四川省宜宾市2019届高三数学第二次诊断性考试试题理

侧视方向AB CA1B1C1DCBA宜宾市2019届高三第二次诊断测试题数学（理工类）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试时间：120分钟，满分150分，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设(1i)12iz=+-()，则z的虚部为A. 1B. iC. 1- D. i-2．已知集合{}{}2,3,A x xB x x=>-=∈<Z则A B=IA.{|23}x x-<< B. {1,2} C. {0,1,2} D. {1,0,1,2}-3．一个袋子中有4个红球,2个白球,若从中任取2个球,则这2个球中有白球的概率是B.D.4．若焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程是20x y±=，则该双曲线的离心率是B. 2C.D.5．若函数()2(0,1)x mf x a n a a+=⨯->≠且的图象恒过点(1,4)-，则m n+=A. 3B. 1C. 1- D. 2-6．已知棱长都为2的正三棱柱111ABC A B C-的直观图如图，若正三棱柱111ABC A B C-绕着它的一条侧棱所在直线旋转，则它的侧视图可以为第6题图7．在ABCD Y 中，M 是DC 的中点，向量2DN NB =uuu r uuu r ，设,AB AD ==uu u r uuu r a b ，则MN =uuu rA. 1263-a bB. 1163-a +bC. 76+bD. 13-b8．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和， 若1102n a a >=，，2n S <，则{}n a 的公比的取值范围是A. 3(0,]4B. 2(0,]3C. 3(0,)4D. 2(0,)39．已知三棱锥P ABC -的四个顶点都在半径为2的球面上，AB BC CA ===，PA ABC ⊥平面，则三棱锥P ABC -的体积为B. C.94 D. 8310．要得到函数πs i n(2)4y x =+的图象，可以将函数πcos(2)6y x =-的图象B.C. 11．过直线01443=--y x 上一点P ，作圆()()22129C x y ++-=：的切线，切点分别为B A 、，则当四边形PACB 面积最小时直线AB 的方程是A. 4320x y -+=B. 3420x y -+=C. 3420x y --=D. 4320x y --=12．若关于x 的不等式ln 21x x +≤ax b +成立，则b a的最小值是 A. 12e - B. 1e - C. 1eD.12e二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。

13．数列{}n a 中，若13n n a a +=+， 2826a a +=，则12a =_____． 14．二项式9x ⎛- ⎝的展开式中常数项是_______．15．已知奇函数()f x 是定义在R 上的单调函数，若函数2()()(2||)g x f x f a x =+-恰有4个零点，则a 的取值范围是_______．DCBA 16．已知直线0(0)kx y k k --=>与抛物线x y 42=交于B A 、两点，过B 作x 轴的平行线交抛物线的准线于点M ，O 为坐标原点，若:1:2O B M O B AS S ∆∆=，则=k _____． 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必做题：共60分. 17．（12分）如图,在四边形ABCD 中,45,105ADB BAD ∠=︒∠=︒2,3BC AC ==． （1）求边AB 的长及ABC ∠cos 的值； （2）若记,α=∠ABC 求πsin(2)3α-的值． [18．（12分）艾滋病是一种危害性极大的传染病，由感染艾滋病病毒(HIV 病毒)引起，它把人体免疫系统中最重要的CD4T 淋巴细胞作为主要攻击目标，使人体丧失免疫功能．下表是近八年来我国艾滋病病毒感染人数统计表：34.3（1）请根据该统计表，画出这八年我国艾滋病病毒感染人数的折线图； （2）请用相关系数说明：能用线性回归模型拟合y 与x 的关系；（3）建立y 关于x 的回归方程(系数精确到0.01)，预测2019年我国艾滋病病毒感染人数.第17题图GF ED CBA附注：6.48；46.2,=回归方程ˆˆˆybx a =+中， 121()()ˆ,()nii i nii xx y y b xx ==--=-∑∑ˆˆ.ay bx =-19．（12分）如图，四边形ABCD 是菱形，EA ⊥平面ABCD ，//EF AC ，//CF 平面BDE ，G 是AB 中点．（1）求证：//EG 平面BCF ；（2）若AE AB =，60BAD ∠=︒， 求二面角A BE D --的余弦值．20．（12分）第18题图第19题图已知点M 到定点()0,4F 的距离和它到直线l x ：数5．（1）求点M 的轨迹C 的方程；（2）若直线l y kx m =+：与圆922=+y x 相切，切点N 在第四象限，直线与曲线C 交于B A 、两点，求证FAB ∆：的周长为定值．21．（12分）已知函数ln ()1ax xf x x =-． （1）当1a =时，判断()f x 有没有极值点?若有，求出它的极值点；若没有，请说明理由； （2）若()1f x x <+，求a 的取值范围．（二）选做题：共10分。

请考生在22,23题中任选择一题作答。

如果多做，则按所做的第一题记分。

22．（10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，抛物线C 的方程为22(0)y px p =>，以点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2sin()3πρθ-=l 与x 轴交于点M ．（1）求l 的直角坐标方程，点M 的极坐标；（2）设l 与C 相交于,A B 两点，若MB AB MA 、、成等比数列，求p 的值．23．（10分）选修4-5：不等式选讲设函数()f x x a =-．（1）若关于x 的不等式()0f x b +<的解集为(13)-，，求,a b 的值； （2）若()(1)()22f x f x g x +=+，求()g x 的最小值．[]宜宾市2019届高三第二次诊断测试题数学（理工类）参考答案二、选择题：CDBCC ，BAADA ，BD二、填空题： 2113.34(0,1)16；14.；15.；三、解答题：17.解：⑴在在ABC ∆中，;co s 2222ABC BC AB BC AB AC ∠⨯⨯-+=知18.解：⑴所求折线图如图； ………..…2分 ⑵9,56.22x y ==Q………3分46.2299.38≈ (6)分∴()()0.99nii xx y y r --=≈∑说明y 与x 的线性相关相当高，从而可用线性回归模型拟合y 与x 的关系 ………7分x9080706050403020101 2 3 4 5 6 7 8 948.2405.7+=∴Λx y ………………………………………………………………………………10分当9=x 时，93.8747.24905.7=+⨯=y∴预测201年我国艾滋病感染累积人数为93.87万人……………………………………12分 19.(1) 证明：设AC BD O =I ，连接EO OG ，Q ABCD 是菱形，O ∴是AC BD 、的中点 Q G 是AB 中点，//OG BC ∴ ，OG ⊄Q 平面BCF //OG ∴平面BCF ………2分Q //CF 平面BDE ，平面BDE I 平面ACFE EO =，//EO FC ∴EO ⊄Q 平面BCF ，//EO ∴平面BCF ，………4分 EO OG O =∴Q I ，平面EOG //平面BCF∴//EG 平面BCF ………6分(2) 由(Ⅰ)知//,EO FC AO OC =Q ，////,,//EF ACEF AO AOFE AE OF ∴∴∴=Y 得，Q EA ⊥底面ABCD ，AC BD ⊥， OAOB OC ∴，，两两垂直，………7分如图建立空间直角坐标系O xyz -，设2AE AB ==，60,,1BAD DG AB OA OB ∠=︒∴⊥==Q ，则 1(0,1,0),(0,1,0),,0),2E B D G - (0,2,0),1,2)DB BE ∴==-uuu r uu u r 设平面BDE 的法向量(,,),x y z =n 得2020yy z =⎧⎪-+=，可取(2,0,=n …9分,,,EA DG EA AB A DG EAB ⊥=∴⊥QI 平面3,0)2EAB DG ∴=uuu r 平面的法向量可取 …………………11分cos ,||||DG DG DG ⋅∴<>===⋅uuu ruuu r uuu r n n n∴二面角A BE D --…………………12分 20（12分）解：⑴设(,M x y⑵法一：设11(,),A x y A 到l 的距设为d ， []11||44425,||||,[5554AF AF d x x d =∴==-∈Q2211412595x y AN x +=∴=Q ，114455,55FA AN x x ∴+=-+=∴FAB ∆的周长为定值.10 …………………12分法二：设),,(),,(2211y x B y x A 由题知,0,0<>m kQ 直线m kx y l +=:与圆922=+y x 相切① …………………5分12122444405510()1010555259km FA FB x x x x k +=-+-=-+=+=+ …11分∴FAB ∆的周长为定值.10 ……………..…………12分21.（12分）解：()f x 定义域为011+∞U （，）（，）……………..…………1分⑴当1a =时，2ln 1(),1x x f x x --'=-（）……………..…………2分 令()ln 1g x x x =--，则11()1x g x x x-'=-=， ① 当(0,1)x ∈时，()0g x '<，()g x 为减函数，()(1)0g x g >=,()0f x '∴>,()f x 无极值点②当(1,)x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 为增函数，()(1)0g x g >=,()0f x '∴>,()f x 无极值点综上，当1a =时， ()f x 没有极值点 ……………..…………4分 ⑵ 法一：由()1f x x <+，得ln 1,1ax x x x <+-1(ln )01x a x x x x-+<-即 令1()ln ,h x a x x x=-+则21()1a h x x x '=-- ①当0a ≤时，(0,1)x ∈时ln 010x x <⎧⎨-<⎩；(1+)x ∈∞，时ln 010x x >⎧⎨->⎩， ln 11ax xx x ∴<+-成立. 0a ∴≤合题意. ……………..…………7分 ②当02a <≤时，2120x ax x ax -+≥-≥,()0h x '∴≤ 当(0,1)x ∈时，()h x 为减函数，()(1)0,h x h >=1(ln )01x a x x x x ∴-+<-成立 当(1,)x ∈+∞时，()h x 为减函数，()(1)0,h x h <=1(ln )01x a x x x x∴-+<-成立 02a <≤合题意. ……………..…………9分③当2a >时，由()0h x '=得，221040x ax a -+=∆=->，设210x ax -+=两根为1212121212,(),0,1,01x x x x x x a x x x x <∴+=>=∴<<< 由()0h x '>得，210x ax -+<，解集为12,1)(1,),x x U （ ()h x ∴在1(,1)x 上为增函数，1()(1)0,h x h <=111111(ln )01x a x x x x ∴-+>-，2a ∴>不合题意； ……………..…………11分 综上，a 的取值范围是(,2]-∞ ……………..…………12分222222222222(1)(ln 1)11(1)ln 11,(),()ln ln ln ln 2()ln 1,()0,(1)0,()(1),(1)1x x x x x x xx a F x F x x x x x x xx xG x x G x G F x F F x ++---++-+'<===''=+->=>+法二思路：分离令令易证从而再用洛必达法则求的极限值22.（10分）解：⑴由2sin()3πρθ-=sin cos y ρθθ ∴ l的直角坐标方程y =+ ……..…………3分 令0y =得点M 的直角坐标为(1,0)-, ∴点M 的极坐标为 (1,)π………5分[⑵ 由⑴知l 的倾斜角为3π,参数方程为112,x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）代入22y px =， 得23480,t pt p -+=121248,33p p t t t t ∴+== ……..…………7分 22212121212||||||,(),()5AB MB MA t t t t t t t t =⋅∴-=∴+=Q ……..…………9分 24815()5,332p p p ∴=⨯∴= ……..…………10分 23.⑴解：由()0f x b +>得，,x a b -<- 0b ≥当时，不合题意；0,b a b x a b <+<<-当时， ………………………………3分11,32a b a a b b +=-=⎧⎧∴⎨⎨-==-⎩⎩由已知得 1,2a b ==-综上， ………………………………5分 ⑵|||1|()22x a x a g x -+-=+≥≥ ………………………4分[ |||1|1,()()(1)02x a x a x a g x x a x a -=+-⎧∴=-⎨-+-≤⎩当即时，有最小值 ……………5分。