导数探讨函数图像的交点问题

由2006年高考看如何用导数探讨函数图象的交点问题
2006年高考数学导数命题的方向基本没变，主要从五个方面(①与切线有关的问题②函数的单调性和单调区间问题③函数的极值和最值问题④不等式证明问题⑤与函数的单调性、极值、最值有关的参数问题)考查了学生对导数的掌握水平。

但是，2006年高考数学导数命题在方向基本没变的基础上，又有所创新。

福建理科卷第21题研究两个函数的交点个数问题，福建文科卷第19题研究分式方程的根的分布问题，湖南卷第19题研究函数的交点问题，四川卷第21题研究函数图象的交点个数问题。

从以上试卷我们可以发现导数命题创新的两个方面：一是研究对象的多元化，由研究单一函数转向研究两个函数或多个函数，二是研究内容的多元化，由用导数研究函数的性质（单调性、最值、极值）转向运用导数进行函数的性质、函数图象的交点和方程根的分布等的综合研究，实际上就是运用导数考查函数图象的交点个数问题。

试题“以能力立意”的意图表现明显，试题注重了创新、开放、探究性，以所学数学知识为基础，对数学问题进行深入探讨，从数学角度对问题进行探究。

考查了学生综合与灵活地应用所学的数学思想方法，进行独立的思考、探索和研究，创造性地解决问题的能力。

如何运用导数的知识研究函数图象的交点问题呢？下面我们先看一看今年的高考题。

例1（福建理科第21题）已知函数f(x)=－x 2
+8x,g(x)=6lnx+m （Ⅰ）求f(x)在区间[t,t+1]上的最大值h(t);
（Ⅱ）是否存在实数m ，使得y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点？ 若存在，求出m 的取值范围；，若不存在，说明理由。

解：（Ⅰ）略
（II ）∵函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点，
∴令f(x)= g(x) ∴g(x)－f(x)=0
∵x>0 ∴函数ϕ(x)=g(x)－f(x) = 2
x
－8x+6ln x+m 的图象与x 轴的正半
轴有且只有三个不同的交点。

∵262862(1)(3)
'()28(0),x x x x x x x x x x
ϕ-+--=-+=
=> 当x ∈(0,1)时，)(1
x ϕ〉0，)(x ϕ是增函数；当x ∈(1,3)时，)(1
x ϕ〈0，)(x ϕ是减函数；当x ∈(3,+∞)时，)(1
x ϕ〉0，)(x ϕ是增函数；当x=1或x=3时，)(1
x ϕ=0。

∴ϕ(x )极大值=ϕ(1)=m －7, ϕ(x )极小值=ϕ(3)=m+6ln 3－15.
∵当x →0+
时，ϕ(x)→∞-，当x +∞→时，ϕ(x)+∞→ ∴要使ϕ(x)=0有三个不同的正实数根，必须且只须
⎩⎨
⎧<-=>-=,
0153ln 6)(,
07)(＋极小值极大值m x m x ϕϕ ∴7<m<15－6ln 3.
所以存在实数m ，使得函数y=f(x)与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点，m 的取值范围为（7，15—6ln 3）. （分析草图见下图1）
图1 图
引申1：如果（Ⅱ）中“有且只有三个不同的交点”变为“有且只有一个不同的交点”怎么解答呢？
前面相同，只需把后面改为=极小值)(x ϕm+6In3-15>0或=极大值)(x ϕm-7<0，
即m>15-6In3 或m<7时，函数y=f(x)与y=g(x)的图象有且只有一个不同的交点（分析草图见图2和图3）。

引申2：如果（Ⅱ）中“有且只有三个不同的交点”变为“有且只有两个不同的交点”怎么解答呢？
前面相同，只需把后面改为=极小值)(x ϕm+6In3-15=0或=极大值)(x ϕm-7=0，
即m=15-6In3 或m=7时，函数y=f(x)与y=g(x)的图象有且只有两个不同的交点（分析草图见图4和图5）。

图4 图5
从上题的解答我们可以看出，用导数来探讨函数y=f(x)的图象与函数y=g(x)的图象的交点问题，有以下几个步骤：①构造函数ϕ(x)= f(x)－g(x)②求导)(1
x ϕ③研究函数ϕ(x)的单调性和极值（必要时要研究函数图象端点的极限情况）④画出函数ϕ(x)的草图，观察与x 轴的交点情况，列不等式⑤解不等式得解
解题的关键是会用数形结合思想来研究问题。

下面用这几个步骤来完成2006年四川卷第21题。

例2（四川卷第21题）已知函数3f(x)+31,x ax =
-g(x)()5,f x ax '=--其中
)(1x f 是的f(x)的导函数。

（Ⅰ）对满足11a -≤≤的一切a 的值， 都有g(x)0,<求实数ｘ的取值范围； （Ⅱ）设2
a m =-，当实数ｍ在什么范围内变化时，函数ｙ＝f(x)的图像与直线ｙ＝3只有一个公共点。

解：（Ⅰ）略
（Ⅱ）3f(x)+31,x ax =
-()'2233f x x m =-
①当0m =时，()31f x x =-的图象与直线3y =只有一个公共点
②当0m ≠时，令ϕ(x)= f(x)-3=433-+ax x ，)(1
x ϕ=a x 332+=2
233m x -
42))(2--==∴m m m x （极小值ϕϕ〈-4
又∵ϕ(x)的值域是R ，且在()
,m +∞上单调递增
∴当x m >时函数)(x y ϕ=的图象与x 轴只有一个公共点。

当x m <时，恒有)()(m x -≤ϕϕ 由题意得0)(<-m ϕ 即0422
<-m m
解得(
)()3
0,2m ∈
综上，m 的取值范围是(（分析草图见图6）
当然，题目并不是千篇一律的，也有些变式，但是基本方法没有变化。

如：2006年福建文科卷21题。

例3（福建文科卷第21题）已知()f x 是二次函数，不等式()0f x <的解集是(0,5),且
()f x 在区间[]1,4-上的最大值是12。

（I ）求()f x 的解析式；
（II ）是否存在实数,m 使得方程37
()0f x x
+
=在区间(,1)m m +内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由。

解：（Ⅰ）f(x)=2x x 102
-(过程略)
（II ）方程37
()0f x x
+=等价于方程32210370.x x -+= 设3
2
()21037,h x x x =-+
则2
'()6202(310).h x x x x x =-=-
当时，)0,(-∞∈x '()0,()h x h x <是减函数；
当10
(0,)3x ∈时，'()0,()h x h x <是减函数； 当10
(,)3
x ∈+∞时，'()0,()h x h x >是增函数。

（见图7） 图7
101
(3)10,()0,(4)50,327h h h =>=-<=>
∴方程()0h x =在区间1010
(3,),(,4)33
内分别有惟一实数根，而在区间(0,3),(4,)+∞内没有
实数根，
所以存在惟一的自然数3,m =使得方程37
()0f x x
+
=在区间(,1)m m +内有且只有两个不同的实数根。

从上面的探讨，我们可以看出，在今后的数学学习过程中，我们除了要加强数学基础知识的学习，还要学会用数学思想方法来研究问题，只有这样，我们才能以不变应万变，才能提高我们的创新能力和实践能力。

练习
对于公比为2，首项为1的等比数列，是否存在一个等差数列，其中存在三项，使得这三项也是此等比数列中的项，并且项数也相同？证明你的结论。

解：设等比数列n b ，则1
2n n b -=，
设等差数列通项对应的函数为y ax b =+，等比数列通项对应的函数1
2
x y -=，
由12x y y ax b
-⎧=⎨=+⎩，由120x ax b ---=，设1()2x f x ax b -=--，则1'()2ln 2x f x a -=- 当0a ≤时，显然'()0f x >，即()0f x >为单调递增函数，故()y f x =至多与x 轴有一个交点，即方程1
2
0x ax b ---=至多有一个根；
当0a >时，若2
1log ln 2a x <+，则'()0f x <；若21log ln 2a x >+，则'()0f x >； 故()y f x =在2(,1log )ln 2a -∞+为减函数；在2(1log ,)ln 2
a
++∞为增函数；
因此()y f x =的图象在2(,1log )ln 2a -∞+上与x 轴至多一个交点，在2(1log ,)ln 2
a
++∞上
亦至多一个交点，从而()y f x =在R 上与x 轴至多有两个交点，即方程1
20x ax b ---=至
多有两个根；
综合以上可知，方程组 1
2x y y ax b
-⎧=⎨=+⎩至多有两根，即这两个方程表示的函数图象至多有
两个交点。

由于指数函数与一次函数图象至多有两个交点。

若在等比数列中存在满足条件的三项成等差数列，则必有三点共线，即直线与1
2x y -=必有三个交点，这不可能，所以不可能
存在符合要求的等差数列。