年安徽卷（理07）】一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（A ）321+ （B ）318+（C ）21（D ）18【答案】A【解析】此多面体的直观图如下图所示表面积为61121622⨯⨯⨯-⨯⨯ 3212)2(432+=⨯⨯+第（7）题图【2014年安徽卷（理08）】从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为︒60的共有（A ）24对 （B ）30对 （C ）48对 （D ）60对【答案】A【解析】正方体每一条面对角线都与其它8条面对角线成︒60角，故共有482812=⨯对【2014年安徽卷（理09）】若函数a x x x f +++=21)(的最小值为3，则实数a 的值为（A ）5或8 （B ）1-或5 （C ）1-或4- （D ）4-或8正（主）视图侧（左）视图【解析】若2≥a ，则当12-≤≤-x a时，由312121)(=-≥-+=+++=a a x a x x x f 可得8=a 符合要求；若2<a ，则当21ax -≤≤-时，由321121)(=-≥--=+++=a x a a x x x f 可得4-=a 符合要求；综上所述，4-=a 或8。
5月15日安徽芜湖市重点中学2014届高三联考
第Ⅰ卷（阅读题共66分）一、（9分）阅读下面的文字，完成1～3题。
未来新闻的知识形态王晨瑶①毫无疑问，新闻首先得是“新”的。
在大多数语言中，新闻一词都有“新”（ new）这样的基础性词义。
新闻如何才能是“新”的？现代新闻业对此的回答是：时间轴上的新近是新闻之所以“新”的首要考量，离“现在”越近，就越“新”。
陆定一所作的“新闻是对新近发生的事实的报道”的定义精准地概括了现代新闻在知识形态上的本质特征，即新闻是在时间上关于现在的事实性知识。
②以时间性的“新近”作为新闻之为“新”的标准，看上去天经地义，但从某种意义上说，这种在知识形态上对“新”的界定是建构的产物。
为了向受众稳定地提供新闻产品，新闻界不得不以对线性时间的恪守来彰显“新”，即便有些事件在社会层面没有什幺“新意”，但它是“新近”发生的，也就具有了成为新闻的合法性。
正如研究者TerhiRantanen所说，“很有可能，事件有时是‘旧’的，但是出版商和叙述行为便得它‘新’了，成了新闻”。
新闻在时间上的紧迫性不仅塑造了现代新闻的文本形式，而且塑造了现代新闻业和新闻从业者的一些结构性特征。
③现代新闻在知识形态上与线性时间赛跑的特征，有可能在未来发生结构性的转变。
未来新闻中的时间将超越单一的线性时间标准，变成非线性时间。
首先，传播技术的进步，使得新闻可以轻松满足线性时间的要求。
在“直播”技术普及之后，新闻报道与事件在时间上同步已经不再是梦想。
仅以时间性为“新”，不能满足未来新闻的需要。
其次，受众的受行为不再受制于线性时间。
对于受众来说，新闻从河流变成了海洋。
网络永远都“开着”，用户不再需要跟随广播或电视的播出时间或日报的发行时间，他们可以从任何时间开始阅读网络上的新闻。
新闻变得没有时间性了，因为它适用于所有的时间。
最后，也是最重要的，网络的海量空间和超文本链接，赋予了新闻超越线性时间的可能。
比如一起新近发生的校园投毒案可能会勾连起二十年前发生的另一起投毒案，并使后者成为新闻。
2014年高考理科数学试题(安徽卷)及参考答案
2014年安徽高考理科数学试题及参考答案第Ⅰ卷（选择题 共50分）一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数．若i z +=1，则=⋅+z iz1A ．－2 Ｂ．－2i Ｃ．２ Ｄ．2i（2）“0<x ”是“0)1ln(<+x ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 （3）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是 A ．34 B ．55 C ．78 D ．89（4）以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l 的参数方程是⎩⎨⎧-=+=31y y t x （t 为参数），圆C 的极坐标方程是θρcos 4=，则直线l 被圆C 截得的弦长为A ．14B ．142C ．2D ．22（5）x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≤-+02202202y x y x y x ，若ax y z -=取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为 A ．21或-1 B ．2或21C ．2或1D ．2或-1 （6）设函数)(x f （R x ∈）满足x x f x f sin )()(+=+π．当π≤≤x 0时，0)(=x f ，则=)623(πf A ．21 B ．23 C ．0 D ．21-（7）一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为 A ．21+3 B ．18+3 C ．21 D ．18（8）从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有A ．24对B ．30对C ．48对D ．60对（9）若函数a x x x f +++=21)(的最小值为3，则实数a 的值为 A ．5或8 B ．-1或5 C ．-1或-4 D ．-4或8（10）在平面直角坐标系xoy 中，已知向量a ,b ，1==b a ,0=⋅b a ，点Q 满足)(2b a OQ +=．曲线a OP P C ==|{cos θ+b sin θ}20,πθ≤≤，区域},||0|{R r R PQ r P <≤≤<=Ω．若Ω⋂C 为两段分离的曲线，则A ．31<<<R rB ．R r ≤<<31C ．31<<≤R rD ．R r <<<31第II 卷（非选择题 共100分）二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． （11）若将函数)42sin()(π+=x x f 的图像向右平移ϕ个单位，所得图像关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是 ．（12）数列{}n a 是等差数列，若11+a ，33+a ，55+a 构成公比为q 的等比数列，则q = ．（13）设0≠a ，n 是大于1的自然数，na x ⎪⎭⎫⎝⎛+1的展开式为n n x a x a x a a ++++Λ22210．若点),(i i a i A （2,1,0=i ）的位置如图所示，则a = ．（14）设21,F F 分别是椭圆E ：1222=+by x （10<<b ）的左、右焦点，过点1F 的直线交椭圆E 与A,B 两点，若x AF BF AF ⊥=211,3轴，则椭圆E 的方程为 ． (15)已知两个不相等的非零向量a ,b ，两组向量54321,,,,x x x x x 和54321,,,,y y y y y 均由2个a 和3个b 排列而成．记5544332211y x y x y x y x y x S ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=，min S 表示S 所有可能取值中的最小值．则下列正确的命题的是 （写出所有正确命题的编号）．①S 有5个不同的值； ②若a ⊥b ，则min S 与a ρ无关； ③若a ∥b ，则min S 与b ρ无关； ④若b ρ>a ρ4，则min S >0； ⑤若b ρ=a ρ4,min S =28a ρ，则a 与b 的夹角为4π三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内． （16）（本小题满分12分） 设△ABC 的内角C B A ,,对边的长分别是a ,b ,c ，且3=b ,1=c ,B A 2=． （I ）求a 的值： （II ）求)4sin(π+A 的值．（17）（本小题满分12分）甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为32，乙获胜的概率为31，各局比赛结果互相独立．（I ）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；（II ）记X 为比赛决出胜负时的总局数，求X 的分布列和均值（数学期望）．（18）（本小题满分12分） 设函数32)1(1)(x x x a x f --++=，其中0>a ． （I ）讨论)(x f 在其定义域上的单调性；（II ）当][1,0∈x 时，求)(x f 取得最大值和最小值时的x 的值．（19）（本小题满分13分）如图，已知两条抛物线1E ：x p y 122=（01>p ）和2E ：x p y 222=（02>p ），过原点O 的两条直线1l 和2l ，1l 与1E ,2E 分别交于1A ,2A 两点，2l 与1E ,2E 分别交于1B ,2B 两点．（I ）证明：2211B A B A ∥；（II ）过O 作直线l （异于1l ,2l ）与1E ,2E 分别交于1C ,2C 两点，记111C B A △,与222C B A △的面积分别为1S 与2S ，求21S S 的值．第（20）题图D AA D 1（20）（本小题满分13分）如图，四棱柱1111D C B A ABCD -中，⊥A A 1底面ABCD ．四边形ABCD 为梯形，AD ∥BC ，且AD BC 2=．过D C A ,,1三点的平面记为α，1BB 与α的交点为Q ．（I ）证明：Q 为1BB 的中点；（II ）求此四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积之比；（III ）若41=AA ,2=CD ，梯形ABCD 的面积为6，求平面α与底面ABCD 所成二面角的大小．（21）（本小题满分13分）设实数0>c ，整数1>p ，*N n ∈．（I ）证明：当1->x 且0≠x 时，()px x p+>+11；（II ）数列{}n a 满足p n n n pa pc a p p a c a -++-=>11111,，证明：p n n c a a 11>>+．参考答案一．选择题：每小题5分，满分50分．（1）C （2）B （3）B （4）D （5）D （6）A （7）A （8）C （9）D （10）A二．填空题：每小题5分，满分25分． （11）83π （12）1 （13）3 （14）12322=+y x （15）②④三．解答题：本大题共6小题，共75分． （16）（本小题满分12分）解：（I ）∵B A 2=，∴B B B A cos sin 22sin sin ==．由正、余弦定理得：acb c a b a 22222-+⋅=．∵1,3==c b ，∴32,122==a a ． （II ） 由余弦定理得：31612192cos 222-=-+=-+=bc a c b A ．∵π<<A 0，∴322911cos 1sin 2=-=-=A A ． ∴62422)31(223224sincos 4cossin )4sin(-=⨯-+⨯=+=+πππA A A ．（17）（本小题满分12分）解：用A 表示“甲在4局以内（含4局）赢得比赛”，k A 表示“第k 局甲获胜”，k B 表示“第k 局乙获胜”， 则32)(=k A P ，31)(=kB P ，5,4,3,2,1=k ． （I ）)()()()(432132121A A B A P A A B P A A P A P ++==)()()()()()()()()(432132121A P A P B P A p A P A P B P A P A P ++=8156323132323132222=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎪⎭⎫⎝⎛（Ⅱ）X 的可能取值为2,3,4,5．95)()()()()()()2(21212121=+=+==B P B P A P A P B B P A A P X P ，92)()()()()()()()()3(321321321321=+=+==B P B P A P A P A P B P B B A P A A B P X P ，8110)()()()()()()()()()()4(4321432143214321=+=+==B P B P A P B P A P A P B P A P B B A B P A A B A P X P818)4()3()2(1)5(==-=-=-==X P X P X P X P818158149392=⨯+⨯+⨯+⨯=EX ．（18）（本小题满分12分）解：（I ）)(x f 的定义域为()+∞∞-,，2321)(x x a x f --+='．令0)(='x f ，得2121,3341,3341x x ax a x <++-=+--=．∴))((3)(21x x x x x f ---='．当1x x <或2x x >时，0)(<'x f ；当21x x x <<时，0)(>'x f ． ∴)(x f 在()1,x ∞-和()+∞,2x 内单调递减，在()21,x x 内单调递增． （II ）∵0>a ，∴0,021><x x ．① 当4≥a 时，12≥x ．由（I ）知，)(x f 在][1,0上单调递增．∴)(x f 在0=x 和1=x 处分别取得最小值和最大值． ② 当40<<a 时，12<x ．由（I ）知，)(x f 在][2,0x 上单调递增，在][1,2x 上单调递减．∴)(x f 在33412ax x ++-==处取得最大值．又1)0(=f ,a f =)1(，∴当10<<a 时，)(x f 在1=x 处取得最小值；当1=a 时，)(x f 在0=x 处和1=x 处同时取得最小值； 当41<<a 时，)(x f 在0=x 处取得最小值．（19）（本小题满分13分）（I ）证：设直线21,l l 的方程分别为x k y x k y 21,==（0,21≠k k ），则 由⎩⎨⎧==x p y xk y 1212，得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1121112,2k p k p A ，由⎩⎨⎧==x p y xk y 2212，得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1221222,2k p k p A ．同理可得⎪⎪⎭⎫⎝⎛2122112,2k p k p B ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2222222,2kp k p B ． ∴⎪⎪⎭⎫- ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫- ⎝⎛-=122122*********211111,11222,22k k k k P k p k p k p k p B A ， ⎪⎪⎭⎫- ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫- ⎝⎛-=122122212222122222211,11222,22k k k k P k p k p k p k p B A ． 故222111B A p p B A =，∴2211B A B A ∥． （II ）解：由（I ）知2211B A B A ∥，同理可得2211C B C B ∥，2211A C A C ∥． ∴222111C B A C B A ∽△△．∴221=S S ． 又由（I ）中的222111B A p p B A =21P P =． ∴222121P PS S =．第（20）题图1D A D 1（20）（本小题满分13分）（I ）证：∵1AA BQ ∥，AD BC ∥，B BQ BC =⋂，A AA AD =⋂1． ∴平面QBC ∥平面AD A 1．从而平面CD A 1与这两个平面的交线互相平行，即D A QC 1∥． ∴△QBC 与△AD A 1的对应边相互平行，于是△∽QBC △AD A 1．∴2111===AD BC AA BQ BB BQ ，即Q 为1BB 的中点．（II ）解：如第（20）题图1，连接QA ,QD ．设h AA =1，梯形ABCD 的高为d ，四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积分别为上V 和下V ，a BC =，则a AD 2=．ahd d h a V AD A Q 31221311=⋅⋅⋅⋅=-， ahd h d a a V ABCD Q 41)21(2231=⋅⋅+⋅=-，∴ahd V V V ABCD Q AD A Q 1271=+=--下．又ahd V ABCD D C B A 231111=-，∴ahd ahd ahd V V V ABCD D C B A 121112723-1111=-==-下上，故711=下上V V ． （III ）解法1如第（20）题图1，在ADC △中，作DC AE ⊥，垂足为E ，连接E A 1． 又1AA DE ⊥，且A AA DE =⋂1． ∴1AEA DE 平面⊥，于是E A DE 1⊥．∴∠1AEA 为平面α与底面ABCD 所成二面角的平面角． ∵AD BC ∥，BC AD 2=，∴BCA ADC S S △△2=．又∵梯形ABCD 的面积为6，2=DC ，∴4=ADC S △，4=AE ． ∴1tan 11==∠AE AA AEA ，41π=∠AEA ．第（20）题图2故平面α与底面ABCD 所成二面角的大小为4π． 解法2如第（20）题图2，以D 为原点，1,DD 分别为x 轴和z 轴正方向建立空间直角坐标系． 设θ=∠CDA∵6sin 222=⋅+=θaa S ABCD ，∴θsin 2=a ．从而)(0,sin 2,cos 2θθC ，⎪⎭⎫⎝⎛4,0,sin 41θA ， ∴()0,sin 2,cos 2θθ=，⎪⎭⎫ ⎝⎛=4,0,sin 41θDA ． 设平面DC A 1的法向量)1,,(y x =，由⎪⎩⎪⎨⎧=+=⋅=+=⋅0sin 2cos 204sin 41θθθy x DA ，得θsin -=x ，θcos =y ，∴)1,cos ,sin (θθ-=．又∵平面ABCD 的法向量)1,0,0(=， ∴22,cos =>=<m n ， ∴平面α与底面ABCD 所成二面角的大小为4π．（21）（本小题满分13分） （I ）证：用数学归纳法证明①当2=p 时，x x x x 2121)1(22+>++=+，原不等式成立． ②假设),2(*N k k k p ∈≥=时，不等式kx x k+>+1)1( 成立． 当1+=k p 时，x k kx x k kx x x x x k k )1(1)1(1)1)(1()1)(1()1(21++>+++=++>++=++．∴1+=k p 时，原不等式也成立．综合①②可知，当0,1≠->x x 时，对一切整数1>p ，不等式px x p+>+1)1(均成立．（II ）证法1：先用数学归纳法证明pn c a 1>．①当1=n 时，由题设p c a 11>知，pn c a 1>成立． ②假设）（*,1N k k k n ∈≥=时，不等式pk c a 1>成立． 由pn n n a pc a p p a -++-=111易知*,0N n a n ∈>． 当1+=k n 时，)1(1111-+=+-=-+p kp k k k a cp a p c p p a a ． 由01>>pk ca 得0)1(111<-<-<-p ka cp p ． 由（I ）中的结论得p k p k pp k pk k a c a c p p a c p a a =-⋅+>⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+)1(11)1(111．因此c a pk >+1，即pk c a 11>+．∴1+=k n 时，不等式pk c a 1>也成立．综合①②可得，对一切正整数n ，不等式pk c a 1>均成立． 再由)1(111-+=+p nn n a cp a a 可得11<+n n a a ，即n n a a <+1．综上所述，*11,N n c a a pn n ∈>>+．证法2：设p p c x x p cx p p x f 111)(≥+-=-，，则c x p ≥，并且p p p c x xcp p x p p c p p x f 10)1(1)1(1)(>>--=-+-='-，．由此可得，)(x f 在),[1+∞pc 上单调递增．因而，当p c x 1>时，pp c c f x f 11)()(=>．① 当1=n 时，由011>>p ca ，即c a p>1可知1111112)1(111a a c p a a p c a p p a p p <⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=+-=-，并且p c a f a 112)(>=，从而p c a a 121>>．故当1=n 时，不等式pn n c a a 11>>+成立．② 假设），（*1N k k k n ∈≥=时，不等式p k k c a a 11>>+成立，则 当1+=k n 时，)()()(11p k k c f a f a f >>+，即有pk k c a a 121>>++． ∴1+=k n 时，原不等式也成立．综合①②可得，对一切正整数n ，不等式p k k c a a 11>>+均成立．。