第7章材料力学基本概念2007
材料力学-第7章 弯曲变形
梁弯曲问题的近似和简化
q( x)
M0
ML
Q0
QL
弯曲问题中，不考虑轴向拉伸。因此，梁内力只有弯矩和剪力 下面，我们分别考虑弯矩和剪力引起的弯曲变形效果
材料力学－第7章 弯曲变形
挠度曲线 垂直于轴线的横截面弯曲后仍为平面，仍 垂直于轴线，只是相互间转动一个角度
M
弯矩引起的弯曲变形
M
剪力引起的弯曲变形
例题
2
已知：简支梁受力如 图所示。FP、EI、l均为已 知。 求：加力点B的挠度和 支承A、C处的转角。
材料力学－第7章 弯曲变形
§7- 3 计算梁位移的积分法
解：1． 确定梁约束力 首先，应用静力学方法求得 梁在支承A、C二处的约束力分别 如图中所示。 解：2． 分段建立梁的弯矩方程 因为B处作用有集中力FP，所以需要分为AB和BC两段 建立弯矩方程。 在图示坐标系中，为确定梁在0～l/4范围内各截面上的 弯矩，只需要考虑左端A处的约束力3FP/4；而确定梁在l/4～ l范围内各截面上的弯矩，则需要考虑左端A处的约束力 3FP/4和荷载FP。
Q
垂直于轴线的横截面弯曲后不垂直于轴线
Q
材料力学中一般考虑细长梁，顾而可以忽略剪力引起的变形，只 考虑弯矩引起的变形。因为所有横截面始终与轴线垂直，所以，梁的 弯曲变形可以仅用轴线来表征。空间的梁简化成一轴线。
材料力学－第7章 弯曲变形
挠度曲线
问题1： 如何表征梁的弯曲变形
－用什么物理量来描述梁的变形
( x)
w
x
x
( x)
w( x)
材料力学－第7章 弯曲变形
挠度曲线
* 弯曲变形的表征
梁在弯曲变形后，横截面的位置将发生改变，这种位置 的改变称为位移 (displacement) 。梁的位移包括三部分：
材料力学基本概念
本构关系和破坏准则
1 本构关系
材料应力与应变关系的定量化表达式。
2 破坏准则
用于预测材料在外力作用下破坏的条件和准则。
应力分析
1பைடு நூலகம்
平面应力问题
考虑应力沿两个相互垂直的方向变化。
平面应变问题
2
考虑应变沿两个相互垂直的方向变化。
3
三维应力问题
考虑应力沿三个互相垂直的方向变化。
材料力学的应用
建筑工程
材料力学是工程师设计强度结 构的基础。
描述了材料沿某个方向的变形抵抗程度。
2
泊松比
描述了材料在沿某个方向收缩时，其垂直于该方向的膨胀程度。
3
杨氏模量和泊松比的作用
它们对我们设计和选择材料有重要意义。
材料的弹性和塑性
弹性材料
材料在外力作用下形变，但恢复过程完全接近或完 全符合胡克定律。
塑性材料
材料在外力作用下形变后不完全恢复，出现塑性变 形。
材料力学基本概念
材料力学是研究材料受力和形变的科学，了解力与形变的关系是更深入地了 解材料和其性能的关键。
应力和应变的定义
应力
定义为单位面积内的力。
应变
定义为材料形变程度的度量， 是材料拉伸或压缩后长度与 原来长度之比。
应力-应变关系
材料力学的基础是应力和应 变之间的关系。
杨氏模量和泊松比
1
杨氏模量
机械制造
材料力学是机械制造过程中选 择材料、设计构件等的基础。
航空航天
材料力学在航空航天领域具有 重要的应用价值。
结论和要点
了解应力和应变的定义以及它们之间的 关系。
了解弹性和塑性材料的区别。
了解杨氏模量和泊松比，以及它们的作 用。
材料力学的基本概念
载荷按其分布情况可分为集中载荷和分布载荷。作 用在结构物的很小面积上，或可以近似看做作用在某一 点上的载荷，称为集中载荷，例如对横梁的压力、对杆 件的拉力等。均匀分布在结构物上的载荷，称为分布载 荷。 分布载荷又可分为体分布载荷（如重力）、面分布 载荷（如屋面板上的载荷）和线分布载荷（如分布梁上 的载荷）。 载荷按设计计算情况可分为名义载荷和计算载荷。 根据额定功率用力学公式计算出的作用在零件上的载 荷，称为名义载荷。它是机器在平稳工作条件下作用在 零件上的载荷。名义载荷并没有反映载荷随时间作用的 不均匀性、载荷在零件上分布的不均匀性及其他影响零 件受力情况等因素。这些因素的综合影响，常用载荷系 数K来考虑估算。
图3-5 弯曲变形
梁弯曲的工程实例1
F
F
FA
FB
简支梁
外伸梁
梁弯曲的工程实例2
F
悬臂梁
梁的类型
简支梁：一端为活动铰 链支座，另一端为固定 铰链支座。
外伸梁：一端或两端伸 出支座之外的简支梁。 悬臂梁：一端为固定端， 另一端为自由端的梁。
梁弯曲时的内力：剪力和弯矩
求梁的内力的方法仍然是截面法。 F2 F1 a F3
应力最小，同一高度上的正应力相同；横截面上剪 应力的分布比较复杂，受截面形状的影响很大，矩 形截面梁的剪应力沿高度成抛物线分布，上下边缘 处的剪应力最小，中性轴处的剪应力最大，同一高 度上的剪应力相同。
四、杆件变形的基本形式
凡是细长的构件，即其长度远大于横截面（与轴 线相垂直的截面）尺寸的构件，称为杆件。例如车 轴、连杆、活塞杆、螺钉、梁、柱等都属于杆件。 如果杆件的轴线是直的就称为直杆，否则称为曲杆。
材料力学主要研究杆件的强度、刚度和稳定性 问题。在工程结构和机械中，杆件受力的情况是多 种多样的，因而所引起的变形也是各式各样的。但 是，不管杆件的变形怎样复杂，它们通常是由轴向 拉伸或压缩、剪切、扭转和弯曲四种基本变形形式 所组成的。
材料力学第七章
若应力状态由主应力表示，并且在max 0 和 min 0 的情况下，则式（7-7） 成为
max min
max
min
2
1 3
2
进一步讨论，由式（7-4）和式（7-6）可知
tan
21
1 tan 20
上式表明1 与 0 之间有如下关系：
1
0
4
可见，切应力取得极值的平面与主平面之间的夹角为 45 。
若三个主应力中，只有一个主应力不等于零，这样的应力状态称为 单向应力状态。若三个主应力中有两个不等于零，称为二向应力状态或 平面应力状态。若三个主应力皆不为零，称为三向应力状态或空间应力 状态。
第二节 平面应力状态分析——解析法
一、斜截面上的应力
图 7-1 所示为平面应力状态的最一般情况。已知 x ， y ， xy 和 yx 。现 在研究图中虚线所示任一斜截面上的应力，设截面上外法向 n 与 x 轴的夹角 为 。
令 d /d 0 ，由式（7-1）可得
x
2
y
sin
2
xy
cos 2
0
解得
（7-3）
tan 20
2 xy x y
通过运算，可以得到斜截面上正应力的极值为
（7-4）
max min
x
y 2
x
2
y
2
2 xy
（7-5）
由式（7-4）可知， 取得极值的角0 有两个，二者相差 90 ，即最大正应 力 max 和最小正应力 min ，二者分别作用在两个相互垂直的截面上。当 0 ， 取得极值时，该斜截面上的切应力 0 ，即正应力就是主应力。
（a）
（b） 图7-6
例 7-4 悬臂梁受力如图 7-7（a）所示。试求截面 n n 上 A 点处的主应力 大小和方向，并按主平面画出单元体。
材料力学 第7章 扭转
T Me
m
m Me
xn
2. 扭矩的符号规定
Me
T
T矢量的方向与截面外法线方 向相同时为正，反之为负。
n
x
T Me
7.2 扭矩和扭矩图
3. 扭矩图 (1) 定义：扭矩随杆轴线变化规律的图线称为扭矩图。 (2) 扭矩图的绘制步骤： ① 确定扭矩随截面位置的变化规律， ② 建立扭矩坐标系， ③ 画扭矩图。
7.2 扭矩和扭矩图
例7-1 已知一传动轴， n =300r/min，主动轮输入 PA=36kW， 从动轮输出 PB=PC=11kW，PD=14kW，求指定截面的扭矩。
解： 1. 计算外力偶矩
MB
B
MA
9549
PA n
1146(N m)
MC
1
2n
C
A
1
2 MA
MD
3
D
3
M B MC 350N m
7.3 圆轴扭转时的应力分析和强度计算
钻杆
7.3 圆轴扭转时的应力分析和强度计算
传动轴
第七章 扭转
7.1 引言 7.2 扭矩和扭矩图 7.3 圆轴扭转时的应力分析和强度计算 7.4 圆轴扭转时的变形计算和刚度设计
7.4 圆轴扭转时的变形计算和刚度设计
一、圆轴扭转时的变形
dφ T dx GIP dφ T dx
WP
πD13 16
D1
3 16Tmax 3 16 1.5 106
π[ τ ]
π 60
50mm
D1
(2) 空心轴
τ max
Tmax WP
[τ]
WP
πD23 (1 16
α4 )
d2
D2
第7章材料力学基本概念2007
若将△A→0，则
p
lim
A0
pm
lim
A0
F A
称为O点的应力
将p分解成垂直于截面的分量和切于截面的分量
其中称为正应力、法向应力； 称为剪应力、切应力。
注：应力的单位，N/m2，即帕斯卡Pa，MPa、GPa等。 7-10
ML
§7-4 变形和应变
Y
P1
L′
P2
△x
M′
P3 L
分作为研究对象。
P4
P5
Ⅰ
P1 Ⅱ
P3
P2
7- 7
2．画出内力 ：
截面分布力向某一点简化而得到的主矢和主矩，称为 截面上的内力，简称内力。
P4
m
m
P1
P5
Ⅰ
FR
O
Ⅱ
m
Mm
P3 3．列平衡方程
P2
Fx 0
Fy 0
mO (F ) 0 7- 8
[例] 求m-m截面的内力
m
解：
m b
P
m
M FN O
FQ m
b
F 0 F 0
X
N
F 0 P F 0 F P
Y
Q
Q
m 0 M Pb 0 M Pb o
P
7- 9
ML
四、应力
m
P1
p
P1
△F
O △A Ⅱ
O
Ⅱ
m
pm
F A
P2
P2
称为单位面积上的内力平均集度，即△A上的平均应力。
II、按载荷随时间变化情况分:
1．静载荷：若载荷缓慢地由零增加到某一值，以后保 持不变，或变化很不明显。 2．动载荷：载荷随时间而变化。
材料力学第七章知识点总结
规律，确定出最大应力，从而全面考虑构件破坏的原因，建 立适当的强度条件。
材料力学
3、一点的应力状态的描述
研究一点的应力状态，可对一个 包围该点的微小正六面体——单 元体进行分析
在单元体各面上标上应力 各边边长 dx , dy , dz
——应力单元体
三、几个对应关系
点面对应——应力圆上某一点的坐标值对应着单元体某一截面
上的正应力和切应力；
y
σy
n
τ
H (σα ,τα )
τ yxHτ xy来自αxσx
(σy ,Dτyx)
2α A (σx ,τxy)
c
σ
σx +σ y
2
转向对应——半径旋转方向与截面法线的旋转方向一致； 二倍角对应——半径转过的角度是截面法线旋转角度的两倍。
α =α0
=
−2⎢⎡σ x
⎣
−σ y
2
sin 2α0
+τ xy
cos
2α
0
⎤ ⎥
⎦
=0
=
−2τ α 0
τα0 = 0
tg
2α 0
=
− 2τ xy σx −σ y
可以确定出两个相互垂直的平面——主平面，分别为
最大正应力和最小正应力所在平面。
主平面的方位
(α0 ; α0′ = α0 ± 900 )
主应力的大小
材料力学
四、在应力圆上标出极值应力
τ
τ max
x
R
O σ min
2α12α0A(σx ,τxy)
c
σ
σ
max
(σy ,τyx) D
（完整版）材料力学基本概念和公式
（完整版）材料力学基本概念和公式第一章绪论第一节材料力学的任务1、组成机械与结构的各组成部分，统称为构件。
2、保证构件正常或安全工作的基本要求：a)强度，即抵抗破坏的能力；b)刚度，即抵抗变形的能力；c)稳定性，即保持原有平衡状态的能力。
3、材料力学的任务：研究构件在外力作用下的变形与破坏的规律，为合理设计构件提供强度、刚度和稳定性分析的基本理论与计算方法。
第二节材料力学的基本假设1、连续性假设：材料无空隙地充满整个构件。
2、均匀性假设：构件内每一处的力学性能都相同3、各向同性假设：构件某一处材料沿各个方向的力学性能相同。
木材是各向异性材料。
第三节内力1、内力：构件内部各部分之间因受力后变形而引起的相互作用力。
2、截面法：用假想的截面把构件分成两部分，以显示并确定内力的方法。
3、截面法求内力的步骤：①用假想截面将杆件切开，一分为二；②取一部分，得到分离体；③对分离体建立平衡方程，求得内力。
4、内力的分类：轴力N F ；剪力S F ；扭矩T ；弯矩M第四节应力1、一点的应力：一点处内力的集（中程）度。
全应力0limA Fp A→?=?；正应力σ；切应力τ；p =2、应力单位：Pa （1Pa=1N/m 2，1MPa=1×106 Pa ，1GPa=1×109 Pa ）第五节变形与应变1、变形：构件尺寸与形状的变化称为变形。
除特别声明的以外，材料力学所研究的对象均为变形体。
2、弹性变形：外力解除后能消失的变形成为弹性变形。
3、塑性变形：外力解除后不能消失的变形，称为塑性变形或残余变形。
4、小变形条件：材料力学研究的问题限于小变形的情况，其变形和位移远小于构件的最小尺寸。
对构件进行受力分析时可忽略其变形。
5、线应变：ll ?=ε。
线应变是无量纲量，在同一点不同方向线应变一般不同。
6、切应变：tan γγ≈。
切应变为无量纲量，切应变单位为rad 。
第六节杆件变形的基本形式1、材料力学的研究对象：等截面直杆。
材料力学基本概念(最新整理)
材料力学基本概念一、基本概念1 材料力学的任务是：研究构件的强度、刚度、稳定性的问题，解决安全与经济的矛盾。
2 强度：构件抵抗破坏的能力。
3 刚度：构件抵抗变形的能力。
4 稳定性：构件保持初始直线平衡形式的能力。
5 连续均匀假设：构件内均匀地充满物质。
6 各项同性假设：各个方向力学性质相同。
7 内力：以某个截面为分界，构件一部分与另一部分的相互作用力。
8 截面法：计算内力的方法，共四个步骤：截、留、代、平。
9 应力：在某面积上，内力分布的集度(或单位面积的内力值)、单位Pa。
10 正应力：垂直于截面的应力(σ)11 剪应力：平行于截面的应力( )12 弹性变形：去掉外力后，能够恢复的那部分变形。
13 塑性变形：去掉外力后，不能够恢复的那部分变形。
14 四种基本变形：拉伸或压缩、剪切、扭转、弯曲。
二、拉压变形15 当外力的作用线与构件轴线重合时产生拉压变形。
16 轴力：拉压变形时产生的内力。
17 计算某个截面上轴力的方法是：某个截面上轴力的大小等于该截面的一侧各个轴向外力的代数和，其中离开该截面的外力取正。
18 画轴力图的步骤是：①画水平线，为X轴，代表各截面位置；②以外力的作用点为界，将轴线分段；③计算各段上的轴力；④在水平线上画出对应的轴力值。
（包括正负和单位）19 平面假设：变形后横截面仍保持在一个平面上。
20 拉（压）时横截面的应力是正应力，σ=N/A21 斜截面上的正应力：σα=σcos²α22 斜截面上的切应力： α=σSin2α/223 胡克定律：杆件的变形时与其轴力和长度成正比，与其截面面积成反比，计算式△L=NL/EA（适用范围σ≤σp）24 胡克定律的微观表达式是σ=Eε。
25 弹性模量（E）代表材料抵抗变形的能力（单位P a）。
26 应变：变形量与原长度的比值ε=△L/L（无单位），表示变形的程度。
27 泊松比（横向变形与轴向变形之比）μ=∣ε1/ε∣28 钢（塑）材拉伸试验的四个过程：比例阶段、屈服阶段、强化阶段、劲缩阶段。
材料力学基本概念
材料力学基本概念材料力学是研究材料受力和变形规律的一门学科，它是现代工程学和科学研究中不可或缺的基础学科之一。
材料力学的基本概念包括应力、应变、弹性模量、屈服强度、断裂韧性等。
本文将从这些基本概念入手，对材料力学进行简要介绍。
应力是材料内部单位面积上的受力情况，通常用σ表示。
应力分为正应力和剪切应力两种。
正应力是垂直于截面的应力，而剪切应力是平行于截面的应力。
应力的大小可以通过受力面积来计算，是描述材料受力情况的重要参数。
应变是材料在受力作用下产生的形变，通常用ε表示。
应变也分为正应变和剪切应变两种。
正应变是材料在受力作用下产生的长度变化与原始长度的比值，而剪切应变是材料在受力作用下产生的形变角与原始形变角的差值。
应变是描述材料变形情况的重要参数。
弹性模量是描述材料在受力作用下的变形能力的物理量，通常用E表示。
弹性模量越大，表示材料的刚度越大，抗变形能力越强。
弹性模量是材料力学中的重要参数，对于材料的选择和设计具有重要意义。
屈服强度是材料在受力作用下开始产生塑性变形的应力值，通常用σy表示。
超过屈服强度后，材料会产生塑性变形，而不再能够完全恢复原状。
屈服强度是材料抗塑性变形的重要参数，对于材料的强度设计具有重要意义。
断裂韧性是描述材料抗断裂能力的物理量，通常用KIC表示。
断裂韧性越大，表示材料抗断裂能力越强。
断裂韧性是材料力学中的重要参数，对于材料的耐久性和可靠性具有重要意义。
综上所述，材料力学的基本概念包括应力、应变、弹性模量、屈服强度、断裂韧性等。
这些基本概念是材料力学研究的基础，对于材料的选择、设计和应用具有重要意义。
通过对这些基本概念的理解和掌握，可以更好地应用材料力学知识，为工程实践和科学研究提供有力支持。
希望本文能够对材料力学的学习和应用有所帮助。
材料力学基础
材料力学基础材料力学是研究材料内部结构与性能之间关系的学科，它提供了理解和预测材料行为的基础。
在本文中，我们将介绍材料力学的基本概念和原理，以及材料力学在工程领域中的应用。
一、材料力学概述材料力学是工程力学的一个重要分支，研究材料内部原子与分子之间力的作用和材料在外力作用下的响应。
它涉及到材料的强度、刚度、断裂等性能，对于设计和制造高性能材料和结构具有重要意义。
二、材料力学的基本概念1. 应力和应变应力指物体单位面积上的力，可以分为正应力和剪应力。
应变指物体在受到力作用下产生的形变程度，可以分为线性应变和剪切应变。
2. 弹性行为当材料受力作用时，如果能够恢复到原始形状，我们称之为弹性变形。
弹性行为遵循胡克定律，即应力与应变成正比。
3. 塑性行为当材料受到较大应力作用时，会发生塑性变形，材料无法完全恢复到原始形状。
塑性行为与应力应变曲线的屈服点有关。
4. 破坏行为当应力达到材料的极限时，材料会发生破坏，破坏形式可以是断裂、脆断等。
三、材料力学的应用1. 材料设计与优化通过材料力学的研究，可以了解材料的强度和刚度等性能，为材料的设计和优化提供依据。
例如，在航空航天领域，需要开发高强度和轻量化的材料，以提高飞机的性能。
2. 结构分析与设计材料力学也被广泛应用于结构分析与设计中。
通过对材料的力学性能及受力分析，可以计算结构的应力、应变和变形情况，进而评估结构的安全性和可靠性。
3. 材料损伤与断裂研究材料的损伤与断裂行为，有助于了解材料的强度极限和疲劳寿命。
在工程实践中，需要对材料进行断裂韧性和疲劳寿命的测试和评估，以确保结构的安全使用。
4. 材料加工和成形材料力学对于材料的加工和成形过程也具有重要意义。
通过了解材料的力学行为，可以为材料的加工过程提供指导，确保材料的成形质量和工艺可靠性。
总结：材料力学作为研究材料行为的基础学科，对于工程领域具有重要意义。
通过研究材料的力学性能，可以为材料的设计、结构分析、材料损伤与断裂等问题提供基础知识和实用工具。
材料力学第07章 受压杆件的稳定性设计知识分享
材料力学第07章 受压杆件的稳 定性设计
第一节 压杆稳定的概念
在第三章讨论杆件轴向拉伸和压缩的强度计算中，对于受压 杆件，当最大压应力达到极限应力（屈服极限或强度极限）时， 会发生强度失效（出现塑性变形或破裂）。只要其最大压应力 小于或等于许用应力，即满足强度条件时，杆件就能安全正常 工作。然而，在实际工程中的一些细长杆件受压时，杆件可能 发生突然弯曲，进而产生很大的弯曲变形而导致最后折断，而 杆件的压应力却远低于屈服极限或强度极限。显然，此时杆件 的失效不是由于强度不够而引起的，而是与杆件在一定压力作 用下突然弯曲，不能保持其原有的平衡形态有关。我们把构件 在外力作用下保持其原有平衡形态的能力称为构件的稳定性 （stability）。受压直杆在压力作用下保持其直线平衡形态的 能力称为压杆的稳定性。可见，细长压杆的失效是由于杆件丧 失稳定性而引起的，属于稳定性失效（failure by lost stability）。
w
A Fcr
l
B Fcr
x
x
Fcr
F
M(x)
图7-8 两端铰支细长压杆
选取如图所示坐标系xAw。
w
A
l
设距原点为x距离的任意截面 Fcr
的挠度为w，弯矩M的绝对值为
Fw。若挠度w为负时，M为正。
即M与w的符号相反，于是有
材料力学第7章
积分一次： Fb 2 EIw1 x C1 2l 积分二次： Fb 3 EIw1 x C1 x D1 6l
11
CB段（a x l）: 弯矩方程：
Fb M 2 x x F x a l
挠曲线近似微分方程：
Fb EIw2 x F x a l Fb 2 F 2 x x a C2 积分一次： EIw2 2l 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 1 x 0
Fab l b , B 2 6lEI
Fab l a B = 6lEI
Fl 3 Fl 3 Fl 3 2 EI 6 EI 3EI
7
wmax w x l
例题7.2：图示弯曲刚度为EI的简支梁，受集度为q的均布 荷载作用，试求梁的挠曲线方程和转角方程，并确定其最 大挠度和最大转角。 解：由平衡方程得支座反力 ql FA FB 2 建立坐标系，得梁的弯矩方程为 1 1 2 M x qlx qx 2 2 梁挠曲线近似微分方程
1 3 C ql ， D 0 24
9
梁的转角方程
q w (4 x3 6lx 2 l 3 ) 24 EI
梁的挠曲线方程
(5)
qx w ( x3 2lx 2 l 3 ) 24 EI
最大转角
(6)
max
ql 3 A B 24 EI
2
最大挠度
M ( x) F l x
1
挠曲线近似微分方程
EIw M x F l x 2 两次积分，得 1 2 EIw Flx Fx C 2 1 1 3 2 EIw Flx Fx Cx D 2 6
材料力学第7章 梁的变形
图7.15
图7.16
24
21
图7.14
22
第六节 用力法解简单超静定梁 前面几节分析的梁，如简支梁、悬臂梁、外伸 梁等，都是静定梁。在工程实际中，有时为了提高 强度或控制位移，常常采取增加约束的方式，使静 定梁变成了超静定梁或静不定梁(statically indeter minate beam)，如图7.15所示。超静定梁的特点 是，独立未知力的数目大于独立静力平衡方程式的 数目，仅仅利用静力平衡条件不能求出全部的支座 反力和内力。超静定梁的基本求解方法与拉压超静 定问题相同，仍然是力法。本节将结合求梁变形的 叠加法，举例介绍简单超静定梁的求解。
1
图7.1
2
①挠度y。梁中任一横截面的形心C在垂直于 轴线方向的位移称为该截面处的挠度(deflection)， 用y表示。显然，梁中不同横截面处的挠度一般是 不同的，可表示为
3
②转角θ。梁中任一横截面绕其中性轴转过的 角度，称为该截面的转角 (slope)。转角沿梁长度 方向的变化规律可用转角方上任一点的曲率 为
由式(a)和式(c)可得
7
在选取的坐标系下，根据弯矩M的正负号规定 可以看出：弯矩M的正负号与y″的正负号总是相反 的，如图7.2所示。因此，式(d)中应取负号，即
式(7.2)即为梁的挠曲线近似微分方程，适用 于理想线弹性材料制成的细长梁的小变形问题。
13
第五节 梁的刚度计算 一、梁的刚度计算 梁的刚度计算，通常是校核其变形是否超过许 用挠度［f］和许用转角［θ］，可以表述为 式中,ymax和θmax为梁的最大挠度和最大转角。
14
在机械工程中，一般对梁的挠度和转角都进行 校核；而在土木工程中，通常只校核挠度，并且以 许用挠度与跨长的比值 作为校核的标准，即
材料力学-07-应力分析和强度理论
§7-2 平面应力状态 平面应力状态--解析法 平面应力状态 解析法： 解析法
1.斜截面上的应力 1.斜截面上的应力
y
σx
a
τ yx
τ xy
σx α
τa
n
τ xy
σa
dA
x
σy
n
τ yx
σy
t
t
∑F = 0
∑F =0
13
§7-2 平面应力状态 平面应力状态--解析法 平面应力状态 解析法： 解析法
tan 2α0 = − 2τ xy
σ x −σ y
由上式可以确定出两个相互垂直的平面， 由上式可以确定出两个相互垂直的平面，分别 为最大正应力和最小正应力所在平面。 为最大正应力和最小正应力所在平面。 所以，最大和最小正应力分别为： 所以，最大和最小正应力分别为：
σmax = σ x +σ y
2 1 + 2 − 1 2
单元体
单元体——构件内的点的代表物， 单元体——构件内的点的代表物，是包围被研究点的 ——构件内的点的代表物 无限小的几何体。 常用的是正六面体。 无限小的几何体。 常用的是正六面体。 单元体的性质—— 平行面上，应力均布； 单元体的性质——1) 平行面上，应力均布； —— 2) 平行面上，应力相等。 平行面上，应力相等。
2 2
σy
τ xy
α
60 − 40 60 + 40 = + cos(−60o ) + 30 sin(−60o ) 2 2
σx
= 9.02 MPa
τα =
σ x −σ y
2 60 + 40 = sin(−60o ) − 30 cos(−60o ) 2
材料力学基础知识
材料力学基础知识材料力学是研究物质内部力学性质和材料的力学性能的一门学科，它是材料科学的重要组成部分。
在工程领域中，材料力学的基础知识是非常重要的，它可以帮助工程师们更好地理解材料的性能和行为，从而设计出更加安全可靠的工程结构。
首先，我们来了解一下材料力学的基本概念。
材料力学主要研究材料在外力作用下的应力、应变和变形等力学性能。
其中，应力是单位面积上的力，通常用σ表示，而应变则是材料单位长度上的变形量，通常用ε表示。
在材料受力作用下，会产生应力和应变，而材料的力学性能则取决于其内部结构和组织。
其次，我们需要了解材料的力学性能参数。
材料的力学性能参数包括弹性模量、屈服强度、抗拉强度、断裂韧性等。
弹性模量是衡量材料抵抗变形的能力，通常用E表示；屈服强度是材料开始发生塑性变形的应力值，通常用σy表示；抗拉强度是材料抵抗拉伸破坏的能力，通常用σu表示；而断裂韧性则是材料抵抗断裂的能力，通常用KIC表示。
这些参数可以帮助我们评估材料的力学性能，从而选择合适的材料用于工程设计。
另外，我们还需要了解材料的应力-应变关系。
材料在受力作用下会产生应力和应变，它们之间的关系可以通过应力-应变曲线来描述。
在弹性阶段，材料的应力和应变成正比，而在屈服阶段，材料会出现塑性变形，应力和应变不再成正比。
最终，在断裂阶段，材料会达到其抗拉强度而发生断裂。
了解材料的应力-应变关系可以帮助我们预测材料在受力下的行为，从而更好地进行工程设计和材料选择。
总的来说，材料力学基础知识是工程领域中不可或缺的一部分。
通过学习材料力学，我们可以更好地理解材料的力学性能和行为，为工程设计提供有力的支持。
希望本文能够帮助大家更好地理解材料力学的基础知识，从而在工程领域取得更好的成就。
第7章(压杆的稳定性问题)重要知识点总结(材料力学)
【陆工总结材料力学考试重点】之（第7章）压杆的稳定性问题1、压杆稳定性的特点？答：1）杆件两端受轴向压缩载荷作用；2）杆子比较细长；3）产生弯曲变形。
2、细长压杆的平衡状态？答：在F的作用下，压杆存在两种平衡状态：直线平衡状态，弯曲平衡状态。
F cr称为临界载荷，即使杆件恰好由直杆变为曲杆的压缩载荷。
压杆稳定性问题的关键就是求临界载荷F cr。
3、细长压杆的临界载荷——欧拉公式？答：细长压杆的临界载荷公式（欧拉公式）：F cr=π2EI (μL)2式中：L为压杆的实际长度，μ为长度系数，μL为压杆的相当长度（有效长度），I为压杆横截面对中性轴的惯性矩，E为弹性模量。
注意：对于上图所示矩形截面压杆，有两种弯曲可能，在xz面弯曲，或yx面弯曲，具体在哪个面弯曲，取决于惯性矩I z=bℎ312和I y=ℎb312的大小。
若I y>I z，则在xz平面内弯曲；若I z>I y，则在xy平面内弯曲；即采用F cr=π2EI(μL)2计算细长压杆的临界载荷时，I取I y、I z里面的较小值。
4、不同约束的长度系数μ值？1）对于图a）：细长压杆的一端为固定端约束，一端为自由端，μ=2 2）对于图b）：细长压杆的两端均为铰链约束，μ=13）对于图c）：细长压杆的一端为固定端约束，一端为铰链约束，μ=0.7 4）对于图d）：细长压杆的两端均为固定端约束， μ=0.5约束的强弱程度顺序：固定端约束>铰链约束>自由端约束可知：约束程度越强，则μ值越小。
5、临界正应力总图？答：根据不同压杆临界正应力σcr与长细比λ之间的关系绘成图，即可得到压杆的临界正应力总图：结论：杆子长细比λ越大，临界正应力σcr（临界载荷F cr=σcr A）越小，则杆子越容易弯曲（实际经验也可知道，杆子越细越长，则越容易被压弯）。
6、压杆的稳定性计算？答：设压杆的临界载荷为F cr，压杆实际承受的工作载荷为F，定义安全系数：n=F crF（可知，对于固定的压杆，其临界载荷为一固定值，则实际承受的工作载荷越小，安全系数就越大，压杆也就越安全），出于工程安全的考虑，假设压杆所允许的工作安全系数为[n]st（大于1的数），则实际操作中就必须满足：n=F crF≥[n]st。
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ML
Ⅱ
m O'
动画演示
组合变形：两种或两种以上的基本变形的组合。
7-16
作业
ML
7-17
7-18
分作为研究对象。
P4
P5
Ⅰ
P1 Ⅱ
P3
P2
7- 7
2．画出内力 ：
截面分布力向某一点简化而得到的主矢和主矩，称为 截面上的内力，简称内力。
P4
m
m
P1
P5
Ⅰ
FR
O
Ⅱ
m
Mm
P3 3．列平衡方程
P2
Fx 0
Fy 0
mO (F ) 0 7- 8
[例] 求m-m截面的内力
若将△A→0，则
p
lim
A0
pm
lim
A0
F A
称为O点的应力
将p分解成垂直于截面的分量和切于截面的分量
其中称为正应力、法向应力； 称为剪应力、切应力。
注：应力的单位，N/m2，即帕斯卡Pa，MPa、GPa等。 7-10
ML
§7-4 变形和应变
Y
P1
L′
P2
△x
M′
P3 L
当线段MN长度趋近于零时，m的极限为
lim(M N MN ) MN lims x
MN 0
x0
称为M点沿x方向的线应变或正应变，简称应变。
7-11
ML
Y
L′
N′
L
M′
△y
△x + △s
M △x N
x
变形前：MN和ML正交，即∠LMN=/2
变形后：夹角变为∠L'M'N'
工程力学
第二篇 材料力学
第七章 材料力学的基本概念
§7–1 材料力学的任务 §7–2 变形固体的基本假设 §7–3 外力与内力、截面法和应力的概念 §7–4 变形和应变 §7–5 构件及杆件变形的基本形式
7- 2
ML
§7-1材料力学的任务
引言 静力学是研究物体的受力和力系的平衡。
一、研究内容
材料力学是研究构件承载能力的科学。
ML
§7-2 变形固体的基本假设
变形固体: 在材料力学中，固体受力作用而变形， 称为变形固体或可变形体。
一、连续性假设 即认为组成固体的物质不留空隙地充满固体的体积。
二、均匀性假设 即认为在固体内到处有相同的力学性能。
以上两个假设合称为连续均匀性假设
三、各向同性假设 即认为无论沿任何方向，固体的力学性能都是相同的。
二、构件正常工作的基本要求
1．强度要求 ：指构件应有足够抵抗破坏的能力。动画 图片
2．刚度要求：指构件应有足够抵抗变形的能力。
3．稳定性要求：指构件应有足够保持原有平衡状态的能力。
三、材料力学的任务
动画演示
在满足强度、刚度和稳定性的要求下，为设计既经 济又安全的构件，提供必要的理论基础和计算方法。
7- 3
N′ M′
△z
△y
△y
M
△x + △s
M △x N
一、应变
P4
x
设线段MN原长为△x ，变形后M和N分别位移到M'和N'，
M'N'长为△x + △s
其中 s M N MN 称为M点沿x方向的绝对变形
m s x 称为M点沿x方向的平均应变 其表示线段MN每单位长度的平均伸长或缩短
板
壳
中面：平分构件厚度的面称为中面。
3． 块体：三个方向尺寸相差不大的构件。
7-14
二、杆件的基本变形
1． 拉伸或压缩： 受力特点：作用有大小相等、方向相反、作 F
用线与杆件轴线重合的一对力。
变形特点：杆件的长向相反、相 互平行的力。
变形特点：受剪杆件的两部分沿外力作用方 向发生相对错动。
具有这样属性的材料称为各向同性材料。如钢、铸 铁、玻璃等。
沿不同方向力学性能不同的材料，称为各向异性材料。
如木材、复合材料、混凝土等。
7- 4
ML
§7-3 外力与内力、截面法和应力的概念
一、外力的分类
I、按作用方式分:
1．表面力：作用于物体表面的力。 a)分布力：连续作用于物体表面的力。
b)集中力：作用于一点的力。 2．体积力：是连续分布于物体内部各点的力。
m
解：
m b
P
m
M FN O
FQ m
b
F 0 F 0
X
N
F 0 P F 0 F P
Y
Q
Q
m 0 M Pb 0 M Pb o
P
7- 9
ML
四、应力
m
P1
p
P1
△F
O △A Ⅱ
O
Ⅱ
m
pm
F A
P2
P2
称为单位面积上的内力平均集度，即△A上的平均应力。
F F
动画演示
F
F
FF
动画演示
7-15
3． 扭转：
受力特点：作用有大小相等、方向相反、作
Ⅰ
变形特点：用杆面件垂的直任于意杆 两轴 个的 截两 面个 发力 生偶绕。轴的O
相对转动。
4． 弯曲：
受力特点：作用有垂直于杆轴线的横向力或作用于杆纵向 平面内的一对大小相等、方向相反的力偶。
变形特点：杆件的轴线由直线变为曲线。
F1 B △2F2 B'
△1
7-13
ML
§7-5 构件及杆件变形的基本形式
杆
一、构件的分类
1． 杆：一个方向的尺寸（长度）远大于其它
两个方向尺寸（宽度和厚度）的构件.
横截面
轴线
横截面：垂直于杆长度方向的截面。 轴线：横截面中心的连线。
杆有直杆、曲杆、等截 面杆等多种形式。
2． 板、壳：厚度远小于其它两个方向尺寸的构件。
II、按载荷随时间变化情况分:
1．静载荷：若载荷缓慢地由零增加到某一值，以后保 持不变，或变化很不明显。 2．动载荷：载荷随时间而变化。
a)交变载荷：随时间作周期性变化的载荷。
b)冲击载荷：物体的运动在瞬时内发生突然变化
所引起的载荷。
7- 5
二、内力 (附加内力)
由外力引起的物体内部各部分之间相互作用力的改变量。
F
●
N
●
M
加力
外力
引起
内力
P3
●
F′ N′
P1
●
M′
P2
当内力达到一定限度后必然会引起构件的破坏。 故研究构件的强度问题就必须弄清构件内部的内力。 求内力最根本的方法即是截面法
7- 6
三、截面法
用假想的平面将构件分成两部分，并确定内力的方法。 按以下三个步骤进行： 1．切开： 用平面假想地将构件切成两部分，任取其中一部
因此角度变化量为： = /2∠L'M'N'
称为剪应变或角应变、切应变
7-12
ML
二、变形很小假设或原始尺寸原理
由于构件变形的大小远
远小于构件的最小尺寸，在
l
列平衡方程时，仍用杆的原 A
始尺寸，而省略构件的变形，
这种方法称为变形很小假设
或原始尺寸原理。
？若列力矩平衡方程式，即 mA 0
则，F1、F2对A点的矩为多少？ F1对A点的矩为：- F1 l F2对A点的矩为：0