最优控制理论课件(1)

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最优控制理论课件

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最优控制问题
1.1 两个例子
例1.1 飞船软着陆问题
软着陆 过程开 始时刻 t 为零
h& v
v& u g m
m& K u
m 飞船的质量 h 高度 v 垂直速度 g 月球重力加速度常数 M 飞船自身质量 F 燃料的质量 K 为常数
初始状态 h(0) h0 v(0) v0 m(0)MF
f(x(t),u(t),t) 为n维向量函数
22.03.2020
现代控制理论
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最优控制问题
1.2 问题描述
(1) 状态方程 一般形式为
x&(t) f (x(t),u(t),t)
x(t) Rn
x(t)|tt0 x0
为n维状态向量
u(t) Rr
为r 维控制向量
f(x(t),u(t),t) 为n维向量函数
求解最优控制的变分方法
泛函与函数的几何解释
22.03.2020
现代控制理论
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求解最优控制的变分方法
泛函与函数的几何解释
宗量的变分
x(t)x(t)x(t)
22.03.2020
现代控制理论
51
求解最优控制的变分方法
泛函与函数的几何解释
宗量的变分
x(t)x(t)x(t)
泛函的增量 J ( x ( g ) ) J ( x ( g ) x ) J ( x ( g ) ) L ( x , x ) r ( x , x )
J x ( T ) ,y ( T ) ,x & ( T ) ,y & ( T ) x & ( T )
控制
(t)
22.03.2020
现代控制理论

高等教育《最优控制理论》课件 第一章

高等教育《最优控制理论》课件 第一章

& xL xL & x M xM
x = xL − xM
则拦截器与目标的相对运动方程为:
& & v = xL − xM
F (t ) m(t ) F (t ) & m=− c & x=v
& v = a (t ) +
其中a(t)是除控制加速度外的固有相对加速度,是已知的。 初始条件为: x (t 0 ) = x 0
1-2 最优控制问题的实例
例1.1月球上的软着陆问题 飞船靠其发动机产生一与月球重力方向相反的推力 u(t),以使飞船在月球表面实现软着陆,要寻求发动 机推力的最优控制规律,以便使燃料的消耗为最少。 设飞船质量为m(t),高度为h(t),垂直速度为v(t),发 动机推力为u(t),月球表面的重力加速度为常数g。设 不带燃料的飞船质量为M, 初始燃料的总质量为 F.初始高度为h0,初始的垂直速度为v0,那么飞船的 运动方程式可以表示为:
5:最优控制的提法 已知受控系统的状态方程及给定的初态
& X (t ) = f ( X (t ), u (t ), t )
X (t 0 ) = X (0)
规定的目标集为M,求一容许控制u(t)∈U,t∈ [t0,tf],使系统从给定的初态出发, 在tf >t0时刻转移到目标集M,并使性能指标
J = θ(x (t f ), t f ) ∫ F(x(t ), u (t ), t ) dt +
3:容许控制 在实际控制问题中,大多数控制量受客观条件的限制,只能在一定范围内取 值,这种限制通常可以用如下不等式约束来表示:
0 ≤ u (t ) ≤ u max
或 ui ≤ α
i = 1,2L p

最优控制与最优理论课件1

最优控制与最优理论课件1

x
—可以详细的做线性搜索,但是这将非常耗时。 该过程通常需要快速,精确并且简单。 ◊ 尤其是你对所选择的
pk 值不确定
1-11
线性搜索
• 考虑一个简单的问题: F ( x1, x2 ) x1
2 2 x1x2 x2
1 x0 1
0 1 p0 x1 x0 p0 2 1 2
则称点 x* 是函数 F ( x* )的强最小点。 —弱:目标函数在一些方向上保持相同,并且只在其他方向上局部增加。 如果 x 不是一个强最小点,且标量 0 ,存在类似 F ( x* ) F ( x* x) ,对所有的 x * 有 0 x ,则称点 x 是函数 F ( x) 的弱最小点。
̶ 从 x [1.9 2] 处开始,已知全局最小值是 x [1 1] • 拟牛顿法做得很好-在迭代了26次后得到了最优解(调用35次),但是梯度搜索(最速下 降)却做得不好(尽管很接近),调用函数2000次,迭代了550次
1-22
图1.5 算法是如何工作的
1-23
1-24
1-25
Rosenblock with BFGS
* *
,这样才能
充分确保 F ( x* x) F ( x* ) 。 —对于任意的 x
0 ,充分条件是 G( x* ) 0 (PD)。
• 对于强最小值的二阶必要条件是 G( x* ) 0 (PSD),因为在这种情况下展开式中的更高 阶项很重要。例如:
xT G( x* )x 0
在合理的时间内能否保证可以找到一个好的答案--答案是可以,但不是一直能 保证的。
1-27
图1.7:初始环境下函数的一个点的收敛性是如何变化的

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m 飞船的质量 h 高度 v 垂直速度 g 月球重力加速度常数 M 飞船自身质量 F 燃料的质量 K 为常数
初始状态 终点条件
h(0) h0 h(T ) 0
v(0) v0 v(T ) 0
m(0) M F
控制目标
J m(T )
推力方案
0 u(t) umax
2019年11月25日星期一
指标
J x(T), y(T), x(T), y(T) x(T)
2019年11月25日星期一
现代控制理论
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最优控制问题
例1.2
导弹发射问题
x F (t) cos (t)
m
y F (t) sin (t)
m
初始条件 x(0) 0 y(0) 0 x(0) 0
2019年11月25日星期一
现代控制理论
1
最优控制理论
东北大学信息科学与工程学院 井元伟教授
二○○九年十一月
2019年11月25日星期一
2
第1章 题第2章 法第3章 第理4章 划第5章 制 第6章 统
最优控制问 求解最优控制的变分方 最大值原 动态规 线性二次型性能指标的最优控 快速控制系
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现代控制理论
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最优控制问题
例1.2 导弹发射问题
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现代控制理论
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最优控制问题
例1.2 导弹发射问题
最优控制问题
例1.2
导弹发射问题
x F (t) cos (t)
m
y F (t) sin (t)
m
2019年11月25日星期一

最优化理论与最优控制.ppt

最优化理论与最优控制.ppt
通常又称为参数最优化问题。 即:最优控制变量与时间t没关系或说 在 所研究的时间区域内为常数。 目标函数:多元的普通函数。 最优解:古典微分法对普通函数求极值方法完成。
静态最优化方法:
a. 解 析法(间接法) 无约束条件 有约束条件
b. 数值计算法(直接法) 区间消去法
黄金分割法(0.618法) 插值法
2) 有关数学模型中变量的边界条件,即系统的初态和终态,
即 确定:X (t0 ) ,X (t f ) 。
一个动态过程,归根到底,是状态空间中的状态由初态
课程参考教材:1 系统最优化及控制 付曦 著 机械工业出版社 电气自动化新丛书
2 最优控制理论及应用 解学书著 清华大学 出
版社
第一章
容,是现代理论的一个 研究热点和中心话题。
现代控制理论:以多变量系统控制、最优控制、系统辩识为 主要内容,最优控制发展早。20世纪60年 代,现代控制理论才得以迅速发展。我国 著名学者:钱学森 1945年编著的《工程
研究和解决如何从一切可能的方案中寻找最优方案, 其间包括以下任务 1)根据所提出的最优化问题,建立最优化问题数学模型。
确定变量,列出约束条件,确定目标函数(性能指标) 2) 模型分析,选择合适的最优化求解方法。 3)根据选定的最优化算法,编程,求解 。
最优化的基本问题: 就是寻找一个最优的控制方案或控制规律,使所研究
2)动态规划法和最优化原理 3)极大值原理
总结:最优控制是现代控制理论的核心,它的主要内容是: 在满足一定的约束条件下,根据控制系统的数学模型,寻求最 优控制,使目标函数为极大或极小。 用最优控制设计系统与传统解析法相比,特点如下:
1) 适用于多变量,非线性,时变系统的设计 2) 初始条件可任意 3) 可以满足多个目标函数的要求,并可用于多个约束的情 况 4) 便于计算机求解

最优控制理论PPT课件-48页PPT精品文档

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u t R p 为 控 制 向 量 , 且 u t 在 t 0 , t f 上 分 段 连 续 ;
f R n 为 连 续 向 量 函 数 , x t 连 续 可 微
2.初态和终态: xt0,xtf S目标集
3.容许控制 : ut — 控 制 域
§6-2 最优控制中的变分法

代 泛函变分的求法

制 理 论
定理: J x 的变 J J 分 x x | 0, (0 1 )
性质:1 .F 1 F 2 F 1 F 2
2 .F 1 F 2 F 1 F 2 F 2 F 1
理 论
L x t,x r x t,x
其L 中 xt,x— J的线性函数
rxt,x— J的高阶无穷小
则L 称 xt,x为泛 Jxt函 的一阶变 J 分
泛函变分是泛函增量的线性主部
Modern Control Theory
Page: 9
2 1 2a1ta2
ua1ta2
这里 a1、a2 为常数
由 x2 udt 得: x2t1 2a1t2a2ta3
Modern Control Theory
Page: 21
§ 6-4 有约束条件下的泛函数极值问题

代 控
由 x1 x2dt 得:x 1 t 1 6 a 1 t3 1 2 a 2 t2 a 3 t a 4

代 控
当 t0 和 tf给 定 时 , x t0 和 x tf 是 否 定 还 是 自 由 , 可 分 四 种
制 情 况 :
理 论 (1) 固定始端和终端
x(t)
即 x t 0 和 x t f 给 定 x t 0 0 ,x t f 0

最优控制 经典ppt

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Department of Automation School of Information Science & Engineering Central South University Changsha, Hunan, 410083, China
1
Contents
Chapter 1 Introduction
According to the principle of optimality, if the N -stage decision VN [ x (0)] is optimal,
then the ( N − 1)-stage decision VN −1 [ x(1) ] , regarding the x(1) resulting from x(0)
Recurrently solving from final state:
V (F ) = 0
⎧V (a3 ) = 4 ⎪ ⎨V (b3 ) = 6 ⎪V (c ) = 8 ⎩ 3
⎧V (a2 ) = min { L ( a2 → V (a3 ) ) , L ( a2 → V (b3 ) ) , L ( a2 → V (c3 ) )} = 10 ⎪ ⎪ ⎨V (b2 ) = min { L ( b2 → V (a3 ) ) , L ( b2 → V (b3 ) ) , L ( b2 → V (c3 ) )} = 9 ⎪ ⎪V (c2 ) = min { L ( c2 → V (a3 ) ) , L ( c2 → V (b3 ) ) , L ( c2 → V (c3 ) )} = 8 ⎩
7
V ( S ) = min {L ( S → V ( a1 ) ) , L ( S → V (b1 ) ) , L ( S → V ( c1 ) )} = 12

最优化理论与最优控制.ppt

最优化理论与最优控制.ppt
例题分析:[数学描述] 登月火箭到达月球表面时的软着陆问题:
火箭飞行的最后阶段,进入了月球的引力范围,当火箭 垂直自由降落到距离月球表面为h的地方时,要求火箭 速度为0,并且燃料消耗为最小。
t=t0
mg 火箭
F(制动力)
月球表面 分析:在火箭速度降为0之前,
制动力 F K dm 与燃料消耗成正比 dt
J是控制u(t)的函数,通常表示为:J [u (t )]
J[u] 的几种形式:
<1> 积分型性能指标:
J[u] t f L[x(t), u(t), t]dt t0
<2> 末值型性能指标:
J[u] [x(t f ), t f ]
<3> 综合型性能指标:
J[u] [x(t f ), t f ]
版社
第一章
绪论
最优控制属于现代控制技术的核心内容,是现代理论的一个 研究热点和中心话题。
现代控制理论:以多变量系统控制、最优控制、系统辩识为 主要内容,最优控制发展早。20世纪60年 代,现代控制理论才得以迅速发展。我国 著名学者:钱学森 1945年编著的《工程
控 制论》直接促进了最优控制理论的发展和 形成。
确定变量,列出约束条件,确定目标函数(性能指标) 2) 模型分析,选择合适的最优化求解方法。 3)根据选定的最优化算法,编程,求解 。
最优化的基本问题: 就是寻找一个最优的控制方案或控制规律,使所研究
的对象(或系统)能最优地达到预期的目标。
例如:1 温度控制系态。
缺点:系统设计不是最优的,所得结果不是唯一解。
改进:解析法:力求使设计的系统按一定指标要求来达到 最 二) 解析法:
优,从这个意义上讲,解析法比古典法更前进一步 。核心:目标函数为最小。

最优控制理论PPT课件

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生产计划与调度
在企业生产管理中,利用 最优控制理论对生产计划 和调度进行优化,提高生 产效率和降低成本。
08
总结与展望
最优控制理论的重要性和应用前景
总结
最优控制理论是现代控制理论的重要组成部分,它在解决复杂系统的优化和控制问题方面 具有显著的优势。该理论通过数学模型和算法,寻求在给定条件下实现系统性能最优化的 控制策略。
非线性最优控制理论
20世纪70年代,基于微分几何、非 线性分析和最优控制问题的研究。
智能优化算法与最优控制
20世纪80年代,考虑系统不确定性 ,引入概率论和随机过程理论。
03
最优控制问题的数学模型
状态方程与性能指标
状态方程
描述系统动态行为的数学方程,通常表示为状态变量对时间 的导数等于其函数。
性能指标
态。这种控制策略的关键在于如何根据当前状态信息快速、准确地计算出最优控制输入。
离散系统的最优输出反馈控制
总结词
离散系统的最优输出反馈控制是一种基 于系统输出的反馈控制策略,通过最优 控制算法计算出在当前输出下的最优控 制输入,使得系统状态在有限时间内达 到预期目标。
VS
详细描述
离散系统的最优输出反馈控制是一种有效 的最优控制策略,它根据系统的输出信息 ,通过最优控制算法计算出在当前输出下 的最优控制输入,使得系统状态在有限的 时间步内以最优的方式达到目标状态。这 种控制策略的关键在于如何根据输出信息 快速、准确地计算出最优控制输入。
控制问题分类
确定性和不确定性控制、线性与 非线性控制、连续和离散控制等 。
重要性及应用领域
重要性
在实际工程和科学问题中,许多问题 都需要通过最优控制理论来解决,如 航天器轨道控制、机器人运动控制、 电力系统优化等。
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初始条件 x(0) 0 y(0) 0 x(0) 0
y(0) 0
末端约束
g1x(T),y(T),x(T),y(T)y(T)0 g2x(T),y(T),x(T),y(T)y(T)h0
07.03.2021
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最优控制问题
例1.2 导弹发射问题 x F (t) cos (t) m y F (t) sin (t) m
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最优控制问题
例1.2 导弹发射问题 x F (t) cos (t) m y F (t) sin (t) m
初始条件 x(0) 0 y(0) 0 x(0) 0
y(0) 0
末端约束 指标
g1x(T),y(T),x(T),y(T)y(T)0 g2x(T),y(T),x(T),y(T)y(T)h0
07.03.2021
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最优控制问题
例1.2 导弹发射问题 x F (t) cos (t) m y F (t) sin (t) m
初始条件 x(0) 0 y(0) 0 x(0) 0
y(0) 0
07.03.2021
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最优控制问题
例1.2 导弹发射问题 x F (t) cos (t) m y F (t) sin (t) m
v(0) v0 m(0)MF v(T) 0
控制目标
J m(T)
推力方案
0u(t)umax
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12
最优控制问题
例1.2 导弹发射问题
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最优控制问题
例1.2 导弹发射问题
最优控制问题
例1.2 导弹发射问题 x F (t) cos (t) m y F (t) sin (t) m
控制目标
J m(T)
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最优控制问题
1.1 两个例子
例1.1 飞船软着陆问题
软着陆 过程开 始时刻 t 为零
hv v u g
m m Ku
m 飞船的质量 h 高度 v 垂直速度 g 月球重力加速度常数 M 飞船自身质量 F 燃料的质量 K 为常数
初始状态 终点条件
h(0) h0 h(T) 0
软着陆 过程开 始时刻 t 为零
hv v u g
m m Ku
m 飞船的质量 h 高度 v 垂直速度 g 月球重力加速度常数 M 飞船自身质量 F 燃料的质量 K 为常数
初始状态 h(0) h0 v(0) v0 m(0)MF
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最优控制问题
1.1 两个例子
例1.1 飞船软着陆问题
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最优控制问题
1.1 两个例子
例1.1 飞船软着陆问题
软着陆 过程开 始时刻 t 为零
hv v u g
m m Ku
m 飞船的质量 h 高度 v 垂直速度 g 月球重力加速度常数 M 飞船自身质量 F 燃料的质量 K 为常数
07.03.2021
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最优控制问题
1.1 两个例子
例1.1 飞船软着陆问题
J x ( T ) ,y ( T ) ,x ( T ) ,y ( T ) x ( T )
控制
(t)
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最优控制问题
1.2 问题描述 (1) 状态方程 一般形式为
最优控制问题
1.2 问题描述 (1) 状态方程 一般形式为
x(t) f (x(t),u(t),t) x(t)|tt0 x0
07.03.2021
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最优控制问题
1.2 问题描述
(1) 状态方程 一般形式为
x(t) f (x(t),u(t),t)
x(t) Rn
x(t)|tt0 x0
为n维状态向量
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最优控制问题
1.2 问题描述
(1) 状态方程 一般形式为
x(t) f (x(t),u(t),t)
x(t) Rn
x(t)|tt0 x0
为n维状态向量
u(t) Rr
为r 维控制向量
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最优控制问题
1.2 问题描述
(1) 状态方程 一般形式为
x(t) f (x(t),u(t),t)
x(t) Rn
x(t)|tt0 x0
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1
最优控制理论
东北大学信息科学与工程学院 井元伟教授
二○○九年十一月
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第1章 最优控制问题 第2章 求解最优控制的变分方法 第3章 最大值原理 第4章 动态规划 第5章 线性二次型性能指标的最优控制 第6章 快速控制系统
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1.1 两个例子
例1.1 飞船软着陆问题
软着陆 过程开 始时刻 t 为零
hv v u g
m m Ku
m 飞船的质量 h 高度 v 垂直速度 g 月球重力加速度常数 M 飞船自身质量 F 燃料的质量 K 为常数
初始状态 终点条件
h(0) h0 h(T) 0
v(0) v0 m(0)MF v(T) 0
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最优控制理论 现代控制理论的重要组成部分 20世纪50年代 发展形成系统的理论 研究的对象 控制系统 中心问题 给定一个控制系统,选择控制规律,使系统在某 种意义上是最优的 统一的、严格的数学方法 最优控制问题 研究者的课题,工程师们设计控制系统时的
目标 最优控制能在各个领域中得到应用,效益显著
软着陆 过程开 始时刻 t 为零
hv v u g
m m Ku
m 飞船的质量 h 高度 v 垂直速度 g 月球重力加速度常数 M 飞船自身质量 F 燃料的质量 K 为常数
初始状态 终点条件
h(0) h0 h(T) 0
v(0) v0 m(0)MF v(T) 0
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最优控制问题
初始条件 x(0) 0 y(0) 0 x(0) 0
y(0) 0
末端约束 指标
g1x(T),y(T),x(T),y(T)y(T)0 g2x(T),y(T),x(T),y(T)y(T)h0
J x ( T ) ,y ( T ) ,x ( T ) ,y ( T ) x ( T )
07.03.20211 两个例子 1.2 问题描述
1.1 两个例子 例1.1 飞船软着陆问题
最优控制问题
1.1 两个例子
例1.1 飞船软着陆问题
软着陆 过程开 始时刻 t 为零
m 飞船的质量 h 高度 v 垂直速度 g 月球重力加速度常数 M 飞船自身质量 F 燃料的质量 K 为常数
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