面面垂直判定

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面面垂直判定定理

A 线线垂直线面垂直
C D
面面垂直
例1.A是Δ BCD所在平面外一点，AB=AD，BC=CD,E是BD 的中点，求证：平面AEC⊥平面BCD
A
B E
C
D
例2 如图,AB是 ⊙O的直径,PA垂直于⊙O 所在的平面,C是圆周上不同于A,B的任意一点,求证:平面PAC⊥平面PBC. 证明: 设已知⊙O平面为α PA 面 , BC 面

A A O
l
O B
B
哪个对?怎么画才对?
10
(4)二面角的范围
[0 ,180 ]
A
。
。
(5)直二面角平面角为直角的二面角叫做直二面角
B
归纳：求二面角大小的步骤为：
（1）找出或作出二面角的平面角；
（2）证明其符合定义(垂直于棱)；
（
两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面相互垂直.

记作:

(1)除了定义之外,如何判定两个平面互相垂直呢? (2)日常生活中平面与平面垂直的例子?
如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？
面面垂直的判定定理
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直
l α l 符号表示： αβ B l β
面面垂直的判定定理
复习
1．线面垂直的定义
如果直线 l 与平面内的任意一条直线都垂直，则称直线 l 和平面互相垂直．记作：l⊥
2．线面垂直的判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．
1 二面角及二面角的平面角
(1)半平面: 平面的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做一个半平面。 (2)二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。

面面垂直的判定定理课件

Part
04
面面垂直的判定定理在几何中的应用
应用场景一：多面体
在多面体中，如果一个平面与多面体的一个面相交，并且交线与多面体的一个顶点垂直，则该平面与多面体的所有面都垂直。这个判定定理在证明多面体的性质和解决相关问题时非常有用。
例如，利用面面垂直的判定定理可以证明正方体的六个面都是正方形，也可以证明长方体的相对两面平行。
复杂几何问题的思考
问题1
在长方体中，如果一个顶点上的三条棱分别与另一个顶点上的三条棱垂直，那么这两个顶点是否
在同一平面上？
问题2
在四面体中，如果一个顶点上的三条棱分别与另一个顶点上的三条棱垂直，那么这两个顶点是否在同一平面上？
问题3
在球体中，是否存在两个点，使得从一个点出发的三条射线分别与从另一个点出发的三条射线垂直？
符号表示
设平面α内有两条相交直线$a$和$b$，平面β内有一直线$c$，若$a ⊥ c$，$b ⊥ c$，则平面α与平面β互相垂直，记作α⊥β。
定理证明
• 证明过程：首先，由于直线$a$和$b$在平面α内相交，且都与直线$c$垂直，根据空间几何的性质，我们知道两条相交的直线确定一个平面。因此，我们可以确定直线$a$和$b$确定的平面记作γ。接下来，由于直线$c$与平面γ内的两条相交直线$a$和$b$都垂直，根据面面垂直的判定定理，我们可以得出结论：平面α与平面γ互相垂直。
相关定理与公式的关联性探讨
定理1
如果一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面垂直，那么这两个平面垂直。
定理2
如果一个平面内的任意一条直线都与另一个平面垂直，那么这两个平面垂直。
公式1
在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和。

线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定和性质

空间中的垂直关系1.线面垂直直线与平面垂直的判定定理:如果 ,那么这条直线垂直于这个平面。

推理模式:直线与平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线。

2.面面垂直两个平面垂直的定义:相交成的两个平面叫做互相垂直的平面。

两平面垂直的判定定理:(线面垂直⇒面面垂直)如果 ,那么这两个平面互相垂直。

推理模式:两平面垂直的性质定理:(面面垂直⇒线面垂直)若两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们的的直线垂直于另一个平面。

一般来说,线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决,其关系为:线线垂直−−−→←−−−判定性质线面垂直−−−→←−−−判定性质面面垂直.这三者之间的关系非常密切,可以互相转化,从前面推出后面就是判定定理,而从后面推出前面就是性质定理.同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题.在空间图形中,高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系,下面举例说明.例题:1.如图,AB 就是圆O 的直径,C 就是圆周上一点,PA ⊥平面ABC.(1)求证:平面PAC ⊥平面PBC;(2)若D 也就是圆周上一点,且与C 分居直径AB 的两侧,试写出图中所有互相垂直的各对平面.2、如图,棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 就是菱形,11B C A B ⊥证明:平面1AB C ⊥平面11A BC3、如图所示,在长方体1111ABCD A B C D -中,AB=AD=1,AA 1=2,M 就是棱CC 1的中点 (Ⅰ)求异面直线A 1M 与C 1D 1所成的角的正切值;(Ⅱ)证明:平面ABM ⊥平面A 1B 1M 14、如图,AB 就是圆Ｏ的直径,Ｃ就是圆周上一点,PA ⊥平面ABC .若AE ⊥PC ,Ｅ为垂足,Ｆ就是PB 上任意一点,求证:平面AEF ⊥平面PBC .5、如图,直三棱柱ABC —A 1B 1C 1 中,AC ＝BC ＝1,∠ACB ＝90°,AA 1 ＝2,D 就是A 1B 1 中点.(1)求证C 1D ⊥平面A 1B ;(2)当点F 在BB 1 上什么位置时,会使得AB 1 ⊥平面C 1DF ？并证明您的结论6、S 就是△ABC 所在平面外一点,SA ⊥平面ABC,平面SAB⊥平面SBC,求证AB ⊥BC 、7、在四棱锥中,底面ABCD 就是正方形,侧面VAD 就是正三角形,平面VAD ⊥底面ABCD证明:AB ⊥平面VAD8、如图,平行四边形ABCD 中,60DAB ︒∠=,2,4AB AD ==,将CBD ∆沿BD 折起到EBD ∆的位置,使平面EDB ⊥平面ABD 、求证:AB DE ⊥VDC B A SAB9、如图,在四棱锥ABCD P -中,平面PAD ⊥平面ABCD,AB=AD,∠BAD=60°,E 、F 分别就是AP 、AD 的中点求证:(1)直线EF ‖平面PCD;(2)平面BEF ⊥平面PAD10、如图,在三棱锥ABC S -中,平面⊥SAB 平面SBC ,AB AS BC AB =⊥,、过A 作SB AF ⊥,垂足为F ,点G E ,分别就是棱SC SA ,的中点。

证明面面垂直的方法

证明面面垂直的方法在日常生活和工作中，我们经常会遇到需要证明物体表面是否垂直的情况。

无论是在建筑工程、家具安装还是科学实验中，确保物体表面垂直是十分重要的。

那么，如何准确地证明一个物体表面是否垂直呢？接下来，我将介绍几种常用的方法来证明面面垂直的有效性。

首先，我们可以使用水平仪来证明物体表面是否垂直。

水平仪是一种测量工具，通常用于检查水平面的水平度。

在证明物体表面垂直时，我们可以将水平仪放置在需要检测的表面上，然后观察水平仪指针的指向。

如果指针指向中心位置，则表明该表面是垂直的；如果指针偏离中心位置，则表明该表面不是垂直的。

通过使用水平仪，我们可以快速、准确地证明物体表面是否垂直。

其次，我们还可以使用垂直尺来证明物体表面是否垂直。

垂直尺是一种具有垂直度量功能的测量工具，通常用于测量墙面、柱子等垂直表面的垂直度。

在证明物体表面垂直时，我们可以将垂直尺放置在需要检测的表面上，然后观察垂直尺的指示。

如果指示在垂直位置，则表明该表面是垂直的；如果指示偏离垂直位置，则表明该表面不是垂直的。

通过使用垂直尺，我们可以有效地证明物体表面是否垂直。

另外，我们还可以使用激光水平仪来证明物体表面是否垂直。

激光水平仪是一种利用激光技术进行水平和垂直测量的仪器，通常用于建筑、装修等领域。

在证明物体表面垂直时，我们可以将激光水平仪放置在需要检测的表面上，然后观察激光线的指向。

如果激光线垂直于地面，则表明该表面是垂直的；如果激光线不垂直于地面，则表明该表面不是垂直的。

通过使用激光水平仪，我们可以快速、精确地证明物体表面是否垂直。

除了以上介绍的方法外，我们还可以通过使用测量工具如测量尺、角尺等来证明物体表面是否垂直。

这些工具在实际工作中都有着重要的应用价值，能够帮助我们准确地证明物体表面是否垂直。

总的来说，证明物体表面是否垂直是一项重要的工作，它涉及到建筑、装修、科学实验等诸多领域。

通过使用水平仪、垂直尺、激光水平仪以及其他测量工具，我们可以有效地证明物体表面是否垂直，从而保证工作的准确性和可靠性。

面面垂直的判定与性质课件

详细描述
如果两个平面都与同一直线垂直，那么这两个平面之间的夹角为90度，即这两个平面互相垂直。
性质3：垂直于同一平面的两条直线互相平行
总结词
如果两条直线都垂直于同一个平面，则这两条直线互相平行。
详细描述
如果两条直线都与同一个平面垂直，那么这两条直线之间的夹角为0度，即这两条直线互相平行。
应用场景1：建筑学中的面面垂直
逆定理的表述
• 逆定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面垂直，则这两个平面互相垂直。
逆定理的证明
• 证明：设两条相交直线为$a$和$b$，它们与平面$\alpha$垂直。根据直线与平面垂直的性质，有$a \perp \alpha$和$b \perp \alpha$。由于$a$和$b$相交，根据平面的性质，过$a$和$b$的平面$\beta$与平面$\alpha$垂直。因此，逆定理得证。
推论
总结词
如果两个平面都垂直于同一个平面，则这两个平面之间的距离相等。
详细描述
根据面面垂直的性质，如果两个平面都与第三个平面垂直，那么这两个平面之间的距离是相等的。这是因为它们都与第三个平面形成相同的角度，所以它们之间的距离也是相
等的。
推论
总结词
如果两个平面都垂直于同一条直线，则这两个平面之间的距离相等。
电子设备设计中，面面垂直的应用有助于提高设备的性能和稳定性。
详细描述
在电子工程中，电路板和电子元件的布局都需要遵循面面垂直的判定与性质。例如，在制造手机的过程中，利用面面垂直的判定方法可以确保屏幕与机壳之间的垂直度，从而提高手机的显示效果和使用寿命。此外，在制造高精度传感器的过程中，也需要利用面面垂直的判定方法来确保传感器的精确度和稳定性。

面面垂直的判定定理和一般性质

面面垂直的判定定理和一般性质一、面面垂直的判定定理和一般性质1、二面角（1）半平面：平面内的一条直线把平面分成两部分，每一部分都叫做半平面。

（2）二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。

这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。

（3）二面角的表示方法①棱为$AB$，面分别为$α$，$β$的二面角记作二面角$α—AB—β$。

②棱为$l$，面分别为$α$，$β$的二面角记作二面角$α—l—β$。

③棱为$AB$，若在$α$，$β$面内分别取不在棱上的点$P$，$Q$，这个二面角可记作二面角$P—AB—Q$。

（4）二面角的平面角在二面角$α—l—β$的棱$l$上任取一点$O$，以点$O$为垂足，在半平面$α$和$β$内分别作垂直于棱$l$的射线$OA$和$OB$，则射线$OA$和$OB$构成的∠$AOB$叫做二面角的平面角。

二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度。

平面角是直角的二面角叫做直二面角。

二面角的平面角的取值范围为$[0°,180°]$。

2、平面与平面垂直定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直，记作$α⊥β$。

判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。

性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

平面与平面垂直的一般性质和结论（1）如果两个平面互相垂直，那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平面。

（2）如果两个平面互相垂直，那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在另一个平面内。

（3）如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面。

（4）三个两两垂直的平面的交线也两两垂直。

二、面面垂直的判定定理的相关例题在正四面体$P-ABC$中，$D$、$E$、$F$分别是$AB$、$BC$、$CA$的中点，下面四个结论中不成立的是___A．$BC$ $∥$ 平面$PDF$B．$DF⊥$ 平面$PAE$C．平面$PDF⊥$ 平面$ABC$D．平面$PAE⊥$ 平面$ABC$答案：C解析：对于A选项，∵$D$、$F$分别为$AB$、$AC$的中点，∴$BC∥DF$，∵$BC\not\subset$平面$PDF$，$DF\subset$平面$PDF$，∴$BC$ $∥$ 平面$PDF$，A选项正确；对于B选项，∵$△ABC$是等边三角形，$E$为$BC$的中点，∴$AE⊥BC$，同理$PE⊥BC$，∵$AE∩PE=E$，∴$BC⊥$平面$PAE$，∵$DF∥BC$，∴$DF⊥$平面$PAE$ ， B选项正确；对于C选项，设$DF∩AE=G$ ，连接$PG$，假设平面$PDF⊥$ 平面$ABC$成立，∵$D$、$F$分别为$AB$、$AC$的中点，∴$DF∥BC$，且$DF∩AE=G$，则$G$为$AE$的中点，由B选项知，$DF⊥$平面$PAE$ ，∵$PG\subset$平面$PAE$，$PG⊥DF$，若平面$PDF⊥$ 平面$ABC$，由于平面$PDF∩$ 平面$ABC=DF$，$PG\subset$平面$PDF$，∴$PG⊥$ 平面$ABC$，过点$P$作$PO⊥$平面$ABC$，重足为点$O$，则$O$为等边$△ABC$的中心，则$AO=\frac{2}{3}AE≠AG$，矛盾，所以，平面$PDF⊥$ 平面$ABC$不成立，C选项错误；对于D选项，由B选项知，$BC⊥$平面$PAE$，∵$BC\subset$平面$ABC$，∴平面$PAE⊥$平面$ABC$，D选项正确。

线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定与性质

1．线面垂直直线与平面垂直的判定定理：如果，那么这条直线垂直于这个平面。

推理模式：直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线。

2．面面垂直两个平面垂直的定义：相交成的两个平面叫做互相垂直的平面。

两平面垂直的判定定理：（线面垂直⇒面面垂直）如果，那么这两个平面互相垂直。

推理模式：两平面垂直的性质定理：（面面垂直⇒线面垂直）若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的的直线垂直于另一个平面。

一般来说，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决，其关系为：线线垂直−−−→←−−−判定性质线面垂直−−−→←−−−判定性质面面垂直．这三者之间的关系非常密切，可以互相转化，从前面推出后面是判定定理，而从后面推出前面是性质定理．同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题．在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，下面举例说明．例题：1．如图，AB 是圆O 的直径，C 是圆周上一点，PA ⊥平面ABC ．（1）求证：平面PAC ⊥平面PBC ；（2）若D 也是圆周上一点，且与C 分居直径AB 的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面．2、如图，棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 是菱形，11B C A B ⊥证明：平面1AB C ⊥平面11A BC3、如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，AB=AD=1，AA 1=2，M 是棱CC 1的中点（Ⅰ）求异面直线A 1M 和C 1D 1所成的角的正切值；（Ⅱ）证明：平面ABM ⊥平面A 1B 1M 14、如图，AB 是圆Ｏ的直径，Ｃ是圆周上一点，PA ⊥平面ABC ．若AE ⊥PC ，Ｅ为垂足，Ｆ是PB 上任意一点，求证：平面AEF ⊥平面PBC ．5、如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1 中，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°，AA 1 ＝2，D是A 1B 1 中点．（1）求证C 1D ⊥平面A 1B ；（2）当点F 在BB 1 上什么位置时，会使得AB 1 ⊥平面C 1DF 并证明你的结论6、S 是△ABC 所在平面外一点，SA ⊥平面ABC,平面SAB ⊥平面SBC,求证AB ⊥BC.7、在四棱锥中，底面ABCD 是正方形，侧面VAD 是正三角形，平面VAD ⊥底面ABCD 证明:AB ⊥平面VAD8、如图，平行四边形ABCD 中，60DAB ︒∠=，2,4AB AD ==,将CBD ∆沿BD 折起到EBD ∆的位置，使平面EDB ⊥平面ABD .VDC BA SA求证：AB DE ⊥9、如图，在四棱锥ABCD P -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB=AD ，∠BAD=60°，E 、F 分别是AP 、AD 的中点求证：（1）直线EF ‖平面PCD ；（2）平面BEF ⊥平面PAD10、如图，在三棱锥ABC S -中，平面⊥SAB 平面SBC ,AB AS BC AB =⊥,.过A 作SB AF ⊥，垂足为F ,点G E ,分别是棱SC SA ,的中点。

面面垂直的判定与性质

解：（1）∵ △PAD是正三角形， E为PD的中点， ∴ AE⊥PD . 又平面PAD⊥平面ABCD , 且ABCD是矩形, CD⊥AD , ∴ CD⊥AE . ∴ AE⊥平面PCD.
A
P E D C B
∴ CD⊥平面PAD. （面面垂直的性质定理）
AE 平面ACE ,
∴ 平面ACE⊥平面PCD . （面面垂直的判定定理）
两个平面垂直的判定定理：
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直。
证明：
∵
∴
∴
∴
两个平面垂直的性质定理：
如果两个平面垂直，那么在第一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
α
A
D
B
β C
已知：， CD， AB ，AB CD，B为垂足，求证：AB 。
证明：在内作BE CD，
则ABE是二面角 CD 的平面角。
由，可知 AB BE . 又 AB CD ，
AB .
两个平面垂直的判定定理：
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直 .
两个平面垂直的性质定理：
如果两个平面垂直，那么在第一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
c .
又 a， b，
b c， c a . 同理可证 a b .
例3. 如图，四棱锥P-ABCD的侧面PAD 是正三角形且垂直于底面，底面ABCD是矩形，E是PD的中点. （1）求证：平面ACE⊥平面PCD；（2）若PB⊥AC,求PB与底面AC所成的角.
P
E D O A F B C
PO 3 AO 3a ,

面面垂直的判定公开

在建筑、工程等领域中，面面垂直的判定也有广泛应用，如确定建筑物的垂直度、机械零件的加工等。
几何问题解决的实例解析
例1
一个正方形ABCD中，E为CD的中点，F为AD的中点，求证：平面ABE垂直于平面BCF。
例2
一个圆柱体中，底面半径为r，高为h，求证：底面与顶面垂直。
分析
要证明两个平面垂直，我们需要证明一个平面内的一条直线与另一个平面垂直。在这个例子中，我们可以选择AB作为平面ABE内的直线，然后证明它与平面BCF垂直。
判定定理
如果两个平面内分别有一条直线相互垂直，那么这两个平面相互垂直。
符号表示
如果直线a在平面α内，直线b在平面β内，且a⊥b，则α⊥β。
判定定理的证明
• 证明：假设两个平面α和β相交，且在α内有直线a与β相交于点 A，在β内有直线b与α相交于点B。如果a⊥b，那么线段AB是两个平面的交线。由于a⊥b，所以a与b的夹角为90°。因此，平面α与平面β的夹角也为90°，即α⊥β。
03 面面垂直的判定方法
判定方法的分类
定义法
根据面面垂直的定义，如果两个平面内各有一条直线互相垂直，
则这两个平面垂直。
判定定理法
利用面面垂直的判定定理，如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面垂直，则这两个平面垂直。
三垂线定理法
三垂线定理指出，如果一个平面内的一条直线与另一个平面的一条斜线在平面内射影垂直，则这两个平面垂直。
判定方法的步骤
第一步，在其中一个平面内取一条直线。
第三步，根据三垂线定理得出结论。
第二步，判断这条直线是否与另一个平面的斜线在平面内射影垂直。
判定方法的实例解析
定义法实例
三垂线定理法实例

面面垂直面垂直的判定和性质

2023
面面垂直的判定和性质
https://
REPORTING
2023
目录
• 面面垂直的判定 • 面面垂直的性质 • 面面垂直的应用 • 面面垂直的证明
2023
PAORTING
定义与定理
定义
两个平面相互垂直，如果它们的法线互相垂直。
在几何学中，垂直角是两个平面之间的最小角度，其度
数为90度。
当两平面垂直时，它们之间的任意一条直线与另一平面都垂
直。
性质二：线面垂直的判定定理
01
如果一条直线与某一平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与该平面垂直。
02
线面垂直的判定定理是几何学中的一个重要定理，它用于确定
一条直线是否与某一平面垂直。
在实际应用中，线面垂直的判定定理被广泛应用于建筑、工程
03
等领域中，以确保结构的稳定性和安全性。
性质三：面面平行的判定定理
如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面互相平行。
面面平行的判定定理是几何学中的一个基本定理，它用于确定两个平面是否平行。
在解决几何问题时，面面平行的判定定理常常与其他几何定理一起使用，以确定物体的位置关系和性质。
工程学中的应用
机械工程
在机械工程中，面面垂直的判定和性质是设计和制造机械设备的基础，如机床、加工中心、机器人等的垂直度调整和检测。
土木工程
在土木工程中，面面垂直的判定和性质是建设桥梁、隧道、高层建筑等的基础，如桥墩、隧道壁、高层建筑立面的垂直度检测。
数学解题中的应用
几何证明
在几何证明中，面面垂直的判定和性质是证明几何命题的基础，如证明两个平面垂直的命题。

面面垂直的判定及性质

ED C BA PABCDABC DE F 线面垂直、线面夹角垂直关系的判定和性质定理 ①线面垂直判定定理和性质定理判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。

性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。

②面面垂直的判定定理和性质定理判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。

线线垂直⇒线面垂直⇒面面垂直例1. 如图：已知四棱锥P ABCD -中，,PD ABCD ABCD ⊥平面是正方形，E 是PA 的中点. 求证：(1)//PC 平面EBD (2)平面PBC ⊥平面PCD例2．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 为棱AD 、AB 的中点．求证：（1）EF ∥平面CB 1D 1；（2）平面CAA 1C 1⊥平面CB 1D 1．例3. 如图，⊥PA 平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，PA AD =，,M N 分别是PC AB , 的中点. 求证：（1）//MN 平面PAD .（2）求证：平面⊥MND 平面PCD . 二面角例4. 在正方体1111ABCD A B C D -中，找出下列二面角的平面角并计算大小：（1）二面角1D AB D --和1A AB D --；（2）二面角1C BD C --和1C BD A --.例5. 如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC=60°，PA=AB=BC ，E 是PC 的中点，（1）证明CD ⊥AE ；（2）证明AE ⊥平面PDC ；（3）求二面角A-PD-C 的正弦值 DNCBMAP新课标高考真题例6. （2011.18．）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，60DAB ∠=︒，2AB AD =，PD ⊥底面ABCD ．（I ）证明：PA BD ⊥；（II ）设PD=AD=1，求棱锥D-PBC 的高．例7. （2012全国）如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=12AA 1，D 是棱AA 1的中点（1）证明：平面BDC 1⊥平面BDC ；（2）平面BDC 1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比。

面面垂直的判定

D1 B1
C1
又 ∵ BD 面ABCD
D A B
C
∴ BD ⊥ 面AAC1C 1 ∵ BD 面A1BD
∴面AAC1C ⊥ 面A1BD 1
aβ a ⊥ 面α
α ⊥ β
α a A β
简记：线面垂直，简记：线面垂直，则面面垂直
线线垂直线面垂直面面垂直
的直径，垂直于垂直于⊙ 所例1、如图，AB是 ⊙O的直径，PA垂直于⊙O所、如图，是的直径在的平面，是圆周上不同于A、的任意一点的任意一点，在的平面，C是圆周上不同于、B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面求证：平面 ⊥平面PBC. 证明: 证明: 设已知⊙O平面为α ∵ PA ⊥ 面α , BC 面α ∴ PA ⊥ BC 又 ∵ AB为圆的直径 ∴ AC ⊥ BC ∵ PA ∩ AC = A PA 面PAC, AC 面PAC ∴ BC ⊥ 面PAC ∵ BC 面PBC ∴ 面PAC ⊥ 面PBC
面面垂直的定义：面面垂直的定义：
一般地，两个平面相交，一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直. 角是直二面角，就说这两个平面互相垂直. 两个平面互相垂直除了定义之外,如何判定两个平面除了定义之外, 互相垂直呢? 互相垂直呢?
平面与平面垂直的判定定理一个平面过另一个平面的垂线，一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. 个平面垂直. 符号: 符号:
已知E，，，例2、正方体、正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知，F，G，H 分别是A 的中点. 分别是 1D1，B1C1，D1D，C1C的中点，的中点 D1 C1 求证：平面AH⊥平面DF 求证：平面 ⊥平面
E F

如何证面面垂直的判定定理

如何证面面垂直的判定定理如何证面面垂直的判定定理一、引言在几何学中，面面垂直是一个重要的概念。

如果两个平面相互垂直，则它们的交线是一条直线，这条直线被称为它们的公垂线。

本文将介绍如何证明两个平面相互垂直的判定定理。

二、定义和性质1. 定义：如果两个平面相互垂直，则它们的交线是一条直线，这条直线被称为它们的公垂线。

2. 性质：（1）两个平面相互垂直，则它们的法向量也相互垂直；（2）两个平面相互垂直，则它们的法向量所在的直线也相互垂直；（3）如果一条直线与一个平面相交且与该平面上某一条不同于此交点处经过该点的另一条直线都垂直，则该交点在该平面上。

三、证明方法1. 方法一：向量法证明（1）已知两个平面 P1 和 P2，设它们分别由点 A、B、C 和 A、D、E 确定；（2）求出 P1 和 P2 的法向量 n1 和 n2；（3）如果n1 · n2 = 0，则 P1 和 P2 相互垂直；（4）否则，它们不相互垂直。

2. 方法二：点线面法证明（1）已知两个平面 P1 和 P2，设它们分别由点 A、B、C 和 A、D、E 确定；（2）求出线段 AB 和 DE 的交点 F；（3）如果 F 在 P1 上，则 DE 垂直于 P1；（4）如果 F 在 P2 上，则 AB 垂直于 P2；（5）否则，它们不相互垂直。

四、例题解析例题：已知三角形 ABC 中，AB = 3 cm，AC = 4 cm，BC = 5 cm。

在三角形 ABC 中作高 BD，过 D 分别作 BE、CF 垂直于 AC、AB。

求证：BE 垂直于 CF。

解析：根据勾股定理可知：BC² = AB² + AC²= 9 + 16= 25因此，三角形 ABC 是一个直角三角形。

设 BD 的长度为 h，则有：h² + 3² = 4²h² + 9 = 16h² = 7h ≈ 2.65 cm根据三角形相似可知：BE/CE = BD/CDBE/(4-h) = h/(3-h)BE = (4h - h²)/3BE ≈ 0.87 cm同理，有：CF = (3h - h²)/4CF ≈ 1.16 cm因此，BE² + CF² ≈ 2.02，BC² ≈ 25，且 BE 和 CF 的长度均为正数。

面面垂直的证明方法

面面垂直的证明方法
要证明两个面面垂直，可以通过以下步骤进行推导：
1. 假设有两个平面P和Q，要证明它们垂直。

2. 选择P上的一条直线AB和Q上的一条直线CD，使得它们相交于点O。

3. 假设P和Q不垂直，即它们存在一个倾斜角度θ。

4. 在P上选择点E，使得OE与AB垂直，并延长OE到与Q 的交点为F。

5. 由于AB与OE垂直，所以角AOE = 90°。

6. 由于θ不等于90°，所以角DOF也不等于90°。

7. 由于P和Q是平面，所以它们的任意两条交线也在同一平面上。

8. 我们可以在这个平面上选择一条直线EF，使得它与CD相交于点G，并且EF与OE垂直。

9. 由于OE与EF垂直，所以角EOF = 90°。

10. 由于角DOF和角EOF不等于90°，所以角DOF不等于角EOF。

11. 根据直线与平面垂直的性质，角AOE和角DOF相等，角EOF和角DOF相等。

12. 由于角AOE和角EOF同时等于90°，所以角AOE等于角EOF。

13. 由于角AOE等于角EOF，同时不等于角DOF，所以假设不成立。

14. 因此，P和Q垂直。