高中数学指数和指数函数

XXXX 教育学科教师辅导讲义

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课 题 指数运算及指数函数

授课时间：

备课时间：

教学目标 分数指数幂的意义，根式与分数指数幂之间的相互转化，有理指数幂的运算性质

指数函数的图像和性质。

重点、难点 根式的概念，根式与分数指数幂之间的相互转化，了解无理数指数幂． 底数 a 的变化对函数性质的影响 考点及考试要求

教学内容

1.当n 是奇数时，a a n n =

当n 是偶数时，⎩⎨⎧<≥-==)

0()

0(||a a a a a a n n

2.规定：)1,,,0(*>∈>=n N n m a a a

n m n

m

)1,,,0(1

1

*>∈>=

=

-

n N n m a a a

a

n

m

n

m n

m

0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3.有理指数幂的运算性质 （1）r a ·s r r a a += ),,0(Q s r a ∈>；

（2）rs s r a a =)(

),,0(Q s r a ∈>；

（3）s r r a a ab =)( ),0,0(Q r b a ∈>>．

4． 无理指数幂

一般地，无理数指数幂),0(是无理数αα>a a 是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样

适用于无理数指数幂． 例题：

[例1] （湛江市09届统考）计算：

1

2

00.2563

43

3721.5()82(23)()

63-⨯-+

练习

1.（高州中学09届月考）经化简后，)0(6

3

936

9>⋅a a a 的结果是

2.

=-⋅63

a a

二、指数函数的图像和性质

1．指数函数的定义：

一般地，形如y=a x (a>0且a ≠1)的函数叫做指数函数。 对定义中规定a>0,且a ≠1进行分析：

假设a=0,那么当x>0时，a x =0，当x ≤0时，a x 无意义； 假设a<0,那么a x 对某些x 值可能没有意义，如a=-1 时，（-1）x 对于x=1/4,x=1/2,...无意义； 假设a=1,那么y=1x =1对任意x 都是常数。为了避免出现上述情况，所以规定a>0且a ≠1。在这个规定下，指数函数的定义域是R 。 例1:下列函数是否是指数函数：

（1）y= (2)y=(-2)x (3)y=e x (4)y=3-x (5)y=1x

()(0,1)3(0),(1),(3)x f x a a a f f f π=>≠-例2.已知指数函数且的图象经过点（，），求的值。

2．指数函数的图像及性质

引：在同一坐标系内画出下列四个指数函数的图像。（课前完成）

（1）y=2x (2)y=3x (3) 1()2x y = (4)1

()3

x y =

定义 形如y=a x (a>0且a ≠1)的函数

（二）例题讲解

例1：比较下列各题中两个数的大小

（1）32.51.77.1，

（2）-0.20.10.80.8，－

重点讲解（1）的思路与过程，（2）题学生完成整个过程，教师点评。 比较同底数幂大小的方法，即用指数函数的单调性，其基本步骤如下： （1）确定所要考查的指数函数；

（2）根据底数情况指出已确定的指数函数的单调性；

（3）比较指数大小，然后利用指数函数单调性得出同底数幂的大小关系。 巩固练习：利用指数函数性质，比较下列各题中两个数的大小。

（1）7

.08

.03,3 （2） 43

41)32(,)32(-- （3）459.0,9.0 （4）4.15.11.2)3

1

(,3,3-

例2：的集合　成立的）求使不等式（x 3241x >

图 象

a>1 0

性 质 (1)定义域：R (1)定义域：R （2）值域：（0，+∞） （2）值域：（0，+∞） （3）过点（0，1）， 即x=0时，y=1 （3）过点（0，1），

即x=0时，y=1 （4）当x>0时，y>1 当x<0时，00时，01 （5）在 R 上是增函数 （5）在 R 上是减函数 （6）非奇非偶函数 （6）非奇非偶函数

的取值范围求数已知a ,a a (2)25

4>

巩固练习：

（1）使不等式33912<-x 成立的x 的集合

（三）补充例题

1、,1,0,)(,)(313≠>==++a a a x g a x f x x 其中设试确定x 为何值时，有 )()()2(),()()1(x g x f x g x f <=

2、的最大值和最小值。求函数)21(4329≤≤-+⨯-=x y x x

3、已知c bx x x f +-=2)(,对任意的实数x 均有)1()1(x f x f +=-,且3)0(=f ,试比较)2(b f 和)

2(c f 的大小。

4． 已知2x

x +2≤（41

）x －2，求函数y=2x －2－x 的值域.

5．不等式16

2

2

<-+x x

的解集是___________

6．若直线a y 2=与函数)10(1≠>-=a a a y x 且的图象有两个公共点，则a 的取值范围是_______. 7．不论a 为何正实数,函数1

2x y a

+=-的图象一定通过一定点,则该定点的坐标是_________

8．（广东广雅中学09届月考）已知函数()()()f x x a x b =--（其中a b >）的图象如下面右图所