推荐-正弦型函数y=Asin(wx+b)复习课 精品
正弦函数y=Asin(wx+)(A0,w0)的图象教案
函数y=Asin(wx+ϕ)(A>0，w>0)的图象一、三维目标： 1．知识与技能:⑴分别通过对三角函数图像的各种变换的复习，进一步让学生了解三角函数图像各种变换的实质和内在规律。
⑵通过对函数y = Asin(wx+4)(A>0，w>0)图象的探讨，让学生进一步掌握三角函数图像各种变换的内在联系。
2．过程与方法：培养学生观察问题和探索问题的能力。
3．情感态度与价值观：⑴通过本节课的学习体验研究数学问题的基本方法：从具体到抽象，从特殊到一般； ⑵学会用运动变化的观点看待数学问题之间的内在联系。
二、教学重难点：1．重点： 函数y = Asin(wx+ϕ)的图像的画法和图像与函数y=sinx 图像的关系。
2．难点：各种变换内在联系的揭示。
三、教学过程： 1．引入新课：⑴“五点法”作函数y=sinx 简图的步骤，其中“五点”是指什么？ ⑵)(k x f +的图象与)(x f 的图象有什么样的关系？ 2．新课讲授问题1:函数y = sin(x ±k)(k>0)的图象和函数y = sinx 图像的关系是什么？生答：函数y = sin(x ±k)(k>0)的图像可由函数y = sinx 的图像向左(或右)平移k 个单位而得到，这种变换实际上是纵坐标不变，横坐标增加(或减少)k 个单位，这种变换称为平移变换。
问题2:函数y = sinwx (w>0)的图像和函数y = sinx 图像的关系是什么？学生答：函数y = sinwx(w>0)的图像可由函数y = sinx 的图像沿x 轴伸长(w<1)或缩短(w>1)到原来的ω1倍而得到，称为周期变换。
这种变化的实质是纵坐标不变，横坐标伸长(0<w<1)或缩短(w>1)到原来的ω1倍。
问题3：函数y = Asinx(A>0)的图像和函数y = sinx 图像的关系是什么？学生答：函数y = Asinx 的图像可由函数y = sinx 的图像沿y 轴伸长(A>1)或缩短(x<1)到原来的A 倍而得到的，称为振幅变换。
高中数学(人教B版)必修第三册：正弦型函数的性质与图像【精品课件】
A
O
2x
y 2sin x
x
0 3 2
2
2
sin x
0 1 0 1 0
y 2sin x 0 2 0 2 0
y 2sin x
y y 2sin x, x 0, 2π
2
1
3π
2
O ππ
-1
2
2π x
-2
y sin x, x 0, 2π
y 2sin x
x
0 3 2
2
2
sin x
0 1 0 1 0
π 2π 7π 5π 6 363
π
π
3π 2π
2
2
1 0 1 0
y sin(x+ π ) 3
y sin x y sin(x ) 3
x0
,
y0
x0
3
,
y0
向左平移 个单位
3
定义域：R
值域：1, 1
周期：T 2
y sin(x π ) 3
y
O π1
x
3
A
x
π
3
uxπ 0 3
y sin(x π ) 0 3
2
2
2
0
1
0
1
0
0
3
0
3
0
y 3sin(2x π ) 3
y sin x y 3sin(2x ) 3
x0
,
y0
x0
2
3
, 3y0
y 3sin(2x π )
3
y sin x y 3sin(2x )
y 2
3
1
3π
2
x0
,
高一专题- 正弦型函数图像与性质
又对任意的
x
，都使得
f
( x)…f
π (
)
，
3
所以函数 f (x) 在 x = π 上取得最小值， 3
专题 15 正弦型函数的图像与性质
模块一：函数 y=Asin(wx+φ）的图像与性质
1．正弦函数 y = sin x ．
正弦函数 y = sin x
图象
-2π
3
π
π
2
y
1 π
2
3
π 2
2π
O
π
π
x
2
-1
定义域 值域
R [−1 ，1]
性质
最小正周期 对称性
对称轴 对称中心
2π
直线 x = π + kπ (k ∈ Z)
数的单调区间可以通过图象的直观性求解，或根据解不等式的方法去解答，
列不等式的原则是：①把“ ωx + φ(ω > 0) ”视为一个“整体”．② A > 0
( A < 0) 时，所列不等式的方向= 与 y sin x ( x ∈ R= ) 、 y cos x ( x ∈ R) 的单
调区间对应的不等式的方向相同（反）．
42
32
3
在 [−π , − π ] 上， 2 x ∈[− 2π ， − π ] ，函数 f (x) = sin 2 x 无单调性，故 C 不正确；
4
3
3
6
3
在 [− 3π ,0] 上， 2 x ∈[π ， 0] ，函数 f (x) = sin 2 x 单调递增，故 D 正确，
4
32
3
故选： D ．
（5）已知函数 f (x)=
第06讲 函数y=Asin(wx ψ)的图象及其应用 (精讲+精练)(教师版)
第06讲 函数sin()y A x ωϕ=+的图象及其应用(精讲+精练）目录第一部分：知识点精准记忆 第二部分：课前自我评估测试 第三部分：典型例题剖析高频考点一：函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换 高频考点二：根据图象确定函数sin()y A x ωϕ=+的解析式高频考点三：五点法作图高频考点四：三角函数图象、性质的综合应用角度1：图象与性质的综合应用 角度2：函数的零点（方程的根）的问题角度3：三角函数模型第四部分：高考真题感悟第五部分：第06讲 函数sin()y A x ωϕ=+的图象及其应用（精练）1、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)在正弦函数sin y x =,[0,2]x π∈的图象上,五个关键点是:(1)先平移后伸缩 (2)先伸缩后平移1．（2022·全国·模拟预测）将函数()()4sin 023f x x πωω⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭的图像向右平移2π个单位长度后得到的函数图像关于原点对称，则函数()f x 图像的一条对称轴的方程是（ ） A ．2x π=B ．x π=C ．52x π=D ．134x π=【答案】D 【详解】将函数()4sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移2π个单位长度后得到4sin 32y x ππωω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图像，则由题知32k ππωπ-=，k ∈Z ，解得223k ω=-，k ∈Z ．又02ω<<，故23ω=，所以()24sin 33πf x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．令()112332x k k πππ+=+∈Z ，解得()11324x k k ππ=+∈Z ，当10k =时，解得4x π=，当11k =时，解得74x π=，当12k =时，解得134x π=，A 、B 、C 错误，D 正确. 故选：D ．2．（2022·北京通州·模拟预测）将函数cos 22y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移2π个单位长度后，所得图象对应的函数为（ ） A ．sin 2y x = B ．sin 2y x =-C ．cos 2y x =D ．cos2x y =-【答案】A 【详解】将函数cos 22y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移2π个单位长度后，所得图象对应的函数为cos 2cos 2sin 2222y x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选：A.3．（2022·吉林吉林·模拟预测（文））将函数()sin 2f x x =的图象向左平移6π个单位后得到函数()g x 的图象，则函数()g x 在[]0,π上的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B 【详解】()sin 2f x x =的图象向左平移6π个单位可得()ππsin 2sin 263g x x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，[]0,πx ∈，则ππ7π2,333x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，正弦函数y =sin t 在π7π,33t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有2个零点，故g (x )在[]0,π上有2个零点．故选：B ．4．（2022·北京师大附中高一期中）要得到函数2sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需把函数2sin 2y x =的图象（ ）A ．向左平移3π个单位 B ．向右移3π个单位 C ．向左平移6π个单位 D ．向右平移6π个单位【答案】D 【详解】由题设2sin 22sin 2()36y x x ππ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以只需把函数2sin 2y x =的图象向右平移6π个单位. 故选：D5．（2022·陕西·榆林市第一中学高一期中（文））若函数()()πcos 20,02f x A x A ϕϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则()πf =（ ）A ．0B ．12CD【答案】D因为π,08⎛⎫⎪⎝⎭为五点作图法的第2点，所以ππ2π42k ϕ+=+，k ∈Z ． 因为π02ϕ<<，所以π4ϕ=，又函数图象过点(，所以cos 4A π=2A =．所以()π2cos 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即()ππ2cos 4f == 故选：D .高频考点一：函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换例题1．（2022·河南·模拟预测（文））由函数sin 2y x =的图象经过图象变换得到函数πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，则这个变换过程为（ ）A ．向左平移π8个单位长度，把所有点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变） B ．向左平移π4个单位长度，把所有点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变）C ．把所有点的横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变），向左平移π4个单位长度D ．把所有点的横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变），向左平移π8个单位长度 【答案】A 【详解】sin 2y x =的图象经过图象变换得到函数πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象,可先平移后伸缩：将函数图象向左平移π8个单位长度得ππsin 2()sin(2)84y x x =+=+，再将所有点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），即可得到πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；先伸缩后平移：把所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到1sin 2sin 2y x x =⨯=，再将图象左移π4个单位，得到πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象.故选：A例题2．（2022·河南许昌·三模（文））要得到函数2cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，只需把函数2cos2y x =的图像上所有的点（ ） A ．向右平移12π个单位长度 B ．向左平移12π个单位长度C ．向右平移3π个单位长度 D ．向左平移6π个单位长度【答案】B 【详解】把函数2cos2y x =上所有的点向左平移12π个单位长度可得：2cos 22cos 2126y x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选：B.例题3．（2022·陕西·二模（理））要得到函数cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 2y x =的图象（ ）A ．向左平移12π个单位长度 B ．向左平移512π个单位长度 C ．向右平移12π个单位长度D ．向右平移512π个单位长度 【答案】B 【详解】因为函数sin 2cos 2cos 224y x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，5cos 2cos 2cos 236412y x x x ππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，所以要得到函数cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 2y x =的图象向左平移512π个单位长度.故选：B.例题4．（2022·江西上饶·二模（理））为得到函数()2cos 23g x x π=-⎛⎫ ⎪⎝⎭的图象，只需把函数()2sin 26f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图像（ ） A ．向左平移4π个单位 B ．向左平移2π个单位 C ．向右平移4π个单位 D ．向右平移2π个单位 【答案】D 【详解】对于A ，()f x 向左平移4π个单位得：2sin 22cos 24266f x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-++=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，A 错误；对于B ，()f x 向左平移2π个单位得：2sin 226f x x πππ⎛⎫⎛⎫+=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2sin 22cos 22cos 26623x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，B 错误；对于C ，()f x 向右平移4π个单位得：2sin 22cos 24266f x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，C 错误；对于D ，()f x 向右平移2π个单位得：2sin 226f x x πππ⎛⎫⎛⎫-=--+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2sin 22cos 22cos 26623x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，D 正确.故选：D.题型归类练1．（2022·安徽·高一期中）要得到πsin 23x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 2x y =的图象（ ）A ．向左平移π3个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移2π3个单位长度 D ．向右平移2π3个单位长度 【答案】D解：将sin 2x y =向右平移2π3个单位长度得到12ππsin sin 2323x y x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．故选：D ．2．（2022·北京八中高一期中）要得到cos 2y x =的图象，只要将sin 2y x =的图象（ ） A ．向左平移8π个单位 B ．向右平移8π个单位 C ．向左平移4π个单位 D ．向右平移4π个单位 【答案】C 【详解】解：因为sin 2cos 2cos 224y x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以要得到cos 2y x =的图象，只要将sin 2y x =的图象向左平移4π个单位， 故选：C.3．（2022·湖北·高一期中）要得到函数24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数y x =的图象上所有的点的（ ）A ．横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再向左平行移动8π个单位长度 B ．横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再向右平行移动8π个单位长度 C ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动4π个单位长度 D ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动4π个单位长度 【答案】B 【详解】由y x =可得2y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，把曲线2y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的上的点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，则可得到22y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，再将该图象向右平移8π个单位，则可得24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，故B 正确.故选：B.4．（2022·全国·高三专题练习）要得到()sin 3y x =-的图象，需将)cos3sin 3y x x =-的图象（ ） A ．向右平移π4个单位B ．向左平移π4个单位C ．向右平移π12个单位 D ．向左平移π12个单位 【答案】D 【详解】)πππcos3sin3sin cos3cos sin3sin 3444y x x x x x ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭πsin 312x ⎡⎤⎛⎫=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，由πsin 312y x ⎡⎤⎛⎫=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦向左平移π12得到()sin 3y x =-.故选：D高频考点二：根据图象确定函数sin()y A x ωϕ=+的解析式例题1．（2022·河南洛阳·一模（理））已知函数()2sin 3f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭在[],ππ-上的图象如图所示，现将其图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，则()g x =（ ）A ．2sin 33x π⎛⎫+⎪⎝⎭B ．32sin 43x π⎛⎫+⎪⎝⎭C ．32sin 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．82sin 33x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】A 【详解】根据变换可得209g π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 对A ，22sin 3sin 0093ππ⎡⎤⎛⎫⨯-+== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故A 符合； 对B ，322sin sin 04932πππ⎡⎤⎛⎫⨯-+=≠ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故B 不符合； 对C ，322sin sin 02933πππ⎡⎤⎛⎫⨯-+=≠ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故C 不符合； 对D ，8222sin sin 039327πππ⎡⎤⎛⎫⨯-+=≠ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故D 不符合. 故只有A 正确； 故选：A.例题2．（2022·内蒙古赤峰·模拟预测（理））已知函数()()cos 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象大致如图所示．将函数()2236g x f x f x ππ⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象向左平移02πθθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位后，所得函数为偶函数，则θ=（ ）A ．6πB ．3π C ．8π D ．12π 【答案】C 【详解】由图可知，1A =，22436πππω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，可得1ω=，又由五点画图法有106πϕ⨯+=，可得 6πϕ=-，可得()cos 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()cos 2cos 2sin 2cos 2236664g x x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--++-=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，函数()g x 向左平移02πθθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位后，所得函数为()()22244h x x x ππθθ⎡⎤⎛⎫=++=++ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，由奇偶性及02πθ<<，可得242θππ+=，可得8θπ=． 故选：C例题3．（2022·全国·高三专题练习）函数()2sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><的部分图象如图所示，若12,(,)63x x ππ∈-，且()()12f x f x =，则()12f x x +=________．【详解】由题意知，函数()=2sin()f x x ωϕ+中，周期2[()]36T πππ=--=，所以22T πω==， 又函数图象过点(0)6π-，， 即2()26k k Z πϕπ⨯-+=∈，，得23k k Z πϕπ=+∈，，又2πϕ<，所以3πϕ=，所以()=2sin(2)3f x x π+；由2sin(2)23x π+=，得图象的最高点坐标为(2)12π，，因为12()63x x ππ∈-、，且12()()f x f x =，所以12=2126x x ππ+⨯=，故12)=2sin(263f x x ππ⎛⎫+⨯+= ⎪⎝⎭题型归类练1．（2022·全国·高三阶段练习（理））已知函数()()cos f x A x ωϕ=+（其中0A >，0>ω，π2ϕ<的部分图象如图所示；将函数()f x 图象的横坐标伸长到原来的6倍后，再向左平移π4个单位，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 在（ ）上单调递减．A ．[]6π,5π--B ．[]2π,4πC ．[]4π,6πD ．[]4π,3π--【答案】D 【详解】根据函数()()cos f x A x ωϕ=+的图象，可得2A =，311ππ3π41264T =-=， 则2ππT ω==，则2ω=，故()()2cos 2f x x ϕ=+；由π26f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，可得()π2π3k k Z ϕ+=∈，解得()π2π3k k Z ϕ=-+∈，因为π2ϕ<，可得π3ϕ=-，所以()π2cos 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，将函数()f x 图象的横坐标伸长到原来的6倍后，得到1π2cos 33y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再向左平移π4个单位后，得到()1π2cos 34g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令1π2ππ2π,34k x k k Z ≤-≤+∈，解得3π15π6π6π,44k x k k Z +≤≤+∈， 令1ππ2π2π,34k x k k Z -+≤-≤∈，解得9π3π6π6π,44k x k k Z -+≤≤+∈， 所以函数()g x 单调递增区间为9π3π[6π,6π],44k k k Z -++∈， 单调递减区间为3π15π[6π,6π],44k k k Z ++∈，所以函数()g x 在[]6π,5π--上先增后减，在[]2π,4π上先减后增， 在[]4π,6π上单调递增，在[]4π,3π--上单调递减. 故选：D ．2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()sin()0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 的图象关于点,03π⎛-⎫⎪⎝⎭对称B ．()f x 的图象向右平移6π个单位后得到sin2y x =的图象C ．()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最小值为D ．6f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭为偶函数【答案】D 【详解】由图象知1(0)sin 2f ϕ==，又02πϕ<<，故6π=ϕ； 再由图象知213f π⎛⎫=-⎪⎝⎭且2433T ππ<<， 故23362πωππ+=，解得2ω=， 即()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于A ：由13f π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭知A 选项错误；又()f x 的图象向右平移6π个单位后得到的函数为sin 2sin 266f x x x ππ⎛⎫⎛⎫-=-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 选项错误；当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为122f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故C 错误.由sin 2cos 262f x x x ππ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，6f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭为偶函数，故D 选项正确.故选：D3．（2022·天津·二模）如图所示的曲线为函数()()cos f x A x ωϕ=-（0A >，0>ω，2πϕ<）的部分图象，将()y f x =图象上的所有点的横坐标伸长到原来的32，再将所得曲线向右平移8π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则（ ）A ．函数()g x 在513,2424⎡⎤⎢⎥⎣⎦ππ上单调递减B ．点3,08π⎛⎫⎪⎝⎭为()g x 图象的一个对称中心C ．直线2x π=为()g x 图象的一条对称轴D ．函数()g x 在3,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增【答案】D 【详解】由图象知2A =，又2563212πππ+=，所以()f x 的一个最低点为5,212π⎛⎫- ⎪⎝⎭， 而()f x 的最小正周期为22033T ππ=-=， 所以23Tπω== 又2cos 35512122f ππϕ⎛⎫⨯-=- ⎪⎝= ⎪⎭⎛⎫⎝⎭，则2os 315c 1ϕπ⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭， 所以()524k k Z ϕπππ-=+∈,即()24k k Z πϕπ=-∈， 又2πϕ<，所以4πϕ=，所以()2cos 34⎛⎫=- ⎪⎝⎭f x x π，将函数()y f x =图象上的所有点的横坐标伸长到原来的32得2cos 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，再把所得曲线向右平移8π个单位长度得2cos 22sin 22⎛⎫=-= ⎪⎝⎭y x x π，即2sin 2g x x .由()2222k x k k Z ππππ-+≤≤+∈得()44k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，所以()g x 在,44k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈上单调递增，在3,44k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈上单调递减， 当513,2424x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，可知()g x 在5,244ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦递增，在13,424ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦递减，所以A 错误；因为3332sin 22sin 884g πππ⎛⎫=⨯==⎪⎝⎭所以3,08π⎛⎫⎪⎝⎭不是()g x 图象的一个对称中心，故B 错误；因为2sin 2s 0222in g πππ⎛⎫=⨯== ⎪⎝⎭，所以直线2x π=不是()g x 图象的一条对称轴，故C 错误；因为()g x 在35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以函数()g x 在3,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故D 正确；故选：D .4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x 的图象关于直线3x π=对称B ．函数()f x 的图象关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．若方程()2f x m =在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有两个不相等的实数根，则实数1,m ⎛∈- ⎝⎦ D ．将函数()f x 的图象向左平移6π个单位可得到一个偶函数 【答案】C 【详解】根据函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象，可得2A =，124312πππω⋅=-，∴2ω=. 再根据五点法作图，可得23πϕπ⋅+=，∴3πϕ=，()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.排除A ；排除B ；在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上，22,333x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，方程()2f x m =在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有两个不相等的实数根，则实数1,m ⎛∈- ⎝⎦，故C 正确； 将函数()f x 的图象向左平移6π个单位，可得22sin 2sin 233y x x ππ⎛⎫=++=- ⎪⎝⎭的图象，故所得函数为奇函数，故D 错误； 故选C.5．（2022·广西·柳州市第三中学高二阶段练习（文））已知函数()2sin()(0,)g x x ωϕωϕπ=+><的部分图象如图所示，将函数()g x 的图象向右平移6π个单位长度，得到函数()f x 的图象，则3512f π⎛⎫= ⎪⎝⎭__________.【答案】1 【详解】由题图可知，周期T π=，22Tπω==， 所以()2sin(2)()g x x ϕϕπ=+<， 因为5,212π⎛⎫- ⎪⎝⎭在()g x 的图象上，所以52sin 26πϕ⎛⎫+=-⎪⎝⎭，所以532,62k k Z ππϕπ+=+∈， 得22,3k k Z πϕπ=+∈， 因为ϕπ<，所以23ϕπ=， 所以2g()2sin 23x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭， 所以2()2sin 22sin 26633f x g x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 故35352sin 22sin 611212363f ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+=-+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故答案为：1高频考点三：五点法作图例题1．（2022·江西·南昌十五中高一阶段练习）某同学用“五点法”画函数()()()sin 0,0f x A x ωϕωϕπ=+><<在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)请将表中数据补充完整，并直接写出函数()f x 的解析式；(2)将()f x 的图象向右平行移动()0θθ>个单位，得到()g x 的图象.若()y g x =图象的一个对称中心为()3,0，求θ的最小值.【答案】(1)22sin()63y x ππ=+(2)1 (1)由题意可得：2sin()63y x =+;(2)由题意得：2()2sin[()]63g x x ππθ=-+，则由()y g x =图象的一个对称中心为()3,0得：2(3),Z 63k k ππθπ-+=∈， 即=76,Z k k θ-∈，则当1k =时θ 的最小值为1.例题2．（2022·陕西·西安市鄠邑区第二中学高一阶段练习）已知函数()3sin()326x f x π=++，()x R ∈．(1)用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象； (2)求函数()f x 的单调递减区间；(3)说明此函数图象可由sin y x =的图象经怎样的变换得到. 【答案】(1)图像见解析；(2)284,4,33k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦(3)见解析. (1)列表如下图所示：(2)由正弦函数的单调性得：322,2262x k k k Z πππππ+≤+≤+∈，解得2844,33k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 故单减区间为：284,4,33k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. (3)把sin y x =的图像向左移动6π个单位，再把各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变； 再把各点的纵坐标变为原来的3倍，横坐标不变；再把图像向上平移3个单位即可.题型归类练1．（2022·上海·华东师范大学附属天山学校高一期中）某同学用“五点法”画函数()()sin 0,2f x A x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭在某一周期内的图像时，列表并填入的部分数据如下表：(1)请填写上表的空格处；画出函数在此周期内的图像，并写出函数()f x 的解析式； (2)若关于x 的方程()0f x m -=在区间[],ππ-上有解，求实数m 的取值范围？ (3)将函数()f x 的图像向右平移23π个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩小为原来的12，纵坐标不变，得到函数()g x 的图像，若函数()y g x ω=在区间0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上恰有．．10条对称轴，求ω的取值范围？【答案】(1)表和图像见解析，()123f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)m ⎡∈⎢⎣(3)3842ω≤< (1)解：由表得：1022433T ππππω⎛⎫=--== ⎪⎝⎭，则12ω=，A =则()12f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将点3π⎛ ⎝6πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以3πϕ=，所以()123f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；(2)解：当[],x ππ∈-时，15,2366x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，则11sin ,1232x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以()f x ⎡∈⎢⎣，因为关于x 的方程()0f x m -=在区间[],ππ-上有解，所以m ⎡∈⎢⎣；(3)解：将函数()f x 的图像向右平移23π个单位，得到函数12y x =，再将所得图像上各点的横坐标缩小为原来的12，纵坐标不变，得到函数()g x x =，则()g x x ωω，由0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得0,4x πωω⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，因为函数()y g x ω=在区间0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上恰有．．10条对称轴，所以1921242πππω≤<， 解得3842ω≤<.2．（2022·上海市青浦高级中学高一阶段练习）某同学用“五点法”画函数()()sin 0,2f x A x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭在某一周期内的图像时，列表并填入的部分数据如下表：(2)写出函数()f x 的解析式，将函数()f x 的图像向右平移23π个单位，再所得图像上各点的横坐标缩小为原来的12，纵坐标不变，得到函数()g x 的图像，求()g x 的解析式． (3)在（2）的条件下，若()()()21F x g x g x =⋅-在(0,2021)x π∈上恰有奇数个零点，求实数a 与零点个数n 的值．【答案】(1)答案见解析(2)()23x fx π⎛⎫=+⎪⎝⎭；()g x x(3)2a =-，()F x 在()0,2021π共有3031个不同的零点 (1)根据表中的数据可得20332πωϕππωϕ⎧-⨯+=⎪⎪⎨⎪⨯+=⎪⎩ ，解得123ωπϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故2312313232x x ππππ⎧⨯+=⎪⎪⎨⎪⨯+=⎪⎩，所以234373x x ππ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，又A =()21y =-=所以完善表如下：()23x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.函数图像如图：(2)由（1）知：()23x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将函数()f x 的图像向右平移23π个单位，所得图像的解析式为：2332x x y ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再将所得图像上各点的横坐标缩小为原来的12，纵坐标不变，得到函数()g x 的图像，故()g x x =.(3)()23sin sin 1F x x a x =+⋅-，()F x 的周期为2T π=，当(]0,2x π∈时，令sin t x =，考虑方程2310t at +-=的根情况，因为2120a ∆=+>，故2310t at +-=在R 必有两个不同的实数根1212,,t t t t t t ==<， 因为()F x 在()0,2021π有奇数个零点，故[]11,1t ∈-或[]21,1t ∈-.若1211t t -<<<，则方程1sin t x =、2sin t x =在(]0,2π共有4个不同的实数根， 在()0,π有0个实数根或2个实数根， 故()0F x =在()0,2021π有20211440402-⨯=个根或202114240422-⨯+=个根， 与()F x 有奇数个零点矛盾，舍去.若()[]121,1,1,1t t ∈-∉-，则1sin t x =在(]0,2π共有2个不同的实数根，在()0,π有0个实数根或2个实数根， 故()0F x =在()0,2021π有20211220202-⨯=个根或20211222020220222-⨯+=+=， 与()F x 有奇数个零点矛盾，舍去.同理[]()121,1,1,1t t ∉-∈-也不成立，所以11t =-或21t =， 若11t =-，则2a =，此时2310t at +-=的根为211,13t t ==-，方程1sin 3x =、1sin x -=在(]0,2π共有3个不同的实数根，而在()0,π上，1sin 3x =有两个不同的根，1sin x -=无解， 所以()0F x =在()0,2021π有202113230322-⨯+=个根， 与()F x 有奇数个零点矛盾，舍去；若21t =，则2a =-，方程2310t at +-=的根121,13t t =-=，方程1sin 3x -=、1sin x =在(]0,2π共有3个不同的实数根，而在()0,π上，1sin 3x -=无解，1sin x =有一个根，所以故()0F x =在()0,2021π有202113130312-⨯+=个根，符合题意. 综上，2a =-，()F x 在()0,2021π共有3031个不同的零点.3．（2022·陕西·西安市临潼区铁路中学高一阶段练习）已知函数()2sin 26x x f π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.(1)其振幅为______，最小正周期为______，初相为_____； (2)列表并作出函数f (x )在长度为一个周期闭区间上的简图；(3)说明这个函数图像可由y ＝sin x 的图像经过怎样的变换得到. 【答案】(1)振幅为2；最小正周期为4π；初相为6π(2)见解析；(3)先向左平移6π个单位；再把每一点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变；再把每一点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变得到.(1)由()2sin 26x x f π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭可知，振幅为2；最小正周期为2412ππ=；初相为6π；(2)列表如下：(3)可以由y ＝sin x 的图像向左平移6π个单位；再把每一点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变；再把每一点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变得到.高频考点四：三角函数图象、性质的综合应用角度1：图象与性质的综合应用例题1．（2022·四川遂宁·模拟预测（理））已知函数()sin()(0,0,π)f x A x A ϕωϕω=+>>< 的部分图象如图所示，将函数()f x 的图象上所有点的横坐标变为原来的23，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移6π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则下列关于函数()g x 的说法正确的是（ ）A ．()g x 的最小正周期为π3B ．()g x 在区间ππ,93⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．()g x 的图象关于直线x ＝4π9对称 D ．()g x 的图象关于点π(,0)9中心对称【答案】C由函数图象知，5πππ2,()212122T A ==--=，所以2ππ,2T Tω===， 所以()2sin(2)f x x ϕ=+ ， 因为函数图象过点5π(,2)12-，所以5π2sin(2)212ϕ⨯+=-，则5π3π2π,62k k Z ϕ+=+∈， 解得2π2π,3k k Z ϕ=+∈，又π<ϕ，所以2π3ϕ=， 所以2π()2sin(2)3f x x =+，将函数()f x 的图象上所有点的横坐标变为原来的23，得到2π()2sin(3)3f x x =+，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移π6个单位长度，得到π()2sin(3)6g x x =+，()g x 的最小正周期2π3T =，故A 错误；当ππ[,]93x ∈时，ππ7π3[,]626x +∈，此时()g x 单调递减，故B 错误；令ππ3π,62x k k Z +=+∈，则ππ,39k x k Z =+∈，当1k =时，4π9x =，故C 正确；因为ππ2sin(3)296⨯+=，故D 错误．故选：C.例题2．（多选）（2022·黑龙江·双鸭山一中高一期中）函数()sin()f x A x ωϕ=+，π0,0,||2A ωϕ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭部分图象如图所示，下列说法不正确是（ ）A ．()f x 的图象关于直线2π3x =对称B ．()f x 的图象关于点π,03⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．将函数2cos 2y x x =-的图象向左平移π2个单位得到函数()f x 的图象D ．若方程()f x m =在π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是(2,-【答案】BD从图象可以看出，2A =，ππ13124T -=， 因为0>ω，所以2ππω=，解得：2ω=，将π,212⎛⎫⎪⎝⎭代入解析式，π2sin()26ϕ+=，其中π||2ϕ<，解得： π3ϕ=， 所以π()2sin(2)3f x x =+，当2π3x =时，5π()2sin3f x == 故2π3x =不是π()2sin(2)3f x x =+的对称轴，A 错误； 从图象可以看出()f x 的图象关于点π,03⎛⎫⎪⎝⎭对称，B 正确；π2cos 22sin 26y x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭的图象向左平移π2个单位后得到π5π2sin 2π2sin 266y x x ⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 错误；π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则π2ππ2,333x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，π()2sin(2)3f x x =+值域为⎡-⎣， 且在π5π,212⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减，在5π,012⎛⎤- ⎥⎝⎦上单调递增，画出函数y =2sin x 对应图象如下：显然方程()f x m =在π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是(2,-，D 正确； 故选：B角度1题型归类练1．（2022·安徽淮南·二模（理））函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中π0,0,||2A ωϕ>><）的图象如图所示，下列4个命题中错误．．的是（ ）A ．向左平移7π12个单位长度后图象关于y 轴对称 B ．向右平移6π个单位长度后的图象关于坐标原点对称 C ．π,03⎛⎫⎪⎝⎭是它的一个对称中心D ．单调递减区间是π7π2π,2π(Z)1212k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭【答案】D根据图象可知1A =，()ππ0sin ,23f ϕϕϕ==<=， ()π7π7ππsin ,sin 1312123f x x f ωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=⋅+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 7ππ3π242π,2,Z,012327k k k ωωω⋅+=+=+∈>， 根据()f x 的图象可知37π7π2π7π18,,,412997T T ωω>>><， 所以2ω=，()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.A 选项，根据()f x 图象可知，()f x 关于直线7π12x =对称， 所以()f x 向左平移7π12个单位长度后图象关于y 轴对称，A 选项命题正确. B 选项，()f x 向右平移6π个单位长度后得ππsin 2sin 263y x x ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，图象关于原点对称，B 选项命题正确.C 选项，π2ππsin 0333f ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以π,03⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心，C 选项命题正确.D 选项，ππ3ππ7π2π22π,ππ2321212k x k k x k +≤+≤++≤≤+， 所以()f x 的减区间为π7ππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，D 选项命题错误.故选：D2．（2022·河南·灵宝市第一高级中学模拟预测（文））已知函数()()sin 0,0,2πf x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示．将函数()y f x =的图象向右平移π4个单位，得到()y g x =的图象，则下列有关()f x 与()g x 的描述正确的有______．（填序号）①方程()()3π0,2f x g x x ⎫⎛⎫+=∈ ⎪⎪⎝⎭⎭所有根的和为7π12；②不等式()()g x f x ≥ππ5ππ,3262k k ⎡⎫++⎪⎢⎣⎭，k ∈Z③函数()y f x =与函数()y g x =图象关于7π24x =对称． 【答案】③由图象可知：2A =，111212T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，2ω∴=； 又2sin 0126f ππϕ⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由五点法可知：06πϕ-+=，解得：6π=ϕ；()2sin 26f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，()2sin 22sin 24463g x f x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦对于①，()()ππ2sin 22sin 263y f x g x x x ⎛⎫⎛⎫=+=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πππ2cos 22sin 223312x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由π212x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得πsin 212x ⎛⎫- ⎪⎝⎭因为30π2x <<，所以ππ35π2121212x -<-<，所以5π24x =或3π8x =或29π24x =或11π8x =，所以在给定范围内方程根的和为19π6，故①错误；对于②，()()ππ2sin 2sin 2π33tan 2ππ32sin 2cos 263x x g x x f x x x ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭===-≥ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππππ2π332k x k +≤-<+，k ∈Z ，解得ππ5ππ,32122k k x ⎡⎫∈++⎪⎢⎣⎭，k ∈Z ，故②错误； 对于③，因为()7π7ππ4ππ2sin 22sin 22sin 2126633f x x x x g x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-=-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以()y f x =与()y g x =图象关于7π24x =对称，故③正确． 故答案为：③3．（2022·辽宁省康平县高级中学高一阶段练习）已知函数()()sin 0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.(1)求函数()f x 的解析式；(2)将()f x 图象上所有点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，求函数()g x ≥解的集合.【答案】(1)()2sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)[,],6k k k Z πππ+∈(1)解：由函数()f x 图象，可得2A =，3734632T πππ=+=，所以2T π=，因为0>ω，可得21Tπω==，所以()()2sin f x x ϕ=+， 又因为()f x 图象过点7,26π⎛⎫- ⎪⎝⎭，可得72sin()26πϕ+=-，即7sin()16πϕ+=-， 所以732,62k k Z ππϕπ+=+∈，解得2,3k k Z πϕπ=+∈， 又由02πϕ<<，所以3πϕ=，所以函数()f x 的解折式为()2sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.(2)解：将()f x 图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，得到()2sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由()g x sin 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭2222333k x k πππππ+≤+≤+， 所以,6k x k k Z πππ≤≤+∈，即不等式()g x [,],6k k k Z πππ+∈. 角度2：函数的零点（方程的根）的问题例题1．（2022·山东·日照青山学校高一期中）已知函数()2sin f x x =，将()f x 的图象向右平移3π个单位长度，再把所有点的横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象. (1)求函数()g x 的解析式及单调递增区间； (2)方程()25g x =在17,612ππ⎛⎫⎪⎝⎭上的根从小到大依次为123,,x x x ，求1232x x x ++的值. 【答案】(1)()2sin 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，单调递增区间为()5,1212k k k ππππ-++⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦Z (2)123823x x x π++=(1)2sin 33f x x ππ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()2sin 23g x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭；令()222232k x k k πππππ-+≤-≤+∈Z ，解得：()51212k x k k ππππ-+≤≤+∈Z ， ()f x ∴的单调递增区间为()5,1212k k k ππππ-++⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦Z (2)令()22sin 235g x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，即1sin 235x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭；17,612x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，520,32x ππ⎡⎤∴-∈⎢⎥⎣⎦， 设23x πθ=-，其中50,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即1sin 5θ=， 结合正弦函数5sin 02y x x π⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭的图象可知：方程1sin 5θ=在50,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦有3个解123,,θθθ，其中12θθπ+=，233θθπ+=； 即122233x x πππ-+-=，2322333x x πππ-+-=，1256x x π∴+=，23116x x π+=，123823x x x π∴++=. 例题2．（2022·江西·景德镇一中高一期中）已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的图象相邻对称轴之间的距离是2π，若将()f x 的图象向右移6π个单位，所得函数()g x 为奇函数．(1)求()f x 的解析式；(2)若关于x 的方程2()()0f x f x a --=在0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有三个解，求a 的取值范围．【答案】(1)()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)304a <(1)解：因为图象相邻两对称轴之间的距离是2π，所以函数的最小正周期2T ππω==，解得2ω=，即()()sin 2f x x ϕ=+，因为()ππsin 2φsin 2φ63g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦为奇函数，所以3πφk π-+=，k Z ∈，即3k πϕπ=+，k Z ∈，又因为0ϕπ<<，所以3πϕ=，()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，(2)解：因为()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2,33x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以()[]0,1f x ∈，当2332x πππ≤+≤时，解得012x π≤≤，223x πππ≤+≤时，解得123x ππ≤≤，即()f x 在0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，且()0sin 3f π==sin 1122fππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，sin 03f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的图象如下所示：因为关于x 的方程2()()0f x f x a --=在0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有三个解，令()t f x =，即20t t a --=，[]0,1t ∈，若21t =为方程20t t a --=的根，此时0a =，则10t =，不符合题意；依题意方程20t t a --=在[]0,1有两不相等实数根1t 、2t ，不妨令12t t <，且2t ⎫∈⎪⎪⎣⎭，1t ⎡∈⎢⎣⎭；若2t =为方程20t t a --=的根，此时34a =，则11t =，此时符合题意；若2t ≠时，令()2g t t t a =--则()()00100Δ0g g g ⎧>⎪>⎪⎪⎨<⎪⎝⎭⎪⎪>⎩，即00304Δ140a a a a ->⎧⎪->⎪⎪⎨<⎪⎪=+>⎪⎩，解得304a <<，综上可得304a ≤<；例题3．（2022·河南焦作·高一期中）已知函数()()cos f x A x ωϕ=+（0A >，0>ω，2πϕ≤）的部分图象大致如图．(1)求()f x 的单调递增区间． (2)将函数()f x 的图象向右平移4π个单位长度得到曲线C ，把C 上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍得到函数()g x 的图象．若关于x 的方程()0g x m -=在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的实数解，求实数m 的取值范围．【答案】(1)5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈(2)[)1,2 (1)根据图象，可得1A =，由124312πππω⋅=-，得2ω=． 所以()()cos 2f x x φ=+，由2012πϕ⨯+=，得6πϕ=-，所以()cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．令2226k x k ππππ-≤-≤，Z k ∈，得51212k x k ππππ-+≤≤+，Z k ∈， 所以()f x 的单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈． (2)将函数()y f x =的图象向右平移4π个单位长度得到曲线C ：cos 2sin 2466y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，再把C 上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍得到()2sin 26g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象． 由()0g x m -=在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的实数解，即2sin 26m x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的实数解，因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，设26t x π=-，则5,66t ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则需直线y m =与2sin y t =的图象在5,66t ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦两个不同的公共点．画出2sin y t =在5,66t ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时的简图如下：所以实数m 的取值范围为[)1,2．角度2题型归类练1．（2022·辽宁省康平县高级中学高一阶段练习）已知函数()2sin 216f x x πω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.(1)若()()()12f x f x f x ≤≤，12min 2x x π-=，求()f x 的对称中心；(2)已知05ω<<，函数()f x 图象向右平移6π个单位得到函数()g x 的图象，3x π=是()g x 的一个零点，若函数()g x 在[],m n （m ，n R ∈且m n <）上恰好有10个零点，求n m -的最小值； 【答案】(1)(),1122k k ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z 或(),1122k k ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭Z (2)139π (1)∵()2sin 216f x x πω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的最小正周期为22T πω=，又∵()()()12f x f x f x ≤≤，12min 2x x π-=，∴()f x 的最小正周期是π，故22T ππω==，解得1ω=±， 当1ω=时，()2sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，由()()26122k x k k x k ππππ+=∈⇒=-+∈Z Z ， ()f x 的对称中心为(),1122k k ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ； 当1ω=-时，()2sin 216f x x π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，由()()26122k x k k x k ππππ-+=∈⇒=-∈Z Z ， ()f x 的对称中心为(),1122k k ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭Z ； 综上所述，()f x 的对称中心为(),1122k k ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z 或(),1122k k ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭Z . (2)∵函数()f x 图象向右平移6π个单位，得到函数()g x 的图象，∴()2sin 2163g x x ππωω⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭.又∵3x π=是()g x 的一个零点，22sin 103363g ππππωω⎛⎫⎛⎫=+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1sin 362ππω⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，∴72366k πππωπ+=+或112366k πππωπ+=+，k ∈Z ， 解得()36k k ω=+∈Z 或()56k k ω=+∈Z ，由05ω<<可得3ω= ∴()52sin 616g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，最小正周期3T π=.令()0g x =，则51sin 662x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭即156266x k πππ-=-+或2556266x k πππ-=-+，k ∈Z ，解得139k x ππ=+或23k x π=，12,k k ∈Z ； 若函数()g x 在[],m n （,m n m n ∈<R 且）上恰好有10个零点，故46T n m T <-< 要使n m -最小，须m ､n 恰好为()g x 的零点，故()min 134399n m πππ-=⨯+=. 2．（2022·陕西·西安中学高一期中）已知函数()sin()0,0,||2f x A x B A πωϕωϕ⎛⎫=++>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示．(1)求函数()f x 的解析式；(2)将函数()y f x =的图象上所有的点向右平移12π个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，若方程()0g x m -=在70,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有三个不相等的实数根()123123,,x x x x x x <<，求m 的取值范围及()123tan 2x x x ++的值．【答案】(1)1()sin 2123f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭(2)53,42m ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭(1)由图示得：3111122,12222A B -⎛⎫===--= ⎪⎝⎭，又71212122T πππ=-=，所以T π=，所以22T πω==，所以1()sin(2)12f x x ϕ=++，又因为()f x 过点3,122π⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以31sin 212212πϕ⎛⎫=⨯++ ⎪⎝⎭，即πsin φ16⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以2,62k k Z ππϕπ+=+∈，解得2,3k k Z πϕπ=+∈，又||2ϕπ<，所以3πϕ=，所以1()sin 2123f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭；(2)由已知得1()sin 126g x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，当70,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，5,662x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，令5,662t x πππ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦，则11sin 1sin 1262x t π⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭， 令1()sin 12h t t =+，则函数()h t 的图象如下图所示，且15sin 16264h ππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，3131sin 12222h ππ⎛⎫=+=⎪⎝⎭，5153sin 12222h ππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，53,42m ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭由图象得()0h t m -=有三个不同的实数根()123123,,t t t t t t <<，则12312,22t t t t πππ+=⨯==+，所以12324t t t π++=，即12324666x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以1231023x x x π++=，所以()123102tan 2tan tan 433x x x πππ⎛⎫++==-= ⎪⎝⎭故()123tan 2x x x ++3．（2022·上海市七宝中学高一期中）已知函数()sin()(0 0)f x x ωϕωϕπ=+><<,的最小正周期为π，且直线2x π=-是其图象的一条对称轴.将函数()y f x =的图象向右平移4π个单位，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍所得的图象对应函数记作()y g x =，令函数()()()F x f x g x λ=+. (1)求函数()y g x =的函数解析式；(2)求函数()y F x =的最大值及相对应的x 的值；(3)若函数()()()F x f x g x λ=+在(0,)n π内恰有2021个零点，其中常数R λ∈，,1n N n ∈≥，求常数λ与n 的值. 【答案】(1)()sin y g x x ==；(2)答案见解析；(3)1,1347n λ=-=. (1)因为函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>的最小正周期为π， 所以有22ππωω=⇒=，即()sin(2)f x x ϕ=+，又因为直线2x π=-是()sin(2)f x x ϕ=+图象的一条对称轴， 所以有32()(Z)(Z)222k k k k πππϕπϕπ⨯-+=+∈⇒=+∈， 因为0ϕπ<<，所以令1k =-，则2ϕπ=，即()sin(2)cos 22f x x x π=+=， 因为函数()y f x =的图象向右平移4π个单位，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍所得的图象对应函数记作()y g x =， 所以()sin y g x x ==；(2)2()()()cos 2sin 12sin sin F x f x g x x x x x λλλ=+=+=-+ 22()2(sin )148F x x λλ⇒=--++，。
【课件】函数y=Asin(wx φ)的图象 课件高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
到函数 = ( + )的图像；然后把图像上个点的横坐标变为原来的倍
（纵坐标不变），得到函数 = ( + )的图像；最后把曲线上各点的
纵坐标变为原来的A倍（横坐标不变），这时的曲线就是函数
探索“”
= ( + )的图像。
操作步骤
探索“”
试一试
一般地
从解析式上看，函数 = 就是函数 = ( + )在 = ， = ， =
时的特殊情形。
那么我们是否可以通过研究三个参数， ， 对函数 = ( + )的影响来确
定这两个函数图像之间的关系？
导入：筒车模型
试一试
y=sin(x+)
的图象
y=sinx
1.（2021全国乙理）把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，再
把所得曲线向右平移 个单位长度，得到函数 = ( − ) 图象，则
f(x)=(
C
)
7
B、 = sin(2 − 12 )
D、 = sin(2 + 12)
A、 = sin(2 − 12 )
7
探索“”
C、 = sin(2 + 12)
试一试
一般地
2.要得到函数 = 3sin(2 + 4 )的图像，只需将函数 = 3sin(2)的图像（ C ）
A、向左平移个单位长度
B、向右平移个单位长度
探索“”
C、向左平移个单位长度
D、向右平移个单位长度
小结：本节课通过研究三个参数，，对函数
2
y=sinx 与y=sin(x+)
5.4.2正弦函数、余弦函数的性质(第2课时)教学课件(人教版)
（3）余弦函数类似.
例4
例4 不通过求值，比较下列各组数的大小
(1)sin( )与sin( )
（1）因为 0，
正弦函数
y
sin
x在区间
,
0 上单调递增，
所以sin( ) sin( ).
分析：可利用三角函数的单调 性比较两个同名三角函数值的 大小.为此，先用诱导公式将已 知角化为同一单调区间内的角， 然后再比较大小.
,
x
[2,
2]
的单调区间吗？
解：令 z 1 x.由于 z 是 x的减函数，因此函数 y sin z 的减区间就是原函数的增区间. 2
函数
y
sin
z
的单调递减区间是
2
2k，3 2
2k
(k
Z)
由于 2k 1 x 3 2kk Z
2
2 2
得 7 k x kk Z
对于余弦函数 y cos x, x R,有 当且仅当 x 2k, k Z时，取得最大值 1； 当且仅当 x (2k 1), k Z时，取得最小值-1.
例3
例3 下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出最大值、 最小值时自变量x的集合，并求出最大值、最小值. (1) y cos x 1, x R; （1）使函数 y cos x 1, x R取得最大值的 x 的集合，就是使函数 y cos x, x R 取得最大值的 x 的集合{x | x 2k, k Z}； 使函数 y cos x 1, x R取得最小值的 x 的集合，就是使函数 y cos x, x R取得 最小值的 x 的集合{x | x 2(k 1), k Z}. 函数 y cos x 1, x R的最大值是11 2；最小值是11 0.
高考数学一轮单元复习 第18讲 函数y=Asin()的图像与性质课件
第18讲 │ 规律总结 规律总结
第18讲 │ 规律总结
•
第18讲 │ 要点探究
第18讲 │ 要点探究
第18讲 │ 要点探究
第18讲 │ 要点探究
第18讲 │ 要点探究
第18讲 │ 要点探究
第18讲 │ 要点探究
第18讲 │ 要点探究
第18讲 │ 要点探究
第18讲 │ 要点探究
第18讲 │ 要点探究
第18讲 │ 要点探究
第18讲 │ 要点探究
第18讲 │ 要点探究
第18讲 │ 要点探究
•11、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。 •12、首先是教师品格的陶冶，行为的教育，然后才是专门知识和技能的训练。 •13、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。2022/1/182022/1/18January 18, 2022 •14、孩子在快乐的时候，他学习任何东西都比较容易。 •15、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。 •16、一个人所受的教育超过了自己的智力，这样的人才有学问。 •17、好奇是儿童的原始本性，感知会使儿童心灵升华，为其为了探究事物藏下本源。2022年1月2022/1/182022/1/182022/1/181/18/2022 •18、人自身有一种力量，用许多方式按照本人意愿控制和影响这种力量，一旦他这样做，就会影响到对他的教育和对他发生作用的环境。 2022/1/182022/1/18
第18讲 │ 函数 yAsian (x)的图像与性质
第18讲 函数 yAsian (x)
的图像与性质
第18讲 │ 知识梳理 知识梳理
第18讲 │ 知识梳理
第18讲 │ 知识梳理
正弦型函数y=Asin(wx+ψ)精选习题
正弦型函数sin()y A x ωϕ=+精选习题一、 选择题1．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(其中ω＞0，|φ|＜π2)的最小正周期是π，且f (0)＝3，则( )．A ．ω＝12，φ＝π6B ．ω＝12，φ＝π3C ．ω＝2，φ＝π6D ．ω＝2，φ＝π31.答案：D2．为了得到函数y ＝sin(2x －π3)的图象，只需把函数y ＝sin(2x ＋π6)的图象( )A ．向左平移π4个长度单位B ．向右平移π4个长度单位C ．向左平移π2个长度单位D ．向右平移π2个长度单位2.【解析】：y ＝sin(2x －π3)＝sin[2(x －π4)＋π6]，所以只要把y ＝sin(2x ＋π6)的图象向右平移π4个长度单位，就可得到y ＝sin(2x －π3)的图象．答案：B3．函数 f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(其中A >0，|φ|<π2)的图象如图所示，为了得到g (x )＝cos2x的图象，则只要将 f (x )的图象( )A ．向右平移π6个单位长度B ．向右平移π12个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向左平移π12个单位长度3.【解析】：如图，T 4＝7π12－π3＝π4，T ＝π，ω＝2，又2×π3＋φ＝π，φ＝π3，从而 f (x )＝A sin(2x ＋π3)，显然选D.答案：D4．要得到函数y ＝3cos x 的图象，只需将函数y ＝3sin(2x －π6)的图象上所有点的( )A ．横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，所得图象再向左平移π12个单位长度B ．横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，所得图象再向右平移π6个单位长度C ．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象再向左平移2π3个单位长度D ．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象再向右平移π6个单位长度4.【解析】：将函数y ＝3sin(2x －π6)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，可得函数y ＝3sin(x －π6)的图象，再向左平移2π3个单位长度，可得函数y ＝3sin(x －π6＋2π3)＝3sin(x ＋π2)＝3cos x 的图象． 答案：C5.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(x∈R，A>0，ω>0，|φ|<π2)的图象(部分)如图所示，则f(x)的解析式是( ) (A)f(x)＝2sin(πx＋π6)(x∈R)(B)f(x)＝2sin(2πx＋π6)(x∈R )(C)f(x)＝2sin(πx ＋π3)(x∈R)(D)f(x)＝2sin(2πx ＋π3)(x∈R)5.【解析】选A.从图象上可看出A ＝2，T 4＝56－13＝12，∴T ＝2，ω＝2πT ＝2π2＝π.∴f(x)＝2sin(πx ＋φ). 又∵图象过点(13，2)，∴2＝2sin(π3＋φ)，∴π3＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ， 又∵|φ|<π2，∴φ＝π6，故f(x)＝2sin(πx ＋π6).(x ∈R)6.已知函数f(x)＝3sin(2x ＋π2)，x∈R，则下列结论中正确的是( ) (A)f(x)是最小正周期为π的奇函数 (B)x ＝π3是函数f(x)图象的一条对称轴(C)f(x)的一个对称中心是(－π2，0)(D)将函数y ＝3sin2x 的图象向左平移π4个单位得到函数f(x)的图象 6.【解析】先应用三角函数的诱导公式化简三角函数式.【解析】选D.f(x)＝3sin(2x ＋π2)＝3cos2x ，故A 、B 、C 均不正确.7.将函数f (x )＝sin ωx (其中ω＞0)的图象向右平移π4个单位长度，所得图象经过点⎝⎛⎭⎫3π4，0，则ω的最小值是( )．A ．13B ．1C ．53D ．27.解析：f (x )＝sin ωx 的图象向右平移π4个单位长度得：y ＝sin ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫x －π4. 又所得图象过点⎝⎛⎭⎫3π4，0，∴sin ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫3π4－π4＝0.∴sin ωπ2＝0. ∴ωπ2＝k π(k ∈Z )．∴ω＝2k (k ∈Z )． ∵ω＞0，∴ω的最小值为2. 答案：D8．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω＞0，－π＜φ≤π.若f (x )的最小正周期为6π，且当x ＝π2时，f (x )取得最大值，则( )A ．f (x )在区间[－2π，0]上是增函数B ．f (x )在区间[－3π，－π]上是增函数C ．f (x )在区间[3π，5π]上是减函数D ．f (x )在区间[4π，6π]上是减函数8．解析：∵2πω＝6π，∴ω＝13.又∵13×π2＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z 且－π<φ≤π，∴当k ＝0时，φ＝π3，f (x )＝2sin(13x ＋π3)，要使f (x )递增，须有2k π－π2≤13x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，解之得6k π－5π2≤x ≤6k π＋π2，k ∈Z ，当k ＝0时，－52π≤x ≤π2，∴f (x )在[－52π，π2]上递增．答案：A二、 填空题9．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋n 的最大值为4，最小值是0，最小正周期是π2，直线x＝π3是其图象的一条对称轴，若A >0，ω>0,0<φ<π2，则函数解析式为________． 9.【解析】：由题设得，A ＝2，n ＝2，ω＝4，且当x ＝π3时，sin(43π＋φ)＝±1，故φ＝π6.所求解析式为y ＝2sin(4x ＋π6)＋2.答案：y ＝2sin(4x ＋π6)＋210．已知函数 f (x )＝3sin(ωx －π6)(ω>0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若x ∈[0，π2]，则 f (x )的取值范围是__________ .10【解析】： f (x )＝3sin(ωx －π6)(ω>0)的对称轴和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同，则ω＝2， f (x )＝3sin(2x －π6)，x ∈[0，π2]时，2x －π6∈[－π6，5π6]， f (x )∈[－32，3]．答案：[－32，3]11.若两个函数的图象只经过若干次平移后就能够重合，则称这两个函数为“同形”函数.给出下列函数：①f 1(x)＝sinx ＋cosx ，②f 2(x)＝sinx ，③f 3(x)＝2sinx ＋2，④f 4(x)＝2(sinx ＋cosx)，其中“同形”函数有 .(填序号) 11.【解析】∵f 1(x)＝sinx ＋cosx ＝2sin(x ＋π4)，f 2(x)＝sinx ， f 3(x)＝2sinx ＋2，f 4(x)＝2(sinx ＋cosx)＝2sin(x ＋π4)，()241f x y 2sinx y 2sinx 2π∴−−−−−−→=−−−−−−→=+向右平移个单位向上平移个单位，∴①③为“同形”函数. 答案：①③12.(2012·烟台模拟)已知函数f(x)＝2sin(2x ＋π3)，且f(α)＝f(β)＝0(α≠β)，则|α－β|的最小值为 .12.【解析】由题意知α、β是函数y ＝f(x)图象与x 轴交点的横坐标. 【解析】f(x)＝2sin(2x ＋π3)的最小正周期T ＝π.α、β是函数y ＝f(x)的图象与x 轴交点的横坐标，且α≠β，∴|α－β|的最小值为π2.答案：π2三、 解答题13．已知函数 f (x )＝sin(π－ωx )cos ωx ＋cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)将函数 y ＝f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数 y＝g (x )的图象，求函数g (x )在区间[0，π16]上的最小值．13【解析】解：(1) f (x )＝sin(π－ωx )cos ωx ＋cos 2ωx ＝sin ωx cos ωx ＋1＋cos2ωx2＝12sin2ωx ＋12cos2ωx ＋12 ＝22sin(2ωx ＋π4)＋12. 由于ω>0，依题意得2π2ω＝π，所以ω＝1.(2)由(1)知 f (x )＝22sin(2x ＋π4)＋12， 所以g (x )＝ f (2x )＝22sin(4x ＋π4)＋12. 当0≤x ≤π16时，π4≤4x ＋π4≤π2，所以22≤sin(4x ＋π4)≤1.因此1≤g (x )≤1＋22. 故g (x )在区间[0，π16]上的最小值为1.14．(2010～2011年河北省正定中学高三第一次月考)已知函数 f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2，x ∈R )的图象的一部分如图所示．(1)求函数 f (x )的解析式；(2)当x ∈[－6，－23]时，求函数y ＝ f (x )＋ f (x ＋2)的最大值与最小值及相应的x 的值．14【解析】解：(1)由图象知A ＝2. T ＝8，∵T ＝2πω＝8，∴ω＝π4，又图象经过点(－1,0)∴2sin(－π4＋φ)＝0，∵|φ|<π2∴φ＝π4，∴ f (x )＝2sin(π4x ＋π4)，(2)y ＝ f (x )＋ f (x ＋2)＝2sin((π4x ＋π4)＋2sin(π4x ＋π2＋π4)＝2sin(π4x ＋π4)＋2cos(π4x ＋π4)，＝22sin(π4x ＋π2)＝22cos π4x ，∵x ∈[－6，－23]，∴－3π2≤π4x ≤－π6，∴当π4x ＝－π6即x ＝－23时，最大值为6，当π4x ＝－π，即x ＝－4时，最小值为－2 2.15.已知函数f(x)＝2sin(2x －π4)＋1.(1)求f(x)的振幅、最小正周期、初相； (2)画出函数y ＝f(x)在[－π2，π2]上的图象. 15.【解析】直接根据已知得出振幅、周期、初相，利用五点作图法画出图象. 【解析】(1)f(x)＝2sin(2x －π4)＋1的振幅为2， 最小正周期T ＝2π2＝π，初相为－π4.(2)列表并描点画出图象：x－π2－3π8－π8π8 3π8 π2 y 2 1 1－ 211＋ 22故函数y ＝f(x)在区间[－π2，π2]上的图象是16．已知函数f (x )＝2a cos 2x ＋b sin x cos x －32，且f (0)＝32，f (π4)＝12. (1)求f (x )的最小正周期； (2)求f (x )的单调递减区间；(3)函数f (x )的图象经过怎样的平移才能使所得图象对应的函数成为奇函数？16【解析】．解：(1)由f (0)＝32，得2a －32＝32， ∴2a ＝3，则a ＝32，由f (π4)＝12，得32＋b 2－32＝12，∴b ＝1. ∴f (x )＝3cos 2x ＋sin x cos x －32＝32cos 2x ＋12sin 2x ＝sin(2x ＋π3)， ∴函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)由π2＋2k π≤2x ＋π3≤32π＋2k π，得π12＋k π≤x ≤712π＋k π， ∴f (x )的单调递减区间是[π12＋k π，712π＋k π](k ∈Z)．(3)∵f (x )＝sin2(x ＋π6)，∴奇函数y ＝sin2x 的图象左移π6，即得到f (x )的图象．故函数f (x )的图象右移π6个单位后对应的函数成为奇函数．。
高一数学函数y=Asin(wx+b)的图像与性质2(教师版)
学科教师辅导讲义（变换法）这种曲线也可由图象变换得到：即：y ＝sin x y ＝sin(x ＋3π)y ＝sin(2x ＋3π) y ＝3sin(2x ＋3π)变式练习1：已知函数y ＝A sin(ωx ＋ϕ)，在同一周期内，当x ＝9π时函数取得最大值2，当x ＝94π时函数取得最小值－2，则该函数的解析式为( )A y ＝2sin(3x －6π) B y ＝2sin(3x ＋6π) C y ＝2sin(3x ＋6π) D y ＝2sin(3x －6π)解析：由题设可知，所求函数的图象如图所示，点(9π，2)和点(94π，－2)都是图象上的点，且由“五点法”作图可知，这两点分别是“第二点”和“第四点”，所以应有：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+⋅=+⋅2394129πϕπωπϕπω解得⎪⎩⎪⎨⎧==63πϕω 答案：B 变式练习2：使得函数sin(2)3(2)y x x φφ=+++为奇函数，且在[0,]4π上是减函数的φ的一个值是（ B ）A 、3πB 、23πC 、43πD 、53π一般地，函数y ＝A sin(ωx ＋ϕ)，x ∈R (其中A ＞0，ω＞0)的图象，可以看作用下面的方法得到：先把正弦曲线上所有的点向左(当ϕ＞0时)或向右(当ϕ＜0时＝平行移动｜ϕ｜个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短(当ω＞1时)或伸长(当0＜ω＜1时)到原来的ω1倍(纵坐标不变)，再把所得各点的纵坐标伸长(当A ＞1左移3π个单位纵坐标不变 横坐标变为21倍 纵坐标变为3倍横坐标不变答案：D例3、试对实数a 的不同取值，讨论方程3sin 3cos 0,[0,]2x x a x π++=∈在上解得个数。
答案：22a a ><-或时，方程无解； 122a a ≤<=±或时，方程有两个解； 312a a -<<=±或时，方程有唯一解。
例4、巧求初相角求初相角是高中数学学习中的一个难点，怎样求初相角?初相角有几个?下面通过错解剖析，介绍四种方法 如图，它是函数y ＝A sin(ωx ＋ϕ)(A ＞0，ω＞0)，｜ϕ｜＜π的图象，由图中条件，写出该函数解析式错解：由图知：A ＝5由23252πππ=-=T 得T ＝3π，∴ω＝T π2＝32∴y ＝5sin(32x ＋ϕ)将(π，0)代入该式得：5sin(32π＋ϕ)＝0由sin(32π＋ϕ)＝0，得32π＋ϕ＝k πϕ＝k π－32π(k ∈Z )∵｜ϕ｜＜π，∴ϕ＝－32π或ϕ＝3π∴y ＝5sin(32x －32π)或y ＝5sin(32x ＋3π)分析：由题意可知，点(4π，5)在此函数的图象上，但在y ＝5sin(32x －32π)中，令x ＝4π，则y ＝5sin(6π－32π)＝5sin(－2π)＝－5，由此可知：y ＝5sin(32x －32π)不合题意那么，问题出在哪里呢?我们知道，已知三角函数值求角，在一个周期内一般总有两个解，只有在限定的范围内才能得出惟一解正解一：(单调性法)∵点(π，0)在递减的那段曲线上∴32π＋ϕ∈［2π＋2k π，32π＋2k π］(k ∈Z ) 由sin(32π＋ϕ)＝0得32π＋ϕ＝2k π＋π∴ϕ＝2k π＋3π(k ∈Z )∵｜ϕ｜＜π，∴ϕ＝3π 正解二：(最值点法)将最高点坐标(4π，5)代入y ＝5sin(32x ＋ϕ)得5sin(6π＋ϕ)＝5 ∴6π＋ϕ＝2k π＋2π ∴ϕ＝2k π＋3π (k ∈Z )取ϕ＝3π正解三：(起始点法)函数y ＝A sin(ωx ＋ϕ)的图象一般由“五点法”作出，而起始点的横坐标x 正是由ωx +ϕ=0解得的，故只要找出起始点横坐标x 0,就可以迅速求得角ϕ由图象求得x 0=-2x ,∴ϕ=-ωx 0=-32 (-2π)=3π 正解四：(平移法) 由图象知，将y =5sin(32x )的图象沿x 轴向左平移2π个单位，就得到本题图象，故所求函数为y ＝5sin 32(x ＋2π)，即y ＝5sin(32x ＋3π) 变式练习1：如图是sin()(0,0,0)y A x A ωφωφπ=+>><<图像的一部分，求这个函数()y f x =的解析式。
正弦型函数y=_Asin(wx+b)复习课
x － msin cos( 2
数m的值。
x －22ຫໍສະໝຸດ x))的最大值为2，试确定常
（课外作业）
x 变化4 函数f(x) = a( 2cos2 +sinx)+b (a＜0) 2
且当x[0, ]时 ,f(x)的值域是[3，4]，求a,b的值。
变化5，在变化4中对a 不加以限制，结果又如 何呢？
（一）最值问题
变化1 方程sinx+cosx=m在区间[0,] 内解， 则m的取值范围是 ； 变化2 方程sinx+cosx=m在区间[0, ] 内恰好有 两个不同的解，则m的取值范围是 ;
（一）最值问题
变化1 方程sinx+cosx=m在区间[0,] 内解， 则m的取值范围是 ； 变化2 方程sinx+cosx=m在区间[0, ] 内恰好有 两个不同的解，则m的取值范围是 ; 1 cos 2 x 变化3（2005 重庆 理）若函数f(x)=
创新巩固
（重庆2004 理）求函数 y=sin4x+2sinxcosx－cos4x的最小正 ]上的 周期、最小值，并写出函数在[0， 单调递增区间。
小结
1.
2.
你掌握了正弦型函数的三个主要性质了吗? 你能用这些性质解决一些综合性的问题吗？ 你能根据本节课的学习，用类比的方法去 )+ k和正切 x+ 研究余弦型函数y=Acos( 型函数y= A tan( x+ )+ k的性质吗？
研究性学习
已知函数y= loga (sin x cos x) 1. 求它的定义域、值域； 2. 指出它的单调递增区间； 3. 判断它的周期性，如果是一个周期函数， 求出它的一个周期； 4. 判断它的奇偶性
高考一轮复习：正弦型函数y=Asin(ωx φ)的图象及应用
第4讲 正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及应用【2015年高考会这样考】1．考查正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象变换．2．结合三角恒等变换考查y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质及简单应用． 3．考查y ＝sin x 到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的两种变换途径． 【复习指导】本讲复习时，重点掌握正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的“五点”作图法，图象的三种变换方法，以及利用三角函数的性质解决有关问题．基础梳理1．用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点 如下表所示x0－φω π2－φω π－φω 3π2－φω 2π－φω ωx ＋φ 0 π2 π 3π2 2π y ＝A sin(ωx ＋φ)A－A2．函数y ＝sin x 的图象变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的步骤3．当函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，x ∈[0，＋∞))表示一个振动时，A 叫做振幅，T ＝2πω叫做周期，f ＝1T 叫做频率，ωx ＋φ叫做相位，φ叫做初相． 4．图象的对称性函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象是轴对称也是中心对称图形，具体如下： (1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象关于直线x ＝x k (其中 ωx k ＋φ＝k π＋π2，k ∈Z )成轴对称图形．(2)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象关于点(x k,0)(其中ωx k ＋φ＝k π，k ∈Z )成中心对称图形．一种方法在由图象求三角函数解析式时，若最大值为M ，最小值为m ，则A ＝M －m 2，k＝M ＋m 2，ω由周期T 确定，即由2πω＝T 求出，φ由特殊点确定． 一个区别由y ＝sin x 的图象变换到y ＝A sin (ωx ＋φ)的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是|φ|ω(ω＞0)个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x 而言，即x 本身加减多少值，而不是依赖于ωx 加减多少值． 两个注意作正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象时应注意： (1)首先要确定函数的定义域；(2)对于具有周期性的函数，应先求出周期，作图象时只要作出一个周期的图象，就可根据周期性作出整个函数的图象．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4 的振幅、频率和初相分别为( )．A ．2，1π，－π4 B ．2，12π，－π4 C ．2，1π，－π8 D ．2，12π，－π8答案 A2.已知简谐运动f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2的部分图象如图所示，则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为( )．我爱学习网 在线学习网 分享学习方法 励志人生我爱学习网 文言文网/wenyanwen/A ．T ＝6π，φ＝π6 B ．T ＝6π，φ＝π3 C ．T ＝6，φ＝π6D ．T ＝6，φ＝π3解析 由题图象知T ＝2(4－1)＝6⇒ω＝π3，由图象过点(1,2)且A ＝2，可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3×1＋φ＝1，又|φ|＜π2，得φ＝π6.答案 C3．函数y ＝cos x (x ∈R )的图象向左平移π2个单位后，得到函数y ＝g (x )的图象，则g (x )的解析式应为( )．A ．－sin xB ．sin xC ．－cos xD ．cos x 解析 由图象的平移得g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－sin x .答案 A4．设ω＞0，函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3＋2的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合，则ω的最小值是( )． A.23 B.43 C.32 D ．3解析 y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3＋2向右平移4π3个单位后得到y 1＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x －4π3＋π3＋2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3－4π3ω＋2，又y 与y 1的图象重合，则－4π3ω＝2k π(k ∈Z )． ∴ω＝－32k .又ω＞0，k ∈Z ，∴当k ＝－1时，ω取最小值为32，故选C. 答案 C5．(2011·重庆六校联考)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的图象如图所示，则ω＝________.解析 由题意设函数周期为T ，则T 4＝23π－π3＝π3，故T ＝43π.∴ω＝2πT ＝32. 答案 32考向一 作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象【例1】►设函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2＜φ＜0的最小正周期为π，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝32.(1)求ω和φ的值；(2)在给定坐标系中作出函数f (x )在[0，π]上的图象． [审题视点] (1)由已知条件可求ω，φ；(2)采用“五点法”作图，应注意定义域[0，π]．解 (1)周期T ＝2πω＝π，∴ω＝2，∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π4＋φ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝－sin φ＝32， ∵－π2＜φ＜0，∴φ＝－π3.(2)由(1)知f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，列表如下：2x －π3－π3π2π32π53π我爱学习网 在线学习网 分享学习方法 励志人生我爱学习网 文言文网/wenyanwen/x 0π6 512π 23π 1112π π f (x )121－112图象如图：(1)“五点法”作图的关键是正确确定五个点，而后列表、描点、连线即可．(2)变换法作图象的关键看x 轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用ωx ＋φ＝ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φω来确定平移单位． 【训练1】 已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4，x ∈R .(1)画出函数f (x )在长度为一个周期的闭区间上的简图； (2)将函数y ＝sin x 的图象作怎样的变换可得到f (x )的图象？ 解 (1)列表取值：x π2 32π 52π 72π 92π 12x －π4 0 π2 π 32π 2π f (x )3－3描出五个关键点并用光滑曲线连接，得到一个周期的简图．(2)先把y ＝sin x 的图象向右平移π4个单位，然后把所有的点的横坐标扩大为原来的2倍，再把所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到f (x )的图象．考向二 求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式【例2】►(2011·江苏)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则f (0)的值是________．[审题视点] 由最高、最低点确定A ，由周期确定ω，然后由图象过的特殊点确定φ.解析 由图可知：A ＝2，T 4＝7π12－π3＝π4，所以T ＝2k π＋π，∴φ＝2k π＋π3，令k ＝0，ω＝2πT ＝2，又函数图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，所以2×π3＋φ＝π，则φ＝π3，故函数的解析式为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，所以f (0)＝2sin π3＝62.答案 62解决这类题目一般是先根据函数图象的最高点、最低点确定A ，h 的值，函数的周期确定ω的值，再根据函数图象上的一个特殊点确定φ值．【训练2】 已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，|φ|＜π2，ω＞0)的图象的一部分如图所示．(1)求f (x )的表达式； (2)试写出f (x )的对称轴方程．解 (1)观察图象可知：A ＝2且点(0,1)在图象上，∴1＝2sin(ω·0＋φ)， 即sin φ＝12.∵|φ|＜π2，∴φ＝π6.又∵1112π是函数的一个零点，且是图象递增穿过x 轴形成的零我爱学习网 在线学习网 分享学习方法 励志人生我爱学习网 文言文网/wenyanwen/点，∴11π12ω＋π6＝2π，∴ω＝2. ∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.(2)设2x ＋π6＝B ，则函数y ＝2sin B 的对称轴方程为 B ＝π2＋k π，k ∈Z ， 即2x ＋π6＝π2＋k π(k ∈Z )， 解上式得x ＝k π2＋π6(k ∈Z )，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的对称轴方程为x ＝k π2＋π6(k ∈Z )．考向三 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与性质的综合应用【例3】►(2012·西安模拟)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R (其中A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π2)的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图象上的一个最低点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2.(1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2时，求f (x )的值域．[审题视点] 先由图象上的一个最低点确定A 的值，再由相邻两个交点之间的距离确定ω的值，最后由点M 在图象上求得φ的值，进而得到函数的解析式；先由x 的范围，求得2x ＋π6的范围，再求得f (x )的值域． 解 (1)由最低点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2，得A ＝2.由x 轴上相邻的两个交点之间的距离为π2，得T 2＝π2，即T ＝π，所以ω＝2πT ＝2ππ＝2.由点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2在图象上，得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×2π3＋φ＝－2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＋φ＝－1.故4π3＋φ＝2k π－π2，k ∈Z ，所以φ＝2k π－11π6(k ∈Z )． 又φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以φ＝π6.故f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.(2)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2，所以2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，7π6.当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值2； 当2x ＋π6＝7π6，即x ＝π2时，f (x )取得最小值－1. 故函数f (x )的值域为[－1,2]．利用三角函数图象与x 轴的相邻两个交点之间的距离为三角函数的12个最小正周期，去求解参数ω的值，利用图象的最低点为三角函数最值点，去求解参数A 的值等．在求函数值域时，由定义域转化成ωx ＋φ的范围，即把ωx ＋φ看作一个整体．【训练3】 (2011·南京模拟)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0，图象上与点P 最近的一个最高点是Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，5.(1)求函数的解析式； (2)求函数f (x )的递增区间．解 (1)依题意得：A ＝5，周期T ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π12＝π，∴ω＝2ππ＝2.故y ＝5sin(2x ＋φ)，又图象过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0，∴5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋φ＝0，由已知可得π6＋φ＝0，∴φ＝－π6 ∴y ＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.(2)由－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，我爱学习网 在线学习网 分享学习方法 励志人生我爱学习网 文言文网/wenyanwen/得：－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z ，故函数f (x )的递增区间为：⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )．规范解答8——怎样求解三角函数的最值问题【问题研究】 (1)求三角函数的最值是高考的一个热点．在求解中，一定要注意其定义域，否则容易产生错误．(2)主要题型：①求已知三角函数的值域(或最值)；②根据三角函数的值域(或最值)求相关的参数；③三角函数的值域(或最值)作为工具解决其他与范围相关的问题．【解决方案】 ①形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数，可通过引入辅助角φ⎝⎛⎭⎪⎫cos φ＝a a 2＋b 2，sin φ＝b a 2＋b 2，将原式化为y ＝a 2＋b 2·sin(x ＋φ)＋c 的形式后，再求值域(或最值)；②形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ，将原式化为二次函数y ＝at 2＋bt ＋c 的形式，进而在t ∈[－1,1]上求值域(或最值)；③形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，将原式化为二次函数y ＝±12a (t 2－1)＋bt ＋c 的形式，进而在闭区间t ∈[－2，2]上求最值．【示例】►(本题满分12分)(2011·北京)已知函数f (x )＝4cos x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－1.(1)求f(x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4上的最大值和最小值．首先化为形如y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，由T ＝2πω求得：由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4，求得ωx ＋φ的范围，从而求得最值． [解答示范] (1)因为f (x )＝4cos x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－1＝4cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x －1＝3sin 2x ＋2cos 2x －1＝ 3 sin 2x ＋cos 2x＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，(4分)所以f (x )的最小正周期为π.(6分)(2)因为－π6≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π6≤2π3.(8分) 于是，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时， f (x )取得最大值2；(10分)当2x ＋π6＝－π6，即x ＝－π6时，f (x )取得最小值－1.(12分)解决这类问题常常借助三角函数的有界性或转化为我们所熟悉的函数，如二次函数等来解决．【试一试】 是否存在实数a ，使得函数y ＝sin 2x ＋a cos x ＋58a －32在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值是1？若存在，求出对应的a 值？若不存在，试说明理由． [尝试解答] y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －12a 2＋a 24＋58a －12，当0≤x ≤π2时，0≤cos x ≤1，令t ＝cos x ，则0≤t ≤1，∴y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －12a 2＋a 24＋58a －12，0≤t ≤1.当0≤a 2≤1，即0≤a ≤2时，则当t ＝a 2，即cos x ＝a2时． y max ＝a 24＋58a －12＝1，解得a ＝32或a ＝－4(舍去)． 当a2＜0，即a ＜0时，则当t ＝0，即cos x ＝0时， y max ＝58a －12＝1，解得a ＝125(舍去)．当a2＞1，即a ＞2时，则当t ＝1，即cos x ＝1时， y max ＝a ＋58a －32＝1，解得a ＝2013(舍去)． 综上知，存在a ＝32符合题意．。
正弦型函数y=Asin精选习题
正弦型函数sin()y A x ωϕ=+精选习题一、 选择题1．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(其中ω＞0，|φ|＜π2)的最小正周期是π，且f (0)＝3，则( )．A ．ω＝12，φ＝π6B ．ω＝12，φ＝π3C ．ω＝2，φ＝π6D ．ω＝2，φ＝π31.答案：D2．为了得到函数y ＝sin(2x －π3)的图象，只需把函数y ＝sin(2x ＋π6)的图象( )A ．向左平移π4个长度单位B ．向右平移π4个长度单位C ．向左平移π2个长度单位D ．向右平移π2个长度单位2.【解析】：y ＝sin(2x －π3)＝sin[2(x －π4)＋π6]，所以只要把y ＝sin(2x ＋π6)的图象向右平移π4个长度单位，就可得到y ＝sin(2x －π3)的图象．答案：B3．函数 f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(其中A >0，|φ|<π2)的图象如图所示，为了得到g (x )＝cos2x 的图象，则只要将 f (x )的图象( )A ．向右平移π6个单位长度B ．向右平移π12个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向左平移π12个单位长度3.【解析】：如图，T 4＝7π12－π3＝π4，T ＝π，ω＝2，又2×π3＋φ＝π，φ＝π3，从而 f (x )＝A sin(2x ＋π3)，显然选D.答案：D4．要得到函数y ＝3cos x 的图象，只需将函数y ＝3sin(2x －π6)的图象上所有点的( )A ．横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，所得图象再向左平移π12个单位长度B ．横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，所得图象再向右平移π6个单位长度C ．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象再向左平移2π3个单位长度D ．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象再向右平移π6个单位长度4.【解析】：将函数y ＝3sin(2x －π6)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，可得函数y ＝3sin(x －π6)的图象，再向左平移2π3个单位长度，可得函数y ＝3sin(x－π6＋2π3)＝3sin(x ＋π2)＝3cos x 的图象． 答案：C5.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(x∈R，A>0，ω>0，|φ|<π2)的图象(部分)如图所示，则f(x)的解析式是( ) (A)f(x)＝2sin(πx＋π6)(x∈R)(B)f(x)＝2sin(2πx＋π6)(x∈R)(C)f(x)＝2sin(πx ＋π3)(x∈R)(D)f(x)＝2sin(2πx ＋π3)(x∈R)5.【解析】选A.从图象上可看出A ＝2，T 4＝56－13＝12，∴T ＝2，ω＝2πT ＝2π2＝π.∴f(x)＝2sin(πx ＋φ). 又∵图象过点(13，2)，∴2＝2sin(π3＋φ)，∴π3＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ， 又∵|φ|<π2，∴φ＝π6，故f(x)＝2sin(πx ＋π6).(x ∈R)6.已知函数f(x)＝3sin(2x ＋π2)，x∈R，则下列结论中正确的是( ) (A)f(x)是最小正周期为π的奇函数 (B)x ＝π3是函数f(x)图象的一条对称轴(C)f(x)的一个对称中心是(－π2，0)(D)将函数y ＝3sin2x 的图象向左平移π4个单位得到函数f(x)的图象6.【解析】先应用三角函数的诱导公式化简三角函数式. 【解析】选(x)＝3sin(2x ＋π2)＝3cos2x ，故A 、B 、C 均不正确.7.将函数f (x )＝sin ωx (其中ω＞0)的图象向右平移π4个单位长度，所得图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，0，则ω的最小值是( )． A ．13 B ．1 C ．53D ．2 7.解析：f (x )＝sin ωx 的图象向右平移π4个单位长度得：y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝⎛⎭⎪⎫x －π4.又所得图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，0，∴sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－π4＝0.∴sin ωπ2＝0.∴ωπ2＝k π(k ∈Z )．∴ω＝2k (k ∈Z )．∵ω＞0，∴ω的最小值为2. 答案：D8．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω＞0，－π＜φ≤π.若f (x )的最小正周期为6π，且当x ＝π2时，f (x )取得最大值，则( )A ．f (x )在区间[－2π，0]上是增函数B ．f (x )在区间[－3π，－π]上是增函数C ．f (x )在区间[3π，5π]上是减函数D ．f (x )在区间[4π，6π]上是减函数8．解析：∵2πω＝6π，∴ω＝13.又∵13×π2＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z 且－π<φ≤π，∴当k ＝0时，φ＝π3，f (x )＝2sin(13x ＋π3)，要使f (x )递增，须有2k π－π2≤13x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，解之得6k π－5π2≤x ≤6k π＋π2，k ∈Z ，当k ＝0时，－52π≤x ≤π2，∴f (x )在[－52π，π2]上递增．答案：A二、 填空题9．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋n 的最大值为4，最小值是0，最小正周期是π2，直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，若A >0，ω>0,0<φ<π2，则函数解析式为________．9.【解析】：由题设得，A ＝2，n ＝2，ω＝4，且当x ＝π3时，sin(43π＋φ)＝±1，故φ＝π6.所求解析式为y ＝2sin(4x ＋π6)＋2. 答案：y ＝2sin(4x ＋π6)＋210．已知函数 f (x )＝3sin(ωx －π6)(ω>0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若x ∈[0，π2]，则 f (x )的取值范围是__________ .10【解析】： f (x )＝3sin(ωx －π6)(ω>0)的对称轴和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同，则ω＝2， f (x )＝3sin(2x －π6)，x ∈[0，π2]时，2x －π6∈[－π6，5π6]，f (x )∈[－32，3]．答案：[－32，3]11.若两个函数的图象只经过若干次平移后就能够重合，则称这两个函数为“同形”函数.给出下列函数：①f 1(x)＝sinx ＋cosx ，②f 2(x)＝sinx ，③f 3(x)＝2sinx ＋2，④f 4(x)＝2(sinx ＋cosx)，其中“同形”函数有 .(填序号) 11.【解析】∵f 1(x)＝sinx ＋cosx ＝2sin(x ＋π4)，f 2(x)＝sinx ， f 3(x)＝2sinx ＋2，f 4(x)＝2(sinx ＋cosx)＝2sin(x ＋π4)，()41f x y y π∴−−−−−−→=→=+向右平移个单位∴①③为“同形”函数. 答案：①③12.(2012·烟台模拟)已知函数f(x)＝2sin(2x ＋π3)，且f(α)＝f(β)＝0(α≠β)，则|α－β|的最小值为 .12.【解析】由题意知α、β是函数y ＝f(x)图象与x 轴交点的横坐标. 【解析】f(x)＝2sin(2x ＋π3)的最小正周期T ＝π.α、β是函数y ＝f(x)的图象与x 轴交点的横坐标，且α≠β，∴|α－β|的最小值为π2.答案：π2三、 解答题13．已知函数 f (x )＝sin(π－ωx )cos ωx ＋cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)将函数 y ＝f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数 y＝g (x )的图象，求函数g (x )在区间[0，π16]上的最小值．13【解析】解：(1) f (x )＝sin(π－ωx )cos ωx ＋cos 2ωx ＝sin ωx cos ωx ＋1＋cos2ωx2＝12sin2ωx ＋12cos2ωx ＋12 ＝22sin(2ωx ＋π4)＋12. 由于ω>0，依题意得2π2ω＝π，所以ω＝1.(2)由(1)知 f (x )＝22sin(2x ＋π4)＋12， 所以g (x )＝ f (2x )＝22sin(4x ＋π4)＋12. 当0≤x ≤π16时，π4≤4x ＋π4≤π2，所以22≤sin(4x ＋π4)≤1.因此1≤g (x )≤1＋22. 故g (x )在区间[0，π16]上的最小值为1.14．(2010～2011年河北省正定中学高三第一次月考)已知函数 f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2，x ∈R )的图象的一部分如图所示．(1)求函数 f (x )的解析式；(2)当x ∈[－6，－23]时，求函数y ＝ f (x )＋ f (x ＋2)的最大值与最小值及相应的x的值．14【解析】解：(1)由图象知A ＝2.T ＝8，∵T ＝2πω＝8，∴ω＝π4， 又图象经过点(－1,0)∴2sin(－π4＋φ)＝0，∵|φ|<π2∴φ＝π4，∴ f (x )＝2sin(π4x ＋π4)，(2)y ＝ f (x )＋ f (x ＋2)＝2sin((π4x ＋π4)＋2sin(π4x ＋π2＋π4)＝2sin(π4x ＋π4)＋2cos(π4x ＋π4)，＝22sin(π4x ＋π2)＝22cos π4x ，∵x ∈[－6，－23]，∴－3π2≤π4x ≤－π6，∴当π4x ＝－π6即x ＝－23时，最大值为6，当π4x ＝－π，即x ＝－4时，最小值为－2 2.15.已知函数f(x)＝2sin(2x －π4)＋1.(1)求f(x)的振幅、最小正周期、初相； (2)画出函数y ＝f(x)在[－π2，π2]上的图象. 15.【解析】直接根据已知得出振幅、周期、初相，利用五点作图法画出图象. 【解析】(1)f(x)＝2sin(2x －π4)＋1的振幅为2， 最小正周期T ＝2π2＝π，初相为－π4.(2)列表并描点画出图象：故函数y ＝f(x)在区间[－π2，π2]上的图象是16．已知函数f (x )＝2a cos 2x ＋b sin x cos x －32，且f (0)＝32，f (π4)＝12. (1)求f (x )的最小正周期； (2)求f (x )的单调递减区间；(3)函数f (x )的图象经过怎样的平移才能使所得图象对应的函数成为奇函数16【解析】．解：(1)由f (0)＝32，得2a －32＝32， ∴2a ＝3，则a ＝32，由f (π4)＝12，得32＋b 2－32＝12，∴b ＝1. ∴f (x )＝3cos 2x ＋sin x cos x －32＝32cos 2x ＋12sin 2x ＝sin(2x ＋π3)， ∴函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)由π2＋2k π≤2x ＋π3≤32π＋2k π，得π12＋k π≤x ≤712π＋k π， ∴f (x )的单调递减区间是[π12＋k π，712π＋k π](k ∈Z)．(3)∵f (x )＝sin2(x ＋π6)，∴奇函数y ＝sin2x 的图象左移π6，即得到f (x )的图象．故函数f (x )的图象右移π6个单位后对应的函数成为奇函数．。
正弦型函数对称轴公式
正弦型函数对称轴公式正弦型函数对称轴公式是数学中的一个重要公式，它可以帮助我们更好地理解正弦函数的性质和特点。
在本文中，我们将详细介绍正弦型函数对称轴公式的含义、推导过程和应用。
让我们来了解一下正弦函数的基本性质。
正弦函数是一种周期函数，它的图像呈现出一种波浪形状。
正弦函数的周期是2π，即在每个2π的区间内，正弦函数的值都会重复出现。
此外，正弦函数的取值范围在[-1,1]之间。
接下来，我们来看一下正弦型函数对称轴公式的含义。
正弦型函数对称轴公式是指，对于任意一个正弦函数y=Asin(wx+b)，其对称轴的方程为x=-b/w。
这个公式告诉我们，正弦函数的对称轴是一条垂直于x轴的直线，其位置取决于函数中的参数b和w。
那么，这个公式是如何推导出来的呢？我们可以通过对正弦函数的图像进行分析来得到答案。
正弦函数的图像呈现出一种对称性，即在对称轴两侧的函数值相等。
因此，我们可以通过求解对称轴方程来确定对称轴的位置。
具体来说，我们可以将正弦函数表示为y=Asin(wx+b)=A[sin(wx)cos(b)+cos(wx)sin(b)]，然后将其化简为y=Acos(b)sin(wx)+Asin(b)cos(wx)。
由于正弦函数的对称轴是一条垂直于x轴的直线，因此我们可以令x=-b/w，从而得到y=Asin(wx+b)=Acos(b)sin(-1)+Asin(b)cos(-1)=Asin(-b/w+b)。
让我们来看一下正弦型函数对称轴公式的应用。
正弦型函数对称轴公式可以帮助我们更好地理解正弦函数的图像和性质。
例如，我们可以通过对称轴公式来确定正弦函数的对称轴位置，从而更好地理解正弦函数的对称性。
此外，对称轴公式还可以用于求解正弦函数的零点和最值等问题。
正弦型函数对称轴公式是数学中的一个重要公式，它可以帮助我们更好地理解正弦函数的性质和特点。
通过对这个公式的学习和应用，我们可以更好地掌握正弦函数的知识，从而更好地应用于实际问题中。
函数y=Asin(wx-φ)的图象课件
当 k＝2 时，ω＝2. 综上，φ＝π2，ω＝23或 2.
函数 y＝Asin(ωx＋φ)的综合运用 与正弦函数 y＝sinx 比较可知， 当 ωx＋φ＝2kπ±π2(k∈Z)时，函数 y＝Asin(ωx＋φ)取得最大值(或最小值)，因此函 数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象的对称轴由 ωx＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)解出， 其对称中心横坐标由 ωx＋φ＝kπ(k∈Z)解出，即对称中心为kπω－φ，0(k∈Z)． 同理 y＝Acos(ωx＋φ)的对称轴由 ωx＋φ＝kπ(k∈Z)解出，对称中心的横坐标由 ωx ＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)解出．
函数 y＝Asin(ωx＋φ)在实际生活中的应用 例 3 某游乐园的摩天轮最高点距离地面 108 米，直径长是 98 米，匀速 旋转一圈需要 18 分钟．如果某人从摩天轮的最低处登上摩天轮并开始计时， 那么：
(1)当此人第四次距离地面629米时用了多少分钟？
(2)当此人距离地面不低于59＋492
3米时可以看
又函数 f(x)的图象的两相邻对称轴间的距离为π2，
(2)将 f(x)的图象向右平移π6个单位长度后，得到函数 fx－π6的图象， 再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的 4 倍，纵坐标不变，得到 f4x－π6的图象，
所以 g(x)＝f4x－π6＝2cos24x－6π＋1 ＝2cos2x－π3＋1. 当 2kπ≤2x－π3≤2kπ＋π(k∈Z)， 即 4kπ＋23π≤x≤4kπ＋83π(k∈Z)时，g(x)单调递减． 所以函数 g(x)的单调递减区间是4kπ＋23π，4kπ＋83π(k∈Z)．
的 ωx＋φ 的值具体如下： “第一点”(即图象上升时与 x 轴的交点)为 ωx＋φ＝0； “第二点”(即图象的“峰点”)为 ωx＋φ＝π2； “第三点”(即图象下降时与 x 轴的交点)为 ωx＋φ＝π； “第四点”(即图象的“谷点”)为 ωx＋φ＝32π； “第五点”为 ωx＋φ＝2π.
第4章第3节函数y=Asin的图像及应用新高考数学自主复习ppt优质课件
第3节 函数y=Asin(wx+φ)的图像及应用
【答案】D
第3节 函数y=Asin(wx+φ)的图像及应用
2．[课标全国Ⅲ2016·14]函数y＝sin x－ 3cos x的图像可由函数y＝sin x＋ 3cos x 的图像至少向右平移__________个单位长度得到．
【解析】y＝sin x－ 3cos x＝2sin(x－ )，y＝sin x＋ 3cos x＝2sin(x+ )，所以 至少向右平移 个单位长度．
解．如y＝sin
2x变为y＝sin
2x
π 3
，可设平移φ(φ>0)个单位长度，则2(x
＋φ)＝2x＋π ⇒φ＝ π，即向左平移 π个单位长度；若φ<0，说明向右平移
3
6
6
|φ|个单位长度．
第4章第3节函数y=Asin的图像及应用 新高考 数学自 主复习p pt优质 课件
第4章第3节函数y=Asin的图像及应用 新高考 数学自 主复习p pt优质 课件
中，令x＝0，得y＝ 3 tan ＝1，故
|OD|＝1.
又函数y＝ 3tan
的最小正周期T＝ ，所以|EF|＝ .
所以S△DEF＝
1 2
|EF|·|OD|＝ 1
2
×
×1＝
.故选A.
【答案】A
第4章第3节函数y=Asin的图像及应用 新高考 数学自 主复习p pt优质 课件
第4章第3节函数y=Asin的图像及应用 新高考 数学自 主复习p pt优质 课件
的图像向右平移 个单位长度，所得图像对应的
第4章第3节函数y=Asin的图像及应用 新高考 数学自 主复习p pt优质 课件
第4章第3节函数y=Asin的图像及应用 新高考 数学自 主复习p pt优质 课件
高考数学一轮单元复习 第18讲 函数y=Asin()的图像与性质课件
第三十页，共39页。
第三十一页，共39页。
第三十二页，共39页。
第三十三页，共39页。
第三十四页，共39页。
第三十五页，共39页。
第三十六页，共39页。
第三十七页，共39页。
第18讲 │ 规律(GUĪLǛ)总结
规律总结
第三十八页，共39页。
第18讲 │ 规律(GUĪLǛ)总结
第三十九页，共39页。
第18讲 │ 函数 XIÀ Nɡ)与性质
y
Asin a(x 的) 图像(TÚ
y Asin a(x )
第一页，共39页。
第18讲 │ 知识(ZHĪ SHI)梳理
知识梳理
第二页，共39页。
第18讲 │ 知识(ZHĪ SHI)梳理
第三页，共39页。
第18讲 │ 知识(ZHĪ SHI)梳理
第四页，共39页
第十九页，共39页。
第二十页，共39页。
第二十一页，共39页。
第二十二页，共39页。
第二十三页，共39页。
第二十四页，共39页。
第二十五页，共39页。
第二十六页，共39页。
第二十七页，共39页。
第二十八页，共39页。
第二十九页，共39页。
第18讲 │ 知识(ZHĪ SHI)梳理
第五页，共39页。
要点探究
第六页，共39页。
第七页，共39页。
第八页，共39页。
第九页，共39页。
第十页，共39页。
第十一页，共39页。
第十二页，共39页。
第十三页，共39页。
第十四页，共39页。
第十五页，共39页。
第十六页，共39页。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
（一）最值问题
变化1 方程sinx+cosx=m在区间[0,] 内解， 则m的取值范围是 ； 变化2 方程sinx+cosx=m在区间[0, ] 内恰好有 两个不同的解，则m的取值范围是 ;
（一）最值问题
变化1 方程sinx+cosx=m在区间[0,] 内解， 则m的取值范围是 ； 变化2 方程sinx+cosx=m在区间[0, ] 内恰好有 两个不同的解，则m的取值范围是 ; 1 cos 2 x 变化3（2005 重庆 理）若函数f(x)=
变化4 函数y=| 2sin(x+ )|的周期是 4
4
;
（课外思考）
变化5 函数y=| 是多少?
2 sin(x+ 4 )
+k| (k 0)的周期
（二）单调性
区间是
变化1 函数y= 2 sin(－x－ )单调递减 4
； 变化2 函数y=log 1 (sinx+cosx)的单调 递减区间是 2 ；
4 sin(
x － msin cos( 2
数m的值。
x －2
)的最大值为2，试确定常2 Nhomakorabea x)
（课外作业）
x 变化4 函数f(x) = a( 2cos2 +sinx)+b (a＜0) 2
且当x[0, ]时 ,f(x)的值域是[3，4]，求a,b的值。
变化5，在变化4中对a 不加以限制，结果又如 何呢？
创新巩固
（重庆2004 理）求函数 y=sin4x+2sinxcosx－cos4x的最小正 ]上的 周期、最小值，并写出函数在[0， 单调递增区间。
小结
1.
2.
你掌握了正弦型函数的三个主要性质了吗? 你能用这些性质解决一些综合性的问题吗？ 你能根据本节课的学习，用类比的方法去 )+ k和正切 x+ 研究余弦型函数y=Acos( 型函数y= A tan( x+ )+ k的性质吗？
正弦型函数y= Asin(x+ )+ k的 性质
2006年4月
问题引入
已知函数f(x)=sinx+cosx， 则它的值域是 ; 周期是 ； 单调递增区间是 ； 单调递减区间是 ； 对称轴是 ； 对称中心是 ；
（一）周期问题
变化1 函数y= sinx+cosx x[o, ]的周期呢？ 变化2 若函数y= Asin( x+ )的周期为2，则 的值是 2 ； 变化3 函数y= 2 sin (x+ )的周期是多少?
研究性学习
已知函数y= loga (sin x cos x) 1. 求它的定义域、值域； 2. 指出它的单调递增区间； 3. 判断它的周期性，如果是一个周期函数， 求出它的一个周期； 4. 判断它的奇偶性