辽宁省大连普兰店市第一中学2017届高三数学一轮复习学案指数与指数函数 (无答案)

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届高三数学大一轮复习指数与指数函数学案理新人教A版

学案7 指数与指数函数导学目标： 1.了解指数函数模型的实际背景.2.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．3．理解指数函数的概念，并掌握指数函数的单调性与函数图象通过的特殊点.4.知道指数函数是一类重要的函数模型．自主梳理1．指数幂的概念(1)根式如果一个数的n次方等于a(n>1且n∈N*)，那么这个数叫做a的n次方根．也就是，若x n＝a，则x叫做________，其中n>1且n∈N*.式子na叫做________，这里n叫做________，a叫做____________．(2)根式的性质①当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a 的n次方根用符号________表示．②当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数的正的n次方根用符号________表示，负的n次方根用符号________表示．正负两个n次方根可以合写成________(a>0)．③(na)n＝____.④当n为偶数时，na n＝|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧a，a≥0，－a，a<0.⑤当n为奇数时，na n＝____.⑥负数没有偶次方根．⑦零的任何次方根都是零．2．有理指数幂(1)分数指数幂的表示①正数的正分数指数幂是mna＝________(a>0，m，n∈N*，n>1)．②正数的负分数指数幂是mna-＝____________＝______________(a>0，m，n∈N*，n>1)．③0的正分数指数幂是______，0的负分数指数幂无意义．(2)有理指数幂的运算性质①a r a s＝________(a>0，r，s∈Q)．②(a r)s＝________(a>0，r，s∈Q)．③(ab)r＝________(a>0，b>0，r∈Q)．自我检测 1．下列结论正确的个数是( )①当a <0时，232)(a ＝a 3； ②na n＝|a |；③函数y ＝21)2( x －(3x －7)0的定义域是(2，＋∞)；④若100a ＝5,10b＝2，则2a ＋b ＝1.A ．0B ．1C ．2D ．32．函数y ＝(a 2－3a ＋3)a x是指数函数，则有 ( )A ．a ＝1或a ＝2B ．a ＝1C ．a ＝2D ．a >0且a ≠13．如图所示的曲线C 1，C 2，C 3，C 4分别是函数y ＝a x ，y ＝b x ，y ＝c x ，y ＝d x的图象，则a ，b ，c ，d 的大小关系是 ( )A ．a 1，b >0，且a b ＋a －b ＝22，则a b －a －b的值等于 ( )A. 6 B ．2或－2 C ．－2 D ．25．(2011·六安模拟)函数f (x )＝a x －b的图象如图，其中a 、b 为常数，则下列结论正确的是( )A ．a >1，b <0B ．a >1，b >0C ．0<a <1，b >0D ．0<a <1，b <0探究点一有理指数幂的化简与求值例1 已知a ，b 是方程9x 2－82x＋9＝0的两根，且a 0)的结果是( )A.b aB ．ab C.a bD ．a 2b探究点二指数函数的图象及其应用例2 已知函数y ＝(13)|x ＋1|.(1)作出函数的图象(简图)； (2)由图象指出其单调区间；(3)由图象指出当x 取什么值时有最值，并求出最值．变式迁移2 (2009·山东)函数y ＝e x＋e－xe x －e－x 的图象大致为( )探究点三指数函数的性质及应用例3 如果函数y ＝a 2x ＋2a x－1(a >0且a ≠1)在区间[－1,1]上的最大值是14，求a 的值．变式迁移3 (2011·龙岩月考)已知函数f (x )＝(12x －1＋12)x 3.(1)求f (x )的定义域；(2)证明：f (－x )＝f (x )； (3)证明：f (x )>0.分类讨论思想的应用例 (12分)已知f (x )＝aa 2－1(a x －a －x)(a >0且a ≠1)． (1)判断f (x )的奇偶性； (2)讨论f (x )的单调性；(3)当x ∈[－1,1]时f (x )≥b 恒成立，求b 的取值范围．【答题模板】解 (1)函数定义域为R ，关于原点对称．又因为f (－x )＝aa 2－1(a －x －a x)＝－f (x )，所以f (x )为奇函数．[3分](2)当a >1时，a 2－1>0，y ＝a x 为增函数，y ＝a －x 为减函数，从而y ＝a x －a －x 为增函数，所以f (x )为增函数．[5分]当0<a <1时，a 2－1<0，y ＝a x 为减函数，y ＝a －x 为增函数，从而y ＝a x －a －x 为减函数，所以f (x )为增函数．故当a >0，且a ≠1时，f (x )在定义域内单调递增．[7分] (3)由(2)知f (x )在R 上是增函数， ∴在区间[－1,1]上为增函数， ∴f (－1)≤f (x )≤f (1)，∴f (x )min ＝f (－1)＝a a 2－1(a －1－a )＝a a 2－1·1－a 2a＝－1.[10分]∴要使f (x )≥b 在[－1,1]上恒成立，则只需b ≤－1，故b 的取值范围是(－∞，－1]．[12分] 【突破思维障碍】本例第(2)(3)问是难点，讨论f (x )的单调性对参数a 如何分类，分类的标准和依据是思维障碍之一．【易错点剖析】在(2)中，函数的单调性既与a x －a －x有关，还与a a 2－1的符号有关，若没考虑aa 2－1的符号就会出错，另外分类讨论完，在表达单调性的结论时，要综合讨论分类的情况，如果没有一个总结性的表达也要扣分，在表达时如果不呈现a 的题设条件中的范围也是错误的．1．一般地，进行指数幂的运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数进行运算，便于用运算性质进行乘、除、乘方、开方运算，可以达到化繁为简的目的．2．比较两个指数幂大小时，尽量化同底数或同指数，当底数相同，指数不同时，构造同一指数函数，然后比较大小；当指数相同，底数不同时，构造两个指数函数，利用图象比较大小．3．指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系如图所示，则0<c <d <1<a <b .在y 轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；在y 轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小；即无论在y 轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分) 1．函数y＝x2的值域是( )A ．[0，＋∞)B ．[1，＋∞)C ．(－∞，＋∞)D ．[2，＋∞)2．(2011·金华月考)函数y ＝xa x|x |(0<a <1)的图象的大致形状是( )3．(2010·重庆)函数f (x )＝4x＋12x 的图象( )A ．关于原点对称B ．关于直线y ＝x 对称C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称4．定义运算a b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a a ≤b ，ba >b ，则函数f (x )＝x的图象是( )5．若关于x 的方程|a x－1|＝2a (a >0，a ≠1)有两个不等实根，则a 的取值范围是( ) A ．(0,1)∪(1，＋∞) B ．(0,1)C ．(1，＋∞)D ．(0，12)6．(2011·嘉兴月考)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3a ，x <0，a x ， x ≥0(a >0且a ≠1)是R 上的减函数，则a 的取值范围是________．7．(2010·江苏)设函数f (x )＝x (e x ＋a e －x)，x ∈R 是偶函数，则实数a ＝________.8．若函数f (x )＝a x－1(a >0且a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a 的值为________．三、解答题(共38分)9．(12分)(2011·衡阳模拟)已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x＋b2x ＋1＋a是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围．10．(12分)(2010·北京丰台区期末)已知函数f (x )＝3x ，f (a ＋2)＝18，g (x )＝λ·3ax－4x的定义域为[0,1]．(1)求a 的值．(2)若函数g (x )在区间[0,1]上是单调递减函数，求实数λ的取值范围．11．(14分)(2011·东莞模拟)函数y ＝1＋2x ＋4xa 在x ∈(－∞，1]上y >0恒成立，求a 的取值范围．答案自主梳理1．(1)a 的n 次方根根式根指数被开方数 (2)①n a ②n a －n a ±na ③a ⑤a 2.(1)①na m ②nm a 11na m③0 (2)①ar ＋s②a rs ③a r b r3.(1)R (2)(0，＋∞) (3)(0,1) (4)y >1 0<y <1 (5)0<y <1 y >1 (6)增函数 (7)减函数自我检测1．B [只有④正确．①中a <0时，232)(a >0，a 3<0，所以232)(a ≠a 3；②中，n 为奇数时且a <0时，n a n＝a ；③中定义域为[2，73)∪(73，＋∞)．]2．C [∵y ＝(a 2－3a ＋3)a x 是指数函数，∴a 2－3a ＋3＝1，解得a ＝2或a ＝1(舍去)．] 3．D [y 轴左、右的图象对应函数的底数按逆时针方向增大．所以c >d >1,1>a >b >0.]4．D [(a b －a －b )2＝(a b ＋a －b )2－4＝4，∵a >1，b >0，∴a b >1,0<a －b <1，∴a b －a －b＝2.]5．D [由f (x )＝a x －b 的图象可以观察出，函数f (x )＝a x －b在定义域上单调递减，所以0<a <1；函数f (x )＝a x －b 的图象是在f (x )＝a x的基础上向左平移得到的，所以b <0.] 课堂活动区例1 解题导引 1.指数幂的化简原则 (1)化负数指数为正指数； (2)化根式为分数指数幂； (3)化小数为分数．2．指数幂的化简结果要求为有关有理指数幂的化简结果不要同时含有根号和分数指数幂，也不要既有分母又含有负指幂，即尽量化成与题目表示形式一致且统一的最简结果．解 ∵a ，b 是方程的两根，而由9x 2－82x ＋9＝0解得x 1＝19，x 2＝9，且a <b ，故a ＝19，b ＝9，(1)化去负指数后求解．a －1＋b －1ab －1＝1a ＋1b 1ab ＝a ＋b ab 1ab＝a ＋b . ∵a ＝19，b ＝9，∴a ＋b ＝829，即原式＝829.(2)原式＝3127⨯a ·3123⨯-a÷ (21)38(⨯-a·21315⨯a)＝)2534(2167+---a＝21-a.∵a ＝19，∴原式＝3.变式迁移1 C [原式＝31312316123ba ab ba b a -∙∙＝3123113116123--++-+∙b a＝ab －1＝a b.]例2 解题导引在作函数图象时，首先要研究函数与某一基本函数的关系，然后通过平移、对称或伸缩来完成．解 (1)方法一由函数解析式可得y ＝(13)|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧13x ＋1， x ≥－1，3x ＋1， x <－1.其图象由两部分组成：一部分是：y ＝(13)x (x ≥0)――→向左平移1个单位y ＝(13)x ＋1(x ≥－1)；另一部分是：y ＝3x(x <0)――→向左平移1个单位y ＝3x ＋1(x <－1)．如图所示．方法二 ①由y ＝(13)|x |可知函数是偶函数，其图象关于y 轴对称，故先作出y ＝(13)x的图象，保留x ≥0的部分，当x <0时，其图象是将y ＝(13)x(x ≥0)图象关于y 轴对折，从而得出y ＝(13)|x |的图象．②将y ＝(13)|x |向左移动1个单位，即可得y ＝(13)|x ＋1|的图象，如图所示．(2)由图象知函数在(－∞，－1]上是增函数，在[－1，＋∞)上是减函数． (3)由图象知当x ＝－1时，有最大值1，无最小值．变式迁移2 A [y ＝e x ＋e －x e x －e －x ＝1＋2e 2x －1，当x >0时，e 2x－1>0，且随着x 的增大而增大，故y ＝1＋2e 2x －1>1且随着x 的增大而减小，即函数y 在(0，＋∞)上恒大于1且单调递减．又函数y 是奇函数，故只有A 正确．]例3 解题导引 1.指数函数y ＝a x(a >0且a ≠1)的图象与性质与a 的取值有关，要特别注意区分a >1与0<a <1来研究．2．指数函数与二次函数复合而成的初等函数的性质可通过换元的方法转化为指数函数或二次函数的性质．解设t ＝a x ，则y ＝f (t )＝t 2＋2t －1＝(t ＋1)2－2.(1)当a >1时，t ∈[a －1，a ]，∴y max ＝a 2＋2a －1＝14，解得a ＝3，满足 a >1；(2)当0<a <1时，t ∈[a ，a －1]，∴y max ＝(a －1)2＋2a －1－1＝14，解得a ＝13，满足0<a <1.故所求a 的值为3或13.变式迁移3 (1)解由2x－1≠0⇒x ≠0，所以定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．(2)证明 f (x )＝(12x －1＋12)x 3可化为f (x )＝2x＋1x－·x 3，则f (－x )＝2－x＋1－x－(－x )3＝2x＋1x－x 3＝f (x )，所以f (－x )＝f (x )．(3)证明当x >0时，2x >1，x 3>0，所以(12x －1＋12)x 3>0.因为f (－x )＝f (x )，所以当x <0时，f (x )＝f (－x )>0. 综上所述，f (x )>0. 课后练习区1．B [由y ＝x2中x ≥0，所以y ＝x2≥20＝1，即函数的值域为[1，＋∞)．]2．D [函数的定义域为{x |x ∈R ，x ≠0}，且y ＝xa x |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧a x， x >0－a x，x <0.当x >0时，函数是一个指数函数，其底数a 满足0<a <1，所以函数递减；当x <0时，函数图象与指数函数y＝a x的图象关于x 轴对称，函数递增．]3．D [函数定义域为R ，关于原点对称，∵f (－x )＝4－x ＋12－x ＝1＋4x 2x ＝f (x )，∴f (x )是偶函数，图象关于y 轴对称．]4．A [当x <0时，0<2x <1，此时f (x )＝2x；当x ≥0时，2x≥1，此时f (x )＝1.所以f (x )＝1⊕2x＝⎩⎪⎨⎪⎧2x x ，x]5．D [方程|a x －1|＝2a 有两个不等实根可转化为函数y ＝|a x－1|与函数y ＝2a 有两个不同交点，作出函数y ＝|a x－1|的图象，从图象观察可知只有0<2a <1时，符合题意，即0<a <12.]6．[13，1)解析据单调性定义，f (x )为减函数应满足： ⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，3a ≥a 0，即13≤a <1. 7．－1解析设g (x )＝e x ＋a e －x，则f (x )＝xg (x )是偶函数．∴g (x )＝e x ＋a e －x是奇函数．∴g (0)＝e 0＋a e －0＝1＋a ＝0， ∴a ＝－1. 8. 3解析当a >1时，f (2)＝2， ∴a 2－1＝2，a ＝3，经验证符合题意；当0<a <1时，f (0)＝2，即1－1＝2，无解． ∴a ＝ 3.9．解 (1)∵f (x )是定义域为R 的奇函数，∴f (0)＝0，即－1＋b2＋a ＝0，解得b ＝1，…………………………………………………(2分)从而有f (x )＝－2x＋12x ＋1＋a.又由f (1)＝－f (－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a，解得a ＝2.经检验a ＝2适合题意，∴所求a 、b 的值分别为2、1.……………………………………………………………(4分)(2)由(1)知f (x )＝－2x＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1.由上式易知f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数．…………………………………………(6分)又因f (x )是奇函数，从而不等式f (t 2－2t )<－f (2t 2－k )＝f (－2t 2＋k )．……………………………………………………………………………(8分)因为f (x )是减函数，由上式推得t 2－2t >－2t 2＋k .即对一切t ∈R 有3t 2－2t －k >0.从而判别式Δ＝4＋12k <0，解得k <－13.………………………………………………(12分)10．解方法一 (1)由已知得3a ＋2＝18⇒3a＝2⇒a ＝log 32.…………………………(4分)(2)此时g (x )＝λ·2x－4x，设0≤x 1<x 2≤1，因为g (x )在区间[0,1]上是单调递减函数，所以g (x 1)－g (x 2)＝)22)(22(1221x x xx ---λ>0恒成立，……………………………(8分)即λ<1222xx+恒成立．由于0222212+>+xx＝2，所以，实数λ的取值范围是λ≤2.……………………………………………………………………………………………(12分)方法二 (1)由已知得3a ＋2＝18⇒3a＝2⇒a ＝log 32.……………………………………………………………………………………………(4分)(2)此时g (x )＝λ·2x －4x，因为g (x )在区间[0,1]上是单调减函数，所以有g ′(x )＝λln 2·2x －ln 4·4x ＝2x ln 2(－2·2x＋λ)≤0成立，…………………………(8分)所以只需要λ≤2·2x恒成立．所以实数λ的取值范围是λ≤2.…………………………(12分)11．解由题意得1＋2x ＋4xa >0在x ∈(－∞，1]上恒成立，即a >－1＋2x4x 在x ∈(－∞，1]上恒成立．………………………………………………(6分)又因为－1＋2x4x ＝－(12)2x －(12)x，设t ＝(12)x，∵x ≤1，∴t ≥12且函数f (t )＝－t 2－t ＝－(t ＋12)2＋14(t ≥12)在t ＝12时，取到最大值．∴(12)x ＝12即x ＝1时，－1＋2x4x 的最大值为－34，………………………………………(12分)∴a >－34.…………………………………………………………………………………(14分)。

辽宁省大连普兰店市第一中学2017届高三数学一轮复习学案函数的图象 (无答案)

2016——2017高三理科复习案第八节函数的图象最新考纲：1.理解点的坐标与函数图象的关系；2.会利用平移、对称、伸缩变换，由一个函数图象得到另一个函数的图象；3.会运用函数图象理解和研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式的解的问题．1．利用描点法作函数图象其基本步骤是列表、描点、连线，首先：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线．2．利用图象变换作函数图象(1)平移变换xfy+=y=)(a(x)fy+=)(ff)x(xy=b(2)对称变换(3)伸缩变换①y＝Af(x)(A>0)的图象，可将y＝f(x)的图象上所有点的纵坐标变为原来的倍，横坐标而得到；②y＝f(ax)(a>0)的图象，可将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标而得到．问题探究1：函数y＝f(2x－1)的图象与y＝f(2x)的图象有何关系？3．函数图象的应用问题探究2：(1)若函数f(x)对任意x∈R都有：f(a＋x)＝f(b－x)，则f(x)的图象是否具有对称性？其对称轴(中心)是什么？(2)函数y＝f(a＋x)与函数y＝f(b－x)的图象又具有怎样的对称关系呢？(1)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同．()(2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于原点对称．()(3)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．()(4)若函数y＝f(x)满足f(x－1)＝f(x＋1)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．()(5)将函数y＝f(－x)的图象向右平移1个单位得到函数y＝f(－x－1)的图象．()2．(2016·合肥抽测)已知函数y＝log a(x＋c)(a，c为常数，其中a>0，a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )A ．a >1，c >1B ．a >1,0<c <1C ．0<a <1，c >1D ．0<a <1,0<c <1 3．函数f (x )＝ln(x 2＋1)的图象大致是( )4．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2，x >m ，x 2＋4x ＋2，x ≤m 的图象与直线y ＝x 恰有三个公共点，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．[－1,2)C ．[－1,2]D ．[2，＋∞)5．直线y ＝1与曲线y ＝x 2－|x |＋a 有四个交点，则a 的取值范围是．考点一作图分别画出下列函数的图象： (1)y ＝|lg x |; (2)y ＝2x ＋2； (3)y ＝x 2－2|x |－1; (4)y ＝x ＋2x －1.对点训练作出下列函数的图象：(1)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |；(2)y ＝2x －1x －1；(3)y ＝|log 2x －1|.考点二识图(1)(2015·郑州第二次质检)函数y ＝x cos x ＋sin x 的图象大致为( )(2)(2015·新课标全国卷Ⅱ)如图，长方形ABCD 的边AB ＝2，BC ＝1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP ＝x .将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f (x )，则y ＝f (x )的图象大致为( )对点训练1．对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)与二次函数y ＝(a －1)x 2－x 在同一坐标系内的图象可能是( )2．(2016·泰州综合测试)已知函数f (x )是定义在R 上的增函数，则函数y ＝f (|x －1|)－1的图象可能是( )3．函数y＝x ln|x||x|的图象可能是()考点三用图(1)(2015·安徽卷)函数f(x)＝ax＋b(x＋c)2的图象如图所示，则下列结论成立的是()A．a>0，b>0，c<0 B．a<0，b>0，c>0C．a<0，b>0，c<0 D．a<0，b<0，c<0(2)(2016·西安质检)已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是()A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C ．(1,2) D ．(2，＋∞)[拓展探究] (1)若本例(2)中的“方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根”改为“方程f (x )＝g (x )有一个实根”结果如何？(2)若本例(2)中的“g (x )＝kx ”改为“g (x )＝log a (x ＋1)”，求实数a 的取值范围．。

高三数学一轮复习指数与指数函数(第2课时)教师导学案新人教

3．4指数与指数函数（第2课时）一、学习目标：1．掌握指数函数的概念、图象和性质；2．能利用指数函数的性质解题．3.指数型复合函数的问题研究。

二、自主学习：1. 函数y =（21）222+-x x 的递增区间是(,1]-∞ ，最大值为12 2.已知01a <<，且10,x y >>>则下列不等式中正确的是（ B ）A. x y a a >B. a a x y >C. x aa x > D. a y y a <3. 满足条件m 2m ＞（m m ）2的正数m 的取值范围是：m ＞2或0＜m ＜1 解析：∵m ＞0，∴当m ＞1时，有m 2＞2m ，即m ＞2；当0＜m ＜1时，有m 2＜2m ，即0＜m ＜1.综上所述，m ＞2或0＜m ＜1.答案：4. 已知函数3234+⋅-=x x y 的值域为[]7,1，则x 的范围是（ D ）A.[]4,2B.)0,(-∞C.[]4,2)1,0(⋃D.(][]2,10,⋃∞- 三、合作探究例1．见《优化设计》例4 P23 ：11()()4()542x x g x =-++已知，求该函数的定义域、值域、和单调区间。

例2（《优化设计》例5 P23）：已知函数2()()(0a 1)1x x a f x a a a a -=->≠-且（1）判断()f x 的单调性（2）判断()f x 奇偶性；（3）当(1,1)x ∈-时，求满足2(1)(1)0f m f m -+-<的实数m 的取值范围；变式训练：（1）要使函数124x x y a =++在(,1]x ∈-∞上0y >恒成立，求a 的取值范围。

答案：见《优化设计》教师用书40页（2）《优化设计》P24已知函数1()(01)1x x a f x a a a -=>≠+且（1）求函数()f x 值域（2）判断()f x 奇偶性；（3）判断()f x 的单调性答案：见《优化设计教师用书》P40四、要点整合：1.与指数函数有关的复合函数性质问题：（1）型如：“()f x y a =”定义域与f(x)定义域相同，值域问题可先确定f(x)的值域，再根据指数函数的单调性，可确定。

高三数学一轮复习学案2.5指数与指数函数

2.5指数与指数函数考试要求1.了解指数函数模型的实际背景.2.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.3.理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数的图象通过的特殊点.4.知道指数函数是一类重要的函数模型.基础回顾1.指数幂的概念(1)根式如果一个数的ｎ次方等于a （ｎ＞１且ｎ∈*N ）那么这个数叫做a 的ｎ次方根.也就是，若a x n =，则x 叫做，其中ｎ＞1且ｎ∈*N .式子；叫做，这里ｎ叫做，a 叫做．(2)根式的性质①当ｎ为奇数时，正数的ｎ次方根是一个正数，负数的ｎ次方根是一个负数，这时，a 的ｎ次方根用符号表示.②当ｎ为偶数时，正数的ｎ次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数的正的ｎ次方根用符号表示，负的ｎ次方根用符号表示.正负两个ｎ次方根可以合写为（a ＞０）. ③=n n a )( ． ④当ｎ为奇数时，=n n a ；当ｎ为偶数时，=n n a ｜a ｜＝．⑤负数没有偶次方裉.⑥零的任何次方根都是零.(3)分数指数幂的意义 ①)1,,0________(*>∈>=n N n m a an m 且 ②)1,,0________(*>∈>=-n N n m a a n m且(4)有理数指数幂的运算性质 ①),.0( ________Q s Q r a a a s r∈∈>=⋅②),.0( ________Q s Q r a a a s r ∈∈>=÷③),.0( ________Q s Q r a a s r ∈∈>=）（④),0.0( ________)(Q r b a ab s ∈>>=2.指数函数(1)指数函数的定义：一般地，函数)10(≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变量(2)指数函数)10(≠>=a a a y x 且的图象及性质：基础自测1.下列运算正确的是（）A.2332)()(a a -=-B.532)(a a -=-C.532)(a a =-D.632)(a a -=-2.若函数x a a a y )33(2+-=是指数函数，则有（）A.a ＝1或a ＝2B.a ＝1C.a ＝2D.10≠>a a 且3.设指数函数)(x f )10(≠>=a a a x 且，则下列等式不正确的是( )A.)()()(y f x f y x f ∙=+B. )()())((y f x f xy f n n n ∙=C.)()()(y f x f y x f =- D. )()(x f nx f n = 4.R x x f x ∈=,)21()(||,那么)(x f 是( ) A.奇函数且在(0,+ ∞)上是增函数B.偶函数且在(0,+ ∞)上是增函数C.奇函数且在(0,+ ∞)上是减函数D.偶函数且在(0,+ ∞)上是减函数5.函数{2),2(2,2)(<+≥-=x x f x x x f ，则f (－3)的值为 .例题选讲例1已知a ，b 是方程0462=+-x x 的两根，且a ＞b ＞0，求b a +的值.例2巳知函数R x x f x ∈=+,)21()(|2| (1）作出图象；(2)指出该函数的单调递增区间；(3)求值域例3指数函数x aby )(=的图象如图所示，求二次函数bx ax y +=2的顶点横坐标的取值范围.例4已知定义在R 上的奇函数)(x f 有最小正周期2，且当x ∈(0,1)时，142)(+=x xx f . (1)求)(x f 在[－1,1]上的解析式；(2)求证：)(x f 在(0,1)上是减函数.。

辽宁省大连普兰店市第一中学2017届高三数学一轮复习学案集合的概念与运算 (无答案)

2016——2017高三理科复习案第一节集合的概念与运算1．元素与集合(1)集合中元素的三个特征：(2)元素与集合的关系是或关系，用符号或表示．(3)集合的表示法：列举法、、图示法．问题探究：集合{Ø}是空集吗？它与{0}，Ø有什么区别？2．集合间的基本关系3.集合的基本运算A∪Ø＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔交集的性质：A∩Ø＝Ø；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔补集的性质：A∪(C U A)＝；A∩(C U A)＝；C U(C U A)＝1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)集合{x|y＝x－1}与集合{y|y＝x－1}是同一个集合．()(2)若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1.()(3)已知集合A＝{x|mx＝1}，B＝{1,2}，且A⊆B，则实数m＝1或m＝12.()(4)含有n个元素的集合的子集个数是2n，真子集个数是2n－1，非空真子集的个数是2n－2.()(5)若A＝{0,1}，B＝{(x，y)|y＝x＋1}，则A⊆B.()2．(2015·新课标全国卷Ⅱ)已知集合A＝{－2，－1,0,1,2}，B＝{x|(x－1)(x＋2)<0}，则A∩B ＝()A．{－1,0} B．{0,1}C．{－1,0,1} D．{0,1,2}3．(2016·北京东城期末统测)已知集合A＝{x|0<x<2}，B＝{x|(x－1)(x＋1)>0}，则A∪B ＝()A．(0,1)B．(1,2)C．(－∞，－1)∪(0，＋∞)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)4．(2015·济南3月模拟)已知集合A＝{x||x－1|<2}，B＝{x|y＝lg(x2＋x)}，设U＝R，则A∩(∁UB)等于()A．[3，＋∞) B．(－1,0]C．(3，＋∞) D．[－1,0]5．(2015·东北三省四市第二次联考)设集合A＝{1,2,4}，集合B＝{x|x＝a＋b，a∈A，b ∈A}，则集合B中的元素个数为．考点一集合的基本概念(1) (2016·银川质检)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是()A．1 B．3C．5 D．9(2)已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则m的值为．对点训练1．若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一个元素，则a＝()A．4 B．2C．0 D．0或42．已知集合A＝{t2＋s2|t，s∈Z}，且x∈A，y∈A，则下列结论正确的是() A．x＋y∈A B．x－y∈AC．xy∈A D．xy∈A3．A、B是两个集合，A＝{y|y＝x2－2}，B＝{－3,1，y}，其中y∈A，则y的取值集合是．考点二集合间的基本关系(1)(2015·皖南八校联考)已知R表示实数集，集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{x|x2－2x －3>0}，则下列结论正确的是() A．M⊆N B．M⊆∁R NC ．∁R M ⊆ND ．∁R N ⊆M(2)(2015·郑州模拟)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围是．对点训练1．(2015·重庆卷)已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3}，则( )A ．A ＝B B ．A ∩B ＝ØC ．A BD ．B A2．(2016·合肥模拟)已知集合P ＝{x |x 2＋x －6＝0}，S ＝{x |ax ＋1＝0}，若S ⊆P ，则实数a 的取值组成的集合是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫13B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，－12D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，13，－12 3．(2016·南充调研)已知集合A ＝{x |4≤2x ≤16}，B ＝[a ，b ]，若A ⊆B ，则实数a －b 的取值范围是．考点三集合的基本运算(1)(2015·天津卷)已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A ＝{2,3,5,6}，集合B ＝{1,3,4,6,7}，则集合A ∩(∁U B )＝( )A ．{2,5}B ．{3,6}C ．{2,5,6}D ．{2,3,5,6,8}(2)已知集合A ＝{y |y ＝x 2－2x ，x ∈R }，B ＝{y |y ＝－x 2＋2x ＋6，x ∈R }，则A ∩B ＝ .[拓展探究] (1)在例3(2)中，若集合A 变为A ＝{x |y ＝x 2－2x ，x ∈R }，其他条件不变，求A ∩B .(2)在例3(2)中，若集合A 、B 变为：A ＝{(x ，y )|y ＝x 2－2x ，x ∈R }，B ＝{(x ，y )|y ＝－x 2＋2x ＋6，x ∈R }，求A ∩B .考点四与集合有关的新定义问题(2016·南昌质检)若X是一个集合，τ是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：①X属于τ，Ø属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ，则称τ是集合X上的一个拓扑．已知集合X＝{a，b，c}，对于下面给出的四个集合τ：(1)τ＝{Ø，{a}，{c}，{a，b，c}}(2)τ＝{Ø，{b}，{c}，{b，c}，{a，b，c}}(3)τ＝{Ø，{a}，{a，b}，{a，c}}(4)τ＝{Ø，{a，c}{b，c}，{c}，{a，b，c}}其中是集合X上的拓扑的集合τ的序号是．对点训练对于任意两个正整数m，n，定义运算(用⊕表示运算符号)：当m，n都是正偶数或都是正奇数时，m⊕n＝m＋n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m⊕n＝m×n.例如4⊕6＝4＋6＝10,3⊕7＝3＋7＝10,3⊕4＝3×4＝12.在上述定义中，集合M＝{(a，b)|a⊕b＝12，a，b∈N*}的元素有个．。

辽宁省大连普兰店市第一中学人教B版高中数学必修一导学案：2.4函数与方程

函数与方程
学习目标：掌握函数零点的概念，知道函数与方程的关系，理解二分法求函数变号零点的原理。

1.
什么叫函数的零点？分几类？
2.
画函数图像应考察函数的哪些性质？
3.
函数零点所在区间判断方法
4.
精确到0.1，精度为0.1和保留小数点后一位的区别?
5. 二分法的步骤是
1。

[]()()0000
,,f b 0a b D a f ∈<且 2。

取0002
a b x += 3.()()()()0000000000
10,x ()2()030f x f x f x f a b x f x f b a x ⎧=⎪⎪<⇐⎨⎪<⇐⎪⎩若则是的零点若则若则 4.若[]00000,, 2.3.4b
a a
b -≤则内任一值即可，否则重复练习:
1. 对函数()32421f x x x x =-++的零点下列说法正确的是
（1）1是零点（2)在[]3,7上至少有一个根
(3）在[]7,9上至少有一个根。

(4）在[]0,2上至少有一个根
(5)在[]1,2-上至少有一个根.（6)在[]1,0-至少有一个根
（7)在[]2,1--上至少有一个根
2.试说明：方程[]4420-12x x --=在，上至少有两个根
3. 已知函数()y f x =是偶函数，其图像与x 轴有四个交点。

试求方程 ()10f x =的所有实根的和 ()220f x -=的所有实根的和
4. 已知()y f x =是定义在R 上的奇函数与x 轴有5个交点，试求方程
()10f x =的所有实根的和 ()220f x +=的所有实根的和
学必求其心得，业必贵于专精。

高三数学一轮复习精品教案1：指数与指数函数教学设计

2.4指数与指数函数1．根式的性质 (1)(na )n ＝a .(2)当n 为奇数时na n ＝a ；当n 为偶数时na n＝⎩⎪⎨⎪⎧a a ≥0，－a a <0.2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念：①正分数指数幂：a m n ＝na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)．②负分数指数幂：a －m n ＝1a m n ＝1na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)．③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的性质： ①a r a s ＝a r ＋s (a >0，r ，s ∈Q )； ②(a r )s ＝a rs (a >0，r ，s ∈Q )； ③(ab )r ＝a r b r (a >0，b >0，r ∈Q )． 3．指数函数的图像与性质1．在进行指数幂的运算时，一般用分数指数幂的形式表示，并且结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数．2．指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图像和性质跟a 的取值有关，要特别注意区分a >1或0<a <1. 『试一试』1．化简『(－2)6』12－(－1)0的结果为________．『答案』72．若函数y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是________．『解析』由题意知0<a 2－1<1，即1<a 2<2，得－2<a <－1或1<a < 2. 『答案』(－2，－1)∪(1，2)1．对可化为a 2x ＋b ·a x ＋c ＝0或a 2x ＋b ·a x ＋c ≥0(a 2x ＋b ·a x ＋c ≤0)的指数方程或不等式，常借助换元法解决．2．指数函数的单调性是由底数a 的大小决定的，因此解题时通常对底数a 按0<a <1和a >1进行分类讨论．『练一练』 1．函数y ＝1－⎝⎛⎭⎫12x 的定义域为________．『答案』『0，＋∞)2．若函数f (x )＝a x －1(a >0，a ≠1)的定义域和值域都是『0,2』，则实数a ＝________. 『解析』当a >1时，f (x )＝a x －1在『0,2』上为增函数，则a 2－1＝2，∴a ＝± 3.又∵a >1，∴a ＝ 3. 当0<a <1时，f (x )＝a x －1在『0,2』上为减函数又∵f(0)＝0≠2，∴0<a<1不成立．综上可知，a ＝ 3.『答案』3求值与化简：(1)⎝⎛⎭⎫2350＋2－2·⎝⎛⎭⎫214－12－(0.01)0.5；(2)56a13·b－2·(－3a－12b－1)÷(4a23·b－3)12；(3)a23·b－1－12·a－12·b136a·b5『解析』(1)原式＝1＋14×1249⎛⎫⎪⎝⎭－121100⎛⎫⎪⎝⎭＝1＋14×23－110＝1＋16－110＝1615.(2)原式＝－52a16－b－3÷(4a23·b－3)12＝－54a16－b－3÷(a13b32－)＝－54a－12－·b23－.＝－54·1ab3＝－5ab4ab2.(3)原式＝111133221566·a b a ba b--＝a－111326---·b115236-＋.『备课札记』『类题通法』指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数． (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答.『典例』 (1)(2013·苏锡常镇一调)已知过点O 的直线与函数y ＝3x 的图像交于A ，B 两点，点A 在线段OB 上，过点A 作y 轴的平行线交函数y ＝9x 的图像于点C ，当BC ∥x 轴时，点A 的横坐标是________． (2)已知实数a ，b 满足等式⎝⎛⎭⎫12a ＝⎝⎛⎭⎫13b ，下列五个关系式： ①0<b <a ；②a <b <0；③0<a <b ；④b <a <0；⑤a ＝b . 其中不可能成立的关系式有________个『解析』 (1)设A (x 0,3x 0)，由AC 平行于y 轴，则C (x 0,9x 0)．又因为BC 平行于x 轴，则B (2x 0,9x 0)．因为O ，A ，B 三点共线，所以x 0·9x 0＝2x 0·3x 0，得3x 0＝2，所以x 0＝log 32. (2)函数y 1＝⎝⎛⎭⎫12x 与y 2＝⎝⎛⎭⎫13x 的图像如图所示．由⎝⎛⎭⎫12a ＝⎝⎛⎭⎫13b 得，a 0，a ≠1)的图像，应抓住三个关键点：(1，a )，(0,1)，⎝⎛⎭⎫－1，1a . (2)与指数函数有关的函数的图像的研究，往往利用相应指数函数的图像，通过平移、对称变换得到其图像．(3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图像数形结合求解．『针对训练』1．(2013·徐州摸底)已知直线y＝a与函数f(x)＝2x及g(x)＝3·2x的图像分别相交于A，B两点，则A，B两点之间的距离为________．『解析』由题意知A，B两点之间的距离与a无关，即为定值．不妨设a＝3，则由3·2x＝3知x B＝0.由2x＝3知x A＝log23，故AB＝x A－x B＝log23.『答案』log232．方程2x＝2－x的解的个数是________．『解析』方程的解可看作函数y＝2x和y＝2－x的图像交点的横坐标，分别作出这两个函数图像(如图)．由图像得只有一个交点，因此该方程只有一个解．『答案』1『典例』已知f(x)＝aa2－1(a x－a－x)(a>0，且a≠1)．(1)判断f(x)的奇偶性；(2)讨论f(x)的单调性．『解析』(1)函数f(x)的定义域为R，关于原点对称．又因为f(－x)＝aa2－1(a－x－a x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．(2)当a>1时，a2－1>0，y＝a x为增函数，y＝a－x为减函数，从而y＝a x－a－x为增函数．所以f(x)为增函数．当0<a<1时，a2－1<0，y＝a x为减函数，y＝a－x为增函数，从而y＝a x－a－x为减函数．所以f(x)为增函数．故当a>0且a≠1时，f(x)在定义域内单调递增．『解析』由(2)知f(x)在R上是增函数，所以在区间『－1,1』上为增函数．所以f (－1)≤f (x )≤f (1)．所以f (x )min ＝f (－1)＝aa 2－1(a－1－a )＝a a 2－1·1－a 2a＝－1. 所以要使f (x )≥b 在『－1,1』上恒成立，则只需b ≤－1. 故b 的取值范围是(－∞，－1』．『备课札记』『类题通法』利用指数函数的性质解决问题的方法求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归结为内层函数相关的问题加以解决．『针对训练』已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13ax 2－4x ＋3. (1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值． (3)若f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的值．『解析』(1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫13－x 2－4x ＋3，令g (x )＝－x 2－4x ＋3，由于g (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝⎛⎭⎫13t 在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)． (2)令g (x )＝ax 2－4x ＋3，f (x )＝⎝⎛⎭⎫13g (x )，由于f (x )有最大值3，所以g (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，3a －4a ＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值等于1. (3)由指数函数的性质知，要使y ＝⎝⎛⎭⎫13g (x )的值域为(0，＋∞)．应使g (x )＝ax 2－4x ＋3的值域为R ，因此只能a ＝0.(因为若a ≠0，则g (x )为二次函数，其值域不可能为R )．故a 的值为0.『课堂练通考点』1．已知f (x )＝2x ＋2－x ，若f (a )＝3，则f (2a )等于________．『解析』由f (a )＝3得2a ＋2－a ＝3，两边平方得22a ＋2－2a＋2＝9，即22a ＋2－2a＝7，故f (2a )＝7.『答案』72．已知f (x )＝3x －b (2≤x ≤4，b 为常数)的图像经过点(2,1)，则f (x )的值域是________．『解析』由f (x )过定点(2,1)可知b ＝2，因f (x )＝3x －2在『2,4』上是增函数，f min (x )＝f (2)＝1，f max (x )＝f (4)＝9. 『答案』『1,9』3．函数y ＝8－23－x (x ≥0)的值域是________．『解析』∵x ≥0，∴－x ≤0，∴3－x ≤3， ∴23－x ≤23＝8，∴8－23－x ≥0，∴函数y ＝8－23－x 的值域为『0，＋∞)．『答案』『0，＋∞)4．已知正数a 满足a 2－2a －3＝0，函数f (x )＝a x ，若实数m ，n 满足f (m )>f (n )，则m ，n 的大小关系为________．『解析』∵a 2－2a －3＝0，∴a ＝3或a ＝－1(舍)．函数f (x )＝a x 在R 上递增，由f (m )>f (n )，得m >n . 『答案』m >n5．函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)在区间『1,2』上的最大值比最小值大a 2，则a 的值为________．『解析』当a >1时，f (x )＝a x 为增函数，在x ∈『1,2』上， f (x )最大＝f (2)＝a 2，f (x )最小＝f (1)＝a . ∴a 2－a ＝a2.即a (2a －3)＝0.∴a ＝0(舍)或a ＝32>1.∴a ＝32.当0<a <1时，f (x )＝a x 为减函数，在x ∈『1,2』上，f (x )最大＝f (1)＝a ，f (x )最小＝f (2)＝a 2. ∴a －a 2＝a2.∴a (2a －1)＝0，∴a ＝0(舍)或a ＝12.∴a ＝12.综上可知，a ＝12或a ＝32.『答案』12或32。

高考数学(理科)一轮复习指数与指数函数学习型教学案有答案

高考数学（理科）一轮复习指数与指数函数学案有答案本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址www.5ykj.com 学案7 指数与指数函数导学目标：1.了解指数函数模型的实际背景.2.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．3．理解指数函数的概念，并掌握指数函数的单调性与函数图象通过的特殊点.4.知道指数函数是一类重要的函数模型．自主梳理．指数幂的概念根式如果一个数的n次方等于a，那么这个数叫做a的n次方根．也就是，若xn＝a，则x叫做________，其中n>1且n∈N*.式子na叫做________，这里n叫做________，a 叫做____________．根式的性质①当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a的n次方根用符号________表示．②当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数的正的n次方根用符号________表示，负的n次方根用符号________表示．正负两个n次方根可以合写成________．③n＝____.④当n为偶数时，nan＝|a|＝a，a≥0，－a，a<0.⑤当n为奇数时，nan＝____.⑥负数没有偶次方根．⑦零的任何次方根都是零．2．有理指数幂分数指数幂的表示①正数的正分数指数幂是＝________．②正数的负分数指数幂是＝____________＝______________．③0的正分数指数幂是______，0的负分数指数幂无意义．有理指数幂的运算性质①aras＝________．②s＝________．③r＝________．3．指数函数的图象与性质a>10<a<1图象定义域________值域________性质过定点________当x>0时，______；当x<0时，______ 当x>0时，________；当x<0时，______ 在上是______在上是______自我检测．下列结论正确的个数是①当a<0时，＝a3；②nan＝|a|；③函数y＝－0的定义域是；④若100a＝5,10b＝2，则2a＋b＝1.A．0B．1c．2D．32．函数y＝ax是指数函数，则有A．a＝1或a＝2B．a＝1c．a＝2D．a>0且a≠13．如图所示的曲线c1，c2，c3，c4分别是函数y＝ax，y＝bx，y＝cx，y＝dx的图象，则a，b，c，d的大小关系是A．a<b<1<c<dB．a<b<1<d<cc．b<a<1<c<dD．b<a<1<d<c4．若a>1，b>0，且ab＋a－b＝22，则ab－a－b 的值等于A.6B．2或－2c．－2D．25．函数f＝ax－b的图象如图，其中a、b为常数，则下列结论正确的是A．a>1，b<0B．a>1，b>0c．0<a<1，b>0D．0<a<1，b<0探究点一有理指数幂的化简与求值例1 已知a，b是方程9x2－82x＋9＝0的两根，且a<b，求：a－1＋b－1ab－1；÷3a－8•3a15.变式迁移1 化简的结果是A.baB．abc.abD．a2b探究点二指数函数的图象及其应用例2 已知函数y＝|x＋1|.作出函数的图象；由图象指出其单调区间；由图象指出当x取什么值时有最值，并求出最值．变式迁移2 函数y＝ex＋e－xex－e－x的图象大致为探究点三指数函数的性质及应用例3 如果函数y＝a2x＋2ax－1在区间[－1,1]上的最大值是14，求a的值．变式迁移3 已知函数f＝x3.求f的定义域；证明：f＝f；证明：f>0.分类讨论思想的应用例已知f＝aa2－1．判断f的奇偶性；讨论f的单调性；当x∈[－1,1]时f≥b恒成立，求b的取值范围．【答题模板】解函数定义域为R，关于原点对称．又因为f＝aa2－1＝－f，所以f为奇函数．[3分]当a>1时，a2－1>0，y＝ax为增函数，y＝a－x为减函数，从而y＝ax－a－x 为增函数，所以f为增函数．[5分]当0<a<1时，a2－1<0，y＝ax为减函数，y＝a－x为增函数，从而y＝ax－a－x 为减函数，所以f为增函数．故当a>0，且a≠1时，f在定义域内单调递增．[7分]由知f在R上是增函数，∴在区间[－1,1]上为增函数，∴f≤f≤f，∴fmin＝f＝aa2－1＝aa2－1•1－a2a＝－1.[10分]∴要使f≥b在[－1,1]上恒成立，则只需b≤－1，故b的取值范围是问是难点，讨论f的单调性对参数a 如何分类，分类的标准和依据是思维障碍之一．【易错点剖析】在中，函数的单调性既与ax－a－x有关，还与aa2－1的符号有关，若没考虑aa2－1的符号就会出错，另外分类讨论完，在表达单调性的结论时，要综合讨论分类的情况，如果没有一个总结性的表达也要扣分，在表达时如果不呈现a的题设条件中的范围也是错误的．．一般地，进行指数幂的运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数进行运算，便于用运算性质进行乘、除、乘方、开方运算，可以达到化繁为简的目的．2．比较两个指数幂大小时，尽量化同底数或同指数，当底数相同，指数不同时，构造同一指数函数，然后比较大小；当指数相同，底数不同时，构造两个指数函数，利用图象比较大小．3．指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系如图所示，则0<c<d<1<a<b.在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小；即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．一、选择题．函数y＝的值域是A．[0，＋∞)B．[1，＋∞)c．D．[2，＋∞)2．函数y＝xax|x|的图象的大致形状是3．函数f＝4x＋12x的图象A．关于原点对称B．关于直线y＝x对称c．关于x轴对称D．关于y轴对称4．定义运算a b＝aa≤b，ba>b，则函数f＝12x的图象是5．若关于x的方程|ax－1|＝2a有两个不等实根，则a 的取值范围是A．∪B．c．D．题号2345答案二、填空题6．函数f＝－x＋3a，x<0，ax，x≥0是R上的减函数，则a的取值范围是________．7．设函数f＝x，x∈R是偶函数，则实数a＝________.8．若函数f＝ax－1的定义域和值域都是[0,2]，则实数a的值为________．三、解答题9．已知定义域为R的函数f＝－2x＋b2x＋1＋a是奇函数．求a，b的值；若对任意的t∈R，不等式f＋f<0恒成立，求k的取值范围．0．已知函数f＝3x，f＝18，g＝λ•3ax－4x的定义域为[0,1]．求a的值．若函数g在区间[0,1]上是单调递减函数，求实数λ的取值范围．1．函数y＝1＋2x＋4xa在x∈a的n次方根根式根指数被开方数①na②na －na ±na ③a ⑤a 2.①nam ②1nam③0①ar＋s②ars③arbr 3.R y>1 0<y<1 0<y<1y>1 增函数减函数自我检测．B [只有④正确．①中a<0时，>0，a3<0，所以≠a3；②中，n为奇数时且a<0时，nan＝a；③中定义域为[2，73)∪．]2．c [∵y＝ax是指数函数，∴a2－3a＋3＝1，解得a ＝2或a＝1．]3．D [y轴左、右的图象对应函数的底数按逆时针方向增大．所以c>d>1,1>a>b>0.]4．D [2＝2－4＝4，∵a>1，b>0，∴ab>1,0<a－b<1，∴ab －a－b＝2.]5．D [由f＝ax－b的图象可以观察出，函数f＝ax－b 在定义域上单调递减，所以0<a<1；函数f＝ax－b的图象是在f＝ax的基础上向左平移得到的，所以b<0.]课堂活动区例1 解题导引 1.指数幂的化简原则化负数指数为正指数；化根式为分数指数幂；化小数为分数．2．指数幂的化简结果要求为有关有理指数幂的化简结果不要同时含有根号和分数指数幂，也不要既有分母又含有负指幂，即尽量化成与题目表示形式一致且统一的最简结果．解∵a，b是方程的两根，而由9x2－82x＋9＝0解得x1＝19，x2＝9，且a<b，故a＝19，b＝9，化去负指数后求解．a－1＋b－1ab－1＝1a＋1b1ab＝a＋bab1ab＝a＋b.∵a＝19，b＝9，∴a＋b＝829，即原式＝829.原式＝•÷＝＝.∵a＝19，∴原式＝3.变式迁移1 c [原式＝＝＝ab－1＝ab.]例2 解题导引在作函数图象时，首先要研究函数与某一基本函数的关系，然后通过平移、对称或伸缩来完成．解方法一由函数解析式可得y＝|x＋1|＝13x＋1，x≥－1，3xx<－1.其图象由两部分组成：一部分是：y＝x――→向左平移1个单位y＝x＋1；另一部分是：y＝3x――→向左平移1个单位y＝3x＋1．如图所示．方法二①由y＝|x|可知函数是偶函数，其图象关于y 轴对称，故先作出y＝x的图象，保留x≥0的部分，当x<0时，其图象是将y＝x图象关于y轴对折，从而得出y＝|x|的图象．②将y＝|x|向左移动1个单位，即可得y＝|x＋1|的图象，如图所示．由图象知函数在上是减函数．由图象知当x＝－1时，有最大值1，无最小值．变式迁移2 A [y＝ex＋e－xex－e－x＝1＋2e2x－1，当x>0时，e2x－1>0，且随着x的增大而增大，故y ＝1＋2e2x－1>1且随着x的增大而减小，即函数y在上恒大于1且单调递减．又函数y是奇函数，故只有A正确．] 例3 解题导引 1.指数函数y＝ax的图象与性质与a 的取值有关，要特别注意区分a>1与0<a<1来研2．指数函数与二次函数复合而成的初等函数的性质可通过换元的方法转化为指数函数或二次函数的性质．解设t＝ax，则y＝f＝t2＋2t－1＝2－2.当a>1时，t∈[a－1，a]，∴ymax＝a2＋2a－1＝14，解得a＝3，满足a>1；当0<a<1时，t∈[a，a－1]，∴ymax＝2＋2a－1－1＝14，解得a＝13，满足0<a<1.故所求a的值为3或13.变式迁移3 解由2x－1≠0⇒x≠0，所以定义域为∪．证明f＝x3可化为f＝2x＋122x－1•x3，则f＝2－x＋122－x－13＝2x＋122x－1x3＝f，所以f＝f．证明当x>0时，2x>1，x3>0，所以x3>0.因为f＝f，所以当x<0时，f＝f>0.综上所述，f>0.课后练习区．B [由y＝中x≥0，所以y＝≥20＝1，即函数的值域为[1，＋∞)．]2．D [函数的定义域为{x|x∈R，x≠0}，且y＝xax|x|＝ax，x>0－ax，x<0.当x>0时，函数是一个指数函数，其底数a满足0<a<1，所以函数递减；当x<0时，函数图象与指数函数y＝ax的图象关于x轴对称，函数递增．]3．D [函数定义域为R，关于原点对称，∵f＝4－x＋12－x＝1＋4x2x＝f，∴f是偶函数，图象关于y轴对称．]4．A [当x<0时，0<2x<1，此时f＝2x；当x≥0时，2x≥1，此时f＝1.所以f＝12x＝2x x<0，1x≥0.]5．D [方程|ax－1|＝2a有两个不等实根可转化为函数y＝|ax－1|与函数y＝2a有两个不同交点，作出函数y＝|ax －1|的图象，从图象观察可知只有0<2a<1时，符合题意，即0<a<12.]6．[13，1)解析据单调性定义，f为减函数应满足：0<a<1，3a≥a0，即13≤a<1.7．－1解析设g＝ex＋ae－x，则f＝xg是偶函数．∴g＝ex＋ae－x是奇函数．∴g＝e0＋ae－0＝1＋a＝0，∴a＝－1.8.3解析当a>1时，f＝2，∴a2－1＝2，a＝3，经验证符合题意；当0<a<1时，f＝2，即1－1＝2，无解．∴a＝3.9．解∵f是定义域为R的奇函数，∴f＝0，即－1＋b2＋a＝0，解得b＝1，…………………………………………………从而有f＝－2x＋12x＋1＋a.又由f＝－f知－2＋14＋a＝－－12＋11＋a，解得a＝2.经检验a＝2适合题意，∴所求a、b的值分别为2、1.……………………………………………………………由知f＝－2x＋12x＋1＋2＝－12＋12x＋1.由上式易知f在上为减函数．…………………………………………又因f是奇函数，从而不等式f<－f＝f．……………………………………………………………………………因为f是减函数，由上式推得t2－2t>－2t2＋k.即对一切t∈R有3t2－2t－k>0.从而判别式Δ＝4＋12k<0，解得k<－13.………………………………………………0．解方法一由已知得3a＋2＝18⇒3a＝2⇒a＝log32.…………………………此时g＝λ•2x－4x，设0≤x1<x2≤1，因为g在区间[0,1]上是单调递减函数，所以g－g＝>0恒成立，……………………………即λ<恒成立．由于＝2，所以，实数λ的取值范围是λ≤2.……………………………………………………………………………………………方法二由已知得3a＋2＝18⇒3a＝2⇒a＝log32.……………………………………………………………………………………………此时g＝λ•2x－4x，因为g在区间[0,1]上是单调减函数，所以有g′＝λln2•2x－ln4•4x＝2xln2≤0成立，…………………………所以只需要λ≤2•2x恒成立．所以实数λ的取值范围是λ≤2.…………………………1．解由题意得1＋2x＋4xa>0在x∈又因为－1＋2x4x＝－2x－x，设t＝x，∵x≤1，∴t≥12且函数f＝－t2－t＝－2＋14在t＝12时，取到最大值．∴x＝12即x＝1时，－1＋2x4x的最大值为－34，………………………………………∴a>－34.…………………………………………………………………………………www.5ykj.co m。

高三数学一轮复习精品学案2：2.5 指数与指数函数

2.5 指数与指数函数自主梳理1．指数幂的概念(1)根式如果一个数的n次方等于a(n>1且n∈N*)，那么这个数叫做a的n次实数方根．也就是，若x n＝a，则x叫做______________，其中n>1且n∈N*.式子na叫做________，这里n叫做____________，a叫做____________．③(na)n＝____.④当n为偶数时，na n＝|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧a，a≥0，－a，a<0.⑤当n为奇数时，na n＝____.⑥负数没有偶次方根．⑦零的任何次方根都是零．2．有理指数幂(1)分数指数幂的表示①正数的正分数指数幂是mna＝________(a>0，m，n∈N*，n>1)．②正数的负分数指数幂是mna-＝____________＝____________(a>0，m，n∈N*，n>1)．③0的正分数指数幂是____，0的负分数指数幂无意义．(2)有理指数幂的运算性质①a s a t＝________(a>0，s，t∈Q)．②(a s)t＝_______(a>0，s，t∈Q)．③(ab)t＝_______(a>0，b>0，t∈Q)．3．指数函数的图象与性质a>10<a<1图象定义域值域性质(1)过定点________(2)当x>0时，______；当x<0时，________(2)当x>0时，________；当x<0时，______(3)在(－∞，＋∞)上是______(3)在(－∞，＋∞)上是______自我检测1．下列结论中正确的有________(填序号)．①当a<0时，322()a＝a3；②na n＝|a|；③函数y＝12(2)x －(3x－7)0的定义域是(2，＋∞)；④若100a＝5,10b＝2，则2a＋b＝1.2．函数y＝(a2－3a＋3)a x是指数函数，则a＝________.3．如图所示的曲线C1，C2，C3，C4分别是函数y＝a x，y＝b x，y＝c x，y＝d x的图象，则a，b，c，d的大小关系为____________．4．若a>1，b>0，且a b＋a－b＝22，则a b－a－b的值为________．5．函数f(x)＝a x－b的图象如图，其中a、b为常数，则下列结论正确的是________(填序号)．①a >1，b <0； ②a >1，b >0； ③0<a <1，b >0； ④0<a <1，b <0.探究点一有理指数幂的化简与求值例1 已知a ，b 是方程9x 2－82x ＋9＝0的两根，且a 0)的结果为____________．探究点二指数函数的图象及其应用例2 已知函数y ＝(13)|x +1|.(1)作出函数的图象(简图)； (2)由图象指出其单调区间；(3)由图象指出当x 取什么值时有最值，并求出最值．变式迁移2 若曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围为________．探究点三指数函数的性质及应用例3 如果函数y ＝a 2x ＋2a x －1(a >0且a ≠1)在区间『－1,1』上的最大值是14，求a 的值．变式迁移3 已知函数f (x )＝(12x －1＋12)x 3.(1)求f (x )的定义域； (2)证明：f (－x )＝f (x )； (3)证明：f (x )>0.分类讨论思想例 (14分)已知f (x )＝a a 2－1(a x －a －x )(a >0且a ≠1)．(1)判断f (x )的奇偶性； (2)讨论f (x )的单调性；(3)当x ∈『－1,1』时f (x )≥b 恒成立，求b 的取值范围．『答题模板』『答案』(1)函数定义域为R ，关于原点对称．又因为f (－x )＝a a 2－1(a －x －a x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数．『3分』 (2)当a >1时，a 2－1>0，y ＝a x 为增函数，y ＝a －x 为减函数，从而y ＝a x －a －x 为增函数，所以f (x )为增函数．『6分』当0<a <1时，a 2－1<0，y ＝a x 为减函数，y ＝a －x 为增函数，从而y ＝a x －a －x 为减函数，所以f (x )为增函数．『9分』故当a >0，且a ≠1时，f (x )在定义域内单调递增．『10分』 (3)由(2)知f (x )在R 上是增函数， ∴在区间『－1,1』上为增函数，∴f (－1)≤f (x )≤f (1)，∴f (x )min ＝f (－1)＝a a 2－1(a －1－a )＝a a 2－1·1－a 2a ＝－1.∴要使f (x )≥b 在『－1,1』上恒成立，则只需b ≤－1，故b 的取值范围是(－∞，－1』．『14分』『突破思维障碍』本例第(2)(3)问是难点，讨论f (x )的单调性对参数a 如何分类，分类的标准和依据是思维障碍之一．『易错点剖析』在(2)中，函数的单调性既与a x －a－x有关，还与a a 2－1的符号有关，若没考虑aa 2－1的符号就会出错，另外分类讨论完，在表达单调性的结论时，要综合讨论分类的情况，如果没有一个总结性的表达也要扣分，在表达时如果不呈现a 的题设条件中的范围也是错误的．1．一般地，进行指数幂的运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数进行运算，便于用运算性质进行乘、除、乘方、开方运算，可以达到化繁为简的目的．2．比较两个指数幂大小时，尽量化同底数或同指数，当底数相同，指数不同时，构造同一指数函数，然后比较大小；当指数相同，底数不同时，构造两个指数函数，利用图象比较大小．3．指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系如图所示，则0<c <d <1<a <b .在y 轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；在y 轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小；即无论在y 轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．已知a ＝133()4-，b ＝143()4-，c ＝343()2-，则a 、b 、c 的大小关系为______________．2．函数y ＝|2x －1|在区间(k －1，k ＋1)内不单调，则k 的取值范围为________． 3．已知集合M ＝{－1,1}，N ＝{x ∈Z |12<2x ＋1<4}，则M ∩N ＝________.4．(2011·扬州模拟)定义运算ab ＝⎩⎪⎨⎪⎧aa ≤b ，b a >b ，则函数f (x )＝12x 的值域为________．5．若关于x 的方程|a x －1|＝2a (a >0，a ≠1)有两个不等实根，则a 的取值范围为________．6．(2011·镇江模拟)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3a ，x <0，a x ， x ≥0(a >0且a ≠1)是R 上的减函数，则a 的取值范围为________．7．(2010·江苏)设函数f (x )＝x (e x ＋a e －x )，x ∈R 是偶函数，则实数a ＝________. 8．若函数f (x )＝a x －1(a >0且a ≠1)的定义域和值域都是『0,2』，则实数a 的值为________．二、解答题(共42分)9．(14分)(2011·常州模拟)已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b 2x ＋1＋a 是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围．10．(14分)(2010·北京丰台区期末)已知函数f (x )＝3x ，f (a ＋2)＝18，g (x )＝λ·3ax －4x 的定义域为『0,1』．(1)求a 的值．(2)若函数g (x )在区间『0,1』上是单调递减函数，求实数λ的取值范围．11．(14分)函数y ＝1＋2x ＋4x a 在x ∈(－∞，1』上y >0恒成立，求a 的取值范围．答案自主梳理1．(1)a的n次实数方根根式根指数被开方数(2)①na②na－na±na③a⑤a2.(1)①na m②1mna1na m③0(2)①a s＋t②a st③a t b t3.R(0，＋∞)(1)(0,1)(2)y>10<y<1(2)0<y<1y>1(3)增函数(3)减函数自我检测1．④『解析』只有④正确．①中a<0时，322()a>0，a3<0，所以322()a≠a3；②中，n为奇数时且a<0时，na n＝a；③中定义域为『2，73)∪(73，＋∞)．2．2『解析』∵y＝(a2－3a＋3)a x是指数函数，∴a2－3a＋3＝1，解得a＝2或a＝1(舍去)．3．b<a<d<c『解析』y轴左、右的图象对应函数的底数按逆时针方向增大．所以c>d>1,1>a>b>0. 4．2『解析』(a b－a－b)2＝(a b＋a－b)2－4＝4，∵a>1，b>0，∴a b>1,0<a－b<1，∴a b－a－b＝2.5．④『解析』由f(x)＝a x－b的图象可以观察出，函数f(x)＝a x－b在定义域上单调递减，所以0<a<1；函数f(x)＝a x－b的图象是在f(x)＝a x的基础上向左平移得到的，所以b<0.课堂活动区例1解题导引 1.指数幂的化简原则(1)化负数指数为正指数；(2)化根式为分数指数幂；(3)化小数为分数．2．指数幂的化简结果要求为有关有理指数幂的化简结果不要同时含有根号和分数指数幂，也不要既有分母又含有负指幂，即尽量化成与题目表示形式一致且统一的最简结果．『答案』∵a ，b 是方程的两根，而由9x 2－82x ＋9＝0解得x 1＝19，x 2＝9，且a <b ，故a ＝19，b ＝9，(1)化去负指数后求解． a －1＋b－1ab－1＝1a ＋1b 1ab ＝a ＋bab 1ab＝a ＋b . ∵a ＝19，b ＝9，∴a ＋b ＝829，即原式＝829.(2)原式＝a 72×13·a －32×13÷(a (－83)×12·a 153×12)＝a 76－12－(－43＋52)＝a －12.∵a ＝19，∴原式＝3. 变式迁移1 ab『解析』原式＝11363211233a b a bab a b-＝3111111226333ab+-++--＝ab －1＝a b.例2 解题导引在作函数图象时，首先要研究函数与某一基本函数的关系，然后通过平移、对称或伸缩来完成．『答案』(1)方法一由函数解析式可得y ＝(13)|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧13x ＋1， x ≥－1，3x ＋1， x <－1.其图象由两部分组成：一部分是：y ＝(13)x (x ≥0)y ＝(13)x ＋1(x ≥－1)；另一部分是：y ＝3x (x <0) y ＝3x ＋1(x <－1)．如图所示．方法二 ①由y ＝(13)|x |可知函数是偶函数，其图象关于y 轴对称，故先作出y ＝(13)x 的图象，保留x ≥0的部分，当x <0时，其图象是将y ＝(13)x (x ≥0)图象关于y 轴对折，从而得出y＝(13)|x |的图象． ②将y ＝(13)|x |向左移动1个单位，即可得y ＝(13)|x ＋1|的图象，如图所示．(2)由图象知函数的单调增区间为(－∞，－1)，单调减区间为(－1，＋∞)． (3)由图象知当x ＝－1时，有最大值1，无最小值．变式迁移2 『－1,1』『解析』分别作出两个函数的图象，通过图象的交点个数来判断参数的取值范围．曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 的图象如图所示，由图象可得：如果|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 应满足的条件是b ∈『－1,1』．例3 解题导引 1.指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)的图象与性质与a 的取值有关，要特别注意区分a >1与0<a <1来研究．2．指数函数与二次函数复合而成的初等函数的性质可通过换元的方法转化为指数函数或二次函数的性质．解：设t ＝a x ，则y ＝f (t )＝t 2＋2t －1＝(t ＋1)2－2. (1)当a >1时，t ∈『a －1，a 』，∴y max ＝a 2＋2a －1＝14，解得a ＝3，满足 a >1； (2)当0<a <1时，t ∈『a ，a －1』， ∴y max ＝(a －1)2＋2a －1－1＝14，解得a ＝13，满足0<a <1.故所求a 的值为3或13.变式迁移3 (1)解：由2x －1≠0⇒x ≠0，所以定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．(2)证明 f (x )＝(12x －1＋12)x 3可化为f (x )＝2x ＋122x －1·x 3，则f (－x )＝2－x ＋122－x－1(－x )3 ＝2x ＋122x－1x 3＝f (x )，所以f (－x )＝f (x )．(3)证明当x >0时，2x >1，x 3>0，所以(12x －1＋12)x 3>0.因为f (－x )＝f (x )，所以当x <0时，f (x )＝f (－x )>0. 综上所述，f (x )>0.课后练习区 1．c (34)－14>(34)0，即a >b >1，又0<c <1，∴c <b <a . 2．(－1,1)『解析』由于函数y ＝|2x －1|在(－∞，0)内单调递减，在(0，＋∞)内单调递增，而函数在区间(k －1，k ＋1)内不单调，所以有k －1<0<k ＋1，解得－1<k <1.3．{－1} 4．(0,1』『解析』当x <0时，0<2x <1，此时f (x )＝2x ∈(0,1)；当x ≥0时，2x ≥1，此时f (x )＝1. 所以f (x )＝12x ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x x <0，1 x ≥0.其值域为(0,1』．5．(0，12)『解析』方程|a x －1|＝2a 有两个不等实根可转化为函数y ＝|a x －1|与函数y ＝2a 有两个不同交点，作出函数y ＝|a x －1|的图象，从图象观察可知只有0<2a <1时，符合题意，即0<a <12.6．『13，1)『解析』据单调性定义，f (x )为减函数应满足：⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，3a ≥a 0，即13≤a <1.7．－1『解析』设g (x )＝e x ＋a e －x ，则f (x )＝xg (x )是偶函数． ∴g (x )＝e x ＋a e －x 是奇函数．∴g (0)＝e 0＋a e －0＝1＋a ＝0，∴a ＝－1. 8.3『解析』当a >1时，f (2)＝2，∴a 2－1＝2，a ＝3，经验证符合题意；当0<a <1时，f (0)＝2，即1－1＝2，无解．∴a ＝ 3.9．『答案』(1)∵f (x )是定义在R 上奇函数，∴f (0)＝0，即－1＋b 2＋a＝0，解得b ＝1，…………………………………………………(2分) 从而有f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋a. 又由f (1)＝－f (－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a，解得a ＝2.经检验a ＝2适合题意，∴a ＝2，b ＝1.……………………………………………………………………………(4分)(2)由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1. 由上式易知f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数．…………………………………………(8分) 又因f (x )是奇函数，从而不等式f (t 2－2t )<－f (2t 2－k )＝f (－2t 2＋k )．…………………………………………………………………………(10分) 因为f (x )是减函数，由上式推得t 2－2t >－2t 2＋k .即对一切t ∈R 有3t 2－2t －k >0.从而判别式Δ＝4＋12k <0，解得k <－13. 故k 的取值范围为(－∞，－13)．………………………………………………………(14分) 10．『答案』方法一 (1)由已知得3a ＋2＝18⇒3a ＝2⇒a ＝log 32.…………………………(4分)(2)此时g (x )＝λ·2x －4x ，设0≤x 1<x 2≤1，因为g (x )在区间『0,1』上是单调递减函数，所以g (x 1)－g (x 2)＝(2x 1－2x 2)(λ－2x 2－2x 1)>0恒成立，………………………………………………………………………(10分)即λ<2x 2＋2x 1恒成立．由于2x 2＋2x 1>20＋20＝2，所以，实数λ的取值范围是λ≤2. ……………………………………………………………………………………………(14分)方法二 (1)由已知得3a ＋2＝18⇒3a ＝2⇒a ＝log 32.……………………………………(4分)(2)此时g (x )＝λ·2x －4x ，因为g (x )在区间『0,1』上是单调减函数，所以有g ′(x )＝λln 2·2x －ln 4·4x ＝2x ln 2(－2·2x ＋λ)≤0成立，………………………(10分) 所以只需要λ≤2·2x 恒成立．所以实数λ的取值范围是λ≤2.…………………………(14分)11．『答案』由题意得1＋2x ＋4x a >0在x ∈(－∞，1』上恒成立，即a >－1＋2x4x 在x ∈(－∞，1』上恒成立．………………………………………………(6分)又因为－1＋2x 4x ＝－(12)2x －(12)x ，设t ＝(12)x ，∵x ≤1，∴t ≥12且函数f (t )＝－t 2－t ＝－(t ＋12)2＋14(t ≥12) 在t ＝12时，取到最大值． ∴(12)x ＝12即x ＝1时，－1＋2x 4x 的最大值为－34，………………………………………(12分) ∴a >－34. 故a 的取值范围为(－34，＋∞)．………………………………………………………(14分)。

2017高考数学教案和学案(有答案)--第2章__学案7

(此文档为word格式，下载后您可任意编辑修改！)学案7 指数与指数函数导学目标： 1.了解指数函数模型的实际背景.2.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．3．理解指数函数的概念，并掌握指数函数的单调性与函数图象通过的特殊点.4.知道指数函数是一类重要的函数模型．自主梳理1．指数幂的概念(1)根式如果一个数的n次方等于a(n>1且n∈N*)，那么这个数叫做a的n次实数方根．也就是，若x n＝a，则x叫做______________，其中n>1且n∈N*.式子na叫做________，这里n叫做____________，a叫做____________．(2)根式的性质①当n为奇数时，正数的n次实数方根是一个正数，负数的n次实数方根是一个负数，这时，a的n次实数方根用符号________表示．②当n为偶数时，正数的n次实数方根有两个，它们互为相反数，这时，正数a 的正的n次实数方根用符号______表示，负的n次实数方根用符号________表示．正负两个n次实数方根可以合写成________(a>0)．③(na)n＝____.④当n为偶数时，na n＝|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧a，a≥0，－a，a<0.⑤当n为奇数时，na n＝____.⑥负数没有偶次方根．⑦零的任何次方根都是零．2．有理指数幂(1)分数指数幂的表示①正数的正分数指数幂是＝________(a>0，m，n∈N*，n>1)．②正数的负分数指数幂是＝____________＝____________(a>0，m，n∈N*，n>1)．③0的正分数指数幂是____，0的负分数指数幂无意义．(2)有理指数幂的运算性质①a s a t＝________(a>0，s，t∈Q)．②(a s)t＝_______(a>0，s，t∈Q)．③(ab)t＝_______(a>0，b>0，t∈Q)．3．指数函数的图象与性质1．下列结论中正确的有________(填序号)．①当a<0时，＝a3；②na n＝|a|；③函数y＝－(3x－7)0的定义域是(2，＋∞)；④若100a ＝5,10b＝2，则2a ＋b ＝1.2．函数y ＝(a 2－3a ＋3)a x是指数函数，则a ＝________.3．如图所示的曲线C 1，C 2，C 3，C 4分别是函数y ＝a x ，y ＝b x ，y ＝c x ，y ＝d x的图象，则a ，b ，c ，d 的大小关系为____________．4．若a >1，b >0，且a b＋a －b＝22，则a b －a －b的值为________． 5．函数f (x )＝a x －b的图象如图，其中a 、b 为常数，则下列结论正确的是________(填序号)．①a >1，b <0； ②a >1，b >0； ③0<a <1，b >0； ④0<a <1，b <0.探究点一有理指数幂的化简与求值例1 已知a ，b 是方程9x 2－82x ＋9＝0的两根，且a 0)的结果为____________．探究点二指数函数的图象及其应用例2 已知函数y ＝(13)|x +1|.(1)作出函数的图象(简图)； (2)由图象指出其单调区间；(3)由图象指出当x 取什么值时有最值，并求出最值．变式迁移2 若曲线|y |＝2x＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围为________．探究点三指数函数的性质及应用例3 如果函数y＝a2x＋2a x－1(a>0且a≠1)在区间[－1,1]上的最大值是14，求a的值．变式迁移3 已知函数f(x)＝(12x－1＋12)x3.(1)求f(x)的定义域；(2)证明：f(－x)＝f(x)；(3)证明：f(x)>0.分类讨论思想例(14分)已知f(x)＝aa－1(a x－a－x)(a>0且a≠1)．(1)判断f(x)的奇偶性；(2)讨论f(x)的单调性；(3)当x∈[－1,1]时f(x)≥b恒成立，求b的取值范围．【答题模板】解(1)函数定义域为R，关于原点对称．又因为f(－x)＝aa2－1(a－x－a x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．[3分](2)当a>1时，a2－1>0，y＝a x为增函数，y＝a－x为减函数，从而y＝a x－a－x为增函数，所以f(x)为增函数．[6分]当0<a<1时，a2－1<0，y＝a x为减函数，y＝a－x为增函数，从而y＝a x－a－x为减函数，所以f(x)为增函数．[9分]故当a>0，且a≠1时，f(x)在定义域内单调递增．[10分](3)由(2)知f (x )在R 上是增函数， ∴在区间[－1,1]上为增函数， ∴f (－1)≤f (x )≤f (1)， ∴f (x )min ＝f (－1)＝aa 2－1(a －1－a )＝a a 2－1·1－a2a＝－1.∴要使f (x )≥b 在[－1,1]上恒成立，则只需b ≤－1，故b 的取值范围是(－∞，－1]．[14分] 【突破思维障碍】本例第(2)(3)问是难点，讨论f (x )的单调性对参数a 如何分类，分类的标准和依据是思维障碍之一．【易错点剖析】在(2)中，函数的单调性既与a x－a －x有关，还与a a 2－1的符号有关，若没考虑aa 2－1的符号就会出错，另外分类讨论完，在表达单调性的结论时，要综合讨论分类的情况，如果没有一个总结性的表达也要扣分，在表达时如果不呈现a 的题设条件中的范围也是错误的．1．一般地，进行指数幂的运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数进行运算，便于用运算性质进行乘、除、乘方、开方运算，可以达到化繁为简的目的． 2．比较两个指数幂大小时，尽量化同底数或同指数，当底数相同，指数不同时，构造同一指数函数，然后比较大小；当指数相同，底数不同时，构造两个指数函数，利用图象比较大小．3．指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系如图所示，则0<c <d <1<a <b .在y 轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；在y 轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小；即无论在y 轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．已知a ＝，b ＝，c ＝，则a 、b 、c 的大小关系为______________．2．函数y ＝|2x－1|在区间(k －1，k ＋1)内不单调，则k 的取值范围为________． 3．已知集合M ＝{－1,1}，N ＝{x ∈Z|12<2x ＋1<4}，则M ∩N ＝________.4．(2011·扬州模拟)定义运算a b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a a ≤b ，b a >b ，则函数f (x )＝1 2x的值域为________．5．若关于x 的方程|a x－1|＝2a (a >0，a ≠1)有两个不等实根，则a 的取值范围为________．6．(2011·镇江模拟)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3a ，x <0，a x， x ≥0(a >0且a ≠1)是R 上的减函数，则a 的取值范围为________．7．(2010·江苏)设函数f (x )＝x (e x ＋a e －x)，x ∈R 是偶函数，则实数a ＝________. 8．若函数f (x )＝a x－1(a >0且a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a 的值为________．二、解答题(共42分)9．(14分)(2011·常州模拟)已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x＋b2＋a 是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围． 10．(14分)(2010·北京丰台区期末)已知函数f (x )＝3x，f (a ＋2)＝18，g (x )＝λ·3ax －4x 的定义域为[0,1]．(1)求a 的值．(2)若函数g (x )在区间[0,1]上是单调递减函数，求实数λ的取值范围． 11．(14分)函数y ＝1＋2x＋4xa 在x ∈(－∞，1]上y >0恒成立，求a 的取值范围．答案自主梳理1．(1)a 的n 次实数方根根式根指数被开方数(2)①na②na－na±na③a⑤a 2.(1)①na m②1na m③0(2)①a s＋t②a st③a t b t 3.R (0，＋∞)(1)(0,1)(2)y>10<y<1 (2)0<y<1 y>1 (3)增函数(3)减函数自我检测1．④解析只有④正确．①中a<0时， >0，a3<0，所以≠a3；②中，n为奇数时且a<0时，na n＝a；③中定义域为[2，73)∪(73，＋∞)．2．2解析∵y＝(a2－3a＋3)a x是指数函数，∴a2－3a＋3＝1，解得a＝2或a＝1(舍去)．3．b<a<d<c解析y轴左、右的图象对应函数的底数按逆时针方向增大．所以c>d>1,1>a>b>0.4．2解析(a b－a－b)2＝(a b＋a－b)2－4＝4，∵a>1，b>0，∴a b>1,0<a－b<1，∴a b－a－b＝2.5．④解析由f(x)＝a x－b的图象可以观察出，函数f(x)＝a x－b在定义域上单调递减，所以0<a<1；函数f(x)＝a x－b的图象是在f(x)＝a x的基础上向左平移得到的，所以b<0.课堂活动区例1 解题导引 1.指数幂的化简原则(1)化负数指数为正指数；(2)化根式为分数指数幂；(3)化小数为分数．2．指数幂的化简结果要求为有关有理指数幂的化简结果不要同时含有根号和分数指数幂，也不要既有分母又含有负指幂，即尽量化成与题目表示形式一致且统一的最简结果．解 ∵a ，b 是方程的两根，而由9x 2－82x ＋9＝0解得x 1＝19，x 2＝9，且a <b ，故a ＝19，b ＝9，(1)化去负指数后求解．a －1＋b－1ab －1＝1a ＋1b 1ab ＝a ＋b ab1ab＝a ＋b . ∵a ＝19，b ＝9，∴a ＋b ＝829，即原式＝829.(2)原式＝a 72×13·a －32×13÷(a (－83)×12·a 153×12)＝a 76－12－(－43＋52)＝a －12.∵a ＝19，∴原式＝3. 变式迁移1 a b解析原式＝＝＝ab －1＝a b.例2 解题导引在作函数图象时，首先要研究函数与某一基本函数的关系，然后通过平移、对称或伸缩来完成．解 (1)方法一由函数解析式可得y ＝(13)|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧13 x ＋1， x ≥－1，3x ＋1， x <－1.其图象由两部分组成：一部分是：y ＝(13)x(x ≥0)y ＝(13)x ＋1(x ≥－1)；另一部分是：y ＝3x(x <0) y ＝3x ＋1(x <－1)．如图所示．方法二 ①由y ＝(13)|x |可知函数是偶函数，其图象关于y 轴对称，故先作出y ＝(13)x 的图象，保留x ≥0的部分，当x <0时，其图象是将y ＝(13)x(x ≥0)图象关于y 轴对折，从而得出y ＝(13)|x |的图象．②将y ＝(13)|x |向左移动1个单位，即可得y ＝(13)|x ＋1|的图象，如图所示．(2)由图象知函数的单调增区间为(－∞，－1)，单调减区间为(－1，＋∞)． (3)由图象知当x ＝－1时，有最大值1，无最小值．变式迁移2 [－1,1]解析分别作出两个函数的图象，通过图象的交点个数来判断参数的取值范围．曲线|y |＝2x＋1与直线y ＝b 的图象如图所示，由图象可得：如果|y |＝2x＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 应满足的条件是b ∈[－1,1]．例3 解题导引 1.指数函数y ＝a x(a >0且a ≠1)的图象与性质与a 的取值有关，要特别注意区分a >1与0<a <1来研究．2．指数函数与二次函数复合而成的初等函数的性质可通过换元的方法转化为指数函数或二次函数的性质．解设t ＝a x，则y ＝f (t )＝t 2＋2t －1＝(t ＋1)2－2.(1)当a >1时，t ∈[a －1，a ]，∴y max ＝a 2＋2a －1＝14，解得a ＝3，满足 a >1； (2)当0<a <1时，t ∈[a ，a －1]， ∴y max ＝(a －1)2＋2a －1－1＝14，解得a ＝13，满足0<a <1.故所求a 的值为3或13.变式迁移3 (1)解由2x－1≠0⇒x ≠0，所以定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．(2)证明 f (x )＝(12x －1＋12)x 3可化为f (x )＝2x＋12 2x－1 ·x 3，则f (－x )＝2－x＋12 2－x－1 (－x )3＝2x＋12 2x－1 x 3＝f (x )，所以f (－x )＝f (x )．(3)证明当x >0时，2x>1，x 3>0，所以(12x－1＋12)x 3>0. 因为f (－x )＝f (x )，所以当x <0时，f (x )＝f (－x )>0. 综上所述，f (x )>0. 课后练习区 1．c (34)－14>(34)0，即a >b >1，又0<c <1，∴c <b <a . 2．(－1,1)解析由于函数y ＝|2x－1|在(－∞，0)内单调递减，在(0，＋∞)内单调递增，而函数在区间(k －1，k ＋1)内不单调，所以有k －1<0<k ＋1，解得－1<k <1.3．{－1} 4．(0,1]解析当x <0时，0<2x <1，此时f (x )＝2x ∈(0,1)；当x ≥0时，2x ≥1，此时f (x )＝1.所以f (x )＝1 2x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x x <0 ，1 x ≥0 .其值域为(0,1]．5．(0，12) 解析方程|a x －1|＝2a 有两个不等实根可转化为函数y ＝|a x －1|与函数y ＝2a 有两个不同交点，作出函数y ＝|a x －1|的图象，从图象观察可知只有0<2a <1时，符合题意，即0<a <12. 6．[13，1) 解析据单调性定义，f (x )为减函数应满足：⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，3a ≥a 0，即13≤a <1. 7．－1 解析设g (x )＝e x ＋a e －x ，则f (x )＝xg (x )是偶函数． ∴g (x )＝e x＋a e －x 是奇函数． ∴g (0)＝e 0＋a e －0＝1＋a ＝0，∴a ＝－1. 8. 3解析当a >1时，f (2)＝2，∴a 2－1＝2，a ＝3，经验证符合题意；当0<a <1时，f (0)＝2，即1－1＝2，无解．∴a ＝ 3.9．解 (1)∵f (x )是定义在R 上奇函数，∴f (0)＝0，即－1＋b2＋a ＝0，解得b ＝1，…………………………………………………(2分)从而有f (x )＝－2x＋12x ＋1＋a .又由f (1)＝－f (－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a，解得a ＝2.经检验a ＝2适合题意，∴a ＝2，b ＝1.……………………………………………………………………………(4分)(2)由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1. 由上式易知f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数．…………………………………………(8分)又因f (x )是奇函数，从而不等式f (t 2－2t )<－f (2t 2－k )＝f (－2t 2＋k )．…………………………………………………………………………(10分)因为f (x )是减函数，由上式推得t 2－2t >－2t 2＋k .即对一切t ∈R 有3t 2－2t －k >0.从而判别式Δ＝4＋12k <0，解得k <－13. 故k 的取值范围为(－∞，－13)．………………………………………………………(14分)10．解方法一 (1)由已知得3a ＋2＝18⇒3a＝2⇒a ＝log 32.…………………………(4分)(2)此时g (x )＝λ·2x －4x ，设0≤x 1<x 2≤1，因为g (x )在区间[0,1]上是单调递减函数，所以g (x 1)－g (x 2)＝(2x 1－2x 2)(λ－2x 2－2x 1)>0恒成立，………………………………………………………………………(10分)即λ<2x 2＋2x 1恒成立．由于2x 2＋2x 1>20＋20＝2，所以，实数λ的取值范围是λ≤2.……………………………………………………………………………………………(14分)方法二 (1)由已知得3a ＋2＝18⇒3a ＝2⇒a ＝log 32.……………………………………(4分)(2)此时g (x )＝λ·2x －4x，因为g (x )在区间[0,1]上是单调减函数，所以有g ′(x )＝λln 2·2x －ln 4·4x ＝2x ln 2(－2·2x ＋λ)≤0成立，………………………(10分)所以只需要λ≤2·2x 恒成立．所以实数λ的取值范围是λ≤2.…………………………(14分)11．解由题意得1＋2x ＋4xa >0在x ∈(－∞，1]上恒成立，即a >－1＋2x 4x 在x ∈(－∞，1]上恒成立．………………………………………………(6分)又因为－1＋2x 4x ＝－(12)2x －(12)x ，设t ＝(12)x ，∵x ≤1，∴t ≥12且函数f (t )＝－t 2－t ＝－(t ＋12)2＋14(t ≥12) 在t ＝12时，取到最大值． ∴(12)x ＝12即x ＝1时，－1＋2x 4x 的最大值为－34，………………………………………(12分)∴a >－34. 故a 的取值范围为(－34，＋∞)．………………………………………………………(14分)。

辽宁省大连普兰店市第一中学2017届高三数学一轮复习学案函数的单调性与最值 (无答案)

2016——2017高三理科复习案第三节函数的单调性与最值1．函数的单调性(1)单调函数的定义(2)单调区间的定义若函数f (x )在区间D 上是或，则称函数f (x )在这一区间上具有单调性，叫作f (x )的单调区间．问题探究1：函数f (x )在区间[a ，b ]上单调递增与函数f (x )的单调递增区间为[a ，b ]含义相同吗？2．函数的最值问题探究2：函数的单调性、最大(小)值反映在其函数图象上有什么特征？1．判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)函数y ＝1x 在定义域上为减函数．( )(2)对于函数f (x )，x ∈D ，若x 1，x 2∈D ，且(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]>0，则函数f (x )在D 上是增函数．( )(3)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．( ) (4)函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是(0，＋∞)．( ) (5)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到．( ) 2．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝ln(x ＋2) B ．y ＝－x ＋1 C ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x D ．y ＝x ＋1x3．函数y ＝log 12(x 2－2x )的单调递减区间是( )A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，0)4．如果二次函数f (x )＝3x 2＋2(a －1)x ＋b 在区间(－∞，1)上是减函数，则( ) A ．a ＝－2 B ．a ＝2 C ．a ≤－2D ．a ≥25．已知函数f (x )＝2|x －a |(a 为常数)，若f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是．考点一函数单调性的判断与证明判断函数f(x)＝x＋ax(a>0)在(0，＋∞)上的单调性，并给出证明对点训练1．(2016·太原质检)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是() A．y＝x＋1 B．y＝(x－1)2C．y＝2－x D．y＝log0.5(x＋1)2．试讨论函数f(x)＝axx2－1，x∈(－1,1)的单调性(其中a≠0)．考点二求函数的单调区间(1)(2015·合肥第二次质检)函数y ＝|x 2－4x ＋3|的单调递增区间是．(2)(2015·洛阳第二次模拟)函数y ＝f (x )(x ∈R )的图象如图所示，则函数g (x )＝f (log a x )(0<a <1)的单调减区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 B ．[a ，1]C ．(－∞，0)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞D ．[a ，a ＋1][拓展探究] (1)若将本例(1)中的函数变为“y ＝x 2－4|x |＋3”，则结果如何？(2)若将本例(2)中的“0<a <1”改为“a >1”，则函数g (x )的单调递减区间如何？考点三利用单调性求最值已知f (x )＝x 2＋2x ＋ax ，x ∈[1，＋∞)．(1)当a ＝12时，求函数f (x )的最小值；(2)若对任意x ∈[1，＋∞), f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围．对点训练已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0.(1)求f (1)的值；(2)证明：f (x )为单调递减函数；(3)若f (3)＝－1，求f (x )在[2,9]上的最小值．考点四函数单调性的应用(1)已知函数f (x )＝log 2x ＋11－x，若x 1∈(1,2)，x 2∈(2，＋∞)，则( ) A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0 B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0 C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0(2)已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋2，当x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥a 恒成立，则a 的取值范围是．对点训练1．(2015·沈阳模拟)若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(0,1]C ．(0,1)D ．(0,1]2．(2016·衡水中学月考)函数f (x )＝log a (2－ax 2)在(0,1)上为减函数，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1 B ．(1,2) C ．(1,2] D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，13．当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值范围是．。

辽宁省大连普兰店市第一中学2017届高三数学一轮复习学案函数及其表示 (无答案)

2016——2017高三理科复习案第二章函数概念与基本初等函数第一节函数及其表示1．函数与映射的概念Array问题探究1：映射与函数有什么区别？2．函数的相关概念(1)函数的三要素是(2)相等函数：如果两个函数的和完全一致，则这两个函数相等．问题探究2：如果两个函数的定义域与值域相同，则它们是否为相等函数？3．函数的表示法表示函数的常用方法有：4．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的，其值域等于各段函数的值域的，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是函数．1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)函数f(x)＝x2－2x与函数f(t)＝t2－2t是同一个函数．()(2)函数y＝1与函数y＝x0是相同函数．()(3)若两个函数的定义域和值域相同，则这两个函数为相同函数．()(4)函数是特殊的映射．()(5)分段函数的定义域等于各段函数定义域的并集，值域等于各段函数值域的并集．()2．下列四组函数中，表示相等函数的一组是()A．f(x)＝x＋1·x－1，g(x)＝x2－1B．f(x)＝x2，g(x)＝(x)2C．f(x)＝x2－1x－1，g(x)＝x＋1D．f(x)＝|x|，g(t)＝t23．(2015·江西重点中学一联)函数f(x)＝3xx－2＋lg(3－x)的定义域是()A．(3，＋∞) B．(2,3) C．[2,3) D．(2，＋∞)4．(2016·沈阳二中阶段验收)已知函数f(x)＝5|x|，g(x)＝ax2－x(a∈R)．若f[g(1)]＝1，则a＝()A．1 B．2 C．3 D．－15．若函数f(x)在闭区间[－1,2]上的图象如图所示，则此函数的解析式为．考点一函数的表示方法(1)(2016·河南洛阳期中)下列图形可以表示函数y＝f(x)图象的是()(2)已知函数f(x)＝x－1，若f(a)＝3，则实数a＝.对点训练1．下列函数中与函数y＝－2x3相同的是()A．y＝x－2x B．y＝－x－2xC．y＝－2x3D．y＝x2－2 x2．设函数f：x→－x2＋2x是实数集R到实数集R的映射，若对于实数t∈R，t不存在原象，则t的取值范围是() A．(－∞，1) B．(1，＋∞) C．(－∞，1] D．[1，＋∞)3．已知函数f (x )，g (x )分别由下表给出，则f [g (1)]＝ .考点二求函数的定义域(1)(2015·郑州第二次模拟)函数f (x )＝1(log 2x )2－1的定义域为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B ．(2，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞) D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[2，＋∞)(2)(2015·银川模拟)已知函数f (2x ＋1)的定义域为(0,1)，则f (x )的定义域是． [拓展探究] (1)本例(2)改为f (x )的定义域为(0,1)，求f (2x ＋1)的定义域，又如何求呢？(2)本例(2)的条件不变，求f (1－x )的定义域，如何求？考点三分段函数(1)(2015·新课标全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝⎩⎨⎧1＋log 2(2－x )，x <1，2x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝( ) A ．3 B ．6 C ．9D ．12(2)(2016·银川一中月考)设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋x ，x <0，－x 2，x ≥0.若f [f (a )]≤2，求实数a 的取值范围。

高三一轮：指数与指数函数导学案

§2.6 指数与指数函数基础梳理：1．根式(1)根式的概念如果存在实数x ，使得x n ＝a (a ∈R ，n >1，n ∈N ＋)，则x 叫做______________．求a 的n 次方根，叫做把__________，称作开方运算．式子 na 叫做________，这里n 叫做________，a 叫做被开方数．(2)根式的性质①当n 为奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数，这时，a 的n 次方根用符号________表示．②当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数a 的正的n 次方根用符号________表示，负的n 次方根用符号________表示．正负两个n 次方根可以合写为________(a ＞0)． ③(na )n ＝______. ④当n 为奇数时， n a n ＝______；当n 为偶数时，na n ＝|a |＝________________.⑤负数没有偶次方根． 2．有理数指数幂(1)幂的有关概念 ①正整数指数幂：a n ＝···n a a a 个(n ∈N ＋)．②零指数幂：a 0＝______(a ≠0)． ③负整数指数幂：a －p ＝________(a ≠0，p ∈N ＋)．④正分数指数幂：a m n＝________(a >0，m 、n ∈N＋，且mn为既约分数)．⑤负分数指数幂：a －m n ＝__________＝1n a m(a >0，m 、n ∈N ＋，且mn 为既约分数)．⑥0的正分数指数幂等于______，0的负分数指数幂____________． (2)有理数指数幂的性质①a αa β＝________(a >0，α、β∈Q )；②(a α)β＝__________(a >0，α、β∈Q )； ③(ab )α＝________(a >0，b >0，α∈Q )． 3．指数函数的图象与性质基础自测： 1．用分数指数幂表示下列各式． ________；((a ＋b )>0)＝________；(3)m 3m＝________.2．化简[(－2)6]12－(－1)0的值为________．3．若函数y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是____________． 4．若函数f (x )＝a x －1 (a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a ＝________. 5．已知f (x )＝2x ＋2－x ，若f (a )＝3，则f (2a )等于 ( )A ．5B ．7C ．9D ．11典例精析题型一指数式与根式的计算问题例1 计算下列各式的值．(1)23278-⎛⎫- ⎪⎝⎭＋(0.002)12-－10(5－2)－1＋(2－3)0； (2)15＋2－(3－1)0－9－45；1143342()a b a b- (a >0，b >0)．探究提高根式运算或根式与指数式混合运算时，将根式化为指数式计算较为方便，对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示，如果有特殊要求，要根据要求写出结果．但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．计算下列各式的值．(1)1.513-×⎝⎛⎭⎫－760＋80.25×3)6；(2)4133223384a a ba b +÷1⎛- ⎝(a >0，b >0)．题型二指数函数的图象及应用例2 (1)函数y ＝xa x|x |(0<a <1)图象的大致形状是 ()(2)若函数y=a x +b-1 (a>0且a ≠1)的图象经过第二、三、四象限，则a 、b 的取值范围是_____________. (3)方程2x=2-x 的解的个数是__________探究提高 (1)与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象．(2)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解．(1)设12<⎝⎛⎭⎫12b <⎝⎛⎭⎫12a<1，那么( )A ．a a <a b 0且a ≠1，函数y ＝a 2x ＋2a x －1在[－1,1]上的最大值是14，求a 的值．已知定义在R 上的函数f (x )＝2x －12|x |.(1)若f (x )＝32，求x 的值；(2)若2t f (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈[1,2]恒成立，求实数m 的取值范围．典型方法：已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b2x ＋1＋a 是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围．方法与技巧1．单调性是指数函数的重要性质，特别是函数图象的无限伸展性，x 轴是函数图象的渐近线．当0<a <1时，x →＋∞，y →0；当a >1时，x →－∞，y →0；当a >1时，a 的值越大，图象越靠近y 轴，递增的速度越快；当0<a <1时，a 的值越小，图象越靠近y 轴，递减的速度越快． 2．画指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )、 (0,1)、⎝⎛⎭⎫－1，1a . 3．在有关根式、分数指数幂的变形、求值过程中，要注意运用方程的观点处理问题，通过解方程(组)来求值，或用换元法转化为方程来求解．失误与防范1．指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象和性质跟a 的取值有关，要特别注意区分a >1与0<a <1来研究． 2．对可化为a 2x ＋b ·a x ＋c ＝0或a 2x ＋b ·a x ＋c ≥0 (≤0)的指数方程或不等式，常借助换元法解决，但应注意换元后“新元”的范围．课后作业：基础训练一、选择题 1．函数y ＝2x的值域是 ( )A ．[0，＋∞)B ．[1，＋∞)C ．(－∞，＋∞)D ．[2，＋∞) 2．若关于x 的方程|a x －1|＝2a (a >0，a ≠1)有两个不等实根，则a 的取值范围是 ( ) A ．(0,1)∪(1，＋∞) B ．(0,1) C ．(1，＋∞) D.⎝⎛⎭⎫0，12 3．函数f (x )＝a x－b的图象如图所示，其中a 、b 为常数，则下列结论正确的是( )A ．a >1，b <0B ．a >1，b >0C ．0<a <1，b >0D ．0<a <1，b <0 二、填空题 4．已知a ＝5－12，函数f (x )＝a x ，若实数m 、n 满足f (m )>f (n )，则m 、n 的大小关系为________． 5．若函数f (x )＝e －(x －μ)2 (e 是自然对数的底数)的最大值是m ，且f (x )是偶函数，则m ＋μ＝________. 6．函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在[1,2]中的最大值比最小值大a2，则a 的值为__________．7.已知函数f (x )＝a x ＋b (a >0且a ≠1)的图象如图所示，则a ＋b 的值是________．三、解答题8．(1)计算：[32833-⎪⎭⎫ ⎝⎛－⎝⎛⎭⎫5490.5＋32-(0.008)÷21-(0.02)×21(0.32)]÷0.062 50.25； (2)化简：323323134248a ab b ba a ++-÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-a b a 3232-×533··2a a a a (式中字母都是正数)．课后作业：提升训练一、选择题1．函数y ＝2-+212x x⎛⎫⎪⎝⎭的值域是 ( )A ．RB ．(0，＋∞)C ．(2，＋∞) D.⎣⎡⎭⎫12，＋∞ 2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x (x >0)，e x (x ≤0)，F (x )＝f (x )＋x ，x ∈R .F (x )的值域为 ( )A ．(－∞，1]B ．[2，＋∞)C ．(－∞，1]∪[2，＋∞)D ．(－∞，1)∪(2，＋∞) 3．若函数f (x )＝a |2x －4| (a >0，a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是 ( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2] 二、填空题4．函数f (x )＝ax 2＋2x －3＋m (a >1)恒过点(1,10)，则m ＝______.5．函数y ＝a 2x －2 (a >0，a ≠1)的图象恒过点A ，若直线l ：mx ＋ny －1＝0经过点A ，则坐标原点O 到直线l 的距离的最大值为________．6．关于x 的方程⎝⎛⎭⎫32x ＝2＋3a5－a 有负数根，则实数a 的取值范围为__________．三、解答题7．已知函数f (x )＝3x ，f (a ＋2)＝18，g (x )＝λ·3ax －4x 的定义域为[0,1]． (1)求a 的值．(2)若函数g (x )在区间[0,1]上是单调递减函数，求实数λ的取值范围．8．已知函数f (x )＝a a 2－1(a x －a －x ) (a >0，且a ≠1)．(1)判断f (x )的单调性；(2)验证性质f (－x )＝－f (x )，当x ∈(－1,1)时，并应用该性质求f (1－m )＋f (1－m 2)<0的实数m 的范围．。

辽宁省大连普兰店市第一中学2017届高三数学一轮复习学案：命题及其关系、充分条件与必要条件

2016-—2017高三理科复习案第二节命题及其关系、充分条件与必要条件1．命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的，可以的语句叫作命题．其中的语句叫真命题, 的语句叫假命题．2．四种命题及其关系(1）四种命题命题表述形式原命题若p，则q逆命题否命题逆否命题(2）四种命题间的逆否关系（3)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题,它们有的真假性;②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性问题探究:一个命题的“否命题”与“否定”是同一个命题吗？提示：不是．命题的否命题既否定命题的条件又否定命题的结论，而命题的否定仅是否定命题的结论．3．充分条件与必要条件（1)如果p⇒q，则p是q的,q是p的；(2）如果p⇒q,q⇒p，则p是q的．在判断充分条件与必要条件时,一定要注意弄清问题的设问方式，“A是B的充分不必要条件”与“A的充分不必要条件是B”两种说法的含义是不同的．1．判断正误（在括号内打“√”或“×"）（1)“x2＋2x－8<0”是命题．( ）（2）命题“α＝错误!，则tan α＝1"的否命题是“若α＝错误!，则tan α≠1”．( ）（3)“a＝2"是“(a－1）（a－2)＝0”的必要不充分条件．( ）（4)设a,b∈R，则“a＋b>4”是“a>2且b〉2”的充分条件．( )（5）给定两个命题p，q.若p是q的充分不必要条件，则綈p 是綈q的必要不充分条件．（)2．命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题及其真假性为( )A．“若x＝4，则x2＋3x－4＝0”为真命题B．“若x≠4，则x2＋3x－4≠0”为真命题C．“若x≠4,则x2＋3x－4≠0”为假命题3．“a＝1"是“关于x的方程x2－2x＋a＝0有实数根"的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．已知a，b∈R.下列四个条件中，使a〉b成立的必要而不充分的条件是（）A．a〉b－1 B．a〉b＋1C．｜a｜>|b｜D．2a>2b5．(2016·河北正定月考）设A：错误!〈0，B:0〈x〈m，若B是A成立的必要不充分条件，则实数m的取值范围是．考点一命题的关系及命题真假的判断（1)命题“若x2〈1，则－1<x〈1”的逆否命题是（)A．若x2≥1,则x≥1或x≤－1B．若－1〈x<1，则x2〈1C．若x〉1或x〈－1，则x2>1D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1（2）(2016·合肥质检)原命题为“若z1,z2互为共轭复数,则｜z1|＝｜z2｜”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是( ）A．真，假，真B．假，假,真C．真,真，假D．假，假，假对点训练1．下列命题中为真命题的是（）A．命题“若x>1，则x2>1”的否命题B．命题“若x>y，则x>｜y|"的逆命题C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0"的否命题D．命题“若x2>1，则x〉1”的逆否命题2．命题“函数f（x)，g(x）定义在R上，h(x）＝f（x)·g(x),如果f（x)，g（x)均为奇函数，则h（x)为偶函数”的逆命题、否命题、逆否命题中正确命题的个数是（)A．0 B．1C．2 D．33．若“x∈2，5］或x∈{x｜x<1或x〉4}”是假命题,则x的取值范围是．考点二充分条件与必要条件的判断1．利用定义判断（1)若p⇒q，则p是q的充分条件；(2）若q⇒p，则p是q的必要条件;(3)若p⇒q且q⇒p，则p是q的充要条件；（4)若p⇒q且q错误!p，则p是q的充分不必要条件;（5)若p错误!q且q⇒p，则p是q的必要不充分条件；(6）若p错误!q且q错误!p，则p是q的既不充分也不必要条件．2．利用集合判断记条件p、q对应的集合分别为A、B，则：若A⊆B，则p是q的充分条件；若A B,则p是q的充分不必要条件；若A⊇B,则p是q的必要条件；若A B,则p是q的必要不充分条件；若A＝B,则p是q的充要条件；若A B，且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．(1)(2015·重庆卷）“x〉1”是“log错误!（x＋2）〈0”的( )A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件(2）（2014·天津卷）设a,b∈R，则“a〉b”是“a|a｜>b|b|”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件对点训练1．若集合A＝｛0,m2},B＝｛1,2｝,则“m＝1”是“A∪B＝｛0,1，2｝"的（)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．给定两个命题p，q.若綈p是q的必要而不充分条件，则p 是綈q的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．在△ABC中，“sin A〉错误!”是“∠A>错误!"的（)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点三充分条件与必要条件的应用（1)a〈0，b<0的一个必要条件为（)A．a＋b〈0 B．a－b〉0C。

辽宁省大连普兰店市第一中学2017届高三数学一轮复习学案：函数的值域与解析式

2016——2017高三理科复习案第二节函数的值域与解析式1．函数的值域(1)在函数y＝f（x）中，与自变量x的值相对应的y的值叫函数值，叫函数的值域．(2)基本初等函数的值域①y＝kx＋b(k≠0)的值域是。

②y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的值域是:当a〉0时，值域为;当a<0时，值域为.③y＝错误!（k≠0）的值域是④y＝a x（a〉0且a≠1）的值域是．⑤y＝log a x(a〉0且a≠1）的值域是⑥y＝sin x，y＝cos x的值域是⑦y＝tan x的值域是问题探究：函数的值域由什么决定？2．函数解析式的求法(1）换元法; （2）待定系数法;（3）消去法；（4)配凑法或赋值法.1．判断正误(在括号内打“√”或“×"）(1）函数的解析式相同，定义域不同，值域也一定不同．（）(2)同一函数的解析式是唯一确定的．( ）(3)函数y＝错误!的值域为(－∞，1]．（）（4)函数y＝错误!的值域为{y｜y≠－2｝．( ）（5)若f（错误!)＝x＋1，则f（x)＝x2＋1，x∈R.( ）2．函数f(x）＝33x－3的值域为( )A．（－∞，－1) B．(－1，0)∪（0,＋∞）C．(－1,＋∞）D．（－∞，－1）∪（0，＋∞)3．若二次函数g(x）满足g（1）＝1，g（－1)＝5，且图象过原点,则g（x)的解析式为（）A．g（x)＝2x2－3x B．g(x）＝3x2－2xC．g（x)＝3x2＋2x D．g(x）＝－3x2－2x4．（2016·西安质检（一)）函数f（x)＝错误!的值域为（）A．－1，2］B．（－∞，2）C．(0,＋∞）D．(－∞，－2）5．已知f错误!＝lg x，则f（x)＝.考点一求函数的值域求函数值域的常用方法：(1)观察法；(2）换元法;(3）配方法；（4)单调性法;(5）基本不等式法；(6）分离常数法；（7)数形结合法．求下列函数的值域：（1)y＝x2＋2x(x∈0,3］)；（2）y＝错误!;(3)y＝x－1－2x；(4）y＝log3x＋log x3－1.考点二求函数的解析式(1）已知f（错误!＋1）＝x＋2错误!，求f（x)；（2）已知f(x)是一次函数，且满足3f（x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17,求f（x）的解析式；（3）已知f（x)满足2 f(x）＋f错误!＝3x，求f（x）．对点训练1．已知f（1－cos x）＝sin2x,求f（x)的解析式．2．已知f（x)是二次函数，若f（0)＝0,且f（x＋1）＝f（x)＋x ＋1，试求f（x）的表达式．考点三函数的定义域、值域及解析式的综合应用（1）(2015·山东卷)已知函数f（x)＝a x＋b(a>0，a≠1）的定义域和值域都是－1，0]，则a＋b＝。

辽宁省大连普兰店市第一中学2017届高三数学一轮复习学案：二次函数与幂函数

2016-—2017高三理科复习案第五节二次函数与幂函数1．二次函数的图象和性质解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a〉0)f（x)＝ax2＋bx＋c(a〈0）图象定义域(－∞，＋∞）(－∞，＋∞)值域错误!错误!单调性在x∈错误!上单调递减；在x∈错误!上单调递增在x∈错误!上单调递增；在x∈错误!上单调递减错误!2．二次函数的解析式（1）一般式:y＝ax2＋bx＋c(a≠0）；（2）顶点式：y＝a(x－h)2＋k（a≠0);（3）两根式:y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0）．3．幂函数的定义形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x为自变量，α为常数．问题探究2：幂函数与指数函数有何不同？4．幂函数的图象问题探究3:在上图第一象限中如何确定y＝x3，y＝x2，y＝x，y ＝x,y＝x－1的图象？5．幂函数的性质1．判断正误（在括号内打“√”或“×”）(1）二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R不可能是偶函数．（）（2)幂函数的图象都经过点(1，1）和(0，0）．( )(3)幂函数的图象不经过第四象限．( )（4)当n>0时,幂函数y＝x n是定义域上的增函数．（）（5)关于x的不等式ax2＋bx＋c〉0恒成立的充要条件是错误!( ）2．（2016·日照一中月考）幂函数y＝f（x)的图象经过点错误!，则f错误!的值为( ）A．4 B．3 C．2 D．13．(2016·丰台调研)函数f（x）＝4x2－mx＋5在区间－2，＋∞）上是增函数,则f（1)的取值范围是( ）A．f（1)≥25 B．f（1）＝25C．f（1）≤25 D．f（1）〉254．(2016·江西赣州月考)已知幂函数f（x）＝(n2＋2n－2）·xn2－3n（n∈Z）的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞）上是减函数，则n的值为（）A．－3 B．1 C．2 D．1或25．已知方程x2＋2mx－m＋12＝0的两个根都大于2，则实数m 的取值范围是．考点一幂函数（1)（2015·济南模拟)已知幂函数y＝f（x）的图象过点错误!，则log4f(2）的值为( )A。