2017-2018学年湖南省衡阳八中高一五科联赛数学试题

2017年下期衡阳市八中高一五科联赛数学试题 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}1,0,1A =-，集合{}0,1,2B =，则A B =I （ ） A ．{}0,1 B ．[]0,1 C ．{}1,0,1,2- D ．[]1,2- 2．函数()()lg 212x f x x -=-的定义域为（ ）A ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭ B ．()2,+∞ C ．()1,22,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭U D ．()1,22,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭U 3．已知 1.22a =，0.812b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，62log 2c =，则,,c b a 的大小关系为（ ）A ．c b a <<B ．c a b <<C ．b c a <<D ．b a c << 4．若1sin 45x π⎛⎫-=-⎪⎝⎭，则5cos 4x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值等于（ ）A．5-B ．15-C ．15 D．55．已知函数234y x x =--的定义域是[]0,m ，值域为25,44⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，则m 的取值范围是（ ） A ．(]0,4 B ．3,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭6．函数()21log ,12,1x x f x xx ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩，则()1y f x =+的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．7．用二分法找函数()237x f x x =+-在区间[]0,4上的零点近似值，取区间中点2，则下一个存在零点的区间为（ ）A ．()0,1B ．()0,2C ．()2,3D ．()2,4 8．关于函数2tan 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，下列说法正确的是（ ） A ．是奇函数 B ．在区间7,1212ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 C ．,012π⎛⎫-⎪⎝⎭为其图象的一个对称中心 D ．最小正周期为π 9．设偶函数()f x 在()0,+∞上为减函数，且()10f -=，则不等式()0x f x ⋅<的解集为（ ）A ．()()1,01,-+∞UB ．()(),10,1-∞-UC ．()(),11,-∞-+∞UD ．()()1,00,1-U10．如果函数()f x 对任意的实数x ，都有()()1f x f x =-，且当12x ≥时，()()2log 31f x x =-，那么函数()f x 在[]2,0-的最大值与最小值之差为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．111．已知函数()()()2sin 2f x x ϕϕπ=-+<，若()f x 在区间5,58ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则ϕ的取值范围是（ ） A ．93,1010ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ B ．29,510ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．,104ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．,,104ππππ⎡⎤⎛⎫--⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭U 12．设()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意的x R ∈，都有()()22f x f x -=+，且当[]2,0x ∈-时，()122xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若在区间(]2,6-内关于x 的方程()()()log 2001a f x x a -+=<<恰有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ B．⎛ ⎝⎭ C．12⎫⎪⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．设扇形的周长为8cm ，面积为24cm ，则扇形的圆心角的弧度数是 ．14．当()0,x ∈+∞时，幂函数()2531m y m m x --=--为减函数，则实数m 的值为 ．15．某教室一天的温度（单位：℃）随时间（单位：h ）变化近似地满足函数关系：()202sin 246f t t ππ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，[]0,24t ∈，则该天教室的最大温差为 ℃．16．下列说法正确的是 ． ①任意x R ∈，都有32xx>；②函数()22xf x x =-有三个零点；③12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的最大值为1；④函数y =为偶函数；⑤不等式()2110x a x +-+≥在1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，则实数a 的取值范围为(],3-∞. 三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．设全集U R =，集合{}24A x x =≤<，2837122x x B x --⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≥⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭. （1）求A B U ，()U C A B I ；（2）若集合{}20C x x a =+>，且B C C =U ，求a 的取值范围.18．（1）已知()()()()3sin cos cos 2cos sin 2f ππαπαααπαπα⎛⎫--+ ⎪⎝⎭=⎛⎫++ ⎪⎝⎭，若α为第二象限角，且2cos 25πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求()f α的值；（2）已知tan 3α=，求222sin sin cos cos αααα+-的值.19．已知函数(),xxf x e a e x R -=+⋅∈.（1）当1a =时，证明：()f x 为偶函数；（2）若()f x 在[)0,+∞上单调递增，求实数a 的取值范围；（3）若1a =，求实数m 的取值范围，使()()221m f x f x +≥+⎡⎤⎣⎦在R 上恒成立. 20．将函数sin y x =的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移6π个单位长度后得到函数()f x 的图象. （1）写出函数()f x 的解析式；（2）求函数()f x 数的单调递增区间与对称中心的坐标；（3）求实数a 和正整数n ，使得()()F x f x a =-在[]0,n π上恰有2017个零点.21．某投资人欲将5百万元奖金投入甲、乙两种理财产品，根据银行预测，甲、乙两种理财产品的收益与投入奖金t 的关系式分别为1110y at =，2y =其中a 为常数且02a <≤.设对乙种产品投入奖金x 百万元，其中14x ≤≤． （1）当13a =时，如何进行投资才能使得总收益y 最大；（总收益12y y y =+） （2）银行为了吸储，考虑到投资人的收益，无论投资人奖金如何分配，要使得总收益不低于21520a +，求a 的取值范围． 22．定义在D 上的函数()f x ，如果满足：对任意x D ∈，存在常数0M >，都有()f x M ≤成立，则称()f x 是D 上的有界函数，其中M 称为()f x 的上界．已知函数()124x xb c f x a ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（1）当1a b c ===时，求函数()f x 在(),0-∞上的值域，并判断函数()f x 在(),0-∞上是否有上界，请说明理由；（2）若1b c ==，函数()f x 在[)0,+∞是以3为上界的有界函数，求实数a 的取值范围； （3）已知s 为正整数，当1,1,0a b c ==-=时，是否存在整数λ，使得对任意的*n N ∈，不等式()2s f n s λ≤≤+恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．2017年下期衡阳市八中高一五科联赛数学试题答案一、选择题1-5:ADACC 6-10:BBCAC 11、12：CC 二、填空题13．2 14．2 15．3 16．②③⑤ 三、解答题 17．解：（1）由2837122x x --⎛⎫≥ ⎪⎝⎭得3782x x -≥-，解得3x ≥，∴{}3B x x =≥.∴{}24A B x x =≤<U U {}{}32x x x x ≥=≥. 又{}24U C A x x x =<≥或∴(){}24U C A B x x x =<≥或I {}{}34x x x x ≥=≥I（2）由题意得2a C x x ⎧⎫=>-⎨⎬⎩⎭∵B C C =U ，∴B C ⊆∴32a-<，解得6a >-. ∴实数a 的取值范围为()6,+∞.18．解：（1）()()()()3sin cos cos 2cos sin 2f ππαπαααπαπα⎛⎫--+ ⎪⎝⎭=⎛⎫++ ⎪⎝⎭()()()sin cos sin cos sin sin αααααα-==---.∵2cos 25πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴2sin 5α=， 又因为4π为第二象限角，所以cos 5α===-，∴()5f α=. （2）因为tan 3α=，所以222sin sin cos cos αααα+-22222sin sin cos cos sin cos αααααα+-=+222tan tan 1tan 1ααα+-==+2223312023110⨯+-==+19．解：（1）当1a =时，()x x f x e e -=+，定义域(),-∞+∞关于原点对称， 而()()x x f x e e f x --=+=，说明()f x 为偶函数； （2）在[)0,+∞上任取12x x 、，且12x x <， 则()()()112212x x x x f x f x e aee ae---=+-+()()121212x x x x x x ee e a e++--=.因为12x x <函数xy e =为增函数，得12xxe e <，120xx e e-<，而()f x 在[)0,+∞上单调递增，得()()12f x f x <，()()120f x f x -<， 于是必须120x x e a +->恒成立，即12x x a e +<对任意的120x x ≤<恒成立，∴1a ≤；（3）由（1）、（2）知函数()f x 在(],0-∞上递减，在[)0,+∞上递增， 其最小值()02f =，且()()22222xx x x f x ee e e --=+=+-，设x xt e e -=+，则[)2,t ∈+∞，110,2t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦于是不等式()()221m f x f x ⋅+≥+⎡⎤⎣⎦恒成立， 等价于21m t t ⋅≥+，即21t m t +≥恒成立， 而22211111124t t t t t +⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，仅当112t =，即2t =时取最大值34，故34m ≥. 20．解：（1）()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭； （2）5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；,0,26k k Z ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭； （3）问题可转化为研究直线y a =与曲线()y f x =的交点情况.()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[]0,π上的草图为：当1a >或1a <-时，直线y a =与曲线()y f x =没有交点；当1a =或1a =-时，直线y a =与曲线()y f x = []0,π上有1个交点， 由函数()y f x =的周期性可知 此时2017n =；1a <<，1a -<<时，直线y a =与曲线()y f x = []0,π上有2个交点， 由函数()y f x =的周期性可知，直线y a =与曲线()y f x = []0,n π上总有偶数个交点；当a =y a =与曲线()y f x = []0,π上有3个交点， 由函数()y f x =的周期性及图像可知，此时1008n =.综上所述，当1a =，2017n =或1a =-，2017n =，或a =1008n =时， ()()F x f x a =-在[]0,n π上恰有2017个零点.21．解：（1）当13a =时，()12115103y y y x =+=⨯⨯-+)14x =≤≤令t =12t ≤≤，23530t t y -++=，其图象的对称轴[]31,22t =∈∴当32t =时，总收益y 有最大值，此时94x =，1154x -=. 即甲种产品投资94百万元，乙种产品投资114百万元时，总收益最大（2）由题意知()5101010a x ax a y --=+=21520a ≥+恒成立，即12ax a -≥恒成立，令()g x ax a =-，设t =[]1,2t ∈则()2g t at t a =-++，其图象的对称轴为12t a=， ①当3122a ≥，即123a ≤≤时，可得()()min 12232g t g a ==-≥，则12a ≤，∴1132a ≤≤ ②当3122a <，即103a <<时，可得()()min 1112g t g ==≥恒成立，∴103a << 综上可得102a <≤，∴实数a 的取值范围是10,2⎛⎤⎥⎝⎦. 22．解：（1）当1a b c ===时，()11124xxf x ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，易知()f x 在(),0-∞上单调递减，∴()()03f x f >=． ∴()f x 在(),0-∞上的值域为()3,+∞．∴不存在常数0M >，使得()f x M ≤成立，∴()f x 在(),0-∞上没有上界．（2）由题意知，()3f x ≤在[)0,+∞上恒成立．令1,012xt t ⎛⎫=<≤ ⎪⎝⎭，∴题意等价于2313at t -≤++≤在(]0,1t ∈上恒成立．42t a t t t⇔--≤≤-在(]0,1t ∈上恒成立．max min42t a t t t ⎛⎫⎛⎫⇔--≤≤- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 设()4g t t t =--，()2h t t t=-，01t <≤ 易知()h t 在(]0,1上递减．令1201t t <<≤，有()()12121244g t g t t t t t ⎛⎫⎛⎫-=----- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()21211240t t t t t t --=<∴()g t 在(]0,1上递增．∴()()max 15g t g ==-，()()min 11h t h ==．∴实数a 的取值范围是[]5,1-.（3）当1,1,0a b c ==-=时，()1102nf n ⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭，∴题意等价于2111122nns s λ+≤≤⎛⎫⎛⎫+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对任意的*n N ∈恒成立．∵当n 为正奇数时，111122n⎛⎫≤+-< ⎪⎝⎭；当n 为正偶数时，151124n⎛⎫<+-≤ ⎪⎝⎭，∴()4225s s λ≤≤+．∴当()4225s s >+，即43s >时，不存在满足题意的λ； 当()4225s s ≤+，即403s <≤时，存在满足题意的λ，且()42,25s s λ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦． ∵s 为正整数，∴1s =．此时，122,5λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∵λ为整数，∴2λ=．。