多维随机变量及其分布

第三章多维随机变量及其分布
随机向量的定义：
随机试验的样本空间为S={w}，若随机变量X1(w),X2(w),…,X n(w)定义在S上，则称（X1(w),X2(w),…,X n(w)）为n维随机变量（向量）。

简记为（X1,X2,…,X n）。

二维随机向量（X,Y），它可看作平面上的随机点。

对（X,Y）研究的问题：
1．（X,Y）视为平面上的随机点。

研究其概率分布——联合分布率、联合分布函数、联合概率密度；Joint
2．分别研究各个分量X,Y的概率分布——边缘（际）分布律、边缘分布函数、边缘概率密度；
marginal
3．X与Y的相互关系；
4．（X,Y）函数的分布。

§二维随机变量的分布
一．离散型随机变量
1．联合分布律
定义若二维随机变量(X,Y)可能取的值(向量)是有限多个或可列无穷多个,则称(X,Y) 为二维离散型随机变量。

设二维离散型随机变量(X,Y)可能取的值(x i,y j), i，j=1,2…,取这些值的概率为
p ij=P{(X,Y)=(x i,y i)}=p{X=x i,Y=y i}i ,j=1,2,…
——
称式为(X,Y)的联合分布律。

(X,Y)的联合分布律可以用表格的形式表示如下：
性质：
(1) p ij 3 0，i, j=1,2,… (2) j
i ij p ,=1
2．边缘分布律
设二维离散型随机变量(X,Y) 的联合分布律为
p ij = P{X=x i ,Y=y i } i, j=1,2,…
分量X 和Y 的分布律分别为 p i.=P{X=x i } i=1,2,… 满足①p i.30②S p i.=1
= p{Y=y i }j=1,2, (30)
S =1
我们称p i.和分别为(X,Y)关于X 和Y 的边缘分布律，简称为(X,Y)的边缘分布律。

二维离散型随机变量(X,Y) 的联合分布律与边缘分布率有如下关系： p i.=P{X=x i }=P{X=x i , S}=P{X=x i ,
j
∑
(Y=y j )}
=j
∑P{X=x i ,Y=y j }=j
∑p ij 同理可得
=i
∑p ij
例1:一整数X 随机地在1，2，3三个整数中任取一值，另一个整数Y 随
机地在1到X中取一值。

试求（X,Y）
的联合分布率及边缘分布率。

解：
{}{}{}
, ,3,2,1
3
1 1
/
,
i
j
i
i
i
X
P
i
X
j
Y
P
j
Y
i
X
P
≤=
⨯
=
=
=
=
=
= =
二．联合分布函数与边缘分布函数
1．定义设（X,Y)是二维随机变量，
对任意的实数x,y令
F(x,y)=P{X￡x,Y￡y} 则称 F(x,y)为（X,Y）的联合分布函
数。

2．F(x,y)的性质：
性质1 对于x和y,F(x,y)都是单调不减函数，即若x1<x2,对任意的实数y，则有 F(x1,y)￡F(x2,y)；
若y1<y2,对任意的实数x，则有
F(x,y1)￡F(x,y2)。

性质2 对于任意的实数x,y,均有
0￡F(x,y)￡1, F(x,y)=0,
Lim
→
x-∞
F(x,y)=0, Lim
→
y-∞
F(x,y)=1。

Lim
,
→
y
x+∞
性质3 对于x和y,F(x,y)都是右连续的，即对任意的实数x0和y0，均有
Lim x x +
→0
F(x,y)=F(x 0,y), Lim y y +
→0F(x,y)=F(x,y 0)。

性质4 若x 1<x 2, y 1<y 2, 则 F(x 2,,y 2)-F(x 2,y 1) -F(x 1,y 2)+F(x 1,y 1)30
（X,Y ）落于下图阴影部分的矩形区域内的概率为：
F(x 2,,y 2)-F(x 2,y 1)-F(x 1,y 2)+F(x 1,y 1) =P{x 1<X ￡x 2,y 1<Y ￡y 2}
例 2 P71,
照书上讲。

3．边缘分布
(X,Y)的分量X，Y的分布函数分别为F X(x)和F Y(y)，称它们为X，Y 的边缘分布函数。

它们与F(x,y)的关系如下：
F X(x)=P{X￡x}=P{X ￡x,-∞<Y<+∞}=F(x,+∞)，
F Y(y)=P{Y￡y}=P{-∞<X<+∞,Y ￡y}=F(+∞,y)。

例2：(第一版)设
⎩
⎨
⎧≥≥+--=----其它
00
,01),(~),(2
22
2
22y x e e e y x F Y X y x y x ,
求：(1) (X,Y)的边缘分布函数；
(2)P(1≤x ≤2,-1≤y ≤3)。

(3)P(X>2,Y>3)=1-
P(X ≤2,Y ≤3)
三．连续性随机变量 1．联合概率密度
定义 设(X,Y)的联合分布函数为F(x,y),若存在非负函数f(x,y),使得对于任意的实数x,y 均有 F(x,y)=-∞
⎰x
⎰∞
-y dvdu v u f ),( （
则称(X,Y)为连续型随机变量，并称f(x,y)为(X,Y)的联合概率密度，简称为概率密度。

2．f(x,y)有如下性质：
性质1 f(x,y)30
性
质
2
⎰∞
∞
-⎰∞
∞-dxdy y x f ),(=1
性质3 若f(x,y)的连续点(x,y)处，有
(
)
)
,(),(),("2
y x f dvdu
v u f x
y y x F xy
x y
==⎰⎰
∞-∞
-∂∂∂
性质 4 若随机点(X,Y)落于平
面上相当任意的区域D 内记为(X,Y)∈D,则
P{(X,Y)∈D}=f x y dxdy D
(,)⎰⎰
（）
注：在f(x,y)非0域与D 公共部分积分有非0值。

P71例2
例3：（第一版书上例） 设(X,Y)的联合概率密度为
f(x,y)=
{
)(0
y x e
+-0,0≥≥y x 其他
求(1)(X,Y) 的联合分布函数F(x,y); (2) P{X>1}
(3)P{(X,Y)∈ D}，其中D={(x,y):x+y ￡1}; (4)P{X 2
3Y}
解：注意),(y x f 的非零域为H
（1）⎰⎰
∞-∞
-=
x y
dxdy y x f y x F ),(),(，
当0,0>>y x 时，
⎰⎰--=x
y
y
x
dy e dx e y x F 0
),(
)1)(1(y
x e e --=-
其他0),(=y x F
∴
⎩
⎨
⎧>--=--其他
0,0)
1)(1(),(y
x e e y x F y
x
（
2
）
P{X>1}=1-
P{X ≤1}=1-Fx(1)=1- F(1,+∞) =1
-e (3) P{(X,Y)∈D}=⎰⎰
D
dxdy y x f ),(
=
⎰⎰--2
G dxdy y x e =⎰⎰---1010
x dy y e dx x e =⎰----10
))1(1(dx x e x e =⎰---10
)1(dx e x e =121--e
(4) P{X 2
3Y}=⎰⎰≥y
x dxdy y x f 2),(
= ⎰⎰--3
G y
x dxdy e
=⎰⎰∞
+--0
2
x y
x
dy e dx e
=⎰∞
+--0
dx e x
⎰∞
+--0
2dx e
x
x
=2
2
212210
4
1
2121
[1⎪
⎭
⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛---
∞
+⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⎰
x e e
ππ]
注2
2
212212121
⎪
⎭
⎫ ⎝⎛⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡+--⎪⎭
⎫ ⎝⎛x e
π是))2
2(,21(2
-N 的
概率密
度
，即
2
2
212212121
⎪
⎭
⎫ ⎝⎛⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡+--⎪⎭
⎫ ⎝⎛x e π=
2
211
⎪⎭
⎫
⎝⎛+-x e
π
(
1)(1)(0
σ
-
Φ-=≤-=>x x x P x x P
可
知
(1222101)0(Φ-=⎪
⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛--Φ-=>x P ∴
P{X 2
3Y}=1-⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ-2214
1
πe .
3．边缘概率密度
设二维连续型随机变量(X,Y) 联合分布函数、联合概率密度分别为F(x,y),f(x,y),分量X,Y 的边缘分布函数分别为F X (x)、F Y (y)。

利用边缘分布函数与联合分布函数的关系及
式，可得 F X (x)=F(x,+
￥)=[
]
⎰⎰∞-+∞
∞-x
du dy y u f ),( F Y (y)=F(+
￥,y)=
[]⎰⎰∞
-+∞
∞
-y
dv dx v x f ),(
记：f X (x)=f x y dy (,)-∞
+∞
⎰ 为X 的边
缘概率密度函数；f Y (y)=
f x y dx (,)-∞
+∞
⎰
为
Y 的边缘概率密度
函数。

例2： P74
例3： P75 即下面的例5（第一版）,
若二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为
f(x,y)=
()
(
e
x y x ⎢⎢⎢⎣
⎡+
--
-⎪⎭⎫ ⎝
⎛--
--σ
μσμσ
μρ
πρ
ρ
σσ2
2
1
121
2
21121
21212
21
其中1
2
1
2
μμσσ
ρ
，，，，均为常数，且
1
20011σ
σρ>>-<<,,,则称(X,Y)服从
参数为1212μμσσρ，，，，的二维正态分布,通常记为 (X,Y)服从于N ()1
1
22
2
2μσμσ
ρ
,,,,。

求：(X,Y)的边缘概率密度 f X (x) ,f Y (y)。

解：
⎰
+∞
∞
-=
dy
y x f x f x ),()(令
u y =-2
2
σμ：
μσd dy 2
=且
),(y x f 中e 的指数部分改
写为：
212
12
1122
12
1221122
22
2221121212)(21)1(21)()1()()1(21)(2)()1(21
σμσμρρσμρσμρρσμσμσμρσμρ--⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛----=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡--+----=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-⋅-----x x u x x u y y x x
⎰∞
+∞
--------=
∴21112(21)()
1(21
2
2
1
121
)(σμσμρρρ
σ
πσx x u x e
x f
⎰
∞+∞
-----
--
-=)
1(2)(2
2)
(1
22
11
2
1
2
112121
ρσμρ
σμρ
πσπx u x e
e
⎰
∞
+∞
-----
-)
1(2)(2
22
11
121ρσμρ
ρ
πx u e
是())1,(2
2
1
ρ
σ
μ
ρ
--x N 的积分函数，∴ 积
分=1。

2
12
12)(1
21)(σμσπ--
=
∴x x e
x f 即
知：X 服从于),(2
11σμN ，同理：Y 服从于),(2
22σμN 结果表明：
（1）二维正态分布
),,,(2
2
22
11ρσμσμN ，其边缘分布都
是一维正态分布),(2
11σμN 和
),(2
22σμN 。

而反之不然。

（2）二维.边缘分布是由联合分布唯一确定。

（见第一版习题）
例4： （第一版 书上例） 设(X,Y)在圆域D={(x,y): x 2+y 2￡ r 2
}(r > 0)上服从均匀分布，其联合概率密度为 f(x,y)=
{
1
2
πr
其他
2
2
2
x y r
+≤
求(1)P{
8
2
r
<X 2+Y 2
￡
4
2
r
};
(2)(X,Y)的边缘概率密度函数f X (x) ,f Y (y)。

§ 条件分布
由条件概率引出条件概率分布的概念。

定义 1 设(X,Y)是二维离散型随机变量，对于固定的j ，若0}{>=j y Y P ，
则称
j
p
ij p
j y Y P j y Y i x X P j y Y i x X P •=
======}{},{}/{
例1， P77，一射手进行射击，击中目标的概率为p(0<p<1),射击到击中目标两次为止。

设以X 表示首次击中目标所进行的射击次数，以Y 表示总共进行的射击次数，试求X 和Y 的联合分布律及条件分布律。

解：
定义2 （不严格），设(X,Y)的概率密度为
),(y x f ，记)/(/y x Y
X f 为在条件Y=y
下X 的条件概率密度，则 ),(y x f
)
(),()/(/y Y
f y x f y x Y X f
P79 求条件边缘分布和密度公式的推导过程。

公式和.
例2 P79，
例3 P80，
§随机变量的独立性
1．概念：
定义设(X,Y)的联合分布函数为F(x,y),X,Y的边缘分布函数分别为F X(x), F Y(y)。

若对任意的实数x,y，均有F(x,y)=F X(x)·F Y(y)
即P{X￡x,Y￡y}=P{X ￡x}·P{Y￡y}
则称X,Y相互独立。

例1． 电子仪器由两个部件构成，以
X 和Y 分别表示两个部件的寿命（单位千小时）。

已知X 和Y 的联合分布函数为：
⎩
⎨
⎧≥≥+--=+---其他
,01),()
(5.05.05.0y x e
e
e y x F y x y
x
,
(1) 问X 与Y 是否独立
解：独立。

因为：
)
(5.05.05.05.05.01)1)(1(y x y
x
y
x
e
e e e e
+-----+--=--
2．判断两个随机变量是否独立的定
理
定理二维随机变量(X,Y)的两个
分量X,Y相互独立的充要条件是：对
任意的实数x1<x2,y1<y2,均有
P{x1<X￡x2,y1<Y￡y2}=P{x1<X
￡X2}· P{ y1<Y￡y2}。

定理’二维随机变量(X,Y)的两个
分量X,Y相互独立的充要条件是：对
任意的实数x,y,均有
P{X>x,Y>y}=P{X>x}P{Y>y}
定理设二维离散型随机变量
(X,Y)的联合分布律，边缘分布律分
别为p ij, p i. ,, i,j=1,2,…,则 X,Y 相互独立的充要条件是：对任意的i,j均有
p ij=
即
P{X=x i,Y=y j}=P{X=x i}·P{Y=y j}
定理设连续型随机变量X,Y的概率密度分别为f X(x) ,f Y(y)，则X,Y相互独立的充要条件是：
f X(x)f Y(y)=f(x,y)
其中：f(x,y)是（X,Y）的联合概率密度。

例6：（续例第一版）第二版P82，
这里的结论很重要。

设 (X,Y)服从于N ()1
1
22
2
2μσμσ
ρ
,,,,，证
明 X,Y 相互独立的充要条件是：
ρ=0。

证明：由第一版例知（X,Y ）的联合概率密度、X 和Y 的边缘概率密度分别为
e
y x
y x f
y
x
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
-
-
-
-
-
-
-
-
=
σ
μ
σσ
μ
μ
σ
μ
ρ
π
ρ
ρ
σσ
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
)2
(
)1
(
1
2
1
),(
)
)(
(
2
)
1(2
1
2
2
1
e
f
x
x
X
σ
μ
πσ21
2
2
1
)1
(
2
1
)(
-
=-
e f y y Y σμπ
σ2
2
2
22
)2(21
)(-=-
充分性 若r=0，此时二元函数 f X (x)f Y (y)=f(x,y) 是(X,Y)的联合概率密度，所以X,Y 相互独立；
必要性 若X,Y 相互独立，则 f(x,y)=f X (x)f Y (y) 取x=m 1、y=m 2代入上式，即得
σσρ
σ
σπππ
212
2
1
21
21121
•
=-
于是r=0。

例1 P83，挺怪一例子，好象是为了算概率而不是为了说明这段的内容。

3．二维随机变量独立性概念的推广
定义 设(X 1、X 2、…、X n )是n 维随机变量，其联合分布函数和一维边缘分布函数分别为F(x 1、x 2、…、,x n )、
)(11
x F X
、)(22
x F
X 、…、
)
(x F n
X n
,若对
任意的实数x 1、x 2、…、x n 均有 F(x 1
、
x 2、…、,x n )=)(1
1
x F X ·)(2
2
x F X …)(x F n
X n
则称X1、X2、…、X n相互独立。

定义设X1、X2、…、X n、…是一列随机变量，若其中任意有限个随机变量是相互独立的，则称这一列随机变量是相互独立的。

§多维随机变量函数的分布
这一节是很重要的内容，一般概率统计的考试必有这些内容的考题。

特别是本节例1，3，4以及Max(X,Y)，Min(X,Y)的分布等内容，
很有代表性。

一．离散型随机变量（X，Y）的函数的概率分布
例1：已知（X，Y）的分布律为：
求：Z1=X+Y，Z2 =max（X，Y）的分布律。

二．连续型随机变量（X，Y）的函数的概率分布
1．已知（X，Y）~f(x,y)，求Z=g （X，Y）的概率密度。

（1） Z~F Z (z)=P(Z ￡z)=P{g （X ，Y ）
￡z}=⎰⎰≤Z
Y X g dxdy y x f ),(),(,
（2） Z~f Z (z)= F ’
Z (z)
2．已知（X ，Y ）~f(x,y)，求Z=X+Y 的概率密度
定理 若(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)，则Z=X+Y 的概率密度为
f Z (z)=⎰∞
∞--dx x z x f ),( 或
f Z (z)=⎰∞∞--dy y y z f ),(。

证明：P85---86. 讲P85.。

推论 若X,Y 相互独立，它们的概率密度分别为f X (x)和f Y (y)，则独立和Z=X+Y 的概率密度为 f Z
(z)=⎰
∞
∞
--dx
x z f x f Y X )()(
或 f Z (z)=⎰∞
∞--dy y f y z f Y X )()(
例1 P86 设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，它们都服从N(0,1),即。

求Z=X+Y 的概率密度。

一般，设X ，Y 相互独立且
),(~21
1σμN X ，
，则Z=X+Y 仍然服从正
态分布，且有),(~22
2121σσμμ++N Z 。

此结论可以推广到n 个独立正态随机变量之和的情况。

即若
),...,2,1(),,(~2
n i N X i
i i =σμ，且它们相
互独立，则它们的和
n X X X Z +++=...21仍然服从正态分
布，且
有
)...,...(~222
21
21n
n N Z σσσμμμ++++++
更一般地，可以证明有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍
),(~22
2σμN Y
然服从正态分布。

例2 P87
例3 P88
例3结论的推广，n个相互独立的Γ分布变量之和仍服从Γ分布。

例(第一版)：设R．V. X与Y相互独
立，X～f
X (x)=
⎩
⎨
⎧≤
≤
其他
1
1x
, Y～
f
Y (y)=
⎩
⎨
⎧
≤
>
-
y
y
e y
, 求 Z=X+Y的分布密
度函数。

例：（书上例）已知X,Y相互独立，均服从N(0,1)，求Z=X+Y的概率密度。

例（第一版）：（书上例）设X,Y 相互独立，它们的概率密度分别为
f X(x)={2
x1
0≤
≤x
其他，f Y(y)=
{2
y1
0≤
≤y
其他,求
Z=X+Y的概率密度。

3．M=max（X，Y），N=min（X，Y）的概率分布
定理若X,Y相互独立，它们的分布函数分别为F X(x)，F Y(y),则
(1)M=max(X,Y)的分布函数为：
F M(z)=F X(z)·F Y(z)
(2)N=min(X,Y)的分布函数为：
F N(z)=1-(1-
F X(z))·(1-F Y(z))
这里的结论很重要。

可以推广到更一般的情形。

如。

定理已知X1、X2、…、X n相互独立。

(1)若j1(X1)、j2(X2)、…、 j n(Xn)分别是X1、X2、…、X n的函数，则j1、
j2、…、 j n相互独立。

(2)若j是X1、X2、…、X n中某k个随机变量X i1、X i2、…、X ik的函数，y 是另外m个随机变量X j1、X j2、…、X jl的函数，则j，y相互独立。

本章习题：
1, 5, 6(1), 8, 14, 15(1), 18.。