24章：圆-小结与复习

A
● ● ●B
C
● ●
●
D
O1
O2
在同圆或等圆中，能够互相重合 的弧叫等弧
三.圆的基本性质： 1.圆的对称性: (1)圆是轴对称图形,经过圆心的每一条 直线都是它的对称轴.圆有无数条对称轴. (2)圆是中心对称图形,并且绕圆心旋转 任何一个角度都能与自身重合,即圆具有 旋转不变性.
．
2、垂径定理
）
4.有两个同心圆，半径分别为Ｒ 和r，Ｐ是圆环内一点，则ＯＰ的取值 r<OP<R . 范围是＿＿＿＿＿
O
P
三角形的外接圆 经过三角形三个顶点可以画一个圆， 并且只能画一个． 经过三角形三个顶点的圆 叫做三角形的外接圆。 三角形外接圆的圆心叫 做这个三角形的外心。 这个三角形叫做这个圆 的内接三角形。
（2)圆周角定理及推论
判断:
(1) 相等的圆心角所对的弧相等. (×)
(2)相等的圆周角所对的弧相等. (×) (3) 等弧所对的圆周角相等. (√)
1、如图1，AB是⊙O的直径，C为圆上 一点，弧AC度数为60°，OD⊥BC，D为垂 40 ，BC=_____ 足，且OD=10，则AB=_____ ； 20 3
五.直线与圆的位置关系
r O ┐d r
●
●
O
r
●
O
相交
d ┐ 相切
d
┐ 相离
1、直线和圆相交 2、直线和圆相切 3、直线和圆相离
d <r;
d =r; d >r.

切线的性质定理：
圆的切线垂直于过切点的半径. 几何语言： ∵CD切⊙O于Ａ, OA是 ⊙O的半径
∴CD⊥OA.
O D
●
C
A
切线的判定定理
x E x F 9﹣ x B D 13﹣x C O
13﹣x
9﹣ x
如图，△ABC中,∠C =90º ,它的内切圆O分 别与边AB、BC、CA相 切于点D、E、F，且 BD=12，AD=8， 求⊙O的半径r.
A
D
O
B
F
E
C
如图，从⊙O外一点P作⊙O的两条切线，分别 切⊙O于A 、B，在AB上任取一点C作⊙O的切 线分别交PA 、PB于D 、E（1）若PA=2，则 △PDE的周长为____ 4 ；若PA=a，则△PDE的周 2a 。（2）连结OD 、OE，若∠P=40 长为_____ 70° °，则∠DOE=_____;若∠P=k,∠DOE=__ 度 。
(1）.定理 垂直于弦的直径平分 弦,并且平分弦所的两条弧 . C
A
若 ① CD是直径 ② CD⊥AB ③AM=BM, 可推得 D ⌒ ⌒ ④AC=BC, ⌒ ⌒ ⑤AD=BD. 重视：模型“垂径定理直角三角形”
●
M└
B O
(2）垂径定理以及推论 (1)直径 (过圆心的线)； (2)垂直弦； (3) 平分弦 ；
一.圆的定义（运动观点）
在一个平面内，线段OA绕它固 定的一个端点O旋转一周，另一 个端点A随之旋转所形成的图形 叫做圆。 固定的端点O叫做圆心，线段 OA叫做半径，以点O为圆心的圆， 记作☉O，读作“圆O”
圆的定义辨析
• • • •
篮球是圆吗？（圆必须在一个平面内） 以3cm为半径画圆，能画多少个？ 以点O为圆心画圆，能画多少个？ 由此，你发现半径和圆心分别有什么作用？ （半径确定圆的大小；圆心确定圆的位置） • 圆是“圆周”还是“圆面”？ – 圆是一条封闭曲线 • 圆周上的点与圆心有什么关系？
D．60°
4.如图：圆O中弦AB等于半径R，则这 60度 ,圆周 条弦所对的圆心角是＿＿＿ 30或150度 . 角是＿＿＿＿＿＿
O
A
B
5：已知ABC三点在圆O上，连 接ABCO，如果∠ AOC=140 °， D 求∠ B的度数． 解：在优弧AC上定一点D， A 连结AD、CD. B ∵ ∠ AOC=140 ° ∴ ∠ D=70 ° ∴ ∠ B=180 ° －70 ° =110 °
三角形的内心到三角 C 形的三边的距离相等
直角三角形的 内切圆半径与 三边关系.

三角形的内切圆 半径与圆面积.

abc r . 2
A D
●
1 S r a b c . 2
A D
●
O
┓
┗ F
O
┓
F
B
E
C
B
E
C
三角形的外接圆和内切圆： A
A O C B B C
I
实质
性质
三角形 的外心 三角形 的内心
A C O P B
D
O A
3、如图，两圆相交于B、C ， AC 100 延长AB，AC分别交⊙ O于D、E，则 50
E= --------------
B A C
D
E
4.如图所示，已知RtΔABC中，∠C=90°, AC= 2 ,BC=1,若以C为圆心，CB为半径的 3 。 圆交AB于P，则∠AOB=∠A′O′B′
可推出
┏ A′ D′ B′
⌒ ⌒ ②AB=A′B′
④ OD=O′D′
（2)圆周角定理及推论
D B
●
C E A C
C
O
●
O
BA
●
O
B
A
定理: 同弧或等弧所对的圆周角 相等,都等于这弧所对的圆心角的一半. 推论:直径所对的圆周角是 直角 . 90°的圆周角所对的弦是 直径 .
反证法的三个步骤： 1、提出假设 2、由题设出发，引出矛盾 3、由矛盾判定假设不成立，肯定结 论正确
圆内接四边形的性质：
（1）对角互补；
（2）任意一个外角都等于它的内 对角
回忆：三角形的外心是否一定在三角 形的内部？
A
A
●
A
●
O C B
┐
O
●
O C
B
C
B
锐角三角形的外心位于三角形内, 直角三角形的外心位于直角三角形 斜边中点, 钝角三角形的外心位于三角形外.
8.如图所示，弦AB的长等于⊙O的半
径，点C在AmB上,则∠C= 30° 。
四、点和圆的位置关系
.o .p r .o .p .o .p
Op＜r Op=r
Op＞r
点p在⊙o内 点p在⊙o上
点p在⊙o外
1、⊙O的半径为R，圆心到点A的距离为 2 d，且R、d分别是方程 x －6x＋8＝0的 两根，则点A与⊙O的位置关系是（ D ）
●
A
O C
B
三角形的外接圆 三角形的外心就是三角形三条边的 垂直平分线的交点，它到三角形三个 顶点的距离相等。
A
一个三角形的外接圆有几个？ 一个圆的内接三角形有几个？ B
●
O C
不在同一直线上的三个点确定一个圆 （这个三角形叫做圆的内接三角形， 这个圆叫做三角形的外接圆，圆心叫 做三角形的外心）
O C
6.半径为1的圆中有一条弦，如果它的长为 那么这条弦所对的圆周角为 ( ). D 3 A.60° B.120° C.45° D.60°或120°
，
7.如图，四边形ABCD内 接于⊙O，若它的一个 外 角 ∠DCE=70° ， 则 ∠BOD=( D )
A．35° B.70° C．110° D.140°
A
C
M└
●
B O
(4)平分劣弧；
(5)平分优弧.
知 二 得 三
D
注意: “ 直径平分弦则垂直 于弦.” 这句话对吗?（错 )
想一想？ 判断下列说法的正误： (1)弦是直径； (2)半圆是弧； (3)过圆心的线段是直径； (4)过圆心的直线是直径； (5)半圆是最长的弧； (6)直径是最长的弦； (7)等弧就是拉直以后长度相等的 弧
三角形三边垂直 到三角形各顶 平分线的交点 点的距离相等 三角形三内角角 到三角形各边 平分线的交点 的距离相等
特别的: 等边三角形的外心与内心重合. 内切圆半径与外接圆半径的比是1:2.
A
O
B
D
C
例：如图， △ABC的内切圆⊙O与BC、 CA、AB分别相切于点D、E、F，且 AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，求AF、 BD、CE的长。 A
●
4
D
5 3
B
当两条弦在圆心的同 侧时
EF=OE-OF=1
C A 5 4 F
●O
5
B
D
E3
1、已知 ⊙ O中，弦AB垂直于直径CD， 垂足为P，AB=6，CP=1，则 ⊙ O的半径 5 。 为 -----2、已知 ⊙ O的直径为10cm,A是⊙ O内一点，且OA=3cm,则 ⊙ O中过点A 8 的最短弦长=-------cm 。
• 定理 经过半径的外端,并且垂直于这 条半径的直线是圆的切线. 如图 ∵OA是⊙O的半径, 且 CD⊥OA, ∴ CD是⊙O的切线.
●
O
C
A
D
（１）定义 （２）圆心到直线的距离d＝圆的 半径r
（３）切线的判定定理：经过半 径的外端,并且垂直于这条半径的 直线是圆的切线.
切线的判定定理的两种应用
O
B
如：优弧BAC
劣弧BC
3、顶点在圆心的角叫圆 心角 如：∠AOB
C B
●
O
A
4.顶点在圆上,并且两边 都和圆相交的角叫圆周角. 如：∠BAC ① 角的顶点在圆上. 特征： ② 角的两边都与圆相交.
B
A
O C
.
5.圆心相同，半径不等的圆 叫同心圆
● ●
O
6、能够互相重合的两个圆叫等圆 ◆同圆或等圆的半径相等
A．点A在⊙O内部
C．点A在⊙O外部
B．点A在⊙O上