[推荐学习]高考数学总复习(讲+练+测)： 专题9.3 圆的方程(测)
高考数学总复习(基础知识+高频考点+解题训练)圆的方程
圆_的_方_程[知识能否忆起]1．圆的定义及方程2．点与圆的位置关系点M (x 0，y 0)与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系： (1)若M (x 0，y 0)在圆外，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2. (2)若M (x 0，y 0)在圆上，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2. (3)若M (x 0，y 0)在圆内，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2.[小题能否全取]1．(教材习题改编)方程x 2＋y 2＋4mx －2y ＋5m ＝0表示圆的充要条件是( ) A.14＜m ＜1 B ．m ＜14或m ＞1C ．m ＜14D ．m ＞1解析：选B 由(4m )2＋4－4×5m ＞0得m ＜14或m ＞1.2．(教材习题改编)点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4内，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－1,1)B ．(0,1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(1，＋∞)解析：选A ∵点(1,1)在圆的内部， ∴(1－a )2＋(1＋a )2＜4， ∴－1＜a ＜1.3．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为( ) A ．x 2＋(y －2)2＝1B ．x 2＋(y ＋2)2＝1 C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1D ．x 2＋(y －3)2＝1解析：选A 设圆心坐标为(0，b )，则由题意知0－12＋b －22＝1，解得b ＝2，故圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.4．(2012·潍坊调研)圆x 2－2x ＋y 2－3＝0的圆心到直线x ＋3y －3＝0的距离为________． 解析：圆心(1,0)，d ＝|1－3|1＋3＝1.答案：15．(教材习题改编)圆心在原点且与直线x ＋y －2＝0相切的圆的方程为 ____________________．解析：设圆的方程为x 2＋y 2＝a 2(a ＞0) ∴|2|1＋1＝a ，∴a ＝2， ∴x 2＋y 2＝2. 答案：x 2＋y 2＝21.方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是： (1)B ＝0；(2)A ＝C ≠0；(3)D 2＋E 2－4AF ＞0.2．求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算． (1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上． (2)圆心在任一弦的中垂线上．(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．典题导入[例1] (1)(2012·顺义模拟)已知圆C 关于y 轴对称，经过点(1,0)且被x 轴分成两段弧长之比为1∶2，则圆C 的方程为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ±332＋y 2＝43B.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ±332＋y 2＝13 C ．x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ±332＝43D ．x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫y ±332＝13(2)已知圆C 经过A (5,1)，B (1,3)两点，圆心在x 轴上，则圆C 的方程为________________． [自主解答] (1)由已知知圆心在y 轴上，且被x 轴所分劣弧所对圆心角为2π3，设圆心(0，b )，半径为r ，则r sin π3＝1，r cos π3＝|b |，解得r ＝23，|b |＝33，即b ＝±33.故圆的方程为x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ±332＝43. (2)圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋F ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧26＋5D ＋F ＝0，10＋D ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－4，F ＝－6.圆C 的方程为x 2＋y 2－4x －6＝0. [答案] (1)C (2)x 2＋y 2－4x －6＝0由题悟法1．利用待定系数法求圆的方程关键是建立关于a ，b ，r 或D ，E ，F 的方程组．2．利用圆的几何性质求方程可直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程，体现了数形结合思想的运用．以题试法1．(2012·浙江五校联考)过圆x 2＋y 2＝4外一点P (4,2)作圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则△ABP 的外接圆的方程是( )A ．(x －4)2＋(y －2)2＝1 B ．x 2＋(y －2)2＝4 C ．(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝5D ．(x －2)2＋(y －1)2＝5解析：选D 易知圆心为坐标原点O ，根据圆的切线的性质可知OA ⊥PA ，OB ⊥PB ，因此P ，A ，O ，B 四点共圆，△PAB 的外接圆就是以线段OP 为直径的圆，这个圆的方程是(x －2)2＋(y －1)2＝5.与圆有关的最值问题典题导入[例2] (1)(2012·湖北高考)过点P (1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为( )A ．x ＋y －2＝0B ．y －1＝0C ．x －y ＝0D ．x ＋3y －4＝0(2)P (x ，y )在圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝1上移动，则x 2＋y 2的最小值为________．[自主解答] (1)当圆心与P 的连线和过点P 的直线垂直时，符合条件．圆心O 与P 点连线的斜率k ＝1，∴直线OP 垂直于x ＋y －2＝0.(2)由C (1,1)得|OC |＝2，则|OP |min ＝2－1，即(x 2＋y 2)min ＝2－1.所以x 2＋y 2的最小值为(2－1)2＝3－2 2.[答案] (1)A (2)3－2 2由题悟法解决与圆有关的最值问题的常用方法(1)形如u ＝y －bx －a的最值问题，可转化为定点(a ，b )与圆上的动点(x ，y )的斜率的最值问题(如A 级T 9)； (2)形如t ＝ax ＋by 的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题(如以题试法2(2))； (3)形如(x －a )2＋(y －b )2的最值问题，可转化为动点到定点的距离的最值问题(如例(2))．以题试法2．(1)(2012·东北三校联考)与曲线C ：x 2＋y 2＋2x ＋2y ＝0相内切，同时又与直线l ：y ＝2－x 相切的半径最小的圆的半径是________．(2)已知实数x ，y 满足(x －2)2＋(y ＋1)2＝1则2x －y 的最大值为________，最小值为________． 解析：(1)依题意，曲线C 表示的是以点C (－1，－1)为圆心，2为半径的圆，圆心C (－1，－1)到直线y ＝2－x 即x ＋y －2＝0的距离等于|－1－1－2|2＝22，易知所求圆的半径等于22＋22＝322.(2)令b ＝2x －y ，则b 为直线2x －y ＝b 在y 轴上的截距的相反数，当直线2x －y ＝b 与圆相切时，b 取得最值．由|2×2＋1－b |5＝1.解得b ＝5±5，所以2x －y 的最大值为5＋5，最小值为5－ 5.答案：(1)322 (2)5＋ 5 5－ 5与圆有关的轨迹问题典题导入[例3] (2012·正定模拟)如图，已知点A (－1,0)与点B (1,0)，C 是圆x 2＋y 2＝1上的动点，连接BC 并延长至D ，使得|CD |＝|BC |，求AC 与OD 的交点P 的轨迹方程．[自主解答] 设动点P (x ，y )，由题意可知P 是△ABD 的重心． 由A (－1,0)，B (1,0)，令动点C (x 0，y 0)， 则D (2x 0－1,2y 0)，由重心坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋1＋2x 0－13，y ＝2y 03，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3x ＋12，y 0＝3y2y 0≠0，代入x 2＋y 2＝1，整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋132＋y 2＝49(y ≠0)，故所求轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋132＋y 2＝49(y ≠0)．由题悟法求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法： (1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． (2)定义法：根据直线、圆、圆锥曲线等定义列方程． (3)几何法：利用圆与圆的几何性质列方程．(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．以题试法3．(2012·郑州模拟)动点P 到点A (8,0)的距离是到点B (2,0)的距离的2倍，则动点P 的轨迹方程为( )A ．x 2＋y 2＝32 B ．x 2＋y 2＝16 C ．(x －1)2＋y 2＝16D ．x 2＋(y －1)2＝16解析：选B 设P (x ，y )，则由题意可得2x －22＋y 2＝x －82＋y 2，化简整理得x 2＋y 2＝16.1．圆(x ＋2)2＋y 2＝5关于原点P (0,0)对称的圆的方程为( ) A ．(x －2)2＋y 2＝5 B ．x 2＋(y －2)2＝5C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝5D ．x 2＋(y ＋2)2＝5解析：选A 圆上任一点(x ，y )关于原点对称点为(－x ，－y )在圆(x ＋2)2＋y 2＝5上，即(－x ＋2)2＋(－y )2＝5.即(x －2)2＋y 2＝5.2．(2012·辽宁高考)将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是( ) A ．x ＋y －1＝0 B ．x ＋y ＋3＝0 C ．x －y ＋1＝0D ．x －y ＋3＝0解析：选C 要使直线平分圆，只要直线经过圆的圆心即可，圆心坐标为(1,2)．A ，B ，C ，D 四个选项中，只有C 选项中的直线经过圆心．3．(2012·青岛二中期末)若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是( )A ．(x －3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －732＝1B ．(x －2)2＋(y －1)2＝1C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋(y －1)2＝1 解析：选B 依题意设圆心C (a,1)(a ＞0)，由圆C 与直线4x －3y ＝0相切，得|4a －3|5＝1，解得a ＝2，则圆C 的标准方程是(x －2)2＋(y －1)2＝1.4．(2012·海淀检测)点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1解析：选 A 设圆上任一点为Q (x 0，y 0)，PQ 的中点为M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋x 02，y ＝－2＋y2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2.因为点Q 在圆x 2＋y 2＝4上，所以(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，即(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.5．(2013·杭州模拟)若圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋5a ＝0，关于直线y ＝x ＋2b 成轴对称图形，则a －b 的取值范围是( )A ．(－∞，4)B ．(－∞，0)C ．(－4，＋∞)D ．(4，＋∞)解析：选A 将圆的方程变形为(x －1)2＋(y ＋3)2＝10－5a ，可知，圆心为(1，－3)，且10－5a ＞0，即a ＜2.∵圆关于直线y ＝x ＋2b 对称，∴圆心在直线y ＝x ＋2b 上，即－3＝1＋2b ，解得b ＝－2，∴a －b ＜4.6．已知点M 是直线3x ＋4y －2＝0上的动点，点N 为圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1上的动点，则|MN |的最小值是( )A.95 B ．1 C.45D.135解析：选C 圆心(－1，－1)到点M 的距离的最小值为点(－1，－1)到直线的距离d ＝|－3－4－2|5＝95，故点N 到点M 的距离的最小值为d －1＝45. 7．如果三角形三个顶点分别是O (0,0)，A (0,15)，B (－8,0)，则它的内切圆方程为________________． 解析：因为△AOB 是直角三角形，所以内切圆半径为r ＝|OA |＋|OB |－|AB |2＝15＋8－172＝3，圆心坐标为(－3,3)，故内切圆方程为(x ＋3)2＋(y －3)2＝9.答案：(x ＋3)2＋(y －3)2＝98．(2013·河南三市调研)已知圆C 的圆心与抛物线y 2＝4x 的焦点关于直线y ＝x 对称，直线4x －3y －2＝0与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝6，则圆C 的方程为__________．解析：设所求圆的半径是R ，依题意得，抛物线y 2＝4x 的焦点坐标是(1,0)，则圆C 的圆心坐标是(0,1)，圆心到直线4x －3y －2＝0的距离d ＝|4×0－3×1－2|42＋－32＝1，则R 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22＝10，因此圆C 的方程是x 2＋(y －1)2＝10.答案：x 2＋(y －1)2＝109．(2012·南京模拟)已知x ，y 满足x 2＋y 2＝1，则y －2x －1的最小值为________． 解析：y －2x －1表示圆上的点P (x ，y )与点Q (1,2)连线的斜率，所以y －2x －1的最小值是直线PQ 与圆相切时的斜率．设直线PQ 的方程为y －2＝k (x －1)即kx －y ＋2－k ＝0.由|2－k |k 2＋1＝1得k ＝34，结合图形可知，y －2x －1≥34，故最小值为34. 答案：3410．过点C (3,4)且与x 轴，y 轴都相切的两个圆的半径分别为r 1，r 2，求r 1r 2. 解：由题意知，这两个圆的圆心都在第一象限， 且在直线y ＝x 上，故可设两圆方程为(x －a )2＋(y －a )2＝a 2，(x －b )2＋(y －b )2＝b 2， 且r 1＝a ，r 2＝b .由于两圆都过点C ，则(3－a )2＋(4－a )2＝a 2，(3－b )2＋(4－b )2＝b 2即a 2－14a ＋25＝0，b 2－14b ＋25＝0. 则a 、b 是方程x 2－14x ＋25＝0的两个根． 故r 1r 2＝ab ＝25.11．已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1,0)和B (3,4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD |＝410.(1)求直线CD 的方程； (2)求圆P 的方程．解：(1)直线AB 的斜率k ＝1，AB 的中点坐标为(1,2)． 则直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)， 即x ＋y －3＝0.(2)设圆心P (a ，b )，则由P 在CD 上得a ＋b －3＝0.① 又∵直径|CD |＝410，∴|PA |＝210， ∴(a ＋1)2＋b 2＝40.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－2.∴圆心P (－3,6)或P (5，－2)． ∴圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40 或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40.12．(2012·吉林摸底)已知关于x ，y 的方程C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0.(1)当m 为何值时，方程C 表示圆；(2)在(1)的条件下，若圆C 与直线l ：x ＋2y －4＝0相交于M 、N 两点，且|MN |＝455，求m 的值． 解：(1)方程C 可化为(x －1)2＋(y －2)2＝5－m ，显然只要5－m ＞0，即m ＜5时方程C 表示圆． (2)因为圆C 的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5－m ，其中m ＜5，所以圆心C (1,2)，半径r ＝5－m ， 则圆心C (1,2)到直线l ：x ＋2y －4＝0的距离为d ＝|1＋2×2－4|12＋22＝15， 因为|MN |＝455，所以12|MN |＝255，所以5－m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫152＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2552， 解得m ＝4.1．(2012·常州模拟)以双曲线x 26－y 23＝1的右焦点为圆心且与双曲线的渐近线相切的圆的方程是( )A ．(x －3)2＋y 2＝1 B ．(x －3)2＋y 2＝3 C ．(x －3)2＋y 2＝3D ．(x －3)2＋y 2＝9解析：选B 双曲线的渐近线方程为x ±2y ＝0，其右焦点为(3,0)，所求圆半径r ＝|3|12＋±22＝3，所求圆方程为(x －3)2＋y 2＝3.2．由直线y ＝x ＋2上的点P 向圆C ：(x －4)2＋(y ＋2)2＝1引切线PT (T 为切点)，当|PT |最小时，点P 的坐标是( )A ．(－1,1)B ．(0,2)C ．(－2,0)D ．(1,3)解析：选B 根据切线长、圆的半径和圆心到点P 的距离的关系，可知|PT |＝|PC |2－1，故|PT |最小时，即|PC |最小，此时PC 垂直于直线y ＝x ＋2，则直线PC 的方程为y ＋2＝－(x －4)，即y ＝－x ＋2，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋2，y ＝－x ＋2，解得点P 的坐标为(0,2)．3．已知圆M 过两点C (1，－1)，D (－1,1)，且圆心M 在x ＋y －2＝0上．(1)求圆M 的方程；(2)设P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，PA 、PB 是圆M 的两条切线，A ，B 为切点，求四边形PAMB 面积的最小值．解：(1)设圆M 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)． 根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a 2＋－1－b 2＝r 2，－1－a 2＋1－b2＝r 2，a ＋b －2＝0.解得a ＝b ＝1，r ＝2，故所求圆M 的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4.(2)因为四边形PAMB 的面积S ＝S △PAM ＋S △PBM＝12|AM |·|PA |＋12|BM |·|PB |， 又|AM |＝|BM |＝2，|PA |＝|PB |，所以S ＝2|PA |，而|PA |＝|PM |2－|AM |2＝|PM |2－4，即S ＝2|PM |2－4.因此要求S 的最小值，只需求|PM |的最小值即可，即在直线3x ＋4y ＋8＝0上找一点P ，使得|PM |的值最小，所以|PM |min ＝|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3，所以四边形PAMB 面积的最小值为S ＝2|PM |2min －4＝232－4＝2 5.1．在圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E (0,1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )A ．5 2B ．10 2C ．15 2D ．20 2 解析：选B 由题意可知，圆的圆心坐标是(1,3)，半径是10，且点E (0,1)位于该圆内，故过点E (0,1)的最短弦长|BD |＝210－12＋22＝25(注：过圆内一定点的最短弦是以该点为中点的弦)，过点E (0,1)的最长弦长等于该圆的直径，即|AC |＝210，且AC ⊥BD ，因此四边形ABCD 的面积等于12|AC |×|BD |＝12×210×25＝10 2.2．已知两点A (－2,0)，B (0,2)，点C 是圆x 2＋y 2－2x ＝0上任意一点，则△ABC 面积的最小值是________． 解析：l AB ：x －y ＋2＝0，圆心(1,0)到l 的距离d ＝32， 则AB 边上的高的最小值为32－1. 故△ABC 面积的最小值是12×22×⎝ ⎛⎭⎪⎫32－1＝3－ 2. 答案：3－ 23．(2012·抚顺调研)已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A (2,0)，B (1，1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点．(1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程．解：(1)设AP 的中点为M (x ，y )，由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x －2,2y )．因为P 点在圆x 2＋y 2＝4上，所以(2x －2)2＋(2y )2＝4.故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1.(2)设PQ 的中点为N (x ，y )，在Rt △PBQ 中，|PN |＝|BN |，设O 为坐标原点，连接ON ，则ON ⊥PQ ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.。
2020届高考数学(理)一轮复习讲义 9.3 圆的方程
§9.3圆的方程圆的定义与方程概念方法微思考1．二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的条件是什么？ 提示 ⎩⎪⎨⎪⎧A ＝C ≠0，B ＝0，D 2＋E 2－4AF >0.2．已知⊙C ：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则“E ＝F ＝0且D <0”是“⊙C 与y 轴相切于原点”的什么条件？提示 由题意可知，⊙C 与y 轴相切于原点时，圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－D2，0，而D 可以大于0，所以“E ＝F ＝0且D <0”是“⊙C 与y 轴相切于原点”的充分不必要条件． 3．如何确定圆的方程？其步骤是怎样的？提示 确定圆的方程的主要方法是待定系数法，大致步骤： (1)根据题意，选择标准方程或一般方程．(2)根据条件列出关于a ，b ，r 或D ，E ，F 的方程组． (3)解出a ，b ，r 或D ，E ，F 代入标准方程或一般方程． 4．点与圆的位置关系有几种？如何判断？ 提示 点和圆的位置关系有三种．已知圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，点M (x 0，y 0) (1)点在圆上：(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2； (2)点在圆外：(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2； (3)点在圆内：(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2.题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)确定圆的几何要素是圆心与半径．( √ )(2)已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则以AB 为直径的圆的方程是(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.( √ )(3)方程x 2＋2ax ＋y 2＝0一定表示圆．( × )(4)若点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0外，则x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F >0.( √ )(5)方程(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝t 2(t ∈R )表示圆心为(a ，b )，半径为t 的圆．( × ) 题组二 教材改编2．圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( )A ．(x －1)2＋(y －1)2＝1B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1C ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2D ．(x －1)2＋(y －1)2＝2答案 D解析 因为圆心为(1,1)且过原点，所以该圆的半径r ＝12＋12＝2，则该圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.3．以点(3，－1)为圆心，并且与直线3x ＋4y ＝0相切的圆的方程是( ) A ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －3)2＋(y －1)2＝1 C ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝1 D ．(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝1 答案 A4．圆C 的圆心在x 轴上，并且过点A (－1,1)和B (1,3)，则圆C 的方程为______________． 答案 (x －2)2＋y 2＝10 解析 设圆心坐标为C (a,0)， ∵点A (－1,1)和B (1,3)在圆C 上， ∴|CA |＝|CB |，即(a ＋1)2＋1＝(a －1)2＋9， 解得a ＝2， ∴圆心为C (2,0)，半径|CA |＝(2＋1)2＋1＝10， ∴圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝10. 题组三 易错自纠5．若方程x 2＋y 2＋mx －2y ＋3＝0表示圆，则m 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) B ．(－∞，－22)∪(22，＋∞) C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞) D ．(－∞，－23)∪(23，＋∞) 答案 B 解析 将x 2＋y 2＋mx －2y ＋3＝0化为圆的标准方程得⎝⎛⎭⎫x ＋m 22＋(y －1)2＝m24－2. 由其表示圆可得m 24－2>0，解得m <－22或m >2 2.6．若点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，则实数a 的取值范围是( ) A ．－1<a <1B ．0<a <1C．a>1或a<－1 D．a＝±4答案 A解析∵点(1,1)在圆内，∴(1－a)2＋(a＋1)2<4，即－1<a<1.7．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是()A．(x－2)2＋(y－1)2＝1B．(x－2)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1D．(x－3)2＋(y－1)2＝1答案 A解析由于圆心在第一象限且与x轴相切，可设圆心为(a,1)(a>0)，又圆与直线4x－3y＝0相切，∴|4a－3|5＝1，解得a＝2或a＝－12(舍去)．∴圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1. 故选A.题型一 圆的方程例1 (1)已知圆E 经过三点A (0,1)，B (2,0)，C (0，－1)，且圆心在x 轴的正半轴上，则圆E 的标准方程为( ) A.⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝254 B.⎝⎛⎭⎫x ＋342＋y 2＝2516 C.⎝⎛⎭⎫x －342＋y 2＝2516 D.⎝⎛⎭⎫x －342＋y 2＝254答案 C解析 方法一 (待定系数法)根据题意，设圆E 的圆心坐标为(a,0)(a >0)，半径为r ，则圆E 的标准方程为(x －a )2＋y 2＝r 2(a >0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋12＝r 2，(2－a )2＝r 2，a 2＋(－1)2＝r 2，解得⎩⎨⎧a ＝34，r 2＝2516，所以圆E 的标准方程为⎝⎛⎭⎫x －342＋y 2＝2516. 方法二 (待定系数法)设圆E 的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)， 则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1＋E ＋F ＝0，4＋2D ＋F ＝0，1－E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－32，E ＝0，F ＝－1，所以圆E 的一般方程为x 2＋y 2－32x －1＝0，即⎝⎛⎭⎫x －342＋y 2＝2516.方法三 (几何法)因为圆E 经过点A (0,1)，B (2,0)，所以圆E 的圆心在线段AB 的垂直平分线y －12＝2(x －1)上．又圆E 的圆心在x 轴的正半轴上， 所以圆E 的圆心坐标为⎝⎛⎭⎫34，0. 则圆E 的半径为|EB |＝⎝⎛⎭⎫2－342＋(0－0)2＝54，所以圆E 的标准方程为⎝⎛⎭⎫x －342＋y 2＝2516. (2)(2018·鞍山模拟)已知圆C 的圆心在直线x ＋y ＝0上，圆C 与直线x －y ＝0相切，且在直线x －y －3＝0上截得的弦长为6，则圆C 的方程为____________． 答案 (x －1)2＋(y ＋1)2＝2解析 方法一 所求圆的圆心在直线x ＋y ＝0上， ∴设所求圆的圆心为(a ，－a )． 又∵所求圆与直线x －y ＝0相切， ∴半径r ＝2|a |2＝2|a |.又所求圆在直线x －y －3＝0上截得的弦长为6， 圆心(a ，－a )到直线x －y －3＝0的距离d ＝|2a －3|2，∴d 2＋⎝⎛⎭⎫622＝r 2，即(2a －3)22＋32＝2a 2，解得a ＝1，∴圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2. 方法二 设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)， 则圆心(a ，b )到直线x －y －3＝0的距离d ＝|a －b －3|2，∴r 2＝(a －b －3)22＋32，即2r 2＝(a －b －3)2＋3.① 由于所求圆与直线x －y ＝0相切，∴(a －b )2＝2r 2.② 又∵圆心在直线x ＋y ＝0上，∴a ＋b ＝0.③联立①②③，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，r ＝2，故圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.方法三 设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则圆心为⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2，半径r ＝12D 2＋E 2－4F ， ∵圆心在直线x ＋y ＝0上， ∴－D 2－E2＝0，即D ＋E ＝0，①又∵圆C 与直线x －y ＝0相切，∴⎪⎪⎪⎪－D 2＋E 22＝12D 2＋E 2－4F ， 即(D －E )2＝2(D 2＋E 2－4F )， ∴D 2＋E 2＋2DE －8F ＝0.②又知圆心⎝⎛⎭⎫－D 2，－E2到直线x －y －3＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪－D 2＋E 2－32，由已知得d 2＋⎝⎛⎭⎫622＝r 2， ∴(D －E ＋6)2＋12＝2(D 2＋E 2－4F )，③ 联立①②③，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝2，F ＝0，故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0， 即(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.思维升华 (1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程． (2)待定系数法①若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，求出a ，b ，r 的值； ②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，进而求出D ，E ，F 的值． 跟踪训练1 一个圆与y 轴相切，圆心在直线x －3y ＝0上，且在直线y ＝x 上截得的弦长为27，则该圆的方程为_____________．答案 x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0或x 2＋y 2＋6x ＋2y ＋1＝0 解析 方法一 ∵所求圆的圆心在直线x －3y ＝0上， ∴设所求圆的圆心为(3a ，a )， 又所求圆与y 轴相切，∴半径r ＝3|a |，又所求圆在直线y ＝x 上截得的弦长为27，圆心(3a ，a )到直线y ＝x 的距离d ＝|2a |2，∴d 2＋(7)2＝r 2，即2a 2＋7＝9a 2，∴a ＝±1.故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9，即x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0或x 2＋y 2＋6x ＋2y ＋1＝0.方法二 设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 则圆心(a ，b )到直线y ＝x 的距离为|a －b |2，∴r 2＝(a －b )22＋7，即2r 2＝(a －b )2＋14.① 由于所求圆与y 轴相切，∴r 2＝a 2，②又∵所求圆的圆心在直线x －3y ＝0上，∴a －3b ＝0，③ 联立①②③，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝1，r 2＝9或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－1，r 2＝9.故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9，即x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0或x 2＋y 2＋6x ＋2y ＋1＝0.方法三 设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－D 2，－E2， 半径r ＝12D 2＋E 2－4F .在圆的方程中，令x ＝0，得y 2＋Ey ＋F ＝0. 由于所求圆与y 轴相切，∴Δ＝0，则E 2＝4F .① 圆心⎝⎛⎭⎫－D 2，－E2到直线y ＝x 的距离为 d ＝⎪⎪⎪⎪－D 2＋E 22，由已知得d 2＋(7)2＝r 2，即(D －E )2＋56＝2(D 2＋E 2－4F )．② 又圆心⎝⎛⎭⎫－D 2，－E2在直线x －3y ＝0上， ∴D －3E ＝0.③联立①②③，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－6，E ＝－2，F ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧D ＝6，E ＝2，F ＝1.故所求圆的方程为x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0或x 2＋y 2＋6x ＋2y ＋1＝0.题型二 与圆有关的轨迹问题例2 已知Rt △ABC 的斜边为AB ，且A (－1,0)，B (3,0)．求： (1)直角顶点C 的轨迹方程； (2)直角边BC 的中点M 的轨迹方程．解 (1)方法一 设C (x ，y )，因为A ，B ，C 三点不共线，所以y ≠0. 因为AC ⊥BC ，且BC ，AC 斜率均存在，所以k AC ·k BC ＝－1， 又k AC ＝y x ＋1，k BC ＝y x －3，所以y x ＋1·y x －3＝－1，化简得x 2＋y 2－2x －3＝0.因此，直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(y ≠0)．方法二 设AB 的中点为D ，由中点坐标公式得D (1,0)，由直角三角形的性质知|CD |＝12|AB |＝2.由圆的定义知，动点C 的轨迹是以D (1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A ，B ，C 三点不共线，所以应除去与x 轴的交点)．所以直角顶点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0)．(2)设M (x ，y )，C (x 0，y 0)，因为B (3,0)，M 是线段BC 的中点，由中点坐标公式得x ＝x 0＋32，y ＝y 0＋02，所以x 0＝2x －3，y 0＝2y .由(1)知，点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0)， 将x 0＝2x －3，y 0＝2y 代入得(2x －4)2＋(2y )2＝4， 即(x －2)2＋y 2＝1.因此动点M 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝1(y ≠0)．思维升华 求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：①直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． ②定义法：根据圆、直线等定义列方程． ③几何法：利用圆的几何性质列方程．④相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式．跟踪训练2 设定点M (－3,4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以OM ，ON 为两边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹方程． 解 如图，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 2，y 2， 线段MN 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 0－32，y 0＋42.因为平行四边形的对角线互相平分， 所以x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42，整理得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋3，y 0＝y －4，又点N (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝4上， 所以(x ＋3)2＋(y －4)2＝4.所以点P 的轨迹是以(－3,4)为圆心，2为半径的圆，直线OM 与轨迹相交于两点⎝⎛⎭⎫－95，125和⎝⎛⎭⎫－215，285，不符合题意，舍去， 所以点P 的轨迹为(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，除去两点⎝⎛⎭⎫－95，125和⎝⎛⎭⎫－215，285.题型三 与圆有关的最值问题例3 已知点(x ，y )在圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝1上，求x ＋y 的最大值和最小值． 解 设t ＝x ＋y ，则y ＝－x ＋t ，t 可视为直线y ＝－x ＋t 在y 轴上的截距，∴x ＋y 的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时在y 轴上的截距．由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径， 即|2＋(－3)－t |2＝1，解得t ＝2－1或t ＝－2－1. ∴x ＋y 的最大值为2－1，最小值为－2－1. 引申探究1．在本例的条件下，求yx的最大值和最小值．解 y x 可视为点(x ，y )与原点连线的斜率，y x 的最大值和最小值就是与该圆有公共点的过原点的直线斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率．设过原点的直线的方程为y ＝kx ，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即|2k ＋3|k 2＋1＝1，解得k ＝－2＋233或k ＝－2－233，∴y x 的最大值为－2＋233，最小值为－2－233.2．在本例的条件下，求x 2＋y 2＋2x －4y ＋5的最大值和最小值． 解x 2＋y 2＋2x －4y ＋5＝(x ＋1)2＋(y －2)2，求它的最值可视为求点(x ，y )到定点(－1,2)的距离的最值，可转化为求圆心(2，－3)到定点(－1,2)的距离与半径的和或差．又圆心到定点(－1,2)的距离为34，∴x 2＋y 2＋2x －4y ＋5的最大值为34＋1，最小值为34－1. 思维升华 与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．(2)与圆上点(x ，y )有关代数式的最值的常见类型及解法．①形如u ＝y －bx －a 型的最值问题，可转化为过点(a ，b )和点(x ，y )的直线的斜率的最值问题；②形如t ＝ax ＋by 型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如(x －a )2＋(y －b )2型的最值问题，可转化为动点到定点(a ，b )的距离的平方的最值问题． 跟踪训练3 已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0. 求：(1)yx 的最大值和最小值；(2)y －x 的最大值和最小值； (3)x 2＋y 2的最大值和最小值． 解 原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3， 表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆．(1)yx 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率， 所以设yx＝k ，即y ＝kx .当直线y ＝kx 与圆相切时(如图)，斜率k 取最大值和最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝±3.所以yx的最大值为3，最小值为－ 3.(2)y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距，如图所示，当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值和最小值，此时|2－0＋b |2＝3，解得b ＝－2±6.所以y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6.(3)如图所示，x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为(2－0)2＋(0－0)2＝2，所以x2＋y2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x2＋y2的最小值是(2－3)2＝7－4 3.1．若a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，0，1，34，则方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示的圆的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 B解析 方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆的条件为a 2＋4a 2－4(2a 2＋a －1)>0，即3a 2＋4a －4<0，解得－2<a <23.又a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，0，1，34，∴仅当a ＝0时，方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay＋2a 2＋a －1＝0表示圆，故选B.2．已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y ＋1＝0，那么与圆C 有相同的圆心，且经过点(－2,2)的圆的方程是( )A ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝5B ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝25C ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝5D ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝25答案 B解析 圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝4，圆心C (1，－2)，故排除C ，D ，代入(－2,2)点，只有B 项经过此点．也可以设出要求的圆的方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝r 2，再代入点(－2,2)，可以求得圆的半径为5.故选B.3．已知圆M 与直线3x －4y ＝0及3x －4y ＋10＝0都相切，圆心在直线y ＝－x －4上，则圆M 的方程为( )A ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝1B ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝1C ．(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝1D ．(x －3)2＋(y －1)2＝1答案 C解析 到直线3x －4y ＝0及3x －4y ＋10＝0的距离都相等的直线方程为3x －4y ＋5＝0，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －4y ＋5＝0，y ＝－x －4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－1，又两平行线之间的距离为2，所以所求圆的半径为1，从而圆M 的方程为(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝1.故选C.4．(2018·锦州调研)圆心在y 轴上，且过点(3,1)的圆与x 轴相切，则该圆的方程是( ) A ．x 2＋y 2＋10y ＝0 B ．x 2＋y 2－10y ＝0 C ．x 2＋y 2＋10x ＝0 D ．x 2＋y 2－10x ＝0答案 B解析 根据题意，设圆心坐标为(0，r )，半径为r ， 则32＋(r －1)2＝r 2，解得r ＝5，可得圆的方程为x 2＋y 2－10y ＝0. 5．圆(x －2)2＋y 2＝4关于直线y ＝33x 对称的圆的方程是( ) A ．(x －3)2＋(y －1)2＝4 B ．(x －2)2＋(y －2)2＝4 C ．x 2＋(y －2)2＝4 D ．(x －1)2＋(y －3)2＝4 答案 D解析 设圆(x －2)2＋y 2＝4的圆心(2,0)关于直线y ＝33x 对称的点的坐标为(a ，b )，则有⎩⎪⎨⎪⎧b a －2·33＝－1，b 2＝33·a ＋22，解得a ＝1，b ＝3，从而所求圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝4.故选D.6．如果圆(x －a )2＋(y －a )2＝8上总存在到原点的距离为2的点，则实数a 的取值范围是( )A ．(－3，－1)∪(1,3)B ．(－3,3)C ．[－1,1]D ．[－3，－1]∪[1,3]答案 D解析 圆(x －a )2＋(y －a )2＝8的圆心(a ，a )到原点的距离为|2a |，半径r ＝22，由圆(x －a )2＋(y －a )2＝8上总存在点到原点的距离为2，得22－2≤|2a |≤22＋2，∴1≤|a |≤3，解得1≤a ≤3或－3≤a ≤－1.∴实数a 的取值范围是[－3，－1]∪[1,3]．故选D.7．已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是____________，半径是________． 答案 (－2，－4) 5解析 由已知方程表示圆，则a 2＝a ＋2， 解得a ＝2或a ＝－1.当a ＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去． 当a ＝－1时，原方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0， 化为标准方程为(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25， 表示以(－2，－4)为圆心，5为半径的圆．8．当方程x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0所表示的圆的面积取最大值时，直线y ＝(k －1)x ＋2的倾斜角α＝________. 答案3π4解析 由题意知，圆的半径r ＝12k 2＋4－4k 2＝124－3k 2≤1，当半径r 取最大值时，圆的面积最大，此时k ＝0，r ＝1，所以直线方程为y ＝－x ＋2，则有tan α＝－1，又α∈[0，π)，故α＝3π4.9．若圆C 经过坐标原点与点(4,0)，且与直线y ＝1相切，则圆C 的方程是__________________． 答案 (x －2)2＋⎝⎛⎭⎫y ＋322＝254解析 因为圆的弦的垂直平分线必过圆心且圆经过点(0,0)和(4,0)，所以设圆心为(2，m )． 又因为圆与直线y ＝1相切，所以22＋m 2＝|1－m |， 解得m ＝－32.所以圆C 的方程为(x －2)2＋⎝⎛⎭⎫y ＋322＝254. 10．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是________________． 答案 (x －2)2＋(y ＋1)2＝1解析 设圆上任一点坐标为(x 0，y 0)，x 20＋y 20＝4，连线中点坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＝x 0＋4，2y ＝y 0－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2，代入x 20＋y 20＝4中，得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.11．已知点P (x ，y )在圆C ：x 2＋y 2－6x －6y ＋14＝0上， (1)求yx 的最大值和最小值；(2)求x ＋y 的最大值和最小值．解 方程x 2＋y 2－6x －6y ＋14＝0可变形为(x －3)2＋(y －3)2＝4，则圆C 的半径为2. (1)(转化为斜率的最值问题求解)yx表示圆上的点P 与原点连线的斜率，显然当PO (O 为原点)与圆C 相切时，斜率最大或最小，如图所示．设切线方程为y ＝kx ，即kx －y ＝0，由圆心C (3,3)到切线的距离等于圆C 的半径， 可得|3k －3|k 2＋1＝2，解得k ＝9±2145.所以yx 的最大值为9＋2145，最小值为9－2145.(2)(转化为截距的最值问题求解)设x ＋y ＝b ，则b 表示动直线y ＝－x ＋b 在y 轴上的截距，显然当动直线y ＝－x ＋b 与圆C 相切时，b 取得最大值或最小值，如图所示．由圆心C (3,3)到切线x ＋y ＝b 的距离等于圆C 的半径，可得|3＋3－b |12＋12＝2，即|b －6|＝22，解得b ＝6±22，所以x ＋y 的最大值为6＋22，最小值为6－2 2. 12．已知点A (－3,0)，B (3,0)，动点P 满足|P A |＝2|PB |. (1)若点P 的轨迹为曲线C ，求此曲线的方程；(2)若点Q 在直线l 1：x ＋y ＋3＝0上，直线l 2经过点Q 且与曲线C 只有一个公共点M ，求|QM |的最小值．解 (1)设点P 的坐标为(x ，y )， 则(x ＋3)2＋y 2＝2(x －3)2＋y 2.化简可得(x －5)2＋y 2＝16，此方程即为所求．(2)曲线C 是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图所示．由题意知直线l 2是此圆的切线， 连接CQ ，则|QM |＝|CQ |2－|CM |2 ＝|CQ |2－16，当|QM |最小时，|CQ |最小，此时CQ ⊥l 1， |CQ |＝|5＋3|2＝42， 则|QM |的最小值为32－16＝4.13．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1，设点P 是圆C 上的动点．记d ＝|PB |2＋|P A |2，其中A (0,1)，B (0，－1)，则d 的最大值为________． 答案 74解析 设P (x 0，y 0)，d ＝|PB |2＋|P A |2＝x 20＋(y 0＋1)2＋x 20＋(y 0－1)2＝2(x 20＋y 20)＋2.x 20＋y 20为圆上任一点到原点距离的平方，∴(x 20＋y 20)max ＝(5＋1)2＝36，∴d max ＝74.14．已知动点P (x ，y )满足x 2＋y 2－2|x |－2|y |＝0，O 为坐标原点，则x 2＋y 2的最大值为________． 答案 2 2 解析x 2＋y 2表示曲线上的任意一点(x ，y )到原点的距离．当x ≥0，y ≥0时，x 2＋y 2－2x －2y ＝0化为()x －12＋()y －12＝2，曲线上的点到原点的距离的最大值为2×2＝22，当x <0，y <0时，x 2＋y 2＋2x ＋2y ＝0化为()x ＋12＋()y ＋12＝2，曲线上的点到原点的距离的最大值为2×2＝22，当x ≥0，y <0时，x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0化为()x －12＋()y ＋12＝2，曲线上的点到原点的距离的最大值为2×2＝22，当x <0，y ≥0时，x 2＋y 2＋2x －2y ＝0化为()x ＋12＋()y －12＝2，曲线上的点到原点的距离的最大值为2×2＝2 2. 综上可知，x 2＋y 2的最大值为2 2.15．圆x 2＋y 2＋4x －12y ＋1＝0关于直线ax －by ＋6＝0(a >0，b >0)对称，则2a ＋6b的最小值是( )A ．2 3 B.203 C.323 D.163答案 C解析 由圆x 2＋y 2＋4x －12y ＋1＝0知，其标准方程为(x ＋2)2＋(y －6)2＝39，∵圆x 2＋y 2＋4x －12y ＋1＝0关于直线ax －by ＋6＝0(a >0，b >0)对称，∴该直线经过圆心(－2,6)，即－2a －6b ＋6＝0，∴a ＋3b ＝3(a >0，b >0)，∴2a ＋6b ＝23(a ＋3b )⎝⎛⎭⎫1a ＋3b ＝23⎝⎛⎭⎫1＋3a b ＋3b a ＋9≥23⎝⎛⎭⎫10＋2 3a b ·3b a ＝323， 当且仅当3b a ＝3a b，即a ＝b 时取等号，故选C. 16．已知圆C 截y 轴所得的弦长为2，圆心C 到直线l ：x －2y ＝0的距离为55，且圆C 被x 轴分成的两段弧长之比为3∶1，求圆C 的方程．解 设圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则点C 到x 轴、y 轴的距离分别为|b |，|a |.由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧ r 2＝2b 2，r 2＝a 2＋1，|a －2b |5＝55，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝－1，r 2＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝1，r 2＝2.故所求圆C 的方程为(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2或(x －1)2＋(y －1)2＝2.。
高三数学(限时训练)专讲专练 9.3 圆的方程课件
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●两个防范 (1)求圆的方程需要三个独立条件，所以不论设哪一种圆 的方程都要列出关于系数的三个独立方程． (2)过圆外一定点求圆的切线，应该有两个结果，若只求 出一个结果，应该考虑切线斜率不存在的情况．
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●三个性质 确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质：①圆心在过 切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任一弦的中垂线上； ③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线.
•掌握确定圆的几何要素．掌握圆的 标准方程和一般方程.
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01教材回扣 自主学习
必考必记,学教相长
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知识梳理 1.圆的定义 1 ____的距离等于□ 2 ____的点的轨迹 (1)在平面内，到□ 叫圆． 3 ____和□ 4 ____. (2)确定一个圆最基本的要素是□
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2．圆的标准方程 5 ________为圆心， 6 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)， 其中□ □ ______为半径． 3．圆的一般方程 7 x2 ＋ y2 ＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝ 0 表 示 圆 的 充 要 条 件 是 □ 8 __________ ， 半 径 r ＝ □ 9 ________ ， 其 中 圆 心 为 □ __________________.
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方法点睛
与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类
y－b 型： ①形如 μ＝ 形式的最值问题， 可转化为动直线斜率的 x－a 最值问题；②形如 t＝ax＋by 形式的最值问题，可转化为动直 线截距的最值问题； ③形如(x－a)2＋(y－b)2 形式的最值问题， 可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．
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方法二，设 x－2＝ 3cosθ，则 y＝ 3sinθ， 故 x＝2＋ 3cosθ，y＝ 3sinθ， 则 y－x＝ 3sinθ－ 3cosθ－2＝
高考数学复习9.3圆的方程
① x0 y 0 Dx0 Ey 0 F 0 点 P 在圆外；
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② x0 y 0 Dx0 Ey 0 F 0 点 P 在圆上；
2 2
③ x0 y 0 Dx0 Ey 0 F 0 点 P 在圆内.
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题型归纳及思路提示
题型 125 求圆的方程
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D 5 E F 26 0 D 4 2 D 2 E F 8 0 解得 E 2 5 D 5 E F 50 0 F 20
故所求圆的方程为 x y 4 x 2 y 20 0
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思路提示 （1）求圆的方程必须具备三个独立的条件，从圆的标准方程上来讲，关键在于求出圆 心坐标(a,b)和半径 r；从圆的一般方程来讲，必须知道圆上的三个点.因此，待定系数法是求 圆的方程常用的方法. （2）用几何法来求圆的方程，要充分运用圆的几何性质，如圆心在圆的任一条弦的垂 直平分线上，半径、弦心距、弦长的一半构成直角三角形等. 例 9.17 根据下列条件求圆的方程： （1） ABC 的三个顶点分别为 A(-1,5),B(-2,-2),C(5,5),求其外接圆的方程； （2）经过点 A(6,5),B(0,1),且圆心在直线 3x+10y+9=0 上； （3）经过点 P(-2,4),Q(3,-1),且在 x 轴上截得的弦长等于 6. 分析 根据待定系数法求出相应的量即可. 解析 （1）解法一：设所求圆的方程为 x y Dx Ey F 0 ，则由题意有，
2 2 2
（ 2 ）圆的一般方程： x y Dx Ey F 0( D E 4 F 0) ，圆心坐标为
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推荐学习高考学习复习资料数学总复习(讲+练+测)： 专题9.3 圆的方程(讲)
专题9.3 圆的方程【考纲解读】【知识清单】1 求圆的方程1．圆的定义：在平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆． 2．圆的标准方程(1) 若圆的圆心为C(a,b ),半径为r ，则该圆的标准方程为：222()()x a y b r -+-=．(2) 方程222()()x a y b r -+-=表示圆心为C(a,b ),半径为r 的圆．3．圆的一般方程(1)任意一个圆的方程都可化为：220x y Dx Ey F ++++=.这个方程就叫做圆的一般方程．(2) 对方程：220x y Dx Ey F ++++=.①若2240D E F +->，则方程表示以(2D -，)2E -为圆心,F E D 42122-+为半径的圆； ②若0422=-+F E D ，则方程只表示一个点(2D -，)2E-； ③若0422<-+F E D ，则方程不表示任何图形． 4.点00()A x y ，与⊙C 的位置关系(1)|AC |<r ⇔点A 在圆内⇔22200()()x a y b r <－＋－； (2)|AC |＝r ⇔点A 在圆上⇔22200()()x a y b r =－＋－；(3)|AC |>r ⇔点A 在圆外⇔22200()()x a y b r >－＋－.对点练习：【2016高考浙江文数】已知a ∈R ，方程222(2)4850a x a y x y a +++++=表示圆，则圆心坐标是_____，半径是______. 【答案】(2,4)--；5．2 圆的方程综合应用1. 圆的标准方程为：222()()x a y b r -+-=2．圆的一般方程．：220x y Dx Ey F ++++=（2240D E F +->）.3.点000(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离：d =.对点练习：【2017天津，文12】设抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l .已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A.若120FAC ∠=︒，则圆的方程为 .【答案】22(1)(1x y ++-=【解析】【考点深度剖析】高考对圆的方程的考查，一般是以小题的形式出现，也有与向量、圆锥曲线等相结合的问题．纵观近几年的高考试题，主要考查以下几个方面：一是考查圆的方程，要求利用待定系数法求出圆的方程，并结合圆的几何性质解决相关问题；二是考查直线与圆的位置关系，高考要求能熟练地解决圆的切线问题，弦长问题是高考热点，其中利用由圆心距、半径与半弦长构成的直角三角形，是求弦长问题的关键．三是判断圆与圆的位置关系，确定公共弦所在的直线方程.近几年多与圆锥曲线问题综合考查.【重点难点突破】考点1 求圆的方程【1-1】【2016高考天津文数】已知圆C 的圆心在x轴的正半轴上，点M 在圆C 上，且圆心到直线20x y -=，则圆C 的方程为__________. 【答案】22(2)9.x y -+=【1-2】已知圆心为C 的圆经过点(1,1)A 和(2,2)B -,且圆心在:10l x y -+=上,求圆心为C 的圆的标准方程．【答案】22(3)(2)25x y +++=【解析】（1）法一（待定系数法）、设圆的标准方程为：222()()x a y b r -+-=，则由题意得：222222(1)(1)(2)(2)10a b r a b r a b ⎧-+-=⎪-+--=⎨⎪-+=⎩①②③. ②－①得：330a b --=…………………………………………④⑤⑥ ③－④得：2b =-，代入④得：3a =-. 将3,2a b =-=-代入①得：225r =.所以所求圆的标准方程为：22(3)(2)25x y +++=.法二、由点斜式可得线段AB 的垂直平分线的方程为：330x y --=.因为圆心在:10l x y -+=上，所以线段AB 的垂直平分线与直线:10l x y -+=的交点就是圆心. 解方程组33010x y x y --=⎧⎨-+=⎩得32x y =-⎧⎨=-⎩，所以圆心为(3,2)C --.圆的半径5r AC ===，所以所求圆的标准方程为：22(3)(2)25x y +++=.【1-3】ABC ∆的三个顶点的坐标是(5,1),(7,3),(2,8),A B C --求它的外接圆的方程．【答案】22860x y x y +-+=【领悟技法】1.求圆的方程，采用待定系数法：①若已知条件与圆的圆心和半径有关，可设圆的标准方程． ②若已知条件没有明确给出圆的圆心和半径，可选择圆的一般方程． 2.在求圆的方程时，常用到圆的以下几何性质： ①圆心在过切点且与切线垂直的直线上； ②圆心在任一弦的垂直平分线上． 【触类旁通】【变式一】【2018届黑龙江省伊春市第二中学高三上第一次月考】已知圆：，圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（ ） A. B. C. D.【答案】B 【解析】圆：，圆心为（-1,1）半径为1，圆与圆关于直线对称，则先找（-1,1）关于直线的对称点为（2，-2），所以圆的圆心为（2，-2），半径为1，所以圆为，故选B.【变式二】求圆心在直线:0l x y +=上，且过点(4,0),(0,2)A B -的圆的方程．【答案】22(3)(3)x y ++-=解方程组2300x y x y ++=⎧⎨+=⎩得33x y =-⎧⎨=⎩，所以圆心为(3,3)C -.圆的半径r AC ===所以所求圆的标准方程为：22(3)(3)x y ++-=【综合点评】求圆的标准方程，可用待定系数法，也可直接求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程；求圆的一般方程，一般都用待定系数法． 考点2 圆的方程综合应用【2-1】【2017届辽宁省辽南协作校一模】圆x 2+y 2-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-8=0的最大距离与最小距离的差是（ ）A. 18B. 6【答案】C【解析】圆的方程即： ()()2222x y -+-=圆心到直线的距离为：=<故直线与圆相交，最小距离为0，最大距离为=综上可得：圆x 2+y 2-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-8=0的最大距离与最小距离的差是0=.本题选择C 选项.【2-2】P(x y)，在圆22C (x 1)(y 1)1：－＋－＝上移动，试求22x y ＋的最小值．【答案】3-【解析】由已知C(11)，得OC ，则min OP 1，即min 1.所以22x y ＋的最小值为21)3=-.【2-3】设圆满足：①截y 轴所得弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长之比为3：1；③圆心到直线:20l x y -= 【答案】22(1)(1)2x y -+-=或22(1)(1)2x y +++=【领悟技法】1.确定圆的方程常用待定系数法，其步骤为：一根据题意选择标准方程或一般方程；二是根据题设条件列出方程组；三是由方程组求出待定的系数，代入所设的圆的方程；2.在求圆的方程时，常用到圆的以下几个性质：一是圆心在过切点且与切线垂直的直线上；二是圆心在任一弦的中垂线上；3．解方程组时，把所求的值代入检验一下是否正确. 【触类旁通】【变式一】【2018届吉林省长春市普通高中高三一模】已知圆的圆心坐标为，则（ ）A. 8B. 16C. 12D. 13 【答案】D【解析】由圆的标准方程可知圆心为，即. 故选D.【变式二】一束光线从点(1,1)A -出发，经x 轴反射到圆22:(2)(3)1C x y -+-=上的最短路径是 .【答案】4【综合点评】在圆的综合性问题中，往往需要利用圆的方程来确定圆心坐标和半径，根据图形应用圆的几何性质.应用距离公式及基本不等式等，解决最值问题.【易错试题常警惕】易错典例：一条直线过点3(3,)2P --，且圆2522=+y x 的圆心到该直线的距离为3，则该直线的方程为（ ）A.3-=xB.233-=-=y x 或 C.015433=++-=y x x 或 D.01543=++y x 易错分析：忽视斜率不存在而致误．正确解析：圆2522=+y x 的圆心为原点，显然原点到直线3x =-的距离为3. 当直线的斜率存在时，设直线的方程为：3(3)2y k x +=+即3302kx y k -+-=.由点到直线的距离公式得：3=，平方得：34k =-，所以直线的方程为33(3)24y x +=-+即34150x x ++=.综上知，选C.温馨提醒：求解过定点的直线问题，首先要检验斜率不存在的直线是否符合题意，这是非常容易遗漏的问题．在处理相关问题时，也可根据图形判断所求直线的条数，进而避免此类失误．【学科素养提升之思想方法篇】数形结合百般好，隔裂分家万事休——数形结合思想数形结合是一种重要的数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质.数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化.在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围.在解答三视图、直观图问题中，主要是通过图形的恰当转化，明确几何元素的数量关系，进行准确的计算．如：【典例】【2017届山东菏泽一中宏志部高三上月考三】已知圆方程22240x y x y m +--+=. （1）求m 的取值范围；（2）若圆与直线240x y +-=相交于 M N ，两点，且OM ON ⊥（O 为坐标原点），求m 的值； （3）在（2）的条件下，求以MN 为直径的圆的方程.【答案】(1)5m <；(2) 85；（3）224816555x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【解析】试题解析：（1）由22240x y x y m +--+=，得： 2 4 D E F m =-=-=，，， 2242040D E F m +-=->，5m <； （2）由题意22240240x y x y x y m +-=⎧⎨+--+=⎩， 把42x y =-代入22240x y x y m +--+=，得251680y y m -++=， 12165y y +=，1285m y y +=， ∵OM ON ⊥得出：12120x x y y +=， ∴()121258160y y y y -++=， ∴85m =； （3）圆心为() a b ，，1212482525x x y y a b ++====，，半径r =， 圆的方程224816555x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.。
高考数学(理)一轮复习讲练测：专题9.3圆的方程(测)答案解析
一、选择题（本大题共 12 小题，每题 5 分，在每题给出的四个选择中，只有一个是切合题目要求的 .）1.若坐标原点在圆( x - m)2 + ( y + m)2 = 4 的内部，则实数m 的取值范围是（）（ A ）- 1< m < 1（B）- 3 < m <3（ C）- 2 < m < 2（D）- 2 < m < 222【答案】 C2.【 2015-2016 学年辽宁省要点高中协作校】已知圆心(a, b)(a 0,b0)在直线 y 2x 1上的圆 ,其圆心到x轴的距离恰巧等于圆的半径,在y轴上截得的弦长为2 5 ,则圆的方程为A．B．C．D．( x3) 2( y5)225 ( x2) 2( y3)29 ( x 2 )2( y7)249 339 ( x 2 )2( y7)249 339【答案】 Br b a2【分析】设圆的方程为x222，则b2a 1，解得b 3，a y brr 2a2r32因此圆的方程为x2y 3229 .3.过三点 A(1,3) ， B(4,2) ， C (1, 7) 的圆交 y 轴于 M， N 两点，则 | MN | ()A ．26B ．8C ．46D ．10【答案】 C4.若圆 C 经过 (1， 0)， (3，0)两点，且与y 轴相切，则圆 C 的方程为 ()(A) ( x 2)2( y 2)23 (B) ( x 2)2 ( y 3) 2 3 (C) (x2)2 ( y 2)24(D) ( x2)2 ( y3) 2 4【答案】 D【分析】因为圆 C 经过 (1， 0)， (3，0)两点，因此圆心在直线 x 2 ，又圆与 y 轴相切，所以半径 r2 ，2,b2 123 ， b 2 3,b3，选 D .设圆心坐标为，则 b 25.若点 P （11，）为圆 x 2 y 26x 0 的弦 MN 的中点，则弦 MN 所在直线方程为 ( )A ． 2x y 3 0B ． x 2y 1 0C ． x 2y 3 0D ． 2x y 1 0【答案】 D【分析】x 2y 26 x 0 化 为 标 准 方 程 为（ x 2y 29 ，3）P （11，）为 圆（2 2的弦 MN 的中点，x ）y 93∴圆心与点 P 确立的直线斜率为1＝- 1，∴弦 MN 所在直线的斜率为 2，1 3 2∴弦 MN 所在直线的方程为， 即2x y 1 0，故 选D ．y 1 （2 x 1）6.已知圆 C 的圆心在 x 轴上，且经过 A(5, 2), B( 1,4) 两点，则圆 C 的方程是（）A. ( x 2)2y 217B. (x2)2y213C.( x 1)2y220D.(x 1)2y240【答案】 C7.已知圆C : x2y24x4 y0与 x 轴订交于A, B两点，则弦AB所对的圆心角的大小为()A ．6B．C．2D．2 33【答案】 C【分析】令y0 ，得 x24x0 ，即圆与x轴的交点坐标为A( 0,0) B(4,0),即AB 4 ；而圆 C : x2y 2 4 x 4 y0,即x 2 2( y 2) 28 的半径为CA CB 2 2,则圆心角ACB.28.若P 2, 1 为圆 x12225的弦 AB 的中点，则直线AB 的方程是（）yA. x y 3 0B. 2x y 3 0C. x y 1 0D. 2x y 5 0【答案】 A【分析】圆的圆心为 C (1,0) .由圆的性质知，直线PC垂直于弦 AB 所在的直线,则k AB =-1,kPC即 k AB= -1011)1.又由直线的点斜式方程得直线AB 的方程为：kPC(12 y(1)x 2 ,即 x y 3 0 .应选 A .9.在圆x2y22x6y0 内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形 ABCD 的面积为()A．52B．102 C.152 D.20 2【答案】A10.【【百强校】 2017 届河北邯郸市高三 9 月联考】以( a,1)为圆心，且与两条直线2x y 40与2x y60 同时相切的圆的标准方程为（）A ．( x 1)2( y 1)25B．( x 1)2( y 1)25C．( x 1)2y25D．x2( y 1)25【答案】 A2x y 4 0 与 2x y6645【分析】因为两条直线0 的距离为d2，因此5所求圆的半径为r 5 ，因此圆心( a,1)到直线2x y40 的距离为2a142a34 ，又因为圆心(a,1) 到直线2x y60 的555即a 1或 a距离也为 r 5 ，因此 a 1 ，因此所求的标准方程为( x 1)2( y1)2 5 ，故应选 A .2y25,直线l :x cosy sin1 ( 0π11.已知圆O : x).设圆O上到直线l的距离等于21 的点的个数为k ,则 k（） .A.1B.2C.3D.4【答案】D【分析】圆心到直线的距离为d0 011.2y2 5 的半径r 5 ，圆 xcos2sin 2rl 的距离等于1，因此k4，1 ，联合图形可知，在直线l的双侧圆O上各有两个点到直线2选 D .12.已知圆C：( x a2 ) 2( y a) 21(a R) ，则以下命题：①圆C上的点到1,0的最64短距离的最小值为7；②圆 C 上有且只有一点P 到点1,0的距离与到直线 x3的距888离相等；③已知 A 3，在圆 C 上有且只有一点 P ，使得以AP 为直径的圆与直线x1 ,08 8相切 .真命题的个数为（）A ．0 B. 1 C.2 D. 3【答案】 D二、填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，共20 分。
高中数学一轮复习9.3 圆的方程
第三节 圆的方程一、基础知识1．圆的定义及方程2．点与圆的位置关系二、常用结论考点一 求圆的方程[典例] (1)圆心在y 轴上，半径长为1，且过点A (1,2)的圆的方程是( )A ．x 2＋(y －2)2＝1B ．x 2＋(y ＋2)2＝1C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1D ．x 2＋(y －3)2＝4(2)圆心在直线x －2y －3＝0上，且过点A (2，－3)，B (－2，－5)的圆的方程为________．[题组训练]1．已知圆E 经过三点A (0,1)，B (2,0)，C (0，－1)，且圆心在x 轴的正半轴上，则圆E 的标准方程为( )A.⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝254B.⎝⎛⎭⎫x ＋342＋y 2＝2516C.⎝⎛⎭⎫x －342＋y 2＝2516D.⎝⎛⎭⎫x －342＋y 2＝2542．已知圆心在直线y ＝－4x 上，且圆与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)，则该圆的方程是________________．3．已知圆C 经过P (－2,4)，Q (3，－1)两点，且在x 轴上截得的弦长等于6，则圆C 的方程为________________．考点二 与圆有关的轨迹问题[典例] (1)点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任意一点连线的中点的轨迹方程是( )A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1(2)已知圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝9，过点A (2,3)作圆C 的任意弦，则这些弦的中点P 的轨迹方程为________．[变透练清]1.(变条件)若将本例(2)中点A (2,3)换成圆上的点B (1,4)，其他条件不变，则这些弦的中点P 的轨迹方程为________．2．已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A (2,0)，B (1,1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点．(1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若∠PB Q ＝90°，求线段P Q 中点的轨迹方程．[课时跟踪检测]1．以线段AB ：x ＋y －2＝0(0≤x ≤2)为直径的圆的方程为( )A ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2B ．(x －1)2＋(y －1)2＝2C ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝8D ．(x －1)2＋(y －1)2＝82．若圆x 2＋y 2＋2ax －b 2＝0的半径为2，则点(a ，b )到原点的距离为( )A ．1B ．2 C. 2 D ．43．以(a,1)为圆心，且与两条直线2x －y ＋4＝0与2x －y －6＝0同时相切的圆的标准方程为( )A ．(x －1)2＋(y －1)2＝5B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝5C ．(x －1)2＋y 2＝5D ．x 2＋(y －1)2＝54．方程|y |－1＝1－(x －1)2表示的曲线是( )A ．一个椭圆B ．一个圆C ．两个圆D ．两个半圆5．已知a ∈R ，若方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则此圆的圆心坐标为( )A ．(－2，－4)B.⎝⎛⎭⎫－12，－1 C ．(－2，－4)或⎝⎛⎭⎫－12，－1 D ．不确定6．已知圆C 的圆心是直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点，且圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，则圆C 的方程为( )A ．(x ＋1)2＋y 2＝2B ．(x ＋1)2＋y 2＝8C ．(x －1)2＋y 2＝2D ．(x －1)2＋y 2＝87．圆C 的直径的两个端点分别是A (－1,2)，B (1,4)，则圆C 的标准方程为________．8．已知圆C 的圆心在x 轴上，并且经过点A (－1,1)，B (1,3)，若M (m ，6)在圆C 内，则m 的取值范围为________．9．若一个圆的圆心是抛物线x 2＝4y 的焦点，且该圆与直线y ＝x ＋3相切，则该圆的标准方程是________________．10．已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的标准方程为________________． 11．已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1,0)和B (3,4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD |＝410.(1)求直线CD 的方程；(2)求圆P 的方程．12．已知Rt △ABC 的斜边为AB ，且A (－1,0)，B (3,0)．求：(1)直角顶点C 的轨迹方程；(2)直角边BC 的中点M 的轨迹方程．。
高三高考数学复习课件9-3圆的方程
【解析】 (1)圆 C 的方程可化为 x2＋(y－4)2＝16，所以圆心 为 C(0，4)，半径为 4.
设 M(x，y)，则C→M＝(x，y－4)，M→P＝(2－x，2－y)． 由题设知C→M·M→P＝0，故 x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0， 即(x－1)2＋(y－3)2＝2. 由于点 P 在圆 C 的内部，所以 M 的轨迹方程是(x－1)2＋(y －3)2＝2.
跟踪训练 2 已知点 P(x，y)在圆 C：x2＋y2－6x－6y＋14＝0 上，
(1)求yx的最大值和最小值； (2)求 x＋y 的最大值与最小值．
【解析】 (1)方程 x2＋y2－6x－6y＋14＝0 可变形为(x－3)2＋ (y－3)2＝4.
yx表示圆上的点 P 与原点连线的斜率，显然当 PO(O 为原点) 与圆相切时，斜率最大或最小，如图所示．
【答案】 (1)√ (2)√ (3)× (4)√
1．方程 x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0 表示圆的充要条件的是
()
1 A.4<m<1
B．m<14或 m>1
C．m<41
D．m>1
【解析】 由(4m)2＋4－4×5m>0，得 m<14或 m>1.故选 B. 【答案】 B
2．若点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a
(2)由(1)可知 M 的轨迹是以点 N(1，3)为圆心， 2为半径的 圆．由于|OP|＝|OM|，故 O 在线段 PM 的垂直平分线上，又 P 在 圆 N 上，从而 ON⊥PM.
因为 ON 的斜率为 3，所以 l 的斜率为－31， 故 l 的方程为 x＋3y－8＝0.
高考数学一轮总复习 9.3 圆的方程课件 理 苏教版
圆的标准方程(fāngchéng) 为
.
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2．圆的一般方程
方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 可变形为x＋D2 2＋y＋E22＝
D2＋E42－4F，故有： (1)当 D2＋E2－4F＞0 时，方程表示以
－D2 ，－E2
为圆心，
D2＋E2－4F
以
2
为半径的圆；
(2)当 D2＋E2－4F＝0 时，方程表示一个点 －D2 ，－E2 ；
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•规律方法 求圆的方程，主要有两种方法：
•(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一 些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切 线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上； ③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．
•(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由 题目给出的条件，列出等式(děngshì)，求出相关 量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，
0)．① 将 P，Q 点的坐标分别代入①得
4D－2E＋F＝－20，
②
D－3E－F＝10，
③
令 x＝0，由①得 y2＋Ey＋F＝0.④
由已知|y1－y2|＝4 3，其中 y1，y2 是方程④的两根， 所以(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝E2－4F＝48.⑤
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解②、③、⑤组成的方程组得DE＝＝0－，2， F＝－12
【例 1】 根据下列条件，求圆的方程． (1)求过 P(4，－2)，Q(－1,3)两点，且在 y 轴上截得的线段长 为 4 3的圆的方程． (2)已知圆的半径为 10，圆心在直线 y＝2x 上，圆被直线 x －y＝0 截得的弦长为 4 2.
第八页，共32页。
解 (1)设圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞
超实用高考数学专题复习教学课件：9.3 圆的方程
)
D.(x+2)2+(y-1)2=2
(2)已知圆C的圆心在直线x+y=0上,圆C与直线x-y=0相切,且被直线x-y-3=0
截得的弦长为 6 ,则圆C的方程为
.
答案 (1)A
解析
(2)(x-1)2+(y+1)2=2
|2+1-1|
(1)因为圆心(2,-1)到直线 x-y-1=0 的距离 d=
5,所以△ABO 外接圆的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=5.
方法 2 设圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0,因为过 A(2,0),B(0,4),O(0,0)三点,
4 + 2 + = 0,
所以 16 + 4 + = 0,解得 D=-2,E=-4,F=0,则△ABO 外接圆的方程是
0 = 2 + 2,
(2x-4)2+(2y+2)2=4,化为(x-2)2+(y+1)2=1,故选 A.
)
思考求与圆有关的轨迹方程都有哪些常用方法?
解题心得1.求与圆有关的轨迹问题时,根据题设条件的不同,常采用以下方
法:(1)直接法,直接根据题目提供的条件列出方程;(2)定义法,根据圆、直线
等定义列方程;(3)几何法,利用圆的几何性质列方程;(4)代入法,找到要求点
②
又圆心(- ,- )在直线
2 2
x-3y=0 上,∴D-3E=0.
= -6,
= 6,
联立①②③,解得 = -2, 或 = 2,
= 1.
=1
高考数学总复习(讲+练+测)： 专题9.3 圆的方程(讲)
专题9.3 圆的方程【考纲解读】【知识清单】1 求圆的方程1．圆的定义：在平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆． 2．圆的标准方程(1) 若圆的圆心为C(a,b ),半径为r ，则该圆的标准方程为：222()()x a y b r -+-=． (2) 方程222()()x a y b r -+-=表示圆心为C(a,b ),半径为r 的圆． 3．圆的一般方程(1)任意一个圆的方程都可化为：220x y Dx Ey F ++++=.这个方程就叫做圆的一般方程． (2) 对方程：220x y Dx Ey F ++++=. ①若2240D E F +->，则方程表示以(2D -，)2E -为圆心,F E D 42122-+为半径的圆；②若0422=-+F E D ，则方程只表示一个点(2D -，)2E-； ③若0422<-+F E D ，则方程不表示任何图形． 4.点00()A x y ，与⊙C 的位置关系(1)|AC |<r ⇔点A 在圆内⇔22200()()x a y b r <－＋－； (2)|AC |＝r ⇔点A 在圆上⇔22200()()x a y b r =－＋－；(3)|AC |>r ⇔点A 在圆外⇔22200()()x a y b r >－＋－. 对点练习：【2016高考浙江文数】已知a ∈R ，方程222(2)4850a x a y x y a +++++=表示圆，则圆心坐标是_____，半径是______. 【答案】(2,4)--；5．2 圆的方程综合应用1. 圆的标准方程为：222()()x a y b r -+-=2．圆的一般方程．：220x y Dx Ey F ++++=（2240D E F +->）.3.点000(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离：d =对点练习：【2017天津，文12】设抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l .已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A.若120FAC ∠=︒，则圆的方程为 .【答案】22(1)(1x y ++= 【解析】【考点深度剖析】高考对圆的方程的考查，一般是以小题的形式出现，也有与向量、圆锥曲线等相结合的问题．纵观近几年的高考试题，主要考查以下几个方面：一是考查圆的方程，要求利用待定系数法求出圆的方程，并结合圆的几何性质解决相关问题；二是考查直线与圆的位置关系，高考要求能熟练地解决圆的切线问题，弦长问题是高考热点，其中利用由圆心距、半径与半弦长构成的直角三角形，是求弦长问题的关键．三是判。
高考数学一轮总复习 9.3 圆的方程精品课件 理 新人教版
考点一 考点二 考点三
探究突破
-14-
举一反三 1 圆心在抛物线 x2=2y(x>0)上,并且与抛物线的准线及 y 轴
都相切的圆的方程是(
)
A.x2+y2-x-2y+1=0
B.x2+y2-2x-y+1=0
设圆C心.x坐2+标y2为-x-2������y0+, ���2���1402=0(x0>0),∵抛物线 x2=2y 的准线方程为 y=-12,
叫做
梳理自测
-4-
3.圆的一般方程 对于方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0,
(1)当
D2+E2-4F>0
时,表示圆心为
-
������ 2
,-
������ 2
,半径长为
1 2
������2 + ������2-4F的圆;
(2)当
D2+E2-4F=0
时,表示一个点
-
������ 2
,-
������ 2
|������|-1 ≥ 0.
故原方程表示两个半圆.
D
-9-
关闭
关闭
解析 答案
梳理自测
-10-
4.圆心在原点且与直线 x+y-2=0 相切的圆的方程为 .
设圆的方程为 x2+y2=a2(a>0),由 |1-2+|1=a,∴a= 2. ∴x2+y2=2. x2+y2=2
关闭
关闭
解析 答案
梳理自测
5.圆 C:x2+y2-2x-4y+4=0 的圆心到直线 3x+4y+4=0 的距离 d=
高考数学统考一轮复习第九章9-3圆的方程课件文新人教版
1．[2021·石家庄质检]若圆C的半径为1，点C与点(2，0)关于点(1，
0)对称，则圆C的标准方程为( )
A．x2＋y2＝1
B．(x－3)2＋y2＝1
C．(x－1)2＋y2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1
解析：因为点C与点(2，0)关于点(1，0)对称，故由中点坐标公式 可得C(0，0)，所以所求圆的标准方程为x2＋y2＝1.
3．点与圆的位置关系 圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心A(a，b)，半径r，若点 M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝⑥___r_2 ____； 若点M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2⑦__＞__r2____； 若点M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2⑧__＜__r_2 ___.
4．若方程x2＋y2＋mx－2y＋3＝0表，＋∞)
B．(－∞，－2 2) ∪ (2 2，＋∞)
C．(－∞，－ 3) ∪ ( 3，＋∞)
D．(－∞，－2 3) ∪ (2 3，＋∞)
解析：将x2＋y2＋mx－2y＋3＝0化为圆的标准方程得
x+m
2．若圆C经过(1，0)，(3，0)两点，且与y轴相切，则圆C的方程为 ()
A．(x－2)2＋(y±2)2＝3 B．(x－2)2＋(y± 3)2＝3 C．(x－2)2＋(y±2)2＝4 D．(x－2)2＋(y± 3)2＝4
解析：因为圆C经过(1，0)，(3，0)两点，所以圆心在直线x＝2上， 又圆与y轴相切，所以半径r＝2，设圆心坐标为(2，b)，则(2－1)2＋b2 ＝4，b2＝3，b＝± 3，选D.
3．[2021·广东珠海联考]已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相 切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的标准方程为( )
推荐高考数学一轮复习讲练测江苏专题93 圆的方程讲 含解析
【最新考纲解读】内 容要 求备注A B C平面解析几何初步圆的标准方程与一般方程√1．掌握确定圆的几何要素．2．掌握圆的标准方程与一般方程．【考点深度剖析】圆是常见曲线，也是解析几何中的重点内容，几乎每年高考都有一至二题，主要以填空形式出现，难度不大，主要考查圆的方程(标准方程、一般方程)及圆的有关性质 【课前检测训练】 【判一判】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)确定圆的几何要素是圆心与半径．( )(2)已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则以AB 为直径的圆的方程是(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.( )(3)方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是A ＝C ≠0，B ＝0，D 2＋E 2－4AF >0.( )(4)方程x 2＋2ax ＋y 2＝0一定表示圆．( ) (5)圆x 2＋2x ＋y 2＋y ＝0的圆心是⎝⎛⎭⎪⎫1，12.( )(6)若点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0外，则x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F ＞0.( )1. √2. √3. √4. ×5. ×6. √ 【练一练】1． x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标是( ) A ．(2,3) B ．(－2,3)C ．(－2，－3)D ．(2，－3) 答案 D解析 圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D2，－E 2，∴圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心为(2，－3)．2．方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则a 的取值范围是( ) A ．a <－2或a >23 B ．－23<a <0C ．－2<a <0D ．－2<a <23答案 D解析 由题意知a 2＋4a 2－4(2a 2＋a －1)>0， 解得－2<a <23.3．(2015·北京)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( ) A ．(x －1)2＋(y －1)2＝1 B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1 C ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2 D ．(x －1)2＋(y －1)2＝2 答案 D解析 圆的半径r ＝12＋12＝2，∴圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2. 4．圆C 的圆心在x 轴上，并且过点A (－1,1)和B (1,3)，则圆C 的方程为______________． 答案 (x －2)2＋y 2＝105．如图，已知圆C与x轴相切于点T(1,0)，与y轴正半轴交于两点A，B(B在A的上方)，且|AB|＝2.(1)圆C的标准方程为__________________；(2)圆C在点B处的切线在x轴上的截距为________．答案(1)(x－1)2＋(y－2)2＝2 (2)－2－1方法二令x＝0，得y＝2±1，所以点B(0，2＋1)．又点C(1，2)，设过点B 的切线方程为y－(2＋1)＝kx，即kx－y＋(2＋1)＝0.由题意，圆心C(1，2)到直线kx－y＋(2＋1)＝0的距离d＝|k－2＋2＋1|k2＋1＝r＝2，解得k＝1.故切线方程为x－y＋(2＋1)＝0.令y＝0，得切线在x轴上的截距为－2－1.【题根精选精析】 考点1 求圆的方程【1-1】求圆心在x 轴上，半径为5，且过点A （2，-3）的圆的方程. 【答案】22(2)25x y ++=或22(6)25x y +-=. 【解析】由于圆心在x 轴上，半径为5，故可设圆的标准方程为：222()5x a y -+=，则由题意得：222(2)(3)5a -+-=，解这个方程组得：2a =-或6a =.所以所求圆的标准方程为：22(2)25x y ++=或22(6)25x y +-=.【1-2】已知圆心为C 的圆经过点(1,1)A 和(2,2)B -,且圆心在:10l x y -+=上,求圆心为C 的圆的标准方程．【答案】22(3)(2)25x y +++= 【解析】（1）法一（待定系数法）、设圆的标准方程为：222()()x a y b r -+-=，则由题意得：222222(1)(1)(2)(2)10a b r a b r a b ⎧-+-=⎪-+--=⎨⎪-+=⎩①②③. ②－①得：330a b --=…………………………………………④⑤⑥ ③－④得：2b =-，代入④得：3a =-. 将3,2a b =-=-代入①得：225r =.所以所求圆的标准方程为：22(3)(2)25x y +++=.【1-3】ABC ∆的三个顶点的坐标是(5,1),(7,3),(2,8),A B C --求它的外接圆的方程． 【答案】22860x y x y +-+=【解析】设所求圆的方程为：220x y Dx Ey F ++++=，则22222251507(3)7302(8)280D E F D E F D E F ⎧++++=⎪+-+-+=⎨⎪+-+-+=⎩，解之得4612D E F =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩. 所以所求圆的标准方程为：2246120x y x y +-+-=.【基础知识】1．圆的定义：在平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆． 2．圆的标准方程(1) 若圆的圆心为C(a,b ),半径为r ，则该圆的标准方程为：222()()x a y b r -+-=． (2) 方程222()()x a y b r -+-=表示圆心为C(a,b ),半径为r 的圆． 3．圆的一般方程(1)任意一个圆的方程都可化为：220x y Dx Ey F ++++=.这个方程就叫做圆的一般方程． (2) 对方程：220x y Dx Ey F ++++=.①若2240D E F +->，则方程表示以(2D -，)2E -为圆心,F E D 42122-+为半径的圆；②若0422=-+F E D ，则方程只表示一个点(2D -，)2E-； ③若0422<-+F E D ，则方程不表示任何图形． 4.点00()A x y ，与⊙C 的位置关系(1)|AC |<r ⇔点A 在圆内⇔22200()()x a y b r <－＋－； (2)|AC |＝r ⇔点A 在圆上⇔22200()()x a y b r =－＋－； (3)|AC |>r ⇔点A 在圆外⇔22200()()x a y b r >－＋－.【思想方法】1.求圆的方程，采用待定系数法：①若已知条件与圆的圆心和半径有关，可设圆的标准方程． ②若已知条件没有明确给出圆的圆心和半径，可选择圆的一般方程． 2.在求圆的方程时，常用到圆的以下几何性质： ①圆心在过切点且与切线垂直的直线上； ②圆心在任一弦的垂直平分线上．【温馨提醒】求圆的标准方程，可用待定系数法，也可直接求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程；求圆的一般方程，一般都用待定系数法．考点2 圆的方程综合应用【2-1】(2014.无锡模拟)在圆22260x y x y +--=内，过点(0,1)E 的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为_______.【答案】52【解析】由题意，AC 为直径.设圆心为F ，则FE BD ⊥，圆的标准方程为()()221310x y -+-=，故()1,3F ，由此，易得：210AC =，又31210EF k -==-，所以直线BD 的方程为112y x =-+，F 到BD 的距离为113255-+-=，由此得，25BD =. 所以四边形ABCD 的面积为112521010222S AC BD =⋅=⨯⨯=. 【2-2】P(x y)，在圆22C (x 1)(y 1)1：－＋－＝上移动，试求22x y ＋的最小值． 【答案】322-【解析】由已知C(11)，得OC ＝2，则min OP 21＝－，即(22x y +)min 21＝－.所以22x y ＋的最小值为221)322=-(－.【2-3】设圆满足：①截y 轴所得弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长之比为3：1；③圆心到直线:20l x y -=的距离为55，求该圆的方程． 【答案】22(1)(1)2x y -+-=或22(1)(1)2x y +++=【基础知识】1. 圆的标准方程为：222()()x a y b r -+-=2．圆的一般方程．：220x y Dx Ey F ++++=（2240D E F +->）.3.点000(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离：d =.【思想方法】1.确定圆的方程常用待定系数法，其步骤为：一根据题意选择标准方程或一般方程；二是根据题设条件列出方程组；三是由方程组求出待定的系数，代入所设的圆的方程；2.在求圆的方程时，常用到圆的以下几个性质：一是圆心在过切点且与切线垂直的直线上；二是圆心在任一弦的中垂线上；3．解方程组时，把所求的值代入检验一下是否正确.【温馨提醒】在圆的综合性问题中，往往需要利用圆的方程来确定圆心坐标和半径，根据图形应用圆的几何性质.应用距离公式及基本不等式等，解决最值问题. 【易错问题大揭秘】失误与防范]1．求圆的方程需要三个独立条件，所以不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立方程．2．过圆外一定点，求圆的切线，应该有两个结果，若只求出一个结果，应该考虑切线斜率不存在的情况．。
高考数学一轮复习讲义(新高考版) 第9章 第3讲 圆的方程
第3讲圆的方程一、知识梳理1．圆的方程标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)圆心(a,b)半径为r 一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0条件:D2＋E2－4F＞0圆心:⎝⎛⎭⎪⎫－D2－E2半径:r＝12D2＋E2－4F2.点M(x0,y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系．(1)若M(x0,y0)在圆外,则(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2.(2)若M(x0,y0)在圆上,则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.(3)若M(x0,y0)在圆内,则(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2.常用结论1．以A(x1,y1),B(x2,y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0. 2．二元二次方程表示圆的条件对于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆时易忽视D2＋E2－4F＞0这一条件．二、教材衍化1．圆x2＋y2－2x＋4y－6＝0的圆心坐标________,半径________．答案:(1,－2)112．若圆的圆心为(－8,3),且经过点(－5,0),则圆的标准方程为________．答案:(x＋8)2＋(y－3)2＝183．在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为________．答案:x2＋y2－2x＝0一、思考辨析判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．()(2)方程x 2＋y 2＝a 2表示半径为a 的圆．( ) (3)方程x 2＋y 2＋4mx －2y ＋5m ＝0表示圆．( )(4)方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是A ＝C ≠0,B ＝0,D 2＋E 2－4AF ＞0.( )答案:(1)√ (2)× (3)× (4)√ 二、易错纠偏常见误区| (1)忽视方程表示圆的条件D 2＋E 2－4F ＞0; (2)错用点与圆的位置关系判定．1．方程x 2＋y 2＋4mx －2y ＋5m ＝0表示圆的充要条件是( ) A ．14＜m ＜1B ．m ＜14或m ＞1C ．m ＜14D ．m ＞1解析:选B ．由(4m )2＋4－4×5m ＞0,得m ＜14或m ＞1.2．点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4内,则实数a 的取值范围是________． 解析:因为点(1,1)在圆的内部, 所以(1－a )2＋(1＋a )2＜4, 所以－1＜a ＜1. 答案:(－1,1)考点一 求圆的方程(基础型)复习指导| 回顾确定圆的几何要素,在平面直角坐标系中,探索并掌握圆的标准方程与一般方程．核心素养:数学运算(1)圆心在x 轴上,半径长为2,且过点A (2,1)的圆的方程是( ) A ．(x －2－3)2＋y 2＝4 B ．(x －2＋3)2＋y 2＝4 C ．(x －2±3)2＋y 2＝4D ．(x －2)2＋(y －1)2＝4(2)(一题多解)圆心在直线x －2y －3＝0上,且过点A (2,－3),B (－2,－5)的圆的方程为________．【解析】 (1)根据题意可设圆的方程为(x －a )2＋y 2＝4,因为圆过点A (2,1),所以(2－a )2＋12＝4,解得a ＝2±3,所以所求圆的方程为(x －2±3)2＋y 2＝4.(2)法一:设点C 为圆心,因为点C 在直线x －2y －3＝0上,所以可设点C 的坐标为(2a ＋3,a )．又该圆经过A ,B 两点,所以|CA |＝|CB |, 即(2a ＋3－2)2＋(a ＋3)2＝(2a ＋3＋2)2＋(a ＋5)2,解得a ＝－2, 所以圆心C 的坐标为(－1,－2),半径r ＝10, 故所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10. 法二:设所求圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2,由题意得⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )2＋(－3－b )2＝r 2(－2－a )2＋(－5－b )2＝r 2a －2b －3＝0解得a ＝－1,b ＝－2,r 2＝10,故所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10. 法三:设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0,则圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D2－E 2,由题意得⎩⎨⎧－D2－2×⎝⎛⎭⎫－E 2－3＝04＋9＋2D －3E ＋F ＝04＋25－2D －5E ＋F ＝0解得D ＝2,E ＝4,F ＝－5.故所求圆的方程为x 2＋y 2＋2x ＋4y －5＝0.【答案】 (1)C (2)x 2＋y 2＋2x ＋4y －5＝0求圆的方程的两种方法(1)直接法根据圆的几何性质,直接求出圆心坐标和半径,进而写出方程． (2)待定系数法①若已知条件与圆心(a ,b )和半径r 有关,则设圆的标准方程,依据已知条件列出关于a ,b ,r 的方程组,从而求出a ,b ,r 的值;②若已知条件没有明确给出圆心或半径,则选择圆的一般方程,依据已知条件列出关于D ,E ,F 的方程组,进而求出D ,E ,F 的值．[提醒] 解答圆的有关问题,应注意数形结合,充分运用圆的几何性质．1．(2020·内蒙古巴彦淖尔月考)在平面直角坐标系中,点O (0,0),A (2,4),B (6,2),则三角形OAB 的外接圆方程是________．解析:设三角形OAB 的外接圆方程是x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0,由点O (0,0),A (2,4),B (6,2)在圆上可得⎩⎪⎨⎪⎧F ＝04＋16＋2D ＋4E ＋F ＝036＋4＋6D ＋2E ＋F ＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0D ＝－6E ＝－2故三角形的外接圆方程为x 2＋y 2－6x －2y ＝0.答案:x 2＋y 2－6x －2y ＝02．若圆C 经过坐标原点与点(4,0),且与直线y ＝1相切,则圆C 的方程是________． 解析:因为圆的弦的垂直平分线必过圆心且圆经过点(0,0)和(4,0),设圆心为(2,m ),又因为圆与直线y ＝1相切,所以22＋m 2＝|1－m |,解得m ＝－32,所以圆C的方程为(x －2)2＋⎝⎛⎭⎫y ＋322＝254. 答案:(x －2)2＋⎝⎛⎭⎫y ＋322＝254考点二 与圆有关的最值问题(综合型)复习指导| 求解此类问题常利用数形结合思想或函数思想． 角度一 借助几何性质求最值已知实数x ,y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0. (1)求yx 的最大值和最小值;(2)求y －x 的最大值和最小值; (3)求x 2＋y 2的最大值和最小值．【解】 原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3,表示以(2,0)为圆心,3为半径的圆． (1)yx 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率, 所以设yx＝k ,即y ＝kx .当直线y ＝kx 与圆相切时,斜率k 取最大值或最小值,此时|2k －0|k 2＋1＝3,解得k ＝±3(如图1)．所以yx的最大值为3,最小值为－ 3.(2)y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距,当直线y ＝x ＋b 与圆相切时,纵截距b 取得最大值或最小值,此时|2－0＋b |2＝3,解得b ＝－2±6(如图2)．所以y －x 的最大值为－2＋6,最小值为－2－ 6.(3)x 2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方,由平面几何知识知,在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图3)．又圆心到原点的距离为(2－0)2＋(0－0)2＝2,所以x 2＋y 2的最大值是(2＋3)2＝7＋43,x 2＋y 2的最小值是(2－3)2＝7－4 3.与圆有关的最值问题的三种几何转化法(1)形如μ＝y －bx －a 形式的最值问题可转化为动直线斜率的最值问题．(2)形如t ＝ax ＋by 形式的最值问题可转化为动直线截距的最值问题．(3)形如m ＝(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．角度二 建立函数关系求最值设点P (x ,y )是圆:(x －3)2＋y 2＝4上的动点,定点A (0,2),B (0,－2),则|P A →＋PB →|的最大值为________．【解析】 由题意,知P A →＝(－x ,2－y ),PB →＝(－x ,－2－y ),所以P A →＋PB →＝(－2x ,－2y ),由于点P (x ,y )是圆上的点,故其坐标满足方程(x －3)2＋y 2＝4,故y 2＝－(x －3)2＋4,所以|P A →＋PB →|＝4x 2＋4y 2＝26x －5.由圆的方程(x －3)2＋y 2＝4,易知1≤x ≤5,所以当x ＝5时,|P A →＋PB →|的值最大,最大值为26×5－5＝10.【答案】 10建立函数关系式求最值根据已知条件列出相关的函数关系式,再根据关系式的特征选用基本不等式、函数单调性等方法求最值．1．(2020·厦门模拟)设点P (x ,y )是圆:x 2＋(y －3)2＝1上的动点,定点A (2,0),B (－2,0),则P A →·PB →的最大值为________．解析:由题意,知P A →＝(2－x ,－y ),PB →＝(－2－x ,－y ),所以P A →·PB →＝x 2＋y 2－4,由于点P (x ,y )是圆上的点,故其坐标满足方程x 2＋(y －3)2＝1,故x 2＝－(y －3)2＋1,所以P A →·PB →＝－(y －3)2＋1＋y 2－4＝6y －12.易知2≤y ≤4,所以,当y ＝4时,P A →·PB →的值最大,最大值为6×4－12＝12.答案:122．已知实数x ,y 满足(x －2)2＋(y －1)2＝1,则z ＝y ＋1x 的最大值与最小值分别为________和________．解析:由题意,得y ＋1x 表示过点A (0,－1)和圆(x －2)2＋(y －1)2＝1上的动点P (x ,y )的直线的斜率．当且仅当直线与圆相切时,直线的斜率分别取得最大值和最小值．设切线方程为y ＝kx －1,即kx －y －1＝0,则|2k －2|k 2＋1＝1,解得k ＝4±73,所以z max ＝4＋73,z min ＝4－73. 答案:4＋73 4－73考点三 与圆有关的轨迹问题(综合型)已知A (2,0)为圆x 2＋y 2＝4上一定点,B (1,1)为圆内一点,P ,Q 为圆上的动点． (1)求线段AP 中点的轨迹方程;(2)若∠PBQ ＝90°,求线段PQ 中点的轨迹方程． 【解】 (1)设AP 的中点为M (x ,y ),由中点坐标公式可知,P 点坐标为(2x －2,2y )． 因为P 点在圆x 2＋y 2＝4上, 所以(2x －2)2＋(2y )2＝4.故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1. (2)设PQ 的中点为N (x ,y ), 在Rt △PBQ 中,|PN |＝|BN |,设O 为坐标原点,连接ON ,则ON ⊥PQ , 所以|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2, 所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4.故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0.与圆有关的轨迹问题的四种求法已知Rt △ABC 的斜边为AB ,且A (－1,0),B (3,0)．求:(1)直角顶点C 的轨迹方程;(2)直角边BC 的中点M 的轨迹方程． 解:(1)法一:设C (x ,y ),因为A ,B ,C 三点不共线,所以y ≠0. 因为AC ⊥BC ,所以k AC ·k BC ＝－1, 又k AC ＝y x ＋1,k BC ＝y x －3,所以y x ＋1·yx －3＝－1,化简得x 2＋y 2－2x －3＝0.因此,直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(y ≠0)．法二:设AB 的中点为D ,由中点坐标公式得D (1,0),由直角三角形的性质知|CD |＝12|AB |＝2.由圆的定义知,动点C 的轨迹是以D (1,0)为圆心,2为半径的圆(由于A ,B ,C 三点不共线,所以应除去与x 轴的交点)．所以直角顶点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0)． (2)设M (x ,y ),C (x 0,y 0),因为B (3,0),M 是线段BC 的中点, 由中点坐标公式得x ＝x 0＋32,y ＝y 0＋02,所以x 0＝2x －3,y 0＝2y .由(1)知,点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0), 将x 0＝2x －3,y 0＝2y 代入得(2x －4)2＋(2y )2＝4, 即(x －2)2＋y 2＝1.因此动点M 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝1(y ≠0)．[基础题组练]1．已知圆C 的圆心为(2,－1),半径长是方程(x ＋1)(x －4)＝0的解,则圆C 的标准方程为( )A ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝4B ．(x －2)2＋(y －1)2＝4C ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝16D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝16解析:选C ．根据圆C 的半径长是方程(x ＋1)(x －4)＝0的解,可得半径长为4,故要求的圆的标准方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝16.2．(2020·河北九校第二次联考)圆C 的半径为2,圆心在x 轴的正半轴上,直线3x ＋4y ＋4＝0与圆C 相切,则圆C 的方程为( )A ．x 2－y 2－2x －3＝0B ．x 2＋y 2＋4x ＝0C ．x 2＋y 2－4x ＝0D ．x 2＋y 2＋2x －3＝0解析:选C ．由题意设所求圆的方程为(x －m )2＋y 2＝4(m ＞0),则|3m ＋4|32＋42＝2,解得m ＝2或m ＝－143(舍去),故所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝4,即x 2＋y 2－4x ＝0,故选C ．3．方程|x |－1＝1－(y －1)2所表示的曲线是( ) A ．一个圆 B ．两个圆 C ．半个圆D ．两个半圆解析:选D ．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧(|x |－1)2＋(y －1)2＝1|x |－1≥0即⎩⎨⎧(x －1)2＋(y －1)2＝1x ≥1或⎩⎨⎧(x ＋1)2＋(y －1)2＝1x ≤－1.故原方程表示两个半圆．4．(2020·湖南长沙模拟)圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的点到直线x －y ＝2距离的最大值是( )A ．1＋ 2B ．2C ．1＋22D ．2＋2 2解析:选A ．将圆的方程化为(x －1)2＋(y －1)2＝1,圆心坐标为(1,1),半径为1,则圆心到直线x －y ＝2的距离d ＝|1－1－2|2＝2,故圆上的点到直线x －y ＝2距离的最大值为d ＋1＝2＋1,选A ．5．点P (4,－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1解析:选A ．设圆上任一点为Q (x 0,y 0),PQ 的中点为M (x ,y ),则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋x 02y ＝－2＋y 02解得⎩⎨⎧x 0＝2x －4y 0＝2y ＋2.因为点Q 在圆x 2＋y 2＝4上,所以x 20＋y 20＝4,即(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4,化简得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.6．已知a ∈R ,方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆,则圆心坐标是________,半径是________．解析:已知方程表示圆,则a 2＝a ＋2, 解得a ＝2或a ＝－1.当a ＝2时,方程不满足表示圆的条件,故舍去． 当a ＝－1时,原方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0, 化为标准方程为(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25, 表示以(－2,－4)为圆心,半径为5的圆． 答案:(－2,－4) 57．过两点A (1,4),B (3,2)且圆心在直线y ＝0上的圆的标准方程为________．解析:设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.因为圆心在直线y ＝0上,所以b ＝0,所以圆的方程为(x －a )2＋y 2＝r 2.又因为该圆过A (1,4),B (3,2)两点,所以⎩⎪⎨⎪⎧(1－a )2＋16＝r 2(3－a )2＋4＝r 2解得⎩⎨⎧a ＝－1r 2＝20.所以所求圆的方程为(x ＋1)2＋y 2＝20.答案:(x ＋1)2＋y 2＝208．若圆C 与圆x 2＋y 2＋2x ＝0关于直线x ＋y －1＝0对称,则圆C 的方程是________． 解析:设C (a ,b ),因为已知圆的圆心为A (－1,0),由点A ,C 关于x ＋y －1＝0对称得⎩⎪⎨⎪⎧ba ＋1×(－1)＝－1a －12＋b2－1＝0解得⎩⎨⎧a ＝1b ＝2.又因为圆的半径是1,所以圆C 的方程是(x －1)2＋(y －2)2＝1, 即x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0. 答案:x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0 9．求适合下列条件的圆的方程．(1)圆心在直线y ＝－4x 上,且与直线l :x ＋y －1＝0相切于点P (3,－2); (2)过三点A (1,12),B (7,10),C (－9,2)．解:(1)法一:设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2,则有⎩⎨⎧b ＝－4a(3－a )2＋(－2－b )2＝r2|a ＋b －1|2＝r解得a ＝1,b ＝－4,r ＝2 2.所以圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.法二:过切点且与x ＋y －1＝0垂直的直线为y ＋2＝x －3,与y ＝－4x 联立可求得圆心为(1,－4)．所以半径r ＝(1－3)2＋(－4＋2)2＝22,所以所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.(2)设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0),则⎩⎨⎧1＋144＋D ＋12E ＋F ＝049＋100＋7D ＋10E ＋F ＝081＋4－9D ＋2E ＋F ＝0.解得D ＝－2,E ＝－4,F ＝－95.所以所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －95＝0.10．已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1,0)和B (3,4),线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ,且|CD |＝410.(1)求直线CD 的方程; (2)求圆P 的方程．解:(1)由题意知,直线AB 的斜率k ＝1,中点坐标为(1,2)． 则直线CD 的方程为y －2＝－(x －1),即x ＋y －3＝0. (2)设圆心P (a ,b ),则由点P 在CD 上得a ＋b －3＝0.① 又因为直径|CD |＝410,所以|P A |＝210, 所以(a ＋1)2＋b 2＝40.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3b ＝6或⎩⎨⎧a ＝5b ＝－2.所以圆心P (－3,6)或P (5,－2)．所以圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40.[综合题组练]1．自圆C :(x －3)2＋(y ＋4)2＝4外一点P (x ,y )引该圆的一条切线,切点为Q ,PQ 的长度等于点P 到原点O 的距离,则点P 的轨迹方程为( )A ．8x －6y －21＝0B ．8x ＋6y －21＝0C ．6x ＋8y －21＝0D ．6x －8y －21＝0解析:选D ．由题意得,圆心C 的坐标为(3,－4),半径r ＝2,如图．因为|PQ|＝|PO|,且PQ⊥CQ,所以|PO|2＋r2＝|PC|2,所以x2＋y2＋4＝(x－3)2＋(y＋4)2,即6x－8y－21＝0,所以点P的轨迹方程为6x－8y－21＝0,故选D．2．设点P是函数y＝－4－(x－1)2的图象上的任意一点,点Q(2a,a－3)(a∈R),则|PQ|的最小值为()A．855－2 B． 5C．5－2 D．755－2解析:选C．如图所示,点P在半圆C(实线部分)上,且由题意知,C(1,0),点Q在直线l:x－2y －6＝0上．过圆心C作直线l的垂线,垂足为点A,则|CA|＝5,|PQ|min＝|CA|－2＝5－2.故选C．3．(应用型)已知平面区域⎩⎨⎧x≥0y≥0x＋2y－4≤0恰好被面积最小的圆C:(x－a)2＋(y－b)2＝r2及其内部所覆盖,则圆C的方程为________．解析:由题意知,此平面区域表示的是以O(0,0),P(4,0),Q(0,2)所构成的三角形及其内部,所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆．因为△OPQ为直角三角形,所以圆心为斜边PQ的中点(2,1),半径r＝|PQ|2＝5,因此圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.答案:(x－2)2＋(y－1)2＝54．(应用型)已知A (0,2),点P 在直线x ＋y ＋2＝0上,点Q 在圆C :x 2＋y 2－4x －2y ＝0上,则|P A |＋|PQ |的最小值是________．解析:因为圆C :x 2＋y 2－4x －2y ＝0,故圆C 是以C (2,1)为圆心,半径r ＝5的圆．设点A (0,2)关于直线x ＋y ＋2＝0的对称点为A ′(m ,n ),故⎩⎪⎨⎪⎧m ＋02＋n ＋22＋2＝0n －2m －0＝1 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4n ＝－2故A ′(－4,－2)． 连接A ′C 交圆C 于Q ,由对称性可知|P A |＋|PQ |＝|A ′P |＋|PQ |≥|A ′Q |＝|A ′C |－r ＝2 5.答案:2 55．(2018·高考全国卷Ⅱ)设抛物线C :y 2＝4x 的焦点为F ,过F 且斜率为k (k ＞0)的直线l 与C 交于A ,B 两点,|AB |＝8.(1)求l 的方程;(2)求过点A ,B 且与C 的准线相切的圆的方程．解:(1)由题意得F (1,0),l 的方程为y ＝k (x －1)(k ＞0)．设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)．由⎩⎨⎧y ＝k (x －1)y 2＝4x得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0. Δ＝16k 2＋16＞0,故x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2. 所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝4k 2＋4k 2. 由题设知4k 2＋4k 2＝8,解得k ＝－1(舍去),k ＝1. 因此l 的方程为y ＝x －1.(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3,2),所以AB 的垂直平分线方程为y －2＝－(x －3),即y ＝－x ＋5.设所求圆的圆心坐标为(x 0,y 0),则⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝－x 0＋5(x 0＋1)2＝(y 0－x 0＋1)22＋16. 解得⎩⎨⎧x 0＝3y 0＝2或⎩⎨⎧x 0＝11y 0＝－6.因此所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16或(x －11)2＋(y ＋6)2＝144.6．已知圆C 的方程为x 2＋(y －4)2＝1,直线l 的方程为2x －y ＝0,点P 在直线l 上,过点P 作圆C 的切线P A ,PB ,切点分别为A ,B .(1)若∠APB ＝60°,求点P 的坐标;(2)求证经过A ,P ,C (其中点C 为圆C 的圆心)三点的圆必经过定点,并求出所有定点的坐标．解:(1)由条件可得圆C 的圆心坐标为(0,4),|PC |＝2,设P (a ,2a ),则a 2＋(2a －4)2＝2,解得a ＝2或a ＝65, 所以点P 的坐标为(2,4)或⎝ ⎛⎭⎪⎫65125. (2)证明:设P (b ,2b ),过点A ,P ,C 的圆即是以PC 为直径的圆,其方程为x (x －b )＋(y －4)(y －2b )＝0,整理得x 2＋y 2－bx －4y －2by ＋8b ＝0,即(x 2＋y 2－4y )－b (x ＋2y －8)＝0. 由⎩⎨⎧x 2＋y 2－4y ＝0x ＋2y －8＝0解得⎩⎨⎧x ＝0y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝85y ＝165所以该圆必经过定点(0,4)和⎝ ⎛⎭⎪⎫85165.。
高考数学专题复习：圆的方程
高考数学专题复习：圆的方程一、单选题1．以直线30()ax y a a ---=∈R 经过的定点为圆心，2为半径的圆的方程是（ ） A ．222660x y x y +-++= B ．222660x y x y ++-+= C ．226260x y x y ++-+=D ．226260x y x y +-++=2．已知圆()()22:124C x y ++-=，则其圆心的坐标为（ ） A ．()1,2-B ．()1,2--C ．()1,2-D ．()1,23．圆224630x y x y ++--=的圆心坐标为（ ） A ．()2,3-B ．()2,3C ．()2,3-D ．()2,3--4．在平面直角坐标系中，圆心在原点半径为3的圆的方程是（ ） A ．221x y += B ．224x y += C ．229x y +=D ．2216x y +=5．以点(2,3)P -为圆心，与y 轴相切的圆的方程是（ ） A ．22(2)(3)4x y ++-= B ．22(2)(3)9x y ++-= C ．22(2)(3)4x y -++=D ．22(2)(3)9x y -++=6．已知点()3,2A -，()5,4B -，则以线段AB 为直径的圆的方程是（ ） A ．()()2211100x y ++-= B ．()()221125x y -++= C ．()()2211100x y -++=D ．()()221125x y ++-=7．若圆()22200x y ax a +-=>的半径为2，则实数a 的值为（ ）A ．12a =B ．1a =C ．2a =D ．a =8．若点()1,1P 在圆22:0C x y x y k ++-+=的外部，则实数k 的取值范围是（ ） A ．()2,-+∞B ．12,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭C ．12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．()2,2-9．已知圆2228130+--+=x y x y 的圆心到直线()10kx y k +-=∈Z 的距离为()110,02k a b a b +=>>，则a b +的最小值为（ ）A ．32B ．32+C ．32D ．3210．圆心在x 轴上，且过点()1,3--的圆与y 轴相切，则该圆的方程是（ ） A ．22100x y y ++= B ．22100x y y +-= C ．22100x y x ++=D ．22100x y x +-=11．在平面直角坐标系中，四点坐标分别为()((2,0,3,2,1,2,A B C ()4,D a ，若它们都在同一个圆周上，则a 的值为（ ）A ．0B ．1C ．2D 12．若直线:30l mx ny ++=始终平分圆22:2310C x x y y -++-=，则23m n -=（ ） A ．﹣6 B ．﹣3 C ．3 D ．6二、填空题13．已知点()2,1A --，()1,3B ，则以线段AB 为直径的圆的方程为________．14．已知圆C 的圆心坐标是()0,m ，若直线230x y -+=与圆C 相切于点()2,7A ，则圆C 的标准方程为________.15．已知三个点()0,0A ，()2,0B ，()4,2C ，则ABC 的外接圆的圆心坐标是________. 16．圆()()22:3681C x y -++=关于点()1,2A -中心对称的圆的方程为________.三、解答题17．已知动圆C 经过坐标原点O ，且圆心C 在直线:24l x y +=上. （1）求半径最小时的圆C 的方程；（2）求证：动圆C 恒过一个异于点O 的定点.18．已知方程2221)20x y x ty t +++++-=表示一个圆． （1）求t 的取值范围；（2）若圆的直径为6，求t 的值．19．已知直线20,l y --=圆22:(4)1,M x y L +-=表示函数2y x 的图像．（1）写出圆M 的圆心坐标； （2）求圆心M 到l 直线的距离；（3）若点P 在圆M 上，点Q 在L 上，求PQ 的最小值．20．已知曲线C ：222240x y x y m +--+=表示圆，圆心为C . （1）求圆C 的面积的取值范围；（2）若曲线C 与直线240x y +-=交于M ､N 两点，且CM CN ⊥，求实数m 的值.21．已知直线l 平行于直线3470x y +-=，并且与两坐标轴围成的OAB 的面积为24. （1）求直线l 的方程； （2）求OAB 的内切圆的方程.22．已知圆C 经过点()2,1A -和()0,3B -，且圆心在直线2y x =-上. （1）求圆C 的方程；（2）若直线l 过点()2,0P 且与圆心C 的距离为1，求直线l 的方程.参考答案1．A 【分析】先由直线的方程求得直线恒过的定点，再由圆的圆心和半径得出圆的方程得选项. 【详解】解：因为直线方程为30()ax y a a ---=∈R ，即()()130a x y a ---=∈R ，所以直线过定点()1,3-，所以圆方程为22(1)(3)4x y -++=，即222660x y x y +-++=， 故选：A. 2．C 【分析】根据圆的标准方程，直接求圆心坐标. 【详解】圆()()22:124C x y ++-=，则其圆心的坐标为()1,2-.故选：C 3．A 【分析】将方程的一般式化成标准式，即求得圆心坐标. 【详解】圆224630x y x y ++--=可化为：()()222316x y ++-=，故圆心为()2,3-，半径为4.故选：A. 4．C 【分析】根据圆心坐标和半径直接写出圆的标准方程. 【详解】解：因为圆的圆心在原点半径为3，所以圆的方程是229x y +=. 故选：C. 5．C 【分析】根据圆与y 轴相切得出半径，再根据圆心和半径写出圆的标准方程. 【详解】由题知，圆心为(2,3)P -，因为圆P 与y 轴相切，所以圆P 的半径2p r x ==， 所求圆的方程为()()22234x y -++=. 故选：C. 6．D 【分析】求出圆的直径式方程后再将其化简为标准方程，从而可得正确的选项，我们也可以求出圆心和半径，从而得到圆的方程. 【详解】法1：以线段AB 为直径的圆的直径式方程为()()()()35240x x y y -+++-=， 整理得到：()()221125x y ++-=， 故选：D.法2：因为圆以AB 为直径，故圆心为AB 的中点()1,1-，又10AB =，故圆的半径为5，故以线段AB 为直径的圆的方程为：()()221125x y ++-=. 故选：D. 7．C 【分析】先由()22200x y ax a +-=>化为标准方程，再利用半径为2列方程可求出实数a 的值【详解】解：由()22200x y ax a +-=>，得()222(0)x a y a a -+=>，因为圆()22200x y ax a +-=>的半径为2，所以2a =， 故选：C 8．C 【分析】由于点()1,1P 在圆22:0C x y x y k ++-+=的外部，所以111101140k k ++-+>⎧⎨+->⎩，从而可求出k 的取值范围 【详解】解：由题意得111101140k k ++-+>⎧⎨+->⎩，解得122k -<<，故选：C ． 9．D 【分析】利用点到直线的距离公式求出整数k 的值，然后将112a b+与a b +相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】圆2228130+--+=x y x y 的圆心坐标为()1,4，=27610k k --=，k Z ∈，解得1k =，因为0a >，0b >且1112a b+=，所以，()1133322222b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当a =时，等号成立，因此，a b +的最小值为32故选：D. 10．C 【分析】根据题意设圆心坐标，建立方程，求解即可. 【详解】解：设圆心坐标为(),0t ，因为圆心在x 轴上且圆与y 轴相切，所以t 即为半径,t ，解得5t =-，所以圆心坐标为：()5,0-，半径为5，该圆的方程是()22525x y +++=, 展开得：22100x y x ++=. 故选：C. 11．C 【分析】设出圆的一般式220x y Dx Ey F ++++=，根据()((2,0,3,2,1,2,A B C 求出444D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，然后将点()4,D a 带入圆的方程即可求得结果. 【详解】设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，由题意得((((2222222020323201220D F D E F D E F ⎧+++=⎪⎪++++=⎨⎪⎪+++++=⎩，解得444D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，所以224440x y x y +--+=，又因为点()4,D a 在圆上，所以22444440a a +-⨯-+=，即2a =. 故选：C. 12．A 【分析】根据圆的一般方程求得圆的圆心，再根据圆的直径的性质可得选项. 【详解】解：由22:2310C x x y y -++-=得圆心31,2C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为直线平分圆，所以直线必过圆心31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，则3302m n -+=，则236m n -=-．故选：A.13．()22125124x y ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭ 【分析】利用线段中点坐标公式求出圆心坐标，利用两点间距离公式求出半径，然后写出圆的标准方程． 【详解】∵()2,1A --，()1,3B ，线段AB 的中点()00,M x y ,则0021113,1222x y -+-+==-== , 即圆心坐标为1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭,()2222125||1+3124R BM ⎛⎫==+-=⎪⎝⎭， 所以该圆的标准方程为()22125124x y ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭.故答案为：()22125124x y ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭．14．()2285+-=x y 【分析】由题意画出图形，利用圆心与切点的连线与切线垂直求得m ，再求半径，即可写出圆的方程． 【详解】 解：如图所示，由圆心()0,C m 与切点A 的连线与切线垂直，得71022-=--m ，解得8m =. 所以圆心为()0,8，半径为r 所以圆C 的标准方程为()2285+-=x y . 故答案为：()2285+-=x y . 15．(1，3) 【分析】设出圆的一般方程，代入三点坐标后可求解. 【详解】设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=， 则04202042+0F D F D E F =⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得260D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩， 所以圆方程为22216910x x y y -++-+=，即22(1)(3)10x y -+-=， 所以圆心坐标为(1,3). 故答案为：(1,3).16．()()2251081x y ++-= 【分析】求出圆心的坐标，进而可得出所求圆的标准方程. 【详解】圆心()3,6C -关于点()1,2A -中心对称点的坐标为()5,10C '-， 故所求圆的方程为()()2251081x y ++-=. 故答案为：()()2251081x y ++-=.17．（1）228416()()555x y -+-=；（2）证明见解析. 【分析】（1）设出圆心坐标，表示出半径，利用二次函数的性质可得半径的最小值，进而可得此时圆的方程；（2）设定点坐标0(x ，0)y ，表示出圆的方程，当a 为变量时，0x ，0y 能使该等式恒成立，即00420y x -=且2200080x y y +-=，解方程组可得定点坐标． 【详解】（1）因为圆心C 在直线:24l x y +=上， 所以设圆心的坐标为(,42)a a -. 又因为动圆C 经过坐标原点O ，所以动圆的半径r r 并且此时圆的方程为：228416()()555x y -+-=. （2）设定点坐标0(x ，0)y ，因为圆的方程为：2222()[(42)](42)x a y a a a -+--=+-所以22000022(42)0x ax y a y -+--=， 即2200000(42)(8)0a y x x y y -++-=， 因为当a 为变量时，0x ，0y 却能使该等式恒成立，所以只可能00420y x -=且220080x y y +-= 即解方程组可得：085y =，0165x =或者00y =，00x =（舍去）所以圆C 恒过一定点16(5，8)5.18．（1）()+∞；（2 【分析】（1）由22490D E F +-=+>，即可求解； （2）根据圆的直径为6，列出方程，即可求解. 【详解】（1）由题意，方程2221)20x y x ty t +++++-=表示圆，则满足2222241)4(2)90D E F t t +-=++--=+>，解得t >即实数t 的取值范围()+∞.（2）由圆的直径为6，可得3r ，解得t =19．（1）(0,4)；（2）3；（31. 【分析】（1）直接可求圆心坐标；（2）根据点到直线的距离公式可得解；（3）设(,)Q m n ，由2n m =，及点点距可得72n =时，min ||QM ，进而减半径可得解. 【详解】（1）由圆22:(4)1M x y +-=，知圆心为(0,4)；（2）根据点到直线的距离公式得：3d == （3）设(,)Q m n ，则2n m =，||QM当72n =时，min ||QM =，此时PQ 1-.20．（1）(0,5]π（2）m =【分析】 （1）根据方程表示圆求出m 的范围，求出圆的半径的取值范围，由圆的面积公式可得结果；（2）将CM CN ⊥转化为圆心到直线240x y +-=的距离d =可解得结果. 【详解】（1）因为曲线C ：222240x y x y m +--+=表示圆，所以2222441642040D E F m m +-=+-=->，解得m所以圆C 的半径r =， 所以圆C 的面积2(0,5]S r ππ=∈.（2）因为圆心(1,2)C ，半径r所以圆心到直线240x y +-=的距离d ==，因为CM CN ⊥，所以d =，=解得m =满足m <<【点睛】关键点点睛：将CM CN ⊥转化为圆心到直线240x y +-=的距离d 是解题关键. 21．（1）34240x y ++=或34240x y +-=；（2）22(2)(2)4x y -+-=或22(2)(2)4+++=x y .【分析】（1）设:340l x y m ++=.求出它与坐标轴的交点坐标，由三角形面积求出参数m 的值，得直线方程；（2）利用直角三角形内切圆半径等于两直角边的和减去斜边后除以2，即得圆心坐标，从而得圆方程．【详解】解：（1）设:340l x y m ++=.当0y =时，3m x =-； 当0x =时，4m y =-. ∵直线l 与两坐标轴围成的三角形面积为24， ∴124234m m ⋅-⋅-=. ∴24=±m .∴直线l 的方程为34240x y ++=或34240x y +-=.（2）∵直线l 的方程为186+=±x y ， OAB 直角边长为6和8，斜边长为10，∴ABC 的内切圆半径681022+-==r ，圆心(2,2)或(2,2)-- ∴ABC 的内切圆的方程为22(2)(2)4x y -+-=或22(2)(2)4+++=x y ．【点睛】关键点点睛：本题考查求直线方程，考查求直角三角形内切圆方程．解题关键是直角三角形内切圆性质：设直角三角形直角边长为,a b ，斜边长为c ，则内切圆半径为2a b c r +-=，然后由圆与三边相切可得圆心坐标．易得圆方程，解题时注意三角形有两种位置． 22．（1）()()22122x y -+=+；（2）2x =或3460x y --=.【分析】（1）设圆心坐标为(),2a a -，设圆C 的方程为()()2222x a y a r -++=，根据已知条件得出关于a 、2r 的方程，求出这两个量的值，由此可得出圆C 的方程；（2）对直线l 的斜率是否存在进行分类讨论，在直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为()2y k x =-，利用点到直线的距离可求得k 的值，可得出直线l 的方程；在直线l 的斜率不存在时，检验即可.综合可得出直线l 的方程.【详解】（1）由题意设圆心为(),2a a -，则圆C 的方程为()()2222x a y a r -++=， 因为圆C 经过点()2,1A -和()0,3B -，()()()22222222123a a r a a r⎧-+-=⎪∴⎨+-=⎪⎩，解得212a r =⎧⎨=⎩， 即圆C 的方程为()()22122x y -+=+；（2）当直线l 的斜率存在时，设直线l 的斜率为k ，则l 方程为()2y k x =-.又圆C 的圆心为()1,2-1=，解得34k =.此时，直线l 的方程为()324y x =-，即3460x y --=； 当l 的斜率不存在时，l 的方程为2x =，圆心到直线l 的距离也为1.综上，满足题意的直线l 的方程为2x =或3460x y --=.【点睛】方法点睛：求圆的方程，主要有两种方法：（1）几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线；（2）待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．。
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专题9.3 圆的方程班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的。
） 1.若坐标原点在圆22()()4x m y m -++=的内部，则实数m 的取值范围是（ ）（A ）11m -<< （B ）m -<（C ）m -<（D ）m -<<【答案】C2.【2018届贵州省贵阳市第一中学高三上学期月考一】已知圆的圆心在直线上，且与直线平行，则的方程是（ ） A. B.C.D.【答案】A 【解析】设直线为，代入点得．故选A ．3.【2018届黑龙江省伊春市第二中学高三上第一次月考】过点()1,1A -、()1,1B -，且圆心在20x y +-=上的圆的方程是（ ）A. ()()22314x y -++= B. ()()22314x y ++-= C. ()()22114x y -+-= D. ()()22114x y +++= 【答案】C【解析】AB 中垂线方程为y x = ，所以由y x =， 20x y +-=的交点得圆心()1,1 ，半径为2 ，因此圆的方程是()()22114x y -+-=，选C.4.若圆C 经过(1，0)，(3，0)两点，且与y 轴相切，则圆C 的方程为( )(A) 22(2)(2)3x y -+±= (B) 22(2)(3x y -+=(C) 22(2)(2)4x y -+±= (D) 22(2)(4x y -+=【解析】因为圆C 经过(1，0)，(3，0)两点，所以圆心在直线2x =，又圆与y 轴相切，所以半径2r =，设圆心坐标为()2,b ，则()22213b -+=，23,3b b ==±，选D .5.若点11P （，）为圆0622=-+x y x 的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线方程为( )A ．032=-+y xB ．012=+-y xC ．032=-+y xD ．012=--y x 【答案】D6.已知圆C 的圆心在x 轴上，且经过(5,2),(1,4)A B -两点，则圆C 的方程是（ ） A.22(2)17x y ++=B.22(2)13x y -+=C. 22(1)20x y -+=D. 22(1)40x y ++=【答案】C【解析】根据题意，圆心在线段AB 的垂直平分线上，中点为()2,3,斜率为3，则方程为()y 33x 2-=-.可知，3x y 30--=,令y 0=,得x 1=,故可知圆心为10（，）方程为22(1)20x y -+=，选C .7.【2018届黑龙江省大庆市大庆实验中学高三上期初】若圆()()()221,x a y b a R b R -+-=∈∈关于直线1y x =+对称的圆的方程是()()22131,x y -+-=则a b +等于（ ）A. 4B. 2C. 6D. 8【解析】圆心(1,3)关于直线y=x+1的对称点为（2,2）2,2,4a b a b ==+=，选A.8.【2018届广东省兴宁市沐彬中学高三上中段】圆()()22123x y -+-=与y 轴交于,M N 两点，则MN =（ ）【答案】C9.在圆22260x y x y +--=内，过点(0,1)E 的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为 ( )A． B．C.【答案】A【解析】由题意，AC 为直径.设圆心为F ，则FE BD ⊥，圆的标准方程为()()221310x y -+-=，故()1,3F，由此，易得：AC =31210EF k -==-，所以直线BD 的方程为112y x =-+，F 到BD=BD =所以四边形ABCD的面积为1122S AC BD =⋅=⨯=A . 10.过点P （1,1）的直线，将圆形区域{（x ，y ）|x 2+y 2≤4}分两部分，使这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为 （ ）A.x+y-2=0 B .y -1=0 C.x-y =0 D.x +3y-4=0 【答案】A11.已知圆O :225x y +=,直线l :cos sin 1x y θθ+=(π02θ<<).设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为k ,则k =（ ）.A.1B.2C.3D.4 【答案】D【解析】圆心到直线的距离为1d ==.圆225x y +=的半径r ，12r >，结合图形可知，在直线l 的两侧圆O 上各有两个点到直线l 的距离等于1，所以4k =，选D . 12.已知圆C ：2221()()64x a y a -+-=(a ∈R)，则下列命题：①圆C 上的点到()1,0的最短距离的最小值为78；②圆C 上有且只有一点P 到点1,08⎛⎫ ⎪⎝⎭的距离与到直线38x =-的距离相等；③已知3,08A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，在圆C 上有且只有一点P ，使得以AP 为直径的圆与直线18x =相切.真命题的个数为（ ） A ．0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D【解析】已知动圆C 的圆心的轨迹方程为：2y x =，所以动圆C 构成的轨迹为夹在抛物线218y x =-和抛物线218y x =+之间的部分（包括边界），所以①②③都满足题意，选D . 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
把答案填在题中的横线上。
）13.【2017届东北师大附中、哈尔滨师大附中、辽宁省实验中学高三下第四次联考】若圆M 过三点()()()1,3,4,2,1,7A B C -，则圆M 直径的长为__________．【答案】10【解析】令圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，过三点，可得1930{164420 14970D E F D E F D E F ++++=++++=++-+=，解得2,4,20D E F =-==-．则5r ==．故本题应填10．14.【2018届北京西城161高三上期中】已知圆C 与直线0x y -=及40x y --=都相切，圆心在直线0x y +=上，则圆C 的方程为__________．【答案】()()22112x y -++=15.【2017届广东省广州高三一模】若一个圆的圆心是抛物线24x y =的焦点，且该圆与直线3y x =+相切，则该圆的标准方程是__________．【答案】()2212x y +-=【解析】抛物线的焦点为()0,1，故圆心为()0,1，圆的半径为R == ()2212x y +-=．16.若经过点-3,0P （）的直线与圆224230x y x y ++-+=相切，则圆心坐标是 ；半径为 ；切线在y 轴上的截距是 ． 【答案】(2,1)-3- 【解析】根据题意，圆的方程可化为22(2)(1)2x y ++-=，所以其圆心坐标为(2,1)-程为(3)y k x =+，即30kx y k -+==22(1)22k k -=+，即2210k k ++=，解得1k =-，所以直线在y 轴上的截距是33k =-．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（1）已知两条直线1l ：60x my ++=，2l ：()2320m x y m -++=，问：当m 为何值时，1l 与2l 相交；（2）圆C 的方程为()()22114x y -++=，求圆C 关于直线0l ：0x y -=对称的圆的方程．【答案】（1）3m ≠且1m ≠- （2）()()22114x y ++-= 【解析】18.如图，已知圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点A ，B （B 在A 的上方），且2AB =. （Ⅰ）求圆C 的标准．．方程； （Ⅱ）求圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距.【答案】（Ⅰ）22(1)(2x y -+=；（Ⅱ）1--19.【2018届河北省衡水市武邑中学高三上第一次月考】如图，台风中心从A 地以每小时20千米的速度向东北方向（北偏东045）移动，离台风中心不超过300千米的地区为危险区域.城市B 在A 地的正东400千米处.请建立恰当的平面直角坐标系，解决以下问题：(1) 求台风移动路径所在的直线方程; (2)求城市B 处于危险区域的时间是多少小时？ 【答案】（1）400y x =+ （2）10【解析】试题分析：（Ⅰ） 根据条件建立恰当直角坐标系,由方位角求直线斜率,再根据点斜式写直线方程；（Ⅱ）先求台风移动直线被以B 为圆心，300千米为半径的圆所截弦长,利用垂径定理可得,再根据路程与速度、时间关系求城市B 处于危险区域的时间 试题解析：解： 法一、（1）以B 为原点，正东方向为x 轴建立如图所示的直角坐标系，则台风中心A 的坐标是(－400,0)，台风移动路径所在的直线方程为400y x =+（2）以B 为圆心，300千米为半径作圆，和直线400y x =+相交于1A 、2A 两点.可以认为，台风中心移到1A 时，城市B 开始受台风影响(危险区)，直到2A 时，解除影响.因为点B 到直线400y x =+的距离d =所以12200A A ==，而2001020= (小时).所以B 城市处于危险区内的时间是10小时. 法二、以A 为原点，正东方向为x 轴建立直角坐标系，则台风移动路径所在的直线方程为y x =，以B 为圆心，300千米为半径作圆，则圆方程为()222400300x y -+=，以下思路类似法一.20.已知点)2,2(P ，圆C :0822=-+y y x ，过点P 的动直线l 与圆C 交于B A ,两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点.(1)求M 的轨迹方程；(2)当OM OP =时，求l 的方程及POM ∆的面积 【答案】（1）22(1)(3)2x y -+-=;（2）l 的方程为1833y x =-+; POM ∆的面积为165.（2）由（1）可知M 的轨迹是以点(1,3)N .由于||||OP OM =，故O 在线段PM 的垂直平分线上，又P 在圆N 上，从而ON PM ⊥. 因为ON 的斜率为3，所以l 的斜率为13-，故l 的方程为1833y x =-+.又||||OP OM ==，O 到l 的距离为5，||5PM =，所以POM ∆的面积为165.21.已知点P (0,5)及圆C ：x 2＋y 2＋4x －12y ＋24＝0.（I ）若直线l 过点P 且被圆C 截得的线段长为43，求l 的方程； （II ）求过P 点的圆C 的弦的中点D 的轨迹方程．【答案】（1）直线l 的方程为： 34200x y -+=或0x =.（2）22211300x y x y ++-+=.【解析】（1）如图所示，AB =，设D 是线段AB 的中点，则CD AB ⊥.4AD AC ∴==.点C 的坐标为（－2，6）.在Rt ACD ∆中，可得2CD =.设所求直线l 的方程为：5y kx =+即50kx y -+=.324k =⇒=.此时直线l 的方程为： 34200x y -+=………………………………….4分 又直线l 的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为：0x =.所以所求直线l 的方程为： 34200x y -+=或0x =………………………..6分 （2）设过点P 的圆C 的弦的中点为(,)D x y ，则CD PD ⊥.即0CD PD =.所以(2,6)(,5)0x y x y +--=化简得所求轨迹的方程为：22211300x y x y ++-+=………..12分22.【2018届湖北省荆州中学高三第二次月考】在平面直角坐标系中，已知以为圆心的圆及其上一点.（1）设圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，求圆N 的标准方程； （2）设平行于的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程；【答案】(1)(2)试题解析：（1）由圆心N 在直线x=6上，可设.因为N 与x 轴相切，与圆M 外切，所以，于是圆N 的半径为，从而，解得.因此，圆N 的标准方程为.(2)因为直线l∥OA，所以直线l的斜率为. 设直线l的方程为y=2x+m，即2x-y+m=0，则圆心M到直线l的距离因为而所以，解得.故直线l的方程为.。