2019年名师伴学之数学热点真题讲解与分析(二)专题06 函数的方程以及函数的零点 Word版含解析

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2019版二轮复习数学(理·重点生)通用版讲义：第一部分专题二基本初等函数、函数与方程 Word版含解析

专题二 ⎪⎪⎪基本初等函数、函数与方程[典例] (1)(2019届高三·辽宁五校联考)设a ＝2 01712018，b ＝log 2 017 2 018，c ＝log 201812 017，则( ) A ．c >b >a B ．b >c >a C ．a >c >bD ．a >b >c(2)已知f (x )＝a x －2，g (x )＝log a |x |(a >0且a ≠1)，若f (4)g (－4)<0，则y ＝f (x )，y ＝g (x )在同一坐标系内的大致图象是( )(3)(2018·信阳二模)设x ，y ，z 为正实数，且log 2x ＝log 3y ＝log 5z >0，则x 2，y 3，z5的大小关系不可能是( )A.x 2<y 3<z 5B.x 2＝y 3＝z 5C.z 5<y 3<x 2D.y 3<x 2<z 5[解析] (1)∵a ＝2 01712018>2 0170＝1， 0b >c .故选D. (2)∵f (x )＝a x －2>0恒成立，又f (4)·g (－4)<0，∴g (－4)＝log a |－4|＝log a 4<0＝log a 1，∴0<a <1.故函数y ＝f (x )在R 上单调递减，且过点(2,1)，函数y ＝g (x )在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递增，故B 正确．(3)设log 2x ＝log 3y ＝log 5z ＝k >0，则x ＝2k >1，y ＝3k >1，z ＝5k >1. ∴x 2＝2k －1，y 3＝3k －1，z 5＝5k －1. ①若0<k <1，则函数f (x )＝x k －1在定义域上单调递减，∴x 2>y 3>z 5； ②若k ＝1，则函数f (x )＝x k －1＝1，∴x 2＝y 3＝z 5；③若k >1，则函数f (x )＝x k －1在定义域上单调递增，∴x 2<y 3<z 5. ∴x 2，y 3，z5的大小关系不可能是 D.因此A 、B 、C 正确，D 错误．故选D.[答案] (1)D (2)B (3)D [类题通法]1．幂、指数、对数式比较大小的方法(1)利用幂、指数、对数函数的单调性，这就需要观察要比较大小的数和式的结构特征，寻找共同点(如指数相同，底数相同等)，构造相应函数；(2)媒介法，即利用中间值(特别是0和1)作媒介传递，达到比较其大小的目的．2．基本初等函数的图象与性质的应用技巧(1)对数函数与指数函数的单调性都取决于其底数的取值，当底数a 的值不确定时，要注意分a >1和0<a <1两种情况讨论：当a >1时，两函数在定义域内都为增函数；当0<a <1时，两函数在定义域内都为减函数．(2)由指数函数、对数函数与其他函数复合而成的函数，其性质的研究往往通过换元法转化为两个基本初等函数的有关性质，然后根据复合函数的性质与相关函数的性质之间的关系进行判断．(3)对于幂函数y ＝x α的性质要注意α>0和α<0两种情况的不同．[应用通关]1．(2018·厦门一模)已知a ＝⎝⎛⎭⎫120.3，b ＝log 120.3，c ＝a b，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a log 1212＝1，a ＝⎝⎛⎭⎫120.3<⎝⎛⎭⎫120＝1，∴c ＝a b <a .∴c <a < b.故选B.2．已知幂函数f (x )＝(m －1)2xm2－4m ＋2在(0，＋∞)上单调递增，函数g (x )＝2x －t ，∀x 1∈[1,6)时，总存在x 2∈[1,6)使得f (x 1)＝g (x 2)，则t 的取值范围是( )A ．∅B ．(－∞，1]∪[28，＋∞)C ．(－∞，1)∪(28，＋∞)D ．[1,28]解析：选D 由f (x )是幂函数得m ＝0或2，当m ＝0时，f (x )＝x 2；当m ＝2时，f (x )＝x －2.而f (x )＝(m －1)2xm 2－4m ＋2在(0，＋∞)上单调递增，则f (x )＝x 2，当x ∈[1,6)时，f (x )∈[1,36)．当x ∈[1,6)时，g (x )∈[2－t,64－t )．若∀x 1∈[1,6)时，总存在x 2∈[1,6)使得f (x 1)＝g (x 2)，则[1,36)⊆[2－t,64－t )，故⎩⎪⎨⎪⎧2－t ≤1，64－t ≥36，解得1≤t ≤28，故选D. 3．若函数f (x )＝x a 满足f (2)＝4，那么函数g (x )＝|log a (x ＋1)|的图象大致为()解析：选C 法一：由函数f (x )＝x a 满足f (2)＝4，得2a ＝4，∴a ＝2，则g (x )＝|log a (x ＋1)|＝|log 2(x ＋1)|，将函数y ＝log 2x 的图象向左平移1个单位长度(纵坐标不变)，然后将x 轴下方的图象翻折上去，即可得g (x )的图象，故选C.法二：由函数f (x )＝x a 满足f (2)＝4，得2a ＝4，∴a ＝2，即g (x )＝|log 2(x ＋1)|，由g (x )的定义域为{x |x >－1}，排除B 、D ；由x ＝0时，g (x )＝0，排除A.故选C.[由题知法][典例] (1)(2018·开封模拟)李冶(1192～1279)，真定栾城(今河北省石家庄市)人，金元时期的数学家、诗人，晚年在封龙山隐居讲学，数学著作多部，其中《益古演段》主要研究平面图形问题：求圆的直径、正方形的边长等．其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩，若方田的四边到水池的最近距离均为二十步，则圆池直径和方田的边长分别是(注：240平方步为1亩，圆周率按3近似计算)( )A ．10步，50步B ．20步，60步C ．30步，70步D ．40步，80步(2)某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量P (毫克/升)与时间t (小时)的关系为P ＝P 0e－kt.如果在前5小时消除了10%的污染物，那么污染物减少19%需要花费的时间为________小时．[解析] (1)设圆池的半径为r 步，则方田的边长为(2r ＋40)步，由题意，得(2r ＋40)2－3r 2＝13.75×240，解得r ＝10或r ＝－170(舍去)，所以圆池的直径为20步，方田的边长为60步，故选B.(2)前5小时污染物消除了10%，此时污染物剩下90%，即t ＝5时，P ＝0.9P 0，代入，得(e －k )5＝0.9，∴e －k ＝0.915，∴P ＝P 0e －kt ＝P 0⎝⎛⎭⎫0.915t .当污染物减少19%时，污染物剩下81%，此时P ＝0.81P 0，代入得0.81＝⎝⎛⎭⎫0.915t ，解得t ＝10，即需要花费10小时． [答案] (1)B (2)10 [类题通法]1．解决函数实际应用题的2个关键点(1)认真读题，缜密审题，准确理解题意，明确问题的实际背景，然后进行科学地抽象概括，将实际问题归纳为相应的数学问题．(2)要合理选取参变量，设定变量之后，就要寻找它们之间的内在联系，选用恰当的代数式表示问题中的关系，建立相应的函数模型，最终求解数学模型使实际问题获解．2．构建函数模型解决实际问题的常见类型与求解方法(1)构建二次函数模型，常用配方法、数形结合、分类讨论思想求解． (2)构建分段函数模型，应用分段函数分段求解的方法．(3)构建f (x )＝x ＋ax(a >0)模型，常用基本不等式、导数等知识求解．[应用通关]1．某电脑公司在甲、乙两地各有一个分公司，甲分公司现有某型号电脑6台，乙分公司现有同一型号的电脑12台．现A 地某单位向该公司购买该型号的电脑10台，B 地某单位向该公司购买该型号的电脑8台．已知从甲地运往A ，B 两地每台电脑的运费分别是40元和30元，从乙地运往A ，B 两地每台电脑的运费分别是80元和50元．若总运费不超过1 000元，则调运方案的种数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 设甲地调运x 台电脑至B 地，则剩下(6－x )台电脑调运至A 地；乙地应调运(8－x )台电脑至B 地，运往A 地12－(8－x )＝(x ＋4)台电脑(0≤x ≤6，x ∈N)．则总运费y ＝30x ＋40(6－x )＋50(8－x )＋80(x ＋4)＝20x ＋960，∴y ＝20x ＋960(x ∈N,0≤x ≤6)．若y ≤1 000，则20x ＋960≤1 000，得x ≤2.又0≤x ≤6，x ∈N ，∴x ＝0,1,2，即有3种调运方案．2．某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件该产品需另投入的成本为G (x )(单位：万元)，当年产量不足80千件时，G (x )＝13x 2＋10x ；当年产量不小于80千件时，G (x )＝51x ＋10 000x－1 450.已知每件产品的售价为0.05万元．通过市场分析，该工厂生产的产品能全部售完，则该工厂在这一产品的生产中所获年利润的最大值是________万元．解析：∵每件产品的售价为0.05万元，∴x 千件产品的销售额为0.05×1 000x ＝50x 万元．①当0<x <80时，年利润L (x )＝50x －13x 2－10x －250＝－13x 2＋40x －250＝－13(x －60)2＋950，∴当x ＝60时，L (x )取得最大值，且最大值为L (60)＝950万元；②当x ≥80时，L (x )＝50x －51x －10 000x＋1 450－250＝1 200－⎝⎛⎭⎫x ＋10 000x ≤1 200－2 x ·10 000x ＝1 200－200＝1 000，当且仅当x ＝10 000x ，即x ＝100时，L (x )取得最大值1 000万元．由于950<1 000，∴当产量为100千件时，该工厂在这一产品的生产中所获年利润最大，最大年利润为1 000万元．答案：1 000重难增分函数的零点问题[典例细解][例1] (2017·全国卷Ⅲ)已知函数 f (x )＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e －x ＋1)有唯一零点，则a＝( )A ．－12B.13C.12 D ．1[学解题](一)常规思路稳解题法一：由函数f (x )有零点，得x 2－2x ＋a (e x －1＋e－x ＋1)＝0有解，即(x －1)2－1＋a (e x －1＋e－x ＋1)＝0有解，令t ＝x －1，则上式可化为t 2－1＋a (e t ＋e －t )＝0，即a ＝1－t 2e t ＋e－t .令h (t )＝1－t 2e t ＋e－t ，易得h (t )为偶函数，又由f (x )有唯一零点得函数h (t )的图象与直线y ＝a 有唯一交点，则此交点的横坐标为0，所以a ＝1－02＝12，故选C. 法二：由f (x )＝0⇔a (e x －1＋e －x ＋1)＝－x 2＋2x .e x －1＋e－x ＋1≥2e x －1·e－x ＋1＝2，当且仅当x ＝1时取“＝”．－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1≤1，当且仅当x ＝1时取“＝”．若a >0，则a (e x －1＋e－x ＋1)≥2a ，要使f (x )有唯一零点，则必有2a ＝1，即a ＝12.若a ≤0，则f (x )的零点不唯一．综上所述，a ＝12.(二)特殊思路妙解题法三：由f (x )＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e－x ＋1)，得f (2－x )＝(2－x )2－2(2－x )＋a [e 2－x －1＋e－(2－x )＋1]＝x 2－4x ＋4－4＋2x ＋a (e 1－x ＋e x －1)＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e－x ＋1)，所以f (2－x )＝f (x )，即x ＝1为f (x )图象的对称轴．由题意，f (x )有唯一零点，所以f (x )的零点只能为x ＝1，即f (1)＝12－2×1＋a (e 1－1＋e－1＋1)＝0，解得a ＝12.故选C.[答案] C[启思维] 本题考查由函数零点情况求参数值．思路一：先化简f (x )的表达式，再换元转化成关于t 的函数，利用函数的有关性质求解．思路二：先把f (x )转化为二次函数与指数型函数相等问题，再分别考察它们的值域，利用唯一性求解．思路三：观察式子f (x )＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e－x ＋1)的结构特点可知，g (x )＝x 2－2x 与h (x )＝a (e x －1＋e－x ＋1)都有对称性，可得出f (2－x )＝f (x )，由对称性求解．[例2] (2018·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≤0，ln x ，x >0，g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在2个零点，则a 的取值范围是( )A ．[－1,0)B ．[0，＋∞)C ．[－1，＋∞)D ．[1，＋∞)[解析] 令h (x )＝－x －a ，则g (x )＝f (x )－h (x )．在同一坐标系中画出y ＝f (x )，y ＝h (x )的示意图，如图所示．若g (x )存在2个零点，则y ＝f (x )的图象与y ＝h (x )的图象有2个交点，平移y ＝h (x )的图象，可知当直线y ＝－x －a 过点(0,1)时，有2个交点，此时1＝－0－a ，a ＝－1.当y ＝－x －a 在y ＝－x ＋1上方，即a <－1时，仅有1个交点，不符合题意．当y ＝－x －a 在y ＝－x ＋1下方，即a >－1时，有2个交点，符合题意．综上，a 的取值范围为[－1，＋∞)．故选C.[答案] C[启思维] 本题主要考查函数与方程．本题以高中两个基本初等函数(指数函数和对数函数)为载体，构建分段函数，与函数零点结合，需借助函数图象解决问题．破解此类题的关键：一是会转化，把函数的零点问题转化为方程的根的问题，再转化为两个函数的图象的交点问题；二是会借形解题，即画出两函数的图象，由图象的直观性，可快速找到参数所满足的不等式，解不等式，即可求出参数的取值范围．[知能升级]已知函数有零点(方程有根)求参数(值)范围的3种方法[增分集训]1．(2018·洛阳第一次统考)已知函数f (x )满足f (1－x )＝f (1＋x )＝f (x －1)(x ∈R )，且当0≤x ≤1时，f (x )＝2x －1，则方程|cos πx |－f (x )＝0在[－1,3]上的所有根之和为( )A ．8B ．9C ．10D ．11解析：选D 方程|cos πx |－f (x )＝0在[－1,3]上的所有根之和即y ＝|cos πx |与y ＝f (x )在[－1,3]上的图象交点的横坐标之和．由f (1－x )＝f (1＋x )得f (x )的图象关于直线x ＝1对称，由f (1－x )＝f (x －1)得f (x)的图象关于y 轴对称，由f (1＋x )＝f (x －1)得f (x )的一个周期为2，而当0≤x ≤1时，f (x )＝2x －1，在同一坐标系中作出y ＝f (x )和y ＝|cos πx |在[－1,3]上的大致图象，如图所示，易知两图象在[－1,3]上共有11个交点，又y ＝f (x )，y ＝|cos πx |的图象都关于直线x ＝1对称，故这11个交点也关于直线x ＝1对称，故所有根之和为11.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≤0，x ln x ，x >0，g (x )＝kx －1，若方程f (x )－g (x )＝0在x ∈(－2,2)上有三个实根，则实数k 的取值范围为( )A ．(1，ln 2e) B.⎝⎛⎭⎫ln 2e ，32 C.⎝⎛⎭⎫32，2D ．(1，ln 2e)∪⎝⎛⎭⎫32，2解析：选D 显然，x ＝0不是方程f (x )－g (x )＝0的根，则f (x )－g (x )＝0，即k ＝f (x )＋1x，可设k ＝φ(x )＝⎩⎨⎧x ＋1x＋4，x <0，1x ＋ln x ，x >0，由x <0，可得φ(x )＝x ＋1x ＋4≤－2(－x )·⎝⎛⎭⎫1－x ＋4＝2，当且仅当－x ＝－1x ，即x ＝－1时等号成立，即有φ(x )在x <0时，有最大值φ(－1)＝2；当x >0时，φ(x )＝1x ＋ln x 的导数为φ′(x )＝－1x 2＋1x ＝x －1x2，当x >1时，φ′(x )>0，φ(x )在(1，＋∞)上单调递增；当0<x <1时，φ′(x )<0，φ(x )在(0,1)上单调递减．可得φ(x )在x ＝1处取得最小值1.作出φ(x )在(－2,2)上的图象如图所示，由图象得当1<k <ln 2＋12或32<k <2时，直线y ＝k和y ＝φ(x )的图象均有三个交点．则k 的取值范围是(1，ln 2e)∪⎝⎛⎭⎫32，2.[专题跟踪检测](对应配套卷P167)一、全练保分考法——保大分1．若m ∈⎝⎛⎭⎫110，1，a ＝lg m ，b ＝lg m 2，c ＝lg 3m ，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a 0，∴lg 3m >lg m ，即c >a .又m ∈⎝⎛⎭⎫110，1，∴0<m 2<m <1，∴lg m 2<lg m ，即a > B.∴b <a <c .故选C.2．定义在R 上的函数f (x )＝2|x－m |－1为偶函数，记a ＝f (log 0.53)，b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．c <a <bD ．c <b <a解析：选C ∵函数f (x )为偶函数，∴m ＝0，∴f (x )＝2|x |－1.∴a ＝f (log 0.53)＝f (－log 23)＝2log 23－1＝2，b ＝f (log 25)＝2log 25－1＝4，c ＝f (0)＝20－1＝0.∴c <a <b.故选C.3．(2018·长沙一模)函数f (x )＝2x ＋xx ＋1的图象大致为( )解析：选A ∵f (x )＝2x ＋x x ＋1＝2x －1x ＋1＋1的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)． ∴f ′(x )＝2x ln 2＋1(x ＋1)2>0恒成立， ∴f (x )在(－∞，－1)上单调递增，在(－1，＋∞)上单调递增，排除C 、D ；当x →－∞时，2x →0，xx ＋1→1，∴f (x )→1，排除B ，选A. 4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，0<x <1，1，x ≥1，则不等式log 2x －(log 144x －1)f (log 3x ＋1)≤5的解集为( )A.⎝⎛⎭⎫13，1 B ．[1,4] C.⎝⎛⎦⎤13，4D ．[1，＋∞)解析：选C 由不等式log 2x －(log 144x －1)f (log 3x ＋1)≤5，得 ⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ＋1≥1， log 2x －(log 414x －1)≤5 或⎩⎪⎨⎪⎧0<log 3x ＋1<1， log 2x ＋2(log 414x －1)≤5，解得1≤x ≤4或13<x <1.故原不等式的解集为⎝⎛⎦⎤13，4.故选C. 5．已知函数f (x )＝21＋2x ＋11＋4x满足条件f (log a (2＋1))＝1，其中a >1，则f (log a (2－1))＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B ∵f (x )＝21＋2x ＋11＋4x ，∴f (－x )＝21＋2－x ＋11＋4－x ＝2·2x 1＋2x ＋4x 1＋4x，∴f (x )＋f (－x )＝21＋2x ＋11＋4x ＋2·2x 1＋2x ＋4x 1＋4x ＝3.∵log a (2＋1)＝－log a (2－1)，∴f (log a (2＋1))＋f (log a (2－1))＝3，∴f (log a (2－1))＝2.故选 B.6．(2019届高三·贵阳模拟)20世纪30年代，为了防范地震带来的灾害，里克特(C.F.R ichter)制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M ，其计算公式为M ＝lg A －lg A 0，其中A 是被测地震的最大振幅，A 0是“标准地震”的振幅．已知5级地震给人的震感已经比较明显，则7级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的( )A ．10倍B ．20倍C ．50倍D ．100倍解析：选D 根据题意有lg A ＝lg A 0＋lg 10M＝lg(A 0·10M)，所以A ＝A 0·10M，则A 0×107A 0×105＝100.故选D.7．(2018·菏泽一模)已知log 12a <log 12b ，则下列不等式一定成立的是( )A.⎝⎛⎭⎫14a <⎝⎛⎭⎫13bB.1a >1b C ．ln(a －b )>0D ．3a －b <1解析：选A ∵log 12a <log 12b ，∴a >b >0，∴⎝⎛⎭⎫14a <⎝⎛⎭⎫13a <⎝⎛⎭⎫13b ，1a <1b ，ln(a －b )与0的大小关系不确定，3a －b >1. 因此只有A 正确．故选A.8．已知实数x ，y 满足a x <a y (0<a <1)，则下列关系式恒成立的是( ) A.1x 2＋1>1y 2＋1 B ．ln(x 2＋1)>ln(y 2＋1) C ．sin x >sin yD ．x 3>y 3解析：选D ∵实数x ，y 满足a x <a y (0<a <1)，∴x >y .对于选项A ，1x 2＋1>1y 2＋1等价于x 2＋1<y 2＋1，即x 2<y 2.当x ＝1，y ＝－1时，满足x >y ，但x 2<y 2不成立．对于选项B ，ln(x 2＋1)>ln(y 2＋1)等价于x 2>y 2，当x ＝1，y ＝－1时，满足x >y ，但x 2>y 2不成立．对于选项C ，当x ＝π，y ＝π2时，满足x >y ，但sin x >sin y 不成立．对于选项D ，当x >y 时，x 3>y 3恒成立．故选D.9．(2018·广元模拟)已知函数f (x )＝e x ，g (x )＝ln x 2＋12，对任意a ∈R ，存在b ∈(0，＋∞)使f (a )＝g (b )，则b －a 的最小值为( )A ．2e －1B ．e 2－12C ．2－ln 2D ．2＋ln 2解析：选D 令t ＝e a，可得a ＝ln t ，令t ＝ln b 2＋12，可得b ＝2-12e t ，则b －a ＝2e -12t t －12－ln t ，令h (t )＝2e -12t －ln t ，则h ′(t )＝2e -12t －1t.显然，h ′(t )是增函数，观察可得当t ＝12时，h ′(t )＝0，故h ′(t )有唯一零点，故当t ＝12时，h (t )取得最小值，即b －a 取得最小值为2e -1122－ln 12＝2＋ln 2，故选D. 10．已知函数 f (x )是定义在R 上的奇函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，若⎪⎪⎪⎪f (ln x )－f ⎝⎛⎭⎫ln 1x 2<f (1)，则x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，1e B ．(0，e) C.⎝⎛⎭⎫1e ，eD ．(e ，＋∞)解析：选C ∵函数f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (ln x )－f ⎝⎛⎭⎫ln 1x ＝f (ln x )－f (－ln x )＝f (ln x )＋f (ln x )＝2f (ln x )， ∴⎪⎪⎪⎪f (ln x )－f ⎝⎛⎭⎫ln 1x 2<f (1)等价于|f (ln x )|<f (1)，又f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增， ∴－1<ln x <1，解得1e<x <e.11．记函数f (x )＝x 2－mx (m >0)在区间[0,2]上的最小值为g (m )．已知定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数h (x )为偶函数，且当x >0时，h (x )＝g (x )，若h (t )>h (4)，则实数t 的取值范围为( )A ．(－4,0)B ．(0,4)C ．(－2,0)∪(0,2)D ．(－4,0)∪(0,4)解析：选D 因为f (x )＝x 2－mx (m >0)，所以f (x )＝⎝⎛⎭⎫x －m 22－m 24，因为f (x )在区间[0,2]上的最小值为g (m )，所以当0<m ≤4，即0<m 2≤2时，g (m )＝f ⎝⎛⎭⎫m 2＝－m 24；当m >4，即m 2>2时，函数 f (x )＝⎝⎛⎭⎫x －m 22－m24在[0,2]上单调递减，所以g (m )＝f (2)＝4－2m .综上，g (m )＝⎩⎪⎨⎪⎧－m 24，0<m ≤4，4－2m ，m >4.因为当x >0时，h (x )＝g (x )，所以当x >0时，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 24，0<x ≤4，4－2x ，x >4.函数h (x )在(0，＋∞)上单调递减．因为定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数h (x )为偶函数，且h (t )>h (4)，所以h (|t |)>h (4)，所以0<|t |<4，所以⎩⎪⎨⎪⎧ t ≠0，|t |<4，即⎩⎪⎨⎪⎧t ≠0，－4<t <4，从而－4<t <0或0<t <4.综上所述，实数t 的取值范围为(－4,0)∪(0,4)．12．(2019届高三·昆明调研)若函数f (x )＝2x ＋1－x 2－2x －2，对于任意的x ∈Z 且x ∈(－∞，a )，f (x )≤0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(－∞，0]C ．(－∞，3]D ．(－∞，4]解析：选D 法一：f (x )＝2x ＋1－x 2－2x －2≤0，即2x ＋1≤x 2＋2x ＋2.设g (x )＝2x ＋1，h (x )＝x 2＋2x ＋2，当x ≤－1时，0<g (x )≤1，h (x )＝x 2＋2x ＋2≥1，所以当a ≤－1时，满足对任意的x ∈Z 且x ∈(－∞，a )，f (x )≤0恒成立；当－1<x <4时，因为g (0)＝h (0)＝2，g (1)＝4<h (1)＝5，g (2)＝8<h (2)＝10，g (3)＝16<h (3)＝17，所以－1<a ≤4时，亦满足对任意的x ∈Z 且x ∈(－∞，a )，f (x )≤0恒成立；当x ≥4时，易知f ′(x )＝2x ＋1·ln 2－2x －2，设F (x )＝2x ＋1·ln 2－2x －2，则F ′(x )＝2x ＋1·(ln 2)2－2>0，所以F (x )＝2x ＋1·ln 2－2x －2在[4，＋∞)上是增函数，所以f ′(x )≥f ′(4)＝32ln 2－10>0，所以函数f (x )＝2x ＋1－x 2－2x －2在[4，＋∞)上是增函数，所以f (x )≥f (4)＝32－16－8－2＝6>0，即a >4时，不满足对任意的x ∈Z 且x ∈(－∞，a )，f (x )≤0恒成立．综上，实数a 的取值范围是(－∞，4]，故选D.法二：将问题转化为2x ＋1≤x 2＋2x ＋2对于任意的x ∈Z 且x ∈(－∞，a )恒成立后，在同一个平面直角坐标系中分别作出函数y ＝2x ＋1，y ＝x 2＋2x ＋2的图象如图所示，根据两函数图象的交点及位置关系，数形结合即可分析出实数a 的取值范围是(－∞，4]，故选D.13．函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是________．解析：由x 2－2x －8＞0，得x ＞4或x ＜－2.因此，函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的定义域是(－∞，－2)∪(4，＋∞)．注意到函数y ＝x 2－2x －8在(4，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性知，f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是(4，＋∞)．答案：(4，＋∞)14．李华经营了甲、乙两家电动轿车销售连锁店，其月利润(单位：元)分别为L 甲＝－5x 2＋900x －16 000，L 乙＝300x －2 000(其中x 为销售辆数)，若某月两连锁店共销售了110辆，则能获得的最大利润为________元．解析：设甲连锁店销售x 辆，则乙连锁店销售(110－x )辆，故利润L ＝－5x 2＋900x －16 000＋300(110－x )－2 000＝－5x 2＋600x ＋15 000＝－5(x －60)2＋33 000，∴当x ＝60时，有最大利润33 000元．答案：33 00015．若函数f (x )与g (x )的图象关于直线y ＝x 对称，函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12－x，则f (2)＋g (4)＝________.解析：法一：∵函数f (x )与g (x )的图象关于直线y ＝x 对称，又f (x )＝⎝⎛⎭⎫12－x ＝2x ，∴g (x )＝log 2x ，∴f (2)＋g (4)＝22＋log 24＝6.法二：∵f (x )＝⎝⎛⎭⎫12－x ，∴f (2)＝4，即函数f (x )的图象经过点(2,4)，∵函数f (x )与g (x )的图象关于直线y ＝x 对称，∴函数g (x )的图象经过点(4,2)，∴f (2)＋g (4)＝4＋2＝6.答案：616．(2018·福州模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ≤0，2x －2－x ，x >0，则满足f (x 2－2)>f (x )的x 的取值范围是________________________________________________________________．解析：由题意x >0时，f (x )单调递增，故f (x )>f (0)＝0，而x ≤0时，x ＝0，故若f (x 2－2)>f (x )，则x 2－2>x ，且x 2－2>0，解得x >2或x <－ 2.答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)17．如图，在第一象限内，矩形ABCD 的三个顶点A ，B ，C ，分别在函数y ＝x ，y ＝x 12，y ＝⎝⎛⎭⎫32x 的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴，若点A 的纵坐标是2，则点D 的坐标是________．解析：由2＝x 可得点A ⎝⎛⎭⎫12，2，由2＝x 12可得点B (4,2)，因为⎝⎛⎭⎫324＝916，所以点C 的坐标为⎝⎛⎭⎫4，916，所以点D 的坐标为⎝⎛⎭⎫12，916. 答案：⎝⎛⎭⎫12，91618．已知函数f (x )＝|log 3x |，实数m ，n 满足0<m <n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在[m 2，n ]上的最大值为2，则nm＝________.解析：f (x )＝|log 3x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－log 3x ，0<x <1，og 3x ，x ≥1，所以f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，由0<m <n 且 f (m )＝f (n )，可得⎩⎪⎨⎪⎧0<m <1，n >1，log 3n ＝－log 3m ，则⎩⎪⎨⎪⎧0<m <1，n >1，mn ＝1，所以0<m 2<m <1，则f (x )在[m 2,1)上单调递减，在(1，n ]上单调递增，所以f (m 2)>f (m )＝f (n )，则f (x )在[m 2，n ]上的最大值为f (m 2)＝－log 3m 2＝2，解得m ＝13，则n ＝3，所以n m ＝9.答案：919.(2018·西安八校联考)如图所示，已知函数y ＝log 24x 图象上的两点A ，B 和函数y ＝log 2x 图象上的点C ，线段AC 平行于y 轴，当△ABC 为正三角形时，点B 的横坐标为________．解析：依题意，当AC ∥y 轴，△ABC 为正三角形时，|AC |＝log 24x －log 2x ＝2，点B 到直线AC 的距离为3，设点B (x 0,2＋log 2x 0)，则点A (x 0＋3，3＋log 2x 0)．由点A 在函数y ＝log 24x 的图象上，得log 2[4(x 0＋3)]＝3＋log 2x 0＝log 28x 0，则4(x 0＋3)＝8x 0，x 0＝3，即点B 的横坐标是 3.答案： 320．已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪2x －a2x 在[0,1]上单调递增，则a 的取值范围为________．解析：令2x ＝t ，t ∈[1,2]，则y ＝⎪⎪⎪⎪t －at 在[1,2]上单调递增．当a ＝0时，y ＝|t |＝t 在[1,2]上单调递增显然成立；当a >0时，函数y ＝⎪⎪⎪⎪t －at ，t ∈(0，＋∞)的单调递增区间是[a ，＋∞)，此时a ≤1，即0<a ≤1时成立；当a <0时，函数y ＝⎪⎪⎪⎪t －a t ＝t －at ，t ∈(0，＋∞)的单调递增区间是[－a ，＋∞)，此时－a ≤1，即－1≤a <0时成立．综上可得a 的取值范围是[－1,1]．答案：[－1,1]二、强化压轴考法——拉开分1．设函数f (x )＝log 4x －⎝⎛⎭⎫14x ，g (x )＝log 41x －⎝⎛⎭⎫14x 的零点分别为x 1，x 2，则( ) A ．x 1x 2＝1 B ．0<x 1x 2<1 C ．1<x 1x 2<2D ．x 1x 2≥2解析：选B 由题意可得x 1是函数y ＝log 4x 的图象和y ＝⎝⎛⎭⎫14x的图象的交点的横坐标，x 2是y ＝log 41x 的图象和函数y ＝⎝⎛⎭⎫14x的图象的交点的横坐标，且x 1，x 2都是正实数，画出函数图象如图所示，可得log 41x 2>log 4x 1，故log 4x 1－log 41x 2<0，∴log 4x 1＋log 4x 2<0，∴log 4(x 1x 2)<0，∴0<x 1x 2<1.故选B.2．(2018·唐山模拟)若函数f (x )＝1－x 2－x ＋λ在[－1,1]上有两个不同的零点，则λ的取值范围为( )A ．[1，2)B ．(－2，2)C ．(－2，－1]D ．[－1,1]解析：选C 函数f (x )＝1－x 2－x ＋λ在[－1,1]上有两个不同的零点等价于y ＝1－x 2与y ＝x －λ的图象在[－1,1]上有两个不同的交点．y ＝1－x 2，x ∈[－1,1]为圆x 2＋y 2＝1的上半圆．如图，当直线y ＝x －λ过点(0,1)时两函数图象有两个交点，此时λ＝－1，当直线y ＝x －λ与圆x 2＋y 2＝1上半圆相切时，λ＝－ 2.所以λ的取值范围为(－2，－1]．故选C.3．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且x ＞0时，f (x )＝ln x －x ＋1，则函数g (x )＝f (x )－e x (e 为自然对数的底数)的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C 当x ＞0时，f (x )＝ln x －x ＋1，f ′(x )＝1x －1＝1－x x ，所以x ∈(0,1)时，f ′(x )＞0，此时f (x )单调递增；x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＜0，此时f (x )单调递减．因此，当x ＞0时，f (x )max ＝f (1)＝ln 1－1＋1＝0.根据函数f (x )是定义在R 上的奇函数作出函数y ＝f (x )与y ＝e x 的大致图象如图所示，由图象可知函数y ＝f (x )与y ＝e x 的图象有两个交点，所以函数g (x )＝f (x )－e x (e 为自然对数的底数)有2个零点．4．(2018·凉山模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1x ，x <0，ln x －2x 2，x >0，若函数f (x )的图象上有四个不同的点A ，B ，C ，D 同时满足：①A ，B ，C ，D ，O (原点)五点共线；②共线的这条直线斜率为－3，则a 的取值范围是( )A ．(23，＋∞)B ．(－∞，－4)C ．(－∞，－23)D ．(4，＋∞)解析：选A 由题意知f (x )的图象与直线y ＝－3x 有4个交点．令ln x －2x 2＝－3x ，可得ln x ＝2x 2－3x ，作出y ＝ln x 与y ＝2x 2－3x 的图象如图所示．由图象可知两函数图象在y 轴右侧有两个交点， ∴当x >0时，f (x )的图象与直线y ＝－3x 有两个交点， ∴当x <0时，f (x )的图象与直线y ＝－3x 有两个交点． ∴a ＋1x ＝－3x 在(－∞，0)上有两解．即3x 2＋ax ＋1＝0在(－∞，0)上有两解． ∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a 2－12>0，－a 6<0，解得a >2 3.故选A.5．(2019届高三·西安八校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧13x ＋1，x ≤1，ln x ，x >1，若方程f (x )－ax ＝0恰有两个不同的实根，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，13 B.⎣⎡⎭⎫13，1eC.⎝⎛⎦⎤1e ，43D ．(－∞，0]∪⎣⎡⎭⎫43，＋∞ 解析：选B 方程f (x )－ax ＝0有两个不同的实根，即直线y ＝ax 与函数f (x )的图象有两个不同的交点．作出函数f (x )的图象如图所示．当x >1时，f (x )＝ln x ，得f ′(x )＝1x，设直线y ＝kx 与函数f (x )＝ln x (x >1)的图象相切，切点为(x 0，y 0)，则y 0x 0＝ln x 0x 0＝1x 0，解得x 0＝e ，则k ＝1e ，即y ＝1e x是函数f (x )＝ln x (x >1)的图象的切线，当a ≤0时，直线y ＝ax 与函数f (x )的图象有一个交点，不合题意；当0<a <13时，直线y ＝ax 与函数y ＝ln x (x >1)的图象有两个交点，但与y ＝13x ＋1(x ≤1)也有一个交点，这样就有三个交点，不合题意；当a ≥1e 时，直线y ＝ax 与函数f(x )的图象至多有一个交点，不合题意；只有当13≤a <1e 时，直线y ＝ax 与函数f (x )的图象有两个交点，符合题意．故选B.6．(2018·潍坊模拟)已知函数f (x )＝(x 2－3)e x ，若关于x 的方程f 2(x )－mf (x )－12e 2＝0的不同的实数根的个数为n ，则n 的所有可能值为( )A ．3B ．1或3C ．3或5D ．1或3或5解析：选A 由f (x )＝(x 2－3)e x ，得f ′(x )＝(x 2＋2x －3)e x ＝(x＋3)(x －1)e x ，令f ′(x )>0，得x <－3或x >1，令f ′(x )<0，得－3<x <1，所以f (x )在(－∞，－3)和(1，＋∞)上单调递增，在(－3,1)上单调递减，当x →－∞时，f (x )→0，所以f (x )极大值＝f (－3)＝6e 3，f (x )极小值＝f (1)＝－2e ，作出f (x )的大致图象如图所示．令t ＝f (x )，则f 2(x )－mf (x )－12e 2＝0可转化为t 2－mt －12e 2＝0，Δ＝m 2＋48e 2>0，且t ＝m 2时，⎝⎛⎭⎫m 22－m ·m 2－12e 2＝－m 24－12e 2<0，所以方程有两个不同的实数根t 1，t 2，所以t 1t 2＝－12e 2＝6e 3×(－2e)，不妨设t 1>0，所以当t 1>6e3时，－2e<t 2<0，由f (x )的图象可知，此时t 2＝f (x )有2个不同的实数根，t 1＝f (x )有1个根，所以方程f 2(x )－mf (x )－12e 2＝0有3个不同的实数根，当t 1＝6e 3时，t 2＝－2e ，由f (x )的图象可知，此时t 2＝f (x )有1个根，t 1＝f (x )有2个不同的实数根，所以方程f 2(x )－mf (x )－12e 2＝0有3个不同的实数根，当0<t 1<6e3时，t 2<－2e ，由f (x )的图象可知t 2＝f (x )有0个根，t 1＝f (x )有3个不同的实数根，所以方程f 2(x )－mf (x )－12e 2＝0有3个不同的实数根．综上所述，方程有3个不同的实数根．7．(2018·南宁模拟)设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋2)＝f (2－x )，当x ∈[－2,0]时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫22x －1，若在区间(－2,6)内关于x 的方程f (x )－log a(x ＋2)＝0(a >0且a ≠1)有且只有4个不同的根，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫14，1 B ．(1,4) C ．(1,8)D ．(8，＋∞)解析：选D ∵f (x ＋2)＝f (2－x )，∴f (x ＋4)＝f (2＋(x ＋2))＝f (2－(x ＋2))＝f (－x )＝f (x )，∴函数f (x )是一个周期函数，且T ＝4.又∵当x ∈[－2,0]时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫22x －1＝(2)－x－1，∴当x ∈[0,2]时，f (x )＝f (－x )＝(2)x －1，于是x ∈[－2,2]时，f (x )＝(2)|x |－1，根据f (x )的周期性作出f (x )的图象如图所示．若在区间(－2,6)内关于x 的方程f (x )－log a (x ＋2)＝0有且只有4个不同的根，则a >1且y ＝f (x )与y ＝log a (x ＋2)(a >1)的图象在区间(－2,6)内有且只有4个不同的交点，∵f (－2)＝f (2)＝f (6)＝1，∴对于函数y ＝log a (x ＋2)(a >1)，当x ＝6时，log a 8<1，解得a >8，即实数a 的取值范围是(8，＋∞)，所以选D.8．已知在区间(0,2]上的函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x －3，x ∈(0，1]，2x －1－1，x ∈(1，2]，且g (x )＝f (x )－mx 在区间(0,2]内有且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤－94，－2∪⎝⎛⎦⎤0，12 B.⎝⎛⎦⎤－114，－2∪⎝⎛⎦⎤0，12 C.⎝⎛⎦⎤－94，－2∪⎝⎛⎦⎤0，23 D.⎝⎛⎦⎤－114，－2∪⎝⎛⎦⎤0，23 解析：选A 由函数g (x )＝f (x )－mx 在(0,2]内有且仅有两个不同的零点，得y ＝f (x )，y ＝mx 在(0,2]内的图象有且仅有两个不同的交点．当y ＝mx 与y ＝1x －3在(0,1]内相切时，mx 2＋3x －1＝0，Δ＝9＋4m ＝0，m ＝－94，结合图象可得当－94<m ≤－2或0<m ≤12时，函数g (x )＝f (x )－mx 在(0,2]内有且仅有两个不同的零点．。

2019年中考数学名师解读热点

2019年中考数学名师解读热点各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢动态综合问题”题型繁多、题意创新，考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等，是近几年数学试题的一大热点和难点。

动态综合问题已成为试题的热点、难点题型。

这类试题以运动的点、线段、变化的角、图形的面积为基本条件，给出一个或多个变量，要求确定变量与其他量之间的函数等其他关系;或变量在一定条件为定值时，进行相关的计算和综合解答，解答这类题目，一般要根据点的运动和图形的变化过程，对其不同情况进行分类求解。

动态综合问题是一类开放性题目，解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题。

下面我们一起来谈谈2016年中考数学动态综合问题的解题思路，希望能给大家中考数学冲刺带来一些启发。

动点与函数图象问题常见的四种类型：1、三角形中的动点问题:动点沿三角形的边运动,根据问题中的常量与变量之间的关系,判断函数图象. 2、四边形中的动点问题:动点沿四边形的边运动,根据问题中的常量与变量之间的关系,判断函数图象. 3、圆中的动点问题:动点沿圆周运动,根据问题中的常量与变量之间的关系,判断函数图象. 4、直线、双曲线、抛物线中的动点问题:动点沿直线、双曲线、抛物线运动,根据问题中的常量与变量之间的关系,判断函数图象. 图形运动与函数图象问题常见的三种类型：1、线段与多边形的运动图形问题:把一条线段沿一定方向运动经过三角形或四边形,根据问题中的常量与变量之间的关系,进行分段,判断函数图象. 2、多边形与多边形的运动图形问题:把一个三角形或四边形沿一定方向运动经过另一个多边形,根据问题中的常量与变量之间的关系,进行分段,判断函数图象. 3、多边形与圆的运动图形问题:把一个圆沿一定方向运动经过一个三角形或四边形,或把一个三角形或四边形沿一定方向运动经过一个圆,根据问题中的常量与变量之间的关系,进行分段,判断函数图象. 动点问题常见的四种类型：1、三角形中的动点问题:动点沿三角形的边运动,通过全等或相似,探究构成的新图形与原图形的边或角的关系. 2、四边形中的动点问题:动点沿四边形的边运动,通过探究构成的新图形与原图形的全等或相似,得出它们的边或角的关系. 3、圆中的动点问题:动点沿圆周运动,探究构成的新图形的边角等关系. 4、直线、双曲线、抛物线中的动点问题:动点沿直线、双曲线、抛物线运动,探究是否存在动点构成的三角形是等腰三角形或与已知图形相似等问题. 总结反思：解答函数的图象问题一般遵循的步骤：1、根据自变量的取值范围对函数进行分段. 2、求出每段的解析式. 3、由每段的解析式确定每段图象的形状. 对于用图象描述分段函数的实际问题,要抓住以下几点：1、自变量变化而函数值不变化的图象用水平线段表示. 2、自变量变化函数值也变化的增减变化情况. 3、函数图象的最低点和最高点.各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢。

广东省各市2019年中考数学分类解析专题6：函数的图像与性质

广东2019年中考数学试题分类解析汇编专题6：函数的图象与性质一、选择题1. （2018广东广州3分）如图，正比例函数y 1=k 1x 和反比例函数22k y =x的图象交于A （﹣1，2）、B （1，﹣2）两点，若y 1＜y 2，则x 的取值范围是【】A ．x ＜﹣1或x ＞1B ．x ＜﹣1或0＜x ＜1C ．﹣1＜x ＜0或0＜x ＜1D ．﹣1＜x ＜0或x ＞1 【答案】D 。

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题。

【分析】根据图象找出直线在双曲线下方的x 的取值范围：由图象可得，﹣1＜x ＜0或x ＞1时，y 1＜y 2。

故选D 。

2.（2018广东梅州3分）在同一直角坐标系下，直线y=x+1与双曲线1y=x的交点的个数为【】A ．0个B ．1个C ．2个D ．不能确定【答案】C 。

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题。

【分析】根据一次函数与反比例函数图象的性质作答：∵直线y=x+1的图象经过一、二、三象限，双曲线1y=x的图象经过一、三象限， ∴直线y=x+1与双曲线1y=x有两个交点。

故选C 。

二、填空题1. （2018广东佛山3分）若A （x 1，y 1）和B （x 2，y 2）在反比例函数2y x的图象上，且0＜x 1＜x 2，则y 1与y 2的大小关系是y 1 ▲ y 2；【答案】＞。

【考点】反比例函数图象上点的坐标特征。

【分析】∵反比例函数2y x=中，k=2＞0，∴此函数图象的两个分支在一、三象限。

∵0＜x 1＜x 2，∴A、B 两点在第一象限。

∵在第一象限内y 的值随x 的增大而减小，∴y 1＞y 2。

2. （2018广东深圳3分）二次函数622+-=x x y 的最小值是 ▲ ．【答案】5。

【考点】二次函数的性质。

【分析】∵()2226=1+5y x x x =-+-，∴当=1x 时，函数有最小值5。

3. （2018广东深圳3分）如图，双曲线ky (k 0)x=>与⊙O 在第一象限内交于P 、Q 两点，分别过P 、Q 两点向x 轴和y 轴作垂线，已知点P 坐标为(1，3)，则图中阴影部分的面积为 ▲ ．【答案】4。

2019-2020年中考数学第二轮复习专题讲解函数及图象.docx

2019-2020 年中考数学第二轮复习专题讲解函数及图象一、总述函数及其图象是初中数学的重要内容。

函数与许多知识有深刻的内在联系，关联着丰富的几何知识，又是进一步学习的基础，所以，以函数为背景的问题，题型多变，可谓函数综合题长盛不衰，实际应用题异彩纷呈，图表分析题形式多样，开放、探索题方兴未艾，函数在中考中占有重要的地位。

二、复习目标1、理解平面直角坐标的有关概念，知道各象限及坐标轴上的点的坐标特征，能确定一点关于x 轴、 y 轴或原点的对称点的坐标。

2、会从不同角度确定自变量的取值范围。

3、会用待定系数法求函数的解析式。

4、明确一次函数、二次函数和反比例函数的图象特征，知道图象形状、位置与解析式系数之间的关系。

5、会用一次函数和二次函数的知识解决一些实际问题。

三、知识要点初等函数一次函数图函二次函数像反比例函数数综性概质研究方法定义解析式合念运平面直角坐标系点的坐标特征用( 一 ) 平面直角坐标系中，x 轴上的点表示为(x ， 0) ； y 轴上的点表示为(0 ， y) ；坐标轴上的点不属于任何象限。

( 二) 一次函数解析式： y = kx + b(k、b是常数，k≠0)，当 b = 0 时，是正比例函数。

(1)当 k ＞ 0 时， y 随 x 的增大而增大；(2)当 k ＜ 0 时， y 随 x 的增大而减小。

( 三) 二次函数1、解析式：(1)一般式： y = ax 2+ bx + c (a≠0);(2)顶点式： y = a ( x–m )2+ n ，顶点为 (m , n);(3)交点式： y = a (x– x 1 ) ( x－x2 ) ，与 x 轴两交点是 (x 1,0) ， (x 2,0) 。

2、抛物线位置由 a、 b、 c 决定。

(1)a 决定抛物线的开口方向： a＞ 0开口向上 ;a ＜ 0 开口向下。

(2)c决定抛物线与y 轴交点的位置：①c ＞ 0 图象与 y 轴交点在 x 轴上方；② c ＝ 0 图象过原点；③ c ＜ 0 图象与 y 轴交点在 x 轴下方。

2019年名师伴学之数学热点真题讲解与分析(二)专题01 指数函数 Word版含解析

一重难点：1、指数幂的运算性质：特别注意式中0,0>>b a 这一重要条件，显然，对R x ∈，下面的运算就是错误的：x xx ==⨯212212)(，这是因为，x x x ==222只有当0≥x 时才能使用，当0<x 时，.2x x -=2.指数函数的图像：指数函数图像都在x 轴上方，印证值域是0)+∞（，，需要记住图像方便解题。

当1>a 时，a 的值越大，图像越靠近y 轴，递增的速度越快；当10<<a 时，a 的值越小，图像越靠近y 轴，递减的速度越快。

多个指数函数在同一直角坐标系中的图像的相对位置与底数大小的关系：在y 轴的右侧，图像从下到上相应的底数由小变大；在y 轴的左侧，图像从上到下相应的底数由小变大；即在y 轴的左侧或右侧，底数按逆时针方向变大。

3.指数函数的性质：（1）定义域为全体实数),(+∞-∞；（2）值域为正实数),0(+∞，从而指数函数没有最大值与最小值，但0>y ；（3）单调性：当1>a 时为增函数；当10<<a 时为减函数；（4）无奇偶性，是非奇非偶函数。

（5）对称性xa y =与x a y -=的图像关于y 轴对称；xa y =与x a y -=的图像关于x 轴对称；x a y =与x a y --=的图像关于坐标原点对称；（6）有两个特殊点：零点（0，1），不变点（1，a ）.二．方法策略注意点1. 判断一个函数是否为指数函数只需判定其解析式是否符合xy a =（01a a >≠且）这一结构。

2、分数指数幂与根式的运算：在进行根式运算时，常常转化为分式指数幂的运算，求值时一般要遵循先化简再计算的原则，运算中要注意运算顺序和灵活运用公式及运算法则，结果要化为根式。

解既含有分数指数幂、又含有根式的问题时，应该把根式统一化为分数指数幂的形式，这样便于运算，对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示。

在进行指数运算时，还应注意平方差公式及立方和、立方差公式的应用，对于带有附加条件的求值问题，应注意运用整体代入的思想。

专题06 函数：解析式归类高一数学热点培优练(人教A版2019必修第一册)(解析版)

所以 a 4 .
所以 g(4 a) g(0) f 2 1 2 1 1 1
故答案为：-1
【提分秘籍】
基本规律
在分段函数求函数值的时候，要把自变量代入到所对应的解析式中是解本题的关键在计算时要对自变量的取值范围进行分类讨论，并根据内层函数的值域选择合适的解析式进行计算，
【变式训练】
1.（2022·四川省泸县第四中学模拟预测（文））已知函数
1
3 ，解得： x
1 ，故
f
(3)
f
g
1
1 2 11
1 2
故答案为： 1 2
【题型二】分段函数代入计算
【典例分析】
（2022·陕西·武功县普集高级中学高一阶段练习（理））函数
f
x
x x 1, x 0 x x 1, x 0
，
g
(
x)
f
(x
2)
1，
若 g(a) 3 ，则 g (4 a) ________．
【分析】根据知 f x 2 x2 3x 25， g x 2x 5 求解. (1)解： f 2 =2×22-3×2-25=-23； g 2 =2×2-5=-1；
(2) f g 2 =f(-1)=2×(-1)2-3×(-1)-25=-20； g f 2 =g(-23)=2×(-23)-5=-51； (3) f g x =f(2x-5)=2×(2x-5)2-3×(2x-5)-25=8x2-46x+40； g f x =g(2x2-3x-25)=2×(2x2-3x-25)-5=4x2-6x-55.
【题型一】直接代入
【典例分析】
（2021·全国·高一课前预习）已知 f x 2 x2 3x 25， g x 2x 5 ，求： (1) f 2, g 2 ；

专题06 数据的分析-2019年中考数学年年考的28个重点微专题(解析版)

专题06 数据的分析一、基础知识1.平均数有算术平均数和加权平均数平均数的求法：x=1n(x1+x2+…+x n)；加权平均数计算公式为：x=1n(x1f1+x2f2+…+x k f k)，其中f1，f2，…，f k代表各数据的权.2.中位数的求法数据从大到小或从小到大排好顺序以后，若为偶数个数，就是最中间的两个数加起来除以2，即两个数的平均数;若为奇数个数，就是中间个数.3.众数：指一组数据中出现次数最多的数.4.极差:用一组数据中的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围，用这种方法得到的差称为极差，极差＝最大值－最小值。

5.方差:用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差。

方差公式为：s2=1n［(x1-x)2+(x2-x)2+…+(xｎ-x)2］，方差越小，数据越稳定.二、本专题典型题考法及解析【例题1】在一次数学模拟考试中，小明所在的学习小组7名同学的成绩分别为：129，136，145，136，148，136，150．则这次考试的平均数和众数分别为（）A．145，136 B．140，136C．136，148 D．136，145【答案】B【解析】考点是众数和加权平均数．.众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；再利用平均数的求法得出答案．在这一组数据中136是出现次数最多的，故众数是136；他们的成绩的平均数为：（129+136+145+136+148+136+150）÷7=140．【例题2】近十天每天平均气温（℃）统计如下：24，23，22，24，24，27，30，31，30，29．关于这10个数据下列说法不正确的是（）A．众数是24 B．中位数是26C．平均数是26.4 D．极差是9【解析】考点包括极差；加权平均数；中位数；众数．菁优网版权分别计算该组数据的平均数，众数，中位数及极差后找到正确的答案即可．∵数据24出现了三次最多，∴众数为24，故A选项正确；∵数据按从小到大的顺序排列为：22，23，24，24，24，27，29，30，30，31，∴中位数为（24+27）÷2=25.5，故B选项错误；平均数=（22+23+24×3+27+29+30×2+31）÷10=26.4，故C选项正确；极差=31﹣22=9，故D选项正确．三、数据的分析问题训练题及其答案和解析1.某校在体育健康测试中，有8名男生“引体向上”的成绩（单位：次）分别是：14，12，8，9，16，12，7，这组数据的中位数和众数分别是（）A． 10，12 B． 12，11C． 11，12 D． 12，12【答案】C【解析】考点有众数和中位数．菁优网版权所有先把原数据按由小到大排列，然后根据中位数和众数的定义求解．原数据按由小到大排列为：7，8，9，10，12，12，14，16，所以这组数据的中位数==11，众数为12．2.如图是成都市某周内最高气温的折线统计图，关于这7天的日最高气温的说法正确的是（）A．极差是8℃ B．众数是28℃C．中位数是24℃ D．平均数是26℃【解析】根据折线统计图中的数据可以判断各个选项中的数据是否正确，从而可以解答本题．由图可得，极差是：30﹣20=10℃，故选项A错误，众数是28℃，故选项B正确，这组数按照从小到大排列是：20、22、24、26、28、28、30，故中位数是26℃，故选项C错误，平均数是：=℃，故选项D错误。

2018-2019年北京中考数学真题分类解析【06】函数的图像与性质(解析版)

1.（2003年北京市4分）如果反比例函数ky x =的图象经过点P （－2，3），那么k 的值是【】A. －6B. 32-C. 23- D. 6中.考.资.源.2. （2006年北京市大纲4分）一次函数y=x+3的图象不经过．．．的象限是【】A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限3.（2019年北京市4分）将二次函数2y x 2x 3=-+化成的2y (x h)k =-+形式，结果为【】A. 2y (x 1)4=++B. 2y (x 1)4=-+C. 2y (x 1)2=++D. 2y (x 1)2=-+4.（2019年北京市4分）抛物线ｙ=ｘ2﹣6ｘ+5的顶点坐标为【】A、（3，﹣4）B、（3，4）C、（﹣3，﹣4）D、（﹣3，4）1.（2004年北京市4分）我们学习过反比例函数．例如，当矩形面积S一定时，长a是宽b的反比例函数，其函数关系式可以写为a=Sb（S为常数，S≠0）．请你仿照上例另举一个在日常生活、生产或学习中具有反比例函数关系的量的实例，并写出它的函数关系式．实例：▲ ；函数关系式：▲ ．2.（2005年北京市4分）反比例函数ky=x的图象经过点（1，﹣2），则这个反比例函数的关系式为▲ ．3.（2006年北京市大纲4分）如果正比例函数的图象经过点(1，2)，那么这个正比例函数的解析式为▲ 。

[:中.考.资.源.WWW.ZK5U]4.（2019年北京市4分）请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，1）的抛物线的解析式▲ .5.（2019年北京市4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2．写出一个函数ky(k0)x=≠，使它的图象与正方形OABC有公共点，这个函数的表达式为▲ ．∴这个函数的表达式可以为2yx=（答案不唯一）.1.（2003年北京市8分）已知：抛物线2y ax 4ax t =++与x 轴的一个交点为A （－1，0）（1）求抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标；（2）D 是抛物线与y 轴的交点，C 是抛物线上的一点，且以AB 为一底的梯形ABCD 的面积为9，求此抛物线的解析式；（3）E 是第二象限内到x 轴，y 轴的距离的比为5：2的点，如果点E 在（2）中的抛物线上，且它与点A 在此抛物线对称轴的同侧，问：在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△APE 的周长最小？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由。

2019福建中考数学试题分类解析汇编专项6-函数的图象与性质

2019福建中考数学试题分类解析汇编专项6-函数的图象与性质注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！无论是单选、多选还是论述题，最重要的就是看清题意。

在论述题中，问题大多具有委婉性，尤其是历年真题部分，在给考生较大发挥空间的同时也大大增加了考试难度。

考生要认真阅读题目中提供的有限材料，明确考察要点，最大限度的挖掘材料中的有效信息，建议考生答题时用笔将重点勾画出来，方便反复细读。

只有经过仔细推敲，揣摩命题老师的意图，积极联想知识点，分析答题角度，才能够将考点锁定，明确题意。

专题6：函数的图象与性质一、选择题1〔福建龙岩4分〕以下图象中，能反映函数y 随x 增大而减小的是xx【答案】D 。

【考点】一次、二次、反比例函数图象的增减性。

【分析】A ：直线y 随x 增大而增大，选项错误；B ：抛物线在对称轴左边y 随x 增大而减小，右边y 随x 增大而增大，选项错误；C ：双曲线分别在两个象限内y 随x 增大而增大，选项错误；D 、直线y 随x 增大而减小，选项正确。

应选D 。

2.〔福建福州4分〕如图是我们学过的反比例函数图象，它的函数解析式可能是A 、2y x =B 、4y x =C 、3y x =-D 、12y x = 【答案】B 。

【考点】反比例函数的图象。

【分析】根据图象可知：函数是反比例函数，且k ＞0，选项B 的k =4＞0，符合条件。

应选B 。

3.〔福建漳州3分〕如图，P(x ，y)是反比例函数y ＝3x 的图象在第一象限分支上的一个动点，PA ⊥x 轴于点A ，PB ⊥y 轴于点B ，随着自变量x 的增大，矩形OAPB 的面积A 、不变B 、增大C 、减小D 、无法确定【答案】A 。

【考点】反比例函数系数k 的几何意义。

【分析】因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S 是个定值，即S=12|k|，所以随着x 的逐渐增大，矩形OAPB 的面积将不变。

精品2019年中考数学试题分项版解析汇编第期专题函数的图象与性质含解析4

专题06 函数的图象与性质一、选择题1. （2017贵州遵义第11题）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点（﹣1，0），对称轴l如图所示，则下列结论：①abc ＞0；②a﹣b+c=0；③2a+c＜0；④a+b＜0，其中所有正确的结论是（）A．①③ B．②③ C．②④ D．②③④【答案】D.∴6a+3c＜0，∴2a+c＜0，故③正确；④∵a﹣b+c=0，∴c=b﹣a．由图可知，x=2时，y＜0，即4a+2b+c＜0，∴4a+2b+b﹣a＜0，∴3a+3b＜0，∴a+b＜0，故④正确．故选D．考点：二次函数图象与系数的关系．2. （2017内蒙古通辽第10题）如图，点P 在直线AB 上方，且90=∠APB ，AB PC ⊥于C ，若线段6=AB ，x AC =，y S PAB =∆，则y 与x 的函数关系图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D∵AB=6，AC=x ， ∴BC=6﹣x ， ∴PC 2=x （6﹣x ），∴∴y=12故选：D ．考点：动点问题的函数图象3. （2017郴州第6题）已知反比例函数ky x=的图象过点(1,2)A -，则k 的值为（） A ．1 B ．2 C ．2- D ．1- 【答案】C. 【解析】试题分析：直接把点（1，﹣2）代入反比例函数ky x=可得k=-2,故选C. 考点：反比例函数图象上点的坐标特点.4. （2017湖南常德第7题）将抛物线22x y =向右平移3个单位，再向下平移5个单位，得到的抛物线的表达式为（）A.5)3(22--=x y B ．5)3(22++=x y C ．5)3(22+-=x y D ．5)3(22-+=x y 【答案】A ．考点：二次函数图象与几何变换；几何变换．5. （2017广西百色第11题）以坐标原点O 为圆心，作半径为2的圆，若直线y x b =-+与O 相交，则b 的取值范围是（）A ．0b ≤<．b -≤b -<< D ．b -<<【答案】D考点：1.直线与圆的位置关系；2.一次函数图象与系数的关系．6. （2017哈尔滨第4题）抛物线231352y x骣琪=-+-琪桫的顶点坐标是( )A.1,32骣琪-琪桫B.1,32骣琪--琪桫C.1,32骣琪琪桫D.1,32骣琪-琪桫【答案】B 【解析】试题分析：根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（﹣12，﹣3）．故选B．考点：二次函数的性质．7. （2017哈尔滨第10题）周日，小涛从家沿着一条笔直的公路步行去报亭看报，看了一段时间后，他按原路返回家中，小涛离家的距离y(单位：m)与他所用的时间t(单位：min)之间的函数关系如图所示，下列说法中正确的是( )A.小涛家离报亭的距离是900mB.小涛从家去报亭的平均速度是60m/minC.小涛从报亭返回家中的平均速度是80m/minD.小涛在报亭看报用了15min【答案】D考点：函数的图象．8. （2017黑龙江齐齐哈尔第7题）已知等腰三角形的周长是10，底边长y是腰长x的函数，则下列函数中，能正确反映y与x之间函数关系的图象是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】试题分析：由题意得，2x+y=10，所以，y=﹣2x+10，由三角形的三边关系得，2210210x xx x x>-+⎧⎨-+>-⎩，解得不等式组的解集是2.5＜x＜5，正确反映y与x之间函数关系的图象是D选项图象．故选D ．考点：1.一次函数的图象；2.三角形三边关系；3.等腰三角形的性质．9. （2017黑龙江齐齐哈尔第10题）如图，抛物线2y ax bx c =++（0a ≠）的对称轴为直线2x =-，与x 轴的一个交点在(3,0)-和(4,0)-之间，其部分图象如图所示，则下列结论：①40a b -=；②0c <；③30a c -+>；④242a b at bt ->+（t 为实数）；⑤点19(,)2y -，25(,)2y -，31(,)2y -是该抛物线上的点，则123y y y <<，正确的个数有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】B考点：1.二次函数图象与系数的关系；2.二次函数的性质；3.二次函数图象上点的坐标特征；4.抛物线与x 轴的交点． 10. （2017黑龙江绥化第8题）在同一平面直角坐标系中，直线41y x =+与直线y x b =-+的交点不可能．．．在（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】D 【解析】试题分析：直线y=4x+1过一、二、三象限；当b ＞0时，直线y=﹣x+b 过一、二、四象限，两直线交点可能在一或二象限；当b ＜0时，直线y=﹣x+b 过二、三、四象限，两直线交点可能在二或三象限；综上所述，直线y=4x+1与直线y=﹣x+b 的交点不可能在第四象限，故选D ．考点：两条直线相交或平行问题．11. （2017湖北孝感第9题）如图，在ABC ∆中，点O 是ABC ∆的内心，连接,OB OC 过点O 作EFBC 分别交,AB AC 于点,E F ，已知ABC ∆的周长为8,,BC x AEF =∆的周长为y ，则表示y 与x 的函数图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B∵△ABC 的周长为8，BC=x ，∴AB+AC=8﹣x ，∴y=8﹣x ，∵AB+AC ＞BC ，∴y ＞x ，∴8﹣x ＞x ，∴0＜x ＜4，即y 与x 的函数关系式为y=8﹣x （x ＜4），故选B ．考点：1.动点问题的函数图象；2.三角形的内心；3.平行线的性质；4.等腰三角形的判定；5.三角形的周长. 12. （2017内蒙古呼和浩特第6题）一次函数y kx b =+满足0kb >，且y 随x 的增大而减小，则此函数的图象不经过（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A考点：一次函数图象与系数的关系．13. （2017内蒙古呼和浩特第10题）函数21||x y x +=的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】试题分析：①∵|x|为分母，∴|x|≠0，即|x|＞0，∴A 错误；②∵x 2+1＞0，|x|＞0，∴y=21x x+ ＞0，∴D 错误；③∵当直线经过（0，0）和（1，32 ）时，直线解析式为y=32x ，当y=32x=21x x +时，，∴y=32x 与y=21x x +有交点，∴C 错误；④∵当直线经过（0，0）和（1，1）时，直线解析式为y=x ，当y=x=21x x +时，x 无解，∴y=x 与y=21x x+没有有交点，∴B 正确；故选B ．考点：函数的图象．14. （2017上海第3题）如果一次函数y=kx+b （k 、b 是常数，k ≠0）的图象经过第一、二、四象限，那么k 、b 应满足的条件是（）A ．k ＞0，且b ＞0B ．k ＜0，且b ＞0C ．k ＞0，且b ＜0D ．k ＜0，且b ＜0 【答案】B考点：一次函数的性质和图象15. （2017湖南张家界第8题）在同一平面直角坐标系中，函数y=mx+m（m≠0）与myx=（m≠0）的图象可能是（）A．B．C．D．【答案】D．【解析】试题分析：A．由反比例函数图象得m＜0，则一次函数图象经过第二、三、四象限，所以A选项错误；B．由反比例函数图象得m＞0，则一次函数图象经过第一、二、三象限，所以B选项错误；C．由反比例函数图象得m＜0，则一次函数图象经过第二、三、四象限，所以C选项错误；D．由反比例函数图象得m＜0，则一次函数图象经过第一、二、三象限，所以D选项正确．故选D考点：反比例函数的图象；一次函数的图象．16. （2017海南第14题）如图，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（4，2），C（4，4）．若反比例函数k yx =在第一象限内的图象与△ABC有交点，则k的取值范围是（）A．1≤k≤4 B．2≤k≤8 C．2≤k≤16 D．8≤k≤16※精品试卷※【答案】C.考点：反比例函数的性质.17. （2017河池第3题）若函数11-=x y 有意义，则（） A ．1>x B ．1<x C ．1=x D ．1≠x 【答案】D. 【解析】试题分析：根据分母不能为零，可得答案．由题意，得x ﹣1≠0，解得x ≠1，故选D ．考点：函数自变量的取值范围，分式的意义.18. （2017河池第6题）点)1,3(-P 在双曲线x ky =上，则k 的值是（） A ．3- B ．3 C. 31- D ．31【答案】A. 【解析】试题分析：根据反比例函数图象上的点（x ，y ）的横纵坐标的积是定值k ，即xy=k 可得答案． ∵点P （﹣3，1）在双曲线ky x=上，∴k=﹣3×1=﹣3，故选A ．考点：反比例函数图象上点的坐标特征.19. （2017贵州六盘水第8题）使函数y 有意义的自变量的取值范围是( ) A. 3≥xB. 0≥xC. 3≤xD.0≤x【答案】C ．试题分析：根据二次根式a ，被开方数0≥a 可得3-x ≥0，解得x ≤3，故选C ．考点：函数自变量的取值范围.20. （2017贵州六盘水第9题）已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则( )A.0,0b c >>B.0,0b c ><C.0,0b c <<D.0,0b c <>考点：二次函数的图象与系数的关系．21. （2017新疆乌鲁木齐第6题）一次函数(,y kx b k b =+是常数，0k ≠）的图象，如图所示，则不等式0kx b +>的解集是（）A ．2x D ．2x > 【答案】A ．【解析】试题解析：函数y=kx+b 的图象经过点（2，0），并且函数值y 随x 的增大而减小，所以当x ＜2时，函数值大于0，即关于x 的不等式kx+b ＞0的解集是x ＜2．故选A ．考点：一次函数与一元一次不等式；一次函数的图象．二、填空题1. （2017贵州遵义第18题）如图，点E ，F 在函数y=2x的图象上，直线EF 分别与x 轴、y 轴交于点A 、B ，且BE ：BF=1：3，则△EOF 的面积是．【答案】83.考点：反比例函数系数k 的几何意义．2. （2017湖南株洲第17题）如图所示是一块含30°，60°，90°的直角三角板，直角顶点O 位于坐标原点，斜边AB 垂直于x 轴，顶点A 在函数y 1=1k x （x ＞0）的图象上，顶点B 在函数y 2=2kx（x ＞0）的图象上，∠ABO=30°，则12k k = ．【答案】12k k =﹣13.考点：反比例函数图象上点的坐标特征．3. （2017湖南株洲第18题）如图示二次函数y=ax 2+bx+c 的对称轴在y 轴的右侧，其图象与x 轴交于点A （﹣1，0）与点C （x 2，0），且与y 轴交于点B （0，﹣2），小强得到以下结论：①0＜a ＜2；②﹣1＜b ＜0；③c=﹣1；④当|a|=|b|时x 2﹣1；以上结论中正确结论的序号为．【答案】①④．考点：抛物线与x轴的交点；二次函数图象与系数的关系．4. （2017内蒙古通辽第16题）如图，将八个边长为1的小正方形摆放在平面直角坐标系中，若过原点的直线l将图形分成面积相等的两部分，则将直线l向右平移3个单位后所得到直线'l的函数关系式为 .【答案】9271010 y x=-设直线方程为y=kx ，则3=103k ， k=910， ∴直线l 解析式为y=910x ， ∴将直线l 向右平移3个单位后所得直线l′的函数关系式为9271010y x =-；故答案为：9271010y x =-．考点：一次函数图象与几何变换5. （2017内蒙古通辽第17题）如图，直线333--=x y 与y x ,轴分别交于B A ,，与反比例函数xky =的图象在第二象限交于点C .过点A 作x 轴的垂线交该反比例函数图象于点D .若AC AD =，则点D 的坐标为 .【答案】（﹣3，2）考点：反比例函数与一次函数的交点问题A向左平移一个单位得到点A'，则点A'的坐标6. （2017郴州第9题）在平面直角坐标系中，把点(2,3)为．【答案】（1，3）．【解析】试题分析：由点A（2，3）向左平移1个单位长度，可得点A′的横坐标为2﹣1=1，纵坐标不变，即A′的坐标为（1，3）．考点：坐标的平移.7. （2017郴州第10题）函数y=x的取值范围是．【答案】x≥﹣1．【解析】试题分析：由题意得，x+1≥0，解得x ≥﹣1．考点：函数自变量的取值范围.8. （2017湖北咸宁第12题）如图，直线n mx y +=与抛物线c bx ax y ++=2交于),4(),,1(q B p A -两点，则关于x 的不等式c bx ax n mx ++>+2的解集是．【答案】x ＜﹣1或x ＞4．考点：二次函数与不等式（组）．9. （2017湖南常德第15题）如图，正方形EFGH 的顶点在边长为2的正方形的边上．若设AE =x ，正方形EFGH 的面积为y ，则y 与x 的函数关系为．【答案】2244y x x =-+（0＜x ＜2）．考点：根据实际问题列二次函数关系式；正方形的性质．10. （2017广西百色第17题）经过(4,0),(2,0),(0,3)A B C 三点的抛物线解析式是．【答案】y=﹣38x 2+ 34x+3. 【解析】试题分析：根据题意设抛物线解析式为y=a （x+2）（x ﹣4），把C （0，3）代入得：﹣8a=3，即a=﹣38，则抛物线解析式为y=﹣38（x+2）（x ﹣4）=﹣38x 2+34x+3.考点：待定系数法求二次函数解析式． 11. （2017哈尔滨第12题）函数212x y x +=-中，自变量x 的取值范围是 .【答案】x ≠2 【解析】试题分析：由x ﹣2≠0得，x ≠2 考点：函数自变量的取值范围．12. （2017哈尔滨第15题）已知反比例函数31k y x-=的图象经过点()1,2，则k 的值为．【答案】1 【解析】试题分析：∵反比例函数31k y x-=的图象经过点（1，2）， ∴2=3k ﹣1，解得k=1．考点：反比例函数图象上点的坐标特征．13. （2017黑龙江齐齐哈尔第12题）在函数2y x -=中，自变量x 的取值范围是．【答案】x ≥﹣4且x ≠0．【解析】试题分析：由x+4≥0且x ≠0，得x ≥﹣4且x ≠0；考点：函数自变量的取值范围．14. （2017黑龙江齐齐哈尔第18题）如图，菱形OABC 的一边OA 在x 轴的负半轴上，O 是坐标原点，4tan 3AOC ∠=，反比例函数ky x=的图像经过点C ，与AB 交于点D ，若COD ∆的面积为20，则k 的值等于．【答案】-24.∵反比例函数y=kx的图象经过点C ，∴代入点C 得：k=﹣24. 考点：1.反比例函数系数k 的几何意义；2.反比例函数图象上点的坐标特征；3.菱形的性质；4.解直角三角形．15. （2017黑龙江绥化第12题）函数y =x 的取值范围是．【答案】x ≤2．【解析】试题分析：根据题意得：2﹣x ≥0，解得：x ≤2．考点：函数自变量的取值范围．16. （2017黑龙江绥化第19题）已知反比例函数6y x=，当3x >时，y 的取值范围是．【答案】0＜y ＜2.考点：反比例函数的性质．17. （2017湖北孝感第13题）如图，将直线y x =- 沿y 轴向下平移后的直线恰好经过点()2,4A - ，且与y 轴交于点B ，在x 轴上存在一点P 使得PA PB +的值最小，则点P 的坐标为．【答案】（23，0）【解析】试题分析：如图所示，作点B 关于x 轴对称的点B'，连接AB'，交x 轴于P ，则点P 即为所求，设直线y=﹣x 沿y 轴向下平移后的直线解析式为y=﹣x+a ，把A （2，﹣4）代入可得，a=﹣2， ∴平移后的直线为y=﹣x ﹣2，令x=0，则y=﹣2，即B （0，﹣2） ∴B'（0，2），设直线AB'的解析式为y=kx+b ，把A （2，﹣4），B'（0，2）代入可得，422k b b -=+⎧⎨=⎩ ，解得32k b =-⎧⎨=⎩ ，∴直线AB'的解析式为y=﹣3x+2，令y=0，则x=23 ，∴P （23，0）.考点：1.最短路线问题；2.一次函数图象与几何变换的运用.18. （2017湖北孝感第16题）如图，在平面直角坐标系中，,90OA AB OAB =∠=，反比例函数()0ky x x=>的图象经过,A B 两点，若点A 的坐标为(),1n ，则k 的值为．【答案】12在△AOE 和△BAG 中，90AOE GAB AOE AGB AO AB ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△AOE ≌△BAG （AAS ），∴OE=AG ，AE=BG ，∵点A （n ，1），∴AG=OE=n ，BG=AE=1，∴B （n+1，1﹣n ），∴k=n ×1=（n+1）（1﹣n ），整理得：n 2+n ﹣1=0，解得：（负值舍去），∴，∴.考点：1.全等三角形的判定与性质；2.反比例函数图象上点的坐标特征；3.解方程.19. （2017青海西宁第18题）如图，点A 在双曲线)0y x x=>上，过点A 作AC x ⊥轴，垂足为C ，OA 的垂直平分线交OC 于点B ，当1AC =时，ABC ∆的周长为_____________.．考点： 1.反比例函数图象上点的坐标特征；2.线段垂直平分线的性质．20. （2017青海西宁第19题）若点(),A m n 在直线()0y kx k =≠上，当11m -≤≤时，11n -≤≤，则这条直线的函数解析式为____. 【答案】y=x 或y=﹣x ，【解析】试题分析： ∵点A （m ，n ）在直线y=kx （k ≠0）上，﹣1≤m ≤1时，﹣1≤n ≤1， ∴点（﹣1，﹣1）或（1，1）都在直线上， ∴k=﹣1或1， ∴y=x 或y=﹣x ，考点： 1.待定系数法求正比例函数解析式；2.一次函数图象上点的坐标特征．21. （2017上海第10题）如果反比例函数y=kx（k 是常数，k ≠0）的图象经过点（2，3），那么在这个函数图象所在的每个象限内，y 的值随x 的值增大而．（填“增大”或“减小”）【答案】减小考点：反比例函数的性质.22. （2017上海第13题）已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为（0，﹣1 ），那么这个二次函数的解析式可以是．【答案】y=2x 2﹣1 【解析】试题分析：由题意设该抛武线的解析式为y=ax 2﹣1，又∵二次函数的图象开口向上， ∴a ＞0，∴这个二次函数的解析式可以是y=2x 2﹣1，故答案为：y=2x 2﹣1．考点：待定系数法求函数解析式23. （2017辽宁大连第16题）在平面直角坐标系xOy 中，点B A ,的坐标分别为),3(m ，)2,3(+m ，直线b x y +=2与线段AB 有公共点，则b 的取值范围为 (用含m 的代数式表示). 【答案】m ﹣6≤b ≤m ﹣4．考点：两条直线相交或平行问题.24. （2017海南第16题）在平面直角坐标系中，已知一次函数y=x ﹣1的图象经过P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2）两点，若x 1＜x 2，则y 1 y 2（填“＞”，“＜”或“=”）【答案】12y y <. 【解析】试题分析：根据k=1结合一次函数的性质即可得出y=x ﹣1为单调递增函数，再根据x 1＜x 2即可得出y 1＜y 2，此题得解．∵一次函数y=x ﹣1中k=1，∴y 随x 值的增大而增大． ∵x 1＜x 2，∴y 1＜y 2．故答案为：＜．考点：一次函数的性质.25. （2017河池第16题）如图，直线ax y =与双曲线)0(>=x x k y 交于点)2,1(A ，则不等式xkax >的解集是．【答案】x ＞1. 【解析】试题分析：根据函数图象的位置关系即可得到结论． ∵直线y=ax 与双曲线k y x =（x ＞0）交于点A （1，2），∴不等式ax ＞kx的解集是x ＞1，故答案为x ＞1．考点：反比例函数与一次函数的交点问题.26. （2017新疆乌鲁木齐第15题）如图，抛物线2y ax bx c =++过点()1,0-，且对称轴为直线1x =，有下列结论：①0abc <；②1030a b c ++>；③抛物线经过点()14,y 与点()23,y -，则12y y >；④无论,,a b c 取何值，抛物线都经过同一个点,0c a ⎛⎫-⎪⎝⎭；⑤20am bm a ++≥，其中所有正确的结论是．【答案】②④⑤．考点：二次函数图象与系数的关系．三、解答题1. （2017贵州遵义第27题）如图，抛物线y=ax2+bx﹣a﹣b（a＜0，a、b为常数）与x轴交于A、C两点，与y轴交于B点，直线AB的函数关系式为y=89x+163．（1）求该抛物线的函数关系式与C点坐标；（2）已知点M（m，0）是线段OA上的一个动点，过点M作x轴的垂线l分别与直线AB和抛物线交于D、E两点，当m为何值时，△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形？（3）在（2）问条件下，当△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形时，动点M相应位置记为点M′，将OM′绕原点O顺时针旋转得到ON（旋转角在0°到90°之间）；i：探究：线段OB上是否存在定点P（P不与O、B重合），无论ON如何旋转，NPNB始终保持不变，若存在，试求出P点坐标；若不存在，请说明理由；ii：试求出此旋转过程中，（NA+34NB）的最小值．【答案】（1）抛物线的函数关系式为：y=﹣89x2﹣409x+163，C（1，0）；（2）当m=﹣4时，△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形；(3). 存在，理由见解析；（NA+34NB=试题解析：（1）在y=89x+163中，令x=0，则y=163，令y=0，则x=﹣6，∴B（0，163），A（﹣6，0），把B（0，163），A（﹣6，0）代入y=ax2+bx﹣a﹣b得3660163a b a ba b---=⎧⎪⎨--=⎪⎩，∴89409ab⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴抛物线的函数关系式为：y=﹣89x2﹣409x+163，令y=0，则=﹣89x2﹣409x+163=0，∴x1=﹣6，x2=1，∴C（1，0）；（2）∵点M（m，0），过点M作x轴的垂线l分别与直线AB和抛物线交于D、E两点，∴D（m，89m+163），当DE为底时，作BG⊥DE于G，则EG=GD=12ED，GM=OB=163，∴89m+163+12（﹣89m2﹣409+163+89m+163）=163，解得：m1=﹣4，m2=9（不合题意，舍去），∴当m=﹣4时，△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形；考点：二次函数综合题．2. （2017湖南株洲第24题）如图所示，Rt△PAB的直角顶点P（3，4）在函数y=kx（x＞0）的图象上，顶点A、B在函数y=tx（x＞0，0＜t＜k）的图象上，PA∥x轴，连接OP，OA，记△OPA的面积为S△OPA，△PAB的面积为S△PAB，设w=S△OPA﹣S△PAB．①求k的值以及w关于t的表达式；②若用w max和w min分别表示函数w的最大值和最小值，令T=w max+a2﹣a，其中a为实数，求T min．【答案】①求k的值以及w关于t的表达式；②T min=54．（2）∵w=﹣124t2+12t=﹣124（t﹣6）2+32，∴w max=32，则T=w max+a2﹣a=a2﹣a+32=（a﹣12）2+54，∴当a=12时，T min=54．考点：反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征.3. （2017湖南株洲第26题）已知二次函数y=﹣x 2+bx+c+1， ①当b=1时，求这个二次函数的对称轴的方程； ②若c=14b 2﹣2b ，问：b 为何值时，二次函数的图象与x 轴相切？ ③若二次函数的图象与x 轴交于点A （x 1，0），B （x 2，0），且x 1＜x 2，与y 轴的正半轴交于点M ，以AB 为直径的半圆恰好过点M ，二次函数的对称轴l 与x 轴、直线BM 、直线AM 分别交于点D 、E 、F ，且满足13DE EF ，求二次函数的表达式．【答案】①.二次函数的对称轴的方程为x=12； ②.b 为或2二次函数的图象与x 轴相切；③. 二次函数的表达式为y=﹣x 2+32x+1．③∵AB 是半圆的直径，∴∠AMB=90°，∴∠OAM+∠OBM=90°， ∵∠AOM=∠MOB=90°，∴∠OAM+∠OMA=90°，∴∠OMA=∠OBM ， ∴△OAM ∽△OMB ，∴OM OA OB OM=，∴OM 2=OA•OB， ∵二次函数的图象与x 轴交于点A （x 1，0），B （x 2，0），∴OA=﹣x 1，OB=x 2，x 1+x 2，=b ，x 1•x 2=﹣（c+1），∵OM=c+1，∴（c+1）2=c+1，解得：c=0或c=﹣1（舍去），∴c=0，OM=1，∵二次函数的对称轴l 与x 轴、直线BM 、直线AM 分别交于点D 、E 、F ，且满足13DE EF =， ∴AD=BD ，DF=4DE ，DF ∥OM ，∴△BDE ∽△BOM ，△AOM ∽△ADF ， ∴,DE BD OM OA OM OB DF AD ==，∴DE=BD OB ，DF=AD OA ，∴AD BDOA OB=×4，∴OB=4OA ，即x 2=﹣4x 1， ∵x 1•x 2=﹣（c+1）=﹣1，∴122114x x x x ⋅=-⎧⎨=-⎩，解得：12122x x ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴b=﹣12+2=32，∴二次函数的表达式为y=﹣x 2+32x+1．考点：二次函数综合题；二次函数的性质．4. （2017内蒙古通辽第26题）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22++=bx ax y 过点)0,2(-A ，，与y 轴交于点C .（1）求抛物线22++=bx ax y 的函数表达式；（2）若点D 在抛物线22++=bx ax y 的对称轴上，求ACD ∆的周长的最小值；（3）在抛物线22++=bx ax y 的对称轴上是否存在点P ，使ACP ∆是直角三角形？若存在，直接写出点P 的坐标，若不存在，请说明理由.【答案】（1）y=﹣14x 2+12x+2（2）△ACD 的周长的最小值是3）存在，点P 的坐标为（1，1）或（1，﹣3）答：△ACD的周长的最小值是（3）存在，分两种情况：①当∠ACP=90°时，△ACP是直角三角形，如图2，设P （1，y ），则△PEA ∽△AOC ，∴AE PEOC AO = ， ∴322PE =， ∴PE=3， ∴P （1，﹣3）；综上所述，△ACP 是直角三角形时，点P 的坐标为（1，1）或（1，﹣3）．考点：二次函数综合题5. （2017郴州第24题）设,a b 是任意两个实数，用max{,}a b 表示,a b 两数中较大者，例如：max{1,1}1--=-，max{1,2}2,max{4,3}4==，参照上面的材料，解答下列问题：（1）max{5,2}= ，max{0,3}= ；（2）若max{31,1}1x x x +-+=-+ ，求x 的取值范围；（3）求函数224y x x =--与2y x =-+的图象的焦点坐标，函数224y x x =--的图象如下图所示，请你在下图中作出函数2y x =-+的图象，并根据图象直接写出2max{2,24}x x x -+-+ 的最小值.【答案】(1)5；3．（2）x ≤0；（3）﹣1．观察函数图象可知：当x=3时，max{﹣x+2，x 2﹣2x ﹣4}取最小值﹣1．考点：阅读理解题.6. （2017郴州第25题）如图，已知抛物线285y ax x c =++与x 轴交于,A B 两点，与y 轴交于C 点，且(2,0),(0,4)A C -，直线1:42l y x =--与x 轴交于D 点，点P 是抛物线285y ax x c =++上的一动点，过点P 作PE x ⊥轴，垂足为E ，交直线l 于点F .（1）试求该抛物线的表达式；（2）如图（1），若点P 在第三象限，四边形PCOF 是平行四边形，求P 点的坐标；（3）如图（2），过点P 作PH x ⊥轴，垂足为H ，连接AC ， ①求证：ACD ∆是直角三角形；②试问当P 点横坐标为何值时，使得以点,,P C H 为顶点的三角形与ACD ∆相似？【答案】（1）y=15x 2+85x ﹣4；（2）点P 的坐标为（﹣52，﹣274）或（﹣8，﹣4）；（3）①详见解析；②，点P的横坐标为﹣5.5或﹣10.5或2或﹣18时，使得以点P 、C 、H 为顶点的三角形与△ACD 相似．（3）①证明：把y=0代入y=﹣12x﹣4得：﹣12x﹣4=0，解得：x=﹣8．∴D（﹣8，0）．∴OD=8．∵A（2，0），C（0，﹣4），∴AD=2﹣（﹣8）=10．由两点间的距离公式可知：AC2=22+42=20，DC2=82+42=80，AD2=100，∴AC2+CD2=AD2．∴△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°．②由①得∠ACD=90°．当△ACD∽△CHP时，AC CHCD HP=21855n nn--=-21855n nn+=-，解得：n=0（舍去）或n=﹣5.5或n=﹣10.5．当△ACD ∽△PHC 时，AC PH CD CH=21855n n n -=--21855nn n -=+．解得：n=0（舍去）或n=2或n=﹣18．综上所述，点P 的横坐标为﹣5.5或﹣10.5或2或﹣18时，使得以点P 、C 、H 为顶点的三角形与△ACD 相似．考点：二次函数综合题.7. （2017湖北咸宁第20题）小慧根据学习函数的经验，对函数|1|-=x y 的图象与性质进行了研究，下面是小慧的研究过程，请补充完成：⑴函数|1|-=x y 的自变量x 的取值范围是； ⑵列表，找出y 与x 的几组对应值.其中，=b ；⑶在平面直角坐标系xOy 中，描出以上表中各队对应值为坐标的点，并画出该函数的图象； ⑷写出该函数的一条性质： .【答案】（1）任意实数；（2）2；（3）详见解析；（4）函数的最小值为0（答案不唯一）．考点：一次函数的性质；一次函数的图象．8. （2017湖北咸宁第22题）某公司开发出一款新的节能产品，该产品的成本价位6元/件，该产品在正式投放市场前通过代销点进行了为期一个月（30天）的试销售，售价为8元/件.工作人员对销售情况进行了跟踪记录，并将记录情况绘制成图象，图中的折线ODE表示日销售量y（件）与销售时间x（天）之间的函数关系，已知线段DE 表示的函数关系中，时间每增加1天，日销售量减少5件.⑴第24天的日销售量是件，日销售利润是元；⑵求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；⑶日销售利润不低于640元的天数共有多少天？试销售期间，日销售最大利润是多少元？【答案】（1）330，660；（2）y=20(018)5450(1830)y x xy x x=≤≤⎧⎨=-+≤⎩；（3）720元．根据题意得：线段DE所表示的y与x之间的函数关系式为y=340﹣5（x﹣22）=﹣5x+450．联立两线段所表示的函数关系式成方程组，得205450y xy x=⎧⎨=-+⎩，解得18360xy=⎧⎨=⎩，∴交点D的坐标为（18，360），∴y与x之间的函数关系式为y=20(018)5450(1830) y x xy x x=≤≤⎧⎨=-+≤⎩．（3）当0≤x≤18时，根据题意得：（8﹣6）×20x≥640，解得：x≥16；当18＜x≤30时，根据题意得：（8﹣6）×（﹣5x+450）≥640，解得：x≤26．∴16≤x≤26．26﹣16+1=11（天），∴日销售利润不低于640元的天数共有11天．∵点D 的坐标为（18，360）， ∴日最大销售量为360件， 360×2=720（元），∴试销售期间，日销售最大利润是720元．考点：一次函数的应用．9. （2017湖北咸宁第24题）如图，抛物线c bx x y ++=221与x 轴交于B A 、两点，与y 轴交于点C ，其对称轴交抛物线于点D ，交x 轴于点E ，已知6==OC OB .⑴求抛物线的解析式及点D 的坐标；⑵连接F BD ,为抛物线上一动点，当EDB FAB ∠=∠时，求点F 的坐标；⑶平行于x 轴的直线交抛物线于N M ,两点，以线段MN 为对角线作菱形MPNQ ，当点P 在x 轴上，且MN PQ 21=时，求菱形对角线MN 的长. 【答案】（1）y=12x 2﹣2x ﹣6，D （2，﹣8）；（2）F 点的坐标为（7，92）或（5，﹣72）；（3）菱形对角线MN 的长1．∴A（﹣2，0），∴OA=2，则AG=x+2，∵B（6，0），D（2，﹣8），∴BE=6﹣2=4，DE=8，当∠FAB=∠EDB时，且∠FGA=∠BED，∴△FAG∽△BDE，∴FG AGBE DE=，即21264228x xx--=+=12，当点F在x轴上方时，则有21261222x xx--=+，解得x=﹣2（舍去）或x=7，此进F点坐标为（7，92）；当点F在x轴上方时，则有21261222x xx--=-+，得x=﹣2（舍去）或x=5，此进F点坐标为（5，﹣72）；设PT=n ，则MT=2n ， ∴M （2+2n ，n ）， ∵M 在抛物线上，∴n=12（2+2n ）2﹣2（2+2n ）﹣6，解得n=14+或n=14-，∴；当MN 在x 轴下方时，同理可设PT=n ，则M （2+2n ，﹣n ），∴﹣n=12（2+2n ）2﹣2（2+2n ）﹣6，解得n=14-或n=14-（舍去），∴1；综上可知菱形对角线MN 1．考点：二次函数综合题．10. （2017湖南常德第21题）如图，已知反比例函数xky =的图象经过点A （4，m ），AB ⊥x 轴，且△AOB 的面积为2．（1）求k 和m 的值；（2）若点C （x ，y ）也在反比例函数xky的图象上，当﹣3≤x ≤﹣1时，求函数值y 的取值范围．【答案】（1）k =4，m =1；（2）﹣4≤y ≤﹣43．考点：反比例函数系数k 的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征．11. （2017湖南常德第25题）如图，已知抛物线的对称轴是y 轴，且点（2，2），（1，54）在抛物线上，点P 是抛物线上不与顶点N 重合的一动点，过P 作PA ⊥x 轴于A ，PC ⊥y 轴于C ，延长PC 交抛物线于E ，设M 是O 关于抛物线顶点N 的对称点，D 是C 点关于N 的对称点．（1）求抛物线的解析式及顶点N 的坐标；（2）求证：四边形PMDA 是平行四边形；（3）求证：△DPE ∽△PAM P 的坐标．【答案】（1）2114y x =+， N （0，1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析，P （4）或（﹣4）．（2）证明：设P （t ，2114t +），则C （0，2114t +），PA =2114t +，∵M 是O 关于抛物线顶点N 的对称点，D 是C 点关于N 的对称点，且N （0，1），∴M （0，2），∵OC =2114t +，ON =1，∴DM =CN =2114t +﹣1=214t ，∴OD =2114t -，∴D （0，2114t -+），∴DM =2﹣（2114t -+）=2114t +=PA ，且PM ∥DM ，∴四边形PMDA 为平行四边形；（3）解：同（2）设P （t ，2114t +），则C （0，2114t +），PA =2114t +，PC =|t |，∵M （0，2），∴CM =2114t +﹣2=2114t -，在Rt △PMC 中，由勾股定理可得PM 2114t +=PA ，且四边形PMDA 为平行四边形，∴四边形PMDA 为菱形，∴∠APM =∠ADM =2∠PDM ，∵PE ⊥y 轴，且抛物线对称轴为y 轴，∴DP =DE ，且∠PDE =2∠PDM ，∴∠PDE =∠APM ，且P D D EP A P M=，∴△DPE ∽△PAM ；∵OA =|t |，OM =2，∴AM 且PE =2PC =2|t |，AMPEt=t=﹣P点坐标为（4）或（﹣4）．考点：二次函数综合题；压轴题．12. （2017广西百色第21题）已知反比例函数(0)ky kx=≠的图象经过点(3,2)B，点B与点C关于原点O对称，BA x⊥轴于点A，CD x⊥轴于点.D（1）求这个反比例函数的解析式；（2）求ACD的面积.【答案】（1）反比例函数的解析式为y=6x；（2）S△ACD=6．考点：1.反比例函数系数k的几何意义；2.反比例函数图象上点的坐标特征；3.坐标与图形变化﹣旋转．13. （2017哈尔滨第27题）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线2y x bx c=++交x轴于A、B 两点，交y轴于点C，直线3y x=-经过B、C两点.(1)求抛物线的解析式；(2)过点C作直线CD y^轴交抛物线于另一点D，点P是直线CD下方抛物线上的一个动点，且在抛物线对称轴的右侧，过点P作PE x^轴于点E，PE交CD于点F，交BC于点M，连接AC，过点M作MN AC^于点N，设点P的横坐标为t，线段MN的长为d，求d与t之间的函数关系式(不要求写出自变量t的取值范围)；(3)在(2)的条件下，连接PC，过点B作BQ PC^于点Q(点Q在线段PC上)，BQ交CD于点T，连接OQ交CD于点S，当ST TD=时，求线段MN的长.【答案】（1）抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3；（2） t；（3）．（3）如图2，∵y=x 2﹣2x ﹣3=（x ﹣1）2﹣4，∴对称轴为x=1，∴由抛物线对称性可得D （2，﹣3），∴CD=2，过点B 作BK ⊥CD 交直线CD 于点K ，∴四边形OCKB 为正方形，∴∠OBK=90°，CK=OB=BK=3，∴DK=1， ∵BQ ⊥CP ，∴∠CQB=90°，过点O 作OH ⊥PC 交PC 延长线于点H ，OR ⊥BQ 交BQ 于点I 交BK 于点R ，∴∠OHC=∠OIQ=∠OIB=90°， ∴四边形OHQI 为矩形，∵∠OCQ+∠OBQ=180°，∴∠OBQ=∠OCH ，∴△OBQ ≌△OCH ，∴QG=OS ，∠GOB=∠SOC ，∴∠SOG=90°， ∴∠ROG=45°，∵OR=OR ，∴△OSR ≌△OGR ，∴SR=GR ，∴SR=CS+BR ，∵∠BOR+∠OBI=90°，∠IBO+∠TBK=90°，∴∠BOR=∠TBK ，∴tan ∠BOR=tan ∠TBK ，∴BR OB =TKBK， ∴BR=TK ，∵∠CTQ=∠BTK ，∴∠QCT=∠TBK ，∴tan ∠QCT=tan ∠TBK ，设ST=TD=m ，∴SK=2m+1，CS=2﹣2m ，TK=m+1=BR ，SR=3﹣m ，RK=2﹣m ，在Rt △SKR 中，∵SK 2+RK 2=SR 2，∴（2m+1）2+（2﹣m ）2=（3﹣m ）2，解得m 1=﹣2（舍去），m 2=12； ∴ST=TD=12，TK=32，∴tan ∠TBK=TK BK =32÷3=12，∴tan ∠PCD=12，过点P 作PE′⊥x 轴于E′交CD 于点F′， ∵CF′=OE′=t，∴PF′=12t ，∴PE′=12t+3，∴P （t ，﹣12t ﹣3），∴﹣12t ﹣3=t 2﹣2t ﹣3，解得t 1=0（舍去），t 2=32．∴MN=d=5t=5×=5．考点：二次函数综合题．14. （2017黑龙江齐齐哈尔第22题）如图，已知抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于点(1,0)A -和点(3,0)B ，与y 轴交于点C ，连接BC 交抛物线的对称轴于点E ，D 是抛物线的顶点．（1）求此抛物线的解析式；（2）直接写出点C 和点D 的坐标；（3）若点P 在第一象限内的抛物线上，且4ABP COE S S ∆∆=，求P 点坐标．注：二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的顶点坐标为24(,)24b ac b a a--．【答案】（1）抛物线的解析式为y=﹣x 2+2x+3；（2）C （0，3），D （1，4）；（3）P （2，3）．考点：1.二次函数图象与系数的关系；2.二次函数的性质；3.二次函数图象上点的坐标特征；4.待定系数法求二次函数解析式；5.抛物线与x轴的交点．15. （2017黑龙江齐齐哈尔第25题）“低碳环保、绿色出行”的理念得到广大群众的接受，越来越多的人喜欢选择自行车作为出行工具．小军和爸爸同时从家骑自行车去图书馆，爸爸先以150米/分的速度骑行一段时间，休息了5分钟，再以m米/分的速度到达图书馆．小军始终以同一速度骑行，两人行驶的路程y（米）与时间x（分钟）的关系如图．请结合图象，解答下列问题：（1）a=；b=；m=；（2）若小军的速度是120米/分，求小军在图中与爸爸第二次相遇时，距图书馆的距离；（3）在（2）的条件下，爸爸自第二次出发至到达图书馆前，何时与小军相距100米？（4）若小军的行驶速度是v米/分，且在图中与爸爸恰好相遇两次（不包括家、图书馆两地），请直接写出v的取值范围．【答案】（1）10；15；200；（2）小军在途中与爸爸第二次相遇时，距图书馆的距离是750米；（3）爸爸自第二次出发至到达图书馆前，17.5分钟时和20分钟时与小军相距100米；（4）00＜v＜400 3。

走进中考数学专题复习讲座：走进中考数学专题复习第二讲函数应用(含答案)

走进 2019 年中考数学专题复习第二讲函数应用【专题剖析】函数的应用是中考每年必考题型 ,成为卷中的亮点题目 ,形式设置简短流利 ,背景鲜活 ,表现初高中数学知识的连接 .特别对函数的实质应用题 ,应注意第一步由实质问题抽象出数学识题 ;第二步解决数学识题,从而使实质问题获得解决 .此间应注意对转变、数形联合、方程、待定系数法等思想方法的灵巧运用函数的实质应用题是最近几年中考的热门试题 ,这种题根源于生活和生产实践 ,切近生活 ,拥有较强的操作性和实践性 ,因此参照条件多 ,思想有必定的深度 ,解答方法灵巧多样 ,解决问题时要慎于思虑 .题型主要包含 :依据实质意义建模 ;利用方程 (组)、不等式 (组)、函数等知识对实质问题中的方案进行比较等 .中考试卷常常以实质生活为背景命制题目,表现数学与生活的联系.把数学识题转变在生活背景中是最近几年来常常出现的命题方式 ,无不表现数学在实质生活中的应用 .纯函数型情境应用题 :解决这种问题的重点是针对背景资料 ,设定适合的未知数 ,找出相等关系 ,成立方程 (组 )、不等式、函数型模型来解决 .几何背景下的函数情境应用题:解决这种问题的重点是在理解题第 1页 /共 22页意的基础上 ,对问题进行适合的抽象与归纳 ,成立适合的几何模型 ,从而确立某种几何关系 ,利用有关几何知识来解决 .几何求值问题 ,当未知量不可以直接求出时 ,一般需设出未知数 ,既而成立方程 (组),用解方程(组)的方法去求结果 ,这是解题中常有的拥有导向作用的一种思想.【知识归纳】对于几何图形与函数图象联合的综合题型 ,解题的重点是利用几何图形的有关性质确立点的坐标 ,联想到点的坐标和线段长之间的转变关系 ,一般作垂直于坐标轴的线段 ,建立直角三角形 ,利用勾股定理、相像、三角函数等有关知识求出点的坐标 ,利用待定系数法求出函数分析式 ,联合图象也可进一步解决几何图形的其余问题 .【题型分析】题型 1: 一次函数与反比率函数的综合应用例题 :（2019 重庆 B）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b （a≠0）的图象与反比率函数y=（k≠0）的图象交于A、B 两点，与 x 轴交于点 C，过点 A 作 AH ⊥x 轴于点 H，点 O 是线段 CH 的中点， AC=4，cos∠ACH=，点B的坐标为（4，n）（1）求该反比率函数和一次函数的分析式；（2）求△ BCH 的面积．【剖析】（1）第一利用锐角三角函数关系得出HC 的长，再利用勾股定理得出AH 的长，即可得出A 点坐标，从而求出反比率函数分析式，再求出 B 点坐标，即可得出一次函数分析式；（2）利用 B 点坐标的纵坐标再利用HC 的长即可得出△ BCH 的面积．【解答】解：（1）∵ AH ⊥x 轴于点 H，AC=4，cos∠ACH=，解得： HC=4，∵点 O 是线段 CH 的中点，∴HO=CO=2，∴AH==8，∴A（﹣ 2，8），∴反比率函数分析式为： y=﹣，∴B（4，﹣ 4），∴设一次函数分析式为：y=kx+b ，则，解得：，∴一次函数分析式为：y=﹣2x+4；（2）由（ 1）得：△ BCH 的面积为：×4×4=8．方法指导：本题主要考察了反比率函数与一次函数分析式求法以及三角形面积求法，正确得出 A 点坐标是解题重点．题型 2: 二次函数图象的实质应用 (抛物线型)(2019 湖北襄阳)如图，矩形OABC 的两边在座标轴上，点A 的坐标为（ 10，0），抛物线 y=ax2+bx+4 过点 B，C 两点，且与 x 轴的一个交点为 D（﹣ 2，0），点 P 是线段 CB 上的动点，设 CP=t（0＜t＜10）．（1）请直接写出 B、C 两点的坐标及抛物线的分析式；（2）过点 P 作 PE⊥BC，交抛物线于点 E，连结 BE，当 t 为什么值时，∠PBE=∠OCD？（3）点 Q 是 x 轴上的动点，过点 P 作 PM∥BQ，交 CQ 于点 M ，作PN∥CQ，交 BQ 于点 N，当四边形 PMQN 为正方形时，恳求出t 的值．【考点】 HF：二次函数综合题．【剖析】（1）由抛物线的分析式可求得 C 点坐标，由矩形的性质可求得 B 点坐标，由 B、D 的坐标，利用待定系数法可求得抛物线分析式；（2）可设 P（t，4），则可表示出E点坐标，从而可表示出PB、PE 的长，由条件可证得△ PBE∽△ OCD，利用相像三角形的性质可获得对于 t 的方程，可求得t 的值；（3）当四边形 PMQN 为正方形时，则可证得△ COQ∽△QAB ，利用相像三角形的性质可求得 CQ 的长，在 Rt△ BCQ 中可求得 BQ、CQ，则可用 t 分别表示出 PM 和 PN，可获得对于 t 的方程，可求得 t 的值．【解答】解：（1）在 y=ax2+bx+4 中，令 x=0 可得 y=4，∴C（0，4），∵四边形 OABC 为矩形，且 A （10，0），∴B（10，4），把 B、D 坐标代入抛物线分析式可得，解得，∴抛物线分析式为y=﹣x2+ x+4；（2）由题意可设 P（t，4），则 E（t，﹣t2+ t+4），∴P B=10﹣t，PE=﹣ t2+ t+4﹣4=﹣ t2+ t，∵∠ BPE=∠COD=90°，∠ PBE=∠OCD，∴△ PBE∽△ OCD，∴= ，即 BP?OD=CO?PE，∴2（10﹣t）=4（﹣ t2+ t），解得 t=3 或 t=10（不合题意，舍去），∴当 t=3 时，∠ PBE=∠OCD；（3）当四边形 PMQN 为正方形时，则∠ PMC=∠PNB=∠CQB=90°，PM=PN，∴∠ CQO+∠AQB=90°，∵∠ CQO+∠OCQ=90°，∴∠ OCQ=∠AQB ，∴R t△COQ∽Rt△QAB ，∴= ，即 OQ?AQ=CO?AB，设 OQ=m，则 AQ=10 ﹣m，∴m（10﹣m）=4×4，解得 m=2 或 m=8，①当 m=2 时， CQ==2，BQ==4，∴sin∠BCQ= =，sin∠CBQ==，∴PM=PC?sin∠PCQ=t，PN=PB?sin∠CBQ=（10﹣t），∴t= （10﹣t），解得 t= ，②当 m=8 时，同理可求得t=，∴当四边形 PMQN 为正方形时， t 的值为或．题型 3: 二次函数的实质应用例题：（2019 贵州安顺）如图甲，直线 y= ﹣x+3 与 x 轴、 y 轴分别交于点 B、点 C，经过 B、C 两点的抛物线y=x2+bx+c 与 x 轴的另一个交点为 A，极点为 P．（1）求该抛物线的分析式；（2）在该抛物线的对称轴上能否存在点 M ，使以 C，P，M 为极点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所切合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明原因；（3）当 0＜x＜3 时，在抛物线上求一点 E，使△ CBE 的面积有最大值（图乙、丙供绘图研究）．【考点】：二次函数综合题．【剖析】（1）由直线分析式可求得 B、C 坐标，利用待定系数法可求得抛物线分析式；（2）由抛物线分析式可求得P 点坐标及对称轴，可设出M 点坐标，表示出 MC 、MP 和 PC 的长，分 MC=MP 、 MC=PC 和 MP=PC 三种状况，可分别获得对于 M 点坐标的方程，可求得 M 点的坐标；（3）过 E 作 EF⊥x 轴，交直线 BC 于点 F，交 x 轴于点 D，可设出 E点坐标，表示出 F 点的坐标，表示出 EF 的长，进一步可表示出△ CBE 的面积，利用二次函数的性质可求得其获得最大值时 E 点的坐标．【解答】解：（1）∵直线 y= ﹣x+3 与 x 轴、 y 轴分别交于点B、点 C，∴B（3，0），C（0，3），把 B、C 坐标代入抛物线分析式可得，解得，∴抛物线分析式为y=x2﹣4x+3；（2）∵ y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴抛物线对称轴为 x=2，P（2，﹣ 1），设 M （2，t），且 C（0，3），∴MC==，MP=|t+1|，PC==2，∵△ CPM 为等腰三角形，∴有 MC=MP 、MC=PC 和 MP=PC 三种状况，①当 MC=MP 时，则有=|t+1|，解得 t=，此时M（2，）；②当 MC=PC 时，则有=2，解得t=﹣1（与P点重合，舍去）或 t=7，此时 M （2，7）；③当 MP=PC 时，则有 |t+1|=2，解得t=﹣1+2或t=﹣1﹣2，此时 M （2，﹣ 1+2）或（2，﹣1﹣2）；综上可知存在知足条件的点M ，其坐标为（2，）或（2，7）或（2，﹣1+2）或（2，﹣1﹣2）；（3）如图，过 E 作 EF⊥x 轴，交 BC 于点 F，交 x 轴于点 D，设 E（x，x2﹣4x+3），则 F（x，﹣ x+3），∵0＜x＜3，∴E F=﹣x+3﹣（ x2﹣4x+3） =﹣x2+3x，∴S△CBE =S△EFC+S△EFB = EF?OD+ EF?BD= EF?OB= ×3（﹣ x2+3x）=﹣（x﹣）2+，∴当 x=时，△ CBE的面积最大，此时E 点坐标为（，），即当 E 点坐标为（，）时，△ CBE的面积最大．题型 4: 二次函数背景下的简单的几何动点问题例题：（2019 山东烟台）如图 1，抛物线 y=ax2+bx+2 与 x 轴交于 A，B两点，与 y 轴交于点 C，AB=4 ，矩形 OBDC 的边 CD=1，延伸 DC 交抛物线于点 E．（1）求抛物线的分析式；（2）如图 2，点 P 是直线 EO 上方抛物线上的一个动点，过点P 作 y 轴的平行线交直线EO 于点 G，作 PH⊥EO，垂足为 H．设 PH 的长为 l ，点 P 的横坐标为 m，求 l 与 m 的函数关系式（不用写出 m 的取值范围），并求出 l 的最大值；（3）假如点 N 是抛物线对称轴上的一点，抛物线上能否存在点M ，使得以 M ，A， C，N 为极点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出全部知足条件的点 M 的坐标；若不存在，请说明原因．【考点】 HF：二次函数综合题．【剖析】（1）由条件可求得 A、B 的坐标，利用待定系数法可求得抛物线分析式；（2）可先求得 E 点坐标，从而可求得直线 OE 分析式，可知∠PGH=45°，用 m 可表示出 PG 的长，从而可表示出 l 的长，再利用二次函数的性质可求得其最大值；（3）分 AC 为边和 AC 为对角线，当 AC 为边时，过 M 作对称轴的垂线，垂足为 F，则可证得△ MFN ≌△ AOC ，可求得 M 到对称轴的距离，从而可求得 M 点的横坐标，可求得 M 点的坐标；当 AC 为对角线时，设AC 的中点为 K ，可求得 K 的横坐标，从而可求得 M 的横坐标，代入抛物线分析式可求得 M 点坐标．【解答】解：（1）∵矩形 OBDC 的边 CD=1，∴OB=1，∵AB=4 ，∴OA=3，∴A（﹣ 3，0），B（1，0），把 A、B 两点坐标代入抛物线分析式可得，解得，∴抛物线分析式为y=﹣x2﹣x+2；（2）在 y= ﹣ x2﹣ x+2 中，令 y=2 可得 2=﹣ x2﹣ x+2，解得 x=0或 x=﹣2，∴E（﹣ 2，2），∴直线 OE 分析式为 y= ﹣x，由题意可得 P（m，﹣m2﹣m+2），∵P G∥y 轴，∴G（m，﹣ m），∵P在直线 OE 的上方，∴P G=﹣ m2﹣ m+2﹣（﹣ m）=﹣ m2﹣ m+2=﹣（m+ ）2+ ，∵直线 OE 分析式为 y= ﹣x，∴∠ PGH=∠ COE=45°，∴l= PG=[﹣（m+）2+]= ﹣（m+）2+，∴当 m=﹣时，l有最大值，最大值为；（3）①当 AC 为平行四边形的边时，则有 MN ∥AC，且 MN=AC ，如图，过 M 作对称轴的垂线，垂足为 F，设 AC 交对称轴于点 L ，则∠ ALF= ∠ACO= ∠FNM ，在△ MFN 和△ AOC 中∴△ MFN ≌△ AOC（ AAS），∴M F=AO=3 ，∴点 M 到对称轴的距离为3，又 y=﹣ x2﹣ x+2，∴抛物线对称轴为 x=﹣1，设 M 点坐标为（ x，y），则 |x+1|=3，解得 x=2 或 x=﹣4，当 x=2 时， y=﹣，当x=﹣4时，y=，∴M点坐标为（ 2，﹣）或（﹣ 4，﹣）；②当 AC 为对角线时，设 AC 的中点为 K，∵A（﹣ 3，0），C（0，2），∴K（﹣，1），∵点 N 在对称轴上，∴点 N 的横坐标为﹣ 1，设 M 点横坐标为 x，∴x+（﹣ 1） =2×（﹣）=﹣3，解得 x=﹣2，此时 y=2，∴M（﹣ 2，2）；综上可知点 M 的坐标为（ 2，﹣）或（﹣4，﹣）或（﹣2，2）．题型 5: 一次函数、反比率函数和二次函数的综合应用例题：以下图，Rt△PAB 的直角极点P（3，4）在函数y= （x＞0）的图象上，极点 A 、B 在函数 y= （x＞0，0＜t＜k）的图象上， PA ∥x 轴，连结 OP，OA，记△ OPA 的面积为 S△OPA，△ PAB 的面积为S△PAB，设 w=S△OPA﹣S△PAB．①求 k 的值以及 w 对于 t 的表达式；②若用 w max和 w min分别表示函数 w 的最大值和最小值，令 T=w max +a2﹣a，此中 a 为实数，求 T min．【考点】 G5：反比率函数系数k 的几何意义； G6：反比率函数图象上点的坐标特点．【剖析】（1）由点 P 的坐标表示出点 A、点 B 的坐标，从而得 S△PAB= ?PA?PB= （4﹣）（3﹣），再依据反比率系数 k 的几何意义知S△OPA=S△OPC﹣S△OAC =6﹣t，由 w=S△OPA﹣S△PAB可得答案；（2）将（ 1）中所得分析式配方求得 w max= ，代入 T=w max+a2﹣a 配方即可得出答案．【解答】解：（1）∵点 P（3，4），∴在 y=中，当x=3时，y=，即点A（3，），当 y=4 时， x=，即点B（，4），第13页/共22页如，延 PA 交 x 于点 C，PC⊥x ，又 S△OPA=S△OPC S△OAC = ×3×4t=6t，∴w=6t（4）（3）=t2+ t；（2）∵ w=t2+ t=（t 6）2+，∴w max= ，T=w max+a2 a=a2 a+ =（ a）2+，∴当 a= ， T min = ．【提高】1.（2019 江西）如，是一种斜包，其由双部分、部分和扣组成．小敏用后，通扣加或短部分的度，能够使的度（部分与双部分度的和，此中扣所占的度忽视不）加或短．部分的度 xcm，双部分的度 ycm，量，获得以下数据：部分的度 x⋯4681⋯ 15（cm）00双部分的度 y⋯ 777⋯（cm）321（1）依据表中数据的规律，达成以下表格，并直接写出y 对于 x 的函数分析式；（2）依据小敏的身高和习惯，挎带的长度为 120cm 时，背起来正适合，恳求出此时单层部分的长度；（3）设挎带的长度为 lcm ，求 l 的取值范围．【考点】 FH：一次函数的应用．【剖析】（1）察看表格可知， y 是 x 使得一次函数，设 y=kx+b ，利用待定系数法即可解决问题；（2）列出方程组即可解决问题；（3）由题意当 y=0，x=150，当 x=0 时， y=75，可得 75≤l≤150．【解答】解：（1）察看表格可知， y 是 x 使得一次函数，设 y=kx+b ，则有，解得，∴y=﹣ x+75．（2）由题意，解得，∴单层部分的长度为90cm．（3）由题意当 y=0，x=150，当 x=0 时， y=75，∴75≤l≤150．2.(2019 湖北襄阳 )为了“创立文明城市，建设漂亮家园”，我市某社区将辖区内的一块面积为 1000m2的空地进行绿化，一部分种草，节余部分种花，设种草部分的面积为 x（m2），种草所需花费 y1（元）与x（m2）的函数关系式为，其图象以下图：种花所需花费y2（元）与x（m2）的函数关系式为y2=﹣0.01x2﹣20x+30000（ 0≤x≤1000）．（1）请直接写出 k1、k2和 b 的值；（2）设这块 1000m2空地的绿化总花费为 W（元），请利用 W 与 x 的函数关系式，求出绿化总花费W 的最大值；（3）若种草部分的面积许多于 700m2，种花部分的面积许多于 100m2，恳求出绿化总花费 W 的最小值．【考点】 HE：二次函数的应用．【剖析】（1）将 x=600、y=18000 代入 y1=k1x 可得 k1；将 x=600、y=18000和 x=1000、y=26000 代入 y1=k2x+b 可得 k2、b．（2）分 0≤x＜600 和 600≤x≤1000 两种状况，依据“绿化总花费 =种草所需总花费 +种花所需总花费”联合二次函数的性质可得答案；（3）依据种草部分的面积许多于700m2，种花部分的面积许多于100m2求得 x 的范围，依照二次函数的性质可得．【解答】解：（1）将 x=600、y=18000 代入 y1=k1x，得：18000=600k1，解得： k1=30；将 x=600、y=18000 和 x=1000、y=26000 代入，得：，解得：；（2）当 0≤x＜600 时，W=30x+ （﹣ 0.01x2﹣20x+30000）=﹣0.01x2+10x+30000，∵﹣ 0.01＜0，W=﹣ 0.01（x﹣500）2+32500，∴当 x=500 时， W 获得最大值为 32500 元；当 600≤x≤1000 时，W=20x+6000+（﹣ 0.01x2﹣20x+30000）=﹣0.01x2+36000，∵﹣ 0.01＜0，∴当 600≤x≤1000 时， W 随 x 的增大而减小，∴当 x=600 时， W 取最大值为 32400，∵32400＜32500，∴W 取最大值为 32500 元；（3）由题意得： 1000﹣x≥100，解得： x≤900，由 x≥700，则 700≤x≤900，∵当 700≤x≤900 时， W 随 x 的增大而减小，∴当 x=900 时， W 获得最小值 27900 元．3.（2019 浙江义乌）某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），已知计划中的建筑资料可建围墙的总长为50m．设饲养室长为x（m），占地面积为y（m2）．（1）如图 1，问饲养室长 x 为多少时，占地面积 y 最大？（2）如图 2，现要求在图中所示地点留 2m 宽的门，且仍使饲养室的占地面积最大，小敏说：“只需饲养室长比（1）中的长多 2m 就行了．”请你经过计算，判断小敏的说法能否正确．【考点】 HE：二次函数的应用．【剖析】（1）依据题意用含 x 的代数式表示出饲养室的宽，由矩形的面积 =长×宽计算，再依据二次函数的性质剖析即可；（2）依据题意用含x的代数式表示出饲养室的宽，由矩形的面积=长×宽计算，再依据二次函数的性质剖析即可．【解答】解：（1）∵ y=x?=﹣（x﹣25）2+，∴当 x=25 时，占地面积最大，即饲养室长 x 为 25m 时，占地面积y 最大；（2）∵ y=x?=﹣（x﹣26）2+338，∴当 x=26 时，占地面积最大，即饲养室长 x 为 26m 时，占地面积 y 最大；∵26﹣25=1≠2，∴小敏的说法不正确．4.（2019 青海西宁）如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的极点A，C 分别在 x 轴， y 轴的正半轴上，且 OA=4 ，OC=3，若抛物线经过O，A 两点，且极点在 BC 边上，对称轴交 BE 于点 F，点 D，E的坐标分别为（ 3，0），（0，1）．（1）求抛物线的分析式；（2）猜想△ EDB 的形状并加以证明；（3）点 M 在对称轴右边的抛物线上，点 N 在 x 轴上，请问能否存在以点 A，F，M，N 为极点的四边形是平行四边形？若存在，恳求出全部切合条件的点 M 的坐标；若不存在，请说明原因．【考点】 HF：二次函数综合题．【剖析】（1）由条件可求得抛物线的极点坐标及 A 点坐标，利用待定系数法可求得抛物线分析式；（2）由 B、D、E 的坐标可分别求得DE、BD 和 BE 的长，再利用勾股定理的逆定理可进行判断；（3）由 B、E 的坐标可先求得直线 BE 的分析式，则可求得 F 点的坐标，当 AF 为边时，则有 FM ∥AN 且 FM=AN ，则可求得 M 点的纵坐标，代入抛物线分析式可求得 M 点坐标；当 AF 为对角线时，由 A、F 的坐标可求得平行四边形的对称中心，可设出 M 点坐标，则可表示出N 点坐标，再由 N 点在 x 轴上可获得对于 M 点坐标的方程，可求得 M点坐标．【解答】解：（1）在矩形 OABC 中， OA=4 ，OC=3，∴A（4，0），C（0，3），∵抛物线经过 O、A 两点，∴抛物线极点坐标为（2，3），∴可设抛物线分析式为y=a（x﹣2）2+3，把 A 点坐标代入可得 0=a（4﹣2）2+3，解得 a=﹣，∴抛物线分析式为 y=﹣（ x﹣2）2+3，即 y=﹣ x2+3x；（2）△ EDB 为等腰直角三角形．证明：由（ 1）可知 B（4，3），且 D（3，0），E（0，1），∴D E2=32+12=10， BD2=（4﹣3）2+32=10，BE2=42+（3﹣1）2=20，∴D E2+BD 2=BE2，且 DE=BD ，∴△ EDB 为等腰直角三角形；（3）存在．原因以下：设直线 BE 分析式为 y=kx+b ，把 B、E 坐标代入可得，解得，∴直线 BE 分析式为 y= x+1，当 x=2 时， y=2，∴F（2，2），①当 AF 为平行四边形的一边时，则M 到 x 轴的距离与 F 到 x 轴的距离相等，即 M 到 x 轴的距离为 2，∴点 M 的纵坐标为 2 或﹣ 2，在 y=﹣x2+3x 中，令 y=2 可得 2=﹣x2+3x，解得 x=，∵点 M 在抛物线对称轴右边，∴x＞2，∴x=，∴M 点坐标为（，2）；在 y=﹣x2+3x 中，令 y=﹣ 2 可得﹣ 2=﹣x2+3x ，解得 x=，∵点 M 在抛物线对称轴右边，∴x＞2，∴x=，∴M 点坐标为（，﹣2）；②当 AF 为平行四边形的对角线时，∵A（4，0），F（2， 2），∴线段 AF 的中点为（ 3，1），即平行四边形的对称中心为（3，1），设 M （t，﹣ t2+3t）， N（x，0），则﹣t2+3t=2，解得 t=，∵点 M 在抛物线对称轴右边，∴x＞2，∴t=，∴M 点坐标为（，2）；综上可知存在知足条件的点M ，其坐标为（，2）或（，﹣2）．。

专题06 数据的分析-2019年中考数学年年考的28个重点微专题(原卷版)

5.方差:用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差。

方差公式为：s2=1n［(x1-x)2+(x2-x)2+…+(xｎ-x)2］，方差越小，数据越稳定.二、本专题典型题考法及解析【例题1】在一次数学模拟考试中，小明所在的学习小组7名同学的成绩分别为：129，136，145，136，148，136，150．则这次考试的平均数和众数分别为（）A．145，136 B．140，136C．136，148 D．136，145【例题2】近十天每天平均气温（℃）统计如下：24，23，22，24，24，27，30，31，30，29．关于这10个数据下列说法不正确的是（）A．众数是24 B．中位数是26C．平均数是26.4 D．极差是9三、数据的分析问题训练题及其答案和解析1.某校在体育健康测试中，有8名男生“引体向上”的成绩（单位：次）分别是：14，12，8，9，16，12，7，这组数据的中位数和众数分别是（）A． 10，12 B． 12，11C． 11，12 D． 12，122.如图是成都市某周内最高气温的折线统计图，关于这7天的日最高气温的说法正确的是（）A．极差是8℃ B．众数是28℃C．中位数是24℃ D．平均数是26℃3.已知甲、乙两组数据的折线图如图，设甲、乙两组数据的方差分别为S甲2、S乙2，则S甲2S乙2（填“＞”、“=”、“＜”）4．九年级一班和二班每班选8名同学进行投篮比赛，每名同学投篮10次，对每名同学投中的次数进行统计，甲说：“一班同学投中次数为6个的最多”乙说：“二班同学投中次数最多与最少的相差6个．”上面两名同学的议论能反映出的统计量是（）A．平均数和众数 B．众数和极差C．众数和方差 D．中位数和极差5.射击训练中，甲、乙、丙、丁四人每人射击10次，平均环数均为8.7环，方差分别为S甲2=0.51，S乙2=0.41、S丙2=0.62、S丁2=0.45，则四人中成绩最稳定的是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁6．若一组数据4，1，7，x，5的平均数为4，则这组数据的中位数为（）A．7 B．5 C．4 D．37．今年3月12日，某学校开展植树活动，某植树小组20名同学的年龄情况如下表：年龄（岁）12 13 14 15 16人数 1 4 3 5 7则这20名同学年龄的众数和中位数分别是（）A．15，14 B．15，15 C．16，14 D．16，158．一次招聘活动中，共有8人进入复试，他们的复试成绩（百分制）如下：70，100，90，80，70，90，90，80．对于这组数据，下列说法正确的是（）A．平均数是80 B．众数是90 C．中位数是80 D．极差是709．若四个互不相等的正整数中，最大的数是8，中位数是4，则这四个数的和为．10.如图是某地2月18日到23日PM2.5浓度和空气质量指数AQI的统计图(当AQI不大于100时称空气质量为“优良”)，由图可得下列说法：①18日的PM2.5浓度最低；②这六天中PM2.5浓度的中位数是112µg/cm2；③这六天中有4天空气质量为“优良”；④空气质量指数AQI与PM2.5浓度有关，其中正确的说法是（）A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④11．某中学为开拓学生视野，开展“课外读书周”活动，活动后期随机调查了九年级部分学生一周的课外阅读时间，并将结果绘制成两幅不完整的统计图，请你根据统计图的信息回答下列问题：（1）本次调查的学生总数为人，被调查学生的课外阅读时间的中位数是小时，众数是小时；（2）请你补全条形统计图；（3）在扇形统计图中，课外阅读时间为5小时的扇形的圆心角度数是；（4）若全校九年级共有学生700人，估计九年级一周课外阅读时间为6小时的学生有多少人？。

2019年名师伴学之数学热点真题讲解与分析(二)专题02 对数函数 Word版含解析

一.重点内容剖析1.对数运算是指数运算的逆运算，它们之间可以互相转换，即N x N a a xlog =⇔=，其中指数式中的x是对数式中的对数，N 是对数式中的真数，由指数函数的性质可知0>=x a N ，因此对数式中的真数N 是一个正数，从而知复数与零没有对数。

2. 函数x y a log =)10(≠>a a 且叫做对数函数，定义域为),0(+∞，值域为),(+∞-∞．3.对数函数图象位置分布规律为：对数函数x y a log =底数不同的图象在第一、四象限被直线x ＝1及x 轴的正半轴分成四个部分，对于x ＝1右边的两部分，x y a log =的图象从下而上分布时，则对应的底数分别由大到小在变化，此规律可以用来比较底数不同，真数相同的对数间的大小，即设x y a log 1=，x y b log 2=，其中1,1>>b a （或10,10<<<1时，“底大图低”即若a>b ，则<1y 2y ；当10<<x 时，“底大图高”即若a>b ，则>1y 2y .一般地，函数log a y x =与1log ay x =的图象关于x 轴对称.4. 对数函数的单调性取决于对数的底数是大于1还是小于1．如果已知条件并未指明，因此需要对底数a 进行讨论，体现了分类讨论的思想．5.对数值的正负有下列关系：)0,10(0)1)(1(0log >≠>>--⇔>b a a b a b a 且；)0,10(0)1)(1(0log >≠><--⇔<b a a b a b a 且熟记它们有助于提高解题效率。

6.比较几个数的大小是对数应用的常见题型。

在具体比较时，可以先将它们与0比较，分出正负数，再将正数与1比较，分出大于1还是小于1，然后再各类中间两两相比对数函数型数值间的大小关系，底相同时，考虑对数函数单调性，底不同时，可考虑中间值，或用换底公式化为同底，或考虑比较法。

2019年中考数学试题分项版解析汇编第期专题函数的图像与性质含解析

专题06 函数的图像与性质一、选择题1.（2017浙江衢州市第8题）如图，在直角坐标系中，点A 在函数)0(4>=x x y 的图象上，AB ⊥x 轴于点B ，AB 的垂直平分线与y 轴交于点C ，与函数)0(4>=x xy 的图象交于点D 。

连结AC ，CB ，BD ，DA ，则四边形ACBD 的面积等于（）A. 2B. 32C. 4D. 34【答案】C ．考点：反比例函数系数k 的几何意义.2.（2017山东德州第7题）下列函数中，对于任意实数1x ，2x ，当1x ＞2x 时，满足1y ＜2y 的是（）A ．y=-3x+2B ．y=2x+1C ．y=2x 2+1D ．1=-x y【答案】A【解析】试题分析：A ．y=-3x+2 ，k=-3,y 与x 变化相反，正确；B ．y=2x+1 ，k =2，y 与x 变化一致，错误；C ．y=2x 2+1 ，在对称轴左边，y 与x 变化相反，在对称轴右边，y 与x 变化一致，错误；D ．1=-x y ，在每个象限，y 与x 变化一致，错误；故选A.考点:函数的增减性3. （2017山东德州第9题）公式KP L L +=0表示当重力为P 时的物体作用在弹簧上时弹簧的长度. 0L 表示弹簧的初始长度,用厘米(cm)表示，K 表示单位重力物体作用在弹簧上时弹簧的长度，用厘米(cm)表示。

下面给出的四个公式中，表明这是一个短而硬的弹簧的是（）A ．L=10+0.5PB ．L=10+5PC ．L=80+0.5PD ．L=80+5P【答案】A【解析】试题分析：A 和B 中，L 0=10，表示弹簧短；A 和C 中，K=0.5，表示弹簧硬；故选A考点:一次函数的应用4.（2017浙江宁波第10题）抛物线2222y x x m =-++(m 是常数)的顶点在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A【解析】试题解析：2222y x x m =-++=（x-1）2+m 2+1∴顶点坐标为（1，m 2+1）∵m 2≥0∴m 2+1≥1∴抛物线2222y x x m =-++(m 是常数)的顶点在第一象限.故选A.考点：二次函数的图象.5.（2017甘肃庆阳第7题）在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b 的图象如图所示，观察图象可得（）A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜0【答案】A考点：一次函数图象与系数的关系．6. （2017甘肃庆阳第10题）如图①，在边长为4的正方形ABCD中，点P以每秒2cm的速度从点A出发，沿AB→BC的路径运动，到点C停止．过点P作PQ∥BD，PQ与边AD（或边CD）交于点Q，PQ的长度y（cm）与点P的运动时间x（秒）的函数图象如图②所示．当点P运动2.5秒时，PQ的长是（）A．B．C．D．【答案】B．【解析】试题解析：点P运动2.5秒时P点运动了5cm，CP=8-5=3cm，由勾股定理，得，故选B ．考点：动点函数图象问题.7.（2017广西贵港第10题）将如图所示的抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到的抛物线解析式是（）A ．()211y x =-+B ．()211y x =++C.()2211y x =-+ D ．()2211y x =++【答案】C【解析】试题解析：由图象，得y=2x 2﹣2，由平移规律，得y=2（x ﹣1）2+1，故选：C ．考点：二次函数图象与几何变换．8.（2017贵州安顺第10题）二次函数y=ax 2+bx+c （≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac ﹣b 2＜0；②3b+2c ＜0；③4a+c ＜2b ；④m （am+b ）+b ＜a （m ≠1），其中结论正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B ．【解析】试题解析：∵图象与x 轴有两个交点，∴方程ax 2+bx+c=0有两个不相等的实数根，∴b 2﹣4ac ＞0，∴4ac ﹣b 2＜0，①正确； ∵﹣2b a=﹣1， ∴b=2a ，∵a+b+c ＜0， ∴12b+b+c ＜0，3b+2c ＜0， ∴②是正确；∵当x=﹣2时，y ＞0，∴4a ﹣2b+c ＞0，∴4a+c ＞2b ，③错误；∵由图象可知x=﹣1时该二次函数取得最大值，∴a ﹣b+c ＞am 2+bm+c （m ≠﹣1）．∴m （am+b ）＜a ﹣b ．故④错误∴正确的有①②两个，故选B ．考点：二次函数图象与系数的关系．9.（2017湖南怀化第8题）一次函数2y x m =-+的图象经过点()2,3P -，且与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，则AOB △的面积是( ) A.12 B.14 C.4 D.8【答案】B.【解析】试题解析：∵一次函数y=﹣2x+m 的图象经过点P （﹣2，3），∴3=4+m ，解得m=﹣1，∴y=﹣2x ﹣1，∵当x=0时，y=﹣1，∴与y 轴交点B （0，﹣1），∵当y=0时，x=﹣12， ∴与x 轴交点A （﹣12，0）， ∴△AOB 的面积：V12×1×12=14．故选B ．考点：一次函数图象上点的坐标特征．10.（2017湖南怀化第10题）如图，A ，B 两点在反比例函数1k y x =的图象上，C ，D 两点在反比例函数2k y x=的图象上，AC y ^轴于点E ，BD y ^轴于点F ，2AC =，1BD =，3EF =，则12k k -的值是( )A.6B.4C.3D.2【答案】D【解析】试题解析：连接OA 、OC 、OD 、OB ，如图：由反比例函数的性质可知S △AOE =S △BOF =12|k 1|=12k 1，S △COE =S △DOF =12|k 2|=﹣12k 2， ∵S △AOC =S △AOE +S △COE ， ∴12AC•OE=12×2OE=OE=12（k 1﹣k 2）…①， ∵S △BOD =S △DOF +S △BOF ，∴12BD•OF=12×（EF ﹣OE ）=12×（3﹣OE ）=32﹣12OE=12（k 1﹣k 2）…②，由①②两式解得OE=1，则k 1﹣k 2=2．故选D ．考点：反比例函数图象上点的坐标特征．11.（2017江苏无锡第2题）函数=2-x y x中自变量x 的取值范围是（） A ．x≠2 B ．x≥2 C ．x≤2 D ．x ＞2【答案】A ．考点：函数自变量的取值范围．12.（2017江苏盐城第6题）如图，将函数y=12（x-2）2+1的图象沿y 轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A （1，m ），B （4，n ）平移后的对应点分别为点A'、B'．若曲线段AB 扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（）A ．y ＝12 (x −2)2−2B ．y ＝12 (x −2)2+7C ．y ＝12 (x −2)2−5D ．y ＝12(x −2)2+4 【答案】D ．【解析】试题解析：∵函数y=12（x-2）2+1的图象过点A （1，m ），B （4，n ）， ∴m=12（1-2）2+1=112，n=12（4-2）2+1=3， ∴A （1，112），B （4，3），过A 作AC ∥x 轴，交B′B 的延长线于点C ，则C （4，112）， ∴AC=4-1=3，∵曲线段AB 扫过的面积为9（图中的阴影部分），∴AC•AA′=3AA′=9，∴AA′=3，即将函数y=12（x-2）2+1的图象沿y 轴向上平移3个单位长度得到一条新函数的图象， ∴新图象的函数表达式是y=12（x-2）2+4．故选D ．考点：二次函数图象与几何变换．13.（2017甘肃兰州第11题）如图，反比例函数()0k y x x =<与一次函数4y x =+的图像交于A 、B 两点的横坐标分别为3-、1-，则关于x 的不等式()40k x x x<+<的解集为( )A.3x <-B.31x -<<-C.10x -<<D.3x <-或10x -<< 【答案】B【解析】试题解析：∵反比例函数()0k y x x=<与一次函数y=x+4的图象交于A 点的横坐标为﹣3，∴点A 的纵坐标y=﹣3+4=1，∴k=xy=﹣3，∴关于x 的不等式()40k x x x <+<的解集即不等式﹣3x＜x+4（x ＜0）的解集，观察图象可知，当﹣3＜x ＜﹣1时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，∴关于x 的不等式()40k x x x <+<的解集为：﹣3＜x ＜﹣1．故选B ．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．14.（2017甘肃兰州第15题）如图1，在矩形ABCD 中，动点E 从A 出发，沿A B B C →方向运动，当点E 到达点C 时停止运动，过点E 做FE AE ^，交CD 于F 点，设点E 运动路程为x ，FC y =，如图2所表示的是y 与x 的函数关系的大致图象，当点E 在BC 上运动时，FC 的最大长度是25，则矩形ABCD 的面积是( )图1 图2 A.235 B.5 C.6 D.254【答案】B【解析】试题解析：若点E 在BC 上时，如图∵∠EFC+∠AEB=90°，∠FEC+∠EFC=90°，∴∠CFE=∠AEB ，∵在△CFE 和△BEA 中，CFE AEB C B ⎧∠=∠⎨∠=∠⎩， ∴△CFE ∽△BEA ，由二次函数图象对称性可得E 在BC 中点时，CF 有最大值，此时CF CE BE AB= BE=CE=x ﹣52 ，即525522x y x -=-，∴y=225（x )52-，当y=25时，代入方程式解得：x 1=32（舍去），x 2=72， ∴BE=CE=1，∴BC=2，AB=52， ∴矩形ABCD 的面积为2×52=5；故选B ．考点：动点问题的函数图象．15.（2017贵州黔东南州第9题）如图，抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，给出下列结论： ①b 2=4ac ；②abc ＞0；③a ＞c ；④4a ﹣2b+c ＞0，其中正确的个数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C ．【解析】试题解析：①∵抛物线与x 轴有2个交点，∴△=b 2﹣4ac ＞0，所以①错误；②∵抛物线开口向上，∴a ＞0，∵抛物线的对称轴在y 轴的右侧，∴a 、b 同号，∴b ＞0，∵抛物线与y 轴交点在x 轴上方，∴c ＞0，∴abc ＞0，所以②正确；③∵x=﹣1时，y ＜0，即a ﹣b+c ＜0，∵对称轴为直线x=﹣1， ∴﹣2b a=﹣1， ∴b=2a ，∴a ﹣2a+c ＜0，即a ＞c ，所以③正确；④∵抛物线的对称轴为直线x=﹣1，∴x=﹣2和x=0时的函数值相等，即x=﹣2时，y ＞0，∴4a ﹣2b+c ＞0，所以④正确．所以本题正确的有：②③④，三个，故选C ．考点：二次函数图象与系数的关系．16.（2017山东烟台第11题）二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示，对称轴是直线1=x ，下列结论：①0<ab ；②ac b 42>；③0<++c b a ；④03<+c a .其中正确的是（）A ．①④B ．②④ C. ①②③ D ．①②③④【答案】C ．【解析】试题解析：∵抛物线开口向上，∴a ＞0，∵抛物线的对称轴为直线x=﹣2b a=1， ∴b=﹣2a ＜0，∴ab ＜0，所以①正确；∵抛物线与x 轴有2个交点，∴△=b 2﹣4ac ＞0，所以②正确；∵x=1时，y ＜0，∴a+b+c ＜0，∴a+b+2c ＜0，所以③正确；∵抛物线的对称轴为直线x=﹣2b a=1， ∴b=﹣2a ，而x=﹣1时，y ＞0，即a ﹣b+c ＞0，∴a+2a+c ＞0，所以④错误．故选C ．考点：二次函数图象与系数的关系．17.（2017四川泸州第8题）下列曲线中不能表示y 与x 的函数的是（） A ．B ．C ．D ．【答案】C.考点：函数的概念.18.（2017四川泸州第12题）已知抛物线y=x 2+1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F （0，2）的距离与到x 轴的距离始终相等，如图，点M 的坐标为，3），P 是抛物线y=14x 2+1上一个动点，则△PMF 周长的最小值是（）A ．3B ．4C ．5D ．6【解析】试题解析：过点M作ME⊥x轴于点E，交抛物线y=14x2+1于点P，此时△PMF周长最小值，∵F（0，2）、M（3），∴ME=3，，∴△PMF周长的最小值=ME+FM=3+2=5．故选C．考点：1.二次函数的性质；2.三角形三边关系．19.（2017四川宜宾第8题）如图，抛物线y1=12（x+1）2+1与y2=a（x﹣4）2﹣3交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于B、C两点，且D、E分别为顶点．则下列结论：①a=23；②AC=AE；③△ABD是等腰直角三角形；④当x＞1时，y1＞y2其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B．【解析】试题解析：∵抛物线y 1=12（x+1）2+1与y 2=a （x ﹣4）2﹣3交于点A （1，3）， ∴3=a （1﹣4）2﹣3，解得：a=23，故①正确； ∵E 是抛物线的顶点，∴AE=EC ，∴无法得出AC=AE ，故②错误；当y=3时，3=12（x+1）2+1，解得：x 1=1，x 2=﹣3，故B （﹣3，3），D （﹣1，1），则AB=4，∴AD 2+BD 2=AB 2，∴③△ABD 是等腰直角三角形，正确； ∵12（x+1）2+1=23（x ﹣4）2﹣3时，解得：x 1=1，x 2=37，∴当37＞x ＞1时，y 1＞y 2，故④错误．故选B ．考点：二次函数的图象与性质.20.（2017四川自贡第12题）一次函数y 1=k 1x+b 和反比例函数y 2=2k x（k 1•k 2≠0）的图象如图所示，若y 1＞y 2，则x 的取值范围是（）A ．﹣2＜x ＜0或x ＞1B ．﹣2＜x ＜1C ．x ＜﹣2或x ＞1D ．x ＜﹣2或0＜x ＜1【答案】D.【解析】试题解析：如图所示：若y 1＞y 2，则x 的取值范围是：x ＜﹣2或0＜x ＜1．故选D ．考点：反比例函数与一次函数的交点问题.21. （2017江苏徐州第7题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数()0y kx b k =+≠与()0m y m x =≠的图象相交于点()()2,3,6,1A B --，则不等式m kx b x+>的解集为（）A ．6x <-B ．60x -<<或2x >C. 2x > D ．6x <-或02x <<【答案】B ．【解析】试题解析：不等式kx+b ＞m x 的解集为：-6＜x ＜0或x ＞2，故选B ．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．22. （2017江苏徐州第8题）若函数22y x x b =-+的图象与坐标轴有三个交点，则b 的取值范围是（）A ．1b <且0b ≠B ．1b > C.01b << D ．1b <【答案】A ．【解析】试题解析：∵函数y=x 2-2x+b 的图象与坐标轴有三个交点，∴()22400＝b ＞b --≠⎧⎪⎨⎪⎩，解得b ＜1且b≠0．故选A ．考点：抛物线与x 轴的交点．23.（2017浙江嘉兴第10题）下列关于函数2610y x x =-+的四个命题：①当0x =时，y 有最小值10；②n 为任意实数，3x n =+时的函数值大于3x n =-时的函数值；③若3n >，且n 是整数，当1n x n ≤≤+时，y 的整数值有(24)n -个；④若函数图象过点0(,)a y 和0(,1)b y +，其中0a >，0b >，则a b <．其中真命题的序号是（）A ．①B ．②C ．③D ．④【答案】C ．【解析】试题解析：∵y=x 2-6x+10=（x-3）2+1，∴当x=3时，y 有最小值1，故①错误；当x=3+n 时，y=（3+n ）2-6（3+n ）+10，当x=3-n 时，y=（n-3）2-6（n-3）+10，∵（3+n ）2-6（3+n ）+10-[（n-3）2-6（n-3）+10]=0，∴n 为任意实数，x=3+n 时的函数值等于x=3-n 时的函数值，故②错误；∵抛物线y=x 2-6x+10的对称轴为x=3，a=1＞0，∴当x ＞3时，y 随x 的增大而增大，当x=n+1时，y=（n+1）2-6（n+1）+10，当x=n 时，y=n 2-6n+10，（n+1）2-6（n+1）+10-[n 2-6n+10]=2n-4，∵n 是整数，∴2n -4是整数，故③正确；∵抛物线y=x 2-6x+10的对称轴为x=3，1＞0，∴当x ＞3时，y 随x 的增大而增大，x ＜0时，y 随x 的增大而减小，∵y 0+1＞y 0，∴当0＜a ＜3，0＜b ＜3时，a ＞b ，当a ＞3，b ＞3时，a ＜b ，当0＜a ＜3，b ＞3时，a ，b 的大小不确定，故④错误；故选C ．考点：二次函数的性质.二、填空题1.（2017浙江衢州第15题）如图，在直角坐标系中，⊙A 的圆心A 的坐标为（-1，0），半径为1，点P 为直线343+-=x y 上的动点，过点P 作⊙A 的切线，切点为Q ，则切线长PQ 的最小值是__________【答案】【解析】试题解析：连接AP ，PQ ，当AP 最小时，PQ 最小，∴当AP ⊥直线y=﹣34x+3时，PQ 最小， ∵A 的坐标为（﹣1，0），y=﹣34x+3可化为3x+4y ﹣12=0， ∴|3(1)4012|=3， ∴．考点：1.切线的性质；2.一次函数的性质.2.（2017浙江宁波第17题）已知ABC △的三个顶点为()1,1A -，()1,3B -，()3,3C --，将ABC △向右平移()0m m >个单位后，ABC △某一边的中点恰好落在反比例函数3y x =的图象上，则m 的值为.【答案】m=4或m=0.5．【解析】考点：1.反比例函数图象上点的坐标特征；2.坐标与图形变化-平移．3.（2017重庆A卷第17题）A、B两地之间的路程为2380米，甲、乙两人分别从A、B两地出发，相向而行，已知甲先出发5分钟后，乙才出发，他们两人在A、B之间的C地相遇，相遇后，甲立即返回A地，乙继续向A地前行．甲到达A地时停止行走，乙到达A地时也停止行走，在整个行走过程中，甲、乙两人均保持各自的速度匀速行走，甲、乙两人相距的路程y（米）与甲出发的时间x（分钟）之间的关系如图所示，则乙到达A地时，甲与A地相距的路程是米．【答案】180.【解析】试题解析：由题意可得，甲的速度为：（2380﹣2080）÷5=60米/分，乙的速度为：（2080﹣910）÷（14﹣5）﹣60=70米/分，则乙从B 到A 地用的时间为：2380÷70=34分钟，他们相遇的时间为：2080÷（60+70）=16分钟，∴甲从开始到停止用的时间为：（16+5）×2=42分钟，∴乙到达A 地时，甲与A 地相距的路程是：60×（42﹣34﹣5）=60×3=180米. 考点：一次函数的应用.4.（2017广西贵港第18题）如图，过()2,1C 作AC x 轴，BC y 轴，点,A B 都在直线6y x =-+上，若双曲线()0k y x x=>与ABC ∆总有公共点，则k 的取值范围是．【答案】2≤k ≤9【解析】试题解析：当反比例函数的图象过C 点时，把C 的坐标代入得：k=2×1=2；把y=﹣x+6代入y=k x 得：﹣x+6=k x ， x 2﹣6x+k=0，△=（﹣6）2﹣4k=36﹣4k ，∵反比例函数y=k x的图象与△ABC 有公共点， ∴36﹣4k ≥0，k ≤9，即k 的范围是2≤k ≤9考点：反比例函数与一次函数的交点问题．5.（2017贵州安顺第12题）在函数2y x =-x 的取值范围．【答案】x ≥1且x ≠2．【解析】试题解析：根据题意得：x-1≥0且x-2≠0，解得：x≥1且x≠2．考点：函数自变量的取值范围．6.（2017湖北武汉第16题）已知关于x的二次函数y=ax2+(a2-1)x-a的图象与x轴的一个交点的坐标为(m,0)，若2<m<3，则a的取值范围是．【答案】-3<a<-2，13<a<12.【解析】试题解析：把（m，0）代入y=ax2+(a2-1)x-a得，am2+(a2-1)m-a=0解得：22（--1）(+1）2a aa±=∵2<m<3解得：-3<a<-2，13<a<12.考点：二次函数的图象.7.（2017江苏无锡第15题）若反比例函数y=kx的图象经过点（﹣1，﹣2），则k的值为．【答案】2.【解析】试题解析：把点（﹣1，﹣2）代入解析式可得k=2．考点：待定系数法求反比例函数解析式．8.（2017江苏盐城第16题）如图，曲线l是由函数y=6x在第一象限内的图象绕坐标原点O逆时针旋转45°得到的，过点A（，B（的直线与曲线l相交于点M、N，则△OMN的面积为．【答案】8. 【解析】试题解析：∵A（B（），∴OA⊥OB，建立如图新的坐标系（OB为x′轴，OA为y′轴．在新的坐标系中，A（0，8），B（4，0），∴直线AB解析式为y′=-2x′+8，由286y＝xy＝x'-'+''⎧⎪⎨⎪⎩，解得16x＝y＝''⎧⎨⎩或32x＝y＝''⎧⎨⎩，∴M（1.6），N（3，2），∴S△OMN=S△OBM-S△OBN=12•4•6-12•4•2=8考点：坐标与图形变化-旋转；反比例函数系数k的几何意义．9.（2017甘肃兰州第16题）若反比例函数kyx=的图象过点()1,2-，则k=．【答案】-2【解析】试题解析：∵图象经过点（﹣1，2），∴k=xy=﹣1×2=﹣2．考点：待定系数法求反比例函数解析式．10. （2017甘肃兰州第18题）如图，若抛物线2y ax bx c =++上的()4,0P ，Q 两点关于它的对称轴1x =对称，则Q 点的坐标为 .【答案】（﹣2，0）．【解析】试题解析：∵抛物线y=ax 2+bx+c 上的P （4，0），Q 两点关于它的对称轴x=1对称，∴P ，Q 两点到对称轴x=1的距离相等，∴Q 点的坐标为：（﹣2，0）．考点：二次函数的性质． 11.（2017贵州黔东南州第15题）如图，已知点A ，B 分别在反比例函数y 1=-2x 和y 2=xk 的图象上，若点A 是线段OB 的中点，则k 的值为．【答案】-8【解析】试题解析：设A （a ，b ），则B （2a ，2b ），∵点A 在反比例函数y 1=﹣2x的图象上，∴ab=﹣2；∵B 点在反比例函数y 2=x k 的图象上， ∴k =2a•2b=4ab=﹣8．考点：反比例函数图象上点的坐标特征．12.（2017山东烟台第17题）如图，直线2+=x y 与反比例函数xk y =的图象在第一象限交于点P ，若10=OP ，则k 的值为 .【答案】3【解析】试题解析：设点P （m ，m+2），∵，=解得m 1=1，m 2=﹣3（不合题意舍去），∴点P （1，3），∴3=1k ，解得k=3．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．13.（2017新疆建设兵团第11题）如图，它是反比例函数y=5m x-图象的一支，根据图象可知常数m 的取值范围是．【答案】m ＞5【解析】试题解析：由图象可知，反比例函数y=5m x-图象在第一象限， ∴m ﹣5＞0，得m ＞5考点：反比例函数的性质．14.（2017江苏徐州第12题）反比倒函数k y x =的图象经过点()2,1M -，则k = ．【答案】-2.【解析】试题解析：∵反比例函数y=k x的图象经过点M （-2，1）， ∴1=-2k ，解得k=-2．考点：反比例函数图象上点的坐标特征．三、解答题1.（2017浙江衢州第21题）“五一”期间，小明一家乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用新能源汽车自驾出游。

西北地区2019年中考数学试题分类解析专题2：函数问题

西北地区2019年中考数学试题（8套）分类解析汇编（6专题）专题2：函数问题一、选择题1. （2019陕西省3分）下列四组点中，可以在同一个正比例函数图象上的一组点是【】A ．（2．－3），（－4，6）B ．（－2，3），（4，6）C ．（－2，－3），（4，－6）D ．（2，3），（－4，6）【答案】A 。

【考点】一次函数图象上点的坐标特征。

【分析】由于正比例函数图象上点的纵坐标和横坐标的比相同，找到比值相同的一组数即可：A 、∵3624-=- ，∴两点在同一个正比例函数图象上； B 、∵3624≠-，∴两点不在同一个正比例函数图象上； C 、∵3624--≠-，∴两点不在同一个正比例函数图象上； D 、∵3624≠-，两点不在同一个正比例函数图象上。

故选A 。

2. （2019陕西省3分）在同一平面直角坐标系中，若一次函数y x 3=-+与y 3x 5=-图象交于点M ，则点M 的坐标为【】A ．（－1，4）B ．（－1，2）C ．（2，－1）D ．（2，1）【答案】D 。

【考点】两条直线的交点问题，解二元一次方程组【分析】联立 y=x+3y=3x 5-⎧⎨-⎩，解得x=2y=1⎧⎨⎩。

∴点M 的坐标为（2，1）。

故选D 。

3. （2019陕西省3分）在平面直角坐标系中，将抛物线2y x x 6=--向上（下）或向左（右）平移了m 个单位，使平移后的抛物线恰好经过原点，则m 的最小值为【】A ．1B ．2C ．3D ．6【答案】B 。

【考点】二次函数图象与平移变换【分析】计算出函数与x轴、y轴的交点，将图象适当运动，即可判断出抛物线移动的距离及方向：当x=0时，y=－6，故函数与y轴交于C（0，－6），当y=0时，x2－x－6=0，解得x=－2或x=3，即A（－2，0），B（3，0）。

由图可知，函数图象至少向右平移2个单位恰好过原点，故|m|的最小值为2。

故选B。

4. （2019甘肃兰州4分）近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(m)成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25m，则y与x的函数关系式为【】A．400y=xB．1y=4xC．100y=xD．1y=400x【答案】C。