考点05 数列 -2021届高三《新题速递·数学(理)》1月刊(适用于高考复习)解析版
专题07数列(新高考地区专用)-2021届高三《新题速递·数学》11月刊(适用于高考复习)(考试版)
专题03 常用逻辑用语姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1．（2020·安徽月考）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，22a =，2112n n n a a -+=，则612S S =（ ） A ．62B ．63C ．64D ．652．（2020·安徽月考）等差数列{}n a 的公差为d ，当首项1a 与d 变化时，21021a a a ++是一个定值，则下各项中一定为定值的是（ ） A ．10aB ．11aC ．12aD ．13a3．（2020·安徽月考）若x ，1a ，2a ，y 成等差数列，x ，1b ，2b ，3b ，y 也成等差数列，其中x y ≠，则2121a ab b -=-（ ）A ．23B ．43C ．53D ．34．（2020·渝中·重庆巴蜀中学月考）设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项的和为n S ，则“0q ＞”是“2132S S S ⋅＜”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．（2020·江西二模（理））在正整数数列中，由1开始依次按如下规则，将某些整数染成红色．先染1；再染3个偶数2，4，6；再染6后面最邻近的5个连续奇数7，9，11，13，15；再染15后面最邻近的7个连续偶数16，18，20，22，24，26，28；再染此后最邻近的9个连续奇数29，31，…，45；按此规则一直染下去，得到一红色子数列：1，2，4，6，7，9，11，13，15，16，……，则在这个红色子数列中，由1开始的第2019个数是（ ） A ．3972B ．3974C ．3991D ．39936．（2020·甘肃城关·兰州一中月考（文））《周髀算经》是我国古老的天文学和数学著作，其书中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测影子的长度），夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列，经记录测算，这九个节气的所有晷长之和为49.5尺，夏至、大暑、处暑三个节气晷长之和为10.5尺，则立秋的晷长为（ ） A ．1.5尺B ．2.5尺C ．3.5尺D ．4.5尺7．（2020·天津滨海新·高三其他）《九章算术》中有如下问题：今有蒲生一日，长四尺，莞生一日，长一尺.蒲生日自半，莞生日自倍.意思是：今有蒲第一天长高四尺，莞第一天长高一尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的两倍.请问第几天，莞的长度是蒲的长度的4倍（ ） A ．4天B ．5天C ．6天D ．7天8．（2020·河北正定中学高三月考）已知衡量病毒传播能力的最重要指标叫做传播指数RO ．它指的是，在自然情况下（没有外力介入，同时所有人都没有免疫力），一个感染到某种传染病的人，会把疾病传染给多少人的平均数它的简单计算公式是：1RO =+确诊病例增长率×系列间隔，其中系列间隔是指在一个传播链中，两例连续病例的间隔时间（单位：天）．根据统计，确诊病例的平均增长率为40%，两例连续病例的间隔时间的平均数5天，根据以上RO 数据计算，若甲得这种传染病，则6轮传播后由甲引起的得病的总人数约为（ ） A ．243B ．248C ．363D ．1092二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．（2020·福建省福州第一中学开学考试）设数列{}n a 满足1102a <<，()1ln 2n n n a a a +=+-对任意的*n N ∈恒成立，则下列说法正确的是（ ）A ．2112a << B ．{}n a 是递增数列 C ．2020312a <<D ．2020314a << 10．（2020·福建省福州第一中学开学考试）设{}n a 是无穷数列，1n n n A a a +=+，()1,2,n =，则下面给出的四个判断中，正确的有（ ） A ．若{}n a 是等差数列，则{}n A 是等差数列 B ．若{}n A 是等差数列，则{}n a 是等差数列 C ．若{}n a 是等比数列，则{}n A 是等比数列 D ．若{}n A 是等差数列，则{}2n a 都是等差数列11．（2020·江苏徐州·高三月考）黄金螺旋线又名等角螺线，是自然界最美的鬼斧神工．在一个黄金矩形（宽长比约等于0.618）里先以宽为边长做正方形，然后在剩下小的矩形里以其宽为边长做正方形，如此循环下去，再在每个正方形里画出一段四分之一圆弧，最后顺次连接，就可得到一条“黄金螺旋线”．达·芬奇的《蒙娜丽莎》，希腊雅典卫城的帕特农神庙等都符合这个曲线．现将每一段黄金螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形半径设为a n (n ∈N *)，数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)．再将扇形面积设为b n (n ∈N *)，则（ ）A ．4(b 2020－b 2019)＝πa 2018·a 2021B ．a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2019＝a 2021－1C ．a 12＋a 22＋a 32…＋(a 2020)2＝2a 2019·a 2021D ．a 2019·a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2＝012．（2020·湖北荆州中学高二月考）将2n 个数排成n 行n 列的一个数阵，如图：该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列（其中0m >）.已知112a =，13611a a =+，记这2n 个数的和为S .下列结论正确的有（）1112131.n a a a a ⋯⋯ 2122232.n a a a a ⋯⋯ 3132333.n a a a a ⋯⋯……123.n n n nn a a a a ⋯⋯A ．3m =B ．767173a =⨯C ．()1313j ij a i -=-⨯ D ．()()131314n S n n =+- 三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．（2020·江西零模（理））已知数列{}n a 中，11a =，且1230n n a a +++=，*n N ∈，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则6S =__________.14．（2020·安徽月考）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：22663nn n S a ⎛⎫+=-⨯ ⎪⎝⎭（*n N ∈），则数列{}n a 中最大项等于______.15．（2020·四川成都·月考（理））已知等比数列{}n a 的前n 项和12n n S r +=-，*n N ∈，若命题“*n N ∀∈，2128n n a a λ≤+”为真，则实数λ的最大值为______.16．（2020·贵州遵义·其他（理））已知数列{}n a 满足()1121nn n a a n ++-=-，则数列{}n a 的前32项之和为__________.四、解答题(本大题共6小题，共70分)17．（2020·河北秦皇岛·期末）已知数列{}n a 中，11a =，其前n 项和记为n S ，121n n a S +=+. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设31log n n b a +=，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 【答案】（1）13-=n n a ；（2）1n nT n =+. 18．（2020·安徽月考）已知数列{}n a 满足13a =，()131n n n a a n++=. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S ；（3）请判断是否存在正整数x ，y ，z （x y z <<），使得x a ，y a ，z a ，成等差数列？若存在，求出x ，y ，z 的值；若不存在，请说明理由.19．（2020·湖北宜昌·月考）设*n N ∈，正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12n n n S S a +=++，___________．请在①1a ，2a ，5a 成等比数列；②341a -，423a +，8a 成等差数列；③2315a S S =这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若11n n n b a a +=，记数列{}n b 前n 项和为n T ，求6T ．20．（2020·广西其他（理））已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且216a =，134n n S a +=-. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2log n n b a =，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项和2020T . 21．（2020·北京二模）已知有限数列{a n }，从数列{a n } 中选取第i 1项、第i 2项、……、第i m 项（i 1＜i 2＜…＜i m ），顺次排列构成数列{a k }，其中b k ＝a k ，1≤k ≤m ，则称新数列{b k }为{a n } 的长度为m 的子列．规定：数列{a n } 的任意一项都是{a n } 的长度为1的子列．若数列{a n } 的每一子列的所有项的和都不相同，则称数列{a n } 为完全数列．设数列{a n }满足a n ＝n ，1≤n ≤25，n ∈N *． （Ⅰ）判断下面数列{a n } 的两个子列是否为完全数列，并说明由； 数列（1）：3，5，7，9，11；数列 （2）：2，4，8，16．（Ⅱ）数列{a n } 的子列{a k }长度为m ，且{b k }为完全数列，证明：m 的最大值为6；（Ⅲ）数列{a n } 的子列{a k }长度m ＝5，且{b k }为完全数列，求1234511111b b b b b ++++的最大值． 22．（2020·天津和平·期中）已知数列{}n a 的前n 项和22n n nS +=，数列{}n b 满足：122b b ==，()112n n n b b n N +*+=∈.（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求()*21121 ni i i i a b n N b -=⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭∑．。
考点09磁场(原卷版)-2021届高三《新题速递·物理》1月刊(高考复习)
考点09磁场1．（2021·全国高三其他模拟）如图所示，水平虚线上方有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度随时间的变化规律如图甲所示，一群带正电的同种粒子在0t =时从虚线上的O 点垂直于磁场方向向上与右边界成θ（0180θ︒<<︒）角射入磁场，如图乙所示，已知粒子在磁场中运动的轨迹半径为r ，周期为T ，不计粒子重力，则在θ角变化过程中下列说法正确的是（ ）A ．粒子距水平虚线的最远距离为2rB ．粒子在磁场中运动的速度始终不变C ．无论θ角多大，粒子均能射出磁场D ．粒子在虚线上方运动的最长时间为32T 2．（2021·黑龙江大庆市·大庆实验中学高二期末）金属棒MN 两端用细软导线悬挂于a 、b 两点，其中间一部分处于方向垂直于纸面向里的匀强磁场中，静止时MN 平行于纸面，如图所示。
若金属棒通有从M 向N 的电流，此时悬线上有拉力。
为了使拉力等于零，下列措施可行的是（ ）A ．减小电流B ．将电流方向改为从N 流向MC ．将磁场方向改为垂直于纸面向外，并减小磁感应强度D ．将磁场方向改为垂直于纸面向外，同时将电流方向也改为从N 流向M 并增大电流强度 3．（2021·全国高三其他模拟）六根通电长直导线垂直纸面平行固定，其截面构成一正六边形，O 为正六边形的中心，通过长直导线a 、b 、c 、d 、e 、f 的电流分别为1I 、2I 、3I 、4I 、5I 、6I ，a 、c ，e 中通过的电流大小相等，b 、d 、f 中通过的电流大小相等，电流方向如图所示．已知通电长直导线在距导线r 处产生的磁感应强度大小为I B k r'=，此时O 点处的磁感应强度大小为6B ，导线a 在O 处产生磁场的磁感应强度大小为B ，则移除e 导线后，e 导线所在处的磁感应强度大小为（ ）A ．0B ．BCD ．2B4．（2021·全国高三月考）如图，纸面内有两条相互垂直的长直绝缘导线L 1、L 2，L 1中的电流方向向上，L 2中的电流方向向右； L 1的右边有a 、b 两点，它们相对于L 2对称。
考点10 概率统计 -2021届高三《新题速递·数学(理)》9月刊(适用于高考复习)解析版
（附：若随机变量 ξ 服从正态分布 N , 2 ，则 P 68.26% ，
P 2 2 95.44% ．）
A．4.56%
B．13.59%
C．27.18%
D．31.74%
【答案】B
【解析】试题分析：由题意 P（ 3＜＜3） 68.26%，P（ 6＜＜6） 95.44%， P（3＜＜6） 1（95.44% 68.26%） 13.59%．
底
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D
i
D
i
4
pi
12
5i
1,
2
,所以
E
i
在
pi
0,
1 2
上单调递减,
D
i
在
pi
0,
1 2
上
单调递增.又
0
p1
p2
1 2
,所以
E 1
E 2
,
D 1
D2
.
故选：A.
10．（2020·全国高三一模（理））下列判断错误的是（ ）
C21 C31 C52
3 5
；
取出两张“3”的概率为： P
C32 C52
3 10
按（a）种规定的得分共有：4 分，5 分，6 分三种情况，即1 4, 5, 6 ；
按（b）种规定的得分共有：6 分，5 分，4 分三种情况，即2 4, 5, 6 ；
列出随机变量1 与 2 的分布列，如下表：
1
4
5
B． 1 4
C． 3 8
D． 1 2
【解析】先算任取一卦的所有等可能结果共 8 卦，
其中恰有 2 根阳线和 1 根阴线的基本事件有 3 卦， ∴概率为 3 .
2021高考数学(理)高频考点、热点题型归类强化专题05 数列附真题体验及解析
2021高考数学（理）高频考点、热点题型归类强化专题05 数列附真题体验及解析列②得，，又，所以，将代入①，得，即，又，所以、（2）由（1）知，所以由分组转化求和法得==、2、已知等差数列满足，且是的等比中项、（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，求。
【解析】（1）设等差数列的公差为，所以，即，，，，又是，的等比中项，，即，解得、数列的通项公式为、（2）由（1）得、、3、已知等差数列的公差是1，且，，成等比数列、（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和、【解析】（1）因为是公差为1的等差数列，且，，成等比数列，所以，即，解得、所以、（2），，两式相减得，所以、所以、【备考策略】1、在应用裂项相消法求和时的思路：（1）把通项裂项后，是否恰好等于相应的两项之差（通项公式特征不明显的要对通项公式变形,如分离常数、有理化等）、（2）在应用裂项相消法时，在正负项抵消后，是否只剩下了第一项和最后一项，是否还有其他项，裂项后不是相邻项相消的,要写出前两组、后两组观察消去项、保留项，注意：消项的规律具有对称性，即前剩多少项则后剩多少项、2、在运用乘公比错位相减法求数列前n项和时要谨防三个失误：（1）两式相减时最后一项因为没有对应项而忘记变号、（2）对相减后的和式的结构认识模糊,不能准确地确定中间的项数、（3）求和的最终结果忘记除以错位相减后前面的系数、【类比演练】1、在数列中，已知、（1）求数列,的通项公式；（2）设数列满足，求的前n项和、【解析】（1）,∴数列是首项为，公比为的等比数列，∴、因为，所以、（2）由（1）知，, 所以所以、2、已知等比数列的前n项和为，成等差数列，且、（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前n 项和、【解析】（1）设等比数列的公比为，易知、由成等差数列，得，即，化简得，解得，由得，解得，所以、（2），所以，则==、3、在正项等比数列中，已知、（1）求数列的通项公式;（2）令，求数列的前100项和、【解析】（1）由题知为正项等比数列,设其公比为q,则解得，所以（2）因为，所以，故、考点四求数列通项及数列的综合应用【典例】1、已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝an＋、(1)设bn＝，求数列{bn}的通项公式；(2)求数列{an}的前n项和Sn、【解析】(1)由an＋1＝an＋，可得＝＋，又bn＝，∴bn＋1－bn＝，由a1＝1，得b1＝1，由累加法可得(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(bn－bn－1)＝＋＋…＋，即bn－b1＝＝1－，∴bn＝2－、(2)由(1)可知an＝2n－，设数列的前n项和为Tn，则Tn＝＋＋＋…＋①，Tn＝＋＋＋…＋②，①－②得Tn＝＋＋＋…＋－＝－＝2－，∴Tn＝4－、易知数列{2n}的前n项和为n(n＋1)，∴Sn＝n(n ＋1)－4＋、2、设数列{an}的前n项和为Sn,数列{Sn}的前n项和为Tn,满足Tn=2Sn-n2,n∈N*、(1)求a1的值、(2)求数列{an}的通项公式、【解析】(1)令n=1,T1=2S1-1,因为T1=S1=a1,所以a1=2a1-1,所以a1=1、(2)n≥2时,Tn-1=2Sn-1-(n-1)2,则Sn=Tn-Tn-1=2Sn-n2-[2Sn-1-(n-1)2]=2(Sn-Sn-1)-2n+1=2an-2n+1、因为当n=1时,a1=S1=1也满足上式,所以Sn=2an-2n+1(n≥1),当n≥2时,Sn-1=2an-1-2(n-1)+1,两式相减得an=2an-2an-1-2,所以an=2an-1+2(n≥2),所以an+2=2(an-1+2),因为a1+2=3≠0,所以数列{an+2}是以3为首项,公比为2的等比数列、所以an+2=32n-1,所以an=32n-1-2,当n=1时也成立,所以an=32n-1-2、3、已知数列{an}的前n项和Sn=3n-1，其中n∈N*、(1)求数列{an}的通项公式、(2)若数列{bn}满足b1=1，bn=3bn-1+an(n≥2)，①证明：数列{bn3n-1}为等差数列；②求数列{bn}的前n项和Tn、【解析】(1)因为数列{an}的前n项和Sn=3n-1，所以an=Sn-Sn-1=(3n-1)-(3n-1-1)=23n-1(n≥2)、因为n=1时，a1=S1=2，也适合上式，所以an=23n-1(n∈N*)、(2)①当n≥2时，bn=3bn-1+23n-1，两边同时除以，将其变形为bn3n-1=bn-13n-2+2，即bn3n-1-bn-13n-2=2、所以，数列{bn3n-1}是首项为b130=1，公差为2的等差数列、②由①得，bn3n-1=1+2(n-1)=2n-1，所以bn=(2n-1)3n-1(n∈N*)，因为Tn=130+331+532+…+(2n-1)3n-1，所以3Tn=131+332+533+…+(2n-1)3n、两式相减得2Tn=-1-2(31+32+…+3n-1)+(2n-1)3n、整理得Tn=(n-1)3n+1(n∈N*)、【备考策略】1、利用累加法、累乘法求数列的通项的解题关键是：（1）化简、当时，先要准确写出恒等式中各加项（各因式），然后利用相关数列知识及指数、对数运算法则加以化简；（2）验证、注意验证当n=1时是否满足上述一般情形（当时的情形）、2、已知数列的前n项和的递推式或与的关系式，求数列的通项公式的问题，破解此类题的关键是：第一步:令n=1,则，求得;第二步:令n≥2,则；第三步:验证与的关系:(1)若适合，则、(2)若不适合，则【类比演练】1、在数列中，且，，则的通项公式为__________、【答案】【解析】在数列中，，，，，，以上式子累加得：、、2、设数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,{Sn+nan}为常数列,则an=( )A、13n-1B、2n(n+1)C、6(n+1)(n+2)D、5-2n3【解析】选B、由题意知,Sn+nan=2,当n≥2时,Sn-1+(n-1)an-1=2,所以(n+1)an =(n-1)an-1,从而由累乘法得，a2a1a3a2a4a3…anan-1 =1324…n-1n+1,则an=2n(n+1),当n=1时上式成立,所以an=2n(n+1)、3、已知数列的前n项和Sn＝2an－1(n∈N*)，设bn ＝1＋log2an，则数列的前n项和Tn＝________、【解析】因为Sn＝2an－1(n∈N*)，所以当n＝1时，a1＝1、当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，得an＝2an－1，所以an＝2n－1，从而bn＝1＋log2an＝n、故Tn＝＋＋…＋＝＝、答案：4、在数列{}中，已知，，则等于（）A、B、C、。
专题02复数(新高考地区专用)-2021届高三《新题速递·数学》(适用于高考复习)(解析版)
【详解】
由题意，设复数 ，
因为 ，可得 ，整理得 ，
即复数 在复平面内对应的点为 则 满足的关系式为 .
故答案为： .
13．（2020·天津高三月考）已知 为虚数单位，则 ______.
【答案】
【详解】
已知 为虚数单位，则 .
故答案为： .
14．（2020·上海市建平中学高三月考）若复数 满足 ，则复数 的最大值为______.
19．（2020·安徽安庆一中高二期中（理））已知复数 ， 为虚数单位.
（1）求 的值；
（2）类比数列的有关知识，求 的值.
【答案】（1） （2）1
【详解】
（1） 复数 为虚数单位），
，
，
（2）
20．（2020·山东高一期中）已知复数 （i为虚数单位， ）为纯虚数， 和b是关于x的方程 的两个根.
（1）求实数a，b的值；
A．0B．1C． D．
【答案】C
【详解】
∵ 为正实数，
∴ 且 ，
解得 .
故选：C.
3．（2020·南京航空航天大学附属高级中学高三期中）若复数 ，则复数 的虚部为（）
A．－1B．1C．－iD．i
【答案】B
【详解】
由题意 ，则复数 的虚部为1
故选：B
4．（2020·浙江宁波·高三期中）若复数 （ 为虚数单位）的实部和虚部互为相反数，则实数 （）
（2）若复数z满足 ，说明在复平面内z对应的点Z的集合是什么图形？并求该图形的面积
【答案】（1） ， （2）点 的集合是以原点为圆心，以 和 为半径的两个圆所夹的圆环，包括边界；面积为
【详解 ，
解得 ，
此时 ，由韦达定理得 ，
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专题07数列(新高考地区专用)-2021届高三《新题速递·数学》11月刊(适用于高考复习)(解析版)
专题03 常用逻辑用语姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1．（2020·安徽月考）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，22a =，2112n n n a a -+=，则612S S =（ ） A ．62 B ．63C ．64D ．65【答案】D【解析】由41222122412221242n n n n n n n n a a a a a a ++++-+===，41212214321212242n n n n n n n n a a a a a a -++---===， 可知数列{}n a 的奇数项是以1为首项，4为公比的等比数列；偶数项是以2为首项，4为公比的等比数列.所以6123456S a a a a a a =+++++3312(14)(14)21221631414a a --=+=+⨯=--，661212(14)(14)1414a a S --=+--1365213654095=+⨯=，所以12640956563S S ==.故选：D 2．（2020·安徽月考）等差数列{}n a 的公差为d ，当首项1a 与d 变化时，21021a a a ++是一个定值，则下各项中一定为定值的是（ ） A ．10a B ．11aC ．12aD ．13a【答案】B【解析】因为()11n a a n d +-=，()*n N∈，而()()()()2102111111119203303103a a a a d a d a d a d a d a ++=+++++=+=+==定值，所以11a 一定为定值.故选：B ．3．（2020·安徽月考）若x ，1a ，2a ，y 成等差数列，x ，1b ，2b ，3b ，y 也成等差数列，其中x y ≠，则2121a ab b -=-（ ）A ．23B ．43C ．53D ．3【答案】B【解析】因为在等差数列中，()n m a a n m d -=-，所以()1213y a x a -=-，()2114y x b b =--， 即()()2121143134y x a a b b y x--==--.故选：B ．4．（2020·渝中·重庆巴蜀中学月考）设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项的和为n S ，则“0q ＞”是“2132S S S ⋅＜”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】11S a =，()211S a q =+，()2311S a q q =++， 故()()222222131111S S S a q q q a q ⎡⎤-⋅=+-++=⎣⎦，因为在等比数列{}n a 中，10a ≠，故21320S S S q ⋅<⇔>,故“0q ＞”是“2132S S S ⋅＜”的充要条件.故选：C ． 5．（2020·江西二模（理））在正整数数列中，由1开始依次按如下规则，将某些整数染成红色．先染1；再染3个偶数2，4，6；再染6后面最邻近的5个连续奇数7，9，11，13，15；再染15后面最邻近的7个连续偶数16，18，20，22，24，26，28；再染此后最邻近的9个连续奇数29，31，…，45；按此规则一直染下去，得到一红色子数列：1，2，4，6，7，9，11，13，15，16，……，则在这个红色子数列中，由1开始的第2019个数是（ ） A ．3972 B ．3974 C ．3991 D ．3993【答案】D【解析】第1此染色的数为1=11⨯ ，共染色1个， 第2次染色的最后一个数为6=23⨯，共染色3个， 第3次染色的最后一个数为15=35⨯，共染色5个， 第4次染色的最后一个数为28=47⨯，共染色7个， 第5次染色的最后一个数为45=59⨯，共染色9个， …∴第n 次染色的最后一个数为n 2n 1⨯-（），共染色2n -1个，经过n 次染色后被染色的数共有1+3+5+…+，2n -1，=n 2个， 而201945456=⨯-，∴第2019个数是在第45次染色时被染色的，第45次染色的最后一个数为4589⨯，且相邻两个数相差2， ，2019，458912⨯-，3993，故选D ，6．（2020·甘肃城关·兰州一中月考（文））《周髀算经》是我国古老的天文学和数学著作，其书中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测影子的长度），夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列，经记录测算，这九个节气的所有晷长之和为49.5尺，夏至、大暑、处暑三个节气晷长之和为10.5尺，则立秋的晷长为（ ） A ．1.5尺 B ．2.5尺C ．3.5尺D ．4.5尺【答案】D【解析】∵夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列{}n a ，设其首项为1a ，公差为d ， 根据题意9131115= 1.510.49.593649.5365.5110S a a a a a d d a d +==⎧⎧⎧⇒⇒⎨⎨⎨++==⎩+=⎩⎩，∴立秋的晷长为4 1.53 4.5a =+=.故选：D7．（2020·天津滨海新·高三其他）《九章算术》中有如下问题：今有蒲生一日，长四尺，莞生一日，长一尺.蒲生日自半，莞生日自倍.意思是：今有蒲第一天长高四尺，莞第一天长高一尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的两倍.请问第几天，莞的长度是蒲的长度的4倍（ ） A ．4天 B ．5天C ．6天D ．7天【答案】B【解析】由题意，蒲第一天长高四尺，以后蒲每天长高前一天的一半，所以蒲生长构成首项为14a =，公比为112q =的等比数列，其前n 项和为314[1()]128()1212n n n S -⨯-==--，又由莞第一天长高一尺，每天长高前一天的两倍，则莞生长构成首项为14b =，公比为12q =的等比数列，其前n 项和为1[12]2112nn n T ⨯-==--，又因为4n n T S =，即31214[8()]2n n --=⨯-，解得5n =.故选：B .8．（2020·河北正定中学高三月考）已知衡量病毒传播能力的最重要指标叫做传播指数RO ．它指的是，在自然情况下（没有外力介入，同时所有人都没有免疫力），一个感染到某种传染病的人，会把疾病传染给多少人的平均数它的简单计算公式是：1RO =+确诊病例增长率×系列间隔，其中系列间隔是指在一个传播链中，两例连续病例的间隔时间（单位：天）．根据统计，确诊病例的平均增长率为40%，两例连续病例的间隔时间的平均数5天，根据以上RO 数据计算，若甲得这种传染病，则6轮传播后由甲引起的得病的总人数约为（ ） A ．243 B ．248C ．363D ．1092【答案】D【解析】记第1轮感染人数为1a ，第2轮感染人数为2a ，…，第n 轮感染人数为n a ，则数列{}n a 是等比数列，公比为q RO =，由题意140%53RO =+⨯=，即3q =，所以13a =，总人数为()66313109213S -==-人.故选：D ．二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．（2020·福建省福州第一中学开学考试）设数列{}n a 满足1102a <<，()1ln 2n n n a a a +=+-对任意的*n N ∈恒成立，则下列说法正确的是（ ）A ．2112a << B ．{}n a 是递增数列 C ．2020312a <<D ．2020314a << 【答案】ABD【解析】由()1ln 2n n n a a a +=+-，1102a << 设()()ln 2f x x x =+-， 则()11122xf x x x-'=-=--， 所以当01x <<时，0f x ，即()f x 在0,1上为单调递增函数，所以函数在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭为单调递增函数，即()()102f f x f ⎛⎫<<⎪⎝⎭， 即()131ln 2ln ln 1222e f x e <<<+<+=， 所以()112f x << ， 即11(2)2n a n <<≥， 所以2112a <<，2020112a <<，故A 正确；C 不正确；由()f x 在0,1上为单调递增函数，112n a <<，所以{}n a 是递增数列，故B 正确；2112a <<,所以 23132131113ln(2)ln ln 222234a a a e =+->+>+=+> 因此20202020333144a a a ∴<><>，故D 正确，故选：ABD 10．（2020·福建省福州第一中学开学考试）设{}n a 是无穷数列，1n n n A a a +=+，()1,2,n =，则下面给出的四个判断中，正确的有（ ） A ．若{}n a 是等差数列，则{}n A 是等差数列 B ．若{}n A 是等差数列，则{}n a 是等差数列 C ．若{}n a 是等比数列，则{}n A 是等比数列 D ．若{}n A 是等差数列，则{}2n a 都是等差数列 【答案】AD【解析】对于A ，若{}n a 是等差数列，设公差为d ， 则()1111122n n n a n d a nd A a a a nd d +=+=+-++=+-， 则()()111222212n n A A a nd d a n d d d --=+--+--=⎡⎤⎣⎦， 所以{}n A 是等差数列，故A 正确； 对于B ，若{}n A 是等差数列，设公差为d ，()11111n n n n n n n n A a a a a a a A d +-+--=-=-+-=+，即数列{}n a 的偶数项成等差数列，奇数项成等差数列，故B 不正确，D 正确. 对于C ，若{}n a 是等比数列，设公比为q ， 当1q ≠-时， 则11111n n n n n n n n n na q a A a a a qq a A a a --+--+=+++==， 当1q =-时，则10n n n A a a ++==，故{}n A 不是等比数列，故C 不正确；故选：AD11．（2020·江苏徐州·高三月考）黄金螺旋线又名等角螺线，是自然界最美的鬼斧神工．在一个黄金矩形（宽长比约等于0.618）里先以宽为边长做正方形，然后在剩下小的矩形里以其宽为边长做正方形，如此循环下去，再在每个正方形里画出一段四分之一圆弧，最后顺次连接，就可得到一条“黄金螺旋线”．达·芬奇的《蒙娜丽莎》，希腊雅典卫城的帕特农神庙等都符合这个曲线．现将每一段黄金螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形半径设为a n (n ∈N *)，数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)．再将扇形面积设为b n (n ∈N *)，则（ ）A ．4(b 2020－b 2019)＝πa 2018·a 2021B ．a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2019＝a 2021－1C ．a 12＋a 22＋a 32…＋(a 2020)2＝2a 2019·a 2021D ．a 2019·a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2＝0【答案】ABD 【解析】由题意得b n ＝4πa n 2，则4(b 2020－b 2019)＝4(4πa 20202－4πa 20192)＝π(a 2020＋a 2019)(a 2020－a 2019)＝πa 2018·a 2021，则选项A 正确；又数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)，所以a n －2＝a n －a n －1(n ≥3)，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2019＝(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋(a 5－a 4)＋…＋(a 2021－a 2020)＝a 2021－a 2＝a 2021－1，则选项B 正确；数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)，即a n －1＝a n －2－a n ，两边同乘a n －1 ，可得a n －12＝a n －1 a n －2－a n －1 a n ，则a 12＋a 22＋a 32…＋(a 2020)2＝a 12＋(a 2a 1－a 2a 3)＋(a 3a 2－a 3a 4)＋…＋(a 2020a 2019－a 2020a 2021)＝a 12－a 2020a 2021＝1－a 2020a 2021，则选项C 错误；由题意a n －1＝a n －a n －2，则a 2019·a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2＝a 2019·(a 2021－a 2019)＋a 2020·(a 2018－a 2020)＝a 2019·a 2020＋a 2020·(－a 2019)＝0，则选项D 正确；故选：ABD.12．（2020·湖北荆州中学高二月考）将2n 个数排成n 行n 列的一个数阵，如图：该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列（其中0m >）.已知112a =，13611a a =+，记这2n 个数的和为S .下列结论正确的有（ ）1112131.n a a a a ⋯⋯ 2122232.n a a a a ⋯⋯ 3132333.n a a a a ⋯⋯……123.n n n nn a a a a ⋯⋯A ．3m =B ．767173a =⨯C ．()1313j ij a i -=-⨯ D ．()()131314n S n n =+- 【答案】ACD【解析】对于A ，2213112a a m m =⋅=，6111525a a m m =+=+，2235m m ∴=+，又0m >，3m ∴=，A 正确；对于B ，612517a m =+=，666761173a a m ∴=⋅=⨯，B 错误；对于C ，()111131i a a i m i =+-=-，()111313j j ij i a a m i --∴=⋅=-⋅，C 正确；对于D ，第i 行n 个数的和()()()()()1131133131122n n n i a m i i S m-----'===--，()()()()()()3111131258313131312224n nn n n S n n n +∴=-⨯+++⋅⋅⋅+-=-⨯=+-⎡⎤⎣⎦，D 正确. 故选：ACD .三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．（2020·江西零模（理））已知数列{}n a 中，11a =，且1230n n a a +++=，*n N ∈，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则6S =__________. 【答案】48-【解析】因为123n n a a +=--，所以()1121n n a a ++=-+，因为1120a +=≠，所以数列{}1n a +是以2为首项，以2-为公比的等比数列，所以112(2)n n a -+=⨯-，即12(2)1n n a -=⨯--，()21(2)3n n S n =---，所以()662126483S =--=-. 故答案为：48-14．（2020·安徽月考）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：22663nn n S a ⎛⎫+=-⨯ ⎪⎝⎭（*n N ∈），则数列{}n a 中最大项等于______. 【答案】89【解析】因为22663nn n S a ⎛⎫+=-⨯ ⎪⎝⎭， 得2n 时，11122663n n n S a ---⎛⎫+=-⨯ ⎪⎝⎭，两式相减得:1123223n n n a a --⎛⎫-=⨯ ⎪⎝⎭，即：1133122nn n n a a --⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令32nn n b a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，又∵123a =， ∴数列{}n b 是首项132123b =⨯=，公差为1的等差数列， 则n b n =，所以，23nn a n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()11222213333n nnn n n a a n n ++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-+= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎝-⎭=⎭，所以1234n a a a a a <=>>>，故数列{}n a 中2389a a ==且最大，故答案为: 89.15．（2020·四川成都·月考（理））已知等比数列{}n a 的前n 项和12n n S r +=-，*n N ∈，若命题“*n N ∀∈，2128n n a a λ≤+”为真，则实数λ的最大值为______.【答案】24【解析】由{}n a 是等比数列，1222n n n S r r +=-=⋅-，则2r，2n n a =，由2128n na a λ≤+对*n N ∈恒成立， 则()2*128221282N 2nn n n n λλ≤+⇒≤+∈恒成立， 令2n t =，则128y t t=+， ()12811,12，当328t ==时，24y =，当4216t ==时，24y =， 则min 2424y λ=⇒≤，则max 24λ=,故答案为：2416．（2020·贵州遵义·其他（理））已知数列{}n a 满足()1121nn n a a n ++-=-，则数列{}n a 的前32项之和为__________. 【答案】528【解析】当n 为奇数时，121n n a a n +-=-，2121n n a a n +++=+，两式相减得22n n a a ++=，当n 为偶数时，121n n a a n ++=-，2121n n a a n ++-=+，两式相加得24n n a a n ++= ，所以()()32135312432......S a a a a a a a =++++++++()()23028426 (3016485282)+=⨯++++=+⨯⨯=.故答案为：528四、解答题(本大题共6小题，共70分)17．（2020·河北秦皇岛·期末）已知数列{}n a 中，11a =，其前n 项和记为n S ，121n n a S +=+. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设31log n n b a +=，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【答案】（1）13-=n n a ；（2）1n n T n =+.【解析】（1）由题意得121n n a S +=+，()1212n n a S n -=+≥， 两式相减得()()11222n n n n n a a S S a n +--=-=≥， 13n n a a +=又，21121213a S a =+=+=，213a a =， ，()13*n na n N a +=∈， ，{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列， ，13-=n n a .（2）由（1）可知13-=n n a则13nn a +=所以313log log 3nn n b a n +===，()1111111n n b b n n n n +==-++ 11111111223341n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111n =-+1nn =+； 18．（2020·安徽月考）已知数列{}n a 满足13a =，()131n n n a a n++=. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S ；（3）请判断是否存在正整数x ，y ，z （x y z <<），使得x a ，y a ，z a ，成等差数列？若存在，求出x ，y ，z 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）3nn a n =⨯；（2）()1121334n n S n +⎡⎤=-⨯+⎣⎦；（3）不存在，答案见解析. 【解析】（1）由题意有，131n n a a n n +=+，可得数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为公比为3的等比数列又由131a =，所以1333n n n a n-=⨯=，可得3n n a n =⨯ 故数列{}n a 的通项公式为3nn a n =⨯ （2）()211323133n n n S n n -=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯()23131323133n n n S n n +=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯作差得211233333n n n n S n -+-=++⋅⋅⋅++-⨯得()13132313n n nS n +⨯-=⨯--，得()1121334n n S n +⎡⎤=-⨯+⎣⎦ （3）由正整数x ，y ，z 满足x y z <<，得01y z <+≤，133y z +≤ 可得()()1313333232zy y y z y a z y y y a +=⨯≥+⨯=+⨯>⨯=，必有2x z y a a a +>故不存在正整数x ，y ，z （x y z <<），使得x a ，y a ，z a 成等差数列.19．（2020·湖北宜昌·月考）设*n N ∈，正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12n n n S S a +=++，___________．请在①1a ，2a ，5a 成等比数列；②341a -，423a +，8a 成等差数列；③2315a S S =这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若11n n n b a a +=，记数列{}n b 前n 项和为n T ，求6T ． 【答案】（1）答案不唯一，见解析；（2）613. 【解析】选①，（1）由12n n n S S a +=++得：()*12n n a a n N +-=∈，∴数列{}n a 是以1a 为首项，2为公差的等差数列．由1a ，2a ，5a 成等比数列可得2215a a a =，即()()211128a a a +=+，解得11a =．∴()*21n a n n N =-∈． 选②，（1）由12n n n S S a +=++，得()*12n n a a n N +-=∈，∴数列{}n a 是以1a 为首项，2为公差的等差数列．由341a -，423a +，8a 成等差数列，得()()38441223a a a -+=+，解得11a =，∴()*21n a n n N =-∈． 选③，（1）同理，由12n n n S S a +=++，得()*12n n a a n N +-=∈，∴数列{}n a 是以1a 为首项，2为公差的等差数列，由2315a S S =得()()21114520a a a +=+，211340a a +-=解得11a =，∴()*21n a n n N =-∈．（2）由（1）得21n a n =-，1111(21)(21)22121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，数列{}n b 前n 项和为111111111123352121221n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 故6116121313T ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭为所求． 20．（2020·广西其他（理））已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且216a =，134n n S a +=-. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2log n n b a =，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项和2020T . 【答案】（1）4nn a =；（2）5052021. 【解析】（1）由题知，216a =，211443a a S -∴===， 134n n S a +∴=-，11433n n S a +∴=-，当2n ≥时，11433n n S a -=-，两式相减可得11133n n n a a a +=-，即14n n a a +=.因为214a a =，数列{}n a 为等比数列，首项为4，公比为4， 所以通项公式为4nn a =.（2）22log log 42nn n b a n ===，11111122(1)41n n b b n n n n +⎛⎫∴==- ⎪⨯++⎝⎭， 111111111142231414(1)n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫∴=-+-++-=-= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭，20205052021T ∴=. 21．（2020·北京二模）已知有限数列{a n }，从数列{a n } 中选取第i 1项、第i 2项、……、第i m 项（i 1＜i 2＜…＜i m ），顺次排列构成数列{a k }，其中b k ＝a k ，1≤k ≤m ，则称新数列{b k }为{a n } 的长度为m 的子列．规定：数列{a n } 的任意一项都是{a n } 的长度为1的子列．若数列{a n } 的每一子列的所有项的和都不相同，则称数列{a n } 为完全数列．设数列{a n }满足a n ＝n ，1≤n ≤25，n ∈N *． （Ⅰ）判断下面数列{a n } 的两个子列是否为完全数列，并说明由； 数列（1）：3，5，7，9，11；数列 （2）：2，4，8，16．（Ⅱ）数列{a n } 的子列{a k }长度为m ，且{b k }为完全数列，证明：m 的最大值为6；（Ⅲ）数列{a n } 的子列{a k }长度m ＝5，且{b k }为完全数列，求1234511111b b b b b ++++的最大值． 【答案】（Ⅰ）数列（1）不是{a n }的完全数列；数列（2）是{a n }的完全数列；理由见解析（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）3116． 【解析】（Ⅰ）数列 （1）不是{a n }的完全数列；数列 （2）是{a n }的完全数列． 理由如下：数列 （1）：3，5，7，9，11中，因为3+9＝5+7＝12，所以数列（1）不是{a n }的完全数列； 数列 （2）：2，4，8，16中，所有项的和都不相等，数列（2）是{a n }的完全数列． （Ⅱ）假设数列{b k }长度为m ≥7，不妨设m ＝7，各项为b 1＜b 2＜b 3＜…＜b 7． 考虑数列{b k }的长度为2，3，…7的所有子列，一共有27﹣1﹣7＝120个．记数列{b k }的长度为2，3，…7的所有子列中，各个子列的所有项之和的最小值为a ，最大值为A ． 所以a ＝b 1+b 2，A ＝b 1+b 2+25+24+23+22+21＝b 1+b 2+115． 所以其中必有两个子列的所有项之和相同． 所以假设不成立．再考虑长度为6的子列：12，18，21，23，24，25，满足题意． 所以子列{b k }的最大长度为6．（Ⅲ）数列{a n } 的子列{b k }长度m ＝5，且{b k }为完全数列，且各项为b 1＜b 2＜b 3＜…＜b 5． 所以，由题意得，这5项中任意i （1≤i ≤5）项之和不小于2i ﹣1． 即对于任意的1≤i ≤5，有， 即11231242-++++≥++++i i b b b b ．对于任意的1≤i ≤5，112(1)(2(2)0--+-++-≥i i b b b ，设12-=-i i i c b （i ＝1，2，3，4，5），则数列{c i }的前j 项和D j ≥0（j ＝1，2，3，4，5）．下面证明：123451111111112416b b b b b ++++≤+++． 因为（11112416+++）﹣（1234511111b b b b b ++++）12345111111111124816b b b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭351241234541612824816b b b b b b b b b b -----=++++， 3243541211234524816D D D D D D D D D b b b b b ----=++++， 123451223344551111111112244881616b b b b b b b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-+⋅≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭D D D D D 0． 所以1234511111111311241616b b b b b ++++≤+++=，当且仅当12-=i i b （i ＝1，2，3，4，5）时，等号成立． 所以求1234511111b b b b b ++++的最大值为3116． 22．（2020·天津和平·期中）已知数列{}n a 的前n 项和22n n nS +=，数列{}n b 满足：122b b ==，()112n n n b b n N +*+=∈.（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求()*21121 ni i i i a b n N b -=⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭∑．【答案】（Ⅰ）n a n =；12222n n n n b n +⎧⎪=⎨⎪⎩，为奇数；，为偶数（Ⅱ）()12122n n n n ++-⋅+．【解析】（Ⅰ）当2n ≥时，()221(1)122n n n n n n n a S S n ----+=-=-=， 当1n =，，111a S ==，，，，，， 所以：n a n =；∵122b b ==，()112n n n b b n N +*+=∈， ∴()122nn n b b n -=≥，∴()112,2n n b b n +-=≥，∴数列{}n b 的奇数项和偶数项都是首项为2，公比为2的等比数列，∴12222n n n n b n +⎧⎪=⎨⎪⎩，为奇数；，为偶数（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，i a i =， 且21122122i i i b-+-==，22222i i i b ==，212122ii i i i i a b i b -⎛⎫∴-=⋅- ⎪⎝⎭，设()()2311231,0,1n n M x x x n x n x x -=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅≠，① ∴()23411231n n xM x x x n x n x +=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅，②①﹣②得()()2311111n n n n x x x M x x x x n x n x x++--=++++-⋅=-⋅-，∴()()1211n x nx n x M x ++--⋅=-，∴()()112122122122(12)n nin i n n i n ++=+--⋅⋅==-⋅+-∑，12111122222122(1)2n ni ni n n i n +=⎛⎫+--⋅ ⎪+⎝⎭==--∑， ∴()1211212122n n i i n i i n a b n b +-=⎛⎫+-=-⋅+ ⎪⎝⎭∑．。
2021届高三新题速递英语11月刊新高考考点05 完形填空记叙文(原卷版)
考点05 完形填空记叙文Passage1（2020·江苏盐城·高三期中）My first year living in Los Angeles, I was a birthday-party clown(小丑). I 1 with my identity because, though I viewed myself as a filmmaker, everyone in my life associated me with this ridiculous day job.For certain parties, I had to go as a 2 character, so at the party I'd actually be＂Mickey Mouse" or "Sponge-Bob SquarePants. "One night, I was told that I was going to be Batman. At the time I had a giant mustache but I didn't want to 3 my physical appearance for that job. 4 , for the party, I chose not to shave.Normally at these parties, you pop in through the front door: "Surprise! Batman's here!" However, my element of 5 was shot because they saw me coming from, like, a quarter of a mile away, which left me plenty of time to 6 my choice not to shave.Once I got close enough for them to make out the 7 of my face, the entire party 8 in laughter and then into cheers.After I ran into the party, they were 9 me. I saw the birthday boy with his dad, who was laughing, and he said, "You see, I told you, son. Batman has a mustache." He took me to the huge birthday cake with a Batman drawn on it, and the Batman had a mustache. I just stared at it in 10 .When 11 bringing the cake out, instead of just admitting that it was messed up, the parents tried to save 12 and said to the boy," Batman always has a mustache. He just shaves it for movies." In a 13 of fate, my mustache confirmed what the parents had said and 14 the kids that I was actually Batman.That day, there was no doubt in my mind what I was. I may not have been the 15 that they ordered and expected. But that day, I was the hero that they needed.1．A．started B．stuck C．struggled D．settled2．A．specific B．leading C．central D．generous3．A．improve B．change C．make D．judge4．A．Otherwise B．Besides C．However D．Therefore5．A．surprise B．joy C．enthusiasm D．anxiety6．A．withdraw B．regret C．exercise D．influence7．A．shape B．expression C．features D．wrinkles8．A．showed up B．calmed down C．ran away D．broke out9．A．applauding B．blaming C．neglecting D．embarrassing10．A．peace B．comfort C．disbelief D．despair11．A．accidentally B．finally C．secretly D．initially12．A．fuel B．money C．time D．face13．A．shadow B．path C．twist D．role14．A．guaranteed B．convinced C．warned D．promised15．A．hero B．comedian C．actor D．filmmakerPassage2（2020·广西南宁·高三月考）Lois Conner calls herself a collector of landscapes(风景). Her 16 started in childhood, but it turned into an artistic mission over the last three decades as she 17 China in search of images(图像)full of detail and history.And to think, her life's work started almost 18 .She was a graduate student in photography at Yale, from 1979 to 1981, when she chose a 19 on Ming dynasty landscape painting, where she was 20 by the scenes of the Li River, in what is now Guilin. "I asked my professor, why did they make up that kind of landscape?" she recalled. "And he said, 'That place really 21 .'"That's when she 22 she had to go to China. She did get there in 1984 and her 23 about Chinese landscapes has kept her 24 ever since. "I started on something and I just feel like it's 25 going to be finished," Ms. Conner said.Ms. Conner has a 26 affection for lotuses(荷花). "It was raining and it was summer," she said. "I got completely 27 . I just wanted to go home and take a shower. But, all of a sudden, I 28 those lotuses and drops of water sparkling(闪光)on top of them."" 29 the lotuses, I want to cry and photograph them over and over," Ms. Conner said. "And then when I don't have any 30 film, I just want to sit there. It's like being in 31 . I don't want it to 32 .""The most important thing is not a big pile of money, but a life's 33 . Atget is the perfect 34 ," she said, referring to the French photographer Eugene Atget. "He put all the money into his work, but look what he has given us. It's so great. That's what I 35 at the end of my life."16．A．ambition B．discovery C．interest D．belief17．A．traveled through B．enquired about C．wrote about D．searched for 18．A．in time B．by turns C．in vain D．by chance19．A．job B．course C．game D．debate20．A．covered B．struck C．controlled D．overcome21．A．improves B．counts C．opens D．exists22．A．suggested B．knew C．explained D．judged23．A．description B．imagination C．curiosity D．responsibility24．A．returning B．dreaming C．learning D．painting25．A．just B．even C．never D．certainly26．A．special B．common C．specific D．normal27．A．cold B．thirsty C．anxious D．wet28．A．recognized B．noticed C．remembered D．understood29．A．Holding up B．Thinking of C．Looking at D．Talking about30．A．better B．quicker C．longer D．more31．A．love B．safety C．surprise D．silence32．A．happen B．continue C．stop D．pass33．A．work B．experience C．value D．lesson34．A．supporter B．follower C．star D．example35．A．request B．desire C．adore D．recommendPassage3（2020·四川绵阳·月考）In the process of celebrating my 60th birthday with a 60 day kindness challenge, I got the greatest birthday surprise from my daughters. When they asked me what I 36 for my birthday,I said,"please do a 37act for someone in my 38 "They took it way 39They got in 40 with all my friends and family members and asked them to do the 41 thing I had asked of them, as my birthday 42 . Then they asked them to 43 them after they had done their 44 and tell them what they had done. They also asked their friends to do the same.On my birthday,I was presented with a 45 scrapbook(剪贴簿）filled with pictures and all the kindness acts written out in their own words, 46 me what they had done and how it made them feel.The "acts" ranged from 47 frequent flyer miles(飞行积分）so someone could visit their mom,shortening showers' duration(长度）to help with the water 48 , bringing an elderly neighbor coffee in themorning,stopping to buy a 49 person lunch, 50 at a Red Cross blood drive, to many, many otherbeautiful gestures.I cannot tell you how 51 I was by this gift, and even more touched that their young adult friends would52 with such love and enthusiasm. I cannot 53 a better gift. I share this story with the 54 that manya beautiful "someone” passes on this idea. The joy of it is 55 ！36．A．wanted B．planned C．recommended D．suspected37．A．brightness B．kindness C．happiness D．politeness38．A．reputation B．belief C．honor D．trust39．A．farther B．deeper C．bigger D．greater40．A．trouble B．agreement C．touch D．tune41．A．various B．precious C．meaningful D．same42．A．present B．promise C．contribution D．sacrifice43．A．talk to B．write to C．stare at D．look after44．A．behaviour B．responsibility C．matter D．act45．A．simple B．complicated C．gorgeous D．various46．A．warning B．reminding C．telling D．explaining47．A．providing B．donating C．lending D．objecting48．A．shortage B．pollution C．impact D．disaster49．A．fearless B．homeless C．selfless D．careless50．A．practising B．instructing C．monitoring D．volunteering51．A．disturbed B．satisfied C．touched D．disappointed 52．A．demonstrate B．illustrate C．propose D．participate53．A．look into B．think of C．make out D．pick up54．A．hope B．decision C．fact D．opinion55．A．challenging B．fascinating C．appealing D．astonishingPassage4（2020·山东期中）Pennsylvania is full of mysterious places! One of those is an old turnpike （收费高速公路）56 for decades. My dad loves history, and he learned it was open to the public. 57 , when I was 14, we took a bike trip to 58 this road!My dad chose a 16-mile 59 of the road for us to ride. Part of it included an old tunnel called SidelingHill which is over a mile long! To 60 , we checked our tires and made sure our lights had batteries. In the morning, we loaded our bikes into the car and set off. As we approached the tunnel, I felt 61 as it was absolutely black inside! But Dad encouraged me. He said he would be beside me. He reminded me to stay 62 and keep my light on!When we 63 the tunnel, the sound of our bikes was heard through the darkness. I shined my flash light around and saw walls 64 in graffiti （涂鸦）.And I felt like I was being 65 ! I was pretty scared, but 66 on following Dad helped me relax. After riding half-way through, I could see light coming from the other end, motivating me to keep going. And I was so delighted to ride out into the bright afternoon!Whenever going through 67 in life, I remember this trip. It reminds me that my father is always beside me. He turns on the light of hope in my 68 , as well as gives me 69 to keep riding through life's70 tunnels.56．A．designed B．destroyed C．abandoned D．locked57．A．However B．Otherwise C．Therefore D．Meanwhile58．A．explore B．construct C．protect D．repair59．A．tunnel B．section C．block D．course60．A．participate B．register C．cooperate D．prepare61．A．excited B．nervous C．annoyed D．exhausted62．A．silent B．curious C．cautious D．positive63．A．approached B．observed C．constructed D．entered64．A．covered B．buried C．absorbed D．dressed65．A．forced B．watched C．abused D．judged66．A．depending B．surviving C．calling D．focusing67．A．accidents B．hardships C．regulations D．incidents68．A．chest B．trip C．work D．heart69．A．courage B．pride C．excitement D．enthusiasm70．A．difficult B．distant C．dark D．longPassage5（2020·吉林吉林·高三月考）At first, Rhonda Tormaschy thought her 16-year-old daughter, Cassidy, was joking about opening up an ice cream truck. “We were sitti ng around one night with her and one of her friends, and this is what she 71 uswith and we kind of thought she wasn’t 72 at first,” Rhonda said.But last fall, her husband, Chad, started looking for some type of truck, and they found an old school bus in Lincoln, Oregon.The family spent the winter fixing the bus, painting it and 73 it into Ice Cream Express. In order to turn the small, old school bus into an ice cream truck, the family 74 a freezer, fridge and sink.“Getting it tog ether was kind of an 75 for all of us,” Rhonda said. “We had to 76 the health inspector and get 77 from the police department and the fire department.”“The community needed something to 78 their day and make their day better,” Cassidy said. “I thought that this would be a good way to help everybody 79 their day.”She visits local business at a 80 time every Thursday and plans to 81 neighborhoods and parks in the evening, as well as serving ice cream at other summer 82 .Ice Cream Express serves Schwan’s products. “It’s quite a(n) 83 .” Cassidy said. “We have everything from the sundae cones to the sandwiches and Italian ice – just about 84 .”Now that the truck is up and 85 , Cassidy hopes her younger sisters will take it over when she 86 for college.“We have a daughter that’s going to be 13 here and that would be a perfect time for her to take it over in the next 87 of years – if she wants to,” Rhonda said. “If she doesn’t want to, I think I would probably 88 it if it’s still a want and a need in Dickinson.”So far, the reception to Ice Cream Express has been 89 , Rhonda said.“We haven’t had an ice cream bus in this town for years,” Rhonda. “I think it’s gone over way better than we 90 it to, which is great.”71．A．approached B．absorbed C．announced D．accepted72．A．serious B．ashamed C．distant D．original73．A．fashioning B．reaching C．transforming D．exploring74．A．cut in B．put in C．call in D．participate in75．A．emotion B．encounter C．evidence D．experience76．A．go through B．live through C．look through D．see through 77．A．descriptions B．signatures C．requirements D．payments78．A．get through B．differ from C．turn over D．lighten up79．A．within B．above C．across D．through80．A．social B．quiet C．set D．free81．A．echo B．assess C．visit D．spread82．A．yards B．tours C．snacks D．events83．A．winning B．variety C．opportunity D．landscape84．A．all B．none C．something D．anything85．A．blowing B．running C．lying D．joking86．A．goes B．leaves C．longs D．cares87．A．score B．period C．couple D．handful88．A．continue B．remind C．experiment D．follow89．A．amazing B．disappointing C．refreshing D．relaxing90．A．inspired B．introduced C．expected D．observedPassage6（2020·北京海淀·期中）Lesson PlanIt was just an ordinary day. There was the usual 91 as the children greeted each other. I looked over my plan book and I never felt better. It would be a good day and we would 92 a lot. After we settled in for our reading class, I started to check their workbooks.When I came to Troy, he had his head down as he showed his unfinished 93 in front of me. He tried to pull himself back out of my sight as he sat on my right-hand side. 94 I looked at the incomplete work and said, “Troy, this is not finished."He looked up at me with the most pleading eyes I have seen in a child and said,“I couldn't do it last night because my mother is dying." The sobs that followed 95 the entire class.How 96 I was that he was sitting next to me. I took him in my arms and his head rested against my chest. His sobs echoed through the room and tears flowed. The children sat with tear-filled eyes in dead silence. Only Troy's sobs broke the stillness of that morning class. One child 97 for the tissue box while I just pressed his little body closer to my heart.What do I do for a child who is losing his mother? Choking back my tears,I said to the group,"Let's pray for the recovery of his mother." And everyone did so.After some time,Troy looked up at me and said,"I think I will be okay now."He had exhausted his supply of tears; he released the 98 in his heart. Later that afternoon, Troy's mother died.When I went to the funeral(葬礼），Troy rushed to greet me. He fell into my arms and just rested there awhile. He seemed to gain strength and courage, and then he led me to the coffin.There he was able to look into the face of his mother,to face 99 even though he might never be able to understand the mystery of it.That night I went to bed feeling lucky for the good sense to 100 my reading plan and to hold the broken heart of a child in my own heart.91．A．embarrassment B．excitement C．astonishment D．disappointment 92．A．accomplish B．demand C．miss D．recall93．A．experiment B．assignment C．document D．argument94．A．Gradually B．Hopefully C．Accidentally D．Naturally95．A．frightened B．annoyed C．shocked D．impressed96．A．glad B．surprised C．proud D．curious97．A．wished B．raced C．prepared D．waited98．A．desire B．power C．burden D．guilt99．A．difficulty B．failure C．death D．sorrow100．A．carry out B．carry on C．set up D．set aside。
2021高考数学(理)二轮专题复习【统考版】课件：五 数列
(4)已知an＋1－an＝f(n)，求an，用累加法：an＝(an－an－1)＋(an－
1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝f(n－1)＋f(n－2)＋…＋f(1)＋
a1(n≥2)．
(5)已知
an＋1 an
＝f(n)，求an，用累乘法：an＝
an an－1
·aann－ －12
·…·aa21
·a1＝
[必会结论]
1．判断数列单调性的方法
(1)作差比较法：an＋1－an>0⇔数列{an}是递增数列；an＋1－
an<0⇔数列{an}是递减数列；an＋1－an＝0⇔数列{an}是常数列．
(2)作商比较法：①当an>0时，则
an＋1 an
>1⇔数列{an}是递增数
列；0<
an＋1 an
<1⇔数列{an}是递减数列；
＋am＋1)(am，am＋1为中间两项)，S偶－S奇＝md，SS偶奇＝aamm＋1.
(7)若等差数列{an}的项数为奇数2m－1(m∈N*)，所有奇数项 之和为S奇，所有偶数项之和为S偶，则所有项之和S2m－1＝(2m－
1)am(am为中间项)，S奇＝mam，S偶＝(m－1)am，S奇－S偶＝am，
x q
，x，xq；四
个数成等比数列，通常设这四个数分别为qx3，qx，xq，xq3.
提醒 (1)如果数列{an}成等差数列，那么数列{Aan}(Aan总有 意义)必成等比数列．
(2)如果数列{an}成等比数列，且an>0，那么数列{logaan}(a>1 且a≠1)必成等差数列．
(3)如果数列{an}既成等差数列又成等比数列，那么数列{an}是 非零常数列；数列{an}是常数列仅是数列{an}既成等差数列又成等 比数列的必要不充分条件．
考点05 数列 -2021届高三《新题速递·数学(理)》9月刊(适用于高考复习)解析版
考点05 数列一、单选题1．（2020·湖北高三期中（理））记n S 为递增等差数列{}n a 的前n 项和，若数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭也为等差数列，则33S a 等于（ ） A ．3 B ．2C ．32D ．1【答案】B【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，则0d >，n S 为递增等差数列{}n a 的前n 项和，若数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭也为等差数列，则3212132S S S a a a =+，()1111223312a d a da d a d++∴=+++，整理可得1a d =， 则3131336223S a d d a a d d+===+. 故选：B.2．（2020·全国高三其他（理））《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中有这样一个问题：“某贾人擅营，月入益功疾（意思是：某商人善于经营，从第2月开始，每月比前一月多入相同量的铜钱），3月入25贯，全年（按12个月计）共入510贯”，则该人1月的入贯数为（ ） A ．5 B ．10C ．12D ．15【答案】D【解析】由题意知该商人每月收入构成等差数列{}n a ，设首项为1a ，公差为d ，前n 项和为n S ，则31121225,121211510,2a a d dS a =+=⎧⎪⎨=+⨯⨯=⎪⎩解得115a =． 故选：D ．3．（2020·山西迎泽�太原五中高三二模（理））设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4m a =，0m S =，()2142,m S m m N *+=≥∈，则2019a 的值为（ ）A ．2020B ．4032C ．5041D ．3019【答案】B【解析】由题意得，设等差数列的首项为1a ，公差为d ，则112121(1)4(1)022(21)14m m m m m m a a m d m m S ma S S a a a m d +++=+-=⎧⎪-⎪=+=⎨⎪-=+=++=⎪⎩ ， 解得1452a m d =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以4(1)226n a n n =-+-⨯=- ，所以20192201964032a =⨯-=. 故选：B4．（2020·北京市第五中学高三其他）已知数列{}n a ，{}n b ，其中11a =，且n a ，1n a +是方程220nn x b x -+=的实数根，则10b 等于（ ） A ．24B ．32C ．48D ．64【答案】D【解析】因为n a ，1n a +是方程220nn x b x -+=的实数根，所以1n n n a a b ++=，12nn n a a +=，又11a =，所以22a =；当2n ≥时，112n n n a a --=，所以11112n n n n n na a a a a a ++--==， 因此4102232a a =⋅=，5111232a a =⋅=所以101011323264b a a =+=+=. 故选：D.5．（2020·全国高三其他（理））在等比数列{}n a 中，设1356a a a ++=，1351112a a a ++=，则135a a a =（ ）A ．22±B ．33±C ．22D ．33【答案】D【解析】由等比数列的性质可知531135151112a a a a a a a a ++++==， 又1356a a a ++=，所以153a a =，易知1350a a a >，所以13533a a a = 故选：D ．6．（2020·全国高三一模（理））已知数列{}n a 为等差数列，n S 其前n 项和，且2436,a a =-则9S 等于A ．25B ．27C ．50D ．54【答案】B【解析】因为24111536396,433a a a d a d a d a =-∴+=+-+=∴=所以91959()927.2S a a a =+== 7．（2020·贵州六盘水高三其他（理））等差数列{}n a 中，已知611a a =，且公差0d >，则其前n 项和取最小值时的n 的值为( ) A ．6 B ．7C ．8D ．9【答案】C 【解析】因为等差数列{}n a 中，611a a =，所以6116111150,0,,2a a a a a d =-=-，有2[(8)64]2n dS n =--� 所以当8n =时前n 项和取最小值.故选C.8．（2020·全国高三二模（理））已知数列{}n a 是等比数列，若2588a a a =-，则151959149a a a a a a ++（ ） A ．有最小值72B ．有最大值72C ．有最小值52D ．有最大值52【答案】C【解析】设等比数列{}n a 的公比q ，∵2588a a a =-，∴325858a a a a ==-，∴52a =-，∴5140a a q=<，21954a a a ==，∴9519115195915949981498a a a a a a a a a a a a a a +++-++==-()111415191236882a a ⎡⎤⎛⎫=+-+≥+⨯=⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎣⎦，当且仅当1149a a -=-，即1203a =-<时，取等号， 故选：C.9．（2020·河北邢台高三其他（理））已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1062a a =，若32824mS S S =+，则m =（ ） A ．715B ．12C ．815D ．716【答案】C 【解析】因为1062a a ，所以42q =由32824mS S S =+，得()32824111m q q q -=-+-，即(116)1218m -=-+-，解得815m =. 故选：C.10．（2020·怀仁市第一中学校云东校区高一期末（理））已知数列{}n a 的通项公式为211n aa n n n=-+，5a 是数列{}n a 的最小项，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[40,25]-- B ．[40,0]-C ．[25,25]--D ．[25,0]-【答案】B【解析】由已知条件得5a 是数列{}n a 的最小项，所以5456a a a a ≤⎧⎨≤⎩，即222251154114545115611656a a a a -⨯+-⨯+-⨯+-⎧≤⎪⎪⎨⨯≤+⎪⎪⎩，解得40a a ≥-⎧⎨≤⎩，故选：B.11．（2020·安徽定远�高三二模（理））已知数列{}n a 的首项为1，第2项为3，前n 项和为n S ，当整数1n >时，()1112n n n S S S S +-+=+恒成立，则15S 等于 A ．210 B ．211C ．224D ．225【答案】D【解析】结合()1112n n n S S S S +-+=+可知，11122n n n S S S a +-+-=，得到1122n n a a a +-==，所以()12121n a n n =+⋅-=-，所以1529a =所以()()11515152911522522a a S ++⋅===，故选D ．12．（2020·全国高三其他（理））已知数列{}n a 满足11a =，21n n n a a a +-=，若数列{}2n a 的前50项和为m ，则数列11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前50项和为（ ）A ．21mm+ B ．1mm+ C ．1m m- D ．12m m- 【答案】B【解析】由题意，数列{}n a 满足11a =，21n n n a a a +-=，若数列{}2n a 的前50项和为m ，所以()()()222125021325150511511m a a a a a a a a a a a a =++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-=-=-，所以511a m =+.因为21n n n a a a +-=，所以()211n n n n n a a a a a +=+=+，所以()1111111n n n n n a a a a a +==-++，即11111n n n a a a +=-+，所以数列11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前50项和为122350511515111111111111111m a a a a a a a a a m m-+-+⋅⋅⋅+-=-=-=-=++. 故选：B.13．（2020·甘肃城关兰大附中高三月考（理））已知数列{}n a 满足条件10a =，11n n a a +=+，*n ∈N ，则1211||a a a ++⋅⋅⋅+的最小值为（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．0【答案】C【解析】因为11n n a a +=+，所以22121n n n a a a +=++，故22121n n n a a a +=--，又因为10a =，所以221a =，()22212111211221111a a a a a a +++=--=-所以21211121112a a a a +++=-， 由题知，数列{}n a 为整数列，所以22121111311122a --=， 当123a =时，等号成立，下面举例说明12a 可以取到3，246810357911121,2,2,3a a a a a a a a a a a =========-==，所以1211a a a +++的最小值为1.故选：C .14．（2020·辽宁沙河口辽师大附中高三月考（理））已知数列{}n a 满足1212a a ++…2*1()n a n n n N n+=+∈，设数列{}n b 满足：121n n n n b a a ++=,数列{}n b 的前n 项和为n T ，若*()1n nT n N n λ<∈+恒成立，则λ的取值范围是（ ） A ．1(,) 4+∞ B ．1[,) 4+∞C ．3[,) 8+∞D ．3(,)8+∞【答案】D 【解析】因为1212a a ++…2*1()n a n n n N n+=+∈， 所以1212a a ++…()()2*1111(,2)1n a n n n N n n -+=-+-∈≥-， 故12n a n n=即22n a n =，其中2n ≥. 而令1n =，则22111221a =+==⨯，故22n a n =，1n ≥.()()2222211114411n n b n n n n ⎡⎤+==-⎢⎥⨯++⎢⎥⎣⎦， 故()2222221111111412231n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+⎢⎥⎣⎦()()22211214141n n n n ⎡⎤+=-=⎢⎥++⎢⎥⎣⎦， 故*()1n n T n N n λ<∈+恒成立等价于()222141n n n n n λ+<++即()241n n λ+<+恒成立， 化简得到()11441n λ+<+，因为()11113441488n +≤+=+，故38λ>.故选D.15．（2020·合肥一六八中学高二开学考试（理））已知函数f （x ）＝ax 2﹣1的图象在点A （1，f （1））处的切线l 与直线8x ﹣y +2＝0平行，若1()f n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为S n ，则S 2020的值为（ ） A ．20192020B ．20202021C ．40404041D ．20204041【答案】D【解析】因为()2,f x ax '= 所以f '（1）28a ==，得4a =．所以2()41f x x =-，故211111()()4122121f n n n n ==---+ 2020111111[(1)()()]2335220201220201S ∴=-+-+⋯+-⨯-⨯+112020(1)22202014041=-=⨯+ 故选：D ．二、填空题16．（2019·河北辛集中学高三月考（理））已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()112f x f x ⎛⎫+=-⎪⎝⎭，()11f =，n S 为数列{}n a 的前n 项和，且()421n n a S n N +-=∈，()()35f a f a +=_________.【答案】2-【解析】对任意的n ∈+N ，421n n a S -=，当1n =时，11421a S -=，得112a =； 当2n ≥时，由421n n a S -=得11421n n a S ---=，上述两式相减得14420n n n a a a ---=，整理得12nn a a -=， 所以，数列{}n a 是以12为首项，以2为公比的等比数列，231222a ∴=⨯=，451282a =⨯=.()112f x f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，()32f x f x ⎛⎫∴+=- ⎪⎝⎭，由于函数()y f x =为奇函数， ()()32f x f x f x ⎛⎫∴+=-=- ⎪⎝⎭，()()332f x fx f x ⎛⎫∴+=-+= ⎪⎝⎭，则函数()y f x =是以3为周期的周期函数，()()()()32111f a f f f ∴==-=-=-，()()()5821f a f f ===-，因此，()()352f a f a +=-，故答案为：2-.17．（2020·东湖江西师大附中高三一模（理））已知数列{}n a 满足123232nn a a a na +++⋯+=，则n a =________．【答案】12,12,2n n n a n n-=⎧⎪=⎨≥⎪⎩ 【解析】当1n =时，由已知，可得1122a ==， �123232nn a a a na +++⋯+=，� 故()()1123123122n n a a a n a n --+++⋯+-=≥，�由�-�得11222nn n n na --=-=，�12n n a n-=．显然当1n =时不满足上式，�12,12,2n n n a n n -=⎧⎪=⎨≥⎪⎩故答案为：12,12,2n n n a n n-=⎧⎪=⎨≥⎪⎩18．（2020·河南高三其他（理））设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n n a S n +=-.若存在正整数n ，使得不等式()()262n n a m -+≥成立，则实数m 的取值范围是______.【答案】11,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】由2n n a S n +=-①，可得1122n n a S n +++=--②.由②-①可得112n n n a a a ++-+=-，即()11222n n a a ++=+，由112a S +=-可得11a =-，121a +=，所以{}2na +是首项为1，公比为12的等比数列，所以1122n n a -+=，即1122n n a -=-，所以()()16622nn n n a ---+=，设()162n n f n --=，则()()15671222n n n n n nf n f n ----+-=-=，当70n -> ，即07n <<时，()f n 递增，当70n -<，即7n >时，()f n 递减，故()f n 的最大值为()()17864f f ==. 若存在正整数n ，使得不等式()()262n n a m -+≥成立，则()()2max 62n m n a ≤-+⎡⎤⎣⎦故2164m ≤，故实数m 的取值范围11,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 故答案为：11,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦19．（2020·全国高三其他（理））在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“扩展”.将数列1，2进行“扩展”，第一次得到1，2，2；第二次得到数列1，2，2，4，2；…；第n 次“扩展”后得到的数列为121,,,,,2t x x x .并记()212log 12n t a x x x =⋅⋅⋅⋅，其中21n t =-，*n N ∈，则数列{}n a 的通项公式n a =________．【答案】312n + 【解析】由题意，根据()212log 12n t a x x x =⋅⋅⋅⋅，可得()1211122log 1(1)((2)2)t t n a x x x x x x x +=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅3333312212log 312n t x x x a ⎛⎫⋅⋅⋅⋅==-⎪⎝⎭， 设13()n n a t a t ++=+，即132n n a a t +=+，可得12t =-， 则数列12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为13222-=，公比为3的等比数列， 故113322n n a --=•，所以31,2n n a n N ++=∈.故答案为312n +20．（2020·河北桥西邢台一中高三月考（理））已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若29a =，540S =，则n S 的最大值为_________. 【答案】55【解析】解：设数列{}n a 的公差为d ，则53540S a ==，38a ∴=，又29a =，321d a a ∴=-=-，()2211n a a n d n ∴=+-=-，110n a n =-≥时，11n ≤，又*n ∈N max 1011()55n S S S ∴===.故答案为：55.21．（2020·广西贵港高三其他（理））已知2log a 与3log b 的等差中项为526，则a b +=____________． 【答案】31或17．【解析】依题意得235log log 252a b +=⨯=，223(log )(log )(6)6a b ==， 所以2log a ，3log b 为方程2560x x -+=的两根， ∴2log 2a =，3log 3b =或2log 3a =，3log 2b =， ∴42731a b +=+=或8917a b +=+= 故答案为：31或17．三、解答题22．（2020·四川阆中中学高三一模（理））在数列{}n a 中，14a =，21(1)22n n na n a n n +-+=+．（1）求证：数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列； （2）求数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．【答案】(1)证明见解析.(2)n S =2(1)nn +.【解析】（1）21(1)22n n na n a n n +-+=+的两边同除以(1)n n +，得121n n a a n n +-=+，又141a=， 所以数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为4，公差为2的等差数列． (2)由（1）得12(1)n a a n n =+-，即222,22n n an a n n n=+∴=+, 故2111112221n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， 所以111111111122231212(1)n n s n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 23．（2020·全国高三课时练习（理））已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，11a =，且存在实数λ满足124n n a a λ+=+，n +∈N .（1）求λ的值及通项n a ； （2）求数列2{}n n a -的前n 项和n S .【答案】（1）2λ=；21n a n =-（2）n S 22224n n n +=--- 【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ， 由()*124n n a a n Nλ+=+∈……①得()*124,2n n a a n N n λ-=+∈≥……②， ①-②得，2d d λ=， 又因为0d ≠，解得2λ=； 将2λ=代入①可得12n n a a +-=，即2d =，又因为11a =，所以()11221n a n n =+-⨯=-. （2）由（1）可得()()12221221n nn n a n n +-=--=-+，所以()()2312223521n n S n +⎡⎤=++⋯+-++++⎣⎦ ()()412321122n n n -++=--22224n n n +=---.24．（2020·全国高三课时练习（理））已知等差数列{a n }的公差是1，且139,,a a a 成等比数列． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）求数列2n n a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和T n ． 【答案】(1) a n ＝n ．(2)222n n nT +=- 【解析】（1）因为{}n a 是公差为1的等差数列，且139,,a a a 成等比数列，所以2319a a a =，即()2111(2)8a a a +=+，解得11a =．所以1(1)n a a n d n =+-=；（2）12311111()2()3()()2222n n T n =⨯+⨯+⨯++⨯，()231111111()2()1()()22222n n n T n n +=⨯+⨯++-⨯+⨯两式相减得1231111111()()()()()222222n n n T n +=++++-⨯ 所以1111111122()11222212n n n n n n T n +++⎛⎫- ⎪⎝⎭=-⨯=---所以222n nnT +=-. 25．（2020·安徽相山淮北一中高三其他（理））已知数列{}n a 为递增的等差数列，其中35a =，且125,,a a a 成等比数列．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设()()1111n n n b a a +=++记数列{}n b 的前n 项和为n T ，求使得n mT 5<成立的m 的最小正整数．【答案】（1）21n a n =-；（2）2.【解析】（1）在等差数列中，设公差为d ≠0，由题意，得，解得．∴a n ＝a 1+（n ﹣1）d ＝1+2（n ﹣1）＝2n ﹣1； （2）由（1）知，a n ＝2n ﹣1．则＝，∴T n ＝＝．∵T n +1﹣T n ＝＝＞0，∴{T n }单调递增，而，∴要使成立，则，得m ，又m ∈Z ，则使得成立的m 的最小正整数为2．26．（2020·东湖江西师大附中高三三模（理））已知数列{}n a ，{}n b 满足111a b ==，对任意*n N ∈均有221n n n n n a a b a b +=++，221n n n n nb a b a b +=++． （1）证明：数列{}n n a b +和数列{}n n a b ⋅均为等比数列；（2）设()1112nn n n c n a b ⎛⎫=+⋅⋅+⎪⎝⎭，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 【答案】（1）证明见解析；（2）22n n T n +=⋅．（1）因为对任意*n N ∈均有221n n n n na ab a b +=+++， 221n n n n nb a b a b +=+-+， 将两式两边相加可得()112n n n n a b a b +++=+，又因为112a b +=，所以数列{}n n a b +是首项为2，公比为2的等比数列；将两式两边相乘可得112n n n n a b a b ++=， 又因为111a b ⋅=，所以数列{}n n a b ⋅是首项为1，公比为2的等比数列．（2）由（1）可知2nn n a b +=，12n n n a b -⋅=，有112n nn n n na b a b a b ++==． 所以()()1111212nn n n n c n n a b +⎛⎫=+⋅⋅+=+⋅⎪⎝⎭， 所以()234122324212n n T n +=⋅+⋅+⋅+++⋅，()3452222324212n n T n +⇒=⋅+⋅+⋅+++⋅．上两式相减得：()234122222212n n n T n ++-=⋅++++-+⋅，即()()3122212812212n n n nT n n -++⋅--=+-+⋅=-⋅-，所以22n n T n +=⋅．27．（2020·全国高三月考（理））已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且112n n n S na a =+-． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列22n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：32n T <．【答案】（1）()*1n a n n N=+∈．（2）见解析【解析】（1）当1n =时，111112S a a =+-，即12a =， 当2n ≥时，112n n n S na a =+-①， ()1111112n n n S n a a ---=-+-②， ①-②，得：()112122n n n n n a na n a a a --=--+-，即()11n n na n a -=+，11n n a a n n-∴=+，且112a=，∴数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是以每一项均为1的常数列，则11n a n =+，即()*1n a n n N =+∈；（2）由（1）得1n a n =+，()()2222211221n a n n n n n ∴=<=-+++， 11111111113113243522122n T n n n n ∴<-+-+-++-=+--<+++. 28．（2020·盐城市第一中学高三三模）已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 的各项均为整数，它们的前n 项和分别为,n n S T ，且1122b a ==，232254,11b S a T =+=. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）求112233n n n M a b a b a b a b =++++；（3）是否存在正整数m ，使得1m m m mS T S T +++恰好是数列{}n a 或{}n b 中的项？若存在，求出所有满足条件的m 的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）121,23n n n a n b -=-=⋅；（2）2(1)32n n M n =-⋅+；（3）存在，1. 【解析】（1）设数列{}n a 的公差为d ，数列{}n b 的公比为q ，因为11232222,54,11b a b S a T ===+=，所以2(33)5412211q d d q +=⎧⎨+++=⎩，即(1)928q d d q +=⎧⎨+=⎩，解得32q d =⎧⎨=⎩，或325q d ⎧=⎪⎨⎪=⎩（舍去）.所以121,23n n n a n b -=-=⋅.（2）()21112233123235232123n n n n M a b a b a b a b n -=++++=⨯+⨯⨯+⨯⨯+⋅⋅⋅+-⨯⨯，213123323(23)23(21)23n n n M n n -=⨯⨯+⨯⨯++-⨯⨯+-⨯⨯，所以()21224333(21)23n n n M n --=++++--⨯⨯，13(13)24(42)34(44)313n n n n n --=+⨯--⨯=---⋅-所以2(1)32n n M n =-⋅+.（3）由（1）可得2n S n =，31=-n n T ，所以21121313m m mm m m S T m S T m +++-+=+-+. 因为1m m m m S T S T +++是数列{}n a 或{}n b 中的一项，所以21*213,13m m m L L N m +-+=∈-+， 所以()2(1)1(3)3mL m L --=-，因为210,30m m ->，所以13L <，又*L N ∈，则2L =或3L =.当2L =时，有()213mm -=，即()2113mm -=，令21()3m m f m -=.则22211(1)11223(1)()333m m m m m m m f m f m +++----+-=-=-.当1m =时，(1)(2)f f <；当2m ≥时，()()10f m f m +-<， 即(1)(2)(3)(4)f f f f <>>>⋅⋅⋅.由1(1)0,(2)3f f ==，知()2113m m -=无整数解. 当3L =时,有210m -=，即存在1m =使得21213313m mm m +-+=-+是数列{}n a 中的第2项， 故存在正整数1m =，使得1m m m mS T S T +++是数列{}n a 中的项.29．（2020·广西来宾高三月考（理））已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且223n S n n =+. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列121n n a a ++⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求证115nT <. 【答案】（1）()*31,n a n n N=-∈（2）证明见解析；【解析】（1）当1n =时，11224S a ==，解得12a =；当2n 时，22123,23(1)(1)n n S n n S n n -=+=-+-，两式相减，得262n a n =-，解得31n a n =-.又1n =时，13112a =⨯-=，故()*31n a n n N=-∈.证明：（2）依题意，得1211111(32)(35)33235n n a a n n n n ++⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭，则11111113588113235n T n n ⎛⎫=-+-++- ⎪++⎝⎭1113535n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭111153(35)15n =-<+， 即115n T <. 30．（2020·五华云南师大附中高三月考（理））已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且233n n S a =-（1n ，*n N ∈），数列{}n b 满足13n n n b b a +=+，13b =. （1）求数列的通项公式n a ；（2）令3nn n b c =，证明：数列{}n c 为等差数列，并求数列{}1n n c a +⋅的前n 项和n T . 【答案】（1）*3()n n a n N =∈；（2）证明见解析，11393244n n T n +⎛⎫=+⋅-⎪⎝⎭.【解析】：（1）当1n =时，有11233a a ，解得13a =.当2n ≥时，由233n n S a =-，得11233n n S a --=-， 所以123333n n n a a a -=--+，即()132n n a a n -=≥ ，()132nn a n a -=≥，{}n a 为等比数列， 故1*333()n n n a n -=⋅=∈N .（2）由（1）得133nn n b b +=+，∴111333n n n n b b ++=+，即113n nc c +=+.又1113b c ==， ∴数列{}n c 是以1为首项，13为公差的等差数列， 故1(2)3n c n =+，又113n n a ++=， 所以111(2)3(2)33n n n n c a n n ++⋅=+⋅=+⋅ ∴123334353(2)3n n T n =⋅+⋅+⋅+++⋅∴23413334353(1)3(2)3n n n T n n +=⋅+⋅+⋅+++⋅++⋅∴1234119(13)29(3333)(2)39(2)313n n n n n T n n -++--=+++++-+⋅=+-+⋅-∴11393244n n T n +⎛⎫=+⋅-⎪⎝⎭。
2021高三数学北师大版(理)：高考中的数列问题含解析
(2)设 ＝2n＋1，求数列{cn}的前n项和Tn(n∈N＋)．
[解](1)因为a1＝2，所以b1＝ ＝1.
将(n＋2)an＝(n＋1)an＋1－2(n2＋3n＋2)两边同时除以(n＋1)(n＋2)得：
＝ －2，∴ － ＝2，即bn＋1－bn＝2.
∴数列{bn}是以1为首项，2为公差的等差数列．
化简得Pn＝6＋(2n－3)·2n＋1.
设Sn＝1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝ ＝n2，
∴Tn＝Pn＋Sn＝6＋(2n－3)·2n＋1＋n2.
2021高三数学北师大版（理）：高考中的数列问题含解析
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从近五年全国卷高考试题来看，数列解答题常以an，Sn的关系为切入点，以等差(等比)数列基础知识为依托，重点考查等差(等比)数列的判定与证明，考查数列的通项及前n项和的求法(以分组求和、裂项求和为主)，考查函数与方程的思想及逻辑推理、数学运算的核心素养，且难度有所提升．
(2)由(1)得bn＝1＋2(n－1)＝2n－1.
∵ ＝2n＋1，∴cn＝(2n＋1)bn＝(2n－1)·2n＋2n－1.
设Pn＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n－1)·2n，
2Pn＝1×22＋3×23＋…＋(2n－3)·2n＋(2n－1)·2n＋1，
两式相减得：－Pn＝2＋2(22＋23＋…＋2n)－(2n－1)·2n＋1＝2＋2× －(2n－1)·2n＋1＝－6－(2n－3)·2n＋1.
(2)记{bn}的前n项和为Tn，则T1 000＝b1＋b2＋…＋b1 000＝[lga1]＋[lga2]＋…＋[lga1 000]，
2021版高考数学江苏(理)考前三个月配套文档 专题5 数列、推理与证明 第24练
第24练 归纳推理与类比推理[题型分析·高考展望] 归纳推理与类比推理是新增内容，在高考中，常以填空题的形式考查．题目难度不大，只要把握合情推理的基础理论学问和基本方法即可解决．体验高考1．(2021·陕西)观看下列等式： 1－12＝12， 1－12＋13－14＝13＋14， 1－12＋13－14＋15－16＝14＋15＋16， …，据此规律，第n 个等式可为_______________________________________________ ________________________________________________________________________. 答案 1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n解析 等式左边的特征：第1个等式有2项，第2个有4项，第3个有6项，且正负交叉，故第n 个等式左边有2n 项且正负交叉，应为1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n；等式右边的特征：第1个有1项，第2个有2项，第3个有3项，故第n 个有n 项，且由前几个的规律不难发觉第n 个等式右边应为1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n .2．(2022·课标全国甲)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________． 答案 1和3解析 由丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”可知，丙为“1和2”或“1和3”，又乙说“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，所以乙只可能为“2和3”，所以由甲说“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，所以甲只能为“1和3”．3．(2022·陕西)观看分析下表中的数据：多面体 面数(F ) 顶点数(V )棱数(E ) 三棱柱569五棱锥 6 6 10 立方体6812猜想一般凸多面体中F ，V ，E 所满足的等式是__________________________． 答案 F ＋V －E ＝2解析 观看F ，V ，E 的变化得F ＋V －E ＝2.高考必会题型题型一 利用归纳推理求解相关问题 例1 观看下列等式 12＝1， 12－22＝－3， 12－22＋32＝6， 12－22＋32－42＝－10， …照此规律，第n 个等式可为______________________．(2)(2022·山西怀仁一中期中)如图是今年元宵花灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是________．答案 (1)12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1·n (n ＋1)2(2)①解析 (1)观看等式左边的式子，每次增加一项，故第n 个等式左边有n 项，指数都是2，且正、负相间，所以等式左边的通项为(－1)n ＋1n 2.等式右边的值的符号也是正、负相间，其确定值分别为1,3,6,10,15,21，….设此数列为{a n }，则a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝4，a 5－a 4＝5，…，a n －a n －1＝n ，各式相加得a n －a 1＝2＋3＋4＋…＋n ，即a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.所以第n 个等式为12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1·n (n ＋1)2. (2)第一个图，左下角为黑，然后顺时针旋转，变为其次个图；接下来，相邻的黑块顺时针旋转；所以之后全部图就应当是相邻的黑块顺时针旋转，故填①. 点评 归纳推理的三个特点(1)归纳推理的前提是几个已知的特殊对象，归纳所得到的结论是未知的一般现象，该结论超越了前提所包含的范围；(2)由归纳推理得到的结论具有猜想的性质，结论是否精确 ，还需要经过规律推理和实践检验，因此归纳推理不能作为数学证明的工具；(3)归纳推理是一种具有制造性的推理，通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步争辩的起点，挂念发觉问题和提出问题．变式训练1 已知cos π3＝12，cos π5cos 2π5＝14，cos π7cos 2π7cos 3π7＝18，依据以上等式，可猜想出的一般结论是________________________． 答案 cosπ2n ＋1cos 2π2n ＋1·…·cos n π2n ＋1＝12n ，n ∈N * 题型二 利用类比推理求解相关问题例2 半径为r 的圆的面积S (r )＝πr 2，周长C (r )＝2πr ，若将r 看作(0，＋∞)上的变量，则(πr 2)′＝2πr ①，①式用语言可以叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数，对于半径为R 的球，若将R 看作(0，＋∞)上的变量，请写出类比①的等式：________________.上式用语言可以叙述为__________________________． 答案 (43πR 3)′＝4πR 2 球的体积函数的导数等于球的表面积函数解析 圆的面积类比为球的体积，圆的周长类比为球的表面积，那么语言可以叙述为：球的体积函数的导数等于球的表面积函数，故填(43πR 3)′＝4πR 2；球的体积函数的导数等于球的表面积函数．点评 类比推理的一般步骤(1)定类，即找出两类对象之间可以精确 表述的相像特征；(2)推想，即用一类对象的已知特征去推想另一类对象的特征，从而得出一个猜想；(3)检验，即检验猜想的正确性，要将类比推理运用于简洁推理之中，在不断的推理中提高自己的观看、归纳、类比力量．变式训练2 在平面几何中有如下结论：正三角形ABC 的内切圆面积为S 1，外接圆面积为S 2，则S 1S 2＝14.推广到空间可以得到类似结论：已知正四周体P ABC 的内切球体积为V 1，外接球体积为V 2，则V 1V 2＝________.答案127解析 从平面图形类比到空间图形，从二维类比三维，可得到如下结论：正四周体的内切球与外接球半径之比为13，所以正四周体的内切球的体积V 1与外接球的体积V 2之比等于V 1V 2＝(13)3＝127.高考题型精练1．设0<θ<π2，已知a 1＝2cos θ，a n ＋1＝2＋a n (n ∈N *)，猜想a n ＝________.答案 2cos θ2n－1解析 a 2＝2＋a 1＝2＋2cos θ＝4cos 2θ2＝2cos θ2，同理a 3＝2＋2cos θ2＝2cos θ4，a 4＝2cos θ8，猜想a n ＝2cos θ2n －1.2．面积为S 的平面凸四边形的第i 条边的边长记为a i (i ＝1,2,3,4)，此四边形内任一点P 到第i 条边的距离记为h i (i ＝1,2,3,4)，若a 11＝a 22＝a 33＝a 44＝k ，则h 1＋2h 2＋3h 3＋4h 4＝2Sk .类比以上性质，体积为V 的三棱锥的第i 个面的面积记为S i (i ＝1,2,3,4)，此三棱锥内任一点Q 到第i 个面的距离记为H i (i ＝1,2,3,4)，若S 11＝S 22＝S 33＝S 44＝K ，则H 1＋2H 2＋3H 3＋4H 4＝________. 答案3V K解析 依据三棱锥的体积公式V ＝13SH 得：13S 1H 1＋13S 2H 2＋13S 3H 3＋13S 4H 4＝V ， 即S 1H 1＋S 2H 2＋S 3H 3＋S 4H 4＝3V ， ∴H 1＋2H 2＋3H 3＋4H 4＝3V K.3．若数列{a n }是等差数列，则数列{b n }(b n ＝a 1＋a 2＋…＋a nn )也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{c n }是等比数列，且{d n }也是等比数列，则d n 的表达式应为________________． 答案 d n ＝nc 1·c 2·…·c n解析 若{a n }是等差数列，则a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋n (n －1)2d ，∴b n ＝a 1＋(n －1)2d ＝d 2n ＋a 1－d2，即{b n }为等差数列；若{c n }是等比数列，则c 1·c 2·…·c n ＝c n 1·q1＋2＋…＋(n －1)＝c n 1·q n (n －1)2， ∴d n ＝nc 1·c 2·…·c n ＝c 1·q n －12，即{d n }为等比数列．4．已知f (1,1)＝1，f (m ，n )∈N *(m 、n ∈N *)，且对任意m ，n ∈N *都有： ①f (m ，n ＋1)＝f (m ，n )＋2； ②f (m ＋1,1)＝2f (m,1)；给出以下三个结论：(1)f (1,5)＝9；(2)f (5,1)＝16； (3)f (5,6)＝26.其中正确的个数为________． 答案 3解析 由题意f (1,5)＝f (1,4)＋2＝f (1,3)＋2＋2 ＝f (1,2)＋2＋2＋2＝f (1,1)＋2＋2＋2＋2＝9，f (5,1)＝2f (4,1)＝22f (3,1)＝23f (2,1)＝24f (1,1)＝16，f (5,6)＝f (5,5)＋2＝f (5,4)＋4＝…＝f (5,1)＋10＝16＋10＝26. 所以三个都正确．5．集合{1,2,3，…，n }(n ≥3)中，每两个相异数作乘积，将全部这些乘积的和记为T n ，如： T 3＝1×2＋1×3＋2×3＝12[62－(12＋22＋32)]＝11；T 4＝1×2＋1×3＋1×4＋2×3＋2×4＋3×4＝12[102－(12＋22＋32＋42)]＝35；T 5＝1×2＋1×3＋1×4＋1×5＋…＋3×5＋4×5 ＝12[152－(12＋22＋32＋42＋52)]＝85， 则T 7＝________.(写出计算结果) 答案 322解析 由T 3，T 4，T 5归纳得出T n ＝12[(1＋2＋…＋n )2－(12＋22＋…＋n 2)]，则T 7＝12[282－(12＋22＋…＋72)]，又12＋22＋…＋72＝16n (n ＋1)(2n ＋1)，∴T 7＝12(784－140)＝322.6．已知下列四个等式 21×1＝2， 22×1×3＝3×4， 23×1×3×5＝4×5×6，24×1×3×5×7＝5×6×7×8， …依此类推，猜想第n 个等式为______________________．答案 2n ×1×3×5×7×…×(2n －1)＝(n ＋1)×(n ＋2)×(n ＋3)×…×(n ＋n )解析 观看给出的四个等式可以发觉第n 个等式的左边是2n 乘上从1开头的n 个奇数， 右边是从(n ＋1)开头的n 个连续正整数的积， 依据这一规律即可归纳出第n 个等式为2n ×1×3×5×7×…×(2n －1)＝(n ＋1)×(n ＋2)×(n ＋3)×…×(n ＋n )．7．如图1有面积关系：S △P A ′B ′S △P AB ＝P A ′·PB ′P A ·PB ，则图2有体积关系：V P －A ′B ′C ′V P －ABC＝________.答案P A ′·PB ′·PC ′P A ·PB ·PC解析 这是一个类比推理的题，在由平面图形到空间图形的类比推理中，一般是由点的性质类比推理到线的性质，由线的性质类比推理到面的性质，由面积的性质类比推理到体积性质． 8．对于实数x ，[x ]表示不超过x 的最大整数，观看下列等式： [1]＋[2]＋[3]＝3，[4]＋[5]＋[6]＋[7]＋[8]＝10，[9]＋[10]＋[11]＋[12]＋[13]＋[14]＋[15]＝21. …依据此规律，第n 个等式的等号右边的结果为________． 答案 2n 2＋n解析 依据此规律第n 个等式为n 2＋n 2＋1＋…＋(n ＋1)2－1＝n [(n ＋1)2－1－n 2＋1]＝n (2n ＋1)＝2n 2＋n ，第n 个等式的右边为2n 2＋n .9．有以下三个等式：(12＋42)(92＋52)≥(1×9＋4×5)2； (62＋82)(22＋122)≥(6×2＋8×12)2； (202＋102)(1022＋72)≥(20×102＋10×7)2.请观看这三个不等式，猜想出一个一般性的结论______________________． 答案(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2解析 依据题意，观看各式得其规律，用式子将规律表示出来，再利用规律进行作差比较进行证明即可． 10．在矩形ABCD 中，对角线AC 与相邻两边所成的角为α，β，则cos 2α＋cos 2β＝1.类比到空间中一个正确命题是：在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，对角线AC 1与相邻三个面所成的角为α，β，γ，则有________________． 答案 cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝2解析 由在长方形中，设一条对角线与其一顶点动身的两条边所成的角分别是α，β，则有cos 2α＋cos 2β＝1，我们依据长方体性质可以类比推理出空间性质，∵长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，对角线AC 1与过A 点的三个面ABCD ，AA 1B 1B 、AA 1D 1D 所成的角分别为α，β，γ，∴cos α＝AC AC 1，cos β＝AB 1AC 1，cos γ＝AD 1AC 1，∴cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝AC 2＋AB 21＋AD 21AC 21＝2(AB 2＋AD 2＋AA 21)AB 2＋AD 2＋AA 21＝2. 故答案为cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝2.11．若P (x 0，y 0)是抛物线y 2＝2px (p >0)上的一点，则抛物线在点P 处的切线的斜率可以通过如下方法求得：在y 2＝2px 两边同时对x 求导，得2yy ′＝2p ，即y ′＝p y ，所以抛物线在点P 处的切线的斜率k ＝py 0，请类比上述方法，求出双曲线x 2－y 22＝1在点P (2，2)处的切线的方程为________________． 答案 2x －y －2＝0解析 ∵x 2－y 22＝1，∴两边同时对x 求导，得2x －yy ′＝0，即y ′＝2xy ，∴双曲线在点P (2，2)处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝2＝2，∴切线方程为y －2＝2(x －2)，即2x －y －2＝0. 12．设f (x )＝a x ＋a －x 2，g (x )＝a x －a －x2(其中a >0，且a ≠1)．(1)5＝2＋3，请你推想g (5)能否用f (2)，f (3)，g (2)，g (3)来表示； (2)假如(1)中获得了一个结论，请你推想能否将其推广．解 (1)由f (3)g (2)＋g (3)f (2)＝a 3＋a －32·a 2－a －22＋a 3－a －32·a 2＋a －22＝a 5－a －52，又g (5)＝a 5－a －52，因此g (5)＝f (3)g (2)＋g (3)f (2)． (2)由g (5)＝f (3)g (2)＋g (3)f (2)， 即g (2＋3)＝f (3)g (2)＋g (3)f (2)， 于是推想g (x ＋y )＝f (x )g (y )＋g (x )f (y )． 证明：由于f (x )＝a x ＋a －x 2，g (x )＝a x －a －x2，所以g (x ＋y )＝a x ＋y －a －(x ＋y )2，g (y )＝a y －a －y2，f (y )＝a y ＋a －y2，所以f (x )g (y )＋g (x )f (y )＝a x ＋a －x 2·a y －a －y 2＋a x －a －x 2·a y ＋a －y 2＝a x ＋y －a －(x ＋y )2＝g (x ＋y )．。
2021年高考数学的数列多选题含答案
2021年高考数学的数列多选题含答案一、数列多选题1．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若存在实数A ，使得对任意*n N ∈，都有n S A <，则称数列{}n a 为“T 数列”.则以下结论正确的是（ ）A ．若{}n a 是等差数列，且10a >，公差0d <，则数列{}n a 是“T 数列”B ．若{}n a 是等比数列，且公比q 满足||1q <，则数列{}n a 是“T 数列”C ．若12(1)2n n n a n n ++=+，则数列{}n a 是“T 数列”D ．若2241n n a n =-，则数列{}n a 是“T 数列 【答案】BC 【分析】写出等差数列的前n 项和结合“T 数列”的定义判断A ；写出等比数列的前n 项和结合“T 数列”的定义判断B ；利用裂项相消法求和判断C ；当n 无限增大时，n S 也无限增大判断D ． 【详解】在A 中，若{}n a 是等差数列，且10a >，公差0d <，则2122n d d S n a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，当n 无限增大时，n S 也无限增大，所以数列{}n a 不是“T 数列”，故A 错误. 在B 中，因为{}n a 是等比数列，且公比q 满足||1q <， 所以()11111112111111n nn n a q a a q a a q aS qq q q q q-==-+<------，所以数列{}n a 是“T 数列”，故B 正确. 在C 中，因为11211(1)22(1)2n n n n n a n n n n +++==-+⋅+⋅，所以122311111111111||122222322(1)22(1)22n n n n S n n n ++=-+-++-=-<⨯⨯⨯⨯⋅+⋅+⋅∣∣.所以数列{}n a 是“T 数列”，故C 正确.在D 中，因为22211141441n n a n n ⎛⎫==+ ⎪--⎝⎭，所以222111114342143141n S n n ⎛⎫=+++++⎪⨯-⨯--⎝⎭，当n 无限增大时，n S 也无限增大，所以数列{}n a 不是“T 数列”，故D 错误. 故选：BC. 【点睛】方法点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭；（2）1k=； （3）()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；（4）()()122121n n n +--()()()()1121212121n n n n ++---=--1112121n n +=---；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.2．在n n n A B C （1,2,3,n =）中，内角,,n n n A B C 的对边分别为,,n n n a b c ，n n n A B C 的面积为n S ，若5n a =，14b =，13c =，且222124n n n a c b ++=，222124n n n a b c ++=，则（ ） A ．n n n A B C 一定是直角三角形 B ．{}n S 为递增数列 C ．{}n S 有最大值 D ．{}n S 有最小值【答案】ABD 【分析】先结合已知条件得到()222211125=252n n n n b c b c +++-+-，进而得到22225=n n n b c a +=，得A 正确，再利用面积公式得到递推关系1221875=644n n S S ++，通过作差法判定数列单调性和最值即可. 【详解】 由222124n n n a c b ++=，222124n n n a b c ++=得，222222112244n n n n n n a c a b bc+++++=+()2221122n n n a b c =++()2225122n n b c =++，故()222211125=252n n n n b c b c +++-+-， 又221125=0b c +-，22250n n b c ∴+-=，22225=n n n b c a ∴+=，故n n n A B C 一定是直角三角形，A 正确；n n n A B C 的面积为12n n n S b c =，而()4222222222221124224416n n n n n n n n n n n n a b c a b c a c a b b c +++++++=⨯=， 故()42222222222111241875161875==1616641n n n n n n n n n n n a b c a b bSS c c S +++++++==+，故22212218751875==6446434n n n n n S S SS S +-+--， 又22125=244n n n n n b c b c S +=≤（当且仅当=n n b c 22121875=06344n n n S SS +∴--≥，又由14b =，13c =知n n b c ≠不是恒成立，即212n n S S +>，故1n n S S +>，故{}n S 为递增数列，{}n S 有最小值16=S ，无最大值，故BD 正确，C 错误. 故选：ABD. 【点睛】本题解题关键是利用递推关系得到()222211125=252n n n n b c b c +++-+-，进而得到22225=n n n b c a +=，再逐步突破.数列单调性常用作差法判定，也可以借助于函数单调性判断.3．设数列{}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，1121,n n n S S S n ++==，且212n n n n a b a a ++=，则下列结论正确的是（ ） A ．20202020a = B ．()12n n n S += C ．()112n b n n =-+D ．1334n T n ≤-< 【答案】ABD 【分析】可由累乘法求得n S 的通项公式，再由()12n n n S +=得出n a n =，代入212n n n n a b a a ++=中可得()112n b n n =++.由裂项相消法求出n T ，利用数列的单调性证明1334n T n ≤-<.【详解】由题意得，12n n S n S n++=， ∴当2n ≥时，121121112n n n n n S S S n n S S S S S n n ---+=⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅--()13112n n +⋅=，且当1n =时也成立， ∴ ()12n n n S +=，易得n a n =，∴ 20202020a =，故,A B 正确；∴ ()()()211111112222n n b n n n n n n +⎛⎫==+=+- ⎪+++⎝⎭，∴11111111111111112324351122212n T n n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫=+-+-+-++-+-=++-- ⎪ ⎪-++++⎝⎭⎝⎭3111342124n n n n ⎛⎫=+-+<+ ⎪++⎝⎭， 又n T n -随着n 的增加而增加， ∴1113n T n T -≥-=，∴1334n T n ≤-<，C 错误，D 正确， 故选：ABD. 【点睛】使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．4．已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,……，其中第一项是02，接下来的两项是012,2,再接下来的三项是0122,2,2,依次类推…，第n 项记为n a ，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ）A ．6016a =B ．18128S =C ．2122k k k a -+=D ．2221kk k S k +=--【答案】AC 【分析】对于AC 两项，可将数列进行分组，计算出前k 组一共有()12k k +个数，第k 组第k 个数即12k -，可得到选项C由C 得到9552a =，60a 则为第11组第5个数，可得60a 对于BD 项，可先算得22k kS +，即前k 组数之和18S 即为前5组数之和加上第6组前3个数，由21222k k k S k ++=--结论计算即可.【详解】A.由题可将数列分组第一组：02 第二组：012,2, 第三组：0122,2,2, 则前k 组一共有12++…()12k k k ++=个数第k 组第k 个数即12k -，故2122k k k a -+=，C 对又()10101552+=，故9552a = 又()11111662+=， 60a 则为第11组第5个数第11组有数：0123456789102,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2 故460216a ==，A 对对于D. 每一组的和为0122++ (1)2122121k k k --+==-- 故前k 组之和为1222++…()122122221k kk k k k +-+-=-=---21222k k k S k ++=--故D 错. 对于B.由D 可知，615252S =--()551152+=，()661212+=01261815222252764S S =+++=--+=故B 错 故选：AC 【点睛】数列求和的方法技巧(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和． (2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和． (3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．5．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且12a =，38a =则（ ） A ．512a = B ．公差3d = C ．()261n S n n =+ D ．数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为64nn + 【答案】BCD 【分析】根据已知条件求出等差数列{}n a 的通项公式和前n 项和公式，即可判断选项A 、B 、C ，再利用裂项求和即可判断选项D. 【详解】因为数列{}n a 是等差数列，则312228a a d d =+=+=，解得：3d =，故选项B 正确； 所以()21331n a n n =+-⨯=-，对于选项A ：535114a =⨯-=，故选项A 不正确；对于选项C ：()()2222132612n n S n n n ++-⨯⎡⎤⎣⎦=⨯=+，所以故选项C 正确； 对于选项D ：()()111111313233132n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭， 所以前n 项和为111111111325588113132n n ⎛⎫-+-+-++-⎪-+⎝⎭()611132322324n n n n n ⎛⎫=-== ⎪++⎝⎭+，故选项D 正确， 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：数列求和的方法（1）倒序相加法：如果一个数列{}n a 的前n 项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可以用倒序相加法（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可以用错位相减法来求；（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和；（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；（5）并项求和法：一个数列的前n 项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如()()1nn a f n =-类型，可采用两项合并求解.6．下面是关于公差0d >的等差数列{}n a 的几个命题，其中正确的有（ ） A ．数列{}n a 递增B ．n S 为{}n a 的前n 项和,则数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增的等差数列 C．若n a n =，n S 为{}n a 的前n 项和，且n S n c ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为等差数列，则0c D ．若70a =，n S 为{}n a 的前n 项和，则方程0n S =有唯一的根13n =【答案】ABD 【分析】选项A. 由题意10n n a a d +-=>可判断；选项B.先求出112n S n a d n -=+⨯，根据1012n n S S dn n +-=>+可判断；选项C. 若n a n =,则()12n n n S +=，则0c 或1c =时n S n c ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为等差数列可判断；选项D.由1602n n S dn -⎛⎫=--= ⎪⎝⎭可判断. 【详解】选项A. 由题意10n n a a d +-=>，则1n n a a +>，所以数列{}n a 递增，故A 正确. 选项B. ()112n n n S na d -=+⨯,则112n S n a d n -=+⨯ 所以1012n n S S d n n +-=>+，则11n n S S n n +>+，所以数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增的等差数列. 故B 正确. 选项C. 若n a n =,则()12n n n S +=，则()()12n n n S n c n c =+++当0c时，12+n S n c n =+为等差数列. 当1c =时，2n S n c n=+为等差数列.所以选项C 不正确.选项D. 70a =,即7160a a d =+=，则16a d =- 又()()1111660222n n n n n n S na d dn d dn ---⎛⎫=+⨯=-+⨯=--= ⎪⎝⎭ 由0,0d n >>，所以1602n --=，得13n =，故选项D 正确. 故选：ABD 【点睛】关键点睛：本题考查等差数列的判定和单调性的单调，解答本题的关键是利用等差数列的定义和前n 项和公式进行判断，求出162n n S dn -⎛⎫=-+⎪⎝⎭，从而判断，属于中档题.7．在递增的等比数列{}n a 中，已知公比为q ，n S 是其前n 项和，若1432a a =，2312a a +=，则下列说法正确的是（ ）A ．2qB ．数列{}2n S +是等比数列C ．8510S =D ．数列{}lg n a 是公差为2的等差数列【答案】ABC【分析】 计算可得2q，故选项A 正确；8510S =，122n n S ++=，所以数列{}2n S +是等比数列，故选项,B C 正确；lg lg 2n a n =⋅，所以数列{}lg n a 是公差为lg 2的等差数列，故选项D 错误. 【详解】{}n a 为递增的等比数列，由142332,12,a a a a =⎧⎨+=⎩得23142332,12,a a a a a a ==⎧⎨+=⎩解得234,8a a =⎧⎨=⎩或238,4a a =⎧⎨=⎩，∵{}n a 为递增数列， ∴234,8a a =⎧⎨=⎩∴322a q a ==，212a a q ==，故选项A 正确； ∴2nn a =，()12122212nn nS +⨯-==--，∴9822510S =-=，122n n S ++=，∴数列{}2n S +是等比数列，故选项B 正确；所以122n n S +=-,则9822510S =-=，故选项C 正确.又lg 2lg 2lg nn n a ==⋅，∴数列{}lg n a 是公差为lg 2的等差数列，故选项D 错误. 故选：ABC. 【点睛】方法点睛：证明数列为等差（等比）数列常用的方法有： （1）定义法； （2）通项公式法 （3）等差（等比）中项法（4）等差（等比）的前n 项和的公式法.要根据已知灵活选择方法证明.8．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a ＝，且1n n S a λ-＝（λ为常数）．若数列{}n b 满足2920n n a b n n -+-＝，且1n n b b +<，则满足条件的n 的取值可以为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】AB 【分析】利用11a S =可求得2λ=；利用1n n n a S S -=-可证得数列{}n a 为等比数列，从而得到12n na ，进而得到nb ；利用10nnb b 可得到关于n 的不等式，解不等式求得n 的取值范围，根据n *∈N 求得结果. 【详解】当1n =时，1111a S a λ==-，11λ∴-=，解得：2λ=21n n S a ∴=-当2n ≥且n *∈N 时，1121n n S a --=-1122n n nn n a S S a a ，即：12n n a a -=∴数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，12n na2920n n a b n n =-+-，219202n n n n b --+-∴= ()()222111912092011280222n n n n nn n n n n n b b +--+++--+--+∴-=-=< 20n >，()()21128470n n n n ∴-+=--<，解得：47n <<又n *∈N ，5n ∴=或6 故选：AB 【点睛】关键点点睛：本题考查数列知识的综合应用，涉及到利用n a 与n S 的关系求解通项公式、等比数列通项公式的求解、根据数列的单调性求解参数范围等知识，解决本题的关键点是能够得到n b 的通项公式，进而根据单调性可构造出关于n 的不等式，从而求得结果，考查学生计算能力，属于中档题．9．（多选）设数列{}n a 是等差数列，公差为d ，n S 是其前n 项和，10a >且69S S =，则（ ） A ．0d > B ．80a =C ．7S 或8S 为n S 的最大值D ．56S S >【答案】BC 【分析】根据69S S =得到80a =，再根据10a >得到0d <，可得数列{}n a 是单调递减的等差数列，所以7S 或8S 为n S 的最大值，根据6560S S a -=>得65S S >，故BC 正确. 【详解】由69S S =得，960S S -=， 即7890a a a ++=，又7982a a a +=，830a ∴=，80a ∴=，∴B 正确；由8170a a d =+=，得17a d =-，又10a >，0d ∴<， ∴数列{}n a 是单调递减的等差数列，()()0,70,9n n a n N n a n N n **⎧>∈≤⎪∴⎨<∈≥⎪⎩， 7S ∴或8S 为n S 的最大值，∴A 错误，C 正确； 6560S S a -=>，65S S ∴>，所以D 错误.故选：BC ． 【点睛】关键点点睛：根据等差中项推出80a =，进而推出0d <是解题关键.10．斐波那契数列{}n a ：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，又称黄金分割数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，其通项公式1122n nn a ⎡⎤⎛⎛-⎢⎥=- ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，是用无理数表示有理数的一个范例，该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和，即21n n n a a a ++=+，记该数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列结论正确的是（ ）A ．10711S a =B ．2021201920182a a a =+C ．202120202019S S S =+D ．201920201S a =-【答案】AB 【分析】选项A 分别求出710S a ，可判断，选项B 由21n n n a a a ++=+，得()112n n n a a a n +-=+≥，相加得2n a +12n n a a -=+可判断,选项C ，由202112342021S a a a a a =+++++，202012S a a =+++2020a ，两式错位相减可判断.选项D.由()()()()()324354652122n n n n S a a a a a a a a a a a a +++=-+-+-+-++-=-可判断.【详解】因为10143S =，711143a =，所以10711S a =，则A 正确；由21n n n a a a ++=+，得()112n n n a a a n +-=+≥，相加得2n a +12n n a a -=+， 所以2021201920182a a a =+，所以B 正确； 因为202112342021S a a a a a =+++++，202012S a a =+++2020a ，两式错位相减可得202120201220192019101S S a a a S -=+++++=+，所以2021202020191S S S =++，所以C 错误； 因为()()()()()123324354652122n n n n n S a a a a a a a a a a a a a a a a +++=++++=-+-+-+-++-=-21n a +=-，所以201920211S a =-，所以D 错误.故选：AB.【点睛】关键点睛：本题考查数列的递推关系的应用，解答本题的关键是由202112342021S a a a a a =+++++，202012S a a =+++2020a ，两式错位相减可得202120201220192019101S S a a a S -=+++++=+，以及由递推关系可得()()()()()324354652122n n n n S a a a a a a a a a a a a +++=-+-+-+-++-=-，属于中档题.。
2021年高考数学的数列多选题及答案
2021年高考数学的数列多选题及答案一、数列多选题1．设{}n a 是无穷数列，若存在正整数()2k k ≥，使得对任意n *∈N ，均有n k n a a +>，则称{}n a 是“间隔递增数列”，k 是{}n a 的“间隔数”，下列说法正确的是（ ） A ．公比大于1的等比数列一定是“间隔递增数列” B ．若()21nn a n =+-，则{}n a 是“间隔递增数列”C ．若(),2n ra n r r n*=+∈≥N ，则{}n a 是“间隔递增数列”且“间隔数”的最小值为r D ．已知22021n a n tn =++，若{}n a 是“间隔递增数列”且“间隔数”的最小值为3，则54t -<≤-【答案】BCD 【分析】利用新定义，逐项验证是否存在正整数()2k k ≥，使得0n k n a a +->，即可判断正误. 【详解】选项A 中，设等比数列{}n a 的公比是()1q q >，则()1111111n k n n n k k n a a a a q q q a q +---+=-=--，其中1k q >，即()110n k q q -->，若10a <，则0n k n a a +-<，即n k n a a +<，不符合定义，故A 错误；选项B 中，()()()()()21212111n kn n k n k n a a n k n k ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤++--+-=+---⎣⎦-=⎣⎦⎣⎦，当n 是奇数时，()211kn k n a a k +=---+，则存在1k时，0n k n a a +->成立，即对任意n *∈N ，均有n k n a a +>，符合定义；当n 是偶数时，()211kn k n a a k +-=+--，则存在2k ≥时，0n k n a a +->成立，即对任意n *∈N ，均有n k n a a +>，符合定义.综上，存在2k ≥时，对任意n *∈N ，均有n k n a a +>，符合定义，故B 正确；选项C 中，()()1n k n r r kr r a a n k n k k n k n n k n n k n +⎡⎤-⎛⎫⎛⎫++-+=+=-⎢⎥ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎢⎣-⎦=⎥()2n kn r k n k n +-=⋅+，令2()f n n kn r =+-，开口向上，对称轴02k -<，故2()f n n kn r =+-在n *∈N 时单调递增，令最小值(1)10f k r =+->，得1k r >-，又k *∈N ，2k ≥，,2r r *∈≥N ，故存在k r ≥时，0n k n a a +->成立，即对任意n *∈N ，均有n k n a a +>，符合定义，“间隔数”的最小值为r ，故C 正确；选项D 中，因为22021n a n tn =++，是“间隔递增数列”，则()()()2222021202012n k n a a n k t n k kn k t n n k t +⎡⎤-=-=++>⎣++++⎦++，即20k n t ++>，对任意n *∈N 成立，设()2g n k n t =++，显然在n *∈N 上()g n 递增，故要使()20g n k n t =++>，只需(1)20g k t =++>成立，即2t k --<. 又“间隔数”的最小值为3，故存在3k ≥，使2t k --<成立，且存在k 2≤，使2t k --≥成立，故23t --<且22t --≥，故54t -<≤-，故D 正确. 故选：BCD. 【点睛】本题的解题关键在于读懂题中“间隔递增数列”的定义，判断是否存在正整数()2k k ≥，使0n k n a a +->对于任意的n *∈N 恒成立，逐项突破难点即可.2．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若存在实数A ，使得对任意*n N ∈，都有n S A <，则称数列{}n a 为“T 数列”.则以下结论正确的是（ ）A ．若{}n a 是等差数列，且10a >，公差0d <，则数列{}n a 是“T 数列”B ．若{}n a 是等比数列，且公比q 满足||1q <，则数列{}n a 是“T 数列”C ．若12(1)2n n n a n n ++=+，则数列{}n a 是“T 数列”D ．若2241n n a n =-，则数列{}n a 是“T 数列 【答案】BC 【分析】写出等差数列的前n 项和结合“T 数列”的定义判断A ；写出等比数列的前n 项和结合“T 数列”的定义判断B ；利用裂项相消法求和判断C ；当n 无限增大时，n S 也无限增大判断D ． 【详解】在A 中，若{}n a 是等差数列，且10a >，公差0d <，则2122n d d S n a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，当n 无限增大时，n S 也无限增大，所以数列{}n a 不是“T 数列”，故A 错误. 在B 中，因为{}n a 是等比数列，且公比q 满足||1q <， 所以()11111112111111n nn n a q a a q a a q aS qq q q q q-==-+<------，所以数列{}n a 是“T 数列”，故B 正确. 在C 中，因为11211(1)22(1)2n n n n n a n n n n +++==-+⋅+⋅，所以122311111111111||122222322(1)22(1)22n n n n S n n n ++=-+-++-=-<⨯⨯⨯⨯⋅+⋅+⋅∣∣.所以数列{}n a 是“T 数列”，故C 正确.在D 中，因为22211141441n n a n n ⎛⎫==+ ⎪--⎝⎭，所以222111114342143141n S n n ⎛⎫=+++++⎪⨯-⨯--⎝⎭，当n 无限增大时，n S 也无限增大，所以数列{}n a 不是“T 数列”，故D 错误. 故选：BC. 【点睛】方法点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)()1111n n k k n nk ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭；（2）1k=； （3）()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；（4）()()122121n n n +--()()()()1121212121n n n n ++---=--1112121n n +=---；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.3．在n n n A B C （1,2,3,n =）中，内角,,n n n A B C 的对边分别为,,n n n a b c ，n n n A B C 的面积为n S ，若5n a =，14b =，13c =，且222124n n n a c b ++=，222124n n n a b c ++=，则（ ） A ．n n n A B C 一定是直角三角形 B ．{}n S 为递增数列 C ．{}n S 有最大值 D ．{}n S 有最小值【答案】ABD 【分析】先结合已知条件得到()222211125=252n n n n b c b c +++-+-，进而得到22225=n n n b c a +=，得A 正确，再利用面积公式得到递推关系1221875=644n n S S ++，通过作差法判定数列单调性和最值即可. 【详解】 由222124n n n a c b ++=，222124n n n a b c ++=得，222222112244n n n n n n a c a b bc+++++=+()2221122n n n a b c =++()2225122n n b c =++，故()222211125=252n n n n b c b c +++-+-， 又221125=0b c +-，22250n n b c ∴+-=，22225=n n n b c a ∴+=，故n n n A B C 一定是直角三角形，A 正确；n n n A B C 的面积为12n n n S b c =，而()4222222222221124224416n n n n n n n n n n n n a b c a b c a c a b bc+++++++=⨯=， 故()42222222222111241875161875==1616641n n n n n n n n n n n a b c a b b S S c c S +++++++==+，故22212218751875==6446434n n n n n S S SS S +-+--， 又22125=244n n n n n b c b c S +=≤（当且仅当==2n n b c 时等号成立） 22121875=06344n n n S SS +∴--≥，又由14b =，13c =知n n b c ≠不是恒成立，即212n n S S +>，故1n n S S +>，故{}n S 为递增数列，{}n S 有最小值16=S ，无最大值，故BD 正确，C 错误. 故选：ABD. 【点睛】本题解题关键是利用递推关系得到()222211125=252n n n n b c b c +++-+-，进而得到22225=n n n b c a +=，再逐步突破.数列单调性常用作差法判定，也可以借助于函数单调性判断.4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若831a =，10210S =，则（ ） A ．19919S a = B ．数列{}22na 是公比为8的等比数列C ．若()1nnnb a =-⋅，则数列{}n b 的前2020项和为4040D ．若11n n n b a a +=，则数列{}n b 的前2020项和为202024249【答案】CD 【分析】由等差数列性质可判断A ；结合已知条件可求出等差数列的公差，从而可求出通项公式以及22n a ，结合等比数列的定义可判断B ；写出n b ，由定义写出2020T 的表达式，进行分组求和即可判断C ；11144143n b n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭，裂项相消即可求和.【详解】由等差数列的性质可知，191019S a =，故A 错误；设{}n a 的公差为d ，则有811017311045210a a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得13a =，4d =，故41n a n =-，28122na n -=， 则数列{}22n a是公比为82的等比数列，故B 错误；若()()()1141n nn n b a n =-⋅=-⋅-，则{}n b 的前2020项20203711158079410104040T =-+-+-⋅⋅⋅+=⨯=，故C 正确； 若()()1111414344143n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，则{}n b 的前2020项和2020111111120204377118079808324249T ⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=⎪⎝⎭，故D 正确． 故选:CD ． 【点睛】 方法点睛:求数列的前n 项和常见思路有：1、对于等差和等比数列，直接结合求和公式求解；2、等差数列±等比数列时，常采取分组求和法；3、等差数列⨯等比数列时，常采取错位相减法；4、裂项相消法.5．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，前n 项和为n S ，且112n n n S a a +=⋅-，则（ ）A ．12d =B ．11a =C ．数列{}n a 中可以取出无穷多项构成等比数列D ．设(1)nn n b a =-⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则2n T n =【答案】AC 【分析】利用已知条件可得11212n n n S a a +++=-与已知条件两式相减，结合{}n a 是等差数列，可求d的值即可判断选项A ，令1n =即可求1a 的值，可判断选项B ，分别计算{}n a 的通项即可判断选项C ，分别讨论两种情况下21212n n b b -+=，即可求2n T 可判断选项D. 【详解】 因为112n n n S a a +=-，所以11212n n n S a a +++=-， 两式相减，得()11212n n n n n a a a a da ++++=-=， 因为0d ≠，所以21d =，12d =，故选项 A 正确； 当1n =时，1111122a a a ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，易解得11a =或112a =-，故选项B 不正确；由选项A 、B 可知，当112a =-，12d =时，()1111222n na n =-+-⨯=-，{}n a 可取遍所有正整数，所以可取出无穷多项成等比数列，同理当()()1111122n a n n =+-⨯=+时也可以取出无穷多项成等比数列，故选项C 正确； 当()112n a n =+时，()221212n n b a n ==+，()212112112n n b a n n --=-=--+=-， 因为21221212n n n n b b a a --+=-+=， 所以()()()212342122n n n n T b b b b b b -=++++++=， 当12n n a =-时，2212112n n b a n n ==⨯-=-，2121213122n n n b a n ---⎛⎫=-=--=- ⎪⎝⎭， 所以22131122n n b b n n -+=-+-=， 此时()()()22212223212n n n n n nT b b b b b b ---=++++++=， 所以2n T n ≠，故选项D 不正确． 故选：AC. 【点睛】方法点睛：数列求和的方法（1）倒序相加法：如果一个数列{}n a 的前n 项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可以用倒序相加法（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可以用错位相减法来求；（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和；（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；（5）并项求和法：一个数列的前n 项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如()()1nn a f n =-类型，可采用两项合并求解.6．下列说法正确的是（ ）A ．若{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，则k S ，2k k S S -，32k k S S -，…仍为等差数列()k N *∈B ．若{}n a 为等比数列，n S 为其前n 项和，则k S ，2k k S S -，32k k S S -，仍为等比数列()k N *∈C ．若{}n a 为等差数列，10a >，0d <，则前n 项和n S 有最大值D ．若数列{}n a 满足21159,4n n n a a a a +=-+=，则121111222n a a a +++<--- 【答案】ACD 【分析】根据等差数列的定义，可判定A 正确；当1q =-时，取2k =，得到20S =，可判定B 错误；根据等差数列的性质，可判定C 正确；化简得到1111233n n n a a a +=----，利用裂项法，可判定D 正确. 【详解】对于A 中，设数列{}n a 的公差为d ， 因为12k k S a a a =+++，2122k k k k k S S a a a ++-=+++，3221223k k k k k S S a a a ++-=+++，，可得()()()()22322k k k k k k k S S S S S S S k d k N *--=---==∈，所以k S ，2k k S S -，32k k S S -，构成等差数列，故A 正确；对于B 中，设数列{}n a 的公比为()0q q ≠，当1q =-时，取2k =，此时2120S a a =+=，此时不成等比数列，故B 错误； 对于C 中，当10a >，0d <时，等差数列为递减数列， 此时所有正数项的和为n S 的最大值，故C 正确；对于D 中，由2159n nn a a a +=-+，可得()()2135623n n n n n a a a a a +-=-+=-⋅-， 所以2n a ≠或3n a ≠， 则()()1111132332n n n n n a a a a a +==------，所以1111233n n n a a a +=----， 所以1212231111111111222333333n n n a a a a a a a a a ++++=-+-++---------- 1111111333n n a a a ++=-=----. 因为14a =，所以2159n nn n a a a a +=-+>，可得14n a +>，所以11113n a +-<-，故D 正确.故选：ACD 【点睛】方法点睛：由2159n nn a a a +=-+，得到()()2135623n n n n n a a a a a +-=-+=-⋅-，进而得出1111233n n n a a a +=----，结合“裂项法”求解是解答本题的难点和关键.7．已知等差数列{}n a 中，59a a =，公差0d >，则使得前n 项和n S 取得最小值的正整数n 的值是（ ） A ．5 B ．6C ．7D ．8【答案】BC 【分析】分析出数列{}n a 为单调递增数列，且70a =，由此可得出结论. 【详解】在等差数列{}n a 中，59a a =，公差0d >，则数列{}n a 为递增数列，可得59a a <，59a a ∴=-，可得5975202a a a a +==>，570a a ∴<=，所以，数列{}n a 的前6项均为负数，且70a =， 因此，当6n =或7时，n S 最小. 故选：BC. 【点睛】方法点睛：本题考查等差数列前n 项和最大值的方法如下：（1）利用n S 是关于n 的二次函数，利用二次函数的基本性质可求得结果； （2）解不等式0n a ≥，解出满足此不等式的最大的n 即可找到使得n S 最小.8．已知数列{}n a 中，112a =，且()11n n n a a a +=+，n *∈N ，则以下结论正确的是（ ）A ．11111n n n a a a +=-+ B ．{}n a 是单调递增数列C ．211011111111a a a a +++>+++ D ．若1212120111n n a a a a a a ⎡⎤+++=⎢⎥+++⎣⎦，则122n =([]x 表示不超过x 的最大整数) 【答案】ABD 【分析】利用裂项法可判断A 选项的正误；利用数列单调性的定义可判断B 选项的正误；利用裂项求和法可判断C 选项的正误；求出1212111nn a a aa a a ++++++的表达式，可判断D 选项的正误. 【详解】在数列{}n a 中，112a =，且()11n n n a a a +=+，n *∈N ，则()21110a a a =+>，()32210a a a =+>，，依此类推，可知对任意的n *∈N ，0n a >.对于A 选项，()()()111111111n n n n n n n n n a a a a a a a a a ++-===-+++，A 选项正确； 对于B 选项，210n n n a a a +-=>，即1n n a a +>，所以，数列{}n a 为单调递增数列，B 选项正确；对于C 选项，由A 选项可知，11111n n n a a a +=-+， 所以，1212231011111110111111111111111a a a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，C 选项错误； 对于D 选项，12122311111111111111111n nn n a a a a a a a a a a a ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以，()()()12121212111111111111n nn n a a a a a aa a a a a a +-+++=+++++++++-+-+121111111112111n n n n n n a a a a a a ++⎛⎫⎛⎫=-+++=--=-+ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭， 由112a =，且()11n n n a a a +=+得234a =，32116a =，又{}n a 是单调递增数列，则3n ≥时，1n a >，则101na <<， 从而1122120n n n a +⎡⎤-=-=⎢⎥⎣⎦+，得122n =，D 选项正确.故选：ABD. 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；（2）对于{}n n a b 型数列，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，利用错位相减法求和；（3）对于{}n n a b +型数列，利用分组求和法； （4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭型数列，其中{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列，利用裂项相消法求和.9．将2n 个数排成n 行n 列的一个数阵，如图：该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列(其中0m >).已知112a =，13611a a =+，记这2n 个数的和为S .下列结论正确的有（ ）A ．3m =B ．18181103354kk i a =⨯+=∑C ．(31)3ij ja i =-⨯ D ．()1(31)314n S n n =+- 【答案】ABD 【分析】根据第一列成等差，第一行成等比可求出1361,a a ，列式即可求出m ，从而求出通项ij a ，进而可得ii a ，根据错位相减法可求得181kki a=∑，再按照分组求和法，每一行求和可得S ，由此可以判断各选项的真假． 【详解】∵a 11＝2，a 13＝a 61+1，∴2m 2＝2+5m +1，解得m ＝3或m 12=-（舍去），A 正确； ∴()()11113213313j j j ij i a a i m i ---⎡⎤=⋅=+-⨯⋅=-⋅⎣⎦，C 错误； ∴()1313i ii a i -=-⋅，0171811223318182353533S a a a a =+++⋯+=⨯+⨯+⋯+⨯① 12181832353533S =⨯+⨯+⋯+⨯②,①-②化简计算可得：1818103354S ⨯+=,B 正确；S ＝(a 11+a 12+a 13+……+a 1n )+(a 21+a 22+a 23+……+a 2n )+……+(a n 1＋a n2＋a n 3＋……＋a nn )()()()11211131313131313nnnn a a a ---=+++---()()231131.22nn n +-=-()1=(31)314n n n +-，D 正确； 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；（2）对于{}n n a b 型数列，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，利用错位相减法求和；（3）对于{}n n a b +型数列，利用分组求和法；（4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭型数列，其中{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列，利用裂项相消法求和.10．斐波那契数列{}n a ：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，又称黄金分割数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，其通项公式1122n nn a ⎡⎤⎛⎛-⎢⎥=- ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，是用无理数表示有理数的一个范例，该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和，即21n n n a a a ++=+，记该数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列结论正确的是（ ）A ．10711S a =B ．2021201920182a a a =+C ．202120202019S S S =+D ．201920201S a =-【答案】AB 【分析】选项A 分别求出710S a ，可判断，选项B 由21n n n a a a ++=+，得()112n n n a a a n +-=+≥，相加得2n a +12n n a a -=+可判断,选项C ，由202112342021S a a a a a =+++++，202012S a a =+++2020a ，两式错位相减可判断.选项D.由()()()()()324354652122n n n n S a a a a a a a a a a a a +++=-+-+-+-++-=-可判断.【详解】因为10143S =，711143a =，所以10711S a =，则A 正确；由21n n n a a a ++=+，得()112n n n a a a n +-=+≥，相加得2n a +12n n a a -=+， 所以2021201920182a a a =+，所以B 正确； 因为202112342021S a a a a a =+++++，202012S a a =+++2020a ，两式错位相减可得202120201220192019101S S a a a S -=+++++=+，所以2021202020191S S S =++，所以C 错误； 因为()()()()()123324354652122n n n n n S a a a a a a a a a a a a a a a a +++=++++=-+-+-+-++-=-21n a +=-，所以201920211S a =-，所以D 错误.故选：AB. 【点睛】关键点睛：本题考查数列的递推关系的应用，解答本题的关键是由202112342021S a a a a a =+++++，202012S a a =+++2020a ，两式错位相减可得202120201220192019101S S a a a S -=+++++=+，以及由递推关系可得()()()()()324354652122n n n n S a a a a a a a a a a a a +++=-+-+-+-++-=-，属于中档题.。
2021届高考数学(新课标) 题型全归纳 数列定义在解题中的潜在功能
数列定义在解题中的潜在功能高考作为一种选拔性考试，在重视基础学问考查的同时，更加重视对应用力气的考查.作为中学数学的重点内容之一，等差（比）数列始终是高考考查时重点，特殊是近几年，有关数列的高考综合题，几乎都与等差（比）数列有关.这里我们感爱好的是等差（比）数列的定义在解题中的潜在功能，即遇到数列问题，特殊是证明通项为an )1(1-+=n a d )(11-=n nq a a 或前n 项和)),1((2nn n q a S bn an S -=+=首先要证明它是等差（比）数列，必要时再进行适当转化，即将一般数列转化为等差（比）数列. 例1.设等差数列{}n a 的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为（ ）.（A ）130 （B ）170 （C ）210 （D ）260 解 若等差数列{}n a 前m 项、次m 项、又次m 项和分别为S1，S2，S3，则S1，S2，S3也成等差数列.事实上，2)(2)(312131m m m a a m a a m S S +++=++2)]()[31212m n m a a a a m +++=+.22)(22)22(22121S a a m a a m m m m m =+⋅=+=++所以S1，S2，S3成等差数列.由于30，70，S3m －100成等差数列，所以30+S3m －100=140，即S3m=210.故应选（C ）.例2.设｛an ｝是等差数列，n a n b )21(=，已知,821321=++b b b 81321=b b b ，求等差数列的通项公式. 解 ∵｛an ｝成等差数列，∴｛bn ｝成等比数列,∴22b =b1b3.由b1b2b3=81,得b2=21. 从而有b1+b3= 817,b1b3=41.∴b1,b3是方程x2－x 817+041=两根.解得81,231==b b 或811=b ，.23=b ∴a1=－1,d=2或a1=3,d=－2.故an=a1+(n －1)d=2n －3或an=5－2n.例3.一个数列｛an ｝,当n 为奇数时, an=5n+1;当n 为偶数时,an=22n ,求这个数列的前2m 项的和. 解:∵a1,a3,a5,…，a2m －1成等差数列，ma a a a 2642,,,, 成等比数列，∴S2m=)()(2421231m m a a a a a a +++++++-mm m m m a a a m 2522)(212121++=⋅++=--.例4.设数列,,,,,21 n a a a 前n 项和Sn 与an 的关系是1+=n n ka S （其中k 是与n 无关的常数，且k ≠1）.（1）试写出由n,k 表示的an 的表达式；（2）若1lim =∞→n S n ，求k 的取值范围.解：（1）当n=1时，由1111+==ka S a ,得);1(111≠-=k k a当n ≥2时，由111)1()1(----=+-+=-=n n n n n n n ka ka ka ka S S a ，得11-=-k ka a n n .若k=0，则an=1(n=1)或an=0(n ≥2).若k ≠0,则｛an ｝是首项为k -11，公比为1-k k 的等比数列，所以1)1(11--⋅-=n n k k k a . （2）∵0lim ,1lim =∴=∞→∞→n a n S n n ，∴1-k k ＜1，解得k ＜21.例5.已知数列｛an ｝的前n 项和的公式是)2(122n n S n +=π.（1）求证：｛an ｝是等差数列，并求出它的首项和公差；（2）记21sin sin sin ++⋅⋅=n n n n a a a b ，求证：对任意自然数n ，都有1)1(82--=n n b .证明：（1）当n=1时，411π==S a ；当n ≥2时，=-=-1n n n S S a -+)2(122n n π)]1()1(2[122-+-n n π=)14(12-n π.∴).14(12-=n a n π =--1n na a .3]1)1(4[12)14(12πππ=----n n ∴｛an ｝是首项为4π，公差为3π的等差数列.（2）只要证明｛bn ｝是首项为82,公比为－1的等比数列. 1211sin 127sin4sinsin sin sin 3211πππ⋅⋅=⋅⋅=a a a b。