(全国通用版)2020高考数学二轮复习 专题五 解析几何 第3讲 圆锥曲线的综合问题学案 文

第3讲 圆锥曲线的综合问题

[考情考向分析] 1.圆锥曲线的综合问题一般以直线和圆锥曲线的位置关系为载体，以参数处理为核心，考查范围、最值问题，定点、定值问题，探索性问题.2.试题解答往往要综合应用函数与方程、数形结合、分类讨论等多种思想方法，对计算能力也有较高要求，难度较大．

热点一 范围、最值问题

圆锥曲线中的范围、最值问题，可以转化为函数的最值问题(以所求式子或参数为函数值)，或者利用式子的几何意义求解．

例1 (2018·百校联盟联考)已知N 为圆C 1：(x ＋2)2

＋y 2

＝24上一动点，圆心C 1关于y 轴的对称点为C 2，点M ，

P 分别是线段C 1N ，C 2N 上的点，且MP →·C 2N —→＝0，C 2N —→＝2C 2P —→

.

(1)求点M 的轨迹方程；

(2)直线l 与曲线Γ交于A ，B 两点，AB 的中点在直线y ＝1

2上，求△OAB (O 为坐标原点)面积的取值范围．

解 连接MC 2，因为C 2N —→＝2C 2P —→

，所以P 为C 2N 的中点，

因为MP →·C 2N —→

＝0， 所以MP →⊥C 2N —→，

所以点M 在C 2N 的垂直平分线上， 所以|MN |＝|MC 2|，

因为|MN |＋|MC 1|＝|MC 2|＋|MC 1|＝26>4， 所以点M 在以C 1，C 2为焦点的椭圆上， 因为a ＝6，c ＝2，所以b 2

＝2， 所以点M 的轨迹方程为x 26＋y 2

2＝1.

(2)由题意知直线l 的斜率存在， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，l ：y ＝kx ＋m ，

由⎩⎪⎨⎪⎧

y ＝kx ＋m ，x 26＋y

22

＝1，得()3k 2

＋1x 2

＋6kmx ＋3m 2

－6＝0，

x 1＋x 2＝－6km 3k 2＋1，x 1x 2＝3m 2

－63k 2＋1

，

Δ＝()6km 2－4()3k 2＋1()3m 2

－6

＝12()6k 2

＋2－m 2

>0，

设AB 的中点为C ()x 0，y 0，

则x 0＝－3km 3k 2＋1，y 0＝kx 0＋m ＝－3k 2

m 3k 2＋1＋m ＝m

3k 2＋1

，

由题意知m 3k 2＋1＝12

，所以2m ＝3k 2

＋1，

由Δ>0，得0

因为|AB |＝1＋k 2

×12()

6k 2

＋2－m 2

3k 2

＋1

＝1＋k 2

×23×6k 2＋2－m

2

3k 2

＋1

， 原点O 到直线AB 的距离d ＝

|m |1＋k

2

，

所以S △OAB ＝12×|m |1＋k

2

×1＋k 2

×23×6k 2

＋2－m 2

3k 2＋1 ＝m ×3×4m －m 22m ＝32

×4m －m 2

()0

即0

所以当m ＝2时，S △OAB 取最大值 3. 故△OAB 面积的取值范围为(]0，3. 思维升华 解决范围问题的常用方法

(1)数形结合法：利用待求量的几何意义，确定出极端位置后，利用数形结合法求解． (2)构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解． (3)构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域．

跟踪演练1 (2018·北京)已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为6

3，焦距为2 2.斜率为k 的直线l 与椭圆

M 有两个不同的交点A ，B .

(1)求椭圆M 的方程；

(2)若k ＝1，求|AB |的最大值；

(3)设P (－2,0)，直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D ，若C ，D 和点Q ⎝ ⎛⎭

⎪

⎫－74，14

共线，求k .

解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧

a 2＝

b 2＋

c 2，

c a ＝6

3，

2c ＝22，

解得a ＝3，b ＝1.

所以椭圆M 的方程为x 2

3

＋y 2

＝1.

(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．

由⎩⎪⎨⎪⎧

y ＝x ＋m ，x 23

＋y 2

＝1，

得4x 2

＋6mx ＋3m 2

－3＝0，Δ＝36m 2

－16(3m 2－3)＝－12m 2

＋48>0， 即－2

所以x 1＋x 2＝－3m 2，x 1x 2＝3m 2

－34.

所以|AB |＝(x 2－x 1)2

＋(y 2－y 1)2 ＝2(x 2－x 1)2

＝2[(x 1＋x 2)2

－4x 1x 2] ＝

12－3m 22

. 所以当m ＝0，即直线l 过原点时，|AB |最大，最大值为 6. (3)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由题意得x 2

1＋3y 2

1＝3，x 2

2＋3y 2

2＝3. 直线PA 的方程为y ＝

y 1

x 1＋2

(x ＋2)．

由⎩⎪⎨⎪⎧

y ＝y 1x 1＋2(x ＋2)，x 2＋3y 2＝3，

得

[(x 1＋2)2

＋3y 2

1]x 2

＋12y 21x ＋12y 21－3(x 1＋2)2

＝0. 设C (x C ，y C )，

所以x C ＋x 1＝－12y 2

1(x 1＋2)2＋3y 21＝

4x 2

1－124x 1＋7. 所以x C ＝4x 2

1－124x 1＋7－x 1＝－12－7x 1

4x 1＋7.

所以y C ＝

y 1x 1＋2(x C ＋2)＝y 1

4x 1＋7

. 设D (x D ，y D )，