第二十二届“华杯赛”决赛小高组试题A详细解答

第二十二届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题A(小学高年级组)详细解答

【解】：∵2017

11=183+4

11

∴[201711×3] = [183×3+411×3]= 183×3+1

类似地，可知：

[2017

11

×4]= 183×4+1；[201711×5]= 183×5+1

[2017

11

×6]= 183×6+2；[201711×7]= 183×7+2；[201711×8]= 183×8+2

∴原式= 183×[3+4+5+6+7+8]+1+1+1+2+2+2=6048

【答】：所求值为6048。

【解】：假设原来四个整数分别为a,b,c,d,则按照题意所求的四个数的表达式分别为：

a+b+c

3+d,

a+b+d

3

+c

a+c+d

3

+b,

b+c+d

3

+a

∵a+b+c

3+d+a+b+d

3

+c+a+c+d

3

+b+b+c+d

3

+a=3（a+b+c+d）

3

+(a+b+c+d)=2(a+b+c+d)

∴a+b+c+d=1

2×(8+12+102

3

+91

3

)=1

2

×(20+20) =20

【答】：原来给定的4个整数的和为20。

【解】：分三种情形，共有10种不同摆法，如下图：

（1）两个点都在第一行；

（2）两个点不在同一行但相邻；

（3）两个点不在同一行且不相邻；

【答】：共有10种不同的摆放方法。

【解】：设甲的速度为V甲，乙的速度为V乙，AB两地距离为SAB，BC两地距离为SBC 根据题意可知：V甲=80÷2=40 (千米/小时) ，甲原来的速度的2倍为80(千米/小时) 所以，BC两地距离：SBC=2×80=160 (千米)

又，乙从B地到C地花了2.5小时，所以，乙的速度为：

V乙=SBC÷2.5=160÷2.5=64(千米/小时)

【答】：乙的速度为64 千米/小时。

【解】：设两个小组都参加的人数为单位1，则：

只参加书法小组的人数为72

，只参加朗诵小组的人数为5.

∴参加书法小组的总人数为

72

+1=

9

2

，参加朗诵小组的总人数为5+1=6

∴书法小组与朗诵小组人数比=92

︰6=9︰12=3:4 【答】：书法小组与朗诵小组人数比是3:4。

【解】：作DE 垂直于AB 交于E ，作CF 垂直于AB 交于F

则：S ⊿ABD =1

2

AB ×DE , S ⊿ABC =1

2

AB ×CF

∴S ⊿ABD +S ⊿ABC =1

2AB ×(DE +CF)

∵DE 、MH 和CF 都是AB 的垂线，∴DE ∥MH ∥CF

∵M 是CD 的中点，∴MH 是梯形EFCD 的中位线，从而有： MH=1

2(DE +CF)=（S ⊿ABD +S ⊿ABC ）/AB=(100+72)/20=8.6(厘米)

【答】：MH 的长度为 8.6 厘米。

【解】：根据题意，a3=S(a2)+ S(a1)= S(22)+ S(2017)=4+10=14

a4=S(a3)+ S(a2)= S(14)+ S(22)=5+4=9，类似地，我们可以算出：

a5=14，a6=14，a7=10，a8=6，a9=7，a10=13，a11=11，a12=6，a13=8，a14=14，a15=13，

a16=9，a17=13，a18=13，a19=8，a20=12，a21=11，a22=5，a23=7，a24=12，a25=10，a26=4，a27=5，a28=9，a29=14，a30=14，a31=10，a32=6

从中可以找出规律：从a4项开始，每24（注：28-4=24）个项一次循环，如下：a4= 9，a5=14，a6=14，a7=10，a8=6，……

a28= 9，a29=14，a30=14，a31=10，a32=6，……

……

∵(2017-4) ÷(28-4)=2013÷24=83余21

∴a2017= a(4+21)= a25=10

【答】：a2017等于10。

【解】：若“华”字确定了摆放位置，则“庚”和“杯”字的位置就确定了。

若“罗”字确定了摆放位置，则“金”和“赛”字的位置就确定了。

∵“华”字和“罗”字各有两种摆法，且可以任意组合，

∴不同的摆放方法总共有： 2×2=4 （种）。

【答】：不同的摆放方法总共有 4 种。

【解】：在5条直线之中，最多的相互平行的直线数量可能有：5、4、3、2、0五种情况。

若五条直线都相互平行，则n=0;

若四条直线相互平行，则另外一条直线与这4条直线各有1个交点，即n=4，

若最多三条直线相互平行，则交点的个数可能是：6、7或5，依次如下图：

若最多两条直线相互平行，则交点的个数可能是：4、6、8、7或9，依次如下图：

若没有直线相互平行，则交点的个数可能是：1、5、6、8或10，依次如下图：

综上所述，交点个数可能有：0、1、4、5、6、7、8、9、10。共有9个不同的数值。

【答】：n有9种不同的数值。

【解】：要想使吃三种水果的人数最多，则吃两种水果的人数

均为0，如右图所示：

根据题意，我们有：

70%―X＋40%―X＋30%―X＋X=100%

解方程得：X=20%

【答】：三种水果都选的学生数占学生总数至多为百分之20。