极坐标和参数方程知识点总结大全

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极坐标与参数方程知识点总结大全

1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换

设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换的作用下,点P(x,y)对应到点,称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.

2.极坐标系的概念

(1)极坐标系

如图所示,在平面内取一个定点,叫做极点,自极点引一条射线,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.

注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面

直角坐标系都是平面坐标系.

(2)极坐标

设M是平面内一点,极点与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为;以极轴为始边,射线为终边的角叫做点M的极角,记为.有序数对叫做点M的极坐标,记作.

一般地,不作特殊说明时,我们认为可取任意实数.

特别地,当点在极点时,它的极坐标为(0,)(∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.

如果规定,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标表示;同时,极坐标表示的点也是唯一确定的.

3.极坐标和直角坐标的互化

(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:

(2)互化公式:设是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是,极坐标是(),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:

点直角坐标极坐标

互化公式

在一般情况下,由确定角时,可根据点所在的象限最小正角.

4.常见曲线的极坐标方程

极坐标与参数方程知识点总结大全

1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换

设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换

的作用下,点P(x,y)对应到点,称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.

2.极坐标系的概念

(1)极坐标系

直角坐标系都是平面坐标系.

(2)极坐标

设M是平面内一点,极点与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为;以极轴为始边,射线为终边的角叫做点M的极角,记为.有序数对叫做点M的极坐标,记作.

一般地,不作特殊说明时,我们认为可取任意实数.

特别地,当点在极点时,它的极坐标为(0, )(∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.

如果规定,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标表示;同时,极坐标表示的点也是唯一确定的.

3.极坐标和直角坐标的互化

(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:

(2)互化公式:设是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是,极坐标是(),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:

点直角坐标极坐标

互化公式

在一般情况下,由确定角时,可根据点所在的象限最小正角.

4.常见曲线的极坐标方程

极坐标与参数方程知识点总结大全

1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换

设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换的作用下,点P(x,y)对应到点,称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.

2.极坐标系的概念

(1)极坐标系

如下列图,在平面取一个定点,叫做极点,自极点引一条射线,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.

注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系那么不可.但极坐标系和平面

直角坐标系都是平面坐标系.

(2)极坐标

设M是平面一点,极点与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为;以极轴为始边,射线为终边的角叫做点M的极角,记为.有序数对叫做点M的极坐标,记作.

一般地,不作特殊说明时,我们认为可取任意实数.

特别地,当点在极点时,它的极坐标为(0, )(∈R).和直角坐标不同,平面一个点的极坐标有无数种表示.

如果规定,那么除极点外,平面的点可用唯一的极坐标

表示;同时,极坐标表示的点也是唯一确定的.

3.极坐标和直角坐标的互化

(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取一样的长度单位,如下列图:

(2)互化公式:设是坐标平面任意一点,它的直角坐标是,极坐标是

(),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:

点直角坐标极坐标

互化公式

在一般情况下,由确定角时,可根据点所在的象限最小正角.

4.常见曲线的极坐标方程

(完整版)极坐标与参数方程知识点总结大全

极坐标与参数方程

一、参数方程1.参数方程的概念

一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的

函数，即

⎩⎨

⎧==)

()

(t f y t f x 并且对于t 每一个允许值，由方程组所确定的点M （x ，y ）都在这条曲线上（即曲线上的点在方程上，方程的解都在曲线上），那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数．

相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.

2.参数方程和普通方程的互化

曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参

数而从参数方程得到普通方程.

练习

1．若直线的参数方程为，则直线的斜率为（）

12()23x t

t y t

=+⎧⎨

=-⎩为参数A ．

B ．

C ．

D ．2

2．下列在曲线上的点是（）

sin 2()cos sin x y θ

θθθ

=⎧⎨

=+⎩为参数A ．

B ．

C ．

D ．

1(,2

(,)42

3．将参数方程化为普通方程为（）2

2sin ()sin x y θ

θθ

⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数A ．

B ．

C ．

D ．

2y x =-2y x =+2(23)y x x =-≤≤

2(01)y x y =+≤≤注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一（由上面练习（1、3可知））。应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。

3．圆的参数方程

如图所示，设圆的半径为，点从初始位置出发，按逆时针方向

极坐标与参数方程知识点总结大全

一、极坐标系统

极坐标系统是一种用来表示平面上点的坐标系统，它与直角坐标系统相互转化。在极坐标系统中，一个点的位置由径向和角度两个量来确定。常用的表示方式为(r, θ)，其中r表示点到原点的距离，称为极径，而θ表示与参考轴（通常为正X 轴）的夹角，称为极角。

极坐标系统与直角坐标系统之间可以通过如下的转换关系相互转化：•直角坐标→ 极坐标：x = r * cos(θ)，y = r * sin(θ)

•极坐标→ 直角坐标：r = sqrt(x^2 + y^2)，θ = arctan(y/x)极坐标系统适用于描述旋转对称性的图形，例如圆、花朵等。

二、参数方程

参数方程是一种用参数表示函数的方式。在参数方程中，自变量和因变量都可

以是参数。一般来说，参数方程是将自变量和因变量都用参数表示的方程组。

以平面上的曲线为例，如果将曲线上的点的坐标分别用参数t表示，则曲线上

的点的坐标可以表示为(x(t), y(t))。这种表示方式称为参数方程。参数方程在

描述含有符号导数的曲线段以及曲线段的方向时非常有用。

参数方程可以将复杂的图形分解成多个简单的函数，从而方便进行图形的分析

和计算。它在计算机图形学、物理学、工程学等领域有广泛的应用。

三、极坐标与参数方程的关系

极坐标与参数方程之间存在着密切的关系。可以通过参数方程来描述极坐标系

中的曲线。

一个常见的例子是圆的极坐标方程和参数方程的表示。以圆的极坐标方程为例，极坐标方程为r = a，其中a为圆的半径。使用参数方程表示时，可以将极坐标方

程转化为参数方程x = a * cos(θ)，y = a * sin(θ)。

极坐标与参数方程知识点总结大全

1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换

设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换

的作用下,点P(x,y)对应到点

,称

为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.

2.极坐标系的概念

(1)极坐标系

如图所示,在平面内取一个定点

,叫做极点,自极点

引一条射线

,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.

直角坐标系都是平面坐标系.

(2)极坐标

设M是平面内一点,极点与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为;以极轴为始边,射线

为终边的角叫做点M的极角,记为.有序数对

叫做点M的极坐标,记作.

. 一般地,不作特殊说明时,我们认为

可取任意实数.

特别地,当点在极点时,它的极坐标为(0,

)(

∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.

如果规定,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标表示;同时,极坐标

表示的点也是唯一确定的.

3.极坐标和直角坐标的互化

(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:

(2)互化公式:设是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是,极坐标是

(

),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:

在一般情况下,由确定角时,可根据

点所在的象限最小正角.

4.常见曲线的极坐标方程

注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即

极坐标和参数方程知识点总结

千里之行，始于足下。

极坐标和参数方程知识点总结

极坐标是一种表示平面上点位置的坐标系统，它是由点到原点的距离（称为极径）和点与极轴的夹角（称为极角）所确定的。在极坐标系中，每个点的坐标可以表示为(r,θ)的形式，其中r为极径，θ为极角。

参数方程是一种用一对参数变量来表示曲线上的点的坐标的方法。对于平面上的曲线，常用的参数方程形式为x=f(t)和y=g(t)，其中t为参数变量，f(t)和g(t)分别表示x和y的函数关系。

以下是极坐标和参数方程的一些重要知识点总结：

1. 极坐标的转换关系：

- 直角坐标到极坐标的转换：x=r*cos(θ)，y=r*sin(θ)

- 极坐标到直角坐标的转换：r=sqrt(x^2+y^2)，θ=tan^(-1)(y/x)

2. 常见曲线的极坐标方程：

- 直线：θ=常数

- 圆：r=常数

- 椭圆：r=a*b/sqrt(b^2*cos^2(θ)+a^2*sin^2(θ))

3. 参数方程的表示方式：

- 曲线方程：(x,y)=(f(t),g(t))

- 曲线长度的计算公式：L=∫sqrt((dx/dt)^2+(dy/dt)^2)dt

4. 参数方程的性质：

- 曲线方向：随着参数变量的增大，曲线的运动方向

- 曲线对称性：参数方程对称性特点取决于函数f(t)和g(t)的对称性

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锲而不舍，金石可镂。

- 曲线切线方向：曲线上某点的切线方向由参数方程的导数决定

5. 参数方程与极坐标之间的关系：

- 参数方程可以转换为极坐标方程，极径r=f(t)，极角θ=g(t)

- 极坐标方程可以转换为参数方程，x=f(θ)*cos(θ)，

(完整版)高中数学极坐标与参数方程知识点

极坐标与参数方程知识点

（一）曲线的参数方程的定义：

在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数，即

⎩

⎨

⎧==)()

(t f y t f x 并且对于t 每一个允许值，由方程组所确定的点M （x ，y ）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数．（二）常见曲线的参数方程如下： 1．过定点（x 0，y 0），倾角为α的直线：

αsin cos 00t y y t x x +=+= （t 为参数）

其中参数t 是以定点P （x 0，y 0）为起点，对应于t 点M （x ，y ）为终点的有向线段PM 的数量，又称为点P 与点M 间的有向距离．根据t 的几何意义，有以下结论． ○

1．设A 、B 是直线上任意两点，它们对应的参数分别为t A 和t B ，则AB ＝A B t t -＝

B A A B t t t t ⋅--4)(2．

○

2．线段AB 的中点所对应的参数值等于2

A t t +． 2．中心在（x 0，y 0），半径等于r 的圆：

θsin cos 00r y y r x x +=+= （θ为参数）

3．中心在原点，焦点在x 轴（或y 轴）上的椭圆：

θθsin cos b y a x == （θ为参数）（或 θ

sin cos a y b x ==）

中心在点（x0,y0）焦点在平行于x 轴的直线上的椭圆的参数方程

为参数）ααα(.sin ,

cos 00⎩

⎨

⎧+=+=b y y a x x 4．中心在原点，焦点在x 轴（或y 轴）上的双曲线：

极坐标与参数方程知识点总结大全

1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换

设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换的作用下,点P(x,y)对应到点,称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.

2.极坐标系的概念

(1)极坐标系

如图所示,在平面取一个定点,叫做极点,自极点引一条射线,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.

注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面

直角坐标系都是平面坐标系.

(2)极坐标

设M是平面一点,极点与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为;以极轴为始边,射线为终边的角叫做点M的极角,记为.有序数对叫做点M的极坐标,记作.

一般地,不作特殊说明时,我们认为可取任意实数.

特别地,当点在极点时,它的极坐标为(0, )(∈R).和直角坐标不同,平面一个点的极坐标有无数种表示.

如果规定,那么除极点外,平面的点可用唯一的极坐标

表示;同时,极坐标表示的点也是唯一确定的.

3.极坐标和直角坐标的互化

(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:

(2)互化公式:设是坐标平面任意一点,它的直角坐标是,极坐标是

(),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:

点直角坐标极坐标

互化公式

在一般情况下,由确定角时,可根据点所在的象限最小正角.

4.常见曲线的极坐标方程

极坐标和参数方程知识点总结

一、极坐标基础知识

极坐标是一种描述平面上点位置的方式，它由两个值组成：极径和极角。极径表示点到原点的距离，而极角表示点到正半轴的夹角。

二、极坐标与直角坐标系的转换

在直角坐标系中，一个点可以用它在x轴和y轴上的投影表示。而在

极坐标系中，一个点可以用它与原点的距离和与正半轴的夹角来表示。两种坐标系之间可以通过以下公式进行转换：

x=r*cosθ

y=r*sinθ

其中，r为极径，θ为极角。

三、常见图形的极坐标方程

1. 圆：r=a

2. 点：r=0

3. 直线：θ=k

4. 简单叶形线：r=a*cos(2θ)

5. 简单心形线：r=a*(1-sinθ)

四、参数方程基础知识

参数方程是一种描述曲线运动状态的方式，它由两个函数组成：x(t)和y(t)。这两个函数分别表示曲线上每个点在x轴和y轴上的位置。

五、参数方程与直角坐标系的转换

在直角坐标系中，一个曲线可以用y=f(x)的形式表示。而在参数方程中，一个曲线可以用x(t)和y(t)的形式表示。两种坐标系之间可以通过以下公式进行转换：

x=f(t)

y=g(t)

其中，t为参数。

六、常见图形的参数方程

1. 直线：x=at+b，y=ct+d

2. 圆：x=a+r*cosθ，y=b+r*sinθ

3. 椭圆：x=a*cosθ，y=b*sinθ

4. 双曲线：x=a*secθ，y=b*tanθ

七、极坐标与参数方程的联系

极坐标和参数方程都是描述曲线运动状态的方式。它们之间有一定的联系，可以通过以下公式进行转换：

r=sqrt(x^2+y^2)

tanθ=y/x

极坐标和参数方程知识点总结大全

直线l与圆O相交，所截得的弦长为________．
答案：(1)因为? ?,
所以直线? ?的直角坐标方程为? ?,即? ?,
圆? ?的直角坐标方程为? ?.
(2)由(1)知圆心的坐标是? ?,半径是4,圆心到直线的距离是? ?.
所以直线? ?被圆? ?截得的弦长是? ?.
3、若曲线的极坐标方程为ρ＝2sinθ＋4cosθ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________．
北京高考近几年真题
（2014年北京.3题5分）曲线（为参数）的对称中心（）
在直线上在直线上
在直线上在直线上
（2012年北京.9题5分）直线（为参数）与曲线（为参数）的交点个数为．
（2014年北京.3题5分）答案：B
（2012年北京.9题5分）答案：2
二、极坐标方程
1.极坐标系的概念
（1）点的转化
1、①直角坐标为(－， )、（0，2）那么它的极坐标分别表示为________、
②极坐标为（2，）、（1，0）那么他们的直角坐标表示为、
1.①答案：、（2，）
②答案：，（1,0）
（2）方程的转化
2、在极坐标系中，直线 :ρsin ＝2，则直线在直角坐标系中方程为
在极坐标系中,圆O:ρ＝4,则在直角坐标系中，圆的方程

极坐标与参数方程知识点总结大全

1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换

设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换

的作用下,点P(x,y)对应到点,称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.

2.极坐标系的概念

(1)极坐标系

直角坐标系都是平面坐标系.

(2)极坐标

设M是平面内一点,极点与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为;以极轴为始边,射线为终边的角叫做点M的极角,记为.有序数对叫做点M的极坐标,记作.

一般地,不作特殊说明时,我们认为可取任意实数.

特别地,当点在极点时,它的极坐标为(0, )(∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.

如果规定,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标表示;同时,极坐标表示的点也是唯一确定的.

3.极坐标和直角坐标的互化

(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:

(2)互化公式:设是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是,极坐标是(),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:

点直角坐标极坐标

互化公式

在一般情况下,由确定角时,可根据点所在的象限最小正角.

4.常见曲线的极坐标方程

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1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换

设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换

的作用下,点P(x,y)对应到点,称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.

2.极坐标系的概念

(1)极坐标系

直角坐标系都是平面坐标系.

(2)极坐标

设M是平面内一点,极点与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为;以极轴为始边,射线为终边的角叫做点M的极角,记为.有序数对叫做点M的极坐标,记作.

一般地,不作特殊说明时,我们认为可取任意实数.

特别地,当点在极点时,它的极坐标为(0, )(∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.

如果规定,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标表示;同时,极坐标表示的点也是唯一确定的.

3.极坐标和直角坐标的互化

(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:

(2)互化公式:设是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是,极坐标是(),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:

点直角坐标极坐标

互化公式

在一般情况下,由确定角时,可根据点所在的象限最小正角.

4.常见曲线的极坐标方程

极坐标与参数方程知识点总结大全

1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换

设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换

的作用下,点P(x,y)对应到点

,称

为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.

2.极坐标系的概念

(1)极坐标系

如图所示,在平面内取一个定点,叫做极点,自极点

引一条射线

,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.

直角坐标系都是平面坐标系.

(2)极坐标

设M是平面内一点,极点与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为

;以极轴

为始边,射线

为终边的角叫做点M的极角,记为

.有序数对叫做点M的极坐标,记作.

一般地,不作特殊说明时,我们认为

可取任意实数.

特别地,当点在极点时,它的极坐标为(0,

)(

∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.

如果规定,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标表示;

同时,极坐标表示的点也是唯一确定的.

3.极坐标和直角坐标的互化

(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:

(2)互化公式:设是坐标平面

内任意一点,它的直角坐标是,极坐标是

(

),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:

在一般情况下,由确定角时,

可根据点所在的象限最小正角.

4.常见曲线的极坐标方程

注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即