初中数学相似三角形知识库平行线分线段成比例经典例题与变式练习(精选题目)

平行线分线段成比例
平行线分线段成比例定理及其推论
1. 平行线分线段成比例定理
如下图，如果1l ∥2l ∥3l ，则
BC EF AC DF =，AB DE AC DF =，AB AC
DE DF
=
. l 3
l 2l 1F
E D C
B A
2. 平行线分线段成比例定理的推论：如图，在三角形中，如果DE BC ∥，则
AD AE DE
AB AC BC
==
A
B
C
D
E
E
D
C B A
3. 平行的判定定理：如上图，如果有
BC
DE
AC AE AB AD =
=，那么DE ∥ BC 。

专题一、平行线分线段成比例定理及其推论基本应用
【例1】 如图，DE BC ∥，且DB AE =,若510AB AC ==，，求AE 的长。

E
D
C
B
A
【例2】 如图，已知////AB EF CD ，若AB a =，CD b =，EF c =，求证：1
11c a b
=+.
F
E D
C
B
A
【巩固】如图，AB BD ⊥，CD BD ⊥，垂足分别为B 、D ，AC 和
BD 相交于点E ，EF BD ⊥，垂足为F .证明：
111
AB CD EF
+=
. F
E
D
C
B
A
【巩固】如图，找出ABD S ∆、BED S ∆、BCD S ∆之间的关系，并证明你的结论.
F
E D
C
B
A
【例3】 如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥， 129AB CD ==，，过对角线交点O 作
EF CD ∥交AD BC ，于E F ，，求EF 的长。

O
F
E
D C
B
A
【巩固】（上海市数学竞赛题）如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AD a BC b E F ==，，，分别是AD BC ，的中点，AF 交BE 于P ，CE 交DF 于Q ，求PQ 的长。

Q
P
F
E
D C
B
A
专题二、定理及推论与中点有关的问题 【例4】 （2007年北师大附中期末试题）
（1）如图（1），在ABC ∆中，M 是AC 的中点，E 是AB 上一点，且14
AE AB =， 连接EM 并延长，交BC 的延长线于D ，则
BC
CD
=_______. （2）如图（2），已知ABC ∆中，:1:3AE EB =，:2:1BD DC =，AD 与CE 相交于F ，则EF AF
FC FD
+ 的值为（ ）
A.5
2 B.1 C.32
D.2
(1)
M
E
D
C B
A
(2)
F E
D C
A
【例5】 （2001年河北省中考试题）如图，在ABC ∆中，D 为BC 边的中点，E 为 AC 边上的任意一点，BE 交AD 于点O . （1）当
1A 2AE C =时，求
AO
AD
的值；
E A
O
（2）当
11A 34AE C =、时，求
AO
AD
的值； （3）试猜想
1A 1AE C n =
+时AO
AD
的值，并证明你的猜想.
【例6】 （2003年湖北恩施中考题）如图，AD 是ABC ∆的中线，点E 在AD 上，F 是BE 延长线与AC 的交点.
（1）如果E 是AD 的中点，求证：
1
2
AF FC =； （2）由（1）知，当E 是AD 中点时，
12AF AE
FC ED
=⋅
成立，若E 是AD 上任意一点（E 与A 、D 不重合），上述结论是否仍然成立，若成立请写出证明，若不成立，请说明理由.
F E D
C
B
A
【巩固】（天津市竞赛题）如图，已知ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上的一点，且BE AC =，延长BE 交AC 于F 。

求证：AF EF =。

F
E
D
C
B
A
【例7】 （宁德市中考题）如图，ABC ∆中，D 为BC 边的中点，延长AD 至E ， 延长AB 交CE 的延长线于P 。

若2AD DE =，求证:3AP AB =。

P
E
D
C
B
A
【巩固】（济南市中考题；安徽省中考题）如图， ABC ∆中，BC a =，若11D E ，分 别是AB AC ，的中点，则111
2
D E a =；
若22D E 、分别是11D B E C 、的中点，则2213224a D E a a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭； 若33D E 、分别是22D B E C 、的中点，则3313724
8
D E a a a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭；
…………
若n n D E 、分别是-1-1n n D B E C 、的中点，则n n D E =_________.
专题三、利用平行线转化比例 【例8】 如图，在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，直线l 平行于BD ，且 与AB 、DC 、BC 、AD 及AC 的延长线分别相交于点M 、N 、R 、S 和P . 求证：PM PN PR PS ⋅=⋅
E n D n E 3D 3E 2D 2E 1
D 1C
B
A
l
S
R P
N
M
O D
C B
A
【巩固】已知，如图，四边形ABCD ，两组对边延长后交于E 、F ，对角线BD EF ∥， AC 的延长线交EF 于G ．求证：EG GF =．
G F
E
C
D
B
A
【例9】 已知：P 为ABC ∆的中位线MN 上任意一点，BP 、CP 的延长线分别交对 边AC 、AB 于D 、E ，求证：
1AD AE
DC EB
+= P
N
M
E D C
B
A
【例10】 在ABC ∆中，底边BC 上的两点E 、F 把BC 三等分，BM 是AC 上的中 线，AE 、AF 分别交BM 于G 、H 两点，求证：::5:3:2BG GH HM =
M
H G F
E
C
B
A
【例11】 如图，M 、N 为ABC ∆边BC 上的两点，且满足BM MN NC ==，一条
平行于AC 的直线分别交AB 、AM 和AN 的延长线于点D 、E 和F . 求证：3EF DE =.
F N
M
E
D C
B
A
【例12】 已知：如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，M 是AB 的中点，分别连 接AC 、BD 、MD 、MC ，且AC 与MD 交于点E ，DB 与MC 交于F . （1）求证：//EF CD
（2）若AB a =,CD b =，求EF 的长.
F
E
M
D
C
B
A
【巩固】（山东省初中数学竞赛题）如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，
396AD BC AB ===，，,4CD =，若EF BC ∥，且梯形AEFD 与梯形EBCF 的周长相
等，求EF 的长。

F E D
C
B
A
【例13】 （山东省竞赛题）如图，ABCD 的对角线相交于点O ，在AB 的延 长线上任取一点E ，连接OE 交BC 于点F ，若AB a AD c BE b ===，，,求BF 的值。

O
F
E
D
C
B
A
【例14】 已知等腰直角ABC ∆中，E 、D 分别为直角边BC 、AC 上的点，且 CE CD =，过E 、D 分别作AE 的垂线，交斜边AB 于L ，K ． 求证：BL LK =．
L K
E
D
C B
A
【习题1】 如已知DE AB ∥，2OA OC OE =⋅，求证：AD BC ∥.
D
O
E
C
B A
【习题2】 在ABC ∆中，BD CE =，DE 的延长线交BC 的延长线于P ，
求证：AD BP AE CP ⋅=⋅.
E D
C
B A
【习题3】 如图，在ABC ∆的边AB 上取一点D ，在AC 取一点E ，使AD AE =， 直线DE 和BC 的延长线相交于P ，求证：
BP BD
CP CE
=
P
E
D
C
B
A。