中考数学抢分训练之“小题狂做”弧长和扇形的面积、圆锥的侧面积(含解析)

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弧长及扇形面积,圆锥的侧面积(1对1辅导精品)

弧长及扇形面积，圆锥的侧面积【知识要点】1、弧长，扇形面积公式【典型例题】例1：如图所示，⊙O 的半径为2，∠ABC ＝45°，则图中阴影部分的面积是（）（结果用表示）例2（2019湖北）．如图，两同心圆的圆心为O ，大圆的弦AB 切小圆于P ，两圆的半径分别为6，3，则图中阴影部分的面积是（） A ．πB ．πC ．3πD ．2π例3（2019年烟台市）如图1，水平地面上有一面积为230cm π的扇形AOB ，半径OA=6cm ，且OA 与地面垂直.在没有滑动的情况下，将扇形向右滚动至OB 与地面垂直为止，则O 点移动的距离为（）A ．20cmB ．24cmC ．10cm πD ．30cm π例4：如图，两个同心圆被两条半径截得的弧AB 的长为6πcm ，弧CD 的长为10πcm ，又AC ＝12 cm ，求阴影部分ABDC 的面积．例5如图，已知正三角形ABC 的边长为a ，分别以A 、B 、C 为圆心，以2a为半径的圆相切于点O 1、O 2、O 3．求弧O 1O 2，弧O 2O 3，弧O 3O 1,围成的图形面积S(图中阴影部分)．例6.（2007 成都）如图，如果从半径为9cm 的圆形纸片剪去31圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重复），那么这个圆锥的高为（）（A ）6cm （B ）53cm （C ）8cm （D ）35cm例7、（2019 成都）如图,小红同学要用纸板制作一个高4cm,底面周长是6πcm 的圆锥形的漏斗模型，若不计接缝和损耗，则她所需纸板的面积是（（A ）12πcm （B ）15πcm （C ）18πcm （D ）24πcm 例8、（2019 成都）若一个圆锥的底面圆的周长是4πcm ，母线长是6cm ，则该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是（）（A ）40°（B ）80°（C ）120°（D ）150°例9、（2019 广州）已知圆锥的底面半径为5cm ，侧面积为65πcm2,设圆锥的母线与高的夹角为θ（如图所示），则 sin 的值为（）（A ）125（B ）135（C ）1310（D ）1312 【经典练习】一、选择题1. 若一个扇形的圆心角是45°，面积为2л，则这个扇形的半径是（） A. 4 B. 2C. 47лD. 2л2. 两同心圆的圆心是O ，大圆的半径是以OA ，OB 分别交小圆于点M ， N ．已知大圆半径是小圆半径的3倍，则扇形OAB 的面积是扇形OMN 的面积的（）A. 2倍B. 3倍C. 6倍D. 9倍3. 半圆O 的直径为6cm ，∠BAC ＝30°，则阴影部分的面积是（）A. B.C. D.4 用一个半径长为 6cm 的半圆围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的底面半径为（）A. 2cmB. 3cmC.4cmD. 6cm5. 圆锥的全面积和侧面积之比是3 ：2，这个圆锥的轴截面的顶角是（）A. 30°B. 60°C.90°D. 120°6. 已知两个母线相等的圆锥的侧面展开图恰好能拼成一个圆，且它们的侧面积之比为1∶2，则它们的高之比为（）A. 2：1B. 3：2C. 2：D. 5：7. 如图，在△ABC中，∠C ＝Rt∠，AC > BC，若以AC为底面圆半径，BC为高的圆锥的侧面积为S1，以BC为底面圆半径，AC为高的圆锥的侧面积为S2，则（）A. S1＝S2B. S1 > S2C. S1 < S2D. S1、S2的大小关系不确定8.（2019年遂宁）如图，把⊙O1向右平移8个单位长度得⊙O2，两圆相交于A.B，且O1A⊥O2A，则图中阴影部分的面积是A.4π-8B. 8π-16C.16π-16D. 16π-32第9题第10题二、填空题1. 扇形的弧长是12лcm，其圆心角是90°，则扇形的半径是 cm ，扇形的面积是 cm2.2. 扇形的半径是一个圆的半径的3倍，且扇形面积等于圆面积，则扇形的圆心角是 .3. 已知扇形面积是12cm2，半径为8cm，则扇形周长为 .4 在△ABC中，AB＝3，AC＝4，∠A＝90°，把Rt△ABC绕直线AC旋转一周得到一个圆锥，其全面积为S1；把Rt△ABC绕AB旋转一周得到另一个圆锥，其全面积为S2，则S1： S2＝。

辅导讲义：弧长和扇形的面积、圆锥的侧面积和全面积

辅导：弧长和扇形的面积、圆锥的侧面积和全面积一、弧长和扇形的面积：『活动一』因为360°的圆心角所对弧长就是圆周长C =2πR ，所以1°的圆心角所对的弧长是 .这样，在半径为R 的圆中，n °的圆心角所对的弧长l = . 『活动二』类比弧长的计算公式可知：在半径为R 的圆中，圆心角为n °的扇形面积的计算公式为：S = . 『活动三』扇形面积的另一个计算公式比较扇形面积计算公式与弧长计算公式，可以发现：可以将扇形面积的计算公式：S =360nπR 2化为S =180R n ·21R ，从面可得扇形面积的另一计算公式：S = . 二、圆锥的侧面积和全面积：1．圆锥的基本概念：的线段SA 、SA 1……叫做圆锥的母线，的线段叫做圆锥的高．2.圆锥中的各元素与它的侧面展开图——扇形的各元素之间的关系：将圆锥的侧面沿母线l 剪开，展开成平面图形，可以得到一个扇形，设圆锥的底面半径为r ，这个扇形的半径等于，扇形弧长等于． 3．圆锥侧面积计算公式圆锥的母线即为扇形的半径，而圆锥底面的周长是扇形的弧长，这样，S 圆锥侧=S 扇形=21·2πr · l = πrl 4．圆锥全面积计算公式S 圆锥全=S 圆锥侧＋S 圆锥底面= πr l ＋πr 2=πr （l ＋r ）三、例题讲解：例1、（2011•德州，11，4分）母线长为2，底面圆的半径为1的圆锥的侧面积为．例2、（2011年山东省东营市，21，9分）如图，已知点A 、B 、C 、D 均在已知圆上，AD ∥BC ，BD 平分∠ABC ，∠BAD =120°，四边形ABCD 的周长为15．A1（1）求此圆的半径；（2）求图中阴影部分的面积．例3、（2010广东，14，6分）如图，在平面直角坐标系中，点P 的坐标为（－4，0），⊙P 的半径为2，将⊙P 沿x 轴向右平移4个单位长度得⊙P 1．（1）画出⊙P 1，并直接判断⊙P 与⊙P 1的位置关系；（2）设⊙P 1与x 轴正半轴，y 轴正半轴的交点分别为A ，B ，求劣弧AB 与弦AB 围成的图形的面积（结果保留π）．y x－3 O 12312 3 －3－2 －1－1 －2 －4 －5 －6A BCDEF（第3题）O四、同步练习：1、（2012北海,11，3分）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△ABC 的顶点都在格点上，将△ABC 绕点C 顺时针旋转60°，则顶点A 所经过的路径长为：（）A ．10πB ．10C ．10πD ．π2、（2012北海,12，3分）如图，等边△ABC 的周长为6π，半径是1的⊙O 从与AB 相切于点D 的位置出发，在△ABC 外部按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB 相切于点D 的位置，则⊙O 自转了：（）A ．2周B ．3周C ．4周D ．5周3、（2012湖北咸宁，7，3分）如图，⊙O 的外切正六边形ABCDEF 的边长为2，则图中阴影部分的面积为（）．A ．-3π2B ．-32π3C ．-32π2D ．-322π34、（2012四川内江，8，3分）如图2，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，∠CDB ＝30°，CD ＝23，则阴影部分图形的面积为（）A ．4πB ．2πC ．πD ．2π35、（2012·湖南省张家界市·14题·3分）已知圆锥的底面直径和母线长都是１０cm ，则圆锥的侧面积为________.6、（2012·哈尔滨，题号16分值 3）一个圆锥的母线长为4，侧面积为8π，则这个圆锥的底面圆的半径是．ABD CO图2ABC 第1题图A OD第2题图第9题第11题7、（2012江苏省淮安市，17，3分）若圆锥的底面半径为2cm ，母线长为5cm ，则此圆锥的侧面积为 cm 2．8、（2012四川达州，11，3分）已知圆锥的底面半径为4，母线长为6，则它的侧面积是 .（不取近似值）9、（2012年广西玉林市，16，3）如图，矩形OABC 内接于扇形MON ，当CN =CO 时，∠NMB10、(2012广安中考试题第15题，3分)如图6，Rt △ABC 的边BC 位于直线l 上，AC =3，∠ACB =90o，∠A =30o，若△RtABC 由现在的位置向右无滑动地翻转，当点A 第3次落在直线上l 时，点A 所经过的路线的长为________________（结果用含л的式子表示）．11、（2011•丹东，14，3分）如图，将半径为3cm 的圆形纸片剪掉三分之一，余下部分围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高是．12、（2012贵州贵阳，23，10分）如图，在⊙O 中，直径AB =2，CA 切⊙O 于A ，BC 交⊙O 于D ，若∠C =45°，则（1）BD 的长是；（5分）（2）求阴影部分的面积. （5分）第12题图AC13、（2012浙江省义乌市，20，8分）如图,已知AB 是⊙O 的直径,点C 、D 在⊙O 上,点E 在⊙O 外,∠EAC =∠D =60°. （1）求∠ABC 的度数；（2）求证：AE 是⊙O 的切线；（3）当BC =4时，求劣弧AC 的长.14、（2012年吉林省，第23题、7分．）如图，在扇形OAB 中，∠AOB =90°，半径OA =6．将扇形OAB 沿过点B 的直线折叠．点O 恰好落在弧AB 上点D 处，折痕交OA 于点C ，求整个阴影部分的周长和面积．O BCDE15、（2011甘肃兰州，25，9分）如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点A、B、C.（1）请完成如下操作：①以点O为原点、竖直和水平方向所在的直线为坐标轴、网格边长为单位长，建立平面直角坐标系；②用直尺和圆规画出该圆弧所在圆的圆心D的位置（不用写作法，保留作图痕迹），并连结AD、CD.（2）请在（1）的基础上，完成下列问题：①写出点的坐标：C、D；②⊙D的半径= （结果保留根号）；③若扇形ADC是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面面积为（结果保留π）；④若E（7，0），试判断直线EC与⊙D的位置关系并说明你的理由.参考答案例1、考点：圆锥的计算。

初三数学中考专项练习弧长和扇形面积、圆锥的侧面展开图—知识讲解(基础)

弧长和扇形面积、圆锥的侧面展开图—知识讲解（基础）【学习目标】1.通过复习圆的周长、圆的面积公式，探索n°的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式，并应用这些公式解决问题；2.了解圆锥母线的概念，理解圆锥侧面积计算公式，理解圆锥全面积的计算方法，会应用公式解决问题；3. 能准确计算组合图形的面积.【要点梳理】要点一、弧长公式半径为R的圆中360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式：n°的圆心角所对的圆的弧长公式：(弧是圆的一部分)要点诠释：(1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即；(2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径；(3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量.要点二、扇形面积公式1.扇形的定义由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.2.扇形面积公式半径为R的圆中360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式：n°的圆心角所对的扇形面积公式：要点诠释：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；(4)扇形两个面积公式之间的联系：.要点三、圆锥的侧面积和全面积连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线.圆锥的母线长为，底面半径为r ，侧面展开图中的扇形圆心角为n °，则圆锥的侧面积2360l S rl ππ=扇n =，圆锥的全面积.要点诠释：扇形的半径就是圆锥的母线，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长.因此，要求圆锥的侧面积就是求展开图扇形面积，全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的.【典型例题】类型一、弧长和扇形的有关计算1．如图（1），AB 切⊙O 于点B ，OA=AB=3，弦BC∥OA，则劣弧BC 的弧长为（）．A．3 B．2C ．πD ．32π图（1）【答案】A.【解析】连结OB 、OC ，如图（2）则0OBA ∠︒＝9，，0A ∠︒＝3，0AOB ∠︒＝6，由弦BC ∥OA 得60OBC AOB ∠∠=︒＝，所以△OBC 为等边三角形，0BOC ∠︒＝6.则劣弧BC，故选A. 图（2）【总结升华】主要考查弧长公式：.举一反三：【变式】制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，•试计算如图所示的管道的展直长度，即的长(结果精确到0.1mm)【答案】R=40mm，n=110∴的长==≈76.8(mm)因此，管道的展直长度约为76.8mm．2．如图，⊙O的半径等于1，弦AB和半径OC互相平分于点M.求扇形OACB的面积（结果保留π）【答案与解析】∵弦AB和半径OC互相平分，∴OC⊥AB，OM=MC=OC=OA．∴∠B=∠A=30°，∴∠AOB=120°∴S扇形=．【总结升华】运用了垂径定理的推论，考查扇形面积计算公式.举一反三：【变式】如图（1），在△ABC中，BC=4，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于E，交AC于F，点P是⊙A上的一点，且∠EPF=40°，则图中阴影部分的面积是（）．A．449-π B．849-π C．489-π D．889-π图（1）的面积是：BC•AD=×4×2=4，类型二、圆锥面积的计算3．（2014秋•广东期末）如图，一个圆锥的高为cm，侧面展开图是半圆，求：（1）圆锥的底面半径r与母线R之比；（2）圆锥的全面积．【思路点拨】（1）设出圆锥的底面半径及圆锥的母线长，利用底面周长等于圆锥的弧长得到圆锥的母线与底面的半径之比即可；（2）首先求得圆锥的底面半径和圆锥的母线长，然后利用圆锥的侧面积的计算方法求得其侧面积即可．【答案与解析】解：（1）由题意可知∴，R=2r（3分）r：R=r：2r=1：2；（2）在Rt△AOC中，∵R2=r2+h2∴，4r2=r2+27r2=9，r=±3∵r＞0∴r=3，R=6.∴S侧=πRr=18π（cm2）（cm2）∴S全=S侧+S底=18π+9π=27π（cm2）．【总结升华】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是牢记有关的公式．类型三、组合图形面积的计算4．（2015•槐荫区三模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠CDB=30°，CD=2，求图中阴影部分的面积．【答案与解析】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴CE=．∵∠CDB=30°，∴∠COE=60°，在Rt△OEC中，OC==2，∵CE=DE，∠COE=∠DBE=60°∴Rt△COE≌Rt△DBE，∴S阴影=S扇形OBC=π×OC2=π×4=π．【总结升华】本题考查了垂径定理，扇形的面积等，解此题的关键是求出扇形和三角形的面积．。

【中考专项】2023年中考数学转向练习之选择题11 弧长、扇形与圆锥侧面积的有关计算

【填空题】必考重点11 弧长、扇形与圆锥侧面积的有关计算圆的有关计算主要包括弧长的计算、扇形的面积、圆锥的侧面积以及圆锥的半径或母线的长度计算，是江苏省各地市中考的必考点，难度一般或较为简单。

接此类题目时，要求考生熟记弧长的计算公式，扇形的面积公式等基本知识，在做题时注意找出已知量，标出所求量，根据公式计算即可。

【2022·江苏徐州·中考真题】如图，圆锥的母线AB＝6，底面半径CB＝2，则其侧面展开图扇形的圆心角α＝_______．【考点分析】本题考查圆的周长公式，弧长公式，方程思想在初中数学的学习中非常重要，是中考的热点，在各种题型中均有出现，要特别注意．【思路分析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到6180απ⨯＝2π•2，然后解方程即可．【2022·江苏宿迁·中考真题】将半径为6cm，圆心角是120°的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径为______cm．【考点分析】本题考查了扇形、圆锥的知识；解题的关键是熟练掌握弧长公式、圆锥的性质，从而完成求解．【思路分析】根据弧长公式、圆锥的性质分析，即可得到答案．【2021·江苏徐州·中考真题】如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若母线长l为8cm，扇形的圆心角90θ=︒，则圆锥的底面圆半径r为__________cm．【考点分析】本题考查了弧长、圆周长的知识；解题的关键是熟练掌握弧长计算的性质，从而完成求解．【思路分析】结合题意，根据弧长公式，得圆锥的底面圆周长；再根据圆形周长的性质计算，即可得到答案．【2021·江苏宿迁·中考真题】已知圆锥的底面圆半径为4，侧面展开图扇形的圆心角为120°，则它的侧面展开图面积为_____________．【考点分析】考查了圆锥的计算，解题的关键是了解圆锥的侧面展开扇形的弧长等于底面圆的周长，难度不大．【思路分析】首先根据底面圆的半径求得扇形的弧长，然后根据弧长公式求得扇形的半径，然后利用公式求得面积即可．1．（2022·江苏·宿迁市宿豫区教育局教研室二模）把半径为12且圆心角为150︒的扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面圆的半径为__________．2．（2022·江苏·徐州市第十三中学三模）用一个直径为30cm圆形扫地机器人，打扫一间长为4m、宽为3m 的矩形房间，则打扫不到的角落的面积为______．（结果保留π）3．（2022·江苏·淮安市淮安区教师发展中心学科研训处模拟预测）已知圆锥的底面圆半径是2，母线长是3，则圆锥的侧面积为______．4．（2022·江苏常州·二模）已知圆锥的底面半径为9，高为12，则这个圆锥的侧面积为____________．5．（2022·江苏南京·二模）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形．若扇形的半径R＝6cm，扇形的圆心角θ＝120°，该圆锥的高为______cm．6．（2022·江苏扬州·三模）小红用图中所示的扇形纸片制作一个圆锥形容器（接缝忽略不计）的侧面，已知扇形纸片的半径为5cm，圆心角为240°，那么这个圆锥形容器底面半径为______cm．7．（2022·江苏南京·二模）如图，在矩形ABCD中，AD=1，AB A为圆心，AB长为半径画弧交CD于点E，则阴影部分的面积为______．8．（2022·江苏·二模）如图，将半径为4，圆心角为120°的扇形OAB绕点B逆时针旋转60°，得到扇形O'A'B，其中点A的运动路径为AA ，则图中阴影部分的面积和为_______．9．（2022·江苏无锡·模拟预测）学习圆锥有关知识的时候，韩老师要求每个同学都做一个圆锥模型，小华用家里的旧纸板做了一个底面半径为3cm ，母线长为5cm 的圆锥模型，则此圆锥的侧面积是__cm 2． 10．（2022·江苏徐州·二模）如图，圆锥的底面半径r 为6cm ，高h 为8cm ，则圆锥的侧面积为______2cm （结果保留π）．11．（2022·江苏南京·一模）如图，正方形ABCD 的边长为3，点E 为AB 的中点，以E 为圆心，3为半径作圆，分别交AD 、BC 于M 、N 两点，与DC 切于P 点．则图中阴影部分的面积是 _____．12．（2022·江苏苏州·一模）如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，60DAB ∠=︒，4AB =．分别以点A ，点C 为圆心，AO ，CO 长为半径画弧交AB ，AD ，CD ，CB 于点E ，F ，G ，H ，则图中阴影部分面积为______．（结果保留根号和π）13．（2022·江苏南京·一模）如图，在正五边形ABCDE中，BD、CE相交于点O．以O为圆心，OB为半径画弧，分别交AB，AE于点M，N．若BC＝2，则MN的长为______（结果保留π）．AB=，将半圆O绕点B顺时针旋转45︒得到半圆'O，与14．（2022·江苏无锡·一模）如图，半圆O的直径6AB交于点P，图中阴影部分的面积等于__________．15．（2022·江苏无锡·一模）如图，边长为2的等边ABC的中心与半径为2的O的圆心重合，E，F分别是CA，AB的廷长线与O的交点，则图中阴影部分的面积为__________．16．（2022·江苏扬州·一模）如图，等腰Rt△AOD的直角边OA长为2，扇形BOD的圆心角为90°，点P 是线段OB的中点，PQ⊥AB，且PQ交弧DB于点Q．则图中阴影部分的面积是______．17．（2022·江苏徐州·模拟预测）如图，小明利用半径为40cm的扇形纸片制作成一个圆锥形纸帽（接缝忽略不计），若圆锥底面半径为10cm，那么这个圆锥的侧面积是_____cm2．（结果用含π的式子表示）18．（2022·江苏·靖江市滨江学校一模）如图，将矩形ABCD绕着点A逆时针旋转得到矩形AEFG，点B的对应点E落在边CD上，且DE＝AD＝2，则BE的长为_____．19．（2022·江苏苏州·二模）如图，△ABC中，D为BC的中点，以D为圆心，BD长为半径画一弧，交AC 于点E，若∠A＝60°，∠ABC＝100°，BC＝4，则扇形BDE的面积为_______．20．（2022·江苏盐城·一模）如图，半径为3的扇形AOB中，∠AOB＝90°，C为弧上一点，CD⊥OA，CE ⊥OB，垂足分别为D、E．若∠CDE为40°，则图中阴影部分的面积为_______．21．（2022·江苏徐州·模拟预测）如图，扇形OAB是一个圆锥的侧面展开图，∠AOB＝120°，AB的长为6πcm，则该圆锥的侧面积为_______cm2（结果保留π）．22．（2022·江苏·苏州高新区实验初级中学三模）如图，在扇形AOB 中，∠AOB ＝90°，点C 是AB 的中点，过点C 的切线交OB 的延长线于点E ，当BE ＝43 __________________．23．（2022·江苏南京·模拟预测）如图，在Rt AOB 中，90AOB ︒∠=，3OA =，2OB =，将Rt AOB 绕O 顺时针旋转90︒后得Rt FOE ，将线段EF 绕点E 逆时针旋转90︒后得线段ED ，分别以O ，E 为圆心，OA 、ED 长为半径画弧AF 和弧DF ，连接AD ，则图中阴影部分面积是________．24．（2022·江苏南京·模拟预测）OABC 中，D 为边BC 上一点，且CD ＝1，以O 为圆心，OD 为半径作圆，分别与OA 、OC 的延长线交于点E 、F ，则阴影部分的面积为__．25．（2022·江苏无锡·模拟预测）如图，AB 是半圆O 的直径，以O 为圆心，C 为半径的半圆交AB 于C 、OC=，则图中阴影部分的面积为_________（结果保留D两点，弦AF切小半圆于点E．已知2OA=，1π）【填空题】必考重点11 弧长、扇形与圆锥侧面积的有关计算圆的有关计算主要包括弧长的计算、扇形的面积、圆锥的侧面积以及圆锥的半径或母线的长度计算，是江苏省各地市中考的必考点，难度一般或较为简单。

中考数学弧长和扇形面积和圆锥习题及答案

弧长和扇形面积及圆锥、圆柱面积一、温故而知新1、（旅顺）若圆锥的底面周长为20π，侧面展开后所得扇形的圆心角为120°，则圆锥的侧面积为．2、（2009 海南）正方形ABCD 的边长为2cm ，以B 点为圆心，AB 长为半径作，则图中阴影部分的面积为（） A 、（4— π）cm 2 B 、（8—π ）cm 2 C 、（2π —4）cm 2 D 、（π —2）cm 23、（2008 山西）要在面积为1256m 2的三角形广场ABC 的三个角处各建一个半径相同的扇形草坪，要求草坪总面积为广场面积的一半，那么扇形的半径应是 m （π取3.14）4、（2009 陕西）已知圆柱的底面半径为3，高为8，求得这个圆柱的侧面积为（）A 、48πB 、48C 、24πD 、24 二、考点解读（1）、考点1、圆周长：C=2πR2、弧长：L= n πR3、扇形面积：S=n πR 2=LR 4、圆柱的侧面积 S=2πr ·h （r 是底面积，r 是底面半径） S 表 =S 侧 + 2S 底=2πr ·h+ 2πr 2AC 11801360125、圆锥的侧面积 S=L ·2πr=πrL （L 是母线，r 是底面半径） S 表=S 侧 + S 底=πrL+πr 2 （2）、难点1、圆锥、圆柱侧面展开图的计算2、弓形面积的求法：① 当弓形的弧是劣弧时 S 弓形=S 扇形－S ▲ ② 当弓形的弧是优弧时S 弓形=S 扇形+S ▲2、阴影部分面积的计算：阴影部分的面积一般是不规则图形的面积，一般不能直接利用公式，常采用① 割补法 ② 拼凑法 ③ 等积变形法二、例题讲解1、如图，圆锥的底面半径为6cm ，高为8cm ，求这个圆锥的侧面积．解：根据条件得：圆锥母线长为10cm ，所以圆锥侧面积为：S=πrL=π·6·10=60π变式题：如图，圆锥的底面半径为6cm ，高为8cm ，则将该圆锥沿母线剪开后所得扇形对应的圆心角为 2、AB 是⊙O 的直径，点D 、E 是半圆的三等分点，AE 、 BD 的延长线交于点C ，若CE=2，则图中阴影部分的面积是（）A 、π－B 、πC 、π－D 、π解、∵ ∴ ∠A=∠ABC=600 ∴△ABC 是等边三角形又 AB 是⊙O 的直径 ∴∠AEB=900 即 BE ⊥AE ，∴AC=2CE=4=AB124332323313AE ED DB ==∴S 阴=S 扇形OBE －S ▲ABE =π－故选A变式题：AB 是⊙O 的直径，点D 、E 是半圆的三等分点，AE 、BD 的延长线交于点C ，若OA=2，则图中阴影部分的面积是（）3、已知矩形ABCD 的一边AB=5cm,另一边AD=2cm ，求：以直线AB 为轴旋转一周，所得到的圆柱的表面积解：C=2π·AD=4π(cm)S=2π·AD 2+C ·AB=28π(cm 2) 变式题：已知矩形ABCD 的一边AB=10πcm,另一边AD=4cm ，求：将BC 、AD 边重合后所得圆柱的体积三、中考视窗1、（2009 广东）如图，已知圆柱体底面圆的半径为，高为2，AB 、CD 分别是两底面的直径，AD 、BC 是母线若一只小虫从A 点出发，从侧面爬行到C 点，则小虫爬行的最短D 路线的长度是 (结果保留根式)．解、小虫爬行的最短路线的长度是==22 如图，已知△ABC ，AC ＝BC ＝6，∠C ＝90°．O 是AB 的中点，⊙O与AC 相切于点D 、与BC 相切于点E ．设⊙O 交OB 于F ，连DF 并延长交CB 的延长线于G ．（1）∠BFG 与∠BGF 是否相等？为什么？（2）求由DG 、GE 和弧ED 围成图形的面积（阴影部分）．解：（1）∠BFG ＝∠BGF连OD ，∵OD ＝OF （⊙O 的半径）， ∴∠ODF ＝∠OFD∵⊙O 与AC 相切于点D ，∴OD ⊥AC433π22222+2A B C DE F GOABCDEFGO又∵∠C ＝90°，即GC ⊥AC ，OD ∥GC ∴∠BGF ＝∠ODF又∵∠BFG ＝∠OFD ，∴∠BFG ＝∠BGF （2）连OE ，则ODCE 为正方形且边长为3∵∠BFG ＝∠BGF ∴BG ＝BF ＝OB －OF ＝3－3∴阴影部分的面积＝△DCG 的面积－(正方形ODCE 的面积－扇形ODE 的面积) ＝·3·(3＋3)－(32－·32)＝＋－四、牛刀小试1、钟表的轴心到分针针端的长为5cm ，那么经过40分钟，分针针端转过的弧长是（A ）（B ）（C ）（D ）2、已知圆锥侧面展开图的圆心角为90°，则该圆锥的底面半径与母线长的比为（）A ．1：2B ．2：1C ．1：4D ．4：13、如图，在△ABC 中，BC ＝4，以点A 为圆心、2为半径的⊙A 与BC 相切于点D ，交AB 于E ，交 AC 于F ，点P 是⊙A 上的一点，且∠EPF ＝40°，则图中阴影部分的面积是（）．A ．4－πB ．4－πC ．8－πD ．8－π221241ππ4922949cm 310πcm 320πcm 325πcm 350π949894984圆锥的底面半径为3cm ，母线长为5cm ，则它的侧面积为（） A. 60πcm 2 B. 45πcm 2 C. 30πcm 2 D15πcm 2、5、如图1，O 为圆柱形木块底面的圆心，过底面的一条弦AD ，沿母线AB 剖开，得剖面矩形ABCD ，AD ＝24 cm ，AB ＝25 cm ．若的长为底面周长的，如图2所示． (1)求⊙O 的半径；）(2)求这个圆柱形木块的表面积．(结果可保留和根号)六、总结、反思、感悟32弧长和扇形面积及圆锥、圆柱面积答案温故知新：1、A 2、A 3、4、300π例题变式题： 1、216o解：（cm ） C=2πr=12π∴n= 2、解：∵∴ ∠AOE=600, ∠BOE=1200又 AB 是⊙O 的直径 ∴∠AEB=900 ，即 BE ⊥AE ，O 为AB 中点∴S △AOE = S △OBE∵D 、E 是半圆的三等分点 ∴ S 弓AE = S 弓BD ，∴ S 阴= S 弓BE - S 弓BD = S 弓BE - S 弓AE=（ S 扇BE - S △OBE ）-（ S 扇AE - S △AOE ）= S 扇BE - S 扇AE=·120π·22-·60π·22=π3．解：R==5(cm) V=π·R 2·AD=100π(cm 3)牛刀小试：1、A 2、C 3、B 4、D00180216CLπ=AE ED DB ==13601360232ABπ5、（1）连接0A ，过点O 作OH ⊥AD ∵的长是底面圆周长的∴∠AOD=1200 在Rt ▲AHO 中，AO=（2）S 表=2π·AO ·AB+2π·AO 2=（）π32012sin 60。

中考数学考点总动员系列专题42 弧长及扇形的面积(含解析)-人教版初中九年级全册数学试题

考点四十二：弧长及扇形的面积聚焦考点☆温习理解 1．弧长及扇形的面积(1)半径为r ，n °的圆心角所对的弧长公式：l ＝n πr180； (2)半径为r ，n °的圆心角所对的扇形面积公式：S ＝n πr 2360＝12lr ．2．圆锥的侧面积和全面积圆锥的侧面展开图是一个扇形，若设圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，那么这个扇形的半径为l ，扇形的弧长为2πr .(1)圆锥侧面积公式：S 圆锥侧＝πrl ； (2)圆锥全面积公式：S 圆锥全＝πrl ＋πr 2． 3．求阴影部分面积的几种常见方法 (1)公式法； (2)割补法； (3)拼凑法；(4)等积变形构造方程法； (5)去重法．名师点睛☆典例分类考点典例一、弧长公式的应用【例1】（某某省某某市第五中学2018届九年级上册期末模拟）已知扇形的圆心角为45°，半径长为10，则该扇形的弧长为（）A. 34πB. 52πC. 3πD. 94π【答案】B【解析】试题解析：根据弧长公式：l=45105=1802ππ⨯.故选B．【点睛】本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是熟练掌握弧长的计算公式．【举一反三】（某某省某某市宝应县射阳湖镇天平初级中学2016届九年级下学期二模）如图，在6×6的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，其中A、B、C为格点．作△ABC的外接圆⊙O，则弧BC的长为（）A.52π B.54π C.32π D.34π【答案】A【解析】考点典例二、扇形面积的计算【例2】（某某省某某市龙湖区2017届九年级5月模拟）已知圆心角为120°的扇形面积为12π，那么扇形的弧长为( )A. 4B. 2C. 4πD. 2π 【答案】C【解析】试题分析：根据扇形的面积计算公式可得：212012π360r π⨯⨯=，则r=6，根据弧长的计算公式可得：πr 1206l 4π180180n π⨯===. 【点睛】本题主要考查的就是扇形的面积计算公式和弧长的计算公式，属于简单题.扇形的面积计算公式为：2π1S lr 3602n r == (S 为扇形的面积，l 为扇形的弧长，n 为扇形所对的圆心角的度数，r 为扇形所在的圆的半径)，弧长的计算公式为：πrl 180n =(l 为扇形的弧长，n 为扇形所对的圆心角的度数，r 为扇形所在的圆的半径).在计算的时候我们一定要根据实际题目选择合适的公式进行计算. 【举一反三】（2016某某某某第12题）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD 垂直平分OB ，垂足为点E ，连接OD 、BC ，若BC =1，则扇形OBD 的面积为．【答案】6π．考点：扇形面积的计算；线段垂直平分线的性质．考点典例三、扇形面积公式的运用【例3】（某某市南岸区南开（融侨）中学2017年中考数学二模）如图，等边△ABC 内接于⊙O ，已知⊙O 的半径为2，则图中的阴影部分面积为（）A. 8233π- B.433π- C.8333π- D.9344π-【答案】A【解析】解：连接OB、OC，连接AO并延长交BC于H，则AH⊥BC．∵△ABC是等边三角形，∴BH=32AB=3，OH=1，∴△OBC的面积=12×BC×OH=3，则△OBA的面积=△OAC的面积=△OBC的面积=3，由圆周角定理得，∠BOC=120°，∴图中的阴影部分面积=2240223360π⨯-=8233π-．故选A．【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心、扇形面积的计算，掌握等边三角形的性质、扇形面积公式是解题的关键．【举一反三】(2017-2018学年上学期某某市X家港梁丰初中初三数学期末）如图，半径为1的四个圆两两相切，则图中阴影部分的面积为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】∵半径为1的四个圆两两相切，∴四边形是边长为2的正方形，圆的面积为π，阴影部分的面积=2×2−π=4−π，故选A.考点典例四、圆锥的侧面展开图【例4】（某某省某某市虎丘区立达中学2017年中考二模）圆锥的底面半径为4cm，高为3cm，则它的表面积为（）A. 12π cm2B. 20π cm2C. 26π cm2D. 36π cm2【答案】D【点睛】本题考查了圆锥的计算，勾股定理，圆的面积公式，圆的周长公式和扇形面积公式求解．注意圆锥表面积＝底面积＋侧面积＝π×底面半径2＋底面周长×母线长÷2的应用．【举一反三】（2017年某某乌兰察布市某某七中中考数学一模）将一个半径为R，圆心角为90°的扇形围成一个圆锥的侧面（无重叠），设圆锥底面半径为r，则R与r的关系正确的是（）A. R=8rB. R=6rC. R=4rD. R=2r【答案】C【解析】试题解析：根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长，则扇形的弧长是：90π2π180Rr=，即π2π2Rr=，∴R=4r. 故选C.考点典例五、求阴影部分的面积【例5】(某某某某市西北工业大学附属中学2017届九年级五模)如图，在中，，，以中点为圆心，作圆心角为的扇形，点恰好在上，下列关于图中阴影部分的说法正确的是（）．A. 面积为B. 面积为C. 面积为D. 面积随扇形位置的变化而变化【答案】C【解析】作于，于，连接，如图所示：∵，，∴，，，∴，∴四边形是正方形，∴，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴≌，∴四边形的面积正方形的面积，又∵，，∴，∴．∴．故选．【点睛】本题考查了三角形的全等的判定与扇形的面积的计算的综合题，正确证明△DMG≌△DNH，得到S四边形DGCH=S四边形DM是解题的关键．【举一反三】（2017年某某省某某市永定区中考数学一模）已知：AB是⊙O的直径，直线CP切⊙O于点C，过点B作BD⊥CP 于D．（1）求证：CB2=AB•DB；（2）若⊙O的半径为2，∠B CP=30°，求图中阴影部分的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）阴影部分的面积=23 3π【解析】试题分析：（1）由CP是⊙O的切线，得出∠BCD=∠BAC，AB是直径，得出∠ACB=90°，所以∠ACB=∠CDB=90°，得出结论△ACB∽△CDB，从而得出结论；（2）求出△OCB是正三角形，阴影部分的面积=S扇形OCB-S△OCB=2π33．试题解析：(1)提示：先证∠ACB=∠CDB=90°，再证∠BAC=∠BCD, 得△ACB ∽△CDB ， ∴2CB AB,CB AB DB DB CB==⋅即(2)解：如图，连接OC ，∵直线CP 是⊙O 的切线，∠BCP=30°， ∴∠COB=2∠BCP=60°， ∴△OCB 是正三角形， ∵⊙O 的半径为2，∴S △OCB =3，S 扇形OCB =260πr 2π3603=， ∴阴影部分的面积=S 扇形OCB －S △OCB =2π33-．课时作业☆能力提升1. （2017年某某省中考数学学业一模）三角板ABC 中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=23，三角板绕直角顶点C 逆时针旋转，当点A 的对应点A′落在AB 边的起始位置上时即停止转动，则B 点转过的路径长为（）A.32π B. 433π C.2π D. 3π 【答案】C2.（某某省某某市高新区2017届初中毕业暨升学考试模拟）如图，菱形ABCD放置在直线l上(AB与直线l重合)，AB＝4，∠DAB＝60°，将菱形ABCD沿直线l向右无滑动地在直线l上滚动，从点A离开出发点到点A第一次落在直线l上为止，点A运动经过的路径总长度为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】画出图形即可知道，从点A离开出发点到A第一次落在直线上为止，点A运动经过的路径的长度为图中的弧线长，由此即可解决问题.解：如图，从点A离开出发点到点A第一次落在直线l上为止，点A运动经过的路径的长度为图中的弧线长.由题意可知=，∠DOA2=120°，DO=4，所以点A运动经过的路径的长度=，故选D.3.（某某省某某市第五中学2018届九年级上册期末模拟）如图，点A、B、C在⊙O上，若∠BAC=45°，OB=2，则图中阴影部分的面积为（）A. π﹣ 4B. 213π- C. π﹣2 D. 22 3π-【答案】C【解析】试题解析：∵∠BAC=45°，∴∠BOC=90°，∴△OBC是等腰直角三角形，∵OB=2，∴△OBC的BC 22，∴2∴S阴影=S扇形OBC﹣S△OBC=290212222 3602ππ⨯-⨯=-.故选C．4. （某某省某某市某某县青云镇中心中学2017届九年级第一次模拟）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，∠CDB ＝30°，CD ＝23，则阴影部分图形的面积为（）A. 4πB.2πC. πD.23π 【答案】D【解析】连接OD .∵CD ⊥AB ，∴CE =DE =12CD 3垂径定理)，又∵∠CDB =30°，∴∠COB =60°(圆周角定理)，∴OC =2，故COE BED OBD S S S S ∆∆=-+阴影扇形6041136022OE EC BE ED π⨯=-⋅+⋅ 233322π=-+ 3π=故选：D.5. （2017年某某省某某一中分校九年级数学综合）如果圆锥的母线长为6cm ，底面圆半径为3cm ，则这个圆锥的侧面积为（）A. 9πcm 2B. 18πcm 2C. 27πcm 2D. 36πcm 2【答案】B【解析】底面圆半径为3cm，则底面周长=6π，圆锥的侧面积=×6π×6=18πcm2．故选B．6.（2017年某某省某某二十中中考数学模拟）一个圆锥形的零件，如果经过圆锥的轴的剖面是一个边长为4cm的等边三角形，那么圆锥的表面积是（）A. 8πcm2B. 10πcm2C. 12πcm2D. 16πcm2【答案】C7.（2017年某某市东丽区立德中学中考数学模拟）已知如图，圆锥的母线长6cm，底面半径是3cm，在B处有一只蚂蚁，在AC中点P处有一颗米粒，蚂蚁从B爬到P处的最短距离是（）A. 33cmB. 35cmC. 9cmD. 6cm【答案】B【解析】∵圆锥的侧面展开图是一个扇形，设该扇形的圆心角为n，则：n r180=12×2×3π，其中r=3，∴n=180°，如图所示：由题意可知，AB⊥AC，且点P为AC的中点，在Rt△A BP 中，AB=6，AP=3，∴BP=22AB AP +=35cm ，故蚂蚁沿线段Bp 爬行，路程最短，最短的路程是35cm ．8. （2017年某某省某某市中考数学模拟）如图，在小正方形的边长都为1的方格纸中，△ABO 的顶点都在小正方形的顶点上，将△ABO 绕点O 顺时针方向旋转90°得到△A 1B 1O ，则点A 运动的路径长为_____．【答案】5π9.（2017年某某省黄冈市白莲中学中考数学三模）如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB 和AC 的夹角为120°，AB 长为30cm ，AD 长为12cm ，则贴纸（两面贴）的面积是_____cm 2．【答案】504π【解析】试题解析：设AB=R ，AD=r ，则有S 贴纸=2（13πR 2-13πr 2） =23π（R 2-r 2）=23π（R+r）（R-r）=23π（30+12）（30-12）=504π（cm2）．故答案为504π．10.（2017年某某省某某市大石桥市水源镇中考数学模拟）如图，△ABC中，∠C=90°，tanA=43，以C为圆心的圆与AB相切于D．若圆C的半径为1，则阴影部分的面积S=_____．【答案】256 24π-【解析】连接CD，∵以C为圆心的圆与AB相切于D，⊙C的半径为1，∠ACB=90°，∴CD⊥AB，CD=1，S扇形CEF=29013604ππ⨯=，∵tanA=43CDAD=，CD=1，∴AD=34，∴在Rt△ADC中，由勾股定理可得：AC=54，又∵在Rt△ABC中，tanA=43 BCAC=，∴BC=53，∴S△ACB=12AC•BC=2524，∴S阴影=S△ABC﹣S扇形CEF=25256 24424ππ--=.故答案为：25624π-.11.（2017年某某省某某市南雄市中考数学模拟）如图，三个同心圆扇形的圆心角∠AOB为120o，半径OA 为6cm，C、D是圆弧AB的三等分点，则阴影部分的面积等于_____cm2．【答案】4π【解析】解：扇形面积=4036360π⨯=4π（cm2）．12.（2017年某某省某某市中堂六校中考数学三模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，AB=12cm，将△ABC以点B为中心顺时针旋转，使点C旋转到AB边延长线上的点D处，则AC边扫过的图形（阴影部分）的面积是_____cm2．（结果保留π）．【答案】36π【解析】∵∠C是直角，∠ABC=60°，∴∠BAC=90°﹣60°=30°，∴BC=AB=×12=6cm，∵△ABC以点B为中心顺时针旋转得到△BDE，∴S△BDE=S△ABC，∠ABE=∠CBD=180°﹣60°=120°，∴阴影部分的面积=S扇形ABE+S△BDE﹣S扇形BCD﹣S△ABC=S 扇形ABE ﹣S 扇形BCD=-=48π﹣12π=36πcm 2点睛：能根据题意确定出出阴影部分的面积=S 扇形ABE ﹣S 扇形BCD ，是解题的关键.13.（2017年某某省某某八中中考数学模拟）如图，在直角坐标系中，点P 的坐标为（3，4），将OP 绕原点O 逆时针旋转90°得到线段OP′．（1）在图中画出线段OP′；（2）求P′的坐标和'PP 的长度．【答案】（1）详见解析；（2）52π. 【解析】试题分析：（1）按要求在图中画出线段OP ′即可；（2）①根据（1）中所画线段OP ′对照图形写出点P ′的坐标即可；②先由点P 的坐标计算出OP 的长，然后根据弧长公式：l 弧长=180n r π计算即可. 试题解析：（1）所画线段OP′如下图：（2）①由图可知：点P′的坐标为（﹣4，3）；②∵点P 的坐标为（3，4），∴22345+=，又∵旋转角∠POP′=90°，∴l弧长PP′=9055 1802ππ⨯=.14.（某某省某某市九校2017届九年级四月联合模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD 与⊙O相切于点D，CE⊥AD，交AD的延长线于点E．（1）求证：∠BDC=∠A;（2）若CE=23，DE=2，求AD的长，（3）在（2）的条件下，求弧BD的长。

新人教版九年级上册数学[弧长和扇形面积、圆锥的侧面展开图—知识点整理及重点题型梳理](基础)

新人教版九年级上册初中数学重难点有效突破知识点梳理及重点题型巩固练习弧长和扇形面积、圆锥的侧面展开图—知识讲解（基础）【学习目标】1.通过复习圆的周长、圆的面积公式，探索n°的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式，并应用这些公式解决问题；2.了解圆锥母线的概念，理解圆锥侧面积计算公式，理解圆锥全面积的计算方法，会应用公式解决问题；3. 能准确计算组合图形的面积.【要点梳理】要点一、弧长公式半径为R的圆中360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式：n°的圆心角所对的圆的弧长公式：(弧是圆的一部分)要点诠释：(1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即；(2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径；(3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量.要点二、扇形面积公式1.扇形的定义由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.2.扇形面积公式半径为R的圆中360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式：n°的圆心角所对的扇形面积公式：要点诠释：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆； (4)扇形两个面积公式之间的联系：.要点三、圆锥的侧面积和全面积连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线. 圆锥的母线长为，底面半径为r ，侧面展开图中的扇形圆心角为n °，则圆锥的侧面积2360l S rl ππ=扇n =，圆锥的全面积.要点诠释：扇形的半径就是圆锥的母线，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长.因此，要求圆锥的侧面积就是求展开图扇形面积，全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的.【典型例题】类型一、弧长和扇形的有关计算1．如图（1），AB 切⊙O 于点B ，OA=AB=3，弦BC∥OA，则劣弧BC 的弧长为（）．A．3 B．2C ．πD ．32π图（1）【答案】A.【解析】连结OB 、OC ，如图（2）则0OBA ∠︒＝9，，0A ∠︒＝3，0AOB ∠︒＝6，由弦BC ∥OA 得60OBC AOB ∠∠=︒＝，所以△OBC 为等边三角形，0BOC ∠︒＝6.则劣弧BC，故选A. 图（2）【总结升华】主要考查弧长公式：.举一反三：【变式】制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，•试计算如图所示的管道的展直长度，即的长(结果精确到0.1mm)【答案】R=40mm，n=110∴的长==≈76.8(mm)因此，管道的展直长度约为76.8mm．【359387 课程名称：弧长扇形圆柱圆锥：经典例题1-2】2．如图，⊙O的半径等于1，弦AB和半径OC互相平分于点M.求扇形OACB的面积（结果保留π）【答案与解析】∵弦AB和半径OC互相平分，∴OC⊥AB，OM=MC=OC=OA．∴∠B=∠A=30°，∴∠AOB=120°∴S扇形=．【总结升华】运用了垂径定理的推论，考查扇形面积计算公式.举一反三：【359387 课程名称：弧长扇形圆柱圆锥：经典例题1-2】【变式】如图（1），在△ABC中，BC=4，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于E，交AC于F，点P是⊙A上的一点，且∠EPF=40°，则图中阴影部分的面积是（）．A．449-π B．849-π C．489-π D．889-π的面积是：BC•AD=×4×2=4，类型二、圆锥面积的计算3．（2014秋•广东期末）如图，一个圆锥的高为cm，侧面展开图是半圆，求：（1）圆锥的底面半径r与母线R之比；（2）圆锥的全面积．【思路点拨】（1）设出圆锥的底面半径及圆锥的母线长，利用底面周长等于圆锥的弧长得到圆锥的母线与底面的半径之比即可；（2）首先求得圆锥的底面半径和圆锥的母线长，然后利用圆锥的侧面积的计算方法求得其侧面积即可．【答案与解析】解：（1）由题意可知∴，R=2r（3分）r：R=r：2r=1：2；（2）在Rt△AOC中，∵R2=r2+h2∴，4r2=r2+27r2=9，r=±3∵r＞0∴r=3，R=6.∴S侧=πRr=18π（cm2）（cm2）∴S全=S侧+S底=18π+9π=27π（cm2）．【总结升华】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是牢记有关的公式．类型三、组合图形面积的计算4．（2015•槐荫区三模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠CDB=30°，CD=2，求图中阴影部分的面积．【答案与解析】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴CE=．∵∠CDB=30°，∴∠COE=60°，在Rt△OEC中，OC==2，∵CE=DE，∠COE=∠DBE=60°∴Rt△COE≌Rt△DBE，∴S阴影=S扇形OBC=π×OC2=π×4=π．【总结升华】本题考查了垂径定理，扇形的面积等，解此题的关键是求出扇形和三角形的面积．。

弧长与扇形面积中考题(带答案解析)

弧长与扇形面积一、选择题1．（2016·湖北十堰）如图，从一张腰长为60cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），则该圆锥的高为（）A．10cm B．15cm C．10cm D．20cm【考点】圆锥的计算．【分析】根据等腰三角形的性质得到OE的长，再利用弧长公式计算出弧CD的长，设圆锥的底面圆的半径为r，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长得到r，然后利用勾股定理计算出圆锥的高．【解答】解：过O作OE⊥AB于E，∵OA=OD=60cm，∠AOB=120°，∴∠A=∠B=30°，∴OE=OA=30cm，∴弧CD的长==20π，设圆锥的底面圆的半径为r，则2πr=20π，解得r=10，∴圆锥的高==20．故选D．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．2. (2016兰州，12,4分)如图，用一个半径为5cm 的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P 旋转了108º，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了（）（A）πcm (B) 2πcm(C) 3πcm (D) 5πcm【答案】：C 【解析】：利用弧长公式即可求解【考点】：有关圆的计算3．(2016福州，16,4分)如图所示的两段弧中，位于上方的弧半径为r 上，下方的弧半径为r下，则r 上 = r 下．（填“＜”“=”“＜”）【考点】弧长的计算．【分析】利用垂径定理，分别作出两段弧所在圆的圆心，然后比较两个圆的半径即可．【解答】解：如图，r 上=r 下．故答案为=．【点评】本题考查了弧长公式：圆周长公式：C=2πR （2）弧长公式：l=（弧长为l ，圆心角度数为n ，圆的半径为R ）；正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一．4. (2016·四川资阳)在Rt △ABC 中，△ACB=90°，AC=2，以点B 为圆心，BC 的长为半径作弧，交AB 于点D ，若点D 为AB 的中点，则阴影部分的面积是（）A．2﹣π B．4﹣π C．2﹣π D．π【考点】扇形面积的计算．【分析】根据点D为AB的中点可知BC=BD=AB，故可得出△A=30°，△B=60°，再由锐角三角函数的定义求出BC的长，根据S阴影=S△A B C﹣S扇形C B D即可得出结论．【解答】解：△D为AB的中点，△BC=BD=AB，△△A=30°，△B=60°．△AC=2，△BC=AC•tan30°=2•=2，△S阴影=S△AB C﹣S扇形C B D=×2×2﹣=2﹣π．故选A．5. (2016·四川自贡)圆锥的底面半径为4cm，高为5cm，则它的表面积为（）A．12πcm2B．26πcm2C．πcm2 D．（4+16）πcm2【考点】圆锥的计算．【专题】压轴题．【分析】利用勾股定理求得圆锥的母线长，则圆锥表面积=底面积+侧面积=π×底面半径2+底面周长×母线长÷2．【解答】解：底面半径为4cm，则底面周长=8πcm，底面面积=16πcm2；由勾股定理得，母线长=cm，圆锥的侧面面积=×8π×=4πcm2，∴它的表面积=16π+4π=（4+16）πcm2，故选D．【点评】本题利用了勾股定理，圆的周长公式和扇形面积公式求解．6.（2016·四川广安·3分）如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，∠BCD=30°，CD=4，则S阴影=（）A．2πB．πC．πD．π【考点】圆周角定理；垂径定理；扇形面积的计算．【分析】根据垂径定理求得CE=ED=2，然后由圆周角定理知∠DOE=60°，然后通过解直角三角形求得线段OD 、OE 的长度，最后将相关线段的长度代入S 阴影=S 扇形ODB ﹣S △DOE +S △BEC ．【解答】解：如图，假设线段CD 、AB 交于点E ， ∵AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ， ∴CE=ED=2，又∵∠BCD=30°，∴∠DOE=2∠BCD=60°，∠ODE=30°， ∴OE=DE •cot60°=2×=2，OD=2OE=4，∴S 阴影=S 扇形ODB ﹣S △DOE +S △BEC =﹣OE ×DE+BE •CE=﹣2+2=．故选B ．7. （2016吉林长春，7，3分）如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，切点分别为A 、B ，若OA=2，∠P=60°，则的长为（）A ．πB ．πC ．D ．【考点】弧长的计算；切线的性质．【专题】计算题；与圆有关的计算．【分析】由PA 与PB 为圆的两条切线，利用切线的性质得到两个角为直角，再利用四边形内角和定理求出∠AOB 的度数，利用弧长公式求出的长即可．【解答】解：∵PA 、PB 是⊙O 的切线， ∴∠OBP=∠OAP=90°，在四边形APBO 中，∠P=60°， ∴∠AOB=120°， ∵OA=2，∴的长l==π，故选C【点评】此题考查了弧长的计算，以及切线的性质，熟练掌握弧长公式是解本题的关键． 8.（2016·广东深圳）如图，在扇形AOB 中∠AOB=90°，正方形CDEF 的顶点C 是弧AB 的中点，点D 在OB 上，点E 在OB 的延长线上，当正方形CDEF 的边长为22时，则阴影部分的面积为（）A.42-πB.84-πC.82-πD.44-π 答案：A考点：扇形面积、三角形面积的计算。

弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积练习题

1弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积一、请准确填空(每小题3分，共24分)1.两个同心圆的半径差为5，其中一个圆的周长为15π，则另一个圆的周长为_____.2.已知a 、b 、c 分别是正六边形的一边、最短对角线和最长对角线，则a ∶b ∶c 为_____.3.已知Rt △ABC ，斜边AB =13 cm ，以直线BC 为轴旋转一周，得到一个侧面积为65π cm 2的圆锥，则这个圆锥的高等于_____.4.已知在同一平面内圆锥两母线在顶点最大的夹角为60°，母线长为8，则圆锥的侧面积为_____.5.已知圆柱的底面半径长和母线长是方程4x 2－11x +2=0的两个根，则该圆柱的侧面展开图的面积是_____.6.圆内接正方形的一边切下的一部分的面积等于2π－4，则正方形的边长是_____，这个正方形的内切圆半径是_____.7.要制造一个圆锥形的烟囱帽，如图1，使底面半径r 与母线l 的比r ∶l =3∶4，那么在剪扇形铁皮时，圆心角应取_____.8.将一根长24 cm 的筷子，置于底面直径为5 cm ，高为12 cm 的圆柱形水杯中(如图2).设筷子露在杯子外面的长为h cm ，则h 的取值范围是_____.图1 图2二、相信你的选择(每小题3分，共24分)9.已知正三角形的边长为a ，其内切圆的半径为r ，外接圆的半径为R ，则r ∶a ∶R 等于 A.1∶23∶2B.1∶2∶23C.1∶2∶3D.1∶3∶2 10.如图3，△ABC 是正三角形，曲线ABCDEF …叫做“正三角形的渐开线”，其中、、、…圆心依次按A 、B 、C 循环，它们依次相连接，如果AB =1，那么曲线CDEF 的长是 A.8π B.6π C.4π D.2π11.如图4，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB 、AC 的夹角为120°，AB 长为30 cm ，贴纸部分BD 长为20 cm ，贴纸部分的面积为A.800π cm 2B.500π cm 2C.3800π cm 2 D.3500π cm 212.已知如图5，两同心圆中大圆的半径OA 、OB 交小圆于C 、D ，OC ∶CA =3∶2，则和的长度比为A.1∶1B.3∶2C.3∶5D.9∶2513.如图6，AB 为半圆O 的直径，C 是半圆上一点，且∠COA =60°，设扇形AOC 、△COB 、弓形BmC 的面积为S 1、S 2、S 3，则它们之间的关系是A.S 1<S 2<S 3B.S 2<S 1<S 3C.S 1<S 3<S 2D.S 3<S 2<S 1A BCDE FACD BOD EF2图3 图4 图5 图614.如图7中，正方形的边长都相等，其中阴影部分面积相等的有(1)(2)(3)(4)图7A.(1)(2)(3)B.(2)(3)(4)C.(1)(3)(4)D.(1)(2)(3)(4) 15.如果圆锥的母线长为5 cm ，底面半径为3 cm ，那么圆锥的表面积为A.39π cm 2B.30π cm 2C.24π cm 2D.15π cm 2 16.一个圆台形物体的上底面积是下底面积的41.如图8，放在桌面上，对桌面的压强是200 帕，翻过来放，对桌面的压强是A.50帕B.80帕C.600帕D.800帕图8 三、考查你的基本功(共14分)17.(6分)如图9，圆锥底面半径为r ，母线长为3r ，底面圆周上有一蚂蚁位于A 点，它从A 点出发沿圆锥面爬行一周后又回到原出发点，请你给它指出一条爬行最短的路径，并求出最短路径.AABCDO EF图9图1018.(8分)如图10，等腰Rt △ABC 中斜边AB =4，O 是AB 的中点，以O 为圆心的半圆分别与两腰相切于点D 、E ，图中阴影部分的面积是多少？请你把它求出来.(结果用π表示)四、生活中的数学(共18分)19.(10分)如图11，有一直径是1 m 的圆形铁皮，要从中剪出一个最大的圆心角是90°的扇形CAB . (1)被剪掉的阴影部分的面积是多少？(2)若用所留的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径是多少？(结果可用根号表示)A BO图11图12图13五、探究拓展与应用(共20分)21.(10分)现有总长为8 m 的建筑材料，用这些建筑材料围成一个扇形的花坛(如图12)，当这个扇形的半径为多少时，可以使这个扇形花坛的面积最大？并求最大面积.22.(10分)如图13，正三角形ABC 的中心恰好为扇形ODE 的圆心，且点B 在扇形内，要使扇形ODE 绕点O 无论怎样转动，△ABC 与扇形重叠部分的面积总等于△ABC 的面积的31，扇形的圆心角应为多少度？说明你的理由.。

2024年中考复习弧长、扇形的面积、圆锥的侧面积压轴题十种模型全攻略(原卷+答案解析)

弧长、扇形的面积、圆锥的侧面积压轴题十种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】【考点一已知圆心角的度数，求弧长】【考点二已知弧长，求圆心角的度数】【考点三求某点的弧形运动路径长度】【考点四已知圆心角的度数或弧长，求扇形的面积】【考点五求图形旋转后扫过的面积】【考点六求弓形的面积】【考点七求其他不规则图形的面积】【考点八求圆锥的侧面积与底面半径】【考点九求圆锥侧面展开图的圆心角】【考点十圆锥侧面上最短路径问题】【过关检测】22【典型例题】【考点一已知圆心角的度数，求弧长】1(2023秋·江苏·九年级专题练习)已知扇形的半径为3cm，圆心角为150°，则该扇形的弧长为cm．【变式训练】1(2023·浙江湖州·统考一模)一个扇形的半径为4，圆心角为90°，则此扇形的弧长为．2(2023·浙江温州·统考中考真题)若扇形的圆心角为40°，半径为18，则它的弧长为．【考点二已知弧长，求圆心角的度数】1(2023·黑龙江哈尔滨·统考三模)一个扇形的面积为10π，弧长为10π3，则该扇形的圆心角的度数为．【变式训练】1(2023·江苏镇江·统考二模)扇形的弧长为6π，半径是12，该扇形的圆心角为度．2(2023·浙江温州·校考三模)若扇形半径为4，弧长为2π，则该扇形的圆心角为．【考点三求某点的弧形运动路径长度】1(2023秋·云南昭通·九年级校联考阶段练习)如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为旋转中心，将△AOB顺时针旋转90°得到△A OB ，其中点A 与点A对应，点B 与点B对应．如果A-4,0，B-1,2．则点A经过的路径长度为(含π的式子表示)【变式训练】1(2023·湖南郴州·统考中考真题)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3cm，∠B=60°．将△ABC绕点A逆时针旋转，得到△AB C ，若点B的对应点B 恰好落在线段BC上，则点C的运动路径长是cm(结果用含π的式子表示)．2(2023·广东东莞·校考一模)如图，△ABC和△A B′C′是两个完全重合的直角三角板，∠B=30°，斜边长为12cm．三角板A′B′C绕直角顶点C顺时针旋转，当点A′落在AB边上时，则点A′所转过的路径长为cm．【考点四已知圆心角的度数或弧长，求扇形的面积】1(2023·江苏·九年级假期作业)已知扇形的圆心角为80°，半径为3cm，则这个扇形的面积是cm2．【变式训练】1(2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第十七中学校校考模拟预测)一个扇形的弧长是8πcm，圆心角是144°，则此扇形的面积是．2(2023·海南海口·海师附中校考三模)如图，正五边形ABCDE的边长为4，以顶点A为圆心，AB长为半径画圆，则图中阴影部分的面积是．【考点五求图形旋转后扫过的面积】1(2023·河南安阳·统考一模)如图，将半径为1，圆心角为60°的扇形OAB 绕点A 逆时针旋转36°，得到扇形O AB ，则AB扫过的区域(即图中阴影部分)的面积为．【变式训练】1(2022春·四川德阳·九年级校考阶段练习)如图，将△ABC 绕点C 顺时针旋转120°得到△A B C ，已知AC =3，BC =2，则线段AB 扫过的图形(阴影部分)的面积为．2(2022秋·山东烟台·九年级统考期末)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠BAC =60°，AB =8，将△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转到△A B C 的位置，使C 、A 、B 三点在同一条直线上，则直角边BC 扫过的图形面积为．【考点六求弓形的面积】1(2023·云南昆明·昆明八中校考模拟预测)如图，在扇形OAB 中，∠AOB =90°，OA =6，则阴影部分的面积是．【变式训练】1(2023·山东泰安·统考二模)如图C 、D 在直径AB =4的半圆上，D 为半圆弧的中点，∠BAC =15°，则阴影部分的面积是2(2023·河南周口·校联考三模)如图，在△ABC中，BC=BA=4，∠C=30°，以AB中点D为圆心、AD长为半径作半圆交线段AC于点E，则图中阴影部分的面积为．【考点七求其他不规则图形的面积】1(2023春·河南漯河·九年级校考阶段练习)图1是以AB为直径的半圆形纸片，AB=8，沿着垂直于AB的半径OC剪开，将扇形OAC沿AB向右平移至扇形O A C ，如图2，其中O 是OB的中点，O C 交BC于点F，则图中阴影部分的面积为．【变式训练】1(2023·河南信阳·统考一模)如图，正五边形ABCDE的边长为1，分别以点C，D为圆心，CD长为半径画弧，两弧交于点F，图中阴影部分的面积为．(结果保留π)2(2023·河南南阳·统考模拟预测)如图，在矩形ABCD中，AD=2，AB=1，以D为圆心，以AD长为半径画弧，以C为圆心，以CD长为半径画弧，两弧恰好交于BC上的点E处，则阴影部分的面积为．【考点八求圆锥的侧面积与底面半径】1(2023·全国·九年级专题练习)若圆锥的底面圆半径为2，母线长为5，则该圆锥的侧面积是．(结果保留π)【变式训练】1(2023春·云南昭通·九年级统考期中)若圆雉的侧面积为12π，底面圆半径为3，则该圆雉的母线长是．2(2023·广东梅州·统考一模)若圆锥的底面半径为3cm，母线长为4cm，则圆锥的侧面积为cm2．(结果保留π)3(2023·江苏·九年级假期作业)已知圆锥侧面展开图圆心角的度数是120°，母线长为3，则圆锥的底面圆的半径是．4(2023·浙江衢州·统考二模)某个圆锥的侧面展开图是一个半径为6cm，圆心角为120°的扇形，则这个圆锥的底面半径为cm．【考点九求圆锥侧面展开图的圆心角】1(2022秋·广东惠州·九年级校考阶段练习)已知圆锥的底面圆半径是2，母线长是4，则圆锥侧面展开的扇形圆心角是．【变式训练】1(2023·江苏·九年级假期作业)已知圆锥的母线长5，底面半径为3，则圆锥的侧面积为，圆锥侧面展开图形的圆心角是度．2(2023·江苏·九年级假期作业)若要制作一个母线长为9cm，底面圆的半径为4cm的圆锥，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角度数是．【考点十圆锥侧面上最短路径问题】1(2023秋·山东东营·九年级东营市胜利第一初级中学校考期末)如图，已知圆锥底面半径为20cm，母线长为60cm，一只蚂蚁从A处出发绕圆锥侧面一周(回到原来的位置A)所爬行的最短路径为cm．(结果保留根号)【变式训练】1(2023春·黑龙江齐齐哈尔·九年级校联考期中)如图，AB是圆锥底面的直径，AB=6cm，母线PB =9cm．点C为PB的中点，若一只蚂蚁从A点处出发，沿圆锥的侧面爬行到C点处，则蚂蚁爬行的最短路程为．2(2022秋·重庆沙坪坝·八年级重庆八中校考期中)如图1，一只蚂蚁从圆锥底端点A出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点A，将圆锥沿母线OA剪开，其侧面展开图如图2所示，若∠AOA =120°，OA=3，则蚂蚁爬行的最短距离是．【过关检测】一、单选题1(2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第四十七中学校考模拟预测)一个扇形的半径是4cm，圆心角是45°，则此扇形的弧长是()A.πcmB.2πcmC.4πcmD.8πcm2(2023·浙江温州·校联考三模)已知圆锥的底面半径为4，母线长为5，则圆锥的侧面积为()A.8πB.10πC.12πD.20π3(2023秋·江苏·九年级专题练习)如图，一块含有30°角的直角三角板ABC，在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到A B C的位置．若BC的长为7.5cm，那么顶点A从开始到结束所经过的路径长为()A.10πcmB.103πcmC.15πcmD.20πcm4(2023秋·江苏·九年级专题练习)如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，半径OA=3，将扇形AOB沿过点B 的直线折叠，使点O 恰好落在AB 上的点D 处，折痕为BC ，则阴影部分的面积为()A.3π-332B.9π4-33 C.π-34D.3π-345(2023·辽宁抚顺·统考一模)如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宜传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O 为圆心，OA ,OB 长分别为半径，圆心角∠O =120°形成的扇面，若OA =3m ,OB =1.5m ，则阴影部分的面愁为()A.4.25πm 2B.25πm 2C.3πm 2D.2.25πm 2二、填空题6(2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测)圆锥母线长l =8，底面圆半径r =2，则圆锥侧面展开图的圆心角θ是．7(2023秋·河北唐山·九年级统考期末)如图，半圆O 的直径AB =6，弦CD =3，AD的长为34π，则BC的长为．8(2023·江苏扬州·统考中考真题)用半径为24cm ，面积为120πcm 2的扇形纸片，围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径为cm ．9(2023·吉林长春·校联考二模)如图，AB 是⊙O 的直径，AB =4，点C 在⊙O 上(点C 不与A 、B 重合)，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点D ，连接AC ．若∠D =45°，则BC的长度是(结果保留π)10(2023秋·河南开封·九年级开封市第十三中学校考期末)如图，在Rt △AOB 中，∠AOB =90°，AB =5，OB =3，将Rt △AOB 绕点O 顺时针旋转90°后得Rt △FOE ，将线段EF 绕点E 逆时针旋转90°后得线段ED ，分别以O ，E 为圆心，OA ，ED 长为半径画AF和DF，连接AD ，则图中阴影部分面积是．三、解答题11(2023秋·河北张家口·七年级统考期末)一个圆被分成三个扇形，其中一个扇形的圆心角为120°，另外两个扇形的圆心角度数的比为3:5．(1)求另外两个扇形的圆心角；(2)若圆的半径是5cm ，求圆心角为120°的扇形的面积(结果保留π)．12(2023春·湖南长沙·九年级校联考期中)如图，在矩形ABCD 中，点O 为边AB 上一点，以点O 为圆心，OA 为半径的⊙O 与对角线AC 相交于点E ，与边AB 相交于点F ，连接BE ，且BC =BE ．(1)求证：BE 为⊙O 的切线；(2)若当点E 为AC 的中点时，⊙O 的半径为1，求阴影部分的面积．13(2023·江苏·九年级假期作业)如图，在正方形网格图中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A 、B 、C ，请在网格中进行下列操作：(1)请在图中确定该圆弧所在圆心D点的位置，D点坐标为；(2)连接AD、CD，则⊙D的半径为；扇形DAC的圆心角度数为；(3)若扇形DAC是某一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥的底面半径．14(2023秋·河南周口·九年级校考期末)图1中的某种冰激凌的外包装可以视为圆锥(如图2)，制作这种外包装雷要用如图3所示的等腰三角形材料，其中AB=AC，AD⊥BC，将扇形EAF围成圆锥时，AE，AF恰好重合，已知圆锥的底面圆直径ED=6cm，母线长AD=12cm．(1)求这种加工材料的顶角∠BAC的大小．(2)求加工材料剩余部分(图中阴影部分)的面积．(结果保留π)15(2023秋·江西赣州·九年级统考期末)如图AB为⊙O的直径，且AB=2，点C是弧AB上的一动点(不与A，B重合)，过点B作⊙O的切线交AC的延长线于点D，点E是BD的中点，连接EC．(1)若BD=4，求线段AC的长度；(2)求证：EC是⊙O的切线；(3)当∠D=30°时，求图中阴影部分面积．弧长、扇形的面积、圆锥的侧面积压轴题十种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】【考点一已知圆心角的度数，求弧长】【考点二已知弧长，求圆心角的度数】【考点三求某点的弧形运动路径长度】【考点四已知圆心角的度数或弧长，求扇形的面积】【考点五求图形旋转后扫过的面积】【考点六求弓形的面积】【考点七求其他不规则图形的面积】【考点八求圆锥的侧面积与底面半径】【考点九求圆锥侧面展开图的圆心角】【考点十圆锥侧面上最短路径问题】【过关检测】22【典型例题】【考点一已知圆心角的度数，求弧长】1(2023秋·江苏·九年级专题练习)已知扇形的半径为3cm ，圆心角为150°，则该扇形的弧长为cm ．【答案】52π/2.5π【分析】直接利用弧长公式进行计算即可．【详解】解：∵L =n πr180，扇形的半径为3cm ，圆心角为150°，∴扇形的弧长L =150π×3180=52π，故答案为：52π．【点睛】本题主要考查了弧长公式的应用，熟练掌握弧长公式：L =n πr180是解题的关键．【变式训练】1(2023·浙江湖州·统考一模)一个扇形的半径为4，圆心角为90°，则此扇形的弧长为．【答案】2π【分析】利用弧长公式进行计算即可．【详解】解：弧长为=90180π×4=2π；故答案为：2π【点睛】本题考查求弧长．熟练掌握弧长公式，是解题的关键．2(2023·浙江温州·统考中考真题)若扇形的圆心角为40°，半径为18，则它的弧长为．【答案】4π【分析】根据弧长公式l =n πr180即可求解．【详解】解：扇形的圆心角为40°，半径为18，∴它的弧长为40180×18π=4π，故答案为：4π．【点睛】本题考查了求弧长，熟练掌握弧长公式是解题的关键．【考点二已知弧长，求圆心角的度数】1(2023·黑龙江哈尔滨·统考三模)一个扇形的面积为10π，弧长为10π3，则该扇形的圆心角的度数为．【答案】100°/100度【分析】根据弧长和扇形面积关系可得S =12lR ，求出R ，再根据扇形面积公式求解.【详解】∵一个扇形的弧长是10π3，面积是10π，∴S =12lR ，即10π=12×10π3R ，解得：R =6，∴S =10π=n π×62360，解得：n =100°，故答案为：100°．【点睛】本题考查了扇形面积的计算；弧长的计算．熟记公式，理解公式间的关系是关键.【变式训练】1(2023·江苏镇江·统考二模)扇形的弧长为6π，半径是12，该扇形的圆心角为度．【答案】90【分析】设此扇形的圆心角为x °，代入弧长公式计算，得到答案．【详解】解：设此扇形的圆心角为x °，由题意得，12πx180=6π，解得，x =90，故答案为：90．【点睛】本题考查的是弧长的计算，掌握弧长的公式l =n πr180是解题的关键．2(2023·浙江温州·校考三模)若扇形半径为4，弧长为2π，则该扇形的圆心角为．【答案】90°/90度【分析】设扇形圆心角的度数为n ，根据弧长公式即可得出结论．【详解】解：设扇形圆心角的度数为n ，∵扇形的弧长为2π，∴n π×4180°=2π，∴n =90°．故答案为：90°．【点睛】本题考查的是扇形的面积公式，熟记扇形的面积公式及弧长公式是解答此题的关键．【考点三求某点的弧形运动路径长度】1(2023秋·云南昭通·九年级校联考阶段练习)如图，在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为旋转中心，将△AOB 顺时针旋转90°得到△A OB ，其中点A 与点A 对应，点B 与点B 对应．如果A -4,0 ，B -1,2 ．则点A 经过的路径长度为(含π的式子表示)【答案】2π【分析】A 点坐标为已知，求出OA 长度，再利用弧长公式l =n πr180求解即可．【详解】解：∵A -4,0如图，由题意A 点以原点O 旋转中心旋转了90°∴点A 经过的路径AA的长度=90⋅π×4180=2π故答案为：2π．【点睛】本题考查图形的旋转、弧长等知识点，需要熟练掌握弧长计算公式．【变式训练】1(2023·湖南郴州·统考中考真题)如图，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =3cm ，∠B =60°．将△ABC 绕点A 逆时针旋转，得到△AB C ，若点B 的对应点B 恰好落在线段BC 上，则点C 的运动路径长是cm (结果用含π的式子表示)．【答案】3π【分析】由于AC 旋转到AC ，故C 的运动路径长是CC 的圆弧长度，根据弧长公式求解即可．【详解】以A 为圆心作圆弧CC ，如图所示．在直角△ABC 中，∠B =60°，则∠C =30°，则BC =2AB =2×3=6cm ．∴AC =BC 2-AB 2=62-32=33cm ．由旋转性质可知，AB =AB ，又∠B =60°，∴△ABB 是等边三角形．∴∠BAB =60°．由旋转性质知，∠CAC =60°．故弧CC 的长度为：60360×2×π×AC =π3×33=3πcm ；故答案为：3π【点睛】本题考查了含30°角直角三角形的性质、勾股定理、旋转的性质、弧长公式等知识点，解题的关键是明确C 点的运动轨迹．2(2023·广东东莞·校考一模)如图，△ABC 和△A B ′C ′是两个完全重合的直角三角板，∠B =30°，斜边长为12cm ．三角板A ′B ′C 绕直角顶点C 顺时针旋转，当点A ′落在AB 边上时，则点A ′所转过的路径长为cm ．【答案】2π【分析】根据三角形内角和和含30度的直角三角形三边的关系得到∠A =60°,AC =12AB =6cm ，再根据旋转的性质得CA ′=CA ，于是可判断△CAA ′为等边三角形，所以∠ACA ′=60°，然后根据弧长公式计算弧AA ′的长度即可．【详解】∵∠ACB =90°，∠B =30°，AB =12cm ，∴∠A =60°,AC =12AB =6cm ，∵三角板A ′B ′C 绕直角顶点C 顺时针旋转，当点A ′落在AB 边上，∴CA ′=CA ，∴△CAA ′为等边三角形，∴∠ACA ′=60°，∴弧AA ′的长度=60°π×6180°=2πcm ，即点A ′所转过的路径长为2πcm ．答案为：2π．【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了弧长公式．【考点四已知圆心角的度数或弧长，求扇形的面积】1(2023·江苏·九年级假期作业)已知扇形的圆心角为80°，半径为3cm ，则这个扇形的面积是cm 2．【答案】2π【详解】根据扇形的面积公式即可求解．【分析】解：扇形的面积=80π×32360=2πcm 2 ．故答案是：2π．【点睛】本题主要考查了扇形的面积公式，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键．【变式训练】1(2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第十七中学校校考模拟预测)一个扇形的弧长是8πcm ，圆心角是144°，则此扇形的面积是．【答案】40π【分析】设该扇形的半径为rcm ，然后根据弧长公式计算半径，然后根据扇形面积公式计算即可．【详解】解：设该扇形的半径为rcm ，由题意得：144πr180=8π，解得：r =10，S 扇形=12lr =12×8π×10=40π，故答案为：40π．【点睛】本题主要考查弧长计算公式及扇形面积计算公式，熟练掌握弧长计算公式和扇形面积计算公式是解题的关键．2(2023·海南海口·海师附中校考三模)如图，正五边形ABCDE 的边长为4，以顶点A 为圆心，AB 长为半径画圆，则图中阴影部分的面积是．【答案】245π【分析】首先确定扇形的圆心角的度数，然后利用扇形的面积公式计算即可．【详解】解：∵正五边形的外角和为360°，∴每一个外角的度数为360°÷5=72°，∴正五边形的每个内角为180°-72°=108°，∵正五边形的边长为4，∴S 阴影=108⋅π×42360=245π，故答案为：245π．【点睛】本题考查了正多边形和圆及扇形的面积的计算的知识，解题的关键是求得正五边形的内角的度数并牢记扇形的面积计算公式，难度不大．【考点五求图形旋转后扫过的面积】1(2023·河南安阳·统考一模)如图，将半径为1，圆心角为60°的扇形OAB 绕点A 逆时针旋转36°，得到扇形OAB，则AB扫过的区域(即图中阴影部分)的面积为．【答案】π10【分析】结合已知条件及旋转性质，根据面积的和差可得S 阴影=S 扇形BAB，然后利用扇形面积公式计算即可．【详解】∵OA =OB =1，∠AOB =60°，∴△AOB 为等边三角形，∴AB =OA =1，由旋转性质可得，∠OAO =∠BAB =36°，S △AOB =S △AO B，则S 阴影=S 扇形BAB+S △AOB -S 扇形AOB +S 扇形AO B-S △AO B，=S 扇形BAB，=36π×12360，=π10，故答案为：π10．【点睛】此题考查了扇形的面积及旋转性质，结合已知条件将阴影部分面积转化为扇形的面积是解题的关键．【变式训练】1(2022春·四川德阳·九年级校考阶段练习)如图，将△ABC 绕点C 顺时针旋转120°得到△A B C ，已知AC =3，BC =2，则线段AB 扫过的图形(阴影部分)的面积为．【答案】5π3/53π【分析】由于将△ABC 绕点C 旋转120°得到△A B C ，可见，阴影部分面积为扇形ACA ′减扇形BCB ′，分别计算两扇形面积，在计算其差即可．【详解】解：从图中可以看出，线段AB 扫过的图形面积为一个环形，环形中的大圆半径是AC ，小圆半径是BC ，圆心角是120°，所以阴影面积=大扇形面积-小扇形面积=120π×32-22 360=53π【点睛】本题考查了扇形面积的计算和阴影部分的面积，将阴影部分面积转化为两扇形面积的查是解题的关键．2(2022秋·山东烟台·九年级统考期末)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠BAC =60°，AB =8，将△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转到△A B C 的位置，使C 、A 、B 三点在同一条直线上，则直角边BC 扫过的图形面积为．【答案】16π【分析】根据题意可得：AC =AC =4，BC =B C =43，∠B AC =∠B AC =∠CAB =60°，因此直角边BC 扫过的图形面积为S =S △ABC+S 扇形BAB -S 扇形CAC -S △ABC ，因为S △ABC=S △ABC ，因此S =S 扇形BAB-S 扇形CAC ，代入数值即可求得答案．【详解】解：根据题意可得：AC =AC =4，BC =B C =43，∠B AC =∠B AC =∠CAB =60°，△ABC ≌△AB C ，所以直角边BC 扫过的图形面积为S =S △ABC+S 扇形BAB -S 扇形CAC -S △ABC ，由于S △ABC=S △ABC ，所以S =S 扇形BAB -S 扇形CAC =120°×π×82360°-120°×π×42360°=64π3-16π3=16π，故答案为：16π．【点睛】本题考查了轨迹问题，关键是根据旋转的性质，找出BC 扫过的面积构成，利用扇形的面积公式计算即可．【考点六求弓形的面积】1(2023·云南昆明·昆明八中校考模拟预测)如图，在扇形OAB 中，∠AOB =90°，OA =6，则阴影部分的面积是．【答案】9π-18【分析】利用扇形的面积减去三角形的面积，即可得解．【详解】∵OA =OB =6，∠AOB =90°，∴S 阴=S 扇形OAB -S △AOB =90π×62360-12×6×6=9π-18．故答案为：9π-18．【点睛】本题考查求阴影部分的面积．熟练掌握割补法求面积，是解题的关键．【变式训练】1(2023·山东泰安·统考二模)如图C 、D 在直径AB =4的半圆上，D 为半圆弧的中点，∠BAC =15°，则阴影部分的面积是【答案】23π-3【分析】设AB 的中点为O ，连接OD ,OC ，用扇形COD 的面积减去△COD 的面积即可得出结果．【详解】解：设AB 的中点为O ，连接OD ,OC ，∵C 、D 在直径AB =4的半圆上，D 为半圆弧的中点，∠BAC =15°，∴OD =OC =2，∠DOB =90°,∠COB =2∠BAC =30°，∴∠DOC =∠DOB -∠COB =60°，∴△COD 为等边三角形，∴CD =OD =OC =2，过点O 作OE ⊥CD ，则：CE =12CD =1，∴OE =OC 2-CE 2=3，∴阴影部分的面积=S 扇形COD -S △COD =60π×22360-12×2×3=23π-3；故答案为：23π-3．【点睛】本题考查求弓形的面积，同时考查了圆周角定理，等边三角形的判定和性质．将阴影部分的面积转化为扇形的面积减去三角形的面积，是解题的关键．2(2023·河南周口·校联考三模)如图，在△ABC 中，BC =BA =4，∠C =30°，以AB 中点D 为圆心、AD 长为半径作半圆交线段AC 于点E ，则图中阴影部分的面积为．【答案】4π3-3【分析】连接DE ，BE ，然后根据已知条件求出∠ABE =60°，AE =23，从而得到∠ADE =120°，最后结合扇形的面积计算公式求解即可．【详解】解：如图，连接DE ，BE ．∵AB 为直径，∴∠BEA =90°．∵BC =BA ，∴∠BAC =∠BCA =30°，∴∠ABE =60°，BE =12AB =2，AE =3BE =32AB =23，∵BD =DE ，∴△BDE 是等边三角形，∴∠ADE =120°，∴阴影部分的面积=S 扇形DAE -S △ADE=120π×22360-12S △ABE=120π×22360-12×12×23×2=4π3-3=4π3-3．故答案为：4π3-3．【点睛】本题考查阴影部分面积计算问题，涉及到扇形面积计算，等边三角形的判定与性质，直径所对的圆周为直角等，掌握扇形面积计算公式是解题关键．【考点七求其他不规则图形的面积】1(2023春·河南漯河·九年级校考阶段练习)图1是以AB 为直径的半圆形纸片，AB =8，沿着垂直于AB 的半径OC 剪开，将扇形OAC 沿AB 向右平移至扇形O A C ，如图2，其中O 是OB 的中点，O C 交BC于点F ，则图中阴影部分的面积为．【答案】8π3-23【分析】根据题意和图形，利用勾股定理，可以求得O F 的长，再根据图形，可知阴影部分的面积=扇形COB 的面积∽△OO F 的面积-扇形OFC 的面积，计算即可．【详解】解：连接OF ，由题意可得，OB =4，OO =2，∠OO F =90°，∴∠OFO =30°，∴∠O OF =60°，∴O F =23，∴阴影部分的面积是：90π×42360-2×232-30×π×42360=8π3-23，故答案为：8π3-23．【点睛】本题考查扇形面积的计算、平移的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．【变式训练】1(2023·河南信阳·统考一模)如图，正五边形ABCDE 的边长为1，分别以点C ，D 为圆心，CD 长为半径画弧，两弧交于点F ，图中阴影部分的面积为．(结果保留π)【答案】32-π15【分析】连接CF ，DF ，由CF =DF =CD =1，得∠FCD =∠FDC =60°，求出∠FCD =∠FDC =60°，根据公式求出S 扇形BCF ，S 正△CFD ，S 扇形CDF ，即可得到阴影面积．【详解】如图，连接CF ，DF ，由题意，得∠BCD =(5-2)×180°5=108°，∵CF =DF =CD =1，∴∠FCD =∠FDC =60°，∴∠BCF =108°-60°=48°，∴S 扇形BCF =48π×12360=2π15，S 正△CFD =34×12=34，S 扇形CDF =60π×12360=π6，∴S 阴影BCF =2π15+34-π6=34-π30，∴S 阴影=34-π30 ×2=32-π15，故答案为：32-π15．【点睛】此题考查了求不规则图形的面积，扇形面积公式，正多边形的性质，正确理解图形面积的计算方法连接辅助线是解题的关键．2(2023·河南南阳·统考模拟预测)如图，在矩形ABCD 中，AD =2，AB =1，以D 为圆心，以AD 长为半径画弧，以C 为圆心，以CD 长为半径画弧，两弧恰好交于BC 上的点E 处，则阴影部分的面积为．【答案】12【分析】如图，连接DE ，根据勾股定理，得DE =2，根据阴影部分的面积S 1为：扇形AED 的面积减去S 2，根据S 2的等于扇形DCE 的面积减去S 3，即可求解．【详解】解：连接DE ，如图：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ADC =∠BCD =90°，AB =DC =1，∵EC =DC =1，∴∠CDE =45°，∴∠ADE =45°，∴扇形DAE 的面积为：45π×2 2360=π4，∵S 2=S 扇形DCE -S 3=90π×12360-12×1×1=π4-12，∴阴影部分的面积为：S 1=S 扇形ADE -S 2=π4-π4-12 =12．故答案为：12．【点睛】本题考查矩形的性质，扇形的面积，三角形面积，解题的关键是掌握扇形的面积公式，矩形的性质．【考点八求圆锥的侧面积与底面半径】1(2023·全国·九年级专题练习)若圆锥的底面圆半径为2，母线长为5，则该圆锥的侧面积是．(结果保留π)【答案】10π【分析】根据圆锥的底面圆半径为2，母线长为5，直接利用圆锥的侧面积公式求出即可．【详解】解：根据圆锥的侧面积公式：πrl=π×2×5=10π，故答案为：10π．【点睛】本题主要考查了圆锥侧面面积的计算，熟练记忆圆锥的侧面积公式是解决问题的关键．【变式训练】1(2023春·云南昭通·九年级统考期中)若圆雉的侧面积为12π，底面圆半径为3，则该圆雉的母线长是．【答案】4【分析】根据圆锥的侧面积=πrl，列出方程求解即可．【详解】解：∵圆锥的侧面积为12π，底面半径为3，3πl=12π．解得：l=4，故答案为：4．【点睛】本题考查了圆锥的侧面积，解题关键是熟记圆锥的侧面积公式，列出方程进行求解．2(2023·广东梅州·统考一模)若圆锥的底面半径为3cm，母线长为4cm，则圆锥的侧面积为cm2．(结果保留π)【答案】12π【分析】根据圆锥的侧面积公式计算即可．【详解】解：∵圆锥的底面半径为3cm，母线长为4cm，∴圆锥的侧面积为12×2×3π×4=12πcm2．故答案为：12π．【点睛】本题主要考查了圆锥的侧面积，属于简单题，熟练掌握扇形面积公式是解题关键．3(2023·江苏·九年级假期作业)已知圆锥侧面展开图圆心角的度数是120°，母线长为3，则圆锥的底面圆的半径是．【答案】1【分析】设该圆锥的底面半径为r，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到2πr=120×π×3180，然后解关于r的方程即可．【详解】设该圆锥的底面半径为r，根据题意得2πr=120×π×3180，解得r=1．故答案为1．【点睛】本题考查圆锥的计算，解题的关键是知道圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．4(2023·浙江衢州·统考二模)某个圆锥的侧面展开图是一个半径为6cm，圆心角为120°的扇形，则这个圆锥的底面半径为cm．【答案】2【分析】把扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解．。

2022年全国各省中考数学真题分类解析弧长与扇形面积及圆锥的相关计算

（2022•武威中考）如图，一条公路（公路的宽度忽略不计）的转弯处是一段圆弧（AB ̂），点O 是这段弧所在圆的圆心，半径OA ＝90m ，圆心角∠AOB ＝80°，则这段弯路（AB̂）的长度为（）A ．20πmB ．30πmC ．40πmD ．50πm【解析】选C ．∵半径OA ＝90m ，圆心角∠AOB ＝80°， ∴这段弯路（AB̂）的长度为：80π×90180=40π（m ）.（2022•连云港中考）如图，有一个半径为2的圆形时钟，其中每个刻度间的弧长均相等，过9点和11点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为（）A ．23π−√32B ．23π−√3C ．43π﹣2√3D ．43π−√3【解析】选B.连接OA 、OB ，过点O 作OC ⊥AB ，由题意可知：∠AOB ＝60°， ∵OA ＝OB ，∴△AOB 为等边三角形， ∴AB ＝AO ＝BO ＝2∴S 扇形AOB =60π×22360=23π，∵OC ⊥AB ，∴∠OCA ＝90°，AC ＝1， ∴OC =√3，∴S △AOB =12×2×√3=√3， ∴阴影部分的面积为：23π−√3.（2022•遂宁中考）如图，圆锥底面圆半径为7cm ，高为24cm ，则它侧面展开图的面积是（）（2022•丽水中考）某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接于矩形，如图．已知矩形的宽为2m，高为2√3m，则改建后门洞的圆弧长是（）A．5π3m B．8π3m C．10π3m D．（5π3+2）m【解析】选C．连接AC，BD，AC和BD相交于点O，则O为圆心，如图所示，由题意可得，CD＝2m，AD＝2√3m，∠ADC＝90°，∴tan∠DCA=ADCD =2√32=√3，AC=√CD2+AD2=4（m），∴∠ACD＝60°，OA＝OC＝2m，∴∠ACB＝30°，∴∠AOB＝60°，∴优弧ADCB所对的圆心角为300°，∴改建后门洞的圆弧长是：300π×2180=10π3.（2022•泰安中考）如图，四边形ABCD中，∠A＝60°，AB∥CD，DE⊥AD交AB于点E，以点E为圆心，DE为半径，且DE＝6的圆交CD于点F，则阴影部分的面积为（）A．6π﹣9√3B．12π﹣9√3C．6π−9√32D．12π−9√32【解析】选B．∵∠A＝60°，AB∥CD，DE⊥AD交AB于点E，∴∠GDE＝∠DEA＝30°，∵DE＝EF，∴∠EDF＝∠EFD＝30°，∴∠DEF＝120°，过点E作EG⊥DF交DF于点G，∵∠GDE ＝30°，DE ＝6， ∴GE ＝3，DG ＝3√3， ∴DF ＝6√3，阴影部分的面积=120π×36360−12×6√3×3＝12π﹣9√3，（2022•达州中考）如图所示的曲边三角形可按下述方法作出：作等边△ABC ，分别以点A ，B ，C 为圆心，以AB 长为半径作BĈ，AC ̂，AB ̂，三弧所围成的图形就是一个曲边三角形．如果一个曲边三角形的周长为2π，则此曲边三角形的面积为（）A ．2π﹣2√3B ．2π−√3C ．2πD ．π−√3【解析】选A ．设等边三角形ABC 的边长为r ， ∴60πr 180=2π3，解得r ＝2，即正三角形的边长为2，∴这个曲边三角形的面积为：2×√3×12+（60π×4360−√3）×3＝2π﹣2√3（2022•德阳中考）一个圆锥的底面直径是8，母线长是9，则圆锥侧面展开图的面积是（） A ．16πB ．52πC ．36πD ．72π【解析】选C ．如图，AB ＝8，SA ＝SB ＝9，所以侧面展开图扇形的弧BC 的长为8π，由扇形面积的计算公式得，圆锥侧面展开图的面积为12×8π×9＝36π，A ．12π米2B ．14π米2C ．18π米2D ．116π米2【解析】选C ．连结BC ，AO ，如图所示， ∵∠BAC ＝90°，∴BC 是⊙O 的直径， ∵⊙O 的直径为1米，∴AO ＝BO =12（米），∴AB =√AO 2+BO 2=√22（米），∴扇形部件的面积=90360π×（√22）2=π8（米2），（2022•黄冈中考）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝8，以点C 为圆心，CA 的长为半径画弧，交AB 于点D ，则AD̂的长为（）A ．πB ．43π C ．53π D ．2π【解析】选B.连接CD ，如图所示：∵ACB ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝8，∴∠A ＝90°﹣30°＝60°，AC =12AB =4，由题意得：AC ＝CD ，∴△ACD 为等边三角形，∴∠ACD ＝60°，∴AD̂的长为：60π×4180=43π. （2022•山西中考）如图，扇形纸片AOB 的半径为3，沿AB 折叠扇形纸片，点O 恰好落在AB ̂上的点C 处，图中阴影部分的面积为（）A ．3π﹣3√3B ．3π−9√32C ．2π﹣3√3D ．6π−9√32【解析】选B ．沿AB 折叠扇形纸片，点O 恰好落在AB ̂上的点C 处，∴AC ＝AO ，BC ＝BO ， ∵AO ＝BO ，∴四边形AOBC 是菱形，连接OC 交AB 于D ，∵OC ＝OA ，∴△AOC 是等边三角形， ∴∠CAO ＝∠AOC ＝60°，∴∠AOB ＝120°， ∵AC ＝3，∴OC ＝3，AD =√32AC =3√32，∴AB ＝2AD ＝3√3， ∴S 阴影＝S 扇形AOB ﹣S 菱形AOBC =120π×32360−12×3×3√3=3π−9√32.（2022•河北中考）某款“不倒翁”（图1）的主视图是图2，PA ，PB 分别与AMB̂所在圆相切于点A ，B ．若该圆半径是9cm ，∠P ＝40°，则AMB̂的长是（）A ．11πcmB ．112πcm C ．7πcm D ．72πcm【解析】选A.作AO ⊥PA ，BO ⊥AB ，AO 和BO 相交于点O ，如图， ∵PA ，PB 分别与AMB̂所在圆相切于点A ，B ,∴∠OAP ＝∠OBP ＝90°， ∵∠P ＝40°，∴∠AOB ＝140°，∴优弧AMB 对应的圆心角为360°﹣140°＝220°， ∴优弧AMB 的长是：220π×9180=11π（cm ）.（2022•荆州中考）如图，以边长为2的等边△ABC 顶点A 为圆心、一定的长为半径画弧，恰好与BC 边相切，分别交AB ，AC 于D ，E ，则图中阴影部分的面积是（）A ．√3−π4 B ．2√3−π C ．(6−π)√33D ．√3−π2【解析】选D ．由题意，以A 为圆心、一定的长为半径画弧，恰好与BC 边相切，设切点为F ，连接AF ，则AF ⊥BC ．在等边△ABC 中，AB ＝AC ＝BC ＝2，∠BAC ＝60°，∴CF ＝BF ＝1．在Rt △ACF 中，AF =√AB 2−AF 2=√3，∴S 阴影＝S △ABC ﹣S 扇形ADE =12×2×√3−60π×(√3)2360 =√3−π2.（2022•北部湾中考）如图，在△ABC 中，CA ＝CB ＝4，∠BAC ＝α，将△ABC 绕点A 逆时针旋转2α，得到△AB ′C ′，连接B ′C 并延长交AB 于点D ，当B ′D ⊥AB 时，BB′̂的长是（）A ．2√33π B ．4√33π C ．8√39π D ．10√39π 【解析】选B ．根据题意可得，AC ′∥B ′D ，∵B ′D ⊥AB ，∴∠C ′AD ＝∠C ′AB ′+∠B ′AB ＝90°， ∵∠C ′AD ＝α，∴α+2α＝90°，∴α＝30°， ∵AC ＝4，∴AD ＝AC •cos30°＝4×√32=2√3，∴AB =2AD =4√3，∴BB′̂的长度l =nπr 180=60×π×4√3180=4√33．（2022•贺州中考）如图，在等腰直角△OAB 中，点E 在OA 上，以点O 为圆心、OE 为半径作圆弧交OB 于点F ，连接EF ，已知阴影部分面积为π﹣2，则EF 的长度为（）360°2（2022•贺州中考）某餐厅为了追求时间效率，推出一种液体“沙漏”免单方案（即点单完成后，开始倒转“沙漏”，“沙漏”漏完前，客人所点的菜需全部上桌，否则该桌免费用餐）．“沙漏”是由一个圆锥体和一个圆柱体相通连接而成．某次计时前如图（1）所示，已知圆锥体底面半径是6cm ，高是6cm ；圆柱体底面半径是3cm ，液体高是7cm ．计时结束后如图（2）所示，求此时“沙漏”中液体的高度为（）A ．2cmB ．3cmC ．4cmD ．5cm 【解析】选B ．如图：∵圆锥的圆锥体底面半径是6cm ，高是6cm ，∴△ABC 是等腰直角三角形， ∴△CDE 也是等腰直角三角形，即CD ＝DE ，由已知可得：液体的体积为π×32×7＝63π（cm 3），圆锥的体积为13π×62×6＝72π（cm 3），∴计时结束后，圆锥中没有液体的部分体积为72π﹣63π＝9π（cm 3），设计时结束后，“沙漏”中液体的高度AD 为xcm ，则CD ＝DE ＝（6﹣x ）cm ， ∴13π•（6﹣x ）2•（6﹣x ）＝9π，∴（6﹣x ）3＝27，解得x ＝3，∴计时结束后，“沙漏”中液体的高度为3cm ．（2022•毕节中考）如图，一件扇形艺术品完全打开后，AB ，AC 夹角为120°，AB 的长为45cm ，扇面BD 的长为30cm ，则扇面的面积是（）A ．375πcm 2B ．450πcm 2C ．600πcm 2D ．750πcm 2 【解析】选C ．∵AB 的长是45cm ，扇面BD 的长为30cm ， ∴AD ＝AB ﹣BD ＝15cm ，2（2022•赤峰中考）如图，AB是⊙O的直径，将弦AC绕点A顺时针旋转30°得到AD，此时点C的对应点D 落在AB上，延长CD，交⊙O于点E，若CE＝4，则图中阴影部分的面积为（）A．2πB．2√2C．2π﹣4D．2π﹣2√2【解析】选C．连接OE，OC，BC，由旋转知AC＝AD，∠CAD＝30°，∴∠BOC＝60°，∠ACE＝（180°﹣30°）÷2＝75°，∴∠BCE＝90°﹣∠ACE＝15°，∴∠BOE＝2∠BCE＝30°，∴∠EOC＝90°，即△EOC为等腰直角三角形，∵CE＝4，∴OE＝OC＝2√2，∴S阴影＝S扇形OEC﹣S△OEC=90π×(2√2)2360−12×2√2×2√2=2π﹣4．A ．π8−18B ．π8−14C ．π2−18D ．π2−14【解析】选B ．∵四边形ABCD 是正方形， ∴OB ＝OD ＝OC ，∠DOC ＝90°，∵∠EOB ＝∠FOD ，∴S 扇形BOM ＝S 扇形DON ，∴S 阴影＝S 扇形DOC ﹣S △DOC =90π×(√22)2360−14×1×1=π8−14.（2022•玉林中考）数学课上，老师将如图边长为1的正方形铁丝框变形成以A 为圆心，AB 为半径的扇形（铁丝的粗细忽略不计），则所得扇形DAB 的面积是 1 ．【解析】由题意BD̂=CD +BC ＝1+1＝2， S 扇形ABD =12•BD ̂•AB =12×2×1＝1，答案：1．【解析】如图，连接BD 交AC 于点O ，则AC ⊥BD ， ∵四边形ABCD 是菱形，∠BAD ＝60°， ∴∠BAC ＝∠ACD ＝30°，AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝2，在Rt △AOB 中，AB ＝2，∠BAO ＝30°，∴BO =12AB ＝1，AO =√32AB =√3，∴AC ＝2OA ＝2√3，BD ＝2BO ＝2， ∴S 菱形ABCD =12AC •BD ＝2√3， ∴S 阴影部分＝S 菱形ABCD ﹣2S 扇形ADE ＝2√3−60π×22360=6√3−2π3. 答案：6√3−2π3．（2022•重庆中考B 卷）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝2，以B 为圆心，BC 的长为半径画弧，交AD 于点E ．则图中阴影部分的面积为 13π ．（结果保留π）【解析】∵以B 为圆心，BC 的长为半径画弧，交AD 于点E ，∴BE ＝BC ＝2，在矩形ABCD 中，∠A ＝∠ABC ＝90°，AB ＝1，BC ＝2， ∴sin ∠AEB =ABBE =12，∴∠AEB ＝30°， ∴∠EBA ＝60°，∴∠EBC ＝30°， ∴阴影部分的面积：S =30π×22360=13π.答案：13π．（2022•广元中考）如图，将⊙O 沿弦AB 折叠，AB ̂恰经过圆心O ，若AB ＝2√3，则阴影部分的面积为 2π3 ．【解析】如图，过点O 作AB 的垂线并延长，垂足为C ，交⊙O 于点D ，连结AO ，AD ，根据垂径定理得：AC ＝BC =12AB =√3， ∵将⊙O 沿弦AB 折叠，AB ̂恰经过圆心O ，∴OC ＝CD =12r ， ∴OC =12OA ，∴∠OAC ＝30°，∴∠AOD ＝60°，∵OA ＝OD ，∴△AOD 是等边三角形，∴∠D ＝60°，在Rt △AOC 中，AC 2+OC 2＝OA 2，∴（√3）2+（12r ）2＝r 2，解得：r ＝2，∵AC ＝BC ，∠OCB ＝∠ACD ＝90°，OC ＝CD ，∴△ACD ≌△BCO （SAS ），∴S 阴影＝S 扇形ADO =60°360°×π×22=2π3．答案：2π3．（2022•十堰中考）如图，扇形AOB 中，∠AOB ＝90°，OA ＝2，点C 为OB 上一点，将扇形AOB 沿AC 折叠，使点B 的对应点B ′落在射线AO 上，则图中阴影部分的面积为 π+4﹣4√2 ．【解析】连接AB ，∵∠AOB ＝90°，OA ＝2，∴OB ＝OA ＝2，∴AB =√22+22=2√2，设OC ＝x ，则BC ＝B ′C ＝2﹣x ，OB ′＝2√2−2，则x 2+（2√2−2）2＝（2﹣x ）2，解得x ＝2√2−2，∴阴影部分的面积是：90π×22360−(2√2−2)×22×2=π+4﹣4√2.答案：π+4﹣4√2．（2022•宜昌中考）如图，点A ，B ，C 都在方格纸的格点上，△ABC 绕点A 顺时针方向旋转90°后得到△AB ′C ′，则点B 运动的路径BB ′̂的长为 5π2 ．【解析】由已知可得，∠BAB ′＝90°，AB =√32+42=5，∴BB ′̂的长为：90π×5180=5π2.答案：5π2 （2022•岳阳中考）如图，在⊙O 中，AB 为直径，AB ＝8，BD 为弦，过点A 的切线与BD 的延长线交于点C ，E 为线段BD 上一点（不与点B 重合），且OE ＝DE ．（1）若∠B ＝35°，则AD̂的长为 14π9 （结果保留π）；（2）若AC ＝6，则DE BE = 2539 ．【解析】（1）∵∠AOD ＝2∠ABD ＝70°，∴AD ̂的长为：70⋅π⋅4180=14π9. 答案：14π9．（2）连接AD ．∵AC 是切线，AB 是直径，∴AB ⊥AC ，∴BC =√AB 2+AC 2=√62+82=10，∵AB 是直径，∴∠ADB ＝90°，∴AD ⊥CB ，∴12•AB •AC =12•AB •AD ，∴AD =245，∴BD =√AB 2−AD 2=√82−(245)2=325，∵OB ＝OD ，EO ＝ED ，∴∠EDO ＝∠EOD ＝∠B ，（2022•衡阳中考）如图，用一个半径为6cm 的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了120°，假设绳索粗细不计，且与轮滑之间没有滑动，则重物上升了 4π cm ．（结果保留π）【解析】由题意得，重物上升的距离是半径为6cm ，圆心角为120°所对应的弧长，即120π×6180=4π，答案：4π（2022·新疆生产建设兵团中考）如图，⊙O 的半径为2，点A ，B ，C 都在⊙O 上，若∠B ＝30°，则AC ̂的长为23π ．（结果用含有π的式子表示）【解析】∵∠AOC ＝2∠B ，∠B ＝30°，∴∠AOC ＝60°．∴AĈ的长为60π×2180=23π，答案：23π （2022•河南中考）如图，将扇形AOB 沿OB 方向平移，使点O 移到OB 的中点O ′处，得到扇形A ′O ′B ′．若∠O ＝90°，OA ＝2，则阴影部分的面积为 π3+√32．【解析】如图，设O ′A ′交AB̂于点T ，连接OT ．∵OT ＝OB ，OO ′＝O ′B ′，∴OT ＝2OO ′，∵∠OO ′T ＝90°，∴∠O ′TO ＝30°，∠TOO ′＝60°，∴S 阴＝S 扇形O ′A ′B ′﹣（S 扇形OTB ﹣S △OTO ′）=90⋅π×22360−（60⋅π⋅22360−12×1×√3）=π3+√32．答案：π3+√32．（2022•黔东南州中考）如图，在△ABC 中，∠A ＝80°，半径为3cm 的⊙O 是△ABC 的内切圆，连接OB 、OC ，则图中阴影部分的面积是 134π cm 2．（结果用含π的式子表示）【解析】∵∠A ＝80°，⊙O 是△ABC 的内切圆，∴∠DOE ＝180°﹣（12∠ABC +12∠ACB ）＝180°−12（180°﹣∠A ）＝130°， ∴S 扇形DOE =130π×32360=134π. 答案：134π． 2【解析】连接OA ，由题意可知，直线MN 垂直平分线段OA ，∴EA ＝EO ，∵OA ＝OE ，∴△AOE 为等边三角形，∴∠AOE ＝60°，∵四边形ABCD 是⊙O 的内接正四边形，∴∠AOB ＝90°，∴∠BOE ＝30°，∵S 弓形AOE ＝S 扇形AOE ﹣S △AOE ，∴S 阴影＝S 扇形AOB ﹣S 弓形AOE ﹣S △AOB＝S 扇形AOB ﹣（S 扇形AOE ﹣S △AOE ）﹣S △AOB＝S 扇形AOB ﹣S 扇形AOE +S △AOE ﹣S △AOB＝S 扇形BOE +S △AOE ﹣S △AOB=30π×12360+12×1×1×√32−12×1×1 =112π+14√3−12．答案：112π+14√3−12．（2022•龙东中考）若一个圆锥的母线长为5cm ，它的侧面展开图的圆心角为120°，则这个圆锥的底面半径为（2022•包头中考）如图，已知⊙O 的半径为2，AB 是⊙O 的弦．若AB ＝2√2，则劣弧AB̂的长为 π ．【解析】∵⊙O 的半径为2，∴AO ＝BO ＝2，（2022·恩施州中考）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，⊙O 为Rt △ABC 的内切圆，则图中阴影部分的面积为（结果保留π） 5−34π ．【解析】作OD ⊥AC 于点D ，作OE ⊥CB 于点E ，作OF ⊥AB 于点F ，连接OA 、OC 、OB ，如图，∵∠C ＝90°，OD ＝OE ＝OF ，∴四边形CEOD 是正方形，∵AC ＝4，BC ＝3，∠C ＝90°，∴AB =√AC 2+BC 2=√42+32=5，∵S △ABC ＝S △AOC +S △COB +S △BOA ，∴4×32=4⋅OD 2+3⋅OE 2+5⋅OF 2，解得OD ＝OE ＝OF ＝1，∴图中阴影部分的面积为：4×32−1×1﹣π×12×34=5−34π.答案：5−34π【解析】∵∠BAE ＝65°，∴∠BOE ＝130°，∴∠BOC +∠DOE ＝∠BOE ﹣∠COD ＝60°，∴BC ̂+DE ̂的长度=60360×2π×1=13π. 答案：13π （2022•宿迁中考）如图，在△ABC 中，∠ABC ＝45°，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 与边BC 交于点D ．（1）判断直线AC 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）若AB ＝4，求图中阴影部分的面积．【解析】（1）直线AC 与⊙O 相切，理由如下：∵∠ABC ＝45°，AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠C ＝45°，∴∠BAC ＝180°﹣2×45°＝90°，∴BA ⊥AC ，∵AB 是⊙O 的直径，∴直线AC 与⊙O 相切；（2）连接OD ，AD ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，∵∠ABD ＝45°，∴△ABD 是等腰直角三角形，∠AOD ＝90°，∵AO ＝OB ，AB ＝4，∴S △ABD =12•AB •OD =12×4×2＝4，∴S 阴影＝S △ABC ﹣S △BOD ﹣S 扇形OAD =12×4×4−12×4−90π×22360 ＝8﹣2﹣π＝6﹣π．【解析】（1）连接OA ，∵AB 是⊙O 的切线，点A 为切点，∴∠BAO ＝90°，又∵AB ＝AC ，OA ＝OC ，∴∠B ＝∠ACB ＝∠OAC ，设∠ACB ＝x °，则在△ABC 中，x °+x °+x °+90°＝180°，解得：x ＝30，∴∠ACB 的度数为30°；（2）∵∠ACB ＝∠OAC ＝30°，∴∠AOC ＝120°，∴l AC ̂=120π×3180=2π （2022•湘潭中考）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A （﹣1，1），B （﹣4，0），C （﹣2，2）．将△ABC 绕原点O 顺时针旋转90°后得到△A 1B 1C 1．（1）请写出A 1、B 1、C 1三点的坐标：A 1 （1，1），B 1 （0，4），C 1 （2，2）；（2）求点B 旋转到点B 1的弧长．【解析】（1）由图知，A 1（1，1），B 1（0，4），C 1（2，2），答案：（1，1），（0，4），（2，2）；（2）由题意知，点B 旋转到点B 1的弧所在的圆的半径为4，弧所对的圆心角为90°，∴弧长为：90°π×4360°=π（2022•眉山中考）如图，AB 为⊙O 的直径，点C 是⊙O 上一点，CD 与⊙O 相切于点C ，过点B 作BD ⊥DC ，连接AC ，BC ．（1）求证：BC 是∠ABD 的角平分线；（2）若BD ＝3，AB ＝4，求BC 的长；（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．【解析】（1）连接OC ，如图1，∵CD 与⊙O 相切于点C ，OC 为半径，∴OC ⊥CD ，∵BD ⊥CD ，∴OC ∥BD ，∴∠OCB ＝∠DBC ，∵OC ＝OB ，∴∠OCB ＝∠OBC ，∴∠DBC ＝∠OBC ，∴BC 平分∠ABD ；（2）如图2，∵BC 平分∠ABD ，∴∠ABC ＝∠CBD ，∵AB 是直径，∴∠ACB ＝90°，∵BD ⊥DC ，∴∠D ＝90°，∴∠ACB ＝∠D ，∴△ABC ∽△CBD ，∴ABCB=BC BD ，∴BC 2＝AB •BD ， ∵BD ＝3，AB ＝4，∴BC 2＝3×4＝12，∴BC =2√3或﹣2√3（不符合题意，舍去），∴BC 的长为2√3；（3）如图3，作CE ⊥AO 于E ，连接OC ，∵AB是直径，AB＝4，∴OA＝OC＝2，在Rt△ABC中，AC=√AB2−BC2=√42−(2√3)2=2，∴AO＝CO＝AC＝2，∴△AOC是等边三角形，∴∠AOC＝60°，∵CE⊥OA，∵OE=12OA＝1，∴CE=√3，∴阴影部分的面积为：S=60×π×22360−12×2×√3=2π3−√3（2022•福建中考）如图，△ABC内接于⊙O，AD∥BC交⊙O于点D，DF∥AB交BC于点E，交⊙O于点F，连接AF，CF．（1）求证：AC＝AF；（2）若⊙O的半径为3，∠CAF＝30°，求AĈ的长（结果保留π）．【解析】（1）∵AD∥BC，DF∥AB，∴四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D，∵∠AFC＝∠B，∠ACF＝∠D，∴∠AFC＝∠ACF，∴AC＝AF．（2）连接AO，CO，由（1）得∠AFC＝∠ACF，∵∠AFC=180°−30°2=75°，∴∠AOC＝2∠AFC＝150°，∴AĈ的长l=150×π×3180=5π2．。

专题07 弧长、扇形面积和圆锥的侧面积(4个考点七大类型)(题型专练)(原卷版)

专题07 弧长、扇形面积和圆锥的侧面积（4个考点七大类型）【题型1 弧长的计算】【题型2 利用弧长公式求周长】【题型3 计算扇形的面积】【题型4 计算不规则图形的阴影部分面积】【题型5 旋转过程中扫过的路径或面积】【题型6 圆锥的计算】【题型7 圆柱的计算】【题型1 弧长的计算】1.（2023春•永嘉县月考）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，D是边BC上的一点，以AD为直径的⊙O交边AC于点E，若AD＝6，则的长为（）A．πB．2πC．3πD．4π2.（2023•东区二模）如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆上两点，点C是弧BD的中点，∠DAC＝30°，BC＝6，则弧BC的长为（）A．πB．2πC．4πD．6π3.（2023•秦都区校级二模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，AC＝AD，若∠ABC＝130°，⊙O的半径为9，则劣弧的长为（）A．4πB．8πC．9πD．18π4．（2023•柘城县模拟）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠DCB ＝130°，OB＝3，则的长为（）A．πB．πC．πD．π5．（2023•枣庄二模）如图，用一个半径为9cm的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了120°，假设绳索粗细不计，且与轮滑之间没有滑动，则重物约上升了cm．（π≈3.14，结果保留0.1）6．（2023•长春模拟）如图，圆形挂钟分针针尖到圆心的距离为9cm，经过20分钟，分针针尖转过的弧长为cm．（结果保留π）．7．（2023•薛城区二模）2023年旅游业迎来强势复苏．某古城为了吸引游客，决定在山水流淌的江中修筑如图1所示的“S”型圆弧堤坝．若堤坝的宽度忽略不计，图2中的两段圆弧半径都为57米，圆心角都为120°，则这“S”型圆弧堤坝的长为米．（结果保留π）8．（2023春•金安区校级期中）如图，⊙O的半径为9，四边形ABCD内接于⊙O，连接AC，BD．若∠ADB＝50°，∠ACD＝80°，则劣弧的长为．【题型2 利用弧长公式求周长】9．（2023•滨湖区一模）如图，分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形称为勒洛三角形．若等边三角形的边长为3，则勒洛三角形的周长为（）A．B．3πC．D．10.（2023•郁南县校级模拟）最近“羊了个羊”游戏非常火热，杨老师设置了一个数学版“羊了个羊”游戏．如图，一根6米长的绳子，一端拴在点A处，另一端拴着一只小羊（把小羊近似看作点D）．已知墙体AB的左边是空地，∠ABC＝60°，墙体AB长3米，小羊D可以绕到草地上活动，请问小羊D 在草地上最大活动区域的周长是（）A．B．2π+6C．π+6D．3π11.（2022秋•防城港期末）如图，圆的半径是2，圆内阴影图案的周长是（）A．4πB．3πC．2πD．π12．（2023•南关区校级二模）如图，将半径为2，圆心角为90°的扇形BAC绕A点逆时针旋转，在旋转过程中，点B落在扇形BAC的弧AC上的点D处，点C的对应点为点E，则图中阴影部分图形的周长为.（结果保留π）13．（2023春•泰兴市月考）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，且CD ∥AB，AB＝12，CD＝6，则图中阴影部分的周长为．14．（2022秋•舟山期中）如图，扇形OAB中，∠AOB＝90°，以AO为直径作半圆．若AO＝2，则阴影部分图形的周长为．15．（2022•寿阳县模拟）利用如图所示的基本图形若干个相同的图形可以组成的美丽图案，基本图形的相关数据：半径OA＝4cm，∠AOB＝120°．则基本图形（实线部分）的周长为cm（结果保留π）．16．（2022•绿园区模拟）如图，分别以正方形ABCD的顶点D，C为圆心，以AB长为半径画AC，BD．若AB＝2，则阴影部分的周长为（结果保留π）．17．（2022•武威模拟）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，AO＝1．分别以点A、B为圆心，AO、BO长为半径画弧，与相交，则图中阴影部分的周长为．【题型3 计算扇形的面积】18.（2022秋•郊区期末）如图，在4×4的方格中（共有16个小方格），每个小方格都是边长为1的正方形，O，A，B分别是小正方形的顶点，则扇形OAB 的面积等于（）A．2πB．C．D．19．（2023•道外区二模）有一个半径为2cm的扇形，它的圆心角为120°，则该扇形的面积为cm2．20．（2023•鼓楼区一模）已知扇形的半径为4，弧长为π，则该扇形的面积为．【题型4 计算不规则图形的阴影部分面积】21.（2023•南宁三模）如图，点O是半圆圆心，BE是半圆的直径，点A，D在半圆上，且AD∥BO，∠ABO＝60°，AB＝8，过点D作DC⊥BE于点C，则阴影部分的面积是（）A．B．C．D．22.（2023•阳泉一模）如图，扇形AOB的圆心角为直角，OA＝20，点C在AB上，以OB，CB为邻边构造▱OBCD．边CD交OA于点E．若OE＝12，则图中两块阴影部分的面积和为（）A．200π﹣240B．200π﹣216C．100π﹣216D．100π﹣240 23.（2023•渝中区校级三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，∠B＝30°，以AC为直径的半圆交AB于点D，则图中阴影部分的面积是．24．（2023•萧山区二模）如图，在菱形ABCD中，分别以点A，C为圆心，AD，CB长为半径画弧，分别交对角线AC于点E，F．若AB＝4，∠ABC＝120°，则图中阴影部分的面积为．（结果保留π）25．（2023•剑阁县二模）如图，在⊙O中，AB为直径，C是圆上一点，连接AC，BC，以C为圆心，AC的长为半径作弧，恰好经过点B，将⊙O分别沿AC，BC向内翻折．若AB＝4，则图中阴影部分的面积是．26．（2023•邗江区二模）如图，已知⊙O的半径为3，AB是直径，分别以点A、B为圆心，以B的长为半径画弧．两弧相交于C、D两点，则图中阴影部分的面积是．27．（2023•沙坪坝区校级模拟）如图，矩形ABCD中，AB＝4，．以A 为圆心，AD为半径作弧交BC于点E，则图中阴影部分的面积为．28．（2023•重庆模拟）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，OB＝4，过OB 的中点C作CD⊥OB交弧AB于点D，以C为圆心，CD长为半径作弧交OB 的延长线于点E，则图中阴影部分的面积为．30．（2023•新泰市二模）如图，正方形ABCD的边长为4，以BC为直径的半圆O交对角线AC于点E，则阴影部分的面积是．31．（2023•确山县三模）如图所示，一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为2，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，则阴影部分的面积为．32．（2023•铜梁区模拟）如图，在△ABC中，BC＝AC＝4，∠ACB＝120°，以A为圆心，AC为半径画弧，与AB交于点D，则图中阴影部分的面积为．（结果保留π）33．（2022秋•宝山区校级期末）如图，三角形ABC的边长都为6cm，分别以A、B、C三点为圆心，边长的一半为半径作弧，求阴影部分的周长．【题型5 旋转过程中扫过的路径或面积】34．（2022•唐河县模拟）如图，在扇形OAB中，OC⊥AB于点D，AB＝8，将△ODB绕点O点逆时针旋转60°，则线段DB扫过的图形面积为（）A．B．2πC．D．35.（2023•西城区校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，，将△ABC绕点A逆时针旋转角α（0°＜α＜180°）得到△AB'C'，并使点C'落在AB边上．（1）旋转角α的度数是．（2）线段AB所扫过部分的面积是．（结果保留π）36．（2022•辉县市二模）如图，在▱ABCD中，AB＝4cm，，∠ABC ＝135°，将▱ABCD绕点A逆时针旋转一定的角度，使点B的对应点B'恰好落在CD边上，则边BC扫过的面积（图中阴影部分）是cm2．37．（2022•靖西市模拟）如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2，将Rt△ABC绕A点顺时针旋转90°得到Rt△ADE，则BC扫过的面积为．38．（2022秋•上城区校级月考）如图，在△AOB中，OA＝2，OB＝5，将△AOB 绕点O顺时针旋转90°后得△A'OB'．（1）求点B扫过的弧的长；（2）求线段AB扫过的面积．【题型6 圆锥的计算】39．（2023•夏津县二模）如图，一块含30°角的直角三角板的最短边长为6cm，现以较长的直角边所在直线为轴旋转一周，形成一个圆锥，则圆锥的侧面积为（）A．48πcm2B．72πcm2C．80πcm2D．96πcm2 40．（2023•零陵区模拟）如图，圆锥的底面半径是1，则圆锥侧面展开图中扇形的弧长为（）A．πB．2πC．3πD．4π41．（2023•新吴区二模）已知一个三角形的三边长分别为3、4、5，将这个三角形绕着最短的边所在直线旋转一周，得到一个几何体，那么这个几何体的侧面积为（）A．12πB．15πC．20πD．24π42．（2023•盐城二模）已知圆锥的底面半径为3，母线长为4，则它的侧面展开图的面积是（）A．6B．12C．6πD．12π43.（2023•河东区二模）已知圆锥的底面圆半径为4，侧面展开图扇形的圆心角为120°，则它的侧面展开图面积为（）A．24πB．36πC．48πD．72π44.（2023•玉溪三模）如图，如果从半径为9cm的圆形纸片上剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），则这个圆锥的底面半径为（）A．3B．6C．9D．1245.（2023•双柏县模拟）若圆锥的底面半径是2cm，侧面展开扇形的面积为4πcm2，则圆锥的母线长为（）A．2cm B．4cm C．2πcm D．4πcm【题型7 圆柱的计算】46.（2023春•肇源县期中）一个圆柱，底面直径和高都是2分米，这个圆柱的侧面积是（）平方分米．A．6πB．5πC．4πD．2π47.（2022春•绥棱县期末）一根长3米的圆柱形木料，横着截4分米，和原来相比，剩下的圆柱形木料的表面积减少12.56平方分米，原来这根圆柱形木料底面周长为（）分米．A．0.314B．31.4C．3.14D．6.2848.（2022•新华区校级一模）图1是三个直立于水平面上的形状完全相同的几何体（下底面为圆面，单位：cm）．将它们拼成如图2的新几何体，则该新几何体的体积为（）A．48πcm3B．60πcm3C．72πcm3D．84πcm3 49．（2021秋•让胡路区校级期末）计算制作一个圆柱体需要多少铁皮，应该计算的是（）A．侧面积+一个底面积B．侧面积C．底面积D．侧面积+两个底面积50．（2022•南岗区校级开学）一个底面直径是10厘米，高是20厘米的圆柱，如果把它沿直径垂直于底面切成两半，表面积增加了平方厘米．。

中考数学第33课时弧长及扇形的面积,圆锥的侧面积和全面积课件(考点管理+归类探究+易错警示+课时

∴在 Rt△ AEP 中，AP＝ AE2＋EP2＝（2 3）2＋12＝
13.故选 C.
[2012·安徽]为增加绿化面积，某小区将原来正方形
地砖更换为如图33－4所示的正八边形植草砖，更换后，
图中阴影部分为植草区域，设正八边形与其内部小正方形
的边长都为a，则阴影部分的面积为
A(
)
A．2a2
B．3a2
类型之二弧长计算
[2013·宜宾]如图33－5，△ABC是正三角形，曲线
CDEF…叫做“正三角形的渐开线”，其中
︵︵︵ CD，DE，EF
，…
的圆心按点A，B，C循环．如果AB＝1，那么曲线CDEF的长
是___4_π__(结果保留π)．
图33－5
【解析】弧CD，弧DE，弧EF的圆心角都是120度，
出AE的长，再求出PE的长，最后在Rt△AEP中，利用勾
股定理列式进行计算即可得解．如图，连结AE.
例1答图
在正六边形中，∠F＝16×(6－2)×180°＝120°. ∵AF＝EF， ∴∠AEF＝∠EAF＝12(180°－120°)＝30°， ∴∠AEP＝120°－30°＝90°， AE＝2×2cos30°＝2×2×23＝2 3. ∵点 P 是 ED 的中点， ∴EP＝12×2＝1，
第33课时弧长及扇形的面积，圆锥的侧面积和全面积
考点管理
1．把圆分成n(n≥3)等份，依次连结各等分点所得到的多
边形是这个圆的内接正n边形，这个圆就是这个正多边
形的外接圆．
2．正n边形的n条半径把正多边形分成n个全等的等腰三
角形． 3．在应用弧长公式 l＝n1π80R和扇形面积公式 S＝nπ360R2时，
圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆

中考数学考点总动员系列专题42弧长及扇形的面积含解析 (2)

【命题探讨】2021年中考数学抢分训练之“小题狂做”弧长和扇形的面积、圆锥的侧面积（含解析）(1)

弧长和扇形的面积、圆锥的侧面积一、选择题(本大题共5小题，每题4分，共20分)1. 若是一个扇形的半径是1，弧长是π3，那么此扇形的圆心角的大小为( )A. 30° B ．45° C. 60° D. 90°2. 若是一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”，那么半径为2的“等边扇形”的面积为( )A. πB. 1C. 2D. 23π3. 如图，扇形DOE 的半径为3，边长为3的菱形OABC 的极点A ，C ，B ，别离在OD ，OE ，DE ︵上，假设把扇形DOE 围成一个圆锥，那么此圆锥的高为( ) A. 12B. 2 2C. 372D.352第3题图第4题图4. 如图，圆锥形冰淇淋盒的母线长是13 cm ，高是12 cm ，那么该圆锥形底面圆的面积是( )A ．10 πcm 2B ．25 πcm 2C ．60 πcm 2D ．65 πcm 25. 如图，用邻边长别离为a ，b (a ＜b )的矩形硬纸板裁出以a 为直径的两个半圆，再裁出与矩形的较长边、两个半圆均相切的两个小圆，把半圆作为圆锥形圣诞帽的侧面，小圆恰好能作为底面，从而做成两个圣诞帽(拼接处材料忽略不计)，那么a 与b 知足的关系是( )A . b ＝3aB ．b ＝5＋12a C ．b ＝52a D .b ＝2a二、填空题(本大题共4小题，每题4分，共16分)6. 如图，已知圆O 的半径为4，∠A ＝45°，假设一个圆锥的侧面展开图与扇形OBC 能完全重合，那么该圆锥的底面圆的半径为________．第6题图第7题图7. 如图，在▱ABCD 中，AD ＝2，AB ＝4，∠A ＝30°，以点A 为圆心，AD 的长为半径画弧交AB 于点E ，连接CE，那么阴影部份的面积是______(结果保留π).8. 如图，圆柱形璃杯，高为12 cm，底面周长为18 cm，在杯内离杯底4 cm的点C处有一滴蜂蜜，现在一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4 cm与蜂蜜相对的点A处，那么蚂蚁抵达蜂蜜的最短距离为______．第8题图第9题图9. 如图，由四个相同的小正方形组成的网格中，半径为1的⊙O通过四个格点，那么图中两个小扇形(即阴影部份)的面积之和为______(结果保留π)．三、解答题(本大题2小题，共24分)10. (12分)如图，AB是⊙O的直径，C为圆周上的一点，过点C的直线MN知足∠MCA＝∠CBA.(1)求证：直线MN是⊙O的切线(2)过点A作AD⊥MN于点D，交⊙O于点E，已知AB＝6，BC＝3，求阴影部份的面积.11. (12分)某玩具由一个圆形区域和一个扇形区域组成．如图，在⊙O1和扇形O2CD中，⊙O1与O2C、O2D别离相切于点A、B.已知∠CO2D＝60°，E、F是直线O1O2与⊙O1、扇形O2CD的两个交点，且EF＝24 cm，⊙O1的半径为x cm.(1)用含x的代数式表示扇形O2CD的半径；(2)假设⊙O1和扇形O2CD两个区域的制作本钱别离为0.45元/cm2和0.06元/cm2，当⊙O1的半径为多少时，该玩具的制作本钱最小？参考答案1. C 解析：令扇形的圆心角的大小为n °，由题意得n180×π×1＝π3，解得n ＝60，因此扇形的圆心角的大小为60°.2. C 解析：“等边扇形”面积S ＝12lr ＝12×2×2＝2，应选C.3. D 解析：连接OB ，AC ，那么OB ，AC 相互垂直且平分，因此OF ＝32，CF ＝（3）2－（32）2＝32，则AC ＝2×32＝3，因此△OAC 是正三角形，因此∠DOE ＝60°，那么DE ︵的长是60·π·3180＝π.设圆锥的底面半径为r ，那么2πr ＝π，r ＝12，而圆锥的母线长是3，因此圆锥的高h ＝354＝352. 4. B 解析：如图，圆锥的母线AB ＝13 cm ，圆锥的高AO ＝12 cm ，圆锥的底面半径OB ＝r ，在Rt△AOB 中，r ＝I 2－r 2＝132－122＝5(cm)，∴S ＝πr 2＝π×52＝25 πcm 2.应选B.5. D 解析：如图，设半圆及小圆的圆心别离为A 、B ，连接AB ，过点B 作矩形两边的垂线，别离交矩形的边于点C 、D ，由题意，a π2＝2π·BC ，因此BC ＝a 4，因此AB ＝a 2＋a4＝3a 4，AD ＝a 2－a 4＝a4，在Rt△ABD 中，BD ＝AB 2－AD 2＝2a2，因此2a 2＝b 2，因此b ＝2a ，应选D.6．解：∵∠A ＝45°，∴∠BOC ＝90°，∴扇形BOC 的弧长为90π×4180＝2π，设圆锥的底面半径为r ，那么2πr ＝2π，解得r ＝1，故答案为1.7. 3－13π 解析：因为AD ＝2，∠A ＝30°，因此AB 边上的高等于1，因此平行四边形的面积为4×1＝4，三角形EBC 的面积等于12×2×1＝1，扇形的面积等于30π×22360＝π3，因此阴影面积等于3－13π.8. 15 解析：圆柱侧面展开圆如下图，作点A 关于DE 的对称点A ′，连接A ′C ，与DE 交于点P ，连结PA 、PC ，那么A →P →C 确实是最短线路．在Rt△A ′BC 中，BC ＝9 cm ，A ′B ＝12 cm ，因此A ′C ＝15 cm ，因此PA ＋PC ＝A ′C ＝15 cm.9. 14π 解析：图中两个小扇形(即阴影部份)的圆心角的和是90°，因为它们的半径都是1，因此正好能拼成一个占⊙O 面积14的扇形，因此图中两个小扇形(即阴影部份)的面积之和为14π×12＝14π.10. 证明：(1)连接OC ，∵AB 是⊙O 的直径，C 为圆周上的一点， ∴∠ACB ＝90°，即∠ACO ＋∠OCB ＝90°， ∵OC ＝OB ，∴∠OCB ＝∠OBC ，又∠MCA ＝∠ABC ，故∠MCA ＝∠OCB ，∴∠ACO ＋∠MCA ＝90°，即OC ⊥MN ，直线MN 过点C ， ∴直线MN 是⊙O 的切线．(5分)(2)连接OE 、CE ，由(1)OC ⊥MN ，AD ⊥MN ，得OC ∥AE ，在Rt△ACB 中，co s B ＝BC AB ＝12，∴∠B ＝60°，故OC ＝OB ＝BC ＝3，∴∠EAO ＝∠COB ＝60°，故OE ＝OA ＝EA ＝3，∠EOC ＝60°，∴OC ＝AE ，四边形AOCE 是平行四边形，故S △EAC ＝S △EOC (8分) 于是，S 阴＝S △ADC －S 扇形EOC ，在Rt△ACB 中，BC ＝3，AB ＝6，∴AC ＝33，在Rt △ADC 中，AC ＝33，∠DCA ＝∠B ＝60°，∴DC ＝332，AD ＝92， ∴S △ADC ＝12AD ·DC ＝2738，(10分) 而S 扇形EOC ＝60·π·32360＝3π2.(11分)于是S 阴＝S △ADC －S 扇形EOC ＝273－12π8.(12分)11. 解：(1)连接O 1A .∵⊙O 1与O 2C 、O 2D 别离相切于点A 、B ， ∴O 1A ⊥O 2C ，O 2E 平分∠CO 2D ， ∴∠AO 2O 1＝12∠CO 2D ＝30°.在Rt△O 1AO 2中，sin∠AO 2O 1＝AO 1O 1O 2，∴O 1O 2＝AO 1sin∠AO 2O 1＝xsin30°＝2x .(4分)∴FO 2＝EF －EO 1－O 1O 2＝24－3x ，即扇形O 2CD 的半径为(24－3x )cm.(6分) (2)设该玩具的制作本钱为y 元，那么y ＝0.45πx 2＋0.06×（360－60）×π×（24－3x ）2360＝0.9πx 2－7.2πx ＋28.8π＝0.9π(x －4)2＋14.4π.(10分) 因此当x －4＝0，即x ＝4时，y 的值最小．答：当⊙O 1的半径为4 cm ，该玩具的制作本钱最小．(12分)。

2019年中考数学抢分训练之“小题狂做”：弧长和扇形的面积、圆锥的侧面积(含解析)

弧长和扇形的面积、圆锥的侧面积一、选择题(本大题共5小题，每小题4分，共20分)1. 如果一个扇形的半径是1，弧长是π3，那么此扇形的圆心角的大小为( )[w^ww&.z*zstep%#]A. 30° B ．45° C. 60° D. 90°2. 如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”，则半径为2的“等边扇形”的面积为( )[中国教&^~育#出*版]A. πB. 1C. 2D. 23π[:~中国教%育*出版&@]3. 如图，扇形DOE 的半径为3，边长为3的菱形OABC 的顶点A ，C ，B ，分别在OD ，OE ，DE ︵上，若把扇形DOE围成一个圆锥，则此圆锥的高为( )A. 12B. 2 2C. 372D. 352第3题图第4题图4. 如图，圆锥形冰淇淋盒的母线长是13 cm ，高是12 cm ，则该圆锥形底面圆的面积是( )A ．10 πcm 2B ．25 πcm 2C ．60 πcm 2D ．65 πcm 25. 如图，用邻边长分别为a ，b(a ＜b)的矩形硬纸板裁出以a 为直径的两个半圆，再裁出与矩形的较长边、两个半圆均相切的两个小圆，把半圆作为圆锥形圣诞帽的侧面，小圆恰好能作为底面，从而做成两个圣诞帽(拼接处材料忽略不计)，则a 与b 满足的关系是( )[中@国*教育%&出版#]A. b ＝3a B ．b ＝5＋12 a C ．b ＝52a D.b ＝2a 二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)[:中国教&育出版@~%#]6. 如图，已知圆O 的半径为4，∠A＝45°，若一个圆锥的侧面展开图与扇形OBC 能完全重合，则该圆锥的底面圆的半径为________．[中%@#国教^育*出版]第6题图第7题图7. 如图，在▱ABCD 中，AD ＝2，AB ＝4，∠A＝30°，以点A 为圆心，AD 的长为半径画弧交AB 于点E ，连接CE ，则阴影部分的面积是______(结果保留π).8. 如图，圆柱形璃杯，高为12 cm，底面周长为18 cm，在杯内离杯底4 cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4 cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为______．[:~@中国教^育*#出版]第8题图第9题图 [:zz*step.co#~@&m]9. 如图，由四个相同的小正方形构成的格中，半径为1的⊙O经过四个格点，则图中两个小扇形(即阴影部分)的面积之和为______(结果保留π)．三、解答题(本大题2小题，共24分)10. (12分)如图，AB是⊙O的直径，C为圆周上的一点，过点C的直线MN满足∠MCA＝∠CBA.(1)求证：直线MN是⊙O的切线(2)过点A作AD⊥MN于点D，交⊙O于点E，已知AB＝6，BC＝3，求阴影部分的面积.[来%^源:中教#~*]11. (12分)某玩具由一个圆形区域和一个扇形区域组成．如图，在⊙O1和扇形O2CD中，⊙O1与O2C、O2D分别相切于点A、B.已知∠CO2D＝60°，E、F是直线O1O2与⊙O1、扇形O2CD的两个交点，且EF＝24 cm，⊙O1的半径为x cm.(1)用含x的代数式表示扇形O2CD的半径；(2)若⊙O1和扇形O2CD两个区域的制作成本分别为0.45元/cm2和0.06元/cm2，当⊙O1的半径为多少时，该玩具的制作成本最小？参考答案[来^源#&:中教%~]1. C 解析：令扇形的圆心角的大小为n°，由题意得n 180×π×1＝π3，解得n ＝60，所以扇形的圆心角的大小为60°.2. C 解析：“等边扇形”面积S ＝12lr ＝12×2×2＝2，故选C.3. D 解析：连接OB ，AC ，则OB ，AC 互相垂直且平分，所以OF ＝32，CF ＝（3）2－（32）2＝32，[w~ww.zzs*tep^&.co@m]则AC ＝2×32＝3，所以△OAC 是正三角形，所以∠DOE＝60°，则DE ︵的长是60·π·3180＝π.设圆锥的底面半径为r ，则2πr ＝π，r ＝12，而圆锥的母线长是3，所以圆锥的高h ＝354＝352.[:数理化]4. B 解析：如图，圆锥的母线AB ＝13 cm ，圆锥的高AO ＝12 cm ，圆锥的底面半径OB ＝r ，在Rt△AOB 中，r ＝I 2－r 2＝132－122＝5(cm)，∴S＝πr 2＝π×52＝25 πcm 2.故选B.5. D 解析：如图，设半圆及小圆的圆心分别为A 、B ，连接AB ，过点B 作矩形两边的垂线，分别交矩形的边于点C 、D ，由题意，a π2＝2π·BC，所以BC ＝a 4，所以AB ＝a 2＋a 4＝3a 4，AD ＝a 2－a 4＝a 4，在Rt△ABD 中，BD ＝AB 2－AD2＝2a 2，所以2a 2＝b2，所以b ＝2a ，故选D. 6．解：∵∠A＝45°，∴∠BOC＝90°，∴扇形BOC 的弧长为90π×4180＝2π，设圆锥的底面半径为r ，则2πr ＝2π，解得r ＝1，故答案为1.7. 3－13π 解析：因为AD ＝2，∠A＝30°，所以AB 边上的高等于1，所以平行四边形的面积为4×1＝4，三角形EBC 的面积等于12×2×1＝1，扇形的面积等于30π×22360＝π3，所以阴影面积等于3－13π.8. 15 解析：圆柱侧面展开圆如图所示，作点A 关于DE 的对称点A′，连接A′C，与DE 交于点P ，连结PA 、PC ，则A→P→C 就是最短线路．在Rt△A′BC 中，BC ＝9 cm ，A′B＝12 cm ，所以A′C＝15 cm ，所以PA ＋PC ＝A′C＝15 cm.9. 14π 解析：图中两个小扇形(即阴影部分)的圆心角的和是90°，因为它们的半径都是1，所以正好能拼成一个占⊙O 面积14的扇形，所以图中两个小扇形(即阴影部分)的面积之和为14π×12＝14π.10. 证明：(1)连接OC ，∵AB 是⊙O 的直径，C 为圆周上的一点， ∴∠ACB＝90°，即∠ACO＋∠OCB＝90°，[来@源:z%zstep.&^co*m] ∵OC＝OB ，∴∠OCB＝∠OBC，又∠MCA＝∠ABC，故∠MCA＝∠OCB，∴∠ACO＋∠MCA＝90°，即OC⊥MN，直线MN 过点C ， ∴直线MN 是⊙O 的切线．(5分)(2)连接OE 、CE ，由(1)OC⊥MN，AD⊥MN，得OC∥AE，在Rt△ACB 中，co sB ＝BC AB ＝12，∴∠B＝60°，故OC ＝OB ＝BC ＝3， ∴∠EAO＝∠COB＝60°，故OE ＝OA ＝EA ＝3，∠EOC＝60°，∴OC＝AE ，四边形AOCE 是平行四边形，故S △EAC ＝S △EOC (8分)[中国#~教育出*版%@] 于是，S 阴＝S △ADC －S 扇形EOC ，[:在Rt△ACB 中，BC ＝3，AB ＝6，∴AC＝33，[w@ww.zzs*&te#p~] 在Rt △ADC 中，AC ＝33，∠DCA＝∠B＝60°， ∴DC＝332，AD ＝92， ∴S △ADC ＝12AD·DC＝2738，(10分)[: 而S 扇形EOC ＝60·π·32360＝3π2.(11分)于是S 阴＝S △ADC －S 扇形EOC ＝273－12π8.(12分)11. 解：(1)连接O 1A.[来~源:zz*^ste%@p]∵⊙O 1与O 2C 、O 2D 分别相切于点A 、B ，∴O 1A⊥O 2C ，O 2E 平分∠CO 2D ， ∴∠AO 2O 1＝12∠CO 2D ＝30°.在Rt△O 1AO 2中，sin∠AO 2O 1＝AO 1O 1O 2，[: ∴O 1O 2＝AO 1sin∠A O 2O 1＝xsin30°＝2x.(4分)[w&ww.zz*^step.c~om@]∴FO 2＝EF －EO 1－O 1O 2＝24－3x ，即扇形O 2CD 的半径为(24－3x)cm.(6分)[来~源:#zzstep*.c&o%m] (2)设该玩具的制作成本为y 元，则y ＝0.45πx 2＋0.06×（360－60）×π×（24－3x ）2360＝0.9πx 2－7.2πx ＋28.8π＝0.9π(x －4)2＋14.4π.(10分) 所以当x －4＝0，即x ＝4时，y 的值最小．答：当⊙O 1的半径为4 cm ，该玩具的制作成本最小．(12分) [来#源:中%国@教育出~&版]。

九年级数学弧长和扇形面积公式、圆锥的侧面积和面积试题

初三数学弧长和扇形面积公式、圆锥的侧面积和全面积人教实验版【本讲教育信息】一. 教学内容：弧长和扇形面积公式、圆锥的侧面积和全面积教学目的1. 使学生掌握弧长和扇形面积公式、圆锥及其特征，使学生掌握圆锥的轴截面图及其特点。

2. 使学生掌握弧长和扇形面积公式、圆锥侧面展开图的画法及侧面积计算公式。

3. 使学生比拟纯熟地应用弧长和扇形面积公式、圆锥的根本性质和轴截面解决有关圆锥外表积的计算问题。

4. 培养学生空间观念及空间图形与平面图形的互相转化思想，培养学生空间想象才能和计算才能。

教学重点和难点：教学重点是弧长和扇形面积公式，圆锥及其特征，圆锥的侧面积计算难点是圆锥侧面展开图〔扇形〕中各元素与圆锥各元素之间的关系教学过程 1. 圆周长：r 2C π= 圆面积：2r S π=2. 圆的面积C 与半径R 之间存在关系R 2C π=，即360°的圆心角所对的弧长，因此，1°的圆心角所对的弧长就是360R2π。

n °的圆心角所对的弧长是180Rn π180Rn π=∴l P 120*这里的180、n 在弧长计算公式中表示倍分关系，没有单位。

3. 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的圆形叫做扇形。

发现：扇形面积与组成扇形的圆心角的大小有关，圆心角越大，扇形面积也就越大。

4. 在半径是R 的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积2R S π=，所以圆心角为n °的扇形面积是： R 21360R n S 2l =π=扇形〔n 也是1°的倍数，无单位〕5. 圆锥的概念观察模型可以发现：圆锥是由一个底面和一个侧面围成的。

其中底面是一个圆，侧面是一个曲面，假如把这个侧面展开在一个平面上，展开图是一个扇形。

如图，从点S 向底面引垂线，垂足是底面的圆心O ，垂线段SO 的长叫做圆锥的高，点S 叫做圆锥的顶点。

锥也可以看作是由一个直角三角形旋转得到的。

初三数学弧长及扇形的面积,圆锥的侧面积知识精讲试题

初三数学弧长及扇形的面积，圆锥的侧面积知识精讲一. 本周教学内容：弧长及扇形的面积，圆锥的侧面积［学习目的］1. 经历探究弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程。

2. 理解弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会应用公式解决问题。

3. 经历探究圆锥侧面积计算公式的过程。

4. 理解圆锥的侧面积计算公式，并会应用公式解决问题。

二. 重点、难点：对于弧长和扇形面积公式的研究是联络小学学过的圆的周长和面积公式来探究的。

在计算时应注意对n的意义的理解，n是1°的圆心角的倍数，在探究时不妨采用由简单到2πr复杂的研究方法。

如在研究弧长公式时，我们知道圆的周长是是圆上某点转动了360°后的弧长。

假如想求n°的圆心角所对的弧长，可先求出1°的圆心角所对的弧长，再求出n倍即可。

所以，同学都不必死记公式，只要知道公式的来历，既使是忘记了公式，也可以推出来。

对于扇形面积公式的推导公式可仿照弧长公式的推导。

对于圆锥的侧面积，我们可以首先通过观察圆锥，认识到它的外表是由一个圆面和一个曲面围成的，然后将圆锥沿母线展开，得到一个扇形，这个扇形的半径是l，弧长是底面r r l周长，所以圆锥的侧面积是，这些公式同样希望同学们会推导，而不是死2ππ记硬背。

本周的题目大多都是实际应用题，在计算时可采用一些技巧或者简单算法能较简单迅速地解决问题，下面以几个例题来说明这个问题。

例1. ⊙A、⊙B、⊙C两两不相交，且它们的半径都是，图中的三个扇形〔即三个阴影〕的面积之和是多少？分析：此题要求的是三个阴影的面积之和，我们可以分别求出三个扇形的面积再相加，但由于∠A、∠B、∠C的度数未知，所以让我们感到困难。

但由于是求面积之和，不妨采用提取公因数的简便作法，还可以绕过∠A、∠B、∠C不知度数这个困难。

解：Sn rSn rSn r AABBCC扇扇扇，，===πππ222 360360360()∴++ =++=⨯⨯≈S S Srn n ncmA B CA B C扇扇扇ππ222 36005360180039..例2. 某家设计公司设计一种扇，纸扇张开的最大角度θ与360°－θ的比是黄金比，那么制作一把这样的纸扇至少要用多少平方厘米的纸？分析：利用黄金比可求出θ的大小，继而可以求出纸扇的用纸量，但在求的过程中，公式里的202和52将给我们带来很多计算上的不便。