安徽省芜湖市第一中学2019-2020学年高二上学期阶段性测试(二)数学(理)试题 PDF版缺答案
安徽省芜湖市第一中学2020学年高二数学上学期期末考试试卷 理
芜湖一中2020学年第一学期期末考试高二数学（理科）试卷一、选择题（每题3分，共30分，答案写在答题卷上） 1．下列命题中正确的命题的是A ．平行于同一平面的两条直线平行B ．与同一平面成等角的两条直线平行C ．垂直于同一平面的两条直线平行D ．垂直于同一直线的两条直线平行2．已知点(,1,2)A x 和点(2,3,4)B ，且AB =,则实数x 的值是A ．3-或4B ．6-或2C ．3或4-D ．6或2-3．过点(4,1)P -且与直线3460x y -+=垂直的直线方程是A ．43130x y +-=B ．43190x y --=C ．34160x y --=D ．3480x y +-=4．一个正方体的所有顶点都在同一球面上,若球的体积是43π,则正方体的表面积是 A ．8 B ．6C ．4D ．35．在正三棱柱111ABC A B C -中，1AA AB =，则1AC 与平面11BB C C 所成的角的正弦值为 A ．22 B ．515 C ．46 D ．366．圆222430x x y y +++-=上到直线10x y ++=的点共有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A ．54B ．60C ．66D ．728．已知在平面直角坐标系xOy 上的区域M 由不等式组020x y x y y -≥+≤≥⎧⎪⎨⎪⎩给定，若点(,)P a b a b +-在区域M 内，则421a b +-的最大值为A ．3B ．4C ．5D ．69．在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线240x y +-= 相切，则圆C 面积的最小值为A ．45πB ．34πC ．(65)π-D ．54π 10．已知正方体1111ABCD A B C D -棱长为1，O 为底面ABCD 的中心，M 、N 分别是棱1CC 和11A D 的中点，则四面体1O MNB -的体积为A ．16B ．548 C ．18D ．748二、填空题（每题4分，共20分，答案写在答题卷上）11．一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与某一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为 ．12．已知直线220x y k -+=与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，则实数k 的取值范围是___________．13．过(2,3)P --作圆22(4)(2)9x y -+-=的两条切线，切点为A 、B ,则过A 、B 两点的直线方程为 ．14．如图，正方体1111ABCD A B C D -，则下列四个命题：①P 在直线1BC 上运动时，三棱锥1A D PC -的体积不变；②P 在直线1BC 上运动时，直线AP 与平面1ACD 所成角的大小不变； ③P 在直线1BC 上运动时，二面角1P AD C --的大小不变；④M 是平面1111A B C D 上到点D 和1C 距离相等的点，则M 点的轨迹是过1D 点的直线． 其中正确的命题是 ．15．设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则PA PB ⋅的最大值是________．三、解答题（6题，共50分，答案写在答题卷上）16．（本题8分）求经过直线1:3450L x y +-=与直线2:2380L x y -+=的交点M ，且满足下列条件的直线方程．（1）与直线250x y ++=平行； （2）与圆22(2)4x y -+=相切．17．（本题8分）已知方程04222=+--+m y x y x . （1）若此方程表示圆，求m 的取值范围；（2）若（1）中的圆与直线042=-+y x 相交于M ，N 两点，且OM ON ⊥（O 为坐标原点）求m的值．18．（本题8分）如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝DC ＝BC ＝1，AB ＝2，AB ∥DC ，∠BCD ＝90°. （1）求证：PC ⊥BC ；（2）求点A 到平面PBC 的距离．19．（本题8分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12CC CA ==，AB BC =，D 是1BC 上一点，CD ⊥平面1ABC ． （1）求证：AB ⊥平面11BCC B ； （2）求异面直线1AC 与BC 所成的角．DA1CBC1A1B20．（本题9分）在如图所示的四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥面ABCD ，//AB DC ，90DAB ∠=o ，1,2PA AD DC AB ====，M 为PB 的中点．（1）求证：MC ∥平面PAD ；（2）求直线MC 与平面PAC 所成角的余弦值； （3）求二面角A PB C --的平面角的正切值．21．（本题9分）圆O 的方程为221x y +=，直线1l 过点(3,0)A ，且与圆O 相切． （1）求直线1l 的方程；（2）设圆O 与x 轴交于P ，Q 两点，M 是圆O 上异于P ，Q 的任意一点，过点A 且与x 轴垂直的直线为2l ，直线PM 交直线2l 于点P ′，直线QM 交直线2l 于点Q ′，求证：以P ′Q ′直径的圆C 总经过定点，并求出定点的坐标．芜湖一中2020第一学期高二（理科）数学期末考试答案 一、选择题（每题3分，共30分） 12345678910C D A A C C B C A D二、填空题（每题4分，共20分）11． 3：1：2 12． 110k k -≤≤≠且 13． 65250x y +-= 14． ①③④ 15． 5 三、解答题（共50分） 16．（8分）解：⎩⎨⎧-=-=+832543y x y x 解得⎩⎨⎧=-=21y x ，所以交点（-1，2）--------2分（1）直线方程为02=+y x --------4分 （2）直线方程为2=y -----6分和122(1)5y x -=-+------8分 17．（8分）解：（1）由D 2+E 2-4F=4+16-4m=20-4m>0，得m<5．--------3分 （2）设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2)，由OM ⊥ON 得x 1x 2+ y 1y 2=0。
2019-2020学年安徽省芜湖一中高二(上)期中数学试卷1 -(含答案解析)
2019-2020学年安徽省芜湖一中高二（上）期中数学试卷1一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.直线√2x+√6y+1=0的倾斜角是()A. 5π6B. π6C. π3D. 2π32.下列说法正确的是()A. 三点确定一个平面B. 四边形一定是平面图形C. 梯形一定是平面图形D. 一条直线和一个点确定一个平面3.如图，正方形O′A′B′C′的面积为4，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长为()A. 4√3+4B. 16C. 12D. 4√2+44.直线3x+2y−3=0与6x+my+1=0互相平行，则m的值为()A. −9B. 3C. 4D. −45.设a,b是两条不同的直线，α,β是两个不同的平面，则能得出a⊥b的是()A. a⊥α，b//β，α⊥βB. a⊥α，b⊥β，α//βC. a⊂α，b⊥β，α//βD. a⊂α，b//β，α⊥β6.已知过点A(−2,m)和点B(0,−4)的直线与直线2x+y−1=0平行，则实数m的值为()A. −8B. 0C. 1D. 107.已知a、b是两条异面直线，c//a，那么c与b的位置关系()A. 一定是异面B. 一定是相交C. 不可能平行D. 不可能垂直8.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1中，E、F分别是棱AD、CD的中点，若该正方体的外接球与直线EF交于点G、H，且GH=√6，点Q是棱DD1上的一个动点，则AQ+B1Q的最小值是()A. 3(3+√5)4B. 3+√5 C. 2√4+2√2 D. 32√4+2√29.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为()A. 60B. 30C. 20D. 1010.已知三棱锥P−ABC的侧棱长相等，底面正三角形ABC的边长为√2，PA⊥平面PBC时，三棱锥P−ABC外接球的表面积为()A. √32B. √32π C. π D. 3π11.若实数a，b，c成等差数列，点P(−1,−2)在动直线l：ax+by+c=0上的射影为点M，点N(3,2)，则|MN|的最大值为()A. 5B. 6C. 7D. 812.已知正方体ABCD−A1B1C1D1棱长为1，点E，F分别在棱AA1，BB1上，满足AE=13AA1，BF=23BB1，过D1，E，F三点的截面与棱B1C1交于点K，则线段KF的长为()A. √23B. √53C. √136D. 56二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）13.过点P(1,2)且与直线l：x−2y=3垂直的直线方程为______.(用斜截式方程表示)．14.两平行直线l1：ax+4y=0；l2：3x+4y+m=0，若两直线之间的距离为1，则m=______．15.在正三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=2√2，点D，E分别是棱AB，BB1的中点，若DE⊥EC1，则侧棱AA1的长为______．16.如图，四棱锥S−ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，给出下列结论：①AC⊥SB；②AB//平面SCD；③SA与平面ABD所成的角等于SC与平面ABD所成的角；④AC⊥SO；⑤AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角其中，正确结论的序号是______ ．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.已知矩形ABEF所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直，AD=2，AB=3，AF=3√32，M为EF的中点，求多面体M−ABCD的外接球的表面积．18.证明：直线mx+y−m−1=0(m是参数且m∈R)过定点，并求出定点坐标．19.如图四棱锥E−ABCD中，底面ABCD为菱形，BE⊥平面ABCD．(1)求证：AC⊥平面BED；(2)若，AB=2，求三棱锥E−ABD的体积．20.光线过点A(−2,4)，经过2x−y−7=0反射，若反射光线通过点B(5,8)，求入射光线与反射光线所在直线的方程．21.中国古代数学经典《数书九章)中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”，将四个面都为直角三角形的四面体称之为“鳖臑”.在如图所示的阳马P−ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=√2，以C的中点O为球心，AC为直径的球面交PD于M(异于点D)，交PC于N(异于点C)．(Ⅰ)证明：AM⊥平面PCD，判断四面体MCDA是否为“鳖臑”，若是，写出它每个面的直角(只需写出结论)：若不是，请说明理由：(Ⅱ)求直线ON与平面ACM所成角的正弦值．-------- 答案与解析 --------1.答案：A，解析：解：直线√2x+√6y+1=0的斜率k=−√33∴直线√2x+√6y+1=0的倾斜角α=5π．6故选：A．先求出直线的斜率，再求直线的倾斜角．本题考查直线的倾斜角的求法，是基础题，解题时要注意直线的斜率的灵活运用．2.答案：C解析：解：不共线的三点确定一个平面，共线的三点确定无数个平面，故A不正确；四边形有可能是平面图形，有可能是空间图形，故B不正确；梯形中两条平行线确定一个平面，故梯形一定是平面图形，故C正确；直线与直线外一点确定一个平面，直线与直线上一点确定无数个平面，故D不正确．故选C．不共线的三点确定一个平面；四边形有可能是空间图形；梯形中两条平行线确定一个平面，故梯形一定是平面图形；直线与直线外一点确定一个平面．本题考查命题的真假判断，是基础题．解题时要注意平面的公理及其推论的灵活运用．3.答案：B解析：【分析】根据题目给出的直观图的形状，利用平面图形的直观图的画法，求出相应的边长，则问题可求．本题考查了平面图形的直观图，解答此题的关键是掌握平面图形的直观图的画法，求出相应的边长．【解答】解：如下图所示，因为直观图中的线段C′B′//x′轴，所以在原图形中对应的线段平行于x轴且长度不变为2，点C′和B′在原图形中对应的点C和B的纵坐标是O′B′的2倍，则OB=4√2，所以OC=6，则四边形OABC的周长为2×(6+2)=16．故选B．4.答案：C解析：解：因为直线3x+2y−3=0与6x+my+1=0互相平行，所以3m−2×6=0，解得m=4，故选C由直线平行可得3m−2×6=0，解之可得答案．本题考查直线方程的一般式，和直线的平行关系，属基础题．5.答案：C解析：【分析】本题考查线面垂直、平行的性质及面面垂直、平行的性质，同时考查充分条件的含义，根据题意分别画出错误选项的反例图形即可．【解答】解：A、B、D的反例如图．故选C．6.答案：B解析：直线2x+y−1=0的斜率为k=−2，过点A(−2,m)和点B(0,−4)的直线与直线2x+y−1=0平行，故−2=m+4，解得m=0.−2故本题选题B．主要考查了两直线平行斜率相等，根据题意，根据过点A(−2,m)和点B(0,−4)的直线的斜率与直线2x+y−1=0相等，则−2=m+4，在计算即可．−27.答案：C解析：解：a、b是两条异面直线，c//a，那么c与b异面和相交均有可能，但不会平行．因为若c//b，因为c//a，由平行公理得a//b，与a、b是两条异面直线矛盾．故选：C．由平行公理，若c//b，因为c//a，所以a//b，与a、b是两条异面直线矛盾．异面和相交均有可能．本题考查空间的两条直线的位置关系的判断、平行公理等知识，考查逻辑推理能力．8.答案：C解析：【分析】本题考查棱柱的特征，正方体的外接球，空间点线面距离的最小值的求法，考查空间想象能力以及计算能力．画出截面图形，求出棱长，通过求解三角形求出棱长，然后利用展开求解AQ +B 1Q 最小值． 【解答】解：在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，点E 是AD 中点，点F 是CD 中点，若该正方体的外接球与直线EF 交于点G 、H ，平面ABCD 截的球面图形如图所示：设正方形ABCD 的中心为O ，连接OD 交GH 于点M ，连接OH ，∵GH =√6， ∴MH =√62， ∵E 、F 分别是棱AD 、CD 的中点， ∴OM =12OD =12OH ， 设OM =a ，则OD =OH =2a ， 由勾股定理可得(2a )2−a 2=(√62)2，解得a =√22，∴OD =OH =√2，∴正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长AD =2，点Q 是棱DD 1上一个动点，要求AQ +B 1Q 最小值，只需把平面AA 1D 1D 沿DD11旋转到与DD 1B 1B 在一个平面内，连接AB 1，如图：AB 1就是AQ +B 1Q 最小值，∵AA 1=2，B 1D 1=2√2， ∴A 1B 1=2+2√2，∴AB 1=√22+(2+2√2)2=√16+8√2=2√4+2√2，故选C ． 9.答案：D解析：【分析】本题考查了三棱锥的三视图、体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．【解答】解：由三视图可知：该几何体为三棱锥，如图所示：该三棱锥的体积==10．故选D ． 10.答案：D解析：【分析】本题给出三棱锥的三条侧棱两两垂直，求它的外接球的表面积，着重考查了长方体对角线公式和球的表面积计算等知识，属于基础题．以PA 、PB 、PC 为过同一顶点的三条棱，作正方体如图，则正方体的外接球同时也是三棱锥P −ABC 外接球．算出正方体的对角线即为球直径，结合球的表面积公式，可算出三棱锥P −ABC 外接球的表面积． 【解答】解：∵三棱锥P −ABC 的侧棱长相等，故设AP =PB =PC =a ， 底面正三角形ABC 的边长为√2，PA ⊥平面PBC 时， 可得a 2+a 2=2，∴a =1， 即AP =PB =PC =1，以PA 、PB 、PC 为过同一顶点的三条棱，作正方体如图， 则正方体的外接球同时也是三棱锥P −ABC 外接球． ∵正方体的对角线长为√3a 2=√3，∴半径R =√32，因此，三棱锥P −ABC 外接球的表面积是4πR 2=4π×(√32)2=3π． 故选：D ． 11.答案：B解析：解：∵不全为零的实数a ，b ，c 成等差数列， ∴2b =a +c ， 把b =a+c 2代入直线l ：ax +by +c =0，可得ax +a+c 2y +c =0，化为a(2x +y)+c(y +2)=0， 由于a ，c 不全为0， 联立{2x +y =0y +2=0，解得{x =1y =−2，可知：动直线l 过定点Q(1,−2)， 设点M(x,y)， ∵PM ⊥QM ，∴PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅QM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x +1,y +2)⋅(x −1,y +2)=x 2−1+(y +2)2=0， 化为x 2+(y +2)2=1，因此点M 在以(0,−2)为圆心，1为半径的圆上，圆心(0,−2)到N(3,2)的距离d =√32+(−2−2)2=√9+16=√25=5， 则|MN|的最大值为d +r =5+1=6． 故选：B ．由于不全为零的实数a ，b ，c 成等差数列，可得2b =a +c.代入直线l ：ax +by +c =0可得a(2x +y)+c(y +2)=0，可得：动直线l 过定点(1,−2).由于PM ⊥MQ ，可知点M 在以PQ 为直径的圆上，进而得出答案．本题考查了等差数列的定义、直线过定点问题、圆的标准方程及其性质、最值问题等基础知识与基本技能方法，属于难题．综合性较强． 12.答案：C解析：解：如右图所示，延长EF 和A 1B 1相交于点G ． 由题可知，B 1F =12A 1E =13.∴B 1G =A 1B 1． 连接D 1G 交B 1C 1于点K ．∵B 1G//D 1C 1且B 1G =D 1C 1.∴K 是B 1C 1的中点． 连接KF ，在Rt △FB 1K 中，B 1F =13，B 1K =12 ∴FK =√B 1F 2+B 1K 2=√(13)2+(12)2=√136． 故选：C ．把过点D 1，E ，F 的截面拓展就可以确定点K 的位置，从而求出线段KF 的长． 本题考查了平面的基本性质，解题关键是把平面D 1EF 拓展为平面D 1EFK ． 13.答案：y =−2x +4解析：解：直线l ：x −2y =3的斜率是：12由两直线垂直的性质可知，所求的直线的斜率k =−2， 所求直线的方程为y −2=−2(x −1)即y =−2x +4， 故答案为：y =−2x +4．由两直线垂直的性质可知，所求的直线的斜率k ，然后利用直线的点斜式可求直线方程． 本题主要考查了直线方程的求解，解题的关键是利用垂直关系求解出直线的斜率． 14.答案：±5解析：解：两平行直线l 1：ax +4y =0；l 2：3x +4y +m =0，∴a3=44≠0m ，∴a =3，m ≠0， ∴两平行直线l 1：3x +4y =0；l 2：3x +4y +m =0，=1，∴m=±5，若两直线之间的距离为1，则|m−0|√9+16故答案为：±5．，根据两直线之间利用两条平行线的性质求得a的值，再利用两条平行直线间的距离公式d=|C2−C1|√A2+B2的距离为1，求出m的值．应用，注意未知数的系数必需相同，属于基础本题主要考查两条平行直线间的距离公式d=|C2−C1|√A2+B2题．15.答案：2√2)2，解析：解：设侧棱AA1的长为2x，则由题意，可得8+x2+2+x2=4x2+(2√2×√32∴x=√2，2x=2√2．故答案为2√2．)2，求出x，即可得出结论．设侧棱AA1的长为2x，则由题意，可得8+x2+2+x2=4x2+(2√2×√32本题考查侧棱AA1的长的计算，考查勾股定理的运用，正确运用勾股定理是关键．16.答案：①②③④解析：【分析】由题意和线面垂直的判定定理、定义判断出①④正确；由AB//CD和线面平行的判定定理判断出②正确；由SD⊥底面ABCD、线面角的定义判断出③正确；由异面直线所成角的定义、边的大小关系判断出⑤错误．本题考查了线面平行、垂直的判定定理，线面角的定义，异面直线所成角的定义等应用，考查知识广泛，综合性强，熟练掌握定理、定义是解题的关键．【解答】解：连接SO，如右图：∵四棱锥S−ABCD的底面为正方形，∴AC⊥BD、AB=AD=BC=CD、AC=BD，∵SD⊥底面ABCD，∴SD⊥AC，∵SD∩BD=D，∴AC⊥平面SBD，∵SB⊂平面SBD，∴AC⊥SB，则①正确；∵AB//CD，AB⊄平面SCD，CD⊂平面SCD，∴AB//平面SCD，则②正确；∵SD⊥底面ABCD，∴∠SAD和∠SCD分别是SA与平面ABD所成的角、SC与平面ABD所成的角，∵AD=CD，SD=SD，∴∠SAD=∠SCD，则③正确；∵AC⊥平面SBD，SO⊂平面SBD，∴AC⊥SO，则④正确；∵AB//CD，∴∠SCD是AB与SC所成的角，∠SAB是DC与SA所成的角，∵△SDA≌△SDC ，∴SA =SC ，∵AB =CD ，SB >SD ，∴∠SCD ≠∠SAB ，则⑤不正确，故答案为：①②③④．17.答案：解：记多面体M −ABCD 的外接球的球心为O ，如图，过点O 分别作平面ABCD 和平面ABEF 的垂线，垂足分别为Q ，H ，连接MH 并延长，交AB 于点N ，连接OM ，NQ ，AQ ，设球O 的半径为R ，球心到平面ABCD 的距离为d ，即OQ =d ，∵矩形ABEF 所在的平面与矩形ABCD 所在的平面互相垂直，AF =3√32，M 为EF 的中点，∴MN =3√32，又AB =3，AD =2，∴AN =NB =32，NQ =1，∴R 2=(√22+322)2+d 2=12+(3√32−d)2， ∴d =√32，R 2=4，∴多面体M −ABCD 的外接球的表面积为4πR 2=16π．解析：本题考查空间几何体的外接球的表面积，难度一般．设球O 的半径为R ，球心到平面ABCD 的距离为d ，构造方程R 2=(√22+322)2+d 2可求R ． 18.答案：略解析：取m =0,m =1得，y =1,x +y −2=0，联立解得，，x =1,y =1，将(1,1)代入mx +y −m −1=0检验满足方程，∴直线mx +y −m −1=0(m 是参数且m ∈R)过定点(1,1)．19.答案：(1)证明：∵四边形ABCD 为菱形，∴AC ⊥BD ，∵BE ⊥平面ABCD ，∴AC ⊥BE ，又∵BD ∩BE =B ，∴AC ⊥平面BED ；(2)解：∵∠ABC =120°，AB =2，∴AB =DB =2，AG =√3，DG =1，∵AE ⊥EC ，∴EG =12AC =√3，则BE =√2， ∴V E−ABD =13×12×2×2×sin60°×√2=√63．解析：本题考查了空间线面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法．属于中档题．(1)证明AC ⊥BD ，AC ⊥BE ，即可证明AC ⊥平面BED ；(2)由已知求解三角形可得BE ，再由棱锥体积公式求解．20.答案：解：设点A 关于2x −y −7=0的对称点为A′(a,b)，点A′在反射光线所在直线上，则{2·a−22−b+42−7=0,b−4a+2·2=−1,解得{a =10,b =−2.∴A′(10,−2)，∴k A′B =−2−810−5=−2，∴反射光线的方程为y −8=−2(x −5)，即2x +y −18=0；直线2x −y −7=0与反射光线2x +y −18=0的交点为C(254,112)，k AC =211，∴入射光线的方程为y −4=211(x +2)，即2x −11y +48=0．解析：本题主要考查求一个点关于直线的对称点的坐标，用两点式求直线的方程，属于中档题． 求得点A 关于直线2x −y −7=0的对称点A′的坐标，可得直线A′B 的方程为2x +y −18=0，即为反射光线所在的直线方程；求得直线2x −y −7=0与反射光线2x +y −18=0的交点C 的坐标，得到k AC =211，所以入射光线的方程为y −4=211(x +2)，得到答案． 21.答案：证明：(Ⅰ)∵AC 是球的直径，则AM ⊥MC ，又PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴CD ⊥PA ，∵CD ⊥AD ，AD ∩PA =A ，AD 、PA ⊂平面PCD ，∴CD ⊥平面PCD ，AM ⊂平面PCD ，∴AM ⊥CD ，又PA =AD =2，M 是PD 中点，∴AM ⊥PD ，∴AM⊥平面PCD，根据证明可知四面体MCDA是“鳖臑”，它的四个直角分别是∠AMC，∠AMD，∠ADC，∠MDC．解：(Ⅱ)由第一问可知AM⊥PD，又PA=AD，则M是PD中点，∴AM=MD=√2，MC=√MD2+CD2=2，取MC中点E，则在直角△MCD中，由MD=CD，得DE⊥MC，又AM⊥平面PCD，DE⊂平面PCD，从而AM⊥DE，∵AM∩MC=M，AM、MC⊂平面MAC，∴DE⊥平面MAC，∴D点到平面AMC的距离为ℎ=DE=1，又P与D关于M对称，P点到平面AMC的距离为1，又AN⊥PC，Rt△PAC中，NCPN =AC2PA2=32，∴CNPC =35，设N到平面ACM的距离为ℎ′，则ℎ′ℎ=CNPC=35，解得ℎ′=35，在直角△NAC中，ON=12AC=√62，记ON与平面AMC所成角为θ，则sinθ=ℎ′ON =√65．∴直线ON与平面ACM所成角的正弦值为√65．解析：本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于中档题．(Ⅰ)推导出AM⊥CD，AM⊥PD，由此能求出AM⊥平面PCD，根据证明可知四面体MCDA是“鳖臑”，它的四个直角分别是∠AMC，∠AMD，∠ADC，∠MDC．(Ⅱ)由AM⊥PD，PA=AD，则M是PD中点，取MC中点E，则DE⊥MC，又AM⊥平面PCD，从而AM⊥DE，由此得到DE⊥平面MAC，从而D点到平面AMC的距离为ℎ=DE=1，由P与D关于M对称，P点到平面AMC的距离为1，求出N到平面ACM的距离为ℎ′=35，由此能求出直线ON 与平面ACM所成角的正弦值．。
安徽省芜湖市2019-2020学年高二上学期期中考试数学(理)试卷
数学(理)试卷（考试时间；120分钟 满分；150分 ）一、选择题：（本大题共12个小题,每小题5分,共60分．每小题只有一项符合题目要求） 1. 如右图所示是一个几何体的三视图，则该几何体为 ( ) A. 圆柱 B. 圆锥 C. 圆台 D. 球2.过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( )A ．x －2y －1＝0B ．x －2y ＋1＝0C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝03.下列命题中，错误的是（ ） A.一条直线和直线外一点确定一个平面 B.平行于同一平面的两个不同平面平行C.若直线l 不平行平面α，则在平面α内不存在与l 平行的直线D.如果平面α不垂直平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β4.空间不共线的四点，可以确定平面的个数为 ( ) A ．0 B ．1 C ．1或4 D ．无法确定5．圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为( ) A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．相离6.设m ,n 是两条不同的直线, α,β,γ是三个不同的平面．有下列四个命题： ①//,,,//m n m n αβαβ⊆⊆若则；②若m α⊥，//m β，则αβ⊥； ③ 若n α⊥，n β⊥，m α⊥，则m β⊥； ④ 若αγ⊥，βγ⊥，m α⊥，则m β⊥． 其中正确命题的序号是( )A ．①③ B．①④ C ．②③④ D ．②③7．圆x 2＋y 2＝50与圆x 2＋y 2－12x －6y ＋40＝0的公共弦长为（ ）A. 5B. 6 C ．2 5 D ．2 68.在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝1.5，∠ABC ＝120°，若使△ABC 绕直线旋转一周，则所形成的几何体的体积是( )．A. πB. πC. πD. π9．过点)1,0(P 与圆22(1)4x y -+=相交的所有直线中，被圆截得的弦最长的直线方程是（ ）A ．0=xB ．1=yC ．01=-+y xD ．01=+-y x10.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为( )A. 2B.6C.22D.3211.若圆C:222430x y x y ++-+=关于直线260ax by ++= 对称，则由点(,)a b 向圆所作的切线长的最小值是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D.612．在一个45︒的二面角的一个平面内有一条直线与二面角的棱成角45︒，则此直线与二面角的另一个平面所成角的大小为 ( )A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上) 13.已知直线l 与直线01=--y x 垂直,则直线l 的倾斜角=α______________14．直线l ：(k ＋1)x －(k －1)y －2k ＝0恒过定点_______.15．圆(x －3)2＋(y －3)2＝9上到直线3x ＋4y －m ＝0的距离等于1的点有3个，则m =_______16. 六棱锥P —ABCDEF 中，底面ABCDEF 是正六边形，PA ⊥底面ABCDEF ，给出下列四个命题①线段PC 的长是点P 到线段CD 的距离； ②异面直线PB 与EF 所成角是∠PBC ；③线段AD 的长是直线CD 与平面PAF 的距离； ④∠PEA 是二面角P —DE —A 平面角。
2019-2020学年安徽省芜湖市数学高二第二学期期末考试试题含解析
2019-2020学年安徽省芜湖市数学高二第二学期期末考试试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．把编号分别为1，2，3，4，5的五张电影票全部分给甲、乙、丙三个人，每人至少一张，若分得的电影票超过一张，则必须是连号，那么不同分法的种数为（ ）A ．36B ．40C ．42D ．48【答案】A【解析】【分析】将情况分为113和122两种情况，相加得到答案.【详解】当分的票数为1,1,3这种情况时：1232318C A ⨯⨯=当分的票数为1,2,2这种情况时：一张票数的人可以选择1,3,5：1232318C A ⨯⨯= 不同分法的种数为36故答案选A【点睛】本题考查了排列组合，将情况分为两类可以简化运算.2．已知{}n a 为等差数列, 13524618,24a a a a a a ++=++=,则20a =（ ）A ．42B ．40C ．38D ．36 【答案】B【解析】分析：由已知结合等差数列的性质可求3,d a ，然后由20317a a d =+即可求解. 详解：13518a a a ++=，246135318324a a a a a a d d ∴++=+++=+=，32,6d a ∴==，2031763440a a d ∴=+=+=，故选：B.点睛：(1)等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题．(2)数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．3．若,m n 均为非负整数，在做m n +的加法时各位均不进位（例如，134********+=），则称(),m n 为“简单的”有序对，而m n +称为有序数对(),m n 的值，那么值为2964的“简单的”有序对的个数是（ ）A ．525B ．1050C ．432D ．864【答案】B【解析】分析：由题意知本题是一个分步计数原理，第一位取法两种为0，1，2，第二位有10种从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 第三位有7种，0，1，2，3，4，5，6第四为有5种，0，1，2，3，4根据分步计数原理得到结果．详解：由题意知本题是一个分步计数原理，第一位取法两种为0，1 2第二位有10种从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9第三位有7种，0，1，2，3，4，5，6第四为有5种，0，1，2 3，4根据分步计数原理知共有3×10×7×5=1050个 故答案为：B.点睛：解答排列、组合问题的角度：解答排列、组合应用题要从“分析”、“分辨”、“分类”、“分步”的角度入手．(1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”；(2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有、无限制等；(3)“分类”就是将较复杂的应用题中的元素分成互相排斥的几类，然后逐类解决；(4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列、组合问题，然后逐步解决． 4．已知1F ，2F 分别为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点，点P 是C 右支上一点，若120PF PF ⋅=，且124cos 5PF F ∠=，则C 的离心率为（ ） A ．257 B ．4 C ．5 D ．57【答案】C【解析】【分析】在12PF F △中，求出1PF ，2PF ，然后利用双曲线的定义列式求解．【详解】在12PF F △中，因为120PF PF ⋅=，所以1290F PF ∠=，1121248cos 255c PF F F PF F c =⋅∠=⋅=，2121236sin 255c PF F F PF F c =⋅∠=⋅=， 则由双曲线的定义可得128622555c c c a PF PF =-=-= 所以离心率5c e a ==，故选C. 【点睛】本题考查双曲线的定义和离心率，解题的关键是求出1PF ，2PF ，属于一般题．5．五个人站成一排，其中甲乙相邻的站法有（ ）A ．18种B ．24种C ．48种D ．36种 【答案】C【解析】【分析】将甲乙看作一个大的元素与其他元素进行排列，再乘22A 即可得出结论．【详解】五个人站成一排，其中甲乙相邻，将甲乙看作一个大的元素与其他3人进行排列44A ，再考虑甲乙顺序为22A ，故共4242=48A A ⋅种站法. 故选：C.【点睛】本题考查排列组合的应用，求排列组合常用的方法有：元素优先法、插空法、捆绑法、隔板法、间接法等，解决排列组合问题对学生的抽象思维能力和逻辑思维能力要求较高，本题属于简单题.6．已知X 的分布列为设Y ＝2X ＋3，则E(Y)的值为 A ． 73 B ．4 C ．－1 D ．1【答案】A【解析】由条件中所给的随机变量的分布列可知EX=﹣1×12+0×13+1×16=﹣13， ∵E （2X+3）=2E （X ）+3，∴E （2X+3）=2×（﹣13）+3=73．故答案为：A ． 7．不等式|1||2|x x a +--<无实数解，则a 的取值范围是( )A ．(,3)-∞B ．(3,)-+∞C ．(,3]-∞-D ．(,3)-∞-【答案】C【解析】【分析】 利用绝对值不等式的性质||||||a b a b -≤-，因此得出||||a b -的范围，再根据无实数解得出a 的范围。
安徽省芜湖市第一中学高二上学期期中考试数学(理)试题(解析版)
2019-2020学年安徽省芜湖市第一中学高二上学期期中考试数学（理）试题一、单选题1350y --=的倾斜角为（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 【答案】A【解析】根据直线倾斜角的正切值等于切线斜率求解即可. 【详解】350y --=故倾斜角θ的正切值tan θ=,又[)0,θπ∈,故6πθ=.故选：A 【点睛】本题主要考查了直线倾斜角与斜率的关系,属于基础题型. 2．下列说法正确的是（ ）A ．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫作棱柱B ．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的多面体一定是棱锥C ．用平行于圆台底面的平面截圆台，其截面是圆面D ．直角三角形绕它的一边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥 【答案】C【解析】根据常见几何体的定义判断或举出反例即可. 【详解】对A, 有两个面互相平行,其余各面都是四边形的几何体也可以是台体,故A 错误. 对B,如图所示多面体满足只有底面为四边形,其他面均为三角形,但不是锥体对C, 用平行于圆台底面的平面截圆台,其截面是圆面正确.对D, 直角三角形绕它的斜边旋转一周形成的曲面围成的几何体是两个圆锥的结合体,故D 错误. 故选：C 【点睛】本题主要考查基本几何体的判断与概念等,属于基础题型.3．如图正方形OABC 的边长为1cm ，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（ ）A ．8cmB ．6cmC ．D ．【答案】A【解析】试题分析：由题意得，正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，所以，对应原图形平行四边形的高为，如图所示，所以原图形中，，所以原图形的周长为，故选A ．【考点】平面图形的直观图．4．已知圆()()221 221:C x y ++-=，圆 ()()222 2516:C x y -+-= ，则圆1C 与圆2C 的位置关系是（ ） A ．相离 B ．相交C ．外切D ．内切【答案】C【解析】1(2,2)C -，11r =，2(2,5)C ，24r =，12125C C r r ===+，即两圆外切，故选C ．点睛：判断圆与圆的位置关系的常见方法 (1)几何法：利用圆心距与两半径和与差的关系． (2)切线法：根据公切线条数确定． （3）数形结合法：直接根据图形确定5．已知直线60x my ++=和()2320m x y m -++=互相平行，则实数m 的取值为（ ） A ．1-或3 B ．1-C ．3-D ．1或3-【答案】B【解析】利用两直线平行的等价条件求得实数m 的值. 【详解】∵两条直线x+my+6=0和（m ﹣2）x+3y+2m=0互相平行， ∴13m 202620m m m ⨯-=⎧⎨-≠⎩﹣（﹣）解得 m=﹣1， 故选：B ． 【点睛】已知两直线的一般方程判定两直线平行或垂直时，记住以下结论，可避免讨论： 已知1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=，则12211212210//0A B A B l l AC A C -=⎧⇔⎨-≠⎩，1212120l l A A B B ⊥⇔+= ．6．若,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题中正确的是( ) A ．若//,//m m βα，则//βα B ．若//,//m n n α，则//m α C ．若,m n m α⊥⊥，则//n α D ．若//,m m βα⊥，则βα⊥【答案】D【解析】利用正方体中的线面关系容易否定,,A B C ，故选D ． 【详解】选取一个正方体，如下图：对于答案A ，令11m A D =,α=平面ABCD ，β=平面11AB C D , 满足//,//m m βα，但是α与β不平行，所以A 答案错误. 对于答案B ，令11m A D =，n AD =，α=平面1111D C B A ， 满足//,//m n n α，但是α与m 不平行，所以B 答案错误. 对于答案C ，令11m A D =，α=平面11CDD C ,11n C D =, 满足,m n m α⊥⊥,但是α与n 不平行，所以C 答案错误. 排除,,A B C . 故选：D ． 【点睛】本题主要考查了线面位置关系，考查空间思维能力及举特例方法，属于基础题。
2019-2020学年安徽省芜湖市第一中学高二上学期期中考试数学(理)试题(解析版)
2019-2020学年安徽省芜湖市第一中学高二上学期期中考试数学（理）试题一、单选题1350y --=的倾斜角为（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 【答案】A【解析】根据直线倾斜角的正切值等于切线斜率求解即可. 【详解】350y --=故倾斜角θ的正切值tan θ=,又[)0,θπ∈,故6πθ=.故选：A 【点睛】本题主要考查了直线倾斜角与斜率的关系,属于基础题型. 2．下列说法正确的是（ ）A ．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫作棱柱B ．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的多面体一定是棱锥C ．用平行于圆台底面的平面截圆台，其截面是圆面D ．直角三角形绕它的一边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥 【答案】C【解析】根据常见几何体的定义判断或举出反例即可. 【详解】对A, 有两个面互相平行,其余各面都是四边形的几何体也可以是台体,故A 错误. 对B,如图所示多面体满足只有底面为四边形,其他面均为三角形,但不是锥体对C, 用平行于圆台底面的平面截圆台,其截面是圆面正确.对D, 直角三角形绕它的斜边旋转一周形成的曲面围成的几何体是两个圆锥的结合体,故D 错误. 故选：C 【点睛】本题主要考查基本几何体的判断与概念等,属于基础题型.3．如图正方形OABC 的边长为1cm ，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（ ）A ．8cmB ．6cmC ．D ．【答案】A【解析】试题分析：由题意得，正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，所以，对应原图形平行四边形的高为，如图所示，所以原图形中，，所以原图形的周长为，故选A ．【考点】平面图形的直观图．4．已知圆()()221 221:C x y ++-=，圆 ()()222 2516:C x y -+-= ，则圆1C 与圆2C 的位置关系是（ ） A ．相离 B ．相交C ．外切D ．内切【答案】C【解析】1(2,2)C -，11r =，2(2,5)C ，24r =，12125C C r r ===+，即两圆外切，故选C ．点睛：判断圆与圆的位置关系的常见方法 (1)几何法：利用圆心距与两半径和与差的关系． (2)切线法：根据公切线条数确定． （3）数形结合法：直接根据图形确定5．已知直线60x my ++=和()2320m x y m -++=互相平行，则实数m 的取值为（ ） A ．1-或3 B ．1-C ．3-D ．1或3-【答案】B【解析】利用两直线平行的等价条件求得实数m 的值. 【详解】∵两条直线x+my+6=0和（m ﹣2）x+3y+2m=0互相平行， ∴13m 202620m m m ⨯-=⎧⎨-≠⎩﹣（﹣）解得 m=﹣1， 故选：B ． 【点睛】已知两直线的一般方程判定两直线平行或垂直时，记住以下结论，可避免讨论： 已知1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=，则12211212210//0A B A B l l AC A C -=⎧⇔⎨-≠⎩，1212120l l A A B B ⊥⇔+= ．6．若,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题中正确的是( ) A ．若//,//m m βα，则//βα B ．若//,//m n n α，则//m α C ．若,m n m α⊥⊥，则//n α D ．若//,m m βα⊥，则βα⊥【答案】D【解析】利用正方体中的线面关系容易否定,,A B C ，故选D ． 【详解】选取一个正方体，如下图：对于答案A ，令11m A D =,α=平面ABCD ，β=平面11AB C D , 满足//,//m m βα，但是α与β不平行，所以A 答案错误. 对于答案B ，令11m A D =，n AD =，α=平面1111D C B A ， 满足//,//m n n α，但是α与m 不平行，所以B 答案错误. 对于答案C ，令11m A D =，α=平面11CDD C ,11n C D =, 满足,m n m α⊥⊥,但是α与n 不平行，所以C 答案错误. 排除,,A B C . 故选：D ． 【点睛】本题主要考查了线面位置关系，考查空间思维能力及举特例方法，属于基础题。
安徽省芜湖市2019_2020学年高二数学上学期期末考前测试试题文
安徽省芜湖市2019-2020学年高二数学上学期期末考前测试试题 文（考试时间:120分钟，满分:150分 ）一、选择题（本题共12个小题,每题只有一个正确答案 ，每题5分，共60分。
请把答案涂在答题卡上）1．直线x y --=330的倾斜角是A. 6πB. 3πC. 32πD. 65π2．直线(21)10m x my -++=和直线330mx y ++=垂直，则实数m 的值为 A ．1 B ．0 C ．2 D ．-1或03．设双曲线()x y b b -=>222109的渐近线方程为x y ±=230，则b 的值为 A.1 B. 2 C.4 D.164．圆x 2＋(y －3)2＝1上的动点P 到点Q (2，3)的距离的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．45．椭圆14922=++ky x 的离心率为45，则k 的值为( ) A ．－21 B ．21 C ．－1925或21 D ．1925或216．已知两个不同的平面α，β和两条不重合的直线m ，n ，有下列四个命题：①若m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥α； ②若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β；③若m ⊥α，m ∥n ，n ⊂β，则α⊥β； ④若m ∥α，α∩β＝n ，则m ∥n . 其中真命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．37．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积是A. 13B. 23C. 43 D.83（第7题图）8．若椭圆x y +=221123的一条弦被点(2,1)平分，则这条弦所在的直线方程是 A ．02=-y x B ．x y --=230 C ．x y +-=240 D ．x y +-=2509．已知直三棱柱ABC A B C -111，ABC ∠=120o，,AB BC CC ===121,则异面直线AB 1与BC 所成角的余弦值为A. 15 B.5C. 5D.5（第9题图）10．平面直角坐标系内，过点()0,2的直线l 与曲线21x y -=相交于B A 、两点，当AOB∆的面积最大时，直线l 的斜率为（ ）A. 33- B.3- C. 21- D.22- 11．已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点)0,(c F -关于直线0=+cy bx 的对称点P 在椭圆上，则椭圆的离心率是( )A ．22 B ．34 C ．33 D ．2412.已知三棱锥P ABC -的棱AP AB AC 、、两两垂直，且长度都为3，以顶点P 为球心2为半径作一个球，则图中球面与三棱锥的表面相交所得到的四段弧长之和等于( ) A ．32π B ．65π C ． π D ． π32（第12题图） 二、填空题（本题共4个小题,每题5分，共计20分.请把答案写在答题纸上）13．圆：0222=+-+y x y x 和圆：02322=--++y x y x 交于B A ,两点，则直线AB 的方程是__________________．14．设AB 是椭圆的长轴，点C 在椭圆上，且∠CBA＝π4，若AB ＝4，BC ＝2，则椭圆的两个焦点之间的距离为________．15．在四面体ABCD 中，ACB ∠=90o, AB AD AC ===2BD =4，CD =则四面体ABCD 外接球的体积为________．16．已知直线:l x y +-=230和圆:()C x y x y a a ++-+=22240是实数，直线l 与圆C 交于(,),(,)A x y B x y 1122两点，则x y x y -+-=112222________．三、解答题（本题共6个小题，其中第17题10分，其余每题12分，共计70分。
芜湖市一中2019-2020学年上学期期中考高二数学(理)试卷附答案解析
芜湖市一中2019-2020学年上学期期中考高二数学（理）试卷一、单选题1．直线3350x y --=的倾斜角为（）A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π2．下列说法正确的是（）A ．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫作棱柱B ．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的多面体一定是棱锥C ．用平行于圆台底面的平面截圆台，其截面是圆面D ．直角三角形绕它的一边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥3．如图正方形OABC 的边长为1cm ，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（）A ．8cmB ．6cmC ．2(1+3)cmD ．2(1+2)cm4．已知圆()()221 221:C x y ++-=，圆()()222 2516:C x y -+-=，则圆1C 与圆2 C 的位置关系是（）A ．相离B ．相交C ．外切D ．内切5．已知直线60x my ++=和()2320m x y m -++=互相平行，则实数m 的取值为（）A ．1-或3B ．1-C ．3-D ．1或3-6．若,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题中正确的是()A ．若//,//m m βα，则//βαB ．若//,//m n n α，则//m αC ．若,m n m α⊥⊥，则//n αD ．若//,m m βα⊥，则βα⊥7．一个几何体的三视图如图所示，则它的体积为（）A ．203B ．403C ．83D ．408．与圆224240x y x y +-++=关于直线30x y -+=成轴对称的圆的方程是（）A ．22810400x y x y +-++=B ．22810200x y x y +-++=C ．22810400x y x y ++-+=D ．22810200x y x y ++-+=9．若直线1x ya b+=与圆221x y +=有公共点，则（）A ．221a b +≤B ．221a b +≥C ．22111a b+≤D ．22111a b +≥10．由直线1y x =+上的一点P 向圆C ：()2231x y -+=引切线，切点分别为A ，B ，则四边形PACB 面积的最小值为（）A ．1B ．22C ．7D ．311．在正三棱锥S −ABC 中，M 是SC 的中点，且AM⊥SB ，底面边长AB =22，则正三棱锥S −ABC的外接球的表面积为（）A ．6πB ．12πC ．32πD ．36π12．正方体''''ABCD A B C D -棱长为6，点P 在棱AB 上，满足PA PB =，过点P 的直线l 与直线''A D 、'CC 分别交于E 、F 两点，则EF =（）A ．313B ．95C ．18D ．21二、填空题13．已知直线l 过点()2,2-且与直线1l ：230x y -+=垂直，则直线l 的方程为______.14．已知正三棱柱111ABC A B C -，2AB =，13AA =，D ，E 分别是棱11A B ，11A C 中点，则异面直线AD 与CE 夹角的余弦值为______.15．已知m R ∈，动直线1l ：10x my +-=过定点A ，动直线2l ：230mx y m --+=过定点B ，若1l 与2l 交于点P （异于点A ，B ），则PA PB +的最大值为______.16．如图，在直角梯形SDCB 中，//SD CB ，CD SD ⊥，7SD =，4BC =，4DC =，A 在线段SD上，E 是线段AB 的中点，沿AB 把平面SAB 折起到平面PAB 的位置，使PA ⊥平面ABCD ，则下列命题正确的编号为______.①二面角P CD B --的余弦值为35；②设折起后几何体的棱PD 的中点F ，则//AF 平面PEC ；③8D PEC V -=；④四棱锥P ABCD -的内切球的表面积为4π.三、解答题17．在四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD DC ⊥，4=AD ，3BC =，3BAD π∠=，以AB 所在的直线为轴，四边形旋转一周形成一旋转体，求此旋转体的表面积.18．在ABC ∆中，已知BC 边上的高所在直线的方程为210x y -+=,A ∠平分线所在直线的方程为0y =，若点B 的坐标为（1，2），（Ⅰ）求直线BC 的方程；（Ⅱ）求点C 的坐标19．如图，正方形11AA D D 与矩形ABCD 所在平面互相垂直，22AB AD ==，E 为AB 的中点.（1）求证：1//BD 平面1A DE ；（2）求二面角1D EC D --的余弦值.20．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AD AB ⊥，//AB DC ，1AB =，2AD DC AP ===，点E 为棱PC 的中点.（1）证明：//BE 面PAD ；（2）证明：面PBC ⊥面PDC ；（3）求直线PD 与面PBC 所成角的正弦值.21．已知圆C ：()()22121x y -+-=，过圆C 外一点P 作该圆的一条切线，切点为Q ，O 为坐标原点，且有OP PQ =.（1）求点P 的轨迹方程E ；（2）若轨迹方程E 与圆2260x y x y m ++-+=相交于M ，N 两点，O 为原点，且OM ON ⊥，求实数m 的值.22．已知圆C ：224x y +=，过坐标原点O 的直线l 交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PH x ⊥轴，垂足为H .连结QH 并延长交C 于点R .（1）设O 到直线QH 的距离为d ，求d 的取值范围；（2）求PQR ∆面积的最大值及此时直线l 的方程.解析芜湖市一中2019-2020学年上学期期中考高二数学（理）试卷一、单选题1．直线3350x y --=的倾斜角为（）A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π【答案】A【解析】根据直线倾斜角的正切值等于切线斜率求解即可.【详解】直线3350x y --=的斜率为33,故倾斜角θ的正切值3tan 3θ=,又[)0,θπ∈,故6πθ=.故选：A 【点睛】本题主要考查了直线倾斜角与斜率的关系,属于基础题型.2．下列说法正确的是（）A ．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫作棱柱B ．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的多面体一定是棱锥C ．用平行于圆台底面的平面截圆台，其截面是圆面D ．直角三角形绕它的一边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥【答案】C【解析】根据常见几何体的定义判断或举出反例即可.【详解】对A,有两个面互相平行,其余各面都是四边形的几何体也可以是台体,故A 错误.对B,如图所示多面体满足只有底面为四边形,其他面均为三角形,但不是锥体对C,用平行于圆台底面的平面截圆台,其截面是圆面正确.对D,直角三角形绕它的斜边旋转一周形成的曲面围成的几何体是两个圆锥的结合体,故D 错误.故选：C 【点睛】本题主要考查基本几何体的判断与概念等,属于基础题型.3．如图正方形OABC 的边长为1cm ，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（）A ．8cmB ．6cmC ．2(1+3)cmD ．2(1+2)cm【答案】A【解析】试题分析：由题意得，正方形O ′A ′B ′C ′的边长为1cm ，它是水平放置的一个平面图形的直观图，所以O ′B ′=2cm ，对应原图形平行四边形的高为22cm ，如图所示，所以原图形中，OA =BC =1cm,AB =OC =(22)2+1=3cm ，所以原图形的周长为2×(1+3)=8cm ，故选A ．【考点】平面图形的直观图．4．已知圆()()221 221:C x y ++-=，圆()()222 2516:C x y -+-=，则圆1C 与圆2 C 的位置关系是（）A ．相离B ．相交C ．外切D ．内切【答案】C【解析】1(2,2)C -，11r =，2(2,5)C ，24r =，221212(22)(25)5C C r r =--+-==+，即两圆外切，故选C ．点睛：判断圆与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用圆心距与两半径和与差的关系．(2)切线法：根据公切线条数确定．（3）数形结合法：直接根据图形确定5．已知直线60x my ++=和()2320m x y m -++=互相平行，则实数m 的取值为（）A ．1-或3B ．1-C ．3-D ．1或3-【答案】B【解析】利用两直线平行的等价条件求得实数m 的值.【详解】∵两条直线x+my+6=0和（m ﹣2）x+3y+2m=0互相平行，∴13m 202620m m m ⨯-=⎧⎨-≠⎩﹣（﹣）解得m=﹣1，故选：B ．【点睛】已知两直线的一般方程判定两直线平行或垂直时，记住以下结论，可避免讨论：已知1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=，则12211212210//0A B A B l l ACA C -=⎧⇔⎨-≠⎩，1212120l l A A B B ⊥⇔+=．6．若,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题中正确的是()A ．若//,//m m βα，则//βαB ．若//,//m n n α，则//m αC ．若,m n m α⊥⊥，则//n αD ．若//,m m βα⊥，则βα⊥【答案】D【解析】利用正方体中的线面关系容易否定,,A B C ，故选D ．【详解】选取一个正方体，如下图：对于答案A ，令11m A D =,α=平面ABCD ，β=平面11AB C D ,满足//,//m m βα，但是α与β不平行，所以A 答案错误.对于答案B ，令11m A D =，n AD =，α=平面1111D C B A ，满足//,//m n n α，但是α与m 不平行，所以B 答案错误.对于答案C ，令11m A D =，α=平面11CDD C ,11n C D =,满足,m n m α⊥⊥,但是α与n 不平行，所以C 答案错误.排除,,A B C .故选：D ．【点睛】本题主要考查了线面位置关系，考查空间思维能力及举特例方法，属于基础题。
安徽省芜湖市2019-2020学年数学高二上学期理数期中考试试卷(I)卷
安徽省芜湖市2019-2020学年数学高二上学期理数期中考试试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知，，则下面说法中，正确的个数是（）（1）线段AB的中点坐标为；（2）线段AB的长度为；（3）到A，B两点的距离相等的点的坐标满足.A . 0个B . 1个C . 2个D . 3个2. （2分）(2017·渝中模拟) 已知双曲线M的实轴长为2，且它的一条渐近线方程为y=2x，则双曲线M的标准方程可能是（）A . x2﹣4y2=1B . =1C . ﹣x2=1D . y2﹣4x2=13. （2分） (2016高一下·武汉期末) 若直线l1：y=k（x﹣4）与直线l2关于点（2，1）对称，则直线l2恒过定点（）A . （0，4）B . （0，2）C . （﹣2，4）D . （4，﹣2）4. （2分）已知a>0,x,y，满足约束条件，若z=2x+y的最小值为，则a= （）A .B .C . 1D . 25. （2分）两条直线l1：2x+y﹣1=0和l2：x﹣2y+4=0的交点为（）A . （，）B . （-，）C . （， -）D . （-， -）6. （2分）在复平面中，满足等式|z+1|﹣|z﹣1|=2的z所对应点的轨迹是（）A . 双曲线B . 双曲线的一支C . 一条射线D . 两条射线7. （2分） (2019高二上·长治月考) 过点作直线与椭圆交于两点，若线段的中点恰好为点，则所在直线方程是（）A .B .C .D .8. （2分）过点(4,4)引圆(x-1)2+(y-3)2=4的切线，则切线长是A . 2B .C .D .9. （2分）已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值是（）A .B .C .D .10. （2分）已知点在椭圆上，则的最大值为（）A . -2B . -1C . 2D . 711. （2分） (2016高一下·揭西开学考) 若抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，点A（3，2）在抛物线开口内，点P为抛物线上一点，当△APF的周长最小时，△APF的面积为1，则|PF|=（）A . 1B .C . 2D .12. （2分） (2016高二上·友谊期中) 已知椭圆标准方程x2+ =1，则椭圆的焦点坐标为（）A . （，0）（﹣，0）B . （0，），（0，﹣）C . （0，3）（0，﹣3）D . （3，0），（﹣3，0）二、填空题 (共4题；共5分)13. （2分） (2019高三上·宁波期末) 在中，为边中点，经过中点的直线交线段于点，若，则 ________；该直线将原三角形分成的两部分，即三角形与四边形面积之比的最小值是________14. （1分）无论m为何值，直线：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0恒过一定点P，则点P的坐标为________．15. （1分） (2017高一上·湖南期末) 在直角坐标系内，已知A（3，2）是圆C上一点，折叠该圆两次使点A分别与圆上不相同的两点（异于点A）重合，两次的折痕方程分别为x﹣y+1=0和x+y﹣7=0，若圆C上存在点P，使∠MPN=90°，其中M，N的坐标分别为（﹣m，0），（m，0），则实数m的取值集合为________．16. （1分）(2016·北京理) 双曲线的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点。
2019-2020学年安徽省芜湖市数学高二第二学期期末考试试题含解析
2019-2020学年安徽省芜湖市数学高二第二学期期末考试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．已知直线l 与抛物线24x y =交于A 、B 两点，若四边形OAMB 为矩形，记直线OM 的斜率为k ，则k的最小值为（ ）． A ．4 B．C ．2D【答案】B 【解析】 【分析】设直线方程y mx t =+并与抛物线方程联立,根据OA OB ⊥,借助韦达定理化简得4t =.根据AB ,OM 相互平分,由中点坐标公式可得01212x x x y y y =+⎧⎨=+⎩,即可求得00k y x =,根据基本不等式即可求得k 最小值. 【详解】设()00,M x y ,()11,A x y ,()22,B x y 设直线l :y mx t =+将直线l 与24x y =联立方程组,消掉y :24y mx tx y=+⎧⎨=⎩ 得: 2440x mx t --= 由韦达定理可得:124x x m += ┄①,124x x t =- ┄②Q OA OB ⊥，故0OA OB ⋅=u u u r u u u r,可得:12120x x y y +=┄③ Q ()11,A x y ，()22,B x y ，是24x y =上的点,∴2114x y = 2224x y =, 可得:()2121216x x y y =┄④由③④可得:12160x x +=,结合②可得:4t =Q AB 和OM 相互平分,由中点坐标公式可得01212x x x y y y =+⎧⎨=+⎩，结合①②可得:0124m x x x =+=,()22212121202444x x x x x x y +-=+= 221632484m m +==+， 故2004824k y m m x m m+===+， 根据对勾函数(对号函数)可知0m >时,2m m+≥当且仅当m =)0m <时,2m m+≤-.(当且仅当m =)所以k ≥故选:B. 【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,通过联立直线方程与抛物线方程的方程组,应用一元二次方程根与系数的关系,得到“目标函数”的解析式,确定函数的性质进行求解.2．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，过F 的直线交抛物线于,A B 两点（A 在x 轴上方），延长BO交抛物线的准线于点C ，若3AF BF =,||3AC =，则抛物线的方程为（ ） A ．2y x = B ．22y x =C ．23y x =D ．24y x =【答案】C 【解析】分析：先求得直线直线AB 的倾斜角为3π，再联立直线AB 的方程和抛物线的方程求出点A,B 的坐标，再求出点C 的坐标，得到AC||x 轴，得到3322pp +=，即得P 的值和抛物线的方程. 详解：设3AF BF ==3a,设直线AB 的倾斜角为α，所以直线的斜率为31cos ,323a a a a παα-==∴=+.所以直线AB的方程为)22p y x p =-=-.联立22223122030,,.26A B y pxp x px p x P x y p ⎧=⎪∴-+=∴==⎨=⎪⎩,,A B y y p ∴==所以36OB p k p ==-OB方程为y =-， 令x=-3,,,||3,222C C A p p y y y AC x p ∴=∴=∴∴+=轴， 所以23,3.2p y x =∴=故答案为：C.点睛：(1)本题主要考查抛物线的几何性质，考查直线和抛物线的位置关系和抛物线方程的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答圆锥曲线题目时，看到曲线上的点到焦点的距离（焦半径），要马上联想到利用圆锥曲线的定义解答.3．已知函数()sin cos f x x x =-,且()()2f x f x '=,其中()f x '是()f x 的导函数，则221sin cos sin 2xx x+=-（ ） A ．195-B ．195C ．113D ．113-【答案】A 【解析】分析：求出原函数的导函数，然后由f′（x ）=2f （x ），求出sinx 与cosx 的关系，同时求出tanx 的值，化简要求解的分式，最后把tanx 的值代入即可．详解：因为函数f （x ）=sinx-cosx ，所以f ′（x ）=cosx+sinx ，由f′（x ）=2f （x ），得：cosx+sinx=2sinx-2cosx ，即3cosx=sinx ， 所以tan 3x =.所以221sin cos sin2x x x +-=22222222sin cos sin 2sin cos 2tan 119cos 2sin cos cos 2sin cos 12tan 5x x x x x x x x x x x x x ++++===----. 故答案为A.点睛：（1）本题主要考查求导和三角函数化简求值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析转化计算能力.(2)解答本题的关键是221sin cos sin2x x x +-=2222sin cos sin cos 2sin cos x x xx x x++- 22222sin cos 2tan 1cos 2sin cos 12tan x x x x x x x++==--.这里利用了“1”的变式，1=22sin cos αα+. 4．在区域0101x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩，内任意取一点(,)P x y ，则221x y +<的概率是（ ）A ．0B ．142π- C ．4π D ．14π-【答案】C 【解析】 【分析】 求得区域0101x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩的面积，x 2+y 2＜1表示圆心在原点，半径为1的圆，由圆的面积公式可得其在正方形OABC 的内部的面积4π，由几何概型的计算公式，可得答案． 【详解】根据题意，设O （0，0）、A （1，0）、B （1，1）、C （0，1），0101x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的区域为以正方形OABC 的内部及边界，其面积为1； x 2+y 2＜1表示圆心在原点，半径为1的圆，在正方形OABC 的内部的面积为2144ππ⨯=，由几何概型的计算公式，可得点P （x ，y ）满足x 2+y 2＜1的概率是414ππ=；故选C ．【点睛】本题考查几何概型的计算，解题的关键是将不等式（组）转化为平面直角坐标系下的图形的面积，进而由其公式计算．5．某市组织了一次高二调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数2(80)200(102x f x π--， x ∈(－∞，＋∞)，则下列命题不正确的是( )A ．该市这次考试的数学平均成绩为80分B ．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同C ．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同D ．该市这次考试的数学成绩标准差为10 【答案】B 【解析】分析：根据密度函数的特点可得：平均成绩及标准差，再结合正态曲线的对称性可得分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同，从而即可选出答案. 详解：Q 密度函数()280200(102x f x π--），∴该市这次考试的数学平均成绩为80分该市这次考试的数学标准差为10， 从图形上看，它关于直线80x =对称， 且50与110也关于直线80x =对称，故分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同. 故选B.点睛：本题主要考查了正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，以及利用几何图形的对称性求解. 6．命题p ：00,10x R x ∃∈-≤的否定p ⌝为（ ） A ．,10x R x ∀∈-≤ B ．00,10x R x ∃∈-> C ．,10x R x ∀∈-> D ．00,10x R x ∃∈-<【答案】C 【解析】分析：由题意，对特称命题进行否定即可确定p ⌝. 详解：特称命题的否定为全称命题，结合题中命题可知： 命题p ：00,10x R x ∃∈-≤的否定p ⌝为,10x R x ∀∈->. 本题选择C 选项.点睛：对含有存在(全称)量词的命题进行否定需两步操作：(1)将存在(全称)量词改写成全称(存在)量词；(2)将结论加以否定．这类问题常见的错误是没有变换量词，或者对于结论没给予否定．有些命题中的量词不明显，应注意挖掘其隐含的量词．7．圆221:2880C x y x y +++-=与222:4420C x y x y +-+-=的位置关系是（ ）A ．相交B ．外切C ．内切D ．相离．【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：由题是给两圆标准方程为：()()()()222212:1425,:2216C x y C x y +++=-++=， 因为12|9454|C C =+<+，所以两圆相离，故选D. 考点：圆与圆的位置关系．8．若()()()6620126111112x a a x a x a x ⎛⎫= ++-+⎭-+⎪⎝+-L ，i a ∈R ，i =0，1，2，3，…，6，则()0166a a a a +++L的值为( )A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，采用赋值法，令2x =得0123664a a a a a +++++=L ，再将原式化为()613122x ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦根据二项式定理的相关运算，求得6164a =，从而求解出正确答案． 【详解】在()()()6620126111112x a a x a x a x ⎛⎫= ++-+⎭-+⎪⎝+-L 中，令2x =得0123664a a a a a +++++=L ，由()6611311222x x ⎛⎫⎡⎤+=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，可得6164a =，故()01661a a a a +++=L ． 故答案选C ． 【点睛】本题考查二项式定理的知识及其相关运算，考查考生的灵活转化能力、分析问题和解决问题的能力． 9．利用独立性检验的方法调查高中生的写作水平与离好阅读是否有关，随机询问120名高中生是否喜好阅读，利用2×2列联表，由计算可得K 2＝4.236参照附表，可得正确的结论是（ ）A ．有95%的把握认为“写作水平与喜好阅读有关”B ．有97.5%的把握认为“写作水平与喜好阅读有关”C ．有95%的把握认为“写作水平与喜好阅读无关”D ．有97.5%的把握认为“写作水平与喜好阅读无关” 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意知观测值2K ，对照临界值得出结论. 【详解】利用独立性检验的方法求得2 4.236 3.841K =>，对照临界值得出：有95%的把握认为“写作水平与喜好阅读有关”． 故选A 项． 【点睛】本题考查了独立性检验的应用问题，是基础题．10．已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期为4π，且x R ∀∈，有()3f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭成立，则()f x 图象的一个对称中心坐标是（ ） A ．2,03π⎛⎫-⎪⎝⎭B ．,03π⎛-⎫⎪⎝⎭ C ．2,03π⎛⎫⎪⎝⎭D ．5,03π⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】首先根据函数的最小正周期和最值确定函数的解析式，进一步利用整体思想求出函数图象的对称中心. 【详解】由()()sin f x x ωϕ=+的最小正周期为4π，得12ω=， 因为()3f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立，所以()max3f x f π⎛⎫= ⎪⎝⎭， 即()12232k k Z ππϕπ⨯+=+∈， 由2πϕ<，得3πϕ=，故()1sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，令()123x k k Z ππ+=∈，得()223x k k Z ππ=-∈， 故()f x 图象的对称中心为()22,03k k Z ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭， 当0k =时，()f x 图象的对称中心为2,03π⎛⎫-⎪⎝⎭. 故选：A.【点睛】本题考查的知识要点：正弦型函数的性质、周期性和对称中心的应用及相关的运算问题，属于基础题. 11．五名应届毕业生报考三所高校,每人报且仅报一所院校,则不同的报名方法的种数是( ) A ．35C B ．35AC ．35D ．53【答案】D 【解析】由题意，每个人可以报任何一所院校，则结合乘法原理可得： 不同的报名方法的种数是53. 本题选择D 选项.12．已知曲线C ：()221,0x y a b a b+=>经过点()1,2A ，则+a b 的最小值为（ ）A ．10B ．9C ．6D ．4【答案】B 【解析】 【分析】曲线C 过点()1,2A 得141a b +=，所以()14a b ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭a b =a b 展开利用均值不等式可求最小值. 【详解】由曲线C ：()221,0x y a b a b+=>经过点()1,2A得141a b+=.所以()144559b aa b a b⎛⎫+++=++≥=⎪⎝⎭a b =a b当且仅当2b a =，即36a b =⎧⎨=⎩时取等号. 故选：B 【点睛】本题考查利用均值不等式求满足条件的最值问题，特殊数值1的特殊处理方法，属于中档题. 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．在平面直角坐标系xOy 中，若直线2y x =与椭圆()222210x y a b a b+=>>在第一象限内交于点P ，且以OP 为直径的圆恰好经过右焦点F ，则椭圆的离心率是______.【答案】21-. 【解析】 【分析】由题意可得PF x ⊥轴，求得P 的坐标，由P 在直线2y x =上，结合离心率公式，解方程可得所求值． 【详解】解：以OP 为直径的圆恰好经过右焦点(c,0)F ，可得PF x ⊥轴，令x c =，可得2221c b y b a a=±-=±，不妨设2(,)b P c a ，由2(,)b P c a 在直线2y x =上，可得22b c a =， 即为2222a c b ac -==，由ce a=可得2210e e +-=，解得21e =-（负的舍去）. 故答案为: 21-.【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，考查了圆的性质.本题的关键是由圆过焦点得出P 点的坐标.求离心率的做题思路是，根据题意求出,a c 或者列出一个关于,,a b c 的方程，由椭圆或双曲线的,,a b c 的关系，进而求解离心率.14．下列命题中①若()00f x '=，则函数()y f x =在0x x =取得极值； ②直线5210x y -+=与函数()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像不相切； ③若z C ∈(C 为复数集），且221z i +-=，则22z i --的最小值是3； ④定积分24164x dx π--=⎰.正确的有__________． 【答案】②③④ 【解析】分析：①结合极值点的概念，加以判断即可；②求出导数f′（x ），由切线的斜率等于f′（x 0），根据三角函数的值域加以判断即可；③|z+2﹣2i|=1表示圆，|z ﹣2﹣2i|的几何意义两点的距离，通过连接两定点，由原定特性即可求出最小值；④令y=216x -，则x 2+y 2=16（y≥0），点（x ，y ）的轨迹表示半圆，则该积分表示该圆面积的．详解：①若()00f x '=，且0x 是变号零点，则函数()y f x =在0x x =取得极值，故选项不正确；②直线5210x y -+=与函数()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像不相切；直线5210x y -+=化为函数形式为5122y x =+，()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，[]2cos(2)2,23f x π+∈-'=，[]52,22∉-，两者不能相切，故选项正确;③|z+2﹣2i|=1的几何意义是以A （﹣2，2）为圆心，半径为1的圆，|z ﹣2﹣2i|的几何意义是圆上一点到点B （2，2）的距离，连接AB 并延长，显然最小值为AB ﹣1=4﹣1=3，故③正确；④令x 2+y 2=16（y≥0），点（x ，y ）的轨迹表示半圆，定积分4-表示以原点为圆心，4为半径的圆面积的14，故定积分4-=11644ππ⨯⨯= ，故④正确．故答案为：②③④点睛：本题以命题的真假为载体考查函数的极值概念，导数的应用于求切线方程，以及复数的几何意义，定积分的几何意义及求法，是一道基础题．注意积分并不等于面积，解决积分问题的常见方法有：面积法，当被积函数为正时积分和面积相等，当被积函数为负时积分等于面积的相反数；应用公式直接找原函数的方法；利用被积函数的奇偶性得结果.15．观察下列等式，211=，22343++=，2345675++++=，2456789107++++++=，从中可以归纳出一个一般性的等式是：__________()2*(21)n n =-∈N .【答案】(1)(2)(32)n n n n +++++⋯+- 【解析】 【分析】通过观察前几个式子的变化规律，总结规律即可得到答案. 【详解】根据题意，第一个式子从1开始，左边按顺序加有1项；第二个式子从2开始，有3项；第三个式子从3开始，有5项，于是可归纳出，第n 个式子从n 开始，有21n -项，于是答案为：(1)(2)(32)n n n n +++++⋯+-.【点睛】本题主要考查归纳法，意在考查学生的逻辑推理能力和数感，难度不大.16．已知函数f(x)＝,0(1),0x e k x k x k x ⎧-≤⎨-+>⎩是R 上的增函数，则实数k 的取值范围是________．【答案】1[,1)2【解析】由题意可知010112k k e k k ->⎧∴≤<⎨-≤⎩，故答案为1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．在△ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，其面积2sin S b A =. (1)求cb的值； (2) 设内角A 的平分线AD 交BC 于D，AD =，a = b .【答案】（1）2cb=；（2）1b =. 【解析】试题分析：（1）由21sin sin 2S bc A b A ==，可得2c b =，即2c b =；（2）由角平分线定理可知，3BD =，CD =，分别在ABC V 与ABD V中，由余弦定理可得22cos B =，2444 cos b B +-=，222444b +-=，于是可得1b =. 试题解析：（1）21sin sin 2S bc A b A ==，可知2c b =，即2cb=. （2）由角平分线定理可知，3BD =，3CD =， 在ABC V中，22cos B =，在ABD V中，2444cos b B +-=222444b +-=，则1b =. 18．已知复数ω在复平面内对应的点位于第二象限，且满足2240ωω++=. （1）求复数ω；（2）设复数(,)z x yi x y R =+∈满足：z ω⋅为纯虚数，2z =，求x y ⋅的值.【答案】（1）1ω=-；（2）x y ⋅=【解析】分析：（1）解一元二次方程，得到1ω=-±，根据ω在复平面内对应的点位于第二象限，即可判断ω的取值。