多维随机变量及其分布
多维随机变量及其分布
具有同二维类似的性质。
§3.1 二维随机变量
二维离散型的随机变量：
定义：若二维随机变量(X,Y)全部可能取到的不相同的值 是有限对或可列无限多对，则称(X,Y)是离散型随机变量
二维离散型随机变量的分布律：
设二维离散型随机变量(X,Y)所有可能取的值为(xi,yj)，i， j＝1,2,…, 记P{X=xi,Y=yj}=pij，i，j＝1,2,…,则由概率的定义有： pij≥0，
4/45
§3.1 二维随机变量
二维随机变量分布函数的定义
定义 设(X,Y)是二维随机变量，对于任意实数x，y， 二元函数： F(x,y)=P{(X≤x)∩(Y≤y)}，记做P{X≤x，Y≤y}
称为二维随机变量(X,Y)的分布函数，或称为随机 变量X和Y的联合分布函数。
5/45
§3.1 二维随机变量
(x2 , y2) (x2 , y1) x2 x
8/45
§3.1 二维随机变量
推广到n维：
定义：一般，设E是一个随机试验，它的样本空间是S＝ {e}，设X1＝X1(e)，X2＝X2(e)，…，Xn＝Xn(e)是定义在S 上的随机变量，由它们构成的一个n维向量(X1,X2, …,Xn) 叫做n维随机向量，或n维随机变量
解
(1) F ( x, y)
多维随机变量与分布
多维随机变量与分布
一、引言
在概率论与数理统计中，我们经常会遇到多维随机变量及其分布的问题。多维随机变量是指具有多个分量的随机变量，它们之间可能存
在某种关联或者相互依赖的关系。多维随机变量的分布可以描述每个
分量和它们之间的关系，从而帮助我们更好地理解和分析随机现象。
二、多维随机变量的定义与性质
1. 多维随机变量的定义
多维随机变量由多个分量组成，每个分量都是一个随机变量。设有n个分量的多维随机变量为(X1, X2, ..., Xn)，其中Xi表示第i个分量的随机变量。
2. 多维随机变量的联合分布函数与概率密度函数
对于多维随机变量(X1, X2, ..., Xn)，我们可以用联合分布函数或联
合概率密度函数来描述其分布。联合分布函数F(x1, x2, ..., xn)定义为：F(x1, x2, ..., xn) = P(X1 ≤ x1, X2 ≤ x2, ..., Xn ≤ xn)，其中x1, x2, ..., xn 为任意实数。
如果多维随机变量(X1, X2, ..., Xn)具有联合概率密度函数f(x1, x2, ..., xn)，则有：
F(x1, x2, ..., x n) = ∫∫...∫f(u1, u2, ..., un)dudv...dw，
其中积分区域为u1 ≤ x1, u2 ≤ x2, ..., un ≤ xn。
3. 多维随机变量的边缘分布函数与概率密度函数
多维随机变量的边缘分布函数是指将多维随机变量的联合分布函数对除了某个分量之外的所有其他分量积分得到的函数。
边缘分布函数的定义如下：
第四章多维随机变量及其分布
CC C Pij P( X i, Y j ) 3 C10
i 2
j 7
3i j 1
当i+j≤1或i+j≥4时，“X= i,Y= j”为不可能事件， 故 pij= 0.
27
从而(X,Y)的分布列及边缘分布列为： X Y 0 1 2 3 pi.
0 1
2 p .j
0 0
1/120
0
15
(2)
P (0 X 1,0 Y 1) F (1,1) F (1,0) F (0,1) F (0,0) 1 e e e 0 0 0 (1 e )(1 e )
2 3 2 3 5
16
例1 设二维随机变量(X,Y)的分布函数
20
二维离散型随机变量分布列具有下面的性质： (ⅰ) pij ≥0，i,j= 1,2,…；
(ⅱ)
P
i j
ij
1;
(ⅲ)
P( X xi ) pij pi , i 1,2,;
j 1
P(Y y j ) pij p j , j 1,2,.
P( x1 X x2 , y1 Y y2 ) F ( x2 , y2 ) F ( x2 , y1 ) F ( x1 , y2 ) F ( x1 , y1 )
高等数学之多维随机变量及其分布
Nr
n
CN
其中，N N1 , Nr , n n1 nr
例： 见书上例3.1.5 (P139）
（三）多维均匀分布
定义 设 D 是平面上的有界区域,其面积为 S,若二 维随机变量 ( X , Y ) 具有概率密度
f
( x,
y)
1 S
,
(x, y) D,
0, 其它.
则称( X , Y )在 D 上服从 二维均匀分布.
定义 设F ( x, y)为 随 机 变 量( X ,Y )的 分 布 函 数,
则 F(x, y) P{X x,Y y} 令 y , 称 P{X x} P{X x,Y } F(x,),
为 随 机 变 量( X ,Y )关 于X的 边 际 分 布 函 数.
(2)
f ( x, y) d x d y F (, ) 1.
(3) 设G是xOy平面上的一个区域,点( X ,Y )落在G内
的概率为
P{(X ,Y ) G} f (x, y) d x d y.
G
(4)若f ( x, y)在( x, y)连续,则有 2F ( x, y) f ( x, y). xy
f (x, y)d xd y
YX
G
2e(2 x y) d x d y 0y
G
O
x
1. 3
练习题
1. 设二 维随 机变量( X ,Y ) 具有 概率 密度
第三章相互独立的随机变量(多维随机变量及其分布)
1 , 15 x 45 , 0 y 60 , 1800 0, 其它.
10:42:20 14
D0 {( x , y ) | 15 x 45,0 y 60}. y D1 {( x , y ) | 5 x y 5}. 60
x y 5
则X , Y独立的充分必要条件是 随机向量 ( X ,Y ) 有联合密度 f ( x , y )，且 f ( x , y ) f X ( x ) fY ( y )
在平面上几乎处处成立 .
这里“几乎处处成立”的含义是：在平面上 除去面积为0的集合外，处处成立.
10:42:20
9
下面考察二维正态随机变量的两个分量的 独立性. 由第二节的讨论可知，
=1/2.
x
10:42:20
16
例4 设(X,Y)在矩形 D = {(x,y)|a<x<b,c<y<d} 上 服从均匀分布，证明随机变量X、Y相互独立. 1 , a x b, c y d , 证明 ( X , Y ) ~ f ( x , y ) (b a )(d c ) 其它. 0, y
所求为P( |X-Y | 5) 及P(X<Y).
先到的人等待另一人到达的 时间不超过5分钟的概率 甲先到的概率
13
10:42:20
解
多维随机变量及其分布
10:46:14
2
为了研究某一地区 6 岁 实例1 儿童的发育状况，对这一地区 的儿童进行抽查.
对这一地区的每一个6 岁儿童 都能观测到他的身高H和体重W， 在这里，样本空间 S={e}={某一地区所有6岁儿童}， 而身高H(e)和体重W (e) 都是定义在S上的随 机变量，由它们构成一个向量 (H, W ).
10:46:14 3
实例2 在平面坐标系中，一门大炮向目标 发射一发炮弹. 炮弹落点位置由它的横坐标X和纵坐标 Y来确定. 横坐标X (e)和纵坐标Y (e) 都是定义在同 一个样本空间上的随机变量. 由它们构成一个向量 (X, Y).
10:46:14
4
2. 定义 设E是一个随机试验，样本空间为S={e}， 设X =X (e)和Y =Y (e) 都是定义在S上的随机变量， 由它们构成的向量 (X, Y)，称为二维随机向量或 二维随机变量.
2 2 PX 1， Y 1 2 3 9
PX 2， Y 2 P 0
10:46:15
21
例 1（续）
由此得 X， Y 的分布律为
X
Y
0 1 2
10:46:15
0
1
2
1 9 2 9 1 9
2 9 2 9
0
1 9
0 0
22
例2 设随机变量X 在 1,2,3,4 四个整数中等可能
第三章 多维随机变量及其分布
一般地, 设 E 是一个随机试验,它的样本空间是
S e, 设 X1 X1 e, X2 X2 e, , Xn Xn e
是定义在 S 上的随机变量,由它们构成的一个 n 维向
量 X1, X2, , Xn 叫做 n 维随机向量或 n维随机变
量.
以下重点讨论二维随机变量.
则称 X ,Y 是连续型的二维随
机变量 , 函数 f x, y 称为二维
随机变量（X,Y )的概率密度 ,或 称为随机变量 X 和 Y 的联合概 率密度.
一维随机变量X
连续型
F x x
f tdt
x
X的概率密度函数
f x x R
f (x) 0
y x 2e(2uv) dudv 2 y evdv x e2udu
00
0
0
1 e2x 1 e y
当 x 0或 y 0 时,
F x, y y x
f u,v dudv
0
故
F x, y
求概率 (1)PX 1,Y 3;(2)PX Y 3
解 PX 1,Y 3 f (x, y)dxdy
D
1
dx
3 1 (6 x y)dy
0 28
11 08
(6 y
概率论与数理统计多维随机变量及其分布
第三章 多维随机变量及其分布
在实际应用中, 有些随机现象需要同时用两个或两个以上的随机变量来描述. 例如, 研究某地区学龄前儿童的发育情况时, 就要同时抽查儿童的身高H 、体重W , 这里, H 和W 是定义在同一个样本空间==}{e S {某地区的全部学龄前儿童}上的两个随机变量. 又如, 考察某次射击中弹着点的位置时，就要同时考察弹着点的横坐标X 和纵坐标Y . 在这种情况下，我们不但要研究多个随机变量各自的统计规律，而且还要研究它们之间的统计相依关系，因而还需考察它们的联合取值的统计规律，即多为随机变量的分布. 由于从二维推广到多维一般无实质性的困难, 故我们重点讨论二维随机变量.
第一节 多维随机变量的分布
内容分布图示
★ 二维随机变量
★ 二维随机变量的分布函数 ★ 例1 ★ 二维离散型随机变量及其概率分布
★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6
★ 二维连续型随机变量及其概率密度
★ 例7 ★ 例8 ★ 例9
★ 二维均匀分布 ★ 例10 ★ 二维正态分布 ★ 例11
★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题3-1 ★ 返回
内容要点：
一、 二维随机变量
定义1 设随机试验的样本空间为}{e S =, S e ∈为样本点，而
)(),(e Y Y e X X ==
是定义在S 上的两个随机变量, 称),(Y X 为定义在S 上的二维随机变量或二维随机向量.
二、 二维随机变量的分布函数
定义2 设),(Y X 是二维随机变量, 对任意实数y x ,, 二元函数
},{)}
{()}{(),(y Y x X P y Y P x X P y x F ≤≤≤≤=记为
多维随机变量及其分布
- 62 -
（3）若 f (x、y) 在点 (x、y) 处连续，则有 ∂ 2 F (x，y) = f (x，y) ； ∂x∂y
（4）设 D 是 xoy 平面上任一区域，则点 (x, y) 落在 D 内的概率为
P{( X，Y ) ∈ D} = ∫∫ f (x，y)dxdy .
∫ ∫ =
⎧⎪ ⎨
x 0
y e−(x+ y)dxdy = (1− e−x )(1− e− y ) ， x ≥ 0，y ≥ 0
0
⎪⎩ 0，
其它
∫ ∫ （3） P{X > 1，Y < 1} =
+∞
dx
1
1 e−(x+ y)dy
0
=
1 e
⎛⎜⎝1 −
1 e
⎞ ⎟⎠
.
例 3 设二维随机变量 ( X，Y ) 的密度函数为
F(x，y) = P{X ≤ x，Y ≤ y}
(3.1)
为二维随机变量（X, Y）的分布函数或随机变量 X 和 Y 的联合分布函数，它
表示随机事件{X ≤ x}与{Y ≤ y}同时发生的概率．
将二维随机变量 ( X，Y ) 看成是平面上随机点的坐标，那么分布函数
F (x，y) 在点 (x，y) 处的函数值就是随机点 ( X，Y ) 落在以点 (x，y) 为顶点，位
概率论讲义 第三章 多维随机变量及其分布
第三章 多维随机变量及其分布
在很多随机现象中, 只用一个随机变量来描述往往不够, 而要涉及到多个随机变量. 如炮弹命中点的位置要用一对随机变量(横坐标与纵坐标)来描述, 正弦交流电压要用振幅、频率和相位三个随机变量来描述等等. 要研究这些随机变量之间的联系, 就应当同时考虑若干个随机变量即多维随机变量及其取值规律——多维分布. 本章将介绍有关这方面的内容, 为简明起见, 主要介绍二维情形, 有关内容可以类推到多于二维的情形.
第一节 二维随机变量
一、二维随机变量的分布函数
设E 是一个随机试验, 它的样本空间是S . 设X 、Y 是定义在S 上的随机变量, 则由它们构成的一个向量(X , Y )称为二维随机向量或二维随机变量.
一般地, (X , Y )的性质不仅与X 有关, 与Y 有关, 而且还依赖于X 、Y 的相互关系, 因此必须把(X , Y )作为一个整体来研究.
首先引入(X , Y )的分布函数的概念.
定义 设(X , Y )为二维随机变量, 对于任意实数x 、y , 二元函数
F (x , y ) = P {(X ≤ x )∩(Y ≤ y )}= P {X ≤ x , Y ≤ y }
称为二维随机变量(X , Y )的分布函数, 或称为随机变量X 和y 的联合分布函数.
分布函数F (x , y )表示事件(X ≤ x )与事件(Y ≤ y )同时发生的概率. 如果把(X , Y )看成平面上具有随机坐标(X , Y )的点, 则分布函数F (x , y )在(x , y )处的函数值就是随机点(X , Y )落在平面上的以(x , y )为顶点而位于该点左下方的无限矩形内的概率..
多维随机变量及其分布
在金融领域的应用
投资组合优化
在金融领域，多维随机变量可以用于描述多 种资产的价格波动。通过建立多维随机变量 模型，我们可以分析资产之间的相关性，从 而优化投资组合，降低风险并提高收益。
风险管理
在风险管理方面，多维随机变量可以用于描 述多种金融风险因素（如利率、汇率和股票 价格等）的联合变化。通过建立多维随机变 量模型，我们可以评估这些风险因素对金融 资产价值的影响，并制定相应的风险管理策 略。
多维随机变量的期望和方差
总结词
期望和方差是多维随机变量的重要统计量，用于描述随机变量的中心趋势和离散程度。
详细描述
期望值是随机变量所有可能取值的加权平均，反映了随机变量的中心趋势。方差则是描 述随机变量取值分散程度的量，即离散程度。在多维随机变量中，期望值是一个向量，
方差是一个矩阵。
多维随机变量的协方差和相关系数
多维随机变量及其分 布
• 引言 • 一维随机变量 • 多维随机变量 • 多维随机变量的分布 • 多维随机变量的性质 • 多维随机变量的应用 • 总结与展望
目录
Part
01
引言
定义与概念
多维随机变量
在概率论和统计学中，多维随机变量是一个重要的概念，它指的是一个样本空 间中同时取多个值的变量。多维随机变量可以用来描述多个相关事件的联合概 率分布。
Part
02
多维随机变量及其分布
F(x, y) = ∑ ∑ pij, xi ≤ x y j ≤ y −∞ < x , y < +∞ .
pij = P(X = xi , Y = y j ) 的求法
⑴ 利用古典概型直接求； ⑵ 利用乘法公式
pij = P(X = xi )P(Y = y j X = xi ) .
为有限多个或无穷可列多个, 则称 (X ,Y ) 为二维离散型 r.v.
要描述二维离散型 r.v.的概率特 性及其与每个 r.v.之间的关系常用其 联合分布律和边缘分布律
联合分布律
设( X ,Y )的所有可能的取值为
(xi , y j ),
则称
i, j = 1,2,
P( X = xi ,Y = y j ) = pij ,
( ) 例 设二维随机变量 (X， Y )~ N µ1， µ2， σ12， σ 22， ρ
试求 X 及Y 的边缘密度函数．
解：(X， Y )的联合密度函数为
f (x, y) =
1
2πσ1σ 2 1− ρ 2
( ) ⋅
exp−
2
1 1−
ρ
2
(x
− µ1 )2
σ
2 1
−
2ρ(x
− µ1)(y
σ1σ 2
+∞ 记作
∑ P(X = xi ) = pij = pi•, i = 1,2, j=1
多维随机变量及其分布
第三讲 多维随机变量及其分布
考试要求
1. 理解多维随机变量的概念，理解多维随机变量的分布的概念和性质，理解二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布，理解二维连续型随机变量的概率密度、边缘密度和条件密度.会求与二维随机变量相关事件的概率.
2. 理解随机变量的独立性及不相关的概念，掌握随机变量相互独立的条件.
3. 掌握二维均匀分布，了解二维正态分布的概率密度，理解其中参数的概率意义 .
4. 会求两个随机变量简单函数的分布，会求多个相互独立随机变量简单函数的分布.
一、 各种分布与随机变量的独立性
1. 各种分布
（1）一般二维随机变量 F （x , y ）=P { X ≤ x , Y ≤ y }, x ∈ （−∞, +∞）, y ∈ （−∞, +∞）的性质
F （x , y ）为联合分布函数 ⇔ 1） 0 ≤F （x , y ）≤1 , ∀x ∈ （−∞, +∞）,, y ∈ （−∞, +∞）;
2） F （−∞, y ）= F （x , −∞）=0, F （+∞,+∞）=1;
3） F （x , y ）关于x , y 均为单调不减函数； 4） F （x , y ）关于x , y 均分别右连续.
（2）二维离散型随机变量的联合概率分布、边缘分布、条件分布
联合概率分布律 P {X = x i , Y = y j } = p i j , i , j =1, 2 ,⋅⋅⋅ , p i j
0,
1=∑∑i
j
j
i p
.
边缘分布律 p i
= P {X = x i }=
∑j
j
i p
, i =1, 2 ,⋅⋅⋅ , p
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第三章多维随机变量及其分布
随机向量的定义：
随机试验的样本空间为S={w}，若随机变量X1(w),X2(w),…,X n(w)定义在S上，则称（X1(w),X2(w),…,X n(w)）为n维随机变量（向量）。简记为（X1,X2,…,X n）。
二维随机向量（X,Y），它可看作平面上的随机点。
对（X,Y）研究的问题：
1．（X,Y）视为平面上的随机点。
研究其概率分布——联合分布率、联合分布函数、联合概率密度；Joint
2．分别研究各个分量X,Y的概率分布——边缘（际）分布律、边缘分布函数、边缘概率密度；
marginal
3．X与Y的相互关系；
4．（X,Y）函数的分布。
§二维随机变量的分布
一．离散型随机变量
1．联合分布律
定义若二维随机变量(X,Y)可能取的值(向量)是有限多个或可列无穷多个,则称(X,Y) 为二维离散型随机变量。
设二维离散型随机变量(X,Y)可能取的值(x i,y j), i，j=1,2…,取这些值的概率为
p ij=P{(X,Y)=(x i,y i)}=p{X=x i,Y=y i}i ,j=1,2,…
——
称式为(X,Y)的联合分布律。
(X,Y)的联合分布律可以用表格的形式表示如下：
性质：
(1) p ij 3 0，i, j=1,2,… (2) j
i ij p ,=1
2．边缘分布律
设二维离散型随机变量(X,Y) 的联合分布律为
p ij = P{X=x i ,Y=y i } i, j=1,2,…
分量X 和Y 的分布律分别为 p i.=P{X=x i } i=1,2,… 满足①p i.30②S p i.=1
= p{Y=y i }j=1,2, (30)
S =1
我们称p i.和分别为(X,Y)关于X 和Y 的边缘分布律，简称为(X,Y)的边缘分布律。
二维离散型随机变量(X,Y) 的联合分布律与边缘分布率有如下关系： p i.=P{X=x i }=P{X=x i , S}=P{X=x i ,
j
∑
(Y=y j )}
=j
∑P{X=x i ,Y=y j }=j
∑p ij 同理可得
=i
∑p ij
例1:一整数X 随机地在1，2，3三个整数中任取一值，另一个整数Y 随
机地在1到X中取一值。试求（X,Y）
的联合分布率及边缘分布率。
解：
{}{}{}
, ,3,2,1
3
1 1
/
,
i
j
i
i
i
X
P
i
X
j
Y
P
j
Y
i
X
P
≤=
⨯
=
=
=
=
=
= =
二．联合分布函数与边缘分布函数
1．定义设（X,Y)是二维随机变量，
对任意的实数x,y令
F(x,y)=P{X￡x,Y￡y} 则称 F(x,y)为（X,Y）的联合分布函
数。
2．F(x,y)的性质：
性质1 对于x和y,F(x,y)都是单调不减函数，即若x1 若y1 F(x,y1)￡F(x,y2)。 性质2 对于任意的实数x,y,均有 0￡F(x,y)￡1, F(x,y)=0, Lim → x-∞ F(x,y)=0, Lim → y-∞ F(x,y)=1。 Lim , → y x+∞ 性质3 对于x和y,F(x,y)都是右连续的，即对任意的实数x0和y0，均有 Lim x x + →0 F(x,y)=F(x 0,y), Lim y y + →0F(x,y)=F(x,y 0)。 性质4 若x 1 （X,Y ）落于下图阴影部分的矩形区域内的概率为： F(x 2,,y 2)-F(x 2,y 1)-F(x 1,y 2)+F(x 1,y 1) =P{x 1 例 2 P71, 照书上讲。 3．边缘分布 (X,Y)的分量X，Y的分布函数分别为F X(x)和F Y(y)，称它们为X，Y 的边缘分布函数。它们与F(x,y)的关系如下： F X(x)=P{X￡x}=P{X ￡x,-∞ F Y(y)=P{Y￡y}=P{-∞ 例2：(第一版)设 ⎩ ⎨ ⎧≥≥+--=----其它 00 ,01),(~),(2 22 2 22y x e e e y x F Y X y x y x , 求：(1) (X,Y)的边缘分布函数； (2)P(1≤x ≤2,-1≤y ≤3)。 (3)P(X>2,Y>3)=1- P(X ≤2,Y ≤3)