离散数学作业

离散数学作业
软件0943
张凌晨38 李成16 1.设S={1,2,3,4}，定义S上的二元运算*如下：
x*y=(xy) mod 5任意x,y属于S
求运算*的运算表.
解(xy) mod 5表示xy除以5的余数，所以运算表如下：
2.设*为Z+上的二元运算，任意x,y属于Z+，
x*y=min(x,y),即x和y之中的较小数.
(1)求4*6,7*3.
(2)*在Z+上是否满足交换律、结合律和幂等律？
(3)求*运算的单位元、零元及Z+中所有可逆元素的逆元.
解
(1)由题得：4*6=min(4,6)=4；
7*3=min(7,3)=3.
(2)由题分析知：
*运算是取x和y之中的较小数，即x和y调换位置不影响结果，所以*在Z+上满足交换律.
*运算满足结合律，因为任意x,y属于Z+，有
(x*y)*z=min(x,y)*z=min(min(x,y),z)
x*(y*z)=x*min(y,z)=min(x,min(y,z))
无论x,y,z三数中哪个较小，*运算的最终结果都是较小的那个，所以满足结合律.
*运算满足幂等律，因为在Z+上任意
x*x=min(x,x)=x
(3)在Z+中最小的数字是1
任意x属于Z+，有
x*1=1=1*x
所以1是*运算的零元，*运算没有单位元，也没有可逆元素的逆元。

3．令S={a,b},S 上有四个二元运算：*，&,@和#，分别由下表确定.
(1)这四个运算中哪些运算满足交换律、结合律、幂等律？ (2)求每个运算的单位元、零元及所有可逆元素的逆元. 解
（1）*，&和@满足交换律；*，@和#满足结合律；#满足幂等律。

（2）*运算没有单位元和可逆元素，a 是零元；&运算的单位元为a ,没有零元,每个元素都是自己的逆元；@运算和#运算没有单位元, 零元和可逆元素.
4．设A={0，1}，试给出半群<A A,°>的运算表，其中°为函数的复合运算.
解
A A={f1,f2,f3,f4},其中
f1={<0,0>,<1,0>},f2={<0,0>,<1,1>}
f3={<0,1>,<1,0>},f4={<0,1>,<1,1>} 运算表为
5.下列各集合对于整除关系都构成偏序集，判断哪些偏序集是格.
(1)L={1,2,3,4,5};
(2)L={1,2,3,6,12};
(3)L={1,2,3,4,6,9,12,18,36};
(4)L={1,2,22,···}.
解除（1）外，其他都是格。

6．设B是布尔代数，B中的表达式f是
（a∧b）∨(a∧b∧c)∨(b∧c)
(1)化简f；
(2)求f的对偶式f*.
解
（1）（a∧b）∨(a∧b∧c)∨(b∧c)= （a∧b）∨(b∧c)
（2）f*=（a∨b）∧(b∨c)
7.判断下列各非负整数列哪些是可图化的？哪些是可简单图化的？
（1）（5,5,4,4,2,1）
（2）（5,4,3,2,2）
（3）（3,3,3，1）
(4) (4,4,3,3,2,2)
解除（1）不可图化外，因为有奇数个（3个）奇度顶点，其余各序列都可图化；除（4）中的序列可简单图化外，其余序列都不可简单图化。

8．写出下列有向图以及它无向时的邻接矩阵。

（图见下）
解 有向时：
A=⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡0100
100001010110 无向时：
A=⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡0200
20110102
0120 V 2 V 1
V 4
V 3。