2015年广东省揭阳市高考一模【文科数学】试题+答案
2015年高考真题：文科数学(广东卷)试卷(含答案)
绝密★启用前 试卷类型：B一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 若集合{}1,1M =-，{}2,1,0N =-，则M N =（ ）A ．{}0,1-B ．{}0C ．{}1D ．{}1,1-【答案】C【解析】试题分析：{}1M N =，故选C ．考点：集合的交集运算．2. 已知i 是虚数单位，则复数()21i +=（ ）A ．2-B ．2C ．2i -D ．2i【答案】D考点：复数的乘法运算．3. 下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）A ．2sin y x x =+B ．2cos y x x =-C ．122x xy =+D ．sin 2y x x =+【答案】A【解析】试题分析：函数()2sin f x x x =+的定义域为R ，关于原点对称，因为()11sin1f =+，()1sin1f x -=-，所以函数()2sin f x x x =+既不是奇函数，也不是偶函数；函数()2cos f x x x =-的定义域为R ，关于原点对称，因为()()()()22cos cos f x x x x x f x -=---=-=，所以函数()2cos f x x x =-是偶函数；函数()122x x f x =+的定义域为R ，关于原点对称，因为()()112222x x x x f x f x ---=+=+=，所以函数()122x x f x =+是偶函数；函数()sin 2f x x x =+的定义域为R ，关于原点对称，因为()()()sin 2sin 2f x x x x x f x -=-+-=--=-，所以函数()sin 2f x x x =+是奇函数．故选A ．考点：函数的奇偶性．4. 若变量x ，y 满足约束条件2204x y x y x +≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则23z x y =+的最大值为（ ）A ．10B ．8C ．5D ．2【答案】C。
广东省揭阳市高考一模文科数学试题答案
通知：各位”羽十俱进”的队员，为了更好地开展协会活动，提高整体羽毛球水平，请各位进行搭档组合展开针对性更强的训练，项目包括男双、女双、混双，每人至少报一项，限报两项（有兴趣的也可另报单打），女队员至少报一项女双。
希望大家尽快找好自己的搭档（名单详见收件人），周三前将组合名单报至卢华处。
报名统计完毕后将分组每周展开定时训练和比赛，每周训练时间为周一和周四，报名的时候顺便报一下你这个组合哪天有空参加训练。
谢谢支持！绝密★启用前揭阳市2015年高中毕业班高考第一次模拟考试数学(文科)本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 参考公式：棱锥的体积公式：13V Sh =．其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高． 导数公式： 若()sin(1)f x x =-，则'()cos(1)f x x =-； 若()cos(1)f x x =-，则'()sin(1)f x x =--．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{4,5,6,8},{3,5,7,8}A B ==，则A B 中元素的个数为40－50岁50岁以上40岁以下30%20%50%A ．5B ．6C ．7D ．8 2．已知复数(87)(3)z i i =---，则z 在复平面内对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．“a b >”是 “22a b >”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4．双曲线222214x y a a-=(0)a >的离心率为A.5 B.5C.2D. 35．已知(sin ,cos ),2,1a b αα==（-），若a b ⊥，则tan α的值为A. 2-B. 2C.12 D. 12- 6．已知函数log a y x =(0,1)a a >≠的图象经过点1(2,)2，则其反函数的解析式为A. 4x y =B.4log y x =C.2xy = D. 1()2x y =7．某单位200名职工的年龄分布情况如图1示，该单位为了 解职工每天的睡眠情况，按年龄用分层抽样方法从中抽取 40名职工进行调查.则应从40-50岁的职工中抽取的人数为A.8B.12C.20D.308．不等式组5315+15 3.x y y x x y +≤⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩，，表示的平面区域的面积为 图1A. 14B.5C. 3D. 79．设,l m 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是 A.若//,//,//m l m l αα则； B.若,,//m l m l αα⊥⊥则；C.若//,,//,l m l m αβαβ⊥⊥则；D.若,//,,//,//m m l l αββααβ⊂⊂则.10. 对任意的a 、b R ∈，定义：min{,}a b =,().()a a b b a b <⎧⎨≥⎩；max{,}a b =,().()a ab b a b ≥⎧⎨<⎩.则下列各式中恒成立的个数为①min{,}max{,}a b a b a b =++ ②min{,}max{,}a b a b a b =--FE ACB 3648788451162139496612413415910288757145699398109977546196183120703612601 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 3080日期（AQI）指数40120160200③(min{,})(max{,})a b a b a b =⋅⋅ ④(min{,})(max{,})a b a b a b =÷÷ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11－13题）11．不等式23100x x --<的解集为 ．12．在△ABC 中，A B C ∠∠∠、、的对边分别为a b c 、、，若3a =，2B A ∠=∠，cos 63A =， 则b = ．13．已知函数3()f x x =对应的曲线在点(,())()k k a f a k N *∈处的切线与x 轴的交点为1(,0)k a +，若11a =，则333121010()()()21()3f a f a f a +++=- ． （二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14. (坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中，直线sin()24πρθ+= 被圆=4ρ截得的弦长为 . 15．（几何证明选讲选做题）如图2，BE 、CF△ABC 的两条高，已知1,AE =3,42,AB CF ==则BC 边的长为 ． 图2 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16.(本小题满分12分)已知函数()2sin()(0,)6f x x x R ωωπ=+>∈的最小正周期为π. （1）求ω的值； （2）若2()3f α=，(0,)8πα∈，求cos 2α的值.17.(本小题满分12分)图3是某市今年1月份前30天空气质量指数（AQI ）的趋势图.图3（1）根据该图数据在答题卷中完成频率分布表，并在图4中补全这些数据的频率分布直方图； （2）当空气质量指数（AQI ）小于100时，表示空气质量优良．某人随机选择当月（按30天计）某一天到达该市，根据以上信息，能否认为此人到达当天空气质量优良的可能性超过60%？ （图中纵坐标1/300即1300，以此类推） 图418．（本小题满分14分）如图5，已知BCD ∆中，90,1BCD BC CD ∠===，6AB =AB ⊥平面BCD ，E 、F 分别是AC 、AD 的中点．（1）求证：平面BEF ⊥平面ABC ；（2）设平面BEF 平面BCD l =，求证//CD l ； （3）求四棱锥B-CDFE 的体积V ．图519. (本小题满分14分)已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，3(1)n n S na n n =--（*n N ∈），且212a =．（1）求1a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式； （3）求证：1211113n S S S +++<． 20. (本小题满分14分)已知抛物线C ：22(0)x py p =>的焦点为F ，点P 是直线y x =与抛物线C 在第一象限的交点，且||5PF =. （1）求抛物线C 的方程；（2）设直线:l y kx m =+与抛物线C 有唯一公共点M ，且直线l 与抛物线的准线交于点Q ,试探究，在坐标平面内是否存在点N ，使得以MQ 为直径的圆恒过点N ？若存在，求出点N 的坐标，若不存在，说明理由. 21. (本小题满分14分)已知函数()f x ax =，()ln g x x =，其中a R ∈．（1）若函数()()()F x f x g x =-，当1a =时，求函数()F x 的极值；（2）若函数()(sin(1))()G x f x g x =--在区间(0,1)上为减函数，求a 的取值范围；（3）证明：11sinln(1)1nk n k =<++∑．2015揭阳市数学(文科)参考答案一、选择题：BBDAC ABDCB解析：10. 由定义知⑴、⑶恒成立，⑵⑷不恒成立，正确答案B.二、填空题： 11. {|25}x x -<<；12.13. 3；14..解析：13.由2'()3f x x =得曲线的切线的斜率23k k a =，故切线方程为323()k k k y a a x a -=-，令0y =得123k k a a +=123k k a a +⇒=，故数列{}n a 是首项11a =，公比23q =的等比数列，又310(f f f a +++101011210(1)3(1)1a q a a a q q-=+++==--，所以31010(31()3f a ++=-.15．依题意得BE =BEA ∽△CFA得AE BE ABAF FC AC==,所以2,AF =6,AC = BC三、解答题： 16．解：（1）由2ππω=得=2ω----------------------------------------------------2分（2）解法1：由π2()2sin(2)63f αα=+= 得π1sin(2)63α+= -----------------------3分∵(0,)8πα∈，∴5π2(, )6612ππα+∈， --------------------------------------------4分∴πcos(2)63α+==-----------------------------------------6分 ∴cos 2cos[(2)]66ππαα=+-----------------------------------------------------8分cos(2)cos sin(2)sin 6666ππππαα=+++ ----------------------------------------10分23116132326=+⋅=----------------------------------------------------12分 [解法2：由π2()2sin(2)63f αα=+= 得π1sin(2)63α+=，--------------------------3分即1sin 2coscos 2sin663ππαα+=-------------------------------------------------5分 ⇒2cos 23sin 23αα-=-----------------------①---------------------------------6分 将①代入22sin 2cos 21αα+=并整理得24cos 212cos 2230αα--=，---------------8分 解得：12246126cos 2α±±==--------------------②---------------------10分∵(0,)8πα∈ ∴024πα<<，∴cos20α>，故②中负值不合舍去，----------------11分∴126cos 2α+=.-----------------------------------------------------------12分] 17．解：（1）---4分 ----8分 (2) 由频率分布表知，该市本月前30天中空气质量优良的天数为19，------------------9分 故此人到达当天空气质量优良的概率：190.63>0.630P =≈-------------------------------------------------------------11分 故可以认为此人到达当天空气质量优良的可能性超过60% ----------------------------12分 18.解：（1）证明：AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD AB CD ∴⊥，----------------1分又BC CD ⊥， ABBC B =， CD ∴⊥平面ABC ，------------------------------2分又E 、F 分别是AC 、AD 的中点，∴//.EF CD ---------------------------------------3分 ∴EF ⊥平面ABC又EF ⊂平面BEF ，∴平面BEF ⊥平面ABC -----------------------------------------4分 （2）CD // EF ，CD ⊄平面BEF ，EF ⊂平面BEF∴//CD 平面BEF ，----------------------------6分 又CD ⊂平面BCD ，且平面BEF平面BCD l =∴//CD l ．------------------------------------8分 （3）解法1：由（1）知EF //CD ∴AEFACD ∆∆------------------------------9分1,4AEF ACD S S ∆∆∴= ∴14B AEF B ACD V V --=------------------11分 331444B ACD A BCD BCD V V V S AB --∆∴===⋅116116428=⨯⨯⨯=------------------14分 [解法2：取BD 中点G ，连结FC 和FG ，则FG//AB ，-----9分 ∵AB ⊥平面BCD ，∴FG ⊥平面BCD ，-----------------10分 由（1）知EF ⊥平面ABC ， ∴F EBC F BCD V V V --=+1133EBC BCD S EF S FG ∆∆=⋅+⋅------12分 1611166113423228=⨯+⨯⨯⨯⨯=.----------------14分] 19.解：（1）由2122232(21)S a a a =+=-⨯-和212.a =可得16a =，------------------2分（2）解法1：当2n ≥时，由1n n n a S S -=-得13(1)(1)3(1)(2)n n n a na n n n a n n -=-------，---------------------------------4分⇒1(1)(1)6(1)n n n a n a n ----=-16(2,)n n a a n n N *-⇒-=≥∈---------------------6分∴数列{}n a 是首项16a =，公差为6的等差数列，∴16(1)6n a a n n =+-=-------------8分 [解法2：当2n ≥时，由13(1)()3(1)n n n n S na n n n S S n n -=--=---------------------4分 可得1(1)3(1)n n n S nS n n ---=- 131n n S S n n -∴-=-,---------------------------------6分∴数列{}n S n 为首项161S=,公差为3的等差数列， 63(1)33nS n n n∴=+-=+，即233n S n n =+. ∴6n a n =---------------------------------------------------------------------8分] （3）证明：由（2）知1()3(1)2n n n a a S n n +==+-----------------------------------10分 11111()3(1)31n S n n n n ==-++--------------------------------------------------12分 12111111111[(1)()()]32231n S S S n n ∴+++<-+-++-+111(1)313n =-<+， 命题得证．---------------------------------------------------------------------14分 20.解：(1)解法1： ∵点P 是直线y x =与抛物线C 在第一象限的交点，∴设点(,)(0)P m m m >,----------------------------------------------------------1分 ∵抛物线C 的准线为2p y =-，由||5PF =结合抛物线的定义得52pm +=-------①-----2分 又点P 在抛物线C 上，∴22m pm =(0)m >⇒2m p =.----------------------②-----3分 由①②联立解得2p =，∴所求抛物线C 的方程式为24x y =.-------------------------5分 [解法2：∵点P 是直线y x =与抛物线C在第一象限的交点，∴设点(,)(0)P m m m >,----------------------------------------------------------1分∵抛物线C 的焦点为(0,)2p F ，由||5PF =5=, 即22()252p m m +-=，-------------------------------------------①-------------2分 又点P 在抛物线C 上，∴22m pm =(0)m >⇒2m p =.--------------②-------------3分 由①②联立解得2p =，∴所求抛物线C 的方程式为24x y =.-------------------------5分] （2）解法1：由抛物线C 关于y 轴对称可知，若存在点N ，使得以MQ 为直径的圆恒过点N ，则点N 必在y 轴上，设(0,)N n ，--------------------------------------------------6分又设点200(,)4x M x ，由直线:l y kx m =+与抛物线C 有唯一公共点M 知，直线l 与抛物线C 相切， 由214y x =得1'2y x =，∴001'|2x x k y x ===，---------------------------------------7分 ∴直线l 的方程为2000()42x xy x x -=-，--------------------------------------------8分 令1y =-得222x x x -=，∴Q 点的坐标为002(,1)2x x --，-----------------------------9分200002(,),(,1)42x x NM x n NQ n x ∴=-=-----------------------------------------10分∵点N 在以MQ 为直径的圆上，∴22220002(1)()(1)20(*)244x x x NM NQ n n n n n ⋅=--+-=-++-=--------------12分要使方程(*)对0x 恒成立，必须有21020n n n -=⎧⎨+-=⎩解得1n =，-------------------------13分∴在坐标平面内存在点N ，使得以MQ 为直径的圆恒过点N ，其坐标为(0,1)．--------14分 [解法2：设点00(,)M x y ，由:l y kx m =+与抛物线C 有唯一公共点M 知，直线l 与抛物线相切，由214y x =得1'2y x =，∴001'|2x x k y x ===，-----------------------------------6分 ∴直线l 的方程为000()2xy y x x -=-，---------------------------------------------7分令1y =-得002(1)y x x -=，∴Q 点的坐标为002(1)(,1)y x --，-------------------------8分 ∴以MQ 为直径的圆方程为：00002(1)()(1)()[]0y y y y x x x x --++--=--------③----10分分别令02x =和02x =-，由点M 在抛物线C 上得01y =，将00,x y 的值分别代入③得：(1)(1)(2)0y y x x -++-=-------------------------------④(1)(1)(2)0y y x x -+++=--------------------------------------------------------⑤④⑤联立解得0,1.x y =⎧⎨=⎩或0,1.x y =⎧⎨=-⎩，-----------------------------------------------12分∴在坐标平面内若存在点N ，使得以MQ 为直径的圆恒过点N ，则点N 必为(0,1)或(0,1)-， 将(0,1)的坐标代入③式得， 左边=00002(1)2(1)()[]y y x x --+--002(1)2(1)0y y =-+-==右边， 将(0,1)-的坐标代入③式得， 左边=00002(1)()[]2(1)y x y x ---=-不恒等于0，------------------------------------13分 ∴在坐标平面内是存在点N ，使得以MQ 为直径的圆恒过点N ，点N 坐标为为(0,1)．--14分] 21.解：（1）∵当1a =时， 函数()ln F x x x =-，(0)x > ∴11'()1x F x x x-=-=，---------------------------------------------------------1分 令'()0F x =得1x =，当(0,1)x ∈时'()0F x <，当(1,)x ∈+∞时，'()0F x >，即函数()F x 在(0,1)单调递减，在(1,)+∞单调递增，---------------------------------------------------------------3分∴函数()F x 在1x =处有极小值，∴()F x 极小1ln11=-=.----------------------------------------------------------4分 （2）解法1：∵函数()(sin(1))()G x f x g x =--=sin(1)ln a x x --在区间(0,1)上为减函数∴1'()cos(1)0G x a x x=--≤在(0,1)上恒成立1cos(1)a x x ⇔≤-在(0,1)上恒成立，----5分 设1()cos(1)H x x x =-，则()()()()()2222cos 1sin 1sin 1cos 1'()cos (1)cos (1)x x x x x x H x x x x x -------==-- ---7分 当()0,1x ∈时，()sin 10x -<，()cos 10x ->所以'()0H x <在()0,1上恒成立，即函数()H x 在()0,1上单调递减，-------------------8分 ∴当()0,1x ∈时，()(1)1H x H >=，∴1a ≤.-----------------------------------------------------------------------9分[解法2：∵函数()(sin(1))()G x f x g x =--=sin(1)ln a x x --在区间(0,1)上为减函数 ∴对(0,1)x ∀∈ ，1'()cos(1)0G x a x x =--≤-----------（*）恒成立，--------------5分 ∵(0,1)x ∈，∴cos(1)0x ->，当0a ≤时，（*）式显然成立；----------------------------------------------------6分当0a >时，（*）式⇔1cos(1)x x a≥-在(0,1)上恒成立， 设()cos(1)h x x x =-，易知()h x 在(0,1)上单调递增，-------------------------------7分 ∴()(1)1h x h <=， ∴11a≥01a ⇒<≤，------------------------------------------------------------8分 综上得(,1]a ∈-∞.-------------------------------------------------------------9分]（3）由（2）知，当1a =时，()sin(1)ln G x x x =--(1)0G >=,sin(1)ln x x ⇒->1sin(1)ln x x⇒-<，------------------------②----------------10分 ∵对k N *∀∈有(0,1)1k k ∈+， 在②式中令1k x k =+得11sin(1)sin ln 11k k k k k+-=<++，--------------------------12分 ∴11131sin sin sin ln 2ln ln 2312n n n++++<++++341ln(2)ln(1)23n n n +=⋅⋅⋅=+， 即11sin ln(1)1n k n k =<++∑．-------------------------------------------------------14分。
2015年广东省揭阳市登岗中学高考一模数学试卷(文科)【解析版】
2015年广东省揭阳市登岗中学高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.）1．（5分）已知集合A＝{1，2，3}，集合B＝{x∈Z|1＜x＜4}，则A∩B＝（）A．{2，3}B．{1，4}C．{1，2，3，4}D．∅2．（5分）i为虚数单位，则复数i•（1﹣i）的虚部为（）A．i B．﹣i C．1D．﹣13．（5分）若a∈R，则“a＝1”是“|a|＝1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件4．（5分）若p是真命题，q是假命题，则（）A．p∧q是真命题B．p∨q是假命题C．￢p是真命题D．￢q是真命题5．（5分）在数列{a n}中，a1＝1，公比q＝2，则a4的值为（）A．7B．8C．9D．166．（5分）下列函数中，既是偶函数，又是在区间（0，+∞）上单调递减的函数是（）A．y＝lnx B．y＝x2C．y＝cos x D．y＝2﹣|x|7．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（）A．3B．11C．38D．1238．（5分）已知平面向量，的夹角为，且•＝3，||＝3，则||＝（）A．B．C．D．29．（5分）设如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．9π+42B．36π+18C．D．10．（5分）对实数a与b，定义新运算“⊗”：a⊗b＝．设函数f（x）＝（x2﹣2）⊗（x﹣1），x∈R．若函数y＝f（x）﹣c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是（）A．（﹣1，1]∪（2，+∞）B．（﹣2，﹣1]∪（1，2]C．（﹣∞，﹣2）∪（1，2]D．[﹣2，﹣1]二、填空题（本大题共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分.）（一）必做题（第11至13题为必做题，每道试题考生都必须作答．）11．（5分）在△ABC中，若b＝3，c＝1，cos A＝，则a＝．12．（5分）已知函数则f（f（2））＝．13．（5分）设x、y满足条件，则z＝x+y的最小值是．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题；两道题都做的，只记第14题的分．）【坐标系与参数方程选做题】14．（5分）已知圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ，则圆C上点到直线l：ρcosθ﹣2ρsinθ+4＝0的最短距离为．【几何证明选讲选做题】15．如图，P AB、PCD为⊙O的两条割线，若P A＝5，AB＝7，CD＝11，AC＝2，则BD等于．三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16．（12分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）为偶函数，周期为2π．（1）求f（x）的解析式；（2）若，求的值．17．（12分）为调查乘客的候车情况，公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间（单位：分钟）作为样本分成5组，如下表所示（1）估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；（2）若从上表的第三、四组的6人中随机抽取2人作进一步的问卷调查，求抽到的两人恰好来自不同组的概率．18．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点，A1A＝AB＝2，BC＝3．（1）求证：AB1∥平面BC1D；（2）求四棱锥B﹣AA1C1D的体积．19．（14分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝2，a3＝6．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若S k＝110，求k的值；（3）设数列{}的前n项和为T n，求T2013的值．20．（14分）已知椭圆的离心率为，且经过点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点P（0，2）的直线交椭圆C于A，B两点，求△AOB（O为原点）面积的最大值．21．（14分）已知函数x2+bx+a（a，b∈R），且其导函数f′（x）的图象过原点．（Ⅰ）当a＝1时，求函数f（x）的图象在x＝3处的切线方程；（Ⅱ）若存在x＜0，使得f′（x）＝﹣9，求a的最大值；（Ⅲ）当a＞0时，求函数f（x）的零点个数．2015年广东省揭阳市登岗中学高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.）1．（5分）已知集合A＝{1，2，3}，集合B＝{x∈Z|1＜x＜4}，则A∩B＝（）A．{2，3}B．{1，4}C．{1，2，3，4}D．∅【解答】解：B＝{x∈Z|1＜x＜4}＝{2，3}，则A∩B＝{2，3}，故选：A．2．（5分）i为虚数单位，则复数i•（1﹣i）的虚部为（）A．i B．﹣i C．1D．﹣1【解答】解：∵复数i•（1﹣i）＝1+i，故复数i•（1﹣i）的虚部为1，故选：C．3．（5分）若a∈R，则“a＝1”是“|a|＝1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【解答】解：当“a＝1”时，“|a|＝1”成立即“a＝1”⇒“|a|＝1”为真命题但“|a|＝1”时，“a＝1”不一定成立即“|a|＝1”时，“a＝1”为假命题故“a＝1”是“|a|＝1”的充分不必要条件故选：A．4．（5分）若p是真命题，q是假命题，则（）A．p∧q是真命题B．p∨q是假命题C．￢p是真命题D．￢q是真命题【解答】解：∵p是真命题，q是假命题，∴p∧q是假命题，选项A错误；p∨q是真命题，选项B错误；￢p是假命题，选项C错误；￢q是真命题，选项D正确．故选：D．5．（5分）在数列{a n}中，a1＝1，公比q＝2，则a4的值为（）A．7B．8C．9D．16【解答】解：由等比数列的通项公式可得：a4＝a1•q3＝1×23＝8故选：B．6．（5分）下列函数中，既是偶函数，又是在区间（0，+∞）上单调递减的函数是（）A．y＝lnx B．y＝x2C．y＝cos x D．y＝2﹣|x|【解答】解：y＝lnx不是偶函数，排除A；y＝cos x是周期函数，在区间（0，+∞）上不单调递减，排除C；y＝x2在区间（0，+∞）上单调递增，排除B；故选：D．7．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（）A．3B．11C．38D．123【解答】解；经过第一次循环得到a＝12+2＝3经过第一次循环得到a＝32+2＝11不满足判断框的条件，执行输出11故选：B．8．（5分）已知平面向量，的夹角为，且•＝3，||＝3，则||＝（）A．B．C．D．2【解答】解：平面向量，的夹角为，且•＝3，||＝3，即有•＝||•||•cos＝3||＝3，则有||＝．故选：C．9．（5分）设如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．9π+42B．36π+18C．D．【解答】解：由三视图可知，几何体是一个简单的组合体，下面是一个底面边长是3的正方形且高是2的一个四棱柱，上面是一个球，球的直径是3，该几何体的体积是两个体积之和，四棱柱的体积3×3×2＝18，球的体积是，∴几何体的体积是18+，故选：D．10．（5分）对实数a与b，定义新运算“⊗”：a⊗b＝．设函数f（x）＝（x2﹣2）⊗（x﹣1），x∈R．若函数y＝f（x）﹣c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是（）A．（﹣1，1]∪（2，+∞）B．（﹣2，﹣1]∪（1，2]C．（﹣∞，﹣2）∪（1，2]D．[﹣2，﹣1]【解答】解：∵，∴函数f（x）＝（x2﹣2）⊗（x﹣1）＝，由图可知，当c∈（﹣2，﹣1]∪（1，2]函数f（x）与y＝c的图象有两个公共点，∴c的取值范围是（﹣2，﹣1]∪（1，2]，故选：B．二、填空题（本大题共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分.）（一）必做题（第11至13题为必做题，每道试题考生都必须作答．）11．（5分）在△ABC中，若b＝3，c＝1，cos A＝，则a＝2．【解答】解：在△ABC中，若b＝3，c＝1，cos A＝，则由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bc•cos A＝9+1﹣6×＝8，故a＝2，故答案为2．12．（5分）已知函数则f（f（2））＝﹣1．【解答】解：因函数所以f（2）＝﹣1则f（f（2））＝f（﹣1）＝﹣1故答案为：﹣113．（5分）设x、y满足条件，则z＝x+y的最小值是1．【解答】解：满足约束条件的平面区域如下图示：由图可知，画直线x+y＝0，平移直线过点A（1，0）∴x+y有最小值1．故答案为：1．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题；两道题都做的，只记第14题的分．）【坐标系与参数方程选做题】14．（5分）已知圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ，则圆C上点到直线l：ρcosθ﹣2ρsinθ+4＝0的最短距离为﹣1．【解答】解：由ρ＝2cosθ⇒ρ2＝2ρcosθ⇒x2+y2﹣2x＝0⇒（x﹣1）2+y2＝1，ρcosθ﹣2ρsinθ+4＝0⇒x﹣2y+4＝0，∴圆心到直线距离为：d＝＝．则圆C上点到直线l：ρcosθ﹣2ρsinθ+4＝0的最短距离为﹣1故答案为：﹣1．【几何证明选讲选做题】15．如图，P AB、PCD为⊙O的两条割线，若P A＝5，AB＝7，CD＝11，AC＝2，则BD等于6．【解答】解：设PC＝x，则根据割线定理得P A×PB＝PC×PD，即5（5+7）＝x（x+11），解之得x＝4（舍去﹣15）∴PC＝4，PD＝15∵四边形ABDC是圆内接四边形∴∠B＝∠ACP，∠D＝∠CAP，可得△P AC∽△PDB∴，即，可得BD＝6故答案为：6三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16．（12分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）为偶函数，周期为2π．（1）求f（x）的解析式；（2）若，求的值．【解答】解：（1）由题意可得＝2π，解得ω＝1，故函数f（x）＝sin（x+φ）．再由此函数为偶函数，可得φ＝kπ+，k∈z，结合0≤φ≤π可得φ＝，故f （x）＝cos x．（2）∵，∴cos（α+）＝．根据α+∈（0，），∴sin（α+）＝．∴＝2sin（α+）cos（α+）＝2××＝．17．（12分）为调查乘客的候车情况，公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间（单位：分钟）作为样本分成5组，如下表所示（1）估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；（2）若从上表的第三、四组的6人中随机抽取2人作进一步的问卷调查，求抽到的两人恰好来自不同组的概率．【解答】解：（1）由频率分布表可知：这15名乘客中候车时间少于10分钟的人数为8，所以，这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数大约等于60×＝32人．…（4分）（2）设第三组的乘客为a，b，c，d，第四组的乘客为1，2；“抽到的两个人恰好来自不同的组”为事件A．…（5分）所得基本事件共有15种，即：ab，ac，ad，a1，a2，bc，bd，b1，b2，cd，c1，c2，d1，d2，12…（8分）其中事件A包含基本事件a1，a2，b1，b2，c1，c2，d1，d2，共8种，…（10分）由古典概型可得P（A）＝…（12分）18．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点，A1A＝AB＝2，BC＝3．（1）求证：AB1∥平面BC1D；（2）求四棱锥B﹣AA1C1D的体积．【解答】解：（1）证明：连接B1C，设B1C与BC1相交于点O，连接OD，∵四边形BCC1B1是平行四边形，∴点O为B1C的中点．∵D为AC的中点，∴OD为△AB1C的中位线，∴OD∥AB1．（3分）∵OD⊂平面BC1D，AB1⊄平面BC1D，∴AB1∥平面BC1D．（6分）（2）∵AA1⊥平面ABC，AA1⊂平面AA1C1C，∴平面ABC⊥平面AA1C1C，且平面ABC∩平面AA1C1C＝AC．作BE⊥AC，垂足为E，则BE⊥平面AA1C1C，（8分）∵AB＝BB1＝2，BC＝3，在Rt△ABC中，，，（10分）∴四棱锥B﹣AA1C1D的体积（12分）＝＝3．∴四棱锥B﹣AA1C1D的体积为3．（14分）19．（14分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝2，a3＝6．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若S k＝110，求k的值；（3）设数列{}的前n项和为T n，求T2013的值．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，∵，∴d＝2，∴数列{a n}的通项公式a n＝2+2（n﹣1）＝2n；（2）∵．解得k＝10或k＝﹣11（舍去）；（3）∵，∴，∴＝1﹣．20．（14分）已知椭圆的离心率为，且经过点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点P（0，2）的直线交椭圆C于A，B两点，求△AOB（O为原点）面积的最大值．【解答】（本小题满分14分）（Ⅰ）解：由，得．①…（2分）由椭圆C经过点，得．②…（3分）联立①②，解得b＝1，．…（4分）所以椭圆C的方程是．…（5分）（Ⅱ）解：易知直线AB的斜率存在，设其方程为y＝kx+2．将直线AB的方程与椭圆C的方程联立，消去y得（1+3k2）x2+12kx+9＝0．…（7分）令△＝144k2﹣36（1+3k2）＞0，得k2＞1．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，．…（9分）所以．…（10分）因为，设k2﹣1＝t（t＞0），则．…（13分）当且仅当，即时等号成立，此时△AOB面积取得最大值．…（14分）21．（14分）已知函数x2+bx+a（a，b∈R），且其导函数f′（x）的图象过原点．（Ⅰ）当a＝1时，求函数f（x）的图象在x＝3处的切线方程；（Ⅱ）若存在x＜0，使得f′（x）＝﹣9，求a的最大值；（Ⅲ）当a＞0时，求函数f（x）的零点个数．【解答】解：，f'（x）＝x2﹣（a+1）x+b由f'（0）＝0得b＝0，f'（x）＝x（x﹣a﹣1）．（Ⅰ）当a＝1时，，f'（x）＝x（x﹣2），f（3）＝1，f'（3）＝3所以函数f（x）的图象在x＝3处的切线方程为y﹣1＝3（x﹣3），即3x﹣y﹣8＝0；（Ⅱ）存在x＜0，使得f'（x）＝x（x﹣a﹣1）＝﹣9，，a≤﹣7，当且仅当x＝﹣3时，a＝﹣7，所以a的最大值为﹣7；（Ⅲ）当a＞0时，x，f'（x），f（x）的变化情况如下表：f（x）的极大值f（0）＝a＞0，f（x）的极小值又，，．所以函数f（x）在区间内各有一个零点，故函数f（x）共有三个零点．。
广东省揭阳市2015届高三第二次高考模拟考数学文试题(扫描版)
揭阳市2015年高中毕业班高考第二次模拟考试数学(文科)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考 查内容比照评分标准制订相应的评分细则． 二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数． 一、选择题：CADAC ABCBD二、填空题：11. 1-；12.22(2)(1)1x y -++=；13.2；14. 7(2,)4π；15.332. 三、解答题：16．解：（1）由1(,2)3P 为图象的最高点知2A =，---------------------1分又点M 1(,0)6-知函数()f x 的最小正周期114()236T =+=，-----------------------3分 ∵2T πω=∴ωπ=,-------------------------------------------------5分(2)由（1）知，()2sin()6f x x ππ=+由2()3f απ=得1sin()63πα+=，----------------------------------------6分 ∵(,0)3πα∈- ∴666πππα-<+<----------------------------------------7分∴2122cos()1sin ()16693ππαα+=-+=-=-------------------------9分 ∵cos()cos()366πππαα+=++cos()cos sin()sin 6666ππππαα=+-+-------------11分∴cos()3πα+2231126132326-=⨯-⨯=------------------------------------------------12分 17．解：（1）甲、乙两班学生数学成绩的茎叶图如右图示：----4分这20个数据的众数为121，----------------------------------5分 乙班的平均水平较高；----------------------------------------7分 （2）由上数据知，这20人中分值落在第一组的有3人，落在第二组的有6人，落在第三组的有9人，-------------9分故应从第一组中抽取的人数为：631369⨯=++，-------10分应从第二组中抽取的人数为：662369⨯=++，--------------------------------11分 应从第三组中抽取的人数为：693369⨯=++.-----------------------------------12分 18．解：（1）设数列{}n a 的公比为q ，∵13220,,7S S S 成等差数列，3122207.S S S ∴=+-----------------------------------2分即21111112()207()a a q a q a a a q ++=++，化简得225250q q --=，------4分 解得：5q =或52q =-------------------------------------------------------------------6分 ∵0n a >，∴52q =-不合舍去， ∴111555n n n n a a q --==⨯=.-----------------------------------------7分(2)∵ 51525log log log n n b a a a =+++=1235125log ()log 5123nn a a a n ++++==++++---------------------9分(1)2n n +=，----------------------------------------------------------------------------10分 ∴1n b =211=2()(+11n n n n -+）----------------------------------------------------------------12分 ∴12111n nT b b b =+++111112[(1)()()]2231n n =-+-++-+ 122(1)11n n n =-=++.------------------------------------------14分 19．解：（1）证明：取BC 中点D ，连结SD 、AD ，-----2分 ∵△SAB 与△SAC 均为等边三角形∴SB=SC=AB=AC=SA=2，∴SD BC ⊥,AD BC ⊥-----4分 又SDAD D =∴BC ⊥平面SAD ----------------------5分 ∵SA ⊂平面SAD∴SA BC ⊥-------------------------------------------------7分 （2）∵90BAC ∠=°，AB=AC ， ∴222BC AB ==，------------------------------------8分∵SB=AB ，SC=AC ，BC=BC ，∴△SBC ≌△ABC ，∴90BSC ∠=，-------------------------9分 ∴122SD AD BC === ∵2224SD AD SA +== ∴SD AD ⊥---------------------11分又SD BC ⊥,BC AD D =∴SD ⊥平面ABC ,------------------------------------------12分 ∴13P ABC ABC V S SD -∆=1122222323=⨯⨯⨯⨯=.----------------14分 其它解法请参照给分.20.解：(1)设(,)P x y ,由1(3,0)F -、2(3,0)F 得1(3,)PF x y =---uuu r , 2(3,)PF x y =--uuu r.∴212(3)(3)PF PF x x y ⋅=-+-+uuu r uuu r223x y =+-，---------------------2分由22221x y a b +=得2222(1)x y b a=- ∴222122(1)3x PF PF x b a⋅=+--uuu r uuu r 22233x b a =+-，------------------------4分∵220x a ≤≤，∴当22x a =，即x a =±时，12PF PF ⋅uuu r uuu r有最大值，即212max ()331PF PF b ⋅=+-=uuu r uuu r，---------------------------------------6分∴21b =，2224a c b =+=，∴所求双曲线C 的方程为2214x y +=.------------------------------------7分 其它解法请参照给分.（2）假设存在直线l 满足题设，设1122(,),(,)D x y E x y ，将y kx m =+代入2214x y +=并整理得 222(14)8440k x kmx m +++-=，------------------------------------------------------------8分由222222644(14)(44)16(41)0k m k m m k ∆=-+-=--->，得2241k m +>-----------①又122814kmx x k +=-+--------------------10分由||||AD AE =可得2222112212121212(1)(1)()(2)()()0x y x y x x x x y y y y -+=-+⇒-+-+-+=121212122()0y y x x y y x x -⇒+-++=-212(1)()220k x x km ⇒+++-=228(1)22014kmk km k⇒-++-=+ 化简得2143k m k +=-------------②------------------------------------------12分将②代入①得2221441()3k k k++> 化简得42222010(41)(51)0k k k k +->⇒+->，解得55k >或55k <-所以存在直线l ，使得||||AD AE =，此时k 的取值范围为55(,)(,)55-∞-⋃+∞．-------14分21.解：（1）当1k =-时，321()313f x x x x =+-+，---------------------------1分 则2'()23f x x x =+-(1)(3)x x =-+，令'()0f x =，∵[0,6]x ∈ 得1,x =----------------------------------2分 且()f x 在[0,1]上单调递减，在[1,6]上单调递增， ∵2(0)1,(1),(6)973f f f ==-=， ∴()f x 在[0,6]上的最大值为97，最小值为23-.------------------------4分 （2） ∵()2'2(21)3(2)f x x k x k k =-+++=(3)[(2)]x k x k --+，----------------5分当1k =时，2'()(3)0f x x =-≥，∴函数()f x 的单调递增区间为(,)-∞+∞；---6分当1k >时，32k k >+，由'()0f x >解得3x k >或2x k <+，由'()0f x <得23k x k +<<，∴函数()f x 的单调递增区间为(3,)k +∞和(,2)k -∞+，递减区间为(2,3)k k +；----7分当1k <时，32k k <+，由'()0f x >解得2x k >+或3x k <，由'()0f x <得32k x k <<+，∴函数()f x 的单调递增区间为(3,)k +∞和(,2)k -∞+；递减区间为(3,2)k k +.-----9分（3）由()'(3)[(2)]0f x x k x k =--+=得122,3x k x k =+=，--------------------------------------------10分 ①当12x x =时，有231k k k +=⇒=，此时123(0,6)x x ==∈，函数'()f x 在(0,6)上有唯一的零点，∴1k =为所求；------------------11分 ②当12x x >时，有231k k k +>⇒<，此时213x x <<， ∵函数'()f x 在(0,6)上有唯一的零点，得2103x x ≤<<，即3023k k ≤<+<，解得20k -<≤，------------12分 ③当12x x <时，有231k k k +<⇒>，此时213x x >>， ∵函数'()f x 在(0,6)上有唯一的零点，得1236x x <<≤，即3263k k <+<≤，解得24k ≤<，---------------13分 综上得实数k 的取值范围为是：20k -<≤或1k =或24k ≤<.--------------14分。
2015年广东省揭阳市高考一模数学试卷(文科)【解析版】
2015年广东省揭阳市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A＝{4，5，6，8}，B＝{3，5，7，8}，则A∪B中元素的个数为（）A．5B．6C．7D．82．（5分）已知复数z＝（﹣8﹣7i）（﹣3i），则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）“a＞b”是“a2＞b2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）双曲线﹣＝1（a＞0）的离心率为（）A．B．C．2D．5．（5分）已知＝（sinα，cosα），＝（﹣2，1），若⊥，则tanα的值为（）A．﹣2B．2C．D．6．（5分）已知函数y＝log a x（a＞0，a≠1）的图象经过点（2，），则其反函数的解析式为（）A．y＝4x B．y＝log4x C．y＝2x D．y＝（）x 7．（5分）某单位200名职工的年龄分布情况如图示，该单位为了解职工每天的睡眠情况，按年龄用分层抽样方法从中抽取40名职工进行调查．则应从40﹣50岁的职工中抽取的人数为（）A．8B．12C．20D．308．（5分）不等式组表示的平面区域的面积为（）A．14B．5C．3D．79．（5分）设l、m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是（）A．若m∥l，m∥α，则l∥αB．若m⊥α，l⊥m，则l∥αC．若α∥β，l⊥α，m∥β，则l⊥mD．若m⊂α，m∥β，l⊂β，l∥α，则α∥β10．（5分）对任意的a、b∈R，定义：min{a，b}＝；max{a，b}＝．则下列各式中恒成立的个数为（）①min{a，b}+max{a，b}＝a+b②min{a，b}﹣max{a，b}＝a﹣b③（min{a，b}）•（max{a，b}）＝a•b④（min{a，b}）÷（max{a，b}）＝a÷b．A．1B．2C．3D．4二、填空题：本大题共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分．（一）必做题（11-13题）11．（5分）不等式x2﹣3x﹣10＜0的解集为．12．（5分）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若a＝3，∠B＝2∠A，cos A＝，则b＝．13．（5分）已知函数f（x）＝x3对应的曲线在点（a k，f（a k））（k∈N*）处的切线与x轴的交点为（a k+1，0），若a1＝1，则＝．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）【坐标系与参数方程选做题】14．（5分）在极坐标系中，直线ρsin（θ+）＝2被圆ρ＝4截得的弦长为．【几何证明选讲选做题】15．如图，BE、CF分别为钝角△ABC的两条高，已知AE＝1，AB＝3，CF＝4，则BC边的长为．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）已知函数f（x）＝2sin（ωx+）（ω＞0，x∈R）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）若f（α）＝，α∈（0，），求cos2α的值．17．（12分）如图是某市今年1月份前30天空气质量指数（AQI）的趋势图．（1）根据该图数据在答题卷中完成频率分布表，并在图4中补全这些数据的频率分布直方图；（2）当空气质量指数（AQI）小于100时，表示空气质量优良．某人随机选择当月（按30天计）某一天到达该市，根据以上信息，能否认为此人到达当天空气质量优良的可能性超过60%？（图中纵坐标1/300即，以此类推）18．（14分）如图5，已知△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB＝，AB⊥平面BCD，E、F分别是AC、AD的中点．（1）求证：平面BEF⊥平面ABC；（2）设平面BEF∩平面BCD＝l，求证CD∥l；（3）求四棱锥B﹣CDFE的体积V．19．（14分）已知S n为数列{a n}的前n项和，S n＝na n﹣3n（n﹣1）（n∈N*），且a2＝12．（1）求a1的值；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）求证：++…+．20．（14分）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，点P是直线y＝x与抛物线C在第一象限的交点，且|PF|＝5．（1）求抛物线C的方程；（2）设直线l：y＝kx+m与抛物线C有唯一公共点M，且直线l与抛物线的准线交于点Q，试探究，在坐标平面内是否存在点N，使得以MQ为直径的圆恒过点N？若存在，求出点N的坐标，若不存在，说明理由．21．（14分）已知函数f（x）＝ax，g（x）＝lnx，其中a∈R．（1）若函数F（x）＝f（x）﹣g（x），当a＝1时，求函数F（x）的极值；（2）若函数G（x）＝f（sin（x﹣1））﹣g（x）在区间（0，1）上为减函数，求a的取值范围；（3）证明：＜ln（n+1）．2015年广东省揭阳市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A＝{4，5，6，8}，B＝{3，5，7，8}，则A∪B中元素的个数为（）A．5B．6C．7D．8【解答】解：∵A＝{4，5，6，8}，B＝{3，5，7，8}，∴A∪B＝{3，4，5，6，7，8}，故则A∪B中元素的个数为6个，故选：B．2．（5分）已知复数z＝（﹣8﹣7i）（﹣3i），则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：复数z＝（﹣8﹣7i）（﹣3i）＝24i﹣21，则z在复平面内对应的点（﹣21，24）位于第二象限．故选：B．3．（5分）“a＞b”是“a2＞b2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若a＝1，b＝﹣1，满足a＞b，但a2＞b2不成立，若a＝﹣1，b＝0，满足a2＞b2，但a＞b不成立，故“a＞b”是“a2＞b2”的既不充分也不必要条件，故选：D．4．（5分）双曲线﹣＝1（a＞0）的离心率为（）A．B．C．2D．【解答】解：双曲线﹣＝1（a＞0）的b＝2a，c＝＝a，即有e＝＝．故选：A．5．（5分）已知＝（sinα，cosα），＝（﹣2，1），若⊥，则tanα的值为（）A．﹣2B．2C．D．【解答】解：∵＝（sinα，cosα），＝（﹣2，1），⊥，∴＝﹣2sinα+cosα＝0，∴cosα＝2sinα，∴tanα＝＝．故选：C．6．（5分）已知函数y＝log a x（a＞0，a≠1）的图象经过点（2，），则其反函数的解析式为（）A．y＝4x B．y＝log4x C．y＝2x D．y＝（）x 【解答】解：∵y＝log a x（a＞0，a≠1）的图象经过点（2，），∴，解得a＝4．∴y＝log4x，则x＝4y，把x，y互换得到函数y＝log4x的反函数为y＝4x．故选：A．7．（5分）某单位200名职工的年龄分布情况如图示，该单位为了解职工每天的睡眠情况，按年龄用分层抽样方法从中抽取40名职工进行调查．则应从40﹣50岁的职工中抽取的人数为（）A．8B．12C．20D．30【解答】解：由图表关系知，若抽取40名职工，则应从40﹣50岁的职工中抽取的人数为40×30%＝12，故选：B．8．（5分）不等式组表示的平面区域的面积为（）A．14B．5C．3D．7【解答】解：画出满足条件表示的平面区域，如图示：∴平面区域的面积是×4×＝7，故选：D．9．（5分）设l、m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是（）A．若m∥l，m∥α，则l∥αB．若m⊥α，l⊥m，则l∥αC．若α∥β，l⊥α，m∥β，则l⊥mD．若m⊂α，m∥β，l⊂β，l∥α，则α∥β【解答】解：对于A，若m∥l，m∥α，则l可能在α内，故A错误；对于B，若m⊥α，l⊥m，则l可能在α内，故B错误；对于C，若α∥β，l⊥α，得到l⊥β，结合m∥β，得到l⊥m；故C正确；对于D，若m⊂α，m∥β，l⊂β，l∥α，则α与β可能相交；故D错误；故选：C．10．（5分）对任意的a、b∈R，定义：min{a，b}＝；max{a，b}＝．则下列各式中恒成立的个数为（）①min{a，b}+max{a，b}＝a+b②min{a，b}﹣max{a，b}＝a﹣b③（min{a，b}）•（max{a，b}）＝a•b④（min{a，b}）÷（max{a，b}）＝a÷b．A．1B．2C．3D．4【解答】解：∵对任意的a、b∈R，定义：min{a，b}＝；max{a，b}＝，∴min{a，b}取a，b中的最小值，max{a，b}取a，b的最大值．∴min{a，b}，max{a，b}分别取出a，b中的一个最大值与一个最小值，∴min{a，b}+max{a，b}＝a+b，（min{a，b}）•（max{a，b}）＝a•b，故①③成立；若a≤b，则有：min{a，b}﹣max{a，b}＝a﹣b，若a＞b，则min{a，b}﹣max{a，b}＝b﹣a≠a﹣b，故③不一定成立；若a≤b，且b≠0，则有：（min{a，b}）÷（max{a，b}）＝a÷b，若a＞b，且a≠0，（min{a，b}）÷（max{a，b}）＝b÷a≠a÷b．故④不一定成立．故选：B．二、填空题：本大题共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分．（一）必做题（11-13题）11．（5分）不等式x2﹣3x﹣10＜0的解集为{x|﹣2＜x＜5}．【解答】解：不等式x2﹣3x﹣10＜0可化为（x﹣5）（x+2）＜0，解得﹣2＜x＜5；∴该不等式的解集为{x|﹣2＜x＜5}．故答案为：{x|﹣2＜x＜5}．12．（5分）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若a＝3，∠B＝2∠A，cos A＝，则b＝2．【解答】解：△ABC中，由cos A＝，∠B＝2∠A，可得sin A＝，sin B＝sin2A ＝2sin A cos A＝2××＝．再由正弦定理可得＝，即＝，求得b＝2，故答案为：．13．（5分）已知函数f（x）＝x3对应的曲线在点（a k，f（a k））（k∈N*）处的切线与x轴的交点为（a k+1，0），若a1＝1，则＝3．【解答】解：由f'（x）＝3x2得曲线的切线的斜率，故切线方程为，令y＝0得，故数列{a n}是首项a1＝1，公比的等比数列，又＝，所以．故答案为：3．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）【坐标系与参数方程选做题】14．（5分）在极坐标系中，直线ρsin（θ+）＝2被圆ρ＝4截得的弦长为4．【解答】解：∵ρsin（θ+）＝2，∴ρsinθ+ρcosθ＝2，化成直角坐标方程为：x+y﹣2＝0，圆ρ＝4化成直角坐标方程为x2+y2＝16，圆心到直线的距离为：∴截得的弦长为：2×＝．故答案为：．【几何证明选讲选做题】15．如图，BE、CF分别为钝角△ABC的两条高，已知AE＝1，AB＝3，CF＝4，则BC边的长为．【解答】解：依题意，AE＝1，AB＝3，得，因△BEA∽△CF A得，所以AF＝2，AC＝6，所以EC＝7，所以．故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）已知函数f（x）＝2sin（ωx+）（ω＞0，x∈R）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）若f（α）＝，α∈（0，），求cos2α的值．【解答】解：（1）函数f（x）＝2sin（ωx+）（ω＞0，x∈R）的最小正周期为π，由得ω＝2；（2）由：得∵，∴，∴∴＝＝∴．17．（12分）如图是某市今年1月份前30天空气质量指数（AQI）的趋势图．（1）根据该图数据在答题卷中完成频率分布表，并在图4中补全这些数据的频率分布直方图；（2）当空气质量指数（AQI）小于100时，表示空气质量优良．某人随机选择当月（按30天计）某一天到达该市，根据以上信息，能否认为此人到达当天空气质量优良的可能性超过60%？（图中纵坐标1/300即，以此类推）【解答】解：（1）根据图中数据，列出频率分布表如下；根据频率分布表，画出频率分布直方图，如下；（2）由频率分布表知，该市本月前30天中空气质量优良的天数为2+5+7+5＝19，﹣﹣﹣（9分）∴此人到达当天空气质量优良的概率：；﹣﹣﹣（11分）∴可以认为此人到达当天空气质量优良的可能性超过60%．﹣﹣﹣（12分）18．（14分）如图5，已知△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB＝，AB⊥平面BCD，E、F分别是AC、AD的中点．（1）求证：平面BEF⊥平面ABC；（2）设平面BEF∩平面BCD＝l，求证CD∥l；（3）求四棱锥B﹣CDFE的体积V．【解答】（1）证明：∵AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD，又BC⊥CD，AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC，又E、F分别是AC、AD的中点，∴EF∥CD．∴EF⊥平面ABC又EF⊂平面BEF，∴平面BEF⊥平面ABC．（2）证明：∵CD∥EF，CD⊄平面BEF，EF⊂平面BEF，∴CD∥平面BEF，又CD⊂平面BCD，且平面BEF∩平面BCD＝l，∴CD∥l．（2）解法1：由（1）知EF∥CD，∴△AEF～△ACD．∴，∴，∴＝．解法2：取BD中点G，连接FC和FG，则FG∥AB，∵AB⊥平面BCD，∴FG⊥平面BCD，由（1）知EF⊥平面ABC，∴V＝V F+V F﹣BCD＝＝﹣EBC．19．（14分）已知S n为数列{a n}的前n项和，S n＝na n﹣3n（n﹣1）（n∈N*），且a2＝12．（1）求a1的值；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）求证：++…+．【解答】（1）解：由S n＝na n﹣3n（n﹣1），得a1+a2＝2a2﹣3×2×（2﹣1），即a1＝a2﹣6，∵a2＝12，∴a1＝12﹣6＝6；（2）解：由S n＝na n﹣3n（n﹣1），得S n﹣1＝（n﹣1）a n﹣1﹣3（n﹣1）（n﹣2）（n≥2），两式作差得：a n＝na n﹣（n﹣1）a n﹣1﹣6n+6，即a n﹣a n﹣1＝6（n≥2）．∴数列{a n}是以6为首项，以6为公差的等差数列，∴a n＝6+6（n﹣1）＝6n；（3）证明：，则，∴++…+＝＝．20．（14分）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，点P是直线y＝x与抛物线C在第一象限的交点，且|PF|＝5．（1）求抛物线C的方程；（2）设直线l：y＝kx+m与抛物线C有唯一公共点M，且直线l与抛物线的准线交于点Q，试探究，在坐标平面内是否存在点N，使得以MQ为直径的圆恒过点N？若存在，求出点N的坐标，若不存在，说明理由．【解答】解：（1）解法1：∵点P是直线y＝x与抛物线C在第一象限的交点，∴设点P（m，m）（m＞0），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）∵抛物线C的准线为，由|PF|＝5结合抛物线的定义得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣①﹣﹣﹣﹣﹣（2分）又点P在抛物线C上，∴m2＝2pm（m＞0）⇒m＝2p．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②﹣﹣﹣﹣﹣（3分）由①②联立解得p＝2，∴所求抛物线C的方程式为x2＝4y．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）[解法2：∵点P是直线y＝x与抛物线C在第一象限的交点，∴设点P（m，m）（m＞0），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）∵抛物线C的焦点为，由|PF|＝5得，即，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣①﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）又点P在抛物线C上，∴m2＝2pm（m＞0）⇒m＝2p．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）由①②联立解得p＝2，∴所求抛物线C的方程式为x2＝4y．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）]（2）解法1：由抛物线C关于y轴对称可知，若存在点N，使得以MQ为直径的圆恒过点N，则点N必在y轴上，设N（0，n），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）又设点，由直线l：y＝kx+m与抛物线C有唯一公共点M知，直线l 与抛物线C相切，由得，∴，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）∴直线l的方程为，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）令y＝﹣1得，∴Q点的坐标为，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）∵点N在以MQ为直径的圆上，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）要使方程（*）对x0恒成立，必须有解得n＝1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）∴在坐标平面内存在点N，使得以MQ为直径的圆恒过点N，其坐标为（0，1）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）[解法2：设点M（x0，y0），由l：y＝kx+m与抛物线C有唯一公共点M知，直线l与抛物线相切，由得，∴，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）∴直线l的方程为，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）令y＝﹣1得，∴Q点的坐标为，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）∴以MQ为直径的圆方程为：﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣③﹣﹣﹣﹣（10分）分别令x0＝2和x0＝﹣2，由点M在抛物线C上得y0＝1，将x0，y0的值分别代入③得：（y﹣1）（y+1）+（x﹣2）x＝0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣④（y﹣1）（y+1）+（x+2）x＝0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣⑤④⑤联立解得或，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）∴在坐标平面内若存在点N，使得以MQ为直径的圆恒过点N，则点N必为（0，1）或（0，﹣1），将（0，1）的坐标代入③式得，左边＝＝2（1﹣y0）+2（y0﹣1）＝0＝右边，将（0，﹣1）的坐标代入③式得，左边＝不恒等于0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）∴在坐标平面内是存在点N，使得以MQ为直径的圆恒过点N，点N坐标为为（0，1）．﹣﹣（14分）21．（14分）已知函数f（x）＝ax，g（x）＝lnx，其中a∈R．（1）若函数F（x）＝f（x）﹣g（x），当a＝1时，求函数F（x）的极值；（2）若函数G（x）＝f（sin（x﹣1））﹣g（x）在区间（0，1）上为减函数，求a的取值范围；（3）证明：＜ln（n+1）．【解答】解：（1）∵当a＝1时，函数F（x）＝x﹣lnx，（x＞0）∴，令F'（x）＝0得x＝1，当x∈（0，1）时F'（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，F'（x）＞0，即函数F（x）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，∴函数F（x）在x＝1处有极小值，＝1﹣ln1＝1．∴F（x）极小（2）解法1：∵函数G（x）＝f（sin（x﹣1））﹣g（x）＝a sin（x﹣1）﹣lnx在区间（0，1）上为减函数∴在（0，1）上恒成立在（0，1）上恒成立，设，则，当x∈（0，1）时，sin（x﹣1）＜0，cos（x﹣1）＞0∴H'（x）＜0在（0，1）上恒成立，即函数H（x）在（0，1）上单调递减，∴当x∈（0，1）时，H（x）＞H（1）＝1，∴a≤1．解法2：∵函数G（x）＝f（sin（x﹣1））﹣g（x）＝a sin（x﹣1）﹣lnx在区间（0，1）上为减函数∴对∀x∈（0，1），（*）恒成立，∵x∈（0，1），∴cos（x﹣1）＞0，当a≤0时，（*）式显然成立；当a＞0时，（*）式⇔在（0，1）上恒成立，设h（x）＝x cos（x﹣1），易知h（x）在（0，1）上单调递增，∴h（x）＜h（1）＝1，∴⇒0＜a≤1，综上得a∈（﹣∞，1]．（3）由（2）知，当a＝1时，G（x）＝sin（x﹣1）﹣lnx＞G（1）＝0，⇒sin（x ﹣1）＞lnx，（**）∵对∀k∈N*有，在（**）式中令得，∴＝，即．第21页（共21页）。
广东省揭阳市2015届高中毕业班高考第一次模拟考试文科综合试题
本试卷分选择题和非选择题两部分，共41题，共10页，满分300分。
考试用时150分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡上。
用2B铅笔将考生号填涂在答题卡相应位置上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各小题指定的位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持试卷和答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共35小题，每小题4分，共140分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．当我国各地庆祝2015年来临的钟声敲响时，下列说法正确的是：A.告别“马年”，进入“羊年”B.2015年第一季度的开始C.世界各地都进入了2015年D.太阳直射点开始向北移动读“7月索马里洋流示意图”，回答2—3题。
2．有关图中区域叙述，正确的是：A.图中索马里洋流是暖流B.驱动索马里洋流的是盛行西风C.索马里洋流附近海域的渔业资源丰富主要是陆地径流带来丰富的营养物质D.索马里洋流附近海域的鱼群7月份相对1月份多3．索马里半岛沿海平原有一条沙漠带，与其形成无关．．的是：A.该地地势高，降水少B.季节性寒流的降温减湿，加剧干燥C.该地夏季西南风来自陆地比较干燥，降水少D.东北季风比较干燥，降水少4．读右图，一般而言，夏季日本太平洋沿岸河流径流量大于日本海沿岸河流，最主要的影响因素是：A.大气环流B.洋流C.地形D.海陆位置5．自然灾害的发生对人类影响是多方面的，下列说法不．符合实际的是：A.沙尘暴的降尘能增加土壤肥力B.咸潮能增加枯水期河流的水量，提高河流自净能力，改善水质C.台风的到来能缓解夏季的酷暑D.火山喷发可能会形成有用的矿物6．有关漫画中提及的“问题”说法正确的是：A.人口老龄化问题B.该问题发达地区比欠发达地区严重C.就业的性别歧视问题D.男青年婚娶困难加大读“我国某城市中心与郊外平原区对比图”，回答第7题。
2015高考真题广东卷文科数学真题答案
绝密★启用前 试卷类型：B一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 若集合{}1,1M =-，{}2,1,0N =-，则MN =（ ）A ．{}0,1-B ．{}0C ．{}1D ．{}1,1- 【答案】C 【解析】 试题分析：{}1MN =，故选C ．考点：集合的交集运算．2. 已知i 是虚数单位，则复数()21i +=（ ）A ．2-B ．2C ．2i -D ．2i 【答案】D考点：复数的乘法运算．3. 下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）A ．2sin y x x =+ B ．2cos y x x =- C ．122x x y =+ D ．sin 2y x x =+ 【答案】A 【解析】试题分析：函数()2sin f x x x =+的定义域为R ，关于原点对称，因为()11sin1f =+，()1sin1f x -=-，所以函数()2sin f x x x =+既不是奇函数，也不是偶函数；函数()2cos f x x x =-的定义域为R ，关于原点对称，因为()()()()22cos cos f x x x x x f x -=---=-=，所以函数()2cos f x x x =-是偶函数；函数()122x x f x =+的定义域为R ，关于原点对称，因为()()112222x x x x f x f x ---=+=+=，所以函数()122x x f x =+是偶函数；函数()sin 2f x x x =+的定义域为R ，关于原点对称，因为()()()sin 2sin 2f x x x x x f x -=-+-=--=-，所以函数()sin 2f x x x =+是奇函数．故选A ．考点：函数的奇偶性．4. 若变量x ，y 满足约束条件2204x y x y x +≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则23z x y =+的最大值为（ ）A ．10B ．8C ．5D ．2 【答案】C考点：线性规划．5. 设C ∆AB 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2a =，c =，cos A =且b c <，则b =（ ）A B ．2 C ． D ．3 【答案】B 【解析】试题分析：由余弦定理得：2222cos a b c bc =+-A ，所以(22222b b =+-⨯⨯即2680b b -+=，解得：2b =或4b =，因为b c <，所以2b =，故选B ． 考点：余弦定理．6. 若直线1l 和2l 是异面直线，1l 在平面α内，2l 在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（ ）A ．l 至少与1l ，2l 中的一条相交B ．l 与1l ，2l 都相交C ．l 至多与1l ，2l 中的一条相交D ．l 与1l ，2l 都不相交 【答案】A考点：空间点、线、面的位置关系．7. 已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为（ ）A ．0.4B ．0.6C ．0.8D ．1 【答案】B 【解析】试题分析：5件产品中有2件次品，记为a ，b ，有3件合格品，记为c ，d ，e ，从这5件产品中任取2件，有10种，分别是(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),a e ，(),b c ，(),b d ，(),b e ，(),c d ，(),c e ，(),d e ，恰有一件次品，有6种，分别是(),a c ，(),a d ，(),a e ，(),b c ，(),b d ，(),b e ，设事件A =“恰有一件次品”，则()60.610P A ==，故选B ． 考点：古典概型．8.已知椭圆222125x y m+=（0m >）的左焦点为()1F 4,0-，则m =（ ）A ．9B ．4C ．3D ．2 【答案】C 【解析】试题分析：由题意得：222549m =-=，因为0m >，所以3m =，故选C ． 考点：椭圆的简单几何性质．9. 在平面直角坐标系x y O 中，已知四边形CD AB 是平行四边形，()1,2AB =-，()D 2,1A =，则D C A ⋅A =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】D 【解析】试题分析：因为四边形CD AB 是平行四边形，所以()()()C D 1,22,13,1A =AB +A =-+=-，所以()D C 23115A ⋅A =⨯+⨯-=，故选D ．考点：1、平面向量的加法运算；2、平面向量数量积的坐标运算． 10. 若集合(){},,,04,04,04,,,p q r s p s q s r s p q r s E =≤<≤≤<≤≤<≤∈N 且，(){}F ,,,04,04,,,t u v w t u v w t u v w =≤<≤≤<≤∈N 且，用()card X 表示集合X 中的元素个数，则()()card card F E +=（ ）A ．50B ．100C ．150D ．200 【答案】D考点：推理与证明．二、填空题（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．）（一）必做题（11~13题）11. 不等式2340x x --+>的解集为 ．（用区间表示） 【答案】()4,1- 【解析】试题分析：由2340x x --+<得：41x -<<，所以不等式2340x x --+>的解集为()4,1-，所以答案应填：()4,1-． 考点：一元二次不等式．12. 已知样本数据1x ，2x ，⋅⋅⋅，n x 的均值5x =，则样本数据121x +，221x +，⋅⋅⋅，21n x +的均值为 ． 【答案】11考点：均值的性质．13. 若三个正数a ，b ，c 成等比数列，其中5a =+，5c =-b = ．【答案】1 【解析】试题分析：因为三个正数a ，b ，c成等比数列，所以(2551b ac ==+-=，因为0b >，所以1b =，所以答案应填：1． 考点：等比中项．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选作一题）14. （坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系x y O 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线1C 的极坐标方程为()cos sin 2ρθθ+=-，曲线2C 的参数方程为2x t y ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），则1C 与2C 交点的直角坐标为 ． 【答案】()2,4- 【解析】试题分析：曲线1C 的直角坐标方程为2x y +=-，曲线2C 的普通方程为28y x =，由228x y y x +=-⎧⎨=⎩得：24x y =⎧⎨=-⎩，所以1C 与2C 交点的直角坐标为()2,4-，所以答案应填：()2,4-． 考点：1、极坐标方程化为直角坐标方程；2、参数方程化为普通方程；3、两曲线的交点． 15. （几何证明选讲选做题）如图1，AB 为圆O 的直径，E 为AB 的延长线上一点，过E 作圆O 的切线，切点为C ，过A 作直线C E 的垂线，垂足为D ．若4AB =，C E =，则D A = ．【答案】3考点：1、切线的性质；2、平行线分线段成比例定理；3、切割线定理．三、解答题（本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）16、（本小题满分12分）已知tan 2α=．()1求tan 4πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值；()2求2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--的值．【答案】（1）3-；（2）1．考点：1、两角和的正切公式；2、特殊角的三角函数值；3、二倍角的正、余弦公式；4、同角三角函数的基本关系.17、（本小题满分12分）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[)160,180，[)180,200，[)200,220，[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300分组的频率分布直方图如图2．()1求直方图中x 的值；()2求月平均用电量的众数和中位数；()3在月平均用电量为[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[)220,240的用户中应抽取多少户？【答案】（1）0.0075；（2）230，224；（3）5． 【解析】试题解析：（1）由()0.0020.00950.0110.01250.0050.0025201x ++++++⨯=得：0.0075x =，所以直方图中x 的值是0.0075考点：1、频率分布直方图；2、样本的数字特征（众数、中位数）；3、分层抽样.18、（本小题满分14分）如图3，三角形DC P 所在的平面与长方形CD AB 所在的平面垂直，D C 4P =P =，6AB =，C 3B =．()1证明：C//B 平面D P A ； ()2证明：C D B ⊥P ；()3求点C 到平面D P A 的距离．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3【解析】试题解析：（1）因为四边形CD AB 是长方形，所以C//D B A ，因为C B ⊄平面D P A ，D A ⊂平面D P A ，所以C//B 平面D P A（2）因为四边形CD AB 是长方形，所以C CD B ⊥，因为平面DC P ⊥平面CD AB ，平面DC P 平面CD CD AB =，C B ⊂平面CD AB ，所以C B ⊥平面DC P ，因为D P ⊂平面DC P ，所以C D B ⊥P（3）取CD 的中点E ，连结AE 和PE ，因为D C P =P ，所以CD PE ⊥，在Rt D ∆PE中，PE ===，因为平面DC P ⊥平面CD AB ，平面DC P 平面CD CD AB =，PE ⊂平面DC P ，所以PE ⊥平面CD AB ，由（2）知：C B ⊥平面DC P ，由（1）知：C//D B A ，所以D A ⊥平面DC P ，因为D P ⊂平面DC P ，所以D D A ⊥P ，设点C 到平面D P A 的距离为h ，因为C D CD V V -P A P-A =三棱锥三棱锥，所以D CD 1133S h S ∆P A ∆A ⋅=⋅PE ，即CD D S h S ∆A ∆P A ⋅PE ===，所以点C 到平面D P A考点：1、线面平行；2、线线垂直；3、点到平面的距离.19、（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，n *∈N ．已知11a =，232a =，354a =，且当2n ≥时，211458n n n n S S S S ++-+=+．()1求4a 的值； ()2证明：112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列； ()3求数列{}n a 的通项公式．【答案】（1）78；（2）证明见解析；（3）()11212nna n-⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭．考点：1、等比数列的定义；2、等比数列的通项公式；3、等差数列的通项公式.。
2015高考数学试卷(广东卷)文数(有答案、解析版)
一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.若集合{}1,1M =-，{}2,1,0N =-，则MN =（ ）A ．{}0,1-B ．{}0C ．{}1D ．{}1,1-【答案】C考点：集合的交集运算．2.已知i 是虚数单位，则复数()21i +=（ ）A ．2-B ．2C ．2i -D ．2i 【答案】D 【解析】试题分析：()221121212i i i i i +=++=+-=，故选D ．考点：复数的乘法运算．3.下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）A ．2sin y x x =+B ．2cos y x x =- C ．122xx y =+D ．sin 2y x x =+ 【答案】A 【解析】试题分析：函数()2sin f x x x =+的定义域为R ，关于原点对称，因为()11sin1f =+，()1sin1f x -=-，所以函数()2sin f x x x =+既不是奇函数，也不是偶函数；函数()2cos f x x x =-的定义域为R ，关于原考点：函数的奇偶性．4.若变量x ，y 满足约束条件2204x y x y x +≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则23z x y =+的最大值为（ ）A ．10B ．8C ．5D ．2 【答案】C 【解析】试题分析：作出可行域如图所示：作直线0:l 230x y +=，再作一组平行于0l 的直线:l 23x y z +=，当直线l 经过点A 时，23z x y =+取得最大值，由224x y x +=⎧⎨=⎩得：41x y =⎧⎨=-⎩，所以点A 的坐标为()4,1-，所以()max 24315z =⨯+⨯-=，故选C ．考点：线性规划．5.设C ∆AB 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2a =，23c =，3cos 2A =，且 b c <，则b =（ ）A ．3B ．2C ．22D ．3 【答案】B 【解析】试题分析：由余弦定理得：2222cos a b c bc =+-A ，所以()22232232232b b =+-⨯⨯⨯，即2680b b -+=，解得：2b =或4b =，因为b c <，所以2b =，故选B ．考点：余弦定理．6.若直线1l 和2l 是异面直线，1l 在平面α内，2l 在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列 命题正确的是（ ）A ．l 至少与1l ，2l 中的一条相交B ．l 与1l ，2l 都相交C ．l 至多与1l ，2l 中的一条相交D ．l 与1l ，2l 都不相交 【答案】A 【解析】试题分析：若直线1l 和2l 是异面直线，1l 在平面α内，2l 在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则l 至少与1l ，2l 中的一条相交，故选A ． 考点：空间点、线、面的位置关系．7.已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率 为（ ）A ．0.4B ．0.6C ．0.8D ．1 【答案】B 【解析】试题分析：5件产品中有2件次品，记为a ，b ，有3件合格品，记为c ，d ，e ，从这5件产品中任取2件，有10种，分别是(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),a e ，(),b c ，(),b d ，(),b e ，(),c d ，(),c e ，(),d e ，恰有一件次品，有6种，分别是(),a c ，(),a d ，(),a e ，(),b c ，(),b d ，(),b e ，设事件A =“恰有一件次品”，则()60.610P A ==，故选B ． 考点：古典概型．8.已知椭圆222125x y m+=（0m >）的左焦点为()1F 4,0-，则m =（ ） A ．9 B ．4 C ．3 D ．2 【答案】C 【解析】试题分析：由题意得：222549m =-=，因为0m >，所以3m =，故选C ． 考点：椭圆的简单几何性质．9.在平面直角坐标系x y O 中，已知四边形CD AB 是平行四边形，()1,2AB =-，()D 2,1A =， 则D C A ⋅A =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】D考点：1、平面向量的加法运算；2、平面向量数量积的坐标运算． 10.若集合(){},,,04,04,04,,,p q r s p s q s r s p q r s E =≤<≤≤<≤≤<≤∈N 且，(){}F ,,,04,04,,,t u v w t u v w t u v w =≤<≤≤<≤∈N 且，用()card X 表示集合X 中的元素个数，则()()card card F E +=（ ）A ．50B ．100C ．150D ．200 【答案】D 【解析】试题分析：当4s =时，p ，q ，r 都是取0，1，2，3中的一个，有44464⨯⨯=种，当3s =时，p ，q ，r 都是取0，1，2中的一个，有33327⨯⨯=种，当2s =时，p ，q ，r 都是取0，1中的一个，有2228⨯⨯=种，当1s =时，p ，q ，r 都取0，有1种，所以()card 642781100E =+++=，当0t =时，u 取1，2，3，4中的一个，有4种，当1t =时，u 取2，3，4中的一个，有3种，当2t =时，u 取3，4中的一个，有2种，当3t =时，u 取4，有1种，所以t 、u 的取值有123410+++=种，同理，v 、w的取值也有10种，所以()card F 1010100=⨯=，所以()()card card F 100100200E +=+=，故选D ． 考点：推理与证明．二、填空题（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．） （一）必做题（11~13题）11.不等式2340x x --+>的解集为 ．（用区间表示） 【答案】()4,1-【解析】试题分析：由2340x x --+<得：41x -<<，所以不等式2340x x --+>的解集为()4,1-，所以答案应填：()4,1-．考点：一元二次不等式．12.已知样本数据1x ，2x ，⋅⋅⋅，n x 的均值5x =，则样本数据121x +，221x +，⋅⋅⋅，21n x +的 均值为 ． 【答案】11考点：均值的性质．13.若三个正数a ，b ，c 成等比数列，其中526a =+，526c =-，则b = ． 【答案】1【解析】试题分析：因为三个正数a ，b ，c 成等比数列，所以()()25265261b ac ==+-=，因为0b >，所以1b =，所以答案应填：1．考点：等比中项．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选作一题）14.（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系x y O 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线1C 的极坐标方程为()cos sin 2ρθθ+=-，曲线2C 的参数方程为222x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩（t为参数），则1C 与2C 交点的直角坐标为 ． 【答案】()2,4-【解析】试题分析：曲线1C 的直角坐标方程为2x y +=-，曲线2C 的普通方程为28y x =，由228x y y x +=-⎧⎨=⎩得：24x y =⎧⎨=-⎩，所以1C 与2C 交点的直角坐标为()2,4-，所以答案应填：()2,4-． 考点：1、极坐标方程化为直角坐标方程；2、参数方程化为普通方程；3、两曲线的交点． 15.（几何证明选讲选做题）如图1，AB 为圆O 的直径，E 为AB 的延长线上一点，过E 作圆O 的 切线，切点为C ，过A 作直线C E 的垂线，垂足为D ．若4A B =，C 23E =，则D A = ．【答案】3【解析】试题分析：连结C O ，则C D O ⊥E ，因为D D A ⊥E ，所以C//D O A ，所以C D O OE=A AE，由切割线定理得：2C E =BE⋅AE ，所以()412BE BE+=，即24120BE +BE -=，解得：2BE =或6BE =-（舍去），所以C 26D 34O ⋅AE ⨯A ===OE ，所以答案应填：3． 考点：1、切线的性质；2、平行线分线段成比例定理；3、切割线定理．三、解答题（本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）16．（本小题满分12分）已知tan 2α=．（1）求tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；（2）求2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--的值．【答案】（1）3-；（2）1． 【解析】试题分析：（1）由两角和的正切公式展开，代入数值，即可得tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；（2）先利用二倍角的正、余弦公式可得222sin 22sin cos sin sin cos cos 21sin sin cos 2cos ααααααααααα=+--+-，再分子、分母都除以2cos α可得22sin 22tan sin sin cos cos 21tan tan 2αααααααα=+--+-，代入数值，即可得2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--的值．试题解析：（1）tan tantan 1214tan 341tan 121tan tan 4παπααπαα+++⎛⎫+====- ⎪--⎝⎭- （2）2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+-- ()222sin cos sin sin cos 2cos 11αααααα=+--- 222sin cos sin sin cos 2cos αααααα=+-22tan tan tan 2ααα=+-222222⨯=+-1=考点：1、两角和的正切公式；2、特殊角的三角函数值；3、二倍角的正、余弦公式；4、同角三角函数的基本关系.17．（本小题满分12分）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[)160,180，[)180,200，[)200,220，[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300分组的频率分布直方图如图2．（1）求直方图中x 的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300的四组用户中，用分层抽样的 方法抽取11户居民，则月平均用电量在[)220,240的用户中应抽取多少户？ 【答案】（1）0.0075；（2）230，224；（3）5． 【解析】（2）月平均用电量的众数是2202402302+= 因为()0.0020.00950.011200.450.5++⨯=<，所以月平均用电量的中位数在[)220,240内，设中位数为a ，由()()0.0020.00950.011200.01252200.5a ++⨯+⨯-=得：224a =，所以月平均用电量的中位数是224（3）月平均用电量为[)220,240的用户有0.01252010025⨯⨯=户，月平均用电量为[)240,260的用户有0.00752010015⨯⨯=户，月平均用电量为[)260,280的用户有0.0052010010⨯⨯=户，月平均用电量为[]280,300的用户有0.0025201005⨯⨯=户，抽取比例11125151055==+++，所以月平均用电量在[)220,240的用户中应抽取12555⨯=户考点：1、频率分布直方图；2、样本的数字特征（众数、中位数）；3、分层抽样.18．（本小题满分14分）如图3，三角形DC P 所在的平面与长方形CD AB 所在的平面垂直， D C 4P =P =，6AB =，C 3B =． （1）证明：C//B 平面D P A ； （2）证明：C D B ⊥P ；（3）求点C 到平面D P A 的距离．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）372． 【解析】试题分析：（1）由四边形CD AB 是长方形可证C//D B A ，进而可证C//B 平面D P A ；（2）先证C CD B ⊥，再证C B ⊥平面DC P ，进而可证C D B ⊥P ；（3）取CD 的中点E ，连结AE 和PE ，先证PE ⊥平面CD AB ，再设点C 到平面D P A 的距离为h ，利用C D CD V V -P A P-A =三棱锥三棱锥可得h 的值，进而可得点C 到平面D P A 的距离．试题解析：（1）因为四边形CD AB 是长方形，所以C//D B A ，因为C B ⊄平面D P A ，D A ⊂平面D P A ，所以C//B 平面D P A（2）因为四边形CD AB 是长方形，所以C CD B ⊥，因为平面DC P ⊥平面CD AB ，平面DCP 平面CD CD AB =，C B ⊂平面CD AB ，所以C B ⊥平面DC P ，因为D P ⊂平面DC P ，所以C D B ⊥P （3）取CD 的中点E ，连结AE 和PE ，因为D C P =P ，所以CD PE ⊥，在R t D ∆P E 中，22D D PE =P -E22437=-=，因为平面DC P ⊥平面CD AB ，平面DC P 平面CD CD AB =，PE ⊂平面DC P ，所以PE ⊥平面CD AB ，由（2）知：C B ⊥平面DC P ，由（1）知：C//D B A ，所以D A ⊥平面DC P ，因为D P ⊂平面DC P ，所以D D A ⊥P ，设点C 到平面D P A 的距离为h ，因为C D CD V V -P A P-A =三棱锥三棱锥，所以D CD 1133S h S ∆P A ∆A ⋅=⋅PE ，即CD D 136737212342S h S ∆A ∆P A ⨯⨯⨯⋅PE ===⨯⨯，所以点C 到平面D P A 的距离是372考点：1、线面平行；2、线线垂直；3、点到平面的距离.19．（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，n *∈N ．已知11a =，232a =，354a =， 且当2n ≥时，211458n n n n S S S S ++-+=+． （1）求4a 的值；（2）证明：112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列； （3）求数列{}n a 的通项公式．【答案】（1）78；（2）证明见解析；（3）()11212n n a n -⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭．【解析】试题分析：（1）令2n =可得4a 的值；（2）先将211458n n n n S S S S ++-+=+（2n ≥）转化为2144n n n a a a +++=，再利用等比数列的定义可证112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列；（3）先由（2）可得数列112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的通项公式，再将数列112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的通项公式转化为数列12n n a ⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎭是等差数列，进而可得数列{}n a 的通项公式． 试题解析：（1）当2n =时，4231458S S S S +=+，即435335415181124224a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得：478a =（2）因为211458n n n n S S S S ++-+=+（2n ≥），所以21114444n n n n n n S S S S S S ++-+-+-=-（2n ≥），即2144n n n a a a +++=（2n ≥），因为3125441644a a a +=⨯+==，所以2144n n n a a a +++=，因为()2121111111114242212142422222n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a +++++++++++-----====----，所以数列112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以21112a a -=为首项，公比为12的等比数列（3）由（2）知：数列112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以21112a a -=为首项，公比为12的等比数列，所以111122n n n a a -+⎛⎫-= ⎪⎝⎭即1141122n n n n a a ++-=⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以数列12n n a ⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎭是以1212a =为首项，公差为4的等差数列，所以()2144212nna n n =+-⨯=-⎛⎫⎪⎝⎭，即()()111422122n n n a n n -⎛⎫⎛⎫=-⨯=-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以数列{}n a 的通项公式是()11212n n a n -⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭考点：1、等比数列的定义；2、等比数列的通项公式；3、等差数列的通项公式.20．（本小题满分14分）已知过原点的动直线l 与圆1C :22650x y x +-+=相交于不同的两点A ，B ．（1）求圆1C 的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；（3）是否存在实数k ，使得直线L:()4y k x =-与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围； 若不存在，说明理由．【答案】（1）()3,0；（2）492322=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x ⎪⎭⎫⎝⎛≤<335x ；（3）存在，752752≤≤-k 或34±=k ． 【解析】试题分析：（1）将圆1C 的方程化为标准方程可得圆1C 的圆心坐标；（2）先设线段AB 的中点M 的坐标和直线l 的方程，再由圆的性质可得点M 满足的方程，进而利用动直线l 与圆1C 相交可得0x 的取值范围，即可得线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；（3）先说明直线L 的方程和曲线C 的方程表示的图形，再利用图形可得当直线L:()4y k x =-与曲线C 只有一个交点时，k 的取值范围，进而可得存在实数k ，使得直线L:()4y k x =-与曲线C 只有一个交点．所以202022054x x m y <=，所以20200543x x x <-，解得350>x 或00<x ，又因为300≤<x ，所以3350≤<x . 所以),(00y x M 满足49232020=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛≤<3350x 即M 的轨迹C 的方程为492322=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛≤<335x . （3）由题意知直线L 表示过定点T (4,0)，斜率为k 的直线. 结合图形，49232020=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛≤<3350x 表示的是一段关于X 轴对称，起点为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-352,35按逆时针方向运动到⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛352,35的圆弧.根据对称性，只需讨论在X 轴对称下方的圆弧.设P⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-352,35，则752354352=-=PT k ,而当直线L 与轨迹C 相切时，.2314232=+-k k k ，解得43±=k .在这里暂取43=k ，因为43752<，所以k k PT <结合图形，可得对于X 轴对称下方的圆弧，当0752≤≤-k 或34=k 时，直线L 与X 轴对称下方的圆弧有且只有一个交点，根据对称性可知752752≤≤-k 或34±=k . 综上所述：当752752≤≤-k 或34±=k 时，直线L:()4y k x =-与曲线C 只有一交点. 考点：1、圆的标准方程；2、直线与圆的位置关系；3、圆锥曲线与圆的位置关系.21．（本小题满分14分）设a 为实数，函数()()()21f x x a x a a a =-+---．（1）若()01f ≤，求a 的取值范围；（2）讨论()f x 的单调性；（3）当2a ≥时，讨论()4f x x +在区间()0,+∞内的零点个数． 【答案】（1）21≤a ；（2）)(x f 在),(+∞a 上单调递增，在),(a -∞上单调递减；（3）当2=a 时，()4f x x+有一个零点x=2；当2>a ，)(x f y =与xy 4-=有两个零点． 【解析】试题分析：（1）先由()01f <可得1≤+a a ，再对a 的取值范围进行讨论可得1≤+a a 的解，进而可得a 的取值范围；（2）先写函数()f x 的解析式，再对a 的取值范围进行讨论确定函数()f x 的单调性；（3）先由（2）得函数()f x 的最小值，再对a 的取值范围进行讨论确定()4f x x +在区间()0,+∞内的零点个数． 试题解析：（1）22(0)f a a a a a a =+-+=+，因为()01f ≤，所以1≤+a a当0≤a 时，10≤，显然成立；当0>a ，则有12≤a ，所以21≤a .所以210≤<a综上所述，a 的取值范围是21≤a . （2）()⎪⎩⎪⎨⎧<++-≥--=ax a x a x a x x a x x f ,2)12(,12)(22 对于()x a x u 1221--=，其对称轴为a a a x <-=-=21212，开口向上， 所以)(x f 在),(+∞a 上单调递增； 对于()a x a x u 21221++-=，其对称轴为a a a x >+=+=21212，开口向上， 所以)(x f 在),(a -∞上单调递减. 综上，)(x f 在),(+∞a 上单调递增，在),(a -∞上单调递减.（3）由（2）得)(x f 在),(+∞a 上单调递增，在),0(a 上单调递减，所以2min )()(a a a f x f -==. (i)当2=a 时，2)2()(min-==f x f ，⎪⎩⎪⎨⎧<+-≥-=2,452,3)(22x x x x x x x f 令()4f x x +=0，即xx f 4)(-=（x>0）. 因为)(x f 在)2,0(上单调递减，所以2)2()(-=>f x f 而x y 4-=在)2,0(上单调递增，2)2(-=<f y ，所以)(x f y =与xy 4-=在)2,0(无交点. 当2≥x 时，xx x x f 43)(2-=-=，即04323=+-x x ，所以042223=+--x x x ，所以()0)1(22=+-x x ，因为2≥x ，所以2=x ，即当2=a 时，()4f x x +有一个零点x=2. (ii)当2>a 时，2min )()(a a a f x f -==，当),0(a x ∈时，42)0(>=a f ，2)(a a a f -=，而xy 4-=在),0(a x ∈上单调递增， 当a x =时，a y 4-=.下面比较2)(a a a f -=与a4-的大小 因为0)2)(2()4()4(2232<++--=---=---a a a a a a a a a a 所以aa a a f 4)(2-<-=结合图像不难得当2>a ，)(x f y =与x y 4-=有两个交点. 综上，当2=a 时，()4f x x +有一个零点x=2；当2>a ，)(x f y =与xy 4-=有两个零点. 考点：1、绝对值不等式；2、函数的单调性；3、函数的最值；4、函数的零点.。
揭阳一中等2015届高三上学期开学摸底联考试题(文数)
2015届高三摸底考联考文科数学试题本试卷共4页，21题，满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、座号写在答题卷密封线内。
2．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答。
3．答案一律写在答题区域内，不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U R =，集合{|2},{|05},A x x B x x =≥=≤<则集合()U C A B =A ．{|02}x x <<B ．{|02}x x ≤<C ．{|02}x x <≤D ．{|02}x x ≤≤2．设复数z 满足2z i i ⋅=-，i 为虚数单位，则=zA ．2i -B ．12i +C ．12i -+D ．12i --3．函数1()lg(1)1f x x x=++-的定义域是 A ．(,1)-∞- B.(1,)+∞ C.(1,1)(1,)-+∞ D. (,)-∞+∞4． 如图是某几何体的三视图，则此几何体的体积是 A ．36 B ．108C ．72D ．1805. 在ABC ∆中，若60,45,A B BC ︒︒∠=∠==AC =A.6．阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是 A ．123 B.38 C ．11 D ．37. 在平面直角坐标系xOy 中，直线3450x y +-=与圆224x y +=相交于,A B 两点，则弦AB 的长等于( )A.D.18．已知实数4,,9m 构成一个等比数列，则圆锥曲线221xy m+=的离心率为第4题 图 第6题 图630.A 7.B 7630.或C 765.或D9.在下列条件下，可判断平面α与平面β平行的是 A. α、β都垂直于平面γ B. α内不共线的三个点到β的距离相等 C. l,m 是α内两条直线且l ∥β,m ∥β D. l,m 是异面直线,且l ∥α,m ∥α,l ∥β,m ∥β 10.对任意两个非零的平面向量,αβ，定义αβαβββ⋅=⋅．若平面向量,a b 满足0a b ≥>，a 与b 的夹角0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且a b 和b a 都在集合|2n n Z ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中，则b a =A ．12 B ．1 C ．32 D ．52二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14、15题为选做题。
广东揭阳市高三第一次模拟考试数学文试题含答案
揭阳市2016年高中毕业班高考第一次模拟考试数学(文科)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．一、选择题：BBCDBA CADBDA解析：12解法一：设(,)M x y ，由||2||AM BM ≤得22222()()33x y +-≥，即点M 恒在圆22222()()33x y +-=的外部（含圆周）上，故当线段AD 与圆相切时，t 取最小值，∵:12x yAD t +=2|2|23t t t -=⇒=答案A. 解法二：由||2||AM BM ≤可得sin ||2,sin ||ABM AM BAD BM ∠=≤∠sin 2sin 24ABM BAD t ∴∠≤∠=+恒成立，故12≤，解得3t ≥解法三：设,(,12),AM AD BM AM AB t λλλ=∴=-=-由||2||AM BM ≤恒成立可得2222||4||,(4)4[A MB M t t λλλ≤∴+≤+-化简得22(312)1640t λλ+-+≥221616(312)0t ∴∆=-+≤，解得3t ≥二、填空题：13.6；14.934x ≤<；15.48；16.2. 解析：16.∵A 、B 、C 成等差数列，∴2A C B +=，又A B C π++=，∴3B π=，由1sin 2ABC S ac B ∆==4ac =，∵2222cos b a c ac B =+-22a c ac =+-，及222a c ac +≥，∴24b ac ≥=，2b ≥，∴b 的最小值为2.三、解答题：17．解：（1）当1n =时，111232S a =-，即111232a a =-，112a =；------------------1分当2n ≥时，由1232n n S a =-，得111232n n S a --=-，两式相减， 得1233n n n a a a -=-，即13nn a a -=，-------------------------------------------------4分 数列{}n a 是以112a =为首项，3为公比的等比数列，1132n n a -=⋅；---------------------6分（2）证明：∵312log 221n n b a n =+=-，-----------------------------------------8分 ∴()()111111212122121n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭， ∴12231111111111123352121n n b b b b b b n n +⎛⎫+++=-+-++- ⎪-+⎝⎭-------------------10分11112212n ⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭．----------------------------------12分 18．解：（Ⅰ）-----------------------------2分∵23.7781K ≈<3.84 1，∴在犯错的概率不超过5%的前提下，不能认为“满意与否”与“性别”有关。
广东省揭阳市2015届高三第二次高考模拟考(数学文)
揭阳市2015年高中毕业班第二次高考模拟考试数学(文科)本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．参考公式：棱锥的体积公式：13V Sh =．其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高． 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知{|31,}A x x k k Z ==-∈，则下列表示正确的是A.1A -∉B.11A -∈C. 231k A -∈D.34A -∉ 2．已知复数1z i =+，则2(1)z z -=A. 2B. －2C. 22i -D. 22i -- 3．命题P ：“对2,12x R x x ∀∈+≥”的否定P ⌝为A. 2,12x R x x ∃∈+> B.2,12x R x x ∃∈+≥ C. 2,12x R x x ∀∈+< D.2,12x R x x ∃∈+< 4．已知1sin()3πα+=，则cos 2α=A.79 B.89 C. 79-5. 若01x y <<<，则下列不等式正确的是A ．44yx< B ．33>x y C ．44log log x y < D ．11()()44x y < 6．设向量(12)(23)==，，，a b ，若向量λ-a b 与向量(56)=--，c 共线，则λ的值为侧视图正视图h5A．43B．413C．49-D．47．图1中的三个直角三角形是一个体积为330cm的几何体的三视图，则侧视图中的h为A. 5 cmB.6 cmC.7 cmD.8 cm8．已知变量,x y满足约束条件⎪⎪⎨⎧≤+-≤-+125yxyx，则yx的最小值是图1 10．已知{1,2,3,4},{1,2,3}a b∈∈，则关于x的不等式222(1)0x a x b--+≥的解集为R的概率为A.14B.12C.23D.34二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．（一）必做题（11－13题）11．已知幂函数()y f x=的图象过点1(3,)3，则2log(2)f的值为．12．以点(2,1)-为圆心且与直线3470x y+-=相切的圆的标准方程是．13．在△ABC中，已知角CBA,,所对的边分别为cba,,，且2(cos cos)c a B b A b-=，则sinsinAB= ．（二）选做题（14－15题，考生只能从中选做一题）14. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系(,)ρθ(02)θπ≤<中，曲线(2cos sin)3ρθθ-=与(cos2sin)1ρθθ+=-的交点的极坐标为．15．（几何证明选讲选做题）如图3，点P在圆O的直径AB的延长线上，且PB=OB=3,PC切圆O于C点，CD⊥AB于D点，则CD的长为．图3NM Po yx三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．(本小题满分12分)已知函数()sin()6f x A x πω=+(00)A ω>>，的部分图象如图4示，其中M 1(,0)6-为图象与x 轴的交点，1(,2)3P 为图象的最高点．(1)求A 、ω的值；(2)若2()3f απ=，(,0)3πα∈-，求cos()3πα+的值． 图417．(本小题满分12分)某校为了调查“学业水平考试”学生的数学成绩，随机地抽取该校甲、乙两班各10名同学，获得的数据如下：（单位：分）甲：132，108，112，121，113，121，118，127，118，129； 乙：133，107，120，113，121，116，126，109，129，127.（1）以百位和十位为茎，个位为叶，在图5中作出以上抽取的甲、乙两班学生数学成绩的茎叶图，求出这20个数据的众数，并判断哪个班的平均水平较高；（2）将这20名同学的成绩按下表分组，现从第一、二、三组中，采用分层抽样的方法抽取6名同学成绩作进一步的分析，求应从这三组中各抽取的人数．18．(本小题满分14分)已知等比数列{}n a 满足：0n a >，15a =，n S 为其前n 项和，且13220S S S ，，7成等差数列． （1）求数列{n a }的通项公式； （2）设51525log log log n n b a a a =+++，求数列{1nb }的前n 项和n T ． 19．（本小题满分14分）如图6，在三棱锥S ABC -中，侧面SAB 与侧面SAC 均 为等边三角形，2AB =，90BAC ∠=°． （1）证明：SA BC ⊥；（2）求三棱锥S ABC -的体积．图620．(本小题满分14分)已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的焦点分别为1(F 、2F ，P 为椭圆C 上任一点，12PF PF ⋅uuu r uuu r的最大值为1.（1）求椭圆C 的方程；（2）已知点(1,0)A ，试探究是否存在直线:l y kx m =+与椭圆C 交于D 、E 两点，且使得||||AD AE =？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由.21．(本小题满分14分)已知函数()321(21)3(2)13f x x k x k k x =-++++，其中k 为实数. （1）当1k =-时，求函数()f x 在[0,6]上的最大值和最小值； （2）求函数()f x 的单调区间；（3）若函数()f x 的导函数'()f x 在(0,6)上有唯一的零点，求k 的取值范围.揭阳市2015年高中毕业班高考第二次模拟考试数学(文科)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考 查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数． 一、选择题：CADAC ABCBD二、填空题：11. 1-；12.22(2)(1)1x y -++=；13；14. 7)4π； 三、解答题：16．解：（1）由1(,2)3P 为图象的最高点知2A =，---------------------1分又点M 1(,0)6-知函数()f x 的最小正周期114()236T =+=，-----------------------3分 ∵2T πω=∴ωπ=,-------------------------------------------------5分(2)由（1）知，()2sin()6f x x ππ=+由2()3f απ=得1sin()63πα+=，----------------------------------------6分 ∵(,0)3πα∈-∴666πππα-<+<----------------------------------------7分∴cos()6πα+===-------------------------9分 ∵cos()cos()366πππαα+=++cos()cos sin()sin 6666ππππαα=+-+-------------11分∴cos()3πα+1132=-⨯=------------------------------------------------12分 17．解：（1）甲、乙两班学生数学成绩的茎叶图如右图示：----4分这20个数据的众数为121，----------------------------------5分乙班的平均水平较高；----------------------------------------7分 （2）由上数据知，这20人中分值落在第一组的有3人，落在第二组的有6人，落在第三组的有9人，-------------9分故应从第一组中抽取的人数为：631369⨯=++，-------10分应从第二组中抽取的人数为：662369⨯=++，--------------------------------11分应从第三组中抽取的人数为：693369⨯=++.-----------------------------------12分18．解：（1）设数列{}n a 的公比为q ，∵13220,,7S S S 成等差数列，3122207.S S S ∴=+-----------------------------------2分即21111112()207()a a q a q a a a q ++=++，化简得225250q q --=，------4分 解得：5q =或52q =-------------------------------------------------------------------6分 ∵0n a >，∴52q =-不合舍去， ∴111555n n n n a a q --==⨯=.-----------------------------------------7分(2)∵ 51525log log log n n b a a a =+++=1235125log ()log 5123nn a a a n ++++==++++---------------------9分(1)2n n +=，----------------------------------------------------------------------------10分 ∴1n b =211=2()(+11n n n n -+）----------------------------------------------------------------12分 ∴12111n nT b b b =+++111112[(1)()()]2231n n =-+-++-+ 122(1)11nn n =-=++.------------------------------------------14分 19．解：（1）证明：取BC 中点D ，连结SD 、AD ，-----2分 ∵△SAB 与△SAC 均为等边三角形∴SB=SC=AB=AC=SA=2，∴SD BC ⊥,AD BC ⊥-----4分 又SDAD D =∴BC ⊥平面SAD ----------------------5分 ∵SA ⊂平面SAD∴SA BC ⊥-------------------------------------------------7分 （2）∵90BAC ∠=°，AB=AC ，∴BC ==，------------------------------------8分∵SB=AB ，SC=AC ，BC=BC ，∴△SBC ≌△ABC ，∴90BSC ∠=，-------------------------9分∴12SD AD BC ===∵2224SD AD SA +== ∴SD AD ⊥---------------------11分 又SD BC ⊥,BCAD D =∴SD ⊥平面ABC ,------------------------------------------12分∴13P ABC ABC V S SD -∆=112232=⨯⨯⨯=.----------------14分 其它解法请参照给分.20.解：(1)设(,)P x y ,由1(F 、2F 得1(,)PF x y =--uuu r , 2,)PF x y =-uuu r.∴212)PF PF x x y ⋅=-+uuu r uuu r 223x y =+-，---------------------2分 由22221x y a b +=得2222(1)x y b a=- ∴222122(1)3x PF PF x b a ⋅=+--uuu r uuu r 22233x b a=+-，------------------------4分∵220x a ≤≤，∴当22x a =，即x a =±时，12PF PF ⋅uuu r uuu r有最大值，即212max ()331PF PF b ⋅=+-=uuu r uuu r ，---------------------------------------6分∴21b =，2224a c b =+=，∴所求双曲线C 的方程为2214x y +=.------------------------------------7分 其它解法请参照给分.（2）假设存在直线l 满足题设，设1122(,),(,)D x y E x y ，将y kx m =+代入2214x y +=并整理得222(14)8440k x kmx m +++-=，------------------------------------------------------------8分由222222644(14)(44)16(41)0k m k m m k ∆=-+-=--->，得2241k m +>-----------① 又122814kmx x k+=-+--------------------10分 由||||AD AE =可得2222112212121212(1)(1)()(2)()()0x y x y x x x x y y y y -+=-+⇒-+-+-+=121212122()0y y x x y y x x -⇒+-++=-212(1)()220k x x km ⇒+++-=228(1)22014kmk km k ⇒-++-=+化简得2143k m k +=-------------②------------------------------------------12分将②代入①得2221441()3k k k++>化简得42222010(41)(51)0k k k k +->⇒+->，解得k >k <所以存在直线l ，使得||||AD AE =，此时k 的取值范围为(,)-∞⋃+∞．-------14分 21.解：（1）当1k =-时，321()313f x x x x =+-+，---------------------------1分 则2'()23f x x x =+-(1)(3)x x =-+，令'()0f x =，∵[0,6]x ∈ 得1,x =----------------------------------2分 且()f x 在[0,1]上单调递减，在[1,6]上单调递增， ∵2(0)1,(1),(6)973f f f ==-=， ∴()f x 在[0,6]上的最大值为97，最小值为23-.------------------------4分 （2） ∵()2'2(21)3(2)f x x k x k k =-+++=(3)[(2)]x k x k --+，----------------5分当1k =时，2'()(3)0f x x =-≥，∴函数()f x 的单调递增区间为(,)-∞+∞；---6分当1k >时，32k k >+，由'()0f x >解得3x k >或2x k <+，由'()0f x <得23k x k +<<， ∴函数()f x 的单调递增区间为(3,)k +∞和(,2)k -∞+，递减区间为(2,3)k k +；----7分 当1k <时，32k k <+，由'()0f x >解得2x k >+或3x k <，由'()0f x <得32k x k <<+， ∴函数()f x 的单调递增区间为(3,)k +∞和(,2)k -∞+；递减区间为(3,2)k k +.-----9分 （3）由()'(3)[(2)]0f x x k x k =--+=得122,3x k x k =+=，--------------------------------------------------10分 ①当12x x =时，有231k k k +=⇒=，此时123(0,6)x x ==∈，函数'()f x 在(0,6)上有唯一的零点，∴1k =为所求；----------------------11分 ②当12x x >时，有231k k k +>⇒<，此时213x x <<， ∵函数'()f x 在(0,6)上有唯一的零点，得2103x x ≤<<，即3023k k ≤<+<，解得20k -<≤，-----------------12分 ③当12x x <时，有231k k k +<⇒>，此时213x x >>， ∵函数'()f x 在(0,6)上有唯一的零点，得1236x x <<≤，即3263k k <+<≤，解得24k ≤<，------------------13分 综上得实数k 的取值范围为是：20k -<≤或1k =或24k ≤<.----------------14分。
2015年广东省高考数学试卷(文科)答案与解析
2015年广东省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）2，是偶函数；4．（5分）（2015•广东）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+3y的最大值为（）y=y=，解得，5．（5分）（2015•广东）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=2，c=2，cosA=．且b＜c，则b=（），cosA=×6．（5分）（2015•广东）若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是7．（5分）（2015•广东）已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任件的取法为8．（5分）（2015•广东）已知椭圆+=1（m＞0 ）的左焦点为F1（﹣4，0），则m=（）利用椭圆+椭圆=19．（5分）（2015•广东）在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，=（1，﹣2），=（2，1）则•=（）==∴10．（5分）（2015•广东）若集合E={（p，q，r，s）|0≤p＜s≤4，0≤q＜s≤4，0≤r＜s≤4且p，q，r，s∈N}，F={（t，u，v，w）|0≤t＜u≤4，0≤v＜w≤4且t，u，v，w∈N}，用card（X）表二、填空题（共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分）（一）必做题（11～13题）11．（5分）（2015•广东）不等式﹣x2﹣3x+4＞0的解集为（﹣4，1）．（用区间表示）12．（5分）（2015•广东）已知样本数据x1，x2，…，x n的均值=5，则样本数据2x1+1，2x2+1，…，2x n+1 的均值为11．的平均数为均值的均值为：13．（5分）（2015•广东）若三个正数a，b，c 成等比数列，其中a=5+2，c=5﹣2，则b=1．，2∴坐标系与参数方程选做题14．（5分）（2015•广东）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C1的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）=﹣2，曲线C2的参数方程为（t为参数），则C1与C2交点的直角坐标为（2，﹣4）．，把的参数方程为，解得，几何证明选讲选做题15．（2015•广东）如图，AB为圆O的直径，E为AB 的延长线上一点，过E作圆O的切线，切点为C，过A作直线EC的垂线，垂足为D．若AB=4．CE=2，则AD=3．，可得∴∴三、解答题（共6小题，满分80分）16．（12分）（2015•广东）已知tanα=2．（1）求tan（α+）的值；（2）求的值．+=====117．（12分）（2015•广东）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200，200），[220.240），[240，260），[260，280），[280，300）分组的频率分布直方图如图．（1）求直方图中x的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为，[220.240），[240，260），[260，280），[280，300）的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220.240）的用户中应抽取多少户？）月平均用电量的众数是=×18．（14分）（2015•广东）如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6，BC=3．（1）证明：BC∥平面PDA；（2）证明：BC⊥PD；（3）求点C 到平面PDA的距离．PE==．h==的距离是．19．（14分）（2015•广东）设数列{a n}的前n项和为S n，n∈N*．已知a1=1，a2=，a3=，且当a≥2时，4S n+2+5S n=8S n+1+S n﹣1．（1）求a4的值；（2）证明：{a n+1﹣a n}为等比数列；（3）求数列{a n}的通项公式．，求得为首项，公比为{为首项，公比为{为首项，，∵∵{是以为首项，公比为的等比数列；{是以为首项，公比为的等比数列，∴为首项，∴，即的通项公式是20．（14分）（2015•广东）已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y2﹣6x+5=0相交于不同的两点A，B．（1）求圆C1的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M的轨迹C的方程；（3）是否存在实数k，使得直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．联立方程组，，其中﹣＜）=，其中＜，﹣，联立方程组，±，的端点（，±±的取值范围为（﹣，}21．（14分）（2015•广东）设a为实数，函数f（x）=（x﹣a）2+|x﹣a|﹣a（a﹣1）．（1）若f（0）≤1，求a的取值范围；（2）讨论f（x）的单调性；（3）当a≥2 时，讨论f（x）+在区间（0，+∞）内的零点个数．+a，a．，x==a+=a﹣=时，=═，．当，=．，即。
2015年高考广东卷：文科数学+文科综合试卷真题及参考答案 (完整解析版
绝密★启用前 试卷类型：B 2015年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数 学（文科）本试卷共4页，21小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、座位号、填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4. 作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题组号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5. 考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若集合M =|-1, 1|，N =|-2, 1, 0|，则M ∩N = A ．|0, -1| B ．|0| C ．|1| D ．|-1, 1| 2．已知i 是虚数单位，则复数(1+i )2= A ．-2 B ．2 C ．-2i D ．2i 3．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是 A ．2sin y x x =+ B ．2cos y x x =-C ．D ．sin 2y x x =+4．若变量x ，y 满足约束条件，则23z x y =+的最大值为 A ．10 B ．8C ．5D ．25．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2a =，23c =，，且b ＜c ，则b =A ．B ．2C ．D ．36．若直线l 1和l 2是异面直线，l 1在平面α内，l 2在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是A ．l 至少与l 1，l 2中的一条相交B ．l 与l 1，l 2都相交C ．l 至多与l 1，l 2中的一条相交D ．l 与l 1，l 2都不相交7．已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为 A ．0.4 B ．0.6 C ．0.8 D ．18．已知椭圆 （0m >）的左焦点为()1F 4,0-，则m = A ．9 B ．4 C ．3 D ．2 9．在平面直角坐标系x y O 中，已知四边形CD AB 是平行四边形，，，则 A ．2 B ．3 C ．4 D ．510．若集合E =|(p , q , r , s )| 0≤p ＜s ≤4，0≤q ＜s ≤4，0≤r ＜s ≤4且p , q , r , s ∈N |，F =|(t , u , v , w )| 0≤t ＜u ≤4，0≤v ＜w ≤4且t , u , v , w ∈N |，用card(X )表示集合X 中的元素个数，则card(E )+ card(F )=A ．50B ．100C ．150D ．200 【答案】1~5: CDACB 6~10: ABCDD1.C 【解析】考查集合的交集运算。
广东省揭阳市2015届高三第二次高考模拟考数学【文】试题及答案
揭阳市2015年高中毕业班第二次高考模拟考试数学(文科)本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．参考公式：棱锥的体积公式：13V Sh =．其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高． 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知{|31,}A x x k k Z ==-∈，则下列表示正确的是A.1A -∉B.11A -∈C. 231k A -∈D.34A -∉ 2．已知复数1z i =+，则2(1)z z -=A. 2B. －2C. 22i -D. 22i -- 3．命题P ：“对2,12x R x x ∀∈+≥”的否定P ⌝为A. 2,12x R x x ∃∈+> B.2,12x R x x ∃∈+≥ C. 2,12x R x x ∀∈+< D.2,12x R x x ∃∈+< 4．已知1sin()3πα+=，则cos 2α=A.79 B.89 C. 79-5. 若01x y <<<，则下列不等式正确的是A ．44yx< B ．33>x y C ．44log log x y < D ．11()()44x y <侧视图h6．设向量(12)(23)==，，，a b，若向量λ-a b与向量(56)=--，c共线，则λ的值为A．43B．413C．49-D．47．图1中的三个直角三角形是一个体积为330cm的几何体的三视图，则侧视图中的h为A. 5 cmB.6 cmC.7 cmD.8 cm8．已知变量,x y满足约束条件⎪⎪⎨⎧≤+-≤-+125yxyx，则yx的最小值是图1 10．已知{1,2,3,4},{1,2,3}a b∈∈，则关于x的不等式222(1)0x a x b--+≥的解集为R的概率为A.14B.12C.23D.34二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．（一）必做题（11－13题）11．已知幂函数()y f x=的图象过点1(3,)3，则2log(2)f的值为．12．以点(2,1)-为圆心且与直线3470x y+-=相切的圆的标准方程是．13．在△ABC中，已知角CBA,,所对的边分别为cba,,，且2(cos cos)c a B b A b-=，则sinsinAB= ．（二）选做题（14－15题，考生只能从中选做一题）14. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系(,)ρθ(02)θπ≤<中，曲线(2cos sin)3ρθθ-=与(cos2sin)1ρθθ+=-的交点的极坐标为．N M Po yx15．（几何证明选讲选做题）如图3，点P 在圆O 的直径AB 的 延长线上，且PB=OB=3,PC 切圆O 于C 点，CD ⊥AB 于D 点，则CD 的长为 ． 图3三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．(本小题满分12分)已知函数()sin()6f x A x πω=+(00)A ω>>，的部分图象如图4示，其中M 1(,0)6-为图象与x 轴的交点，1(,2)3P 为图象的最高点．(1)求A 、ω的值；(2)若2()3f απ=，(,0)3πα∈-，求cos()3πα+的值． 图417．(本小题满分12分)某校为了调查“学业水平考试”学生的数学成绩，随机地抽取该校甲、乙两班各10名同学，获得的数据如下：（单位：分）甲：132，108，112，121，113，121，118，127，118，129； 乙：133，107，120，113，121，116，126，109，129，127.（1）以百位和十位为茎，个位为叶，在图5中作出以上抽取的甲、乙两班学生数学成绩的茎叶图，求出这20个数据的众数，并判断哪个班的平均水平较高；（2）将这20名同学的成绩按下表分组，现从第一、二、三组中，采用分层抽样的方法抽取6名同学成绩作进一步的分析，求应从这三组中各抽取的人数．18．(本小题满分14分)已知等比数列{}n a 满足：0n a >，15a =，n S 为其前n 项和，且13220S S S ，，7成等差数列． （1）求数列{n a }的通项公式；（2）设51525log log log n n b a a a =+++L ，求数列{1nb }的前n 项和n T ． 19．（本小题满分14分）组别 第一 第二 第三 第四分值区间 [100,110) [110,120) [120,130) [130,140]如图6，在三棱锥S ABC -中，侧面SAB 与侧面SAC 均 为等边三角形，2AB =，90BAC ∠=°． （1）证明：SA BC ⊥；（2）求三棱锥S ABC -的体积．图620．(本小题满分14分)已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的焦点分别为1(F 、2F ，P 为椭圆C 上任一点，12PF PF ⋅uuu r uuu r的最大值为1.（1）求椭圆C 的方程；（2）已知点(1,0)A ，试探究是否存在直线:l y kx m =+与椭圆C 交于D 、E 两点，且使得||||AD AE =？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由.21．(本小题满分14分)已知函数()321(21)3(2)13f x x k x k k x =-++++，其中k 为实数. （1）当1k =-时，求函数()f x 在[0,6]上的最大值和最小值； （2）求函数()f x 的单调区间；（3）若函数()f x 的导函数'()f x 在(0,6)上有唯一的零点，求k 的取值范围.揭阳市2015年高中毕业班高考第二次模拟考试数学(文科)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考 查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数． 一、选择题：CADAC ABCBD二、填空题：11. 1-；12.22(2)(1)1x y -++=；13；14. 7)4π；. 三、解答题：16．解：（1）由1(,2)3P 为图象的最高点知2A =，---------------------1分又点M 1(,0)6-知函数()f x 的最小正周期114()236T =+=，-----------------------3分 ∵2T πω=∴ωπ=,-------------------------------------------------5分(2)由（1）知，()2sin()6f x x ππ=+由2()3f απ=得1sin()63πα+=，----------------------------------------6分 ∵(,0)3πα∈-∴666πππα-<+<----------------------------------------7分∴2122cos()1sin ()1669ππαα+=-+=-=-------------------------9分 ∵cos()cos()366πππαα+=++cos()cos sin()sin 6666ππππαα=+-+-------------11分∴cos()3πα+2231126132-=-⨯=------------------------------------------------12分 17．解：（1）甲、乙两班学生数学成绩的茎叶图如右图示：----4分这20个数据的众数为121，----------------------------------5分 乙班的平均水平较高；----------------------------------------7分 （2）由上数据知，这20人中分值落在第一组的有3人，落在第二组的有6人，落在第三组的有9人，-------------9分故应从第一组中抽取的人数为：631369⨯=++，-------10分应从第二组中抽取的人数为：662369⨯=++，--------------------------------11分应从第三组中抽取的人数为：693369⨯=++.-----------------------------------12分18．解：（1）设数列{}n a 的公比为q ，∵13220,,7S S S 成等差数列，3122207.S S S ∴=+-----------------------------------2分即21111112()207()a a q a q a a a q ++=++，化简得225250q q --=，------4分 解得：5q =或52q =-------------------------------------------------------------------6分 ∵0n a >，∴52q =-不合舍去， ∴111555n n n n a a q --==⨯=.-----------------------------------------7分(2)∵ 51525log log log n n b a a a =+++L=1235125log ()log 5123n n a a a n ++++==++++L L L ---------------------9分(1)2n n +=，----------------------------------------------------------------------------10分 ∴1n b =211=2()(+11n n n n -+）----------------------------------------------------------------12分∴12111n nT b b b =+++L 111112[(1)()()]2231n n =-+-++-+L 122(1)11nn n =-=++.------------------------------------------14分 19．解：（1）证明：取BC 中点D ，连结SD 、AD ，-----2分 ∵△SAB 与△SAC 均为等边三角形∴SB=SC=AB=AC=SA=2，∴SD BC ⊥,AD BC ⊥-----4分 又SD AD D =I∴BC ⊥平面SAD ----------------------5分 ∵SA ⊂平面SAD∴SA BC ⊥-------------------------------------------------7分 （2）∵90BAC ∠=°，AB=AC ， ∴222BC ==，------------------------------------8分∵SB=AB ，SC=AC ，BC=BC ，∴△SBC ≌△ABC ，∴90BSC ∠=o ，-------------------------9分 ∴122SD AD BC ===∵2224SD AD SA +== ∴SD AD ⊥---------------------11分 又SD BC ⊥,BC AD D =I∴SD ⊥平面ABC ,------------------------------------------12分 ∴13P ABC ABC V S SD -∆=1122222323=⨯⨯⨯=.----------------14分 其它解法请参照给分.20.解：(1)设(,)P x y ,由1(3,0)F 、2(3,0)F 得1(3,)PF x y =--uuu r , 2(3,)PF x y =-uuu r.∴212(3)(3)PF PF x x y ⋅=-+uuu r uuu r 223x y =+-，---------------------2分 由22221x y a b +=得2222(1)x y b a=-∴222122(1)3x PF PF x b a ⋅=+--uuu r uuu r 22233x b a=+-，------------------------4分∵220x a ≤≤，∴当22x a =，即x a =±时，12PF PF ⋅uuu r uuu r有最大值，即212max ()331PF PF b ⋅=+-=uuu r uuu r ，---------------------------------------6分∴21b =，2224a c b =+=，∴所求双曲线C 的方程为2214x y +=.------------------------------------7分其它解法请参照给分.（2）假设存在直线l 满足题设，设1122(,),(,)D x y E x y ，将y kx m =+代入2214x y +=并整理得222(14)8440k x kmx m +++-=，------------------------------------------------------------8分由222222644(14)(44)16(41)0k m k m m k ∆=-+-=--->，得2241k m +>-----------① 又122814kmx x k +=-+--------------------10分由||||AD AE =可得2222112212121212(1)(1)()(2)()()0x y x y x x x x y y y y -+=-+⇒-+-+-+=121212122()0y y x x y y x x -⇒+-++=-212(1)()220k x x km ⇒+++-=228(1)22014kmk km k⇒-++-=+ 化简得2143k m k +=-------------②------------------------------------------12分将②代入①得2221441()3k k k++> 化简得42222010(41)(51)0k k k k +->⇒+->，解得k >k <所以存在直线l ，使得||||AD AE =，此时k 的取值范围为(,)-∞⋃+∞．-------14分 21.解：（1）当1k =-时，321()313f x x x x =+-+，---------------------------1分 则2'()23f x x x =+-(1)(3)x x =-+，令'()0f x =，∵[0,6]x ∈ 得1,x =----------------------------------2分 且()f x 在[0,1]上单调递减，在[1,6]上单调递增， ∵2(0)1,(1),(6)973f f f ==-=， ∴()f x 在[0,6]上的最大值为97，最小值为23-.------------------------4分 （2） ∵()2'2(21)3(2)f x x k x k k =-+++=(3)[(2)]x k x k --+，----------------5分当1k =时，2'()(3)0f x x =-≥，∴函数()f x 的单调递增区间为(,)-∞+∞；---6分 当1k >时，32k k >+，由'()0f x >解得3x k >或2x k <+，由'()0f x <得23k x k +<<， ∴函数()f x 的单调递增区间为(3,)k +∞和(,2)k -∞+，递减区间为(2,3)k k +；----7分 当1k <时，32k k <+，由'()0f x >解得2x k >+或3x k <，由'()0f x <得32k x k <<+， ∴函数()f x 的单调递增区间为(3,)k +∞和(,2)k -∞+；递减区间为(3,2)k k +.-----9分 （3）由()'(3)[(2)]0f x x k x k =--+=得122,3x k x k =+=，--------------------------------------------------10分 ①当12x x =时，有231k k k +=⇒=，此时123(0,6)x x ==∈，函数'()f x 在(0,6)上有唯一的零点，∴1k =为所求；----------------------11分 ②当12x x >时，有231k k k +>⇒<，此时213x x <<， ∵函数'()f x 在(0,6)上有唯一的零点，得2103x x ≤<<，即3023k k ≤<+<，解得20k -<≤，-----------------12分 ③当12x x <时，有231k k k +<⇒>，此时213x x >>， ∵函数'()f x 在(0,6)上有唯一的零点，得1236x x <<≤，即3263k k <+<≤，解得24k ≤<，------------------13分 综上得实数k 的取值范围为是：20k -<≤或1k =或24k ≤<.----------------14分。
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通知：各位”羽十俱进”的队员，为了更好地开展协会活动，提高整体羽毛球水平，请各位进行搭档组合展开针对性更强的训练，项目包括男双、女双、混双，每人至少报一项，限报两项（有兴趣的也可另报单打），女队员至少报一项女双。
希望大家尽快找好自己的搭档（名单详见收件人），周三前将组合名单报至卢华处。
报名统计完毕后将分组每周展开定时训练和比赛，每周训练时间为周一和周四，报名的时候顺便报一下你这个组合哪天有空参加训练。
谢谢支持！绝密★启用前揭阳市2015年高中毕业班高考第一次模拟考试数学(文科)本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 参考公式：棱锥的体积公式：13V Sh =．其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高． 导数公式： 若()sin(1)f x x =-，则'()cos(1)f x x =-； 若()cos(1)f x x =-，则'()sin(1)f x x =--．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{4,5,6,8},{3,5,7,8}A B ==，则A B 中元素的个数为A ．5B ．6C ．7D ．8 2．已知复数(87)(3)z i i =---，则z 在复平面内对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．“a b >”是 “22a b >”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4．双曲线222214x y a a-=(0)a >的离心率为A.C.2D.5．已知(sin ,cos ),2,1a b αα==（-），若a b ⊥，则tan α的值为A. 2-B. 2C.12 D. 12- 6．已知函数log a y x =(0,1)a a >≠的图象经过点1(2,)2，则其反函数的解析式为A. 4x y =B.4log y x =C.2xy = D. 1()2x y =7．某单位200名职工的年龄分布情况如图1示，该单位为了 解职工每天的睡眠情况，按年龄用分层抽样方法从中抽取 40名职工进行调查.则应从40-50岁的职工中抽取的人数为 A.8 B.12 C.20 D.30 8．不等式组5315+15 3.x y y x x y +≤⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩，，表示的平面区域的面积为 图1A. 14B.5C. 3D. 79．设,l m 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是 A.若//,//,//m l m l αα则； B.若,,//m l m l αα⊥⊥则；C.若//,,//,l m l m αβαβ⊥⊥则；D.若,//,,//,//m m l l αββααβ⊂⊂则.10. 对任意的a 、b R ∈，定义：min{,}a b =,().()a a b b a b <⎧⎨≥⎩；max{,}a b =,().()a ab b a b ≥⎧⎨<⎩.则下列各式中恒成立的个数为①min{,}max{,}a b a b a b =++ ②min{,}max{,}a b a b a b =--80120③(min{,})(max{,})a b a b a b =⋅⋅ ④(min{,})(max{,})a b a b a b =÷÷ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11－13题）11．不等式23100x x --<的解集为 ．12．在△ABC 中，A B C ∠∠∠、、的对边分别为a b c 、、，若3a =，2B A ∠=∠，cos A =， 则b = ．13．已知函数3()f x x =对应的曲线在点(,())()k k a f a k N *∈处的切线与x 轴的交点为1(,0)k a +，若11a =31010(1()3f a ++=- ． （二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14. (坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中，直线sin(ρθ 被圆=4ρ截得的弦长为 . 15．（几何证明选讲选做题）如图2，BE 、CF△ABC 的两条高，已知1,AE =3,AB CF ==则BC 边的长为 ． 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16.(本小题满分12分)已知函数()2sin()(0,)6f x x x R ωωπ=+>∈的最小正周期为π. （1）求ω的值； （2）若2()3f α=，(0,)8πα∈，求cos 2α的值.17.(本小题满分12分)图3是某市今年1月份前30天空气质量指数（AQI ）的趋势图.图330？ 418如图5，已知BCD ∆中，90,1BCD BC CD ∠===，AB =AB ⊥平面BCD ，E 、F 分别是AC 、AD 的中点．（1）求证：平面BEF ⊥平面ABC ；（2）设平面BEF 平面BCD l =，求证//CD l ； （3）求四棱锥B-CDFE 的体积V ．图519. (本小题满分14分)已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，3(1)n n S na n n =--（*n N ∈），且212a =．（1）求1a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式； （3）求证：1211113n S S S +++<． 20. (本小题满分14分)已知抛物线C ：22(0)x py p =>的焦点为F ，点P 是直线y x =与抛物线C 在第一象限的交点，且||5PF =. （1）求抛物线C 的方程；（2）设直线:l y kx m =+与抛物线C 有唯一公共点M ，且直线l 与抛物线的准线交于点Q ,试探究，在坐标平面内是否存在点N ，使得以MQ 为直径的圆恒过点N ？若存在，求出点N 的坐标，若不存在，说明理由. 21. (本小题满分14分)已知函数()f x ax =，()ln g x x =，其中a R ∈．（1）若函数()()()F x f x g x =-，当1a =时，求函数()F x 的极值；（2）若函数()(sin(1))()G x f x g x =--在区间(0,1)上为减函数，求a 的取值范围；（3）证明：11sinln(1)1nk n k =<++∑．2015揭阳市数学(文科)参考答案一、选择题：BBDAC ABDCB解析：10. 由定义知⑴、⑶恒成立，⑵⑷不恒成立，正确答案B.二、填空题： 11. {|25}x x -<<；12.13. 3；14..解析：13.由2'()3f x x =得曲线的切线的斜率23k k a =，故切线方程为323()k k k y a a x a -=-，令0y =得123k k a a +=123k k a a +⇒=，故数列{}n a 是首项11a =，公比23q =的等比数列，又310(f f f a +++101011210(1)3(1)1a q a a a q q-=+++==--，所以31010(31()3f a ++=-.15．依题意得BE =BEA ∽△CFA得AE BE ABAF FC AC==,所以2,AF =6,AC = BC三、解答题： 16．解：（1）由2ππω=得=2ω----------------------------------------------------2分（2）解法1：由π2()2sin(2)63f αα=+= 得π1sin(2)63α+= -----------------------3分∵(0,)8πα∈，∴5π2(, )6612ππα+∈， --------------------------------------------4分∴πcos(2)63α+==-----------------------------------------6分 ∴cos 2cos[(2)]66ππαα=+-----------------------------------------------------8分cos(2)cos sin(2)sin 6666ππππαα=+++ ----------------------------------------10分11132326=+⋅=----------------------------------------------------12分 [解法2：由π2()2sin(2)63f αα=+= 得π1sin(2)63α+=，--------------------------3分即1sin 2coscos 2sin663ππαα+=-------------------------------------------------5分⇒2cos 2sin 2αα-=-----------------------①---------------------------------6分 将①代入22sin 2cos 21αα+=并整理得24cos 212cos 2230αα--=，---------------8分解得：121cos 2726α±±==，--------------------②---------------------10分∵(0,)8πα∈ ∴024πα<<，∴cos20α>，故②中负值不合舍去，----------------11分∴1cos 26α+=.-----------------------------------------------------------12分] 17．解：（1）---4分 ----8分 (2) 由频率分布表知，该市本月前30天中空气质量优良的天数为19，------------------9分 故此人到达当天空气质量优良的概率：190.63>0.630P =≈-------------------------------------------------------------11分 故可以认为此人到达当天空气质量优良的可能性超过60% ----------------------------12分 18.解：（1）证明：AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD A B C D ∴⊥，----------------1分又BC CD ⊥， ABBC B =， CD ∴⊥平面ABC ，------------------------------2分又E 、F 分别是AC 、AD 的中点，∴//.EF CD ---------------------------------------3分 ∴EF ⊥平面ABC又EF ⊂平面BEF ，∴平面BEF ⊥平面ABC -----------------------------------------4分 （2）CD // EF ，CD ⊄平面BEF ，EF ⊂平面BEF∴//CD 平面BEF ，----------------------------6分 又CD ⊂平面BCD ，且平面BEF平面BCD l =∴//CD l ．------------------------------------8分 （3）解法1：由（1）知EF //CD ∴AEFACD ∆∆------------------------------9分1,4AEF ACD S S ∆∆∴= ∴14B AEF B ACD V V --=------------------11分 331444B ACD A BCD BCD V V V S AB --∆∴===⋅111142=⨯⨯⨯=------------------14分 [解法2：取BD 中点G ，连结FC 和FG ，则FG//AB ，-----9分 ∵AB ⊥平面BCD ，∴FG ⊥平面BCD ，-----------------10分 由（1）知EF ⊥平面ABC ， ∴F EBC F BCD V V V --=+1133EBC BCD S EF S FG ∆∆=⋅+⋅------12分1111113423228=⨯+⨯⨯⨯⨯=.----------------14分] 19.解：（1）由2122232(21)S a a a =+=-⨯-和212.a =可得16a =，------------------2分（2）解法1：当2n ≥时，由1n n n a S S -=-得13(1)(1)3(1)(2)n n n a na n n n a n n -=-------，---------------------------------4分⇒1(1)(1)6(1)n n n a n a n ----=-16(2,)n n a a n n N *-⇒-=≥∈---------------------6分∴数列{}n a 是首项16a =，公差为6的等差数列，∴16(1)6n a a n n =+-=-------------8分 [解法2：当2n ≥时，由13(1)()3(1)n n n n S na n n n S S n n -=--=---------------------4分 可得1(1)3(1)n n n S nS n n ---=- 131n n S S n n -∴-=-,---------------------------------6分∴数列{}n S n 为首项161S=,公差为3的等差数列， 63(1)33nS n n n∴=+-=+，即233n S n n =+. ∴6n a n =---------------------------------------------------------------------8分] （3）证明：由（2）知1()3(1)2n n n a a S n n +==+-----------------------------------10分 11111()3(1)31n S n n n n ==-++--------------------------------------------------12分 12111111111[(1)()()]32231n S S S n n ∴+++<-+-++-+111(1)313n =-<+， 命题得证．---------------------------------------------------------------------14分 20.解：(1)解法1： ∵点P 是直线y x =与抛物线C 在第一象限的交点，∴设点(,)(0)P m m m >,----------------------------------------------------------1分 ∵抛物线C 的准线为2p y =-，由||5PF =结合抛物线的定义得52pm +=-------①-----2分 又点P 在抛物线C 上，∴22m pm =(0)m >⇒2m p =.----------------------②-----3分 由①②联立解得2p =，∴所求抛物线C 的方程式为24x y =.-------------------------5分 [解法2：∵点P 是直线y x =与抛物线C在第一象限的交点，∴设点(,)(0)P m m m >,----------------------------------------------------------1分∵抛物线C 的焦点为(0,)2p F ，由||5PF =5=, 即22()252p m m +-=，-------------------------------------------①-------------2分 又点P 在抛物线C 上，∴22m pm =(0)m >⇒2m p =.--------------②-------------3分 由①②联立解得2p =，∴所求抛物线C 的方程式为24x y =.-------------------------5分] （2）解法1：由抛物线C 关于y 轴对称可知，若存在点N ，使得以MQ 为直径的圆恒过点N ，则点N 必在y 轴上，设(0,)N n ，--------------------------------------------------6分又设点200(,)4x M x ，由直线:l y kx m =+与抛物线C 有唯一公共点M 知，直线l 与抛物线C 相切， 由214y x =得1'2y x =，∴001'|2x x k y x ===，---------------------------------------7分 ∴直线l 的方程为2000()42x xy x x -=-，--------------------------------------------8分 令1y =-得222x x x -=，∴Q 点的坐标为002(,1)2x x --，-----------------------------9分200002(,),(,1)42x x NM x n NQ n x ∴=-=-----------------------------------------10分∵点N 在以MQ 为直径的圆上，∴22220002(1)()(1)20(*)244x x x NM NQ n n n n n ⋅=--+-=-++-=--------------12分要使方程(*)对0x 恒成立，必须有21020n n n -=⎧⎨+-=⎩解得1n =，-------------------------13分∴在坐标平面内存在点N ，使得以MQ 为直径的圆恒过点N ，其坐标为(0,1)．--------14分 [解法2：设点00(,)M x y ，由:l y kx m =+与抛物线C 有唯一公共点M 知，直线l 与抛物线相切，由214y x =得1'2y x =，∴001'|2x x k y x ===，-----------------------------------6分 ∴直线l 的方程为000()2xy y x x -=-，---------------------------------------------7分令1y =-得002(1)y x x -=，∴Q 点的坐标为002(1)(,1)y x --，-------------------------8分 ∴以MQ 为直径的圆方程为：00002(1)()(1)()[]0y y y y x x x x --++--=--------③----10分分别令02x =和02x =-，由点M 在抛物线C 上得01y =，将00,x y 的值分别代入③得：(1)(1)(2)0y y x x -++-=-------------------------------④(1)(1)(2)0y y x x -+++=--------------------------------------------------------⑤④⑤联立解得0,1.x y =⎧⎨=⎩或0,1.x y =⎧⎨=-⎩，-----------------------------------------------12分∴在坐标平面内若存在点N ，使得以MQ 为直径的圆恒过点N ，则点N 必为(0,1)或(0,1)-， 将(0,1)的坐标代入③式得， 左边=00002(1)2(1)()[]y y x x --+--002(1)2(1)0y y =-+-==右边， 将(0,1)-的坐标代入③式得， 左边=00002(1)()[]2(1)y x y x ---=-不恒等于0，------------------------------------13分 ∴在坐标平面内是存在点N ，使得以MQ 为直径的圆恒过点N ，点N 坐标为为(0,1)．--14分] 21.解：（1）∵当1a =时， 函数()ln F x x x =-，(0)x > ∴11'()1x F x x x-=-=，---------------------------------------------------------1分 令'()0F x =得1x =，当(0,1)x ∈时'()0F x <，当(1,)x ∈+∞时，'()0F x >，即函数()F x 在(0,1)单调递减，在(1,)+∞单调递增，---------------------------------------------------------------3分∴函数()F x 在1x =处有极小值，∴()F x 极小1ln11=-=.----------------------------------------------------------4分 （2）解法1：∵函数()(sin(1))()G x f x g x =--=sin(1)ln a x x --在区间(0,1)上为减函数∴1'()cos(1)0G x a x x=--≤在(0,1)上恒成立1cos(1)a x x ⇔≤-在(0,1)上恒成立，----5分 设1()cos(1)H x x x =-，则()()()()()2222c o s 1s i n 1s i n 1c o s 1'()c o s (1)c o s (1)x x x x x x H x x x x x -------==-- ---7分当()0,1x ∈时，()sin 10x -<，()cos 10x ->所以'()0H x <在()0,1上恒成立，即函数()H x 在()0,1上单调递减，-------------------8分 ∴当()0,1x ∈时，()(1)1H x H >=，∴1a ≤.-----------------------------------------------------------------------9分[解法2：∵函数()(sin(1))()G x f x g x =--=sin(1)ln a x x --在区间(0,1)上为减函数 ∴对(0,1)x ∀∈ ，1'()cos(1)0G x a x x =--≤-----------（*）恒成立，--------------5分 ∵(0,1)x ∈，∴cos(1)0x ->，当0a ≤时，（*）式显然成立；----------------------------------------------------6分当0a >时，（*）式⇔1cos(1)x x a≥-在(0,1)上恒成立， 设()cos(1)h x x x =-，易知()h x 在(0,1)上单调递增，-------------------------------7分 ∴()(1)1h x h <=， ∴11a≥01a ⇒<≤，------------------------------------------------------------8分 综上得(,1]a ∈-∞.-------------------------------------------------------------9分]（3）由（2）知，当1a =时，()sin(1)ln G x x x =--(1)0G >=,sin(1)ln x x ⇒->1sin(1)ln x x⇒-<，------------------------②----------------10分 ∵对k N *∀∈有(0,1)1k k ∈+， 在②式中令1k x k =+得11sin(1)sin ln 11k k k k k+-=<++，--------------------------12分 ∴11131sin sin sin ln 2ln ln 2312n n n++++<++++341ln(2)ln(1)23n n n +=⋅⋅⋅=+， 即11sin ln(1)1n k n k =<++∑．-------------------------------------------------------14分。