大学物理课后习题答案第六章

x

解：先求均匀带电圆环在其轴线上产生的场强。在带电圆环上取 dq

1

dl , dq 在带

电圆环轴线上x 处产生的场强大小为

dE

dq

4

(x R )

根据电荷分布的对称性知，

E y E z 0

dE x dE cos

1 xdq

4

(x 2 R 2)'2

第6章 真空中的静电场 习题及答案

1.电荷为 q 和 2q 的两个点电荷分别置于 x 1m 和x 1m 处。一试验电荷置于 x 轴上何处，它受到的合力等于零？

解：根据两个点电荷对试验电荷的库仑力的大小及方向可以断定，只有试验电荷 q 0位

于点电荷 q 的右侧，它受到的合力才可能为

0,所以

2qq o qq o

2 2

4 n o (x 1)

4 n o (x 1)

故 x 3 2 2

2.

电量都是q 的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点。试问：

（1）在这三角形的

中心放一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡

（即每个电荷受其他三个电荷的

库仑力之和都为零）?（2这种平衡与三角形的边长有无关系 ？

解：（1）以A 处点电荷为研究对象，由力平衡知， q 为负电荷，所以

（2）与三角形边长无关。 3.

如图所示，半径为 R 、电荷线密度为 1的一个均

匀带电圆环，在其轴线上放一长为

I 、电荷线密度为 2的均匀带电直线段， 该线段的一端处于圆环中心处。

求该直线段受到的

电场力。

2

% cos30 a

1 qq

a)2

4

n

E x

sin d

4n 0R 2n 0R

式中：

为dq 到场点的连线与x 轴负向的夹角。

---------------------------------- 3

dq

4 o (x 2 R 2) 2

x 1 2 R 1R x

4

0 (x 2 R 2)'

2 2 0

(x 2 R 2)'2

下面求直线段受到的电场力。在直线段上取 dq

2dx , dq

受到的电场力大小为

dF E x dq

1 2

只 ------- x ———dx

2 0

(x 2 R 2)，2

方向沿x 轴正方向。 直线段受到的电场力大小为

F

dF

1 2 R

1

R 2)严

2 0 2

(x

1 2

R

1 1

2 0

R

2 2

l 2 R 2

1/2

方向沿x 轴正方向。

4. 一个半径为R 的均匀带电半圆环，电荷线密度为 。求:

(1) 圆心处0点的场强； (2)

将此带电

解：(1)在半圆环上取dq dl

Rd ，它在0点产生场强大小为

dE

dq

4 n 0 R 2

,方向沿半径向外

根据电荷分布的对称性知，

E y 0

dE x dEsin

sin d

4 n 0R

故 E E x

，方向沿x 轴正向。

2 n 0 R

(2)当将此带电半圆环弯成一个整圆后，由电荷分布的对称性可知，圆心处电场强度 为零。 5•如图所示，真空中一长为 L 的均匀带电细直杆，总电量为 q ，试求在直杆延长线上

距杆的一端距离为 d 的P 点的电场强度。

解：建立图示坐标系。在均匀带电细直杆上取

dq dx q

dx , dq 在P 点产生的场

强大小为

故 P 点场强大小为

dx

E P dE

2

d

4 o x 2

q 4 0 d d L

方向沿x 轴负方向。

6. 一半径为R 的均匀带电半球面，其电荷面密度为

，求球心处电场强度的大小。

解：建立图示坐标系。 将均匀带电半球面看成许多均匀带电细圆环， 应用场强叠加原理

求解。

在半球面上取宽度为 dl 的细圆环，其带电量 dq dS 2 rdl

%，方向沿x 轴负方向。

4 o X

2 R 2sin d

的场强公式)

dE

xdq ，方向沿 x 轴负方向

4 0(x 2 r 2)%

利用几何关系，

x Rcos , r

Rsin 统

住一积分变量，

得

dE

xdq 4 o (x 2 r 2)'2 1 Rcos

4 0

R 3

2 R 2 sin d

dq 在O 点产生场强大小为(参见教材中均匀带电圆环轴线上

因为所有的细圆环在在 O 点产生的场强方向均沿为 x 轴负方向，所以球心处电场强度的大

小为

/2

E dE

sin cos d

2

4

2 0 4 0

方向沿x 轴负方向。

中部有一半径为 R 的圆孔，设平面上均匀带电，电荷面密度为 如图所示。试求通过小孔中心 O 并与平面垂直的直线上各点的场强。

解：应用补偿法和场强叠加原理求解。

若把半径为R 的圆孔看作由等量的正、负电荷重叠而成，挖去圆孔的带电平面等效为

场强叠加原理知， P 点的场强等效于“无限大”带电平面和带电圆盘在该处产生的场强的 矢量和。

“无限大”带电平面在 P 点产生的场强大小为

(T

E i

，方向沿X 轴正方向

2 0

的圆盘在P 点产生的场强大小为(参见教材中均匀带电圆 盘轴线上的场强公式)

X

E 2

(1 --------------- )，方向沿x 轴负方向

2 0

R 2 x 2

故P 点的场强大小为

方向沿x 轴正方向。

8. (1)点电荷q 位于一边长为a 的立方体中心，试求在该点电荷电场中穿过立方体的一个 面的电场强度通量；(2)如果该场源点电荷移动到该立方体的一个顶点上，这时穿过立方体

-sin

o

cos d

7. 一“无限大”平面, 一个完整的“无限大”带电平面和一个电荷面密度为

的半径为R 的带电圆盘，由

E E i

E 2

x 2 0 . R 2

x 2

半径为R 、电荷面密度