第七次 复数项级数、幂级数

n 1 n 1
若 zn 发散，而 zn收敛，则称 zn为条件收敛 .
n 1 n 1 n 1


i (1) n i 条件收敛。 例如： 2 绝对收敛， n n 1 n n 1
（5）绝对收敛级数的性质
性质1.
z
n 1

n
收敛 zn收敛，且 zn zn .
n
2. 复变函数项级数一致收敛概念与性质
（1）定义： 设E为函数项级数 un ( z )的收敛域，如果
n 1
0, N ( ) 0, 对每一个z E ,当n N ( )时， 都有 Rn ( z ) sn ( z ) f ( z ) ，则称 u n ( z )在E
2. 收敛定理


3. 收敛圆与收敛半径
4. 收敛半径的求法
1. 幂级数的概念
称复变函数项级数
n 2 n c ( z a ) c c ( z a ) c ( z a ) c ( z a ) n 0 1 2 n n 0
为幂级数，其中 cn与a均为复常数，点 a为幂级数的中心， cn为幂级数的系数。
( 2)
n 0


8i 8n ( 8i ) n 收敛， 绝对收敛。 n! n! n 0 n! n 0
n
(1)n 1 ( 1)n i (3) 收敛， 收敛， ( n )收敛. n n n 2 n 1 n 1 2 n 1
( 1)n 又 条件 收敛， 原 级 数 非 绝 对 收 敛 . n n 1
4. 收敛半径的求法
关于幂级数 cn ( z a) n 的收敛半径求法，有
n 0
1 / 比值法 若 lim cn1 ， 则 R n c （阿贝尔） n 0
1 / 根值法 若 l i mn c ， 则 R n n （柯西） 0
n 1
命题：
u ( z )收敛于f ( z)的充分必要条件是
n 1 n

0, N ( z, ) 0, 使当n N ( z , )时， Rn ( z ) ˆ f ( z ) sn ( z ) ，即 lim Rn ( z ) 0, z E.
n k 1
n
称f ( z )为 un ( z )的和函数。

若 un ( z )的和函数为f ( z ), 则称下列差值
n 1

n 1
Rn ( z ) ˆ f ( z ) sn ( z ) un1 ( z ) un 2 ( z ) 为级数 un ( z )的尾量。
n 1 n 1 n 1



证明 zn xn iyn
2 2 xn xn yn , 2 2 y n xn yn
n n
2 2 xn yn
由比较判定法
x 和 y 均绝对收敛，
n 1 n n 1 n



故 zn收敛。
n 1

zk zk , zn zn
⑵ 若幂级数 cn ( z a) n在z z0发散, 则对满足 z a z0 a
n 1

的z, 级数必发散. 证明： 见P82。
3. 收敛圆与收敛半径
由Able定理，幂级数的收敛范围不外乎下述 三种情况： (i)若对所有正实数都收敛，则幂级数在复平面上 处处收敛。
(ii )除z=a外，对所有的正实数都是发散的，这时，幂级 数在复平面上除z=a外处处发散。

(1)证明：当 z 1时，级数绝对收敛；
(2)证明：当 z 1时，级数发散；
(3)证明：对每一个 r : 0 r 1,级数在有界闭区域 Dr : z r
上一致收敛。
(4)证明：级数在有界区域 D： z 1内非一致收敛。
见P108题2
§3.3 幂级数

1. 幂级数的概念
(iii ) 0,使得 cn 收敛, 0,使得 cn n 发散.
n n 0 n 0

由Able 定理，在圆周 c :
小，在c外部都是蓝色， z a 内，幂级数收敛； 红、蓝色不会交错。故 一 定 cR： z - a R ,为红、 在圆周c : z a 外， 蓝两色的分界线。 幂级数发散.
sn ( z ) u1 ( z ) u2 ( z ) un ( z ) uk ( z )
k 1
n
称为复变函数项级数的部分和。
对于z0 D， 若 lim sn ( z0 ) s ( z0 ), 称级数(1) 在z0收敛,
n
其和为s ( z0 ), 并称z0为 u n ( z )的收敛点。
zn 收敛，并称复数 a ib为复数列zn 则称复数列
的极限，记作lim zn , 或 z n
zn 收敛于。 称复数列
例如
n
(n ), 此时也
n 2 复数列 zn in sin , （n 1,2,） 收敛， n 1 n
且 lim z n 1 2i.
收敛， 则称级数 zn收敛。 n 1 lim sn s称为级数的和 若部分和数列 {sn } n 不收敛，则称级数 zn发散
3i 3i 例如：复数项级数 n 收敛，其和为3i, 即有 n 3i. n 1 2 n 1 2


n 1
（2）复数项级数收敛的等价条件：
n n n
xn 和 yn 都收敛。


n 1
n 1
由定理1，复数项级数的收敛问题可归之为 两个实数项级数的收敛问题。
（3）级数收敛的必要条件
z 收敛
n 1 n



lim zn 0.
n
i cos 发散。 例如： n n 1
（4）定义
若 zn 收敛，则称 zn为绝对收敛；
n
2. 复数项级数的概念
（1）定义 设有复数列： {zn } {xn iyn },
称 zn z1 z2 zn 为复数项无穷级数 , 简称级数。
n 1
称级数的前n项和 sn z1 z2 zn zi 为级数的部分和。
i 1
n



其中cn a0bn a1bn 1 anb0 .
例1 下列级数是否收敛？是 否绝对收敛？
1 i (8i )n (1) (1 ) (2) n n 1 n n 0 n!


(1)n i (3) ( n) n 2 n 1

1 1 1 i 解 (1) 发 散 ， 收敛， (1 )发 散. 2 n n 1 n n 1 n n 1 n

显然，< . 否则，幂级数将在处发散。 将收敛部分染成红色，发散 部分染成蓝色，逐渐变大， 在c内部都是红色,逐渐变
a

定义 这个红蓝两色的分界圆周cR叫做幂级数的 收敛圆；这个圆的半径R叫做幂级数的收敛半径。

(i) 幂级数在收敛圆内部收敛，在收敛圆外 部发散，在圆周上可能有收敛点，也可能有发 散点，具体问题要具体分析。 (ii) 幂级数的收敛范围是以a为中心，R为半径 的圆域。
若un ( z )在区域D内解析，在D上连续， un ( z )在D的
n 1
境界线l上一致收敛，则 （ 1 ） 函数F ( z )在D un ( z )在D内也收敛，并且它的和
n 1
内是解析的；
(m) （ 2 ） 由它们的m阶导数所组成的级数 u n ( z )在D内 n 1

§3.2 复变函数项级数 1. 复变函数项级数的概念 2. 一致收敛的概念与性质

1. 复变函数项级数的概念
定义 设有复变函数列： {un ( z)} z D,
称 un ( z ) u1 ( z ) u2 ( z ) un ( z ) (1)
n 1
为复变函数项级数。 复变函数项级数的前n项的和
也收敛，并且有 F ( m ) ( z ) u n ( z ) n 1

(m)
(m) un ( z ). n 1

证明： 见P81.
例2 例3
证明复变函数项级数 k(k
k 1

sin k z 1)
在z平面上一致收敛。
zk , 设复变函数项级数 k k 1 1 z



性质3 性质4
? 若 z 收 敛 z
n 1 n n 1
n
收敛.
(1) n i (例如 : ) n n 1

绝对收敛级数的和与项 的次序无关。
若级数 an与 bn 都绝对收敛，则
n 1 n 1


a b c ,
n 0 n n 0 n n 0 n
0 0
0
0
注： 对于“缺项”幂级数，也有相应的比值法与根值法。
n 2 n 例4 求 幂 级 数 z 1 z 1 R 1 解 lim n c n
又sn 1 z z z
2
n
n1
1 当 z 1时 ， limz 0, limsn . n n 1 z 当 z 1时， lim z n 0, 级数发散. n 1 收敛, 且和函数为 , 当 z 1时; n 综上 z 1 z n 0 发散, 当 z 1时.
设有 zn xn yn，则
级数 zn收敛 xn 和 yn 都收敛。
n 1 n 1 n 1