第三章随机变量的数字特征
概率论第三章部分习题解答
ydxdy.
定理1 cov(X ,Y ) E( XY ) E( X )E(Y )
定理2 若X与Y 独立，则：covX ,Y 0. 逆命题不成立。
注 设X与Y是任两个随机变量，
10
D( X Y ) D( X ) D(Y ) 2cov(X ,Y )
2、X与Y 的相关系数
定义 R( X ,Y ) cov( X ,Y )
EX
xf
xdx
1
二、二维随机变量的数学期望
（1）设二维离散随机变量(X,Y)的联合概率函数为p(xi , yj)，则
随机变量X及Y 的数学期望分别定义如下：
EX xi p xi , y j , EY y j p xi , y j .
i j
ji
即： EX xi pX xi , EY y j pY y j .
第三章 随机变量的数字特征
（一）基本内容 一、一维随机变量的数学期望
定义1：设X是一离散型随机变量，其分布列为：
X x1 x2 xi
P p( x1 ) p( x2 )p( xi )
则随机变量X 的数学期望为: EX xi pxi
i
定义2：设X是一连续型随机变量，其分布密度为 f x,
则随机变量X的数学期望为
i
j
假定级数是绝对收敛的.
（2）设二维连续随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x, y)，则
随机变量X及Y 的数学期望分别定义如下：
EX
xf
x,
ydxdy,
EY
yf x, ydxdy.
即：EX
xf X x dx,
EY
yfY y dy.
2
假定积分是绝对收敛的.
概率论第三章
一、数学期望的概念 二、数学期望的性质 三、应用实例
回
停 下
§3.1
数学期望
一、数学期望的概念
1. 问题的提出 1654年, 一个名叫梅累的骑士就“两个赌徒 约定赌若干局, 且谁先赢 c 局便算赢家, 若在一 赌徒胜a局 (a<c), 另一赌徒胜b局(b<c)时便终止 赌博, 问应如何分赌本” 为题求教于帕斯卡, 帕 斯卡与费马通信讨论这一问题, 于1654 年共同 建立了概率论的第一个基本概念 — 数学期望
因而其数学期望E(X)不存在.
§3.2 数学期望的性质 一、性质
性质3.1 设C是常数, 则有ECC. 证
E X E C 1 C C . E CX CE X .
性质3.2 设 X 是一个随机变量, C 是常数, 则有 证 E CX Cxk pk C xk pk CE X .
数学期望, 记为EX, 即
E X
xp x dx .
4. 数学期望不存在的实例
例3
设随机变量X的分布律为 1 PX n , n 1,2,, nn 1
求证: 随机变量X没有数学期望.
证 由定义, 数学期望应为
1 E X npn . n1 n 1 n 1
求EX, EY, E (Y / X ), E[( X Y )2 ]. 思考： X2的分布律？
例7 设随机变量X ~ N0,1, Y ~U0,1, Z~B5,0.5, 且X, Y, Z相互独立, 求随机变量W 2X+3Y4Z1
的数学期望.
概率论随机变量的特征
Y X2 0
149
P(Y yi ) 0.25 0.40 0.25 0.10
EY 00.25 10.40 40.25 90.10 2.30
10
2020年10月21日3时50分
山东建筑大学理学院信息与计算科学教研室
概率论与数理统计
随机变量的数字特 征
EX Y
x
y
f
x,
y dxdy
xf x, ydxdy yf x, ydxdy =EX+ EY
推论： E n Xi n EXi .
i1 i1
16
2020年10月21日3时50分
山东建筑大学理学院信息与计算科学教研室
概率论与数理统计
随机变量的数字特
征
定理 若X、Y 独立，则有： EXY EX EY
频率
12 5 40 40 40
66 40 40
该班的平均成绩为：
85
85 40 40
421
421 40 40 40
351 50 2 68 5 72 6 75 6 80 8 85 5 90 4 96 2 1001
35
1
50
2
68
5
72
6
75
6
40
80
8
85
5
90
4
96
X1
1234
pX1 xi 0.4 0.3 0.2 0.1
EX1 1 0.4 2 0.3 3 0.2 4 0.1 2
5
2020年10月21日3时50分
山东建筑大学理学院信息与计算科学教研室
概率论与数理统计
（2）设随机变量 X 2 是取球次数，则
概率统计 第3章随机变量的数字特征1节
2020/9/21
3
1. 随机变量的数学期望
(1)设有n个数x1，x2，，xn ,那么这n个数的算术平均
x
x1
x2
n
xn
i
n 1
xi
1 n
(2)这n 个数有相同,，不妨设其中有 ni个取值为 xi，i 1,, k,
其均值应为 1
n
k
ni xi
i 1
k i 1
ni n
xi
以数值xi出现的频率为权重做加 权平均
2020/9/21
12
(2)随机变量函数数学期望的计算 方法1 (定义法): g(X)是随机变量, 按照数学期望 的定义计算Eg(X). 关键: 由X的分布求出g(X)的分布. 难点: 一般g(X)形式比较复杂的, 很难求出其分布.
2020/9/21
13
方法2 (公式法):
定理 设X是一个随机变量, Y g(X), 则
k1 k1
2020/9/21
17
(4) 若X与Y相互独立，E( X )与E(Y )存在， 则E(XY ) E(X )E(Y ).
证：仅就连续随机变量情形
EXY xyf x, ydxdy
xy f X x f Y y dxdy
xf
X
x
dx
y fY y dy
2020/9/21
15
补充： 函数
( ) x 1exdx 0
函数有下列结论：
(1) ( 1) ();
(2) Γ(n 1) n !; (3) (1) (2) 1, (1) .
2
0
y12e y1 dy1
(3) 2! 2
2020/9/21
16
二、数学期望的性质
随机变量的数字特征
例 若随机变量X的概率密度为
f(x)(1 1x2), x
则称X服从柯西(Cauchy)分布。
但
|x|
f(x)d x (1| x|x2)dx 发散
所以柯西分布的数学期望不存在。
《医药数理统计方法》
§3.1
三、数学期望的性质
1、E(C)=C 2、E(CX)=C×E(X) 3、E(X±Y)=E(X)±E(Y)
n
n
3)设X1,X2,…,Xn相互独立，则 V(Xi)V(Xi)
i1
i1
V (1 n i n 1X i) n 1 2i n 1 V (X i) 1 n [1 n i n 1 V (X i)]
解：红细胞的变异系数为 C V(X1)4 0..1 27 98 16.965%
血红蛋白的变异系数为
10.2 C V(X2)117.68.673%
所以，血红蛋白的变异较大。
《医药数理统计方法》
§3.2
二、方差的性质
1、V(C)=0 证明：V(C)=E{[CE(C)]2} =E[(CC)2]=0
2、V(CX)=C2V(X) 证明：V(CX)=E{[CXE(CX)]2}
而 E (X 2 ) E (X X ) E (X )E (X ) 1 1 1
339
计算是错误的！！
《医药数理统计方法》
§3.2
§3.2 方差、协方差和相关系数
一、方差 二、方差的性质 三、其他数字特征
《医药数理统计方法》
§3.2
一、方差
例3.15 为了比较甲、乙两个专业射击运动 员的技术水平，令每人各射击5次，分别以 X1,X2表示他们射击的环数，结果如下：
即
E(X) xf(x)dx
三章随机变量的数字特征 67页PPT
令 tx
tet2 2d;t 2
三.随机变量函数的期望
EX1：设随机变量X的分布律为
X -1 0 1
Pk
1 3
1 3
1 3
求随机变量Y=X2的数学期望
解: Y 1 0
Pk
2 3
1 3
E(Y)12012 3 33
定理1 若 X~P{X=xk}=pk, k=1,2,…, 则Y=g(X) 的期望E(g(X))为(p77)
刻随机地到达车站，求乘客的平均候车时间
解:设乘客于某时X分到达车站,候车时间为Y,则
10 X
Y
g(X)
3505
X X
70 X
0 X 10 10 X 30 30 X 55 55 X 60
fX
(x)
1 60
0x60
0 others
1 60
E(Y)600 g(x)dx
第三章 随机变量的数字特征
随机变量的数学期望 随机变量的方差 随机变量的协方差和相关系数 大数定律 中心极限定理
3.1数学期望
一.数学期望的定义 数学期望——描述随机变量取值的平均特征 例1 设某班40名学生的概率统计成绩及得分 人数如下表所示： 分数 40 60 70 80 90 100 人数 1 6 9 15 7 2 则学生的平均成绩是总分÷总人数(分)。即
E{X22X YY2} {E [(X)2]2[E(X)]E[(Y) ][E(Y)2]}
D(X)D(Y) 2E(XY )2E(X)E(Y) X与Y独立 E (X) Y E (X )E (Y )
D (X Y ) D (X ) D (Y )
n
n
若 X 1,.X .n独 . 立 D ( ， X i)则 D (X i)
工程数学概率 第三章(一)
求：一次游戏平均得多少钱？
机动
目录
上页
下页
返回
结束
解： 假设做了n次游戏，
每次平均得：
当n很大时，
定义1 定义1 设离散型随机变量X 的分布律为
P{X = xk } = pk , (k =1 2,3,L , )
若级数
∑x p 绝对收敛 ，
k= 1 k k
∞
∞
则称此级数的和为X 的数学期望 数学期望。 数学期望 简称期望或均值 期望或均值，记为 E(X). 期望或均值 即 E(X) = ∑xk pk
0 0
1 = ≠ E(X)E(Y) 3
机动 目录 上页 下页 返回 结束
三、数学期望的性质 1. 设C 是常数，则E(C )=C ; 2. 若C 是常数，则E(CX ) = CE(X ); 3. E(X +Y) = E(X) + E(Y) 证明: 设 ( X.Y) ~ f ( x, y)
∞∞
E(X +Y) = ∫ ∫ (x + y) f (x, y)dxdy
第三章 随机变量的数字特征
一、数学期望 二、方差 三、协方差和相关系数 四、矩和协方差矩阵
第一讲 数学期望
一 、数学期望的概念 二、随机变量函数的数学期望 三、数学期望的性质
第三章
机动
目录
上页
下页
返回
结束
一、数学期望的概念
引例： 引例：某人参加一个掷骰子游戏，规则如下： 掷得点数 获得(元) 1点 1 2,3点 2 4,5,6点 4
∞
−∞
−∞
推广： 推广： [∏Xi ] = ∏E(Xi ) （当Xi 独立时） E
例1、 、 任意掷5颗骰子，X—5颗骰子出现的点数之和,求E(X). 解：
随机变量的数字特征
随机变量的数字特征随机变量是概率论中的重要概念，描述了在一定概率分布下可能取得的不同取值。
在实际问题中，我们常常需要对随机变量的数字特征进行分析，以揭示其分布规律和潜在规律。
本文将介绍随机变量的数字特征及其应用。
1. 期望值期望值是描述随机变量平均取值的一个重要数字特征。
对于离散型随机变量，期望值的计算公式为：$$ E[X] = \\sum_{i} x_i \\cdot P(X = x_i) $$其中，X表示随机变量，x i为X可能取得的值，P(X=x i)为X取值为x i的概率。
对于连续型随机变量，期望值的计算公式为：$$ E[X] = \\int_{-\\infty}^{\\infty} x \\cdot f(x) dx $$其中，f(x)为X的概率密度函数。
2. 方差方差是描述随机变量取值分散程度的数字特征。
对于离散型随机变量，方差的计算公式为：Var[X]=E[(X−E[X])2]对应连续型随机变量的方差计算公式为：$$ Var[X] = \\int_{-\\infty}^{\\infty} (x - E[X])^2 \\cdot f(x) dx $$3. 协方差协方差描述了两个随机变量之间的线性相关性。
对于两个随机变量X和Y，其协方差的计算公式为：Cov[X,Y]=E[(X−E[X])(Y−E[Y])]协方差的正负值表示了两个随机变量的相关性程度，当协方差为正时，表示两个随机变量正相关，为负时表示负相关。
4. 相关系数相关系数是协方差标准化后的结果，用以衡量两个随机变量之间的线性相关性强弱。
相关系数的计算公式为：$$ \\rho_{X,Y} = \\frac{Cov[X,Y]}{\\sigma_X \\cdot \\sigma_Y} $$其中，$\\sigma_X$和$\\sigma_Y$分别为X和Y的标准差。
相关系数的取值范围在-1到1之间，绝对值越接近1表示相关性越强。
5. 大数定律大数定律是概率论中的一个重要定理，指出在独立重复试验中，随着试验次数的增多，样本平均值将趋近于总体期望值。
第3章随机变量的数字特征_答案_
第3章随机变量的数字特征_答案_第3章随机变量的数字特征⼀.填空题1.(90-1-2)已知随机变量X 服从参数为2的泊松分布22{},0,1,2...!k P X k e k k ?===则随机变量32Z X =?的数学期望E (Z)= (4)解: ()()()()~(2), 2,32323224X P E X E Z E X E X ==?=?=×?=2.设随机变量X 的密度函数为+=0)(B Ax x f 则且其它,127)(,10=≤≤X E x A =_____,B =______. (1,1/2)解:1()112f x dx A B +∞∞=?+=∫, 7117()123212EX xf x dx A B +∞∞==?+=∫, 11,2A B ∴==3. (92-1-3)已知随机变量X 服从参数为1的指数分布, 则数学期望()2XE X e+= (4/3)解:()()()()222300, 011~(1), 1, , 330, 0x X x x x x e x X E E X f x E e e f x dx e e dx e x ?+∞+∞+∞∞?>=====?=?≤?∫∫ ()211/34/3X E X e ?+=+=4.(95-1-3)设X 表⽰10次独⽴重复射击命中⽬标的次数，每次射中⽬标的概率为0.4，则2x 的数学期望()2E X= (18.4)解:()()()()()()222~(10,0.4),100.44,(1)100.410.4 2.4, 2.4418.4X B E X D X np p E X D X E X =×==?=×?==+=+=5. (99-4-3)设~(),X P λ已知[(1)(2)]1E X X ??=,则λ= (1) 解:()()()()()222~(),,,X P E X D X E XD XE X λλλλλ===+=+,222[(1)(2)][132)]()3()2211E X X E X X E X E X λλλ??=?+=+=?+=?=?6. (95-4-3)设X 是随机变量，其概率密度为1,10()1, 010,x x f x x x +?≤≤??=?<≤,则⽅差DX 为 (1/6)解:()()00110123231100101111(1)(1)02323E X xf x dx x x dx x x dx x x x x +∞∞?==?++??=++?=∫∫∫()()0011012222343411001011111(1)(1)34346E X x f x dx x x dx x x dx x x x x +∞∞?==?++??=++?=∫∫∫()()()221/601/6D X E X E X =?=?=7.(90-4-3)设随机变量X 和Y 独⽴,~(3,1),~(2,1)X N Y N ?,则27, Z ~Z X Y =?+ (0,5)N 解:()()2()732270,()()4()145~(0,5)E Z E X E Y D Z D X D Y Z N =?+=??×+==+=+=∴8.设两个相互独⽴的随机变量X 和Ｙ均服从(1,1/5)N ,若随机变量X aY ?满⾜条件2()[()]D X aY E X aY ?=?，则a = . (1) 解:()0,()()01101E X aY E X aE Y a a ??=??==?=9.(03-3-4) 随机变量 X 与Y 的相关系数为0.9,若0.4Z X =?则Y 与Z 的相关系数为 (0.9) 解:()()0.4,,cov(,)cov(,0.4)cov()cov(),Z X D Z D X Y Z Y X Y X X Y =?==?==,,0.9YZ ρ===10.(03-4-4)设随机变量X 和Y 的相关系数为0.5，2202EX EY EX EY ====，，试求2E X Y +（）= (6) 解: 2202EX EY EX EY ====∵，，()()()222,D X E X E X ∴=?= ()()()222D Y E Y E Y =?=0.5,0 ()0.51XY XY EX EY E XY ρρ====?===222222)2()()2226E X Y E X XY Y E X E XY E Y +=++=++=++=（）（）（⼆.选择题1.(91-3-3)若随机变量X 与Y 的协⽅差()()()E XY E X E Y =，则下列结论必正确的是( ). 解B (A ) ()()()D XY D X D Y =; (B ) ()D X Y DX DY +=+; (C ) X 与Y 独⽴; (D ) X 与Y 不独⽴2.若随机变量X 与Y 的协⽅差(,)0Cov x y =，则下列结论必正确的是( ). 解C (A ) X 与Y 独⽴; (B )()()()D XY D X D Y =; (C )()D X Y DX DY +=+; (D )()D X Y DX DY ?=?.3.(90-4-3)已知()()~(,), 2.4, 1.44X B n p E X D X ==则,n p 的值( ). 解B (A )4,0.6n p ==; (B ) 6,0.4n p ==; (C ) 8,0.3n p ==; (D ) 24,0.1n p ==. 解:()()1.44, 2.4,1 1.44/2.40.60.4,6D X npq E X np q p p n =====?==?==4.(97-1-3)设两个相互独⽴的随机变量X 和Y 的⽅差为4和2,则随机变量32X Y ?的⽅差是( ) 解D (A) 8; (B)16; (C)28; (D)44 分析: ()329()4()944244D X Y D X D Y ?=+=×+×=5.(95-3-3)设随机变量X,Y 独⽴同分布,记,U X Y V X Y =?=+,则U 和V 必然( ) 解D (A )独⽴; (B)不独⽴; (C ) 相关系数不为0; (D )相关系数为0. 分析: X,Y 独⽴同分布,()(),D X D Y =cov(,)cov(,)cov(,)cov(,)cov(,)cov(,)()()00U V X Y X Y X X X Y Y X Y Y D X D Y ρ=?+=+??=?=?=6.(08-1,3,4-4) (0,1),(1,4),1XY X N Y N ρ=～～，则（）. 解D (A)(21)1P Y X =??=. (B)(21)1P Y X =?=. (C)(21)1P Y X =?+=.(D)(21)1P Y X =+=. 分析:,1,0XY Y aX b a ρ=+=∴>,排除A,C,()0,()1,()101E X E Y EY aE X b a b b ===+?=?+?=∵,选D三.计算题 1. 设随机变量X 的分布函数()0, 10.2, 100.5, 011, 1x x F x x x，求EX ，DX （0.3，0.61）解：分析，由()F x 是离散型的分布函数，先求分布律（直接计算分段点的跳跃度（值差）即可）()10.210.50.3EX =?×+×=，()22210.210.50.7EX =?×+×=，2220.70.30.61DX EX E X =?=?=2. 若已知是分布函数()0, 10, 011, 1x F x x x x ?≤=≤，求EX ，DX （1/2，1/12）(思考：如何判别分布函数()F x 是离散型还是连续型？)解：分析，由()F x 是连续型的分布函数，先求导数，()1, 01'()0, x F x f x ≤其他，1120 011122EX x dx x =?==∫， 112230 011133EX x dx x =?==∫，2221113212DX EX E X ??=?=?=3.(89-4-3)设随机变量2123~(0,6),~(0,2),~(3)X U X N X P 相互独⽴，令32132X X X X +?=,求EX ,DX (12, 46) 解:12306 ()()2()3()2033122E X E X E X E X +=?+=×+×= 22123(60)()()4()9()42934612D X D X D X D X ?=++=+×+×=4、设[]~2,6X U ，对X 进⾏20次独⽴观测，Y 表⽰20次观测值中事件{}5X >发⽣的次数，求()2 YE （115/4）.解：[]~2,6X U ，()1, [2,6]40, x f x ?∈?=其他，{} 6 511544P X dx >==∫.，据题意 (,)Y B n p ～，120,4n p == 1315205,5444EY np DY npq ==×===×=，()222153528E Y DY E Y =+=+= 5.(02-4-3) 已知随机向量(X ,Y )的联合分布律为,求,,(,),EX DX Cov X Y xy ρ (0.6,0.24,0,0)X -1 0 11/3 0.2 0.3 0.5解:0.6,EX =20.6,EX =220.60.360.24DX EX E X =?=?=,()10.1510.350.2EY =?×+×=(1,1)(1,1)()0.080.20.12E XY xy xy ?=×+×=, (,)0,0xy Cov X Y ρ=∴= 6、已知随机变量),(Y X 服从区域()}{,01,D x y x x y x =<解：依题意，()11, (,),0, x y Df x y d ?=∈?=其他（注意，函数区间利⽤⼆重积分计算）2222(,((,EX xf x EX x f DX EX E X EY yf x y +∞+∞∞∞+∞+∞∞∞+∞∞===?==∫∫∫∫∫()(,EXY xyf Cov X Y EXY +∞+∞∞∞==?∫∫∫7. (05-1,3,4-9)设⼆维随机变量 (X,Y) 的密度函数为()1,01,02,0,x y xf x y <<<其他 1)求边缘概率密度()X f x ,()Y f y . 2)判断X,Y 的独⽴性(补). 3)判断X,Y 的相关性(补解: 1) 01 x <<，()()20,12xX f x f x y dy dy x +∞∞===∫∫2, 01()0, X x x f x <02y <<,()()1/2,112Y y y f y f x y dx dx +∞∞===?∫∫,1, 02()20, Y yy f y ??<2) 显然(,)()()X Y f x y f x f y ≠?,X Y ∴，不独⽴.3) 121122002()(,)23E X xf x y dxdy xdxdy x y dx x dx +∞+∞∞∞=====∫∫∫∫∫∫, 1211222000012()(,)223xx E Y yf x y dxdy ydxdy y dx x dx +∞+∞∞∞=====∫∫∫∫∫∫1211223000011()(,)222xx E XY xyf x y dxdy xydxdy x y dx x dx +∞+∞∞∞=====∫∫∫∫∫∫显然(,)()()()0Cov X Y E XY E X E Y =?≠∴Y X ,相关.8. (07-1,3,4-11)设⼆维随机变量 (X,Y) 的密度函数为()2,01,01,0,x y x y f x y ??<<<其他1) 求{2}P X Y >, 2)判断X,Y 的独⽴性(补), 3)判断X,Y 的相关性(补) (7/24, 不独⽴.相关) 解1) ()1/220001{2}2(2)2x x P X Y x y dxdy y xy y dx >==∫∫∫1205157()822424x x dx =?=?=∫ 2)112001301()(,)(2)(2)22X x f x f x y dy x y dy y xy y x +∞∞≤≤==??=??=?∫∫，,3/2, 01()0, X x x f x ?≤≤?∴=??其他112001301,()(,)(2)(2)22Y y f y f x y dx x y dx x x xy y +∞∞≤≤==??=??=?∫∫3/2, 01()Y y y f y ?≤≤?∴=?显然(,)()()X Y f x y f x f y ≠?, X Y ∴，不独⽴3)1123003315()()()()24312X E X xf x dx x x dx x x +∞?∞==?=?=∫∫,1123003315()()()()24312Y E Y yf y dy y y dy y y +∞?∞==?=?=∫∫11111222320000011211()(,)(2)()()23326E XY xyf x y dxdy xy x y dxdy xy x y xy dx x x dx +∞+∞∞∞==??=??=?=∫∫∫∫∫∫ (,)()()()0Cov X Y E XY E X E Y =?≠X Y ∴，相关. 9.(94-1-6)设22~(1,3),~(0,4),X N Y N 且1,2XY ρ=?设32X YZ =+，1)求(),().E Z D Z 2)求XZ ρ,3)问X,Z 是否相互独⽴?为什么? (1/3, 0, 独⽴) 解:1) 22~(1,3),~(0,4),X N Y N 1,2XY ρ=?32X Y Z =+111()()()323E Z E X E Y ?=+= 1(,)3462Cov X Y ρ==?××=?,111111()(,)916(6)3943943D Z DX DY Cov X Y ∴=++=×+×+?=2)111111(,)(,)(,)()(,)9(6)032323232X Y Cov X Cov X X Cov X Y D X Cov X Y +=+=+=?+?=cov ,0XZ X Z ρ∴==3) X,Z 相互独⽴0XZ ρ?=(⼆维正态独⽴的充要条件)10.飞机场送客汽车载有20位乘客，离开机场后共有10个车站可以下车，若某个车站⽆⼈下车则该车站不停车。
随机变量的数字特征
使用这种方法必须先求出随机变量函数g(X ) 的分布，一般是比较复杂的 . 那么是否可以不先求g(X )的分布而只根据 X 的分布求得 E[g(X )] 呢？ 下面的基本公式指出，答案是肯定的.
20
类似引入上述EX 的推理，可得如下的基本公式: 设X 是一个随机变量，Y =g(X )，则
∞ 散 ∑g(xk ) pk , X离 型 EY = E[g( X )] = k=1 +∞ g(x) p(x)dx, X连 型 续 ∫−∞ 当X 为离散型时, P( X = xk ) = pk ;
−λ x
d(−λx) = −∫0 x de
+∞
−λ x
=
1
λ
18
∵ λ = 0.002
∴ EX = 500
小时。
三、随机变量函数的数学期望 问题的提出： 1. 问题的提出： 设已知随机变量X 的分布， 我们需要计算的不是X 的期望，而是X 的某个函数g(X)的期望. 那么应该如何计算呢？ 一种方法是，因为g(X )也是随机变量， 故应有概率 分布，它的分布可以由已知的X 的分布求出来. 就可以按照期望的 一旦我们知道了g(X )的分布， 定义把 E[g(X )] 计算出来.
E( X2 ) =8×0.1+ 9×0.5+10×0.4 = 9.3
因此乙的平均环数比甲的多， 因此乙的平均环数比甲的多， 即乙射手比甲射手的成绩好。 即乙射手比甲射手的成绩好。
15
二、连续型随机变量的数学期望 定义2 定义2 设连续型随机变量X 的概率密度为 p(x) . 如果 则称
∫
x p(x)dx 绝对收敛， 绝对收敛， −∞
n n
推广: E(∑Xi ) = ∑EXi
随机变量的数字特征
2
矩存在的条件： 若一随机变量的各阶绝对矩都存 在，则它相应的各阶矩都存在。
3
一维随机变量的矩 原点矩 中心矩
4
一维随机变量的原点矩
k 阶绝对原点矩 E X k
若 E X k p k 0, 1, 2,
⑵ DX EX 2 EX 2 ； ⑶ DC X DX ； ⑷ DCX C2DX ； ⑸ D X1 X 2 L X n DX1 DX 2 L DX n，
X i 相互独立；
12
二维随机变量的原点矩
联合原点矩 E X kY l
k 0时， EY l 是随机变量 Y 的 l 阶原点矩 l 0时， EX k 是随机变量 X 的 k 阶原点矩 k 1, l 1时， EXY RXY 是随机变量 X 和Y 的互相关
18
为简化运算，使算法更稳定，将得到的观 测数据进行预处理。数据预处理由两部分 组 成 ： 中 心 化 （ centralized ） 和 预 白 化 （prewhitening）。
中心化（观测数据），即从观测数据中减 去其均值得到零均值向量。
中心化观测数据后，为去除各观测分量之 间二阶统计相关，要对进行预白化。白化， 即将线性变换为一个新的向量，的各个分 量互不相关且方差为1。
p 0，则称 X 和Y 负相关；
⑸当 X 和Y 均服从高斯分布时， X 和Y 不相关等价于 X 和Y 独立。
21
不相关与独立的关系
若随机变量 X 和 Y 相互独立，则 X 和 Y必定互不相关。
X 和 Y 互不相关，则 X 和Y不一定相 互独立。
若两个随机变量的联合矩对任意n和k 有 E X nY k E X n • E Y k
第三章 随机变量的数字特征
第三章 随机变量（向量）的数字特征
§3.1 随机变量的数学期望 §3.2 随机变量的方差 §3.3 协方差与相关系数
为了完整的描述随机变量的统计特性，自然应该知道 其分布函数，因为随机变量的分布函数可以反映随机变量 取值的规律。但是在实际问题中，一方面随机变量的分布 或分布函数并不都是容易求得的，另一方面，往往也不需 要知道随机变量的详尽的概率分布，而仅需要知道其某些
四、随机变量函数的数学期望 1. 一元随机变量函数的情况 设Y g( X )是随机变量 X的函数， （1）离散型
如果随机变量X 的概率函数为 P{ X xk } pk k 1, 2, 则有E (Y ) E[ g ( X )] g ( xk ) pk
k 1
（2）连续型
x2
1 n
Pk
n
… xi … 1 n
… xn … 1 n
E ( X ) x1 1 x2 1 ... xn 1 1 xi n n n n
i 1
2.两点分布 由数学期望的定义
E( X ) p
X pi
0
1
q
p
3. 二项分布 若随机变量 X ~ B(n, p) ，其概率函数为
xR
( x )2 2 2
1 E ( X ) xf ( x)dx xe 2 t2 (x ) 1 令t ( t )e 2 dt 2 t2 1 e 2 dt 2
dx
解：由上面的公式
1 1 2 E (W ) kv f (v)dv kv dv ka a 3 0
2 2 a
例3.6 设X与Y相互独立，它们的概率密度函数分别为
概率论与数理统计第3章随机变量的数字特征2-5节精品文档
1
D(X ) 21002
1
7002 21002
1 (1)2 3
8. 9
即P(5200X9400)8. 9
2019/10/16
n
n
D( CiXi) Ci2D(Xi).
i1
i1
(4) 对于任意实数C∈R，有 （书P93. 8题）
E ( X-C )2≥D( X )
当且仅当C = E(X)时, E ( X-C )2取得最小值D(X).
2019/10/16
19
求证
E ( X-C )2≥D( X )
证： E(XC)2 E {X [E]X [E X C )]2}
证: D(C)E{C [E(X)2 ]}E{C [ C]2} 0.
(2 )若 D (X )存则 在 D (C) , X C 2D (X )C ,为； 常
证: D(CX) E{C [ X E(C)X2]}
E{C [ X C(E X)2]} E{C2[XE(X)2 ]}
C2E{X [E(X)2]}C2D(X).
复习: 数学期望
它反映随机变量取值的平均水平，是随机变量的 一个重要的数字特征.
EX xk pk, k1
X离散型
E X xf(x )d x,
X 连 续 型
EYE[g(X)]
g(xk)pk,
k1
X离散型
g(x)f(x)dx, X连续型
2019/10/16
0
E(X 2)
函数有下列结论：
(1 ) (1 ) ();
(2Γ()n1 )n!;
tx
1
2
t2etdt
(精品)概率论课件：随机变量的数字特征
数学期望 方差 协方差、相关系数 其它数字特征
1
问题的提出：
在一些实际问题中，我们需要了解随机变 量的分布函数外，更关心的是随机变量的 某些特征。
2
例： 在评定某地区粮食产量的水平时，最关心的是平 均产量； 在检查一批棉花的质量时，既需要注意纤维的平 均长度，又需要注意纤维长度与平均长度的偏离 程度； 考察杭州市区居民的家庭收入情况，我们既知家 庭的年平均收入，又要研究贫富之间的差异程度。
k 1
k 1
的值为X的数学期望，记为E(X)，即
E( X ) xk pk k 1
6
定义：设连续型随机变量X的概率密度
函数为f(x)，若积分
+
x
f (x)dx ,
则称积分
+
xf (x)dx
的值为X的数学期望，
记为E(X)，即
+
E( X ) xf (x)dx
数学期望简称期望，又称均值。
7
n
n
E(c0 ci X i ) c0 ci E( X i )
i 1
i 1
31
4.设X,Y是相互独立随机变量, 则有 E(XY)=E(X) E(Y),
推广到任意有限个相互独立随机变量之积：
n
n
E( i 1
X
i
)
i 1
E(
X
i
),
其中Xi，i 1,..., n相互独立.
32
证明：
1. C是常数，P(X C) 1, E(X ) E(C) 1C C
33
4. E(XY )
xyf (x, y)dxdy
xyfX (x) fY ( y)dxdy
随机变量的数字特征
随机变量的数字特征
随机变量的数字特征包括均值、方差、标准差、偏度和峰度等。
其中，均值是衡量随机变量中心位置的指标，是所有取值的平均数；方差是随机变量离均值的距离平方的平均数；标准差是方差的算术平方根，也是随机变量离均值距离的度量，具有与随机变量相同的量纲；偏度是随机变量概率分布的偏斜程度，为其分布的非对称程度的度量；峰度则是随机变量概率分布的尖锐程度，衡量随机变量的概率分布在平均值附近的峰值高低。
可以通过计算公式来求解以上数字特征，例如均值的计算公式为所有取值的总和除以取值的数量；方差的计算公式为将每个取值与均值的差值平方后的总和除
以取值的数量；标准差的计算公式则是方差的算术平方根；偏度的计算公式为三阶中心矩与标准差的比值；峰度的计算公式为四阶中心矩与标准差的四次幂的比值。
了解随机变量的数字特征有助于描绘随机变量的特征与规律，进而分析和预测其行为。
同时，对于特定应用领域，也需要针对性地选择数字特征进行分析，以
更好地满足应用的需求。
概率论与数理统计-CH3LX
P{X m} C1m0 pm (1 p)10m
C1m0 0.4m 0.610m (m 0,1,2,10)
EX 2
10
m2C1m0
pm
(1
p)10m
m0
10
m2C1m0 0.4m 0.610m （比较繁）
m0
或由于 DX EX 2 ( EX )2 ，EX np 10 0.4 4
二．选择题
1．对于r v X 、Y ，若 EXY EX EY 则（ B）。
( A) D( XY) DX DY
(C ) X 与Y 独立
( B ) D( X Y) DX DY ( D) X 与Y 不独立
分析：因为由 EXY EX EY 知协方差为零。
2．设X 与Y 独立同分布，记U X Y ，其他EX 源自f (x, y)dxdyG
EX 2 x2 f (x, y)dxdy
G
201 xdx11x dy
2 3
201 x2dx11x dy
1 2
DX EX 2 (EX )2 1 同理 EY 2 ； DY 1 。
18
3
18
EXY 2xydxdy 012xdx11x ydy 5 /12
2 3
EX 2
01 2 x 3 dx
1 2
DX EX 2 (EX )2 1 18
同理可得 EY 2 ；DY 1 。
3
18
于是
EXY
G
2xydxdy
01 2 xdx11 x
概率论与数理统计-jxhd3-1
求 r.v Y X 2 的数学期望EY 。
解：由于X 由上章例 2-22
的概率密度为 的结果
f
X
(
x)
1， 0
0，
x 其它
1，
fY ( y) 2 1 y [ f X ( y ) f X ( y )] ( y 0)
此时 fX (
y) 0, fX(
y)
1,即
fY
(
否则，称 X 的数学E期X 望= 不存xf 在( x。)dx
（3-2）
否则，称 X 的数学期望不存在。
例 3-1 设 r v X 服从（0-1）分布，求 X 的数学
期望 EX 。
解：由定义 3-1 知，X 的数学期望
EX xk pk 1 p 0 (1 p) p
例 3-3 设 r v X 在[a，b]上服从均匀分布，求 EX 。
解：由定义 3-1 知，X 的数学期望
EX
xf (x)dx
b
a
x
b
1
a
dx
ab 2
例 3-4 设r v X 服从指数分布，其概率密度为
f
(x)
ex，
0，
x x
0 ,其中
0
分析：依题意，进货量 X 与需求量Y 都服从[10， 20]上的均匀分布，因此其概率密度为
f
(x)
1 ， 10
10
x
20
0， 其 它
由 X 与Y 相互独立知，X 与Y 的联合概率密度为
f
( x，y )
1 ， 100
10
医药数理统计-6
EX
10000
1
0.99910
1 10
1100
10000
中位数、众数和分位点
定义
设连续型随机变量X 的分布函数为F( x) ,
则满足条件 P(X m) F(m) 1 2
的数 m 称为 X 或分布函数 F(x) 的中位数
定义 设 0 p 1 , 如果 P(X p) p , P(X p) 1 p
4. 数学期望的性质
1. 设C为常数，则有E(C)=C．
证 可将C看成离散型随机变量，分布律为 P{X=C}=1，故由 定义即得E(C)=C.
2. 设C为常数，X为随机变量，则有E(CX)=CE(X)．
证 设X的密度函数为 f (x) ，则有
E(CX )
Cxf (x)dx C
dx aba
ab 2
指数分布
已知 X ~ E(), ( 0), 求数学期望 EX
解:
概率密度函数为：
ex
f (x) 0
x x
0 0
( 0)
则 E X
xf (x) dx=
xex dx =
xdex
0
0
= xex
方差的定义
定义1 若E [X - E(X)]2 存在, 则称其为随机 变量 X 的方差, 记为V (X ) 或 Var (X ) 即 V(X ) = E [X - E(X)]2 称 V(X ) 为 X 的均方差或标准差.
两者量纲相同
D(X ) —— 描述 随机变量 X 的取值偏离
平均值的平均偏离程度—— 数
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
互独立 ).
Xi ,
解
引入随机变量
0, Xi 1,
则
在第 i 站没有人下车 在第 i 站有人下车
, ,
i 1 , 2 , ,10 .
X X 1 X 2 X 10 .
9 则有 P { X i 0 } 10
20
9 , P { X i 1} 1 10 i 1 , 2 , ,10 . , i 1,2 , .
e
2
dt
σ
2
te
2
dt
例10：设连续型随机变量
x ~ f ( x ) 2 x 0 0 x 1 1 x 2 其它
求
E
E
xf ( x ) dx x
x dx
x ( x ) dx
三、数学期望的性质
(1) 设 C 为常数，则有 E ( C )
E ( CX ) CE ( X )
C
(2) 设 X 是一个随机变量，C 为常数，则有
(3)设 X1，X2, …,Xn 是 n 个随机变量， a 1 , a 2 , , a n 为实数，则有
E ( a i X
i1 n i
)
20
,
由此
得
9 E(Xi) 1 10
20
E ( X ) E ( X 1 X 2 X 10 )
E ( X 1 ) E ( X 2 ) E ( X 10 )
10 1
9 10
20
8 . 784 ( 次 ).
E ( f ( X ))
f ( x ) p( x ) d x .
3. 二维随机变量函数的数学期望
( 1 ) 设 X , Y 为离散型随机变量 数 ,则 E [ f ( X , Y )] , f ( x , y ) 为二元函 f ( x i , y j ) p ij .
i j
其中 ( X , Y ) 的联合概率分布为
1. 离散型随机变量函数的数学期望
若X为离散型随机变量，分布律为
P { X x k } pk , ( k 1 , 2 , ),
Y=f(X)为X的函数
则 Y 的期望为
E ( f ( X ))
f ( x k ) pk .
k 1
2. 连续型随机变量函数的数学期望
若 X 是连续型的,它的分布密度为 p(x) 则
a
i1
n
i
E(X
i
)
(4) 设 X，Y 是相互独立的随机变量，则有
E ( XY ) E ( X ) E ( Y )
例4* 一民航送客车载有
旅客有 10 个车站可以下车 有旅客下车就不停车
20 位旅客自机场开出 . 如到达一个车站没
,
,以 X 表示停车的次数 下车是等可能的
,求 ,
E ( X )( 设每位旅客在各个车站 并设各旅客是否下车相
p ij .
( 2 ) 设 X , Y 为连续型随机变量 数 ,则
, f ( x , y ) 为二元函
E[ f ( X , Y )]
f ( x , y ) p( x , y ) d x d y .
其中 ( X , Y ) 的联合概率密度为
p ( x , y ).
例1
设 r . v X 的分布律为
例3 泊松分布
设 X ~ P ( ), 且分布律为
P{ X k}
k
e
,
k 0 ,1 , 2 , ,
0.
k!
则有
E(X )
k k! e
k 0
k
e
( k 1 )!
k 1
k 1
e
e
.
例4 几何分布
试求 ， 的数学期望。
解：由定义知：
E ( )
( x y ) p ( x , y ) dxdy
( x y ) dxdy
E ( )
xyp ( x , y ) dxdy
四、小结
1. 数学期望是一个实数, 而非变量,它是一种加权 平均, 与一般的平均值不同,它从本质上体现了 随机变量 X 取可能值的真正的平均值.
2. 数学期望的性质
1 0 0 2 0 3 40 E (C ) C ; E ( CX ) CE ( X ); E ai X i
xy ( x y ) dxdy
例3:设 ( X , Y ) 服从区域A上的均匀分布，A 为由直线
x 0, y 0 及 x y 2 1 所围的三角形区域，求 E
X , E Y , E X Y .
解: ( X , Y )
因此
E(X )
的概率密度为
x 0
0
x e
x
d x
1
xe
0
e
x
d x
.
例9 正态分布
设 X ~ N ( μ , σ ), 其概率密度为
2
p( x )
1 2 σ
(x μ) 2σ
2
2
e
,
σ 0,
x .
则有
E(X )
xp ( x ) d
a b a x d x
b
1
结论 均匀分布的数学 期望位于区间的中点.
例8 指数分布
设随机变量 X 服从指数分布 x 0, x 0. , 其概率密度为 其中 0 . e x , p( x ) 0,
则有
E(X )
xp ( x ) d x
第 三 章
随 机 变 量 的 数 字 特 征
第一节
数学期望
一、随机变量的数学期望 二、随机变量函数的数学期望 三、数学期望的性质 四、小结
一、随机变量的数学期望
1. 离散型随机变量的数学期望
定义3.1 设离散型随机变量
X 的分布律为 k , , .
P { X x k } pk , 若级数
k k 1
q 1 q
) p
1 (1 q )
2
1 p
2.连续型随机变量数学期望的定义 定义3.2
设连续型随机变量 若积分
x p ( x ) d x
X 的概率密度为
p ( x ),
绝对收敛 , 则称积分
x p ( x ) d x 的值为随机
变量 X 的数学期望 , 记为 E ( X ).即 E ( X ) x p ( x ) d x .
A
yd x d y
1 0
2 21 x ydy dx 0 3
E ( XY )
x yf ( x , y ) d x d y
A
x yd x d y
1 0
1 21 x x yd y d x . 0 6
dx
a
x x
dx
a
x x
dx
a
x
d ( x )
a
ln( x )
a
ln( a ) , E ( x ) 不存在 .
xp ( x ) dx 不绝对收敛
二、随机变量函数的数学期望
p
k 1
(1 p )
( n 1 ) ( k 1 )
np
( n 1 )! ( k 1 )! [( n 1 ) ( k 1 )]!
n1
p
k 1
(1 p )
( n 1 ) ( k 1 )
k 1
np [ p ( 1 p )]
=np
则两点分布b(1, p)的数学期望为 p.
X
2 0 1 3
p
1 3
1 2
1 12 1 12
求: E ( X 3 ).
解
E ( X ) (2)
3 3
1 3
0
3
1 2
1
3
1 12
3
3
1 12
5
例2：设( , )的密度函数为
x y p( x , y ) x , y 其它
1
x 5
d x 5 ( 分钟 ).
因此,顾客平均等待5分钟就可得到服务.
例6 均匀分布
设 X ~ U ( a , b ), 其概率密度为
1 , p( x ) b a 0,
a x b, 其它 .
x
则有
E(X )
xp ( x ) d
1 2