考研数学一历年真题完整版
(完整word版)考研数学历年真题(2008-2017年)年数学一
(完整word 版)考研数学历年真题(2008-2017年)年数学一
2017年全国硕士研究生入学统一考试数学（一)试卷
一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要
求的
（1)
若函数10(),0x f x ax
b x ⎧->⎪
=⎨⎪≤⎩
在0x =处连续，则( ) （A)1
2ab =
（B)1
2
ab =- （C)0ab = （D)2ab =
（2）设函数()f x 可导，且()()0f x f x '>则（ ） (A)()()11f f >- (B) ()()11f f <- （C ）()()11f f >-
（D ）()()11f f <-
（3）函数()22,,f x y z x y z =+在点()1,2,0处沿向量()1,2,2n 的方向导数为（ ) （A ）12
(B ）6
（C)4
（D)2
（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m ）处,如下图中，实线表示甲的速度曲线()1v v t = （单位：m/s ）虚线表示乙的速度曲线()2v v t =，三块阴影部分面积的数值依次为10，20，3，计时开始后乙追上甲的时刻记为0t （单位：s ），则( ） （A ）010t = (B)01520t <<
(C)025t = (D ）025t >
()
s
（5)设α为n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则( ） （A ） T E αα-不可逆 (B ） T E αα+不可逆 (C) 2T E αα+不可逆
考研数学一真题(WORD清晰版)
2021 考研数学〔一〕真题完整版
一、选择题： 1～8 小题，每题 4 分，共 32 分，以下每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上 .
〔1〕假设反常积分
1b dx 收敛，那么
〔〕0
x a 1x
A a 1且b 1
B a 1且b
1 C a 1且a b 1 D a 1且 a b 1
〔2〕函数f x 2x 1 , x1，那么
f x的一个原函数是〔〕ln x, x1
x12
1x
2
1
A F x
, x
B F x
1 , x
x ln x 1 , x 1x ln x 1 1, x 1 x1
2
1
2
, x1
C F x
, x
D F x
x 1
x ln x 1 1, x 1x ln x 1 1, x 1
〔3〕假设y1 x2 21x2 , y1x221x2是微分方程y p x y q x 的两个解，那么
q x〔〕
A 3x 1 x2
B 3x 1 x2C
1x D
1
x x2x2
x, x0
〔4〕函数f x111，那么〔〕
,x,n 1,2,
n n1n
〔A 〕x0 是f x 的第一类间断点〔B〕x0 是f x的第二类间断点〔C〕f x 在x0 处连续但不可导〔D 〕f x 在x0 处可导
〔5〕设 A， B 是可逆矩阵，且A 与 B 相似，那么以下结论错误的选项是
〔〕
〔A 〕A T与B T相似〔 B 〕A1与B1相似〔C〕A A T与B B T相似〔D 〕A A1与B B1相似
〔6〕设二次型f x1, x2 , x3x12x22x324x1 x24x1 x34x2 x3，那
么 f x1 , x2 , x3 2 在
历年考研数学一真题及答案
（经典珍藏版）
1987年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)
(1)当 =_____________时,函数 取得极小值.
(2)由曲线 与两直线 及 所围成的平面图形的面积是_____________.
六、（本题满分10分）
求幂级数 的收敛域，并求其和函数.
七、（本题满分10分）
求曲面积分
其中 是由曲线 绕 轴旋转一周而成的曲面,其法向量与 轴正向的夹角恒大于
八、（本题满分10分）
设函数 在闭区间 上可微,对于 上的每一个 函数 的值都在开区间 内,且 1,证明在 内有且仅有一个 使得
九、（本题满分8分）
十一、（本题满分6分）
设二维随机变量 在区域 内服从均匀分布,求关于 的边缘概率密度函数及随机变量 的方差
1991年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)
(1)设 ,则 =_____________.
(2)由方程 所确定的函数 在点 处的全微分 =_____________.
十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)
(1)已知随机变量 的概率密度函数
考研数学一真题 附答案
x0 x x0 x
x
（2） f ( x) u1( x)u2( x) un( x)
进行比较，可得，在点 x 2, y 1或 x 1, y 2 处，方向导数取到最大，
D
4
2sin 2
1 1 1 1
5．设矩阵 A 1 2
a
,
b
d
，若集合
1, 2
，则线性方程组
1 4 a2 d 2
Ax b 有无穷多解的充分必要条件是
1
（ Ａ ）
3
d
sin 2 1
f (r cos , r sin )rdr
4
2sin 2
1
3
d
sin 2 1
f (r cos , r sin )rdr
02
1 2
02
13． n 阶行列式
．
00
22
00
1 2
11 ． 若 函 数 z z( x, y)是 由 方 程 ez x y z xc o s x2 确 定 ， 则
【详解】按照第一行展开，得 Dn 2Dn1 (1)n12(1)n1 2Dn1 2 ，有
dz |(0,1)
．
Dn 2 2(Dn1 2)
【 10详 ．解2】2 lx1ims0icnlnoxs(cxxo2sxx)
lim x0
dx
2023年全国硕士研究生招生考试《数学一》真题试卷【完整版】(文末含答案解析)
2023年全国硕士研究生招生考试《数学一》真题试卷【完整版】
一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将所选选项前的字母填在答题卡指定位置。
1．曲线1ln 1y x e x ⎛⎫
=+
⎪-⎝⎭
的渐近线方程为（ ）
。 A ．y ＝x ＋e B ．y ＝x ＋1/e C ．y ＝x
D ．y ＝x －1/e
2．已知微分方程式y ′′＋ay ′＋by ＝0的解在（－∞，＋∞）上有界，则（ ）。 A ．a ＜0，b ＞0 B ．a ＞0，b ＞0 C ．a ＝0，b ＞0 D ．a ＝0，b ＜0
3．设函数y ＝f （x ）由2sin x t t
y t t
⎧=+⎪⎨
=⎪⎩确定，则（ ）。
A ．f （x ）连续，f′（0）不存在
B ．f′（0）存在，f′（x ）在x ＝0处不连续
C ．f′（x ）连续，f′′（0）不存在
D ．f′′（0）存在，f′′（x ）在x ＝0处不连续
4．已知a n ＜b n （n ＝1，2，...），若级数1
n
n a
∞
=∑与
1
n
n b
∞
=∑均收敛，则“级数
1
n
n a
∞
=∑绝对收敛”是“
1
n
n b
∞
=∑绝对收敛”的（ ）。
A ．充分必要条件
B ．充分不必要条件
C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
5．已知n 阶矩阵A ，B ，C 满足ABC ＝0，E 为n 阶单位矩阵，记矩阵0A BC E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，0AB C E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，0E AB AB ⎛⎫ ⎪⎝⎭
的秩分别为γ1，γ2，γ3，则（ ）。 A ．γ1≤γ2≤γ3 B ．γ1≤γ3≤γ2 C ．γ3≤γ1≤γ2 D ．γ2≤γ1≤γ3
(完整版)考研数一真题和答案
2018年全国硕士研究生入学统一考试
数学一考研真题与全面解析
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只
有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．
指定位置上. 1.下列函数中在0x =处不可导的是（） （A ）()sin f x x x =（B
）()f x x =（C ）()cos f x x =（D
）()f x =2.过点(1,0,0)，(0,1,0)，且与曲面22z x y =+相切的平面为（）
（A ）01z x y z =+-=与（B ）022z x y z =+-=与2
（C ）1x y x y z =+-=与（D ）22x y x y z =+-=与2
3.023
(1)(21)!
n
n n n ∞
=+-=+∑（）
4.设2
2
22(1)1x M dx x
π
π-
+=+⎰，2
21x x N dx e ππ-+=⎰
，22(1K dx π
π-=+⎰，则（） （A ）M N K >>（B ）M K N >> （C ）K
M N >>（D ）K N M >>
5.下列矩阵中阵，与矩阵110011001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
相似的是（） （A ）111011001-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（B ）101011001-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（C ）111010001-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（D ）101010001-⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
6.设,A B 是n 阶矩阵，记()r X 为矩阵X 的秩，(,)X Y 表示分块矩阵，则（） （A ）(,)()r A AB r A =（B ）(,)()r A BA r A =
(WORD)-历年考研数学一真题及答案(1987-2014)_图文
经典文
历年考研数学一真题及答案(1987-2014)_图文
历年考研数学一真题1987-2014
（经典珍藏版）
1987年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)
(1)当x=_____________时,函数y x2x取得极小值.
(2)由曲线y lnx与两直线y e1x及y0所围成的平
面图形的面积是_____________.
1x
(3)与两直线y1t
z2t
及
x1y12z 1
1 1
都平行且过原点的平面方程为
_____________.
(4)设
为取正向的圆周x2
y2
9,则曲线积分
L
(2xy2y)dx(x24x)dy= _____________.
(5)已知三维向量空间的基底为
α1(1,1,0),α2(1,0,1),α3(0,1,1),则向量β(2,0,0)在此基底下的
坐标是_____________.
二、(本题满分8分)
求正的常数a与b,使等式lim1x2
x0bx sinx0
1成立.
三、(本题满分7分)
(1)设f、g为连续可微函数,u
f(x,xy),v g(x xy),
求
u x,v x
. (2)设矩阵
和
B
满足关系式
AB=A2B,
其中
301
A110,求矩阵B.
401
四、(本题满分8分)
求微分方程y6y(9a2)y1的通解,其中常数a0.
五、选择题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设lim
f(x)f(a)
x a
(x a)
2
1,则在x a处 (A)f(x)的导数存在,且f(a)0 (B)f(x)取
考研数学(一)历年真题(1990-2021)无水印
1990年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)
2
x t =-+(1)过点(1,21)M -且与直线
34y t =-垂直的平面方程是_____________.
1
z t =-(2)设a 为非零常数,则lim(
x
x x a x a
→∞
+-=_____________.(3)设函数()f x =
1
01
1
x x ≤>,则[()]f f x =_____________.
(4)积分
2
2
2
e y x
dx dy -⎰
⎰的值等于_____________.
(5)已知向量组1234(1,2,3,4),(2,3,4,5),(3,4,5,6),(4,5,6,7),====αααα则该向量组的秩是_____________.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(1)设()f x 是连续函数,且e ()(),x
x
F x f t dt -=⎰
则()F x '等于
(A)e (e )()x
x f f x ----(B)e (e )()
x
x f f x ---+(C)e
(e )()
x x f f x ---(D)e
(e )()
x
x f f x --+(2)已知函数()f x 具有任意阶导数,且2
()[()],f x f x '=则当n 为大于2的正整数时
,()f x 的n 阶导数()()n f x 是
(A)1
![()]n n f x +(B)1
(1987-2016)历年考研数学一真题及答案
.
13. 行列式
λ −1 0 0 0 λ −1 0 0 0 λ −1 4 3 2 λ+1
= λ4 + λ3 + 2λ2 + 3λ + 4 .
14. 设 X1, X2, · · · , Xn 为来自总体 N (µ, σ2) 的简单随机样本, 样本均值 X = 9.5, 参数 µ 的置信度为 0.95 的双侧置信区间的置信上限为 10.8, 则 µ 的置信度为 0.95 的双侧 置信区间为 (8.2, 10.8) .
( I ) 解 | λE − A | = λ (λ + 1) (λ + 2), λ1 = −2 对应的特征向量为 (1, 2, 0)T,
λ2 = −1 对应的特征向量为 (1, 1, 0)T, λ3 = 0 对应的特征向量为 (3, 2, 2)T.
113
−2 0 0
令 P = 2 1 2 , 则有 P −1AP = 0 −1 0 =令 Λ,
三、解答题：15 ∼ 23 小题, 共 94 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本题满分 10 分）
已知平面区域
D
=
{ (r,
θ)
|
2
⩽
r
⩽
2(1
+ cosθ),
π −
⩽
θ
⩽
历年考研数学一真题及答案
历年考研数学一真题及
答案
IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】
历年考研数学一真题1987-2014
（经典珍藏版）
1987年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)
(1)当x =_____________时,函数2x
y x =⋅取得极小值. (2)由曲线ln y x =与两直线e 1y x =+-及0y =所围成的平面
图形的面积是_____________. (3)与两直线 1y t
=-+
及121
1
11
x y z +++=
=
都平行且过原点的平面方程为_____________. (4)设L 为取正向的圆周229,x y +=则曲线积分
2(22)(4)L
xy y dx x x dy -+-⎰
= _____________.
(5)已知三维向量空间的基底为123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),===ααα则向量
(2,0,0)=β在此基底下的坐标是_____________.
二、(本题满分8分)
求正的常数a 与,b
使等式2
01lim 1sin x x bx x →=-⎰成立. 三、(本题满分7分)
(1)设f 、g 为连续可微函数,(,),(),u f x xy v g x xy ==+求,.u v x x
∂∂∂∂
(2)设矩阵A 和B 满足关系式2,+AB =A B 其中301110,014⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
A 求矩阵.
B 四、(本题满分8分)
历年考研数学(一)试题及详细答案解析
x
x
x
+ +
考研数学一试题分析、详解和评注
一、选择题：(本题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)
2
（1）设函数 f (x ) = ⎰
ln(2 +
t )dt ，则 f '(x ) 的零点个数为【 】 (A) 0. (B) 1.
(C) 2. (D) 3．
【答案】应选(B).
【详解】 f '(x ) = ln(2 + x 2
) ⋅ 2x = 2x ln(2 + x 2
) ．
显然 f '(x ) 在区间(-∞, +∞) 上连续，且 f '(-1) ∙ f '(1) = (-2ln 3) ∙ (2ln 3) < 0 ，由零点定理，知 f '(x ) 至少有一个零点．
又 f ''(x ) = 2 ln(2 + x 2
) + 4x 2
2 + x 2
> 0 ，恒大于零，所以 f '(x ) 在 (-∞, +∞) 上是单调递增
的．又因为 f '(0) = 0 ，根据其单调性可知， f '(x ) 至多有一个零
点． 故 f '(x ) 有且只有一个零点．故应选(B). （2）函数 f (x , y ) = arctan
x 在点(0,1)处的梯度等于【 】
y
(A)i (B)
- i .
(C)
j . (D) - j .
【答案】 应选(A).
1 - x ∂f
=
y
=
y ∂f
=
y 2
=
-x 【详解】因为
∂x 2
1 y
2 ． x 2
+ y
2
∂y
2
1 y
2 ．
x 2
+ y 2
∂f
所以
∂x (0,1)
= 1，
(0,1)
历考研数学一真题及答案
历年考研数学一真题1987-2014
（经典珍藏版）
1987年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)
(1)当x =_____________时,函数2x
y x =⋅取得极小值. (2)由曲线ln y x =与两直线
e 1y x =+-及0y =所围成
的平面图形的面积是_____________.
1x
=
(3)与两直线
1y t
=-+
2z t =+
及
121
111
x y z +++==都平行且过原点的平面方程为
_____________. (4)设
L
为取正向的圆周229,x y +=则曲线积分
2
(22)(4)L
xy y dx x x dy -+-⎰
Ñ= _____________. (5)已知三维向量空间的基底为123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),===ααα则向量(2,0,0)=β在此基底下的坐标是_____________.
二、(本题满分8分)
求正的常数a 与,b
使等式2
01lim 1sin x x bx x →=-⎰成立.
三、(本题满分7分)
(1)设f 、g 为连续可微函数,(,),(),u f x xy v g x xy ==+求
,.u v
x x
∂∂∂∂ (2)设矩阵A 和B 满足关系式2,+AB =A B 其中301110,014⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
A 求矩阵.B
四、(本题满分8分)
求微分方程2
6(9)1y y a y ''''''+++=的通解,其中常数0.a >
五、选择题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设2
历年考研数一真题及答案
历年考研数一真题及答案
【篇一：历年考研数学一真题及答案(1987-2013)】ss=txt>数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)
(1)?=_____________.
(2)曲面x2?2y2?3z2?21在点(1,?2,?2)的法线方程为
_____________.
(3)微分方程xy???3y??0的通解为_____________.
?12
1?(4)已知方程组??23a?2???x1??1?x???3??1a?2???2无解,则a
= ???????x3????0??
_____________.
(5)设两个相互独立的事件a和b都不发生的概率为
1
9
,a发生b不发生的概率与b发生a不发生的概率相等,则
p(a)=_____________.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把
所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设
f(x)
、
g(x)
是恒大于零的可导函数,且
f?(x)g(x)?f(x)g?(x)?0,则当a?x?b时,有
(a)f(x)g(b)?f(b)g(x)(b)f(x)g(a)?
f(a)g(x)(c)f(x)g(x)?f(b)g(b)
(d)f(x)g(x)?
f(a)g(a)
(2)设s:x2?y2?z2?a2(z?0),s1为s在第一卦限中的部分,则有
(a)??xds?4s
??xds
s1
(b)??yds?4??xds
s
s1
(c)??zds?4??xds
s
s1
(d)??xyzds?4??xyzds
考研数学历年真题(2000-2010)年数学一1
2000年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)
1
20
2x x dx -⎰
=_____________.
(2)曲面2
2
2
2321x y z ++=在点(1,2,2)--的法线方程为_____________.
(3)微分方程30xy y '''+=的通解为_____________.
(4)已知方程组12312
112323120x a x a x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥
+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦
无解,则a = _____________.
(5)设两个相互独立的事件A 和B 都不发生的概率为1
9
,A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概
率相等,则()P A =_____________.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(1)设()f x 、()g x 是恒大于零的可导函数,且()()()()0f x g x f x g x ''-<,则当a x b <<时,有 (A)()()()()f x g b f b g x > (B)()()()()f x g a f a g x >
(C)()()()()f x g x f b g b >
(D)()()()()f x g x f a g a >
(2)设22221:(0),S x y z a z S ++=≥为S 在第一卦限中的部分,则有 (A)1
历年考研数一真题及答案
历年考研数一真题及答案
【篇一：历年考研数学一真题及答案(1987-2013)】ss=txt>数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)
(1)?=_____________.
(2)曲面x2?2y2?3z2?21在点(1,?2,?2)的法线方程为
_____________.
(3)微分方程xy???3y??0的通解为_____________.
?12
1?(4)已知方程组??23a?2???x1??1?x???3??1a?2???2无解,则a
= ???????x3????0??
_____________.
(5)设两个相互独立的事件a和b都不发生的概率为
1
9
,a发生b不发生的概率与b发生a不发生的概率相等,则
p(a)=_____________.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把
所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设
f(x)
、
g(x)
是恒大于零的可导函数,且
f?(x)g(x)?f(x)g?(x)?0,则当a?x?b时,有
(a)f(x)g(b)?f(b)g(x)(b)f(x)g(a)?
f(a)g(x)(c)f(x)g(x)?f(b)g(b)
(d)f(x)g(x)?
f(a)g(a)
(2)设s:x2?y2?z2?a2(z?0),s1为s在第一卦限中的部分,则有
(a)??xds?4s
??xds
s1
(b)??yds?4??xds
s
s1
(c)??zds?4??xds
s
s1
(d)??xyzds?4??xyzds
2000-历年考研数学一真题(答案+解析)
--
历年考研数学一真题1987-2017
（答案+解析）
(经典珍藏版)最近三年＋回顾过去 最近三年篇（2015－2０17）
2０15年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、选择题 1—8小题．每小题４分,共3２分.
１.设函数()f x 在(,)-∞+∞上连续,其二阶导数()f x ''的图形如右图所示，则曲线()y f x =在(,)-∞+∞的拐点个数为
（A ）0 （Ｂ)1 (C)２ （D)３
【详解】对于连续函数的曲线而言，拐点处的二阶导数等于零或者不存在．从图上可以看出有两个二阶导数等于零的点,以及一个二阶导数不存在的点0x =.但对于这三个点,左边的二阶导数等于零的点的两侧二阶导数都是正的，所以对应的点不是拐点.而另外两个点的两侧二阶导数是异号的,对应的点才是拐点，所以应该选(C)
2.设211
23
()x x y e x e =
+-是二阶常系数非齐次线性微分方程x y ay by ce '''++=的一个特解，则
(Ａ)321,,a b c =-==- (B ）321,,a b c ===- （C)321,,a b c =-== (D)321,,a b c ===
【详解】线性微分方程的特征方程为2
0r ar b ++=,由特解可知12r =一
定是特征方程的一个实根.如果21r =不是特征方程的实根，则对应于
()x f x ce =的特解的形式应该为()x Q x e ,其中()Q x 应该是一个零次多
项式，即常数，与条件不符,所以21r =也是特征方程的另外一个实根，这样由韦达定理可得
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2000年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)
(1)
⎰
=_____________.
(2)曲面2
2
2
2321x y z ++=在点(1,2,2)--的法线方程为_____________. (3)微分方程30xy y '''+=的通解为_____________.
(4)已知方程组12312
112323120x a x a x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦
无解,则a = _____________. (5)设两个相互独立的事件A 和B 都不发生的概率为1
9
,A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相等,则()P A =_____________.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(1)设()f x 、()g x 是恒大于零的可导函数,且()()()()0f x g x f x g x ''-<,则当
a x
b <<时,有
(A)()()()()f x g b f b g x > (B)()()()()f x g a f a g x >
(C)()()()()f x g x f b g b >
(D)()()()()f x g x f a g a >
(2)设22221:(0),S x y z a z S ++=≥为S 在第一卦限中的部分,则有 (A)1
4S
S xdS xdS =⎰⎰⎰⎰
(B)1
4S
S ydS xdS =⎰⎰⎰⎰
(C)
1
4S
S zdS xdS =⎰⎰⎰⎰
(D)
1
4S
S xyzdS xyzdS =⎰⎰⎰⎰
(3)设级数
1
n
n u
∞
=∑收敛,则必收敛的级数为
(A)1
(1)n
n n u
n ∞
=-∑
(B)
2
1n
n u
∞
=∑
(C)
21
21
()n n n u
u ∞
-=-∑
(D)
11
()n
n n u
u ∞
+=+∑
(4)设n 维列向量组1,,()m m n <αα线性无关,则n 维列向量组1,,m ββ线性无关的充
分必要条件为
(A)向量组1,,m αα可由向量组1,,m ββ线性表示 (B)向量组1,,m ββ可由向量组1,,m αα线性表示
(C)向量组1,
,m αα与向量组1,
,m ββ等价
(D)矩阵1(,,)m =A αα与矩阵1(,,)m =B ββ等价
(5)设二维随机变量(,)X Y 服从二维正态分布,则随机变量X Y ξ=+与 X Y η=-不相关的充分必要条件为
(A)()()E X E Y =
(B)2
2
2
2
()[()]()[()]E X E X E Y E Y -=-
(C)2
2
()()E X E Y =
(D)22
2
2
()[()]()[()]E X E X E Y E Y +=+
三、(本题满分6分)
求142e sin lim(
).1e
x
x x
x
x
→∞
++
+
四、(本题满分5分)
设(,)()x x z f xy g y y =+,其中f 具有二阶连续偏导数,g 具有二阶连续导数,求2.z
x y
∂∂∂
五、(本题满分6分)
计算曲线积分224L xdy ydx
I x y -=
+⎰,其中L 是以点(1,0)为中心,R 为半径的圆周(1),
R >取逆时针方向.
六、(本题满分7分)
设对于半空间0x >内任意的光滑有向封闭曲面,S 都有
2()()e
0,x
S
xf x dydz xyf x dzdx zdxdy --=⎰⎰其中函数()f x 在(0,)+∞内具有连续的一阶
导数,且0
lim ()1,x f x +
→=求()f x .
七、(本题满分6分) 求幂级数113(2)
n
n n
n x n ∞
=+-∑的收敛区间,并讨论该区间端点处的收敛性.
八、(本题满分7分)
设有一半径为R 的球体0,P 是此球的表面上的一个定点,球体上任一点的密度与该点到
0P 距离的平方成正比(比例常数0k >),求球体的重心位置.
九、(本题满分6分)
设函数()f x 在[0,]π上连续,且
()0,()cos 0.f x dx f x xdx π
π
==⎰
⎰试证:在(0,)π内至
少存在两个不同的点12,,ξξ使12()()0.f f ξξ==
十、(本题满分6分)
设矩阵A 的伴随矩阵*10000100,
10
100308⎡⎤⎢⎥⎢
⎥=⎢⎥⎢
⎥-⎣⎦
A 且113--=+ABA BA E ,其中E 为4阶单位矩阵,求矩阵
B .
十一、(本题满分8分)
某适应性生产线每年1月份进行熟练工与非熟练工的人数统计,然后将
1
6
熟练工支援其他生产部门,其缺额由招收新的非熟练工补齐.新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有
2
5
成为熟练工.设第n 年1月份统计的熟练工与非熟练工所占百分比分别为n x 和,n y 记成向