24.3 正多边形和圆
24.3正多边形和圆
D
F
C
正多边形的边心距： 正多边形的边心距： 中心到正多边形的一边 的距离. 的距离.
中心角 = 360 n
°
E 中心角 F
R
D
180 ° ∠ AOG = ∠ BOG = n
边心距把△AOB分成 2个全等的直角三角形
.O .
a
C
G B 设正多边形的边长为a,半径为R,它的周长为L=na.
边心距r = 面积S =
F A
B
2 2
E
. .O
r R P
D
C
∴亭子的周长 L=6×4=24(m)
在Rt∆OPC中，OC = 4，PC =
BC 4 = =2 2 2
根据勾股定理，可得边心距r = 亭子的面积S =
4
−2 = 2 3
1 1 2 Lr = × 24 × 2 3 ≈ 41.6(m ) 2 2
（n − 2） 180° • n 边形的一个内角的度数是____________; 正n边形的一个内角的度数是____________;
D E .O A F B C
8、图中正六边形ABCDEF的中心角是 ∠AOB 、图中正六边形 的中心角是 它的度数是 60度 度 9、你发现正六边形ABCDEF的半径与边长具有 、你发现正六边形 的半径与边长具有 什么数量关系？为什么？ 什么数量关系？为什么？
E
D
F
.O
C
A
B
1、正多边形的各边相等 、 2、正多边形的各角相等 、
—多边形是正多边形 多边形是正多边形
证明：∵AB=BC=CD=DE=EA 证明：
∴AB=BC=CD=DE=EA ∵BCE=CDA=3AB ∴∠1=∠ ∴∠1=∠2 同理∠2=∠3=∠4=∠ 同理∠2=∠3=∠4=∠5 又∵顶点A、B、C、D、E都在⊙O上， C 顶点A 都在⊙ ∴五边形ABCDE是⊙O的内接五边形. 五边形ABCDE是 的内接五边形.
(人教版八年级数学上册)24.3正多边形和圆
2
A
O ·
D
2OE OB
2
2
2 2 边心距OE OB R 2 2 2 边长BC 2BE 2 R 2R 2
2 2
OB OE 2
2
2
B
E
C
S正方形ABCD AB ( 2R) 2R
2
六、课后检测：
4 3 1、边长为4的正三角形，则它的半径是_______ ，边 3 2 3 ，中心角是_______. 120º 心距是_______ 3
A
B
E
C
D
我们以圆内接正五边形为例证明. 如图,把⊙O分成相等的5段弧,依次连接各等 分点得到五边形ABCDE. ∵AB=BC=CD=DE=EA ∴ AB=BC=CD=DE=EA,
B O A E
ABD=BCE=CDA=DEB=EAC ∴ ∠A=∠B =∠C= ∠D= ∠E 又五边形ABCDE的顶点都在⊙O上,
2、若一个正多边形每个内角的度数是中心角的3倍， 8 则正多边形的边数是___.
3、有一个边长为3cm的正六边形，如果要剪一张圆
形纸片完全覆盖住这个图形，那么这张纸片的最小半 3cm 径是____________.
4、下列说法：①各边相等的圆内接多边形是正多边
形；②各内角相等的圆内接多边形是正多边形；③正
等于 它的一 角的度数是______ n ，正多边形的中心角______ 个外角的.
二、合作探究：
4、如何利用等分圆弧的方法来作正n边形？
360 方法一、用量角器作一个等于 n 的圆心角。
方法二、正方形、正三角形、正六边形、正十二 边形等特殊正多边形的作法.
多边形的计算
中心角 360 n
人教版初中九年级上册数学精品授课课件 第24章 圆 24.3 正多边形和圆 24.3 正多边形和圆
正多边形 的对称性
正多边形 的性质
课堂小结
正多边形的 有关概念
正多边形的 有关计算
中心 半径 边心距 中心角 添加辅助线的方法： 连半径，作边心距
正多边形的 画法
课后作业
1.从教材习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题.
பைடு நூலகம்
探索新知
图形 名称 边的关系 角的关系
正三角形 三条边相等 三个角相等（60°）
正四角形 四条边相等 四个角相等（90°）
正五角形 五条边相等 五个角相等（108°）
正六角形 六条边相等 六个角相等（120°）
…… ……
……
……
正多边形的概念：
各边相等，各角也相等的多边形是正多边形. 正n边形：如果一个正多边形有n条边， 那么这 个正多边形叫做正n边形.
中心角是____3_6_0_____； 正多边形的中心n角与外角的大小关系是________；
相等 正多边形的中心角与内角的大小关系是________.
互补
例 有一个亭子，它的地基半径为4 m的正六边形， 求地基的周长和面积(精确到0.1 m2).
解: 如图由于ABCDEF是正六边形，
所△以OB它C的是中等心边角三等角于形，3660从 而60正，六边
【教材P106练习 第2题】
解：各边相等的圆内接多边形是正多边形.各角相等的圆 内接多边形不是正多边形，例如圆内接矩形，它不是正 多边形.
< 针对训练 >
1.下列说法正确的是（ C ） A.各边相等的多边形是正多边形 B.各角相等的多边形是正多边形 C.各边相等的圆内接多边形是正多边形 D.各角相等的圆内接多边形是正多边形
部编数学九年级上册24.3正多边形和圆(7大题型)2023考点题型精讲(解析版)含答案
24.3 正多边形和圆正多边形的概念 各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．正多边形的有关概念 (1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心． (2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径． (3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． (4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．题型1：正多边形的相关概念1.下列关于正多边形的叙述，正确的是（ ）A．正九边形既是轴对称图形又是中心对称图形B．存在一个正多边形，它的外角和为720°C．任何正多边形都有一个外接圆D．不存在每个外角都是对应每个内角两倍的正多边形【答案】C【解析】【解答】解：正九边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项A不正确；任何多边形的外角和都为360°，故选项B不正确；【变式1-1】已知：如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P是劣弧上不同于点C的任意一点，则∠BPC的度数是（ ）A．45° B．60° C．75° D．90°【答案】A.【解析】如图，连接OB、OC，则∠BOC=90°，根据圆周角定理，得：∠BPC=∠BOC=45°．故选A．【点评】本题主要考查了正方形的性质和圆周角定理的应用．【变式1-2】如图，⊙O是正方形ABCD的外接圆，点P在⊙O上，则∠APB等于（ ）A．30° B．45° C．55° D．60°【答案】连接OA，OB．根据正方形的性质，得∠AOB=90°．再根据圆周角定理，得∠APB=45°．故选B．正多边形的有关计算 (1)正ｎ边形每一个内角的度数是； (2)正ｎ边形每个中心角的度数是； (3)正ｎ边形每个外角的度数是.注意：要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形题型2：正多边形与圆有关的计算-角度2.如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接AC，则∠BAC的度数是（ ）A．45°B．38°C．36°D．30°【答案】C【解析】【解答】解：连接OC、OB，如下图：根据正多边形的性质可得：∠BOC=360°5=72°根据圆周角定理可得：∠BAC=12∠BOC=36°故答案为：C【分析】连接OC、OB，根据正多边形的性质可得∠BOC=360°5=72°，再根据圆周角定理求解即可。
九年级数学人教版(上册)24.3正多边形和圆
侵权必究
当堂练习
✓ 当堂反馈 ✓ 即学即用
侵权必究
当堂练习
1. 填表
正多边 形边数
3 4 6
半径 边长 边心距 周长
2 23
22 22
1 23
1
8
3
12
面积
33
4Hale Waihona Puke 632. 若正多边形的边心距与半径的比为1:2，则这 个多边形的边数是 3 .
侵权必究
当堂练习
3.如图是一枚奥运会纪念币的图案，其形状近似 看作为正七边形，则一个内角为 128 4 ___度.
(1)求图①中∠MON=___1_2_0_°_;图②中∠MON= 90 °;
图③中∠MON= 72 °;
MON 360
(2)试探究∠MON的度数与正n边形的边数n的关系.
n
E
A
A
D
M .O
O M
A
D
O
M
B
NC B
图① 侵权必究
NC
图②
N
B
C
图③
课堂小结
✓ 归纳总结 ✓ 构建脉络
侵权必究
正多边形 的对称性
侵权必究
新课导入
观察下列图形他们有什么特点？
侵权必究
讲授新课
✓ 典例精讲 ✓ 归纳总结
侵权必究
讲授新课
知识点 1 正多边形的概念
正三 角形
三条边相等， 三个角相等 （60度）.
正方形
四条边相等， 四个角相等 （900）.
侵权必究
讲授新课
定义 各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形. 如果一个正多边形有n条边，那么这个正多边 形叫做正n边形.
24.3正多边形和圆
24.3正多边形和圆一．【知识要点】1.把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的，外接圆的半径叫做正多边形的，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的.【经典例题】1.分别求半径为R的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长、边心距、周长和面积(直接写出结果).2.下列说法：①各角相等的多边形是正多边形；②各边相等的多边形是正多边形；③各角相等的圆内接多边形是正多边形；④各顶点等分外接圆的多边形是正多边形.其中正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个3.如果一个四边形的外接圆与内切圆是同心圆，那么这个四边形一定是( )A.矩形B.菱形C.正方形D.不能确定4.如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，⊙O的半径为2，则等边三角形ABC的边长为______________.5.如图，正△ABC外接圆的半径为R，求正△ABC的边长、边心距、周长和面积.6.如图，正方形ABCD 和正三角形AEF 都内接于⊙O ，EF 与BC ，CD 分别相交于点G ，H ，则的值是（）A.B. C.D. 27.如图，⊙O 是正六边形ABCDEF 的外接圆，点P 在⊙O 上（P 不与A ，B 重合），则∠APB 的度数为（ ）A ．60°B ．60°或120°C ．30°D ．30°或150°8．(2023绵阳期末第7题)如图，在平面直角坐标系中，正六边形OABCDE 的边长是4，则它的内切圆圆心M 的坐标是（ ）A ．B ．C ．D ．（2，4）EFGH26239．(2021绵阳期末第14题)如图，要拧开一个边长a＝2cm的正六角形螺帽，则扳手张开的开口b至少要cm．10.如图，正五边形ABCDE中(1)求证：EB=EC;(2)若BE=2，CF⊥BE交AB于F，求AE+AF.11.如图，六边形ABCDEF为⊙O的内接正六边形，点P为CD的中点，则PAPB的值为三．【题库】【A】1.下列多边形中，是正多边形的是( ).A.菱形B.矩形C.等腰梯形D.正六边形2.下列多边形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( ).A.正三角形B.正方形C.正五边形D.平行四边形3.下列正多边形中，对称轴条数是6条的是( ).A.正三角形B.正方形C.正六边形D.正五边形4.正五边形的中心角是______________度.5.一个正多边形的中心角为90°,则它的边数为____________.6.圆内接正五边形ABCDE中,对角线AC和BD相交于点P,则∠APB的度数是()A.36°B.60°C.72°D.108°7.小明画出一个圆内接正三角形,如图所示,若在小明画的图形上再画出一个正六边形,试填写完整下面的步骤:(1)分别用圆规把AB⏜,BC ⏜,AC ⏜两等分,得出等分点____________. (2)顺次连接AD,BD,_____,EC,CF,______,六边形ADBECF 为所画的正六边形.8.如图,A,P,B,C 是☉O 上的四点,∠APC=∠CPB=60°.(1)求证:△ABC 是等边三角形;(2)已知△ABC 的边长为4 cm,求☉O 的半径.9．边长为a 的正六边形的面积等于（ ）A ．243a B.2a C.2233a D.233a10.如图，正八边形ABCDEFGH 中，∠EAG 大小为（ ） A ．30° B ．40° C ．45° D ．50°11.已知圆内接正六边形的半径为2，则正六边形的边长为( ).12.已知正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，半径为4，则这个正六边形的边心距OH 的长为( ).A.2B. D.13.已知⊙O 的内接正方形的边长为4，则半径为( ).A.4B.2C.14.半径为1的圆内接正三角形的边心距为___________.15.边长为1的正六边形的半径为,中心角等于度,面积为.16.半径为4的正六边形的边心距为,中心角等于,面积为.17.如图,正八边形ABCDEFGH的半径为2,它的面积为.18.半径为3的圆内接正方形的边心距等于.19.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有( )①正三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形；⑤线段；⑥圆；⑦菱形；⑧平行四边形.A.3个B.4个C.5个D.6个20.(上海中考)如果一个正多边形的中心角为72°，那么这个正多边形的边数是( )A.4B.5C.6D.721.若正方形的边长为6，则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为( )A. C.6,3 D.22.如图，木工师傅从一块边长为60cm的正三角形木板上锯出一块正六边形木板，那么这块正六边形木板的边长为.23.如图，圆内接正△ABC的半径为R，试分别计算△ABC的边长，边心距及面积.【B】1.如图,在☉O中,OA=AB,OC⊥AB,则下列结论错误的是()A.弦AB的长等于圆内接正六边形的边长B.AC⏜=BC⏜C.弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长D.∠BAC=30°2.已知☉O的面积为2π,则其内接正三角形的面积为()A.3√3B.3√6C.32√3 D.32√63.△OAB是以正多边形相邻的两个定点A,B与它的中心O为顶点的三角形,若△OAB的一个内角为70°,则该正多边形的边数为_____________.4.如图,有一圆内接正八边形ABCDEFGH,若△ADE的面积为10,则正八边形ABCDEFGH的面积为________________.5.如图,正六边形ABCDEF中,点M在AB边上,∠FMH=120°,MH与六边形外角的平分线BQ交于点H.(1)当点M不与点A,B重合时,求证:∠AFM=∠BMH;(2)当点M在正六边形ABCDEF一边AB上运动(点M不与点B重合)时,猜想FM与MH的数量关系,并对猜想的结果加以证明.6.若一个正方形的周长为24，则该正方形的边心距为（）A．2B．3C．3D．27．如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，点P是的一点，则∠CPD的度数是（）A．30°B．36°C．45°D．72°8．(2022绵阳期末第11题)如图，点O是边长为4的正六边形ABCDEF的中心，对角线CE，DF相交于点G，则△GEF的面积为（）A．2B．3C．D．9.半径相等的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长比为.10.如图，正方形ABCD和正△AEF都内接于⊙O，EF与BC、CD分别相交于点G、H,则EF=（）GH2A.211.如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，对角线AC、BD相交于点P，下列结论：①∠BAC=36°;②PB=PC；③四边形APDE是菱形；④AP=2BP.其中正确的结论是( ).A.①②③④B.①②③C.②③④D.①②④12.如图，正三角形的边长为12cm，剪去三个角后成为一个正六边形，则这个正六边形的内部任意一点到各边的距离和为cm.13.如图,正六边形ABCDEF中，P是边ED的中点，连接AP,求APAB的值.14.如图，⊙O的半径为2，求圆内接正十二边形的边长.【C】20cm，则正八边形的面积为1.如图，在正八边形ABCDEFGH中，四边形BCFG的面积为2cm。
24.3__正多边形和圆
正三角形
正方形
正பைடு நூலகம்边形
二、探究新知 1、正多边形的有关概念 我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心 中心， 中心 外接圆的半径叫做正多边形的半径 半径， 半径 正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角 中心角， 中心角 中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距 边心距。 边心距
2、问题：正多边形的中心角、半径、边心距以及边长之间有什么关系呢？ 教师启发学生先从正三角形、正方形、正六边形着手进行研究探索。 A 正三角形的中心角∠BOC=120°， O
3 若设正三角形的边长为 1，则半径 OB= 3
B D
C
边心距 OD=
3 。 6
3、让学生独立进行探索正方形和正六边形的情况，然后点评。 4、讨论： （3）若已知正三角形的边长为 1，你能求出哪些未知的量？ 度，中心角等于 度，一个外角等于 度。 （2）正 n 边形的一个内角等于 （3）正多边形的中心角与外角的大小有什么关系？ 三、应用新知 例：有一个亭子，如图，它的地基是半径为 4m 的正六边形，求地基的周长和面积（精 确到 0.1m2） 。
四、课堂小结 1、正多边形的有关概念 2、正三角形、正方形、正六边形的半径、边长、边心距之间的关系 3、正 n 边形的中心角的度数，中心角与每一个外角的关系以及每一个内角的读数。 五、布置作业 教学反思
24.3 正多边形和圆（2） 正多边形和圆（ ）
主备人姓名：徐晓红 辅备人姓名：
教师个性设计
教学目标： 教学目标： 1、了解正多边形的有关概念。 2、能根据条件进行正多边形的简单计算。 3、通过问题的设计，培养学生对问题的探究意识和能力。 教学重点与难点： 教学重点与难点： 重点：正多边形的有关概念和计算。 难点：正多边形的有关计算。 教学过程： 教学过程： 一、复习引入 我们知道，把一个圆周等分后，顺次连结各等分点，所得到的多边形就是一个正多边 形， 简单回顾一下画正三角形、正方形、正六边形的方法。
24.3 正多边形和圆 教材详解及典例分析
24.3 正多边形和圆【重点难点点拨】重点：（1）理解正多边形和圆的关系；（2）能利用所学的知识进行正多边形的有关计算。
难点与关键：利用所学的有关知识进行正多边形的有关计算．【规律方法指津】1、正多边形和圆的关系非常密切，把圆分成（是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆；2、正多边都是轴对称图形,若n是奇数,正n边形是轴对称图形,n是偶数,正n边形既是轴对称图形又是中心图形.3、正多边形的性质:任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆.4、正多边形的有关计算,一般是围绕正边形的半径R,边长,边心距,周长及面积来进行,但关健是之间的计算,因为正边形的边心距把正边形的一边与该边所对应的两条半径所围成的等腰三角形分成两个全等的直角三角形,所以在Rt△AOH中,斜边是R,直角边分别是和,锐角,利用直角三角形的有关知识(勾股定理,锐角三角函数等来解直角三角形即可.图24.3-1【知识详细解读】1、正多边形的有关概念正多边形的外接圆(或内切圆的圆心叫正多边形的中心.外接圆半径叫正多边形的半径.内切圆的半径叫正多边形的边心距.正多边形的每一边所对的圆心角叫中心角,中心角的度数是.注意：正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形（这些直角三角形的斜边是正n边形的半径R，一条直角边是正n边形的边心距，另一条直角边是正n边形边长的一半，一个锐角是正n边形中心角的一半，即.2、正多边形的画法要作半径为R的正n边形，只要把半径为R的圆n等分，然后顺次连接各等分点即可。
【典型例题感悟】例1、正八边形有_____条对称轴，它不仅是______对称图形，还是_____对称图形．分析：正n边形有n条对称轴．正2n边形既是轴对称图形，又是中心对称图形．解：8，轴，中心．金钥匙：对于正n边形，它们都是轴对称图形，当n为偶数时，它还是中心对称图形.例2、边长为2 a的正六边形的面积为______．分析：把正六边形的中心与六个顶点连结起来，所得六个等边三角形全等．每个等边三角形的面积为·（2 a）2＝a2，所以正六边形的面积为6a2．解：6a2例3、一个正方形和一个正六边形的外接圆半径相等，则此正方形与正六边形的面积之比为_______．分析：设两正多边形的外接圆半径为R，则正方形面积为4×·R2＝2 R2，正六边形的面积为6×R2＝R2，所以它们的比为2 R2：R2＝4︰9．解：4︰9．金钥匙：本题考查正方形、正六边形的面积与外接圆的半径之间的关系．注意：正多边形的面积通常化为n个三角形的面积和．。
人教版初中数学九年级上册第二十四章24.3正多边形和圆
A
B
E
C
D
类比以上探究过程，你能得出什么结论？
把一个圆分成相等的一些弧，可以作出这个圆的内接正多 边形 ，这个圆就是这个正多边形的外接圆.
阅读课本107页，思考：如何利用等分圆弧的方法来作正n边形？
方法1：用量角器等分圆周.
对于任意正n边形，用量角器作一个等于
360
0
的圆心角，然后
n
在圆上依次截取与这条弧相等的弧，就得到圆周的n等分点，从
E
O
A
D
B
C
解: 由于ABCDEF是正六边形，所以
它的中心角等于360 60， 6
OBC是等边三角形，从而正
六边形的边长等于它的半径.
F
E
O
A
.. R
D
r
∴亭子的周长 l=6×4=24(m)
BP
C
在RtOPC中，OC 4，PC BC 4 2 22
根据勾股定理，可得边 心距r 42 22 2 3
.
.
23
3
3.通过上边的探究，你能得到哪些结论？
结论：
（1）正n边形的中心角等于360
0
，外角等于
360
0
，正多边形的
n
n
中心角与外角相等.
（2)正多边形的半径、边心距、边长的一半构成直角三角形.
例 如图有一个亭子，它的地基是半径为4m的正六边形，
求地基的周长和面积（结果保留小数点后一位）.
F
亭子的面积 S 1 Lr 1 24 2 22
3 41.6(m2)
课堂小结：
1.正多边形和圆的关系：任意正多边形都有它的外接圆. 2.和正多边形有关的概念：中心、半径、中心角、弦心距. 3.用等弧法作正多边形.
人教版九年级数学上册_24.3 正多边形和圆
感悟新知
知1－练
1-2.若一个四边形的外接圆与内切圆是同心圆，则 这个四边形一定是( C ) A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 不能确定
感悟新知
知识点 2 正多边形的有关计算
1. 正 n 边形的每个内角都等于(n－2)n· 180°. 2. 正 n 边形的每个中心角都等于 36n0°. 3. 正 n 边形的每个外角都等于 36n0°.
感悟新知
知3－讲
特别提醒 1. 画圆内接正n边形，实质是找圆的 n 等分点 . 2. 用量角器等分圆是一种简单常用的方法，但边数
很大时，容易产生较大误差. 3. 尺规作图是一种比较准确的等分圆的方法，但只
限于作一些特殊的正多边形 .
感悟新知
例3 作一个正三角形，使其半径为 0.9 cm.
知3－练
感悟新知
知3－讲
2. 用尺规等分圆 对于一些特殊的正 n 边形，如正方形、正 六边形等，可以用圆规和直尺作图，如图 24.3－2② . 在⊙ O 中，用直尺和圆规作两条互相垂直的直径，就 可把圆四等分，从而作出正方形 ， 若再逐次平分各边所对的弧，就可 以作边数逐次倍增的正多边形， 如正八边形、正十六边形等 .
边形的半径 .
(3)正多边形的中心角： 正多边形每一边所对的圆心角叫
作正多边形的中心角 .
(4)正多边形的边心距： 正多边形的中心到正多边形的一
边的距离叫作正多边形的边心距 .
感悟新知
知1－讲
4. 正多边形的对称性 所有的正多边形都是轴对称图形，一个正 n 边形共有
n 条对称轴，每条对称轴都通过正 n 边形的中心 .n 为偶数 时，正 n边形还是中心对称图形，它的中心就是对称中心 .
感悟新知
人教版九年级数学上24.3正多边形和圆(共32张PPT)
E
A
D
B
C
三条边相等，
四条边相等，
三个角相等
正三 角形
（60度）。
正方形
四个角相等 （900）。
一 .正多边形定义
各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形.
二、说说下列多边形的名称
正五边形
正六边形
正八边形
1、正多边形的各边相等 2、正多边形的各角相等
3、正多边形都是轴对称图形，一个正n边形 共有n条对称轴，每条对称轴都通过n边形 的中心。
E
D
一个正多边形的外接
圆的圆心.
正多边形的半径: 外接圆的半径
F
.半径R O
中心角
C
正多边形的中心角:
360
n
边心距r
正多边形的每一条
A
B
边所对的圆心角.
正多边形的边心距： 中心到正多边形的一边 的距离.
正多边形的周长= 正多边形的面积=
中心角 360
中心角 E
D
n
边心距把△AOB分成 F
2个全等的直角三角形
AOG BOG 180 n
.. O R
AG
C a
B
正n边形被相邻周半径长分为成L=na
___n___个全等的等腰三角
形.被边心距边分心成距__r_2_n个全R 2
等的直角三角形,
(1 2
a )2
设正多边形面的积S边长 为12 aar,n边心12距lr为r,半经为R.
1、O是正△ABC的中心，它是△ABC的_外__接__圆__ 与__内__切__圆___圆的圆心。
B
E
边形是正六边形。
C
24.3正多边形和圆(定稿)
24.3 正多边形和圆编制： 校对：目标：了解正多边形和圆的关系，了解正多边形半径和边长，边心距，中心，中心角等概念；会应用正多边形的有关知识解决圆的有关计算问题；会应用正多边形和圆的有关知识画多边形。
重点：探索正多边形和圆的关系，了解有关概念，会进行计算难点：探索正多边形和圆的关系，正多边形半径，中心角，弦心距，边长之间的关系。
典例精选例1：（1）若一个正多边形的每个外角为36°，则这个正多边形的中心角为_________________.（2）若一个正多边形的中心角为24°，则此多边形的边数为__________________.（3）正三角形的边长为a ，则它的内切圆与外接圆组成的圆环面积为__________________.（4）如图,正六边形ABCDEF 内接于⊙O,若直线PA 与⊙O 相切于点A,则∠PAB=( )A. 30°B. 35°C. 45°D. 60°（第（4）题） （第（5）题）（5）如图所示，已知⊙O 的内接正方形ABCD 及⊙O 内接正六边形AEFCGH ，那么弦EB 是⊙O 的内接正__________边形的一边。
【变式练习1】1.正八边形的每一个内角为（ ）A 、120°B 、135°C 、140°D 、144°2.（1）外角大于内角的正多边形是正__________；（2）外角等于内角的正多边形是正__________；（3）外角等于内角32的正多边形是正__________； 例2 ：如图,如果一个正六边形的面积与一个正三角形的面积相等,求正六边形与正三角形的内切圆的半径之比.【变式练习2】1.以半径为1的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形,则该三角形的面积是( )A.83B. 43C. 42D.82习题精选1.一元钱硬币的直径约为24mm,则用它能完全覆盖住的正六边形的边长最大不能超过（ ）A 、12mmB 、312mm C. 6mm D. 36mm2.正三角形内切圆半径r 与外接圆半径R 之间的关系为( )A 、4R=5rB 、3R=4rC 、2R=3rD 、R=2r3.一个正多边形绕它的中心旋转36°后,才与原正多边形第一次重合,那么这个正多边形( )A. 是轴对称图形,但不是中心对称图形B. 是中心对称图形,但不是轴对称图形C. 既是轴对称图形,又是中心对称图形D. 既不是轴对称图形,又不是中心对称图形4.下列命题中的真命题是( )A.正三角形的内切圆半径和外接圆半径之比为2:1B.正六边形的边长等于其外接圆的半径C.圆外切正方形的边长等于其边心距的3倍D.正三角形内切圆的半径、外接圆的半径与高的比为3:4:55.如图,有一圆内接正八边形ABCDEFGH,若△ADE 的面积为10,则正八边形ABCDEFGH 的面积为何( )A 、40B 、50C 、60D 、80（第5题） （第6题）6.如图，若正△111C B A 内接于正△ABC 的内切圆，则AB B A 11值为（ ）A.21B. 22C. 31D.337.如图,圆内接正五边形ABCDE 中,对角线AC 和BD 相交于点P,则∠APB 的度数是( )A 、36°B 、60° C. 72° D. 108°8.正方形ABCD 内接于O ，P 是劣弧AD 上任意一点,则∠ABP+∠DCP 等于( )A 、90°B 、60°C 、45°D 、30°（第7题） （第8题） （第9题） （第10题）9.如图，若干全等正五边形排成环状。
24.3.正多边形和圆 (19张PPT)
360 360 90 , AOE 60 ∵ AOD 4 6
∴ ∠DOE= ∠AOD - ∠AOE=90 °- 60 °=30 ° ∴ DE是⊙O的内接正十二边形的边.
试用等分弧的办法画一个圆的内接正六边形（见图）
正多边形的中心: 就是外接圆的圆心（即O点）. 正多边形的半径: 就是外接圆的半径. 正多边形的中心角: 就是正多边形的每一条边所对的圆心角. 正多边形的边心距： 就是中心到正多边形的一边的距离.
问：以中心为圆心,边心距为半径的圆与各边有何位置关系? 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，并且这两个圆 是同心圆.
例.探究圆内接正五边形（新人教版九年级数学上册105页） 如图,把⊙O分成把⊙O分成相等的5段弧,依次连接各分点得到正 五边形ABCDE.
∵
∴AB=BC=CD=DE=EA ∴ ∠A=∠B. 同理∠B=∠C=∠D=∠E. 又五边形ABCDE的顶点都在⊙O上. ∴ 五边形ABCD是⊙O的内接正五边形, ⊙O是五边形ABCD 的外接圆.
5. 周长： P na ； 6. 面积 S Pr nar .
1 2 1 2
例1. （新人教版九年级数学上册106页）有一个亭子,它的地基半径为4m 的正六边形,求地基的周长和面积(结果保留小数后一位). 解：连接OB、OC；因为六边形ABCDEF是正 360 六边形，所以其中心角为 6 60 ,△OBC是等 边三角形，所以正六边形的边长等于它的半径. 因此亭子地基的周长为l 6 4 24 m .
4.如图，有一圆的内接正八边形ABCDEFGH，若 △ADE的面积为10，则正八边形ABCDEFGH的 面积为 40 .
九年级数学上册 24 圆 24.3 正多边形和圆
(2)图2中∠MON的度数是__________ ，图3中∠MON的度数是__________ ； (3)试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系(guān xì)为__________ ．(直接写出 答案)
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第十四页，共十五页。
内容(nèiróng)总结
(jiǎn shù)你的作图方法．
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第八页，共十五页。
1．如图所示的是一个内接于⊙O的正多边形，下列结论：①这个正多边形的内角是135°；②
这个正多边形的中心角是135°；③这个正多边形的内角是45°；④这个正多边形的中心角
是45°.其中，正确的有( )
C
A．①② B．③④ C．①④ D．②③
第十页，共十五页。
150°
十
5
2021/12/11
第十一页，共十五页。
*9.△OAB是以正多边形相邻的两个顶点A，B与它的中心O为顶点的三角形，若 △OAB的一个(yī ɡè)内角为70°，则该正多边形的边数为__________ ．
9 *10.如图，正六边形ABCDEF的边长为2，则该正六边形的外接圆与内切圆所 形成的圆环面积为__________.
24．3 正多边形 和圆 (zhèngduōbiānxíng)
1．正多边形及其有关概念
(1)各边相等(xiāngd各ěn角g)， __________也相等的多边形是正多边形． (2) 每 一 个 正 多 边 形 都 有 一 个 外 接 圆 ， 外 接 圆 的 圆 心 叫 做 正 多 边 形 的
__________
No D．各边相等(xiāngděng)，各角也相等(xiāngděng)的多边形是正多边形。(1)求图1中∠MON的度数。答案)