自动控制理论课件7-3

c ( k n ) a1c ( k n 1) a n 1c ( k 1) a n c ( k )
b0 r ( k m ) b1 r ( k m 1) bm 1r ( k 1) bm r ( k )
式中： r ( k ) 为输入信号，c ( k ) 为输出信号，且有 n m a 0 , , a n 1 , b0 , , bm 为常系数,
2 1
r (k ) 2 ， R ( z )
k 2
z z2
，且初始条件为零 ，得到
z z2
z C ( z ) 2 zC ( z ) C ( z )
求得
C (z)
1
2
z 2z 1 z 2

z

z
2
( z 1) ( z 2)
C (z)
z ( z 1)
，
试求该开环系统的脉冲传递函数 G ( z ) 。
G (z)
c * (t )
r (t )
r * (t )
R(z)
C (z)
G (s)
c (t )
解：
将 G ( s ) 用部分分式表示
G (s) 10 s ( s 10) 1 s 1 s 10
1 1 1 1 10 t k ( t ) L [ G ( s )] L 1 e s s 10
c (1) 1
c (2) r (2) 5 c (1) 6 c (0) 1 5 0 6
c (3) r (3) 5 c (2) 6 c (1) 1 30 6 25
c (4) r (4) 5 c (3) 6 c (2) 1 125 36 90
c * (t ) Z
1
[ C ( z )] Z
1
[ G ( z ) R ( z )]
说明：
对于大多数实际系统来说，其输出往往是连续信号c(t)而不是采样信号 C*(t)。这时，无法求脉冲传递函数。
G (z)
c * (t )
r (t )
r * (t )
R(z)
C (z)
G (s)
c (t )
lkn
G * ( s jn s )
1 T
l
G (s

jl s ) G * ( s )
性质2 采样函数的拉氏变换 E * ( s )与连续函数的拉氏变换 G ( s ) 相乘后 再离散化，有下式成立
[G ( s ) E * ( s )]* G * ( s ) E * ( s )
源自文库
e ( kT ) e ( k ) e k
差分可分为前向差分和后向差分两种。 定义：

一阶前向差分
e ( k ) e ( k 1) e ( k )
e ( k ) [ e ( k )] [ e ( k 1) e ( k )]
2
二阶前向差分
e ( k 1) e ( k )
差分方程为 c ( k ) a i c ( k i )
i 1
n
b r (k i)
i i0
m
G (z)
C (z) R(z)

bi z
i0 n i 1
m
i
1 ai z
i
4. 求脉冲传递函数的方法 （1）已知连续系统的单位脉冲响应 k (t ) ，利用G ( z ) k ( kT ) z

n阶前向差分
n
e ( k 2) 2 e ( k 1) e ( k )
e(k )
n 1
e ( k 1)
n 1
e(k )

一阶后向差分
e ( k ) e ( k ) e ( k 1)
二阶后向差分 2 e ( k ) e ( k ) e ( k 1)
7.4 离散系统的数学模型
为了便于对离散系统进行分析和校正，首先需要建立离散系统的数学模 型。
描述连续系统的动态过程

微分方程 传递函数 结构图 差分方程 脉冲传递函数 结构图
描述离散系统的动态过程
7.4.1 线性常系数差分方程及其求解
1.差分的定义 设连续函数为e(t),采样后为e(kT),通常为方便起见，记为
k 0 k
，
求出G ( z ) 。
（2）已知连续系统的传递函数 G ( s ) ，化成部分分式并查表求出
G ( z ) Z [ G ( s )] 。
（3）已知系统的差分方程，在初始条件为零的情况下进行Z变换求G ( z ) 例 系统结构如图，其中连续部分传递函数
G (s) 10 s ( s 10 )
在这种情况下，我们可以在输出端虚设一个采样开关，它与输入端采样 开关一样，以周期T同步工作。 如果系统的实际输出比较平滑，在采样点处无跳变，且采样周期很小， 那么我们就可以用c*(t)来近似描述系统的实际输出c(t)。可见，用脉 冲传递函数分析系统，只能给出实际输出c(t)在采样时刻的值。
2. 采样函数拉氏变换的两个重要性质 性质1 采样函数的拉氏变换具有周期性，即
离散序列

t0
k ( kT ) 1 e
10 kT
t0
G (z)
1 z
k 0
k
e
k 0

10 kT
z
k

z z 1
1 s

z ze
1 s 10
10 T

z (1 e
10 T

2

z z 1
k

z z2
c(k ) k 1 2
c * (t )
( k 0,1, 2, )
(2
k 0
k
k 1) ( t kT )
7.4.2 脉冲传递函数
1. 脉冲传递函数定义
线性定常离散系统的脉冲传递函数定义为：零初始条件下系统输出采 样信 号的Z变换与输入采样信号的Z变换之比。
c(k ) 0
整理后得
c ( k 2) 2(T 1) c ( k 1) (T 2T 1) c ( k ) 0
2
4. 差分方程的求解方法
迭代法：已知差分方程的输入采样序列、输出采样序列的初值，
利用差分方程的递推关系，逐步求出输出采样序列。 例7-21 已知离散系统的差分方程为 c ( k ) 5 c ( k 1) 6 c ( k 2) r ( k ) ，且输
后向差分方程：
c ( k ) a n 1c ( k 1) a1c ( k n 1) a 0 c ( k n ) bm r ( k ) bm 1 r ( k 1) b1 r ( k m 1) b0 r ( k m )
注意：差分方程的阶次是输出量差分的最大阶次减去最小阶次。 3.建立差分方程的方法 实际的离散控制系统中，被控对象是连续的物理系统，而数字控制器 输出的信号是离散的。系统中的连续部分一般由微分方程或传递函数来描 述，为了分析方便，需要通过离散化方法建立系统的差分方程。由连续系 统的微分方程求差分方程时，若采样周期足够小，就可以用差分近似表示 微分来实现离散化。 用前向差分近似表示微分 用后向差分近似表示微分
k 0 ,1, 2 ,
例7-22 离散系统的差分方程为
c ( k 2) 2 c ( k 1) c ( k ) r ( k )
k 已知输入序列 r ( k ) 2 ,初始条件c(0)=c(1)=0,求输出响应c(k)。
解： 对前向差分方程两边进行Z变换，得到
z [C ( z ) c (0) z c (1)] 2 z[ C ( z ) c (0)] C ( z ) R ( z )
2 2
代入初始条件并化简 ( z 2 3 z 2 ) C ( z ) z
C (z)
z z 3z 2
2
1 1 1 将C(z)/z展开部分分式： C ( z ) 2 z z 3z 2 z 1 z 2
C (z) z z 1
k

z z2
k
c ( k ) ( 1) ( 2 )
de ( t ) dt de ( t ) dt e(k ) T e(k ) T e ( k 1) e ( k ) T e ( k ) e ( k 1) T


例7-20
已知系统的微分方程为
d c (t ) dt
2
2
2
dc ( t ) dt
c (t ) 0
求离散后的前向差分方程。

Z变换法：通过Z变换将时域中的差分方程转化为z域中的代数方程，
求出代数方程的解，再经Z反变换获得方程的时域解。
例
用Z变换法解差分方程： c(k+2)+3c(k+1)+2c(k)=0
初始条件c(0)=0,c(1)=1,求c(k)。
解： 对方程两边进行Z变换
z C ( z ) z c ( 0 ) zc (1) 3 zC ( z ) 3 zc ( 0 ) 2 C ( z ) 0
G (z)
r (t )
r * (t )
R(z)
G (s)
Z [ c * ( t )] Z [ r * ( t )]
c (t )
c * (t )
C (z)
脉冲传递函数为 G ( z ) 也可记为

C (z) R(z)
G ( z ) Z [ G ( s )]
已知系统的脉冲传递函数G(z)和输入采样信号的Z变换 R(z)，在初始条 件为零时的输出采样信号为
jk s )] E * ( s )
k
[G ( s
G * (s) E * (s)
3. 关于脉冲传递函数的几点讨论
G * ( s ) 和 G ( z ) 之间的关系
C (s) G (s) R * (s) C * ( s ) [ G ( s ) R * ( s )]* G * ( s ) R * ( s )
G * ( s ) G * ( s jn s )
其中， s 为采样角频率。 证明：
由采样函数的拉氏变换 G * ( s ) 有
令
G * ( s jn s ) 1 T
1 T
k


G ( s jk s )
k


G ( s jk s jn s )
解：
dc ( t ) dt
2
2

c(k )
2
T
2

c ( k 2) 2 c ( k 1) c ( k ) T
2
dc ( t ) dt

c ( k 1) c ( k ) T
代入微分方程，有
c ( k 2) 2 c ( k 1) c ( k ) T
2
2
c ( k 1) c ( k ) T
入序列 r ( k ) 1 ，初始条件 c (0) 0, c (1) 1。
试用迭代法求输出序列
c ( k ), k 0,1, 2,
解： 差分方程的递推关系为 c ( k ) r ( k ) 5 c ( k 1) 6 c ( k 2)
由初始条件 递推得到
c (0) 0

n阶后向差分
n
e ( k ) 2 e ( k 1) e ( k 2)
e(k )
n 1
e(k )
n 1
e ( k 1)
2.线性常系数差分方程的一般形式
对于输入、输出均为采样信号的线性定常离散系统，动态方程除了 含有输入输出变量外，还有它们的各阶差分，则此方程为差分方程。差 分方程分为前向差分方程和后向差分方程。 前向差分方程：
证明： 由采样函数的拉氏变换
[ G ( s ) E * ( s )]* 1 T
k
[G ( s

jk s ) E * ( s jk s )]
由性质1
[ G ( s ) E * ( s )]*

1 T
1 T
k

[G ( s

jk s ) E * ( s )]
G * (s)
C * (s) R * (t )
G ( z ) G * ( s ) s 1 ln z
T
G ( z ) 和单位脉冲响应 k (t ) 之间的关系
G ( z ) Z [ k * ( t )]
k * ( t ) Z [ G ( z )]
1

G ( z ) 与离散系统的差分方程之间的关系