2015-2016年山东省德州市跃华学校高二上学期期中数学试卷及解析

2015-2016学年山东省德州市跃华学校高二（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1．（5分）不共面的四点可以确定平面的个数为（）
A．2个 B．3个 C．4个 D．无法确定
2．（5分）已知直线a、b与平面α、β、γ，下列条件中能推出α∥β的是（）A．a⊥α且a⊥βB．α⊥γ且β⊥γ
C．a⊂α，b⊂β，a∥b D．a⊂α，b⊂α，a∥β，b∥β
3．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）
A．B．C．6πD．
4．（5分）若球的半径是cm，则球的内接正方体的体积是（）
A．8cm3B．8cm3C．24cm3D．46cm3
5．（5分）直线3ax﹣y﹣1=0与直线x+y+1=0垂直，则a的值是（）A．﹣1或B．1或C． D．
6．（5分）已知四个命题：
①两条直线确定一个平面；
②点A在平面α内，也在直线a上，则直线a在平面α内；
③如果平面α与平面β有不同的三个公共点，那么这两个平面必重合；
④三条直线两两平行，最多可确定三个平面．
其中正确的命题有（）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（5分）方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a﹣1=0表示圆，则a的取值范围是（）A．a＜﹣2或a＞B．﹣＜a＜0 C．﹣2＜a＜0 D．﹣2＜a＜
8．（5分）已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣2）2=4（a＞0）及直线l：x﹣y+3=0，当直
线l被圆C截得的弦长为2时，a的值等于（）
A．B．﹣1 C．2﹣D．+1
9．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=y﹣2x的最小
值为（）
A．﹣7 B．﹣4 C．1 D．2
10．（5分）已知点A（﹣1，1）和圆C：（x﹣5）2+（y﹣7）2=4，一束光线从点A经x轴反射到圆周C上的最短路程是（）
A．B．10 C．D．8
二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11．（5分）如果一条直线b与平面α内的一条直线m平行，则直线b与平面α的位置关系是．
12．（5分）如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角均为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的周长为．
13．（5分）若两圆x2+y2=4与x2+y2﹣2ax+a2﹣1=0相内切，则a=．14．（5分）给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；
②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；
③垂直于同一直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．
其中，为真命题的是．
15．（5分）若直线mx+2ny﹣4=0（m，n∈R，m≠n）始终平分圆x2+y2﹣4x﹣2y ﹣4=0的周长，则mn的取值范围是．
三、解答题：（本大题共6小题，共75分）
16．（12分）有一地球仪的半径为30cm，地球仪上标有A、B两地，A地北纬45°，东经40°，B地北纬45°，西经50°．
（1）求地球仪的表面积与体积；
（2）求地球仪上A、B两地所在纬线圈的半径；
（3）求地球仪上A、B两点的球面距离．
17．（12分）如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点．求证：
（Ⅰ）PA∥平面BDE；
（Ⅱ）平面PAC⊥平面BDE．
18．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点．
（1）若AA1=AB=AC=BC=2，求三棱锥A1﹣AEF的体积；
（2）求证：平面EFA1∥平面BCHG．
19．（12分）已知直线l：y=3x+3，试求：
（1）过点P（4，5）与直线l垂直的直线方程；
（2）直线l关于点A（3，2）对称的直线方程．
20．（14分）已知圆C1的圆心为点C1（3，0），并且圆C1过点．（1）求圆C1的方程；
（2）求圆C1的过点（1，﹣4）的切线方程；
（3）若圆C2：x2+y2﹣2mx+4y+m2﹣5=0，是否存在m使得圆C1与圆C2内含，并说明理由．
21．（13分）某运输公司接受了向四川地震灾区每天至少运送180t支援物资的
任务．该公司有8辆载重6t的A型卡车与4辆载重为10t的B型卡车，有10名驾驶员，每辆卡车每天往返的次数是A型卡车4次，B型卡车3次；每辆卡车往返的成本费是A型卡车320元，B型卡车504元．
（1）设所需A型、B型卡车分别为x辆和y辆，每天A型车和B型车往返的成本费之和为z，请完成如表的空格；
（2）请为公司安排一下，应如何调配车辆，才能使公司所花的往返成本费最低？
2015-2016学年山东省德州市跃华学校高二（上）期中数
学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1．（5分）不共面的四点可以确定平面的个数为（）
A．2个 B．3个 C．4个 D．无法确定
【解答】解：∵不共线的三个点确定一个平面，
不共面的四点就一定不存在三个点共线的情况，
∴从4个点中任取3个点都可以确定一个平面，共有C43=4种结果，
故选：C．
2．（5分）已知直线a、b与平面α、β、γ，下列条件中能推出α∥β的是（）A．a⊥α且a⊥βB．α⊥γ且β⊥γ
C．a⊂α，b⊂β，a∥b D．a⊂α，b⊂α，a∥β，b∥β
【解答】解：选项A，根据垂直于同一直线的两个平面平行，可知正确；
选项B，α⊥γ，β⊥γ可能推出α、β 相交，所以B不正确；
选项C，a⊂α，b⊂β，a∥b，α与β 可能相交，故不正确；
选项D，a⊂α，b⊂α，a∥β，b∥β，如果a∥b推出α、β 相交，所以D不正确；故选：A．
3．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）
A．B．C．6πD．
【解答】解：由已知中的三视图，判断出该几何是由
一个底面半径为1，高为1的圆锥和底面半径为1，高为2的圆柱组合而成；
∵S
圆锥侧
=πR（）=π
S圆柱侧=2πRH=4π
S底面=πR2=π
∴S=S
圆锥侧+S
圆柱侧
+S
底面
=（+5）π
故选：A．
4．（5分）若球的半径是cm，则球的内接正方体的体积是（）
A．8cm3B．8cm3C．24cm3D．46cm3
【解答】解：因为球的半径是cm，所以球的内接正方体的对角线长为：2 ，所以正方体的棱长为：=2，
所以正方体的体积为：23=8 cm3．
故选：A．
5．（5分）直线3ax﹣y﹣1=0与直线x+y+1=0垂直，则a的值是（）A．﹣1或B．1或C． D．
【解答】解：∵直线3ax﹣y﹣1=0与直线x+y+1=0垂直，
∴斜率之积等于﹣1，
即3a×（﹣a ）=﹣1，
∴a=1 或a=﹣，
故选：D．
6．（5分）已知四个命题：
①两条直线确定一个平面；
②点A在平面α内，也在直线a上，则直线a在平面α内；
③如果平面α与平面β有不同的三个公共点，那么这两个平面必重合；
④三条直线两两平行，最多可确定三个平面．
其中正确的命题有（）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：①两条平行线或两条相交线都能确定一个平面，
但两条异面直线不能确定一个平面，故①不正确；
②点A在平面α内，也在直线a上，
则由公理一知直线a不一定在平面α内，故②不正确；
③如果平面α与平面β有不共线的三个公共点，
那么这两个平面必重合，故③不正确；
④三条直线两两平行，最多可确定=3个平面，故④正确．
故选：A．
7．（5分）方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a﹣1=0表示圆，则a的取值范围是（）A．a＜﹣2或a＞B．﹣＜a＜0 C．﹣2＜a＜0 D．﹣2＜a＜
【解答】解：方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a﹣1=0表示圆
∴a2+4a2﹣4（2a2+a﹣1）＞0
∴3a2+4a﹣4＜0，
∴（a+2）（3a﹣2）＜0，
∴
故选：D．
8．（5分）已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣2）2=4（a＞0）及直线l：x﹣y+3=0，当直线l被圆C截得的弦长为2时，a的值等于（）
A．B．﹣1 C．2﹣D．+1
【解答】解：∵圆C：（x﹣a）2+（y﹣2）2=4的圆心为C（a，2），半径r=2
∴圆心到直线l：x﹣y+3=0的距离d=
∵l被圆C截得的弦长为2时，
∴d+（）2=22，解得d=1
因此，=1，解之得a=﹣1（舍负）
故选：B．
9．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=y﹣2x的最小
值为（）
A．﹣7 B．﹣4 C．1 D．2
【解答】解：设变量x、y满足约束条件，
在坐标系中画出可行域三角形，
平移直线y﹣2x=0经过点A（5，3）时，y﹣2x最小，最小值为：﹣7，
则目标函数z=y﹣2x的最小值为﹣7．
故选：A．
10．（5分）已知点A（﹣1，1）和圆C：（x﹣5）2+（y﹣7）2=4，一束光线从点A经x轴反射到圆周C上的最短路程是（）
A．B．10 C．D．8
【解答】解：由反射定律得点A（﹣1，1）关于x轴的对称点B（﹣1，﹣1）在反射光线上，当反射光线过圆心时，
最短距离为|BC|﹣R=﹣2=10﹣2=8，
故光线从点A经x轴反射到圆周C的最短路程为8．
故选：D．
二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11．（5分）如果一条直线b与平面α内的一条直线m平行，则直线b与平面α的位置关系是b⊂α，或b∥α．
【解答】解：一条直线b与平面α内的一条直线m平行，
若直线b在平面α内，则b⊂α，
若直线b不面平面α内，则b∥α，
∴直线b与平面α的位置关系为b⊂α，或b∥α．
故答案为：b⊂α，或b∥α．
12．（5分）如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角均为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的周长为4++．
【解答】解：恢复后的原图形为一直角梯形，上底为1，高为2，下底为1+，
另一腰长为：=，
故原图的周长为：1+2+1++=4++，
故答案为：4++
13．（5分）若两圆x2+y2=4与x2+y2﹣2ax+a2﹣1=0相内切，则a=±1．
【解答】解：将圆x2+y2﹣2ax+a2﹣1=0化为标准方程，得（x﹣a）2+y2=1，
∴圆x2+y2﹣2ax+a2﹣1=0的圆心为C（a，0）、半径r1=1，
同理可得圆x2+y2=4的圆心为O（0，0）、半径r2=2，
∵两圆内切，∴两圆的圆心距等于它们的半径之差，
可得|a|=1，解之得a=1或﹣1，
故答案为：±1．
14．（5分）给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；
②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；
③垂直于同一直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．
其中，为真命题的是②④．
【解答】解：当两个平面相交时，一个平面内的两条直线可以平行于另一个平面，故①不对；
由平面与平面垂直的判定定理可知②正确；
空间中垂直于同一条直线的两条直线可以平行，相交也可以异面，故③不对；若两个平面垂直，只有在一个平面内与它们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直，故④正确．
故应填②④
15．（5分）若直线mx+2ny﹣4=0（m，n∈R，m≠n）始终平分圆x2+y2﹣4x﹣2y ﹣4=0的周长，则mn的取值范围是（﹣∞，1）．
【解答】解：圆的方程x2+y2﹣4x﹣2y﹣4=0化为（x﹣2）2+（y﹣1）2=9，可得圆心C（2，1）．
∵直线mx+2ny﹣4=0（m，n∈R，m≠n）始终平分圆x2+y2﹣4x﹣2y﹣4=0的周长，
∴圆心C在直线上，∴2m+2n﹣4=0，化为m+n=2．
当m＞0，n＞0，m≠n时，，化为mn＜1．
当mn=0时，mn=0．
当m＜0或n＜0（不同时成立）时，mn＜0．
综上可知mn的取值范围是（﹣∞，1）．
故答案为（﹣∞，1）．
三、解答题：（本大题共6小题，共75分）
16．（12分）有一地球仪的半径为30cm，地球仪上标有A、B两地，A地北纬45°，东经40°，B地北纬45°，西经50°．
（1）求地球仪的表面积与体积；
（2）求地球仪上A、B两地所在纬线圈的半径；
（3）求地球仪上A、B两点的球面距离．
【解答】解：（1）地球仪的半径为30cm，∴地球仪的表面积S=4π×900=3600πcm2，
体积V==36000πcm3；
（2）地球仪上A、B两地所在纬线圈的半径为30×cos45°=15cm；
（3）AB=15×=30cm，∴球心角为，
∴地球仪上A、B两点的球面距离为=10πcm．
17．（12分）如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点．求证：
（Ⅰ）PA∥平面BDE；
（Ⅱ）平面PAC⊥平面BDE．
【解答】证明：（I）∵O是AC的中点，E是PC的中点，
∴OE∥AP，又∵OE⊂平面BDE，PA
⊄平面BDE．
∴PA∥平面BDE．
（II）∵PO⊥底面ABCD，PO⊥BD，
又∵AC⊥BD，且AC∩PO=O
∴BD⊥平面PAC，而BD⊂平面BDE，
∴平面PAC⊥平面BDE
18．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点．
（1）若AA1=AB=AC=BC=2，求三棱锥A1﹣AEF的体积；
（2）求证：平面EFA1∥平面BCHG．
【解答】（1）解：∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E，F分别是AB，AC的中点，AA1=AB=AC=BC=2，
∴三棱锥A1﹣AEF的体积V===；（2）证明：∵G、H分别为A1B1，A1C1中点，∴GH∥B1C1，
∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC∥B1C1，
∴GH∥BC
∴B、C、H、G四点共面，
∵E、F分别为AB、AC中点，
∴EF∥BC
∴EF∥BC∥B1C1∥GH
又∵E、G分别为三棱柱侧面平行四边形AA1B1B对边AB、A1B1中点，
∴四边形A1EBG为平行四边形，A1E∥BG
∴平面EFA1中有两条直线A1E、EF分别与平面BCHG中的两条直线BG、BC平行∴平面EFA1∥平面BCHG．
19．（12分）已知直线l：y=3x+3，试求：
（1）过点P（4，5）与直线l垂直的直线方程；
（2）直线l关于点A（3，2）对称的直线方程．
【解答】解：∵直线l：y=3x+3的斜率为3，
∴与直线l垂直的直线的斜率为﹣．
∴过点（4，5）且与直线l垂直的直线方程为y﹣5=﹣（x﹣4），即x+3y﹣19=0．（2））在直线L：y=3x+3上任意取出两个点C（0，3）、D（﹣1，0），求出这两个点关于点A（3，2）对称点
分别为C′（6，1）、D′（7，4），
由题意可得C′（6，1）、D′（7，4），是所求直线上的两个点，
由两点式求得所求直线的方程为=，即3x﹣y﹣17=0．
20．（14分）已知圆C1的圆心为点C1（3，0），并且圆C1过点．（1）求圆C1的方程；
（2）求圆C1的过点（1，﹣4）的切线方程；
（3）若圆C2：x2+y2﹣2mx+4y+m2﹣5=0，是否存在m使得圆C1与圆C2内含，并说明理由．
【解答】解：（1）由题意，r==2，
∴圆C1的方程为（x﹣3）2+y2=4；
（2）x=1，满足题意；
斜率存在时，设方程为y+4=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k﹣4=0，
圆心到直线的距离d==2，∴k=，
∴切线方程为3x﹣4y+19=0，
∴圆C1的过点（1，﹣4）的切线方程为x=1或3x﹣4y+19=0；
（3）圆C1：x2+y2﹣2mx+4y+m2﹣5=0，化为：（x﹣m）2+（y+2）2=9；圆心（m，
﹣2），半径为3．
圆C1与圆C2内含，则C1C2＜3﹣2．即＜1，显然无解，
∴不存在m值，使得圆C1与圆C2内含．
21．（13分）某运输公司接受了向四川地震灾区每天至少运送180t支援物资的任务．该公司有8辆载重6t的A型卡车与4辆载重为10t的B型卡车，有10名驾驶员，每辆卡车每天往返的次数是A型卡车4次，B型卡车3次；每辆卡车往返的成本费是A型卡车320元，B型卡车504元．
（1）设所需A型、B型卡车分别为x辆和y辆，每天A型车和B型车往返的成本费之和为z，请完成如表的空格；
（2）请为公司安排一下，应如何调配车辆，才能使公司所花的往返成本费最低？【解答】解：（1）由题意，A型车每天运物24x（0≤x≤8）吨，每天往返成本费320x元；B型车每天运物30y（0≤y≤4）吨，每天往返成本费504y元；
（2）由（1）公司总成本为z=320x+504y
满足约束条件的可行域如图示：
由图可知，当x=7.5，y=0时，z有最小值，但是（7.5，0）不是整点，目标函数向上平移过（8，0）时，z=320×8+504×0=2560有最小值，最小值为2560元；即当每天应派出A型车8辆、B型车0辆，能使公司总成本最低，最低成本为
2560元．
只安排A型或B型卡车，所花的成本费分别：=5760元，=3024元．。

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