一元二次方程根的分布

方程根的分布专题讲义

一．知识要点

二次方程02=++c bx ax 的根从几何意义上来说就是抛物线c bx ax y ++=2与x 轴交点的横坐标，所以研究方程02=++c bx ax 的实根的情况，可从c bx ax y ++=2的图象上进行研究．

若在),(+∞-∞内研究方程02=++c bx ax 的实根情况，只需考察函数c bx ax y ++=2与x 轴交点个数及交点横坐标的符号，根据判别式以及韦达定理，由c bx ax y ++=2的系数可判断出

2121,,x x x x +∆的符号，从而判断出实根的情况．

若在区间),(n m 内研究二次方程02=++c bx ax ，则需由二次函数图象与区间关系来确定．

1．二次方程有且只有一个实根属于),(n m 的充要条件

若n m ,其中一个是方程的根，则由韦达定理可求出另一根．

若n m ,不是二次方程02=++c bx ax 的根，二次函数c bx ax x f ++=2)(的图象有以下几种可能：

（1）21,0x n x m a <<<> （2）n x m x a <<<>21,0

（3）21,0x n x m a <<<< （4）n x m x a <<<<21,0

由图

象可以看出，)(x f 在m x =处的值)(m f 与在n x =处的值)(n f 符号

总是相反，即0)()(<⋅n f m f ；反之，若0)()(<⋅n f m f ，)(x f 的图象的相对位置只能是图中四种情况之一．所以得出结论：

若n m ,都不是方程)0(02≠=++a c bx ax 的根，记c bx ax x f ++=2)(，则0)(=x f 有且只有一个实根属于),(n m 的充要条件是0)()(

方程)0(02≠=++a c bc ax 的两个实根都属于),(n m ，则二次函数c bx ax x f ++=2)(的图象与x 轴有两个交点或相切于点，且两个交点或切点的横坐标都大于m 小于n ，它的图象有以下几种情形：

（1）n x x m a <<<>21,0 （2）n x x m a <=<>21,0

（这里 3于n 这里

4．二次方程02=++c bx ax 的两个实根都在),(n m 的右侧的充要条件是：

二次方程02=++c bx ax 的两个实根都在),(n m 的左侧（两根都小于m ）的充要条件是： 这里c bx ax x f ++=2)(． 二．例题选讲

例１．设关于x 的方程∈=--+b b x x (0241

R ），

（1）若方程有实数解，求实数b 的取值范围；

（2）当方程有实数解时，讨论方程实根的个数，并求出方程的解。

例２．已知二次函数f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0).若方程f (x )=x 无实根，求证：方程f [f (x )]=x 也无实根． 例３．设[2,4)A =-，2{40}B x x ax =--≤，若B A ⊆，求实数a 的取值范围．

变式：已知方程x 2 + (3m -1)x + (3m -2)=0的两个根都属于( -3, 3)，且其中至少有一个根小于1，求m 的取值范围．

例４．已知方程)(0)32()1(242

R m m x m x ∈=++-+有两个负根，求m 的取值范围． 例５．求实数m 的范围，使关于x 的方程062)1(22

=++-+m x m x ． （１）有两个实根，且一个比２大，一个比２小． （２）有两个实根βα,，且满足410<<<<βα． （３）至少有一个正根．

例６． 已知关于x 的二次方程x 2+2mx +2m +1=0.

(1) 若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m 的范围. (2) 若方程两根均在区间(0，1)内，求m 的范围.

变式：已知方程2x 2 – 2(2a -1)x + a +2=0的两个根在-3与3之间，求a 的取值范围． 例７．已知二次方程02)12(2=+--+m x m mx 的两个根都小于1，求m 的取值范围． 变式：如果二次函数y =mx 2+(m －3)x +1的图象与x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，试求m 的取值范围.

例８．已知a 是实数，函数2

()223f x ax x a =+--，如果函数()y f x =在区间[]11-，上有零

点，求a 的取值范围．

二次方程实根分布的一些方法除了直接用于判别二次方程根的情况，在其它的一些场合下也可以适当运用．下面再举两个例子：

例９．求函数y = x +1

x 2-3x +2

(1

例10．已知抛物线y = 2x 2-mx +m 与直角坐标平面上两点(0,0), (1,1)为端点的线段（除去两个端点）有公共点，求m 的取值范围． 三．巩固练习

1．已知二次方程04)32()13(2=+-++-m x m x m 有且只有一个实根属于( -1, 1)，求m 的取值范围．

2．已知方程02)12(22=+⋅-+⋅m m m x x 在)1,(-∞上有两个根，求m 的取值范围．

3．已知二次方程0)1(2)12(2=-+-+m mx x m 有且只有一个实根属于（1，2），且2,1==x x 都不是方程的根，求m 的取值范围．

4．已知二次方程0)1()43()1(2=++++-m x m x m 的两个根都属于（–1，1），求m 的取值范围． 5．若关于x 的方程x 2+(a -1)x +1=0有两相异实根，且两根均在区间[0,2]上，求实数a 的取值范围． 6．二次函数f (x )=px 2+qx +r 中实数p 、q 、r 满足

m

r

m q m p ++++12=0, 其中m >0,求证