1.2区间,邻域
高等数学 第一章
函数 y f ( x )
反函数 x ( y )
W
W
o
D
x
o
D
x
三、复合函数
1、复合函数
设 y u, u 1 x ,
2
y 1 x
2
定义 设函数 y f ( u) 的定义域为 D f , 而函数
u ( x ) 的值域为 Z , 若 Z D , 则称函数 f y f [( x )] 为 x 的复合函数.
一、 函数的有界性
f ( x) 2 x 1,
三、 函数的周期性 四、 函数凹凸性
x0
.
1．函数的有界性 y
M y=f(x)
y
M
o
有界 -M
x X
o
-M
x0
X
无界
x
设函数 f ( x ) 在区域 有界: X D, M 0, 则称
上有定义, x X 使得 f ( x ) M ;
第一章
函数
第一节 函数的定义
一、 基本概念 二、 函数概念
一、函数概念
1 函数定义 定义：设 x和 y是两个变量, D 是一个给定 的数集. 如果对于每个数 x D , 变量 y 按 照一定法则,总有确定的数值与之对应, 则称 y 是 x 的函数, 记作 y f ( x ) . 数集D叫 做这个函数的定义域. x叫做自变量, y 叫做因变量. f 叫做函数关系. 单值函数: 自变量在定义域内任取一个 数值时, 对应的函数值总是只有一个的 函数. 否则叫多值函数．
中心
a 的 去心邻域:
a
a
a
半径
x
o
0 U (a ) { x 0 x a },
微积分复习
第一章1.1区间与邻域1.1.1区间开区间，闭区间，半开半闭区间，无穷区间，这四类统称为区间，还分为有限区间（a，b）[a,b]，无限区间(−∞，b)(a,+∞)（a,b成为区间的端点）。
全体实数的集合R也可表示为无限区间(−∞,+∞)1.1.2邻域定义，设δ为某个正数，称开区间(x0−σ,x0+σ)为点x0的δ的邻域，简称为点x0的邻域，记作U(x0,σ)即U(x0,σ)={x0|x0−σ<x0<x0+σ}={x||x−x0|}1.2函数的概念1.2.1函数的定义设A,B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x),x∈A 或f(A)={y丨f(x)=y,y∈B}其中x叫做自变量，y叫做x的函数，集合 A叫做函数的定义域，与x对应的y叫做函数值，函数值的集合{f(x)丨x∈A}叫做函数的值域。
1.2.2函数的表示法函数的表示法通常有三种：表格法、图像法和解析法。
1.2.3函数关系的建立为了建立函数关系，需要明确问题中的因变量和自变量，得出函数关系，并根据实际背景确定函数的定义域。
1.3函数的基本性质1.3.1函数的单调性设函数y=f(x)在区间I上有定义，x1及x2为区间I上任意两点，且x1<x2。
如果恒有f(x1)<f(x2)，则称f(x)在I上是单调增加的；如果恒有f(x1)>f(x2)，则称f(x)在I上是单调减少的。
单调增加和单调减少的函数统称为单调函数。
1.3.2函数的奇偶性设函数y=f(x)的定义域D关于原点对称。
如果在D上有f(x)= f(−x)，则称f(x)为偶函数；如果在D上有f(x)=−f(−x)，则称f(x)为奇函数。
1.3.3函数的周期性设函数y=f(x)的定义域为D。
如果存在一个非零数l，使得对于任一x∈D有(x±I)∈D,且f(x±I)=f(x)，则f(x)称为周期函数，l 称为f(x)的周期，如果在函数f(x)的所有正周期中存在一个最小的正数，则我们称这个正数为f(x)的最小正周期。
区间与邻域
6 4 72 4 8
o
o
a a
a
例1 点5的3邻域 { x | | x -5 | < 3} = (2, 8).
7
点 a 的去心邻域. 即
o
U(a， ) {x 0 x a } (a , a) (a, a )
6 4 72 4 8
o
a
a°
o
a
点 a的左邻域, 即 点 a 的右邻域, 即
{x 0 a x } (a , a) {x 0 x a } (a, a )
8
a•
(a, ) { x a x },
a°Leabharlann (, ) {x x }.
6
二. 邻域
设 a， R ，其中 0 ，数集 x x a 称为
点 a 的 邻域，记作 U(a， )
U(a,) {x x a } {x a x a }
4
[a, b] {x a x b}, (a,b] {x a x b}, [a, b) { x a x b},
a•
•b
°a
•
b
•
b°
(,a) {x x a}, (, a] {x x a},
°a
•a
5
[a, ) {x a x },
第一章 函数
§1.1 区间与领域 §1.2 函数 §1.3 反函数与复合函数 §1.4 基本初等函数与初等函数 §1.5 经济学中常用的函数
1
函数是微积分的一个重要概念, 也是现代数学研究的一个 基本对象. 有关函数概念, 在中学数学中我们有了初步的了 解, 在这一章中, 将介绍函数、函数特性、基本初等函数、初 等函数等概念.
1-1n
a , b ∈ R , 且a < b.
{ x a < x < b} 称为开区间 记作 (a , b ) 称为开区间,
o a x b 称为闭区间, { x a ≤ x ≤ b} 称为闭区间 记作 [a , b] o a
b
x
{ x a ≤ x < b} { x a < x ≤ b}
称为半开区间, 称为半开区间 记作 [a , b ) 称为半开区间, 称为半开区间 记作 (a , b] 有限区间
常量与变量: 常量与变量: 在某过程中数值保持不变的量称为常量 在某过程中数值保持不变的量称为常量, 常量 而数值变化的量称为变量 变量. 而数值变化的量称为变量 注意 常量与变量是相对"过程"而言的. 常量与变量是相对"过程"而言的
1.1.3. 函数概念 是一个非空数集, 定义 设 D 是一个非空数集, 如果有一个对应规则 f ,对于每个数 x ∈ D , 根据该规则总有 y 的数值
和它对应, 定义在 一个函数 函数, 和它对应,则称 f 是定义在 D 上的一个函数,记作
y = f (x)
因变量
数集D叫做这个函数的定义域 数集 叫做这个函数的定义域 叫做这个函数的 自变量
当x 0 ∈ D时, 称f ( x0 )为函数在点 x 0处的函数值 .
函数值全体组成的数集 W = { y y = f ( x ), x ∈ D } 称为函数的值域 .
偶函数, 偶函数 不是单调函数, 不是单调函数 周期函数(无最小正周期 周期函数 无最小正周期) 无最小正周期
o
x
小结
基本概念 数集, 区间, 邻域, 常量与变量. 数集 区间 邻域 常量与变量 函数的概念 函数的特性 有界性,单调性,奇偶性,周期性. 有界性,单调性,奇偶性,周期性.
高等数学教学大纲
《高等数学》课程教学大纲一、《高等数学》课程说明（一）课程代码：（二）课程英文名称：Advanced Mathematics（三）开课对象：非数学专业专科学生（理科）（四）课程的性质：高等数学是高等教育专科重要的基础理论课之一。
通过本课程的学习，使学生获得微积分、空间解析几何、级数及常微分方程的基础知识和常用的运算方法。
通过各教学环节逐步培养学生分析问题和解决问题的能力。
为学习后继课程及今后的专业工作奠定必要的数学基础。
（五）教学目的：通过本课程的教学，提高学生的逻辑推理的能力，空间想象的能力，使学生具有比较熟练的运算能力和综合运用所学知识去分析问题、解决问题的能力。
（六）教学内容：1 要正确了解和理解以下概念：函数、极限、连续性、导数、微分、偏导数、全微分、函数的极值。
不定积分、定积分、二重积分、三重积分、无穷级数的敛散性、有关空间解析几何及常微分方程的基本概念。
2 要了解和掌握下列基本理论、基本定理和公式：基本初等函数的性质及图形，基本初等函数的导数公式，微分中值定理（罗尔定理、拉格朗日定理），不定积分基本公式，变上限积分及其求导定理、牛顿－莱伯尼兹公式，偏导数的几何意义，极值存在的必要条件，几何级数和P级数的收敛性，级数敛散性的判定条件，直线与平面的方程，典型的二次曲面、二阶线性常微分方程解的结构。
3掌握下列运算法则和方法：求函数和数列极限的方法与运算法则，导数和微分的运算法则，复合函数求导法，初等函数一阶、二阶导数的求法，用导数判断函数的单调性及求极值方法，多元函数复合函数的偏导数求法，不定积分、定积分的换元与分部积分法，正项级数的比值审敛法，求幂级数的收敛半径和收敛区间，函数展开成幂级数的间接展开法，一阶变量可分离变量微分方程的求解，二阶常系数线性微分方程的解法。
4 应用方面：用定积分和常微分方程方法求解一些简单的几何和物理问题，用极值方法求解最大值最小值的应用问题。
（七）教学时数教学时数：136学时教学时数具体分配：（八）教学方式课堂讲授,课外习作及批改.（九）考核方式和成绩记载说明考核方式为考试。
数学分析1.2数集与确界原理
第一章实数集与函数2 数集·确界原理一、区间与邻域设a、b∈R，且a<b，我们称数集{x|a<x<b}为开区间，记作(a,b)；数集{x|a≤x≤b}称为闭区间，记作[a,b]；数集{x|a≤x<b}和{x|a<x≤b}称为半开半闭区间，记作[a,b)和(a,b]，它们统称为有限区间。
(−∞,a]={x|x≤a}，[a,+∞)={x|x≥a}，(−∞,a)={x|x<a}，(a,+∞)={x|x>a}，(−∞, +∞) ={x|−∞<x<+∞}=R；它们统称为无限区间。
设a∈R，δ>0。
满足绝对值不等式|x-a|<δ的全体实数x的集合称为点a的δ邻域，记作U(a;δ)，或简单地写作U(a)，即有U(a;δ)={ x||x-a|<δ}=(a-δ,a+δ)点a的空心δ邻域定义为U⁰(a;δ)={ x|0<|x-a|<δ}也简单地记作U⁰ (a).点a的δ右邻域U+(a;δ)=[a, a+δ)，简记为U+(a)；点a的δ左邻域U-(a;δ)= (a-δ, a]，简记为U-(a)；去除点a后的点a的空心δ左、右邻域分别简记为U⁰+(a)和U⁰-(a).∞邻域U(∞)= { x||x|>M}，其中M为充分大的正数(下同)；+∞邻域U(+∞)= { x|x>M}，-∞邻域U(-∞)= { x|x<-M}.二、有界集·确界原理定义1：设S为R中的一个数集。
若存在数M(L)，使得对一切x∈S，都有x≤M(x≥L)，则称S为有上界(下界)的数集，数M(L)称为S的一个上界(下界)。
若数集S既有上界又有下界，则称S为有界集。
若S不是有界集，则称S为无界集。
例1：证明数集N+={n|n为正整数}有下界而无上界。
证：显然，任何一个不大于1的实数都是的N+下界，故N+为有下界的数集；∀M>0，取n0=[M]+1，则n0∈N+，且n0> M，故N+为无上界的数集。
§2.数集.确界原理.
§2.数集.确界原理 一. 区间与邻域 2.邻域(neighborhood)
(5) 邻域,邻域与 邻域 : 设M是一个充分大的正数 ,则
邻域:U: x R x M ,M M ,;
邻域:U: xR x M ,M ; 邻域:U : xR x M M,.
6
§2.数集.确界原理 一. 区间与邻域
例2(P6) 设S x x为区间(0,1)中的有理数,试按上,下
[思考题](PP6 7) 证明:
(1) 设S [0,1], 则supS 1, inf S 0;
(2)
设E
1n
n
n 1,2,,
则sup E
1, 2
inf
E
1;
(3) 对于正整数集N 1,2,, 则inf N 1, 而没有上确界.
a
a
a
x
4
§2.数集.确界原理 一. 区间与邻域 2.邻域(neighborhood)
设a R, 0. (3) a的右邻域与a的空心右邻域 :
Ua; : xR a x a a,a ; U0a; : xR a x a a,a .
(4) a的左邻域与a的空心左邻域 :
Ua; : xR a x a a ,a; U0a; : xR a x a a ,a.
设a R, 0.
(1) a的邻域 : 集合 x R x a 称为以a为中心为半径的邻域 ,
简称为a的邻域,记为U a; ,即
Ua; : x R x a a , a ;
(2)a的空心邻域 : 点a的邻域去掉中心" a"后所得到的集合, 记为
U 0a; ,即
U 0a; : x R 0 x a a , a a, a .
(i)x S, x ,即是S的一个下界;
高等数学邻域的定义
高等数学邻域的定义
1. 邻域的概念
邻域是高等数学中的一个重要概念。
邻域的定义是：给定某点x，那么包含这个点的所有开区间的全体，称为x的邻域。
换句话说，邻域是指包含某个点的一些开区间的集合，它的作用在于描述该点周围的一些信息。
2. 邻域的表示方法
邻域通常用符号来表示，例如：
N(a)={x|x∈R,a-ε<x<a+ε},其中a表示所求点，ε表示取值范围。
其他表示方法还包括：
N(a,ε)=(a-ε,a+ε)表示以a为中心，长度为2ε的开区间；
N[a,ε]=[a-ε,a+ε]表示以a为中心，长度为2ε的闭区间。
3. 邻域的性质
邻域具有以下性质：
（1）邻域是含有自由度的，也就是说，对于任意一点x，其邻域的范围是可以不同的。
（2）邻域的大小取决于所求点的位置。
对于不同的点，其邻域的
大小可能会有所不同。
（3）邻域的定义涉及到开区间的概念，因此邻域本身也是开集合。
4. 邻域的应用
邻域在数学中有着广泛应用。
例如，它可以用来定义极限、连续、收敛等概念。
此外，在微积分的实际应用中，邻域也非常重要。
通过
研究邻域，我们能够更好地理解函数的性质，对于解题会有很大的帮助。
5. 总结
邻域是高等数学中的一个重要概念，通常被用来描述某个数的周
围区间范围。
它具有自由度、大小可变、是开集合等性质，并在数学
中有广泛应用。
对于学习高等数学的人来说，深入理解邻域的概念以
及其应用，将会极大地提升他们的数学水平。
大学微积分1.1区间与邻域
02
邻域的基本概念
定义及表示方法
定义
邻域是指一个点集，其中包含一个中心点和一个围绕该点的 区域。
表示方法
邻域通常用圆括号或方括号表示，例如，点x的邻域可以表示为 (x-δ, x+δ)或[x-δ, x+δ]，其中δ是邻域的半径。
左邻域和右邻域的定义
大学微积分1.1 区间与邻 域
• 区间的基本概念 • 邻域的基本概念 • 区间与邻域的关系 • 区间与邻域的应用
01
区间的基本概念
区间在数轴上的表示
区间是数轴上的一组有序数，通 常用方括号或圆括号表示。
开区间不包括端点，而闭区间包 括端点。例如，开区间(a, b)表示 所有大于a且小于b的实数，闭区 间[a, b]表示所有大于等于a且小
于等于b的实数。
半开半闭区间如(a, b]或[a, b)表 示的是开区间和闭区间的组合。
区间的运算
并集
两个或多个区间的并集是包含 所有这些区间中所有元素的集
合。
交集
两个或多个区间的交集是包含 同时属于这些区间的所有元素 的集合。
补集
对于一个集合A，A的补集是所 有不属于A的元素组成的集合。
区间运算的义
半开半闭邻域是一个区间去掉一个端点或两个端点后得到的半开或半闭区间。
半开半闭邻域的性质
半开半闭邻域具有非空性和稠密性，即任意两个不相等的半开半闭邻域内的点都可以用一条连续的曲 线连接，且半开半闭邻域内任意两点之间存在无数个点。同时，半开半闭邻域也是其所在区间的子集 。
开邻域的性质
开邻域具有连续性和稠密性，即任意两个不相等的开邻域内的点都可以用一条 连续的曲线连接，且开邻域内任意两点之间存在无数个点。
数学分析1.2数集与确界原理
第一章实数集与函数2 数集·确界原理一、区间与邻域设a、b∈R，且a<b，我们称数集{x|a<x<b}为开区间，记作(a,b)；数集{x|a≤x≤b}称为闭区间，记作[a,b]；数集{x|a≤x<b}和{x|a<x≤b}称为半开半闭区间，记作[a,b)和(a,b]，它们统称为有限区间。
(−∞,a]={x|x≤a}，[a,+∞)={x|x≥a}，(−∞,a)={x|x<a}，(a,+∞)={x|x>a}，(−∞, +∞) ={x|−∞<x<+∞}=R；它们统称为无限区间。
设a∈R，δ>0。
满足绝对值不等式|x-a|<δ的全体实数x的集合称为点a的δ邻域，记作U(a;δ)，或简单地写作U(a)，即有U(a;δ)={ x||x-a|<δ}=(a-δ,a+δ)点a的空心δ邻域定义为U⁰(a;δ)={ x|0<|x-a|<δ}也简单地记作U⁰ (a).点a的δ右邻域U+(a;δ)=[a, a+δ)，简记为U+(a)；点a的δ左邻域U-(a;δ)= (a-δ, a]，简记为U-(a)；去除点a后的点a的空心δ左、右邻域分别简记为U⁰+(a)和U⁰-(a).∞邻域U(∞)= { x||x|>M}，其中M为充分大的正数(下同)；+∞邻域U(+∞)= { x|x>M}，-∞邻域U(-∞)= { x|x<-M}.二、有界集·确界原理定义1：设S为R中的一个数集。
若存在数M(L)，使得对一切x∈S，都有x≤M(x≥L)，则称S为有上界(下界)的数集，数M(L)称为S的一个上界(下界)。
若数集S既有上界又有下界，则称S为有界集。
若S不是有界集，则称S为无界集。
例1：证明数集N+={n|n为正整数}有下界而无上界。
证：显然，任何一个不大于1的实数都是的N+下界，故N+为有下界的数集；∀M>0，取n0=[M]+1，则n0∈N+，且n0> M，故N+为无上界的数集。
第二节数集确界原理
确界原理的扩充
若把 和 补充到实数集中， 并规定一实数 a 与 、 的大小关系为 a , a , , 则确界概念可扩充为 若 S 无上界, 则定义 + 为 S 的非正常上确界，记作 sup ; 若 S 无下界, 则定义 - 为 S 的非正常下确界， 记作 inf .
相应地，前面定义2和定义3中所定义的确界分别称为正 常上、下确界. 推广的确界原理 任一非空数集必有上、下确界（正常的或非 正ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的）.
例
正整数N+有
S y y 2 x 2 , x R 的 inf , sup 2.
inf N+ =1，sup N+ = +∞.
是Ｓ的下界中最大的一个） ，则称数 为数集Ｓ 的下确界，记作 inf S .
命题 2 inf S 的充要条件： 1） 是Ｓ下界； 2） ＞0， x0 S, 有x0 ＜ .
例3 设S { x | x为区间(0,1)中的有理数}.试按上、 下确界的定义验证： sup S 1,inf S 0.
2.邻域: 设a与 是两个实数 , 且 0.
U (a) {x a x a }.
U 0 (a) {x 0 x a }.
a
a
a
x
U () {x x M }.
二 有界集 确界原理
(一)有界集
定义1 S为R中的一个数集,若 M R, x S有x M .
注1 确界若存在则必唯一 注2 S sup S inf S 注3 S 的确界可能 S 可能 S
定义4 最大数与最小数
§1.2确界
《数学分析》(1)
§1.2 数集 确界原理
四、非正常确界
1. 规定 (i ) a R, a ; (ii )若 S 无上界, 记 sup S . 若 S 无下界, 记 inf S .
2. 推广的确界原理: 非空数集必有上、下确界.
例1 sup N , inf{2n | n N } .
a
a
x
点a的去心的邻域 :
U (a； ) { x | 0 x a }
o
华北科技学院理学院
2017年11月29日星期三
4
《数学分析》(1)
§1.2 数集 确界原理
右邻域： U (a; ) [a, a ) 左邻域： U (a; ) (a , a]
• 对下确界有类似的结论.
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17
《数学分析》(1)
§1.2 数集 确界原理
定理1.1
(确界原理)
设S R, S . 若 S 有上界, 则 S 必有上确界; 若 S 有下界, 则 S 必有下确界.
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18
上确界 M 上界
M1
M2
同样, 若S 有下界, 则最大的下界称为S的下确界.
下界 m2 m1 m
下确界
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11
《数学分析》(1)
§1.2 数集 确界原理
1. 是 上 界 ； 最小上界的定义2. 小 一 点 不 再 是 上 界 .
定义2 设 S R, S . 若 R满足:
14
《数学分析》(1)
高等数学第一章预备知识ppt课件
预备知识 极限与连续 导数与微分 中值定理与导数的应用 不定积分 定积分及其应用
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6
三、重点、难点
重点:极限、导数、不定积分、应用 难点:极限、应用
四、要求
1、牢固掌握基本概念、基本理论、基本计算方法; 能熟练地用所学的方法去解决一些实际问题.
2、按质按量独立完成作业;不迟到,不缺课.
不含任何元素的集合称为空集, (记作 )
常用记号 aM, aM或aM
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13
AB (若 xA, xB,A是 B的子 ) 集 A=B (AB,且 BA)
N---自然数集 N*1,2,3,
Z---整数集
Z ---正整数集
Q---有理数集 R---实数集
R R (x ,y )x R ,y R (直积)
湖南师范大学数学与计算机科学学院
彭富连 沈竹制作
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1
《基础高等数学》
主编 彭富连 刘迪芬
湖南教育出版社
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2
前言
一、文科生学习高等数学的目的
高等数学是理科、工科、经济、管理、医学类 学生的一门先行的基础理论课；随着世界进入 信息时代，计算机日益普及,高等数学已经深入 到社会的各个领域。作为加强大学生文化素质 的一项措施, 高等数学已被列入到文科的教学计 划之内。因此, 高等数学不只是理工科学生的
oa
无限区间
x
ob
x
区间长度的定义:
两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.
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18
(4) 邻域
定义 设 a与 是两个 , 且 实 0.数
数 {xx 集 a } 称a 的 为 邻 ,点 域
点的邻域和去心邻域 -回复
点的邻域和去心邻域-回复点的邻域和去心邻域是数学分析中非常重要的概念。
在解决问题时，我们常常需要考虑某个点的周围情况，并用邻域的概念来描述。
邻域能够帮助我们从局部的角度来了解一个点的性质，而去心邻域则进一步加强了我们对点的性质的认识。
让我们一步一步地来探索这些概念。
首先，我们从点的邻域开始。
邻域是指包含某个点及其附近的所有点的集合。
换句话说，如果我们把点想象成一个中心，邻域就是以该中心为中心的一个范围。
一般来说，邻域可以用开区间、闭区间或开集合的形式表示。
考虑一个实数集合R上的点，我们用(x-δ, x+δ)来表示以x为中心，长度为2δ的开邻域。
这个开邻域中的所有点都满足x-δ< 点< x+δ的条件。
我们可以把x-δ和x+δ分别看作是邻域的下限和上限。
如果我们取一个小一点的δ值，邻域就会变得更加“紧凑”，包含的点会更少，而如果我们取一个大一点的δ值，邻域就会变得更大，包含的点会更多。
除了开邻域，我们还可以使用闭邻域。
闭邻域用[x-δ, x+δ]表示，其中x 为中心，而δ为半径。
闭邻域不同于开邻域的地方在于，它包含了边界上的点，也就是说闭邻域中的所有点都满足x-δ≤点≤x+δ的条件。
接下来，我们将讨论去心邻域。
去心邻域是在邻域的基础上去掉中心点本身。
去心邻域可以用(x-δ, x) U (x, x+δ)表示，其中x为中心，而δ为半径。
与开邻域一样，去心邻域也可以使得包含的点数目少于邻域的情况。
此外，去心邻域具有一个重要的性质，那就是它能够更好地描述点的局部特性。
去心邻域的定义排除了点本身，使我们能够更清楚地关注点周围的情况，而不被点本身的性质所干扰。
点的邻域和去心邻域在数学分析中有着广泛的应用。
它们可以用于定义函数的连续性、极限和收敛性等概念。
邻域和去心邻域的概念为我们提供了一种更具局部观察性质的方法，使得我们能够更好地理解和分析数学对象。
总结起来，点的邻域和去心邻域是数学分析中非常重要的概念。
初等函数
课堂练习
单选题
（
C ）１．下列函数为基本初等函数的是
Ａ． y 2 x 2 Ｃ． y x
e
Ｂ． y x 1
1 Ｄ． y arcsin x
2
（
C ）２．下列函数不为基本初等函数的是
Ａ． y
3
x
1 Ｂ． y 2 x
Ｄ． y
1 Ｃ． y cos x
2e
（ C ）３．下列函数为增函数的是
4、三角函数
y sin x
y tan x
y cos x
y cot x
y sec x
5、反三角函数
y csc x
y arcsin x
y arccos x
y arctan x
y arc cot x
1 x 例如， 函数 y 1 、y x 、y ( ) 都是基本初等函数， 2
(1) y x
定义域：(-, ) 值域：(-, +) 有界性：无界 单调性： (-, +) ↗ 奇偶性：奇函数
y
yx
o
x
(2) y x
2
y
y x2
定义域：(-, ) 值域：[0, +) 有界性：无界 单调性： (-,0)↘ (0,+)↗ 奇偶性：偶函数
o
x
定义域：[-1,1]
值域：[0, ]
有界性： | arccos x |
单调性： [-1, 1] ↘
奇偶性：非奇非偶
arccos( - x ) - arccos x
周期性：无
-1
o
1
x
（3）反正切函数
y arctan x
高等数学中的邻域简介
高等数学中的邻域简介曹莉;李宗学【摘要】本文介绍了邻域及其性质,并总结了邻域在高等数学中的应用,体现了邻域在高等数学中的重要作用,有助于理解高等数学中的一些基本概念.【期刊名称】《西昌学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2010(024)004【总页数】3页(P27-29)【关键词】邻域;极限;连续性;有界性;有限覆盖【作者】曹莉;李宗学【作者单位】内蒙古医学院,数学教研室,内蒙古,呼和浩特,010110;内蒙古医学院,数学教研室,内蒙古,呼和浩特,010110【正文语种】中文【中图分类】O131 邻域基础知识介绍邻域对于高等数学的研究具有十分重要的意义，正是邻域族的彼此交迭、关联，形成了一个数的统一体，使得数在其上能变活，这就是数轴给实数集带来的邻域结构特征，从而也开辟了对函数值的邻域性和“活”性认识。
如果没有邻域结构观，则很难建立起极限概念、微分概念、聚点概念等高等数学基本概念，所以说邻域对高等数学的迅速发展做出了巨大的贡献，为了更好的学习理解高等数学中的经典概念，笔者对邻域作比较详细的介绍和归纳。
下面首先介绍邻域的概念和性质：1.1 邻域的概念定义1.1.1设X=（X，d）为距离空间，x0∈X，δ＆gt;0，则集合 U（x0，δ）={x∈X|d（x，x0）＆lt;δ}称为x0的δ球形邻域。
特别地有U（x0，δ）=U（x0，δ）\{x0}，叫做x0的空心邻域．1.2 邻域的性质（X=（X，d）为距离空间）性质1.2.1邻域是集合，且满足：有限个邻域的交集还是邻域；有限个邻域的并集还是邻域。
性质1.2.2邻域可以成族。
比如可记为U（x）={Ur（x，δ）|δ＆gt;0，r∈{1，2，…，n}}。
性质1.2.3邻域可以互相交迭形成连续统空间。
设Ω⊂X为有界集，则可找到Ω上元素子集{xi}，使其邻域族{U（xi）}能覆盖Ω，即。
特别当Ω为有界闭集时，只须有限个（开）邻域{U（xi，δi）}1m即可覆盖Ω，即，这就是著名的“有限覆盖”定理。
同济大学(高等数学)_第一章_函数极限
第一篇 函数、极限与连续第一章 函数、极限与连续高等数学的主要内容是微积分，微积分是以变量为研究对象，以极限方法为基本研究手段的数学学科.本章首先复习函数相关内容，继而介绍极限的概念、性质、运算等知识，最后通过函数的极限引入函数的连续性概念，这些内容是学习高等数学课程极其重要的基础知识.第1节 集合与函数1.1 集合1.1.1 集合讨论函数离不开集合的概念.一般地，我们把具有某种特定性质的事物或对象的总体称为集合，组成集合的事物或对象称为该集合的元素.通常用大写字母A 、B 、C 、 表示集合，用小写字母a 、b 、c 、 表示集合的元素.如果a 是集合A 的元素，则表示为A a ∈，读作“a 属于A ”；如果a 不是集合A 的元素，则表示为A a ∉，读作“a 不属于A ”.一个集合，如果它含有有限个元素，则称为有限集；如果它含有无限个元素，则称为无限集；如果它不含任何元素，则称为空集，记作Φ.集合的表示方法通常有两种：一种是列举法，即把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合.例如，有1,2,3,4,5组成的集合A ，可表示成A ={1,2,3,4,5}；第二种是描述法，即设集合M 所有元素x 的共同特征为P ，则集合M 可表示为{}P x x M 具有性质|=.例如，集合A 是不等式022<--x x 的解集，就可以表示为{}02|2<--=x x x A .由实数组成的集合，称为数集，初等数学中常见的数集有：（1）全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N ，即{} ,,,3,2,1,0n N =；（2）所有正整数组成的集合称为正整数集，记作+N ，即{} ,,,3,2,1n N =+；（3）全体整数组成的集合称为整数集，记作Z ，即{} ,,,3,2,1,0,1,2,3,,,n n Z ----=；（4）全体有理数组成的集合称为有理数集，记作Q ，即⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈∈=+互质与且q p N q Z p q p Q ,,；（5）全体实数组成的集合称为实数集，记作R .1.1.2 区间与邻域在初等数学中，常见的在数集是区间.设R b a ∈,，且b a <，则 （1）开区间 {}b x a x b a <<=|),(；（2）半开半闭区间 {}b x a x b a <≤=|),[，{}b x a x b a ≤<=|],(； （3）闭区间 {}b x a x b a ≤≤=|],[；（4）无穷区间 {}a x x a ≥=+∞|),[， {}a x x a >=+∞|),(，{}b x x b ≤=-∞|],(， {}b x x b <=-∞|),(，{}R x x ∈=+∞-∞|),(.以上四类统称为区间，其中（1）-（4）称为有限区间，（5）-（8）称为无限区间.在数轴上可以表示为（图1-1）：（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）图 1-1在微积分的概念中，有时需要考虑由某点0x 附近的所有点组成的集合，为此引入邻域的概念.定义1 设δ为某个正数，称开区间),(00δδ+-x x 为点0x 的δ邻域，简称为点0x 的邻域，记作),(0δx U ，即{}δδδ+<<-=0000|),(x x x x x U {}δ<-=|||0x x x .在此，点0x 称为邻域的中心，δ称为邻域的半径，图形表示为（图1-2）：图1-2另外，点0x 的邻域去掉中心0x 后，称为点0x 的去心邻域，记作),(0δx U o，即{}δδ<-<=||0|),(00x x x x U o,图形表示为（图1-3）：图1-3其中),(00x x δ-称为点0x 的左邻域，),(00δ+x x 称为点0x 的右邻域. 1.2函数的概念1.2.1函数的定义定义2 设x 、y 是两个变量，D 是给定的数集，如果对于每个D x ∈，通过对应法则f ，有唯一确定的y 与之对应，则称y 为是x 的函数，记作)(x f y =.其中x 为自变量，y为因变量，D 为定义域,函数值)(x f 的全体成为函数f 的值域，记作f R ，即{}D x x f y y R f ∈==),(|.函数的记号是可以任意选取的, 除了用f 外, 还可用“g ”、“F ”、“ϕ”等表示. 但在同一问题中, 不同的函数应选用不同的记号.函数的两要素：函数的定义域和对应关系为确定函数的两要素.例1 求函数211x xy --=的定义域. 解x1的定义区间满足：0≠x ；21x -的定义区间满足：012≥-x ，解得11≤≤-x .这两个函数定义区间的公共部分是1001≤<<≤-x x 或.所以，所求函数定义域为]1,0()0,1[ -.例2 判断下列各组函数是否相同. （1）x x f lg 2)(=，2lg )(x x g =； （2）334)(x x x f -=，31)(-=x x x g ； （3）x x f =)(，2)(x x g =.解 （1）x x f lg 2)(=的定义域为0>x ，2lg )(x x g =的定义域为0≠x .两个函数定义域不同，所以)(x f 和)(x g 不相同.（2）)(x f 和)(x g 的定义域为一切实数.334)(x x x f -=)(13x g x x =-=,所以)(x f 和)(x g 是相同函数.（3）x x f =)(，x x x g ==2)(,故两者对应关系不一致，所以)(x f 和)(x g 不相同.函数的表示法有表格法、图形法、解析法(公式法)三种.常用的是图形法和公式法两种.在此不再多做说明.函数举例:例3 函数⎪⎩⎪⎨⎧>=<-==0,10,00,1sgn x x x x y ，函数为符号函数，定义域为R ，值域{}1,0,1-. 如图1-4：图1-4例4 函数[]x y =，此函数为取整函数，定义域为R ， 设x 为任意实数, y 不超过x 的最大整数，值域Z . 如图1-5：图1-5特别指出的是，在高等数学中还出现另一类函数关系，一个自变量x 通过对于法则f 有确定的y 值与之对应，但这个y 值不总是唯一.这个对应法则并不符合函数的定义，习惯上我们称这样的对应法则确定了一个多值函数.1.2.2 函数的性质设函数)(x f y =，定义域为D ，D I ⊂. （1）函数的有界性定义3 若存在常数0>M ，使得对每一个I x ∈，有M x f ≤)(，则称函数)(x f 在I 上有界.若对任意0>M ，总存在I x ∈0，使M x f >)(0，则称函数)(x f 在I 上无界.如图1-6：图1-6例如 函数 x x f sin )(=在),(+∞-∞上是有界的:1sin ≤x .函数 xx f 1)(=在)1,0(内无上界，在)2,1(内有界.（2）函数的单调性设函数)(x f y =在区间I 上有定义, 1x 及2x 为区间I 上任意两点, 且21x x <.如果恒有)()(21x f x f <, 则称)(x f 在I 上是单调增加的；如果恒有)()(21x f x f >, 则称)(x f 在I 上是单调递减的.单调增加和单调减少的函数统称为单调函数（图1-7）.图1-7（3）函数的奇偶性设函数)(x f y =的定义域D 关于原点对称.如果在D 上有)()(x f x f =-, 则称)(x f为偶函数；如果在D 上有)()(x f x f -=-, 则称)(x f 为奇函数.例如，函数2)(x x f =，由于)()()(22x f x x x f ==-=-，所以2)(x x f =是偶函数；又如函数3)(x x f =，由于)()()(33x f x x x f -=-=-=-，所以3)(x x f =是奇函数.如图1-8：图1-8从函数图形上看，偶函数的图形关于y 轴对称，奇函数的图形关于原点对称.(4)函数的周期性设函数)(x f y =的定义域为D . 如果存在一个不为零的数l ,使得对于任一D x ∈有()D l x ∈±, 且())(x f l x f =±, 则称)(x f 为周期函数, l 称为)(x f 的周期.如果在函数)(x f 的所有正周期中存在一个最小的正数，则我们称这个正数为)(x f 的最小正周期.我们通常说的周期是指最小正周期.例如，函数x y sin =和x y cos =是周期为π2的周期函数，函数x y tan =和x y cot =是周期为π的周期函数.在此，需要指出的是某些周期函数不一定存在最小正周期.例如，常量函数C x f =)(，对任意实数l ，都有)()(x f l x f =+，故任意实数都是其周期，但它没有最小正周期.又如，狄里克雷函数⎩⎨⎧∈∈=cQ x Qx x D ,0,1)(， 当c Q x ∈时，对任意有理数l ，cQ l x ∈+，必有)()(x D l x D =+，故任意有理数都是其周期，但它没有最小正周期.1.3 反函数在初等数学中的函数定义中，若函数)(:D f D f →为单射,若存在:1-f D D f →)(，称此对应法则1-f为f 的反函数.习惯上,D x x f y ∈=),(的反函数记作)(),(1D f x x f y ∈=-.例如，指数函数),(,+∞-∞∈=x e y x的反函数为),0(,ln +∞∈=x x y ，图像为（图1-9）图1-9反函数的性质：（1）函数)(x f y = 单调递增(减)，其反函数)(1x f y -=存在，且也单调递增（减）.（2）函数)(x f y =与其反函数)(1x fy -=的图形关于直线x y =对称.下面介绍几个常见的三角函数的反函数：正弦函数x y sin =的反函数x y arcsin =，正切函数x y tan =的反函数x y arctan =.反正弦函数x y arcsin =的定义域是]1,1[-，值域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ；反正切函数x y arctan =的定义域是),(+∞-∞，值域是⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ，如图1-10：9图1-101.4复合函数定义4 设函数f D u u f y ∈=),(，函数f g g D R D x x g u ⊂∈=值域,),(，则()()g D x x g f y x g f y ∈==),()( 或称为由)(),(x g u u f y ==复合而成的复合函数，其中u 为中间变量.注：函数g 与函数f 构成复合函数g f 的条件是f g D R ⊂，否则不能构成复合函数.例如，函数]1,1[arcsin -∈=u u y ，，R x x u ∈+=,22.在形式上可以构成复合函数()2arcsin 2+=x y .但是22+=x u 的值域为]1,1[),2[-⊄+∞，故()2arcsin 2+=x y 没有意义.在后面的微积分的学习中，也要掌握复合函数的分解，复合函数的分解原则： 从外向里，层层分解，直至最内层函数是基本初等函数或基本初等函数的四则运算.例5 对函数xa y sin =分解.解 xa y sin =由u a y =，x u sin =复合而成.例6 对函数)12(sin 2+=x y 分解.解 )12(sin 2+=x y 由2u y =，v u sin =，12+=x v 复合而成.1.5初等函数在初等数学中我们已经接触过下面各类函数： 常数函数：C y =（C 为常数）；幂函数：)0(≠=ααx y ；指数函数：)10(≠>=a a a y x且；对数函数：)10(log ≠>=a a x y a 且；三角函数：x y x y x y x y x y x y csc ,sec ,cot ,tan ,cos ,sin ======； 反三角函数：x arc y x y x y x y cot ,arctan ,arccos ,arcsin ====.这六种函数统称为基本初等函数.定义5 由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合步骤所构成的并用一个式子表示的函数，称为初等函数.例如，x e y sin =，)12sin(+=x y ，2cot xy =等都是初等函数.需要指出的是，在高等数学中遇到的函数一般都是初等函数，但是分段函数不是初等函数，因为分段函数一般都有几个解析式来表示.但是有的分段函数通过形式的转化，可以用一个式子表示，就是初等函数.例如，函数⎩⎨⎧≥<-=0,0,x x x x y ， 可表示为2x y =.习题 1-11.求下列函数的定义域.（1）21x y -=； （2）2411x xy -++=； （3）2ln 2x x y -=； （4）43arcsin -=x y ；（5）452+-=x y ； （6）2)3ln(--=x x y .2.下列各题中，函数)(x f 和)(x g 是否相同，为什么？（1）2lg )(x x f =，x x g lg 2)(=； （2）x x f =)(，2)(x x g =；（3）x x f =)(，xe x g ln )(=； （4）x xf =)(，)sin(arcsin )(x xg =.3.已知)(x f 的定义域为]1,0[，求下列函数的定义域.（1）)(2x f ； （2）)(tan x f ； （3）)0)(()(>-++a a x f a x f . 4.设()5312++=+x x x f ，求)(x f ，)1(-x f .5.判断下列函数的奇偶性.（1）x x y tan sin ⋅=； （2）()1lg 2++=x x y ；（3）2x x e e y -+=； （4）)1(3+=x x y ；（5）⎩⎨⎧>+≤-=0,10,1x x x x y .6.设下列考虑的函数都是定义在区间)0)(,(>-l l l 上的，证明： （1）两个偶函数的和是偶函数，两个奇函数的和是奇函数；（2）两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，偶函数和奇函数的乘积是奇函数.7.下列函数中哪些是周期函数？如果是，确定其周期.（1）)1sin(+=x y ； （2）x y 2cos =；（3）x y πsin 1+=； （4）x y 2cos =.8.求下列函数的反函数.（1）31-=x y ； （2）)2lg(1++=x y ；（3）x x e e y +=1； （4）),(2sin2ππ-∈=x xy ；（5）⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤<=4,241,1,2x x x x x y x .9.下列函数是有哪些函数复合而成的.（1）)13sin(+=x y ； （2）)21(cos 3x y +=；（3）))1ln(arcsin(+=x y ； （4）2sin x e y =.10.设2)(x x f =，x x ln )(=ϕ，求())(x f ϕ，())(x f f ，())(x f ϕ.第2节 极限极限在高等数学中占有重要地位，微积分思想的构架就是用极限定义的. 本节主要研究数列极限、函数极限的概念以及极限的有关性质等内容.2.1 数列的极限2.1.1 数列的概念定义1 若按照一定的法则，有第一个数1a ，第二个数a 2，…，依次排列下去，使得任何一个正整数n 对应着一个确定的数n a ，那么，我们称这列有次序的数a 1，a 2，…，a n ，…为数列.数列中的每一个数叫做数列的项。