一类求三角高考数学形面积的极值问题目的解题目思路与方法共4页word资料
与三角形面积有关的最值问题的求解策略
与三角形面积有关的最值问题的求解策略作者：代润达来源：《传播力研究》2018年第03期解三角形相关知识点是高考考查的重要内容，也是高考命题的热点部分，而且这部分内容往往易于和其他知识相结合，特别是三角函数、平面几何、解析几何、平面向量相结合，尤其是解三角形中的与面积有关最值问题和范围问题，结合正弦定理、余弦定理，常常利用三角函数的有界限性、基本不等式、函数求值域来求得最值，在高考各种题型中均有出现，如选择题、填空a题、解答题，其试题难度属于中高档题，下面通过具体实例加以说明。
一、与三角函数相结合求最值解三角形的面积问题，常常给出一些边和角的量，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向；第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化；第三步：求结果，解题的关键是利用三角函数的有界性进而得解。
典例1.如图，在ΔABC中，角A， B， C的对边分别为a，b，c， a=b（sinC+cosC）.（1）求角B的大小；（2）若A=， D为ΔABC外一点，DB=2， DC=1，求四边形ABCD面积的最大值.试题分析：（1）先根据正弦定理将条件转化为角的关系sinA=sinB（sinC+cosC），再利用三角形内角关系、诱导公式及两角和正弦公式化简得cosBsinC=sinBsinC，即得tanB=1，B=.（2）SABCD= SΔABC+ SΔBDC=×BC××BC+×BD× DCsinD，由余弦定理得BC2=12+22-2×1×2×cosD=5-4cosD，将数据代入可得SABCD=-cosD +sinD，利用配角公式得，最后根据三角形有界性可得四边形ABCD的面积最大值。
三角函数求三角形面积最大值
三角函数求三角形面积最大值标题：三角函数与三角形面积最大值的探讨在数学的世界里，三角函数是一个重要的概念。
它不仅仅是数学教学中的基础内容，更是在实际生活和工程领域中有着深远影响的数学工具。
而三角形作为几何形状中的重要一环，其面积的求解更是涉及到了三角函数。
在这篇文章中，我们将深入探讨三角函数对于求解三角形面积最大值的影响，希望通过深度的研究和广度的拓展，能够更好地理解这一问题。
一、三角形面积的求解在我们探讨三角函数对于三角形面积最大值的影响之前，首先让我们来回顾一下三角形面积的求解公式。
根据几何学的知识，我们知道三角形的面积可以通过底和高之间的关系来求解。
具体地而言，如果我们知道了三角形的底和高，那么三角形的面积就可以通过底乘以高再除以2来计算得出。
这个基本的公式在解决三角形面积问题时是非常有用的，但是在实际问题中，我们往往需要求解最大面积，这时候三角函数的知识就显得尤为重要了。
二、三角函数在求三角形面积最大值中的运用在数学中，最大值问题是一个经典的优化问题。
对于三角形的最大面积问题，我们可以通过三角函数来优化求解。
以正弦函数为例，我们知道正弦函数的图像是一个周期性的曲线，其在0到π之间的取值范围是[0,1]。
当我们在求解三角形面积最大值时，可以通过选择合适的角度来使得正弦函数的值最大化，从而求解出最大的三角形面积。
三、三角函数求解三角形面积最大值的案例分析下面，我们通过一个具体的案例来具体说明三角函数在求解三角形面积最大值中的运用。
假设我们需要求解一个固定底边长的等腰三角形的最大面积。
我们设定这个等腰三角形的底边长为a，那么根据等腰三角形的性质，上底也是a。
接下来，我们引入一个角度θ，使得等腰三角形的高为h = a * sinθ。
我们利用三角形面积公式S = 1/2 * a * h，将高h代入，则S = 1/2 * a * a * sinθ，进而得到S = 1/2 * a^2 * sinθ。
通过对sinθ的取值进行优化，我们可以求解出使得三角形面积最大的角度θ，并结合底边长a就可以求出最大面积。
求解三角形面积问题的方法
三角形面积问题的难度不大，通常要求根据已知的三角形边、角及其关系，求三角形的面积或最值.这类问题侧重于考查正余弦定理、勾股定理、三角函数的定义、三角形的面积公式的应用.下面结合一道例题，谈一谈求解三角形面积问题的方法.例题：已知ΔABC 的内角A ,B ,C 的对应边分别为a ,b ,c ，若a cos B =b cos A ，边BC 上的中线AD =4，求ΔABC面积的最大值.要求ΔABC 面积的最大值，需先根据三角形的面积公式S =12bc sin A 或S =12×底×高，求得三角形ΔABC 的面积表达式；再运用基本不等式或三角函数的性质求得ΔABC 面积的最值.一、利用正余弦定理我们知道，正弦定理：a sin A =b sin B =csin C=2R .余弦定理:a 2=b 2+c 2-2bc cos A ；b 2=a 2+c 2-2ac cos B ;c 2=a 2+b 2-2ab cos C .要求三角形的面积或最值，需利用正余弦定理进行边角互化.一般地，若已知的边及其关系较多，往往需运用余弦定理将边化角；若已知的角及其关系较多，往往需运用正弦定理将角化边.也可同时运用正余弦定理建立关于边、角的方程（组），通过解方程（组），求得三角形的边、角及其关系式，从而求得三角形的面积或最值.解法一：因为a cos B =b cos A ，由正弦定理a sin A =bsin B可得sin A cos B =sin B cos A ，由两角差的正弦公式可得sin(A -B )=0，则A -B =kπ(k ∈Z )，而A,B ∈()0,π，则A =B ，所以c =2a cos A .因为边BC 上的中线AD =4，在ΔABD 中，由余弦定理可得16=c 2+(a 2)2-2c ⋅a2cos B ，得a 2=641+8cos 2B.所以ΔABC 的面积S =12ac sin B =64sin B cos B sin 2B +9cos 2B.由基本不等式可得，sin 2B +9cos 2B ≥6sin 2B cos 2B =6sin B cos B,当且仅当sin B =3cos B 时等号成立，所以S ΔABC 的最大值为323.我们先运用正弦定理，将已知关系式a cos B =b cos A 中的边化为角，得出A =B ；然后运用余弦定理，建立a 、c 及其夹角B 之间的关系式，从而求得ΔABC 面积的表达式；再通过三角恒等变换，运用基本不等式求得ΔABC 面积的最值.解法二：由解法一可知A =B ，因为CA =a ,所以CD =12a ，则S ΔABC =2S ΔADC =2×12⋅a ⋅12a sin C ，在ΔACD 中，由余弦定理得a 2cos C =5a 24-16,由sin 2C +cos 2C =1，得：sin C =S ΔABC =2⋅12a ⋅12a sin C=16当a =853时，S ΔABC 的最大值为323.先利用正弦定理将边化为角，得出A =B ；然后用余弦定理建立a 与cos C 之间的关系式，进而用其表示出44方法集锦ΔABC 的面积；最后根据二次函数的单调性和有界性求得ΔABC 面积的最值.二、坐标法坐标法是指建立合适的直角坐标系，通过坐标运算求得问题的答案.运用坐标法求解三角形面积问题时，要将三角形的高线、等腰三角形的中线，角的平分线视为坐标轴，这样能快速求得各个点的坐标，有利于简化运算.在求三角形的面积时，通常要用两点间的距离公式、点到直线的距离公式来求三角形的边长或高线长.解：以AB 为x 轴，AB 的中点为原点，建立如图1所示的平面直角坐标系，设C (0,h )，可得A (-c 2,0),B (c 2,0),D (c 4,h2)，由两点间的距离公式可得|AD|2=9c 216+h 24，即16=9c 216+h 24≥2⋅34c ⋅h 2，可得ch ≤643，当且仅当3c 4=h 2=22，即c =823,h =42时取等号，所以S ΔABC =12ch ≤12×643=323.建立坐标系后，设出D 点的坐标，并求得A 、C 的坐标，即可根据两点间的距离公式求得AD 的长，据此建立三角形底边和高线之间的关系式，再运用基本不等式即可求得ΔABC 面积的最值.图1图2三、利用阿波罗尼斯圆的定义阿波罗尼斯圆是一种特殊的几何图形.若PAPB=k ，则P 点的轨迹在一个定圆上，这个圆被称为阿波罗尼斯圆.在解答三角形问题时，若已知某个动点与两个定点之间的距离成倍数关系，则可将该点的轨迹视为阿波罗尼斯圆，据此确定P 点的轨迹方程，从而将三角形问题转化为动点的轨迹问题，通过寻找最值点求得三角形面积的最值.解：因为a cos B =b cos A ，由正弦定理可得A =B ，则|CA|=2|CD|，可知点C 的轨迹为阿波罗尼斯圆，其圆心在直线AD上，半径为83，由图2可知，当ΔADC 的高最长，即为圆的半径83时，三角形的面积最大，此时ΔABC 的面积最大，即S ΔABC =2×S ΔADC =2×12×4×83=323.利用阿波罗尼斯圆的定义，关键在于确定圆的方程、圆心、半径，然后结合圆的性质寻找取得最值的情形，并据此建立关系式，将三角形面积问题转化与圆有关的最值问题.四、割补法割补法主要用于求解图形面积问题.对于一些不规则或不易求得面积的几何图形，往往可以通过分割和填补的方式，将图形转化为规则的或容易求出面积的图形，便可直接运用规则图形的面积公式快速求得图形的面积或表达式，进而求得问题的答案.解：因为a cos B =b cos A ，由正弦定理可得A =B ，则|CA|=2|CD|，如图3，设G 为ΔABC 的重心，即为ΔABC 外接圆的圆心，则GA =83，设∠GAC =α，则S ΔABC =6×S ΔAGO =6×12×83×83cos αsin α=323sin2α≤323,当且仅当α=π4时取等号.我们根据题意很难直接求得ΔABC 的面积，于是运用割补法将ΔABC 三角形分成6个全等的小三角形，将问题转化为求S ΔAGO 的最值，根据三角函数的有界性求得问题的答案.在割补图形时，往往要仔细研究图形的结构特征，对其进行合理的分割，且割补的方式不一样，运算的过程也会有所差异.可见，解答三角形面积问题的方法很多，同学们需运用发散性思维，将问题与三角形的性质、正余弦定理、图形的面积公式、阿波罗尼斯圆的定义等关联起来，寻找最佳的解题方案.在解答三角形面积问题时，需注意一些隐含的条件，如（1）三角形的边长、面积均为正值；（2）三角形的内角为（0,180o ），三个内角和为180o ；（3）三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，否则会容易得出增解或错解.（作者单位：江苏省如东县掘港高级中学）图345。
第08讲 拓展三：三角形中面积(定值,最值,取值范围)问题 (精讲)(解析版)-2024年高考数学一
第08讲拓展三：三角形中面积（定值，最值，取值范围）问题(精讲）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：典型例题剖析高频考点一：求三角形面积（定值问题）高频考点二：根据三角形面积求其它元素高频考点三：求三角形面积最值高频考点四：求三角形面积取值范围第三部分：高考真题感悟第一部分：知识点精准记忆1、三角形面积的计算公式：①12S =⨯⨯底高；②111=sin sin sin 222S ab C ac B bc A ==；③1()2S a b c r =++（其中，,,a b c 是三角形ABC 的各边长，r 是三角形ABC 的内切圆半径）；④4abcS R=(其中，,,a b c 是三角形ABC 的各边长，R 是三角形ABC 的外接圆半径).2、三角形面积最值：核心技巧：利用基本不等式222()22a b a b ab ++≤≤，再代入面积公式.3、三角形面积取值范围：核心技巧：利用正弦定理2sin a R A =，2sin b R B =，代入面积公式，再结合辅助角公式，根据角的取值范围，求面积的取值范围.第二部分：典型例题剖析高频考点一：求三角形面积（定值问题）1．（2022·河南·模拟预测（文））已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足()2cos cos cos c C a B b B C =-+.(1)求角C ；(2)若6c =，ABC 的面积6sin S b B =，求S .【答案】(1)π3(2)(1)因为πA B C ++=，所以()cos cos B C A +=-，所以2cos cos cos c C a B b A =+，由正弦定理得()2sin cos sin cos sin cos sin C C A B B A A B =+=+.因为()sin sin A B C +=，所以2sin cos sin C C C =.因为()0,πC ∈，所以sin 0C ≠，所以1cos 2C =，则π3C =.(2)由6sin S b B =，根据面积公式，得16sin sin 3sin 2b B ac B a B ==，所以2a b =.由余弦定理得2221cos 22a b c C ab +-==，整理得2236a b ab +-=，即2336b =，所以b =a =.所以ABC 的面积11πsin 223S ab C ==⨯=2．（2022·河南·夏邑第一高级中学高二期末（文））在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，()()sin sin sin sin sin sin 3sin sin A B C A B C A B+++-=.(1)求角C 的大小；(2)若ABC 外接圆的面积为12π，6b =，求ABC 的面积.【答案】(1)3π(2)(1)因为()()sin sin sin sin sin sin 3sin sin A B C A B C A B+++-=，由正弦定理，得()()3a b c a b c ab +++-=，整理得222a b c ab +-=，由余弦定理，得2221cos 222a b c ab C ab ab +-===.因为()0,C π∈，所以3C π=.(2)设ABC 外接圆的半径为R ，则212R ππ=，所以R =由正弦定理，得2sin cR C ==，所以6c C ==.因为6b c ==，3C π=，所以ABC 是等边三角形.所以ABC的面积为11sin 6622ab C =⨯⨯⨯.3．（2022·全国·高三专题练习）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，且sin sin2B C a C +=.(1)求角A 的大小；(2)若点D 在边BC 上，且33CD BD ==，π6BAD ∠=，求△ABC 的面积.【答案】(1)2π3A =；(2)19.(1)由已知及正弦定理得：sin sin sin sin 2B CA C C +，又πBC A +=-，∴π222B C A+=-，又sin 0C ≠，∴sin 2A A =，则2sin cos 222A A A=，而π022A <<，∴cos02A ≠，则sin 2A =，故π23A =，得2π3A =.(2)由2π3BAC ∠=，π6BAD ∠=，则π2DAC ∠=.法一：在△ABD 中，πsin sin 6BD cBDA =∠，①在△ADC 中，πsin sin 2CD bADC =∠，②∵πADB ADC ∠+∠=，∴sin sin BDA ADC ∠=∠，③由①②③得：2BD cCD b=，又33CD BD ==，得1BD =，∴23c b =，不妨设2c m =，3b m =，在△ABC 中，由余弦定理可得，()()2222π423223cos3m m m m =+-⨯⨯，得21619m =，所以11sin 2322ABC S b c BAC m m =⨯∠=⨯⨯△.法二：π1sinsin 621π2sin sin 22BADADCc c AD BAD S c S b b AD CAD b ⋅∠===⋅∠△△.∵△BAD 的边BD 与△ADC 的边DC 上的高相等，∴13BAD ADC S BD S DC ==△△，由此得：123c b =，即23c b =，不妨设2c m =，3b m =，在△ABC 中，由余弦定理可得，()()2222π423223cos3m m m m =+-⨯⨯，得21619m =，所以11sin 2322219ABC S b c BAC m m =⨯∠=⨯⨯⨯=△.4．（2022·河南三门峡·模拟预测（文））已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos cos 3cos ba C c A C+=.(1)求tan C ；(2)若3c =，16sin sin 27A B =，求ABC 的面积.【答案】(1)tan C =ABC S = (1)解：由题意得：由正弦定理得sin sin cos sin cos 3cos BA C C A C+=，所以()sin sin sin()3cos BA CB Cπ+=-=，所以sin sin 3cos B B C=又因为sin 0B ≠，所以1cos 3C =.所以sin 3C ==，sin tan cos C C C ==(2)若3c =，由正弦定理sin sin sin a b cA B C==，得sin sin 4223a b A B ==，则a A =，b B =，则16216216sin sin 644161627ab A B A B =⋅==⨯=，所以11sin 622ABC S ab C ==⨯=△5．（2022·全国·高三专题练习）在①()()()sin sin sin sin A B a b C B c +-=-，②sinsin 2B Cb a B +=，③2tan tan tan B b A B c=+中任选一个，补充在横线上，并回答下面问题．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且________．(1)求角A 的大小；(2)已知2AB =，D 为AB 中点，且2CD ab =，求ABC 面积．【答案】(1)选①3A π=；选②3A π=；选③3A π=(2)选①2；选②2；选③2(1)解：选①：()()()sin sin sin sin A B a b C B c +-=-，由正弦定理可得：()()()a b a b c b c +-=-，222a b c bc -=-，222a c b bc =+-，由余弦定理可得()2221cos ,0,22b c a A A bc π+-==∈，所以3A π=，选②：sinsin 2B Cb a B +=，由正弦定理得：sin sin sin sin ,sin 02B CB A B B +=>，所以sin sin ,sin sin 22B C AA A π+-==，cos2sin cos ,cos 02222A A A A=>，所以1sin22A =，()0,A π∈，3A π=，选③：2tan tan tanB bA B c=+，∴由正弦定理可得：2tan sin tan tan sin B BA B C=+，可得：sin 2sin cos ,sin sin sin cos cos BB B A B CA B⨯=+可得：()2sin 2sin 2sin cos sin cos cos sin cos sin cos sin sin sin cos cos cos cos B BB A B B B A B B A A BC CA B A B===++，sin 0B ≠ ，sin 0C ≠，解得1cos 2A =，()0,A π∈ ，3A π∴=．(2)解：2AB = ，D 为AB 的中点，1AD BD ∴==，CDA CDB π∠+∠= ，cos cos 0CDA CDB ∴∠+∠=，222211022CD b CD a CD CD+-+-+=，即22222CD a b +=+，2CD ab = ，()22a b ∴-=，a b ∴-=)，a b ∴=，在ABC中，由余弦定理有22)422cos60b b b =+-⋅⋅⋅，解得1b，)121sin23ABC S π=⋅⋅⋅=△高频考点二：根据三角形面积求其它元素1．（2022·江苏南京·模拟预测）请在①向量,sin c a x B b c -⎛⎫=⎪+⎝⎭ ，,sin b c y A c a -⎛⎫= ⎪+⎝⎭，且x y ；π2sin 3c A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭这两个条件中任选一个填入横线上并解答．在锐角三角形ABC 中，已知角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，．(1)求角C ；(2)若ABC的面积为2a b +的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1)π3C =(2)()8,10(1)选择①：因为x y ，所以()()sin sin c a A b c B b c c a--=++，由正弦定理得，()()c a a b c b cc ab --=++，即()()2222a c a b b c -=-，即2233ac bc a b +=+，即()()()222c a b a b a ab b +=+-+，即222c a b ab =+-．因为2221cos 22a b c C ab +-==，又C 为锐角，所以π3C =．选择②：π2sin 3c A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，π2sin sin 3B C A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，sin sin sin cos B C A C A =．又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，cos sin sin A C C A =．因为sin 0A >sin C C =，又C为锐角，所以tan C =π3C =．(2)因为1sin 2ABC S ab C === ，所以8ab =，则822a b a a+=+．(法一)由余弦定理得，222222cos 8c a b ab C a b =+-=+-．①因为ABC 为锐角三角形，所以cos 0,cos 0,A B >⎧⎨>⎩即2222220,0.b c a a c b ⎧+->⎨+->⎩将①代入上式可得224,4,b a ⎧>⎨>⎩即2284,4,a a ⎧⎛⎫>⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪>⎩解得24a <<．令()82f a a a =+，，则()()22224820a f a a a-=-=>'，所以()f a 在24a <<上单调递增，所以()()()24f f a f <<，即()810f a <<，即2a b +的取值范围为()8,10．(法二)由正弦定理得π1sin sin cos sin 11322sin sin sin 22tan B B Ba Ab B B B B ⎛⎫++ ⎪⎝⎭====+，又288a a a b a==，所以211822tan a B=+．因为ABC 为锐角三角形，所以2ππ0,32π0,2A B B ⎧<=-<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩解得ππ62B <<因为tan B10tan B<<1112222tan B<+<，即21228a <<，解得24a <<．令()82f a a a =+，24a <<，则()()22224820a f a a a -=-=>'，所以()f a 在24a <<上单调递增，所以()()()24f f a f <<，即()810f a <<，即2a b +的取值范围为()8,10．2．（2022·山西·朔州市平鲁区李林中学高一阶段练习）在ABC 中，设角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知22cos b a c B =-(1)求C 的大小；(2)若ABC的面积为cos 2cos 2A B +的值.【答案】(1)3π;(2)56-.(1)因为22cos b a c B =-，所以由正弦定理得sin 2sin 2sin cos B A C B =-,所以sin 2sin()2sin cos B B C C B =+-，所以o s s in 2sin cos 2c sin 2sin cos B C B C C B B =+-,即sin 2sin cos B B C=sin 0B ≠ ，1cos 2C ∴=，(0,)C π∈ ，3C π∴=.(2)因为ABC的面积为1sin 2ab C =，解的8ab =，2sin cR C∴=，解得3c =，由余弦定理可得，2222cos c a b ab C =+-，所以2217a b +=，2222221cos 2cos 222(sin sin )22()()2()226ab A B A B a b RR ⎡⎤+=-+=-+=-+⎢⎥⎣⎦,5cos 2cos 26A B ∴+=-.3．（2022·四川·内江市教育科学研究所三模（文））如图，在ABC 中，2AC =，120ACB ∠=︒，D 是边AB 上一点.(1)若CAD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，求BD 的长；(2)若D 是边AB 的中点，ABC 的面积为23CD 的长.【答案】623(1)由120ACB ∠=︒，2AC =，CAD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形所以2CD =，30BCD ∠=︒，15B ∠=︒，则()62sin sin 4530sin 45cos30cos 45sin 304B =︒-︒=︒︒-︒︒=.在△BCD 中，由正弦定理知sin sin BD CD BCD B =∠，则sin 62sin CD BCDBD B∠⋅==(2)由1sin 232ABC S CA CB ACB ∠=⋅⋅=△434sin BC CA ACB==⋅∠.又D 是边AB 的中点，所以()11112222CD CA AD CA AB CA CB CA CA CB =+=+=+-=+，则()2221111241622432222CD CA CBCA CB CA CB =+=++⋅=+-⨯⨯⨯= 故3CD =4．（2022·河南郑州·高一期中）在锐角三角形ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，向量(23a a = ，(,sin )b c C =r ，且a b ∥．(1)求角A(2)若c ＝2，且△ABC 的面积为332，求AC 边上的中线BM 的大小．【答案】(1)3A π=(2)132BM =(1)因为a b ∥，(23a a =，(sin )b c C =⋅r ，所以2sin 3a C c =．由正弦定理得2sin sin 3sin A C C =．因为0,2C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 0C >，所以3sin 2A =因为0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3A π=；(2)因为△ABC 的面积为2．所以1sin 22bc A =．因为c ＝2．3A π=．所以3b =．在三角形ABM 中，∵M 为AC 的中点．∴1322AM b ==，由余弦定理得2222331132cos 4222224BM AM AB AB AM A ⎛⎫=+-⋅=+-⨯⨯⨯=⎪⎝⎭．所以2BM =．5．（2022·湖南·长郡中学高三阶段练习）法国著名军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这个三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”.如图，在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()()cos cos sin a B C A C a -=-.以AB ，BC ，AC 为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为1O ，2O ，3O .(1)求A ；(2)若a =123O O O ABC 的周长.【答案】(1)60︒(2)3+(1)解：由()()cos cos sin a B C A C a -=-，得()cos cos sin cos a B C a A C A -+=，即()()cos cos sin cos a B C a B C C A --+=，即()()cos cos sin sin cos cos sin sin sin cos a B C B C a B C B C b C A +--=即2sin sin sin cos a B C C A =，∵sin 0C ≠，∴sin cos a B A =，由正弦定理得sin sin cos A B B A =，∵sin 0B ≠，∴sin A A =，∴tan A =∵0180A <<︒︒，∴60A =︒.(2)解：如图，连接1AO ､3AO ，则13AO c =，33AO b =，正123O O O 面积2213131sin 60212S O O O =⋅⋅︒==，∴21373O O =，而60BAC ∠=︒，则13120O AO ∠=°，∴13O AO 中，由余弦定理得：222131313132cos O O AO AO AO AO O AO =+-⋅⋅∠，有2271233332b c bc ⎛⎫=+-⋅- ⎪⎝⎭，则227b c bc ++=，在ABC 中，60A =︒，a 由余弦定理得2222cos a b c bc BAC =+-∠，则223b c bc +-=，∴2bc =，225b c +=，∴3b c +=，所以ABC 的周长为3高频考点三：求三角形面积最值1．（2022·上海市青浦高级中学高一阶段练习）ABC ∆中，60,A a =︒=(1)若2b c=，求(2)求三角形面积的最大值【答案】(1)已知60,A a =︒=2b =，，由余弦定理有：2222431cos242b c a c A bc c +-+-===，2210c c -+=，所以=1c .(2)由余弦定理有，222222cos 2a =b c bc A b c bc bc bc bc +-=+-≥-=，当且仅当“=b c ”时取等，所以3bc ≤.所以1sin 244S bc A bc ==≤，三角形面积的最大值为：4.2．（2022·山西·运城市景胜中学高二阶段练习（理））在ABC 中，b ，c 分别为内角B ，C的对边长，设向量cos ,sin 22A A m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，cos ,sin 22A A n ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，且有2m n ⋅= ．(1)求角A 的大小；(2)若a =，求三角形面积的最大值．【答案】(1)4π(2))514(1)由m n ⋅=22cos sin 22A A -=；即cos 2A =因为()0A π∈，，所以4A π=(2)由2222cos a b c bc A =+-得：225b c +=又222b c bc +≥∴(52bc≥-∴(522bc ≤∴()52511()224ABC max S +=⋅ .三角形面积的最大值为)514.3．（2022·上海·高三专题练习）已知()21cos cos2f x x x x =-+.（1）若ππ,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()f x 的取值范围；（2）设ABC 的三边分别是a ，b ，c ，周长为2，若()12f B =-，求ABC 面积的最大值.【答案】（1）1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）12．（1）()211cos 21cos cos 2222x f x x x x x +=-+=-+sin 2coscos 2sin sin 2666x x x πππ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，又ππ,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2,662x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故()f x 的取值范围为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦．（2）由()12f B =-可得，1sin 262B π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，而112,666B πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以7266B ππ-=，解得23B π=．由于2222222cos3b ac ac a c ac π=+-=++，又2a b c ++=，所以()2222a c a c ac --=++，化简可得，()44ac a c +=+，而2a c >+≥，即1ac <，所以()44ac a c +=+≥a c =时取等号，解得4≥+4≤-28ac ≤-故ABC 面积的最大值为()max 1sin 122S ac B ==．4．（2022·河南·高三阶段练习（理））在ABC 中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，向量()(),2,cos ,cos m a b c n B A =-= ，且m n ⊥ .（1）求角A 的大小；（2）若ABC 外接圆的半径为2，求ABC 面积的最大值.【答案】（1）3A π=；（2）（1）依题意得：cos (2)cos 0a B b c A +-=，则sin cos sin cos 2sin cos A B B A C A +=，∴sin 2sin cos C C A =，又sin 0C ≠，∴1cos 2A =，()0,A π∈，故3A π=.（2）法一：由正弦定理得2sin 4sin b RB B ==，24sin 4sin 3cC B π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，∴ABC 面积121sin sin cos sin2322S bc A B B B B B π⎫⎛⎫==-=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭)26sin cos 3sin 2cos 2226B B B B B B π⎛⎫=+=+-=- ⎪⎝⎭由3A π=得：203B π<<，则72666B πππ-<-<，∴1sin 2126B π⎛⎫-<-≤ ⎪⎝⎭，故262B ππ-=，即3B π=时，max S =.法二：由正弦定理得：2sin a R A ==2222cos a b c bc A =+-，∴22122b c bc bc +=+≥，当且仅当b c =时取等号，∴12bc ≤，max max 1()sin 23S bc π==5．（2022·福建省厦门第六中学高一阶段练习）已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，cos sin 0a C C b c --=．(1)求A ；(2)若2a =，求ABC 的面积的最大值．【答案】(1)3π；(1)解：在ABC 中，因为cos sin 0a C C b c --=，所以由正弦定理有sin cos sin sin sin 0A C A C B C +--=，即sin cos sin sin()sin A C A C A C C-+-sin cos sin sin cos cos sin sin 0A C A C A C A C C =---=，sin cos sin sin 0A C A C C --=，因为(0,)C π∈，所以sin 0C ≠，cos 10A A --=，即1sin()62A π-=，因为(0,)A π∈，所以5666A πππ-<-<，所以66A ππ-=，解得：3A π=.(2)解：因为2a =，所以由（1）及余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，则2242cos3b c bc π=+-，即224b c bc =+-，222b c bc +≥ ，则222b c bc bc bc +-≥-，即4bc ≥，即4bc ≤，当且仅当2b c ==时，取等号，所以()max 4bc =，所以ABC 的面积的最大值为11sin 4222S bc A ==⨯⨯=6．（2022·湖南·雅礼中学高三阶段练习）已知等腰三角形ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin b A B =，c (c ＋b )＝(a ＋b )(a －b )．(1)求A 和b ；(2)若点E ，F 分别是线段BC (含端点)上的动点，且BF ＞BE ，在运动过程中始终有3EAF π∠=，求△EAF 面积的最小值．【答案】(1);23π(1)由正弦定理得：sin sin b A B =即：22a bb R R⨯=(R 为三角形ABC 的外接圆半径)，故a =，由()()()c c b a b a b ＋＝＋－得：222c b a bc +-=-，则1cos 2A =-，因为(0,)A π∈，故23A π=；由等腰三角形ABC 可得6B π=，故622sin 3b ππ==；(2)由（1）知：2a b c ===，由点E ，F 分别是线段BC (含端点)上的动点，且BF >BE ，在运动过程中始终有3EAF π∠=，知点E 在点F 的左边,如图：设EAB θ∠=，3EAF π∠=不变，可知[0,]3πθ∈,在ABE △中，由正弦定理可得5sin sin(6)6AEAB ππθ=-，5sin()16AE πθ∴=-，在ABF 中，由正弦定理可得6sin sin()2AFAB ππθ=-，1cos AF θ∴=，故1||||sin 52cos s 1136in()AEF S AE AF ππθθ=⨯-12sin(2)6θ==++[0,]3πθ∈，∴16sin(2[,1]2πθ+∈，∴三角形AEF6πθ=．7．（2022·福建·厦门双十中学高一期中）为响应国家“乡村振兴”号召，农民王大伯拟将自家一块直角三角形地按如图规划成3个功能区：△BNC 区域为荔枝林和放养走地鸡，△CMA 区域规划为“民宿”供游客住宿及餐饮，△MNC 区域规划为小型鱼塘养鱼供休闲垂钓.为安全起见，在鱼塘△MNC 周围筑起护栏.已知40m AC =，BC =，AC BC ⊥，30MCN ∠=︒.(1)若20m AM =时，求护栏的长度（△MNC 的周长）；(2)当ACM ∠为何值时，鱼塘△MNC 的面积最小，最小面积是多少？【答案】(1)60203+；(2)15ACM ∠=︒，最小值为(2120023km .(1)由40m AC =，403m BC =，AC BC ⊥，则3tan AC B BC ==所以30B =︒，60A =︒，则280AB AC ==，在△ACM 中，由余弦定理得22212cos 16004002402012002CM AC AM AC AM A =+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯=，则203CM =所以222AC AM CM =+，即CM AB ⊥，又30MCN ∠=︒，所以tan 3020MN CM =︒=，则240CN MN ==，综上，护栏的长度（△MNC 的周长）为2040203603++=+.(2)设()060ACM θθ∠=︒<<︒，在△BCN 中，由()sin 30sin 90CN BC θ=︒︒+，得203cos CN θ=，在△ACM 中，由()sin 60sin 60CM CA θ=︒︒+，得()3sin 60CM θ=+︒，所以()1300sin 302sin 60cos CMN S CM CN θθ=⋅︒=+︒ ，而()213sin 60cos sin cos cos 22θθθθθ+︒=+()()13113313sin 21cos 2sin 2cos 2sin 26044222424θθθθθ⎛⎫=+⨯+=++=+︒+ ⎪ ⎪⎝⎭，所以()2sin 2603CMN S θ=+︒+ ，仅当26090θ+︒=︒，即15θ=︒时，()2sin 2603θ+︒+最大值为23，此时△CMN 的面积取最小值为(2120023km .8．（2022·上海徐汇·二模）某动物园喜迎虎年的到来，拟用一块形如直角三角形ABC 的地块建造小老虎的休息区和活动区．如图，90BAC ∠=︒，20AB AC ==（单位：米），E 、F 为BC 上的两点，且45EAF ∠=︒，AEF 区域为休息区，ABE △和ACF 区域均为活动区．设()045EAB αα∠=<<︒．(1)求AE 、AF 的长（用α的代数式表示）；(2)为了使小老虎能健康成长，要求所建造的活动区面积尽可能大（即休息区尽可能小）．当α为多少时，活动区的面积最大？最大面积为多少？【答案】(1)20sin cos AE αα=+米，cos AF α=米；(2)当α为8π时，小老虎活动区的面积最大，最大面积为(2002平方米.(1)由题意得，20AB AC ==米，90BAC ∠=︒，则45ABC ACB ∠=∠=︒，又由()045EAB αα∠=<<︒，180135AEB EAB ABE α∴∠=︒-∠-∠=︒-，9045CAF EAF EAB α∠=︒-∠-∠=︒-，所以18090AFC CAF ACF α∠=︒-∠-∠=︒+；在ABE △中，由正弦定理得：sin sin AE ABABE AEB=∠∠，即()2020sin 45sin 135sin cos AE AE ααα=⇒=︒︒-+米；同理，在ACF 中，sin sin AF ACACF AFC=∠∠，即()20sin 45sin 90cos AF AF αα=⇒=︒︒+米；综上所述：20sin cos AE αα=+米，AF .(2)由（1）知，综20sin cos AE αα=+米，AF 所以小老虎休息区AEF 面积为:1120sin sin 4522sin cos AEF S AF AE EAF αα=⨯⨯⨯∠=⨯⨯︒+△化简得：210010020011cos 2sin cos cos sin 221224AEF S αααααα===+π+⎛⎫+++ ⎪⎝⎭△又()045EAB αα∠=<<︒ ，∴32444πππα<+<，则当242ππα+=，即8πα=时，AEF S取得最小值)20020012184=ππ⎛⎫⨯++ ⎪⎝⎭；此时小老虎活动区面积S取得最大值，即)(12020200120022ABC AEF S S S =-=⨯⨯--=△△平方米.综上所述：当α为8π时，小老虎活动区的面积最大，最大面积为(2002平方米.高频考点四：求三角形面积取值范围1．（2022·江苏·无锡市第一中学高一期中）已知ABC 的内角A ､B ､C 所对的边分别为a ､b ､c ，且()sin sin sin b c B c C a A -+=，cos cos 1b C c B +=.(1)求A 和a 的大小；(2)若ABC 为锐角三角形，求ABC 的面积的取值范围.【答案】(1)π3A =，1a =(2)⎝⎦(1)因为()sin sin sin b c B c C a A -+=，由正弦定理得，()22b c b c a -+=，即222a b c bc =+-，由余弦定理得，2222cos a b c bc A =+-，所以1cos 2A =，又()0,πA ∈，所以π3A =.因为cos cos 1b C c B +=，由余弦定理得，222222·122a b c a c b b c ab ac+-+-⋅+=，可得1a =所以π3A =，1a =.(2)由（1）知π3A =，1a =，由正弦定理得，sin sin B a B A b ==，sin 2πsin 3a C c C B A ⎛⎫===- ⎪⎝⎭.因为ABC 为锐角三角形，所以π0,22ππ0,32B C B ⎧⎛⎫∈ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=-∈ ⎪⎪⎝⎭⎩，得ππ,62B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.从而ABC 的面积121sin sin sin πsin sin 233322S bc A B B B B B ⎛⎫⎛⎫==⋅-=⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭211cos 2sin sin cos sin 2322344B B B B B ⎫⎫-=+⋅=+⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1π2cos 22622126612B B B ⎫⎛⎫=-+=-+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，又ππ,62B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，ππ5π2,666B ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，所以π1sin 2,162B ⎛⎫⎛⎤-∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，从而ABC的面积的取值范围为64⎛ ⎝⎦.2．（2022·四川绵阳·高一期中）在ABC 中，内角A B C ，，的对边分别为a ，b ，c ，且2tan tan tan B bA B c=+．(1)求角A 的大小；(2)若ABC 是锐角三角形，2b =，求ABC 面积的取值范围．【答案】(1)3A π=；(2)(2.(1)解：由2tan tan tan B bA B c =+得2sin cos sin sin cos cos sin sin B A B A B A B C=+，即()2cos 1sin sin A A B C=+，又sin()sin A B C +=，所以1cos 2A =因为0A π<<，故3A π=.(2)解：1sin 2ABC S bc A == ，由正弦定理知：2sin sin 31sin sin B b C c B B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭===因为ABC 是锐角三角形，所以022032B C B πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=-<⎪⎩,所以62B ππ<<，于是tan B 14c <<.ABC S << 3．（2022·浙江·瑞安市瑞祥高级中学高一阶段练习）ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知(),,sin ,sin 2A C m a b n A +⎛⎫== ⎝⎭u r r ，且//m n .(1)求B ；(2)若ABC为锐角三角形，且a =，求ABC 的面积的取值范围.【答案】(1)3B π=(2)2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭(1)解：由题意，向量(),,sin ,sin 2A C m a b n A +⎛⎫== ⎝⎭u r r ，因为//m n ，可得sin sin 2A Ca b A +=，又由正弦定理得sin sinsin sin 2A CA B A +=，因为(0,)A π∈，所以sin 0A >，所以sin sin 2A CB +=，即sin sin cos22BB B π-==，所以2sin cos cos 222B B B =，可得cos2sin 1022B B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以cos 02B=或1sin 22B =，又因为()0,B π∈，所以3B π=.(2)解：由（1）结合正弦定理sin sin sin a b c A B C==sin sin 3b c C π==，所以()sin A B c A +===所以133cos 913sin 22sin 2tan 2ABC A A S ac B A A +===+，又由ABC 为锐角三角形，且3B π=，则022032A A πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得62A ππ<<，因为tan y x =在,62x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭单调递增，所以tan 3A >，所以2ABC S <<，即ABC S ⎝∈ .4．（2022·黑龙江·齐齐哈尔市恒昌中学校高二期中）在ABC 中，设角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，已知sin sin sin sin a b A C c A B--=+．(1)求角B 的值；(2)若ABC 为锐角三角形，且c ＝1，求ABC 的面积S 的取值范围．【答案】(1)60B =︒(2)S ∈⎝⎭(1)由已知及正弦定理，得a b a c c a b--=+，即()()()a b a b c a c -+=-，即222a b ac c -=-，即222a c b ac +-=．由余弦定理，得2221cos 22a cb B ac +-==，因为()0,180B ∈︒︒，所以60B =︒．(2)因为120A C +=︒，c ＝1，由正弦定理，得()sin 120sin sin 1sin sin 2sin 2tan 2C c A C C a C C C C ︒-+====+所以11sin sin 601228tan S ac B C ⎛⎫==︒=+ ⎪ ⎪⎝⎭因为ABC 为锐角三角形，则3090C ︒<<︒，从而tan ,3C ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭，所以82S ⎛∈ ⎝⎭5．（2022·广东茂名·高一阶段练习）在△ABC 中，设角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，已知sin sin sin A B a c C a b--=+．(1)求角B 的值；(2)若△ABC 为锐角三角形，且2c =，求△ABC 的面积S 的取值范围．【答案】(1)60°；(2)2⎛ ⎝﹒(1)∵sin sin sin A B a c C a b--=+，∴由正弦定理得a b a c c a b --=+，即()()()a b a b c a c -+=-，即222a b ac c -=-，即222a c b ac +-=，由余弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==，∵()0,180B ∈︒︒，∴60B =︒；(2)∵B =60°，∴120A C +=︒，即A =120°-C ，又∵2c =，∴由正弦定理得()2sin 120sin 1sin sin C c A a C C ︒-====，∴1sin sin 60122tan ABC S ac B a C ⎫==︒=+⎪⎪⎝⎭△，∵△ABC 为锐角三角形，∴090090120A C A C ︒<<︒⎧⎪︒<<︒⎨⎪=︒-⎩，解得3090C ︒<<︒，从而tan C ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭，∴2S ⎛∈ ⎝．6．（2022·湖北·宜昌市夷陵中学高一期中）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知cos cos 2sin a b B A C c c+=．(1)求角C 的大小；(2)若ABC 是锐角三角形，且4b =，求ABC 面积的取值范围．【答案】(1)6C π=或56C π=(2))3(1)由正弦定理可得sin cos sin cos cos cos =2sin sin a b A B B A B A C c c C++=整理得2sin()sin 2sin A B C C+==因为(0,)C π∈，所以sin 0C >，所以1sin 2C =，所以6C π=或56C π=(2)因为4b =，所以1sin 26ABC S ab a π== ，由正弦定理可得54sin()sin 26sin sin tan B b A a B B Bπ-===+因为ABC 是锐角三角形，所以6C π=，所以,500262πππB B <<<-<所以32B ππ<<所以tan 0B >，10tan 3B <<可得3a <<即ABC面积的取值范围为)37．（2022·江苏省苏州第十中学校高一期中）已知ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且()2cos cos a b C c B-=(1)求角C(2)若2a =，3b =，CD 为角C 的平分线，求CD 的长；(3)若cos cos 4a B b A +=，求锐角ABC 面积的取值范围.【答案】(1)3π3⎛ ⎝(1)解：由()2cos cos a b C c B -=及正弦定理得()2sin sin cos sin cos A B C C B-=所以()2sin cos sin sin A C B C A=+=∴sin 0A ≠，∴1cos 2C =∵0C π<<，∴3C π=(2)解：设CD x =由+= ACD BCD ABC S S S得1111132622222x x ⋅⋅+⋅⋅=⨯.解得5x =，即角平分线CD的长度为5(3)解：设ABC 外接圆半径为R ，由cos cos 4a B b A +=2sin cos 2sin cos 4R A B R B A +=，即2sin 4R C =，即42sin sin c R C C ==，∴4c =所以ABC 的面积13sin 24S ab C ab ==∵sin sin b a B A ==3a A =，b B =∴2sin sin 33S A A π⎛⎫=- ⎪⎝⎭22sin sin cos sin 333A A A ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭1sin sin 322A A A ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭21cos sin 322A A A ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭11cos23444A A ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭26A π⎛⎫=- ⎪⎝⎭∵02A π<<，02B π<<，23A B π+=，∴2032A <-<ππ，∴62A ππ<<，∴52666A πππ<-<，∴1sin 2126A π⎛⎫<-≤ ⎪⎝⎭，∴3S ⎛∈ ⎝第三部分：高考真题感悟1．（2021·北京·高考真题）在ABC 中，2cos c b B =，23C π=．（1）求B Ð；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使ABC 存在且唯一确定，求BC 边上中线的长．条件①：c =；条件②：ABC的周长为4+条件③：ABC【答案】（1）6π；（2）答案不唯一，具体见解析．（1）2cos c b B = ，则由正弦定理可得sin 2sin cos C B B =，2sin 2sin3B π∴==23C π= ，0,3B π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，220,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，23B π∴=，解得6B π=；（2）若选择①：由正弦定理结合（1）可得sin 21sin 2c C b B ===，与c =矛盾，故这样的ABC 不存在；若选择②：由（1）可得6A π=，设ABC 的外接圆半径为R ，则由正弦定理可得2sin6a b R R π===，22sin3c R π==，则周长24a b c R ++=+=+解得2R =，则2,a c ==由余弦定理可得BC 边上的中线的长度为：若选择③：由（1）可得6A π=，即a b =，则211sin 22ABC S ab C a ==⨯ a =则由余弦定理可得BC 边上的中线的长度为：2.2．（2019·全国·高考真题（理））ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin 2A C a b A +=．（1）求B ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =，求ABC ∆面积的取值范围．【答案】(1)3B π=;(2).(1)根据题意sin sin 2A C a b A +=，由正弦定理得sin sin sin sin 2A C AB A +=，因为0A π<<，故sin 0A >，消去sin A 得sinsin 2A C B +=．0<B π<，02A C π+<<因为故2A C B +=或者2A CB π++=，而根据题意A BC π++=，故2A CB π++=不成立，所以2AC B +=，又因为A B C π++=，代入得3B π=，所以3B π=.(2)因为ABC 是锐角三角形，由（1）知3B π=，A B C π++=得到23A C π+=，故022032C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得62C ππ<<.又应用正弦定理sin sin a c A C=，1c =，由三角形面积公式有：222sin()111sin 3sin sin sin 222sin sin ABC C a A S ac B c B c B c C C π-=⋅=⋅=⋅=22sin cos cos sin 2123133(sin cos )4sin 43tan 38tan 8C C C C C ππππ-=⋅-=+.又因,tan 62C C ππ<<>318tan C <<故82ABC S << .故ABC S的取值范围是3．（2017·上海·高考真题）已知函数()()221cos sin ,0,2f x x x x π=-+∈．（1）求()f x 的单调递增区间；（2）设ABC 为锐角三角形，角A所对边a =角B 所对边5b =，若()0f A =，求ABC 的面积．【答案】（1）,2p p ÷ê÷÷êøë；（2（1）依题意()()2211()cos sin cos 20,π22f x x x x x =-+=+Î，由2ππ22πk x k -≤≤得πππ2k x k -≤≤，令1k =得ππ2x ≤≤.所以()f x 的单调递增区间,2p p ÷ê÷÷êøë.（2）由于a b <，所以A 为锐角，即π0,02π2A A <<<<.由()0f A =，得11cos 20,cos 222A A +==-，所以2ππ2,33A A ==.由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-⋅，2560c c -+=，解得2c =或3c =.当2c =时，222cos 0238a cb B ac +-==-<，则B 为钝角，与已知三角形ABC 为锐角三角形矛盾.所以3c =.所以三角形ABC的面积为11sin 5322bc A =⨯⨯=4．（2013·湖北·高考真题（文））在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c ，已知cos2A ﹣3cos （B+C ）=1．（1）求角A 的大小；（2）若△ABC 的面积S=5，b=5，求sinBsinC 的值．【答案】（1）（2）57试题解析：（1）由cos 2A －3cos(B ＋C)＝1，得2cos 2A ＋3cos A －2＝0，即(2cos A －1)(cos A ＋2)＝0，解得cos A ＝或cos A ＝－2(舍去)．因为0<A<π，所以A＝.（2）由S ＝bcsin A ＝bc×＝bc ＝5，得bc ＝20，又b ＝5，知c ＝4.由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bccos A ＝25＋16－20＝21，故a ＝.从而由正弦定理得sin B sin C ＝sin A×sin A ＝sin 2A ＝×＝.5．（2015·山东·高考真题（理））设()2sin cos cos 4f x x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若0,12A f a ⎛⎫== ⎪⎝⎭,求ABC ∆面积的最大值.【答案】（Ⅰ）单调递增区间是(),44k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；单调递减区间是()3,44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（Ⅱ）ABC ∆面积的最大值为24试题解析：解：（Ⅰ）由题意知()1cos 2sin 2222x x f x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭=-sin 21sin 21sin 2222x x x -=-=-由222,22k x k k Z ππππ-+≤≤+∈可得,44k x k k Zππππ-+≤≤+∈由3222,22k x k k Z ππππ+≤≤+∈可得3,44k x k k Z ππππ+≤≤+∈所以函数()f x 的单调递增区间是(),44k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；单调递减区间是()3,44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（Ⅱ）由1sin 0,22A f A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭得1sin 2A =由题意知A 为锐角，所以cos A =由余弦定理：2222cos a b c bc A=+-可得：2212b c bc+=+≥即：2bc ≤当且仅当b c =时等号成立.因此12sin 24bc A ≤所以ABC ∆。
高中-《求解三角形中周长(面积)最大值的方法(教师版)》
高中-《求解三角形中周长(面积)最大值的方法(教师版)》引言三角形是几何学中常见的图形之一，通过研究三角形的特性和性质，可以解决许多与三角形相关的问题。
本文将重点介绍如何求解三角形中周长和面积的最大值的方法，帮助教师们更好地教授相关知识。
方法一：使用三角函数三角函数是研究三角形性质的重要工具之一。
在求解三角形中周长和面积的最大值时，可以利用三角函数的性质进行分析。
步骤：1. 首先，假设三角形的一个角度为θ，另外两个角度为α和β，且α+β+θ=180°。
2. 根据三角函数的定义和三角形周长的公式，可以得到三角形的周长为L = a + b + c = a + 2asin(θ/2)，其中a和b为两边的长度，c为斜边的长度。
3. 而三角形的面积可以由海伦公式S = √[s(s - a)(s - b)(s - c)]，其中s为周长的一半。
4. 接下来，我们需要确定如何选择θ的取值，使得周长或面积最大。
5. 对于周长最大值的求解，可以通过求导数的方法得到最优解。
6. 对于面积最大值的求解，也可以采用求导数的方法或者通过研究面积的性质进行分析。
方法二：使用几何图形的性质除了三角函数的方法外，我们还可以利用几何图形的性质来求解三角形中周长和面积的最大值。
步骤：1. 考虑一个固定的底边AC，底边两端点分别为A和C。
2. 假设顶点B在AC的一侧，并且以顶点B为顶点的两条边长度为x和y。
3. 则三角形的周长为L = AC + x + y，面积为S = (1/2) * AC * h，其中h为由顶点B到底边AC的垂直距离。
4. 可以通过分析底边AC不变的情况下，如何选择x和y的取值，使得周长或面积最大。
结论通过使用三角函数的方法或几何图形的性质，可以求解三角形中周长和面积的最大值。
在教学过程中，教师们可以根据学生的研究能力和兴趣，选择适用的方法进行教授，帮助学生理解并应用相关的数学知识。
请注意：本文介绍的方法仅供参考，具体的求解过程和结果可能因具体问题而有所不同。
轨迹法解一类三角形面积最值的梳理
轨迹法解一类三角形面积最值的梳理作者：赵志强来源：《数学教学通讯·高中版》2017年第07期[摘要] 关于最值问题通常的思路是借助函数或基本不等式来着手处理，对于本文中所涉及的三角形最值问题可以用上述一般方法来处理，而更机智的处理方式是用轨迹法刻画三角形的第三个点的轨迹，利用轨迹的几何性质寻找与底边相对应的最长的高，从而确定三角形面积的最大值.[关键词] 轨迹法；三角形面积；最值求曲线的方程是高中数学选修2-1的中的内容，根据问题情境所给条件求解点所满足的轨迹方程，利用点满足轨迹的几何或代数性质进而解决与之相关的数学问题的方法通常被定义为轨迹法. 本文所讨论的问题是轨迹法运用于三角面积最值求解，这类问题存在两个明显的要件：其一，三角形某一边为定值；其二，另外两边满足一定的数量关系，具体的形式可以两边成比例、边的向量数量积为定值，抑或是边存在平方和或差的数量关系等等.[⇩] 实践探索：相似问题中发现端倪最近在浏览数学学科网的过程中发现了一个求解曲线方程的专题训练，然而专题中的一组示三角形面积最大值的题目与专题的名称看似却不怎么搭调.这引发了笔者的兴趣，现将这些例题呈现如下：但既然出题人将这些问题放到一个专题中一定有其用意，再次观察不难发现这些问题都有一个共同的特点：这些三角形必定有一边是定值，而另外两边又存在着一定数量关系. 所以若将为定值边的两点固定在坐标轴上，那题目就会变成动点到两定点距离满足一定数量关系，所以就可求动点的轨迹. 当轨迹知道后，只需寻到轨迹上到x轴距离最远的点，即可求得三角形的最大面积. 也许这就是求解问题的突破口，带着这样的猜想笔者试着将上述问题进行了再次求解.按照同样的方法建系求轨迹，可知例2建系后求得C点轨迹方程为（x+4）2+y2=12（y≠0），圆周上到底面最长的高为半径，所以Smax=4；例3虽不是边长的比例但条件中存在向量数量积的数量关系，所以建系后可得A点轨迹议程为x2+y2=9（y≠0），所以三角形面积最大值为6；例4中存在边长平方和的数量关系，建系后可得C点的轨迹方程为：x2+y2=3（y≠0），所以三角形面积最大值为.通过对上述几道问题的解决我们不难发现这种问题的解题思路就是利用轨迹法求解动点轨迹，借助动点轨迹图形的几何性质来求解最值.[⇩] 理论归纳：系统分析后总结规律通过实践的运算，我们验证了猜想，那么这些问题的本质是什么呢？它们有现实的问题原型吗？带着这些问题我们进行了如下系统的理论分析.要分析这类问题的本质首先要寻找这类问题的共同点，粗看上述各个例题，也许仅能找到一个共同点，即它们有一个边是定值，而另外的已知条件各不相同：有的是边成比例、也有的是边的向量数量积为定值、更有边的平方关系. 但仔细分析这些不同的条件，其实在本质上它们是一致的，即另外两边满足一定的数量关系. 以定值的边为x轴建系后三角形已知边的两点则为定点，平面中能与两定点构成三角形并且满足数量关系的点并不唯一. 所以三角形的第三个点在平面中表现为某一种轨迹，而这个轨迹可以用动点坐标满足的方程来刻画. 当动点轨迹是一个规则图形时，可以根据图形的几何性质来寻找轨迹上到底边距离最长的点，从而可求三角形面积的最大值. 所以，我们认为这类问题的本质是以动点轨迹为载体求解三角形面积最值，其核心要件是点轨迹的刻画. 众所周知，刻画动点轨迹有多种方法诸如定义法、相关点法、交轨法、直接法等等方法. 而像上述几道例题这样运用满足数量关系来建立方程的方法被称为直接法. 所以解决这类问题的思路就是以直接法来求解动点的轨迹方程，根据轨迹方程判断轨迹图形，根据图形的几何性质来寻找与定值边相对应的最长的高，进而求解三角形面积的最大值.通过查阅资料我们发现上述类型的问题在过往的高考中存在相似的原型，江苏省2008年高考卷第十三题：“满足条件，AB=2，AC=BC的三角形ABC面积的最大值是多少？”这与我们例1、例2（新乡2016年模拟）几乎是一样的. 通过查阅当年的高考答案评析，我们发现这道题的出题意图就是考查学生求解曲线方程的知识. 评析这么确信考试意图就是考曲线方程是因为在课本（苏教2-1）求曲线方程这一节中我们能找到问题的原型：“求平面内到两定点A、B距离之比等于2的动点M的轨迹”. 因为是两定点，所以显然AB的长度固定，这与AB=2相似；动点到两定点距离之比为2，即=2，这又与高考题中AC=BC吻合. 当然有人会提出质疑：例3、例4并未与课本例题有相似的条件. 我们认为比例关系仅仅是数量关系的一种表现形式而已，只要问题情境中存在着动点的数量关系就可利用直接法求解点轨.课本的例2显然是这类问题的根源所在，而这类问题所考查的对象也一定是曲线方程的求解.。
三角函数求面积最值型问题的方法技巧
三角函数求面积最值型问题的方法技巧全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：三角函数求面积最值型问题是数学中的一个重要分支，它涉及到三角函数的性质和应用，需要运用相关的数学知识和技巧进行求解。
在解决这类问题时，我们可以运用一些特定的方法和技巧，以便更好地理解问题的本质和求解过程。
接下来，我将为大家介绍一些关于三角函数求面积最值型问题的方法技巧。
对于三角函数求面积最值型问题，我们需要建立数学模型，即将问题转化为数学语言，以便进行分析和求解。
在建立数学模型时，我们需要充分理解三角函数的性质和图像特征，例如正弦函数、余弦函数、正切函数等在特定区间内的变化规律，以及它们与角度的关系。
通过观察和分析三角函数的图像，我们可以更加直观地了解函数在不同区间内的行为，从而有助于建立数学模型。
对于求面积最值型问题，我们需要熟练掌握积分的相关知识和技巧。
在解决这类问题时，通常需要运用积分的概念和方法，将面积问题转化为定积分的求解过程。
掌握好积分的基本性质、常用积分公式以及积分计算的技巧是十分重要的。
对于三角函数求面积最值型问题，我们需要根据具体情况选择合适的积分方法，如换元积分、分部积分等，以便更快、更精确地求解面积最值。
对于一些特定的三角函数求面积最值型问题，我们还可以利用几何与代数方法相结合的技巧进行求解。
对于周期函数，我们可以利用函数的周期性质简化问题，从而减少求解的范围和难度。
我们还可以运用代数方法，如三角函数的和差化积公式、倍角公式、半角公式等，将复杂的三角函数表达式转化为简单的形式，进而利用积分求解面积。
除了数学知识和技巧外，对于三角函数求面积最值型问题，还需要培养良好的逻辑思维和问题分析能力。
在解决这类问题时，需要对问题进行全面细致的分析，找出其中的规律和特点，建立清晰的解题思路，尽量避免求解过程中的错误和歧路。
良好的逻辑思维和问题分析能力是解决三角函数求面积最值型问题的重要保障。
三角函数求面积最值型问题是数学中一个具有挑战性和深度的问题类型，解决这类问题需要掌握一定的数学知识和技巧。
高考数学专题：解三角形中面积(周长)最值的求法
解三角形中面积（周长）最值的求法一、考法解法命题特点分析在正余弦定理的运用中，有一类题目值得关注。
这类题有一个相同的特点，即知道三角形的一条边和边所对的角，求三角形面积（或周长）的最值（或范围），但在解题方法的选择上有值得考究的地方。
解题方法荟萃求三角形面积（或周长）的最值（或范围），一般可有两种思路去解决：（1）用余弦定理+基本不等式（2）用正弦定理+三角函数的取值范围二、典型题剖析 例1 在ABC ∆中，角A,B,C 的对边分别为c b a ,,且4,41cos ==a A .（1）若6=+c b ，且b <c ，求c b ,的值．（2）求ABC ∆的面积的最大值。
【解析】 解 （1）由余弦定理A bc c b a cos 2222-+=， ∴bc bc c b 212)(162--+= ∴8=bc ，又∵,6=+c b b <c ，解方程组⎩⎨⎧==+86bc c b 得4,2==c b 或2,4==c b (舍)．∴4,2==c b（2）由余弦定理A bc c b a cos 2222-+=， ∴bc c b 211622-+= ∵bc c b 222≥+ ∴332≤bc ，又415sin =A ∴3154sin 33221sin 21=⨯⨯≤=∆A A bc S ABC即c b =时三角形最大面积为3154 例2在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，2=a ，向量)s i n s i n ,1(),1),(sin(C B b B A a -=-=→→，且→a ⊥→b 。
（1）求角A ；（2）求ABC ∆面积的取值范围。
【解析】解：（1）→→⊥∴b a ，01)sin (sin 1)sin(=⨯-+⨯-∴C B B A ，0sin cos cos sin sin sin cos cos sin =--+-B A B A B B A B A ， 即B A B sin cos 2sin =,因0sin ≠B ， 故21cos =A ,又︒<<︒1800A ， 所以︒=60A （2） 由正弦定理334sin 2==A a R C R CB R b sin 2,sin 2== 又 120=+c b A bc S ABC sin 21=∆ 60sin )sin 2()sin 2(21⨯⨯=C R B R C B sin sin 334=)120sin(sin 334B B -= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=B B B sin 21cos 23sin 334[]B B B 2sin cos sin 3332+= 332cos 212sin 23332+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=B B 33)302sin(332+-= B )120,0( ∈B )210,30(302 -∈-∴B ]1,21()302sin(-∈- B ]3,0(∈∴∆ABC S三、达标与拓展基础过关。
三角形面积最小值问题思路
三角形面积最小值问题思路三角形面积最小值问题是一个经典的数学问题，它需要寻找给定三角形三边固定情况下，使三角形面积最小的高，也就是寻找三角形的最优形态。
首先，我们需要了解三角形面积的计算方法。
三角形面积等于底边长乘以高再除以二，也就是S=1/2bh，其中b表示底边长，h表示高。
因此，对于一个固定的底边长，三角形面积取决于高的长度。
我们的目标就是找到最小的高，从而达到最小的面积。
其次，我们可以利用海龙公式求出三角形面积。
海龙公式表示：s=(a+b+c)/2其中s为半周长，a、b、c分别为三角形三边的长度。
利用海龙公式可以得出三角形面积的公式：S=√(s(s-a)(s-b)(s-c))因此我们可以将三角形面积表示为三角函数的函数式S=√((a+b+c)/2((a+b+c)/2-a)((a+b+c)/2-b)((a+b+c)/2-c))其中a、b、c分别是三角形三边长度。
接下来我们需要寻找面积函数的最小值。
为了方便计算，可以尝试对面积公式进行简化。
根据三角形不等式，任意两边之和大于第三边，我们可以得到a+b>c, b+c>a, a+c>b因为a、b、c都大于0，所以可以对这三个式子进行平方(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)>0可以展开得到a^2 b - 2 a^2 c + b^2 a - 2 b^2 c + c^2 a + c^2 b > 0化简后得到a^2 b + b^2 c + c^2 a > abc代入三角形面积公式，得到S = √(s(s-a)(s-b)(s-c))S = √((a+b+c)/2((a+b+c)/2-a)((a+b+c)/2-b)((a+b+c)/2-c)) S = √(abc(a+b+c))/4因此我们需要找到满足a^2 b + b^2 c + c^2 a = abc的a、b、c组合，从而达到最小的面积。
最后，我们可以使用拉格朗日乘数法来求解这个问题。
五类解三角形题型--新高考数学大题秒杀技巧
五类解三角形题型解三角形问题一般分为五类：类型1：三角形面积最值问题；类型2：三角形周长定值及最值；类型3：三角形涉及中线长问题；类型4：三角形涉及角平分线问题；类型5：三角形涉及长度最值问题。
类型1：面积最值问题技巧：正规方法：面积公式+基本不等式①S=12ab sin Ca2+b2−c2=2ab cos C⇒a2+b2=2ab cos C+c2≥2ab⇒ab≤c221−cos C②S=12ac sin Ba2+c2−b2=2ac cos B⇒a2+c2=2ac cos B+b2≥2ac⇒ac≤b221−cos B③S=12bc sin Ab2+c2−a2=2bc cos A⇒b2+c2=2bc cos A+a2≥2bc⇒bc≤a221−cos A秒杀方法：在ΔABC中，已知B=θ，AC=x则：SΔABC max=AB+BC2max8⋅sin B其中AB+BCmax=2R⋅m2+n2+2mn cosθm,n分别是BA、BC的系数2R=x sinθ面积最值问题专项练习1△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c，c=2a cos C-b，c2+a2=b2+3ac，b=2.(1)求A；(2)若M,N在线段BC上且和B,C都不重合，∠MAN=π3，求△AMN面积的取值范围.2已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3c sin B =a -b cos C .(1)求B ；(2)若DC =AD ，BD =2，求△ABC 的面积的最大值.3在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A =2b -c sin B +c 2sin C -sin B ．(1)求A ；(2)点D 在边BC 上，且BD =3DC ，AD =4，求△ABC 面积的最大值．4△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知c =2a cos C -b ，c 2+a 2=b 2+3ac ，b =2．(1)求A ；(2)若M 是直线BC 外一点，∠BMC =π3，求△BMC 面积的最大值．5在△ABC 中，角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，(sin A +sin B )(a -b )=c (sin C -sin B )，D 为BC 边上一点，AD 平分∠BAC ,AD =2．(1)求角A ；(2)求△ABC 面积的最小值．6在①m =2a -c ,b ，n =cos C ,cos B ，m ⎳n ；②b sin A =a cos B -π6；③a +b a -b =a -c c 三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．在△ABC 中，内角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ，且满足．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．(1)求角B ；(2)若b =2，求△ABC 面积的最大值．类型2：三角形周长定值及最值类型一：已知一角与两边乘积模型第一步：求两边乘积第二步：利用余弦定理求出两边之和类型二：已知一角与三角等量模型第一步：求三角各自的大小第二步：利用正弦定理求出三边的长度最值步骤如下：第一步：先表示出周长l =a +b +c第二步：利用正弦定理a =2R sin A ,b =2R sin B ,c =2R sin C 将边化为角第三步：多角化一角+辅助角公式，转化为三角函数求最值周长定值及最值问题专项练习7在锐角三角形△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，CD 为CA 在CB 方向上的投影向量，且满足2c sin B =5CD .(1)求cos C 的值；(2)若b =3，a =3c cos B ，求△ABC 的周长.8如图，在梯形ABCD 中，AB ⎳CD ，∠D =60°．(1)若AC =3，求△ACD 周长的最大值；(2)若CD =2AB ，∠BCD =75°，求tan ∠DAC 的值．9已知△ABC的面积为S，角A,B,C所对的边为a,b,c．点O为△ABC的内心，b=23且S=3 4(a2+c2-b2)．(1)求B的大小；(2)求△AOC的周长的取值范围．10在锐角△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知sin A-sin B3a-c=sin Ca+b．(1)求角B的值；(2)若a=2，求△ABC的周长的取值范围．11在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，a-ca+c+b b-a=0．(1)求C；(2)若c=3，△ABC的面积是32，求△ABC的周长．类型3：三角形涉及中线长问题①中线长定理：(两次余弦定理推导可得)+(一次大三角形一次中线所在三角形+同余弦值)如：在ΔABC与ΔABD同用cos B求ADAB2+AC2=AD2+CD22②中线长常用方法cos∠ADB+cos∠ADC=0③已知AB+AC，求AD的范围∵AB+AC为定值，故满足椭圆的第一定义∴半短轴≤AD＜半长轴三角形涉及中线长问题专项练习12在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b=7，c=5.(1)若sin B=78，求cos C的值；(2)若BC边上的中线长为21，求a的值.13在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2,b=5,c=1．(1)求sin A,sin B,sin C中的最大值；(2)求AC边上的中线长．14在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足3b sin A=a cos B+a.(1)求角B的值；(2)若c=8，△ABC的面积为203，求BC边上中线AD的长.15如图，在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知b=3，c=6，sin2C=sin B，且AD 为BC边上的中线，AE为∠BAC的角平分线．(1)求cos C及线段BC的长；(2)求△ADE的面积．16在△ABC中，∠A=2π3，AC=23，点D在AB上，CD=32.(1)若CD为中线，求△ABC的面积；(2)若CD平分∠ACB，求BC的长.17在①3b=a sin C+3cos C；②a sin C=c sin B+C2；③a cos C+12c=b，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.(1)求角A；(2)若b=1，c=3，求BC边上的中线AD的长.注：若选择多个条件分别进行解答，则按第一个解答进行计分.类型4：三角形涉及角平分线问题张角定理如图，在ΔABC中，D为BC边上一点，连接AD,设AD=l，∠BAD=α,∠CAD=β则一定有sinα+βl=sinαb+sinβc三角形涉及角平分线问题专项练习18设a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，sin B-sin Cb=a-csin A+sin C．(1)求角A的大小；(2)从下面两个问题中任选一个作答，两个都作答则按第一个记分．①设角A的角平分线交BC边于点D，且AD=1，求△ABC面积的最小值．②设点D为BC边上的中点，且AD=1，求△ABC面积的最大值．19在锐角三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c sin B+33b cos A+B=33b.(1)求角C的大小；(2)若c=3，角A与角B的内角平分线相交于点D，求△ABD面积的取值范围.20已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c满足b cos C+c cos Bsin B+3b cos A= 0.(1)求A；(2)若c=2，a=23，角B的角平分线交边AC于点D，求BD的长.21已知△ABC的内角A,B,C的对应边分别为a,b,c，且有3cos A c cos B+b cos C+a sin A=0．(1)求A；(2)设AD是△ABC的内角平分线，边b，c的长度是方程x2-6x+4=0的两根，求线段AD的长度．22在①b sin B+c sin C=233b sin C+asin A；②cos2C+sin B sin C=sin2B+cos2A；③2b=2a cos C+c这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC外接圆的半径为1，且.(1)求角A；(2)若AC=2，AD是△ABC的内角平分线，求AD的长度.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.类型5：三角形涉及长度最值问题秒杀：解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法；③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值三角形涉及长度最值问题专项练习23设△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，已知△ABC 的面积为34c 2-a 2-b 2．(1)求C ；(2)延长BC 至D ,使BD =3BC ，若b =2，求ADAB的最小值．24在△ABC 中，内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，且a 2-b 2=ac cos B -12bc (1)求A ；(2)若a =6，2BD =DC，求线段AD 长的最大值.25锐角△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin C =2cos A sin B +π3.(1)求A ；(2)若b +c =6，求BC 边上的高AD 长的最大值.26在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a，b，c，a sin B+C=b-csin B+c sin C.(1)求A；(2)若D在BC上，a=2，且AD⊥BC，求AD的最大值.27记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为312b2．(1)若A=π6，求sin B sin C；(2)求a2+c2ac的最大值．五类解三角形题型解三角形问题一般分为五类：类型1：三角形面积最值问题；类型2：三角形周长定值及最值；类型3：三角形涉及中线长问题；类型4：三角形涉及角平分线问题；类型5：三角形涉及长度最值问题。
解题研究一道三角形面积最大值问题的多角度思考与解法
解题研究一道三角形面积最大值问题的多角度思考与解法
作者：杨俊，深圳高中教师。
题目：已知三角形ABC中,AB=2,BC=1以AC为边往外作等边三角形ACD求三角形ABD面积的最大值。
解析1：如下图,此题本质上其实是一个初中题,一般初中老师将其归纳为”手拉手”模型.最简单的解法也是初等几何方法，解法如下.
解析2：当然,这个题也是可以给高三学生做填空题的压轴题的,只不过高中学生的思路一般不往这里去,所以一下子想不到最简洁的解法,用高中的知识来解也是没有问题的,但需要一点转化的技巧才能比较快速的解决。
解析3：最后,我们来介绍一种解决这类问题的复数方法。
我们可以追踪点D的轨迹,直接把点D的轨迹方程求出来,就可以求出三角ABD 面积的最大值了。
来源：邹生书数学。
一道三角形面积最值题的多解剖析
结合正弦定理与余弦定理转化为边的关系式，得以确定
b2= 1 a2+1，再由条件和余弦定理求出cosB，由同角三角 3
函 数 基 本 关 系 式 可 得 sinB 的 值 ， 代 入 三 角 形 的 面 积 公
式，利用含参数a的关系式的基本不等式法来确定三角
形面积的最值即可.
解 法 1院 由 tanB =2tanC ，可 得
的热点题型. 下面结合一道三角形面积的最值题加以
多解剖析. 例题 在吟A BC中，若A B=1，tanB=2tanC，则吟A BC
面积的最大值是______. 分析院本题给出三角形的一边A B=c =1，以及角B，C
的正切值的三角关系式，解决问题的关键就是如何把关
系 式 tanB=2tanC 加以 巧 妙 转 化 ，可 以 利 用 同 角 三 角 函 数
可得A D=sinB，BD=cosB.
而结合图形可得tanB= A D ，tanC= A A D =2伊 A D ，整 理 可得 CD= BD CD
2BD=2cosB.
那么吟A BC的面积S吟ABC=
1 2
BC·A D=
12（BD+CD）·A D=
1 ·3cosBsinB = 3 sinBcosB = 3 sin2B 臆 3 ，当 且 仅 当
根据条件过A 点作A D彝BC交BC于点D，把A D、BC表
示成角B的三角关系式，同时利用条件把CD也表示成角
B的三角关系式，代入三角形的面积公式，结合二倍角公
式，利用三角函数的图像与性质来确定三角形面积的最
值即可.
A
c=1 h
B
D
C
图1
解法3院如图1，过A 点作A D彝BC交BC于点D.
极坐标参数方程中三角形面积最值方法总结
极坐标参数方程中三角形面积最值方法总结
知识解读
一．求三角形的面积，其实考查的是直线与曲线的交点间和点到线距离的问题。
1.两点间的距离考查的弦长或极径的运用
（1）两线即弦长，一直线与一曲线相交与两点，这两点间的距离就是弦长
（2）三线即极径，经过原点的直线与另外两条直线分别相交，交点的距离利用极径
2.点到线的距离一般考查的圆上的点到直线的距离，还有参数法解决点到线距离最值
二．解题思路
熟悉前面4个基本套路，选择合适的套路运用。
知识运用
考向一直线与圆的套路运用
【变式】
考向二参数法求最值套路运用
【变式】
考向三极径的运用
【变式】
精选习题
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一类三角形面积最小值的多种解法及其推广
一类三角形面积最小值的多种解法及其推广一、最小面积三角形解法1、用正弦定理：正弦定理是用于计算三角形的属性的定理，其核心是当三边的长度为a，b，c，角的大小为α，β，γ时：a/sinα=b/sinβ=c/sinγ。
因此，当给定三边的长度时，我们可以求出三角形的夹角，从而求出最小面积的三角形。
2、用勾股定理：勾股定理是一个很有用的定理，它指出了三角形的边长之间的关系：在三角形中，两边长之和要大于第三边。
这意味着如果将三角形的两个边使用勾股定理连接起来，其两边之和最小（就是最小面积的三角形）。
3、有效的顶角：每个三角形都会有一个有效的顶角，即边和邻边之间的夹角。
可以通过将这个角设置为最小值或最大值来获得最小面积的三角形。
二、最小面积三角形推广1、已知两边长度：假设它们是a和b，那么，找出一个最大的夹角α，使得另外一条边（c）满足a/sinα + b/sinα = c，即可求出最小面积三角形。
2、已知面积：假设已知三角形的面积值，即A = 1/2ab/sinC，其中A是三角形的面积，a、b是两边的长度，C是夹角。
我们可以通过解析已知的A、a、b值，来求出最小面积的三角形。
3、已知三角形两个夹角：假设已知三角形的夹角α和β，这种情况的解法类似于已知三边的情况：求出另外一条边的长度c，使得a/sinα +b/sinβ = c，并且最大夹角γ也要满足a/sinα + b/sinγ = c。
三、最小面积三角形总结总体来说，通过以上正弦定理、勾股定理以及三角形有效顶角与已知条件等方法，我们可以求出最小面积的三角形，它们在一些特定情况下也有着重要的应用。
在实际工程中，许多实际问题需要用到三角形来解决，比如：地形分析，工程测量，机械设计，无线通信等等，所以，求最小面积三角形的应用也显得尤为重要。
专题3.3 图形面积求最值,函数值域正当时 高考数学解答题压轴题突破讲义
专题3 图形面积求最值，函数值域正当时【题型综述】1、面积问题的解决策略：（1）求三角形的面积需要寻底找高，需要两条线段的长度，为了简化运算，通常优先选择能用坐标直接进行表示的底（或高）（2）面积的拆分：不规则的多边形的面积通常考虑拆分为多个三角形的面积和，对于三角形如果底和高不便于计算，则也可以考虑拆分成若干个易于计算的三角形2、多个图形面积的关系的转化：关键词“求同存异”，寻找这些图形的底和高中是否存在“同底”或“等高”的特点，从而可将面积的关系转化为线段的关系，使得计算得以简化3、面积的最值问题：通常利用公式将面积转化为某个变量的函数，再求解函数的最值，在寻底找高的过程中，优先选择长度为定值的线段参与运算。
这样可以使函数解析式较为简单，便于分析【典例指引】例1已知椭圆C:22221x y a b +=（0a b >>）的一个顶点为()0,1M -，离心率为63，直线:l y kx m=+（0k ≠）与椭圆C 交于A ，B 两点，若存在关于过点M 的直线，使得点A 与点B 关于该直线对称． （I ）求椭圆C 的方程； （II ）求实数m 的取值范围；（III ）用m 表示∆MAB 的面积S ，并判断S 是否存在最大值.若存在，求出最大值；若不存在，说明理由． 点评：（1）第二小问分为两个操作程序：①据对称性得到直线AB 斜率k 与截距m 之间的关系；②据位置关系构建直线AB 斜率k 与截距m 之间的不等关系．点关于直线对称的转化为对称轴为垂直平分线，法一进一步转化为等腰三角形，从而线段相等，利用两点距离公式进行坐标化，化简后得到交点坐标纵横坐标之和及弦AB 的斜率，故可以使用韦达定理整体代入．实际上所有使用韦达定理整体代入这个处理方式的标准是题意韦达定理化：①条件与目标均能化为交点坐标和与积的形式；②横坐标←−−→交点在直线上纵坐标；法二则点差法处理弦中点问题．均可得到直线AB 的斜率k 与截距m 之间的关系．构建不等式的方式：法一根据直线与椭圆的位置关系，利用判别式构建参数m 的不等式；法二根据点与椭圆的位置关系，利用中点在椭圆内构建参数m 的的不等式；故直线与椭圆相交可与点在椭圆内等价转化；（2）第三小问分成两个操作程序：①构建面积的函数关系；②求函数的值域．法一利用底与高表示三角形面积，三角形的底则为弦长，三角形高则为点线距离．法二利用三角形面积的坐标公式122112S x y x y =-，不管哪种面积公式，均会出现交点坐标之差，故从整道题全局来说，第二问使用韦达定理显得更流畅，时分比更高，所以要注意方法的选择与整合．关于分式型函数求最值，常见思路为：以分母为整体，分子常数化，往往化简为反比例函数、对勾函数及二次函数的复合函数，本题这个函数形式并不常见．特别要注意基本函数的和与差这种结构的函数，特殊情况可以直接判断单调性，这样可以避免导数过程． 变式与引申：若过点M 的直线交椭圆于D ，求四边形D MA B 的面积的取值范围．例2、已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的左、右两个焦点分别为12,F F ，离心率22e =，短轴长为2.（1）求椭圆的方程；（2）点A 为椭圆上的一动点（非长轴端点），2AF 的延长线与椭圆交于B 点， AO 的延长线与椭圆交于C点，求ABC ∆面积的最大值.例3、已知点A （﹣4，4）、B （4，4），直线AM 与BM 相交于点M ，且直线AM 的斜率与直线BM 的斜率之差为﹣2，点M 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的轨迹方程；（2）Q 为直线y=﹣1上的动点，过Q 做曲线C 的切线，切点分别为D 、E ，求△QDE 的面积S 的最小值． 【点评】本题主要考查了直线与抛物线相切的性质、切线方程、相互垂直的斜率之间的关系、两点间的距离公式、三角形的面积公式、二次函数的性质等知识点的综合应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力、推理与运算能力，试题有一定的难度，属于难题，本题的解答中把切线的方程代入抛物线的方程，利用根与系数的关系，表示出三角形的面积是解答问题的关键．例4、已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的焦距为2,离心率e 为12. (Ⅰ)求椭圆C 的标准方程;(Ⅱ)过点1,12P ⎛⎫ ⎪⎝⎭作圆2212x y +=的切线,切点分别为M N 、,直线MN 与x 轴交于点E ,过点E 作直线l交椭圆C 于A B 、两点,点E 关于y 轴的对称点为G ,求ΔGAB 面积的最大值. 【思路引导】(Ⅰ)由椭圆的焦点为2，离心率e 为12，求出,a b ，由此能求出椭圆的标准方程；(Ⅱ)由题意，得O 、M 、P 、n 四点共圆，该圆的方程为221154216x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得O 的方程为2212x y +=，直线MN 的方程为210x y +-=，设()()1122,,,A x y B x y ，则121212GABSGE y y y y ∆=-=-，从而GAB S ∆最大，12y y -就最大，可设直线l 的方程为1x my =+，由221{ 143x my x y=++=，得()2234690m y my ++-=，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式，能求出GAB ∆的面积的最大值.【点评】本题主要考查待定系数法求椭圆的方程、韦达定理和三角形面积公式及单调性求最值，属于难题. 解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用函数单调法GAB ∆面积的最大值的.【扩展链接】椭圆与双曲线中焦点三角形面积公式：（1）椭圆：设P 为椭圆()222210x y a b a b +=>>上一点，且12F PF θ∠=，则122tan 2PF F S b θ=V （2）双曲线：设P 为双曲线()22221,0x y a b a b -=>上一点，且12F PF θ∠=，则1221tan 2PF F S b θ=⋅V【新题展示】1．【2019】广东江门调研】在平面直角坐标系中，，，为不在轴上的动点，直线、的斜率满足．（1）求动点的轨迹的方程； （2）若，是轨迹上两点，，求面积的最大值．【思路引导】 （1）设，将利用斜率公式进行化简整理即可得点P 轨迹方程；（2）由斜率为1，设直线MN的方程与椭圆联立，写出韦达定理，计算弦长|MN|和点T到直线MN的距离，表示出三角形的面积，利用导数即可求出面积最大值．2．【2019四川成都实验外国语学校二诊】已知椭圆：的左右焦点分别是，抛物线与椭圆有相同的焦点，点为抛物线与椭圆在第一象限的交点，且满足．（1）求椭圆的方程；（2）过点作直线与椭圆交于两点，设．若，求面积的取值范围．【思路引导】（1）由题意可得点P的坐标为，然后求出，根据椭圆的定义可得，进而得到，于是可得椭圆的方程．（2）由题意直线的斜率不为0，设其方程为，代入椭圆方程后结合根与系数的关系得到，然后通过换元法求出的范围即可．3．【2019江西南昌一模】如图，椭圆：与圆：相切，并且椭圆上动点与圆上动点间距离最大值为．（1）求椭圆的方程；（2）过点作两条互相垂直的直线，，与交于两点，与圆的另一交点为，求面积的最大值，并求取得最大值时直线的方程．【思路引导】（1）由题意可得b＝1，a﹣1，即可得到椭圆的方程；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），根据l2⊥l 1，可设直线l1，l2的方程，分别与椭圆、圆的方程联立即可得可得出|AB|、|MN|，即可得到三角形ABC的面积，利用基本不等式的性质即可得出其最大值．4．【2019浙江温州2月适应性测试】如图，A 为椭圆的下顶点，过A 的直线l 交抛物线于B、C 两点，C 是AB 的中点．（I）求证：点C的纵坐标是定值；（II）过点C作与直线l 倾斜角互补的直线l交椭圆于M、N两点，求p的值，使得△BMN的面积最大．【思路引导】（I）根据点在抛物线上设出B的坐标，可表示出C的坐标，代入抛物线方程求得纵坐标．（II）先利用条件得到，联立直线与椭圆的方程，求得弦长及到的距离，写出面积的表达式，利用基本不等式求得最值及相应的参数即可．5．【2019福建厦门第一次（3月)质量检查】已知为坐标原点，为椭圆的上焦点，上一点在轴上方，且．（1）求直线的方程；（2）为直线与异于的交点，的弦，的中点分别为，若在同一直线上，求面积的最大值．【思路引导】(1) 设，可得，，求出A点坐标，即可得到直线的方程；(2)利用点差法可得，又因为在同一直线上，所以，所以，设出直线，与椭圆方程联立，利用韦达定理即可表示面积，结合均值不等式即可得到结果．6．【2019湖南怀化一模】设椭圆的离心率，椭圆上的点到左焦点的距离的最大值为3．（1）求椭圆的方程；（2）求椭圆的外切矩形的面积的取值范围．【思路引导】（1）根据题意求出，进而可求出结果；（2）当矩形的一组对边斜率不存在时，可求出矩形的面积；当矩形四边斜率都存在时，不防设，所在直线斜率为，则，斜率为，设出直线的方程为，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理以及弦长公式等，即可求解．7．【2019江西上饶重点中学联考】已知椭圆的短轴长等于，右焦点距最远处的距离为3．（1）求椭圆的方程；（2）设为坐标原点，过的直线与交于两点（不在轴上），若，求四边形面积的最大值．【思路引导】（1）由已知得，即可得椭圆方程．（2）由题意设，与椭圆方程联立得，，代入化简求最值即可．8．【2019安徽马鞍山一模】已知椭圆的方程为，离心率，且短轴长为4．求椭圆的方程；已知，，若直线l 与圆相切，且交椭圆E于C、D两点，记的面积为，记的面积为，求的最大值．【思路引导】根据题意列出有关a、b、c的方程组，求出a、b、c的值，可得出椭圆E的方程；设直线l的方程为，先利用原点到直线l的距离为2，得出m与k满足的等式，并将直线l的方程与椭圆E的方程联立，列出韦达定理，计算出弦CD的长度的表达式，然后分别计算点A、B到直线l的距离、，并利用三角形的面积公式求出的表达式，通过化简，利用基本不等式可求出的最大值。
解决三角形的面积问题
解决三角形的面积问题三角形的面积问题是数学中的基础问题之一，它涉及到三角形的边长和角度，而三角形的面积公式为1/2 * 底边长 * 高。
在解决三角形的面积问题时，我们可以根据已知条件，运用不同的方法和公式来得出最终的结果。
一、解决直角三角形的面积问题直角三角形是最简单的三角形，其中有一个角度为90度。
对于已知直角三角形的两条边长，可以使用勾股定理来求解第三条边的长度。
一旦确定了三边的长度，就可以使用三角形的面积公式来计算面积。
例如，已知直角三角形的两条边分别为a和b，可以使用勾股定理得到第三边c的长度。
然后，根据面积公式可以计算出面积S，公式为S = 1/2 * a * b。
二、解决一般三角形的面积问题对于一般的三角形，除了已知三边的长度外，我们还可以利用三角形的高来计算面积。
三角形的高是指从一个顶点到与对边垂直相交的线段的长度。
1. 使用海伦公式对于已知三角形的三边长a、b、c，可以使用海伦公式来计算面积。
海伦公式是根据三角形的三边长计算面积的一种方法，公式为S = √(p* (p - a) * (p - b) * (p - c))，其中p为半周长(p = (a + b + c) / 2)。
2. 使用正弦公式若我们已知三角形的一个角度以及与其对应的两条边的长度，可以使用正弦公式来计算三角形的面积。
正弦公式为S = 1/2 * a * b * sin(C)，其中a和b分别为已知两条边的长度，C为已知角度。
3. 使用余弦公式如果我们已知三角形的两条边和它们夹角的余弦值，可以使用余弦公式来计算三角形的面积。
余弦公式为S = 1/2 * a * b * cos(C)，其中a和b为已知两条边的长度，C为已知夹角的余弦值。
总结：解决三角形的面积问题，我们可以根据已知条件选择不同的方法和公式进行计算。
对于直角三角形，使用勾股定理和面积公式可以直接求解；对于一般的三角形，可以利用海伦公式、正弦公式或余弦公式来计算三角形的面积。
三角形面积最大值求法
三角形面积最大值求法三角形面积最大值求法三角形是初中数学中比较基础的一个概念，也是单元中的一个重要部分。
在三角形的学习中，面积的概念是不可或缺的，而在求解三角形的面积时，我们很自然地会想到如何获得其最大值，即三角形的最大面积。
而求解三角形面积最大值是让许多初学者头疼和困惑的问题，本文将介绍一些解决方案和方法，帮助大家更好地理解和探索这个问题。
一、基本数学知识在了解如何求三角形面积最大值之前，让我们先回归一些基本的数学知识，特别是与三角形相关的知识。
1.三角形三角形是一个由三边和三个角构成的形状。
它有许多种类，包括等边三角形、等腰三角形、直角三角形、锐角三角形和钝角三角形等等。
不同类型的三角形有不同的性质和规律，需要我们去探索和学习。
2.面积面积是表示一个平面图形所占面积大小的指标，通常以平方单位表示，如：平方米、平方厘米和平方英尺等。
对于三角形，其面积可以通过以下公式来计算：S = 1/2 × b × h其中，S表示三角形的面积，b表示其底边长，h表示其高。
3.勾股定理勾股定理是描述直角三角形中三边长度关系的基本定理，即：斜边的平方等于两直角边平方之和。
它可以写成以下公式：c² = a² + b²其中，a和b表示直角边，c表示斜边。
4.其他相关知识当然，除了上述基本知识之外，还有许多其他与三角形相关的知识需要我们去了解和掌握，如勾股数、三角函数、三角形的内角和、海龙公式等等。
对于初学者来说，这些知识可能有些困难，但我们要坚持学习和理解，这对于我们接下来的探索和应用都非常重要。
二、解决方案和方法1.基本解决方案对于一个给定的三角形，其面积最大值往往由底边和高共同决定。
因此，我们可以通过逐渐增加或减少底边或高的长度，寻找最大面积所对应的底边和高。
具体操作方式如下：（1）确定三角形的一条边作为底边；（2）利用勾股定理或海龙公式等求出其另外两个边的长度；（3）分别计算三角形在底边为当前底边时，从其另一个顶点向底边作垂线并延长后形成的高，并求出对应的面积；（4）逐渐增加或减少底边的长度，再重复第（2）和第（3）步，直到找到面积最大值所对应的底边和高。
一类面积最值问题解法探究
一类面积最值问题解法探究
一类面积最值问题通常是求一个平面区域内某个函数所表示的面积的最大值或最小值。
解决这类问题的一个常用方法是利用微积分的思想，即使用导数和极值的概念。
以下是具体的解法步骤：步骤一：画出平面区域的图形。
对于一类面积最值问题，首先要弄清楚要求的平面区域的形状和大小。
步骤二：建立函数模型。
根据题目中给出的条件，确定一个表示所求面积的函数模型。
通常情况下，这个函数是一个二元函数，即它的变量是平面区域的两个坐标。
步骤三：求出函数的一阶偏导数。
根据微积分中的概念，函数在取极值时，其一阶导数最接近于零。
因此，求出函数的一阶偏导数，并令其等于零，可以得到函数的极值点。
步骤四：判断极值点是否是最值点。
通过所求得的极值点，可以得到函数的极值。
通过计算区域边界处的函数值，判断求得的极值是否为最大值或最小值。
步骤五：得出最终结果。
将所求得的最大值或最小值代入原函数中，计算出对应的面积，即为所求的最值。
需要注意的是，在实际求解过程中，可能会遇到一些特殊情况（例如，函数存在多个极值点），需要根据具体情况进行处理。
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一类求三角形面积的极值问题的解题思路与方法
问题：过点()3,2P 的直线与x 轴、y 轴的正半轴分别相交于点B A ,，求
ABO ∆的面积最小值，以及此时所对应的直线方程。
解答这类问题的思路是：建立函数关系，利用有关函数的基本理论以及不等式的知识，求出目标函数的最值。
在研究函数的最值时，要注意函数的定义域对函数值的限制；在运用均值不等式求最值时，要注意取等号的条件是否具备。
构造一元二次方程，利用一元二次方程有实数根时，判别式为非负数，求最值。
解答这类问题的常用解题方法如下：
一、 利用三角函数的有界性求解
解法1：设过点()3,2P 的直线方程为：1=+b
y a x
，则13
2=+b a ，于是可
设α2cos 2=
a ，α
2
sin 3
=b 。
记ABO ∆的面积为S ，则ab S 2
1
==
()
2
222sin 12
cos sin 3ααα= 因为0<()12sin 2≤α,所以：12≥S ，当12sin =α时，︒=45α，面积的最小值是：12=S ，此时，445cos 2
2=︒=
a ，645sin 3
2
=︒
=
b 所求的直线方程为：16
4=+y
x
评注：若正实数n m ,满足1=+n m ，我们可以设α2sin =m ，α2cos =n ，把二元转化为关于α的一元问题，可借助三角函数的有界性求解。
二、利用均值不等式求解
解法2：设过点()3,2P 的直线方程为：()23-=-x k y ，
直线与x 轴、y 轴的正半轴分别相交于点()k B k
A 23,0,0,32-⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-. 由图知
0<k
记ABO ∆的面积为S ，则()k k S 233221-⎪⎭
⎫ ⎝⎛-= 即⎪⎭
⎫ ⎝
⎛--=k k S 941221
因为0<k ，所以，04>-k ，09
>-k。
利用均值不等式得： 所以⎪⎭
⎫ ⎝
⎛--=k k S 941221()1212122
1
=+≥
当且仅当k 4-k
9-=，即2
3
-=k 时ABO ∆的面积有最小值，此时所对应的直线方程为：
评注： 在利用均值不等式解题时，需要对目标函数进行恒等变形。
变形原则是能使产生的几个正数的积（或和）为定值。
解法3：设过点()3,2P 的直线方程为：
1=+b
y a x ，则13
2=+b a ，于是
3
2-=
b b
a 因为直线与x 轴、y 轴的正半轴相交，则0,0>>
b a 。
记ABO ∆的面积为S ，则ab S 2
1
==6393332212+-+-=-=⨯-⨯
b b b b b b b 因为：3
2-=
b b
a >0,0>
b .所以3>b . 于是：3
9
3-+
-b b ()63932=-⨯-≥b b 。
所以：S =63
9
3+-+
-b b 12≥。
解法4：设过点()3,2P 的直线方程为：
1=+b
y a x ，则13
2=+b a ，于是
b a ab 23+=
因为直线与x 轴、y 轴的正半轴相交，所以 0,0>>b a 。
利用均值不等式得：
ab b a ab 6223≥+=，(
)
062≥-ab ab
，而0>ab ，所以24≥ab 。
记ABO ∆的面积为S ，则ab S 2
1=12≥
当且仅当2423==ab b a 且时，6,4==b a 。
面积有最小值12=S 。
所求的直线方程为：16
4
=+
y x 评注： 此题利用均值不等式，产生一个新的不等式，解这个不等式求出ab 的最小值，从而获解。
三、判别式法
解法5：设过点()3,2P 的直线方程为：()23-=-x k y ，
直线与x 轴、y 轴的正半轴分别相交于点()k B k
A 23,0,0,32-⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-. 由图知
0<k
记ABO ∆的面积为S ，则()k k S 233221-⎪⎭
⎫ ⎝⎛-= 化简得：()0912242=+-+k s k （1）
将上式视为关于k 的一元二次方程，因为R k ∈，所以，0≥∆。
即()舍去）或(01209441222≤≥⇒≥⨯⨯--S S s 。
面积的最小值是：12=S ，代入（1）得：2
3-=k 此时所对应的直线方程为：()122322
3
3=+⇒--
=-y x x y 评注：上述方法就是构造一元二次方程，利用一元二次方程有实数根时，判别式为非负数，求解。
解法6：设过点()3,2P 的直线方程为：
1=+b
y a x ，则13
2=+b a ，于是
3
2-=
b b
a 因为直线与x 轴、y 轴的正半轴相交，则0,0>>
b a 。
记ABO ∆的面积为S ，则ab S 2
1
==332212-=⨯-⨯b b b b b
化简得：032=+-S Sb b （2）
将上式视为关于b 的一元二次方程，因为R b ∈，所以，0≥∆。
即12034)(2≥⇒≥⨯--S S S 。
因为()0>S
面积的最小值是：12=S ，代入（2）得：6=b ，则3
2-=b b
a =4 所求的直线方程为：16
4
=+
y x
评注：此题还可以通过消去b ，关于a 的一元二次方程，利用上述方法求解。
希望以上资料对你有所帮助，附励志名言3条： 1、宁可辛苦一阵子，不要苦一辈子。
2、为成功找方法，不为失败找借口。
3、蔚蓝的天空虽然美丽，经常风云莫测的人却是起落无从。
但他往往会成为风云人物，因为他经得起大风大浪的考验。