【新课标】备战2012年高考数学(文)二轮专题02课时《函数的图像及其性质》PPT课件

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2012届高考数学二轮复习精品课件(大纲版)专题1 第2讲函数的图象与性质

第2讲 │ 要点热点探究
1 1 的值域是_______ . 已知函数 f(x)＝ x －2的定义域是 R，则 f(x)的值域是＝，的值域是方法一：∵2 >0，∴2 ＋1>1，∴0< x ，， 2 ＋1 1 1 1 1 1 1 1 1 <1，则－ < x ，－2<2.即函数 f(x)＝ x 即函数＝－2的值域是－2，2. 2 2 ＋1 2 ＋1 1－2y － 1 1 x 方法二(反函数法反函数法)： .∵2x>0，方法二反函数法：由 y＝ x ＝－ 2，得 2 ＝ ∵ ， 2 ＋1 1＋2y ＋ 1－2y － 1 1 1 1 >0，解得－ <y< ，即函数 f(x)＝ x ，解得－2 ＝－2的值域是 ∴ 2 2 ＋1 1＋2y ＋ 1 1 －， . 2 2
第2讲 │ 要点热点探究
要点热点探究 ► 探究点一函数的定义域和值域
1 ，则 f(x) 1 log (2x＋1) 2 ＋ )
江西卷] 例 1 [2011· 江西卷若 f(x)＝＝的定义域为( ) 的定义域为 1 A.－2，0 1 －，＋∞ C. 2，＋∞
第2 讲
函数的图象与性质
第2讲函数的图象与性质
第2讲 │ 主干知识整合
主干知识整合
1．函数及其性质． (1)函数的定义：函数是定义在两个非空数集 A、B 上的映函数的定义：函数的定义、它由定义域、值域和对应法则组成．射，它由定义域、值域和对应法则组成． (2)函数的性质：函数的性质：函数的性质反映了函数的变化规律，函数的性质函数的性质反映了函数的变化规律，高考中常考的函数性质是单调性、奇偶性和周期性．中常考的函数性质是单调性、奇偶性和周期性． (3)函数是增减)函数，其几何意义是函数图象上任意两点函数是增(减函数函数，函数是增的连线的斜率都大于(小于小于)零函数是偶函数的充要条件是函的连线的斜率都大于小于零．函数是偶函数的充要条件是函轴对称；数的图象关于 y 轴对称；函数是奇函数的充要条件是函数的图象关于原点对称．象关于原点对称．如果函数有周期 T，则 T 的正整数倍是函数，的周期，其负整数倍也是函数的周期．的周期，其负整数倍也是函数的周期．

2012高考数学二轮专题第2讲函数、基本初等函数的图像与性质课件

上单调递减；＋∞)上单调递减；
a>1 时，在 R 上 a>1 时，在(0，
单调递增＋∞)上单调递增
函数值性质
0<a<1，
0<a<1，
当
x>0
时，当 x>1 时，y<0；
0<y<1；
当 x<0 时，y>1 当 0<x<1 时，y>0
a>1，
a>1，
当 x>0 时，y>1；当 x>1 时，y>0；
(x≤0)， (x>0)，若 f(－4)＝
f(0)，f(－2)＝－2，求关于 x 的方程 f(x)＝x 的解的个数.
思维启迪由两个已知条件求出 b，c，再利用函数图象
或解方程求解．
解方法一由 f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，
可得146－－24bb＋＋c＝c＝－c，2， ∴b＝4，c＝2，
3．函数的奇偶性反映了函数图象的对称性，是函数的整体特性．利用函数的奇偶性可以把研究整个函数具有的性质问题转化到只研究部分(一半)区间上，是简化问题的一种途径．
4．函数图象是函数的一种直观形象的表示，是函数部分运用数形结合思想方法的基础，要掌握好画图、识图、用图三个基本问题．
5．函数图象的对称性 (1)若函数 y＝f(x)满足 f(a＋x)＝f(a－x)，即 f(x)＝f(2a －x)，则 f(x)的图象关于直线 x＝a 对称． (2)若 f(x)满足 f(a＋x)＝f(b－x)，则函数 f(x)的图象关于直线 x＝a＋2 b对称． (3)若函数 y＝f(x)满足 f(x)＝2b－f(2a－x)，则该函数图象关于点(a，b)成中心对称．

2012年高考数学理科二轮复习课件：2.1 基本初等函数的图象和性质(共22张ppt)

对数函数的图象都经过点(1,0)，且图象都在第一、四象限；对数函数的图象都经过点，且图象都在第一、四象限；轴为渐近线(当对数函数都以y轴为渐近线时对数函数都以轴为渐近线当0<a<1时，图象向上无限接近y轴；当a>1时，图象向下无限接近轴)；轴时图象向下无限接近y轴；对于相同的a(a>0，且a≠1)，函数＝logax与y＝logx的图对于相同的，，函数y＝与＝的图象关于x轴对称轴对称．象关于轴对称．
x＋1(x>0)，，＋ (D)y＝＝ x＋4(x≤－1). ≤ ＋
(2)已知函数＝2x的反函数－1(x)满足－1(a)＋f－1(b)＝已知函数f(x)＝的反函数f 满足f 已知函数满足＋＝
1 1 4，则＋的最小值为的最小值为( ， a b
(A)1．．
)
分析】利用奇函数的定义求出解析式，【分析】利用奇函数的定义求出解析式，再用单调性的定义证明，然后利用性质求解不等式．义证明，然后利用性质求解不等式．解析】【解析】 (1)a＝1，b＝0．＝，＝． (2)设－1<x1<x2<1, 设 x1 x2 ( x1 − x2 ) ( 1 − x1 x2 ) − = 则f(x1)－f(x2)＝－＝ 2 2 1 + x1 1 + x2 1 + x12 1 + x2 2 因为|x 因为 1|<1，|x2|<1，所以 1x2|<1，得1－x1x2>0．，，所以|x ，－．又x1－x2<0，可得 1)<f(x2)，，可得f(x ，即函数f(x)在区间－1,1)上是增函数．在区间(－上是增函数．即函数在区间上是增函数 (3)由f(t－1)＋f(t)<0得f(t－1)<f(－t)，由－＋得－－， 1 所以－－－，所以－1<t－1<－t<1，得0<t< ． 2 点评】此题主要考查函数奇偶性问题，【点评】此题主要考查函数奇偶性问题，可通过赋予恰当的数值，经过运算与推理，最后得出结论．的数值，经过运算与推理，最后得出结论．判断函数单调性的主要方法是定义法即比差法，主要方法是定义法即比差法，函数单调性是函数性质中最活跃的性质，它的运用主要体现在不等式方面，的性质，它的运用主要体现在不等式方面，如解抽象函数不等式．

(新人教)2012届高三数学第二轮复习函数图象与图象变换

10 函数图象与图象变换函数的图象与性质是高考考查的重点内容之一，它是研究和记忆函数性质的直观工具，利用它的直观性解题，可以起到化繁为简、化难为易的作用.因此，考生要掌握绘制函数图象的一般方法，掌握函数图象变化的一般规律，能利用函数的图象研究函数的性质. ●难点磁场(★★★★★)已知函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d 的图象如图，求b 的范围.●案例探究［例1］对函数y =f (x )定义域中任一个x 的值均有f (x +a )=f (a －x ),(1)求证y =f (x )的图象关于直线x =a 对称；(2)若函数f (x )对一切实数x 都有f (x +2)=f (2－x ),且方程f (x )=0恰好有四个不同实根，求这些实根之和.命题意图：本题考查函数概念、图象对称问题以及求根问题.属★★★★★级题目. 知识依托：把证明图象对称问题转化到点的对称问题.错解分析：找不到问题的突破口，对条件不能进行等价转化.技巧与方法：数形结合、等价转化.(1)证明：设(x 0,y 0)是函数y =f (x )图象上任一点，则y 0=f (x 0),又f (a +x )=f (a －x ),∴f (2a －x 0)=f ［a +(a －x 0)］=f ［a －(a －x 0)］=f (x 0)=y 0,∴(2a －x 0,y 0)也在函数的图象上，而2)2(00x x a +-=a ,∴点(x 0,y 0)与(2a －x 0,y 0)关于直线x =a 对称，故y =f (x )的图象关于直线x =a 对称.(2)解：由f (2+x )=f (2－x )得y =f (x )的图象关于直线x =2对称，若x 0是f (x )=0的根，则4－x 0也是f (x )=0的根，由对称性，f (x )=0的四根之和为8. ［例2］如图，点A 、B 、C 都在函数y =x 的图象上，它们的横坐标分别是a 、a +1、a +2.又A 、B 、C 在x 轴上的射影分别是A ′、B ′、C ′,记△AB ′C 的面积为f (a ),△A ′BC ′的面积为g (a ).(1)求函数f (a )和g (a )的表达式；(2)比较f (a )与g (a )的大小，并证明你的结论.命题意图：本题考查函数的解析式、函数图象、识图能力、图形的组合等.属★★★★★级题目.知识依托：充分借助图象信息，利用面积问题的拆拼以及等价变形找到问题的突破口. 错解分析：图形面积不会拆拼.技巧与方法：数形结合、等价转化.解：(1)连结AA ′、BB ′、CC ′,则f (a )=S △AB ′C =S 梯形AA ′C ′C －S △AA ′B ′－S △CC ′B =21(A ′A +C ′C )=21(2++a a ), g (a )=S △A ′BC ′=21A ′C ′·B ′B =B ′B =1+a . 0)11121(21)]1()12[(21)122(21)()()2(<++-+++=-+-+-+=+-++=-aa a a a a a a a a a a g a f ∴f (a )<g (a ).●锦囊妙计1.熟记基本函数的大致图象，掌握函数作图的基本方法：(1)描点法：列表、描点、连线；(2)图象变换法：平移变换、对称变换、伸缩变换等.2.高考中总是以几类基本初等函数的图象为基础来考查函数图象的.题型多以选择与填空为主，属于必考内容之一，但近年来，在大题中也有出现，须引起重视.●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★)当a ≠0时，y =ax +b 和y =b ax 的图象只可能是()2.(★★★★)某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了，再走余下的路，下图中y 轴表示离学校的距离，x 轴表示出发后的时间，则适合题意的图形是()二、填空题3.(★★★★★)已知函数f (x )=log 2(x +1)，将y =f (x )的图象向左平移1个单位，再将图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到函数y =g (x )的图象，则函数F (x )=f (x )－g (x )的最大值为_________.三、解答题4.(★★★★)如图，在函数y =lg x 的图象上有A 、B 、C 三点，它们的横坐标分别为m ,m +2,m +4(m >1).(1)若△ABC 面积为S ，求S =f (m );(2)判断S =f (m )的增减性.5.(★★★★)如图，函数y =23|x |在x ∈［－1,1］的图象上有两点A 、B ，AB ∥Ox 轴，点M (1，m )(m ∈R 且m >23)是△ABC 的BC 边的中点. (1)写出用B 点横坐标t 表示△ABC 面积S 的函数解析式S =f (t );(2)求函数S =f (t )的最大值，并求出相应的C 点坐标.6.(★★★★★)已知函数f (x )是y =1102+x －1(x ∈R )的反函数，函数g (x )的图象与函数y =－21-x 的图象关于y 轴对称，设F (x )=f (x )+g (x ). (1)求函数F (x )的解析式及定义域；(2)试问在函数F (x )的图象上是否存在两个不同的点A 、B ，使直线AB 恰好与y 轴垂直？若存在，求出A 、B 的坐标；若不存在，说明理由. 7.(★★★★★)已知函数f 1(x )=21x -,f 2(x )=x +2,(1)设y =f (x )=⎩⎨⎧∈--∈]1,0[ ),(3)0,1[ ),(21x x f x x f ，试画出y =f (x )的图象并求y =f (x )的曲线绕x 轴旋转一周所得几何体的表面积；(2)若方程f 1(x +a )=f 2(x )有两个不等的实根，求实数a 的范围.(3)若f 1(x )>f 2(x －b )的解集为［－1，21］，求b 的值. 8.(★★★★★)设函数f (x )=x +x1的图象为C 1，C 1关于点A (2，1)对称的图象为C 2，C 2对应的函数为g (x ).(1)求g (x )的解析表达式；(2)若直线y =b 与C 2只有一个交点，求b 的值，并求出交点坐标；(3)解不等式log a g (x )<log a 29 (0<a <1). 参考答案难点磁场解法一：观察f (x )的图象，可知函数f (x )的图象过原点，即f (0)=0,得d =0,又f (x )的图象过(1，0)，∴f (x )=a +b +c ①,又有f (－1)＜0,即－a +b －c ＜0②,①+②得b ＜0,故b 的范围是(－∞,0)解法二：如图f (0)=0有三根，∴f (x )=ax 3+bx 2+cx +d =ax (x －1)(x －2)=ax 3－3ax 2+2ax ,∴b = －3a ,∵a >0,∴b ＜0.歼灭难点训练一、1.解析：∵y =b ax =(b a )x ,∴这是以b a 为底的指数函数.仔细观察题目中的直线方程可知：在选择支B 中a >0,b >1,∴b a >1,C 中a ＜0,b >1,∴0＜b a ＜1,D 中a ＜0,0＜b ＜1,∴b a >1.故选择支B 、C 、D 均与指数函数y =(b a )x 的图象不符合.答案：A2.解析：由题意可知，当x =0时，y 最大，所以排除A 、C.又一开始跑步，所以直线随着x 的增大而急剧下降.答案：D二、3.解析：g (x )=2log 2(x +2)(x >－2)F (x )=f (x )－g (x )=log 2(x +1)－2log 2(x +2)=log 21441log 441log )2(122222+++=+++=++x x x x x x x x )1(21111log 2->++++=x x x ∵x +1>0,∴F (x )≤41log 211)1(21log 22=++⋅+x x =－2 当且仅当x +1=11+x ,即x =0时取等号. ∴F (x )max =F (0)=－2.答案：－2三、4.解：(1)S △ABC =S 梯形AA ′B ′B +S 梯形BB ′C ′C －S 梯形AA ′C ′C .(2)S =f (m )为减函数.5.解：(1)依题意，设B (t ,23 t ),A (－t , 23t )(t >0),C (x 0,y 0). ∵M 是BC 的中点.∴20x t +=1,2230y t + =m . ∴x 0=2－t ,y 0=2m －23t .在△ABC 中，|AB |=2t ,AB 边上的高h AB =y 0－23t =2m －3t . ∴S =21|AB |·h AB = 21·2t ·(2m －3t ),即f (t )=－3t 2+2mt ,t ∈(0,1). (2)∵S =－3t 2+2mt =－3(t －3m )2+32m ,t ∈(0,1],若⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤<23130m m ，即23＜m ≤3,当t =3m 时，S max =32m ,相应的C 点坐标是(2－3m , 23m ),若3m >1,即m >3.S =f (t )(0，1］上是增函数，∴S max =f (1)=2m －3,相应的C 点坐标是(1，2m －3).6.解：(1)y =1102+x －1的反函数为f (x )=lg x x +-11(－1＜x ＜1).由已知得g (x )=21+x ,∴F (x )=lg x x +-11+21+x ,定义域为(－1，1). (2)用定义可证明函数u =x x +-11=－1+12+x 是(－1，1）上的减函数，且y =lg u 是增函数.∴f (x )是(－1，1）上的减函数，故不存在符合条件的点A 、B . 7.解：(1）y =f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧∈+--∈-]1,0[,1)0,1[,12x x x x .图略. y =f (x )的曲线绕x 轴旋转一周所得几何体的表面积为(2+2)π.(2)当f 1(x +a )=f 2(x )有两个不等实根时，a 的取值范围为2－2＜a ≤1.(3)若f 1(x )>f 2(x －b )的解集为［－1，21］，则可解得b =235-. 8.(1)g (x )=x －2+41-x .(2)b =4时，交点为(5，4)；b =0时，交点为(3，0). (3)不等式的解集为{x |4＜x ＜29或x >6}.高*考。

2012年高考数学函数的图像与性质练习题及答案

2012年高考数学二轮复习同步练习：专题2函数、导数及其应用第1讲函数的图像与性质一、选择题1．(文)(2011·海南五校联考)若函数y ＝(x ＋1)(x －a )为偶函数，则a ＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2[答案] C[解析] 由已知得函数y ＝x 2＋(1－a )x －a 是偶函数，因此1－a ＝0，a ＝1，选C. (理)(2011·重庆理，5)下列区间中，函数f (x )＝|ln(2－x )|在其上为增函数的是( ) A ．(－∞，1] B ．[－1，43]C ．[0，32)D ．[1,2) [答案] D[解析] f (x )＝|ln(2－x )|＝⎩⎨⎧ln (2－x ) (x <1)－ln (2－x ) (1≤x <2)所以当x ∈(－∞，1)时，f (x )是减函数，当x ∈[1,2)时，f (x )是增函数，故选D.[评析] 本题亦可作出f (x )的图像，直接判定．2．(文)(2011·浙江理，1)设函数f (x )＝⎩⎨⎧－x ，x ≤0x 2，x >0，若f (a )＝4，则实数a ＝( )A. －4或－2B. －4或2 C ．－2或4 D ．－2或2[答案] B[解析] 当a ≤0时，f (a )＝－a ＝4，∴a ＝－4；当a >0时，f (a )＝a 2＝4，∴a ＝2. 综之：a ＝－4或2，选B.(理)(2011·广东理，4)设函数f (x )和g (x )分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( ) A ．f (x )＋|g (x )|是偶函数 B ．f (x )－|g (x )|是奇函数 C ．|f (x )|＋g (x )是偶函数 D ．|f (x )|－g (x )是奇函数 [答案] A[解析] ∵f (－x )＋|g (－x )|＝f (x )＋|－g (x )|＝f (x )＋|g (x )|， ∴f (x )＋|g (x )|为偶函数．选A. 3．(2011·广东文，4)函数f (x )＝11－x＋lg(1＋x )的定义域是( ) A ．(－∞，－1)B ．(1，＋∞)C ．(－1,1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，＋∞)[答案] C[解析] 要使函数有意义，则有⎩⎨⎧1－x ≠01＋x >0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≠1x >－1，所以函数的定义域为 (－1,1)∪(1，＋∞)．4．(2011·宁波二模)函数f (x )的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，且f (x ＋1)为奇函数，当x >1时，f (x )＝2x 2－12x ＋16，则直线y ＝2与函数f (x )图像的所有交点的横坐标之和是( )A ．1B ．2C ．4D ．5[答案] D[解析] 本题考查函数单调性、奇偶性、对称性知识．结合函数图像，该函数图像与直线y ＝2有三个交点，x 1＝－1，x 2＋x 3＝6(其中x 2，x 3关于x ＝3对称)，则横坐标之和为5.5．(2010·山东理，4)设f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x ＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－1)＝( )A ．3B ．1C ．－1D ．－3 [答案] D[解析] ∵f (x )是奇函数，∴f (0)＝0，即0＝20＋b ， ∴b ＝－1，故f (1)＝2＋2－1＝3， ∴f (－1)＝－f (1)＝－3.6．(2011·厦门质检)以下四个函数图像错误．．的是( )[答案] C[解析] 函数y ＝log 12|x |的图像关于y 轴对称，其图像向左平移1个单位可得函数y ＝log 12|x ＋1|的图像，其图像关于直线x ＝－1对称，由此可知C 选择支中的图像是不正确的，故应选C.7．(文)(2011·辽宁文，6)若函数f (x )＝x(2x ＋1)(x －a )为奇函数，则a ＝( )A.12B.23C.34 D ．1[答案] A[解析] 解法一：∵f (x )是奇函数且 f (x )＝x (2x ＋1)(x －a )＝x2x 2＋(1－2a )x －a∴f (－x )＝－x2x 2－(1－2a )x －a＝－f (x )＝－x2x 2＋(1－2a )x －a∴－(1－2a )＝1－2a ，∴1－2a ＝0，∴a ＝12.解法二：∵f (x )的分子是奇函数∴要使f (x )为奇函数，则它的分母必为偶函数 ∴1－2a ＝0，∴a ＝12.(理)(2011·大纲全国卷理，9)设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f (－52)＝( )A ．－12B ．－14C.14D.12[答案] A[解析] f (－52)＝f (－12)＝－f (12)＝－12.8．(2011·山东理，9)函数y ＝x2－2sin x 的图像大致是( )[答案] C[解析] 依题意f (x )是奇函数且f (0)＝0，则排除A. 令f (x )＝0，则x 2－2sin x ＝0，即sin x ＝x4，又－1≤sin x ≤1，∴－4≤x ≤4，即方程f (x )＝0的零点在(－2π，2π)之间，则排除D.又f ′(x )＝12－2cos x ，则f ′(x )＝0，即cos x ＝14，当x ∈R 时，x 的值有无数个，即函数f (x )的极值点有无数个，则排除B.故选C.二、填空题9．(2011·龙岩质检题)已知函数f (x )为R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x (x ＋1)．若f (a )＝－2，则实数a ＝__________.[答案] －1[解析] 令x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－x (1－x )，又f (x )为奇函数，所以当x <0时有f (x )＝x (1－x )，令f (a )＝a (1－a )＝－2，得a 2－a －2＝0，解得a ＝－1或a ＝2(舍去)．10．(2011·湖南文，12)已知f (x )为奇函数，g (x )＝f (x )＋9，g (－2)＝3，则f (2)＝________. [答案] 6[解析] 由g (x )＝f (x )＋9知g (－2)＝f (－2)＋9＝3，∴f (－2)＝－6，而由于f (x )是奇函数，所以f (2)＝－f (－2)＝－(－6)＝6.11．(文)(2011·武汉调研)若函数y ＝f (x ＋2)的图像过点P (－1,3)，则函数y ＝f (x )的图像关于原点O 对称的图像一定过点________．[答案] (－1，－3)[解析] 依题意得f (－1＋2)＝3，f (1)＝3，即函数f (x )的图像一定过点(1,3)，因此函数y ＝f (x )的图像关于原点O 对称的图像一定经过点(1,3)关于原点O 的对称点(－1，－3)．(理)(2011·南京一调)设M 是由满足下列性质的函数f (x )构成的集合：在定义域内存在x 0，使得f (x 0＋1)＝f (x 0)＋f (1)成立．已知下列函数：①f (x )＝1x ；②f (x )＝2x ；③f (x )＝lg(x 2＋2)；④f (x )＝cosπx .其中属于集合M的函数是________(写出所有满足要求的函数的序号)．[答案] ②④ [解析] 对于①，方程1x ＋1＝1x＋1，显然无实数解；对于②，由方程2x ＋1＝2x ＋2，解得x ＝1；对于③，方程lg[(x ＋1)2＋2]＝lg(x 2＋2)＋lg3，显然也无实数解；对于④，方程cos[π(x ＋1)]＝cosπx ＋cosπ，即cosπx ＝12，显然存在x 使等式成立，故填②④. 12．(文)(2011·安徽文，13)函数y ＝16－x －x 2的定义域是________．[答案] {x |－3<x <2}[解析] 由6－x －x 2>0，得x 2＋x －6<0，即{x |－3<x <2}．(理)(2011·湖南六校联考)设f (x )是定义在R 上的以3为周期的奇函数，若f (1)>1，f (2)＝2a －3a ＋1，则实数a 的取值范围是________．[答案] (－1，23)[解析] f (x ＋3)＝f (x )，f (－x )＝－f (x )，得f (2)＝f (2－3)＝f (－1)＝－f (1)，又f (1)>1，所以f (2)<－1，即2a －3a ＋1<－1，解得－1<a <23.三、解答题13．(文)设f (x )是定义在R 上的偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增，且满足f (－a 2＋2a －5)<f (2a 2＋a ＋1)，求实数a 的取值范围．[解析] (1)∵f (x )为R 上的偶函数， ∴f (－a 2＋2a －5)＝f [－(－a 2＋2a －5)] ＝f (a 2－2a ＋5)．∴不等式等价于f (a 2－2a ＋5)<f (2a 2＋a ＋1)， ∵a 2－2a ＋5＝(a －1)2＋4>0，而2a 2＋a ＋1＝2(a ＝14)2＋78>0.∵f (x )在区间(－∞，0)上单调递增，而偶函数图像关于y 轴对称， ∴f (x )在区间(0，＋∞)上单调递减， ∴由f (a 2－2a ＋5)<f (2a 2＋a ＋1)，得a 2－2a ＋5>2a 2＋a ＋1⇒a 2＋3a －4<0 ⇒－4<a <1，∴实数a 的取值范围是(－4,1)．(理)已知函数f (x )＝m ·2x ＋m －22x ＋1(x ∈R )为奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若f (x )＝k 在(－∞，0)上有解，求实数k 的范围．[解析] (1)令x ＝0，得f (0)＝0，即0.5(m ＋m －2)＝0，所以m ＝1，当m ＝1时，f (x )＝2x －12x ＋1＝－f (－x )，所以当m ＝1时，f (x )为奇函数，所以m ＝1. (2)k ＝f (x )＝2x －12x ＋1＝2x ＋1－22x ＋1＝1－22x ＋1.∵x ∈(－∞，0)，∴1<2x ＋1<2.∴1>12x ＋1>12，∴－1<f (x )<0，∴k ∈(－1,0)．14．(2011·山东日照质检题)已知定义在R 上的函数f (x )对任意实数x ，y 恒有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x >0时，f (x )<0，又f (1)＝－23.(1)求证：f (x )为奇函数； (2)求证：f (x )在R 上是减函数； (3)求f (x )在[－3,6]上的最大值与最小值．[解析] (1)证明：令x ＝y ＝0，可得f (0)＋f (0)＝f (0＋0)，从而f (0)＝0. 令y ＝－x ，可得f (x )＋f (－x )＝f (x －x )＝f (0)＝0. 即f (－x )＝－f (x )，故f (x )为奇函数．(2)证明：设x 1，x 2∈R ，且x 1>x 2，则x 1－x 2>0，于是f (x 1－x 2)<0，从而f (x 1)－f (x 2) ＝f [(x 1－x 2)＋x 2]－f (x 2) ＝f (x 1－x 2)＋f (x 2)－f (x 2) ＝f (x 1－x 2)<0. ∴f (x )为减函数．(3)解：由(2)知，所求函数的最大值为f (－3)，最小值为f (6)． f (－3)＝－f (3)＝－[f (2)＋f (1)] ＝－2f (1)－f (1)＝－3f (1)＝2，f (6)＝－f (－6)＝－[f (－3)＋f (－3)]＝－2f (－3)＝－4. 于是f (x )在[－3,6]上的最大值为2，最小值为－4.15．(2011·盐城模拟)已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋b 的图像过点(1,3)，且f (－1＋x )＝f (－1－x )对任意实数都成立，函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图像关于原点对称．(1)求f (x )与g (x )的解析式；(2)若F (x )＝g (x )－λf (x )在(－1,1]上是增函数，求实数λ的取值范围． [解析] (1)由题意知：a ＝1，b ＝0， ∴f (x )＝x 2＋2x .设函数y ＝f (x )图像上的任意一点Q (x 0，y 0)关于原点的对称点为P (x ，y )，则x 0＝－x ，y 0＝－y . ∵点Q (x 0，y 0)在y ＝f (x )的图像上， ∴－y ＝x 2－2x .∴y ＝－x 2＋2x . ∴g (x )＝－x 2＋2x .(2)F (x )＝－x 2＋2x －λ(x 2＋2x ) ＝－(1＋λ)x 2＋2(1－λ)x ，∵F (x )在(－1,1]上是增函数且连续， F ′(x )＝－2(1＋λ)x ＋2(1－λ)≥0恒成立，即λ≤1－x 1＋x ＝21＋x－1在(－1,1]上恒成立，由2－1在(－1,1]上为减函数，1＋x当x＝1时取最小值0，故λ≤0，所求λ的取值范围是(－∞，0]．。

福建省2012届高考数学文二轮专题总复习课件：专题1 第2课时函数的图像与性质

所以 2aab
2
0
,
所以 ba
1 ,
-1
所以，f (x) x2 x 1.
第二十页，编辑于星期日：十八点五十五分。
2由题意得x2 x 1 2x m在1,1上恒成立，即x2 3x 1 m 0，1,1上恒成立．
设g(x) x2 3x 1 m，其图象的对称轴为直线x 3，
变换，以基本初等函数为背景的综合题和应用题是近年来高考命题的新趋向，在函数
第二页，编辑于星期日：十八点五十五分。
命题中出现了大量的形式活泼、内涵丰富、立意高远的好题．
2．易错易漏 (1)忽略函数定义域优先的原则； (2)判断一个函数的奇偶性时，忽略对定义域是否关于
原点对称的判断； (3)根据定义证明函数的单调性时，不按规范格式书写；
(3)设mn<0，m+n>0，a>0且f(x)为偶函数，判断 F(m)+F(n)能否大于0.
第十四页，编辑于星期日：十八点五十五分。
【解析】(1)由f(-1)=0得a-b+1=0，所以b=a+1. 函数f(x)=ax2+(a+1)x+1，x∈R. 当a=0时，函数f(x)=x+1，值域为R，不合题意；当a 0时，函数f(x)为二次函数．又因为其值域为[0，+∞)，
(4)用换元法解题时，忽略换元前后的等价性
3．归纳总结常用的数学思想方法主要有：定义法、图象法、换元法、待定系数法、方程思想、等价转化等．
第三页，编辑于星期日：十八点五十五分。
1.已知f (2 1) x，则f 4 ( )
x
A. - 1
B. 1
2
2
C. 7

福建省2012届高考数学文二轮专题总复习课件：函数的图像与性质(2)

f ( x1 ) − f ( x2 ) > 0或 ( x1 − x2 ) f ( x1 ) − f ( x2 ) > 0；单调递增： x1 − x2 f ( x1 ) − f ( x2 ) 单调递增： < 0或 ( x1 − x2 ) f ( x1 ) − f ( x2 ) < 0. x1 − x2
第t天 Q(万股)
4 36
10 30
16 24
22 18
20
(1) 根据提供的图象，写出该股票交易价格P(元)所满足
的函数关系式；
( 2 ) 根据表中数据确定日交易量Q(万股)与时间t (天)的一
次函数关系式；
( 3)问30天内，该股票日交易金额哪天最大？最大日交易
金额是多少？
21
1 ( 0 < t ≤ 20，t ∈ N*) 5 t + 2 【解析】1) P = . ( − 1 t + 8 ( 20 < t ≤ 30，t ∈ N*) 10 ( 2 ) 设Q = at + b(a，b为常数)，将 ( 4,36 ) 与 (10,30 )的坐标代入， 4a + b = 36 a = −1 得，解得 . 10a + b = 30 b = 40 所以日交易量Q(万股)与时间t (天)的一次函数关系式为 Q = 40 − t (0 < t ≤ 30，t ∈ N* )．
23
②当20 < t ≤ 30，t ∈ N*时， 1 1 2 P Q = (− t + 8) ( 40 − t ) = ( t − 60 ) − 40， 10 10 所以，当t = 21时， Q) max = 112.1 < 125； (P 当t = 15时， Q) max = 125(万元)． (P 故该股票日交易额15号最大，最大交易金额是125万元．

2012届高考数学备考复习：函数、基本初等函数的图象与性质

2012届高考数学备考复习：函数、基本初等函数的图象与性质专题一：集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数第二讲函数、基本初等函数的图象与性质【最新考纲透析】1．函数（1）了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念。

（2）在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数。

（3）了解简单的分段函数，并能简单应用。

（4）理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义。

（）会运用函数图象理解和研究函数的性质。

2．指数函数（1）了解指数函数模型的实际背景。

（2）理解有理指数幂的含义，了解褛指数幂的意义，掌握幂的运算。

（3）理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点。

（4）知道指数函数是一类重要的函数模型。

3．对数函数（1）理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用。

（2）理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点。

（3）知道对数函数是一类重要的函数模型。

（4）了解指数函数与对数函数互为反函数（）。

4．幂函数（1）了解幂函数的概念（2）结合函数的图象了解它们的变化情况。

【核心要点突破】要点考向一：基本初等函数问题考情聚焦：1．一元二次函数、指数函数、对数函数和幂函数是最重要的基本初等函数，在每年高考中都有涉及到直接考查它们定义、定义域和值域、图象和性质的问题。

2．常与函数的性质、方程、不等式综合命题，多以选择、填空题的形式出现，属容易题。

考向链接：1．一元二次、二次函数及指数\对数函数和幂函数的定义、定义域、值域、图象和性质是解决此类题目的关键，同时要注意数形结合、化归和分类讨论思想的应用。

2熟记幂和对数的运算性质并能灵活运用。

例1：（2010•全国高考卷Ⅱ科•Ｔ4）函数=1+ln（x-1）(x>1)的反函数是（A）= -1(x>0) (B) ）= +1(x>0)() = -1(x R) (D）= +1 (x R)【命题立意】本题考查了反函数的概念及其求法。

高考数学(理科)二轮复习【专题2】函数、基本初等函数的图象与性质(含答案)

第1讲函数、基本初等函数的图象与性质考情解读(1)高考对函数的三要素，函数的表示方法等内容的考查以基础知识为主，难度中等偏下．(2)函数图象和性质是历年高考的重要内容，也是热点内容，对图象的考查主要有两个方面：一识图，二用图，即利用函数的图象，通过数形结合的思想解决问题；对函数性质的考查，则主要是将单调性、奇偶性、周期性等综合一起考查，既有具体函数也有抽象函数．常以填空题的形式出现，且常与新定义问题相结合，难度较大．1．函数的三要素定义域、值域及对应关系两个函数当且仅当它们的三要素完全相同时才表示同一函数．2．函数的性质(1)单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质．利用定义证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、判断符号、下结论．复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则．(2)奇偶性：奇偶性是函数在定义域上的整体性质．偶函数的图象关于y轴对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相反的单调性；奇函数的图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性．(3)周期性：周期性是函数在定义域上的整体性质．若函数在其定义域上满足f(a＋x)＝f(x)(a不等于0)，则其一个周期T＝|a|.3．函数的图象对于函数的图象要会作图、识图、用图．作函数图象有两种基本方法：一是描点法，二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．4．指数函数、对数函数和幂函数的图象和性质(1)指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)的图象和性质，分0<a <1，a >1两种情况，着重关注两函数图象中的两种情况的公共性质． (2)幂函数y ＝x α的图象和性质，分幂指数α>0，α<0两种情况.热点一函数的性质及应用例1 (1)(2014·课标全国Ⅱ)已知偶函数f (x )在[0，＋∞)单调递减，f (2)＝0.若f (x －1)>0，则x 的取值范围是________．(2)设奇函数y ＝f (x ) (x ∈R )，满足对任意t ∈R 都有f (t )＝f (1－t )，且x ∈⎣⎡⎦⎤0，12时，f (x )＝－x 2，则f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫－32＝________. 思维启迪 (1)利用数形结合，通过函数的性质解不等式；(2)利用f (x )的性质和x ∈[0，12]时的解析式探求f (3)和f (－32)的值．答案 (1)(－1,3) (2)－14解析 (1)∵f (x )是偶函数，∴图象关于y 轴对称．又f (2)＝0，且f (x )在[0，＋∞)单调递减，则f (x )的大致图象如图所示，由f (x －1)>0，得－2<x －1<2，即－1<x <3. (2)根据对任意t ∈R 都有f (t )＝f (1－t )可得f (－t ) ＝f (1＋t )，即f (t ＋1)＝－f (t )，进而得到 f (t ＋2)＝－f (t ＋1)＝－[－f (t )]＝f (t )，得函数y ＝f (x )的一个周期为2，故f (3)＝f (1)＝f (0＋1)＝－f (0)＝0，f ⎝⎛⎭⎫－32＝f ⎝⎛⎭⎫12＝－14.所以f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫－32＝0＋⎝⎛⎭⎫－14＝－14. 思维升华函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．(1)(2013·重庆改编)已知函数f (x )＝ax 3＋b sin x ＋4(a ，b ∈R )，f (lg(log 210))＝5，则f (lg(lg 2))＝________.(2)已知函数f (x )＝x 3＋x ，对任意的m ∈[－2,2]，f (mx －2)＋f (x )<0恒成立，则x 的取值范围为________________________________________________________________________．答案 (1)3 (2)⎝⎛⎭⎫－2，23 解析 (1)lg(log 210)＝lg ⎝⎛⎭⎫1lg 2＝－lg(lg 2)，由f (lg(log 210))＝5，得a [lg(lg 2)]3＋b sin(lg(lg 2))＝4－5＝－1，则f (lg(lg 2))＝a (lg(lg 2))3＋b sin(lg(lg 2))＋4＝－1＋4＝3. (2)易知f (x )为增函数．又f (x )为奇函数，由f (mx －2)＋f (x )<0知， f (mx －2)<f (－x )．∴mx －2<－x ，即mx ＋x －2<0，令g (m )＝mx ＋x －2，由m ∈[－2,2]知g (m )<0恒成立，即⎩⎪⎨⎪⎧g (－2)＝－x －2<0，g (2)＝3x －2<0，∴－2<x <23.热点二函数的图象例2 (1)下列四个图象可能是函数y ＝10ln|x ＋1|x ＋1图象的是________．(2)已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f (－12)，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为________．思维启迪 (1)可以利用函数的性质或特殊点，利用排除法确定图象．(2)考虑函数f (x )的单调性．答案 (1)③ (2)b >a >c解析 (1)函数的定义域为{x |x ≠－1}，其图象可由y ＝10ln|x |x 的图象沿x 轴向左平移1个单位而得到，y ＝10ln|x |x 为奇函数，图象关于原点对称，所以，y ＝10ln|x ＋1|x ＋1的图象关于点(－1,0)成中心对称．所以①④不可能是；又x >0时，y ＝10ln|x ＋1|x ＋1>0，所以②不可能是，图象③可能是．(2)由于函数f (x )的图象向左平移1个单位后得到的图象关于y 轴对称，故函数y ＝f (x )的图象本身关于直线x ＝1对称，所以a ＝f (－12)＝f (52)，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，等价于函数f (x )在(1，＋∞)上单调递减，所以b >a >c .思维升华 (1)作图：常用描点法和图象变换法．图象变换法常用的有平移变换、伸缩变换和对称变换．尤其注意y ＝f (x )与y ＝f (－x )、y ＝－f (x )、y ＝－f (－x )、y ＝f (|x |)、y ＝|f (x )|及y ＝af (x )＋b 的相互关系．(2)识图：从图象与轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系．(3)用图：图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象数形结合研究．(1)(2013·课标全国Ⅰ改编)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln (x ＋1)，x >0.若|f (x )|≥ax ，则a的取值范围是________．(2)形如y ＝b|x |－a (a >0，b >0)的函数，因其图象类似于汉字中的“囧”字，故我们把它称为“囧函数”．若当a ＝1，b ＝1时的“囧函数”与函数y ＝lg |x |图象的交点个数为n ，则n ＝________. 答案 (1)[－2,0] (2)4解析 (1)函数y ＝|f (x )|的图象如图．①当a ＝0时，|f (x )|≥ax 显然成立．②当a >0时，只需在x >0时，ln(x ＋1)≥ax 成立．比较对数函数与一次函数y ＝ax 的增长速度．显然不存在a >0使ln(x ＋1)≥ax 在x >0上恒成立． ③当a <0时，只需在x <0时，x 2－2x ≥ax 成立．即a ≥x －2成立，所以a ≥－2.综上所述：－2≤a ≤0. (2)由题意知，当a ＝1，b ＝1时， y ＝1|x |－1＝⎩⎨⎧1x －1(x ≥0且x ≠1)，－1x ＋1(x <0且x ≠－1)，在同一坐标系中画出“囧函数”与函数y ＝lg|x |的图象如图所示，易知它们有4个交点．热点三基本初等函数的图象及性质例3 (1)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，log 12(－x )，x <0，若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是________．(2)已知α，β∈[－π2，π2]且αsin α－βsin β>0，则下面结论正确的是________．①α>β；②α＋β>0；③α<β；④α2>β2.思维启迪 (1)可利用函数图象或分类讨论确定a 的范围；(2)构造函数f (x )＝x sin x ，利用f (x )的单调性．答案 (1)(－1,0)∪(1，＋∞) (2)④解析 (1)方法一由题意作出y ＝f (x )的图象如图．显然当a >1或－1<a <0时，满足f (a )>f (－a )．方法二对a 分类讨论：当a >0时，log 2a >log 12a ，即log 2a >0，∴a >1.当a <0时，log 12(－a )>log 2(－a )，即log 2(－a )<0，∴－1<a <0.(2)设f (x )＝x sin x ，x ∈[－π2，π2]，∴y ′＝x cos x ＋sin x ＝cos x (x ＋tan x )，当x ∈[－π2，0]时，y ′<0，∴f (x )为减函数，当x ∈[0，π2]时，y ′>0，∴f (x )为增函数，且函数f (x )为偶函数，又αsin α－βsin β>0， ∴αsin α>βsin β，∴|α|>|β|，∴α2>β2.思维升华 (1)指数函数、对数函数、幂函数和三角函数是中学阶段所学的基本初等函数，是高考的必考内容之一，重点考查图象、性质及其应用，同时考查分类讨论、等价转化等数学思想方法及其运算．(2)比较数式大小问题，往往利用函数图象或者函数的单调性．(1)设15<(15)b <(15)a <1，那么a a ，b a ，a b 的大小关系式是________．(2)已知函数f (x )＝2x－12x ，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x ≥0，f (－x )，x <0，则函数g (x )的最小值是________．答案 (1)a b <a a <b a (2)0解析 (1)因为指数函数y ＝(15)x 在(－∞，＋∞)上是递减函数，所以由15<(15)b <(15)a <1，得0<a <b <1，所以0<ab<1.所以y ＝a x ，y ＝b x ，y ＝(a b )x 在(－∞，＋∞)上都是递减函数，从而a b <a a ，(ab )a <1得b a >a a ，故a b <a a <b a .(2)当x ≥0时，g (x )＝f (x )＝2x －12x 为单调增函数，所以g (x )≥g (0)＝0；当x <0时，g (x )＝f (－x )＝2－x －12－x 为单调减函数，所以g (x )>g (0)＝0，所以函数g (x )的最小值是0.1．判断函数单调性的常用方法(1)能画出图象的一般用数形结合法去观察．(2)由基本初等函数通过加、减运算或复合而成的函数，常转化为基本初等函数单调性的判断问题．(3)对于解析式较复杂的一般用导数法． (4)对于抽象函数一般用定义法． 2．函数奇偶性的应用函数的奇偶性反映了函数图象的对称性，是函数的整体特性．利用函数的奇偶性可以把研究整个函数具有的性质问题转化到只研究部分(一半)区间上，是简化问题的一种途径．尤其注意偶函数f (x )的性质：f (|x |)＝f (x )． 3．函数图象的对称性(1)若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (a －x )，即f (x )＝f (2a －x )，则f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．提醒：函数y ＝f (a ＋x )与y ＝f (a －x )的图象对称轴为x ＝0，并非直线x ＝a . (2)若f (x )满足f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b2对称．(3)若函数y ＝f (x )满足f (x )＝2b －f (2a －x )，则该函数图象关于点(a ，b )成中心对称．4．二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体，要深刻理解它们之间的相互关系，能用函数与方程、分类讨论、数形结合思想来研究与“三个二次”有关的问题，高考对“三个二次”知识的考查往往渗透在其他知识之中，并且大都出现在解答题中． 5．指数函数、对数函数的图象和性质受底数a 的影响，解决与指、对数函数特别是与单调性有关的问题时，首先要看底数a 的范围．比较两个对数的大小或解对数不等式或解对数方程时，一般是构造同底的对数函数，若底数不同，可运用换底公式化为同底的对数，三数比较大小时，注意与0比较或与1比较． 6．解决与本讲有关的问题应注意函数与方程、数形结合、分类讨论、化归与转化等思想的运用．真题感悟1．(2014·安徽)若函数f (x )(x ∈R )是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (1－x )，0≤x ≤1，sin πx ，1<x ≤2，则f ⎝⎛⎭⎫294＋f ⎝⎛⎭⎫416＝________. 答案516解析 ∵f (x )是以4为周期的奇函数， ∴f ⎝⎛⎭⎫294＝f ⎝⎛⎭⎫8－34＝f ⎝⎛⎭⎫－34， f ⎝⎛⎭⎫416＝f ⎝⎛⎭⎫8－76＝f ⎝⎛⎭⎫－76.∵当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )， ∴f ⎝⎛⎭⎫34＝34×⎝⎛⎭⎫1－34＝316.∵当1<x ≤2时，f (x )＝sin πx ，∴f ⎝⎛⎭⎫76＝sin 7π6＝－12. 又∵f (x )是奇函数，∴f ⎝⎛⎭⎫－34＝－f ⎝⎛⎭⎫34＝－316， f ⎝⎛⎭⎫－76＝－f ⎝⎛⎭⎫76＝12. ∴f ⎝⎛⎭⎫294＋f ⎝⎛⎫416＝12－316＝516.2．(2014·福建改编)若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象如图所示，则所给函数图象正确的是________．答案 ②解析由题意得y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象过(3,1)点，可解得a ＝3.图象①中，y ＝3－x ＝(13)x ，显然图象错误；图象②中，y ＝x 3，由幂函数图象可知正确；图象③中，y ＝(－x )3＝－x 3，显然与所画图象不符；图象④中，y ＝log 3(－x )的图象与y ＝log 3x 的图象关于y 轴对称，显然不符，故图象②正确．押题精练1．已知函数f (x )＝e |ln x |－⎪⎪⎪⎪x －1x ，则函数y ＝f (x ＋1)的大致图象为________．答案 ①解析据已知关系式可得f (x )＝⎩⎨⎧e－ln x＋⎝⎛⎭⎫x －1x ＝x (0<x ≤1)，eln x－⎝⎛⎫x －1x ＝1x(x >1)，作出其图象然后将其向左平移1个单位即得函数y ＝f (x ＋1)的图象．2．已知函数f (x )＝|log 12x |，若m <n ，有f (m )＝f (n )，则m ＋3n 的取值范围是________．答案 (4，＋∞)解析 ∵f (x )＝|log 12x |，若m <n ，有f (m )＝f (n )，∴log 12m ＝－log 12n ，∴mn ＝1，∴0<m <1，n >1，∴m ＋3n ＝m ＋3m 在m ∈(0,1)上单调递减，当m ＝1时，m ＋3n ＝4，∴m ＋3n >4.3．已知f (x )＝2x －1，g (x )＝1－x 2，规定：当|f (x )|≥g (x )时，h (x )＝|f (x )|；当|f (x )|<g (x )时，h (x )＝－g (x )，则h (x )的最小值为________．答案－1解析由题意得，利用平移变化的知识画出函数|f (x )|，g (x )的图象如图，而h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|f (x )|，|f (x )|≥g (x )，－g (x )，|f (x )|<g (x )，故h (x )的最小值为－1.4．已知定义在R 上的偶函数满足：f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)，且当x ∈[0,2]时，y ＝f (x )单调递减，给出以下四个命题：①f (2)＝0；②x ＝－4为函数y ＝f (x )图象的一条对称轴；③函数y ＝f (x )在[8,10]上单调递增；④若方程f (x )＝m 在[－6，－2]上的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－8. 则所有正确命题的序号为________．答案 ①②④解析令x ＝－2，得f (2)＝f (－2)＋f (2)，又函数f (x )是偶函数，故f (2)＝0，①正确；根据①可得f (x ＋4)＝f (x )，可得函数f (x )的周期是4，由于偶函数的图象关于y 轴对称，故x ＝－4也是函数y ＝f (x )图象的一条对称轴，②正确；根据函数的周期性可知，函数f (x )在[8,10]上单调递减，③不正确；由于函数f (x )的图象关于直线x ＝－4对称，故如果方程f (x )＝m 在区间[－6，－2]上的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 22＝－4，即x 1＋x 2＝－8，④正确．故正确命题的序号为①②④.(推荐时间：40分钟)1．设函数f (x )＝x 3cos x ＋1.若f (a )＝11，则f (－a )＝________. 答案－9解析令g (x )＝f (x )－1＝x 3cos x ，∵g (－x )＝(－x )3cos(－x )＝－x 3cos x ＝－g (x )， ∴g (x )为定义在R 上的奇函数．又∵f (a )＝11， ∴g (a )＝f (a )－1＝10，g (－a )＝－g (a )＝－10. 又g (－a )＝f (－a )－1，∴f (－a )＝g (－a )＋1＝－9.2．(2014·浙江改编)在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a (x ≥0)，g (x )＝log a x 的图象可能是________．答案 ④解析幂函数f (x )＝x a 的图象不过(0,1)点，图象①不正确；②由对数函数f (x )＝log a x 的图象知0<a <1，而此时幂函数f (x )＝x a 的图象应是增长越来越慢的变化趋势，故②错；图象③中由对数函数f (x )＝log a x 的图象知a >1，而此时幂函数f (x )＝x a 的图象应是增长越来越快的变化趋势，故③错．图象④是正确的．3．(2014·朝阳模拟)已知函数y ＝f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )＝lg x ，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫1100的值为________．答案－lg 2解析当x <0时，－x >0，则f (－x )＝lg(－x )．又函数f (x )为奇函数，f (－x )＝－f (x )，所以当x <0时，f (x )＝－lg(－x )．所以f ⎝⎛⎭⎫1100＝lg 1100＝－2，f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫1100＝f (－2)＝－lg 2. 4．设函数f (x )＝x (e x ＋a e －x )(x ∈R )是偶函数，则实数a 的值为________．答案－1解析因为f (x )是偶函数，所以恒有f (－x )＝f (x )，即－x (e －x ＋a e x )＝x (e x ＋a e －x )，化简得x (e －x ＋e x )(a ＋1)＝0.因为上式对任意实数x 都成立，所以a ＝－1.5．设偶函数f (x )满足f (x )＝2x －4(x ≥0)，则f (x －2)>0的解集为________．答案 {x |x <0或x >4}解析由于函数f (x )是偶函数，因此有f (|x |)＝f (x )，不等式f (x －2)>0，即f (|x －2|)>0，f (|x －2|)＝2|x －2|－4>0， |x －2|>2，即x －2<－2或x －2>2，由此解得x <0或x >4.∴f (x －2)>0的解集为{x |x <0或x >4}．6．使log 2(－x )<x ＋1成立的x 的取值范围是________．答案 (－1,0)解析在同一坐标系内作出y ＝log 2(－x )，y ＝x ＋1的图象，知满足条件的x ∈(－1,0)．7．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，cos πx ，x <0的图象上关于y 轴对称的点共有________对．答案 3解析因为y ＝cos πx 是偶函数，图象关于y 轴对称．所以，本题可转化成求函数y ＝log 3x 与y ＝cos πx 图象的交点个数的问题．作函数图象如图，可知它们有三个交点，即函数f (x )图象上关于y 轴对称的点有3对．8．(2013·天津)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a 满足f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)，则a 的取值范围是________．答案 ⎣⎡⎦⎤12，2解析由题意知a >0，又log 12a ＝log 2a －1＝－log 2a . ∵f (x )是R 上的偶函数，∴f (log 2a )＝f (－log 2a )＝f (log 12a )． ∵f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)， ∴2f (log 2a )≤2f (1)，即f (log 2a )≤f (1)．又∵f (x )在[0，＋∞)上递增．∴|log 2a |≤1，－1≤log 2a ≤1，∴a ∈⎣⎡⎦⎤12，2.9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 13e x (x ≥2)，f (x ＋1)(x <2)，则f (ln 3)＝________. 答案 e解析 f (ln 3)＝f (ln 3＋1)＝13eln 3＋1＝e ，故填e. 10．已知函数f (x )＝x |x －a |，若对任意的x 1，x 2∈[2，＋∞)，且x 1≠x 2，(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]>0恒成立，则实数a 的取值范围为________．答案 {a |a ≤2}解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x －a )，x ≥a ，－x (x －a )，x <a ，由(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0知，函数y ＝f (x )在[2，＋∞)单调递增，当a ≤0时，满足题意，当a >0时，只需a ≤2，即0<a ≤2，综上所述，实数a 的取值范围为a ≤2.11．设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x <0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫32，则a ＋3b 的值为________．答案－10解析因为f (x )的周期为2，所以f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫32－2＝f ⎝⎛⎭⎫－12，即f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫－12.又因为f ⎝⎛⎭⎫－12＝－12a ＋1，f ⎝⎛⎭⎫12＝b 2＋212＋1＝b ＋43，所以－12a ＋1＝b ＋43. 整理，得a ＝－23(b ＋1)．① 又因为f (－1)＝f (1)，所以－a ＋1＝b ＋22，即b ＝－2a .② 将②代入①，得a ＝2，b ＝－4.所以a ＋3b ＝2＋3×(－4)＝－10.12．已知定义在R 上的函数y ＝f (x )满足以下三个条件：①对于任意的x ∈R ，都有f (x ＋4)＝f (x )；②对于任意的x 1，x 2∈R ，且0≤x 1＜x 2≤2，都有f (x 1)＜f (x 2)；③函数y ＝f (x ＋2)的图象关于y 轴对称．则判断f (4.5)，f (6.5)，f (7)的大小关系为________．答案 f (4.5)＜f (7)＜f (6.5)解析由已知得f (x )是以4为周期且关于直线x ＝2对称的函数．所以f (4.5)＝f (4＋12)＝f (12)， f (7)＝f (4＋3)＝f (3)，f (6.5)＝f (4＋52)＝f (52)．又f (x )在[0,2]上为增函数．所以作出其在[0,4]上的图象知f (4.5)＜f (7)＜f (6.5)．13．设函数f (x )＝1＋(－1)x 2(x ∈Z )，给出以下三个结论： ①f (x )为偶函数；②f (x )为周期函数；③f (x ＋1)＋f (x )＝1，其中正确结论的序号是________．答案 ①②③解析对于x ∈Z ，f (x )的图象为离散的点，关于y 轴对称，①正确；f (x )为周期函数，T ＝2，②正确；f (x ＋1)＋f (x )＝1＋(－1)x ＋12＋1＋(－1)x 2 ＝1＋(－1)x ＋1＋(－1)x 2＝1，③正确． 14．能够把圆O ：x 2＋y 2＝16的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆O 的“和谐函数”，下列函数是圆O 的“和谐函数”的是________．①f (x )＝e x ＋e －x ；②f (x )＝ln 5－x 5＋x； ③f (x )＝tan x 2；④f (x )＝4x 3＋x . 答案 ②③④解析由“和谐函数”的定义知，若函数为“和谐函数”，则该函数为过原点的奇函数．①中，f (0)＝e 0＋e －0＝2，所以f (x )＝e x ＋e －x 的图象不过原点，故f (x )＝e x ＋e －x 不是“和谐函数”；②中f (0)＝ln 5－05＋0＝ln 1＝0，且f (－x )＝ln 5＋x 5－x ＝－ln 5－x 5＋x＝－f (x )，所以f (x )为奇函数，所以f (x )＝ln 5－x 5＋x为“和谐函数”；③中，f (0)＝tan 0＝0，且f (－x )＝tan －x 2＝－tan x 2＝－f (x )，f (x )为奇函数，故f (x )＝tan x 2为“和谐函数”；④中，f (0)＝0，且f (x )为奇函数，故f (x )＝4x 3＋x 为“和谐函数”，所以，②③④中的函数都是“和谐函数”．。

【新课标】备战2012年高考数学(文)二轮专题02课时《函数的图像及其性质》

19
方法1：令x 0，y 2，得f 0 f 0 . 1 因为f 0 0，所以f 0 1.
2
2 证明：任取x1、x2 (， )，且x1 x2 . 1 1 设x1 p1，x2 p2，则p1 p2， 3 3 1 1 所以f x1 f x2 f ( p1 ) f ( p2 ) 3 3 1 p 1 p2 [ f ( ) 1 f ( )] . 3 3 1 因为f ( ) 1，p1 p2，所以f x1 f x2 ． 3 所以f x 在R上是单调递增函数．
令x为x 3，则f x f 6 x ．由y f x 是奇函数，则f x f x 6 ，所以f x 6 f x ．设x (6， 3)，则x 6 0,3，所以f x 6 2 x 6，所以f x 2 x 6 .故选B.
ac b 2b b
a b
c b
a 2f b ．
所以f a f c 2f b ．
21
方法2：因为对任意x、y R，有f xy f x ， 1
y
所以f x f ( x f 1 ，所以当x 0时，f 0 f 1 . 1) 因为x R时，f x 0，所以f 0 1.
2 若f x lg ax 2 bx c 型的函数的定义域为R，
若a 0, 则b 0, c 0 2 则有ax bx c 0恒成立 a 0 若a 0, 则 0
2
3 若f x 型的函数的定义域为R，
6

2012高考数学二轮专题复习课件：第2讲函数、基本初等函数的图象和性质

21－x，x≤1， 5．(2011·辽宁)设函数 f(x)＝1－log2x，x>1，则满足 f(x)≤2 的 x 的取值范
围是( )． A．[－1,2] B．[0,2] C．[1，＋∞) D．[0，＋∞)
x≤1， x>1 解析 f(x)≤2⇔21－x≤2 或1－log2x≤2 ⇔0≤x≤1 或 x>1.
＝f(b)＝f(c)，则 abc 的取值范围是( )．
A．(1,10)
B．(5,6)
C．(10,12)
D．(20,24)
解析作出 f(x)的大致图象，如图所示．
由图象知，要使 f(a)＝f(b)＝f(c)，
不妨设 a<b<c，则－lg a＝lg b＝－12c＋6. ∴lg a＋lg b＝0，∴ab＝1，∴abc＝c. 由图知 10<c<12，∴abc∈(10,12)．
基本初等函数的应用
高考对该部分的考查多与二次函数相结合综合命题，涉及集合的基本运算、比较函数值的大小、函数值的求解、函数图象的识别、函数零点等问题，其中对数函数的定义域与集合运算相结合、对数运算与指数运算相结合求解分段函数的函数值或解不等式、对数函数与二次函数等其他函数相结合的复合函数图象的识别等问题是高考命题的热点，试题难度不大，均属中低档题目．
4．(2010·安徽)设 a＝3552，b＝2535，c＝2552，则 a，b，c 的大小关系是(
)．
A．a>c>b B．a>b>c C．c>a>b D．b>c>a
解析 y＝x52在 x>0 时是增函数，所以 a>c，y＝25x 在 x>0 时是减函数，所以 c>b. 答案 A

广东省2012届高考数学文二轮专题复习课件：专题1 第02课时函数及其性质

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1因为x 0,1，所以 x 1,0 ，所以f x x 3 ax. 所以f x 为偶函数，所以f x f x x 3 ax，x 0,1．
解析
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(利用函数单调性的定义)设0 x1 x2 1， 2 方法1： 3 则f x1 f x2 x13 x2 a x1 x2 2 x2 x1 ( x2 x12 x1 x2 a )．因为0 x1 x2 1，所以x2 x1 0.
答案：B
4
1．研究函数的值域、最值及其图象和性质，首先要考虑定义域．本题易忽略复合函数的定义域，误认为函数y=[f(x)]2+f(x2)的定义域为f(x) 的定义域，从而导致错误． 2．换元法是化繁为简的重要方法，换元后要注意新元的取值范围，确保问题的等价性． 3．二次函数在闭区间上的最值常结合函数的单调性进行求解．
2
f x ，然后根据表达式的特点求出值域后再作
2
选择．
解析
因为f x 的定义域为1,9，
2
所以，要使函数y f x f x 2 有意义， 1 x 9 应满足，所以1 x 3. 2 1 x 9 y f x f x
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而f 4 x f 2 2 x f 2 2 x f x f x ，所以，当x [4， 2]时，f x 2x 7. 2 x 7 所以f x 2 x 1 ( x [4, 2]) ( x ( 2,0])
判断过程；
3 是否存在a R，使得当x 0,1时，f x 有最大