二次函数的图像和性质复习课件
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二次函数图像和性质复习课件-(1)
5、已知二次函数 y x2 6x m 的最小值
为1，则m= 。
练习：判断下列抛物线中a,b,c的符号
y
y
y
0x 0 x
0x
2.当m___=_2___时,函数y=(m+1)χ m2 m- 2χ+1 是
二次函数？
3、抛物线y=－x2+2x － 3的开口向 ，
对称轴 ,顶点坐标 ;当x 时,y最__值
= ,与x轴交点 ,与y轴交点
。
4、抛物线 y 2(x m)2 n的顶点是(－2,3)，
则m= ,n= ;当x 时,y随x的增大而增大。
开口方向
当a>0时开口向上，当a<0时开口向下
顶点坐标
对称轴
a>0 最 值
a<0
(0,0)
(0,c) (h,0)
(h,k)
(
b
4ac b2
,
)
2a
4a
y轴
y轴
直线 x h 直线 x h
直线 x b
2a
x 0时，x 0时， y最小 0 y最小 c
x h时x h时 y最小 0 y最小 k
当b＝0，c＝0时： y＝ax2
当b＝0时：
y＝ax2＋c
当c＝0时：
y＝ax2＋bx
（2）顶点式：y=a(x-h)2+k（a≠0) （3）交点式：y=a(x-x1)(x-x2) （a≠0)
二次函数的图象及性质
抛物线 y ax2 y ax2 c y a(x h)2 y a(x h)2 k y ax2 bx c
x
b 2a
时，y最小
4ac 4a
b2
x 0时 x 0时 y最大 0 y最大 c
二次函数的图像和性质(共82张PPT)
y＝ax2
向上
y轴 (0，0)
向下
y轴 (0，0)
4、二次函数y＝2x2＋1的图象与二次函数y＝
2x2的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相
同?它们有什么关系？我们应该采取什么方法
来研究这个问题？
画出函数y＝2x2和函数y＝ 2x2+1的图象， 并加以比较
x … –1.5 –1 –0.5 0 0.5 1 1.5 …
y 1 x2 ··· 2
8
4.5
2 0.5 0 0.5 2 4.5
8
···
x
·· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
y 2x2 · 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8
·· ·
y y x2 8
y 2x2
···
6
y 1 x2
4
2
2
－4
－2 O
24
在对称轴左侧,y都随x的增大而增大,
在对称轴右侧,y都随 x的增大而减小 .
联系: y=a(x-h)²+k(a≠0) 的图象可以看成y=ax²的图象先沿x轴整体左(右)平移| |个单位(当 >0时,向右平移;当 <0时,向左平移),
再沿对称轴整体上(下)平移|
|个单位 (当
>0时向上平移;当 <0时,向下平移)得到的.
y 1 x2
y1
1 3
x2
2
3
y2
1 3
x2
2
的图像
在同一直角坐标系中
画出函数 y 1 x2 5 y
y1
1 3
x2
2
3
y2
的图像
二次函数图象及性质复习PPT课件
（1）求抛物线开口方向，对称轴和 顶点M的坐标。 （2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴 交于A、B两点，求C，A，B的坐标。
1 2 3 已知二次函数 y 2 x x 2
（3）x为何值时，y随x的增大而减小， x为何值时，y有最大（小）值，这个 最大（小）值是多少？ （4）x为何值时，y<0？x为何值时， y>0？
抛物线 y ax bx c 上部分点 的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
2
x … -2 -1 0 1 2 …
y … 0 4 6 6 4 … 从上表可知，下列说法中正确的 有______ ．（填写序号） ⑤若（-2.5, y1 ),(1.5, 在抛物线上,则 y1＞y2 .
y2 )
返回
y
(1)a确定抛物线的开口方向： a>0 a<0 (2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
c>0 c=0 c<0
b x=- 2a x
0
•(0,c)
(3)a、b确定对称轴 ab>0 ab=0 Δ>0 Δ=0
的位置: ab<0 Δ<0
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：
(1)a确定抛物线的开口方向： a>0 a<0
ab>0 Δ>0
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：
y
(1)a确定抛物线的开口方向： a>0 a<0 (2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
0 (0,0)
•
c>0
x
c=0
c<0
b x=- 2a
(3)a、b确定对称轴 ab>0 ab=0 Δ>0 Δ=0
的位置: ab<0 Δ<0
二次函数的图像和性质(共48张PPT)
C、对于直线 y=ax+b 来说，由图象可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线 y=ax2﹣bx 来说，图象开口向上，对称轴 x= ＞0，应在 y 轴的右侧，故符合 题意； D、对于直线 y=ax+b 来说，由图象可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线 y=ax2﹣bx 来说，图象开口向下，a＜0，故不合题意，图形错误； 故选：C．
即当 x＜－2ba时， 当 x＜－2ba时，y 随 x y 随 x 的增大而减
的增大而增大；在对 小；在对称轴的右
称轴的右侧，即当 x 侧，即当 x＞－2ba ＞－2ba时，y 随 x 的 时，y 随 x 的增大
增大而减小，简记为 而增大，简记为
“左增右减” “左减右增”
15
最值
抛物线有最 抛物线有最
1、二次函数的图像和性质
函数
二次函数 y＝ax2＋bx＋c
(a，b，c 为常数，a≠0)
a<0
a>0
图象
13
开口 对称轴、顶点
抛物线开口向 抛物线开口向
上，并向上无限 下，并向下无限
延伸
延伸
对称轴是x＝－
b 2a
，顶点坐标是
－2ba，4ac4－a b2
14
增减性
在对称轴的左侧， 在对称轴的左侧，即
低点，当 高点，当
x＝－2ba时， x＝－2ba时，
y 有最小值， y 有最大值，
y ＝ 最小值
y ＝ 最大值
4ac－b2 4a
4ac－b2 4a
16
2、二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象特征
与系数a，b，c的关系
项目 字母
字母的符号
图象的特征
a＞0 a
a＜0
即当 x＜－2ba时， 当 x＜－2ba时，y 随 x y 随 x 的增大而减
的增大而增大；在对 小；在对称轴的右
称轴的右侧，即当 x 侧，即当 x＞－2ba ＞－2ba时，y 随 x 的 时，y 随 x 的增大
增大而减小，简记为 而增大，简记为
“左增右减” “左减右增”
15
最值
抛物线有最 抛物线有最
1、二次函数的图像和性质
函数
二次函数 y＝ax2＋bx＋c
(a，b，c 为常数，a≠0)
a<0
a>0
图象
13
开口 对称轴、顶点
抛物线开口向 抛物线开口向
上，并向上无限 下，并向下无限
延伸
延伸
对称轴是x＝－
b 2a
，顶点坐标是
－2ba，4ac4－a b2
14
增减性
在对称轴的左侧， 在对称轴的左侧，即
低点，当 高点，当
x＝－2ba时， x＝－2ba时，
y 有最小值， y 有最大值，
y ＝ 最小值
y ＝ 最大值
4ac－b2 4a
4ac－b2 4a
16
2、二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象特征
与系数a，b，c的关系
项目 字母
字母的符号
图象的特征
a＞0 a
a＜0
二次函数的图像与性质-完整版课件
二次函数与一元二次方程关系
一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$（$a neq 0$）的解即为二次函数 $y = ax^2 + bx + c$ 与 $x$ 轴交点的横坐标。
当 $Delta = b^2 - 4ac > 0$ 时，二次函数与 $x$ 轴有两个交点；当 $Delta = 0$ 时，有 一个交点；当 $Delta < 0$ 时，没有交点。
• 分析：根据题意设交点坐标为$(-1, y_1)$和$(3, y_2)$，代入直线方程可得两个方程。又因为这两个点也在抛 物线上，所以代入抛物线方程也可得两个方程。联立这四个方程即可求出二次函数的解析式。
• 示例2：已知二次函数$y = ax^2 + bx + c (a • eq 0)$的图像与直线$y = x + m (m • eq 0)$相交于两点，且这两点关于原点对称，求二次函数的解析式。 • 分析：根据题意设交点坐标为$(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$，由于两点关于原点对称，所以有$x_1 = -x_2$和
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW ERA
二次函数的图像与性质-完
整版课件
汇报人：XXX
2024-01-29
• 二次函数基本概念 • 二次函数图像特征 • 二次函数性质探讨 • 典型例题分析与解答 • 实际应用场景举例说明 • 总结回顾与拓展延伸
目录
CONTENTS
零点存在性及个数判断方法
零点定义
二次函数零点存在 性判断方法
对于函数f(x)，若存在x0∈D， 使得f(x0)=0，则称x0为函数 f(x)的零点。
通过判别式Δ=b^2-4ac来判断 。当Δ>0时，二次函数有两个 不相等的零点；当Δ=0时，二 次函数有两个相等的零点（即 一个重根）；当Δ<0时，二次 函数无零点。
人教版九年级上册22.1二次函数的图象和性质 复习课件(共32张PPT)
o
2
x
5
10
15
D.(4,3)
4
例 3 （ 2 ） （ 山 东 中 考 ） 抛 物 线 y = a x ²+ b x + c 经 过 点 A （ - 2 , 7 ） ， B（6,7）C（3，-8），则该抛物线上纵坐标为-8的另一个点D 的坐标是
例 3 （ 3 ） （ 上 海 中 考 ） 抛 物 线 2 （ x + m ) ²+ n ( m , n 是 常 数 ）
y
8
6
4
2
10
5
o
5
x
10
15
2
4
例 3 ， 如 图 已 知 抛 物 线 y = x ²+ b x + c 的 对 称 轴 为 x = 2 ， 点
A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中点A的坐标为
（0,3），则点B的坐标为（
）
8y
6 4
x=2
A.(2,3) B.(3,2)
2A
B
C.(3,3)
5
二次函数的解析式（三种形式解析式）
一 般 式 ： y = a x ²+ b x + c ( a ≠ ﾷ )
顶 点 式 ： y = a ( x - h ) ²+ k ( a8, h , k 为 常 数 ， 且 a ≠ ﾷ )
两根式：y=a(x-x1)（x-x2)(a≠ﾷ,x1,x2是抛物线与x轴两交点
解析式为
6
y
4
2
A(-1,0)
B(3,0)
15
10
5
O
x5
10
2
4
∙x 3
2)2 2∙(x +例2) 43：如图，在平面直角坐标系xOy中，抛8 物线C1的顶点为A（-1， -4），且过点B（-3,0）。
二次函数的图像和性质PPT课件(共21张PPT)
相同点
相同点：开口都向下，顶点是
原点而且是抛物线的最高点，
对称轴是 y 轴.
不同点
不同点：|a|越大，抛物线的
开口越小．
x
O
y
－4 －2
2
4
－2
－4
－6
y 1 x2 2
－8
y x2
y 2x2
尝试应用
1、函数y=2x2的图象的开向口上 ,对称轴y轴 ,顶点是(0,0;)
2、函数y=－3x2的图象的开口向下 ,对称轴y轴 ,顶点是(0,0;) 3、已知抛物线y＝ax2经过点A(-2，-8).
不在此抛物线上。
小结
1. 二次函数的图像都是什么图形？
2. 抛物线y=ax2的图像性质: (1) 抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点是原点.
(2)当a>0时,抛物线的开口向上,顶点是抛物 线的最低点;
当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是抛物 线的最高点;
（3）抛物线的增减性
（4）|a|越大,抛物线的开口越小;
得到y=-x2的图像.
y 1
-5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5 x
-2
-3 -4
-5
-6
y=－x2
-7
-8 -9
-10
二次函数的图像
从图像可以看出,二次函数y=x2和y=－x2的图像都是一条
曲线,它的形状类似于投篮球或投掷ห้องสมุดไป่ตู้球时球在空中所经过
的路线.
这样的曲线叫做抛物线.
y=x2的图像叫做抛物线y=x2.
解：分别填表，再画出它们的图象，如图 当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是抛物线的最高点;
在同一直角坐标系中画出函数y=-x2、y=-2x2、y=- x2的图象，有什么共同点和不同点? -8=a(-2)2,解出a= -2,所求函数解析式为y= -2x2.
人教版九年级上册22.二次函数的图像与性质课件(共129张)
二次函数的图象都是抛物线。
一般地，二次函数 y = ax2 + bx + c（a≠0）的图象叫做抛物线y = ax2 + bx + c
思考：这个二次函数图象有什么特征？
（1）形状是开口向上的抛物线
9
6
（2）图象关于y轴对称
3
（3）有最低点，没有最高点
－3
3
y轴是抛物线y = x 2 的对称轴，抛物线y = x 2 与它的对称 轴的交点（0,0）叫做抛物线y = x2 的顶点，它是抛物线y = x 2 的最低点．
联系(1)等式一边都是ax2＋bx＋c且 a ≠0 (2)方程ax2＋bx＋c=0可以看成是 函数y= ax2＋bx＋c中y=0时得到的. 区分:前者是函数.后者是方程.等式另一 边前者是y,后者是0
知识运用
例1:下列函数中，哪些是二次函数？
(1)y=3x-1 (不是 )
(2)y=3x2 （ 是 )
画形如y=ax2的函数图像： 1、函数y=x2的图像；视察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算 相应的y值,完成下表：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
描点,连线 y 10
y=x2
8
6
4
2
?
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x -2
…二次函数的图像和性质…
• y=ax2的函数图像 • y=ax2 +k 的函数图像 • y=a(x-h)2的函数图像 • y=a(x-h)2 +k 的函数图像 • y=ax2+bx+c 的函数图像
…二次函数的图像和性质…
• y=ax2的函数图像 • y=ax2 +k 的函数图像 • y=a(x-h)2的函数图像 • y=a(x-h)2 +k 的函数图像 • y=ax2+bx+c 的函数图像
一般地，二次函数 y = ax2 + bx + c（a≠0）的图象叫做抛物线y = ax2 + bx + c
思考：这个二次函数图象有什么特征？
（1）形状是开口向上的抛物线
9
6
（2）图象关于y轴对称
3
（3）有最低点，没有最高点
－3
3
y轴是抛物线y = x 2 的对称轴，抛物线y = x 2 与它的对称 轴的交点（0,0）叫做抛物线y = x2 的顶点，它是抛物线y = x 2 的最低点．
联系(1)等式一边都是ax2＋bx＋c且 a ≠0 (2)方程ax2＋bx＋c=0可以看成是 函数y= ax2＋bx＋c中y=0时得到的. 区分:前者是函数.后者是方程.等式另一 边前者是y,后者是0
知识运用
例1:下列函数中，哪些是二次函数？
(1)y=3x-1 (不是 )
(2)y=3x2 （ 是 )
画形如y=ax2的函数图像： 1、函数y=x2的图像；视察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算 相应的y值,完成下表：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
描点,连线 y 10
y=x2
8
6
4
2
?
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x -2
…二次函数的图像和性质…
• y=ax2的函数图像 • y=ax2 +k 的函数图像 • y=a(x-h)2的函数图像 • y=a(x-h)2 +k 的函数图像 • y=ax2+bx+c 的函数图像
…二次函数的图像和性质…
• y=ax2的函数图像 • y=ax2 +k 的函数图像 • y=a(x-h)2的函数图像 • y=a(x-h)2 +k 的函数图像 • y=ax2+bx+c 的函数图像
初三数学复习《二次函数》(专题复习)PPT课件
面积问题
面积问题
在二次函数中，可以通过求函数与坐标轴的交点来计算图形的面积。例如，当函数与x轴交于两点时 ，可以计算这两点之间的面积；当函数与y轴交于一点时，可以计算这一点与原点之间的面积。这些 方法在解决实际问题时非常有用，例如在计算利润、产量等方面。
求解方法ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
求出二次函数与x轴和y轴的交点坐标，然后根据这些坐标计算图形的面积。对于更复杂的问题，可能 需要使用积分或其他数学方法来求解。
05
综合练习与提高
基础练习题
巩固基础 覆盖全面 由浅入深
基础练习题主要针对二次函数的基本概念、性质和公 式进行设计，旨在帮助学生巩固基础知识，提高解题的 准确性和速度。
基础练习题应涵盖二次函数的各个方面，包括开口方 向、顶点坐标、对称轴、与坐标轴的交点等，确保学生 对二次函数有全面的了解。
题目难度应从易到难，逐步引导学生深入理解二次函 数，从简单的计算到复杂的综合题，逐步提高学生的解 题能力。
初三数学复习《二次函数》(专题复习)ppt课 件
目录 Contents
• 二次函数的基本概念 • 二次函数的解析式 • 二次函数的图像与性质 • 二次函数的实际应用 • 综合练习与提高
01
二次函数的基本概念
二次函数的定义
总结词
理解二次函数的定义是掌握其性 质和图像的基础。
详细描述
二次函数是形式为$f(x) = ax^2 + bx + c$的函数，其中$a, b, c$是 常数，且$a neq 0$。这个定义表 明二次函数具有两个变量$x$和 $y$，并且$x$的最高次数为2。
03
二次函数的图像与性质
开口方向
总结词：根据二次项系数a的正负判断开口方向 a>0时，开口向上
《二次函数y=ax2的图象与性质》二次函数PPT优秀课件
不同点
开口向下
a<0
探究新知
1
例1：在同一直角坐标系中，画出函数y=2 2 ，y= 2 ， y=2 2
y y = 2x2
y = x2
共同点：开口：向上，
8
6
1 2
y =▁
x
2
4
-2 O
顶点：原点（0,0）——最低点
对称轴： y 轴
增减性：y 轴左侧，y随x增大而减小
2
-4
观察三个函数
图象的异同点
二次函数y=a 的图象和性质
教学目标
01
会画二次函数y=ax²的图象
02
掌握二次函数y=ax²的性质
03
学会二次函数性质的应用
重难点
01
重点：1.理解并掌握二次函数y=ax2的性质.
2.掌握二次项系数a的作用．
02
难点：理解并掌握二次函数y=ax2的性质.
01
二次函数的图象
温故知新
一次函数：y=kx+b
状，只是这条曲线开口向上，这
条曲线叫做抛物线 y = x2 .
课堂练习
2
2
请试着在坐标系中画出y=
和y=-
的图象
数形结合中“以数论形”
y= 2
①用描点法画最简单的二次函数 y = 2 的图象.
②用数形结合法分析二次函数的图像特征和性质.
y=- 2
观察两个函数的图像，从中可以得出什么结论
2
4 x
y 轴右侧，y随x增大而增大
不同点：a 值越大，抛物线的开口越小．
小结
课堂练习
数形结合“以数论形”
一次函数y=ax+a过点（-1,0）
《二次函数——二次函数的图象与性质》数学教学PPT课件(9篇)
在函数y＝x2的图象上，则y1，y2，y3之间的大小
y3>y2>y1
关系为___________．
导引：因为a>1，所以0<a－1<a<a＋1, 所以这三个点
都在函数y＝x2的图象的对称轴的右侧．根据
“当x>0时，y随x的增大而增大”的性质，可得
y3>y2>y1.
（来自《点拨》）
知2－讲
总 结
当所比较的点都在抛物线的对称轴的同一侧时，
y值都随x值的增大而增大
D．当x<0时，函数y＝x2，y的值随x值的增大的变化情况与当x>0
时，函数y＝－x2，y的值随x值的增大的变化情况相同
（来自《典中点》）
知2－练
4 如图，一次函数y1＝kx＋b的图象与二次函数y2＝
x2的图象交于A(－1，1)和B(2，4)两点，则当y1<y2时，x的取
值范围是( D )
1
(1，2
), 可知, 其中有两点在第一象限, 一
点在第四象限, 排除B,
1
C；在第一象限内,
y1的对应
2
点(1, 2)在上, y3的对应点(1， )在下, 排除A.
知1－练
1 关于二次函数y＝3x2的图象，下列说法错误的是( C )
A．它是一条抛物线
B．它的开口向上，且关于y轴对称
C．它的顶点是抛物线的最高点
可直接利用函数的增减性进行大小比较．
（来自《点拨》）
知2－练
1 已知点(x1，y1)，(x2，y2)是二次函数y＝－x2的图象
上的两点，当x1<x2<0时，y1与y2的大小关系为
y1＜y2
________．
y3>y2>y1
关系为___________．
导引：因为a>1，所以0<a－1<a<a＋1, 所以这三个点
都在函数y＝x2的图象的对称轴的右侧．根据
“当x>0时，y随x的增大而增大”的性质，可得
y3>y2>y1.
（来自《点拨》）
知2－讲
总 结
当所比较的点都在抛物线的对称轴的同一侧时，
y值都随x值的增大而增大
D．当x<0时，函数y＝x2，y的值随x值的增大的变化情况与当x>0
时，函数y＝－x2，y的值随x值的增大的变化情况相同
（来自《典中点》）
知2－练
4 如图，一次函数y1＝kx＋b的图象与二次函数y2＝
x2的图象交于A(－1，1)和B(2，4)两点，则当y1<y2时，x的取
值范围是( D )
1
(1，2
), 可知, 其中有两点在第一象限, 一
点在第四象限, 排除B,
1
C；在第一象限内,
y1的对应
2
点(1, 2)在上, y3的对应点(1， )在下, 排除A.
知1－练
1 关于二次函数y＝3x2的图象，下列说法错误的是( C )
A．它是一条抛物线
B．它的开口向上，且关于y轴对称
C．它的顶点是抛物线的最高点
可直接利用函数的增减性进行大小比较．
（来自《点拨》）
知2－练
1 已知点(x1，y1)，(x2，y2)是二次函数y＝－x2的图象
上的两点，当x1<x2<0时，y1与y2的大小关系为
y1＜y2
________．
1.2二次函数的图象与性质(第1课时)课件(共13张ppt)
图象的开口向 上 ； 图象是轴对称图形，对称轴是_y轴____x_=_0 对称轴与图象的交点是 O(0，0) ；
图象在对称轴左边的部分，函数值随
自变量取值的增大而 减小 ，
简称为“左降”；
图象在对称轴右边的部分，函数值随自变量取
值的增大而 增大 ， 简称为“右升”； 当x= 0 时，函数值最 小 .
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
当x= 0 时，函数值最 小 .
类似地，当a＞0时，y=ax2的图象也具 有上述性质.
于是我们在画y=ax2(a＞0)的图象时，可以先画出图象在y轴 右边的部分，然后利用对称性，画出图象在y轴左边的部分.
在画右边部分时，只要“列表、描点、连线”三个步骤 就可以了(因为我们知道了图象的性质).
例1 画二次函数y=x2的图象. 列表： x 0 0.5 1 1.5 2 3
，简称为“右升”.
观察
我们已经正确地画出了y =
现在可以从图象看出
y
=
1 2
x
2
的12 x其2 的他图一象些，性因质此(除，
了上面已经知道的关于y轴对称和“右升”外)：
对称轴与图象的交点是 O(0，0) ；图象的开口向 上 ；
图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的
增大而 减小 ， 简称为“左降”；
解：（1）把A（2，8）代人y=ax2 ∴ a=2 ∴ y=2x2
（2） 当x=1时，y=2 ≠ 4 ∴ B(1，4)不在y=2x2的图像上。
（3） 当y=18时，即2x2=18，x=3或x=-3 ∴ 纵坐标是18的点是：（3,18）和（-3,18）
对于y=ax2（当a＞0时）的图象也具有上述性质.
图象在对称轴左边的部分，函数值随
自变量取值的增大而 减小 ，
简称为“左降”；
图象在对称轴右边的部分，函数值随自变量取
值的增大而 增大 ， 简称为“右升”； 当x= 0 时，函数值最 小 .
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
当x= 0 时，函数值最 小 .
类似地，当a＞0时，y=ax2的图象也具 有上述性质.
于是我们在画y=ax2(a＞0)的图象时，可以先画出图象在y轴 右边的部分，然后利用对称性，画出图象在y轴左边的部分.
在画右边部分时，只要“列表、描点、连线”三个步骤 就可以了(因为我们知道了图象的性质).
例1 画二次函数y=x2的图象. 列表： x 0 0.5 1 1.5 2 3
，简称为“右升”.
观察
我们已经正确地画出了y =
现在可以从图象看出
y
=
1 2
x
2
的12 x其2 的他图一象些，性因质此(除，
了上面已经知道的关于y轴对称和“右升”外)：
对称轴与图象的交点是 O(0，0) ；图象的开口向 上 ；
图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的
增大而 减小 ， 简称为“左降”；
解：（1）把A（2，8）代人y=ax2 ∴ a=2 ∴ y=2x2
（2） 当x=1时，y=2 ≠ 4 ∴ B(1，4)不在y=2x2的图像上。
（3） 当y=18时，即2x2=18，x=3或x=-3 ∴ 纵坐标是18的点是：（3,18）和（-3,18）
对于y=ax2（当a＞0时）的图象也具有上述性质.
中考数学专题《二次函数》复习课件(共54张PPT)
当x b 时, y最小值为 4ac b2
2a
4a
y=ax2+bx+c(a<0)
b 2a
,
4ac 4a
b2
直线x b
2a
由a,b和c的符号确定
a<0,开口向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对 称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
当x b 时, y最大值为 4ac b2
2a
例1： 已知二次函数 y 1 x2 x 3
2
2
（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。
（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两
点，求C，A，B的坐标。
（3）x为何值时，y随的增大而减少，x为何值时，
y有最大（小）值，这个最大（小）值是多少？
（4）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？
写出满足此条件的抛物线的解析式.
解:抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-3x+7的形状相同
a=1或-1 又顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5,
二次函数复习
二次函数知识点：
• 1、二次函数的定义 • 2、二次函数的图像及性质 • 3、求解析式的三种方法 • 4、a，b，c及相关符号的确定 • 5、抛物线的平移 • 6、二次函数与一元二次方程的关系 • 7、二次函数的应用题 • 8、二次函数的综合运用
1、二次函数的定义
• 定义： y=ax² ＋ bx ＋ c （ a 、 b 、 c 是常数， a ≠ 0）
a= ___. -2
2、二次函数的图像及性质
y
y
0
x
0
x
抛物线 顶点坐标 对称轴
二次函数图像与性质复习课ppt课件
火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂 拥而出 或留恋 财物， 要当机 立断， 披上浸 湿的衣 服或裹 上湿毛 毯、湿 被褥勇 敢地冲 出去
考点4 二次函数与一元二次方程、不等式的关系
二次函数y＝ ax2＋bx＋c 与x轴交点
二次函数图 象与x轴交 点的个数
二次函数图 象与不等式
交点横坐标是一元二次方程ax2＋bx ＋c＝0的解
b2－4ac＞0
二次函数图象与x轴有 __两____个交点
b2－4ac＝0
二次函数图象与x轴有 __一____个交点
b2－4ac＜0
二次函数图象与x轴 _没__有___交点
利用图象求不等式ax2＋bx＋c＞0或
ax2＋bx＋c＜0的解集
火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂 拥而出 或留恋 财物， 要当机 立断， 披上浸 湿的衣 服或裹 上湿毛 毯、湿 被褥勇 敢地冲 出去
[解析]①∵x＝－3 和 x＝5 时，y＝7，∴对称轴 x＝－32＋5＝1；②x ＝2 的点关于对称轴 x＝1 对称的点为 x＝0，∵x＝0 时，y＝－8，
∴x＝2 时，y＝－8.
火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂 拥而出 或留恋 财物， 要当机 立断， 披上浸 湿的衣 服或裹 上湿毛 毯、湿 被褥勇 敢地冲 出去
火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂 拥而出 或留恋 财物， 要当机 立断， 披上浸 湿的衣 服或裹 上湿毛 毯、湿 被褥勇 敢地冲 出去
考点3 待定系数法求二次函数解析式
方法 1.一般式
2.顶点式
适用条件及求法 若已知条件是图象上的三个点，则设所求二次函 数为y＝ax2＋bx＋c，将已知条件代入，求出a、
火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂 拥而出 或留恋 财物， 要当机 立断， 披上浸 湿的衣 服或裹 上湿毛 毯、湿 被褥勇 敢地冲 出去
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1y2x21x2132y5x28x0319
3y2x1x2 2
4y 32 x 12 x
二次函数的图像和性质复习
函数y=ax +bx+c(a≠0)的应 用
如图,两条钢缆具有相同的抛物线形状.按照图中的 直角坐标系,左面的一条抛物线可以用 y=0.0225x²+0.9x+10表示,而且左右两条抛物线关 于y轴对称．
例9.用总长为 60m的篱笆围成矩形场地， 矩形面积 S随矩形一边l的长变化而变化， 当l是 多 少 时 场 地 面S最积大 二次函数的图像和性质复习 ？
练习1 已知抛y物 a线 x2bxc过点 A(2,0),
B(3,0),C(0,6),求抛物线解析式
二次函数 yax2bxc
图象和性质(5)
二次函数的图像和性质复习
y=a(x－h)2＋k的图像与性质
y=a(x 开口 对 顶பைடு நூலகம்最值
-
方向 称 点
h)²+k
轴
增减情况
a>0 向上 x=h (h,k) x=h时, x<h时, y随x的增大而减 有最小 小; x>h时,y随x的增大而 值y=k 增大.
a<0 向下 x=h (h,k) x=h时, x<h时, y随x的增大而增 有最大 大; x>h时, y随x的增大而 值y=k 减小.
(2)a和b共同决定抛物线对称轴的位置，由于抛物线y
＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线 x b ，故 ①若b＝0对称轴为y轴， 2 a ②若a，b同号对称轴在y轴左侧，
③若a，b异号对称轴在y轴右侧。 (3)c的大小决定抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴交点的位置。
当x＝0时，y＝c，∴抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴
Y/m
10
桥面 -5 0 5
x/m
二次函数的图像和性质复习
函数y=ax2+bx+c(a≠0)的应用
⑴钢缆的最低点到桥面的距离是多少？ ⑵两条钢缆最低点之间的距离是多少？ ⑶你是怎样计算的？与同伴交流. (4)求出右面钢缆的表达式。
Y/m
y0.02x2 25 0.9x10
10
桥面 -5 0 5
x/m
二次函数的图像和性质复习
(7)抛物线 yax2 bxc与x轴的交点情况 可由对应的一元二次方程ax2bxc0 的根的判别式判定： ① △＞0有两个交点抛物线与x轴相交； ② △＝0有一个交点抛物线与x轴相切； ③ △＜0没有交点抛物线与x轴相离。
二次函数的图像和性质复习
(6)抛物线 yax2bxc与坐标轴的交点 ①抛物线 yax2bxc与y轴的交点坐标 为（0，c） ②抛物线 yax2 bxc与x轴的交点坐标为 x1,0,x2,0，其中 x 1 , x 2 为方程ax2bxc0 的两实数根
2a
4a
2a
4a
例1 用公式法把 y 1x2 x5化为
2
2
yaxh2 k的形式，求出对称轴和顶点
坐标,并画出此函数的图像．
例2 用公式法把函数y2x28x6化为
yaxh2 k 的形式，求出对称轴和顶点坐
标．并画出此函数的图像。
．
二次函数的图像和性质复习
练一练，马到功成！
根据公式确定下列二次函数图象的对称轴 和顶点坐标：
二次函数的图像和性质复习
． yax2bxc图象的画法．
步骤：1．利用配方法或公式法把 yax2 bxc
化为yaxh2 k的形式。
2．确定抛物线的开口方向、对称轴 及顶点坐标。 3．在对称轴的两侧以顶点为中心左 右对称描点画图。
二次函数的图像和性质复习
例3 画出 y2x28x6 的图像，利用函 数图像回答： (1)x取什么值时，y＝0？ (2)x取什么值时，y＞0？ (3)x取什么值时，y＜0？ (4)x取什么值时，y有最大值或最小值？
y=ax2+bx+c(a>0)
b 2a
,
4acb2 4a
直线x b
2a
由a,b和c的符号确定
y=ax2+bx+c(a<0)
b 2a
,
4acb2 4a
直线x b
2a
由a,b和c的符号确定
向上
向下
当x<
b 2a
时,y随着x的增大而减小.
当x<
b 2a
,y随着x的增大而增大.
当 当xx>2 ba b 时,时 y随,最 着x的二小 增次函大数4值 而的a增图c 像大为 b 和.2性质复习当 当x x> b2b时 a ,,y最 随着x大 的增4值 大a而c减为 b小2 .
二次函数的图像和性质复习
返回
复习提问
1．怎样把 y 3 x 2的图象移动，便可得到
y3x22 5的图象？
2． y=-1/2(x+2)2-2 的顶点坐标
是
，对称轴是
．
3. 用配方法把 y 1x2 3x5 化为
2
2
yaxh2 k的形式，求出顶点坐和对称轴。
4.用配方法把
y 1x2 x5
2
2
化为 y=a(x－h)2
例6已知函数y
1x2 2
3x1 2，当x为何值
时，函数值y随自变量的值的增大而减小。
例7 已知二次函数 y m 1 x 2 2 m x 3 m 2 m 1
的最大值是0，求此函数的解析式．
二次函数的图像和性质复习
5．抛物线y＝ax2＋bx＋c中a，b，c的作用。
(1形)a状决相定同抛。物①线a＞形0状及开开口口向方上向；②，a若＜0a 相开等口，向则下。
二次函数的图像和性质复习
例4 已知抛物线 yx2k4xk7, ①k取何值时，抛物线经过原点； ②k取何值时，抛物线顶点在y轴上； ③k取何值时，抛物线顶点在x轴上； ④k取何值时，抛物线顶点在坐标轴上。
二次函数的图像和性质复习
例5 当x取何值时，二次函数 y2x2 8x1有最大值 或最小值，最大值或最小值是多少？
＋k的形式，求出顶点坐和对称轴
5.用配方法把 yax2 bxc化为 y=a(x－h)2
＋k的形式，求出顶点坐和对称轴
二次函数的图像和性质复习
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
１.顶点坐标与对称轴 ２.位置与开口方向 ３.函数值变化与最值 根据图象填表：
抛物线 顶点坐标
对称轴 位置
开口方向 函数值 最值
有且只有一个交点(0，c)， ①c＝0抛物线经过原点；
②c＞0与y轴交于正半轴；③c＜0与y轴交于负半轴。 二次函数的图像和性质复习
例8 已知如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图 象，判断以下各式的值是正值还是负值． (1)a；(2)b；(3)c；(4)b2－4ac；(5)2a＋b； (6)a＋b＋c；(7)a－b＋c．
3y2x1x2 2
4y 32 x 12 x
二次函数的图像和性质复习
函数y=ax +bx+c(a≠0)的应 用
如图,两条钢缆具有相同的抛物线形状.按照图中的 直角坐标系,左面的一条抛物线可以用 y=0.0225x²+0.9x+10表示,而且左右两条抛物线关 于y轴对称．
例9.用总长为 60m的篱笆围成矩形场地， 矩形面积 S随矩形一边l的长变化而变化， 当l是 多 少 时 场 地 面S最积大 二次函数的图像和性质复习 ？
练习1 已知抛y物 a线 x2bxc过点 A(2,0),
B(3,0),C(0,6),求抛物线解析式
二次函数 yax2bxc
图象和性质(5)
二次函数的图像和性质复习
y=a(x－h)2＋k的图像与性质
y=a(x 开口 对 顶பைடு நூலகம்最值
-
方向 称 点
h)²+k
轴
增减情况
a>0 向上 x=h (h,k) x=h时, x<h时, y随x的增大而减 有最小 小; x>h时,y随x的增大而 值y=k 增大.
a<0 向下 x=h (h,k) x=h时, x<h时, y随x的增大而增 有最大 大; x>h时, y随x的增大而 值y=k 减小.
(2)a和b共同决定抛物线对称轴的位置，由于抛物线y
＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线 x b ，故 ①若b＝0对称轴为y轴， 2 a ②若a，b同号对称轴在y轴左侧，
③若a，b异号对称轴在y轴右侧。 (3)c的大小决定抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴交点的位置。
当x＝0时，y＝c，∴抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴
Y/m
10
桥面 -5 0 5
x/m
二次函数的图像和性质复习
函数y=ax2+bx+c(a≠0)的应用
⑴钢缆的最低点到桥面的距离是多少？ ⑵两条钢缆最低点之间的距离是多少？ ⑶你是怎样计算的？与同伴交流. (4)求出右面钢缆的表达式。
Y/m
y0.02x2 25 0.9x10
10
桥面 -5 0 5
x/m
二次函数的图像和性质复习
(7)抛物线 yax2 bxc与x轴的交点情况 可由对应的一元二次方程ax2bxc0 的根的判别式判定： ① △＞0有两个交点抛物线与x轴相交； ② △＝0有一个交点抛物线与x轴相切； ③ △＜0没有交点抛物线与x轴相离。
二次函数的图像和性质复习
(6)抛物线 yax2bxc与坐标轴的交点 ①抛物线 yax2bxc与y轴的交点坐标 为（0，c） ②抛物线 yax2 bxc与x轴的交点坐标为 x1,0,x2,0，其中 x 1 , x 2 为方程ax2bxc0 的两实数根
2a
4a
2a
4a
例1 用公式法把 y 1x2 x5化为
2
2
yaxh2 k的形式，求出对称轴和顶点
坐标,并画出此函数的图像．
例2 用公式法把函数y2x28x6化为
yaxh2 k 的形式，求出对称轴和顶点坐
标．并画出此函数的图像。
．
二次函数的图像和性质复习
练一练，马到功成！
根据公式确定下列二次函数图象的对称轴 和顶点坐标：
二次函数的图像和性质复习
． yax2bxc图象的画法．
步骤：1．利用配方法或公式法把 yax2 bxc
化为yaxh2 k的形式。
2．确定抛物线的开口方向、对称轴 及顶点坐标。 3．在对称轴的两侧以顶点为中心左 右对称描点画图。
二次函数的图像和性质复习
例3 画出 y2x28x6 的图像，利用函 数图像回答： (1)x取什么值时，y＝0？ (2)x取什么值时，y＞0？ (3)x取什么值时，y＜0？ (4)x取什么值时，y有最大值或最小值？
y=ax2+bx+c(a>0)
b 2a
,
4acb2 4a
直线x b
2a
由a,b和c的符号确定
y=ax2+bx+c(a<0)
b 2a
,
4acb2 4a
直线x b
2a
由a,b和c的符号确定
向上
向下
当x<
b 2a
时,y随着x的增大而减小.
当x<
b 2a
,y随着x的增大而增大.
当 当xx>2 ba b 时,时 y随,最 着x的二小 增次函大数4值 而的a增图c 像大为 b 和.2性质复习当 当x x> b2b时 a ,,y最 随着x大 的增4值 大a而c减为 b小2 .
二次函数的图像和性质复习
返回
复习提问
1．怎样把 y 3 x 2的图象移动，便可得到
y3x22 5的图象？
2． y=-1/2(x+2)2-2 的顶点坐标
是
，对称轴是
．
3. 用配方法把 y 1x2 3x5 化为
2
2
yaxh2 k的形式，求出顶点坐和对称轴。
4.用配方法把
y 1x2 x5
2
2
化为 y=a(x－h)2
例6已知函数y
1x2 2
3x1 2，当x为何值
时，函数值y随自变量的值的增大而减小。
例7 已知二次函数 y m 1 x 2 2 m x 3 m 2 m 1
的最大值是0，求此函数的解析式．
二次函数的图像和性质复习
5．抛物线y＝ax2＋bx＋c中a，b，c的作用。
(1形)a状决相定同抛。物①线a＞形0状及开开口口向方上向；②，a若＜0a 相开等口，向则下。
二次函数的图像和性质复习
例4 已知抛物线 yx2k4xk7, ①k取何值时，抛物线经过原点； ②k取何值时，抛物线顶点在y轴上； ③k取何值时，抛物线顶点在x轴上； ④k取何值时，抛物线顶点在坐标轴上。
二次函数的图像和性质复习
例5 当x取何值时，二次函数 y2x2 8x1有最大值 或最小值，最大值或最小值是多少？
＋k的形式，求出顶点坐和对称轴
5.用配方法把 yax2 bxc化为 y=a(x－h)2
＋k的形式，求出顶点坐和对称轴
二次函数的图像和性质复习
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
１.顶点坐标与对称轴 ２.位置与开口方向 ３.函数值变化与最值 根据图象填表：
抛物线 顶点坐标
对称轴 位置
开口方向 函数值 最值
有且只有一个交点(0，c)， ①c＝0抛物线经过原点；
②c＞0与y轴交于正半轴；③c＜0与y轴交于负半轴。 二次函数的图像和性质复习
例8 已知如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图 象，判断以下各式的值是正值还是负值． (1)a；(2)b；(3)c；(4)b2－4ac；(5)2a＋b； (6)a＋b＋c；(7)a－b＋c．