关于抛物线的多选题

二次函数的图像与性质（符号问题）

基本信息： y=ax 2＋bx ＋c 中的a 、b 、c 当x=1时，y=a+b+c 当x=―1时y=a ―b+c

―a b

2>―1 ―a b

2＜1

抛物线与x 轴有两个交点

2

-4ac 0

解题思想：符号组合问题通过图像性质三要素化为点、轴的问题解决。 解题技巧：x=-a

b

2可知，a 、b 同号对称轴在y 轴左侧，反之右侧。 典例分析：

1、（2012重庆）已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示对称轴为

2

1

-

=x ．下列结论中，正确的是（ ） A ．0abc > B ．0a b += C ．20b c +> D ．42a c b +< 简析： B 、∵x=﹣

=﹣， ∴a=b，故B 错误；

C 、当x=1时，所以a+b+c=2b+c ＜0；

D 、∵对称轴为x=﹣，与x 轴的一个交点的取值范围为x 1＞1， ∴与x 轴的另一个交点的取值范围为x 2＜﹣2， ∴当x=﹣2时，4a ﹣2b+c ＜0，即4a+c ＜2b ， 故选D ．

变式：把轴改成x=-3

1

，重复以上四个选项思路研究得一下正确结论：

A 、abc ﹤0，

B 、2a=3b 或2a-3b=0

C 、2

5

b+c ＜0，或5b+2c ＜0或

3

5

a+c ＜0，或5b+3c ＜0 D 、 由-31=2

1x +，得出x=-35

与x=1是对称点，25x 2-9b+9c ＜0，

变式:用同样方法研究x=-4

1

的各正确的结论，并认真体会解题技巧。

（1，a+b+c ）

5. （2012湖北天门）已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，它与x 轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0）．对于下列命题：①b﹣2a=0；②abc＜0；③a ﹣2b+4c ＜0；④8a+c＞0．其中正确的有【 A 】 A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个 ③∵b+2a=0，∴a﹣2b+4c=a+2b ﹣4b+4c=﹣4b+4c 。 ∵a﹣b+c=0，∴4a﹣4b+4c=0。∴﹣4b+4c=﹣4a 。 ∵a＞0，∴a﹣2b+4c=﹣4b+4c=﹣4a ＜0。故命题③正确。 ④8的2倍和一半都是一个数的平方。x=+4或+2代点实验， 当x=4时，y ＞0，∴16a+4b+c＞0。

由①知，b=﹣2a ，∴8a+c＞0。故命题④正确。

当x=-2时，y ＞0，∴4a-2b+c ＞0。b=﹣2a ，∴8a+c＞0。

（2012山东日照4分）二次函数y=ax 2＋bx ＋c(a≠0)的图象如图所示，给出下列结论：① b 2－4ac>0；② 2a＋b<0；③ 4a－2b ＋c=0；④ a︰b ︰c= －1︰2︰3.其中正确的是【 D 】

(A) ①② (B) ②③ (C) ③④ (D)①④

a-b+c=0, b

=12a

-联立，b= -2a ，c=-3a a:b:c=-1:2:3

3.(03武汉)已知抛物线y=ax 2+bx+c （a ＜0)经过点（－1，0

足4a ＋2b ＋c ＞0．以下结论：①a ＋b ＞0；②a ＋c ＞0；③－a ＞0；④b 2-2ac>5a 2。其中正确的个数有（ D ） （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4

简析：对称轴x ＞，可知a+b ＞0；x=+1代入，y=a+b+c ＞0，可得（2）；由（1）推知-a+b+c ＞0（3）正确，a-b+c=0，b 2-2ac-5a 2=（a+c ）2-2ac-5a 2=

（c-2a ）（c+2a ） ，对称轴x ＞，可知a ＞-b ，所以a-b+c=0，a+a+c ＞0， b 2-2ac-5a 2=（c-2a ）（c+2a ）＞0

另简析：特殊性满足一般性，特殊值代入设二次函数过（0，1），（3，0）解得

a =-31，b=3

2

，c=1验证出都正确性。

6、已知二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于点(20)-，、1(0)x ，，

且112x <<，

与y 轴的正半轴的交点在(02)，的下方．下列结论：①420a b c -+=；②0a b <<；

③20a c +>；④210a b -+>．其中正确结论的个数是 个．

对称轴x ＞-,可推出b ＞a, 同号y 左，异号y 右，0＞b ＞a

特殊性满足一般性，特殊值代入设二次函数过（0，1），（

解得a =-，b=-，c=1，/a/最大，变大，

B 趋于0，2a+c=2a+1＞0，2a- b +1=2a+1- b ＞0

7、已知二次函数2y ax bx c =++的图象经过点（1，2）横坐标分别为x 1，x 2，且-2＜x 1＜0，1＜x 2＜2，下列结论：在(02)，的下方．下列结论：①4a+2b ＋c ＜0；②2a ＋b<0；③b 2中正确结论的有 D 个

（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4

简析：

设函数过点（-1，0），（1，2），（2，0）求出a=-1

抛物线开口变小，/a/＞1，因为a<0，所以a<-1

8、（2011湖北孝感，3分）如图，二次函数c bx ax y ++=2的图象与y 轴正半轴

相交，其顶点坐标为（

2

1

，1）,下列结论：①ac ＜0；②a+b=0； ③4ac —b 2=4a ；④a+b+c ＜0 .其中正确结论的个数是（ C ）

A.1

B.2

C.3

D.4

简析：根据顶点的纵坐标是1得到a

b a

c 442

-=1，得③正确；根据抛物线的轴对称

性，知当x=0和x=1时y 的值相等，故④不对.