通信网理论基础第3章

是G的真子图，记为G’ G 。
c.若V’=V，E’ E，即子图G’包含G的所有端，则称
G’是G的生成子图。
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v1
v2
v1
v2
v1
v2
v3 v5 v4 (a) 原图 v5 v4 (b) 真子图 图与子图 v5 v4 (c) 生成子图
v3
22
4. 最大连通子图：若图G’是图G的一个连通子图，但再加上 一个属于原图G的任何一个其他元素，图G就失去了连通性，成 为非连通图，则图G’叫图G最大连通子图。最大连通子图并不是 极大连通子图。 （三）几种特殊的图
树枝集：图G的生成树上的边组成树枝集。
连枝：生成树之外的边称为连枝，连枝的边集称为连枝集或 称为树补。
具有n个端、m条边的连通图，生成树T有n-1条树枝和 m-n+1条连枝。
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图G的阶ρ：连通图G的生成树T的树枝数称为图G的阶，记 为ρ。如果图G有n个端，则：ρ（G）=ρ=n-1。 图G的空度μ：连枝集的连枝数称为图G的空度，记为μ。 当G有m条边时，有μ(G)= μ=|G-T|=m-n+1 m=ρ+μ
v5
2.7 5.3
v2
v4
1.8
v3
10
二、图的连通性 （一）相关概念
1.自环、重边和度数
自环：若与一个边er相关联的两个端是同一个端点,则称边er 为自环。
重边：在无向图中与同一对端点关联的两条或两条以上的边 称为重边。在有向图中与同一对端点关联且方向相同 的两条或两条以上的边称为重边。没有自环和重边的 图称为简单图。
ρ：表示生成树的大小，取决于G 中的端点。 μ：
（1）表示生成树覆盖该图的程度。μ越小，覆盖度越高，μ=0表 示图G就是树。
（2）反映图G的连通程度，μ越大，连枝数越多，图的连通性越 好，μ=0表示图G有最 低连通性，即最小连通图。
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3.生成树的求法 （1）破圈法：拆除图中的所有回路并使其保持连通，就能 得到G的一棵生成树。 （2）避圈法： 设有n个点的连通图G， a. 在连通图中任选一条边（及其端点）。 b. 选取第二、三…条边，使之不与已选的边形成回路。
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图G=(V，E)是一个含有n个端，m条边的图，它的完全关联 矩阵是以图G的每一个端点为一行，以每一条边为一列所形
[aij ]nm 成的n×m矩阵，表示成 A 0 (G) 。
e v1 A (G ) [ a ] v ij n m i 0 v
n
1
e
2
e
j
e
m nm
在实际问题中： 重边→ 一条边
一条无向边←→两条方向相反的有向边
11
自环示意图
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端的度数：与某端相关联的边数可定义为该端的度数。记为 d(vi)。若为有向图，d+(vi)：表示离开或从端vi射出的边 数,即端vi的出度；d-(vi)：表示进入或射入端vi的边数， 即端vi的入度。d(vi)=d+(vi)+d-(vi) 度数的两个性质： （1）对于有n个端、m条边的图，必有
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径(path)：既无重复边，又无重复端的边序列叫做径。在一条径 中，除了起点和终点的端的度数为1外，其他端的度数都是 2。 回路(circuit)：起点和终点重合的径称为回路（或称为圈）。回路 是每个端点度数均为2的连通图。回路是最小闭链。 对于有向图，可有相仿的定义，只是在链中，相邻二条边 对共有端而言，前面的边必须是射出边，而后面的是射入 边。
第3章 通信网设计基础
3.1 图论结构设计基础 3.2 路由选择问题 3.3 站址选择问题 3.4 通信网的交换技术
1
3.1 图论结构设计基础
通信网设计要求：
满足各项性能指标要求
节省费用 要求设计人员应掌握相当的网络理论基础知识和网络分析的计算方
法，如通信网所涉及的数学理论、优化算法、网的分析方法与指标计算
（1）确定最佳网路结构 （2）进行路由选择 （3）分析网路的可靠性等
4
1.图的定义 设有端点集V={v1,v2,…,vn}和边集E={e1,e2,…,em}，当存在 关系R，使V×V→E成立时，则说由端点集V和边集E组成图 G，记为G=（V，E）。
关系R：指对任一边ek，有V中的一个点对(vi,vj)与之对应。

无限图：若图G中的端集V和边集E中有一个为无限集时称图 G为无限图。
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有权图：设图G=(V , E)，如果对它的每一条边ek或每一个端 点vi赋以一个实数pk，则称图G为有权图或加权图，pk 称为权值。边和端的权值可以不止一个，可以是正值 或负值，在实际问题中，代表不同的含义。
2.5
v1
3.1 4.2
方法等。
通信网的拓扑结构在通信网设计中的作用：
影响网的造价和维护费用 对网络的可靠性和网络的控制及质量起着重要的作用 对网络的拓扑结构的研究是通信网的规划和设计中第一层次的问题
2
通信网的结构 传统的网都是转接式的，是由交换节点和传输线路构成 从数学模型来说这是一个图论的问题。 一、图的概念 图论：是离散数学的一部分，是现代应用数学的一个分支。 离散数学以研究离散量的结构和相互间的关系为主要
此时： a.称vi ,vj是ek的端点，记为ek=(vi,vj)； b.称点vi,vj与边ek关联，且称vi与vj为相邻点。 c.若有两条边与同一端点关联，则称这两条边为相邻边。
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对vi∈V ,vj∈V, 当且仅当vi 对vj存在某种关系时（如邻接关 系）才有某一个ek∈E（或有两个或更多的ek∈E对应vi和vj）。 一个ek只能对应一点对(vi,vj)。 一个图可以用几何图形来表示，但所对应的几何图形不是唯一
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v1
v5
v1
v5
v2 v3
v4
v2
v3
v4
无向图
有向图
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空图：若图G中的端集V是空集，则不可能有边集E，这样的 图称为空图。 孤立点图：若图G中的边集E为空集，点集V不空，但各端间 无关系，则称图G为孤立点图。
有限图：若图G中的端集V和边集E为有限集时称图G为有限 图。实际上我们通常所遇到的都是有限图。
v1 v1 e1 v2 e2 e4 e6 e5 v3 v4 e3 e1 v5 v2 e2 v4 v3 e3 v5
连通图
非连通图
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非连通图总可以分成几个部分，每一个部分都是原图的一个 最大连通子图。这里最大是指若在最大连通子图上再加上原 图的任意一个元素（一条边或一个端）都将使子图成为非连 通图。
无重边和自环的全连通图是正则图，其端的度数d(vi)= n-1，其中n是图的端数。但正则图不一定是全连通图 。
v1 v2 v5
v1
v1
v5
v6 v5
v2
v2 v3
(b) d(vi)=3
v3
v4 全连通图
v3
v4 (a) d(vi)=2
v4
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3.汉密尔顿图（Hamilton，H图）：当图中至少存在一个包 含所有端的回路，这个图称为汉密尔顿图，简称H图。该回 路称为汉密尔顿回路。一个汉密尔顿图可以有几个不同的汉 密尔顿回路。
非连通的环路：为无重复端的回路的并（即分离的回路的并）。
环路中每个端点的度数均为偶数。 闭链和回路都是环路（连通的），但环路不一定是闭链和回 路（当环路是非连通时）。
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v1 e1
1
e3
e5
4
e4
e6
v5 e8
2
e9
3
v2
e2
v3 环
e7 路
v4 e10
v6
环路：1，2，3，4，（1，3），（1，2），（2，4）等 （1，4），（3，4）：不是环路
d.树尖：若树枝的一个端点仅与此边关联，则称该树枝为树尖。
e.树叶(leaf)：度数为1的端点称为树叶(leaf)。
f.有根树：若指定树中的一个点为根，则称该树为有根树。
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e1
v1 e2 e5 e8 v6 e9 v9 v10 v4
根
e6
v2 e3
v3 e7 v7 e4
树干
v5
e10
e11
v12
树尖
15
边序列
e1 e5
v2
e2 e4 e6 v4 v2 v3 e1
v2
e2
径
e4
v1 e3
v5
e5
v1 v5 e6 v2
v3
e3 v4
闭链
e1 e5 v1
开链
e1
e2 e4 e3 v4 v3 v1 e5
回路
e2
e4 e6 e3 v3
e7
v5
e6
v5
v4
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（二）图的连通性 1.连通图：设图G=（V，E），若图中任意两个点之间至少 存在一条路径，则称图G为连通图。否则称G为非连通图。
d (v
i 1
n
i
) 2m
（2）任何图中，度数为奇数的端的数目必为偶数（或零）。 即V1：奇度数端集
v j V1
d (v
j
) 偶数
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2.链、径和回路 边序列：有限条边的一种串序排列称为边序列。边序列中的 各条边是首尾相连的，在边序列中，可以有重复的边 和重复的端。 链(chain)：没有重复边的边序列叫做链。但在链中可以有重 复的端。 链可分为开链和闭链。 开链：起点和终点不是同一端的链。通常所说的链指的是开 链。 闭链：起点和终点重合的链。 链的长度：链中边的数目称为链的长度。
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3.子图、真子图和生成子图 从原来的图中适当地去掉一些边和端点后得到子图。 设有图G=(V，E) 和G’=(V’，E’)： a.若V’ V，E’ E，即G’的所有的端和边都属于 图G，则称G’是G的子图。记为G’ G。 b.若V’ V，E’
E，即子图G’不包含G的所有边，则称G’
1.全连通图：任意两端间都有边的无向图称为全连通图，或称完
全图。 一个无重边和自环的全连通图(简单图，亦为正则图)的边数m和 端数n之间有固定关系：
n n ( n 1) m 2 2
全连通图是连通性最好的图。
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2.正则图：所有端的度数都相等的连通图称为正则图。即 d(vi)=常数，i=1，2，…，n。 正则图的连通性最均匀，也就是取得一定连通性的边数 最少的图。
v8
v11
树叶
树
27
2.树的性质： ⑴ 树无回路，但增加一条边便可以得到一个回路。 ⑵ 树是最小连通图，去掉树中的任一条边便不连通。 ⑶ 若树有m条边，n个端，则有m=n-1，即有n个端的树共有
n-1条树枝。
⑷ 除了单点树外，任何一棵树中至少有两片树叶。
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2. 图的生成树（支撑树） 生成树的定义：设G是一个连通图，T是G的一个生成子图， 且又是一棵树，则称T是G的一棵生成树。一个连通图至少有 一棵生成树。
e2 e1 e6 e5 e4
e7
e3
H 图
汉密尔顿回路是(e1 , e2 , e3 , e4 , e5)。
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（四）树（tree） 1.定义 a.树（tree） ：任意两端间有且只有一条路径的连通图称为树。 b.树枝（branch） ：树中的边称为树枝。
c.树干（trunk）：若树枝的两个端点都至少与两条边关联，则 称该树数个元素。
3
图论：图论专门研究人们在自然界和社会生活中遇到的包 含某种二元关系的问题或系统。它把这种问题或系统抽象 为点和线的集合，用点和线相互连接的图来表示，通常称 为点线图。图论就是研究点和线连接关系的理论。
通信网中，点→交换节点 线→传输链路
图论在通信网的设计中的应用：
v1 e1 v2 e2 e4 e6 e5 v3 v4 v3 e3 v5 v2 e2 v4 e1 e3 v1 v5
连通图
非连通图
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2.环路 ：不重边的回路和回路的并称为环路。 环路可以是连通的，也可以是非连通的。 连通的环路：为一单一回路（即最小闭链），或有公共端、而无 公共边的回路的并（即有重复端的闭链）。
c. 直到选取完n-1条边且不出现回路，结束。
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三、图的矩阵表示 图的表示方法 （1）几何图形：直观 （2）矩阵表示：可以存入计算机，并进行数值计算和分析。 二者在拓扑上是一致的，也就是满足图的抽象定义。
图常用的三种矩阵：关联矩阵，邻接矩阵，权值矩阵。
（一）完全关联矩阵与基本关联矩阵
完全关联矩阵：表示端与边的关联性的矩阵。
的。
图的几何图形
6
2. 图的相关概念 无向图：设图G=(V , E)，当vi对vj存在某种关系R等价于vj 对vi存在某种关系R, 则称G为无向图。即图G中的任意一条 边ek都对应一个无序点对（vi ,vj），记为
ek=（vi，vj）=（vj，vi）。（一条边）
有向图：设图G=(V , E)，当vi对vj存在某种关系R不等价于 vj对vi存在关系R, 则称G为有向图。即图G中的任意一条边 都对应一个有序点对（vi,vj ）， 即 ek=（vi，vj）≠（vj，vi）（两条边）。 其边的方向为vi → vj