立体几何中的排列组合问题解法举隅(优.选)
排列组合问题解法举隅
１６ ２ ０种 。
ＡＡ Ａ ；：＝
六、定序 问题用“ 除法”
此题 要排 一个 五位 数 ， 首位 不能 排 “” 且末 位要 排偶 数 ， ０， 那首
对 于某 几个 元素 要 求相邻 的排 列 问题 ， 先将 相邻 的元 素 “ 可 捆 绑” 起来 ， 做一个 大元 素与其 他元素 排列 ， 看 然后再 对大 元素 内部 进
行小 范围的全排 列。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
例 ３ （ ０ ７北京 ） ２０ 记者 要 为 ５名 志愿者 和他们 帮助 的 ２ 老 位 人拍 照 ， 位 老人不相邻 但不排 在两端 。 ２ 不同 的排 法共有 （
△５
类为： 首位是 ２ ４ 或 且大于 ２ ０ ００ 的数有 ２ Ａ Ｘ ＝ ６ 首位 么安 排这 ６项工程 的不 同排 法种数是 — —（ ０ Ｘ ： ９ 个； ２ 用数字作答 ） 。
是 ３或 ５ 大于 ２ ０ 且 ００ ０的数有 ２ 的数 有 ９ ＋ ４ ＝ ４ ６ １ ４ ２ ０个。 二 、 至 少至 多” “ 问题 间接 法 对 于含有 至少 ” 至 多” 眼的 问题 ， “ 字 直接 做 比较困难 、 烦时 。 麻 可 以从总体 中把不合要 求 的除 去 。 此时应 用到 间接法。 例 ２ （ ０ ８四川 ） 甲 、 ２０ 从 乙等 １ Ｏ名 同学 中挑选 ４名参加 某项公 益活 动 ， 要求 甲、 中至 少有 １ 参加 。 乙 人 则不同 的挑选方法 共有（ ）
位 与末 位属于 受 限位置 ． “ 、 、 ” 而 ０ ２ ４ 属于 受限 元素 ， 优先 考虑 。 应 分
(完整版)例析立体几何中的排列组合问题
例析立体几何中的排列组合问题春晖中学过月圆在数学中，排列、组合无论从内容上还是从思想方法上，都体现了实际应用的观点。
立体几何与排列组合综合问题是高考命题的新趋势，体现了《考试大纲》要求的在知识交汇处命题的指导思想，应引起考生的重视。
立体几何中的计数问题也是高考的热点题型，解决这类问题的基本方法是以点带面法，下面列举立体几何中排列、组合问题的几个例子。
1 点1．1 共面的点例1（1997年全国高考（文））四面体的一个顶点为A，从其它顶点与棱的中点中取3个点，使它们和点A在同一平面上，不同的取法有（）A．30种 B．33种 C．36种 D．39种解析：四面体有4个顶点，6条棱有6个中点，每个面上的6个点共面。
点A所在的每个面中含A的4点组合有个，点A在3个面内，共有个组合；点A在6条棱的3条棱上，每条棱上有3个点，这3点与这条棱对棱的中点共面。
所以与点A共面的四点组合共有个。
答案：B点评：此题主要考查组合的知识和空间相像能力；属97文科试题中难度最大的选择题，失误的主要原因是没有把每条棱上的3点与它对棱上的中点共面的情况计算在内。
1．2 不共面的点例2（1997年全国高考（理））四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有（）A．150种 B．147种 C．144种 D．141种解析：从10 个点中任取4个点有种取法，其中4点共面的情况有三类：第一类，取出的4个点位于四面体的同一个面内，有种；第二类，取任一条棱上的3个点及对棱的中点，这4点共面有6种；第三类，由中位线构成的平行四边形，它的4个顶点共面，有3种。
以上三类情况不合要求应减掉，所以不同取法共有种。
答案：D。
点评：此题难度很大，是当时高考中得分最低的选择题，对空间想像能力要求高，很好的考察了立体几何中点共面的几种情况；排列、组合中正难则反易的解题技巧及分类讨论的数学思想。
2 直线例3（2005年全国高考卷Ⅰ（理））过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有（）A．18对 B．24对 C．30对 D．36对分析：选项数目不大，若不宜用公式直接求解，可考虑用树图法。
完整版例析立体几何中的排列组合问题
例析立体几何中的排列组合问题过月圆春晖中学在数学中，排列、组合无论从内容上还是从思想方法上，都体现了实际应用的观点。
立体几何与排列组合综合问题是高考命题的新趋势，体现了《考试大纲》要求的在知识交汇处命题的指导思想，应引起考生的重视。
立体几何中的计数问题也是高考的热点题型，解决这类问题的基本方法是以点带面法，下面列举立体几何中排列、组合问题的几个例子。
1 点1．1 共面的点11997年全国高考（文））（例A3A在同四面体的一个顶点为个点，使它们和点，从其它顶点与棱的中点中取）一平面上，不同的取法有（A30 B33 C36 D39种种．种．．．种4666A所解析：四面体有个中点，每个面上的个顶点，个点共面。
点条棱有34AA个面内，共有在点组合有个，点在的每个面中含个组合；点的A6333点与这条棱对棱的中点共面。
条棱的个点，这条棱上，每条棱上有在A共面的四点组合共有个。
所以与点B答案：97文科试题中难度最大的选点评：此题主要考查组合的知识和空间相像能力；属3点与它对棱上的中点共面的情况计择题，失误的主要原因是没有把每条棱上的算在内。
1．2 不共面的点21997年全国高考（理））（例104个不共面的点，不同的取法共有个点，在其中取四面体的顶点和各棱中点共）（A150 B147 C144 D141种．种．种．种．410 4点共面的情况有三类：第一个点中任取个点有解析：从种取法，其中4个点位于四面体的同一个面内，有种；第二类，取任一条棱上类，取出的346种；第三类，由中位线构成的平行四边的个点及对棱的中点，这点共面有43种。
形，它的个顶点共面，有以上三类情况不合要求应减掉，所以不同取法共有种。
D答案：。
点评：此题难度很大，是当时高考中得分最低的选择题，对空间想像能力要求高，很好的考察了立体几何中点共面的几种情况；排列、组合中正难则反易的解题技巧及分类讨论的数学思想。
2 直线例3（2005年全国高考卷Ⅰ（理））过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有（）A．18对B．24对C．30对D．36对分析：选项数目不大，若不宜用公式直接求解，可考虑用树图法。
排列组合问题的解决方法
排列组合问题的解决方法排列组合问题是数学中的一个重要概念，也是许多实际问题中常见的一种情况。
在解决排列组合问题时，我们需要运用一定的方法和技巧，以得到准确的答案。
本文将介绍一些常见的解决排列组合问题的方法。
一、排列问题的解决方法排列是从若干个元素中选取一部分进行排序的问题。
在解决排列问题时，我们可以运用以下方法：1.全排列法：全排列法适用于待排元素个数较少的情况。
通过穷举待排元素的所有可能排列，我们可以得到准确的答案。
但当待排元素个数较多时，全排列法的计算量会变得非常大，不适用于实际问题。
2.递归法：递归法是解决排列问题的常用方法之一。
通过不断缩小问题规模，并通过递归调用自身来解决子问题，最终得到排列问题的解。
递归法的优点是代码简洁易懂，但在处理大规模问题时，其效率可能较低。
3.数学公式法：对于一些特殊的排列问题，我们可以运用数学公式来求解。
比如，计算从n个元素中选取m个元素进行排列的方法数，可以使用排列组合公式P(n,m) = n! / (n-m)!来计算。
二、组合问题的解决方法组合是从若干个元素中选取一部分进行组合的问题。
在解决组合问题时，我们可以运用以下方法：1.枚举法：枚举法是解决组合问题的常用方法之一。
通过枚举待选元素的所有可能组合，我们可以得到准确的答案。
但同样地，当待选元素个数较多时，枚举法的计算量会非常大。
2.递归法：递归法同样适用于解决组合问题。
通过不断缩小问题规模，并通过递归调用自身来解决子问题，最终得到组合问题的解。
递归法的优点是代码简洁易懂，但在处理大规模问题时，其效率可能较低。
3.数学公式法：对于一些特殊的组合问题，我们可以运用数学公式来求解。
比如，计算从n个元素中选取m个元素进行组合的方法数，可以使用排列组合公式C(n,m) = n! / (m!(n-m)!)来计算。
三、排列组合问题的综合应用在实际问题中，排列组合常常与其他数学概念和方法相结合，以解决更为复杂的问题。
排列组合解题方法和策略总结
排列组合解题方法和策略总结排列组合是数学中一个重要的概念，它涉及到从n个不同元素中取出m个元素（n>m）进行排列或组合的问题。
排列组合问题在日常生活和科学研究中有着广泛的应用，因此掌握排列组合的解题方法和策略非常重要。
以下是排列组合解题方法和策略的总结：1.明确问题要求：在解决排列组合问题时，首先要明确问题的要求，确定是排列问题还是组合问题，以及具体的限制条件。
2.确定元素范围：根据问题要求，确定所选取元素的范围，明确哪些元素可以选取，哪些元素不能选取。
3.列出所有可能的排列或组合：根据排列组合的公式，列出所有可能的排列或组合，确保不遗漏任何一种可能性。
4.分类讨论：对于一些复杂的问题，需要进行分类讨论。
根据问题的特点，将问题分成若干个子问题，分别求解子问题的排列组合情况。
5.排除法：在某些情况下，可以通过排除法求解问题。
根据问题的限制条件，排除一些不可能的情况，从而减少计算量。
6.递推关系：对于一些具有递推关系的问题，可以利用递推关系求解。
通过递推关系，逐步推导出最终的排列组合情况。
7.容斥原理：容斥原理是解决排列组合问题的一种重要方法。
通过容斥原理，可以将多个排列或组合的情况合并为一个，从而简化计算过程。
8.实际应用：排列组合问题在日常生活和科学研究中有着广泛的应用。
通过实际应用，可以加深对排列组合概念的理解，并掌握解题方法和策略。
解决排列组合问题需要掌握一定的方法和策略。
通过明确问题要求、确定元素范围、分类讨论、排除法、递推关系、容斥原理等方法和策略，可以有效地解决各种排列组合问题。
同时，通过实际应用，可以加深对排列组合概念的理解，提高解题能力。
排列组合在日常生活和科学研究中有着广泛的应用，以下是其中一些典型的应用场景：1.生日庆祝：在生日庆祝中，排列组合可以用来确定不同的庆祝活动安排。
例如，如果有5个朋友参加生日派对，可以使用排列组合确定他们坐在一张圆桌上的不同方式。
2.彩票购买：在购买彩票时，可以使用排列组合来计算不同号码的组合。
例谈立体几何中的排列组合概率问题
例谈立体几何中的排列组合概率问题张世林谭升平在近几年的高考试题中，出现了以立体几何中的点、线、面的位置关系为背景的排列、组合、概率问题。
这类问题情景新颖，多个知识点交汇在一起，综合性强，往往作为高考选择填空题的压轴题。
它不仅考查了相关的基础知识，而且还注重对数学思想方法及数学能力的考查。
一、共面问题：分类讨论例1. 不共面的四个定点到平面α的距离都相等，这样的平面α共有（）A. 3个B. 4个C. 6个D. 7个解析：平面α可以分为两类：一类是在平面α的两侧各有两个点；另一类是在平面α的两侧分别有一个点和三个点。
如图1，设E、F、G、H、M分别是AB、AC、AD、CD、BD的中点，过E、F、G三点的平面α满足题意，这样的平面有4个；又过E、F、H、M的平面α也满足题意，这样的平面有3个。
故适合题设的平面α共有7个，应选D。
图1例2. 在四棱锥P�ABCD中，顶点为P，从其他的顶点和各棱的中点中取3个，使它们和点P在同一平面上，不同的取法有（）种。
A. 40B. 48C. 56D. 62解析：如图2，满足题设的取法可分为三类：（1）在四棱锥的每个侧面上除点P外任取3点，有（种）不同的取法；（2）在两个对角面上除点P外任取3点，共有（种）不同的取法；（3）过点P的每一条棱上的三点和与这条棱异面的棱的中点也共面，共有（种）不同的取法。
故不同的取法共有（种）。
点评：这类问题应根据立体图形的几何特点，选取恰当的分类标准，做到分类既不重复，也不遗漏。
在例2中，最容易漏掉的是第（3）类，最易重复的也是第（3）类。
二、异面问题：灵活转化例3. 过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有（）A. 18对B. 24对C. 30对D. 36对解析：大家知道一个三棱锥可以确定3对异面直线，一个三棱柱可以组成（个）三棱锥，则共有36对异面直线。
故选D。
点评：利用熟知的立体图形来灵活转化，是处理异面直线配对问题的常用方法。
排列组合问题的几种巧解方法
排列组合问题的几种巧解方法排列组合应用问题是历年高考必考题目，因其内容比较抽象、题型繁多、灵活多变、解题方法独特，与学生原有解题经验甚不相同，而成为高中数学教学的一个难点。
但只要我们认真审题，明确题目属于排列还是组合问题，或是排组混合问题，抓住问题本质特征，把握基本思想，灵活应用基本原理，注意讲究一些基本策略和方法技巧，善于分类讨论，适当转化，就能开拓思路，化难为易，使问题迎刃而解。
求解排列组合问题除了掌握两个基本原理(加法原理和乘法原理)外，没有现成的方法可套，只能根据具体问题灵活采用各种技巧。
本文就此通过一些实例介绍一下解决此类问题的一些常见的技巧。
一、对等法。
在有些问题中，某种限制条件的肯定与否定是对等的，各占全体的二分之一，在求解中只要求出全体，就可以得到所求。
例如：期中安排考试科目9门，语文要在数学之前考，有多少种不同的安排顺序？分析：对于任何一个排列问题，就其中的两个元素来讲的话，他们的排列顺序只有两种情况，并且在整个排列中，他们出现的机会是均等的，因此要求其中的某一种情况，能够得到全体，那么问题就可以解决了。
并且也避免了问题的复杂性。
解：不加任何限制条件，整个排法有种，“语文安排在数学之前考”，与“数学安排在语文之前考”的排法是相等的，所以语文安排在数学之前考的排法共有种。
二、插入法。
对于某两个元素或者几个元素要求不相邻的问题，可以用插入法，即先排好没有限制条件的元素，然后将有限制条件的元素按要求插入排好元素后的空档之中即可。
例如：学校组织老师学生一起看电影，同一排电影票12张。
8个学生，4个老师，要求老师在学生中间，且老师互不相邻，共有多少种不同的坐法?分析：此题涉及到的是不相邻问题，并且是对老师有特殊的要求，因此老师是特殊元素，在解决时就要特殊对待。
所涉及问题是排列问题。
解：先排学生共有种排法，然后把老师插入学生之间的空档，共有7个空档可插，选其中的4个空档，共有种选法。
根据乘法原理，共有的不同坐法为种。
排列组合问题的解题方法与技巧的总结(完整版)
例1．7名学生站成一排，甲、乙必须站在一起有多少不同排法？解：两个元素排在一起的问题可用“捆绑”法解决，先将甲乙二人看作一个元素与其他五人进行排列，并考虑甲乙二人的顺序，所以共有 种。
评注：一般地: n 站成一排,其中某m 个人相邻,可用“捆绑”法解决，共有N MM N M M A A --种排法。
练习：5个男生3个女生排成一排,3个女生要排在一起,有多少种不同的排法?二、不相临问题——选空插入法例2． 7名学生站成一排，甲乙互不相邻有多少不同排法？解：甲、乙二人不相邻的排法一般应用“插空”法，所以甲、乙二人不相邻的排法总数应为：2565A A 种 . 插入法:对于某两个元素或者几个元素要求不相邻的问题,可以用插入法.即先排好没有限制条件的元素,然后将有限制条件的元素按要求插入排好元素的空档之中即可.若N 个人站成一排，其中M 个人不相邻，可用“插空”法解决，共有 种排法。
练习： 学校组织老师学生一起看电影，同一排电影票12张。
8个学生，4个老师，要求老师在学生中间，且老师互不相邻，共有多少种不同的坐法？分析 此题涉及到的是不相邻问题,并且是对老师有特殊的要求,节目单中，那么不同插法的种数为（）A．42 B．30 C．20 D．12解：增加的两个新节目，可分为相临与不相临两种情况：1.不相临：共有种；2.相临：共有种。
故不同插法的种数为：2A +22A16A=42 ，故选A。
6例7．（2003年全国高考试题）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种.（以数字作答）解：由题意，选用3种颜色时，C43种颜色，必须是②④同色，③⑤同色，与①进行全排列，涂色方法有C43A33=24种4色全用时涂色方法：是②④同色或③⑤同色，有2种情况，涂色方法有C21A44=48种所以不同的着色方法共有48+24=72种；故答案为72六、混合问题--先选后排法对于排列组合的混合应用题，可采取先选取元素，后进行排A. B.3种 C.种 D.解：本试题属于均分组问题。
排列组合常见21种解题方法
排列组合常见21种解题方法排列组合是高中数学中的重要知识点，也是考试中常见的题型。
在解决排列组合问题时，我们可以运用多种方法来求解，下面将介绍常见的21种解题方法。
1. 直接法，根据排列组合的定义，直接计算排列或组合的个数。
2. 公式法，利用排列组合的公式进行计算，如排列公式P(n,m)=n!/(n-m)!，组合公式C(n,m)=n!/(m!(n-m)!)。
3. 递推法，通过递推关系式求解排列组合问题，如利用排列数的递推关系P(n,m)=P(n-1,m)+P(n-1,m-1)。
4. 分类讨论法，将问题进行分类讨论，分别求解每种情况的排列组合个数，然后合并得出最终结果。
5. 组合数性质法，利用组合数的性质，如C(n,m)=C(n,n-m)，C(n,m)=C(n-1,m)+C(n-1,m-1)，简化计算过程。
6. 二项式定理法，利用二项式定理展开式子，求解排列组合问题。
7. 二项式系数法，利用二项式系数的性质，如n个不同元素的排列个数为n!，n个相同元素的排列个数为1，简化计算过程。
8. 容斥原理法，利用容斥原理求解排列组合问题，排除重复计算的部分。
9. 对称性法，利用排列组合的对称性质，简化计算过程。
10. 逆向思维法，从问题的逆向思考，求解排列组合问题。
11. 生成函数法，利用生成函数求解排列组合问题，将排列组合问题转化为多项式求解。
12. 构造法，通过构造合适的排列组合模型，求解问题。
13. 图论法，将排列组合问题转化为图论问题，利用图论算法求解。
14. 动态规划法，利用动态规划算法求解排列组合问题，降低时间复杂度。
15. 贪心算法法，利用贪心算法求解排列组合问题，简化计算过程。
16. 模拟法，通过模拟排列组合过程，求解问题。
17. 枚举法，将所有可能的排列组合情况列举出来，求解问题。
18. 穷举法，通过穷举所有可能的情况，求解问题。
19. 数学归纳法，利用数学归纳法证明排列组合的性质，求解问题。
几何有关的排列组合题的解法
几何有关的排列组合题的解法在几何学中，排列组合是一种常见的解决问题的方法。
通过对图形的排列和组合，我们可以探索出许多有趣和实用的结论。
本文将介绍几何有关的排列组合题的解法，帮助读者更好地理解和解决这类问题。
一、组合问题组合问题是指从一组元素中选取若干个元素，并按照一定规则组合在一起的问题。
在几何学中，常见的组合问题包括圆排列、线排列等。
下面以圆排列为例进行说明。
1. 圆排列问题圆排列是指将若干个不同的圆按一定规则排列在平面上的问题。
一般来说，圆排列可以分为两类：相离圆排列和相切圆排列。
相离圆排列问题是指将若干个不相交的圆排列在平面上的问题。
在解决相离圆排列问题时，我们可以利用排列组合的方法进行求解。
假设有n个圆，我们可以选择其中的m个圆进行排列。
圆的排列数量可以通过组合数公式求得，即C(n,m)。
相切圆排列问题是指将若干个相切的圆排列在平面上的问题。
在解决相切圆排列问题时，我们可以利用等比数列的性质进行求解。
假设有n个圆相切，我们将最大的圆设为第一个圆，其半径为r，那么第i个圆的半径为r/i。
通过求解前n项的和，即可得到圆的总面积。
二、排列问题排列问题是指将一组元素按一定顺序排列的问题。
在几何学中，常见的排列问题包括点线面的排列等。
下面以点线面的排列为例进行说明。
1. 点线排列问题在点线排列问题中，我们需要计算在给定的几何形状中，将若干个点或线按一定规则排列的情况。
这种情况下，排列的顺序非常重要。
例如，给定一个正方形的四个顶点，我们需要计算在这四个顶点中选择若干个点排列成线段的情况。
我们可以根据线段的个数进行分类讨论，分别计算可能的排列情况。
2. 点面排列问题在点面排列问题中，我们需要计算给定的若干个点和若干个面排列成几何形状的情况。
这种情况下，排列的顺序也非常重要。
例如，给定一个平面上的四个点和一个矩形，我们需要计算在这四个点中选择若干个点作为矩形的顶点的情况。
我们可以根据矩形的边的个数进行分类讨论，分别计算可能的排列情况。
立体几何中组合问题的几种解法
立体几何中组合问题的几种解法解决几何组合问题时，应准确灵活使用加法原理和乘法原理，要分类分步进行，做到不重复不遗漏。
1 直接求解法例1：四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法有多少种?分析：正面考虑本题各步骤的方法比较复杂，计算困难，应运用逆向思维，即先考虑从10个点任意取出4个点的方法，再减去从10个点中取出4点共面的的方法即可。
解：从10个点中找出4个点的方法有Ｃ410=210种，其中在四面体的四个面内各有6个点，取出共面的4个点的方法有4Ｃ4■=60种；相邻面各棱的中点4点共Ｃ410面的有3种；一条棱上三点与其相对棱中点也共面，共6种。
∴所求方法N=210-60-3-6=141(种)本题应注意“哪些点共面?”共有几种情况?[1]例2：从平面Ⅱ上取6个点，再从平面B上取4个点，这10个点最多可确定多少个三棱锥?解法①：分三种情况考虑：第一种情况从平面a上的6个点中任取一个再与从平面β上的4个点中任取3个点构成的三棱锥有Ｃ1■Ｃ■■个；第二种情况，从平面a上的6个点中任取2个与平面13上的4个点中任取2个点构成的三棱锥有Ｃ2■Ｃ2■个；第三种情况，从平面a上的6个点中任取3个点与平面β上的4个点中任取1个点构成的三棱锥有Ｃ■■Ｃ1■个。
根据加法原理共有Ｃ1■Ｃ■■+Ｃ2■Ｃ2■ +Ｃ■■Ｃ1■ =24+90+80=194(个)。
解法②：逆向思维：从10个点中任取4个点的组合数Ｃ410中，去掉4个点共面的两种情况即4点在平面a上的Ｃ4■个，4点在平面β上的Ｃ4■个。
其余的任4点都能构成一个三棱锥。
因此，可构成三棱锥Ｃ410-Ｃ4■-Ｃ4■=210-15-1=194(个)。
2 从几何概念上求解［2］例3：空间10个点，无三点共线，其中有六个点共面，其余无四个点共面，则这些可以组成四棱锥的个数有多少个?此题易错解，仿上例。
错解一：从共面的6个点中任取1个、2个、3个、4个点，与从另外4个不共面的点中任取4个、3个、2个、1个点可构成的四棱锥有Ｃ1■Ｃ4■＋Ｃ2■Ｃ■■＋Ｃ■■Ｃ2■=6+60=120+60=246(个)。
如何解决高中数学中的排列与组合难题
如何解决高中数学中的排列与组合难题高中数学中的排列与组合是一种常见的数学概念，也是学生们经常遇到的难题之一。
掌握排列与组合的方法和技巧，能够帮助学生更好地解决这类难题。
本文将介绍一些解决高中数学中的排列与组合难题的方法和技巧，帮助学生更好地应对这些问题。
1. 理解排列和组合的概念首先，需要明确排列和组合的概念。
排列是指在一定条件下，从给定的元素中选取若干个元素进行排列，而组合则是从给定的元素中选取若干个元素组成一个集合。
理解这两个概念的差异以及应用场景，对解题非常重要。
2. 记住排列和组合的公式排列和组合都有相应的计算公式，掌握这些公式对解题至关重要。
排列的计算公式为：P(n, k) = n!/(n-k)!，组合的计算公式为：C(n,k) =P(n,k)/k!。
记住这些公式可以帮助学生在解题过程中快速计算结果。
3. 分析问题条件在解决排列与组合难题时，首先需要仔细阅读题目，了解问题给定的条件。
分析问题条件有助于确定解题的思路和方法。
4. 根据条件确定解题方法根据问题条件的不同，选择适合的解题方法。
比如，如果问题要求排列的顺序，则使用排列的方法解题；如果问题只关注元素的组合情况，则使用组合的方法解题。
灵活选择解题方法可以简化解题过程。
5. 利用数字与图形相结合的方法在解决排列与组合问题时，可以借助数字与图形相结合的方法来帮助思考和计算。
绘制有序图、无序图，或者使用递推法等可视化的方法，有助于学生更好地理解和计算。
6. 多做练习题排列与组合是需要进行大量练习的数学概念。
多做一些相关的练习题，提高解题的技巧和速度，增强对排列与组合的理解。
7. 注重解题思路在解决排列与组合难题时，除了求解结果外，也要注重解题思路的培养。
培养良好的解题思路可以帮助学生更高效地解决问题，提高解题的能力。
通过以上方法和技巧，学生可以更好地解决高中数学中的排列与组合难题。
掌握排列与组合的概念和公式，仔细分析问题条件，选择合适的解题方法，借助可视化方法辅助计算，多做练习题，培养解题思路，都有助于提高学生在这方面的能力。
排列组合问题的解法
排列组合问题是数学中的一个重要概念，它涉及到从n个不同元素中取出m 个元素（n>m）进行排列或组合的问题。
排列是指按照一定的顺序将元素进行排列，而组合则是指不考虑顺序地选取元素。
排列组合问题的解法通常包括以下几个步骤：
1.确定问题类型：首先需要确定问题是排列问题还是组合问题，因为两者
的解法不同。
2.确定元素范围：确定问题的元素范围，即从多少个不同的元素中取出多
少个元素。
3.计算排列或组合数：根据排列或组合的公式计算结果。
4.检验答案：最后需要检验答案是否符合题目的要求，比如是否需要考虑
重复元素、是否需要考虑顺序等。
下面是一个具体的例子，假设有5个人（A、B、C、D、E）参加一个比赛，其中A和B不能同时参加比赛，问有多少种不同的参赛组合？
首先，确定问题类型：这是一个组合问题，因为我们要从5个人中选取若干人参加比赛，不考虑顺序。
其次，确定元素范围：有5个人（A、B、C、D、E）参加比赛。
然后，计算组合数：根据组合的公式C(n, m) = n! / (m!(n-m)!)，其中n是总元素个数，m是选取的元素个数。
在这个例子中，n=5, m=3（因为要选3个人），所以C(5, 3) = 5! / (3!2!) = 10。
最后，检验答案：由于A和B不能同时参加比赛，所以我们需要排除A、B、C和B、A、C这两种组合，因此最终的答案是10-2=8种不同的参赛组合。
例谈立体几何背景下排列组合问题的不同解题思路
例谈立体几何背景下排列组合问题的不同解题思路排列数问题
穷举法：穷举法的核心是将所有可能性均列出来，为了避免数多或数漏，多采用树状图方法。
分类讨论法：①分清元素、位置和限制条件；②决定是从位置还是元素开始讨论（哪个少就从哪个开始讨论）；③从限制最多的开始讨论，随后是限制条件次多的，逐一进行讨论。
正难则反法：①不看限制条件求全集②求限制条件反面的子集，③全集减子集。
捆绑法：①把相邻元素捆绑处理②将捆绑后的元素当做一个整体进行排序。
插书法：①先考虑不受限值元素的排列②再将不相邻的元素插在前面元素排列在空位中。
组合数问题
分类数数问题：该类型题的主要难点是不要出现重复计数和遗漏计数的问题，常用的解题技巧是最大值法和正难则反法。
分组排序问题：
①每组所含元素个数一样多，又称之为平均分组，策略为：取取取后再去序；
②每组所含元素个数均不一样，策略为：取取取；
③每组所含元素个数有一样多的也有不一样多的，策略为：取取取后对于元素个数相等的组之间要去序。
涂色问题：①对要涂色的区域进行分组，涂几种颜色就分几组，分组的原则是同组的区域互不相邻，这一步是重点，通常采用的是穷举法；②进行排序，每组填一种颜色，就是颜色种类的全排列。
插棍问题：①正整数解问题②非负数整数解。
解决高考数学中的排列与组合问题
解决高考数学中的排列与组合问题高考数学中的排列与组合问题常常让考生头疼不已，但只要掌握正确的解题方法和技巧，这些问题将变得简单而有趣。
本文将为大家介绍一些解决高考数学中的排列与组合问题的有效方法。
一、排列问题解决方法排列是从n个元素中选取m个元素进行排列，其中元素的顺序是重要的。
下面是一些解决排列问题的方法：1. 公式法排列问题可以使用公式进行求解，公式为P(n,m) = n!/(n-m)!，其中"!"表示阶乘运算符。
这个公式可以直接计算出排列的结果。
2. 集合法使用集合的概念可以简化排列问题的解决。
将n个元素放入一个集合中，然后从集合中选取m个元素进行排列，最后将所有可能的排列方式求和即可得到结果。
3. 分类讨论法对于一些特殊的排列问题，可以使用分类讨论的方法求解。
将问题分解成几个简单的子问题，然后分别求解并将结果相加即可得到最终的答案。
二、组合问题解决方法组合是从n个元素中选取m个元素进行组合，其中元素的顺序是不重要的。
下面是一些解决组合问题的方法：1. 公式法组合问题可以使用公式进行求解，公式为C(n,m) = n!/(m!(n-m)!)。
通过将排列公式中的重复计数去掉，就可以得到组合的公式。
2. 集合法与排列问题相似，使用集合的概念同样可以简化组合问题的解决。
将n个元素放入一个集合中，然后从集合中选取m个元素进行组合，最后将所有可能的组合方式求和即可得到结果。
3. 分类讨论法对于一些特殊的组合问题，同样可以使用分类讨论的方法求解。
将问题分解成几个简单的子问题，然后分别求解并将结果相加即可得到最终的答案。
三、解决高考数学中的排列与组合问题的技巧除了掌握以上的解题方法外，还有一些技巧可以帮助我们更轻松地解决高考数学中的排列与组合问题：1. 灵活运用计数原理计数原理是解决排列与组合问题的基础，灵活运用计数原理可以帮助我们简化问题，加快解题速度。
2. 注意边界条件解决排列与组合问题时，要注意边界条件的处理。
排列组合问题的基本解法
排列组合问题的基本解法排列组合问题是组合数学中常见的一类问题，涉及到在给定条件下对一组元素进行排列或组合的情况。
它在多个领域中都有广泛的应用，如概率论、统计学、计算机算法等。
本文将介绍排列组合问题的基本概念和解法。
排列是指将一组元素按照一定顺序进行排列的方式。
设有n个元素，从中选择r个元素进行排列，排列的总数可以使用阶乘的方式计算。
例如，当n=5，r=3时，可以从5个元素中选择3个进行排列，排列的总数为5!/(5-3)。
= 60.组合是指在一组元素中选择r个元素，并忽略其排列顺序的方式。
组合的总数可以使用组合数的方式计算。
例如，当n=5，r=3时，可以从5个元素中选择3个进行组合，组合的总数为5!/[3!(5-3)!] = 10.公式法排列组合问题可以通过数学公式直接计算。
当需要求解排列数时，使用阶乘的公式可得到结果。
当需要求解组合数时，使用组合数的公式可得到结果。
递归法递归法是一种常用的解决排列组合问题的方法。
通过将问题分解为较小规模的子问题，并逐步求解，最终得到结果。
递归法可以使用编程语言中的递归函数来实现。
迭代法迭代法是一种通过循环计算的方法，逐步生成排列组合的所有可能性。
可以使用循环结构和条件判断来实现迭代法。
以上是排列组合问题的基本解法介绍，具体问题的求解方法可以根据实际情况选择合适的解法。
排列问题排列问题是数学中的一个概念，指的是从给定的一组元素中选择若干个元素并按照一定的顺序排列的问题。
在排列问题中，每个元素只能出现一次。
解决排列问题时，我们需要确定以下几个要素：元素的总数：即给定的一组元素中有多少个元素。
选取元素的个数：即从给定的一组元素中选择多少个元素进行排列。
元素的顺序：即排列中每个元素的位置相对于其他元素的位置。
解决排列问题解决排列问题的基本思路是利用排列的性质进行计算。
以下是解决排列问题的基本步骤：确定元素的总数和选取元素的个数。
计算排列的总数，可以使用排列公式来计算，排列公式如下：排列公式](/____formula.png)其中，n 表示元素的总数，r 表示选取元素的个数。
高中数学之排列组合的解题方法
高中数学之排列组合的解题方法排列组合是高中数学学习中的一大难点，很多学生对排列组合的解题方法及解题思路都不是非常清晰.本文针对高中数学排列组合，提出了对应的解题方法及解题案例，这对更好地完成排列组合相关内容有很大的好处.一、阅读题目大意在解题过程中，首先需要阅读题目.阅读题目是第一步，再有就是分析理解题目大意，理清题目对正确、快速地完成题目有很大的好处.在实际的学习过程中，很多学生对排列组合的相关概念的了解是不够深刻的，这就导致了在解决排列组合相关问题的时候，这部分同学会花费很多不必要的时间.或者这部分同学在写题的过程中无法正确地应用公式，从而导致做题失败.面对这种情况，学生首先要学会读题，以下对高中数学排列组合的相关概念做出解读说明.二、多角度分析排列组合的题目类型是多种多样的，解题方法也是十分多元的.在实际的做题过程中，有的学生可能会对某些解题方法有较高的熟练度，因此会在所有的解题中都使用对应的方法.实际上，这样的做法是非常错误的.这是因为对特定的题目而言，解题方法的不一样会导致题目的思考难度及解题难度不一样.应该从对角度分析，把握题目的关键点，然后再去解答题目，不仅可以运用一种方式解答，也可以应用多元的解题方法解决.以下以实际的案例说明从多角度分析同一题目會有不同的解题方法.捆绑与插空是解决排列组合的两个重要途径.有如下题目：“现有6个人站成一排，A、B分别是其中的两人，求A、B站在一起的所有情况及A、B不能够站在一起的所有情况”.题目中两人站在一起及两人不站在一起看起来很相似，但是实际上是存在本质上的区别的.“A、B站在一起的所有情况”适合用捆绑法来解决，“A、B不能够站在一起的所有情况”适合用插空法来解决，其解题思路分别为：①A、B站在一起，我们可以将A、B当成一个整体，这个整体的站位有两种，分别是A在B的左边和A在B 的右边.在此基础上，我们可以用公式A55×2算出第一种情况的答案.②A、B不站在一起，我们可以在排列结束后对A、B再进行插空处理.这也是说，先让剩余的4个人进行排列，排列的可能数量为A44.由于4个人周围存在五个空，将A、B分别插到不同的空中，这也意味着A、B的插空方案数为A25，因此，整个问题的最后解答方案数为A44×A25.这个问题说明了运用合适方法解题的重要性，在实际的学习过程中，学生需要尽可能多的积累解题方法.三、从细节入手，抓住关键解题排列组合问题一般与实际生活有较强的联系.现阶段高中数学排列组合题目大都以实际的生活为背景，让学生解决此类生活相关的题目.生活是非常复杂的，生活中的限定条件也是非常多的.在做题的过程中，部分同学可能会忽视题目中给出的一些重要细节而失分.以下以具体的案例说明高中数学排列组合题目中对细节的把控.排列组合有这样一道的题目：“0、1、2、3、4、5这6个数可以组成多少个没有重复数字的5位奇数”.这个题目很短，但是很多学生都会忽视其中的一些细节.在做题的过程中，为了更好地把控题目的细节，我们可以将其中的细节一一列出.而这道题目的细节包括：①“0、1、2、3、4、5”有6个数字，现在需要的是一个5位数.②“0”不能够作为一个5位数的开头.③该五位数中不能够有重复的数字.④该五位数为奇数.在列出这些细节后，大部分同学对题解的方法也有了初步的认知.该题的解题方法为：先排列有特殊要求的末位和首位，再对中间位进行排列.对末位进行排列，情况数为C13.对首位进行排列，情况数为C14，最后对中间位进行排列，情况数为A34.因此该题目最后的答案为C13C14A34.在学习排列组合及做排列组合相关题目的时候，高中生一定需要抱有较高的重视度.这是因为此类题目是非常容易出错的.为了更好地解决高中数学排列组合相关的题目，学生可以对文中提到的三个方法进行参考.。
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立体几何中的排列组合问题解法举隅
立体几何中的排列组合问题在近年的高考数学试题中出现的频次较高，且常考常新. 因为解决这类问题不仅要具备排列组合的有关知识，而且还要具备较强的空间想象能力. 因而是一类既富思考情趣，又融众多知识和技巧于一体且综合性强、灵活性高、难度颇大的挑战性问题. 解决这类问题的关键是明确形成几何图形的元素，并与排列组合形成对应关系，转化为排列组合问题，同时还要注意避免重复和遗漏. 下面结合具体例子谈谈这类问题的求解方法，供参考. 一、分步求解
例1 如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线有（ ）
A. 12对
B. 24对
C. 36对
D. 48对
解 由于六棱锥的6条侧棱交于一点, 底面六边形的6条边共面, 因而只能将侧
棱与底边相搭配. 第一步, 从6条侧棱中任取一条有1
6C 种; 第二步, 从底面6
条边中与这条侧棱不相交的4条边中任取一条有14C 种, 由乘法原理知有1416C C =24对, 故选B.
二．分类求解
例2 四边形的一个顶点为A, 从其它顶点与各棱的中点中取3点, 使它们和点A 在同一平面上, 不同取法有( )
A. 30种
B. 33种
C. 36种
D. 39种
解 符合条件的取法可分为两类: ①4个点(含A)在同一个侧面上,有3033
5
C 种；②4个点（含A ）在侧棱与对棱中点的截面上，有3种. 由加法原理知不同取法共有33种，故选B.
例3 将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法种数是＿＿＿＿＿＿.
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解 分三类：
①如果用5种颜色有55A 种染色方法.
②如果用4种颜色，只能是底面四边形相对顶点同色. 如图1，如果A 、C 同色，只要考虑染S 、A 、B 、D 四顶点，有45A 种染法，而B 、D 同色仍有45A 种染
法，用四色共有245A 种染法.
③如果用3种颜色，A 、C 同色，B 、D 同色，只要考虑S 、A 、B 三个顶点，有35A 种染法.
由加法原理知共有55A ＋245A ＋35A ＝420种染法. 三、剔除求解
例4 四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，则不同的取法共有（ ）
A. 150种
B.147种
C.144种
D.141种
解 从10个点中任取4点，有4
10C 种取法，再剔除掉共面的取法.
① 共面的四点在四面体的某一个面内，有46C 种取法，4个面共有446C 种；② 每条棱上的三个点与其对棱的中点四点共面，有6种；③由中位线构成的平行四边形（其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱），它的4个顶点共面，有3种.
故不共面的取法共有410C －446C －6－3＝141种，故选D.
例5 已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1. （1）以正方体顶点为顶点的四面体有多少个？（2）从8个顶点中取出3个顶点，使至少有两个顶点在同一棱上，其取法种数为多少？（3）过8个顶点中任两点的直线与直线A 1B 异面的有多少条？
解 （1）从所有四点的组合中去掉共面的组合，6个表面四点共面，6个对角面四点共面. 所以共有四面体
48C -12＝58个.
图1
B
A
D
C
S
图2
A
B
C D
B 1
D 1
C 1 A 1
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（2）如图2， A 1BD 这样的三点不能满足题意，可以认为这个三点组合与顶点A 对应，正方体有8个顶点，每个顶点对应一个不合题意的三点组合. 所以满足题意的三点取法共有38C －8＝48种.
（3）在8个顶点取2个的组合中，去掉侧面ABB 1A 1中的两点组合有24C 个，再去掉过A 1不在面ABB 1A 1内的四条直线与过B 的4条直线，还要去掉与之平行的D 1C.
所以共有1442
4
28----C C ＝13条. 四、构造模型求解
例6 与空间不共面的四点距离相等的平面有多少个？
解 由题设条件，空间不共面的四点可构成四面体，考虑四面体的四个顶点在所求平面两侧的分布，易知当所求平面位于三棱锥的顶点与底面之间时有4个；当所求平面位于三棱锥相对棱之间时有3个. 故所求平面有7个. 例7 在正方体八个顶点的所有连线中，有多少对异面直线？
解 构造四面体求解，因为四面体的6条棱可构成3对异面直线，从而只要求出正方体的八个顶点可构成几个四面体即可，而这恰好是本文例5（1），故可得到
1743)12(48=⨯-C 对异面直线.
五、联想有关命题求解
例8 以长方体的八个顶点中的任意3个为顶点的所有三角形中，锐角三角形的个数为（ ）
A.0
B.6
C.8
D.24
解 联想课本习题：“将正方体截去一角，求证：截面是锐角三角形. ”易知从长方体的一个顶点出发的三条棱的另3个端点可构成锐角三角形，长方体有8个顶点，从而可构成8个锐角三角形，故选C.
六、综合有关知识求解
例9 以一个正五棱柱的顶点为顶点的四面体共有（ ） A.200个 B.190个 C.185个 D.180个
图3
C
E C 1
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解 正五棱柱共有10个顶点，若每四个顶点构成一个四面体，共可构成4
10C ＝210
个四面体，其中四点在同一平面内的有三类： ① 每一底面的5点中选4点的组合方法有452C 个. ② 5条侧棱中的任意两条棱上的四点有25C 个.
③一个底面的一边与另一个底面相应的一条对角线平行（例如AB ∥E 1C 1），这样
共面的四点共有152C 个.
故四面体的个数为1
5254541022C C C C ---＝180个，故选D.
例10 用正五棱柱的10个顶点中的5个顶点作四棱锥的5个顶点，共可得多少个四棱锥？
解 结合图3，以不同类型的四棱锥的底面分类可得：
① 以棱柱的底面为四棱锥底面的共有245C 1
5C 个. ②以棱柱的侧面为四棱锥底面的共有15C 1
6C 个. ③以棱柱的对角面为四棱锥底面的共有15C 1
6C 个.
④以图3中ABC 1E 1（为等腰梯形）为四棱锥底面的共有215C 1
6C 个. 故可构成的四棱锥共有245C 15C ＋15C 16C ＋15C 16C ＋215C 1
6C ＝170个.
例11 以四棱柱的顶点为顶点的三棱锥有多少个？
解 本题要讨论底面的形状，所求的答案与底面的形状有关. ①若底面不是梯形，也不是平行四边形，则有48C －6－2＝62个. ② 若底面是梯形，则有48C －6－4＝60个. ③ 若底面是平行四边形，则有48C －6－6＝58个. 综上所述，所求三棱锥的个数为62或60或58.
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