【中考数学专题提优训练】8--以图形变换为背景的作图与计算

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中考数学几何图形的变换历年真题解析

中考数学几何图形的变换历年真题解析几何图形的变换是中考数学中的重要内容，涉及平移、旋转、翻转等多种变换方式。

通过对历年真题的解析，我们可以更好地理解和掌握这些变换的方法和应用。

下面将对数学中考几何图形的变换部分进行详细解析。

一、平移变换平移变换是指将一个图形在平面上沿着一定方向移动一定的距离，保持图形形状和大小不变。

在中考中，常常要求计算平移后的图形坐标或者确定平移向量的特征等。

例题1：已知点A(3,4)，将点A沿向量(2,-3)平移，记平移后的点为B。

求点B的坐标。

解析：根据平移的定义和向量的性质，我们知道平移后点的坐标等于原来点的坐标加上平移向量的坐标。

所以，点B的坐标为(3+2, 4-3)，即B(5,1)。

例题2：如图，平行四边形ABCD经过平移变换得到新的平行四边形A'B'C'D'，其中AB=3cm，CB=4cm，平移向量为v，求平移向量v的坐标。

解析：首先，我们可以利用平行四边形的性质推导出平移向量v的坐标与平行四边形的对应边的向量相等。

由于AB在变换前和变换后分别与A'B'、B'C'平行，所以v的坐标等于AB的坐标，即v=(3, 0)。

二、旋转变换旋转变换是指将一个图形绕着一定的旋转中心按一定的角度旋转。

在中考中，常常要求计算旋转后的图形坐标或者确定旋转角度的特征等。

例题3：如图，A、B、C三点在平面内，点A经过逆时针旋转90°得到点B，点B经过逆时针旋转90°得到点C，求点C的坐标。

解析：根据旋转的性质，我们可以得出旋转90°后，点的坐标分别等于原来点的y坐标、-x坐标。

所以，点C的坐标为(-2, 3)。

例题4：如图，正方形ABCD绕顶点A顺时针旋转90°得到新图形，求旋转后点C的坐标。

解析：根据旋转的性质，我们可以将旋转90°看作将原点逆时针旋转90°。

因此，旋转后点C的坐标为(-1, 1)。

中考数学总复习《图形变换综合压轴题》专项提升练习题(附答案)

中考数学总复习《图形变换综合压轴题》专项提升练习题（附答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．如图1，在Rt△ABC中∠C=90°,AC=BC=5，等腰直角三角形BDE的顶点点D是边BC上的一点，且α(0°≤α<360°)．的值为________，直线AE,CD相交形成的较小角的度数为________；(1)【问题发现】当α=0°时，AECD(2)【拓展探究】试判断：在旋转过程中，（1）中的两个结论有无变化？请仅就图2的情况给出证明；(3)【问题解决】当△BDE旋转至A，D，E三点在同一条直线上时，请直接写出△ACD的面积．2．已知等边三角形ABC，过A点作AC的垂线l，点P为l上一动点（不与点A重合），连接CP，把线段CP绕点C逆时针方向旋转60°得到CQ，连QB．(1)如图1，判断线段AP与BQ的数量关系，并说明理由；(2)如图2，当点P、B在AC同侧且AP＝AC时，求证：直线PB垂直平分线段CQ；(3)如图3，若等边三角形ABC的边长为4，点P、B分别位于直线AC异侧，且△APQ的面积等于√3，请直接4写出线段AP的长度．3．在中Rt△ABC中∠ABC=90°，AB=BC点E在射线CB上运动．连接AE，将线段AE绕点E顺时针旋转90°得到EF，连接CF．(1)如图1，点E在点B的左侧运动；①当BE=2，BC=2√3时，则∠EAB=_________°；②猜想线段CA，CF与CE之间的数量关系为_________．(2)如图2，点E在线段CB上运动时，第（1）间中线段CA，CF与CE之间的数量关系是否仍然成立如果成立，请说明理由；如果不成立，请求出它们之间新的数量关系．(3)点E在射线CB上运动BC=√3，设BE=x，以A，E，C，F为顶点的四边形面积为y，请直接写出y与x之间的函数关系式（不用写出x的取值范围）．4．如图1，在矩形ABCD中AB=6，AD=8把AB绕点B顺时针旋转α(0<α<180°)得到，连接，过B点作BE⊥AA′于E点，交矩形ABCD边于F点．(1)求DA′的最小值；(2)若A点所经过的路径长为2π，求点A′到直线AD的距离；(3)如图2，若CF=4，求tan∠ECB的值；(4)当∠A′CB的度数取最大值时，直接写出CF的长．5．【问题探究】（1）如图1锐角△ABC中分别以AB AC为边向外作等腰直角△ABE和等腰直角△ACD 使AE＝AB AD＝AC∠BAE＝∠CAD＝90°连接BD CE试猜想BD与CE的大小关系不需要证明．【深入探究】（2）如图2四边形ABCD中AB＝5BC＝2∠ABC＝∠ACD＝∠ADC＝45°求BD2的值；甲同学受到第一问的启发构造了如图所示的一个和△ABD全等的三角形将BD进行转化再计算请你准确的叙述辅助线的作法再计算；【变式思考】（3）如图3四边形ABCD中AB＝BC∠ABC＝60°∠ADC＝30°AD＝6BD ＝10则CD＝．6．如图1所示在菱形ABCD和菱形AEFG中点A B E在同一条直线上P是线段CF的中点连接PD PG．(1)若∠BAD=∠AEF=120°请直接写出∠DPG的度数及PG的值______．PD(2)若∠BAD=∠AEF=120°将菱形ABCD绕点A顺时针旋转使菱形ABCD的对角线AC恰好与菱形AEFG的边AE在同一直线上如图2 此时（1）中的两个结论是否发生改变？写出你的猜想并加以说明．(3)若∠BAD=∠AEF=180°−2α(0°<α<90°)将菱形ABCD绕点A顺时针旋转到图3的位置求出PGPD 的值．7．如图1 在平面直角坐标系中抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于A（﹣2 0）B两点与y轴交于点C OB＝OC．连接BC点D是BC的中点．(1)求抛物线的表达式；(2)点M在x轴上连接MD将△BDM沿DM翻折得到△DMG当点G落在AC上时求点G的坐标；(3)如图2 E在第二象限的抛物线上连接DE交y轴于点N将线段DE绕点D逆时针旋转45°交ABOM直接写出点E的坐标．与点M若ON＝438．[证明体验]（1）如图1 在△ABC和△BDE中点A B D在同一直线上△A＝△CBE＝△D＝90° 求证：△ABC△△DEB．（2）如图2 图3 AD＝20 点B是线段AD上的点AC△AD AC＝4 连结BC M为BC中点将线段BM绕点B顺时针旋转90°至BE连结DE．ME时求AB的长．[思考探究]（1）如图2 当DE=√22[拓展延伸]（2）如图3 点G过CA延长线上一点且AG＝8 连结GE△G＝△D求ED的长．9．新定义：如图1（图2图3）在△ABC中把AB边绕点A顺时针旋转把AC边绕点A逆时针旋转得到△AB′C′若∠BAC＋∠BA′C′=180°我们称△AB′C′是△ABC的“旋补三角形” △AB′C′的中线AD叫做△ABC的“旋补中线” 点A叫做“旋补中心”(1)【特例感知】①若△ABC是等边三角形（如图2）BC=4则AD=________；②若∠BAC=90°（如图3）BC=6AD=_______；(2)【猜想论证】在图1中当△ABC是任意三角形时猜想AD与BC的数量关系并证明你的猜想；（提示：过点B′作B′E∥AC′且B′E＝AC′连接C′E则四边形AB′EC是平行四边形．）(3)【拓展应用】如图4点A B C D都在半径为5的圆P上且AB与CD不平行AD=6△APD是△BPC的“旋补三角形” 点P是“旋补中心” 求BC的长．10．如图① 抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A(x10) 点C(x20) 且x1x2满足x1+x2＝2x1•x2＝﹣3 与y轴交于点B E(m0)是x轴上一动点过点E作EP△x轴于点E交抛物线于点P．(1)求抛物线解析式．(2)如图② 直线EP交直线AB于点D连接PB．①点E在线段OA上运动若△PBD是等腰三角形时求点E的坐标；②点E在x轴的正半轴上运动若△PBD+△CBO＝45° 请求出m的值．(3)如图③ 点Q是直线EP上的一动点连接CQ将线段CQ绕点Q逆时针旋转90° 得到线段QF 当m＝1时请直接写出PF的最小值．11．如图△ABC与△DEF都是等腰直角三角形AC=BC DE=DF．边AB EF的中点重合于点O连接BF CD．(1)如图① 当FE△AB时易证BF=CD（不需证明）；(2)当△DEF绕点O旋转到如图②位置时猜想BF与CD之间的数量关系并证明；(3)当△ABC与△DEF均为等边三角形时其他条件不变如图③ 猜想BF与CD之间的数量关系直接写出你的猜想不需证明．12．已知Rt△ABC中AC＝BC△C＝90° D为AB边的中点△EDF＝90° △EDF绕D点旋转它的两边分别交AC CB（或它们的延长线）于E F．(1)如图1 当△EDF绕D点旋转到DE△AC于E时易证S△DEF＋S△CEF与S△ABC的数量关系为__________；(2)如图2 当△EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时上述结论是否成立？若成立请给予证明；(3)如图3 这种情况下请猜想S△DEF S△CEF S△ABC的数量关系不需证明．13．如图① 将一个直角三角形纸片ABC放置在平面直角坐标系中点A(−2,0)点B(6,0)点C在第一象限∠ACB=90°∠CAB=30°．(1)求点C的坐标；(2)以点B为中心顺时针旋转三角形ABC得到三角形BDE点A C的对应点分别为D E．①如图② 当DE∥AB时BD与y轴交于点F求点F的坐标；②如图③ 在（1）的条件下点F不变继续旋转三角形BDE当点D落在射线BC上时求证四边形FDEB为矩形；(3)点F不变记P为线段FD的中点Q为线段ED的中点求PQ的取值范围（直接写出结果即可）．14．如图在Rt△ABC中∠ACB=90∘∠A=30∘点O为AB中点点P为直线BC上的动点（不与点B C重合）连接OC OP将线段OP绕点P逆时针旋转60∘得到线段P Q连接BQ．(1)如图1 当点P在线段BC上时请直接写出线段BQ与CP的数量关系；(2)如图2 当点P在CB长线上时（1）中结论是否成立？若成立请加以证明；若不成立请说明理由；(3)如图3 当点P在BC延长线上时若∠BPO=45∘AC=√6请直接写出BQ的长．15．如图在RtΔABC中∠BAC=90°AB=AC点P是AB边上一动点作PD⊥BC于点D连接AD把AD绕点A逆时针旋转90°得到AE连接CE DE PE．(1)求证：四边形PDCE是矩形；(2)如图2所示当点P运动BA的延长线上时DE与AC交于点F其他条件不变已知BD=2CD的值；求APAF(3)点P在AB边上运动的过程中线段AD上存在一点Q使QA+QB+QC的值最小当QA+QB+QC的值取得最小值时若AQ的长为2 求PD的长．16．感知：如图① △ABC和△ADE都是等腰直角三角形∠BAC=∠DAE=90°点B在线段AD上点C在线段AE上我们很容易得到BD=CE不需要证明；(1)探究：如图② 将△ADE绕点A逆时针旋转α(0<α<90°)连结BD和CE此时BD=CE是否依然成立?若成立写出证明过程；若不成立说明理由；(2)应用：如图③ 当△ADE绕点A逆时针旋转使得点D落在BC的延长线上连接CE；①探究线段BC CD CE之间的数量关系．②若AB=AC=√2CD=1求线段DE的长．17．如图抛物线C：y=ax2+6ax+9a−8与x轴相交于A B两点（点A在点B的左侧）已知点B的横坐标是2 抛物线C的顶点为D．(1)求a的值及顶点D的坐标；(2)点P是x轴正半轴上一点将抛物线C绕点P旋转180°后得到的抛物线C1记抛物线C1的顶点为E抛物线C1与x轴的交点为F G（点F在点G的右侧）．当点P与点B重合时（如图1）求抛物线C1的表达式；(3)如图2 在（2）的条件下从A B D中任取一点E F G中任取两点若以取出的三点为顶点能构成直角三角形我们就称抛物线C1为抛物线C的“勾股伴随同类函数”．当抛物线C1是抛物线C的勾股伴随同类函数时求点P的坐标．18．如图点B坐标为（5 2）过点B作BA△y轴于点A作BC△x轴于点C点D在第一象限内．(1)如图1 反比例函数y1＝mx （x＞0）的图象经过点B点D且直线OD的表达式为y＝52x求线段OD的长；(2)将线段OD从（1）中位置绕点O逆时针旋转得到OD′（如图2）反比例函数y2＝nx（x＞0）的图象过点D' 交AB于点E交BC于点F连接OE OF EF．①若AE+CF＝EF求n的值；②若△OEF＝90°时设D′的坐标为（a b）求（a+b）2的值.19．已知正方形ABCD和等腰直角三角形BEF BE＝EF△BEF＝90° 按图1放置使点F在BC上取DF的中点G连接EG CG．(1)探索EG CG的数量关系和位置关系并证明；(2)将图（1）中△BEF绕点B顺时针旋转45° 再连接DF取DF中点G（见图2）（1）中的结论是否仍然成立？证明你的结论；(3)将图（1）中△BEF绕点B顺时针转动任意角度（旋转角在0°到90°之间）再连接DF取DF中点G（见图3）（1）中的结论是否仍然成立？证明你的结论．20．如图1 已知正方形BEFG点C在BE的延长线上点A在GB的延长线上且AB＝BC过点C作AB的平行线过点A作BC的平行线两条平行线相交于点D．(1)证明：四边形ABCD是正方形；(2)当正方形BEFG绕点B顺时针（或逆时针）旋转一定角度得到图2 使得点G在射线DB上连接BD和DF点Q是线段DF的中点连接CQ和QE猜想线段CQ和线段QE的关系并说明理由；(3)将正方形BEFG绕点B旋转一周时当△CGB等于45°时直线AE交CG于点H探究线段CH EG AH的长度关系．参考答案1．（1）解：Rt△ABC中∵∠C=90°,AC=BC=5∴AB=√AC2+BC2=√52+52=5√2∵ED⊥BC BD=ED=√2∴EB=√DB2+DE2=2,∠B=45°∴AE=AB－EB=5√2−2,CD=BC−DB=5−√2∴AECD =5√2−25−√2=√2故答案为：√2,45°；（2）解：（1）中的两个结论不发生变化理由如下：如图延长AE CD交于F由旋转可得∠CBD=∠ABE∵AB=5√2,BC=5,BE=2,DB=√2∴ABBC =5√25=√2EBDB=2√2=√2∴ABBC=EBDB∴ΔAEB∽ΔCDB∴AECD =ABCB=√2∠EAB=∠DCB∵∠BAC+∠ACB=90°+45°=135°∴∠BAC+∠ACD+∠DCB=∠BAC+∠ACD+∠EAB=135°即∠FAC+∠ACD=135°∴∠F=180°−(∠FAC+∠ACD)=45°∴（1）中的两个结论不发生变化．（3）解：分情况讨论：如图当点D在线段AE上时过点C作CF⊥AD于点F在RtΔABD中AB=5√2,BD=√2∴AD=√AB2−DB2=√(5√2)2−(√2)2=4√3由（2）知ΔEAB∽ΔDCB∠ADC=45°AE=AD+DE=4√3+√2∴CDAE=CBAB∴CD4√3+√2=55√2∴CD=2√6+1在Rt△CDF中CF=CD·sin∠ADC=(2√6+1)·sin45°=2√3+√22∴S△ADC=12AD·CF=12×4√3×(2√3+√22)=12+√6；当点E在线段AD上时如图过点C作CF⊥AD于点F在RtΔADB中AB=5√2,DB=√2∴AD=√AB2−DB2=√(5√2)2−(√2)2=4√3∴AE=AD−DE=4√3−2由（2）知△CDB∽△AEB∴CDAE=BCAB∴CD4√3−2=55√2∴CD=2√6−1由（2）知∠ADC=45°∴CF=CD·sin45°=(2√6−1)×√22=2√3−√22∴SΔACD=12AD·CF=12×4√3×(2√3−√22)=12−√6综上△ADC的面积为12+√6或12−√6．2．（1）解：AP＝BQ．理由如下：在等边△ABC中AC＝BC△ACB＝60°由旋转可得CP＝CQ△PCQ＝60°△△ACB＝△PCQ△△ACB﹣△PCB＝△PCQ﹣△PCB即△ACP＝△BCQ△△ACP△△BCQ（SAS）△AP＝BQ；（2）证明：在等边△ABC中AC＝BC△ACB＝60°由旋转可得CP＝CQ△PCQ＝60°△△ACB＝△PCQ△△ACB﹣△PCB＝△PCQ﹣△PCB即△ACP＝△BCQ△△ACP△△BCQ（SAS）△AP＝BQ△CBQ＝△CAP＝90°；△BQ＝AP＝AC＝BC.△AP＝AC△CAP＝90°△△BAP＝30° △ABP＝△APB＝75°△△CBP＝△ABC+△ABP＝135°△△CBD＝45°△△QBD＝45°△△CBD＝△QBD即BD平分△CBQ△BD△CQ且点D是CQ的中点即直线PB垂直平分线段CQ；（3）解：AP 的长为：√3或√33或2√3+√212．理由如下：①当点Q 在直线l 上方时如图所示延长BQ 交l 于点E 过点Q 作QF ⊥l 于点F由题意可得AC ＝BC PC ＝CQ △PCQ ＝△ACB ＝60°△△ACP ＝△BCQ△△APC △△BCQ （SAS ）△AP ＝BQ △CBQ ＝△CAP ＝90°△△CAB ＝△ABC ＝60°△△BAE ＝△ABE ＝30°△AB ＝AC ＝4△AE ＝BE =4√33△△BEF ＝60°设AP ＝t 则BQ ＝t△EQ =4√23−t在Rt △EFQ 中 QF =√32EQ =√32（4√23−t ） △S △APQ =12AP •QF =√34 即12•t √32（4√23−t ）=√34 解得t =√3或t =√33．即AP 的长为√3或√33．②当点Q 在直线l 下方时如图所示设BQ 交l 于点E 过点Q 作QF ⊥l 于点F由题意可得AC ＝BC PC ＝CQ △PCQ ＝△ACB ＝60°△△ACP ＝△BCQ△△APC △△BCQ （SAS ）△AP ＝BQ △CBQ ＝△CAP ＝90°△△CAB ＝△ABC ＝60°△△BAE ＝△ABE ＝30°△△BEF ＝120° △QEF ＝60°△AB ＝AC ＝4△AE ＝BE =4√33设AP ＝m 则BQ ＝m△EQ ＝m −4√33在Rt △EFQ 中 QF =√32EQ =√32（m −4√33） △S △APQ =12AP •QF =√34 即12•m •√32（m −4√33）=√34 解得m =2√3+√213（m =2√3-√213 负值舍去）．综上可得 AP 的长为：√3或√33或2√3+√213． 3．（1）解：①△AB =BC =2√3 BE =2 △ABC =90°△tan∠EAB =BE AB =22√3=√33△△EAB =30°故答案为：30；②过点F 作FD △BC 于D 如图3△△BAE + △AEB = 90° △DEF +△AEB =90°△△BAE = △DEF△AE = EF △ABE =△EDF = 90°△△АВЕ △△ЕDF△AB = ED = BC△FD = DC△CF =√2CD AC =√2AB =√2ED△AC + CF=√2CD +√2ED=√2 (CD + ED )=√2CE ；故答案为：AC +CF =√2CE ；（2）过F 作FH △BC 交BC 的延长线于H 如图4△△AEF =90° AE =EF易证△ABE △△EHF△FH =BE EH =AB =BC△△FHC 是等腰直角三角形△CH =BE =√22FC△EC =BC -BE =√22AC -√22FC 即CA -CF =√2CE ；（3）如图3 当点E在点B左侧运动时y=12×CE×(AB+FD)=12×(√3+x)×(√3+x)=1 2x2+√3x+32；如图4 当点E在点B右侧运动时连接AF 根据勾股定理得AE=√AB2+BE2=√3+x2由旋转得AE=EF△EC=EH-CH=BC-BE=√3−x△y=12×AE×EF+12×EC×FH=1 2x2+32+12(√3−x)x=√3 2x+32综上当点E在点B左侧运动时y=12x2+√3x+32；当点E在点B右侧运动时y=√32x+32．4．（1）解：连接BD DA′ 如图△四边形ABCD是矩形△△BAD=90°△AB=6 AD=8△BD=10由旋转可得BA′=BA=6△BA′+DA′≥BD△当点A′落在BD上时DA′最小最小值为10-6=4△DA′最小值为4；（2）解：由题意得απ×6180=2π解得：α=60°△AB=A′B△△ABA′是等边三角形△△BAA′=60° AB=A′B=AA′=6△△DAA′=30°过点A′作A′M△AD于M点△A′M=12AA′=3△点A′到直线AD的距离为3（3）解：△BC=8 CF=4△BF=4√5△△BAE+△ABE=90° △CBF+△ABE=90°△△BAE=△CBF△△AEB=△BCF=90°△△ABE△△BFC△BE CF =ABBF△BE=6√55过E作EH△BC于H点△EH∥CD△△BEH△△BFC△BE BF =EHCF=BHBC△EH=65BH=125△CH=285△tan∠ECB=EHCH =314；（4）解：当A′C与以B为圆心AB为半径的圆相切时△A′CB最大此时△BA′C=90°分两种情况：当A′在BC的上方时如图1△AB=A′B AE△AA′于E△△ABF=△A′BF△BF=BF△△ABF△△A′BF△△BA′F=△BAF=90°△C A′ F在一条直线上△S△BCF=12BC×AB=12A′B×CF△CF =BC =8如图2当A ′在BC 的下方时连接AF A ′F 则AF =A ′F△A ′B =6 BC =8△A′C =2√7过A ′作A ′P △CD 垂足落在DC 的延长线上△△BCA ′+△A ′CP =90° △A ′CP +△CA ′P =90°△△BCA ′=△CA ′P△△BA ′C =△A ′PC△△A ′BC △△PCA ′△A ′B PC =BC CA ′=A ′CPA ′△A′P =72 PC =32√7△AD 2+DF 2=A ′P 2+PF 2△82+(6−CF )2=(72)2+(32√7+CF)2△CF =83(4−√7)．综上 CF 的长为8或83（4−√7)．5．解：（1）BD ＝CE ．理由是：△△BAE ＝△CAD△△BAE +△BAC ＝△CAD +△BAC 即△EAC ＝△BAD在△EAC 和△BAD 中{AE =AB∠EAC =∠BAD AC =AD△△EAC △△BAD△BD ＝CE ；（2）如图2 在△ABC 的外部以A 为直角顶点作等腰直角△BAE使△BAE ＝90° AE ＝AB 连接EAEB EC ．△△ACD＝△ADC＝45°△AC＝AD△CAD＝90°△△BAE+△BAC＝△CAD+△BAC即△EAC＝△BAD 在△EAC和△BAD中{AE=AB ∠EAC=∠BAD AC=AD△△EAC△△BAD△BD＝CE．△AE＝AB＝5△BE＝√52+52=5√2△ABE＝△AEB＝45°又△△ABC＝45°△△ABC+△ABE＝45°+45°＝90°△EC2=BE2+BC2=(5√2)2+22=54△BD2=CE2=54．（3）如图△AB＝BC△ABC＝60°△△ABC是等边三角形把△ACD绕点C逆时针旋转60°得到△BCE连接DE 则BE＝AD△CDE是等边三角形△DE＝CD△CED＝60°△△ADC＝30°△△BED＝30°+60°＝90°在Rt△BDE中DE＝√BD2−BE2＝√102−62＝8△CD＝DE＝8．6．解：（1）延长GP交CD于H如图1所示：∵在菱形ABCD和菱形AEFG中AB=CD=AD BE//CD AG=FG FG//BE∴FG//CD∴∠PFG=∠PCH ∵P是线段CF的中点∴PF=PC在△PFG和△PCH中{∠PFG=∠PCHPF=PC∠FPG=∠CPH ∴△PFG≅△PCH(ASA)∴FG=CH PG=PH∴AG=CH∴DG=DH∴DP⊥GH（三线合一）∴∠DPG=90°；∵∠BAD=120°∴∠ADC=60°∴∠PDG=∠PDH=12∠ADC=30°∴PGPD =tan∠PDG=tan30°=√33；（2）（1）中的两个结论不发生改变；理由如下：延长GP交CE于H连接DH DG如图2所示：∵四边形AEFG为菱形∴FG//EC∴∠GFP=∠HCP ∵P是线段CF的中点∴PF=PC在△PFG和△PCH中{∠GFP=∠HCPPF=PC∠FPG=∠CPH ∴△PFG≅△PCH(ASA)∴FG=CH PG=PH∵FG=AG∴AG=CH∵四边形ABCD是菱形∴AC=CD∵∠BAD=∠AEF=120°∴∠ACD=60°∴△ACD是等边三角形∴AD=CD∴∠EAG=∠ADC=60°∠DAC=∠DCA=60°∴∠GAD=180°−∠EAG−∠DAC=60°在△ADG和△CDH中{AD=CD∠GAD=∠DCHAG=CH ∴△ADG≅△CDH(SAS)∴DG=DH∠ADG=∠CDH∴DP⊥GH∴∠DPG=90°∠GDH=∠ADC=60°∴∠GDP=30°∴PGPD =tan30°=√33；（3）延长GP到H使得PH=GP连接CH DG DH延长DC交EA的延长线于点M如图3所示：同（2）可证△PFG≅△PCH∴∠GFC=∠HCF FG=CH∴FG//CH∵FG//AE∴CH//EM∴∠DCH=∠M∵CD//AB∴∠M=∠MAB∴∠DCH=∠MAB∵∠BAD=∠AEF=180°−2α∴∠EAG=∠ADC=2α∴∠GAM=180°−2α∴∠GAD=∠BAM∴∠GAD=∠DCH∵AG=FG∴AG=CH在△ADG和△CDH中{AD=CD∠GAD=∠DCHAG=CH ∴△ADG≅△CDH(SAS)∴∠ADG=∠CDH DG=DH∴∠GDH=∠ADC=2α∴∠DPG =90° ∠GDP =12∠GDH =α∴ PGPD =tanα．7．（1）解：△抛物线y =ax 2+bx +4与y 轴交于点C△点C 的坐标为（0 4）△OC =4△OB=OC =4△B （4 0）将A （-2 0）和B （4 0）的坐标分别代入y =ax 2+bx +4中得：{4a −2b +4=016a +4b +4=0解得：{a =−12b =1△y =−12x 2+x +4（2）解：△A （－2 0） C （0 4）设直线AC 的解析式为y =kx +4将点A （－2 0）代入y =kx +4中得：−2k +4=0 解得：k =2△直线AC 的解析式为y =2x +4设G （x 2x ＋4）△点D 是BC 的中点△D（2 2）△翻折△△MDB△△MDG△DB=DG△(x−2)2+(2x+4−2)2=(2−4)2+(2−0)2△5x2+4x=0△x1=0，x2=−45△y1=4，y2=125△G（0 4）G（−45125）（3）解：E(2−2√13314−2√139)如图过点D作DP△OC于点P DQ△OB于点Q点D作DH△DN交OB于点H∵∠PDQ=∠NDM=90°∴∠PDQ−∠NDQ=∠NDM−∠NDQ∴∠PDN=∠QDH在ΔDPN和ΔDQH中{DP=DQ∠DON=∠DQH=90°∠PDN=∠QDH∴ΔDPN≅ΔDQH(ASA)∴DN=DH∠NDM=90°−∠PDN−∠QDM=90°−∠QDH−∠QDM=∠HDM 在ΔDMN和ΔDMH中{DN=DH∠NDM=∠HDMDM=DM∴△DMN≌△DMH(SAS)∴MN=MQ+PN△ON =43OM 设OM =x 则ON =43x QM =2－x PN =2－43x △MN =MQ ＋PN =4－73x在Rt △OMN 中 △MON=90°MN 2=ON 2+OM 2即(4−73x)2=(43x)2+(2−x )2△2x 2−x +9=0△x =1 x =92(舍) △N (0 43) △D （2 2）设直线DN 的解析式为y =k 1x +b 1将点N (0 43)和点D （2 2）代入y =k 1x +b 1中得：{b 1=432k 1+b 1=2 解得：{b 1=43k 1=13△直线DN 的解析式为y =13x +43△y =−12x 2+x +4 △−12x 2+x +4=13x +43△x =2−2√133 x =2+2√133（舍） △y =14−2√139 △E (2−2√133 14−2√139). 8．解：（1）证明 △△A ＝90° △CBE ＝90°△△C ＋△CBA ＝90° △CBA ＋△DBE ＝90°△△C ＝△DBE （同角的余角相等）．又△△A ＝△D ＝90°△△ABC △△DEB ；（2）①△M绕点B顺时针旋转90°至点E M为BC中点△△BME为等腰直角三角形BEBC =BMBC=12△BE=√22ME又△DE=√22ME△BE＝DE．如图过点E作EF△AD垂足为F则BF＝DF △△A＝△CBE＝△BFE＝90°△由（1）得：△ABC△△FEB△BF AC =BEBC=12△AC＝4△BF＝2△AB＝AD－BF－FD＝20－2－2＝16；②如图过点M作AD的垂线交AD于点H过点E作AD的垂线交AD于点F过D作DP△AD过E作NP△DP交AC的延长线于N△M为BC中点MH△AC∴MHAC =BMBC=BHAB=12△MH=12AC=2BH＝AH△△MHB＝△MBE＝△BFE＝90°由（1）得：∠HBM=∠FEB△MB＝EB△△MHB△△BFE△BF＝MH＝2 EF＝BH设EF＝x则DP＝x BH＝AH＝x EP＝FD＝20－2－2x＝18－2x GN＝x＋8 NE＝AF＝2x＋2由(1)得△NGE△△PED△PE NG =PDNE即18−2xx+8=x2x+2解得x1=6x2=−65（舍去）△FD＝18－2x＝6△ED=√EF2+FD2=√62+62=6√2．9．（1）解：①△△ABC是等边三角形BC=4△AB=AC=4∠BAC=60°△AB′=AC′=4∠B′AC′=120°△AD为等腰△AB′C′'的中线△AD⊥B′C′∠C′=30°△∠ADC′=90°在Rt△ADC′'中∠ADC′=90°AC′=4∠C′=30°△AD=12AC′=2；②△∠BAC=90°△∠B′AC′=90°在△ABC和△AB′C′'中{AB=AB′∠BAC=∠B′AC′AC=AC′△△ABC≌△AB′C′（SAS）△B′C′=BC=6△AD=12B′C′=3；故答案为：①2；②3（2）AD＝12BC理由如下：证明：在图1中过点B′作B′E∥AC′且B′E＝AC′连接C′E DE则四边形AB′EC是平行四边形．△∠BAC＋∠B′AC′=180°∠B′AC′+∠AB′E=180°△∠BAC=∠AB′E又△AC＝AC′△CA=EB′在△BAC和△AB′E中{BA=AB′∠BAC=∠AB′E CA=EB′△△BAC≌△AB′E（SAS）△BC=AE又△AD＝12AE△AD＝12BC；（3）如图过点P作PF⊥BC则BF＝CF△PB=PC PF⊥BC△PF为△BC的中线△PF＝12AD=3．在Rt△BPF中∠BFP=90°PB=5PF=3△BF＝√PB2−PF2＝4△BC=2BF=8．10．（1）解：△x 1 x 2满足x 1+x 2＝2 x 1•x 2＝﹣3△b =2 c =3△抛物线的解析式为y ＝﹣x 2+2x +3（2）解：①抛物线y ＝﹣x 2+2x +3与x 轴交于点A (x 1 0) 点C (x 20) 与y 轴交于点B △当y =0时 ﹣x 2+2x +3=0解得x 1=3 x 2=-1当x =0时y ＝3△A (3 0) C (-1 0) B (0 3)△△AOB 为等腰直角三角形△△BAO =45°又EP △x 轴△△ADE 为等腰直角三角形△△ADE =45°又△△PDB =△ADE△△PDB =45°设直线AB 的解析式为y =kx +b则{3k +b =0b =3 解得{k =−1b =3△直线AB 的解析式为y =-x +3△E (m 0) 直线EP 交直线AB 于点D△设点D 为（m -m +3）点P 为（m ﹣m 2+2m +3）点E 在线段OA 上运动若△PBD 是等腰三角形则0＜m ＜3当PD =PB 时△PBD 是以P 为直角顶点的等腰直角三角形△﹣m 2+2m +3-（-m +3）=m解得m=2或m=0（舍去）△点E为（2 0）当BD=BP时△PBD是以B为直角顶点的等腰直角三角形△2 m =﹣m2+2m+3-（-m+3）解得m=1或m=0（舍去）△点E为（1 0）当DB=DP时△PBD是以D为顶点的等腰三角形△△OBD=45°△BD=√2OE=√2m△√2m=﹣m2+2m+3-（-m+3）解得m=3-√2或m=0（舍去）△点E为（3-√20）综上可知点E为（2 0）或（1 0）或（3-√20）②当P在x轴上方时连接BC延长BP交x轴于点F△△BAO=△ABO=45°又△PBD+△CBO＝45°△△CBP=90°△△OBF+△CBO＝90°又△BCO+△CBO＝90°△△OBF=△BCO△△BOC△△FOB△BO FO =OC OB△C(-1 0) B(0 3)△3 FO =1 3△OF=9△点F为（9 0）设直线PB 的解析式为y =mx +n则{9m +n =0n =3解得{m =−13n =3△直线PB 的解析式为y =-13x +3△P B 都在抛物线上△{y =−13x +3y =−x 2+2x +3解得{x =0y =3 （舍去）{x =73y =209△点P 为（73 209）△m =73当P 在x 轴下方时连接BC 设BP 与x 轴交于点H△△PBD +△CBO =45° △OBH +△PBD =45°△△CBO =△OBH又OB =OB △COB =△BOH∴△BOH △△BOC （ASA ）△OC =OH =1△点H （1 0）设直线BH 解析式为：y =kx +b△{k +b =0b =3 解得{k =−3b =3△直线BH 解析式为：y =-3x +3△联立方程组{y =−3x +3y =−x 2+2x +3解得{x =0y =3 （舍去）{x =5y =−12△点P 为（5 -12）△m =5综上可知 m 的值为73或5．（3）解：当m ＝1 得点E （1 0） P （1 4）过点F 作FH △PE又PE △x 轴 △CQF =90°△△CQH +△FQH =90° △CQH +△QCH =90°°△QEC =△QHF =90°△△FQH =△QCH△线段CQ 绕点Q 逆时针旋转90° 得到线段QF△CQ=QF△△QCE △△FQH （AAS ）△CE=QH QE=FH又E （1 0） C （-1 0）△CE=QH =2令Q 为（1 a ）QE=FH=a△点F 的坐标为（1+a a -2）△PF=√(1+a −1)2+(a −2−4)2=√2a 2−12a +36△2＞0△当a =-−122×2=3时 PF 有最小值且最小值为3√2．11．解：（1）证明：如图① 连接OC∵ΔABC与ΔDEF都是等腰直角三角形AC=BC DE=DF．边AB EF的中点重合于点O∴OC⊥AB OC=12AB=OB OD⊥EF OD=12EF=OF∵FE⊥AB于O∴C F O三点共线在ΔBOF与ΔCOD中{∠OB=OC∠BOF=∠COD=90°OF=OD∴ΔBOF≅ΔCOD(SAS)∴BF=CD；（2）解：猜想BF=CD理由如下：如图② 连接OC OD∵ΔABC与ΔDEF都是等腰直角三角形AC=BC DE=DF．边AB EF的中点重合于点O∴OC⊥AB OC=12AB=OB OD⊥EF OD=12EF=OF∵∠BOF=∠BOC+∠COF=90°+∠COF∠COD=∠DOF+∠COF=90°+∠COF ∴∠BOF=∠COD．在ΔBOF与ΔCOD中{OB=OC∠BOF=∠COD OF=OD∴ΔBOF≅ΔCOD(SAS)∴BF=CD；（3）解：猜想BF=√33CD理由如下：如图③ 连接OC OD．∵ΔABC为等边三角形点O为边AB的中点∴∠BCO=∠ACO=30°∠BOC=90°∴tan∠BCO=OBOC=tan30°=√33∵ΔDEF为等边三角形点O为边EF的中点∴∠FDO=∠EDO=30°∠DOF=90°∴tan∠FDO=OFOD=tan30°=√33∴OBOC =OFOD=√33∵∠BOF=∠BOC+∠COF=90°+∠COF∠COD=∠DOF+∠COF=90°+∠COF∴∠BOF=∠COD∴ΔBOF∽ΔCOD∴BFCD =OBOC=√33∴BF=√33CD．12．解：（1）当△EDF 绕D 点旋转到DE △AC 时四边形CEDF 是正方形．设△ABC 的边长AC =BC =a 则正方形CEDF 的边长为12a ．△S △ABC =12a 2 S 正方形DECF =（12a ）2=12a 2 即S △DEF +S △CEF =12S △ABC ；故答案为：S △DEF +S △CEF =12S △ABC ；（2）（1）中的结论成立；证明：过点D 作DM △AC DN △BC 则△DME =△DNF =△MDN =90°又△△C =90°△DM △BC DN △AC△D 为AB 边的中点由中位线定理可知：DN =12AC MD =12BC △AC =BC△MD =ND△△EDF =90°△△MDE +△EDN =90° △NDF +△EDN =90°△△MDE=△NDF在△DME 与△DNF 中{∠DME ＝∠DNFMD ＝ND ∠MDE ＝∠NDF△△DME △△DNF （ASA ）△S △DME =S △DNF△S 四边形DMCN =S 四边形DECF =S △DEF +S △CEF由以上可知S 四边形DMCN =12S △ABC △S △DEF +S △CEF =12S △ABC ．（3）连接DC证明：同（2）得：△DEC △△DBF △DCE =△DBF =135°△S △DEF =S 五边形DBFEC=S △CFE +S △DBC=S △CFE +S ΔABC2△S △DEF -S △CFE =S ΔABC2．故S △DEF S △CEF S △ABC 的关系是：S △DEF -S △CEF =12S △ABC ．13．（1）解：如图过点C 作C G ⊥x 轴∵点A(−2,0)点B(6,0)△AB=8 又∵∠ACB=90°∠CAB=30°△在Rt△ABC中BC=4 在Rt△GBC中BG=2 CG=2√3．又∵点C在第一象限△C(4,2√3)；（2）①∵以点B为中心顺时针旋转三角形ABC得到三角形BDE点A C的对应点分别为D E 且DE//AB△∠FBA=∠EDB=∠CAB=30°．△在Rt△FOB中∵OB=6△OF=2√3．△F(0,2√3)；②△点D落在射线BC上△∠ABD=60°．由①知∠FBA=30°△∠FBD=30°．△∠FBD=∠BDE△DE//FB．又DE=FB=4√3△四边形FDEB是平行四边形.又∠BED=90°△四边形FDEB是矩形.（3）如图连接PQ,FE∵P,Q分别为FD,DE的中点∴PQ=1EF2∵FB=4√3BE=4∵旋转则点E在以B为圆心BE为半径的圆上运动∴FB−BE≤EF≤FB+BE 即4√3−4≤EF≤4√3+4∴2√3−2≤PQ≤2√3+2 14．（1）解：CP=BQ理由：如图1 连接OQ由旋转知PQ=OP△OPQ=60°△△POQ是等边三角形△OP=OQ△POQ=60°在Rt△ABC中O是AB中点△OC=OA=OB△△BOC=2△A=60°=△POQ△△COP=△BOQ在△COP和△BOQ中{OC=OB∠COP=∠BOQOP=OQ△△COP△△BOQ（SAS）；（2）解：CP=BQ理由：如图2 连接OQ由旋转知PQ=OP△OPQ=60°△△POQ是等边三角形△OP=OQ△POQ=60°在Rt△ABC中O是AB中点△OC=OA=OB△△BOC=2△A=60°=△POQ△△COP=△BOQ在△COP和△BOQ中{OC=OB∠COP=∠BOQOP=OQ△△COP△△BOQ（SAS）△CP=BQ；（3）解：BQ＝√6−√22．在Rt△ABC中△A＝30° AC＝√6△BC＝AC·tan A＝√2如图③ 过点O作OH△BC于点H△△OHB＝90°＝△BCA△OH △AC△O 是AB 中点△CH ＝12BC =√22 OH ＝12AC ＝√62△△BPO ＝45° △OHP ＝90°△△BPO ＝△POH△PH ＝OH ＝√62△CP ＝PH －CH ＝√62－√22＝√6−√22连接OQ 同（1）的方法得 BQ ＝CP ＝√6−√22． 15．（1）证明：△AB ＝AC △BAC ＝90°△△B ＝△ACB ＝45°△△DAE ＝△BAC ＝90° AD ＝AE△△BAD ＝△CAE在△BAD 和△CAE 中 {AB =AC∠BAD =∠CAE AD =AE△△BAD △△CAE （SAS ）△△B ＝△ACE ＝45° BD ＝CE△△ECD ＝△ACE +△ACB ＝90°△PD △BC△△BDP ＝△ECD ＝90°△PD △CE△△B ＝△BPD ＝45°△PD ＝BD△PD ＝EC△四边形PDCE 是平行四边形△△PDC ＝90°△四边形PDCE 是矩形；（2）解△如图过点A 作AM △BC 于点M 过点F 作FN △BC 于点N设CD ＝2m 则BD ＝2CD ＝4m BC ＝6m△AB ＝AC △BAC ＝90° AM △BC△BM ＝MC ＝3m△AM ＝BM ＝3m AB ＝AC ＝3√2m DM =CM -CD =m△BD ＝PD ＝4m△PB ＝4√2m△P A ＝√2m△△ABD △△ACE△BD ＝EC ＝4m设CN ＝FN ＝x△FN △CE△△DFN △△DEC△FN EC ＝DN DC△FNDN ＝EC DC=4m2m =2 △DN ＝12x△12x +x ＝2m△x ＝43m △CF ＝4√23 m△AF ＝AC -CF ＝3√2m －4√23m ＝5√23m △AP AF =√2m 5√23m=35；（3）即：如图将△BQC 绕点B 顺时针旋转60°得到△BNM 连接QN△BQ＝BN QC＝NM△QBN＝60°△△BQN是等边三角形△BQ＝QN△QA+QB+QC＝AQ+QN+MN△当点A点Q点N点M共线时QA+QB+QC值最小如图连接MC△将△BQC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM△BQ＝BN BC＝BM△QBN＝60°＝△CBM△△BQN是等边三角形△CBM是等边三角形△△BQN＝△BNQ＝60° BM＝CM又△AB＝AC△AM垂直平分BC△AD△BC△BQD＝60°△△DBQ=30°BQ△QD=12△BD＝√3QD△AB＝AC△BAC＝90° AD△BC△AD＝BD此时P与A重合设PD＝x则DQ＝x－2△x＝√3（x－2）△x＝3+√3△PD＝3+√3．16．（1）解：成立理由是：△△ABC和△ADE都是等腰直角三角形△AB=AC AD=AE△将△ADE绕点A逆时针旋转α(0<α<90°)连结BD和CE△∠BAD=∠CAE△△ABD≌△ACE(SAS)△BD=CE；（2）解：①△AB=AC∠BAD=∠CAE AD=AE△△ACE≌△ABD(SAS)△BD=CE△BC+CD=BD=CE．②△△ACE≌△ABD△∠ACE=∠ABD=45°又△∠ACB=45°△∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°在Rt△BAC中△AB=AC=√2△BC=√AB2+AC2=2又△CD=1CE=BC+CD=3△在Rt△CDE中17．（1）解：△抛物线C：y=ax2+6ax+9a−8与x轴相交于A B两点点B的横坐标是2△B (2,0)△a ×22+6a ×2+9a −8=0解得a =825△抛物线C 的解析式为：y =825x 2+4825x −12825 对称轴：x =−48252×825=−3△当x =−3时 y =825×(−3)2+4825×(−3)−12825=−8 △顶点D 的坐标为(−3,−8)．△a =825 D (−3,−8)．（2）△抛物线C 与x 轴相交于A B 两点△当y =0时得：825x 2+4825x −12825=0 即(x +8)(x −2)=0解得：x 1=−8 x 2=2△A (−8,0)△点P 与点B 重合△点P 的坐标为(2,0)当抛物线C 绕点P 旋转180°后得到的抛物线C 1 且点P 与点B 重合时△在抛物线C 1中点B 的坐标仍为(2,0)△点F 与点A 关于点P 对称△点F 的坐标为(12,0)同理点E 与点D 关于点P 对称设E (m,n ) 则△点P 的坐标为(m−32,n−82) △{m−32=2n−82=0△{m =7n =8△点E 的坐标为(7,8)设抛物线C 1的表达式为：y =a 1(x −12)(x −2)△(7−12)×(7−2)a 1=8△a 1=−825 △y =−825(x −12)(x −2)=−825x 2+11225x −19225 △抛物线C 1的表达式为：y =−825x 2+11225x −19225．（3）根据题意可知在构成的直角三角形三个顶点中有两个顶点是从点E F G 中选取有一个点是从A B D 中任取．由图可知当点为E G 或F G 时与A B D 中任意一点构成的三角形是钝角三角形故只有点E F 为直角三角形其中的两个顶点．设P (m,0)又△抛物线C 绕点P 旋转180°后得到的抛物线C 1 A (−8,0) B (2,0) D (−3,−8)△E (2m +3,8) F (2m +8,0)①当A 为顶点时△在抛物线C 1中 ∠EFO 是一个锐角点A 在点P 的左侧△∠AEF =90°△AE 2+EF 2=AF 2△(√(2m +11)2+82)2+(√52+(−8)2)2=(2m +16)2解得：m =910；②当B 为顶点时同理可得∠BEF =90°△BE 2+EF 2=BF 2△[√(2m +1)2+82)2+(√52+(−8)2)2=(2m +6)2 解得：m =5910；③当D 为顶点时分两种情况：第一种：∠DEF =90°△DE 2+EF 2=DF 2△(√(2m +6)2+(8+8)2)2+(√52+(−8)2)2=(√(2m +11)2+82)2解得：m =495第二种：∠DFE =90°△DF 2+EF 2=DE 2△(√(2m +11)2+82)2+(√52+(−8)2)2=(√(2m +6)2+(8+8)2)2 解得：m =910．△点P 的坐标为(910,0)或(5910,0)或(495,0)． 18．（1）解：∵D 在直线y =52x 上 ∴设D(t,52t)∵y 1=m x 经过点B (5,2)． ∴m =10．∵D(t,52t)在反比例函数的图象上∴52t 2=10 ∴t =2（负值已舍去）．∴由两点间的距离公式可知：OD =√22+52=√29．（2）解：①∵函数y 2=n x 的图象经过点E ∴OA ⋅AE =OC ⋅CF =n ．∵OC =5 OA =2∴AE =52CF ．∴可设：AE =52t∴EF =AE +CF =72t EB =5−52t在Rt △EBF 由勾股定理得：EF 2=BF 2+BE 2 ∴494t 2=(5−52t)2+(2−t)2．解得t =7√29−2910∴n =5t =7√29−292． ②∵∠OEF =90°∴∠AEO +∠BEF =90°∵BA ⊥y 轴 BC ⊥x 轴∴∠ABC=90°∴∠BEF+∠BFE=90°∴∠AEE=∠BFE∴△AOE∽△BEF∴OA:AE=BE:BF∵CF=n5,AE=n2,BE=5−n2,BF=2−n5∴2:n2=(5−n2):(2−n5)解得：n=85或n=10（舍）∵D′(a,b)∴ab=8 5由（1）得OD=√29∴OD′=√29∴a2+b2=29∴(a+b)2=29+2×85=1615故(a+b)2的值为1615．19．解：（1）EG＝CG且EG△CG．证明如下：如图① 连接BD．△正方形ABCD和等腰Rt△BEF△△EBF＝△DBC＝45°．△B E D三点共线．△△DEF＝90° G为DF的中点△DCB＝90°△EG＝DG＝GF＝CG．△△EGF＝2△EDG△CGF＝2△CDG．△△EGF＋△CGF＝2△EDC＝90°即△EGC＝90°△EG△CG．（2）仍然成立证明如下：如图② 延长EG交CD于点H．。

初中数学中考复习第7关以几何图形中的图形操作与变换问题为背景的解答题(原卷版)

第七关以几何图形中的图形操作与变换问题为背景的解答题【考查知识点】图形的变换有轴对称、平移和旋转，在此类问题中轴对称问题多以折叠的形式出现。

折叠问题也是最近中考的热点，这类问题不但考察学生对基本几何图形性质的掌握情况，而且可以培养学生的空间思维能力和运动变化观念，提高学生的实践操作水平。

图形的旋转是中考题的新题型，热点题型，考察内容：①中心对称和中心对称图形的性质和别。

②旋转，平移的性质.【解题思路】折叠类题目的主要出题结合点有：与三角形结合，与平行四边形结合，与圆结合，与函数图像结合，题型多以选择题和填空题的形式出现，少数题目也会在大题中作为辅助背景。

在解决这类问题时，要注意折叠出等角，折叠出等长，折叠出等腰三角形，折叠出全等与相似等。

图形的旋转是中考题的新题型，热点题型，解题方法①熟练掌握图形的对称，图形的平移，图形的旋转的基本性质和基本作图法。

②结合具体的问题大胆尝试，动手操作平移，旋转，探究发现其内在的规律。

③注重对网格内和坐标内的图形的变换试题的研究，熟练掌握其常用的解题方法。

④关注图形与变换创新题，弄清其本质，掌握基本解题方法，如动手操作法，折叠法，旋转法,旋转可以移动图形的位置而不改变图形的大小，是全等变换. 变换的目的是为了实现已知与结论中的相关元素的相对集中或分散重组，使表面上不能发生联系的元素联系起来．在转化的基础上为问题的解决铺设桥梁，沟通到路．一些难度较大的问题借助平移、对称、旋转的合成及相互关系可能会更容易一些．【典型例题】【例1】（2019·河北中考模拟）如图1，在▱ABCD中，DH▱AB于点H，CD的垂直平分线交CD于点E，交AB于点F，AB=6，DH=4，BF：FA=1：5．（1）如图2，作FG⊥AD于点G，交DH于点M，将△DGM沿DC方向平移，得到△CG′M′，连接M′B．①求四边形BHMM′的面积；②直线EF上有一动点N，求△DNM周长的最小值．（2）如图3，延长CB交EF于点Q，过点Q作QK∥AB，过CD边上的动点P作PK∥EF，并与QK交于点K，将△PKQ沿直线PQ翻折，使点K的对应点K′恰好落在直线AB上，求线段CP的长．【例2】（2019·湖南中考模拟）在矩形ABCD中，AB=12，P是边AB上一点，把▱PBC沿直线PC折叠，顶点B的对应点是点G，过点B作BE▱CG，垂足为E且在AD上，BE交PC于点F．（1）如图1，若点E是AD的中点，求证：△AEB≌△DEC；（2）如图2，①求证：BP=BF；②当AD=25，且AE＜DE时，求cos∠PCB的值；③当BP=9时，求BE•EF的值．【例3】（2019·辽宁中考真题）思维启迪：（1）如图1，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小亮想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，聪明的小亮想出一个办法：先在地上取一个可以直接到达B点的点C，连接BC，取BC的中点P（点P可以直接到达A点），利用工具过点C作CD▱AB交AP的延长线于点D，此时测得CD＝200米，那么A，B间的距离是米．思维探索：（2）在△ABC和△ADE中，AC＝BC，AE＝DE，且AE＜AC，∠ACB＝∠AED＝90°，将△ADE 绕点A顺时针方向旋转，把点E在AC边上时△ADE的位置作为起始位置（此时点B和点D位于AC的两侧），设旋转角为α，连接BD，点P是线段BD的中点，连接PC，PE．①如图2，当△ADE在起始位置时，猜想：PC与PE的数量关系和位置关系分别是；②如图3，当α＝90°时，点D落在AB边上，请判断PC与PE的数量关系和位置关系，并证明你的结论；③当α＝150°时，若BC＝3，DE＝l，请直接写出PC2的值．【方法归纳】实践操作性试题以成为中考命题的热点，很多省市的压轴的都是这类题型，解决这种类型的题目可从以下方面切入：1.构造定理所需的图形或基本图形.在解决问题的过程中，有时添辅助线是必不可少的。

八年级数学尖子生培优竞赛专题辅导专题07 四边形中的图形变换

专题07 四边形中的图形变换专题解读】几何变换一般是指图形的平移，翻折，旋转，在四边形的背景下的图形的几何变换问题，需抓住几何变换的本质，变化中的不变量，变换后的图形的新生成，几何变换的性质等，建立相关的模型，运用勾股定理，方程思想解决问题，从思维视角看，转化为常见的模型是解决问题的一般思路。

思维索引例1.在平面直角坐标系中，已知线段AB ，且A （1，－2），B （3，0），如图1所示，平移线段AB 到线段CD ，使点A 的对应点为D ，点B 的对应点为C.（1）若点C 的坐标为（－2，4），求点D 的坐标；（2）若点C 在y 轴的正半轴上，点D 在第二象限内，连接BC ，BD ，如图2所示，且7BCD S ∆=（BCDS ∆表示三角形BCD 的面积），求点C 、D 的坐标。

（3）在（2）的条件下，在y 轴上是否存在一点P ，使23PCD BCD S S ∆∆=（PCD S ∆表示三角形PCD 的面积），若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.图2图1例2.（1）如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，将边AC 沿CE 翻折，使点A 落在AB 上的点D 处；再将边BC 沿CF 翻折，使点B 落在CD 的延长线上的点'B 处，两条折痕与斜边AB 分别交于点E 、F ，求线段'B F 的长.（2）如图，△AOC 和△BOD 均为等腰直角三角形，∠AOC ＝∠B 0D ＝90°，若△BOC 的面积为1，试求以AD ，BC ，OB ＋OD 的长度为三边长的三角形的面积.ODCBA例题2第(2)题图例题2第(1)题图ABCDEFB'素养提升1.如图，将平行四边形ABCD 沿对角线BD 折叠，使点A 落在点E 处，交BC 于点F ，若∠ABD ＝48°，∠CFD ＝40°，则∠E 为（）A.102°B.112°C.122°D.92°第1题图ABCDE F∠°第2题图ABCD E FC'B'第3题图AB CDA'D'C'2.将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，AE 、EF 为折痕，∠BAE ＝30°，AB ，折叠后，点C 落在AD 边上的'C 处，并且点B 落在EC 边上的'B 处，则BC 的长为（）B.2C.3D.3.如图，将矩形ABCD 沿对角线AC 剪开,再把△ACD 沿CA 方向平移得到'''A C D ∆,连结'AD 、B C.若∠ACB ＝30°,AB ＝1,'CC ＝x ,△ACD 与'''A C D ∆重叠部分的面积为S ,则下列结论：①△A ′AD ′≌△CC ′B ；②当x ＝1时,四边形ABC ′D 是菱形；③当x ＝2时,△BDD ′为等边三角形.其中正确的是（）A.①②B.①③C.②③D.①②③4.如图，△ABC 是等腰直角三角形，DE 是过点C 的直线，BD ⊥DE ，AE ⊥DE ，则△BDC 与△ACE 通过下列变换：①绕点C 旋转后重合；②沿AB 的中垂线翻折后重合；③沿ED 方向平移△CEA 后与△BDC 重合；④将△ACE 绕中点M 逆时针旋转90度后与△BDC 重合；⑤先将△CEA 先沿ED 方向平移，使点E 与点D 重合后，再将平移后的三角形绕点D 逆时针旋转90度后与△BDC 重合。

浙江省数学中考复习专题八巧用图形变换进行计算与证明训练

微专题八巧用图形变换进行计算与证明姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟1．已知如图1所示的四张牌，若将其中一张牌旋转180°后得到图2，则旋转的牌是( )2．如图，在边长为4的等边三角形ABC中，AD是BC边上的高，点E，F是AD上的两点，则图中阴影部分的面积是( )A. 3 B．2 3 C．3 3 D．4 33．如图，已知⊙O的半径为3，∠AOB＋∠C OD＝150°，则阴影部分的面积为_________.4．如图是一个台阶的纵切面图，∠B＝90°，AB＝3 m，BC＝5 m，现需在台阶从点A到点C处铺上红地毯，则该地毯的长度为______m.5．将一张矩形纸片折叠成如图所示的图形，若AB＝6 cm，则AC＝______cm.6．如图①，四边形CFDE是正方形，且点E，D，F分别在三角形ABC的三边上，观察图①和图②，请回答下列问题：(1)请简述由图①变成图②的形成过程：______________________________________________________.(2)若AD＝3，DB＝4，则△ADE和△BDF的面积之和为______.7．如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，AB＝1，将它沿AB翻折得到△ABD，则四边形ADBC的形状是______形，点P，E，F分别为线段AB，AD，DB的任意点，则PE＋PF的最小值是_________．8．如图，把正方形铁片OABC置于平面直角坐标系中，顶点A的坐标为(3，0)，点P(1，2)在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转90°，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置…，则正方形铁片连续旋转2 019次后，点P的坐标为______________________.9．如图，在正方形ABCD中，点M，N分别是AD，CD边上的动点(含端点)，且∠MBN＝45°.求证：AM＋CN ＝MN.10．问题背景：如图1，点A，B在直线l的同侧，要在直线l上找一点C，使AC与BC的距离之和最小，我们可以作出点B关于l的对称点B′，连结AB′与直线l交于点C，则点C即为所求．(1)实践运用：如图2，已知，⊙O的直径CD为4，点A在⊙O上，∠ACD＝30°，B为弧AD的中点，P为直径CD上一动点，则BP＋AP的最小值为________．(2)知识拓展：如图3，在Rt△ABC中，AB＝10，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，E，F分别是线段AD和AB 上的动点，求BE＋EF的最小值，并写出解答过程．11．已知：△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°.连结AD，BC，点H为BC中点，连结OH.(1)如图1所示，求证：OH＝12AD且O H⊥AD；(2)将△COD绕点O旋转到图2，图3所示位置时，线段OH与AD又有怎样的关系，并选择一个图形证明你的结论．参考答案1．A 2.B 3.15π44.85.66．(1)图①中的△ADE 绕点D 逆时针旋转90°得到图② (2)6 7．菱1548.(6 058，1) 9．证明：∵∠C＝∠A＝90°，BC ＝BA ，∴将△BCN 绕点B 逆时针旋转90°得到△BAN′，如图所示．∵∠MBN＝45°，∴∠MBN′＝45°. 在△MB N 和△MBN′中， ⎩⎪⎨⎪⎧BN ＝BN′，∠MBN＝∠MBN′，BM ＝BM.∴△MBN≌△MBN′(SAS)， ∴MN＝MN′，即AM ＋AN′＝MN ， ∴AM＋CN ＝MN. 10．解：(1)2 2(2)如图，在斜边AC 上截取AB′＝AB ，连结BB′. ∵AD 平分∠BAC， ∴∠B′AM＝∠BAM，在△B′AM 和△BAM 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB′＝AB ，∠B′AM＝∠MAB，AM ＝AM ，∴△B′AM≌△BAM(SAS)，∴BM＝B′M，∠BMA＝∠B′MA＝90°， ∴点B 与点B′关于直线AD 对称．如图，过点B′作B′F⊥AB，垂足为F ，交AD 于E ，连结B′E，则线段B′F 的长即为所求．(点到直线的距离最短) 在Rt△AFB′中，∵∠BAC＝45°， AB′＝AB ＝10，∴B′F＝AB′·sin 45°＝AB·sin 45° ＝10×22＝52， ∴BE＋EF 的最小值为5 2.11．(1)证明：∵△OAB 与△OCD 为等腰直角三角形，∠AOB ＝∠COD＝90°， ∴OC＝OD ，OA ＝OB. 在△AOD 与△BOC 中， ⎩⎪⎨⎪⎧OA ＝OB ，∠AOD＝∠BOC，OD ＝OC ，∴△AOD≌△BOC(SAS)，∴BC＝AD ，∠ADO＝∠BCO，∠OAD＝∠OBC， ∵点H 为线段BC 的中点， ∴OH＝12BC ＝12AD ，可得OH ＝HB ，∴∠OBH＝∠HOB＝∠OAD，又∵∠OAD＋∠ADO＝90°， ∴∠ADO＋∠BOH ＝90°，∴OH⊥AD.(2)解：①结论：OH ＝12AD ，OH⊥AD，如图，延长OH 到E ，使得HE ＝OH ，连结BE ，易证△BEO≌△ODA，∴OE＝AD ， ∴OH＝12OE ＝12AD.由△BEO≌△ODA，知∠EOB＝∠DAO， ∴∠DAO＋∠AOH＝∠EOB＋∠AOH＝90°，∴OH⊥AD.②结论不变，如图．延长OH 到E ，使得HE ＝OH ，连结BE ，延长EO 交AD 于G.易证△BEO≌△ODA， ∴OE＝AD ， ∴OH＝12OE ＝12AD.由△BEO≌△ODA，知∠EOB＝∠DAO. ∴∠DAO＋∠AOG＝∠EOB＋∠AOG＝90°， ∴∠AGO＝90°，∴OH⊥AD.。

中考数学以几何图形中的图形操作与变换问题背景例题

【例1】(2018包头中考)如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，E是AD上的一个动点．（1）如图1，连接BD，O是对角线BD的中点，连接OE．当OE=DE时，求AE的长；（2）如图2，连接BE，EC，过点E作EF⊥EC交AB于点F，连接CF，与BE交于点G．当BE平分∠ABC时，求BG的长；（3）如图3，连接EC，点H在CD上，将矩形ABCD沿直线EH折叠，折叠后点D落在EC上的点D'处，过点D′作D′N⊥AD于点N，与EH交于点M，且AE=1．①求的值；②连接BE，△D'MH与△CBE是否相似？请说明理由．【答案】（1）AE=；（2）BG=；（3）①；②相似，理由见解析.（3）①先求出EC=5，再求出D'C=1，根据勾股定理求出DH=，CH=，再判断出△EMN∽△EHD，得出，△ED'M∽△ECH，得出，进而得出，即可得出结论；②先判断出∠MD'H=∠NED'，进而判断出∠MD'H=∠ECB，即可得出，即可．【详解】（1）如图1，连接OA，在矩形ABCD中，CD=AB=3，AD=BC=5，∠BAD=90°在Rt△ABD中，根据勾股定理得，BD=，∵O是BD中点，∴OD=OB=OA=，∴∠OAD=∠ODA，∵OE=DE，∴∠EOD=∠ODE，∴∠EOD=∠ODE=∠OAD，∴△ODE∽△ADO，∴，∴DO2=DE•DA，∴设AE=x，∴DE=5﹣x，∴（）2=5（5﹣x），∴x=，即：AE=；∴∠CED=∠AFE，∵∠D=∠A=90°，∴△AEF≌△DCE，∴AF=DE=2，∴BF=AB﹣AF=1，过点G作GK⊥BC于K，∴∠EBC=∠BGK=45°，∴BK=GK，∠ABC=∠GKC=90°，∵∠KCG=∠BCF，∴△CHG∽△CBF，∴，设BK=GK=y，∴CK=5﹣y，∴y=，∴BK=GK=，在Rt△GKB中，BG=；∴DH=，CH=，∵D'N⊥AD，∴∠AND'=∠D=90°，∴D'N∥DC，∴△EMN∽△EHD，∴，∵D'N∥DC，∴∠ED'M=∠ECH，∵∠MED'=∠HEC，∴△ED'M∽△ECH，∴，∴，∴，∴；∵CE=CB=5，∴∴△D'MH∽△CBE．【名师点睛】此题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线的定义，熟练掌握判定两三角形相似的方法是解本题的关键．此外在折叠问题中，需要抓住对应边相等，对应角相等这些等量关系，折叠问题的实质是轴对称的性质．【例2】(2018岳阳中考)已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，CD为∠ACB的平分线，将∠ACB沿CD所在的直线对折，使点B落在点B′处，连结AB'，BB'，延长CD交BB'于点E，设∠ABC＝2α（0°＜α＜45°）．（1）如图1，若AB＝AC，求证：CD＝2BE；（2）如图2，若AB≠AC，试求CD与BE的数量关系（用含α的式子表示）；（3）如图3，将（2）中的线段BC绕点C逆时针旋转角（α+45°），得到线段FC，连结EF 交BC于点O，设△COE的面积为S1，△COF的面积为S2，求（用含α的式子表示）．【答案】（1）证明见解析；（2）CD＝2•BE•tan2α；（3）sin（45°﹣α）．(3) 首先证明∠ECF＝90°，由∠BEC+∠ECF＝180°，推出BB′∥CF，推出sin(45°﹣α)，由此即可解决问题.【详解】(1)如图1中，∵B、B′关于EC对称，∴BB′⊥EC，BE＝EB′，∴∠DEB＝∠DAC＝90°，∵∠EDB＝∠ADC，∴∠DBE＝∠ACD，∵AB＝AC，∠BAB′＝∠DAC＝90°，∴△BAB′≌CAD，∴CD＝BB′＝2BE；(2)如图2中，结论：CD＝2•BE•tan2α，理由：由(1)可知：∠ABB′＝∠ACD，∠BAB′＝∠CAD＝90°，∴△BAB′∽△CAD，∴，∴，∴CD＝2•BE•tan2α；(3)如图3中．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°﹣2α，∵EC平分∠ACB，【名师点睛】本题考查几何变换综合题、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、平行线等分线段定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题.【例3】(2018绵阳中考)如图，已知△ABC的顶点坐标分别为A（3，0），B（0，4），C（-3，0）.动点M，N同时从A点出发，M沿A→C,N沿折线A→B→C，均以每秒1个单位长度的速度移动，当一个动点到达终点C时，另一个动点也随之停止移动，移动时间记为t秒.连接MN.（1）求直线BC的解析式；（2）移动过程中，将△AMN沿直线MN翻折，点A恰好落在BC边上点D处，求此时t 值及点D的坐标；（3）当点M,N移动时，记△ABC在直线MN右侧部分的面积为S，求S关于时间t的函数关系式.【答案】（1）y=x+4；（2）D（-，）；（3）①当0<t≤5时，S=t2,②当5<t≤6时，S=t2+ t-12.【详解】（1）设直线的解析式为，则，解得，直线的解析式为．（2）如图，连接交于点．由题意：四边形是菱形，，，，，，，，点在上，，解得．时，点恰好落在边上点处，此时，．【名师点睛】本题考查了一次函数综合题、待定系数法、菱形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题.【方法归纳】实践操作性试题以成为中考命题的热点，很多省市的压轴的都是这类题型，解决这种类型的题目可从以下方面切入：1.构造定理所需的图形或基本图形.在解决问题的过程中，有时添辅助线是必不可少的。

中考数学专题练习图形变换与操作(2021年整理)

2017年中考数学专题练习图形变换与操作编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017年中考数学专题练习图形变换与操作）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2017年中考数学专题练习图形变换与操作的全部内容。

《图形变换与操作》一、选择题:（每小题3分，共24分）1。

下列图案中不是轴对称图形的是( ）A． B． C． D．2.下列四个圆形图案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，顺时针旋转120°后，能与原图形完全重合的是( )A． B．C． D．3.下列几何体中，主视图、左视图、俯视图完全相同的是（）A．圆锥 B．六棱柱C．球 D．四棱锥4。

下列物体的主视图是圆的是（)A。

B. C. D。

5.（2014•湘潭)如图,所给三视图的几何体是（)A．球 B．圆柱C．圆锥 D．三棱锥6.如图，一个几何体由5个大小相同、棱长为1的正方体搭成,下列关于这个几何体的说法正确的是（）A。

主视图的面积为5 B．左视图的面积为3C ．俯视图的面积为3D ．三种视图的面积都是47。

一个正方体的表面展开图如图，则原正方体中的“★”所在面的对面所标的字是（）A ．图B ．形C ．几D ．何8。

如图，将Rt △ABC 绕点A 按顺时针旋转一定角度得到Rt △ADE ，点B 的对应点D 恰好落在BC 边上．若AC ＝,∠B ＝60°，则CD 的长为（）A ． 0.5B ． 1.5C ．D ． 1第6题图第7题图第8题图二、填空题：（每小题3分,共24分)9. 等边三角形、矩形、菱形、正方形等四种图形都是轴对称图形，其中对称轴条数最多的图形是。

湖北省黄冈市中考数学专题题型复习08：图形变换有关的计算与证明

湖北省黄冈市中考数学专题题型复习08：图形变换有关的计算与证明姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共2题；共4分)1. （2分）(2016·眉山) 把边长为3的正方形ABCD绕点A顺时针旋转45°得到正方形AB′C′D′，边BC与D′C′交于点O，则四边形ABOD′的周长是（）A .B . 6C .D .2. （2分）(2018·宁波) 如图，平行于x轴的直线与函数（k1＞0，x＞0），y=（k2＞0，x＞0）的图像分别交于A，B两点，点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点．若△ABC的面积为4，则k1-k2的值为（）A . 8B . -8C . 4D . -4二、填空题 (共9题；共10分)3. （1分）(2017·徐汇模拟) 如图，在△ABC中，∠ACB=α（90°＜α＜180°），将△ABC绕着点A逆时针旋转2β（0°＜β＜90°）后得△AED，其中点E、D分别和点B、C对应，联结CD，如果CD⊥ED，请写出一个关于α与β的等量关系的式子________．4. （2分）(2016·黄石) 如图所示，正方形ABCD对角线AC所在直线上有一点O，OA=AC=2，将正方形绕O点顺时针旋转60°，在旋转过程中，正方形扫过的面积是________．5. （1分）如图，在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上，C点在斜边上，设矩形的一边AB=xm，矩形的面积为ym2 ，则y的最大值为________．6. （1分）在同一时刻物高与影长成比例，小莉量得综合楼的影长为6米，同一时刻他量得身高1.6米的同学的影长为0.6米，则综合楼高为________米．7. （1分）(2017·黑龙江模拟) Rt△ABC中，已知∠C=90°，∠B=50°，点D在边BC上，BD=2CD（如图）．把△ABC绕着点D逆时针旋转m（0＜m＜180）度后，如果点B恰好落在初始Rt△ABC的边上，那么m=________．8. （1分）(2017·普陀模拟) 如图，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转得到△EBD，点E、点D分别与点A、点C对应，且点D在边AC上，边DE交边AB于点F，△BDC∽△ABC．已知BC= ，AC=5，那么△DBF的面积等于________．9. （1分）(2017·邹城模拟) 如图，菱形ABCD的边长为15，sin∠BAC= ，则对角线AC的长为________．10. （1分）(2017·西华模拟) 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE．将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，当△EDC旋转到A，D，E三点共线时，线段BD的长为________．11. （1分） (2017八下·海安期中) 如图，BD为正方形ABCD的对角线，BE平分∠DBC，交DC于点E，将△BCE 绕点C顺时针旋转90°得到△DCF．若CE＝1cm，则BF＝________cm.三、综合题 (共4题；共45分)12. （15分）如图①，在Rt△ABC中，∠C=90°．将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A′B′C，旋转角为α，且0°＜α＜180°．在旋转过程中，点B′可以恰好落在AB的中点处，如图②．（1）求∠A的度数；（2）当点C到AA′的距离等于AC的一半时，求α的度数．13. （10分） (2017八下·承德期末) 如图，△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD=45°，AD与BE交于点F，连接CF．（1）求证：BF=2AE；（2）若CD= ，求AD的长．14. （10分）如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．（1）说明△ADC≌△CEB；（2）说明AD+BE=DE．15. （10分） (2016九上·济源期中) 我们可以通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整原题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，连接EF，则EF=BE+DF，试说明理由．（1）思路梳理∵AB=AD，∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合．∵∠ADC=∠B=90°，∴∠FDG=180°，点F、D、G共线．根据________，易证△AFG≌________，得EF=BE+DF．（2）类比引申如图2，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF=45°．若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足等量关系________时，仍有EF=BE+DF．（3）联想拓展如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°．猜想BD、DE、EC应满足的等量关系，并写出推理过程．四、解答题 (共2题；共10分)16. （5分）(2017·延边模拟) 如图，已知△ABC中，AB=AC，把△ABC绕A点顺时针方向旋转得到△ADE，连接BD，CE交于点F，求证：△AEC≌△ADB．17. （5分）(2011·镇江) 已知：如图，在△ABC中，D为BC上的一点，AD平分∠EDC，且∠E=∠B，DE=DC，求证：AB=AC．参考答案一、单选题 (共2题；共4分)1-1、2-1、二、填空题 (共9题；共10分)3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、三、综合题 (共4题；共45分)12-1、12-2、13-1、13-2、14-1、14-2、15-1、15-2、15-3、四、解答题 (共2题；共10分)16-1、17-1、第11 页共11 页。

中考数学总复习作图画图含图形变换专题训练试题

2021年中考数学总复习作图画图(含图形变换)专题训练制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日一．选择题：〔每一小题3分一共15分〕1．以下各条件中，不能唯一作出直角三角形的是〔〕A ．两条直角边B ．两个锐角C ．一锐角及其邻边D ．一锐角及其对边2．线段a 、c 〔a<c 〕，求作：Rt △ABC ，使∠C=900，BC=a ，AB=c ．作法是：①以B 为圆心，c 为半径作弧，交CM 于点A ；②连结AB ；③作线段BC=a ；④过点C 作CM ⊥BC ，垂足为C ．其中作法合理顺序为〔〕A ．①②③④B ．④③②①C ．③①④②D ．③④①② 3.以下各组图形，可以经过平移变换由一个图形得到另一个图形的是〔〕A. B. C. D.4．如图，直线123l l l 、、表示三条互相穿插的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的间隔相等，那么可供选择的地址有〔〕A ．1处B ．2处C ．3处D ．4处l 1l 2l 3A BQP5．如图，在一个规格为4×8的球台上，有两个小球P和Q．假设击打小球P经过球台的边AB 反弹后，恰好击中小球Q，那么小球P击出时，应瞄准AB边上的( )A．点O1 B．点O2 C．点O3 D．点O4.二、解答题：〔一共85分〕6．〔6分〕如图，线段a、h，求作一个等腰三角形ABC，使腰AB=AC= a，底BC上的高AD＝h．〔要求用直尺和圆规作图，保存作图痕迹，不要求写作法〕a h7．〔6分〕如图，A、B两点．⑴求作：⊙O，使它经过A、B两点；⑵求作等腰△ABC，使顶点C在⊙O上，且AB=AC．〔要求用直尺和圆规作图，保存作图痕迹，不要求写作法〕••8. 〔6分〕如下图，由小正方形组成的L形图中，请你用三种方法分别在图中添画一个小正方形使它成为轴对称图形。

A B9、〔6分〕有一块梯形状的土地，现要平均分给两个农户种植(即将梯形的面积两等分)，试设计两种方案(平分方案画在备用图上)，并给予合理的解释。

考点强化：以图形变换为背景的作图与计算

(3)将图1中的等腰Rt△ABO 绕O点顺时针旋转 α(45°＜ α＜90°)，请你在图 3 中画出图形，并直接写出线段 CA 、 CO 、 CD 满足的等量关系式
OC－CA＝ 2CD ________________.
点拨
如图 3 ，连接 AD ，证明△ACD≌△OED ，根据△CDE 是等腰直
点拨根据矩形的性质、对称的性质及勾股定理即可得出EP的值；
点拨
解
解
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD＝5，CD＝AB＝3，∠A＝∠D＝90°， ∵点B与点E关于PQ对称， ∴CE＝BC＝5，
∵在 Rt△CDE 中，DE＝ CE2－CD2＝ 52－32＝4，
∴AE＝AD－DE＝5－4＝1；
在Rt△APE中，AE＝1，AP＝AB－PB＝3－EP，
考点强化十
以图形变换为背景的作图与计算
图形变换主要指图形的轴对称、平移与旋转．解答以图形变换为背景的作图与计算题，必须熟悉并掌握它们的基本性质，如两个轴对称图形的对应点所连的线段被对称轴垂直平分，图形平移后对应点连线平行且相等，图形旋转后对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等；认识并掌握基本图形 ( 等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆 ) 的图形特征及其相关性质；能按要求作出简单平面图形经过轴对称、平移或旋转后的图形.
∵∠CDE＝∠ADO＝90°，
图3
∴∠ADC＋∠ADE＝∠ADE＋∠ODE，
∴∠ADC＝∠ODE，在△ACD和△OED中，
∠DAC＝∠DOE， ∵AD＝OD， ∠ADC＝∠ODE，
∴△ACD≌△OED(ASA)，
∴AC＝OE，CD＝ED，
∴△CDE是等腰直角三角形，

浙江省2019年中考数学复习微专题八巧用图形变换进行计算与证明训练

微专题八巧用图形变换进行计算与证明姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟1．已知如图1所示的四张牌，若将其中一张牌旋转180°后得到图2，则旋转的牌是( )2．如图，在边长为4的等边三角形ABC中，AD是BC边上的高，点E，F是AD上的两点，则图中阴影部分的面积是( )A. 3 B．2 3 C．3 3 D．4 33．如图，已知⊙O的半径为3，∠AOB＋∠COD＝150°，则阴影部分的面积为_________.4．如图是一个台阶的纵切面图，∠B＝90°，AB＝3 m，BC＝5 m，现需在台阶从点A到点C处铺上红地毯，则该地毯的长度为______m.5．将一张矩形纸片折叠成如图所示的图形，若AB＝6 cm，则AC＝______cm.6．如图①，四边形CFDE是正方形，且点E，D，F分别在三角形ABC的三边上，观察图①和图②，请回答下列问题：(1)请简述由图①变成图②的形成过程：______________________________________________________.(2)若AD＝3，DB＝4，则△ADE和△BDF的面积之和为______.7．如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，AB＝1，将它沿AB翻折得到△ABD，则四边形ADBC的形状是______形，点P，E，F分别为线段AB，AD，DB的任意点，则PE＋PF的最小值是_________．8．如图，把正方形铁片OABC置于平面直角坐标系中，顶点A的坐标为(3，0)，点P(1，2)在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转90°，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置…，则正方形铁片连续旋转2 019次后，点P的坐标为______________________.9．如图，在正方形ABCD中，点M，N分别是AD，CD边上的动点(含端点)，且∠M BN＝45°.求证：AM＋CN＝MN.10．问题背景：如图1，点A，B在直线l的同侧，要在直线l上找一点C，使AC与BC的距离之和最小，我们可以作出点B 关于l的对称点B′，连结AB′与直线l交于点C，则点C即为所求．(1)实践运用：如图2，已知，⊙O的直径CD为4，点A在⊙O上，∠ACD＝30°，B为弧AD的中点，P为直径CD上一动点，则BP＋AP的最小值为________．(2)知识拓展：如图3，在Rt△ABC中，AB＝10，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，E，F分别是线段AD和AB上的动点，求BE＋EF的最小值，并写出解答过程．11．已知：△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°.连结AD，BC，点H为BC中点，连结OH.(1)如图1所示，求证：OH＝12AD且OH⊥AD；(2)将△COD绕点O旋转到图2，图3所示位置时，线段OH与AD又有怎样的关系，并选择一个图形证明你的结论．参考答案1．A 2.B 3.15π44.85.66．(1)图①中的△A DE 绕点D 逆时针旋转90°得到图② (2)6 7．菱1548.(6 058，1) 9．证明：∵∠C＝∠A＝90°，BC ＝BA ，∴将△BCN 绕点B 逆时针旋转90°得到△BAN′，如图所示．∵∠MBN＝45°，∴∠MBN′＝45°. 在△MBN 和△MBN′中， ⎩⎪⎨⎪⎧BN ＝BN′，∠MBN＝∠MBN′，BM ＝BM.∴△MBN≌△MBN′(SAS)， ∴MN＝MN′，即AM ＋AN′＝MN ， ∴AM＋CN ＝MN. 10．解：(1)2 2(2)如图，在斜边AC 上截取AB′＝AB ，连结BB′. ∵AD 平分∠BAC， ∴∠B′AM＝∠BAM，在△B′AM 和△BAM 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB′＝AB ，∠B′AM＝∠MAB，AM ＝AM ，∴△B′AM≌△BAM(SAS)，∴BM＝B′M，∠BMA＝∠B′MA＝90°， ∴点B 与点B′关于直线AD 对称．如图，过点B′作B′F⊥AB，垂足为F ，交AD 于E ，连结B′E，则线段B′F 的长即为所求．(点到直线的距离最短) 在Rt△AFB′中，∵∠BAC＝45°， AB′＝AB ＝10，∴B′F＝AB′·sin 45°＝AB·sin 45° ＝10×22＝52， ∴BE＋EF 的最小值为5 2.11．(1)证明：∵△OAB 与△OCD 为等腰直角三角形，∠AOB ＝∠COD＝90°， ∴OC＝OD ，OA ＝OB. 在△AOD 与△BOC 中， ⎩⎪⎨⎪⎧OA ＝OB ，∠AOD＝∠BOC，OD ＝OC ，∴△AOD≌△BOC(SAS)，∴BC＝AD ，∠ADO＝∠BCO，∠OAD＝∠OBC， ∵点H 为线段BC 的中点， ∴OH＝12BC ＝12AD ，可得OH ＝HB ，∴∠OBH＝∠HOB＝∠OAD，又∵∠OAD＋∠ADO＝90°， ∴∠ADO＋∠BOH ＝90°，∴OH⊥AD.(2)解：①结论：OH ＝12AD ，OH⊥AD，如图，延长OH 到E ，使得HE ＝OH ，连结BE ，易证△BEO≌△ODA，∴OE＝AD ， ∴OH＝12OE ＝12AD.由△BEO≌△ODA，知∠EOB＝∠DAO， ∴∠DAO＋∠AOH＝∠EOB＋∠AOH＝90°， ∴OH⊥AD.②结论不变，如图．延长OH 到E ，使得HE ＝OH ，连结BE ，延长EO 交AD 于G.易证△BEO≌△ODA， ∴OE＝AD ， ∴OH＝12OE ＝12AD.由△BEO≌△ODA，知∠EOB＝∠DAO. ∴∠DAO＋∠AOG＝∠EOB＋∠AOG＝90°， ∴∠AGO＝90°，∴OH⊥AD.11。

中考：以图形变换为背景的综合题18[1]

以图形变换为背景的综合题1（CW ）在△ABC 中，∠ACB=45º．点D （与点B 、C 不重合）为射线BC 上一动点，连接AD ，以AD 为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF ．（1）如果AB=AC ．如图①，且点D 在线段BC 上运动．试判断线段CF 与BD 之间的位置关系，并证明你的结论．（2）如果AB ≠AC ，如图②，且点D 在线段BC 上运动．（1）中结论是否成立，为什么？（3）若正方形ADEF 的边DE 所在直线与线段CF 所在直线相交于点P ，设AC ＝42，3=BC ，CD=x ，求线段CP 的长．（用含x 的式子表示）2（YQ ）在图25-1至图25-3中，点B 是线段AC 的中点，点D 是线段CE 的中点．四边形BCGF 和CDHN 都是正方形．AE 的中点是M ．（1）如图25-1，点E 在AC 的延长线上，点N 与点G 重合时，点M 与点C 重合，求证：FM = MH ，FM ⊥MH ；（2）将图25-1中的CE 绕点C 顺时针旋转一个锐角，得到图25-2，求证：△FMH 是等腰直角三角形；（3）将图25-2中的CE 缩短到图25-3的情况，△FMH 还是等腰直角三角形吗？（不必说明理由）第1页3（XW ）已知：MAN ∠，AC 平分MAN ∠图25-1A HC (M )DEBFG (N )G图25-2AHCDEBFNM AH CDE图25-3BF G MN（1）在图1中，若︒=∠120MAN ，︒=∠=∠90ADC ABC ，AC AD AB ___+。

（填写“>”或“<”或“=”）（2）在图2中，若︒=∠120MAN ，︒=∠+∠180ADC ABC ，则（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（3）在图3中：①若︒=∠60MAN ，︒=∠+∠180ADC ABC ，判断AD AB +与AC 的数量关系，并说明理由；②若)1800(︒<<︒=∠ααMAN ，︒=∠+∠180ADC ABC ，则AC AD AB _____=+（用含α的三角函数表示，直接写出结果，不必证明）4(XC)如图1，在□ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，E 恰为BC 的中点，2tan =B .（1）求证：AD =AE ；（2）如图2，点P 在BE 上，作EF ⊥DP 于点F ，连结AF .求证：AF EF DF 2=-；（3）请你在图3中画图探究：当P 为射线E C 上任意一点（P 不与点E 重合）时，作EF ⊥DP 于点F ，连结AF ，线段DF 、EF 与AF 之间有怎样的数量关系？直接写出你的结论.第2页5（SJS ）我们知道三角形三条中线的交点叫做三角形的重心．经过证明我们可得三角形重心具备下面的性质：重心到顶点的距离与重心到该顶点对边中点的距离之比为2﹕1．请你用此性质解决下面的问题.已知：如图，点O 为等腰直角三角形ABC 的重心， 90=∠CAB ，直线m 过点O ,过C B A 、、三点分别作直线m 的垂线，垂足分别为点F E D 、、.(1)当直线m 与BC 平行时（如图1），请你猜想线段CF BE 、和AD 三者之间的数量关系并证明； (2) 当直线m 绕点O 旋转到与BC 不平行时，分别探究在图2、图3这两种情况下，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段CF BE AD 、、三者之间又有怎样的数量关系？请写出你的结论，图1EBCAD图3EB CAD图2ECB ADFPmFAAFA不需证明．6（FT ）直线CD 经过BCA ∠的顶点C ，CA=CB ．E 、F 分别是直线CD 上两点，且BEC CFA α∠=∠=∠．（1）若直线CD 经过BCA ∠的内部，且E 、F 在射线CD 上，请解决下面两个问题：①如图1，若90,90BCA α∠=∠=，则EFBE AF -（填“>”，“<”或“=”号）；②如图2，若0180BCA <∠< ，若使①中的结论仍然成立，则 α∠与BCA ∠ 应满足的关系是；（2）如图3，若直线CD 经过BCA ∠的外部，BCA α∠=∠，请探究EF 、与BE 、AF 三条线段的数量关系，并给予证明．第3页7（DX ）如图10-1，四边形ABCD 是正方形，G 是CD 边上的一个动点(点G 与C 、D 不重合)，以CG 为一边在正方形ABCD 外作正方形CEFG ，连结BG ，DE ．我们探究下列图中线段BG 、线段DE 的长度关系及所在直线的位置关系：（1）①请直接写出图10-1中线段BG 、线段DE 的数量关系及所在直线的位置关系；②将图10-1中的正方形CEFG 绕着点C 按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度α，得到如图10-2、如图10-3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图10-2证明你的判断．（2）将原题中正方形改为矩形（如图10-4～10-6），且kb CG ka CE b BC a AB ====,,, )0,( k b a ≠ ，ABCE FDDABCE FADFC EB图1图2图3MKG FBCDAE试判断（1）①中得到的结论哪个成立，哪个不成立？并写出你的判断，不必证明. （3）在图10-5中，连结DG 、BE ，且21,2,4===k b a ，则22BE DG += ． 8(FS) 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=90 ，AD=AB=2,点E 是AB 边上一动点(点E 不与点A 、B 重合)，连结ED ，过ED 的中点F 作ED 的垂线，交AD 于点G,交BC 于点K,过点K 作KM ⊥AD 于M ． (1) 当E 为AB 中点时，求DMDG的值； (2) 若13AE AB =, 则DM DG 的值等于； (3) 若1AE AB n =（n 为正整数），则DM DG的值等于（用含n 的式子表示）．第4页9（SY ）在ABC △中，AC=BC ，90ACB ∠=︒，点D 为AC 的中点．（1）如图1，E 为线段DC 上任意一点，将线段DE 绕点D 逆时针旋转90°得到线段DF ，连结CF ，过点F 作FH FC ⊥，交直线AB 于点H ．判断FH 与FC 的数量关系并加以证明．（2）如图2，若E 为线段DC 的延长线上任意一点，（1）中的其他条件不变，你在（1）中得出的结论是否发生改变，直接写出你的结论，不必证明．HF图2图1HFEB C DAED BC A10(MTG) 已知正方形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，过E 点作EF ⊥BD 交BC 于F ，连接DF ，G 为DF 中点，连接EG ，CG ．（1）直接写出线段EG 与CG 的数量关系；（2）将图1中△BEF 绕B 点逆时针旋转45º，如图2所示，取DF 中点G ，连接EG ，CG ．你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．（3）将图1中△BEF 绕B 点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？（不要求证明）第5页11（PG ）已知，正方形ABCD 中，∠MAN=45°, ∠MAN 绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB 、DC （或它们的延长线）于点M 、N ，AH ⊥MN 于点H ．（1）如图①，当∠MAN 绕点A 旋转到BM=DN 时，请你直接写出AH 与AB 的数量关系：；（2）如图②，当∠MAN 绕点A 旋转到BM≠DN 时，（1）中发现的AH 与AB 的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由．如果成立请证明；（3）如图③，已知∠MAN=45°，AH ⊥MN 于点H ，且MH=2，NH=3，求AH 的长．（可利用（2）得到的结论）FB A D CEG图1FBAD CEG图 2FBACE图3D12（TZ ）小华用两块不全等的等腰直角三角形的三角板摆放图形. （1）如图①所示△ABC ，△DBE ，两直角边交于点F ，过点F 作FG ∥BC 交AB 于点G ，连结BF 、AD ，则线段BF 与线段AD 的数量关系是；直线BF 与直线AD 的位置关系是，并求证：FG ＋DC ＝AC ；（2）如果小华将两块三角板△ABC ，△DBE如图②所示摆放，使D B C 、、三点在一条直线上，AC 、DE 的延长线相交于点F ，过点F 作FG ∥BC ，交直线AE于点G ，连结AD ，FB ，则FG 、DC 、AC 之间满足的数量关系式是；（3）在（2）的条件下，若AG ＝72，DC ＝5，将一个45°角的顶点与点B 重合，并绕点B 旋转，这个角的两边分别交线段FG 于P 、Q两点（如图③），线段DF 分别与线段BQ 、BP 相交于M 、N 两点，若PG ＝2，求线段MN 的长．（第24题图①）（第24题图②）（第24题图③）第6页13（HD ）已知：AOB △中，2AB OB ==，COD △中，3CD OC ==,ABO DCO =∠∠. 连接AD 、BC ，点M 、N 、P 分别为OA 、OD 、BC 的中点.PNMDCABOPNM DCBAO图1 图2(2) 如图2，若A 、O 、C 三点在同一直线上，且2ABO α=∠，证明PMN BAO △∽△，并计算ADBC的值（用含α的式子表示）；(1) 如图1，若A 、O 、C 三点在同一直线上，且60ABO = ∠，则PMN △的形状是________________，此时ADBC=________；(3) 在图2中，固定AOB △，将COD △绕点O 旋转，直接写出PM 的最大值.14(CY) 请阅读下列材料问题：如图1，在等边三角形ABC 内有一点P ，且PA=2， PB=3， PC=1．求∠BPC 度数的大小和等边三角形ABC 的边长．李明同学的思路是：将△BPC 绕点B 顺时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图2）．连接PP ′，可得△P ′PC 是等边三角形，而△PP ′A 又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证）．所以∠AP ′C=150°，而∠BPC=∠AP ′C=150°．进而求出等边△ABC 的边长为7．问题得到解决．请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图3，在正方形ABCD 内有一点P ，且PA=5，BP=2，PC=1．求∠BPC 度数的大小和正方形ABCD 的边长．第7页15（MY ）如图，在梯形ABCD 中，3510AD BC AD DC BC ===∥，，，，梯形的高为4．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t （秒）．（1）当MN AB ∥时，求t 的值；（2）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形．图 3图 1 图2FEQPNMD CB AABCDM16（DC ）如图，在平面直角坐标系中，A （23，0），B （23，2）.把矩形OABC 逆时针旋转30︒得到矩形111OA B C . （1）求1B 点的坐标；（2）求过点（2，0）且平分矩形111OA B C 面积的直线l 方程；（3）设（2）中直线l 交y 轴于点P ，直接写出1PC O ∆与11PB A ∆的面积和的值及1POA ∆与11PB C ∆的面积差的值.第8页17（DC ）．如图，正方形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点M ，正方形MNPQ 与正方形ABCD 全等，射线MN与MQ 不过A 、B 、C 、D 四点且分别交ABCD 的边于E 、F 两点. （1）求证：ME=MF ；（2）若将原题中的正方形改为矩形，且24BC AB ==，其他条件不变，探索线段ME 与线段MF 的数量关系.备用图18(CP) (1)已知：如图1，△ABC 中，分别以AB 、AC 为一边向△ABC 外作正方形ABGE 和ACHF ，直线AN ⊥BC 于N ，若EP AN ⊥于P ，FQ AN ⊥于Q . 判断线段EP FQ 、的数量关系，并证明；(2)如图2，梯形ABCD 中，AD ∥BC , 分别以两腰AB 、CD 为一边向梯形ABCD 外作正方形ABGE 和DCHF ，线段AD 的垂直平分线交线段AD 于点M ，交BC 于点N ，若E P M N ⊥于P ，FQ MN⊥于Q ．(1)中结论还成立吗？请说明理由.图2FF图1HN Q GHMPEPQGEDCBA N CBA第9页参考答案1. （1）CF 与BD 位置关系是垂直；证明如下： AB=AC ，∠ACB=45º，∴∠ABC=45º．由正方形ADEF 得 AD=AF ，∵∠DAF=∠BAC =90º， ∴∠DAB=∠FAC ，∴△DAB ≌△FAC ， ∴∠ACF=∠ABD ． ∴∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90º．即 CF ⊥BD ．（2）CF ⊥BD ．(1)中结论成立．理由是：过点A 作AG ⊥AC 交BC 于点G ，∴AC=AG 可证：△GAD ≌△CAF ∴∠ACF=∠AGD=45º ∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90º．即CF ⊥BD（3）过点A 作AQ ⊥BC 交CB 的延长线于点Q ， ①点D 在线段BC 上运动时，∵∠BCA=45º，可求出AQ= CQ=4．∴ DQ=4-x ，GABCD EF图14-1A HC (M )D EB FG (N )AHCDE图14-3BFG M N易证△AQD ∽△DCP ，∴CP CD DQ AQ = ， ∴44CP xx =-，24x CP x∴=-+．②点D 在线段BC 延长线上运动时，∵∠BCA=45º，可求出AQ= CQ=4，∴ DQ=4+x ．过A 作AC AG ⊥交CB 延长线于点G ，则ACF AGD ∆≅∆．∴ CF ⊥BD ，∴△AQD ∽△DCP ，∴CP CD DQ AQ = ， ∴44CP xx =+，24x CP x∴=+．2（1）证明：∵四边形BCGF 和CDHN 都是正方形，又∵点N 与点G 重合，点M 与点C 重合，∴FB = BM = MG = MD = DH ，∠FBM =∠MDH = 90°．……………………2分∴△FBM ≌ △MDH ． ∴FM = MH ． ……………………3分∵∠FMB =∠DMH = 45°， ∴∠FMH = 90°．∴FM ⊥HM ． ……………………4分（2）证明：连接MB 、MD ，如图2，设FM 与AC 交于点P ．……………………5分∵B 、D 、M 分别是AC 、CE 、AE 的中点， ∴MD ∥BC ，且MD = BC = BF ；MB ∥CD ，且MB =CD =DH ．∴四边形BCDM 是平行四边形．∴ ∠CBM =∠CDM ． ……………………6分又∵∠FBP =∠HDC ，∴∠FBM =∠MDH ． ∴△FBM ≌ △MDH ． ∴FM = MH ，且∠MFB =∠HMD ． ∴∠FMH =∠FMD －∠HMD=∠APM －∠MFB =∠FBP = 90°．∴△FMH 是等腰直角三角形． ........................7分（3）是． (8)分3，解：(1) AB ＋AD = AC ．--------------------------------------------------------------------------1分图2AHCDEBFG NMP(2) 仍然成立．证明：如图2过C 作CE ⊥AM 于E ，CF ⊥AN 于F ，则∠CEA=∠CFA=90°．∵ AC 平分∠MAN ，∠MAN=120°， ∴ ∠MAC=∠NAC=60°．又∵ AC=AC ， ∴ △AEC ≌△AFC ， ∴ AE=AF ，CE=CF ．∵ 在Rt △CEA 中，∠EAC=60°， ∴ ∠ECA=30°， ∴ AC=2AE ．∴ AE+AF=2AE=AC ． ∴ ED+DA+AF=AC ．∵ ∠ABC ＋∠AD C ＝180°，∠CDE+∠ADC=180°， ∴ ∠CDE=∠CBF ．又∵ CE=CF ，∠CED=∠CFB ， ∴ △CED ≌△CFB ． ∴ ED=FB ， ∴ FB+DA+AF=AC ．∴ AB+AD=AC ．----------------------------------------- 4分 (3)①AB+AD=3AC ．证明：如图3，方法同(2)可证△AGC ≌△AHC ． ∴AG=AH ．∵∠MAN=60°， ∴∠GAC=∠HAC=30°． ∴AG=AH=23AC ．∴AG+AH=3AC ． ∴GD+DA+AH=3AC ．方法同(2)可证△GDC ≌△HBC ． ∴GD=HB ， ∴ HB+DA+AH=3AC ．∴AD+AB=3AC ．-------------------------------------------------------------------------------------6分②AB ＋AD ＝2cos2α·AC ．-------------------------------------------------------------------7分4证明：（1）在Rt △ABE 中，∠AEB=90°， ∴ 2tan ==BEAEB ∴BE AE 2=． ················································ 1分 ∵E 为BC 的中点，∴BE BC 2=．∴AE=BC .∵ABCD 是平行四边形， ∴AD=BC . ∴AE=AD . ··································································································· 2分（2）在DP 上截取DH =EF （如图8）．∵四边形ABCD 是平行四边形，AE ⊥BC ，∴∠EAD=90°． ∵EF ⊥PD ，∠1＝∠2，NM ACBDF E M NAD CB HG图3图2A D Hm MO F E(D)CBA∴∠ADH =∠AEF ． ∵AD =AE ，∴△ADH ≌△AEF ． ·················· 4分 ∴∠HAD =∠FAE ，AH =AF ． ∴∠FAH ==90°．在Rt △FAH 中， AH =AF ， ∴AF FH 2=．∴AF EF FD HD FD FH 2=-=-=．即AF EF DF 2=-． ·········· 5分（3）按题目要求所画图形见图9，线段DF 、EF 、AF 之间的数量关系，AF EF DF 2=+；当EP ＞2时（如图10），AF FD EF 2=-． ····················································································································· 7分5（1）猜想：BE+CF=AD ………………………………1分证明：如图，延长AO 交BC 于M 点， ∵点O 为等腰直角三角形ABC 的重心 ∴AO=2OM 且AM ⊥BC又∵EF ∥BC ∴AM ⊥EF ∵BE ⊥EF,CF ⊥EF ∴EB ∥OM ∥CF ∴EB=OM=CF∴EB+CF=2OM=AD ………………………3分（2）图2结论：BE+CF=AD证明：联结AO 并延长交BC 于点G, 过G 做GH ⊥EF 于H 由重心性质可得AO=2OG∵∠ADO=∠OHG=90°, ∠AOD=∠HOG∴△AOD ∽△GOH ∴AD=2HG ………………………………5分 ∵O 为重心 ∴G 为BC 中点 ∵GH ⊥EF,BE ⊥EF,CF ⊥EF ∴EB ∥HG ∥CF ∴H 为EF 中点ECBAFPD图10 H图1HGA BCD E FO m 图2mOFEDCB A图3∴HG=21(EB+CF) ∴EB+CF=AD …………………………………………7分 (3)CF －BE= AD ………………………………………8分6解：（1）EF = AF BE -； ----------------------------------------------- 1分(2) ∠α+∠BCA =180°； ----------------------------------------------- 3分(3) 探究结论： EF=BE+AF . ----------------------------------------------- 4分证明：∵∠1+∠2+∠BCA =180°, ∠2+∠3+∠CFA =180°.又∵∠BCA =∠α=∠CFA ，∴∠1=∠3. ------------------ 5分 ∵∠BEC =∠CFA =∠α,CB =CA ,∴△BEC ≌△CFA . ----------------- 6分 ∴BE=CF , EC=AF .∴EF=EC+CF=BE+AF . ------------------- 7分 7⑴①BG ＝DE ；BG ⊥DE ； (1)②①中得到的结论仍然成立…………………………………………………2分证明：分即分别是正方形，和四边形四边形4..............................................................................909090..90..BG DE GOE BGC DQG CED CQE DQG CQE BGC CED BG DE DCE BCG BCG DCE QDCG BCD DCG ECG BCD ECG CD BC CE CG EFGC ABCD ⊥∴︒=∠∴︒=∠+∠∴︒=∠+∠∠=∠∠=∠∴=∴∆≅∆∴∠=∠∠+∠=∠+∠∴︒=∠=∠==∴⑵BG ⊥DE 成立；………………………………………..5分 BG ＝DE 不成立………………………………………….6分⑶BE 2+DG 2=25……………………………………………………………7分123MKGFB CDAE8（1）连接GE ．∵KM ⊥AD ，KG 是DE 的垂直平分线 ∴∠KMG=∠DFG=90° ∴∠GKM=∠GDF∵MK=AB=AD,∠KMG=∠DAE=90°∴ΔKMG ≌ΔDAE--------------1分 ∴MG = AE∵E 是AB 中点，且AB=AD=2 ∴AE=MG=1∵KG 是DE 的垂直平分线∴GE=GD --------------------2分设GE=GD=x 则AG=2-x在Rt ΔAEG 中，∠E AG=90°，由勾股定理得（2-x ）2+12=x 2∴x=45-----------------3分∴DM=GD-GM=41∴51=DG DM --------------------------------------4分（2） 52----------------------------------------------5分（3） 1)1(22+-n n -----------------------------------------7分9解：（1）FH 与FC 的数量关系是：FH FC =． … 1分证明：延长DF 交AB 于点G ，由题意，知 ∠EDF=∠ACB=90°，DE=DF ． ∴DG ∥CB ．∵点D 为AC 的中点， ∴点G 为AB 的中点，且12DC AC =．∴DG 为ABC △的中位线． ∴12DG BC =． ∵AC=BC ， ∴DC=DG ． ∴DC - DE =DG - DF ．即EC =FG ． …………………………………………………………… 2分 ∵∠EDF =90°，FH FC ⊥，21HGFEBCD A∴∠1+∠CFD =90°，∠2+∠CFD=90°．∴∠1 =∠2．……………………………………………………………3分∵DEF △与ADG △都是等腰直角三角形， ∴∠DEF =∠DGA = 45°．∴∠CEF =∠FGH = 135°． …………………………………………… 4分 ∴△CEF ≌△FGH ． ……………………………………………………… 5分 ∴ CF =FH ． ……………………………………………………………… 6分（2）FH 与FC 仍然相等． ……………………………………………… 7分10解：（1）CG=EG ……………………… 1分（2）（1）中结论没有发生变化，即EG=CG ．证明：连接AG ，过G 点作MN ⊥AD 于M ，与EF 的延长线交于N 点．在△DAG 与△DCG 中， ∵ AD =CD ，∠ADG =∠CDG ，DG =DG ， ∴ △DAG ≌△DCG ．∴ AG=CG ．………………………2分在△DMG 与△FNG 中，∵ ∠DGM =∠FGN ，FG =DG ，∠MDG =∠NFG ， ∴ △DMG ≌△FNG ． ∴ MG=NG …………………………3分在矩形AENM 中，AM=EN ． ……………4分在Rt △AMG 与Rt △ENG 中，∵ AM =EN ， MG =NG ， ∴ △AMG ≌△ENG ． ∴ AG=EG ．…………………………5分 ∴ EG=CG ． ……………………………6分（3）（1）中的结论仍然成立．………………7分 11解：（1）如图①AH=AB ………………………..1分（2）数量关系成立.如图②，延长CB 至E ，使BE=DN ∵ABCD 是正方形 ∴AB=AD ，∠D=∠ABE=90°∴Rt △AEB ≌Rt △AND ………………………………3分 ∴AE=AN ，∠EAB=∠NAD∴∠EAM=∠NAM=45° ∵AM=AM∴△AEM ≌△AN M........................................4分 ∵AB 、AH 是△AEM 和△ANM 对应边上的高， ∴AB=AH .. (5)（3）如图③分别沿AM 、AN 翻折△AMH 和△ANH ，得到△ABM 和△AND∴BM=2，DN=3，∠B=∠D=∠BAD=90°分别延长BM 和DN 交于点C ，得正方形ABCE ．由（2）可知，AH=AB=BC=CD=AD.F B A D C EG M N N图 2 F B A D C E图3GEH MB CA DN图①HMBC ADN设AH=x ，则MC=2-x , NC=3-x 图② 在R t ⊿MCN 中，由勾股定理，得222NC MC MN +=∴222)3()2(5-+-=x x ………………………6分解得1,621-==x x .（不符合题意，舍去） ∴AH=6.……………………………………………7分图③12（1）结论：则线段BF 于线段AC 的数量关系是：相等；直线BF 于直线AC 的位置关系是：互相垂直； .......................................................................(1分)证明： ABC ∆、BDE ∆是等腰直角三角形∴︒=∠=∠=∠45BDE BAC ABC ，BC AD ⊥∴︒=∠45CFD∴CF CD = ............................................................(2分)BC FG //︒=∠=∠45ABC AGF∴AF FG =FC AF AD +=∴DC FG AD += ............................................................(3分)H MBCADNG F ED C B A GF EDC BA（2）FG 、DC 、AD 之间满足的数量关系式是DC AD FG +=；..........(4分) （3）过点B 作FG BH ⊥垂足为H ，过点P 作AG PK ⊥垂足为K ......(5分)BC FG //,C 、D 、B 在一条直线上，可证AFG ∆、DCF ∆是等腰直角三角形，5,27==CD AG∴根据勾股定理得：25,7===FD FG AF∴2==BC AC ∴3=BDFG BH ⊥，∴CF BH //，︒=∠90BHFBC FG //∴四边形CFHB 是矩形 ∴2,5==FH BH，BC FG //∴︒=∠45G5==∴BH HG ，25=BGAG PK ⊥，2=PG∴2==KG PK24225=-=∴BK︒=∠︒=∠45,45HGB PBQ∴︒=∠45GBH21∠=∠∴AG PK ⊥，FG BH ⊥ ︒=∠=∠∴90BKP BHQ BQH ∆∴∽BPK ∆BH BKQH PK =∴∴=QH 45............................................................(6分)43=∴FQBC FG // ∴FQM DBM MFQ D ∠=∠∠=∠,∴FQM ∆∽DBM ∆24=DM ............................................................(7分)FNP DNB MFQ D ∠=∠∠=∠,∴BDN ∆∽PFN ∆ ∴PF BDFN DN =∴8215=DN∴8217821524=-=MN ............................................................(8分)13解：(1)等边三角形，1；(每空1分) ------------------------2分（2）证明：连接BM 、CN .由题意，得BM OA ⊥，CN OD ⊥,α-︒=∠=∠90COD AOB .∵ A 、O 、C 三点在同一直线上，∴ B 、O 、D 三点在同一直线上. ∴ 90BMC CNB == ∠∠.∵ P 为BC 中点，∴ 在Rt △BMC 中，BC PM 21=.在Rt △BNC 中，BC PN 21=. ∴ PN PM =.-------------------------3分 ∴ B 、C 、N 、M 四点都在以P 为圆心，12BC 为半径的圆上.∴ 2MPN MBN =∠∠.又∵ α=∠=∠ABO MBN 21，∴ MPN ABO =∠∠.∴ PMN BAO △∽△. -------------------4分∴BA AO PM MN =.由题意，12MN AD =，又BC PM 21=.∴ PM MNBC AD =.--------------------5分 ∴ AD AO BC BA =. 在Rt BMA △中，αsin =ABAM. ∵ AM AO 2=， ∴2sin AO BA α=.∴ αsin 2=BCAD.---------------6分（3）52.--------------------------------7分 14（1）如图，将△BPC 绕点B 逆时针旋转90°，得△BP ′A ，则△BPC ≌△BP ′A ．MP N DA B O C∴AP ′=PC=1，BP=BP ′=2．连结P P ′，在Rt △BP ′P 中，∵ BP=BP ′=2，∠PBP ′=90°，∴ P P ′=2，∠BP ′P=45°． ………………………………2分在△AP ′P 中， AP ′=1，P P ′=2，AP=5， ∵ 22212(5)+=，即AP ′ 2 + PP ′ 2 = AP 2．∴ △AP ′P 是直角三角形，即∠A P ′ P=90°． ∴ ∠AP ′B=135°．∴ ∠BPC=∠AP ′B=135°． ……………………………………………………………… 4分（2）过点B 作BE ⊥AP ′ 交AP ′ 的延长线于点E ． ∴ ∠EP ′ B=45°. ∴ EP ′=BE=1. ∴ AE=2.∴ 在Rt △ABE 中，由勾股定理，得AB=5． ……………………………………… 7分 ∴ ∠BPC=135°，正方形边长为5．15解：（1）如图①，过D 作DG AB ∥交BC 于G 点，则四边形ADGB 是平行四边形． ∵ MN AB ∥，∴ MN DG ∥． ∴ 3BG AD ==． ∴ 1037GC =-=．由题意知，当M 、N 运动到t 秒时，102CN t CM t ==-，．∵ DG MN ∥，∴ MNC GDC △∽△．∴ CN CM CD CG =．即10257t t-=．解得，5017t =． 5分（3）分三种情况讨论：① 当NC MC =时，如图②，即102t t =-．∴103t =． 6分MN NC=时，如②当图③，过N作NE MC⊥于E，DH BC⊥于H．则()11102522EC MC t t==-=-，4DH=．∴3CH=．∵90C C DHC NEC=∠=∠=︒∠∠，，∴NEC DHC△∽△．∴NC ECDC HC=．即553t t-=．∴258t=．7分③当MN MC=时，如图④，过M作MF CN⊥于F点．则1122FC NC t==．∵90C C MFC DHC=∠=∠=︒∠∠，，∴MFC DHC△∽△．∴FC MCHC DC=．即1102235t t-=．∴6017t=．--------------------------------------------------------------------------8分综上所述，当103t=、258t=或6017t=时，MNC△为等腰三角形．16解：（1）由已知可得：23,2,90OA AB A==∠=︒，11130,4BOA B OA OB OB∴∠=∠=︒==.又1AOA∠为旋转角，21HG FE QPNABCDM21HGQPN MDCBA130AOA ∴∠=︒.160B OA ∴∠=︒. …………………1分过点1B 作1B E OA ⊥于点E ，在1Rt B OE ∆中，1160,4B OE OB ∠=︒=，12,23OE B E ∴==.1(2,23)B ∴. …………………2分（2）设F 为11A C 与1OB 的交点，可求得(1,3)F . …………………4分设直线l 的方程为y kx b =+，把点（2，0）、（1，3）代入可得：02,3k b k b=+⎧⎪⎨=+⎪⎩ 解得：3,2 3.k b ⎧=-⎪⎨=⎪⎩ ∴直线l 的方程为323y x =-+. …………………5分（3）23，23. …………………7分17．（1）证明：过点M 作MG ⊥BC 于点G ，MH ⊥CD 于点H . ∴∠MGE=∠MHF=090.∵M 为正方形对角线AC 、BD 的交点，∴MG=MH .又∵∠1+∠GMQ=∠2+∠GMQ=090， ∴∠1=∠2.在△MGE 和△MHF 中∠1=∠2， MG=MH ， ∠MGE=∠MHF . ∴△MGE ≌△MHF .∴ME=MF . ………………3分（2）解：①当MN 交BC 于点E ，MQ 交CD 于点F 时.过点M 作MG ⊥BC 于点G ，MH ⊥CD 于点H .∴∠MGE=∠MHF=090.∵M 为矩形对角线AC 、BD 的交点，F 21HGE QPNBDMCA∴∠1+∠GMQ=∠2+∠GMQ=090. ∴∠1=∠2.在△MGE 和△MHF 中，∠1=∠2 ∠MGE=∠MHF ∴△MGE ∽△MHF . ∴MHMGMF ME =. ∵M 为矩形对角线AB 、AC 的交点，∴MB=MD=MC又∵MG ⊥BC ，MH ⊥CD ，∴点G 、H 分别是BC 、DC 的中点. ∵24BC AB ==， ∴BC MH AB MG 21,21==. ∴21=MF ME . ………………4分 ②当MN 的延长线交AB 于点E ，MQ 交BC 于点F 时. 过点M 作MG ⊥AB 于点G ，MH ⊥BC 于点H .∴∠MGE=∠MHF=090.∵M 为矩形对角线AC 、BD 的交点， ∴∠1+∠GMQ=∠2+∠GMQ=090. .∴∠1=∠2.在△MGE 和△MHF 中，∠1=∠2， ∠MGE=∠MHF . ∴△MGE ∽△MHF . ∴MHMGMF ME =. ∵M 为矩形对角线AC 、BD 的交点，∴MB=MA=MC . 又∵MG ⊥AB ，MH ⊥BC ，∴点G 、H 分别是AB 、BC 的中点. ∵24BC AB ==，∴AB MH BC MG 21,21==. ∴2=MFME. ………………5分 ③当MN 、MQ 两边都交边BC 于E 、F 时.4321HFE QPNBDMCAFH GE QPNBDMCA过点M 作MH ⊥BC 于点H .∴∠MHE=∠MHF =∠NMQ=090. ∴∠1=∠3，∠2=∠4.∴△MEH ∽△FEM ，FMH ∽△FEM .∴ME MH FE FM =，FM MHFE EM=. ∵M 为正方形对角线AC 、BD 的交点， ∴点M 为AC 的中点.又∵MH ⊥BC ，∴点M 、H 分别是AC 、BC 的中点. ∵24BC AB ==，∴AB=2. ∴MH=1. ∴1FM FM ME MH EF EF ==⋅， 1EM EMMF MH EF EF==⋅. ∴11122222=+=+EF EM FM MF ME . ………………6分 ④当MN 交BC 边于E 点，MQ 交AD 于点F 时. 延长FM 交BC 于点G .易证△MFD ≌△MGB . ∴MF=MG .同理由③得22111MG ME +=. ∴22111ME MF +=. ………………7分综上所述：ME 与MF 的数量关系是21=MF ME 或2=MFME 或11122=+MF ME . …8分18证明：（1）线段EP FQ 、的数量关系为相等．……………………1分∵EP AN ⊥，AN BC ⊥，∴90P ANB ∠=∠=︒，1390∠+∠=︒．又∵四边形ABGE 是正方形，∴90EAB ∠=︒，AE AB =， ∴1290∠+∠=︒．∴32∠=∠.∴EPA ∆≌ANB ∆．∴EP AN = ．……………………2分同理可证 F Q A N = ．…………3分 ∴EP FQ =． ……………………4分（2）过点A 作JK ⊥AD 交EP 于J ,交BC 于K ,ABCN EGQ P H12图13F过点D 作RT ⊥AD 交FQ 于R ,交BC 于T ．∵PN ⊥AD 于M ， ∴JK ∥PN ． ∵AD ∥BC ,∴四边形AKNM 为平行四边形． ∴AK MN =．同理可得DT MN =．∴AK DT =．…………………5分又∵EP MN ⊥，JK ∥PN ,AD ∥BC , ∴JK EP ⊥，JK BC ⊥，同（1）的证明可得 ,EJ AKFR DT ==．∴EJ FR =．由平行四边形JAMP 和QMDR 可知,JP AM QR MD ==．又∵AM MD =,∴JP QR =．…………………………………………6分 ∴EJ JP QR RF +=+．∴EP FQ =．…………………………………………7分第8页图2GE P Q AMB N CH FDK J R T。

中考数学探究性试题之图形的变换训练

中考数学探究性试题之图形的变换训练1．如图，四边形ABCD是正方形，点O为对角线AC的中点．（1）问题解决：如图①，连接BO，分别取CB，BO的中点P，Q，连接PQ，则PQ与BO的数量关系是，位置关系是．（2）问题探究：如图②，将图①中的△AOB绕点A按顺时针方向旋转45°得到△AO′E，连接CE，点P，Q分别为CE，BO′的中点，连接PQ，PB．试判断PQ与BQ之间的数量关系，并证明；（3）拓展延伸：如图③，将图①中的△AOB绕点A按逆时针方向旋转45°得到△AO′E，连接BO′，点P，Q分别为CE，BO′的中点，连接PQ，PB．若正方形ABCD的边长为1，求线段PQ的长.2．如图，已知△ABC，BC边的中点M，（1）分别以AB和AC为腰，向△ABC的外侧作等腰三角形，其中AD＝AB，AC＝AE，且∠BAE＝∠DAC＝90°，如图1所示．①若∠BAC＝70°，求∠DAE的度数；②求证：DE＝2AM；（2）分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，其中∠ADB＝∠AEC ＝90°，如图2所示，连接MD和ME，则MD和ME具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程．3．如图，二次函数y ＝ax 2+bx +4的图象过点A （3，0）和B （﹣1，0），与y 轴交于点C ．（1）求该二次函数的解析式；（2）若在该二次函数的对称轴上有一点M ，使BM +CM 的长度最短，求出M 的坐标．（3）动点D ，E 同时从点O 出发，其中点D 以每秒32个单位长度的速度沿折线OAC 按O →A →C 的路线运动，点E 以每秒4个单位长度的速度沿折线OCA 按O →C →A 的路线运动，当D ，E 两点相遇时，它们都停止运动．设D ，E 同时从点O 出发t 秒时，△ODE 的面积为S ．请直接写出S 关于t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围．4．我们定义：如图1，在△ABC 中，把AB 绕点A 顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到AB '，把AC 绕点A 逆时针旋转β得到AC ′，连接B 'C '，当a +β＝180°时，我们称△AB 'C '是△ABC 的“旋补三角形”，△AB 'C 边B 'C '上的中线AD 叫做△ABC 的“旋补中线”．[特例感知]（1）在图2，图3中，△AB 'C ′是△ABC 的“旋补三角形”，AD 是△ABC 的“旋补中线”． ①如图2，当△ABC 为等边三角形，且BC ＝6时，则AD 长为．②如图3，当∠BAC ＝90°，且BC ＝7时，则AD 长为．[猜想论证]（2）在图1中，当△ABC 为任意三角形时，猜想AD 与BC 的数量关系，并给予证明．（如果你没有找到证明思路，可以考虑延长AD 或延长B 'A ，…）[拓展应用]（3）如图4，在四边形ABCD中，∠BCD＝150°，AB＝12，CD＝6，以CD为边在四边形ABCD内部作等边△PCD，连接AP，BP．若△P AD是△PBC的“旋补三角形”，请直接写出△PBC的“旋补中线”长及四边形ABCD的边AD长．5．小明研究了这样一道几何题：如图1，在△ABC中，把AB点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到AB′，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC′，连接B′C′．当α+β＝180°时，请问△AB′C′边B′C′上的中线AD与BC的数量关系是什么？以下是他的研究过程：特例验证：（1）①如图2，当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为AD＝BC；②如图3，当∠BAC＝90°，BC＝8时，则AD长为．猜想论证：（2）在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明．拓展应用（3）如图4，在四边形ABCD，∠C＝90°，∠A+∠B＝120°，BC＝12√3，CD＝6，DA ＝6√3，在四边形内部是否存在点P，使△PDC与△P AB之间满足小明探究的问题中的边角关系？若存在，请画出点P的位置（保留作图痕迹，不需要说明）并直接写出△PDC 的边DC上的中线PQ的长度；若不存在，说明理由．6．我们定义：如图1、图2、图3，在△ABC中，把AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到AB′，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC′，连接B′C′，当α+β＝180°时，我们称△AB'C′是△ABC的“旋补三角形”，△AB′C′边B'C′上的中线AD叫做△ABC 的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．图1、图2、图3中的△AB′C′均是△ABC的“旋补三角形”．（1）①如图2，当△ABC为等边三角形时，“旋补中线”AD与BC的数量关系为：AD＝BC；②如图3，当∠BAC＝90°，BC＝8时，则“旋补中线”AD长为．（2）在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想“旋补中线”AD与BC的数量关系，并给予证明．7．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，tan∠BAC=12．点D在边AC上（不与A，C重合），连接BD，F为BD中点．（1）若过点D作DE⊥AB于E，连接CF、EF、CE，如图1．设CF＝kEF，则k＝；（2）若将图1中的△ADE绕点A旋转，使得D、E、B三点共线，点F仍为BD中点，如图2．求证：BE﹣DE＝2CF；（3）若BC＝6，点D在边AC的三等分点处，将线段AD绕点A旋转，点F始终为BD 中点，求线段CF长度的取值范围．8．我们定义：如图1，在△ABC中，把AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）并缩短一半得到AB'，把AC绕点A逆时针旋转β并缩短一半得到AC'，连接B'C'．当α+β＝180°时，我们称△AB'C'是△ABC的“旋半三角形”，△AB'C'边B'C'上的中线AD叫做△ABC 的“旋半中线”，点A叫做“旋半中心”．特例感知：（1）在图2，图3中，△AB'C'是△ABC的“旋半三角形”，AD是△ABC的“旋半中线”．①如图2，当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为AD＝BC；②如图3，当∠BAC＝90°，BC＝4时，则AD长为．猜想论证：（2）在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明．拓展应用：（3）如图4，在平面直角坐标系中，△ABC的坐标分别是A（4，3），B（1，0），C（5，0），△AB′C′是△ABC的“旋半三角形”，AD是△ABC的“旋半中线”，连接OD，求OD的最大值是多少？并请直接写出当OD最大时点D的坐标．9．已知，△ABC中，AB＝6，AC＝4，M是BC的中点，分别以AB，AC为边向外作正方形ABDE，正方形ACFG，连接EG，MA的延长线交EG于点N，（1）如图1，若∠BAC＝90°，求证：AM=12EG，AM⊥EG；（2）将正方形ACFG绕点A顺时针旋转至如图2，（1）中结论是否仍然成立？请说明理由；（3）将正方形ACFG绕点A顺时针旋转至B，C，F三点在一条直线上，请画出图形，并直接写出AN的长．10．已知如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝AC，点D在AB上，DE⊥AB交BC于E，点F是AE的中点（1）写出线段FD与线段FC的关系并证明；（2）如图2，将△BDE绕点B逆时针旋转α（0°＜α＜90°），其它条件不变，线段FD 与线段FC的关系是否变化，写出你的结论并证明；（3）将△BDE绕点B逆时针旋转一周，如果BC＝4，BE＝2√2，直接写出线段BF的范围．11．定义：如图1，在△ABC和△ADE中，AB＝AC＝AD＝AE，当∠BAC+∠DAE＝180°时，我们称△ABC与△DAE互为“顶补等腰三角形”，△ABC的边BC上的高线AM叫做△ADE的“顶心距”，点A叫做“旋补中心”．特例感知：（1）在图2，图3中，△ABC与△DAE互为“顶补三角形”，AM，AN是“顶心距”．①如图2，当∠BAC＝90°时，AM与DE之间的数量关系为AM＝DE；②如图3，当∠BAC＝120°，BC＝6时，AN的长为．猜想论证：（2）在图1中，当∠BAC为任意角时，猜想AM与DE之间的数量关系，并给予证明．拓展应用（3）如图4，在四边形ABCD，AD＝AB，CD＝BC，∠B＝90°，∠A＝60°，CD＝2，在四边形ABCD的内部是否存在点P，使得△P AD与△PBC互为“顶补等腰三角形”？若存在，请给予证明，并求△PBC的“顶心距”的长；若不存在，请说明理由．12．我们定义：在△ABC中，把AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到AB'，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC'，连接B'C'．当α+β＝180°时，我们称△AB'C'叫△ABC 的“旋补三角形”，△AB'C'的边B'C'上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”．下面各图中，△AB'C'均是△ABC的“旋补三角形”，AD均是△ABC的“旋补中线”．（1）如图1，若△ABC为等边三角形，BC＝8，则AD的长等于；（2）如图2，若∠BAC＝90°，求证：AD=12BC；（3）如图3，若△ABC为任意三角形，（2）中结论还成立吗？如果成立，给予证明；如果不成立，说明理由．13．将△ABC的边AB绕点A顺时针旋转α得到AB′，边AC绕点A逆时针旋转β得到AC′，α+β＝180°，连接B′C′，作△AB′C′的中线AD．【初步感知】（1）如图①，当∠BAC＝90°，BC＝4时，AD的长为；【探究运用】（2）如图②，△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并证明．【应用延伸】（3）如图③，已知等腰△ACB，AC＝BC＝m，延长AC到D，延长CB到E，使CD＝CE＝n，将△CED绕点C顺时针旋转一周得到△CE′D′，连接BE′、AD′，若∠CBE′＝90°，求AD′的长度（用含m、n的代数式表示）．14．（1）问题发现在等腰三角形ABC中，AB＝AC，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，M是BC的中点，连接MD和ME．填空：线段AF，AG，AB之间的数量关系是；线段MD，ME之间的数量关系是．（2）拓展探究在任意三角形ABC中，分别以AB和AC为斜边向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，M是BC的中点，连接MD和ME，则MD与ME具有怎样的数量关系和位置关系？并说明理由；（3）解决问题在任意三角形ABC中，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M是BC的中点，连接MD和ME，若MD＝2，请直接写出线段DE的长．15．我们定义：如图1，在△ABC中，把AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到AB'，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC'，连接B'C'．当α+β＝180°时，我们称△AB'C'是△ABC的“旋补三角形”，△AB'C'边B'C'上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．特例感知：（1）在图2，图3中，△AB'C'是△ABC的“旋补三角形”，AD是△ABC的“旋补中线”．①如图2，当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为AD＝BC；②如图3，当∠BAC＝90°，BC＝8时，则AD长为．猜想论证：（2）在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明．拓展应用（3）如图4，在四边形ABCD，∠C＝90°，∠D＝150°，BC＝12，CD＝2√3，AB＝2√39．在四边形内部是否存在点P，使△PDC是△P AB的“旋补三角形”？若存在，给予证明，并求△P AB的“旋补中线”长；若不存在，说明理由．。