(人教)2015高中数学选修2-2课件 1.3.3导数在研究函数中的应用
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【同步课件】高中数学(人教A版)选修2-2课件：1-3 导数的应用1
第一章
导数及其应用
1．3 导数在研究函数中的应用
1．3.1
函数的单调性与导数
要点 1 函数 y＝f(x)在其定义域中的某个区间(a，b)内， 如果 f′(x)>0 ，那么 f(x) 在这个区间内 增函数 ；如果
f′(x)<0， 那么 f(x)在这个区间内 减函数 ； 如果 f′(x)＝0 恒成立， 那么 f(x)在这个区间内是 常函数．
要点 2 求可导函数的单调区间 求可导函数的单调区间的基本步骤有四步： 第一步， 确定函数 f(x)的定义域 第二步， 求导数 f′(x) ； ，解集在定义域内的部分为增 ；
第三步，解不等式 f′(x)>0 区间； 第四步，解不等式 f′(x)<0 减区间．
单调区间和已知单调区间求函数解 析式中的参数这两类问题，在解法上有何不同？
2 ∴f(x)在(－∞， )上是减函数． a 2 若 x∈(a，0)，则 f′(x)>0. 2 ∴f(x)在区间(a，0)上为增函数． 若 x∈(0，＋∞)，则 f′(x)<0. ∴f(x)在区间(0，＋∞)上为减函数．
(2)区间的写法 ①若函数在区间的端点处有定义，则在开区间上的单调函 数，在相应的闭区间上也必是单调函数，故单调区间包括不包括 区间的端点都可以；当然没定义，只能是开的． ②不能把一个单调区间分成两个单调区间，也不能把本来不 是一个单调区间的多个区间写成一个区间或并在一起．
思考题 1
(1)求函数 f(x)＝x4－2x2＋3 的单调递增区间．
3 2
由题设知 a≠0.
2
2 f′(x)＝3ax －6x＝3ax(x－a)， 2 令 f′(x)＝0，得 x1＝0，x2＝a. 当 a>0 时，若 x∈(－∞，0)，则 f′(x)>0.
导数及其应用
1．3 导数在研究函数中的应用
1．3.1
函数的单调性与导数
要点 1 函数 y＝f(x)在其定义域中的某个区间(a，b)内， 如果 f′(x)>0 ，那么 f(x) 在这个区间内 增函数 ；如果
f′(x)<0， 那么 f(x)在这个区间内 减函数 ； 如果 f′(x)＝0 恒成立， 那么 f(x)在这个区间内是 常函数．
要点 2 求可导函数的单调区间 求可导函数的单调区间的基本步骤有四步： 第一步， 确定函数 f(x)的定义域 第二步， 求导数 f′(x) ； ，解集在定义域内的部分为增 ；
第三步，解不等式 f′(x)>0 区间； 第四步，解不等式 f′(x)<0 减区间．
单调区间和已知单调区间求函数解 析式中的参数这两类问题，在解法上有何不同？
2 ∴f(x)在(－∞， )上是减函数． a 2 若 x∈(a，0)，则 f′(x)>0. 2 ∴f(x)在区间(a，0)上为增函数． 若 x∈(0，＋∞)，则 f′(x)<0. ∴f(x)在区间(0，＋∞)上为减函数．
(2)区间的写法 ①若函数在区间的端点处有定义，则在开区间上的单调函 数，在相应的闭区间上也必是单调函数，故单调区间包括不包括 区间的端点都可以；当然没定义，只能是开的． ②不能把一个单调区间分成两个单调区间，也不能把本来不 是一个单调区间的多个区间写成一个区间或并在一起．
思考题 1
(1)求函数 f(x)＝x4－2x2＋3 的单调递增区间．
3 2
由题设知 a≠0.
2
2 f′(x)＝3ax －6x＝3ax(x－a)， 2 令 f′(x)＝0，得 x1＝0，x2＝a. 当 a>0 时，若 x∈(－∞，0)，则 f′(x)>0.
2014-2015学年高中数学(人教版选修2-2)配套课件第一章 1.3 1.3.3 函数的最大(小)值与导数
栏 目 链 接
(2)若 a<0，f′(x)，f(x)随 x 的变化情况见下表：
x f′(x) f (x )
(－,2) ＋ ↗
栏 目 链 接
∴当 x＝0 时，f(x)取得最小值 f(0)＝b＝－29.
又 f(2)＝－16a－29， f(－1)＝－7a－29<f(2)， ∴当 x＝2 时， f(x)取得最大值， 即－16a－29＝3，∴a＝－2.
栏 目 链 接
π π 可知[f(x)]max＝ ，[f(x)]min＝－ . 2 2
题型2
由函数的最值确定参数
例2 若f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3， 最小值是－29，求a，b的值．
栏 目 链 接
解析：f′(x)＝3ax2－12ax＝3a(x2－4x)． 令 f′(x)＝0，得 x＝0 或 x＝4. ∵x∈[－1,2]，∴x＝0. 由题意知 a≠0.
a＝2， a＝－2， 综上所述， 或 b＝3 b＝－29.
栏 目 链 接
点评：解决此类问题的关键在于确定函数最大值、最小值 对应的自变量的值(即最值点)，然后列方程或不等式解得参数 的值或范围，若所含参数对单调性有影响时常需分类讨论．
跟 踪 训 练
3 2 2． 如果函数 f(x)＝x － x ＋a 在[－1,1]上的最大值是 2， 2
28 4 ，最小值为－ . 3 3
点评：(1)求 f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步 骤如下： ①求函数 y＝f(x)在区间(a，b)内的极值； ②计算出 f(a)，f(b)的值； ③比较 f(a)，f(b)与各极值的大小，其中最大的一个是最 大值，最小的一个是最小值． (2)用导数方法求函数最值(包括值域)的方法： ①对比极值点及端点值； ②利用单调性．
(2)若 a<0，f′(x)，f(x)随 x 的变化情况见下表：
x f′(x) f (x )
(－,2) ＋ ↗
栏 目 链 接
∴当 x＝0 时，f(x)取得最小值 f(0)＝b＝－29.
又 f(2)＝－16a－29， f(－1)＝－7a－29<f(2)， ∴当 x＝2 时， f(x)取得最大值， 即－16a－29＝3，∴a＝－2.
栏 目 链 接
π π 可知[f(x)]max＝ ，[f(x)]min＝－ . 2 2
题型2
由函数的最值确定参数
例2 若f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3， 最小值是－29，求a，b的值．
栏 目 链 接
解析：f′(x)＝3ax2－12ax＝3a(x2－4x)． 令 f′(x)＝0，得 x＝0 或 x＝4. ∵x∈[－1,2]，∴x＝0. 由题意知 a≠0.
a＝2， a＝－2， 综上所述， 或 b＝3 b＝－29.
栏 目 链 接
点评：解决此类问题的关键在于确定函数最大值、最小值 对应的自变量的值(即最值点)，然后列方程或不等式解得参数 的值或范围，若所含参数对单调性有影响时常需分类讨论．
跟 踪 训 练
3 2 2． 如果函数 f(x)＝x － x ＋a 在[－1,1]上的最大值是 2， 2
28 4 ，最小值为－ . 3 3
点评：(1)求 f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步 骤如下： ①求函数 y＝f(x)在区间(a，b)内的极值； ②计算出 f(a)，f(b)的值； ③比较 f(a)，f(b)与各极值的大小，其中最大的一个是最 大值，最小的一个是最小值． (2)用导数方法求函数最值(包括值域)的方法： ①对比极值点及端点值； ②利用单调性．
(人教)2015高中数学选修2-2课件 1.3.2导数在研究函数中的应用
课前预习导学
KEQIAN YUXI DAOXUE
课堂合作探究
KETANG HEZUO TANJIU
目标导航
预习导引
预习交流 1
思考:(1)导数为 0 的点一定是函数的极值点吗? (2)一个函数在一个区间的端点处可以取得极值吗? (3)一个函数在给定的区间上是否一定有极值? 提示:(1)不一定,例如对于函数 f(x)=x3,虽有 f'(0)=0,但 x=0 并不是 f(x)=x3 的极值点,要使导数为 0 的点成为极值点,还必须满足其他条件. (2)不可以,函数在一个区间的端点处一定不可能取得极值,因为不 符合极值点的定义. (3)在一个给定的区间上,函数可能有若干个极值点,也可能不存在 极值点;函数可以只有极大值,没有极小值,或者只有极小值没有极大值, 也可能既有极大值,又有极小值.
重点难点
课前预习导学
KEQIAN YUXI DAOXUE
课堂合作探究
KETANG HEZUO TANJIU
目标导航
预习导引
1.极值点与极值 (1)极小值点与极小值 如下图,函数 y=f(x)在点 x=a 的函数值 f(a)比它在点 x=a 附近其他 点的函数值都小,f'(a)=0;而且在点 x=a 附近的左侧 f'(x)<0,右侧 f'(x)>0, 把点 a 叫做函数 y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数 y=f(x)的极小值.
(lnx)'· ������2 -lnx·(������2 )' x-2xlnx f'(x)= = 4 x4 x lnx
=
1-2lnx , x3
令 f'(x)=0,得 x= ������ ,且当 0<x< ������ 时,f'(x)>0,当 x> ������ 时,f'(x)<0, 所以 f(x)在 x= ������ 处取得极大值 f( ������ )=2������.
2014-2015学年高中数学(人教版选修2-2)配套课件第一章 1.3 1.3.1 函数的单调性与导数
1
自 测 自 评
1 2 4．函数 y＝ x －ln x 的单调递减区间为( 2 A．(－1,1] C．[1，＋∞) B．(0,1] D．(0，＋∞)
)
栏 目 链 接
答案：B
栏 目 链 接
题型1
求函数的单调区间
例1 求下列函数的单调区间： (1)f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)； (2)f(x)＝3x2－2ln x.
栏 目 链 接
题型2
证明函数的单调性
例2 求证：函数f(x)＝ex－x＋1在(0，＋∞)内是增函数，
在(－∞，0)内是减函数．
栏 目 链 接
分析：先求导数，再推证在该区间内导数恒大于零或 恒小于零，即可证明函数单调性问题．
证明：由f(x)＝ex－x＋1，得f′(x)＝ex－1. 当x∈(0，＋∞)时，ex－1＞0，即f′(x)＞0，
跟 踪 训 练
1．求下列函数的单调区间： (1)f(x)＝x4－2x2＋3； ex (2)f(x)＝ . x－2
栏 目 链 接
解析：(1)函数 f(x) 的定义域为 R. f′(x)＝4x3－4x＝4x(x2－1)＝4x(x＋1)(x－1)． 令 f′(x)＞0，则 4x(x＋1)(x－1)>0， 解得－1<x<0 或 x>1， 所以函数 f(x)的单调递增区间 为(－1,0)和(1，＋∞)．
栏 目 链 接
∴f(x)在(0，＋∞)内是增函数．
当x∈(－∞，0)时，ex－1<0，f′(x)<0， ∴f(x)在(－∞，0)内是减函数．
点评： 函数 f(x) 在某一区间上 f′(x) ＞ 0 是 f(x) 是增函
数的充分不必要条件，若在此区间内有有限个点使f′(x) ＝0，f(x)在该区间内为增函数，因此，在证明f(x)在给 定区间内是增函数时，证明f′(x)≥0(但f′(x)＝0不恒成立) 即可．
人教版高二数学选修2-2导数及其应用《函数单调性与导数》课件(共33张PPT)
x
内是减函数
方程根的问题
1 求证：方程 x sin x 0只有一个根。 2
1 f ( x ) x - sin x,x ( , ) 2 1 f '( x ) 1 cos x 0 2 f(x)在（ ， ）上是单调函数， 而当x 0时，（ f x )=0 1 方程x sin x 0有唯一的根x 0. 2
4.讨论函数y=x2－4x＋3的单调性. 图象法 定义法
单增区间：(２，+∞). 单减区间：(－∞，２).
5.确定函数f(x)=xlnx在哪个区间内是增函数?哪个区 间内是减函数? 提出问题:(1)你能画出函数的图象吗?
(2)能用单调性的定义吗?
发现问题:定义是解决单调性最根本的工具,但有时很
麻烦,甚至解决不了.尤其是在不知道函数的图象的时
2 f '(x) 0,即a - 3 在x （0， 1]上恒成立 x
a -1
练习2 已知函数f (x)=2ax - x ，x (0, 1],a 0,
3
若f (x)在（0， 1]上是增函数，求a的取值范围。
3 [ , ) 2
变式2.函数y=ax bx 6 x 1的
x x 在x (0, )上单调递减.
(0, )
练习：求下列函数的单调区间.
(1) f ( x) x ln x (2) f ( x) e x x 1
变式2：求f ( x) 2 x 6ax 7(a 0) 的单调减区间
3 2
解：
2 f ( x)＝6x 12ax
候,如该例,这就需要我们寻求一个新的方法来解决．
函数的单调性可简单的认为是：
f ( x2 ) f ( x1 ) 若 0, 则函数f ( x)为增函数 x2 x1
内是减函数
方程根的问题
1 求证：方程 x sin x 0只有一个根。 2
1 f ( x ) x - sin x,x ( , ) 2 1 f '( x ) 1 cos x 0 2 f(x)在（ ， ）上是单调函数， 而当x 0时，（ f x )=0 1 方程x sin x 0有唯一的根x 0. 2
4.讨论函数y=x2－4x＋3的单调性. 图象法 定义法
单增区间：(２，+∞). 单减区间：(－∞，２).
5.确定函数f(x)=xlnx在哪个区间内是增函数?哪个区 间内是减函数? 提出问题:(1)你能画出函数的图象吗?
(2)能用单调性的定义吗?
发现问题:定义是解决单调性最根本的工具,但有时很
麻烦,甚至解决不了.尤其是在不知道函数的图象的时
2 f '(x) 0,即a - 3 在x （0， 1]上恒成立 x
a -1
练习2 已知函数f (x)=2ax - x ，x (0, 1],a 0,
3
若f (x)在（0， 1]上是增函数，求a的取值范围。
3 [ , ) 2
变式2.函数y=ax bx 6 x 1的
x x 在x (0, )上单调递减.
(0, )
练习：求下列函数的单调区间.
(1) f ( x) x ln x (2) f ( x) e x x 1
变式2：求f ( x) 2 x 6ax 7(a 0) 的单调减区间
3 2
解：
2 f ( x)＝6x 12ax
候,如该例,这就需要我们寻求一个新的方法来解决．
函数的单调性可简单的认为是：
f ( x2 ) f ( x1 ) 若 0, 则函数f ( x)为增函数 x2 x1
(人教版)高中数学选修2-2课件：第1章 导数及其应用1.3.1
第一章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
1.利用导数符号判断单调性的方法： 利用导数判断函数的单调性比利用函数单调性的定义简 单得多，只需判断导数在该区间内的正负即可． 2．通过图象研究函数单调性的方法： (1)观察原函数的图象重在找出“上升”“下降”产生 变化的点，分析函数值的变化趋势； (2)观察导函数的图象重在找出导函数图象与x轴的交点， 分析导数的正负． 特别提醒：函数的正负与导数的正负没有关系．
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
[思路点拨] 由函数y＝f(x)的图象可得到函数的单调情 况，进而确定导数的正负，再“按图索骥”．
解析： 由原函数的单调性可以得到导函数的正负情况 依次是正→负→正→负，只有选项A满足．
答案： A
数学 选修2-2
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
1．函数y＝x3－3x的单调减区间是( ) A．(－∞，0) B．(0，＋∞) C．(－1,1) D．(－∞，－1)，(1，＋∞) 解析： y′＝3x2－3， 由y′＝3x2－3<0得－1<x<1， ∴函数y＝x3－3x的单调减区间是(－1,1)． 答案： C
特别提醒：(1)单调区间不能“并”，即不能用“∪”
符号连接，只能用“，”或“和”隔开．
(2)导数法求得的单调区间一般用开区间表示．
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
2．(1)求函数f(x)＝3x2－2ln x的单调区间； (2)设函数f(x)＝ln(x＋a)＋x2，若f′(－1)＝0，求a的值， 并讨论f(x)的单调区间．
2015高中数学选修2-2课件：1-3 导数的应用
第21页
第一章
1.3
第二十一页，编辑于星期五：十二点 十五分。
高考调研
新课标A版 ·数学 ·选修2-2
(2)因为 f(x)＝lnx－ax＋1－x a－1， 所以 f′(x)＝1x－a＋a－x2 1＝－ax2－xx＋2 1－a，x∈(0，＋∞)． 令 g(x)＝ax2－x＋1－a，x∈(0，＋∞)， ①当 a＝0 时，g(x)＝－x＋1，x∈(0，＋∞)． 有 x∈(0,1)，g(x)>0，f′(x)<0，f(x)递减； 当 x∈(1，＋∞)时，g(x)<0，此时 f′(x)>0，f(x)递增； ②当 a≠0 时，由 f′(x)＝0，解得 x1＝1，x2＝1a－1.
第11页
第一章
1.3
第十一页，编辑于星期五：十二点 十五分。
高考调研
新课标A版 ·数学 ·选修2-2
【解析】 (1)证明：f′(x)＝ax2＋1x2－＋21x2ax＋b ＝－axx22－＋21bx2＋a， 令 f′(x)＝0，即 ax2＋2bx－a＝0.○* ∵Δ＝4b2＋4a2＞0，故方程○*有两个不等实根，记为 x1、x2， 不妨设 x1＜x2， 当 x 变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：
题型四 求极值、最值
例 4 设函数 f(x)＝x3＋ax2－a2x＋1，g(x)＝ax2－2x＋1，其 中实数 a≠0.
(1)若 a>0，求函数 f(x)的单调区间； (2)当函数 y＝f(x)与 y＝g(x)的图像只有一个公共点且 g(x)存 在最小值时，记 g(x)的最小值为 h(a)，求 h(a)的值域； (3)若 f(x)与 g(x)在区间(a，a＋2)上均为增函数，求 a 的取值 范围．
第23页
高中数学选修2《导数在研究函数中的应用》课件
或
x>1
时,
f (x)>0,
-
1 3
x
1
时,
∴ 函数在 (-∞,
f (x)<0.
- 13) 或 (1,
+∞) 上是增函数,
在
(
-
1 3
,
1)上是减函数.
4. 证明函数 f(x)=2x3-6x2+7 在 (0, 2) 内是减函数.
证明: f (x)=6x2-12x,
解不等式 6x2-12x<0 得 0<x<2,
函数是增函数.
例2. 判断下列函数的单调性, 并求出单调区间: (1) f(x)=x3+3x;
(2) f(x)=x2-2x-3;
(3) f(x)=sinx-x, x(0, p);
(4) f(x)=2x3+3x2-24x+1.
y
解: (3) f (x) = cosx-1,
解不等式 cosx-1>0 得
果 f(x)<0, 那么函数 y=f(x)在
这个区域内单调递减.
例1. 已知导函数 f (x) 的下列信息:
当 1<x<4 时, f (x)>0;
当 x>4, 或 x<1 时, f (x)<0;
当 x=4, 或 x=1 时, f (x)=0.
试画出函数 f(x) 图象的大致形状.
解: 在区间 (1, 4) 内, f (x)>0,
解不等式 6x2+6x-24>0 得
x
-
1 2
-
17 2
,
或
x
-
1 2
+
2015-2016高中数学人教A版选修2-2课件 1.3 导数在研究函数中的应用 第4课时
解析：设切点为(x0，y0)，y′＝2x.y′| x＝x0 ＝2x0＝2，x0＝1，y0＝ 1.
∴切线方程为 y－1＝2(x－1)，即 2x－y－1＝0，故选 C. 答案：C
第二十五页，编辑于星期五：八点 十六分。
2．过曲线 y＝1x上一点 P 的切线的斜率为－4，则点 P 的坐标为
()
A.21，2 C.－12，－2
∴
x0＝12， k＝14，
故当k＝
1 4
时，直线y＝x与曲线y＝x2＋k相切，且切
点坐标为21，12.
第十六页，编辑于星期五：八点 十六分。
考点三 几个常用函数的导数的综合应用 例3 已知直线x＋2y－4＝0与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，点O 是坐标原点，试在抛物线的 AOB 上求一点P，使△ABP面积最大．
∴y＝－2
x，∴y′＝－
1 x.
∵kAB＝－12，∴－ 1x＝为(4，－4)．
第十九页，编辑于星期五：八点 十六分。
方法二：设与直线x＋2y－4＝0平行的抛物线y2＝4x的切线方程为
x＋2y＋m＝0.联立xy＋2＝24yx＋，m＝0， 得y42＋2y＋m＝0只有一个解，即Δ
考点二 求切线方程 例2 已知曲线y＝1x. (1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程； (2)求曲线过点Q(1,0)处的切线方程； (3)求满足斜率为－13的曲线的切线方程．
第十一页，编辑于星期五：八点 十六分。
解析：∵y＝1x，∴y′＝－x12. (1)显然P(1,1)是曲线上的点，所以P为切点，所求切线斜率为函 数y＝1x在P(1,1)点的导数，即k＝f′(1)＝－1. 所以曲线在P(1,1)处的切线方程为y－1＝－(x－1)，即为y＝－x＋ 2.
2．常用函数的导数的几何意义 若y＝c表示路程关于时间的函数，则y′＝0可以解释为某物体的 瞬时速度始终为0，即一直处于静止状态； 若y＝x表示路程关于时间的函数，则y′＝1可以解释为某物体做 瞬时速度为1的匀速直线运动； 若y＝x2表示路程关于时间的函数，则y′＝2x可以解释为某物体 做变速运动，它在时刻x的瞬时速度为2x.
∴切线方程为 y－1＝2(x－1)，即 2x－y－1＝0，故选 C. 答案：C
第二十五页，编辑于星期五：八点 十六分。
2．过曲线 y＝1x上一点 P 的切线的斜率为－4，则点 P 的坐标为
()
A.21，2 C.－12，－2
∴
x0＝12， k＝14，
故当k＝
1 4
时，直线y＝x与曲线y＝x2＋k相切，且切
点坐标为21，12.
第十六页，编辑于星期五：八点 十六分。
考点三 几个常用函数的导数的综合应用 例3 已知直线x＋2y－4＝0与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，点O 是坐标原点，试在抛物线的 AOB 上求一点P，使△ABP面积最大．
∴y＝－2
x，∴y′＝－
1 x.
∵kAB＝－12，∴－ 1x＝为(4，－4)．
第十九页，编辑于星期五：八点 十六分。
方法二：设与直线x＋2y－4＝0平行的抛物线y2＝4x的切线方程为
x＋2y＋m＝0.联立xy＋2＝24yx＋，m＝0， 得y42＋2y＋m＝0只有一个解，即Δ
考点二 求切线方程 例2 已知曲线y＝1x. (1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程； (2)求曲线过点Q(1,0)处的切线方程； (3)求满足斜率为－13的曲线的切线方程．
第十一页，编辑于星期五：八点 十六分。
解析：∵y＝1x，∴y′＝－x12. (1)显然P(1,1)是曲线上的点，所以P为切点，所求切线斜率为函 数y＝1x在P(1,1)点的导数，即k＝f′(1)＝－1. 所以曲线在P(1,1)处的切线方程为y－1＝－(x－1)，即为y＝－x＋ 2.
2．常用函数的导数的几何意义 若y＝c表示路程关于时间的函数，则y′＝0可以解释为某物体的 瞬时速度始终为0，即一直处于静止状态； 若y＝x表示路程关于时间的函数，则y′＝1可以解释为某物体做 瞬时速度为1的匀速直线运动； 若y＝x2表示路程关于时间的函数，则y′＝2x可以解释为某物体 做变速运动，它在时刻x的瞬时速度为2x.
2015高中数学选修2-2课件：1-3 导数的应用1
第7页
第一章 1.3 1.3.1
第七页，编辑于星期五：十二点 十五分。
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2．在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于零的
点外，还要注意定义区间内的不连续点或不可导点．
3．注意在某一区间内 f′(x)>0(或 f′(x)<0)是函数 f(x)在该区
间上为增(或减)函数的充分条件．如 f(x)＝x3 是 R 上的可导函数，
第16页
第一章 1.3 1.3.1
第十六页，编辑于星期五：十二点 十五分。
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(2)y＝x3 的单调增区间为________． 【答案】 (－∞，＋∞)
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第一章 1.3 1.3.1
第十七页，编辑于星期五：十二点 十五分。
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第一章 1.3 1.3.1
第十五页，编辑于星期五：十二点 十五分。
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思考题 1 (1)求函数 f(x)＝x4－2x2＋3 的单调递增区间．
【解析】 ∵f′(x)＝4x3－4x，令 f′(x)＝4x3－4x>0，解得－ 1<x<0 或 x>1.
∴f(x)递增区间为(－1,0)，(1，＋∞)．
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题型四 应用单调性求参数范围
例4
y
＝
x
＋
a2 x
(a
＞
0)
在
[2
，
＋
∞)
上
是
增
函
数
人教版高中数学选修2-2第1章 导数及其应用1.3.3ppt课件
• A．f(1)与f(－1)
B．f(1)与f(2)
• C．f(－1)与f(2) D．f(2)与f(－1)
• 解析： f′(x)＝4－4x3，f′(x)>0，
• 即4－4x3>0⇒x<1，f′(x)<0⇒x>1， • ∴f(x)＝4x－x4在x＝1时取得极大值，
• 且f(1)＝3，而f(－1)＝－5，f(2)＝－8， • ∴f(x)＝4x－x4在[－1,2]上的最大值为f(1)，最小值为
数的最大值和最小值．
• (2)若函数在闭区间[a，b]上连续单调，则最大、最 小值在端点处取得．
• (3)若连续函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个极值点 时，这个点的函数值必然是最值．例如在(－∞，＋ ∞)上函数只有一个极值，那么这个极值也就是最 值．
• 1．函数f(x)＝4x－x4在x∈[－1,2]上的最大值、最小 值分别是( )
• (1)求f′(x)，令f′(x)＝0，求出在(a，b)内使导数为0的 点，同时还要找出导数不存在的点．
• (2)比较三类点处的函数值：导数不存在的点，导数 为0的点及区间端点的函数值，其中最大者便是f(x) 在[a，b]上的最大值，最小者便是f(x)在[a，b]上的最 小值．
• 特别提醒：比较极值与端点函数值的大小时，可以 作差、作商或分类讨论．
值 最f小(a的)，一f(个b)比就较是，__其__中__最__大__的．一个最就大是值 __________， 最小值
• 2．求函数最值需注意的问题 • (1)求函数的最值，显然求极值是关键的一环．但仅
仅是求最值，可用下面简化的方法求得． • ①求出导数为零的点． • ②比较这些点与端点处函数值的大小，就可求出函
f(2)，故选B. • 答案： B
2015高中数学选修2-2课件 1.3.1导数在研究函数中的应用
迁移与应用
1.函数 y=ex+1 -x 的单调递减区间是
.
答案:(-∞,-1)
解析:函数 y=ex+1-x 的定义域为 R,且 y'=ex+1-1,令 y'<0,即 ex+1-1<0,
可得 x+1<0,x<-1.故所求的单调递减区间是(-∞,-1).
2.求函数 f(x)=x4-2x2+3 的单调区间.
提示:(1)确定函数 f(x)的定义域;
(2)求导数 f'(x);
(3)由 f'(x)>0〔或 f'(x)<0〕解出相应的 x 的范围.当 f'(x)>0 时,f(x)
在相应区间上是增函数;当 f'(x)<0 时,f(x)在相应区间上是减函数.
第四页，编辑于星期五：十二点 十四分。
1.3.1
数
目标导航
当 a-1>1,即 a>2 时,函数 f(x)在(-∞,1)上为增函数,在(1,a-1)内为减函
数,在(a-1,+∞)上为增函数.
依题意知,当 x∈(1,4)时,f'(x)<0,当 x∈(6,+∞)时,f'(x)>0.∴4≤a-1≤6,
即 5≤a≤7.
∴a 的取值范围是[5,7].
第十八页，编辑于星期五：十二点 十四分。
f'(x)>0〔或 f'(x)<0〕,不等式的解集就是函数的单调区间.
(2)利用导数求单调区间时,要特别注意不能忽视函数的定义域,在
解不等式 f'(x)>0〔或 f'(x)<0〕时,要在函数定义域的前提之下求解.
2015-2016高中数学人教A版选修2-2课件 1.3 导数在研究函数中的应用 第5课时
则点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为
12·－x60·|2x0|＝6， 故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角
形面积为定值，此定值为6.
第二十九页，编辑于星期五：八点 十六分。
点评：利用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则，结 合导数的几何意义可以解决一些如距离、面积相关的几何的最值问 题，解题的关键是正确确定所求切线的位置，进而求出切点坐标．
(2)证明：设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y′＝1＋
3 x2
知曲线在点
P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝ 1＋x320 (x－x0)，即y－ x0－x30 ＝
1＋x320(x－x0)．令x＝0，得y＝－x60， 即切线与直线x＝0的交点为0，－x60； 令y＝x，得y＝x＝2x0，
则切线与直线y＝x的交点为(2x0,2x0)．
第六页，编辑于星期五：八点 十六分。
3．两个函数商的导数 gfxx′＝f′xg[xg－xf]2xg′x(g(x)≠0)． 叙述为：两个函数商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去 分母的导数与分子的积，再除以分母的平方．
第七页，编辑于星期五：八点 十六分。
【练习2】 函数y＝1c－osxx的导数是( )
第一页，编辑于星期五：八点 十六分。
目标导航 1．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求 简单函数的导数； 2．能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax＋b))的导数．
第二页，编辑于星期五：八点 十六分。
1 新知识·预习探究
知识点一 基本初等函数的导数公式
函数
导数
(1)f(x)＝c(c为常数) (2)f(x)＝xα(α∈Q*)
12·－x60·|2x0|＝6， 故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角
形面积为定值，此定值为6.
第二十九页，编辑于星期五：八点 十六分。
点评：利用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则，结 合导数的几何意义可以解决一些如距离、面积相关的几何的最值问 题，解题的关键是正确确定所求切线的位置，进而求出切点坐标．
(2)证明：设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y′＝1＋
3 x2
知曲线在点
P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝ 1＋x320 (x－x0)，即y－ x0－x30 ＝
1＋x320(x－x0)．令x＝0，得y＝－x60， 即切线与直线x＝0的交点为0，－x60； 令y＝x，得y＝x＝2x0，
则切线与直线y＝x的交点为(2x0,2x0)．
第六页，编辑于星期五：八点 十六分。
3．两个函数商的导数 gfxx′＝f′xg[xg－xf]2xg′x(g(x)≠0)． 叙述为：两个函数商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去 分母的导数与分子的积，再除以分母的平方．
第七页，编辑于星期五：八点 十六分。
【练习2】 函数y＝1c－osxx的导数是( )
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目标导航 1．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求 简单函数的导数； 2．能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax＋b))的导数．
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1 新知识·预习探究
知识点一 基本初等函数的导数公式
函数
导数
(1)f(x)＝c(c为常数) (2)f(x)＝xα(α∈Q*)
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π π - ,2 6 单调递减↘
-
π 6
π π - , 6 6 + 单调递增↗ 0
π 6 -
π π , 6 2
π 2
0 π 3 − 6 2
3 π − 2 6
单调 递减↘
-
π 2
由上表可知: 当 x=- 时,f(x)取得最大值 f 当 x= 时,f(x)取得最小值 f
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(2)f'(x)=2cos 2x-1, 令 f'(x)=0,- ≤x≤ , 得 x=- ,或 x= . 当 x 变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
x f'(x) f(x) π 2 π 2
������ 2 ������ 2 ������ 2 ������ 2
= ,
������ 2
������ 2
=- .
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迁移与应用 1.函数 f(x)=x3-2x2+1 在区间[-1,2]上的最大值与最小值分别是 ( ) A.1 和-2 C.1 和5 27
预习交流 1
如果函数 f(x)在开区间(a,b)上的图象是连续不断的曲线,那么它在 (a,b)上是否一定有最值?若 f(x)在闭区间[a,b]上的图象不连续,那么它在 [a,b]上是否一定有最值? 提示:一般地,若函数 f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么 f(x)在 闭区间[a,b]上必有最大值和最小值.这里给定的区间必须是闭区间,如 果是开区间,那么尽管函数是连续函数,那么它也不一定有最大值和最 小值.
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预习交流 2
思考:(1)如果 f(x)在闭区间[a,b]上恰好为单调函数,那么如何求 f(x) 在[a,b]上的最值? (2)如何求函数 f(x)在开区间上的最值? 提示:(1)如果函数 f(x)在闭区间[a,b]上恰好是单调函数,那么函数的 最值恰好在两个端点处取到.当 f(x)在闭区间[a,b]上递增时,f(a)是最小 值,f(b)是最大值;当 f(x)在闭区间[a,b]上递减时,f(a)是最大值,f(b)是最小 值. (2)如果要研究函数在开区间上的最值情况,那么就要与闭区间加 以区别.由于是开区间,所以函数的最值不能在端点处取得,而只能在极 值点处取得,当函数在开区间上只有一个极值时,这个极值也必然是最 值.如果在无穷区间(-∞,+∞)上函数只有一个极值,那么这个极值也就是 最值.
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一、求函数在闭区间上的最值 活动与探究
1.在闭区间上,函数的极值与最值出现位置有何不同? 提示:函数的极值点一定出现在区间的内部,而函数取得最值的点 可能在区间的内部,也可能在区间的端点上. 2.一个函数的极大值一定是它的最大值吗? 提示:不一定,若函数在某一区间内有唯一的极值,那么这一极值也 是相应的最值;若函数在区间内的极值不唯一,则要把极值与端点处的 函数值比大小来确定最值.
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例 1 求下列函数的最值: (1)f(x)=-x3+3x,x∈[- 3, 3]; (2)f(x)=sin 2x-x,x∈ - ,
������ ������ 2 2
.
思路分析:按照求函数最值的方法与步骤,通过列表进行计算与求 解. 解:(1)f'(x)=-3x2+3=-3(x-1)(x+1). 令 f'(x)=0,得 x=1,或 x=-1. 当 x 变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
x f'(x) f(x) -2 -1 (-1,0) + 单调递增↗ 0 0 1 单调递减↘ 0, 4 3 4 3 0 5 27
x f'(x) f(x) 0 - 3 (- 3,-1) 单调递减↘ -1 0 -2 (-1,1) + 单调递增↗ 1 0 2 (1, 3) 单调递减↘ 0 3
由上表可知: 当 x=1 时,f(x)取得最大值,[f(x)]max=f(1)=2. 当 x=-1 时,f(x)取得最小值,[f(x)]min=f(-1)=-2.
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1.函数 f(x)在闭区间[a,b]上的最值 如果在区间[a,b]上函数 y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,则该 函数在[a,b]上一定能够取得最大值和最小值,并且函数的最值必在极值 点或区间端点取得.
B.2 和-1 D.1 和 0
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答案:A 解析:f'(x)=3x2-4x.令 f'(x)=0,有 3x2-4x=0,解得 x=0,或 x= .当 x 变化 时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
1.3.3
函数的最大(小)值与导数
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1.知道函数的最大值与最小值的概念; 学习目 标 重点难 点 2.能够区分函数的极值与最值; 3.会用导数求闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小 值. 重点:在闭区间上求函数的最值; 难点:与函数最值有关的参数问题.
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2.求函数在区间[a,b]上的最值的步骤 (1)求函数 y=f(x)在区间(a,b)内的极值; (2)将函数 y=f(x)的各极值与端点处的函数值 f(a),f(b)比较,其中最 大的一个是最大值,最小的一个是最小值.