多所高校近世代数期末考试题库[1]1

内容来自：文档资料库

多所高校近世代数题库

一、（2011 年近世代数）判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√” ，错的打“×” ；每小题1 分，共10 分）1、设A 与B 都是非空集合，那么A ∪ B = {x x ∈ A且x ∈ B}。（））））

2、A 、B 、D 都是非空集合，A × B 到D 的每个映射都叫作二元运算。设则（

3、只要f 是A 到A 的一一映射，那么必有唯一的逆映射 f

1

。

（

4、如果循环群G = (a ) 中生成元a 的阶是无限的，则G 与整数加群同构。（

5、如果群G 的子群H 是循环群，那么G 也是循环群。（）6 、近世代数中，群

G 的子群H 是不变子群的充要条件为g ∈ G , h ∈ H ; g 1 Hg H 。（）（（）））

7、如果环R 的阶≥ 2 ，那么R 的单位元1 ≠ 0 。8、若环R 满足左消去律，那么R 必定没有右零因子。

9、F ( x) 中满足条件p (α ) = 0 的多项式叫做元α 在域F 上的极小多项式。（

10、若域E 的特征是无限大，那么E 含有一个与Z

( p ) 同构的子域，这里Z 是整

（）

数环，( p ) 是由素数p 生成的主理想。

二、2011 年近世代数）单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确（答案，并将其号码写在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者，该题无分。每小题1 分，共10 分）1、设A1 , A2 , L , An 和D 都是非空集合，而f 是A1 × A2 × L × An 到D 的一个映射，

那么（

）

①集合A1 , A2 , L , An , D 中两两都不相同；② A1 , A2 , L , An 的次序不能调换；③ A1 × A2 × L × An 中不同的元对应的象必不相同；④一个元(a1 , a 2 , L , a n ) 的象可以不唯一。2、指出下列那些运算是二元运算（）a+b ①在整数集Z 上， a o b = ；②在有理数集Q 上，a o b = ab

ab ；

③在正实数集R + 上， a o b = a ln b ；④在集合{n ∈ Z n ≥ 0}上， a o b = a b 。3、o 是

整数集Z 上的二元运算，设其中a o b = max{a, b} （即取a 与 b 中的最大者），那么o 在Z 中（）

①不适合交换律；②不适合结合律；③存在单位元；④每个元都有逆元。4、设(G,o ) 为群，其中G 是实数集，而乘法o : a o b = a + b + k ，这里k 为G 中固定的常数。那么群(G,o ) 中的单位元e 和元x 的逆元分别是（①0 和x ；②1 和0；③ k 和x 2k ；）

④ k 和( x + 2k ) 。）

5、设a, b, c 和x 都是群G 中的元素且x 2 a = bxc 1 , acx = xac ，那么x = （① bc 1 a 1 ；

② c 1 a 1 ；③ a 1bc 1 ；④ b 1ca 。

6、设H 是群G 的子群，且G 有左陪集分类{H , aH , bH , cH }。如果6，那么G 的阶G =（①6；）②24；③10；④12。）

7、设f : G1 → G2 是一个群同态映射，那么下列错误的命题是（① f 的同态核是G1 的不变子群；③ G1 的子群的象是G2 的子群；

② G2 的不变子群的逆象是G1 的不变子群；④ G1 的不变子群的象是G2 的不变子群。）

8、设f : R1 → R2 是环同态满射，f (a ) = b ，那么下列错误的结论为（①若a 是零元，则b 是零元；②若a 是单位元，则b 是单位元；

③若 a 不是零因子，则b 不是零因子；④若R2 是不交换的，则R1 不交换。9、下列正确的命题是（）①欧氏环一定是唯一分解环；②主理想环必是欧氏环；③唯一分解环必是主理想环；④唯一分解环必是欧氏环。）10、若I 是域 F 的有限扩域，E 是I 的有限扩域，那么（① (E : I ) = (E : I )(I : F ) ；③ (I : F ) = (E : F )(F : I ) ；② (F : E ) = (I : F )(E : I ) ；④(E : F ) = (E : I )(I : F ) 。

三、（2011 年近世代数）填空题（将正确的内容填在各题干预备的横线上，内容填错或未填者，该空无分。每空1 分，共10 分）

1、设集合A = { 1,0,1}；B = { ,2} ，则有B × A = 1 。

2、如果f 是A 与A 间的一一映射，a 是A 的一个元，则f

[ f (a )] =a

3、设集合A 有一个分类，其中Ai 与A j 是A 的两个类，如果Ai ≠ A j ，那么

Ai I A j =空集

4、设群G 中元素a 的阶为m ，如果a n = e ，那么m 与n 存在整除关系为m|n、

5、凯莱定理说：任一个子群都同一个交换群同构。

6、给出一个5-循环置换π = (31425) ，那么π 1 =（13524）。

7、若I 是有单位元的环R 的由a 生成的主理想，那么I 中的元素可以表达∑ xi ay i , xi , y i ∈ R 。为

8、若R 是一个有单位元的交换环，I 是R 的一个理想，那么R 是一个域当且仅I 是一个最大理想。

9、整环I 的一个元p 叫做一个素元，如果p 既不是零元，也不是单位，且q 只有平凡因子。

10、若域F 的一个扩域E 叫做F 的一个代数扩域，如果E 的每一个元都是F 上的一个代数元。

四、（2011 年近世代数）改错题（请在下列命题中你认为错误的地方划线，并将正确的内容写在预备的横线上面。指出错误1 分，更正错误2 分。每小题3 分，共15 分）

1、如果一个集合A 的代数运算o 同时适合消去律和分配律（结合律和交换律0，那么在a1 o a 2 o L o a n 里，元的次序可以掉换。

2、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合G 作成一个群，如果满足G 对于乘法封闭；结合律成立、交换律成立(消去律成立）。

3、设I 和S 是环R 的理想且S=I或S= R ，如果I 是R 的最大理想，那么S ≠ 0 。

4、唯一分解环I 的两个元a 和b 不一定会有最大公因子，若d 和d ' 都是a 和b 的最大公因子，那么必有d = d ' 。

5、α 叫做域F 的一个代数元，如果存在F 的都不（不都）等于零的元a 0 , a1 , L , a n 使得a 0 + a1 + α L + a nα n = 0 。

五、（2011 年近世代数）计算题（共15 分，每小题分标在小题后）

1、给出下列四个四元置换

π1 = 1 2 3 4 , π 2 = 1 2 4 3 , π 3 = 2 1 3 4 , π 4 = 2 1 4 3

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

组成的群G ，试写出G 的乘法表，并且求出G 的单位元及π 11 , π 2 1 , π 3 1 , π 4 1 和G 的

所有子群。

2、设Z 6 = {[0], [1], [2], [3], [4], [5]} 是模6 的剩余类环，且f ( x), g ( x) ∈ Z 6 [x ] 。如果f ( x) = [3]x 3 + [5]x + [2] 、g ( x) = [4]x 2 + [5]x + [3] ，计算f ( x) + g ( x) 、f ( x) g ( x) 和

f ( x)

g ( x) 以及它们的次数。

3、群G=(a),|a|=7，求出群G 的所有子群。

六、（2011 年近世代数）证明题（每小题10 分，共40 分）1、设 a 和b 是一个群G 的两个元且ab = ba ，又设a 的阶a = m ， b 的阶b = n ，并且(m, n) = 1 ，证明：ab 的阶ab = mn 。

2、设R 为实数集，a, b ∈ R, a ≠ 0 ，令f ( a ,b ) : R → R, x a ax + b, x ∈ R ，将R 的

所有这样的变换构成一个集合G = {f ( a ,b ) a, b ∈ R, a ≠ 0}，试证明：对于变换普通的乘法，

G 作成一个群。

3、I 1 和I 2 为环R 的两个理想，设试证I 1 I I 2 和I 1 + I 2 = {a + b a ∈ I 1 , b ∈ I 2 } 都是R

的理想。4、设R 是有限可交换的环且含有单位元1，证明：R 中的非零元不是可逆元就是零因子。5、整数环Z 中，证明（3，7）=(1) 6、证明：域是欧式环。7、证明群同态定理第一条。8、R[x]条件下，做映射：f：g(x)=g(0),求证：在 f 映射下R[x]与R 同构,并求其核。