极限与导数

第十四章 极限与导数

一、基础知识 1．极限定义：（1）若数列{u n }满足，对任意给定的正数ε，总存在正数m ，当n>m 且n ∈N 时，恒有|u n -A|<ε成立（A 为常数），则称A 为数列u n 当n 趋向于无穷大时的极限，记为

)(lim ),(lim x f x f x x -∞

→+∞

→，另外)(lim 0

x f x x +→=A 表示x 大于x 0且趋向于x 0时f(x)极限为A ，称右

极限。类似地)(lim 0

x f x x -→表示x 小于x 0且趋向于x 0时f(x)的左极限。

2．极限的四则运算：如果0

lim x x →f(x)=a, 0

lim x x →g(x)=b ，那么0

lim x x →[f(x)±g(x)]=a ±b,

lim x x →[f(x)•g(x)]=ab, 0

lim

x x →).0()()(≠=b b

a

x g x f 3.连续：如果函数f(x)在x=x 0处有定义，且0

lim x x →f(x)存在，并且0

lim x x →f(x)=f(x 0)，则称f(x)在x=x 0处连续。

4．最大值最小值定理：如果f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数，那么f(x)在[a,b]上有最大值和最小值。

5．导数：若函数f(x)在x0附近有定义，当自变量x 在x 0处取得一个增量Δx 时（Δx 充分小），因变量y 也随之取得增量Δy(Δy=f(x 0+Δx)-f(x 0)).若x

y

x ∆∆→∆0lim

存在，则称f(x)在x 0

处可导，此极限值称为f(x)在点x 0处的导数（或变化率），记作'f (x 0)或0'x x y =或

x dx

dy ，

即0

00)

()(lim

)('0

x x x f x f x f x x --=→。由定义知f(x)在点x 0连续是f(x)在x 0可导的必要条件。

若f(x)在区间I 上有定义，且在每一点可导，则称它在此敬意上可导。导数的几何意义是：f(x)在点x 0处导数'f (x 0)等于曲线y=f(x)在点P(x 0,f(x 0))处切线的斜率。

6．几个常用函数的导数：（1）)'(c =0（c 为常数）；（2）1

)'(-=a a ax x （a 为任意常数）；（3）

;cos )'(sin x x =(4)x x sin )'(cos -=;(5)a a a x x ln )'(=;(6)x x e e =)'(;（7）)'(log x a x x a log 1=

；（8）.1

)'(ln x

x = 7．导数的运算法则：若u(x),v(x)在x 处可导，且u(x)≠0,则

（1）)(')(')]'()([x v x u x v x u ±=±；（2）)(')()()(')]'()([x v x u x v x u x v x u +=；（3）

)(')]'([x u c x cu ⋅=（c 为常数）；（4）

)()(']')(1[2x u x u x u -=；（5）)

()

()(')(')(]')()([2x u x v x u x v x u x u x u -=。

8．复合函数求导法：设函数y=f(u),u=ϕ(x)，已知ϕ(x)在x 处可导，f(u)在对应的点u(u=ϕ(x))处可导，则复合函数y=f[ϕ(x)]在点x 处可导，且（f[ϕ(x)])'=)(')](['x x f ϕϕ. 9.导数与函数的性质：（1）若f(x)在区间I 上可导，则f(x)在I 上连续；（2）若对一切x ∈(a,b)有0)('>x f ，则f(x)在(a,b)单调递增；（3）若对一切x ∈(a,b)有0)('

10．极值的必要条件：若函数f(x)在x 0处可导，且在x 0处取得极值，则.0)('0=x f 11.极值的第一充分条件：设f(x)在x0处连续，在x 0邻域(x 0-δ,x 0+δ)内可导，（1）若当x ∈(x-δ,x 0)时0)('≤x f ，当x ∈(x 0,x 0+δ)时0)('≥x f ，则f(x)在x 0处取得极小值；（2）若当x ∈(x 0-δ，x 0)时0)('≥x f ，当x ∈(x 0,x 0+δ)时0)('≤x f ，则f(x)在x 0处取得极大值。

12．极值的第二充分条件：设f(x)在x 0的某领域(x 0-δ,x 0+δ)内一阶可导，在x=x 0处二阶可导，且0)('',0)('00≠=x f x f 。（1）若0)(''0>x f ，则f(x)在x 0处取得极小值；（2）若0)(''0

13．罗尔中值定理：若函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，且f(a)=f(b)，则存在ξ∈(a,b)，使.0)('=ξf

[证明] 若当x ∈(a,b)，f(x)≡f(a)，则对任意x ∈(a,b)，0)('=x f .若当x ∈(a,b)时，f(x)≠f(a)，因为f(x)在[a,b]上连续，所以f(x)在[a,b]上有最大值和最小值，必有一个不等于f(a)，不妨设最大值m>f(a)且f(c)=m ，则c ∈(a,b)，且f(c)为最大值，故0)('=c f ，综上得证。

14．Lagrange 中值定理：若f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，则存在ξ∈(a,b)，使

.)

()()('a

b a f b f f --=

ξ

[证明] 令F(x)=f(x)-)()

()(a x a

b a f b f ---,则F(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，且

F(a)=F(b)，所以由13知存在ξ∈(a,b)使)('ξF =0，即.)

()()('a

b a f b f f --=ξ

15．曲线凸性的充分条件：设函数f(x)在开区间I 内具有二阶导数，（1）如果对任意x ∈I,0)(''>x f ,则曲线y=f(x)在I 内是下凸的；（2）如果对任意x ∈I,0)(''

16．琴生不等式：设α1,α2,…,αn ∈R +

，α1+α2+…+αn =1。（1）若f(x)是[a,b]上的凸函数，则x 1,x 2,…,x n ∈[a,b]有f(a 1x 1+a 2x 2+…+a n x n )≤a 1f(x 1)+a 2f(x 2)+…+a n f(x n ). 二、方法与例题 1．极限的求法。