立体几何中的排列组合问题解法举隅(优.选)
立体几何中的排列组合问题解法举隅
立体几何中的排列组合问题解法举隅
立体几何中的排列组合问题在近年的高考数学试题中出现的频次较高，且常考常新.因为解决这类问题不仅要具备排列组合的有关知识，而且还要具备较强的空间想象能力.因而是一类既富思考情趣，又融众多知识和技巧于一体且综合性强、灵活性高、难度颇大的挑战性问题.解决这类问题的关键是明确形成几何图形的元素，并与排列组合形成对应关系，转化为排列组合问题，同时还要注意避免重复和遗漏.下面结合具体例子谈谈这类问题的求解方法，供参考.
一、分步求解例1如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线有（）
A. 12对
B. 24对
C. 36对
D. 48对解由于六棱锥的6条侧棱交于一点,底面六边形的6条边共面,因而只能将侧1棱与底边相搭配.第一步,从6条侧棱中任取一条有C6种;第二步,从底面61条边中与这条侧棱不相交的4条边中任取一条有C4种,由乘法原理知有11C6C4=24对,故选
B.
二．分类求解例2四边形的一个顶点为A,从其它顶点与各棱的中点中取3点,使它们和点A在同一平面上,不同取法有()
A. 30种
B. 33种
C. 36种
D. 39种3解符合条件的取法可分为两类：
①4个点(含A)在同一个侧面上,有3C530种；②4个点（含A）在侧棱与对棱中点的截面上，有3种.由加法原理知不同取法共有33种，故选
B.例3将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法种数是＿＿＿＿＿＿.S解分三类：
5①如果用5种颜色有A5种染色方法.DA图1BC②如果用4种颜色，只能是底面四边形相对顶点同色.如图1，如果
高中数学排列组合问题的常见解题方法和策略(完整版)
高中数学排列组合问题的常见解题方法和策略
江西省永丰中学
陈保进
排列组合问题是高中数学的一个难点，它和实际问题联系紧密，题型多样，解题思路灵活多变，学生不容易掌握。下面介绍一些常见的排列组合问题的解题方法和策略。
1.相邻问题捆绑法：将相邻的几个元素捆绑成一组，当作一个大元素参与排列
例1：A ,B ,C ,D ,E 五人站成一排，如果A ,B 必须相邻，则不同的排法种数为_____
解析：把A ,B 捆绑，视为一个整体，整体内部排序，有22A 种情况,再将整体和另外三人排序，有
44A 种情况，所以答案为22A ×44A =48
注意：小集团问题也可以用捆绑法
变式1：7人排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人，则不同的排法有_____种解析：把甲、乙及中间3人看作一个整体，答案为720
333522=⨯⨯A A A 2.不相邻问题插空法:不相邻问题，可先把其他元素全排列，再把需要不相邻的元素插入到其他元素的空位或两端
例2：七人并排站成一行，如果甲乙丙两两不相邻，那么不同的排法种数是_____解析：
先将其它4人全排列，共44A 种情况，再将甲乙丙插入到其他4人的空位或两端，共35A 种情况，所以答案为44A ×35A =1440
3.定序问题用除法:若要求某几个元素必须保持一定的顺序，可用除法
例3：A ,B ,C ,D ,E 五人站成一列，如果A 必须在B 前面，则不同的排法种数有_____
解析：先将5人全排列，共5
5A 种情况，考虑A ,B 的顺序有22A 种，符合题意的只有一种，所以答案为60
22
5
排列组合解题方法
排列组合解题方法
排列组合是一个数学问题，也是一个常见的解题方法。在解决排列组合问题时，可以
按照以下步骤进行操作：
1. 确定问题中的元素个数和要求的组合方式。例如，给定一组数字，要求按照一定的
规则进行排列或组合。
2. 确定排列或组合的顺序。排列是指考虑元素的顺序，组合是指不考虑元素的顺序。
3. 根据题目要求确定进行排列或组合的元素个数。例如，给定一组数字，要求从中选
取特定个数的数字进行排列或组合。
4. 根据排列或组合的特性，确定计算排列或组合的公式。例如，排列可以使用阶乘来
计算，组合可以使用组合公式来计算。
5. 根据公式计算排列或组合的结果。
6. 根据题目要求，处理计算结果。例如，将排列或组合的结果进行排序、筛选或统计。
在实际解题时，可以参考以上步骤进行操作。根据具体的问题，选择合适的方法和公
式进行计算，最终得出满足题目要求的排列组合结果。
立体几何与排列组合
立体几何与排列组合
1．平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1的六个面都是菱形，则D 1在面ACB 1上的射影是∆ACB 1的 （ ） A 重心 B 外心 C 内心 D 垂心
2．长方体三条棱分别为a,b,c,若长方体所有的棱长度之和为24，一条对角线为5，体积为2，则c
b a 1
11++等于 （ ） A
411 B 114 C 211 D 11
2 3．已知，正四棱锥侧面是正三角形，设侧面与底面所成的二面角为1θ，相邻两侧面所成的二面角为2θ，则 （ ）
A
212
θπ
θ-=
B 2
2
2
1θπ
θ-
=
C
21θθ= D 2
2
1θθ=
4．在北纬450圈上，有甲、已两地。它们的经度分别为东经1400和西经1300，地球的半径是R ，则甲、已两地球面距离是 （ ） A
R π21 B R π41 C R π23 D R π3
1 5．若三棱锥A －BCD 的侧面ABC 内一动点P 与底面BCD 的距离与到AB 的距离相等，则动点P 的轨迹与△ABC 组成的图形可能是（ ）
6．在空间四边形ABCD 中，AB =BC =CD =DA ， E ∈AB,F ∈CD 且AE ：EB =CF ：FD = λ （0＜ λ ＜1 ＝ 设EF 与AC 、BD 所成的角分别是 α 、 β ，则 α+β= （ ） A.大于90°
B.小于90°
C.等于90°
D.与 λ 的值有关
7.12名同学合影，站成了前排4人后排8人．现摄影要从后排8人中抽2人调整到前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数为（ ） A ．26
8
6
C A B ．2
(完整版)例析立体几何中的排列组合问题
例析立体几何中的排列组合问题
春晖中学过月圆
在数学中，排列、组合无论从内容上还是从思想方法上，都体现了实际应用的观点。立体几何与排列组合综合问题是高考命题的新趋势，体现了《考试大纲》要求的在知识交汇处命题的指导思想，应引起考生的重视。立体几何中的计数问题也是高考的热点题型，解决这类问题的基本方法是以点带面法，下面列举立体几何中排列、组合问题的几个例子。
1 点
1．1 共面的点
例1（1997年全国高考（文））
四面体的一个顶点为A，从其它顶点与棱的中点中取3个点，使它们和点A在同一平面上，不同的取法有（）
A．30种 B．33种 C．36种 D．39种
解析：四面体有4个顶点，6条棱有6个中点，每个面上的6个点共面。点A所在的每个面中含A的4点组合有个，点A在3个面内，共有个组合；点A在6条棱的3条棱上，每条棱上有3个点，这3点与这条棱对棱的中点共面。
所以与点A共面的四点组合共有个。
答案：B
点评：此题主要考查组合的知识和空间相像能力；属97文科试题中难度最大的选择题，失误的主要原因是没有把每条棱上的3点与它对棱上的中点共面的情况计算在内。
1．2 不共面的点
例2（1997年全国高考（理））
四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有（）
A．150种 B．147种 C．144种 D．141种
解析：从10 个点中任取4个点有种取法，其中4点共面的情况有三类：第一类，取出的4个点位于四面体的同一个面内，有种；第二类，取任一条棱上的3个点及对棱的中点，这4点共面有6种；第三类，由中位线构成的平行四边形，它的4个顶点共面，有3种。
排列组合问题解法举隅
排列组合问题解法举隅
作者：钱灵动
来源：《成才之路》2010年第18期
解排列组合有关问题,首先必须认真审题,明确问题中是排列还是组合问题;其次抓住问题的本质特征,灵活应用基本原理和公式进行分析解答。同时,还要注意讲究分类讨论、注意讲究一些基本策略和方法技巧,使一些看似复杂的问题分解转化为几个易求解的简单小问题,则问题会迎刃而解。
一、受限问题“优先法”
对于受到某些条件限制的排列组合问题应用到“优先法”,即优先考虑受到限制的“元素”或“位置”。
例1(2007四川)用数字0、1、2、3、4、5可以组成没有重复数字且比20 000大的五位偶数共有()
A.288个
B.240个
C.144个
D.126个
此题要排一个五位数,首位不能排“0”,且末位要排偶数,那首位与末位属于受限位置,而“0、2、4”属于受限元素,应优先考虑,分类为:首位是2或4且大于20 000的数有2×A×2=96个;首位是3或5且大于20 000的数有2AA×2=144个,所以满足题意的数有96+144=240个。
二、“至少至多”问题间接法
对于含有“至少”“至多”字眼的问题,直接做比较困难、麻烦时,可以从总体中把不合要求的除去,此时应用到间接法。
例2 (2008四川)从甲、乙等10名同学中挑选4名参加某项公益活动,要求甲、乙中至少有1人参加,则不同的挑选方法共有( )
A.70
B.112
C.140
D.168
依题意,从甲、乙等10名同学中挑选4名参加某项公益活动,不同挑选方法共有C,其中所挑选的4人中没有甲、乙的方法数有C,因此要求甲、乙中至少有1人参加的挑选方法共有C-C 种。
排列组合常见21种解题方法
排列组合难题二十一种办法之樊仲川亿创作
时间：二O二一年七月二十九日
排列组合问题联系实际生动有趣,但题型多样,思路灵活,因此解决排列组合问题,首先要认真审题,弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的实质特征,采取合理恰当的办法来处理.
教学目标
1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理.
2.掌握解决排列组合问题的经常使用战略;能运用解题战略解决简单的综合应用题.提高学生解决问题阐发问题的能力
3.学会应用数学思想和办法解决排列组合问题.
温习稳固
1.分类计数原理(加法原理)
完成一件事,有类办法,在第1类办法中有种不合的办法,在第2类办法中有种不合的办法,…,在第类办法中有种不合的办法,那么完成这件事共有：
种不合的办法．
2.分步计数原理（乘法原理）
完成一件事,需要分红个步调,做第1步有种不合的办法,做第2步有种不合的办法,…,做第步有种不合的办法,那么完成这件事共有：
种不合的办法．
分类计数原理办法相互独立,任何一种办法都可以独立地完成这件事.
分步计数原理各步相互依存,每步中的办法完成事件的一个阶段,不克不及完成整个事件．
解决排列组合综合性问题的一般过程如下:
2.怎样做才干完成所要做的事,即采纳分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类.
3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.
4.解决排列组合综合性问题,往往类与步交叉,因此必须掌握一些
经常使用的解题战略
例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重单数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安插,以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有
排列组合问题解法举隅
× ＝４ ２ １ ４个 ，所 以满足 题意
丁 ） 元素是 定序 问题 ， 三个 即 ｝ ２ ＝ ０种。
Ａ ；
七、 综合 问题要“ 分类” 对于 问题 中限 制条件 较 多， 就要 把受限 条件逐 个击破 ， 按一 定方 法进 行分 类 。 做到不 重不漏 。 例 ６ （ ０ ７天津 ） 图 ． ６种不 同的颜色 给下图 中 ４个格 ２０ 如 用 子涂 色 ， 每个 格子涂 一种颜 色 ， 求最 多使 用 ３ 颜色且 相邻 ２ 要 种 个格子颜 色不 同 ， 则不 同涂 色方法 有 — — 种 （ 用数 字作答 ） 。
字且 比 ２ ０大的五 位偶数 共有（ ） ００ ０ Ａ２ ８ ． 个 ８ Ｂ２ ０个 Ｃ １ ４个 Ｄ １ ６ ．４ ． ４ ． 个 ２
１６ ２ ０种 。
ห้องสมุดไป่ตู้
ＡＡ Ａ ；：＝
六、定序 问题用“ 除法”
此题 要排 一个 五位 数 ， 首位 不能 排 “” 且末 位要 排偶 数 ， ０， 那首
五、相 同元素排 列问题 用“ 法” 除
式 进行分析 解答 。同时 ． 还要注 意讲究分 类诃论 、 注意讲 究一些基本
策 略和 方法技巧 ， 使一 些看似 复杂 的问题 分解 转化 为几 个 易求解 的 简单小 问题 ， 问题 会迎 刃而 解。 则
完整版例析立体几何中的排列组合问题
例析立体几何中的排列组合问题
过月圆春晖中学在数学中，排列、组合无论从内容上还是从思想方法上，都体现了实际应用的观点。立体几何与排列组合综合问题是高考命题的新趋势，体现了《考试大纲》要求的在知识交汇处命题的指导思想，应引起考生的重视。立体几何中的计数问题也是高考的热点题型，解决这类问题的基本方法是以点带面法，
下面列举立体几何中排列、组合问题的几个例子。1 点
1．1 共面的点
11997年全国高考（文））（例
A3A在同四面体的一个顶点为个点，使它们和点，从其它顶点与棱的中点中取）一平面上，不同的取法有（
A30 B33 C36 D39种种．种．．．种4666A所解析：四面体有个中点，
每个面上的个顶点，个点共面。点条棱有
34AA个面内，共有在点组合有个，点在的每个面中含个组合；点的A6333
点与这条棱对棱的中点共面。条棱的个点，这条棱上，每条棱上有在
A共面的四点组合共有个。所以与点
B答案：97文科试题中难度最大的选点评：此题主要考查组合的知识和空间相像能力；属3点与它对棱上的中点共面的情况计择题，失误的主要原因是没有
把每条棱上的算在内。1．2 不共面的点
21997年全国高考（理））（例
104个不共面的点，不同的取法共有个点，在其中取四面体的顶点和各棱中点共）（A150 B147 C144 D141
种．种．种．种．
410 4点共面的情况有三类：第一个点中任取个点有解析：从种取法，其中
4个点位于四面体的同一个面内，有种；第二类，取任一条棱上类，取出的346种；第三类，由中位线构成的平行四边的个点及对棱的中点，这点共面有43种。形，它的个顶点共面，有
立体几何与排列组合
立体几何与排列组合
1．平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1的六个面都是菱形，则D 1在面ACB 1上的射影是∆ACB 1的 （ ） A 重心 B 外心 C 内心 D 垂心
2．长方体三条棱分别为a,b,c,若长方体所有的棱长度之和为24，一条对角线为5，体积为2，则c
b a 1
11++等于 （ ） A
411 B 114 C 211 D 11
2 3．已知，正四棱锥侧面是正三角形，设侧面与底面所成的二面角为1θ，相邻两侧面所成的二面角为2θ，则 （ ）
A
212
θπ
θ-=
B 2
2
2
1θπ
θ-
=
C
21θθ= D 2
2
1θθ=
4．在北纬450圈上，有甲、已两地。它们的经度分别为东经1400和西经1300，地球的半径是R ，则甲、已两地球面距离是 （ ） A
R π21 B R π41 C R π23 D R π3
1 5．若三棱锥A －BCD 的侧面ABC 内一动点P 与底面BCD 的距离与到AB 的距离相等，则动点P 的轨迹与△ABC 组成的图形可能是（ ）
6．在空间四边形ABCD 中，AB =BC =CD =DA ， E ∈AB,F ∈CD 且AE ：EB =CF ：FD = λ （0＜ λ ＜1 ＝ 设EF 与AC 、BD 所成的角分别是 α 、 β ，则 α+β= （ ） A.大于90°
B.小于90°
C.等于90°
D.与 λ 的值有关
7.12名同学合影，站成了前排4人后排8人．现摄影要从后排8人中抽2人调整到前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数为（ ） A ．26
8
6
C A B ．2
立体拼合解题方法
立体拼合解题方法
摘要：
一、立体拼合解题方法简介
二、立体拼合解题方法的应用领域
三、立体拼合解题方法的操作步骤
四、立体拼合解题方法的优势
五、实战案例解析
六、总结与建议
正文：
一、立体拼合解题方法简介
立体拼合解题方法是一种将空间几何与数学问题相结合的解题技巧。它通过将复杂问题分解为简单的几何图形，利用数学知识进行逐步推导，从而求解问题。这种方法在解决立体几何、组合数学、物理等学科的问题时具有较高的实用价值。
二、立体拼合解题方法的应用领域
1.立体几何：在立体几何中，许多问题可以通过立体拼合解题方法进行简化。如求解空间几何中的角度、距离、体积等问题，可以通过将空间几何体切割成简单的几何图形，再利用数学知识进行计算。
2.组合数学：在组合数学中，立体拼合解题方法可以帮助解决计数、排列组合等问题。如计数问题，可以通过构建几何图形，分析不同部位的组合情况来求解。
3.物理：在物理学中，许多力学、光学、热学等问题都可以通过立体拼合解题方法进行求解。如在力学中，可以通过构建物体受力图，分析各力的作用情况，从而求解物体运动状态。
三、立体拼合解题方法的操作步骤
1.分析问题：首先要对问题进行深入的分析，明确问题的背景、条件以及需要求解的目标。
2.构建几何图形：根据问题条件，构建合适的几何图形，将复杂问题简化。
3.分解几何图形：将构建好的几何图形分解为简单的几何图形，如平面图形、立体图形等。
4.应用数学知识：针对分解后的简单几何图形，运用相应的数学知识进行计算和推导。
5.整合结果：将各个简单几何图形的计算结果整合，得出问题的解答。
排列组合常见21种解题方法
排列组合常见21种解题方法
排列组合是高中数学中的重要知识点，也是考试中常见的题型。在解决排列组合问题时，我们可以运用多种方法来求解，下面将介绍常见的21种解题方法。
1. 直接法，根据排列组合的定义，直接计算排列或组合的个数。
2. 公式法，利用排列组合的公式进行计算，如排列公式P(n,m)=n!/(n-m)!，组合公式C(n,m)=n!/(m!(n-m)!)。
3. 递推法，通过递推关系式求解排列组合问题，如利用排列数的递推关系
P(n,m)=P(n-1,m)+P(n-1,m-1)。
4. 分类讨论法，将问题进行分类讨论，分别求解每种情况的排列组合个数，然后合并得出最终结果。
5. 组合数性质法，利用组合数的性质，如C(n,m)=C(n,n-m)，C(n,m)=C(n-
1,m)+C(n-1,m-1)，简化计算过程。
6. 二项式定理法，利用二项式定理展开式子，求解排列组合问题。
7. 二项式系数法，利用二项式系数的性质，如n个不同元素的排列个数为n!，n个相同元素的排列个数为1，简化计算过程。
8. 容斥原理法，利用容斥原理求解排列组合问题，排除重复计算的部分。
9. 对称性法，利用排列组合的对称性质，简化计算过程。
10. 逆向思维法，从问题的逆向思考，求解排列组合问题。
11. 生成函数法，利用生成函数求解排列组合问题，将排列组合问题转化为多项式求解。
12. 构造法，通过构造合适的排列组合模型，求解问题。
13. 图论法，将排列组合问题转化为图论问题，利用图论算法求解。
14. 动态规划法，利用动态规划算法求解排列组合问题，降低时间复杂度。
几何有关的排列组合题的解法
几何有关的排列组合题的解法在几何学中，排列组合是一种常见的解决问题的方法。通过对图形
的排列和组合，我们可以探索出许多有趣和实用的结论。本文将介绍
几何有关的排列组合题的解法，帮助读者更好地理解和解决这类问题。
一、组合问题
组合问题是指从一组元素中选取若干个元素，并按照一定规则组合
在一起的问题。在几何学中，常见的组合问题包括圆排列、线排列等。下面以圆排列为例进行说明。
1. 圆排列问题
圆排列是指将若干个不同的圆按一定规则排列在平面上的问题。一
般来说，圆排列可以分为两类：相离圆排列和相切圆排列。
相离圆排列问题是指将若干个不相交的圆排列在平面上的问题。在
解决相离圆排列问题时，我们可以利用排列组合的方法进行求解。假
设有n个圆，我们可以选择其中的m个圆进行排列。圆的排列数量可
以通过组合数公式求得，即C(n,m)。
相切圆排列问题是指将若干个相切的圆排列在平面上的问题。在解
决相切圆排列问题时，我们可以利用等比数列的性质进行求解。假设
有n个圆相切，我们将最大的圆设为第一个圆，其半径为r，那么第i
个圆的半径为r/i。通过求解前n项的和，即可得到圆的总面积。
二、排列问题
排列问题是指将一组元素按一定顺序排列的问题。在几何学中，常见的排列问题包括点线面的排列等。下面以点线面的排列为例进行说明。
1. 点线排列问题
在点线排列问题中，我们需要计算在给定的几何形状中，将若干个点或线按一定规则排列的情况。这种情况下，排列的顺序非常重要。
例如，给定一个正方形的四个顶点，我们需要计算在这四个顶点中选择若干个点排列成线段的情况。我们可以根据线段的个数进行分类讨论，分别计算可能的排列情况。
立体几何中组合问题的几种解法
立体几何中组合问题的几种解法
解决几何组合问题时，应准确灵活使用加法原理和乘法原理，要分类分步进行，做到不重复不遗漏。
1 直接求解法
例1：四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法有多少种?
分析：正面考虑本题各步骤的方法比较复杂，计算困难，应运用逆向思维，即先考虑从10个点任意取出4个点的方法，再减去从10个点中取出4点共面的的方法即可。
解：从10个点中找出4个点的方法有Ｃ410=210种，其中在四面体的四个面内各有6个点，取出共面的4个点的方法有4Ｃ4■=60种；相邻面各棱的中点4点共Ｃ410面的有3种；一条棱上三点与其相对棱中点也共面，共6种。
∴所求方法N=210-60-3-6=141(种)
本题应注意“哪些点共面?”共有几种情况?[1]
例2：从平面Ⅱ上取6个点，再从平面B上取4个点，这10个点最多可确定多少个三棱锥?
解法①：分三种情况考虑：第一种情况从平面a上的6个点中任取一个再与从平面β上的4个点中任取3个点构成的三棱锥有Ｃ1■Ｃ■■个；第二种情况，从平面a上的6个点中任取2个与平面13上的4个点中任取2个点构成的三棱锥有Ｃ2■Ｃ2■个；第三种情况，从平面a上的6个点中任取3个点与平面β上的4个点中任取1个点构成的三棱锥有Ｃ■■Ｃ1■个。根据加法原理共有Ｃ1■Ｃ■■+Ｃ2■Ｃ2■ +Ｃ■■Ｃ1■ =24+90+80=194(个)。
解法②：逆向思维：从10个点中任取4个点的组合数Ｃ410中，去掉4个点共面的两种情况即4点在平面a上的Ｃ4■个，4点在平面β上的Ｃ4■个。其余的任4点都能构成一个三棱锥。因此，可构成三棱锥Ｃ410-Ｃ4■-Ｃ4■=210-15-1=194(个)。
排列组合问题的解题方法与技巧的总结（完整版）
学员数学科目第次个性化教案
授课时间教师姓名备课时间
学员年级高二课题名称排列组合问题的解题策略
课时总数共课时教育顾问学管邱老师
教学目标1、两个计数原理的掌握与应用；
、两个计数原理的掌握与应用；
2、关于排列与组合的定义的理解；关于排列与组合数公式的掌握；关于组合数两个性质的掌握；、关于排列与组合的定义的理解；关于排列与组合数公式的掌握；关于组合数两个性质的掌握；
3、运用排列与组合的意义与公式解决简单的应用问题（多为排列与组合的混合问题）
、运用排列与组合的意义与公式解决简单的应用问题（多为排列与组合的混合问题）
教学重点1、两个计数原理的掌握与应用；
、两个计数原理的掌握与应用；
2、关于排列与组合的定义的理解；关于排列与组合数公式的掌握；关于组合数两个性质的掌握；、关于排列与组合的定义的理解；关于排列与组合数公式的掌握；关于组合数两个性质的掌握；
教学难点运用排列与组合的意义与公式解决简单的应用问题（多为排列与组合的混合问题）运用排列与组合的意义与公式解决简单的应用问题（多为排列与组合的混合问题）
教学过程
教师活动
一、作业检查与评价（第一次课程）
二、复习导入
排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。
三、内容讲解
1.
1.分类计数原理
分类计数原理
分类计数原理((加法原理
加法原理)
)
完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有1m种不同的方法，在第2类办法中有2m种不同的方法，…，在第n类办法中有n m种不同的方法，那么完成这件事共有：
排列组合问题的解法
排列组合问题是数学中的一个重要概念，它涉及到从n个不同元素中取出m 个元素（n>m）进行排列或组合的问题。
排列是指按照一定的顺序将元素进行排列，而组合则是指不考虑顺序地选取元素。
排列组合问题的解法通常包括以下几个步骤：
1.确定问题类型：首先需要确定问题是排列问题还是组合问题，因为两者
的解法不同。
2.确定元素范围：确定问题的元素范围，即从多少个不同的元素中取出多
少个元素。
3.计算排列或组合数：根据排列或组合的公式计算结果。
4.检验答案：最后需要检验答案是否符合题目的要求，比如是否需要考虑
重复元素、是否需要考虑顺序等。
下面是一个具体的例子，假设有5个人（A、B、C、D、E）参加一个比赛，其中A和B不能同时参加比赛，问有多少种不同的参赛组合？
首先，确定问题类型：这是一个组合问题，因为我们要从5个人中选取若干人参加比赛，不考虑顺序。
其次，确定元素范围：有5个人（A、B、C、D、E）参加比赛。
然后，计算组合数：根据组合的公式C(n, m) = n! / (m!(n-m)!)，其中n是总元素个数，m是选取的元素个数。在这个例子中，n=5, m=3（因为要选3个人），所以C(5, 3) = 5! / (3!2!) = 10。
最后，检验答案：由于A和B不能同时参加比赛，所以我们需要排除A、B、C和B、A、C这两种组合，因此最终的答案是10-2=8种不同的参赛组合。
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立体几何中的排列组合问题解法举隅
立体几何中的排列组合问题在近年的高考数学试题中出现的频次较高，且常考常新. 因为解决这类问题不仅要具备排列组合的有关知识，而且还要具备较强的空间想象能力. 因而是一类既富思考情趣，又融众多知识和技巧于一体且综合性强、灵活性高、难度颇大的挑战性问题. 解决这类问题的关键是明确形成几何图形的元素，并与排列组合形成对应关系，转化为排列组合问题，同时还要注意避免重复和遗漏. 下面结合具体例子谈谈这类问题的求解方法，供参考. 一、分步求解
例1 如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线有（ ）
A. 12对
B. 24对
C. 36对
D. 48对
解 由于六棱锥的6条侧棱交于一点, 底面六边形的6条边共面, 因而只能将侧
棱与底边相搭配. 第一步, 从6条侧棱中任取一条有1
6C 种; 第二步, 从底面6
条边中与这条侧棱不相交的4条边中任取一条有14C 种, 由乘法原理知有1416C C =24对, 故选B.
二．分类求解
例2 四边形的一个顶点为A, 从其它顶点与各棱的中点中取3点, 使它们和点A 在同一平面上, 不同取法有( )
A. 30种
B. 33种
C. 36种
D. 39种
解 符合条件的取法可分为两类: ①4个点(含A)在同一个侧面上,有3033
5
C 种；②4个点（含A ）在侧棱与对棱中点的截面上，有3种. 由加法原理知不同取法共有33种，故选B.
例3 将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法种数是＿＿＿＿＿＿.
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解 分三类：
①如果用5种颜色有55A 种染色方法.
②如果用4种颜色，只能是底面四边形相对顶点同色. 如图1，如果A 、C 同色，只要考虑染S 、A 、B 、D 四顶点，有45A 种染法，而B 、D 同色仍有45A 种染
法，用四色共有245A 种染法.
③如果用3种颜色，A 、C 同色，B 、D 同色，只要考虑S 、A 、B 三个顶点，有35A 种染法.
由加法原理知共有55A ＋245A ＋35A ＝420种染法. 三、剔除求解
例4 四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，则不同的取法共有（ ）
A. 150种
B.147种
C.144种
D.141种
解 从10个点中任取4点，有4
10C 种取法，再剔除掉共面的取法.
① 共面的四点在四面体的某一个面内，有46C 种取法，4个面共有446C 种；② 每条棱上的三个点与其对棱的中点四点共面，有6种；③由中位线构成的平行四边形（其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱），它的4个顶点共面，有3种.
故不共面的取法共有410C －446C －6－3＝141种，故选D.
例5 已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1. （1）以正方体顶点为顶点的四面体有多少个？（2）从8个顶点中取出3个顶点，使至少有两个顶点在同一棱上，其取法种数为多少？（3）过8个顶点中任两点的直线与直线A 1B 异面的有多少条？
解 （1）从所有四点的组合中去掉共面的组合，6个表面四点共面，6个对角面四点共面. 所以共有四面体
48C -12＝58个.
图1
B
A
D
C
S
图2
A
B
C D
B 1
D 1
C 1 A 1
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（2）如图2， A 1BD 这样的三点不能满足题意，可以认为这个三点组合与顶点A 对应，正方体有8个顶点，每个顶点对应一个不合题意的三点组合. 所以满足题意的三点取法共有38C －8＝48种.
（3）在8个顶点取2个的组合中，去掉侧面ABB 1A 1中的两点组合有24C 个，再去掉过A 1不在面ABB 1A 1内的四条直线与过B 的4条直线，还要去掉与之平行的D 1C.
所以共有1442
4
28----C C ＝13条. 四、构造模型求解
例6 与空间不共面的四点距离相等的平面有多少个？
解 由题设条件，空间不共面的四点可构成四面体，考虑四面体的四个顶点在所求平面两侧的分布，易知当所求平面位于三棱锥的顶点与底面之间时有4个；当所求平面位于三棱锥相对棱之间时有3个. 故所求平面有7个. 例7 在正方体八个顶点的所有连线中，有多少对异面直线？
解 构造四面体求解，因为四面体的6条棱可构成3对异面直线，从而只要求出正方体的八个顶点可构成几个四面体即可，而这恰好是本文例5（1），故可得到
1743)12(48=⨯-C 对异面直线.
五、联想有关命题求解
例8 以长方体的八个顶点中的任意3个为顶点的所有三角形中，锐角三角形的个数为（ ）
A.0
B.6
C.8
D.24
解 联想课本习题：“将正方体截去一角，求证：截面是锐角三角形. ”易知从长方体的一个顶点出发的三条棱的另3个端点可构成锐角三角形，长方体有8个顶点，从而可构成8个锐角三角形，故选C.
六、综合有关知识求解
例9 以一个正五棱柱的顶点为顶点的四面体共有（ ） A.200个 B.190个 C.185个 D.180个
图3
C
E C 1
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解 正五棱柱共有10个顶点，若每四个顶点构成一个四面体，共可构成4
10C ＝210
个四面体，其中四点在同一平面内的有三类： ① 每一底面的5点中选4点的组合方法有452C 个. ② 5条侧棱中的任意两条棱上的四点有25C 个.
③一个底面的一边与另一个底面相应的一条对角线平行（例如AB ∥E 1C 1），这样
共面的四点共有152C 个.
故四面体的个数为1
5254541022C C C C ---＝180个，故选D.
例10 用正五棱柱的10个顶点中的5个顶点作四棱锥的5个顶点，共可得多少个四棱锥？
解 结合图3，以不同类型的四棱锥的底面分类可得：
① 以棱柱的底面为四棱锥底面的共有245C 1
5C 个. ②以棱柱的侧面为四棱锥底面的共有15C 1
6C 个. ③以棱柱的对角面为四棱锥底面的共有15C 1
6C 个.
④以图3中ABC 1E 1（为等腰梯形）为四棱锥底面的共有215C 1
6C 个. 故可构成的四棱锥共有245C 15C ＋15C 16C ＋15C 16C ＋215C 1
6C ＝170个.
例11 以四棱柱的顶点为顶点的三棱锥有多少个？
解 本题要讨论底面的形状，所求的答案与底面的形状有关. ①若底面不是梯形，也不是平行四边形，则有48C －6－2＝62个. ② 若底面是梯形，则有48C －6－4＝60个. ③ 若底面是平行四边形，则有48C －6－6＝58个. 综上所述，所求三棱锥的个数为62或60或58.
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