沈阳市城郊市联合体2019年秋高二上学期第二次月考数学理科卷附答案详析
2019-2020学年辽宁省沈阳市城郊市重点联合体高二(上)理
2019-2020学年辽宁省沈阳市城郊市重点联合体高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题中，只有一项是符合题目要求的.）1.是虚数单位，复数（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：.考点：复数的四则运算.2.在上可导，则是函数在点处有极值的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】B【解析】【分析】结合极值的定义可知必要性成立，而充分性中除了要求f′（x0）＝0外，还要求在两侧有单调性的改变（或导函数有正负变化），通过反例可知充分性不成立．【详解】若函数在x0取得极值，由定义可知f′（x0）＝0反之如y＝x3，y′＝3x2，y′|x＝0＝0，但x＝0不是函数的极值点．所以f′（x0）＝0是x0为函数y＝f（x）的极值点的必要不充分条件故选B．【点睛】本题主要考查充分必要条件，极值的定义，注意函数取得极值的条件：函数在x0处取得极值⇔f′（x0）＝0，且f′（x＜x0）•f′（x＞x0）＜0，是基础题3. 有这样一段演绎推理“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为（）A. 大前提错误B. 小前提错误C. 推理形式错误D. 非以上错误【答案】C【解析】∵大前提“有些有理数是真分数”与小前提“整数是有理数”都正确，∴该推理形式错误，故选C4.已知曲线，其中，则该曲线与坐标轴围成面积等于（）A. 1B. 2C.D. 3【答案】D【解析】【分析】根据图形对称性,只需求出上的定积分,再乘以3即可得到答案.【详解】解：根据图形的对称性，可得曲线，，与坐标轴围成的面积. 的故选:D.【点睛】本题考查了定积分的计算,属于基础题.5.如果是的共轭复数，则对应的向量的模是（）A. 1B.C.D. 5【答案】D【解析】【分析】求出复数对应的向量的坐标后,利用模长公式计算可得答案.【详解】解：由题意，，∴对应的向量的坐标为，其模为.故选:D.【点睛】本题考查了求复数的共轭复数以及其对应的向量的模长的计算,属于基础题.6.若函数y＝a(x3－x)的递减区间为，则a的取值范围是( )A. a＞0B. －1＜a＜0C. a＞1D. 0＜a＜1【答案】A【解析】【分析】先对函数求导，由函数的递减区间为，可得y′＜0的范围为，即可得a的范围．【详解】函数y=a（x3﹣x），求导可得，y′=a（3x2﹣1）=3a（x﹣）（x+），由函数的递减区间为，可得y′=a（3x2﹣1）=3a（x﹣）（x+）＜0的范围为，所以a＞0，故选A．【点睛】本题主要考查了有函数的单调性求参数的范围问题，利用了函数的单调性与函数的导数关系，属于基础题．7.定义，，，的运算分别对应右图中的（1），（2），（3），（4），则图中，，对应的运算是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】A【解析】分析：不同的运算形式与其对应的图形之间都有共同之处，比如都有运算，而图形都有正方形，故运算对应作正方形，对应作横线，对应作竖线，其余类似处理. 详解：都有运算，而图形都有正方形，故运算对应作正方形，对应作横线，对应作竖线；都有运算，而图形都有圆，故运算对应作圆.所以对应运算是，对应的运算是，故选A.点睛：本题考察类比推理，此类问题往往是两类对象在某些方面有相似的特点，所以它们也应该有相似的性质，注意类比推理得到的结果不一定正确.8.函数的定义域为，其导函数在的图象如图所示，则函数在内的极小值点共有( )A. 个B. 个C. 个D. 个【答案】C【解析】【分析】根据极小值点存在的条件，可以判断出函数的极小值的个数．【详解】根据极小值点存在的条件，①②在的左侧，在的右侧，可以判断出函数的极小值点共有1个，故选C．【点睛】本题主要考查函数图象的应用以及利用导数判断极值点．9.给出下列四个命题：（1）任意两个复数都不能比较大小；（2）为实数为实数；（3）虚轴上的点对应的复数都是纯虚数；（4）复数集与复平面内的所有点所成的集合是一一对应的.其中正确命题的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】【分析】根据虚数不能比较大小可知(1)不正确;根据两个共轭虚数的积为实数可知(2)不正确;根据原点在虚轴上可知(3)不正确;(4)正确.【详解】解：（1）因为两个复数都是实数时，可以比较大小.所以（1）不正确；（2）举反例,当，，，所以（2）不正确；（3）坐标原点在虚轴上,但原点对应的复数是实数，所以（3）不正确；（4）复数集与复平面内的所有点所成的集合是一一对应的.正确.所以正确命题的个数是：1个.故选:A【点睛】本题考查了复数的有关概念,属于基础题.10.已知函数，，若恒成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：因为函数，所以．令f′（x）=0得x=0或x=3，经检验知x=3是函数的一个最小值点，所以函数的最小值为f （3）=3m-．不等式f（x）+9≥0恒成立，即f（x）≥-9恒成立，所以3m-≥-9，解得m≥考点：函数恒成立问题；利用导数求闭区间上函数的最值11.用数学归纳法证明：，由到，不等式左端变化的是（）A. 增加一项B. 增加和两项C. 增加和两项，同时减少一项D. 增加一项，同时减少一项【答案】C【解析】【分析】写出和时,不等式左端的式子,比较可知,选项正确.【详解】解：当时，左端，那么当时，左端，故第二步由到时不等式左端的变化是增加了增加和两项，同时减少一项，故选:C.【点睛】本题考查了数学归纳法,属于基础题.12.已知函数f(x)=,下列结论中错误的是A. , f()=0B. 函数y=f(x)的图像是中心对称图形C. 若是f(x)的极小值点，则f(x)在区间（-∞,）单调递减D. 若是f（x）的极值点，则()=0【答案】C【解析】试题分析：由于三次函数的三次项系数为正值，当x→－∞时，函数值→－∞，当x→＋∞时，函数值也→＋∞，又三次函数的图象是连续不断的，故一定穿过x轴，即一定∃x0∈R，f(x0)＝0，选项A中的结论正确；函数f(x)的解析式可以通过配方的方法化为形如(x＋m)3＋n(x＋m)＋h的形式，通过平移函数图象，函数的解析式可以化为y＝x3＋nx的形式，这是一个奇函数，其图象关于坐标原点对称，故函数f(x)的图象是中心对称图形，选项B中的结论正确；由于三次函数的三次项系数为正值，故函数如果存在极值点x1，x2，则极小值点x2＞x1，即函数在－∞到极小值点的区间上是先递增后递减的，所以选项C中的结论错误；根据导数与极值的关系，显然选项D中的结论正确.考点：函数的零点、对称性、单调性、极值．二、填空题（共4道题，每题5分共20分，把正确答案填在答题纸的横线上）13.设复数满足(为虚数单位)，则等于___ _____．【答案】【解析】试题分析：由复数满足，故可知答案为1+3i考点：复数的代数乘除法运算点评：本题主要考查两个复数代数形式的除法，两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．14.已知函数在上有两个极值点，则实数的取值范围是____________.【答案】【解析】【分析】本题首先可通过函数的解析式得出函数的导函数，然后对、以及三种情况进行分类讨论，通过函数的单调性即可判断出函数的极值，最后得出结果．【详解】因为，所以，①当时，，函数恒为增函数，无极值点；②当时，，函数恒为增函数，无极值点；③当时，，解得或，为增函数；，解得，为减函数，此时函数有两个极值点，综上所述，实数的取值范围是．【点睛】本题考查了导数的相关性质，通过函数的单调性确定函数的极值是解决本题的关键，考查通过导数确定函数单调性，考查推理能力，是简单题．15.已知函数是定义在上的奇函数，，，则不等式的解集是 .【答案】【解析】试题分析：，因为，所以，所以h（x）在区间，因为，所以h（1）=0.令h（x）>0，因为x>0,所以，得x>1．等价于，因为函数是定义在上的奇函数，所以-1<x<0或x>1. 考点：奇函数、导函数与单调性、不等式与函数图像的关系16.一同学在电脑中打出如下图形（○表示空心圆，●表示实心圆）○●○○●○○○●○○○○●……,若将此若干个圆依此规律继续下去，得到一系列的圆，那么前2006个圆中有实心圆的个数为______.【答案】61【解析】【分析】将这些圆分段处理, 第一段2个圆，第二段3个圆，第三段4个圆,……,然后利用等差数列的前项和公式计算前段和前段的和,可知答案.【详解】解：将这些圆分段处理，第一段2个圆，第二段3个圆，第三段4个圆，……，可以看出每一段的最后一个圆都是实心圆，由于本题要求前2006个圆中实心圆的个数，因此找到第2006个圆所在的段数很重要，因为，而，因此,前2006个圆中共有61个实心圆，故答案为:61.【点睛】本题考查了等差数列的前项和的公式,属于基础题.三、解答题（共6道题，第17题10分，其余每题12分，共70分，解答题须写出演算步骤.）17.已知复数，则当实数为何值时，复数是：（1）实数；（2）；（3）对应的点在第三象限.【答案】（1）或（2）（3）【解析】【分析】(1)令虚部为0,可解得答案;(2)令实部为4,虚部为6,解方程组可得答案;(3)令实部,虚部都小于0,解不等式组可得答案.【详解】解：因为复数,(1)令,解得或，即或时，为实数；(2)令,解得；所以时,.(3)若所对应点在第三象限,则,解得,所以当时,复数对应的点在第三象限.【点睛】本题考查了复数的有关概念,一元二次不等式的解法,属于基础题.18.已知函数，当时,取得极值5，且,求的单调区间和极小值.【答案】函数的单调增区间为和；单调减区间为，【解析】【分析】求导后,根据,三个方程解方程组可得,可得和解析式,根据导数的符号得单调区间,从而可得极小值. 的.【详解】解：∵函数,所以，因为当时,取得极值5，则有且，即有①且②，又因为，所以可得：③由①②③解得，，即，，∴由,得或；由,得.∴所以函数的单调增区间为和；单调减区间为.故函数在处取得极小值，且.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的极值,属于基础题.19.已知曲线 y = x3 + x－2 在点 P0 处的切线平行于直线4x－y－1=0，且点 P0 在第三象限,⑴求P0的坐标;⑵若直线, 且 l 也过切点P0 ,求直线l的方程.【答案】（1）（2）【解析】【详解】本试题主要是考查了导数的几何意义，两条直线的位置关系，平行和垂直的运用．以及直线方程的求解的综合运用．首先根据已知条件，利用导数定义，得到点P0的坐标，然后利用，设出方程为x+4y+c=0,根据直线过点P0得到结论．解：（1）由y=x3+x-2，得y′=3x2+1，由已知得3x2+1=4，解之得x=±1．当x=1时，y=0；当x=-1时，y=-4．又∵点P0在第三象限，∴切点P0的坐标为（-1，-4）；（2）∵直线l⊥l1，l1的斜率为4，∴直线l的斜率为-1/ 4 ，∵l过切点P0，点P0的坐标为（-1，-4）∴直线l的方程为y+4=（x+1）即x+4y+17=0．20.已知x＝1是函数f（x）＝mx3﹣3（m+1）x2+nx+1的一个极值点，其中m，n∈R，m＜0．（1）求m与n的关系表达式；（2）求f（x）的单调区间；（3）当x∈[﹣1，1]时，函数y＝f（x）的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求m的取值范围．【答案】（1）n＝3m+6．（2）f（x）在（﹣∞，1）单调递减，在（1，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减．（3）m＜0．【解析】【分析】（1）求出f′（x），因为x＝1是函数的极值点，所以得到f'（1）＝0求出m与n的关系式；（2）令f′（x）＝0求出函数的极值点，讨论函数的增减性确定函数的单调区间；（3）由题意知f′（x）＞3m，分x＝1和x≠1，当x≠1时g（t）＝t，求出g（t）的最小值．要使（x﹣1）恒成立即要g（t）的最小值，解出不等式的解集求出m的范围．【详解】（1）f′（x）＝3mx2﹣6（m+1）x+n．因为x＝1是f（x）的一个极值点，所以f'（1）＝0，即3m﹣6（m+1）+n＝0．所以n＝3m+6．（2）由（1）知f′（x）＝3mx2﹣6（m+1）x+3m+6＝3m（x﹣1）[x﹣（1）]当m＜0时，有1＞1，当x变化时f（x）与f'（x）的变化如下表：（﹣∞，1）1（1，1）由上表知，当m＜0时，f（x）在（﹣∞，1）单调递减，在（1，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减．（3）由已知，得f′（x）＞3m，即3m（x﹣1）[x﹣（1）]＞3m，∵m＜0．∴（x﹣1）[x﹣1（1）]＜1．（*）①x＝1时．（*）式化为0＜1恒成立．∴m＜0．②x≠1时∵x∈[﹣1，1]，∴﹣2≤x﹣1＜0．（*）式化为（x﹣1）．令t＝x﹣1，则t∈[﹣2，0），记g（t）＝t，则g（t）在区间[﹣2，0）是单调增函数．∴g（t）min＝g（﹣2）＝﹣2．由（*）式恒成立，必有⇒m，又m＜0．∴m＜0．综上①②知m＜0．【点睛】本题考查了利用待定系数法求函数解析式的方法及导数的几何意义，利用导数研究函数极值和单调性的方法，考查了利用导数研究不等式恒成立的条件，属于中档题．21.求由抛物线与它在点A（0，－3）和点B(3，0)的切线所围成的区域的面积。
精校Word版答案全---辽宁省沈阳市城郊市重点联合体2019_2020学年高二数学上学期月考试题理
辽宁省沈阳市2019-2020学年上学期第一次月考试题 理高二数学总分：150分 考试时间：120分钟第Ⅰ卷（选择题 共60分）一.选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把所选项前的字母填在答题卷的表格内）1．若()f x 与()g x 是定义在R 上的可导函数，则 “()()f x g x ''=”是“()()f x g x =”的（ ）Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分又不必要条件2．下列①②③可组成一个“三段论”，则“小前提”是（ ） ①只有船准时起航，才能准时到达目的港； ②这艘船是准时到达目的港的； ③这艘船是准时起航的． Ａ．①Ｂ．②Ｃ．②和③Ｄ．③3．用反证法证明某命题时，对其结论：“自然数a b c ，，中恰有一个偶数”正确的反设为（ ） Ａ．a b c ，，都是奇数 Ｂ．a b c ，，都是偶数 Ｃ．a b c ，，中至少有两个偶数Ｄ．a b c ，，中至少有两个偶数或都是奇数4．若关于x 的方程330x x m -+=在[02]，上有根，则实数m 的取值范围是（ ） Ａ．[22]-， Ｂ．[02]，Ｃ．[20]-，Ｄ．(2)(2)-∞-+∞，，5．如图1，抛物线221y x x =-++与直线1y =相交形成一个闭合图形（图中的阴影部分），则该闭合图形的面积是（ ）Ａ．1 Ｂ．43Ｄ．26．设函数()y f x =在定义域内可导，()y f x =的图象如图2所示，则导函数()y f x '=可能为（ ）7.已知函数b ax y +=2在点(2,4)处的切线斜率为4，则b a +＝( ) A 1 B 2 C 3 D 4 8. 在复平面内，复数10i3＋i对应的点的坐标所在的象限( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9.已知f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝6，则a 的值是( )A.2B.3C.4D.510.函数f (x )＝(x －3)e x的单调递增区间是( )A ．(－∞，2)B ．(0,3)C ．(1,4)D ．(2，＋∞)11.用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n 个“金鱼”图需要火柴的根数为( )A ．6n －2B ．8n －2C ．6n ＋2D ．8n ＋212.已知a 、b 是不相等的正数，x ＝a ＋b2，y ＝a ＋b ，则x 、y 的关系是( )A B C DA ．x ＞yB ．x ＜yC ．x ＞2yD ．不确定二、填空题（每题5分，共20分）13.“开心辞典”中有这样的问题：给出一组数，要你根据规律填出后面的第几个数，现给出一组数：12 ，21-，38 ，41-，532 ，它的第8个数可以是 。
沈阳市城郊市重点联合体2019-2020学年上学期高二数学理科期中试卷附答案解析
沈阳市城郊市重点联合体2019-2020学年上学期期中高二数学（理）试题一、单选题1．设M ＝2a (a －2)＋3，N ＝(a +1)(a －3)，a ∈R ，则有( ) A ．M ＞N B ．M ≥N C ．M ＜N D ．M ≤N 2．已知m >n ，则下列不等式中一定成立的是（ ） A ．m a n b +>+ B ．mc nc > C ．a m a n -<-D ．22ma na >3．在△ABC中，3,30b c B ===，则a =（ ） AB．CD ．24．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6=12，则a 3+a 4=（ ） A ．3B ．4C ．6D ．75．已知∆ABC 的周长为18，且sin A ：sin B ：sin C =4：3：2，则cos A =（ ） A ．23B ．23-C ．14D ．14-6．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若1055S S =，则1510SS =（ ） A ．73B ．215C ．17D ．57．设∆ABC 的三条边分别为a 、b 、c ，三角形面积为2224a b c S +-=，则∠C 为（ ） A ．6π B ．3π C ．4π D ．2π 8．已知等比数列{}n a 满足582a a +=，67·8a a =-则211a a +=（ ） A ．5B ．-5C ．7D ．-79．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 16＜0，S 17＞0，则S n 的最小值为（ ） A ．16SB ．17SC ．8SD ．9S10．设变量x 、y 满足20403x y x y y -≤⎧⎪≤+≤⎨⎪≤≤⎩，则2x +3y 的最大值为（ ）A ．11B ．10C ．9D ．811．在∆ABC 中，若22BsinAsinC cos =，则△ABC 是（ ） A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形12．已知x ＞0，y ＞0且x +y =1的最小值是（ ）A ．BC ．5+D ．二、填空题13．在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 5•a 6=27，则log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a 10=______．14．对于x ∈R恒有意义，则常数m 的取值范围是______15．若数列{a n }的前n 项和24nn S =-，则{a n }的通项公式是______16．已知锐角三角形的三边长分别为2、3、x ，则x 的取值范围是___ 三、解答题17．求函数223(),(0)x x f x x x-+-=>的最大值，以及此时x 的值．18．在ABC △中，BC a =，AC b =，已知a ，b 是方程220x -+=的两个根，且2cos()1A B +=． （1）求角C 的大小； （2）求AB 的长．19．在公差不为零的等差数列{a n }中，a 4=10，且a 3、a 6、a 10成等比数列． （1）求{a n }的通项公式；（2）设b n =62n a -，求数列{b n }的前n 项和n S .20．在△ABC 中，a , b , c 分别为内角A , B , C 的对边，且2sin (2)sin (2)sin .a A b c B c b C =+++ （Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）求sin sin B C +的最大值.21．设函数f （x ）＝|x ﹣a|+3x ，其中a ＞0． （1）当a ＝1时，求不等式f （x ）＞3x+2的解集； （2）若不等式f （x ）≤0的解集为{x|x≤﹣1}，求a 的值． 22．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且244n S n n =-+．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设2nn n a b =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：．解析沈阳市城郊市重点联合体2019-2020学年上学期期中高二数学（理）试题一、单选题1．设M ＝2a (a －2)＋3，N ＝(a +1)(a －3)，a ∈R ，则有( ) A ．M ＞N B ．M ≥N C ．M ＜N D ．M ≤N 【答案】A【解析】试题分析：()()()2213M N a a a a -=--+-()222423a a a a =----223a a =-+()2120a =-+>恒成立，所以M N >．故A 正确．【考点】作差法比较大小．2．已知m >n ，则下列不等式中一定成立的是（ ） A ．m a n b +>+ B ．mc nc > C ．a m a n -<- D ．22ma na >【答案】C【解析】根据不等式的基本性质，结合特殊值，可得正确选项． 【详解】∵m >n ，则取m =1，n =0，a =0，b =2，c =0，可排除A ，B ，D ． 对C ，∵m ＞n ，∴-m ＜-n ，∴a m a n -<-成立，故C 正确． 故选：C ． 【点睛】本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．3．在△ABC 中，3,30b c B ===，则a =（ ）A B ．C D ．2【答案】C【解析】利用余弦定理构造方程，解方程求得结果. 【详解】由余弦定理：2222cos b a c ac B =+-可得：2396a a =+-解得：a =本题正确选项：C 【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，考查基础运算能力.4．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6=12，则a 3+a 4=（ ） A ．3 B ．4 C ．6 D ．7【答案】B【解析】将S 6转化为用a 3和a 4表达的算式，即可得到a 3+a 4的值． 【详解】由等差数列{a n }的前n 项和为S n ，得S 6=1662a a +⨯=3462a a +⨯=12，解得a 3+a 4=4. 故选：B ． 【点睛】本题考查了等差数列的前n 项和公式，考查了等差中项的性质，属于基础题． 5．已知∆ABC 的周长为18，且sin A ：sin B ：sin C =4：3：2，则cos A =（ ） A ．23B ．23-C ．14D ．14-【答案】D【解析】由正弦定理得sinA ：sinB ：sinC =a ：b ：c=4：3：2，可设a =4k ，b =3k ，c =2k ，由余弦定理可得cosA 的值． 【详解】∵由正弦定理得：在∆ABC 中，sin A ：sin B ：sin C =a ：b ：c =4：3：2，∴可设a =4k ，b =3k ，c =2k ，k ＞0，∴由余弦定理可得：cos A =2222b c a bc+-=2229416232k k k k k +-⨯⨯=-14．故选：D ． 【点睛】本题主要考查了正弦定理及余弦定理的应用，属于基础题． 6．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若1055S S =，则1510SS =（ ） A ．73B ．215C ．17D ．5【答案】B【解析】由等比数列的性质可得：S 5，S 10﹣S 5，S 15﹣S 10（各项不为0）成等比数列，即可得出． 【详解】由等比数列的性质可得：S 5，S 10-S 5，S 15-S 10（各项不为0）成等比数列，不妨设S 5=1，由1055S S =，可得S 10=5．∴（5-1）2=1×（S 15-5），解得S 15=21，则1510S S =215． 故选：B ． 【点睛】本题考查了等比数列的前n 项和的性质、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．设∆ABC 的三条边分别为a 、b 、c ，三角形面积为2224a b c S +-=，则∠C 为（ ） A ．6π B ．3π C ．4π D ．2π 【答案】C【解析】利用正弦定理和三角形的面积公式的应用求出结果． 【详解】设∆ABC 的三条边分别为a 、b 、c ，三角形面积为2224a b c S +-=，所以1224abcosCabsinC =，整理得tanC =1，由于0＜C ＜π，所以C =4π． 故选：C 【点睛】本题考查了正弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力，属于基础题．8．已知等比数列{}n a 满足582a a +=，67·8a a =-则211a a +=（ ） A ．5 B ．-5C ．7D ．-7【答案】D【解析】根据等比数列的性质，可以求出58a a ⋅的值，连同已知582a a +=，可以求出58,a a 的值，进而求出首项和公比，分类求出211a a +的值。
2019-2020学年辽宁省沈阳市城郊市重点联合体高二上学期第二次月考数学(理)试题含答案
选项。
）1. 若实数x,y 满足(1+i)x+(1-i)y=2，则xy 等于（ ）A. 1B. 2C. -2D. -12. 某个命题与正整数有关，若当时该命题成立，那么可推得当时该命题)(*N k k n ∈==n 1+k 也成立，现已知当时该命题不成立，那么可推得( )5=n A.当时，该命题不成立 B.当时，该命题成立6=n 6=n C.当时，该命题成立 D.当时，该命题不成立4=n 4=n 3. .若函数f(x)=2x 2+1，图象上P(1,3)及邻近上点Q(1+Δx,3+Δy)， 则=（ ）x y ∆∆A. 4 B .4Δx C.4+2Δx D. 2Δx．函数的定义域为开区间，导函数在内的图 象如图所示，)(x f ),(b a )(x f '),(b a 则函数在开区间内有极小值点（ ）)(x f ),(b a A ．个 B ．个 C ．个 D ．个123410 .设f(x)、g(x)分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,当 x ＜0时,0)()()()(>'+'x g x f x g x f g(3)=0.则不等式f(x)g(x)＜0的解集是（ ）A ．(-3,0)∪(3,+∞)B ．(-3,0)∪(0, 3)C ．(-∞,-3)∪(3,+∞)D ．(-∞,-3)∪(0, 3)用反证法证明命题:若整数系数一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)有有理根,那么a.b.c 中至少有一．定义运算,若复数满足,其中为虚数单位,则复数bc ad d c -=2=ziz ．z =.观察下列式子 , … … ,2222221311511171,1,1222332344+<++<+++<则可归纳出________________________________．已知三角形的两边之和大于第三边,利用类比原理可以推测空间四面体的性质为：________________________________三、解答题：本大题共6小题，共74分.（本小题满分12分）三次函数，当x =1时取极大值4，当x =3时取极小值0，且函数图象过原点，求的解析)(x f )(x f 式，并求在［-1,4］上的值域.)(x f（本小题满分12分）z z是否存在复数z,使其满足z·+2i=3+ai(a∈R)?如果存在,求出z的值;如果不存请说明理由.（本小题满分12分）设曲线y=e x(x≥0)在点M(t,e t)处的切线l与x轴、y轴围成的三角形面积为S(t).(1)求切线l的方程；(2)求S(t)的最大值。
2019-2020学年辽宁省沈阳市城郊市重点联合体高二(上)期中数学试卷(理科)(PDF版 含解析)
2019-2020学年辽宁省沈阳市城郊市重点联合体高二（上）期中数学试卷（理科）一.选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题中，只有一项是符合题目要求的．）1．i 是虚数单位，复数7(3ii-=+)A ．2i+B ．2i -C ．2i -+D ．2i--2．0()0f x '=是函数()f x 在点0x 处取极值的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．有这样一段演绎推理“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为()A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．非以上错误4．已知曲线cos y x =，其中[0x ∈，3]2π，则该曲线与坐标轴围成的面积等于()A ．1B ．2C ．52D ．35．如果z 是34i +的共轭复数，则z 对应的向量OA的模是()A ．1BCD ．56．若函数3()y a x x =-的递减区间为(，则a 的取值范围是()A ．(0,)+∞B ．(1,0)-C ．(1,)+∞D ．(0,1)7．定义*A B ，*B C ，*C D ，*D A 的运算分别对应下图中的（1），（2），（3），（4），那么，图中A ，B 可能是下列()的运算的结果．A ．*B D ，*A D B ．*B D ，*AC C ．*B C ，*AD D ．*C D ，*A D8．函数()f x 的定义域为(,)a b ，导函数()f x '在(,)a b 内的图象如图所示，则函数()f x 在(,)a b内有极小值点()A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．给出下列四个命题：（1）任一两个复数都不能比较大小；（2）z z 为实数z ⇔为实数（3）虚轴上的点都表示纯虚数；（4）复数集与复平面内的向量所成的集合是一一对应的．其中正确命题的个数是()A ．1B ．2C ．3D ．410．已知函数431()232f x x x m =-+，x R ∈，若()90f x + 恒成立，则实数m 的取值范围是()A ．32m B ．32m >C ．32m D ．32m <11．用数学归纳法证明：1111(*,2)12n N n n n n++⋯⋯+<∈+ ，由n k =到1n k =+，不等式左端变化的是()A ．增加12(1)k +一项B ．增加121k +和12(1)k +两项C ．增加121k +和12(1)k +两项，同时减少1k 一项D ．增加121k +一项，同时减少1k一项12．已知函数32()f x x ax bx c =+++，下列结论中错误的是()A ．0x R ∃∈，0()0f x =B ．函数()y f x =的图象是中心对称图形C ．若0x 是()f x 的极小值点，则()f x 在区间0(,)x -∞单调递减D ．若0x 是()f x 的极值点，则0()0f x '=二、填空题（共4道题，每题5分共20分，把正确答案填在答题纸的横线上）13．设复数z 满足(1)32(i z i i +=-+为虚数单位），则z 等于．14．已知函数3()f x x ax =+在R 上有两个极值点，则实数a 的取值范围是．15．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，f （1）0=，2()()0(0)xf x f x x x'->>，则不等式2()0x f x >的解集是．16．一同学在电脑中打出如下图形(〇表示空心圆，●表示实心圆）〇●〇〇●〇〇〇●〇〇〇〇●⋯⋯若将此若干个圆依此规律继续下去，得到一系列的圆，那么前2006个圆中有实心圆的个数为．三、解答题（共6道题，第17题10分，其余每题12分，共70分，解答题须写出演算步骤.）17．已知复数22(3)(6)z m m m m i =-+--，则当实数m 为何值时，复数z 是：①实数；②46z i =+；③对应的点在第三象限．18．已知函数32()(0)f x ax bx cx a =++≠，当1x =-时()f x 取得极值5，且f （1）11=-．求()f x 的单调区间和极小值．19．已知曲线32y x x =+-在点0P 处的切线1l 平行直线410x y --=，且点0P 在第三象限，（1）求0P 的坐标；（2）若直线1l l ⊥，且l 也过切点0P ，求直线l 的方程．20．已知1x =是函数32()3(1)1f x mx m x nx =-+++的一个极值点，其中m ，n R ∈，0m <．（Ⅰ）求m 与n 的关系表达式；（Ⅱ）求()f x 的单调区间；（Ⅲ）当[1x ∈-，1]时，函数()y f x =的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m ，求m 的取值范围．21．求由抛物线243y x x =-+-与它在点(0,3)A -和点(3,0)B 的切线所围成的区域面积．22．已知函数()()x f x e ln x m =-+（Ⅰ）设0x =是()f x 的极值点，求m ，并讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）当2m 时，证明()0f x >．2019-2020学年辽宁省沈阳市城郊市重点联合体高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题中，只有一项是符合题目要求的．）1．i 是虚数单位，复数7(3ii-=+)A ．2i +B ．2i-C ．2i -+D ．2i--【解答】解：7(7)(3)201023(3)(3)10i i i ii i i i ----===-++-故选：B ．2．0()0f x '=是函数()f x 在点0x 处取极值的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：0()0f x '=推不出函数()f x 在点0x 处取极值，反之函数()f x 在点0x 处取极值，必有0()0f x '=．0()0f x ∴'=是函数()f x 在点0x 处取极值的必要不充分条件．故选：B ．3．有这样一段演绎推理“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为()A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．非以上错误【解答】解： 大前提的形式：“有些有理数是真分数”，不是全称命题，∴不符合三段论推理形式，∴推理形式错误，故选：C ．4．已知曲线cos y x =，其中[0x ∈，3]2π，则该曲线与坐标轴围成的面积等于()A ．1B ．2C ．52D ．3【解答】解：根据图形的对称性，可得曲线cos y x =，[0x ∈，3]2π，与坐标轴围成的面积2203cos 3sin |3S xdx x ππ===⎰．故选：D ．5．如果z 是34i +的共轭复数，则z 对应的向量OA的模是()A ．1BCD ．5【解答】解：由题意，34z i =-，z ∴对应的向量OA的坐标为(3,4)-5=．故选：D ．6．若函数3()y a x x =-的递减区间为(，则a 的取值范围是()A ．(0,)+∞B ．(1,0)-C ．(1,)+∞D ．(0,1)【解答】解：对函数求导可得，2(31)3(y a x a x x '=-=-+由函数的递减区间为(可得233(31)3()()033y a x a x x '=-=-+<的范围为为3(3-，33所以0a >故选：A ．7．定义*A B ，*B C ，*C D ，*D A 的运算分别对应下图中的（1），（2），（3），（4），那么，图中A ，B 可能是下列()的运算的结果．A ．*B D ，*A D B ．*B D ，*AC C ．*B C ，*AD D ．*C D ，*A D【解答】解：通过观察可知：A 表示“-”，B 表示“□”，C 表示“|”，D 表示“〇”，图中的（A ）、（B ）所对应的运算结果可能是*B D ，*A C ，故选：B ．8．函数()f x 的定义域为(,)a b ，导函数()f x '在(,)a b 内的图象如图所示，则函数()f x 在(,)a b 内有极小值点()A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解答】解；因为极小值点两侧函数的单调性是先减后增，对应导函数值是先负后正，由图得：导函数值先负后正的点只有一个．故函数()f x 在区间(,)a b 内极小值点的个数是1．故选：A ．9．给出下列四个命题：（1）任一两个复数都不能比较大小；（2）z z 为实数z ⇔为实数（3）虚轴上的点都表示纯虚数；（4）复数集与复平面内的向量所成的集合是一一对应的．其中正确命题的个数是()A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：（1）任一两个复数都不能比较大小；因为两个复数都是实数时，可以比较大小．所以（1）不正确；（2）z z 为实数z ⇔为实数，反例z i =，z i =-，1z z = ，所以（2）不正确；（3）虚轴上的点都表示纯虚数；坐标原点是实数，所以（3）不正确；（4）复数集与复平面内的向量所成的集合是一一对应的．正确．所以正确命题的个数是：1个．故选：A ．10．已知函数431()232f x x x m =-+，x R ∈，若()90f x + 恒成立，则实数m 的取值范围是()A ．32m B ．32m >C ．32m D ．32m <【解答】解：因为函数431()232f x x x m =-+，所以32()26f x x x '=-．令()0f x '=得0x =或3x =，可知3x =是函数的一个最小值点，所以函数的最小值为f （3）2732m =-．不等式()90f x + 恒成立，即()9f x - 恒成立，所以27392m -- ，解得32m ．故选：A ．11．用数学归纳法证明：1111(*,2)12n N n n n n++⋯⋯+<∈+ ，由n k =到1n k =+，不等式左端变化的是()A ．增加12(1)k +一项B ．增加121k +和12(1)k +两项C ．增加121k +和12(1)k +两项，同时减少1k 一项D ．增加121k +一项，同时减少1k一项【解答】解：当n k =时，左端11112k k k=++⋯⋯++，那么当1n k =+时左端111111222122k k k k k =++⋯⋯+++++++，故第二步由k 到1k +时不等式左端的变化是增加了增加121k +和12(1)k +两项，同时减少1k一项，故选：C ．12．已知函数32()f x x ax bx c =+++，下列结论中错误的是()A ．0x R ∃∈，0()0f x =B ．函数()y f x =的图象是中心对称图形C ．若0x 是()f x 的极小值点，则()f x 在区间0(,)x -∞单调递减D ．若0x 是()f x 的极值点，则0()0f x '=【解答】解：2()32f x x ax b '=++．（1）当△24120a b =->时，()0f x '=有两解，不妨设为12x x <，列表如下x1(,)x -∞1x 1(x ，2)x 2x 2(x ，)+∞()f x '+0-0+()f x 单调递增极大值单调递减极小值单调递增由表格可知：①2x 是函数()f x 的极小值点，但是()f x 在区间2(,)x -∞不具有单调性，故C 不正确．② 32323222242()()()()()23333273a a a a abf x f x x a x b x c x ax bx c a c --+=--+--+--+++++=-+3232()()()()3333273a a a a ab f a b c a c -=-+-+-+=-+，2()()2()33a af x f x f --+=-，∴点(,())33a aP f --为对称中心，故B 正确．③由表格可知1x ，2x 分别为极值点，则12()()0f x f x ''==，故D 正确．④x →-∞ 时，()f x →-∞；x →+∞，()f x →+∞，函数()f x 必然穿过x 轴，即x R α∃∈，()0f x α=，故A 正确．（2）当△0 时，2()3(03af x x '=+ ，故()f x 在R 上单调递增，①此时不存在极值点，故D 正确，C 不正确；②B 同（1）中②正确；③x →-∞ 时，()f x →-∞；x →+∞，()f x →+∞，函数()f x 必然穿过x 轴，即0x R ∃∈，0()0f x =，故A 正确．综上可知：错误的结论是C ．由于该题选择错误的，故选：C ．二、填空题（共4道题，每题5分共20分，把正确答案填在答题纸的横线上）13．设复数z 满足(1)32(i z i i +=-+为虚数单位），则z 等于13i+．【解答】解：设z a bi =+，则由(1)32i z i +=-+得(1)32(1)i a bi i a i b ++=-+=+-，即123a b+=⎧⎨-=-⎩，解得1a =，3b =，故13z i =+，故答案为：13i+14．已知函数3()f x x ax =+在R 上有两个极值点，则实数a 的取值范围是0a <．【解答】解：由题意，2()3f x x a '=+，3()f x ax x =+ 恰有有两个极值点，∴方程()0f x '=必有两个不等根，∴△0>，即0120a ->，0a ∴<．故答案为：0a <．15．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，f （1）0=，2()()0(0)xf x f x x x '->>，则不等式2()0x f x >的解集是(1-，0)(1⋃，)+∞．【解答】解：2()()()[]0f x xf x f x x x '-'=>，即0x >时()f x x是增函数，当1x >时，()f x f x>（1）0=，()0f x >．01x <<时，()f x f x<（1）0=，()0f x <，又()f x 是奇函数，所以10x -<<时，()()0f x f x =-->，1x <-时()()0f x f x =--<，则不等式2()0x f x >即()0f x >的解集是(1-，0)(1⋃，)+∞，故答案为：(1-，0)(1⋃，)+∞．16．一同学在电脑中打出如下图形(〇表示空心圆，●表示实心圆）〇●〇〇●〇〇〇●〇〇〇〇●⋯⋯若将此若干个圆依此规律继续下去，得到一系列的圆，那么前2006个圆中有实心圆的个数为61．【解答】解：将这些圆分段处理，第一段2个圆，第二段3个圆，第三段4个圆，⋯⋯，可以看出每一段的最后一个圆都是实心圆，由于本题要求前2006个圆中实心圆的个数，因此找到第2006个圆所在的段数很重要，因为(262)61234562195220062+⨯++++⋯⋯+==<，而(263)62234563201520062+⨯++++⋯⋯+==>，因此，共有61个实心圆，故答案为：61．三、解答题（共6道题，第17题10分，其余每题12分，共70分，解答题须写出演算步骤.）17．已知复数22(3)(6)z m m m m i =-+--，则当实数m 为何值时，复数z 是：①实数；②46z i =+；③对应的点在第三象限．【解答】解：22(3)(6)z m m m m i =-+--①令2603m m m --=⇒=或2m =-，即3m =或2m =-时，z 为实数；②2234466m m m m m ⎧-=⇒=⎨--=⎩；所以46z i =+．③若z 所对应点在第三象限则22300360m m m m m ⎧-<⇒<<⎨--<⎩．18．已知函数32()(0)f x ax bx cx a =++≠，当1x =-时()f x 取得极值5，且f （1）11=-．求()f x 的单调区间和极小值．【解答】解： 函数32()(0)f x ax bx cx a =++≠的导数2()32f x ax bx c '=++，当1x =-时()f x 取得极值5，则有(1)5f -=且(1)0f '-=，即有5a b c -+-=①且320a b c -+=②，又因为f （1）11=-，所以可得：11a b c ++=-③由①②③解得1a =，3b =-．9c =-．即32()39f x x x x =--，2()369f x x x '=--，()0f x ∴'>得，3x >或1x <-；()0f x '<得，13x -<<．∴所以函数()f x 的单调增区间为(,1)-∞-和(3,)+∞；单调减区间为(1,3)-．故函数()f x 在3x =处取得极小值，()f x f =极小值（3）27=-．19．已知曲线32y x x =+-在点0P 处的切线1l 平行直线410x y --=，且点0P 在第三象限，（1）求0P 的坐标；（2）若直线1l l ⊥，且l 也过切点0P ，求直线l 的方程．【解答】解：（1）由32y x x =+-，得231y x '=+，由已知得2314x +=，解之得1x =±．当1x =时，0y =；当1x =-时，4y =-．又 点0P 在第三象限，∴切点0P 的坐标为(1,4)--；（2） 直线1l l ⊥，1l 的斜率为4，∴直线l 的斜率为14-，l 过切点0P ，点0P 的坐标为(1,4)--∴直线l 的方程为14(1)4y x +=-+即4170x y ++=．20．已知1x =是函数32()3(1)1f x mx m x nx =-+++的一个极值点，其中m ，n R ∈，0m <．（Ⅰ）求m 与n 的关系表达式；（Ⅱ）求()f x 的单调区间；（Ⅲ）当[1x ∈-，1]时，函数()y f x =的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m ，求m 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）2()36(1)f x mx m x n '=-++．因为1x =是()f x 的一个极值点，所以f '（1）0=，即36(1)0m m n -++=．所以36n m =+．（Ⅱ）由（Ⅰ）知22()36(1)363(1)[(1f x mx m x m m x x m '=-+++=--+当0m <时，有211m >+，当x 变化时()f x 与()f x '的变化如下表：x 2(,1)m -∞+21m +2(1m+，1)1(1,)+∞()f x '0<00>00<()f x 单调递减极小值单调递增极大值单调递减由上表知，当0m <时，()f x 在2(,1)m -∞+单调递减，在2(1m+，1)单调递增，在(1,)+∞单调递减．（Ⅲ）由已知，得()3f x m '>，即23(1)[(1)]3m x x m m --+>，0m < ．2(1)[1(11x x m∴--+<．(*)①1x =时．(*)式化为01<怛成立．0m ∴<．②1x ≠时[1x ∈- ，1]，210x ∴--< ．(*)式化为21(1)1x m x <---．令1t x =-，则[2t ∈-，0)，记1()g t t t=-，则()g t 在区间[2-，0)是单调增函数．13()(2)222min g t g ∴=-=--=--．由(*)式恒成立，必有23423m m <-⇒-<，又0m <．403m ∴-<<．综上①②知403m -<<．21．求由抛物线243y x x =-+-与它在点(0,3)A -和点(3,0)B 的切线所围成的区域面积．【解答】解：243y x x =-+- ，24y x ∴'=-+，0x =时，4y '=，3x =时，2y '=-，∴在点(0,3)A -和点(3,0)B 的切线方程分别为43y x =-和26y x =-+，两条切线的交点是(1.5,3)，如图所示，区域被直线 1.5x =分成了两部分，∴所求面积为 1.53220 1.5S=[(43)(43)][(26)(43)]x x x dx x x x dx --+-+-+--+-⎰⎰3 1.53230 1.511|(39)| 2.2533x x x x =+-+=．22．已知函数()()x f x e ln x m =-+()I 设0x =是()f x 的极值点，求m ，并讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）当2m 时，证明()0f x >．【解答】（Ⅰ）解： 1()x f x e x m '=-+，0x =是()f x 的极值点，∴1(0)10f m'=-=，解得1m =．所以函数()(1)x f x e ln x =-+，其定义域为(1,)-+∞． 1(1)1()11x xe xf x e x x '+-=-=++．设()(1)1xg x e x =+-，则()(1)0x x g x e x e '=++>，所以()g x 在(1,)-+∞上为增函数，又(0)0g = ，所以当0x >时，()0g x >，即()0f x '>；当10x -<<时，()0g x <，()0f x '<．所以()f x 在(1,0)-上为减函数；在(0,)+∞上为增函数；（Ⅱ）证明：当2m ，(,)x m ∈-+∞时，()(2)ln x m ln x ++ ，故只需证明当2m =时()0f x >．当2m =时，函数1()2x f x e x '=-+在(2,)-+∞上为增函数，且(1)0f '-<，(0)0f '>．故()0f x '=在(2,)-+∞上有唯一实数根0x ，且0(1,0)x ∈-．当0(2,)x x ∈-时，()0f x '<，当0(x x ∈，)+∞时，()0f x '>，从而当0x x =时，()f x 取得最小值．由0()0f x '=，得0012x e x =+，00(2)ln x x +=-．故200000(1)1()()022x f x f x x x x +=+=>++ ．综上，当2m 时，()0f x >．。
辽宁省沈阳市2019届高三数学第二次模拟试题(理)
2019沈阳市第二次模拟试题数 学(理科)本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分，其中第II 卷第22题~第24题为选考题，其它题为必考题．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．参考公式：球的表面积公式24S R π=，其中R 为球的半径．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2320A x x x =-+=，{}log 42x B x ==，则A B =( )A ．{}2,1,2-B ．{}1,2C ．{}2,2-D ．{}22．若复数i a a a z )3()32(2++-+=为纯虚数(i 为虚数单位)，则实数a 的值是( ) A ．3- B ．3-或1 C ．3 或1- D ．13．下面的茎叶图表示的是某城市一台自动售货机的销售额情况(单位：元)，图中的数字7表示的意义是这台自动售货机的销售额为( )A ．7元B ．37元C ．27元D ．2337元4．设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若2a 、4a 是方程022=--x x 的两个实数根，则5S 的值是( ) A ．25 B ．5 C ． 25- D ．5-5．函数()sin()f x A x ωϕ=+的图象如图所示，其中0>A ,0>ω，2πϕ<．1 2 34028 02337 12448 238则下列关于函数()f x 的说法中正确的是( ) A ．对称轴方程是2()3x k k ππ=+∈ZB ．6πϕ-=C ．最小正周期是πD ．在区间35,26ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减 6．设,a b 是平面α内两条不同的直线，l 是平面α外的一条直线，则“l a ⊥，l b ⊥”是“l α⊥”的( )A ．充要条件B ．充分而不必要的条件C ．必要而不充分的条件D ．既不充分也不必要的条件7．若函数321(02)3x y x x =-+<<的图象上任意点处切线的倾斜角为α，则α的最小值是( ) A ．4π B ．6πC ．56πD ．34π8．已知1F 、2F 分别为椭圆C ：22143x y +=的左、右焦点，点P 为椭圆C 上的动点，则12PF F △的重心G 的轨迹方程为( )A ．221(0)3627x y y +=≠ B ．2241(0)9x y y +=≠ C ．22931(0)4x y y +=≠ D ．2241(0)3y x y +=≠9．已知某程序框图如图所示，则该 程序运行后，输出的结果为( ) A ．0.6 B ．0.8 C ．0.5 D ．0.2xy O16π-65π10．设集合{}2),(≤+=y x y x A ，{}2(,)B x y A y x =∈≤，从集合A 中随机地取出一个元素(,)P x y ，则(,)P x y B ∈的概率是( ) A ．121 B ．2417 C ．32 D ．65 11．过双曲线)0(152222>=--a a y a x 右焦点F 作一条直线，当直线斜率为2时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同交点， 则双曲线离心率的取值范围为( )A ． )5,2(B ．C ．)2,1(D ．12．在平行四边形ABCD 中，O=∠60BAD ，AD =2AB ，若P 是平面ABCD 内一点，且满足=++y x (,x y ∈R )，则当点P 在以A 为半径的圆上时，实数y x ,应满足关系式为( )A ．12422=++xy y xB ．12422=-+xy y x C ．12422=-+xy y x D ．12422=++xy y x第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．若nxa x )(2-展开式中二项式系数之和是1024，常数项为45，则实数a 的值是 ．14．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知数列{}n S 是首项和公比都是3的等比数列， 则{}n a 的通项公式n a =______________．15．如图所示，一个三棱锥的三视图是三个直角三角形(单位：cm)，则该三棱锥的外接球的表面积为____________cm 2．16．设()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意的x ∈R ，都有(2)(2)f x f x -=+，且当[2,0]x ∈-时，1()12xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若关于x 的方程()log (2)0a f x x -+=(1)a >在区间(2,6]-内恰有三个不同实根，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．(本小题满分12分)一个口袋内有n (3n >)个大小相同的球，其中有3个红球和(3)n -个白球．已知从口袋中随机取出一个球是红球的概率是p ． (I)当35p =时，不放回地从口袋中随机取出3个球，求取到白球的个数ξ的期望E ξ； (II)若6p ∈N ，有放回地从口袋中连续地取四次球(每次只取一个球)，在四次摸球中恰好取到两次红球的概率大于827，求p 和n ．18．(本小题满分12分) 已知A B C 、、是ABC △的三个内角，且满足2sin sin sin B A C =+，设B 的最大值为0B ．(Ⅰ)求0B 的大小；(Ⅱ)当034B B =时，求cos cos AC -的值．234俯视图左视图主视图19．(本小题满分12分)如图，在斜三棱柱111C B A ABC -中，点O 、E 分别是11C A 、1AA 的中点，⊥AO 平面111C B A .已知 90=∠BCA ，21===BC AC AA .(Ⅰ)证明：//OE 平面11C AB ； (Ⅱ)求异面直线1AB 与C A 1所成的角； (Ⅲ)求11C A 与平面11B AA 所成角的正弦值．20．(本小题满分12分)如图，已知抛物线C ：px y 22=和⊙M ：1)4(22=+-y x ，过抛物线C 上一点)1)(,(000≥y y x H 作两条直线与⊙M 相切于A 、B 两点，分别交抛物线为E 、F 两点，圆心点M 到抛物线准线的距离为417． (Ⅰ)求抛物线C 的方程；(Ⅱ)当AHB ∠的角平分线垂直x 轴时， 求直线EF 的斜率；(Ⅲ)若直线AB 在y 轴上的截距为t ，求t 的最小值．21．(本小题满分12分)已知函数x ax x f ln 1)(--=()a ∈R ． (Ⅰ)讨论函数)(x f 在定义域内的极值点的个数；(Ⅱ)若函数)(x f 在1=x 处取得极值，对x ∀∈),0(+∞,2)(-≥bx x f 恒成立，求实数b 的取值范围；ABCO1A 1C 1B E(Ⅲ)当20e y x <<<且e x ≠时，试比较xyx y ln 1ln 1--与的大小．请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑． 22．(本小题满分10分)选修4－1：几何证明选讲已知AB 为半圆O 的直径，4AB =，C 为半圆上一 点，过点C 作半圆的切线CD ，过点A 作AD CD ⊥于D ，交圆于点E ，1DE =． (Ⅰ)求证：AC 平分BAD ∠； (Ⅱ)求BC 的长．23．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点O 处，极轴与x 轴的正半轴重合，且长度单位相同．直线l 的极坐标方程为：)4sin(210πθρ-=,点(2cos ,2sin 2)P αα+，参数[]0,2απ∈.(Ⅰ)求点P 轨迹的直角坐标方程；(Ⅱ)求点P 到直线l 距离的最大值.24．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲已知函数a a x x f +-=2)(．(Ⅰ)若不等式6)(≤x f 的解集为{}32≤≤-x x ，求实数a 的值；(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，若存在实数n 使)()(n f m n f --≤成立，求实数m 的取值范围．2019年沈阳市高三二模测试试题理科数学试题参考答案说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一．选择题1．B ； 2．D ；3．C ；4．A ；5．D ；6．C ；7．D ；8．C ；9．A ；10．B ；11．B ；12．D ． 二、填空题13． 1±；14．13,(1)23,(2)n n n -=⎧⎨⋅≥⎩；15．29π ；162a <<． 三、解答题 17．解：(I)333555p n n =⇒=⇒=，所以5个球中有2个白球 白球的个数ξ可取0，1，2． ······················ 1分3211233232333555133(0),(1),(2)10510C C C C C p p p C C C ξξξ=========． ····· 4分1336012105105E ξ=⨯+⨯+⨯=．····················· 6分 (另解：依题意ξ服从参数为N =5，M =2，n =3的超几何分布，所以E ξ=56352=⨯．(II)由题设知，22248(1)27C p p ->， ··················· 8分因为(1)0p p ->所以不等式可化为2(1)9p p ->，解不等式得，1233p <<，即264p <<． ················10分又因为6p ∈N ，所以63p =，即12p =，所以12p =，所以312n =，所以6n =． ·················12分18．解：(Ⅰ)由题设及正弦定理知，2b a c =+，即2a cb +=．由余弦定理知，2222222cos 22a c a c a c b B ac ac+⎛⎫+- ⎪+-⎝⎭== ·········· 2分223()23(2)21882a c ac ac ac ac ac +--=≥=． ················· 4分因为cos y x =在(0,)π上单调递减，所以B 的最大值为03B π=． ······· 6分(Ⅱ)解：设cos cos A C x -=， ························ ①···································· 8分由(Ⅰ)及题设知sin sin A C +=····················· ②由①2+②2得，222cos()2A C x -+=+． ··················10分 又因为4A CB πππ+=-=-，所以x =cos cos A C -= ·················12分 19．解法一：(Ⅰ)证明：∵点O 、E 分别是11C A 、1AA 的中点， ∴1//AC OE ，又∵⊄EO 平面11C AB ，⊂1AC 平面11C AB ，∴//OE 平面11C AB ． ·························· 4分 (Ⅱ)∵⊥AO 平面111C B A ，∴11C B AO ⊥，又∵1111C B C A ⊥，且O AO C A = 11，∴⊥11C B 平面11A C CA ，∴111C B C A ⊥． ················ 6分 又∵AC AA =1， ∴四边形11A C CA 为菱形， ∴11AC C A ⊥，且1111B C AC C =∴⊥C A 1平面11C AB ，∴C A AB 11⊥，即异面直线1AB 与C A 1所成的角为90． ········· 8分 (Ⅲ) 设点1C 到平面11B AA 的距离为d ，∵111111B AA C C B A A V V --=， 即⋅=⋅⋅⋅⋅3121311111AO C B C A S △11B AA d ⋅． ················10分 又∵在△11B AA 中，22111==AB B A ，∴S △11AA B 7=．∴7212=d ，∴11C A 与平面11B AA 所成角的正弦值21． ·········12分 解法二：如图建系xyz O -，A ，11(0,1,0),(0,2A E --，1(0,1,0)C ，1(2,1,0)B ，A 1(0,C ． ····························· 2分(Ⅰ)∵=OE )23,21,0(-，)3,1,0(1-=AC ，∴112OE AC =-，即1//AC OE ， 又∵⊄EO 平面11C AB ，⊂1AC 平面11C AB ，∴//OE 平面11C AB ． ····· 6分 (Ⅱ)∵)3,1,2(1-=AB ，)3,3,0(1=C A ，∴⋅1AB 01=C A ，即∴C A AB 11⊥， ∴异面直线1AB 与C A 1所成的角为90． ·················· 8分 (Ⅲ)设11C A 与平面11B AA 所成角为θ，∵)0,2,0(11=C A ，111(2,2,0),(0,1A B A A ==设平面11B AA 的一个法向量是(,,)n x y z =则111•0,•0,A B n A A n ⎧=⎪⎨=⎪⎩即220,0.x y y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩不妨令1x =，可得(1,1,n =-， ···················10分∴11sin cos ,7AC n θ=<>==， ∴11C A 与平面11B AA 所成角的正弦值721． ···············12分 20．解：(Ⅰ)∵点M 到抛物线准线的距离为=+24p 417， ∴21=p ，即抛物线C 的方程为x y =2． ················ 2分 (Ⅱ)法一：∵当AHB ∠的角平分线垂直x 轴时，点)2,4(H ，∴HE HF k k =-，设11(,)E x y ，22(,)F x y ， ∴1212H H H H y y y y x x x x --=---，∴ 12222212H H H H y y y y y y y y --=---，∴1224H y y y +=-=-. ······················· 5分212122212121114EF y y y y k x x y y y y --====---+． ················ 7分 法二：∵当AHB ∠的角平分线垂直x 轴时，点)2,4(H ，∴60=∠AHB ，可得3=HA k ，3-=HB k ，∴直线HA 的方程为2343+-=x y ，联立方程组⎩⎨⎧=+-=x y x y 22343，得023432=+--y y ，∵2E y +=∴363-=E y ，33413-=E x ． ·················· 5分 同理可得363--=F y ，33413+=F x ，∴41-=EF k ． ········ 7分 (Ⅲ)法一：设),(),,(2211y x B y x A ，∵411-=x y k MA ，∴114y x k HA -=， 可得，直线HA 的方程为0154)4(111=-+--x y y x x ， 同理，直线HB 的方程为0154)4(222=-+--x y y x x ， ∴0154)4(101201=-+--x y y y x ，0154)4(202202=-+--x y y y x ，·················· 9分 ∴直线AB 的方程为0154)4(020=-+--x yy y x ， 令0=x ，可得)1(154000≥-=y y y t ， ∵2015'40t y =+>，∴t 关于0y 的函数在[1,)+∞上单调递增， ∴当01y =时，11min -=t ． ·····················12分法二：设点2(,)(1)H m m m ≥，242716HM m m =-+，242715HA m m =-+． 以H 为圆心，HA 为半径的圆方程为22242()()715x m y m m m -+-=-+， ·· ① ⊙M 方程：1)4(22=+-y x ． ····················· ② ①-②得：直线AB 的方程为2242(24)(4)(2)714x m m y m m m m -----=-+． ··· 9分 当0x =时，直线AB 在y 轴上的截距154t m m =-(1)m ≥， ∵215'40t m=+>，∴t 关于m 的函数在[1,)+∞上单调递增， ∴当1m =时，11min -=t ． ·····················12分21．解：(Ⅰ)xax x a x f 11)(-=-='，当0≤a 时，0)(≤'x f 在),0(+∞上恒成立，函数)(x f 在),0(+∞单调递减，∴)(x f 在),0(+∞上没有极值点；当0>a 时，0)(≤'x f 得a x 10≤<，0)(≥'x f 得ax 1≥， ∴)(x f 在⎥⎦⎤ ⎝⎛a 1,0上递减，在⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,1a 上递增，即)(x f 在a x 1=处有极小值． ∴当0≤a 时)(x f 在),0(+∞上没有极值点，当0>a 时，)(x f 在),0(+∞上有一个极值点． ··············· 3分 (Ⅱ)∵函数)(x f 在1=x 处取得极值，∴1=a ， ∴b x x x bx x f ≥-+⇔-≥ln 112)(， ···················· 5分 令xx x x g ln 11)(-+=，可得)(x g 在(]2,0e 上递减，在[)+∞,2e 上递增， ∴22min 11)()(e e g x g -==，即211b e ≤-． ················· 7分 (Ⅲ)解：令1)(ln 1)(-=-=x g xx x x h ， ·················· 8分 由(Ⅱ)可知)(x g 在),0(2e 上单调递减，则)(x h 在),0(2e 上单调递减∴当20e y x <<<时，)(x h >)(y h ，即yy x x ln 1ln 1->-． ········10分当e x <<0时，,0ln 1>-x ∴xy x y ln 1ln 1-->， 当2e x e <<时，,0ln 1<-x ∴xy x y ln 1ln 1--< ···············12分 22．解：(Ⅰ)连结AC ，因为OA OC =，所以OAC OCA ∠=∠， 2分 因为CD 为半圆的切线，所以OC CD ⊥，又因为AD CD ⊥，所以OC ∥AD ，所以OCA CAD ∠=∠，OAC CAD ∠=∠，所以AC 平分BAD ∠． ····· 4分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知BC CE =， ························ 6分 连结CE ，因为ABCE 四点共圆，B CED ∠=∠，所以cos cos B CED =∠， · 8分 所以DE CB CE AB=，所以2BC =． ····················10分 23．解：(Ⅰ)2cos ,2sin 2.x y αα=⎧⎨=+⎩ 且参数[]0,2απ∈， 所以点P 的轨迹方程为22(2)4x y +-=． ··············· 3分 (Ⅱ)因为)4sin(210πθρ-=，所以)104πθ-=，所以sin cos 10ρθρθ-=，所以直线l 的直角坐标方程为100x y -+=． · 6分法一：由(Ⅰ) 点P 的轨迹方程为22(2)4x y +-=，圆心为(0,2)，半径为2.d ==P 到直线l距离的最大值2. ···10分 法二：)44d πα==++，当74πα=，max 2d =，即点P 到直线l距离的最大值2. ·········10分24．解：(Ⅰ)由26x a a -+≤得26x a a -≤-，∴626a x a a -≤-≤-，即33a x -≤≤，∴32a -=-，∴1a =． ················· 5分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知()211f x x =-+，令()()()n f n f n ϕ=+-，则()124, 211212124, 22124, 2n n n n n n n n ϕ⎧-≤-⎪⎪⎪=-+++=-<≤⎨⎪⎪+>⎪⎩∴()n ϕ的最小值为4，故实数m 的取值范围是[)4,+∞． ···········10分。
辽宁省沈阳市城郊联合体2019-2020学年高二数学上学期期中试题理(含解析)
C. 7
D. -7
【解析】
【分析】
根据等比数列的性质，可以求出 a5 a8 的值，连同已知 a5 a8 2 ，可以求出
a5 , a8 的值，进而求出首项和公比，分类求出 a2 a11 的值。
【详解】等比数列
an
有
a5·a8
a6·a7
8
，而 a5
a8
2，
联立组成方程组，
aa55
a8
a8
8 2
A. S16
【答案】C
B. S17
C. S8
D. S9
【解析】
【分析】
由已知结合等差数列的求和公式可得，a1+a16＝a8+a9＜0，a1+a17＝2a9＞0，从而可得
a8＜0，a9＞0，即可判断．
【详解】∵等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且
16
S16 S16＜0，S17＞0，
a1 a16 2
2y 3x 5 2 2y 3x
xy
x y =5 2 6 ，
2y 3x 当且仅当 x y 且 x+y=1，当且仅当 x=3 6 ，y= 6 2 时取等号，
23 x y ≥ 5 2 6 = 3 2 ，即最小值是 3 2 ．
故选：A． 【点睛】本题考查基本不等式的应用，基本不等式的性质，考查转化思想，“1”代换的应用， 考查计算能力，属于基础题． 二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） 13.在各项均为正数的等比数列{an}中，若 a5•a6=27，则 log3a1+log3a2+…+log3a10=______． 【答案】15 【解析】 【分析】 由等比数列及对数的运算性质可知：log3a1+log3a2+…+log3a10＝log3（a1•a2•…•a10） ＝log3（3）15＝15． 【详解】由等比数列{an}的性质可得：a1•a10=a2•a9=…=a5•a6， 由对数的运算性质可知：log3a1+log3a2+…+log3a10=log3（a1•a2•…•a10）=log3（27） 5=log3（3）15=15， 故答案为：15． 【点睛】本题考查对数的运算性质，等比数列的性质，考查计算能力，属于基础题．
辽宁省沈阳市城郊市重点联合体2019-2020学年高二数学上学期第二次月考试题(文科、理科)试题及答案
辽宁省沈阳市城郊市重点联合体2019-2020学年高二数学上学期第二次月考试题 文参考公式：用最小二乘法求线性回归方程系数公式：1221ˆˆˆ()niii nii x ynx ybay bx xn x ==-==--∑∑， 一.选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）。
1．推理:“①矩形是平行四边形;②三角形不是平行四边形;③所以三角形不是矩形”中的小前提是( ) A.① B.② C.③ D.①和③ 2．命题“存在实数x ，使012<+x ”的否定可以写成 （ ） A ．若01,2<+∈x R x 则 B ．01,2≥+∈∃x R xC ．01,2<+∈∀x R xD ．01,2≥+∈∀x R x3．下面几种推理过程是演绎推理的是（ ）Ａ．两条直线平行，同旁内角互补，如果A ∠和B ∠是两条平行直线的同旁内角，则180A B ∠+∠=° Ｂ．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质 Ｃ．三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是(2)180n -· Ｄ．在数列{}n a 中，11a =，)2(,12111≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=--n a a a n n n ，由此归纳出{}n a 的通项公式 4．若sin 21(21)i θ-++是纯虚数，则θ的值为（ ）Ａ．π2π()4k k -∈Z Ｂ．ππ()4k k +∈Z Ｃ．π2π()4k k ±∈Z Ｄ．ππ()24k k -∈Z5.下面框图属于（ ）A ．程序框图B ．结构图C ．流程图D ．工序流程图6．已知a b ，是不相等的正数，2a b x +=，y a b =+，则x y ，的关系是（ ）Ａ．x y >Ｂ．y x >Ｃ．2x y >Ｄ．2y x >7．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是 （ ） A.假设三内角都不大于60度； B. 假设三内角至多有两个大于60度。
沈阳市城郊市重点联合体2019年秋学期高二期中考试(2)数学卷附答案详析
沈阳市城郊市重点联合体2019年秋学期高二期中考试（2）数学试卷命题范围:人教B 版必修5，考试时间：120分钟 分数：150分第Ⅰ卷客观题一、选择题（每小题5分，共60分）1.设R a a a Q a a P ∈--=+-=，，)3)(1(3)2(2，则有( ) A ．Q P ≥B ．Q P >C ．Q P <D ．Q P ≤2．已知n m >，则下列不等式中一定成立的是（ ）A ．b n a m +>+B ．nc mc >C ．n a m a -<-D ．22na ma > 3. 在ABC ∆中，3033===B c b ，，，则a 等于（ ） A ．3 B ．323或 C .23或 D ． 24．设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若126=S ，则=+43a a （ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 75．已知ABC ∆的周长为18，且2:3:4sin :sin :sin =C B A ，则 =A cos （ ） A ．32 B ．32- C ．41D ．41-6．设等比数列{n a }的前n 项和为n S ，若5510=S S ，则=1015S S（ ） A ．37 B ．521C ．17D ．5 三、设ABC ∆的三条边分别为c b a 、、，三角形面积为4222c b a S -+=，则C ∠为（ ）A.6π B.3π C.4π D.2π 8.已知{n a }为等比数列，285=+a a ，876-=a a ，则=+112a a （ ）A ． 7B ． 2C ．-2D ． -79.已知等差数列{n a }的前n 项和为n S ，若016<S ，017>S ，则n S 的最小值为（ ） A ．16S B ． 17S C ．8S D ． 9S10.设变量y x 、满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤+≤≤-30402y y x y x ，则y x 32+的最大值为（ ）A.11B.10C.9D.8 11.在ABC ∆中，若2cos sin sin 2BC A =，则ABC ∆是（ ） A. 直角三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形 12.已知0,0>>y x 且1=+y x ，则yx 32+的最小值是（ ） A.23+ B.10 C.625+ D.62第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡相应位置.） 13.设{n a }是正项等比数列，且2765=a a ，那么 log log log 1032313=+⋅⋅⋅++a a a 14.对于R x ∈，式子112+-mx mx 恒有意义，则常数m 的取值范围是15.若数列{n a }的前n 项和42-=nn S ，则{n a }的通项公式是16.已知锐角三角形的边长分别为a ,3,2，则a 的取值范围是三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、推证过程或演算步骤.）17.（10分）求函数)0(32)(2>-+-=x xx x x f 的最大值，以及此时x 的值。
沈阳市城郊市重点联合体2019-2020学年上学期高二数学理科期中试卷附答案解析
沈阳市城郊市重点联合体2019-2020学年上学期期中高二数学（理）试题一、单选题1．设M ＝2a (a －2)＋3，N ＝(a +1)(a －3)，a ∈R ，则有()A ．M ＞NB ．M ≥NC ．M ＜ND ．M ≤N2．已知m >n ，则下列不等式中一定成立的是（）A ．m a n b +>+B ．mc nc >C ．a m a n -<-D ．22ma na >3．在△ABC中，3,30b c B === ，则a =（）AB．C或D ．24．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6=12，则a 3+a 4=（）A ．3B ．4C ．6D ．75．已知∆ABC 的周长为18，且sin A ：sin B ：sin C =4：3：2，则cos A =（）A ．23B ．23-C ．14D ．14-6．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若1055S S =，则1510SS =（）A ．73B ．215C ．17D ．57．设∆ABC 的三条边分别为a 、b 、c ，三角形面积为2224a b c S +-=，则∠C 为（）A ．6πB ．3πC ．4πD ．2π8．已知等比数列{}n a 满足582a a +=，67·8a a =-则211a a +=（）A ．5B ．-5C ．7D ．-79．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 16＜0，S 17＞0，则S n 的最小值为（）A ．16S B ．17S C ．8S D ．9S 10．设变量x 、y 满足20403x y x y y -≤⎧⎪≤+≤⎨⎪≤≤⎩，则2x +3y 的最大值为（）A ．11B ．10C ．9D ．811．在∆ABC 中，若22BsinAsinC cos =，则△ABC 是（）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形12．已知x ＞0，y ＞0且x +y =1的最小值是（）A +BC ．5+D ．二、填空题13．在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 5•a 6=27，则log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a 10=______．14．对于x ∈Rm 的取值范围是______15．若数列{a n }的前n 项和24nn S =-，则{a n }的通项公式是______16．已知锐角三角形的三边长分别为2、3、x ，则x 的取值范围是___三、解答题17．求函数223(),(0)x x f x x x-+-=>的最大值，以及此时x 的值．18．在ABC △中，BC a =，AC b =，已知a ，b 是方程220x -+=的两个根，且2cos()1A B +=．（1）求角C 的大小；（2）求AB 的长．19．在公差不为零的等差数列{a n }中，a 4=10，且a 3、a 6、a 10成等比数列．（1）求{a n }的通项公式；（2）设b n =62n a -，求数列{b n }的前n 项和n S .20．在△ABC 中，a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 的对边，且2sin (2)sin (2)sin .a Abc B c b C =+++（Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）求sin sin B C +的最大值.21．设函数f （x ）＝|x ﹣a|+3x ，其中a ＞0．（1）当a ＝1时，求不等式f （x ）＞3x+2的解集；（2）若不等式f （x ）≤0的解集为{x|x≤﹣1}，求a 的值．22．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且244n S n n =-+．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2nn na b =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：．解析沈阳市城郊市重点联合体2019-2020学年上学期期中高二数学（理）试题一、单选题1．设M ＝2a (a －2)＋3，N ＝(a +1)(a －3)，a ∈R ，则有()A ．M ＞NB ．M ≥NC ．M ＜ND ．M ≤N【答案】A【解析】试题分析：()()()2213M N a a a a -=--+-()222423a a a a =----223a a =-+()2120a =-+>恒成立，所以M N >．故A 正确．【考点】作差法比较大小．2．已知m >n ，则下列不等式中一定成立的是（）A ．m a n b +>+B ．mc nc >C ．a m a n -<-D ．22ma na >【答案】C【解析】根据不等式的基本性质，结合特殊值，可得正确选项．【详解】∵m >n ，则取m =1，n =0，a =0，b =2，c =0，可排除A ，B ，D ．对C ，∵m ＞n ，∴-m ＜-n ，∴a m a n -<-成立，故C 正确．故选：C ．【点睛】本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．3．在△ABC 中，3,30b c B === ，则a =（）A B ．C 或D ．2【答案】C【解析】利用余弦定理构造方程，解方程求得结果.【详解】由余弦定理：2222cos b a c ac B =+-可得：23962a a =+-⨯解得：a =本题正确选项：C 【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，考查基础运算能力.4．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6=12，则a 3+a 4=（）A ．3B ．4C ．6D ．7【答案】B【解析】将S 6转化为用a 3和a 4表达的算式，即可得到a 3+a 4的值．【详解】由等差数列{a n }的前n 项和为S n ，得S 6=1662a a +⨯=3462a a +⨯=12，解得a 3+a 4=4.故选：B ．【点睛】本题考查了等差数列的前n 项和公式，考查了等差中项的性质，属于基础题．5．已知∆ABC 的周长为18，且sin A ：sin B ：sin C =4：3：2，则cos A =（）A ．23B ．23-C ．14D ．14-【答案】D【解析】由正弦定理得sinA ：sinB ：sinC =a ：b ：c=4：3：2，可设a =4k ，b =3k ，c =2k ，由余弦定理可得cosA 的值．【详解】∵由正弦定理得：在∆ABC 中，sin A ：sin B ：sin C =a ：b ：c =4：3：2，∴可设a =4k ，b =3k ，c =2k ，k ＞0，∴由余弦定理可得：cos A =2222b c a bc +-=2229416232k k k k k+-⨯⨯=-14．故选：D ．【点睛】本题主要考查了正弦定理及余弦定理的应用，属于基础题．6．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若1055S S =，则1510SS =（）A ．73B ．215C ．17D ．5【答案】B【解析】由等比数列的性质可得：S 5，S 10﹣S 5，S 15﹣S 10（各项不为0）成等比数列，即可得出．【详解】由等比数列的性质可得：S 5，S 10-S 5，S 15-S 10（各项不为0）成等比数列，不妨设S 5=1，由1055S S =，可得S 10=5．∴（5-1）2=1×（S 15-5），解得S 15=21，则1510S S =215．故选：B ．【点睛】本题考查了等比数列的前n 项和的性质、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．设∆ABC 的三条边分别为a 、b 、c ，三角形面积为2224a b c S +-=，则∠C 为（）A ．6πB ．3πC ．4πD ．2π【答案】C【解析】利用正弦定理和三角形的面积公式的应用求出结果．【详解】设∆ABC 的三条边分别为a 、b 、c ，三角形面积为2224a b c S +-=，所以1224abcosCabsinC =，整理得tanC =1，由于0＜C ＜π，所以C =4π．故选：C 【点睛】本题考查了正弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力，属于基础题．8．已知等比数列{}n a 满足582a a +=，67·8a a =-则211a a +=（）A ．5B ．-5C ．7D ．-7【答案】D【解析】根据等比数列的性质，可以求出58a a ⋅的值，连同已知582a a +=，可以求出58,a a 的值，进而求出首项和公比，分类求出211a a +的值。
2019-2020学年辽宁省沈阳市城郊市重点联合体高二上学期第二次月考数学(理)试卷
2019-2020学年辽宁省沈阳市城郊市重点联合体高二上学期第二次月考数学（理）试卷★祝考试顺利★ 注意事项：1、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
3、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
5、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
6、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第I 卷（选择题，共60分）一.选择题（共12小题，每小题5分，共60分。
在每题给出的选项中,选择一个符合题目要求的选项。
）1. 若实数x,y 满足(1+i)x+(1-i)y=2，则xy 等于（ ）A. 1B. 2C. -2D. -12. 某个命题与正整数有关，若当)(*N k k n ∈=时该命题成立，那么可推得当=n 1+k 时该命题也成立，现已知当5=n 时该命题不成立，那么可推得( )A.当6=n 时，该命题不成立B.当6=n 时，该命题成立C.当4=n 时，该命题成立D.当4=n 时，该命题不成立 3. .若函数f(x)=2x 2+1，图象上P(1,3)及邻近上点Q(1+Δx,3+Δy)， 则xy∆∆=（ ） A. 4 B .4Δx C.4+2Δx D. 2Δx 4. 设)(),()(,),()(),()(,sin )(112010N n x f x f x f x f x f x f x x f n n ∈'='='==+ ，则)(2010x f =（ ）A. sinxB. -sinxC. cosxD. -cosx5. 已知⎰-=122)2()(dx x a ax a f ,则)(a f 的最大值是（ ）A ．32 B ．92 C ．34 D ．946.72+与63+的大小关系是（ ）.=<> D.无法判断 7. 设y=x-lnx ，则此函数在区间(0,1)内为（ ）A ．单调递增，B 、有增有减C 、单调递减，D 、不确定8推理:“①矩形是平行四边形;②三角形不是平行四边形;③所以三角形不是矩形”中的小前提是( )A.①B.②C.③D.①和③9．函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图 象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10 .设f(x)、g(x)分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,当 x ＜0时,0)()()()(>'+'x g x f x g x f .且g(3)=0.则不等式f(x)g(x)＜0的解集是（ ） A ．(-3,0)∪(3,+∞) B ．(-3,0)∪(0, 3) C ．(-∞,-3)∪(3,+∞)D ．(-∞,-3)∪(0, 3)11.用反证法证明命题:若整数系数一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有有理根,那么a.b.c 中至少有一个是偶数,下列各假设中正确的是( )A 假设a.b.c 都是偶数B 假设a.b.c 都不是偶数C 假设a.b.c 中至多有一个是偶数D 假设a.b.c 中至多有两个是偶数12．已知函数()f x 在R 上满足2()2(2)88f x f x x x =--+-，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是（ ）A.21y x =-B.y x =C.32y x =-D.23y x =-+第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13． .若曲线3()ln f x ax x =+存在垂直于y 轴的切线，则实数a 取值范围是_____________. 14．定义运算bc ad dc b a -=,若复数z 满足211=-ziz,其中i 为虚数单位,则复数z = ．15．.观察下列式子 2222221311511171,1,1222332344+<++<+++< , … … , 则可归纳出________________________________16．已知三角形的两边之和大于第三边,利用类比原理可以推测空间四面体的性质为：________________________________三、解答题：本大题共6小题，共74分.17.（本小题满分12分）三次函数)(x f ，当x =1时取极大值4，当x =3时取极小值0，且函数图象过原点，求)(x f 的解析式，并求)(x f 在［-1,4］上的值域.18．（本小题满分12分）为支援玉树地区抗震救灾,某市某食品加工厂计划为灾区捐赠一批食品，已知该产品的月生产量x （吨）与每吨产品的价格p （元/吨）之间的关系式为：21242005p x =-,且生产x 吨的成本为50000200R x =+（元）.问该厂每月生产多少吨产品才能为灾区奉献最大利润？最大利润是多少？（利润=收入─成本）19.（本小题满分12分）是否存在复数z,使其满足z·z +2i z =3+ai (a ∈R )?如果存在,求出z 的值;如果不存 在,请说明理由.20. （本小题满分12分）设曲线y =e x(x ≥0)在点M (t ,e t)处的切线l 与x 轴、y 轴围成的三角形面积为S (t ). (1)求切线l 的方程； (2)求S (t )的最大值。
2019-2020学年辽宁省沈阳市城郊市重点联合体高二(上)期中数学试卷(理科)
2019-2020学年辽宁省沈阳市城郊市重点联合体高二（上）期中数学试卷（理科）一.选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题中，只有一项是符合题目要求的．）1．i 是虚数单位，复数7(3ii-=+ ) A ．2i +B ．2i -C ．2i -+D ．2i --2．0()0f x '=是函数()f x 在点0x 处取极值的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．有这样一段演绎推理“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为( ) A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．非以上错误4．已知曲线cos y x =，其中[0x ∈，3]2π，则该曲线与坐标轴围成的面积等于( )A ．1B ．2C ．52D ．35．如果z 是34i +的共轭复数，则z 对应的向量OA 的模是( )A ．1BCD ．56．若函数3()y a x x =-的递减区间为(，则a 的取值范围是( ) A ．(0,)+∞B ．(1,0)-C ．(1,)+∞D ．(0,1)7．定义*A B ，*B C ，*C D ，*D A 的运算分别对应下图中的（1），（2），（3），（4），那么，图中A ，B 可能是下列( )的运算的结果．A ．*B D ，*A DB ．*B D ，*A CC ．*B C ，*A DD ．*C D ，*A D8．函数()f x 的定义域为(,)a b ，导函数()f x '在(,)a b 内的图象如图所示，则函数()f x 在(,)a b内有极小值点( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．给出下列四个命题：（1）任一两个复数都不能比较大小；（2）z z 为实数z ⇔为实数（3）虚轴上的点都表示纯虚数；（4）复数集与复平面内的向量所成的集合是一一对应的． 其中正确命题的个数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．410．已知函数431()232f x x x m =-+，x R ∈，若()90f x +…恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．32m …B ．32m >C ．32m …D ．32m <11．用数学归纳法证明：1111(*,2)12n N n n n n++⋯⋯+<∈+…，由n k =到1n k =+，不等式左端变化的是( ) A ．增加12(1)k +一项B ．增加121k +和12(1)k +两项C ．增加121k +和12(1)k +两项，同时减少1k 一项D ．增加121k +一项，同时减少1k一项 12．已知函数32()f x x ax bx c =+++，下列结论中错误的是( ) A ．0x R ∃∈，0()0f x =B ．函数()y f x =的图象是中心对称图形C ．若0x 是()f x 的极小值点，则()f x 在区间0(,)x -∞单调递减D ．若0x 是()f x 的极值点，则0()0f x '=二、填空题（共4道题，每题5分共20分，把正确答案填在答题纸的横线上） 13．设复数z 满足(1)32(i z i i +=-+为虚数单位），则z 等于 ．14．已知函数3()f x x ax =+在R 上有两个极值点，则实数a 的取值范围是 ．15．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，f （1）0=，2()()0(0)xf x f x x x'->>，则不等式2()0x f x >的解集是 ．16．一同学在电脑中打出如下图形(〇表示空心圆，●表示实心圆） 〇●〇〇●〇〇〇●〇〇〇〇●⋯⋯若将此若干个圆依此规律继续下去，得到一系列的圆，那么前2006个圆中有实心圆的个数为 ．三、解答题（共6道题，第17题10分，其余每题12分，共70分，解答题须写出演算步骤.）17．已知复数22(3)(6)z m m m m i =-+--，则当实数m 为何值时，复数z 是： ①实数； ②46z i =+； ③对应的点在第三象限．18．已知函数32()(0)f x ax bx cx a =++≠，当1x =-时()f x 取得极值5，且f （1）11=-．求()f x 的单调区间和极小值．19．已知曲线32y x x =+-在点0P 处的切线1l 平行直线410x y --=，且点0P 在第三象限， （1）求0P 的坐标；（2）若直线1l l ⊥，且l 也过切点0P ，求直线l 的方程．20．已知1x =是函数32()3(1)1f x mx m x nx =-+++的一个极值点，其中m ，n R ∈，0m <． （Ⅰ）求m 与n 的关系表达式； （Ⅱ）求()f x 的单调区间；（Ⅲ）当[1x ∈-，1]时，函数()y f x =的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m ，求m 的取值范围．21．求由抛物线243y x x =-+-与它在点(0,3)A -和点(3,0)B 的切线所围成的区域面积．22．已知函数()()x f x e ln x m =-+（Ⅰ）设0x =是()f x 的极值点，求m ，并讨论()f x 的单调性； （Ⅱ）当2m …时，证明()0f x >．2019-2020学年辽宁省沈阳市城郊市重点联合体高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题中，只有一项是符合题目要求的．）1．i 是虚数单位，复数7(3ii-=+ ) A ．2i + B ．2i - C ．2i -+ D ．2i --【解答】解：7(7)(3)201023(3)(3)10i i i ii i i i ----===-++- 故选：B ．2．0()0f x '=是函数()f x 在点0x 处取极值的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：0()0f x '=推不出函数()f x 在点0x 处取极值，反之函数()f x 在点0x 处取极值，必有0()0f x '=．0()0f x ∴'=是函数()f x 在点0x 处取极值的必要不充分条件．故选：B ．3．有这样一段演绎推理“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为( ) A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．非以上错误【解答】解：大前提的形式：“有些有理数是真分数”，不是全称命题， ∴不符合三段论推理形式， ∴推理形式错误，故选：C ．4．已知曲线cos y x =，其中[0x ∈，3]2π，则该曲线与坐标轴围成的面积等于( )A ．1B ．2C ．52D ．3【解答】解：根据图形的对称性，可得曲线cos y x =，[0x ∈，3]2π，与坐标轴围成的面积22003cos 3sin |3S xdx x ππ===⎰．故选：D ．5．如果z 是34i +的共轭复数，则z 对应的向量OA 的模是( )A ．1BCD ．5【解答】解：由题意，34z i =-，z ∴对应的向量OA 的坐标为(3,4)-5=．故选：D ．6．若函数3()y a x x =-的递减区间为(，则a 的取值范围是( ) A ．(0,)+∞B ．(1,0)-C ．(1,)+∞D ．(0,1)【解答】解：对函数求导可得，2(31)3(y a x a x x '=-=-+由函数的递减区间为(可得2(31)3(0y a x a x x '=-=<的范围为为( 所以0a > 故选：A ．7．定义*A B ，*B C ，*C D ，*D A 的运算分别对应下图中的（1），（2），（3），（4），那么，图中A ，B 可能是下列( )的运算的结果．A ．*B D ，*A DB ．*B D ，*A CC ．*B C ，*A DD ．*C D ，*A D【解答】解：通过观察可知：A 表示“-”， B 表示“□”，C 表示“|”， D 表示“〇”， 图中的（A ）、（B ）所对应的运算结果可能是*B D ，*A C ， 故选：B ．8．函数()f x 的定义域为(,)a b ，导函数()f x '在(,)a b 内的图象如图所示，则函数()f x 在(,)a b 内有极小值点( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解答】解；因为极小值点两侧函数的单调性是先减后增，对应导函数值是先负后正， 由图得：导函数值先负后正的点只有一个．故函数()f x 在区间(,)a b 内极小值点的个数是1． 故选：A ．9．给出下列四个命题：（1）任一两个复数都不能比较大小；（2）z z 为实数z ⇔为实数（3）虚轴上的点都表示纯虚数；（4）复数集与复平面内的向量所成的集合是一一对应的． 其中正确命题的个数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：（1）任一两个复数都不能比较大小；因为两个复数都是实数时，可以比较大小．所以（1）不正确；（2）z z 为实数z ⇔为实数，反例z i =，z i =-，1z z =，所以（2）不正确； （3）虚轴上的点都表示纯虚数；坐标原点是实数，所以（3）不正确； （4）复数集与复平面内的向量所成的集合是一一对应的．正确． 所以正确命题的个数是：1个． 故选：A ． 10．已知函数431()232f x x x m =-+，x R ∈，若()90f x +…恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．32m …B ．32m >C ．32m …D ．32m <【解答】解：因为函数431()232f x x x m =-+，所以32()26f x x x '=-． 令()0f x '=得0x =或3x =，可知3x =是函数的一个最小值点，所以函数的最小值为f （3）2732m =-． 不等式()90f x +…恒成立，即()9f x -…恒成立， 所以27392m --…，解得32m …． 故选：A ．11．用数学归纳法证明：1111(*,2)12n N n n n n++⋯⋯+<∈+…，由n k =到1n k =+，不等式左端变化的是( ) A ．增加12(1)k +一项B ．增加121k +和12(1)k +两项C ．增加121k +和12(1)k +两项，同时减少1k 一项D ．增加121k +一项，同时减少1k一项 【解答】解：当n k =时，左端11112k k k=++⋯⋯++， 那么当1n k =+时 左端111111222122k k k k k =++⋯⋯+++++++， 故第二步由k 到1k +时不等式左端的变化是增加了增加121k +和12(1)k +两项，同时减少1k一项， 故选：C ．12．已知函数32()f x x ax bx c =+++，下列结论中错误的是( ) A ．0x R ∃∈，0()0f x =B ．函数()y f x =的图象是中心对称图形C ．若0x 是()f x 的极小值点，则()f x 在区间0(,)x -∞单调递减D ．若0x 是()f x 的极值点，则0()0f x '= 【解答】解：2()32f x x ax b '=++．（1）当△24120a b =->时，()0f x '=有两解，不妨设为12x x <，列表如下由表格可知：①2x 是函数()f x 的极小值点，但是()f x 在区间2(,)x -∞不具有单调性，故C 不正确． ② 32323222242()()()()()23333273a a a a abf x f x x a x b x c x ax bx c a c --+=--+--+--+++++=-+3232()()()()3333273a a a a ab f a b c a c -=-+-+-+=-+，2()()2()33a af x f x f --+=-， ∴点(,())33a aP f --为对称中心，故B 正确．③由表格可知1x ，2x 分别为极值点，则12()()0f x f x ''==，故D 正确． ④x →-∞时，()f x →-∞；x →+∞，()f x →+∞，函数()f x 必然穿过x 轴，即x R α∃∈，()0f x α=，故A 正确．（2）当△0…时，2()3()03af x x '=+…，故()f x 在R 上单调递增，①此时不存在极值点，故D 正确，C 不正确；②B 同（1）中②正确； ③x →-∞时，()f x →-∞；x →+∞，()f x →+∞，函数()f x 必然穿过x 轴，即0x R ∃∈，0()0f x =，故A 正确．综上可知：错误的结论是C ． 由于该题选择错误的，故选：C ．二、填空题（共4道题，每题5分共20分，把正确答案填在答题纸的横线上） 13．设复数z 满足(1)32(i z i i +=-+为虚数单位），则z 等于 13i + ． 【解答】解：设z a bi =+，则由(1)32i z i +=-+得(1)32(1)i a bi i a i b ++=-+=+-， 即123a b+=⎧⎨-=-⎩，解得1a =，3b =， 故13z i =+， 故答案为：13i +14．已知函数3()f x x ax =+在R 上有两个极值点，则实数a 的取值范围是 0a < ． 【解答】解：由题意，2()3f x x a '=+，3()f x ax x =+恰有有两个极值点，∴方程()0f x '=必有两个不等根， ∴△0>，即0120a ->，0a ∴<．故答案为：0a <．15．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，f （1）0=，2()()0(0)xf x f x x x'->>，则不等式2()0x f x >的解集是 (1-，0)(1⋃，)+∞ ． 【解答】解：2()()()[]0f x xf x f x x x '-'=>，即0x >时()f x x是增函数， 当1x >时，()f x f x>（1）0=，()0f x >． 01x <<时，()f x f x<（1）0=，()0f x <， 又()f x 是奇函数，所以10x -<<时，()()0f x f x =-->， 1x <-时()()0f x f x =--<，则不等式2()0x f x >即()0f x >的解集是(1-，0)(1⋃，)+∞， 故答案为：(1-，0)(1⋃，)+∞．16．一同学在电脑中打出如下图形(〇表示空心圆，●表示实心圆） 〇●〇〇●〇〇〇●〇〇〇〇●⋯⋯若将此若干个圆依此规律继续下去，得到一系列的圆，那么前2006个圆中有实心圆的个数为 61 ．【解答】解：将这些圆分段处理，第一段2个圆，第二段3个圆，第三段4个圆，⋯⋯，可以看出每一段的最后一个圆都是实心圆，由于本题要求前2006个圆中实心圆的个数，因此找到第2006个圆所在的段数很重要， 因为(262)61234562195220062+⨯++++⋯⋯+==<， 而(263)62234563201520062+⨯++++⋯⋯+==>， 因此，共有61个实心圆， 故答案为：61．三、解答题（共6道题，第17题10分，其余每题12分，共70分，解答题须写出演算步骤.）17．已知复数22(3)(6)z m m m m i =-+--，则当实数m 为何值时，复数z 是：①实数； ②46z i =+； ③对应的点在第三象限． 【解答】解：22(3)(6)z m m m m i =-+--①令2603m m m --=⇒=或2m =-，即3m =或2m =-时，z 为 实数； ②2234466m m m m m ⎧-=⇒=⎨--=⎩；所以46z i =+．③若z 所对应点在第三象限则22300360m m m m m ⎧-<⇒<<⎨--<⎩．18．已知函数32()(0)f x ax bx cx a =++≠，当1x =-时()f x 取得极值5，且f （1）11=-．求()f x 的单调区间和极小值．【解答】解：函数32()(0)f x ax bx cx a =++≠的导数2()32f x ax bx c '=++， 当1x =-时()f x 取得极值5，则有(1)5f -=且(1)0f '-=， 即有5a b c -+-=① 且320a b c -+=②， 又因为f （1）11=-， 所以可得：11a b c ++=-③由①②③解得1a =，3b =-．9c =-． 即32()39f x x x x =--，2()369f x x x '=--，()0f x ∴'>得，3x >或1x <-；()0f x '<得，13x -<<．∴所以函数()f x 的单调增区间为(,1)-∞-和(3,)+∞；单调减区间为(1,3)-．故函数()f x 在3x =处取得极小值，()f x f =极小值（3）27=-．19．已知曲线32y x x =+-在点0P 处的切线1l 平行直线410x y --=，且点0P 在第三象限， （1）求0P 的坐标；（2）若直线1l l ⊥，且l 也过切点0P ，求直线l 的方程． 【解答】解：（1）由32y x x =+-，得231y x '=+， 由已知得2314x +=，解之得1x =±． 当1x =时，0y =；当1x =-时，4y =-． 又点0P 在第三象限， ∴切点0P 的坐标为(1,4)--；（2）直线1l l ⊥，1l 的斜率为4， ∴直线l 的斜率为14-， l 过切点0P ，点0P 的坐标为(1,4)--∴直线l 的方程为14(1)4y x +=-+即4170x y ++=．20．已知1x =是函数32()3(1)1f x mx m x nx =-+++的一个极值点，其中m ，n R ∈，0m <． （Ⅰ）求m 与n 的关系表达式； （Ⅱ）求()f x 的单调区间；（Ⅲ）当[1x ∈-，1]时，函数()y f x =的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m ，求m 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）2()36(1)f x mx m x n '=-++．因为1x =是()f x 的一个极值点，所以f '（1）0=，即36(1)0m m n -++=． 所以36n m =+．（Ⅱ）由（Ⅰ）知22()36(1)363(1)[(1)]f x mx m x m m x x m'=-+++=--+ 当0m <时，有211m >+，当x 变化时()f x 与()f x '的变化如下表：由上表知，当0m <时，()f x 在2(,1)m -∞+单调递减，在2(1m+，1)单调递增，在(1,)+∞单调递减．（Ⅲ）由已知，得()3f x m '>，即23(1)[(1)]3m x x m m--+>， 0m <．2(1)[1(1)]1x x m∴--+<．(*)①1x =时．(*)式化为01<怛成立． 0m ∴<．②1x ≠时[1x ∈-，1]，210x ∴--<…． (*)式化为21(1)1x m x <---． 令1t x =-，则[2t ∈-，0)，记1()g t t t=-，则()g t 在区间[2-，0)是单调增函数．13()(2)222min g t g ∴=-=--=--． 由(*)式恒成立，必有23423m m <-⇒-<，又0m <．403m ∴-<<． 综上①②知403m -<<．21．求由抛物线243y x x =-+-与它在点(0,3)A -和点(3,0)B 的切线所围成的区域面积． 【解答】解：243y x x =-+-，24y x ∴'=-+，0x =时，4y '=，3x =时，2y '=-，∴在点(0,3)A -和点(3,0)B 的切线方程分别为43y x =-和26y x =-+，两条切线的交点是(1.5,3)，如图所示，区域被直线 1.5x =分成了两部分， ∴所求面积为 1.532201.5S=[(43)(43)][(26)(43)]x x x dx x x x dx --+-+-+--+-⎰⎰3 1.53230 1.511|(39)| 2.2533x x x x =+-+=．22．已知函数()()x f x e ln x m =-+()I 设0x =是()f x 的极值点，求m ，并讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）当2m …时，证明()0f x >．【解答】（Ⅰ）解：1()x f x e x m '=-+，0x =是()f x 的极值点，∴1(0)10f m'=-=，解得1m =．所以函数()(1)x f x e ln x =-+，其定义域为(1,)-+∞．1(1)1()11x xe xf x e x x '+-=-=++．设()(1)1x g x e x =+-，则()(1)0x x g x e x e '=++>，所以()g x 在(1,)-+∞上为增函数， 又(0)0g =，所以当0x >时，()0g x >，即()0f x '>；当10x -<<时，()0g x <，()0f x '<． 所以()f x 在(1,0)-上为减函数；在(0,)+∞上为增函数；（Ⅱ）证明：当2m …，(,)x m ∈-+∞时，()(2)ln x m ln x ++…，故只需证明当2m =时()0f x >． 当2m =时，函数1()2x f x e x '=-+在(2,)-+∞上为增函数，且(1)0f '-<，(0)0f '>． 故()0f x '=在(2,)-+∞上有唯一实数根0x ，且0(1,0)x ∈-． 当0(2,)x x ∈-时，()0f x '<，当0(x x ∈，)+∞时，()0f x '>， 从而当0x x =时，()f x 取得最小值． 由0()0f x '=，得0012x e x =+，00(2)ln x x +=-． 故200000(1)1()()022x f x f x x x x +=+=>++…．综上，当2m …时，()0f x >．。
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沈阳市城郊市联合体2019年秋高二上学期第二次月考数学文科试题说明：1、本试卷命题范围是高中数学选修2-2（人教Ｂ版）；2、试卷分两卷，第I 卷为单项选择题，请将正确答案用2B 铅笔涂在答题卡上，第II 卷为填空题和解答题，请将答案按照题序用黑色水性签字笔填写在答题纸上； 3、本卷满分150分，考试时间为120分钟。
第I 卷（选择题，共60分）一.选择题（共12小题，每小题5分，共60分。
在每题给出的选项中,选择一个符合题目要求的选项。
） 1. 若实数x,y 满足(1+i)x+(1-i)y=2，则xy 等于（ ）A. 1B. 2C. -2D. -12. 某个命题与正整数有关，若当)(*N k k n ∈=时该命题成立，那么可推得当=n 1+k 时该命题也成立，现已知当5=n 时该命题不成立，那么可推得( )A.当6=n 时，该命题不成立B.当6=n 时，该命题成立C.当4=n 时，该命题成立D.当4=n 时，该命题不成立 3. .若函数f(x)=2x 2+1，图象上P(1,3)及邻近上点Q(1+Δx,3+Δy)， 则xy∆∆=（ ） A. 4 B .4Δx C.4+2Δx D. 2Δx4. 设)(),()(,),()(),()(,sin )(112010N n x f x f x f x f x f x f x x f n n ∈'='='==+ ，则)(2010x f =（ ） A. sinx B. -sinx C. cosx D. -cosx5. 已知⎰-=122)2()(dx x a axa f ,则)(a f 的最大值是（ ）A ．32 B ．92 C ．34 D ．94 6.72+与63+的大小关系是（ ）.A. 2736+=+；B. 2736+<+；C. 2736+>+；D.无法判断 7. 设y=x-lnx ，则此函数在区间(0,1)内为（ ）A ．单调递增，B 、有增有减C 、单调递减，D 、不确定8推理:“①矩形是平行四边形;②三角形不是平行四边形;③所以三角形不是矩形”中的小前提是( )A.①B.②C.③D.①和③9．函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10 .设f(x)、g(x)分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,当 x ＜0时,0)()()()(>'+'x g x f x g x f .且g(3)=0.则不等式f(x)g(x)＜0的解集是（ ） A ．(-3,0)∪(3,+∞) B ．(-3,0)∪(0, 3)C ．(-∞,-3)∪(3,+∞)D ．(-∞,-3)∪(0, 3)11.用反证法证明命题:若整数系数一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有有理根,那么a.b.c 中至少有一个是偶数,下列各假设中正确的是( )A 假设a.b.c 都是偶数B 假设a.b.c 都不是偶数C 假设a.b.c 中至多有一个是偶数D 假设a.b.c 中至多有两个是偶数12．已知函数()f x 在R 上满足2()2(2)88f x f x x x =--+-，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是（ ）A.21y x =-B.y x =C.32y x =-D.23y x =-+第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13． .若曲线3()ln f x ax x =+存在垂直于y 轴的切线，则实数a 取值范围是_____________. 14．定义运算bc ad dc b a -=,若复数z 满足211=-ziz,其中i 为虚数单位,则复数z = ．15．.观察下列式子 2222221311511171,1,1222332344+<++<+++< , … … , 则可归纳出________________________________16．已知三角形的两边之和大于第三边,利用类比原理可以推测空间四面体的性质为：________________________________ 三、解答题：本大题共6小题，共74分. 17.（本小题满分12分）三次函数)(x f ，当x =1时取极大值4，当x =3时取极小值0，且函数图象过原点，求)(x f 的解析式，并求)(x f 在［-1,4］上的值域.18．（本小题满分12分）为支援玉树地区抗震救灾,某市某食品加工厂计划为灾区捐赠一批食品，已知该产品的月生产量x （吨）与每吨产品的价格p （元/吨）之间的关系式为：21242005p x =-,且生产x 吨的成本为50000200R x =+（元）.问该厂每月生产多少吨产品才能为灾区奉献最大利润？最大利润是多少？（利润=收入─成本）19.（本小题满分12分）是否存在复数z,使其满足z·z +2i z =3+ai (a ∈R )?如果存在,求出z 的值;如果不存 在,请说明理由.20. （本小题满分12分）设曲线y =e x(x ≥0)在点M (t ,e t)处的切线l 与x 轴、y 轴围成的三角形面积为S (t ). (1)求切线l 的方程； (2)求S (t )的最大值。
21. （本小题满分12分）设正整数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n =21(a n +n a 1).(1)求出a 1,a 2,a 3, 猜想出a n ,.并 (2) 用数学归纳法证明你的猜想22．（本小题满分14分）已知函数32()f x x ax bx c =+++在23x =-与1x =时都取得极值 (1)求,a b 的值与函数()f x 的单调区间(2)若对[1,2]x ∈-，不等式2()f x c <恒成立，求c 的取值范围。
高二数学期中测试题参考答案 一.选择题A D C CB BC B AD B A 二.填空题13.(0,∞-) 14.1-i 15. .22211121123(1)1n n n +++++<++(n ∈N *) 16.四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积. 17.解析：∵函数图象过原点，∴可设)(x f =ax 3+bx 2+c x 分∴f′(x )=3ax 2+2bx分∴)(x f 在x =1,x =3处取极值 ∴x =1,x =3为f′(x )=0的两根∴1+3=a 3b 2-,1×3=a3c分又f(1)=4,可解得a =1,b =-6,c=9, )(x f =x 3-6x 2+9x 分∴f(-1)=-)(x f 在［-1,4］上的值域为［-16,4］ …….12分18.解：每月生产x 吨时的利润为)20050000()5124200()(2x x x x f +--= ).(200,20002400053)()0(5000024000512123舍去解得由-===+-='≥-+-=x x x x f x x x ……4分0)(200),0[)(='=+∞x f x x f 使内只有一个点在因 ，故它就是最大值点，……8分 且最大值为：)(31500005000020024000)200(51)200(3元=-⨯+-=f ……10分 答：每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元…….12分 19.解析:设z=c+b i (c 、b ∈R 分则(c+b i )(c-b i )+2i (c-b i )=3+aic 2+b 2+2b+2c i =3+ai∴⎩⎨⎧==++a.c 2,3b 2b c 22分∴⎪⎩⎪⎨⎧=-=+2a c ,c 41)(b 22 ∴(b+1)2=4-4a 2分当4-4a 2≥0,即-4≤a ≤4时,b=2a 1622-±-分当4-4a 2<0,即a >4或a <-4时,z 不存在分当a ∈［-4,4］时,存在复数z=2a +2a 1622-±-i ,使z·z +2i z =3+ai …….12分20.（Ⅰ）因为,)()(x xe e xf ---='=' 所以切线l 的斜率为,1--e ……2分故切线l 的方程为).(t x e ey t t--=---即0)1(1=+-+--t e y x e t ……4分（Ⅱ）令y=0得x=t+1,又令x=0得)1(+=-t e y t……6分 所以S （t ）=)1()1(211+⋅+-t e t =12)1(21-+e t ……8分 从而).1)(1(21)(1t t e t S +-='-……9分 ∵当∈t （0，1）时，)(t S '>0, 当∈t （1,+∞）时,)(t S '<0, 所以S(t)的最大值为S(1)= 21-e ……12分.21.解:n=1时,a 1=S 1=21(a 1+11a ),∴a 12=1,又∵a n >0,∴a 1=1.n=2时,S 2=21(a 2+21a )=a 1+a 2,∴a 22+2a 2-1=0. 又∵a n >0,∴a 2=2-1. n=3时,S 3=21(a 3+31a )=a 1+a 2+a 3,∴a 32+32a 3-1=0.又∵a n >0, ∴a 3=23-……4分规律已基本形成,由此猜想 a n =1--n n …….5分 下面用数学归纳法证明:(1)当n=1时,a 1=111--=1,命题成立……7分 (2)假设n=k 时命题成立,即a k =1--k k ,……8分 则当n=k+1时,a k+1=S k+1-S k =21(a k+1+11+k a )-21(a k +k a 1)=21(a k+1+11+k a )-21(1--k k +11--k k )=21(a k+1+11+k a )-k .∴a k+12+12+k a k -1=0.又∵a n >0,∴a k+1=1+k -k ,则n=k+1时,命题也成立……11分 解由(1)(2)知对一切正整数n,命题均成立……12分22．解：（1）32'2(),()32f x x ax bx c f x x ax b =+++=++……2分由'2124()0393f a b -=-+=，'(1)320f a b =++=得1,22a b =-=-……4分 '2()32(32)(1)f x x x x x =--=+-，函数()f x 的单调区间如下表：x 2(,)3-∞-23- 2(,1)3- 1(1,)+∞'()f x+-+()f x 极大值极小值所以函数()f x 的递增区间是2(,)3-∞-与(1,)+∞,递减区间是2(,1)3-；……7分 （2）321()2,[1,2]2f x x x x c x =--+∈-，当23x =-时，222()327f c -=+ 为极大值，而(2)2f c =+，则(2)2f c =+为最大值……10分 ，要使2(),[1,2]f x c x <∈-恒成立，则只需要2(2)2c f c >=+，得1,2c c <->或。