F题 雪堆融化时间

F题

雪堆融化时间

目录

一问题的提出与问题分析 (3)

二关键词与符号约定 (4)

三模型的建立及模型求解...........................................5-6 四参考文献 (7)

问题：一个半球体状的雪堆，其体积融化的速率与半球面面积S 成正比，比例

系数K>0。假设在融化过程中雪堆始终保持着半球体状，已知半径为0r 的雪堆在开始融化的3小时内，融化了其体积的7

8

，问雪堆全部融化需要多少小时？

问题分析：

根据“一个半球体状的雪堆，其体积融化的速率与半球面面积S 成正比，比例系数K>0”的条件，我们可以列得方程

()

()dV t KS t dt

=-，显然这里为常微分方程。

即可得到基本思路就是：先找到()V t 与()S t 的关系，将()S t 替换()V t 的代数式，再利用已知条件“半径为0r 的雪堆在开始融化的3小时内，融化了其体积的

78

，则302(0)3V r π=，301

(3)12

V r π=”解出()V t 的具体表达式，而雪堆全部融化所用

的时间，为满足()0V n =的n 值，解出n 即为所求。

关键词半径，半圆面积，半圆体积，常数，常微分

符号约定

t t小时，t>0

S t t时刻半球状球体表面面积

()

V t t时刻半球状球体体积

()

r t t时刻半球状球体半径

()

C常数C

模型的建立和求解：

模型的建立：

1. 一个半球体状的雪堆，其体积融化的速率与半球面面积S 成正比，比例系数

K>0.即()

()dV t KS t dt

=-。 2. 雪堆始终保持着半球体状，则有32

()()3

V t r t π=，2()2()S t r t π=。

3. 半径为0r 的雪堆在开始融化的3小时内，融化了其体积的78，则302

(

0)3

V r π=，301

(3)12V r π=。

4. 雪堆全部融化所用的时间，为满足()0V n =的n 值。

模型的求解：

因为有 2()2()

S t r t π= 32

()()3

V t r t π=

解出关系:

112

3

()3()()22S t V t r t ππ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

23

3()()22V t S t ππ⎡⎤

=⎢⎥⎣⎦()22

3

3

32

32()2V t ππ⎡⎤=⎢⎥⎣

⎦ ()2133

18()V t π=23

()NV t = ( 其中令()13

18N π= )

由

()

()dV t KS t dt

=-得： 2

3()

()()dV t KS t K N V t dt

=-=- 求解常微分方程：

23

()()V t dV t K N dt -

=- （方程左右两边求积）

1

3

13()V t C K N t =-

解出()V t ： 3

()3K N V t C t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭

······················○1

因为又有302

(0)3

V r π= 代入○

1： 3302

(0)3

V C r π==

解出常数C ： 1

3

023C r π⎛⎫

= ⎪⎝⎭

常数C 代入○1得： 3

1

302()33K N V t r t π⎡⎤⎛⎫⎢⎥=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦

······················○2 因为又有301

(3)12

V r π=

，代入○

2解出K 值： 016

K r =

代回○

2解得()V t ： ()3

1

1330021()18318V t r r t ππ⎡⎤⎛⎫⎢⎥=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦

················○3 最后将()0V n =代入○

3则： ()3

11330021180318r r n ππ⎡⎤⎛⎫⎢⎥-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦

()1

1

3

3

1218183n ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭

所以 13

118627n ⎛⎫

== ⎪⎝⎭

（小时）

答：雪堆全部融化需要6小时.

参考文献:

《大学数学实验》清华出版社 姜启源 邢文训 谢金星 杨顶辉 编著

总结：