用相似三角形解决问题(2)

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人教版相似三角形应用举例(2)

解： 3 1 . 8 90 x 3 x 90 1 .8 x 54 ( 米 )
解：如图，假设观察者从左向右走到点E时，他的眼睛的位置点F与两棵树的顶端点A、C恰在一条直线上。
由此可知，如果观察者继续前进，即他与左边的树的距离小于８m时，由于这棵树的遮挡，右边树的顶端点C在观察者的盲区之内，观察者看不到它。
课堂小结
1. 相似三角形的应用主要有两个方面：
（1）测高（不能直接使用皮尺或刻度尺量的）测量不能到达顶部的物体的高度，通常用
16m
C 0。5m ┛1m O
A
？ ┏
D
2.某一时刻树的影长为8米,同一时刻身高为1。5米的
人的影长为3米,则树高为___4___。
3. △ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120毫米，高 AD=80毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在 BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？
乐山大佛
世界上最高的树 —— 红杉
怎样测量这些非常高大物体的高度？
台湾最高的楼 ——台北101大楼
怎样测量河宽？
世界上最宽的河 ——亚马孙河
利用三角形相似可以解决一些不能直接测量的物体的长度的问题
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
利用三角形的相似,可以解决一些不能直接测量的物体的长度问题,下面请看几个例子。
A 解：设正方形PQMN是符合要求的△ABC的
高AD与PN相交于点E。设正方形PQMN的
边长为 x 毫米。
PE N
因为PN∥BC，所以△APN∽ △ABC
所以 AE
PN =
AD
BC
因此
80–x =

27.2.3相似三角形的应用举例(2)

点拨：人、标杆和旗杆都垂直于地面．
∵人、标杆和旗杆都垂直于地面， ∴∠ABF＝∠EFD＝∠CDH＝90°， ∴人、标杆和旗杆是互相平行的． ∵EF∥CN，∴∠1＝∠2.
∵∠3＝∠3，△AME∽△ANC，
∴
AM AN
EM CN
.
∵人与标杆的距离、人与旗杆的距离，标杆
与人的身高的差EM都已测量出，
C
D
A
P
Q
B
五、课堂小结
谈谈你在本节课的收获.
六、布置作业
1.必做题：教材第43-44页习题
3.备选题：
一盗窃犯于夜深人静之时潜入某单位作案，该单位的自动摄像系统摄下了他作案的全过程.请你为警方设计一个方案，估计该盗窃犯的大致身高.
∴能求出CN.
∵∠ABF＝∠CDF＝∠AND＝90°，
∴四边形ABND为矩形． ∴DN＝AB. ∴能求出旗杆CD的长度．
8.为了测量路灯（OS）的高度,把一根长1.5米的竹竿（AB）竖直立在水平地面上,测得竹竿的影子（BC）长为1米,然后拿竹竿向远离路灯方向走了4米（BB‘）,再把竹竿竖立在地面上, 测得竹竿的影长（B‘C‘）为1.8米,求路灯离地面的高度.
方法一：利用阳光下的影子
操作方法：一名学生在直立于旗杆影子的顶端处, 测出该同学的影长和此时旗杆的影长．
点拨：把太阳的光线看成是平行的.
∵太阳的光线是平行的， ∴AE∥CB，
∴∠AEB＝∠CBD.
∵人与旗杆是垂直于地面的， ∴∠ABE＝∠CDB，
∴△ABE∽△CBD.
∴
AB BE CD BD
.即CD=
S
hA
A'
O BC
B'
C'

三角形的相似性质如何利用相似三角形的性质求解问题

三角形的相似性质如何利用相似三角形的性质求解问题三角形是初中数学中的重要内容，而其中的相似三角形更是一个重要的概念。

相似三角形是指具有相同形状但大小不同的两个或多个三角形。

相似三角形的性质可以帮助我们在解决问题时更加简便和高效。

本文将探讨相似三角形的性质以及如何利用这些性质来解决实际问题。

一、相似三角形的性质1. 比例关系相似三角形的边长比例相等，即如果两个三角形的对应边的长度之比相等，那么它们就是相似三角形。

例如，如果ΔABC 与ΔA'B'C' 是相似三角形，那么有如下的比例关系：AB/A'B' = BC/B'C' = AC/A'C'2. 角度关系相似三角形的对应角度相等，即两个相似三角形对应角的度数相等。

例如，如果ΔABC 与ΔA'B'C' 是相似三角形，那么相应的角度关系如下：∠A = ∠A'∠B = ∠B'∠C = ∠C'二、利用相似三角形的性质求解问题利用相似三角形的性质，我们可以在解决实际问题时采用以下方法：1. 比例推导根据相似三角形的比例关系，可以利用已知信息求解未知信息。

例如，已知两个三角形相似且知道一个三角形的边长和另一个三角形的边长比例，可以通过设立等式求解未知边长。

2. 定理运用利用相似三角形的角度关系，可以应用相应的定理求解问题。

例如，可以应用“等角定理”、“角平分线定理”等来解决与相似三角形有关的问题。

3. 测量实际问题当我们面对实际问题时，可以利用相似三角形的性质进行测量。

例如，当我们需要测量高楼的高度时，可以利用相似三角形的原理，通过测量阴影的长度和角度来计算出高楼的高度。

综上所述，相似三角形的性质在数学解题中是非常重要的。

通过学习和应用相似三角形的性质，我们可以更加高效地解决各类与三角形有关的问题。

使用相似三角形的性质，我们可以推导比例关系、运用定理以及进行实际测量，从而准确地求解问题。

九下图形的相似 6.7 用相似三角形解决问题(2) 含答案

6.7 用相似三角形解决问题(2)学习目标：1．掌握中心投影的概念，对比、总结平行投影与中心投影的区别；2．运用相似三角形的知识，建构中心投影的数学模型，辅助解决实际问题；3．感受相似三角形的运用价值，深化对核心数学知识的理解，培养学习兴趣，增强合作意识．学习重点：掌握中心投影的相关知识，用相似三角形的知识解决问题．学习难点：将实际问题抽象、建模，辅助解题．学习过程：导学预习：1．如图1是用杠杆撬石头的示意图， C 是支点，当用力压杠杆的A端时，杠杆绕C 点转动，另一端B 向上翘起，石头就被撬起．现有一块石头，要使其滚动，杠杆的B 端必须上翘起10cm ，己知杠杆的AB =2m ，BC =40cm ，则要这块石头滚动，至少要将杠杆的A 端向下压 cm ．2．晚上，小华出去散步，在经过一盏路灯时，他发现自己的身影是（）A.变长B.变短C.先变长后变短D.先变短后变长3．夜晚在亮有路灯的路上，若想没有影子，你应该站的位置是（）A .路灯的左侧B .路灯的右侧C .路灯的下方D .以上都可以4．如图2，△ABC 是等边三角形，被一平行于BC 的矩形所截，AB 被截成三等分，则图中阴影部分的面积是△ABC 的面积的（）Ａ．91 Ｂ．92 Ｃ．31 Ｄ．32合作探究：活动一自主学习讨论分享阅读阅读教材83页，了解中心投影，说说自己的体会．_______________________________________________________称为中心投影。

思考：在点光源的照射下，不同物体的物高与影长成比例吗？结论：一般地，在点光源的照射下，同一个物体在不同的位置，它的高与影长____________．活动二尝试交流如图，某人身高CD ＝1.6m ，在路灯A 照射下影长为DE ，他与灯杆AB 的距离BD ＝5m ．（1）AB ＝6m ，求DE （精确到0．01m ）；（2）DE ＝2.5m ，求A B ．图1E HFG CB A）活动三例题学习如图，河对岸有一灯杆AB，在灯光下，小丽在点D处测得自己的影长DF＝3 m，沿BD方向前进到达点F处测得自己的影长FG＝4 m．设小丽的身高为1．6 m，求灯杆AB的高度．变式练习1：已知为了测量路灯CD的高度，把一根长1.5m的竹竿AB竖直立在水平地面上．测得竹竿的影子长为1m，然后拿竹竿向远处路灯的方向走了4m．再把竹竿竖直立在地面上，竹竿的影长为1.8m，求路灯的高度．变式练习2：小华同学在晚上由路灯AC走向路灯BD，当他走到点P时，发现身后的影子顶部刚好触到AC的底部，当他向前再步行12m到达Q点时，发现身前的影子的顶端接触到路灯BD的底部．已知小华身高为1.6m，两个路灯的高度都是9.6m．（1）求两个路灯之间的距离．（2）当小华同学走到路灯BD处时，他在路灯AC下的影子长是多少？练一练：1．3根底部在同一直线上的旗杆直立在地面上，第1、第2根旗杆在同一灯光下的影子如图．请在图中画出光源的位置，并画出第3根旗杆在该灯光下的影子（不写画法）．ABO 1O 2．如图，某同学身高AB ＝1.70m ，在灯光下，他从灯杆底部点D 处沿直线前进4m 到达点B 时，测得他的影长PB ＝2m ．求灯杆CD 的高度．3．如图，圆桌正上方的灯泡O （看成一个点）发出的光线照射到桌面后，在地上形成影．设桌面的半径AC ＝0.8 m ，桌面与地面的距离AB ＝1m ，灯泡与桌面的距离OA ＝2m ，求地面上形成的影的面积．小结：课堂作业：课本习题6．7第4、5、6题．课后练习：1．如图1，A 、B 两点被池塘隔开，在AB 外任选一点C ，连结AC 、 BC 分别取其三等分点M 、N 量得 MN ＝38m ．则AB 的长是（）A ． 152mB ．114mC ．76mD ．104m2．小明身高为1.6米，他在距路灯5米处的位置发现自己的影长为1米，他在向前走距离路灯为7米时，他的影长将（）A .增长0.4米B .减少0.4米C .增长1.4米D .减少1.4米图43．如图2，这是圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）的示意图，已知桌面的直径为1.2米，桌面距离地面1米，若灯泡距离地面3米，则地面上阴影部分的面积为．4．如图3，为了测量水塘边A 、B 两点之间的距离，在可以看到的A 、B 的点E 处，取AE 、BE延长线上的C 、D 两点,使得CD ∥AB ，若测得CD ＝5m ，AD ＝15m ，ED =3m ,则A 、B 两点间的距离为________．图1图3D FA B C E G 5．如图4，是一盏圆锥形灯罩AOB ，两母线的夹角90AOB ∠=︒，若灯炮O 离地面的高OO 1是2米时，则光束照射到地面的面积是米6．在6米高的路灯下，身高1.5米的哥哥的影长为1米，身高1.2米的弟弟的影长为2米，那么哥哥和弟弟之间的距离x 的取值范围是 .7．小明、小亮在高为8米的路灯下做游戏，他们发现身高为1.6米的小明在路灯下的影长为1米，身高为1.65米的小亮要想在该路灯下得到一个3.1米长的影子，而且两人的影子要保证在同一直线上，那么两人应该相距米.8．如图，路灯（P 点）距地面8米，身高1.6米的小明从距路灯的底部（O 点）20米的A 点，沿OA 所在的直线行走14米到B 点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？9．如图，有一路灯杆AB (底部B 不能直接到达)，在灯光下，小明在点D 处测得自己的影长DF ＝3m ，沿BD 方向到达点F 处再测得自己得影长FG ＝4m ，如果小明得身高为1.6m ，求路灯杆AB 的高度．10．如图所示，一段街道的两边缘所在直线分别为AB 、PQ ，并且AB ∥PQ ，建筑物的一端DE 所在的直线MN ⊥AB 于点M ，交PQ 于点N ，小亮从胜利街的A 处，•沿着AB 方向前进，小明一直站在点P 的位置等候小亮．（1）请你在图中画出小亮恰好能看见小明时的视线，以及此时小亮所在的位置（•用点C 标出）；（2）已知：MN =20m ，MD =8m ，PN=24m ．求（1）中的点C 到胜利街口的距离CM ．P 第8题图参考答案导学预习：1．40cm 2.D 3.C 4.C活动二尝试交流(1)1.82m(2)4.8m活动三例题学习AB=6.4m变式练习1：路灯离地面的高度是9米．变式练习2：解：（1）由对称性可知AP=BQ，设AP=BQ=xm∵MP∥BD∴△APM∽△ABD∴∴∴x=3∴AB=2x+12=2×3+12=18（m）答：两个路灯之间的距离为18米．（2）设王华走到路灯BD处头的顶部为E，连接CE并延长交AB的延长线于点F，则BF即为此时他在路灯AC的影子长，设BF=ym∵BE∥AC∴△EBF∽△CAF∴，即解得y=3.6，经检验y=3.6是分式方程的解．答：当王华同学走到路灯BD处时，他在路灯AC下的影子长是3.6米．练一练：2．5.1m 3.1.44π课后练习：1．B 2.A 3.0.81π 4.20m 5. 解：由题意知，圆锥的正截面是等腰直角三角形，所以光束照射到地面的半径=OO1=2m，那么光束照射到地面的面积=4π≈12.6米2．6.8. 解：∵∠MAC=∠MOP=90°，∠AMC=∠OMP，∴△MAC∽△MOP．∴，即，解得，MA=5米；同理，由△NBD∽△NOP，可求得NB=1.5米，∴小明的身影变短了5-1.5=3.5米．9. 解：由AB∥CD，得△ABF∽△CDF所以即①由AB∥EF，得△ABG∽△EFG所以即②由①、②得BD=9代入①，得∴AB=6（m）答：路灯杆AB的高度为6m。

相似三角形题型讲解解析

相似三角形题型讲解相似三角形是初中几何的重要内容，包括相似三角形的性质、判定定理及其应用，是中考必考内容，以相似三角形为背景的综合题是常见的热点题型，所以掌握好相似三角形的基础知识至关重要，本讲就如何判定三角形相似，以及应用相似三角形的判定、性质来解决与比例线段有关的计算和证明的问题进行探索。

一、如何证明三角形相似例1、如图：点G 在平行四边形ABCD 的边DC 的延长线上,AG 交BC 、BD 于点E 、F ，则△AGD ∽ ∽ 。

分析：关键在找“角相等”，除已知条件中已明确给出的以外，还应结合具体的图形，利用公共角、对顶角及由平行线产生的一系列相等的角。

本例除公共角∠G 外,由BC ∥AD 可得∠1=∠2，所以△AGD ∽△EGC 。

再∠1=∠2（对顶角），由AB ∥DG 可得∠4=∠G ，所以△EGC ∽△EAB 。

评注：（1）证明三角形相似的首选方法是“两个角对应相等的两个三角形相似”。

（2）找到两个三角形中有两对角对应相等，便可按对应顶点的顺序准确地把这一对相似三角形记下来。

例2、已知△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，BD 是角平分线，求证：△ABC ∽△BCD分析：证明相似三角形应先找相等的角，显然∠C 是公共角，而另一组相等的角则可以通过计算来求得。

借助于计算也是一种常用的方法。

证明：∵∠A=36°，△ABC 是等腰三角形，∴∠ABC=∠C=72° 又BD 平分∠ABC ，则∠DBC=36°在△ABC 和△BCD 中，∠C 为公共角，∠A=∠DBC=36° ∴△ABC∽△BCD例3：已知，如图，D 为△ABC 内一点连结ED 、AD ，以BC 为边在△ABC 外作∠CBE=∠ABD，∠BCE=∠BAD 求证：△DBE∽△ABCA B C DEF G 1234ABCD分析：由已知条件∠ABD=∠CBE，∠DBC公用。

所以∠DBE=∠ABC，要证的△DBE和△ABC，有一对角相等，要证两个三角形相似，或者再找一对角相等，或者找夹这个角的两边对应成比例。

探索三角形相似的条件(二)

明三角形相似，进而解决下面的实际问题
吗？
如图，A，B两点被池塘隔开，为测量A，B
两点间的距离，在池塘边任选一点C，连接
AC，BC，并延长AC到D，使CD=
到E，使CE=
1
AC，延长BC
2
1
BC，连接DE，如果测量DE=20m，
2
那么你知道AB的长度吗？
1 1
=
=
2 2

A
1
E
1
5
3
4
F
3
35°
C
B
（1）
35°
3.5
2.5
（2）
迎难而上
例1：如图，D、E分别是∆ABC的边AC
、AB上的点。AE=1.5，AC=2，BC=3
3
，且 = ，求DE的长。

4
A
E
B
D
C
讨论交流提出质疑
1、上述判定定理中的“角”一定是两对应边
的夹角吗？
2、如果△ABC与 △ A'B'C'两边成比例，且其中
使CE=
1
AC，延长BC到E，
2
1
BC，连接DE，如果测量DE=20m，那么
2
你知道AB的长度吗？
1
=
2
1
=
2

=

∠DCE = ∠ACB
2、如图，四边形ABCD的两条对角线相较
于点O，
OA·OC=OB·OD.
(1)找出图中的相似三角形
D
C
3
1（
（
（
(2)找出图中相等的角
=

∠DCE = ∠ACB

相似三角形应用举例

相似三角形应用举例在我们的日常生活和学习中，相似三角形的应用无处不在。

相似三角形是指对应角相等，对应边成比例的两个三角形。

通过利用相似三角形的性质，我们可以解决许多实际问题，下面就让我们一起来看看一些具体的例子。

一、测量物体的高度假设我们想要测量一棵大树的高度，但又无法直接测量。

这时候，相似三角形就派上用场了。

我们可以在同一时刻，在大树旁边立一根已知长度的杆子，然后分别测量杆子的影子长度和大树的影子长度。

因为在同一时刻，太阳光线的角度是相同的，所以杆子和它的影子以及大树和它的影子分别构成了两个相似三角形。

假设杆子的高度为h1，杆子影子的长度为 s1，大树影子的长度为 s2，大树的高度为 h2。

根据相似三角形的性质，我们可以得到：h1 ／ s1 ＝ h2 ／ s2通过已知的 h1、s1 和 s2，就可以计算出大树的高度 h2。

例如，杆子高度为2 米，影子长度为15 米，大树影子长度为9 米。

那么：2 ／ 15 ＝ h2 ／ 915h2 ＝ 2 × 915h2 ＝ 18h2 ＝ 12 米所以，这棵大树的高度约为 12 米。

二、计算河的宽度当我们面对一条河流，想要知道它的宽度，但又无法直接跨越测量时，相似三角形同样能帮助我们解决问题。

我们可以在河的一侧选择一个点A，然后在河的对岸选择一个点B，使得 A、B 两点与河岸基本在同一直线上。

接着，在河的这一侧，沿着河岸选定一个点 C，使得 AC 垂直于河岸，并测量出 AC 的长度。

然后，我们再沿着 AC 的方向向前走一段距离，到达点 D，使得点 D、A、B 三点在同一直线上，并且测量出 CD 的长度。

由于三角形 ABC 和三角形 ADC 有一个共同的角∠A，并且∠ACB＝∠ACD ＝ 90°，所以这两个三角形相似。

假设河宽为AB ＝x，AC ＝a，CD ＝b。

根据相似三角形的性质，我们有：AC ／ AB ＝ CD ／ AC即 a ／ x ＝ b ／ a通过已知的 a 和 b，就可以计算出河的宽度 x。

相似三角形的应用于实际问题求解

相似三角形的应用于实际问题求解相似三角形是几何学中一个重要的概念，广泛应用于实际问题的求解中。

在实际应用中，我们经常会遇到一些无法直接测量或计算的物理量，但通过相似三角形的应用，我们可以利用已知的信息来求解未知量。

本文将以几个实际问题为例，介绍相似三角形的应用方法。

问题一：高楼的高度难以直接测量，如何利用相似三角形求解？解决问题一的方法是利用日晷的阴影来推算高楼的高度。

首先，在一个特定的时间，测量日晷的阴影长度与高楼的阴影长度。

假设日晷的高度为h₁，阴影长度为s₁；高楼的高度为h₂，阴影长度为s₂。

由于日晷和高楼处于相似三角形中，可以建立以下比例关系：h₁/s₁ = h₂/s₂通过已知的日晷高度和阴影长度，可以求解出高楼的高度。

问题二：无法直接测量的河宽，如何利用相似三角形求解？解决问题二的方法是利用两个位置的观测角度来推算河宽。

假设我们站在一岸的A点，观测到对岸的B点在岸边的角度为θ₁；然后我们移动到岸边的C点，观测到对岸的B点在岸边的角度为θ₂。

假设岸边的距离为d，河宽为w。

由于三角形ABC和三角形ABD相似，可以建立以下比例关系：w/d = tan(θ₁)w/(d + AC) = tan(θ₂)通过已知的观测角度和岸边距离，可以求解出河宽。

问题三：测量不便的高山高度，如何利用相似三角形求解？解决问题三的方法是利用水平线和山顶的观测角度来推算高山的高度。

假设我们站在水平线上的A点，观测山顶的角度为θ₁；然后我们移动到水平线上的B点，观测山顶的角度为θ₂。

假设两个观测点之间的距离为d，山顶的高度为h。

由于三角形ABC和三角形ABD相似，可以建立以下比例关系：h/d = tan(θ₁)h/(d + AB) = tan(θ₂)通过已知的观测角度和观测点之间的距离，可以求解出高山的高度。

通过以上实际问题的求解，我们可以看出相似三角形的应用是十分灵活的。

它不仅能够用于测量高度、宽度等无法直接测量的物理量，还可以应用于地理测量、地质勘查、建筑设计等领域。

用相似三角形解决实际问题的步骤和技巧

用相似三角形解决实际问题的步骤和技巧相似三角形是几何学中的一个重要概念，它们在解决实际问题中有着广泛的应用。

本文将介绍用相似三角形解决实际问题的步骤和技巧。

一、了解相似三角形的定义相似三角形是指两个三角形的对应角相等，且对应边的比值相等。

这意味着如果已知一个三角形的一组对应角相等，则可以通过确定比值来确定另一个三角形的对应边长。

二、确定相似三角形的条件在解决实际问题时，我们需要根据已知条件确定相似三角形的条件。

一般来说，常见的相似三角形条件有以下几种：1. AA相似条件：两个三角形的两个角分别相等，则这两个三角形相似。

2. SSS相似条件：两个三角形的三边分别成比例，则这两个三角形相似。

3. SAS相似条件：两个三角形的一对对应边成比例，且夹角相等，则这两个三角形相似。

三、应用相似三角形解决实际问题的步骤解决实际问题时，我们可以按照以下步骤使用相似三角形：1. 了解问题：仔细阅读问题，理解给出的条件和要求。

2. 绘制图形：根据问题中给出的信息，绘制出问题所描述的图形。

确保图形准确无误。

3. 确定相似三角形：根据给出的条件和已知信息，确定哪些三角形是相似的。

4. 建立比例关系：根据相似三角形的性质，建立相应的比例关系。

可以利用两个三角形中对应边的长度比值来建立等式。

5. 求解未知量：利用已知条件和建立的比例关系，求解问题中的未知量。

可以通过代入已知量和已知比例求解。

四、注意事项和技巧在应用相似三角形解决实际问题时，需要注意以下几点：1. 注意单位：在求解时，要根据问题中给出的单位进行计算，并给出相应的单位答案。

2. 注意精度：在计算中，要注意四舍五入和保留有效数字的规则，确保结果的精度符合要求。

3. 检查答案：在求解完毕后，要对结果进行检查，确保符合问题的要求和已知条件。

4. 灵活运用：在实际问题中，可以灵活运用相似三角形解决问题。

有时候需要通过构造相似三角形来求解难题。

综上所述，相似三角形是解决实际问题的有力工具。

4.5相似三角形的性质及其应用(2)

你发现上面两个相似三角形的周长比与相似比有什么关系？面积比与相似比又有什么关系？
周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方
验一验：是不是任何相似三角形都有此关系呢？你能加以验证吗？
A
A’
B
D
C ห้องสมุดไป่ตู้’
D’
C’
已知Δ ABC∽Δ A’ B’ C’，相似比为k，求证:
CABC =k CA ' B 'C '
图4－5－21
例 2 如图 4－5－20 所示，△ ABC 中，点 D，E，F 分 AE 2 别在边 AB，AC，BC 上， DE∥ BC，EF∥ AB，＝，S△ EC 3 ABC＝S，求 S▱ BFED.
图4－5－20
2．如图4－5－25所示，有一块三角形土地，它的底
边BC＝100 m，高AH＝80 m，某单位要沿着底边BC修一座底面是矩形DEFG的大楼．D，G分别在边AB，AC上，若大楼的宽DE是40 m，求这个矩形的面积．
∴ BD＝ EF＝ GK＝ HL ＝ BC－ DC＝ 502－302 － 32 ＝8 cm. ∴共有 40÷ 8－1＝4 个这样的矩形．
1.过E作EF//AB交BC于F,其他条件不变，则
A 30m D
18m
ΔEFC的面积等于多少？□BDEF面积为多少？
的高AD与PN相交于点E。设正方形PQMN 的边长为x毫米。
A
P E N C
因为PN∥BC，所以△APN∽ △ABC 80 x AE PN 所以 = B AD BC Q D M 80–x x 120 = 因此，得 x=48（毫米）。答：------。 80 120
3．如图4－5－26，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝ 30，AB＝50，a，b，c，…是△ABC内部的矩形，它们的一个顶点在AB上，一组对边分别在AC上或与AC平行，另一组对边分别在BC上或与BC平行，若各矩形在AC上的边

利用相似三角形解决问题

利用相似三角形解决问题相似三角形作为几何学中重要的概念，能够帮助我们解决很多问题。

相似三角形之间的对应边成比例，对角也相等，这个性质使得我们可以推导出很多有用的结果。

在本文中，我们将探讨一些利用相似三角形解决问题的方法和技巧。

一、相似三角形的性质与判定条件相似三角形的性质主要表现在两个方面：边比例和角相等。

对于两个相似的三角形ABC和DEF，它们之间的对应边满足以下比例关系：AB/DE = AC/DF = BC/EF同时，它们之间的对应角相等：∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F利用相似三角形的特性，我们可以解决一些几何问题。

这些问题可以通过判定相似三角形的条件来进行求解。

常用的相似三角形判定条件有：1. AA判定法：如果两个三角形的两个角分别相等，则它们是相似的。

2. SAS判定法：如果两个三角形的两个边成比例并且夹角相等，则它们是相似的。

3. SSS判定法：如果两个三角形的三个边成比例，则它们是相似的。

二、利用相似三角形的解题方法1. 求解未知长度通过利用已知三角形相似于未知三角形的边比例关系，我们可以求解未知的边长。

假设有两个相似三角形ABC和DEF，已知三角形ABC的某一边的长度为a，而三角形DEF的相应边的长度为x，可以通过边比例关系求解x的值：a/DE = BC/EF通过这个关系可以解出x的值。

同样的，我们也可以根据已知三角形中的比例关系来求解其他未知边的长度。

2. 求解未知角度利用相似三角形的角相等性质，我们可以求解未知的角度。

假设有两个相似三角形ABC和DEF，已知三角形ABC的某一角度为θ，而三角形DEF的相应角度为α，可以通过角相等关系求解α的值：θ = α通过这个关系可以解出α的值。

同样的，根据已知角度的相等关系，我们也可以求解其他未知角度。

3. 求解面积利用相似三角形的边比例关系，我们可以求解面积。

假设有两个相似三角形ABC和DEF，已知三角形ABC的面积为S，而三角形DEF的面积为T，可以通过边比例关系求解T的值：S/DE² = T/EF²通过这个关系可以解出T的值。

相似三角形在现实生活中的应用

总之，在应用比例解题中，我们需要灵活运用比例的概念和相似三角形的性质，从而解决现实生活中的各种实际问题。
应用比例解题
边长比例+对应角相等
1.使用相似三角形解决实际问题，需要掌握边长比例和对应角相等的概念，并且需要注意确定哪些角度以及哪些边是对应的。
2.当两个三角形相似时，我们可以利用边长比例+对应角相等，通过知道一个确定的边长或角度，来求出其他未知的边长或角度。这种方法常用于建筑工程计算、地图比例尺计算等实际生活中的问题解决。
直角三角形与比例
直角三角形的一条直角边上的中线等于斜边的一半，这可以用于构建相似三角形。
在相似三角形中，两个三角形的对应边的比例相等，可以利用这个性质求解一些实际问题。例如，可以用直角三角形的勾股定理和相似三角形的比例关系求出高度、边长等参数。
相似三角形可以用于估计远处物体的高度、距离等，例如在测量电线塔高度、建筑物高度等方面有广泛应用。
2023/6/1
目录
CONTENTS
相似三角形面积比例为边比例平方
根据公式，可以在实际应用中解决许多与比例相关的问题，例如测量高楼建筑物的高度或深度、估算远离我们的大型物体的大小或形状，以及计算三角形的面积等。此外，通过掌握相似三角形的解题技巧，我们还可以更好地理解几何学中的概念，提高我们的数学素养和应用能力。
1. 通过对应角相等，可以推导出平行线之间的性质。当两条平行线被一条横线所切分时，所形成的对应角相等的三角形也是相似的。这可以帮助我们推导出平行线的基本性质，如平行线上的相邻角互补，平行线之间的距离相等等。
2. 对应角相等还可以用于解决三角形的问题。当两个三角形中对应角相等时，这两个三角形是相似的。利用相似三角形的性质，我们可以解决一些涉及到三角形的问题，如求解三角形的面积、周长等。同时，相似三角形的性质也可以帮助我们推导出勾股定理、正弦定理、余弦定理等三角函数公式。

苏科版九年级数学下册 6用相似三角形解决问题(2)学案

课题：6.6 用相似三角形解决问题（2）班级：姓名：学习目标：1.了解中心投影的意义，通过测量活动，综合运用判定三角形相似的条件和三角形相似的性质解决问题，增强用数学的意识，2.通过操作、观察等数学活动，探究中心投影与平行投影的区别，并运用中心投影的相关知识解决一些实际问题．学习重点、难点：重点：掌握中心投影的相关知识，用相似三角形的知识解决问题．难点：将实际问题抽象、建模以辅助解题．【创设情境】观察：夜晚，当人在路灯下行走时，会看到：离开路灯越远，影子就越 . 【合作探究】1.在的照射下，物体所产生的影称为中心投影.2.在点光源的照射下，不同物体的物高与影长成比例吗？____________例题讲解：例1：三根底部在同一直线上的旗杆竖立在地面上，第一根、第二根旗杆在同一灯光下的影长如图，请你在图上画出光源的位置，并画出第三根旗杆在该灯光下的影长。

例2：如图.有一路灯杆AB，小明在灯光下看到自己的影子DF.（1）在图中有相似三角形吗？如有，请写出.（2）如果已知BD=3m,DF=1m,小明身高为1.6m,你能求得路灯杆的高吗？例3：如图，河对岸有一灯杆AB，在灯光下，小丽在点D处测得自己的影长DF＝3 m，沿BD方向前进到点F处测得自己的影长FG＝4 m．设小丽的身高为1.6 m，求灯杆AB的高度．例4：如图，两颗树的高度分别为AB＝6m，CD＝8m，两树的根部间的距离AC＝4m，小强沿着正对这两棵树的方向从左向右前进，如果小强的眼睛与地面的距离为1.6m，当小强与树AB的距离小于多少时，就不能看到树CD的树顶D？【当堂反馈】1.在同一时刻的阳光下,小明的影长比小强的影子长,那么在同一路灯下( )A.小明的影子比小强的影子长B.小明的影子比小强的影子短C.小明的影子和小强的影子一样长D.俩人的影长不确定2.如图，身高为1.6m的某学生想测量一棵大树的高度，他沿着树影BA由点B向点A走去，当走到点C时，他的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC=3.2m，CA=0.8m，则树的高度为.（第2题）（第3题）（第4题）（第5题）（第6题）3.如图，要测水池对岸两点A、B的距离，如果测得AC、BC、DC的长分别为48m、•72m、12m，那么只要在BC上取点E，使CE=________m，就可通过量出DE的长来求出AB的长，这时若量得DE=20.5m，则A、B两点的距离为________m．4.如图，小彤晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1 m，继续往前走3 m到达E处时，测得影子EF的长为2 m，已知小彤的身高是1.5 m，那么路灯A的高度AB为.5.晚上，小亮走在大街上．他发现：当他站在大街两边的两盏路灯之间，并且自己被两边路灯照在地上的两个影子成一直线时，自己右边的影子长为3米，左边的影子长为1.5米．又知自己身高1.80米，两盏路灯的高相同，两盏路灯之间的距离为12米，则路灯的高为________6.圆形餐桌正上方有一个灯泡A，灯泡A照射到餐桌后在地面上形成阴影.已知餐桌的半径为0.4m、高为1m，灯泡距地面2.5m,则地面上阴影部分的面积为.7.李华晚上在两站相距50m的路灯下来回散步，DF=50m．已知李华身高AB=1.7m，灯柱CD=EF=8.5m．（1）若李华距灯柱CD的距离为DB=xm，他的影子BQ=ym，求y关于x的函数关系式．（2）若李华在两路灯之间行走，则他前后两个影子PB+BQ是否会发生变化？请说明理由．【课堂小结】通过本节课的学习，你有什么体会？拓展提升：在一条平坦的公路旁边建造了A、B两套住房，这两套住房与小明所就读的学校在同一条直线上，如图，已知A套住房有6层，每层高4米；B栋楼共3层，每层也是4米，且A、B两栋楼相距30米，小明家住在A栋楼的第5层，放学后，小明从学校向这两栋楼走来。

6.7用相似三角形解决问题(2)-苏科版九年级数学下册培优训练

6.7用相似三角形解决问题(2)-苏科版九年级数学下册培优训练一、选择题1、下列属于中心投影的有（）①台灯下笔筒的影子；②房后的荫凉；③美术课上，灯光下临摹用的静物的影子；④房间里花瓶在灯光下的影子；⑤在空中低飞的老鹰在地上的影子．A．5个B．4个C．3个D．2个2、如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为2：5，且三角板的一边长为8cm．则投影三角板的对应边长为（）A．20cm B．10cm C．8cm D．3.2cm3、圆桌面（桌面中间有一个直径为0.4 m的圆洞）正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射平行于地面的桌面后，在地面上形成如图的圆环形阴影．已知桌面直径为1.2 m，桌面离地面1 m，若灯泡离地面3 m，则地面圆环形阴影的面积是（）A．0.324π m2B．0.288π m2 C．1.08π m2D．0.72π m24AC走向路灯BD，当他走到点P时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部，当他向前再步行20 m到达点Q时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部，已知丁轩同学的身高是1.5 m，两个路灯的高度都是9m，则两路灯之间的距离是( )A．24 m B．25 m C．28m D．30m5、如图，杆AO，BO′在地面上的投影分别是A′O，B′O′，则下列判断正确的是（）A．B．C．D．以上三种都有可能6、如图所示，平地上一棵树高为6米，两次观察地面上的影子，第一次是当阳光与地面成60°时，第二次是阳光与地面成30°时，第二次观察到的影子比第一次长（）A. 6-3B. 4C. 6D. 3-2二、填空题7、圆桌面(桌面中间有一个直径为1 m的圆洞)正上方的灯泡(看作一个点)发出的光线照射平行于地面的桌面后，在地面上形成如图所示的圆环形阴影．已知桌面直径为2 m，桌面离地面1 m，若灯泡离地面2 m，则地面圆环形阴影的面积是_________．8、下列现象属于中心投影的是___________（只填序号）．9、如图是小孔成像原理的示意图，根据图中标注的尺寸，如果物体AB的高度为36 cm，那么它在暗盒中所成的像CD的高度应为cm.10、如图，三角尺在灯泡O的照射下在墙上形成影子．现测得OA=20 cm，OA'=50 cm，这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长之比是________．11、如图，甲、乙两盏路灯底部间的距离是30米，一天晚上，当小华走到距路灯乙底部5米处时，发现自己的身影顶部正好接触路灯乙的底部．已知小华的身高为1.5米，那么路灯甲的高为______米．12、如图，我方侦察员在距敌方200 m处发现敌人的一座建筑物，但不知其高度又不能靠近建筑物进行测量，机灵的侦察员食指竖直举在右眼前，闭上左眼，并将食指前后移动，使食指恰好将该建筑物遮住．若此时眼睛到食指的距离约为40 cm，食指的长约为8 cm，敌方建筑物的高度为_________13、如图，火焰的光线穿过小孔O，在竖直的屏幕上形成倒立的实像，像的长度BD＝2cm，OA＝60cm，OB＝15cm，则火焰AC的长度为．14、墙壁CD上D处有一盏灯（如图），小明站在A处测得他的影长与身长相等，都为1.6m，他向墙壁走1m到B处时发现影子刚好落在A点，则灯泡与地面的距离CD= ．三、解答题15、如图，花丛中有一路灯杆AB，在灯光下，大华在D点处的影长DE＝3 m，沿BD方向行走到达G点，DG＝5 m，这时大华的影长GH＝5 m．如果大华的身高为2 m，求路灯杆AB的高度．16、如图，王华同学在晚上由路灯AC走向路灯BD，当他走到点P时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部，当他向前再步行12m到达Q点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部．已知王华同学的身高是1.6m，两个路灯的高度都是9.6m．（1）求两个路灯之间的距离；（2）当王华同学走到路灯BD处时，他在路灯AC下的影子长是多少？17、高高的路灯挂在路边的上方，高傲而明亮，小明拿着一根2米长的竹竿，想量一量路灯的高度，直接量是不可能的．于是，他走到路灯旁的一个地方，竖起竹竿（即AE），这时，他量了一下竹竿的影长（AC）正好是1米，他沿着影子的方向走，向远处走出两根竹竿的长度（即AB=4米），他又竖起竹竿，这时竹竿的影长正好是一根竹竿的长度（即BD=2米）．此时，小明抬头瞧瞧路灯，若有所思地说：“噢，我知道路灯有多高了！”同学们，请你和小明一起解答这个问题：（1）在图中作出路灯O的位置，并作OP⊥l于P．（2）求出路灯O的高度，并说明理由18、如图，在路灯下，小明的身高如图中线段AB所示，他在地面上的影子如图中线段AC所示，小亮的身高如图中线段FG所示，路灯灯泡在线段DE上．(1)请你确定灯泡所在的位置，并画出小亮在灯光下形成的影子；(2)如果小明的身高AB＝1.6 m，他的影子长AC＝1.4 m，且他到路灯的距离AD＝2.1 m，求灯泡的高．19、如图，电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB∥CD，AB＝1.5 m，CD＝4.5 m，点P到CD的距离为2.7 m，求AB与CD间的距离.6.7用相似三角形解决问题(2)-苏科版九年级数学下册培优训练（答案）一、选择题1、下列属于中心投影的有（ C ）①台灯下笔筒的影子；②房后的荫凉；③美术课上，灯光下临摹用的静物的影子；④房间里花瓶在灯光下的影子；⑤在空中低飞的老鹰在地上的影子．A．5个B．4个C．3个D．2个2、如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为2：5，且三角板的一边长为8cm．则投影三角板的对应边长为（）A．20cm B．10cm C．8cm D．3.2cm【解析】设投影三角尺的对应边长为xcm，∵三角尺与投影三角尺相似，∴8：x＝2：5，解得x＝20．故选：A．3、圆桌面（桌面中间有一个直径为0.4 m的圆洞）正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射平行于地面的桌面后，在地面上形成如图的圆环形阴影．已知桌面直径为1.2 m，桌面离地面1 m，若灯泡离地面3 m，则地面圆环形阴影的面积是（D）A．0.324π m2B．0.288π m2 C．1.08π m2D．0.72π m24AC走向路灯BD，当他走到点P时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部，当他向前再步行20 m到达点Q时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部，已知丁轩同学的身高是1.5 m，两个路灯的高度都是9m，则两路灯之间的距离是( D )A．24 m B．25 m C．28m D．30m5、如图，杆AO，BO′在地面上的投影分别是A′O，B′O′，则下列判断正确的是（B）A．B．C．D．以上三种都有可能6、如图所示，平地上一棵树高为6米，两次观察地面上的影子，第一次是当阳光与地面成60°时，第二次是阳光与地面成30°时，第二次观察到的影子比第一次长（B）A. 6-3B. 4C. 6D. 3-2二、填空题7、圆桌面(桌面中间有一个直径为1 m的圆洞)正上方的灯泡(看作一个点)发出的光线照射平行于地面的桌面后，在地面上形成如图所示的圆环形阴影．已知桌面直径为2 m，桌面离地面1 m，若灯泡离地面2 m，则地面圆环形阴影的面积是3π_m2 ．8、下列现象属于中心投影的是____③④_______（只填序号）．9、如图是小孔成像原理的示意图，根据图中标注的尺寸，如果物体AB的高度为36 cm，那么它在暗盒中所成的像CD的高度应为16 cm.10、如图，三角尺在灯泡O的照射下在墙上形成影子．现测得OA=20 cm，OA'=50 cm，这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长之比是____2:5____．11、如图，甲、乙两盏路灯底部间的距离是30米，一天晚上，当小华走到距路灯乙底部5米处时，发现自己的身影顶部正好接触路灯乙的底部．已知小华的身高为1.5米，那么路灯甲的高为___9 ____米．12、如图，我方侦察员在距敌方200 m处发现敌人的一座建筑物，但不知其高度又不能靠近建筑物进行测量，机灵的侦察员食指竖直举在右眼前，闭上左眼，并将食指前后移动，使食指恰好将该建筑物遮住．若此时眼睛到食指的距离约为40 cm，食指的长约为8 cm，敌方建筑物的高度为___40m ______13、如图，火焰的光线穿过小孔O，在竖直的屏幕上形成倒立的实像，像的长度BD＝2cm，OA＝60cm，OB＝15cm，则火焰AC的长度为．【解析】连接AC、BD，∵CA⊥AB，DB⊥AB，∴∠CAO＝∠DBO＝90°，∵∠COA＝∠DOB，∴△AOC∽△BOD，∴，∵BD＝2cm，OA＝60cm，OB＝15cm，∴，解得：AC＝8cm，答：火焰AC的长度为8cm．故答案为8cm．14、墙壁CD上D处有一盏灯（如图），小明站在A处测得他的影长与身长相等，都为1.6m，他向墙壁走1m到B处时发现影子刚好落在A点，则灯泡与地面的距离CD= ．【解答】解：如图：X根据题意得：BG=AF=AE=1.6m，AB=1m∵BG ∥AF ∥CD, ∴△EAF ∽△ECD ，△ABG ∽△ACD, ∴AE ：EC=AF ：CD ，AB ：AC=BG ：CD设BC=xm ，CD=ym ，则CE=（x+2.6）m ，AC=（x+1）m ，则, 即=，解得：x=，把x=代入=，解得：y=，∴CD=m ．故答案为：m ．三、解答题15、如图，花丛中有一路灯杆AB ，在灯光下，大华在D 点处的影长DE ＝3 m ，沿BD 方向行走到达G 点，DG ＝5 m ，这时大华的影长GH ＝5 m ．如果大华的身高为2 m ，求路灯杆AB 的高度．解：∵CD ∥AB ，∴△EAB ∽△ECD.∴CD AB ＝DE BE ，即2AB ＝33＋BD①. ∵FG ∥AB ，∴△HFG ∽△HAB.∴FG AB ＝HG HB ，即2AB ＝5BD ＋5＋5②. 由①②得33＋BD ＝5BD ＋5＋5，解得BD ＝7.5.∴将BD ＝7.5代入①中，解得AB ＝7. 答：路灯杆AB 的高度为7 m.16、如图，王华同学在晚上由路灯AC 走向路灯BD ，当他走到点P 时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC 的底部，当他向前再步行12m 到达Q 点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD 的底部．已知王华同学的身高是1.6m ，两个路灯的高度都是9.6m ．（1）求两个路灯之间的距离；（2）当王华同学走到路灯BD 处时，他在路灯AC 下的影子长是多少？【解答】解：（1）由对称性可知AP=BQ ，设AP=BQ=xm∵MP ∥BD ∴△APM ∽△ABD,∴,∴,∴x=3经检验x=3是原方程的根，并且符合题意．∴AB=2x+12=2×3+12=18（m ）, 答：两个路灯之间的距离为18米．[来源:Z&xx&]（2）设王华走到路灯BD 处头的顶部为E ，连接CE 并延长交AB 的延长线于点F ，则BF 即为此时他在路灯AC 的影子长，设BF=ym∵BE∥AC, ∴△EBF∽△CAF, ∴，即解得y=3.6，,经检验y=3.6是分式方程的解．答：当王华同学走到路灯BD处时，他在路灯AC下的影子长是3.6米．17、高高的路灯挂在路边的上方，高傲而明亮，小明拿着一根2米长的竹竿，想量一量路灯的高度，直接量是不可能的．于是，他走到路灯旁的一个地方，竖起竹竿（即AE），这时，他量了一下竹竿的影长（AC）正好是1米，他沿着影子的方向走，向远处走出两根竹竿的长度（即AB=4米），他又竖起竹竿，这时竹竿的影长正好是一根竹竿的长度（即BD=2米）．此时，小明抬头瞧瞧路灯，若有所思地说：“噢，我知道路灯有多高了！”同学们，请你和小明一起解答这个问题：（1）在图中作出路灯O的位置，并作OP⊥l于P．（2）求出路灯O的高度，并说明理由解：（1）（2）由于BF=DB=2（米），即∠D=45°，所以，DP=OP=灯高，△COP中AE⊥CP，OP⊥CP，∴AE∥OP ∴△CEA∽△COP，即，设AP=x，OP=h则：①，DP=OP表达为2+4+x=h②，联立①②两式得：x=4，h=10，∴路灯有10米高．18、如图，在路灯下，小明的身高如图中线段AB所示，他在地面上的影子如图中线段AC所示，小亮的身高如图中线段FG所示，路灯灯泡在线段DE上．(1)请你确定灯泡所在的位置，并画出小亮在灯光下形成的影子；(2)如果小明的身高AB＝1.6 m，他的影子长AC＝1.4 m，且他到路灯的距离AD＝2.1 m，求灯泡的高．解：(1)如图，点O为灯泡所在的位置，线段FH为小亮在灯光下形成的影子.(2)由已知可得，ABOD＝CACD，∴1.6OD＝1.41.4＋2.1，∴OD＝4 m，∴灯泡的高为4 m.19、如图，电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB∥CD，AB＝1.5 m，CD＝4.5 m，点P到CD的距离为2.7 m，求AB与CD间的距离.解：∵AB∥CD，∴△PAB∽△PCD.设CD与AB间的距离为x m，则ABCD＝2.7－x2.7，即1.54.5＝2.7－x2.7，解得x＝1.8，∴AB与CD间的距离是1.8 m.11 / 11。

人教版初中九年级全一册数学教学课件第二十七章相似相似三角形应用举例(第2课时)

人教
数学
9年级/全
第二十七章相似
学习新知
检测反馈
问题思考
学习新知
如图所示，屋顶上有一只猫，院子里有一只小老鼠，若猫看见了小老鼠，则小老鼠就会有危险，小老鼠在墙的哪部
分活动是安全的?试画出小老鼠在墙的左端的安全区.
(教材例6)如图(1)所示，左、右并排的两棵大树的高分别为AB=8 m 和CD=12 m，两树底部的距离BD=5 m，一个人估计自己眼睛距地面
1
即BE=2.7× 0.9 =3(m). ∴AB=AE+EB=1.2+3=4.2(m).
答:树高为m.
【归纳】 (1)求树高常用的方法:①根据相似三角
形对应线段成比例，列方程求解即可;②在
同一时刻，物体的实际高度和影长成比例
，据此列方程即可求解.
(2)求树高常用的辅助线:①作垂直，构造相似三角形;②作平行，构造相似三角形;③延长两条直线相交，构造相似三角
解析:如图(2)所示，过点C作 CE⊥AB于点E.根据题意，在 Rt△ACE中，CE=35 m， ∠α=45°，∴AE=35 m.则AB的长为AE+BE=36.4 m.
3.如图所示，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测
量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保
持水平，并且边DE与点B在同一直线上.已知纸板的两
条直角边DE=40 cm，EF=20 cm，测得边DF离地面的
高度AC=1.5 m，CD=8 m，则树高AB= 5.5 m.
解析:∵∠DEF=∠BCD=90°，
∠∴DBE=CF∠ DDDCE，，∴∵△DDEE=F4∽0 △cDmC=B0.，4
m，EF=20 cm=0.2 m，AC=1.5

相似三角形解题方法技巧

等，两三角形相似
b)己知两边对应成比例
找夹角相等两边对应成比例且夹角相等，两
三角形相似
找第三边也对应成比例三边对应成比例，
两三角形相似
找一个直角斜边、直角边对应成比例，两个
直角三角形相似
找另一角
两角对应相等，两三角形相似
c)己知一个直角找两边对应成比例判定定理1或判定定理4
找顶角对应相等判定定理1
例3：如图5，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高， G是DC延长线上一点，过B作BE⊥AG，垂足为E，交CD于点F．
求证：CD2＝DF·DG．
G
E
C
A
FB D
小结：
证明等积式思路口诀： “遇等积，化比例：横找竖找定相似；不相似，不用急：等线等比来代替。
、证比例式和等积式的方法：对线段比例式或等积式的证明：
例1：如图3，△ABC中，AD平分∠BAC， AD的垂直平分线FE 交BC的延长线于E．求证：DE2＝BE·CE．
分析：
1. 等比过渡法（等比代换法）当用三点定形法不能确定三角形，同时也无等线段代换时，
可以考虑用等比代换法，即考虑利用第三组线段的比为比例式搭桥，也就是通过对已知条件或图形的深入分析，找到与求证的结论中某个比相等的比，并进行代换，然后再用三点定形法来确定三角形。
有些学生在寻找条件遇到困难时，往往放弃了基本规律而去乱碰乱撞，乱添辅助线，这样反而使问题复杂化，效果并不好，应当运用基本规律去解决问题。
例1、已知:如图,ΔABC中, CE⊥AB,BF⊥AC.
求证: AE AC AF BA
（判断“横定”还是“竖定”？）
例2、如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，∠BAC的平分线分别交BC、CD于点E、F，AC·AE=AF·AB吗？说明理由。分析方法： 1）先将积式______________ 2）______________（ “横定”还是“竖定”？）

相似三角形边长比问题

相似三角形边长比问题相似三角形是指两个或多个三角形的对应角相等，并且对应边成比例。

在解决相似三角形问题时，经常会涉及到计算边长比的问题。

本文将介绍相似三角形边长比的计算方法，并通过几个实例进行说明。

1. 对应边长比的定义在相似三角形中，对应边的长度比等于对应角的度数比。

具体而言，设对应边的长度分别为a和b，对应角的度数分别为A和B，那么有如下比例关系：a/b = sin(A)/sin(B)2. 判断相似三角形在求解相似三角形边长比之前，首先需要判断给定的三角形是否相似。

常用的判定方法有以下几种：(1) AA判定法：如果两个三角形的两个角分别相等，则这两个三角形相似。

(2) SSS判定法：如果两个三角形的三条边分别成比例，则这两个三角形相似。

(3) SAS判定法：如果两个三角形的一个角相等，而较它对边的两条邻边成比例，则这两个三角形相似。

3. 实例分析为了更好地理解相似三角形边长比的计算方法，我们通过几个实例进行说明。

例 1：已知两个相似三角形的一条边长比为2：3，另一条边长比为4：5，求这两个相似三角形的边长比。

解：设两个相似三角形的对应边分别为a和b，根据定义可以得出如下比例：a/b = 2/3a/b = 4/5将两个比例式联立，消去变量a/b得到：2/3 = 4/510 = 12上述等式显然不成立，说明不存在满足条件的相似三角形。

例 2：已知两个相似三角形的一个角的度数为30°，且较其对边的两条邻边的比为1：3，求这两个相似三角形的边长比。

解：设对应边的长度分别为a和b，根据SAS判定法可知这两个三角形相似。

根据给定条件可以得出如下比例：a/b = 1/3A =B = 30°由三角函数的性质可知：sin(A) = sin(B) = sin(30°) = 1/2将边长比的定义式联立，消去变量sin(A)/sin(B)得到：a/b = (1/2)/(1/2)a/b = 1因此，这两个相似三角形的边长比为1：1。

相似三角形专题(动点问题)

相似三角形应用专题（二）动态几何中的相似三角形例题讲解一：如图，在梯形中，，，，，梯形的高为．动ABCD AD BC ∥3AD =5DC =10BC =4点从点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点运动；动点同时从点出发沿线M B BC C N C 段以每秒1个单位长度的速度向终点运动．设运动的时间为（秒）．CD D t （1）当时，求的值；MN AB ∥t （2）试探究：为何值时，为直角三角形．t MNC △变式练习1-1：如图所示，在ΔABC 中，BA=BC=20cm ，AC=30cm ，点P 从A 点出发，沿着AB 以每秒4cm 的速度向B 点运动；同时点Q 从C 点出发，沿CA 以每秒3cm 的速度向A 点运动，设运动时间为x 。

（1）当x 为何值时，PQ∥BC？（2）当，求的值；（3）ΔAPQ 能否与ΔCQB 相31=∆∆ABCBCQ S S ABCBPQ S S ∆∆似？若能，求出AP 的长；若不能，请说明理由。

变式练习1-2：如图，已知直线的函数表达式为，且与轴，轴分别交于两点，l 483y x =-+l x y A B ，动点从点开始在线段上以每秒2个单位长度的速度向点移动，同时动点从点开始在线Q B BA A P A 段上以每秒1个单位长度的速度向点移动，设点移动的时间为秒．AO O Q P ，t （1）求出点的坐标；A B ，（2）当为何值时，与相似？t APQ △AOB △（3）求出（2）中当与相似时，线段所在直线的APQ △AOB △PQ函数表达式．图-2A D O BC 21MN图-1AD BM N12图-3A D O BC 21MNO例题讲解二：在图1至图3中，直线MN 与线段AB 相交于点O ，∠1 = ∠2 = 45°．（1）如图1，若AO = OB ，请写出AO 与BD 的数量关系和位置关系；（2）将图1中的MN 绕点O 顺时针旋转得到图2，其中AO = OB ．求证：AC = BD ，AC ⊥ BD ；（3）将图2中的OB 拉长为AO 的k 倍得到图3，求ACBD的值．变式练习2-1：已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90º，∠A＝30º，点P在AC上，且∠MPN＝90当点P为线段AC的中点，点M、N分别在线段AB、BC上时（如图1），过点P作PE⊥AB于点3E，PF⊥BC于点F，可证Rt△PME∽Rt△PNF，得出PN＝PM．（不需证明）2当PC＝PA，点M、N分别在线段AB、BC或其延长线上，如图2、图3这两种情况时，请写出线段PN、PM之间的数量关系，并任选取一给予证明．变式练习2-2：如图1，在同一平面内,将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，它们的斜边长为2，若∆ABC固定不动，∆AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E(点D不与点B重合,点E不与点C重合),设BE=m，CD=n.（1）请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明.（2）求m与n的函数关系式，直接写出自变量n的取值范围.（3）以∆ABC的斜边BC所在的直线为x轴，BC边上的高所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图12).在边BC上找一点D，使BD=CE，求出D点的坐标，并通过计算验证BD＋CE=DE.222（4）在旋转过程中,(3)中的等量关系BD＋CE=DE是否始终成立,若成立,请证明,若不成立,请说222明理由.例题讲解三：如图１，中，，cm ，矩形的长和宽PMN R t △90P ∠=oPM PN =，8MN =ABCD 分别为8cm 和2cm ，点和点重合，和在一条直线上．令不动，矩形C M BC MN PMN R t △沿所在直线向右以每秒1cm 的速度移动（如图２），直到点与点重合为止．设移动ABCD MN C N 秒后，矩形与重叠部分的面积为．求与之间的函数关系式．x ABCD PMN △y 2cmyx N２图２图１N２图２图１变式练习3-1：如图，在等腰梯形中，ABCD ，，，．等腰直角三角形的斜边，AB DC ∥45A =o ∠10cm AB =4cm CD =PMN 10cm MN =点与点重合，和在一条直线上，设等腰梯形不动，等腰直角三角形沿A N MN AB ABCD PMN 所在直线以的速度向右移动，直到点与点重合为止．AB 1cm/s N B （1）等腰直角三角形在整个移动过程中与等腰梯形重叠部分的形状由PMN ABCD 形变化为形；（2）设当等腰直角三角形移动时，等腰直角三角形与等腰梯形重叠部分的PMN (s)x PMN ABCD 面积为，求与之间的函数关系式；2(cm )y y x （3）当时，求等腰直角三角形与等腰梯形重叠部分的面积．4(s)x =PMN ABCD A（N ）MPA NM PBA（N ）MPA NM P例题讲解四：如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题：（1）当t＝2时，判断△BPQ的形状，并说明理由；（2）设△BPQ的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；（3）作QR//BA交AC于点R，连结PR，当t为何值时，△APR∽△PRQ？变式练习4-1：如图，在梯形ABCD 中，，，，，点由B 出发沿BD 方向匀速运动，AD BC ∥6cm AD =4cm CD =10cm BC BD ==P 速度为1cm/s ；同时，线段EF 由DC 出发沿DA 方向匀速运动，速度为1cm/s ，交于Q ，连接BD PE ．若设运动时间为（s ）（）．解答下列问题：t 05t <<（1）当为何值时，？t PE AB ∥（2）设的面积为（cm 2），求与之间的函数关系式；PEQ △y y t （3）是否存在某一时刻，使？t 225PEQ BCDS S =△△AEDBFAE DBF变式练习4-2：在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC = 3，AB = 5．点P 从点C 出发沿CA 以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动，到达点A 后立刻以原来的速度沿AC 返回；点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动．伴随着P 、Q 的运动，DE 保持垂直平分PQ ，且交PQ 于点D ，交折线QB -BC -CP 于点E ．点P 、Q 同时出发，当点Q 到达点B 时停止运动，点P 也随之停止．设点P 、Q 运动的时间是t 秒（t ＞0）．（1）当t = 2时，AP =，点Q 到AC 的距离是；（2）在点P 从C 向A 运动的过程中，求△APQ 的面积S 与t 的函数关系式；（不必写出t 的取值范围）（3）在点E 从B 向C 运动的过程中，四边形QBED 能否成为直角梯形？若能，求t 的值．若不能，请说明理由；（4）当DE 经过点C 时，请直接写出t 的值．11。

相似三角形的应用举例

相似三角形的应用举例相似三角形的应用目的：利用相似三角形的性质解决实际问题．中考基础知识通过证明三角形相似线段成比例备考例题指导例1．如图，P是△ABC的BC边上的一个动点，且四边形ADPE是平行四边形．（1）求证：△DBP∽△EPC；（2）当P点在什么位置时，S ADPE= S△ABC，说明理由．分析：（1）证明两个三角形相似，常用方法是证明两个角对应相等，题目中有 ADPE 平行线角相等，命题得证．（2）设 =x，则 =1-x，ADPE DP∥AC，EP∥AB，△BDP∽△BAC △CPE∽△CBA∴ =（）2=（1-x）2， =（）2=x2∴ =x2+（1-x）2．∵S ADPE= S△ABC，即 = ．∴x2+（1-x）2= （转化为含x的方程）x= ，∴ = ．即P应为BC之中点．例2．已知△ABC中，∠ACB=90°，过点C作CD⊥AB于D，且AD=m，BD=n，AC2：BC2=2：1，又关于x 的方程 x2-2（n-1）x+m2-12=0的两个实数根的差的平方小于192，求m，n为整数时，•一次函数y=mx+n的解析式．分析：这是一个几何、代数综合题，由条件发现，建立关于m，n的方程或不等式，•求出m，n再写出一次函数．抓条件：AC2：BC2=2：1做文章（转化到m，n上）．双直角图形有相似形比例式（方程）∠ACB=90°，CD⊥AB Rt△BCD∽Rt△BACBC2=BDBA，同理有AC2=ADAB，∴ = =m=2n ①抓条件：x1+x2=8（n-1），x1x2=4（m2-12）．由（x1-x2）2192 配方（x1+x2）2-4x1x2192．（n-1）2-16（m2-12）192，2-m2-8n+40．②①代入② n ．又由△≥0得4（n-1）2-4× （m2-12）≥0，①代入上式得n≤2．③由n ，n≤2得n≤2．∵n为整数，∴n=1，2．∴m=2，4∴y=2x+1，或y=4x+2．遇根与系数关系题目则用韦达定理，但必须考虑△≥0．备考巩固练习1．如图，在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c．关于x•的一元二次方程x2-2b（a+ ）x+（a+b）2=0的两根之和与两根之积相等，D为AB上一点，DE∥AC 交BC•于E，EF⊥AB，垂足是F．（1）求证：△ABC是直角三角形；（2）若BF=6，FD=4，CE= CD，求CE的长．2．某生活小区的居民筹集资金1600元，计划在一块上、下底分别为10m，20m的梯形空地上,种植花木如图1 （1）他们在△AMD和△BMC地带上种植太阳花，单价为8元/m2，当△AMD 地带种满花后，共花了160元，请计算种满△BMC地带所需的费用．（2）若其余地带要种的有玫瑰和茉莉花两种花木可供选择，单价分别为12元/m2和10元/m2，应选择种哪种花木，刚好用完后筹集的资金？（3）若梯形ABCD为等腰梯形，面积不变（如图2），请你设计一个花坛图案，•即在梯形内找到一点P，使得△APD≌△BPC且S△APD=S△BPC，并说出你的理由．．（1）如图1，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=b，CD=a，E为AD边上的任意一点，EF∥AB，且EF交于点F，某学生在研究这一问题时，发现如下事实：①当 =1时，有EF= ；②当 =2时，有EF= ；③当=3时，有EF= ．当 =k时，参照上述研究结论，•请你猜想用k表示DE的一般结论，并给出证明；（2）现有一块直角梯形田地ABCD（如图2所示），其中AB∥CD，AD⊥AB，AB=310m，• DC=120cm，AD=70m，若要将这块分割成两块，由两位农户来承包，要求这两块地均为直角梯形，且它们的面积相等，请你给出具体分割方案．答案:1．（1）由x1+x2=x1x2得2b（a+ ）=（a+b）22ab+c2=a2+b2+2ab∴△ABC是直角三角形．∴c2=a2+b2（2）易证△EFD∽△EDB，∴EF2=DFDB=40．设CE=x，则CD= x，∴DE=（ x）2-x2=40 x=4 ．2．（1）∵四边形ABCD是梯形（见图）．∴AD∥BC，∴∠MAD=∠MCB，∠MDA=∠MBC，∴△AMD∽△CMB，∴ =（）2= ．∵种植△AMD地带花带160元．∴ =2（m2）∴S△OMB=80（m2）∴△BMC地带的花费为80×8=640（元）（2）设△AMD的高为h1，△BMC的高为h2，梯形ABCD的高为h∵S△AMD= ×10h2=20 ∴∵ = ∴h2∴S梯形ABCD= （AD+BC）h= ×30×12=180∴S△AMB + S△DMC =180-20-80=80（m2）∴160+160+80×12=1760（元）又：160+640+80×10=1600（元）∴应种值茉莉花刚好用完所筹集的资金．（3）点P在AD、BC的中垂线上（如图），此时，PA=PD，PB=PC．∵AB=DC∴△APB≌△DPC．设△APD的高为x，则△BPC高为（12-x），∴S△APD = ×10x=5x，S△BPC = ×20（12-x）=10（12-x）．当S△APD =S△BPC即5x=10（12-x）=8．∴当点P在AD、BC的中垂线上且与AD的距离为8cm 时，S△APD =S△BPC．3．解：（1）猜想得：EF证明：过点E作BC的平行线交AB于G，交CD的延长线于H．∵AB∥CD，∴△AGE∽△DHE，∴ ．又EF∥AB∥CD，∴CH=EF=GB，∴DH=EF-a，AG=b-EF，∴ =k，可得EF= ．（2）在AD上取一点EF∥AB交BC于点F，设 =k，则EF= ，DE= ，若S梯形DCFE=S梯形ABFE，则S梯形ABCD=2S梯形DCFE∵梯形ABCD、DCEF为直角梯形∴ ×70=2× （170+ ）× ，化简得12k2-7k-12=0，解得k1= ，k2=- （舍去）∴DP= =40，所以只需在AD上取点E，使DE=40m，作EF∥AB（或EF⊥DA），即可将梯形分成两个直角梯形，且它们的面积相等．。