高中数学 2.2.3 两条直线的位置关系 第一课时优化训练 新人教B版必修2
【高中数学】第2章 2.2.3 两条直线的位置关系【新教材】人教B版(2019)高中数学选择性必修
2.2.3两条直线的位置关系学习目标核心素养1．掌握两条直线相交的判定方法，会求两条相交直线的交点坐标．(重点)2．掌握两条直线平行与垂直的判定方法，注意利用直线方程的系数和利用斜率判定直线平行与垂直的差别．(重点)3．灵活选取恰当的方法判定两条直线的位置关系．(难点) 1．通过学习两直线位置关系的方法，培养逻辑推理的数学核心素养．2．借助两直线方程的学习，培养数学运算的核心素养．过山车是一种富有刺激性的娱乐游戏，那种风驰电掣、有惊无险的快感令不少人着迷．实际上，过山车运动包含了许多数学、物理学原理，人们在设计过山车时巧妙地运用了这些原理．过山车的铁轨是两条平行、起伏的轨道，你能感受到过山车中的平行吗？那么两条直线的平行用什么来刻画呢？1．两条直线相交、平行与重合的条件(1)几何方法判断若两直线的斜率均存在，我们可以利用斜率和在y轴上的截距判断两直线的位置关系，其方法如下：设l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，①l1与l2相交⇔k1≠k2；②l1∥l2⇔k1＝k2且b1≠b2；③l1与l2重合⇔k1＝k2且b1＝b2．(2)向量方法判断设直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，因为v 1＝(A 1，B 1)是直线l 1的一个法向量，v 2＝(A 2，B 2)是直线l 2的一个法向量．①l 1与l 2相交(即只有一个交点)的充要条件是v 1与v 2不共线，即A 1B 2≠A 2B 1． ②l 1与l 2平行或重合的充要条件是v 1与v 2共线，即A 1B 2＝A 2B 1；l 1与l 2重合的充要条件是，存在实数λ使得⎩⎨⎧A 1＝λA 2，B 1＝λB 2，C 1＝λC 2.思考：直线Ax ＋By ＋C 1＝0与直线Ax ＋By ＋C 2＝0，平行的充要条件是什么？重合呢？[提示] 平行的充要条件是C 1≠C 2，重合的充要条件为C 1＝C 2． 2．两条直线垂直对应关系l 1与l 2的斜率都存在，分别为k 1，k 2，则l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1l 1与l 2中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则l 1与l 2的位置关系是l 1⊥l 2图示1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若两条直线斜率相等，则这两条直线平行． ( ) (2)若l 1∥l 2，则k 1＝k 2．( ) (3)若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交．( ) (4)若两直线斜率都不存在，则两直线平行． ( )[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×[提示] (1)、(4)中两直线有可能重合，故(1)(4)错误；(2)可能出现两直线斜率不存在情况，故(2)错误；(3)正确．2．已知A (2,0)，B (3,3)，直线l ∥AB ，则直线l 的斜率为( )A ．－3B ．3C ．－13D ．13 B [因为k ＝k AB ＝3－03－2＝3，所以l 的斜率为3．]3．直线l 1与l 2的斜率是一元二次方程2 019x 2－2 020x －2 019＝0的两根，则l 1与l 2的位置关系为 ．垂直 [由题意知一元二次方程2 019x 2－2 020x －2 019＝0的两根x 1·x 2＝－1，∴直线l 1、l 2的斜率之积k 1k 2＝－1，∴直线l 1⊥l 2．]4．若直线l ：x ＋ay ＋2＝0平行于直线2x －y ＋3＝0，则a ＝ ． －12 [因为直线l ：x ＋ay ＋2＝0平行于直线2x －y ＋3＝0，所以1×(－1)－2a ＝0，解得a ＝－12．]5．经过点P (－2，－1)，Q (3，a )的直线与倾斜角为45°的直线垂直，则a ＝ ．－6 [由题意知a －(－1)3－(－2)＝－1，所以a ＝－6．]两条直线相交、平行、重合的判定12m 为何值时，直线l 1与l 2：(1)相交；(2)平行；(3)重合．[思路探究] 可尝试根据两直线相交、平行、重合的等价条件，列出方程求参数的值．[解] ∵直线l 1：x ＋my ＋6＝0， 直线l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，∴A 1＝1，B 1＝m ，C 1＝6，A 2＝m －2，B 2＝3，C 2＝2m ． (1)若l 1与l 2相交，则A 1B 2－A 2B 1≠0，即1×3－m (m －2)≠0， 即m 2－2m －3≠0，即(m －3)(m ＋1)≠0，即m ≠3，且m ≠－1． 故当m ≠3，且m ≠－1时，直线l 1与l 2相交．即⎩⎨⎧ 3－m (m －2)＝0，2m 2－18≠0，即⎩⎨⎧m 2－2m －3＝0，m 2≠9， 即⎩⎨⎧m ＝3或m ＝－1，m ≠3且m ≠－3， ∴m ＝－1．故当m ＝－1时，直线l 1与l 2平行． (3)若l 1与l 2重合，则有⎩⎨⎧A 1B 2－A 2B 1＝0，B 1C 2－B 2C 1＝0，即⎩⎨⎧ 3－m (m －2)＝0，2m 2－18＝0， ∴⎩⎨⎧m ＝3或m ＝－1，m ＝3或m ＝－3，∴m ＝3． 故当m ＝3时，直线l 1与l 2重合．根据两直线的位置关系确定参数取值时，因为斜率是否存在不清楚，若使用斜率判定，两直线位置关系需分类讨论，但使用直线方程一般式的系数来判定两直线的位置关系不必讨论.因此使用直线方程一般式系数来判定两直线位置关系更简便易行.[跟进训练]1．l 1：9x －y ＋a ＋2＝0；l 2：ax ＋(a －2)y ＋1＝0．求当a 为何值时，直线l 1与l 2：(1)相交；(2)平行；(3)重合．[解] 由题意：A 1＝9，B 1＝－1，C 1＝a ＋2，A 2＝a ，B 2＝a －2，C 2＝1， (1)若l 1与l 2相交，则A 1B 2－A 2B 1≠0， 即9(a －2)－a ×(－1)≠0，∴a ≠95． 故当a ≠95时，直线l 1与l 2相交．即⎩⎨⎧9(a －2)－a ×(－1)＝0，－1－(a 2－4)≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝95，a ≠±3.∴当a ＝95时，l 1与l 2平行．(3)若l 1与l 2重合，则有⎩⎨⎧A 1B 2－A 2B 1＝0，B 1C 2－B 2C 1＝0，由(2)知⎩⎪⎨⎪⎧a ＝95，a ＝±3，不成立，∴直线l 1与l 2不重合．综上所述：当a ≠95时，两直线相交，当a ＝95时，两直线平行，不论a 为何值两直线不会重合．两条直线垂直的判定【例2】12N (2,1)，判断l 1与l 2是否垂直；(2)已知直线l 1经过点A (3，a )，B (a －2,3)，直线l 2经过点C (2,3)，D (－1，a －2)，若l 1⊥l 2，求a 的值．[思路探究] (1)若斜率存在，求出斜率，利用垂直的条件判断；若一条直线的斜率不存在，再看另一条的斜率是否为0，若为0，则垂直；(2)当两直线的斜率都存在时，由斜率之积等于－1求解；若一条直线的斜率不存在，由另一条直线的斜率为0求解．[解] (1)直线l 1的斜率不存在，直线l 2的斜率为0，所以l 1⊥l 2． (2)由题意，知l 2的斜率k 2一定存在，l 1的斜率可能不存在． 当l 1的斜率不存在时，3＝a －2，即a ＝5，此时k 2＝0， 则l 1⊥l 2，满足题意． 当l 1的斜率k 1存在时，a ≠5， 由斜率公式，得k 1＝3－a a －2－3＝3－a a －5，k 2＝a －2－3－1－2＝a －5－3．由l 1⊥l 2，知k 1k 2＝－1， 即3－a a －5×⎝⎛⎭⎪⎫a －5－3＝－1，解得a ＝0． 综上所述，a 的值为0或5．利用斜率公式来判定两直线垂直的方法(1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在；再看另一条直线的两点的纵坐标是否相等，若相等，则垂直，若不相等，则进行第二步．(2)二代：就是将点的坐标代入斜率公式．(3)求值：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论．提醒：若已知点的坐标含有参数，利用两直线的垂直关系求参数值时，要注意讨论斜率不存在的情况．[跟进训练]2．分别判断下列两直线是否垂直．(1)直线l 1的斜率为－10，直线l 2经过点A (10,2)，B (20,3)． (2)直线l 1经过A (3,4)，B (3,7)，直线l 2经过点P (－2,4)，Q (2,4)． (3)直线l 1的斜率为13，直线l 2与直线2x ＋3y ＋1＝0平行． [解] (1)直线l 1的斜率为k 1＝－10，直线l 2的斜率为k 2＝3－220－10＝110，k 1·k 2＝－10×110＝－1．所以直线l 1与l 2垂直．(2)直线l 1的斜率不存在，故l 1与x 轴垂直，直线l 2的斜率为0，故直线l 2与x 轴平行，所以l 1与l 2垂直．(3)直线l 1的斜率为k 1＝13，直线l 2的斜率为k 2＝－23，k 1·k 2＝－29≠－1，所以直线l 1与l 2不垂直．直线平行与垂直的综合应用[探究问题]1．已知△ABC的三个顶点坐标A(5，－1)，B(1,1)，C(2,3)，你能判断△ABC 的形状吗？[提示]如图，AB边所在的直线的斜率k AB＝－12，BC边所在直线的斜率k BC＝2．由k AB·k BC＝－1，得AB⊥BC，即∠ABC＝90°．∴△ABC是以点B为直角顶点的直角三角形．2．若已知直角三角形ABC的顶点A(5，－1)，B(1,1)，C(2，m)，你能求出m的值吗？[提示]若∠A为直角，则AC⊥AB，所以k AC·k AB＝－1，即m＋12－5·1＋11－5＝－1，得m＝－7；若∠B为直角，则AB⊥BC，所以k AB·k BC＝－1，即1＋11－5·m－12－1＝－1，得m＝3；若∠C为直角，则AC⊥BC，所以k AC·k BC＝－1，即m＋12－5·m－12－1＝－1，得m＝±2．综上可知，m＝－7或m＝3或m＝±2．【例3】如图所示，在平面直角坐标系中，四边形OPQR的顶点坐标按逆时针顺序依次为O(0,0)，P(1，t)，Q(1－2t,2＋t)，R(－2t,2)，其中t＞0．试判断四边形OPQR的形状．[思路探究]利用直线方程的系数关系，或两直线间的斜率关系，判断两直线的位置关系．[解]由斜率公式得k OP＝t－01－0＝t，k QR＝2－(2＋t)－2t－(1－2t)＝－t－1＝t，k OR＝2－0－2t－0＝－1t，k PQ＝2＋t－t1－2t－1＝2－2t＝－1t．所以k OP＝k QR，k OR＝k PQ，从而OP∥QR，OR∥PQ．所以四边形OPQR为平行四边形．又k OP·k OR＝－1，所以OP⊥OR，故四边形OPQR为矩形．1．将本例中的四个点，改为“A(－4,3)，B(2,5)，C(6，3)，D(－3，0)，顺次连接A，B，C，D四点，试判断四边形ABCD的形状．”[解]由题意A，B，C，D四点在平面直角坐标系内的位置如图，由斜率公式可得k AB＝5－32－(－4)＝13，k CD＝0－3－3－6＝13，k AD＝0－3－3－(－4)＝－3，k BC＝3－56－2＝－12．所以k AB＝k CD，由图可知AB与CD不重合，所以AB∥CD，由k AD≠k BC，所以AD与BC不平行．又因为k AB·k AD＝13×(－3)＝－1，所以AB⊥AD，故四边形ABCD为直角梯形．2．将本例改为“已知矩形OPQR中按逆时针顺序依次为O(0，0)，P(1，t)，Q(1－2t,2＋t)，试求顶点R的坐标．”[解]因为OPQR为矩形，所以OQ的中点也是PR的中点，设R(x，y)，则由中点坐标公式知⎩⎪⎨⎪⎧0＋1－2t 2＝1＋x 2，0＋2＋t 2＝t ＋y2，解得⎩⎨⎧x ＝－2t ，y ＝2.所以R 点的坐标是(－2t,2)．1．利用两条直线平行或垂直判定几何图形的形状的步骤2．判定几何图形形状的注意点(1)在顶点确定的前提下，判定几何图形的形状时，要先画图，猜测其形状，以明确证明的目标．(2)证明两直线平行时，仅仅有k 1＝k 2是不够的，还要注意排除两直线重合的情况．(3)判断四边形形状，要依据四边形的特点，并且不会产生其他的情况．1．本节课的重点是理解两条直线平行或垂直的判定条件，会利用斜率判断两条直线平行或垂直，难点是利用斜率判断两条直线平行或垂直．2．本节课要重点掌握的规律方法 (1)判断两条直线平行的步骤．(2)利用斜率公式判断两条直线垂直的方法． (3)判断图形形状的方法步骤．3．本节课的易错点是利用斜率判断含字母参数的两直线平行或垂直时，对字母分类讨论．1．直线x＋ay－7＝0与直线(a＋1)x＋2y－14＝0平行，则a的值是() A．1B．－2C．1或－2D．－1或2B[由已知，得a(a＋1)－2＝0，解得a＝－2或a＝1．当a＝1时，两直线重合，∴a＝－2．]2．如图，直线l1的倾斜角α1＝30°，直线l1⊥l2，则l2的斜率为()A．－33B．33C．－ 3 D． 3C[∵k1＝tan 30°＝3 3，又l1⊥l2，∴k1·k2＝－1，∴k2＝－3．]3．已知过点A(－2，m)和B(m,4)的直线与直线2x＋y－1＝0平行，则m的值为()A．－8 B．0C．2 D．10A[由已知，得4－mm＋2＝－2，∴m＝－8．]4．已知直线l的倾斜角为45°，直线l2的斜率为k＝m2－3，若l1∥l2，则m 的值为．±2[由题意知m2－3＝tan 45°，解得m＝±2．]5．当m为何值时，过两点A(1,1)，B(2m2＋1，m－2)的直线：(1)倾斜角为135°；(2)与过两点(3,2)，(0，－7)的直线垂直；(3)与过两点(2，－3)，(－4,9)的直线平行．[解] (1)由k AB ＝m －32m 2＝tan 135°＝－1，解得m ＝－32或m ＝1．(2)由k AB ＝m －32m 2，且－7－20－3＝3． 则m －32m 2＝－13，解得m ＝32或m ＝－3．(3)令m －32m 2＝9＋3－4－2＝－2，解得m ＝34或m ＝－1．高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。
2021年高中数学.直线的方程..3两条直线的位置关系课后训练新人教B版必修
2021年高中数学2.2直线的方程2.2.3两条直线的位置关系课后训练新人教B版必修1．l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1与l2只有一个公共点，则( )．A．A1B1－A2B2＝0 B．A1B2－A2B1≠0C． D．2．如果直线ax＋2y＋2＝0与直线3x－y－2＝0平行，那么a等于( )．A．－3 B．－6 C． D．3．已知点A(1,2)，B(3,1)，则线段AB的垂直平分线的方程是( )．A．4x＋2y＝5 B．4x－2y＝5C．x＋2y＝5 D．x－2y＝54．已知A(7，－4)关于直线l的对称点为B(－5,6)，则直线l的方程是( )．A．5x＋6y－11＝0 B．5x－6y＋1＝0C．6x＋5y－11＝0 D．6x－5y－1＝05．已知l平行于直线3x＋4y－5＝0，且l和两坐标轴在第一象限内所围成的三角形的面积是24，则直线l的方程是( )．A．3x＋4y－＝0 B．3x＋4y＋＝0C．3x＋4y－24＝0 D．3x＋4y＋24＝06．若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则的值等于__________．7．设集合A＝{(x，y)|y＝ax＋1}，B＝{(x，y)|y＝x＋b}，且A∩B＝{(2,5)}，则a＝__________，b＝__________.8．已知△ABC的三个顶点A(1,3)，B(－1，－1)，C(2,1)，则BC边上的高所在的直线方程为__________．9．直线l过直线x＋y－2＝0和直线x－y＋4＝0的交点，且与直线3x－2y＋4＝0平行，求直线l的方程．10．光线沿着直线x－2y＋1＝0射入，遇到直线l：3x－2y＋7＝0即发生反射，求反射光线所在的直线方程．参考答案1.答案：B2.答案：B3.答案：B 可以先求出AB的中点坐标为，又直线AB的斜率，∴线段AB的垂直平分线的斜率为2.由点斜式方程，可得所求垂直平分线的方程为y－＝2(x－2)，即4x－2y＝5.4.答案：D5.答案：C 设直线l的方程是3x＋4y－c＝0，c＞0，由题意，知，所以c＝24.6.答案：由于点A在第一象限，点B在x轴上，点C在y轴上，因此三点所在的直线斜率存在，因此直线AB的斜率与直线BC的斜率相等，从而将题意转化为关于a 和b的等式，再进一步整理求出的值．根据题意，得2a＝b(a－2)，整理得.7.答案：2 38.答案：3x＋2y－9＝0 三角形BC边上的高所在的直线与BC边垂直，因为，所以BC边上高的斜率为，由直线的点斜式方程得，化成一般式得3x＋2y－9＝0.9.答案：解法一：联立方程：解得即直线l过点(－1,3)，由直线l与直线3x－2y＋4＝0平行得直线l的斜率为，∴直线l的方程为，即3x－2y＋9＝0.解法二：∵直线x＋y－2＝0不与3x－2y＋4＝0平行，∴可设符合条件的直线l 的方程为x －y ＋4＋λ(x ＋y －2)＝0， 整理得(1＋λ)x ＋(λ－1)y ＋4－2λ＝0，∵直线l 与直线3x －2y ＋4＝0平行，∴，解得，∴直线l 的方程为，即3x －2y ＋9＝0.10. 答案：解：设直线x －2y ＋1＝0上任一点P (x 0，y 0)关于直线l 的对称点为P ′(x ，y )，∵PP ′⊥l ，∴.∴.①又PP ′的中点在l 上， ∴00327022x x y y ++⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.② 由方程①②，可得点P 的坐标为5124212528,1313x y x y -+-++⎛⎫⎪⎝⎭. ∴x －2y ＋1＝0关于直线l 的对称直线的方程为51242125282101313x y x y -+-++⎛⎫-+= ⎪⎝⎭. 整理得29x －2y ＋85＝0.∴反射光线所在的直线方程为29x －2y ＋85＝0.。
高中数学 第二章 平面解析几何初步 2.2.3 两条直线的位置关系同步练习(含解析)新人教B版必修2
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两条直线的位置关系1．已知直线l1：(k－3）x＋(4－k)y＋1＝0与l2:2（k－3)x－2y＋3＝0平行，则k的值是( )．A．1或3 B．1或5 C．3或5 D．1或22．由直线2x－y＋2＝0，x－3y－3＝0和6x＋2y＋5＝0围成的三角形为（）．A．直角三角形 B．等边三角形C．钝角三角形 D．锐角三角形3．已知集合A＝{（x，y）|x＋y＝0,x,y R}，B＝{（x，y)｜x－y＝0,x，y R}，则集合A B的元素个数是( ）．A．0 B．1C．2 D．34．若直线l：y＝kx－1与直线x＋y－1＝0的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是（)．A．（－∞，－1) B．（－∞,－1]C．(1，＋∞） D．［1，＋∞）5．若直线l经过点M（a－2,－1)和N(－a－2，1）且与经过点（－2，1),斜率为23-的直线垂直，则实数a的值为（）．A．23- B．32-C．23D．326．已知直线l1：x－y－1＝0，l2：2x－y＋3＝0，l3：x＋my－5＝0,若l1，l2,l3只有两个交点，则m＝__________.7．已知直线l过点P（3，1)，且被两平行直线l1：x＋y＋1＝0和l2:x＋y＋6＝0截得的线段长度为5，求直线l的方程．8．（1)求点A（3，2)关于点B（－3,4）的对称点C的坐标；（2）求直线3x－y－4＝0关于点P（2，－1）对称的直线l的方程；(3)求点A(2,2）关于直线2x－4y＋9＝0的对称点的坐标．9。
高中数学 2.2.3 两条直线的位置关系课件 新人教B版必修2
(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交
点的直线：(A1x＋B1y＋C1)＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ为参数且这些
直线中不包含l2)． 3．两条直线的平行必须注意的两个问题 (1)两条直线平行的条件是斜率都存在且不重合，即两条直 线都不垂直于x轴，否则推导中α1＝α2⇒/ tan tan α1，tan α2均无意义)． (2) 当l1 ，l2都垂直于x轴且不重合时，由于垂直于同一条直 α1＝tan α2(∵此时
解 法一 解方程组 x－2y＋4＝
x＋y－2＝0 得 P(0,2)．
3 4 因为 l3 的斜率为4，且 l⊥l3，所以直线 l 的斜率为－3，由斜 4 截式可知 l 的方程为 y＝－3x＋2， 即 4x＋3y－6＝0. 法二 设直线 l 的方程为 x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0， 即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0， 又∵l⊥l3，∴3×(1＋λ)＋(－4)(λ－2)＝0， 解得 λ＝11，∴直线 l 的方程为 4x＋3y－6＝0.
线的两条直线平行，可推得l1∥l2，这样两条不重合直线平行的
判定的一般结论就是：l1∥l2⇔k1＝k2或l1，l2斜率都不存在．
4．两条直线的垂直必须注意的两个问题 (1)两条直线垂直的条件是斜率都存在且不等于零， 否则由 tan 1 α2＝tan(90° ＋α1)＝－ 的式子就没有意义． tan α1 (2)两条直线中，一条斜率不存在，同时另一条斜率等于零， 则两条直线垂直．这样，两条直线垂直的判定就可叙述为：一般 地，l1⊥l2⇔k1· k2＝－1 或一条直线斜率不存在， 同时另一条直线斜 率等于零.
代数条件 A1B2－A2B1＝0 且 B1C2－ B2C1≠0(A2C1－A1C2≠0)
【高中教育】高中数学人教B版必修二2.2.3两条直线的位置关系学案一.doc
空间两条直线的位置关系【复习目标】1．掌握空间直线的位置关系，理解异面直线的定义，并能判定和证明两条直线是异面直线；2．会用转化的方法求异面直线所成的角，渗透“化归”的数学思想方法；3．初步掌握“文字语言”、“符号语言”、“图形语言”的相互转化。
【课前预习】1.空间两条直线位置关系的分类：2.分别与两条异面直线同时相交的两条直线不可能有什么样的位置关系？；3.两条直线没有交点是这两条直线为异面直线的条件.4.两异面直线在一平面内射影的可能图形是（写出所有可能）。
5.“a、b是两条异面直线”是指：（1）a bφ⋂=，但a不平行b；（2）a⊂平面α，b⊂平面β；且a bφ=；（3）a⊂平面α，b⊂平面β；且αβφ=；（4）a⊂平面α，b⊄平面α；（5）不存在平面α，能使a⊂平面α，且b⊂平面α.上述结论中，正确的是（）A．（1）（4）（5） B．（1）（3）（4） C．（2）（4） D．（1）（5）6. 设a 、b 是两条异面直线，下列命题结论正确的是（ ）A ．有且仅有一条直线与a 、b 都垂直B ．过a 有且仅有一个平面与b 平行C ．有且仅有一个平面与a 、b 都垂直D ．过空间任一点必可作一条直线与a 、b 都相交1.：空间两条直线的位置关系（1）相交直线——有且仅有一个公共点；（2）平行直线——在同一平面内，没有公共点；（3）异面直线——不同在任何一个平面内，没有公共点。
相交直线和平行直线也称为共面直线． 异面直线的画法常用的有下列三种：2. 平行直线：在平面几何中，平行于同一条直线的两条直线互相平行，这个结论在空间也是成立的。
即公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
3.等角定理等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等．推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等．a ba bαα4．异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线推理模式：,,,A B a B a ααα∉∈⊂∉⇒AB 与a 是异面直线 三．例题分析： 【典型例题】例2 如图，已知不共面的三条直线,,a b c 相交于点P ，A a ∈，B a ∈，C b ∈，D c ∈，求证：AD 与BC 是异面直线。
高中数学 2.2.3 两条直线的位置关系课件 新人教B版必
RB ·数学 必修2
思 想 方 法 技 巧
当 堂 双 基 达 标
课 时 作 业
教 师 备 课 资 源
教 学 教 法 分 析
教 学 方 案 设 计
课 前 自 主 导 学
课 堂 互 动 探 究
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RB ·数学 必修2
思 想 方 法 技 巧
当 堂 双 基 达 标
课 时 作 业
教 师 备 课 资 源
教 学 教 法 分 析
两条直线相交、平行与重合的条件
思 想
法
方
分 析
【问题导思】
法 技
巧
教 学
1．两条直线平行其倾斜角什么关系？反之呢？
当
方
堂
案 设
【提示】 两条直线平行其倾斜角相等；反之不成立．
双 基
计
达
课
2．有人说：两条直线平行，斜率一定相等．这种说法对 标
前
自 主
吗？
课 时
导 学
【提示】
不对，若两直线平行，只有在它们都存在斜
想
法 分
●教学建议
方 法
析
技
本节课是在学习直线的方程等知识的基础上，进一步探 巧
教
学 方
究如何用直线的斜率判定两条直线平行与垂直的位置关
当 堂
案
双
设 系．核心内容是两条直线平行与垂直的判定．结合本节知识 基
计
达
课 的特点，建议采用引导发现法，先从学生已有的知识经验出 标
前
自 发，采用数形结合的思想，把两条直线平行与垂直的几何关 课
课
前
自 系，再通过直线的倾斜角同斜率的关系，猜想得出两条直线 课
主
时
高中数学2.2.3两条直线的位置关系优化训练新人教B版必修
2.2.3 两条直线的位置关系5分钟训练(预习类训练,可用于课前)1.已知点A(1,2),B(3,1),则线段AB 垂直平分线的方程是( )A.4x+2y=5B.4x-2y=5C.x+2y=5D.x-2y=5解析：可以先求出AB 的中点坐标为(2，23)，又直线AB 的斜率k=211321-=--，∴垂直平分线斜率为2.由点斜式方程，可得所求垂直平分线的方程为y-23=2(x-2)， 即4x-2y=5.答案：B2.已知直线ax-y=0与直线ax+y=x+1平行，则a 的值为( ) A.0B.1C.21D.21- 解析：由题设可得两条直线的斜率分别为a 和1-a,由两条直线平行，得a=1-a ⇒a=21. 答案：C3.已知两直线l 1：(3+a)x+4y-5+3a=0与l 2：2x+(5+a)y-8=0.(1)l 1与l 2相交时，a≠____________;(2)l 1与l 2平行时，a=____________；(3)l 1与l 2重合时，a=____________；(4)l 1与l 2垂直时，a=____________.解：由题意知A 1=3+a 、B 1=4、C 1=-5+3a ，A 2=2、B 2=5+a 、C 2=-8.则D 1=(3+a).(5+a)-8=a 2+8a+7，D 2=-32-(-5+3a).(5+a)=3a 2+10a+7.当D 1≠0,即a≠-7或-1时，l 1与l 2相交；当D 1=0,D 2≠0，即a=-7时，l 1与l 2平行；当D 1=0,D 2=0，即a=-1时，l 1与l 2重合；当A 1A 2+B 1B 2=0,即a=313-时，l 1与l 2垂直.答案：(1)-7或-1 (2)-7 (3)-1 (4)313- 10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.已知两条直线y=ax-2和y=(a+2)x+1互相垂直，则a 等于( )A.2B.1C.0D.-1解析：两条直线的斜率分别为a 和a+2且相互垂直,即a(a+2)=-1,解得a=-1.答案：D2.以A(-1,1)、B(2,-1)、C(1,4)为顶点的三角形是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等边三角形解析：已知三角形三顶点的坐标,可分别求出每条边所在直线的斜率分别为k AB =21)1(4,32)1(211---=-=----BC k =-5,k CA =231141=---,可见k AB ·k CA =(32-)×23=-1,所以AB 边与AC 边所在的直线垂直,即∠A=90°,△ABC 为直角三角形.答案：B3.直线l 1与l 2为两条不重合的直线,则下列命题:①若l 1∥l 2,则斜率k 1=k 2;②若斜率k 1=k 2,则l 1∥l 2;③若倾斜角α1=α2,则l 1∥l 2;④若l 1∥l 2,则倾斜角α1=α2.其中正确命题的个数是( )A.1B.2C.3D.4解析：对于①,若l 1∥l 2,但它们都与x 轴垂直时,斜率都不存在,则没有k 1=k 2;对于②,若斜率k 1=k 2,则这两条直线可能重合;对于③,若倾斜角α1=α2,这两条直线也可能重合;对于④,若l 1∥l 2,则倾斜角α1=α2正确.故正确命题只有1个.答案：A4.和直线4x+3y+5=0平行且在x 轴上截距为-3的直线方程为____________.解析：与直线4x+3y+5=0平行的直线方程可设为4x+3y+c=0,令y=0,得x=4c -,由题意得4c -=-3,故c=12,所以所求的直线方程为4x+3y+12=0. 答案：4x+3y+12=05.在△ABC 中，BC 边上的高所在的直线方程为x-2y+1=0，∠A 的平分线所在的直线方程为y=0.若B 的坐标为(1，2)，求A 点及C 点的坐标.解:由⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧==+-,0,10,012y x y y x 解得即A 点坐标为(-1，0). 作B(1，2)关于y=0的对称点B′(1，-2)，则AB′所在直线方程为111202---=++x y ,即x+y+1=0.①∵BC 边上的高所在直线方程为x-2y+1=0,∴BC 边所在直线方程为2x+y-4=0.②联立①②得⎩⎨⎧=-+=++,042,01y x y x解得⎩⎨⎧-==,6,5y x 即C(5，-6). 30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.两条直线x+3y+m=0和3x-y+n=0的位置关系是( )A.平行B.垂直C.不平行但不垂直D.不能判断解析：先把两直线方程化成斜截式,可知这两直线的斜率分别是31-和3，且31-×3=-1,由此可知这两直线垂直.答案：B2.过点(-1,3)且垂直于直线x-2y+3=0的直线方程为( )A.2x+y-1=0B.2x+y-5=0C.x+2y-5=0D.x-2y+7=0解析：由两直线垂直知所求的直线斜率为直线x-2y+3=0的斜率的负倒数,因为x-2y+3=0的斜率为21,所以所求直线的斜率为-2,由直线的点斜式方程得y-3=-2(x+1),化成一般式得2x+y-1=0.答案：A3.过A(1,2)和B(-3,2)的直线与直线y=0的位置关系是( )A.相交B.平行C.重合D.以上都不对解析：考查直线间位置关系的判定,由斜率公式,知k AB =3122+-=0,所以直线AB 的方程可写为y=2.而x 轴的方程为y=0,∴过AB 的直线与y=0平行.答案：B4.已知过点A(-2，m)和B(m ，4)的直线与直线2x+y-1=0平行，则m 的值为( )A.0B.-8C.2D.10解析：由两条直线平行，得AB 的斜率等于直线2x+y-1=0的斜率,又k AB =m m ---24,即mm ---24=-2,解得m=-8. 答案：B5.一束光线自A(-2，1)入射到x 轴上，经反射后，反射光线与y=x 平行，则入射线与x 轴的交点是( )A.(1，0)B.(-1，0)C.(-3，0)D.(2，0)解析：由入射角等于反射角，易得入射光线斜率为-1，所以选B.答案：B6.已知l 平行于直线3x+4y-5=0，且l 和两坐标轴在第一象限内所围成的三角形的面积是24，则直线l 的方程是( ) A.3x+4y-212=0B.3x+4y+212=0C.3x+4y-24=0D.3x+4y+24=0解析：设l:3x+4y-c=0,c ＞0,由S=21×43c c ⨯=24,可得c=24. 答案：C7.已知两条直线l 1：ax+3y-3=0，l 2：4x+6y-1=0，若l 1∥l 2，则a=____________.解析：由题设可得两条直线的斜率分别为3a -和32-,由两条直线的平行可得3a -=32-⇒a=2. 答案：28.已知定点A(-1，3)、B(4，2)，在x 轴上求点C ，使AC⊥CB.解：设C(x,0)为所求的点，则k AC =13+-x ,k CB =42--x . ∵AC⊥BC,∴k AC ·k BC =-1,即)4)(1(6-+x x =-1,去分母解得x 1=1,x 2=2,故所求点为C(1，0)或C(2，0). 9.已知△ABC 的三个顶点A(1,3),B(-1,-1),C(2,1),求BC 边上的高所在的直线方程. 解：三角形BC 边上的高所在的直线与BC 边垂直,因为k BC =322111=----,所以BC 边上高的斜率为23-,由直线的点斜式方程得y-3=23-(x-1),化成一般式得3x+2y-9=0. 10.已知A(4,3),B(3,4),C(1,2),D(-1,-2),求证：四边形ABCD 为直角梯形. 证明：由斜率公式:k AB =14334-=--,k BC =13142=--，k CD =1122----=2，k AD =4132----=1, 因为k BC =k AD ,所以AD 与BC 平行.又k AB k BC =-1,所以AB 与BC 垂直.又k AB ≠k CD ,故四边形ABCD 为直角梯形.11.光线沿着直线x-2y+1=0射入，遇到直线l:3x-2y+7=0即发生反射，求反射光线所在的直线方程.解：设直线x-2y+1=0上任一点P(x 0,y 0)关于直线l 的对称点为P′(x,y),∵PP′⊥l,∴k PP′=lk 1-. ∴3200-=--x x y y .① 又PP′的中点M(2,200y y x x ++)在l 上， ∴3(20x x +)-2(20y y +)+7=0.② 由方程①②，可得P 点坐标为(1328512,1342125++-+-y x y x ). ∴x -2y+1=0关于直线l 的对称直线的方程为1)1328512(21342125+++--+-y x y x =0. 整理得29x-2y+85=0.∴反射光线方程为29x-2y+85=0.。
高中数学 第二章 平面解析几何初步 2.2.3 两条直线的位置关系练习 新人教B版必修2
2.2.3 两条直线的位置关系1若直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,l1与l2只有一个公共点,则()A.A1B1-A2B2=0B.A1B2-A2B1≠0C.D.答案：B2如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行,那么a等于()A.-3B.-6C.-D.答案：B3已知点A(1,2),B(3,1),则线段AB的垂直平分线的方程是()A.4x+2y=5B.4x-2y=5C.x+2y=5D.x-2y=5解析：可以先求出AB的中点坐标为,又因为直线AB的斜率k==-,所以线段AB的垂直平分线的斜率为2.由点斜式方程,可得所求垂直平分线的方程为y-=2(x-2),即4x-2y=5.答案：B4已知点A(7,-4)关于直线l的对称点为B(-5,6),则直线l的方程是()A.5x+6y-11=0B.5x-6y+1=0C.6x+5y-11=0D.6x-5y-1=0答案：D5已知l平行于直线3x+4y-5=0,且l和两坐标轴在第一象限内所围成的三角形的面积是24,则直线l的方程是()A.3x+4y-12=0B.3x+4y+12=0C.3x+4y-24=0D.3x+4y+24=0解析：设直线l的方程是3x+4y-c=0,c>0,由题意,知=24,所以c=24.答案：C6若过点A(4,m),B(m,-2)的直线与直线x+2y+2=0垂直,则m的值为.解析：因为直线AB垂直于直线x+2y+2=0,又因为直线x+2y+2=0的斜率为-,所以直线AB的斜率k AB==2,即m=2.答案：27设集合A={(x,y)|y=ax+1},B={(x,y)|y=x+b},且A∩B={(2,5)},则a=,b=.答案：2 38若三点A(2,2),B(a,0),C(0,b)(ab≠0)共线,则的值等于.解析：由于点A在第一象限,点B在x轴上,点C在y轴上,因此三点所在的直线斜率存在,因此直线AB的斜率与直线BC的斜率相等,从而将题意转化为关于a和b的等式,再进一步整理求出的值.根据题意,得2a=b(a-2),整理得.答案：9直线l与直线3x-2y=6平行,且直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1,则直线l的方程为.解析：由题意知直线l的斜率k=,设直线l的方程为y=x+b.令y=0,得x=-,∴--b=1,解得b=-.∴直线l的方程为y=x-,即15x-10y-6=0.答案：15x-10y-6=010直线l过直线x+y-2=0和直线x-y+4=0的交点,且与直线3x-2y+4=0平行,求直线l的方程.解(方法一)联立方程解得即直线l过点(-1,3),由直线l与直线3x-2y+4=0平行得直线l的斜率为,故直线l的方程为y-3=(x+1), 即3x-2y+9=0.(方法二)因为直线x+y-2=0不与3x-2y+4=0平行,所以可设符合条件的直线l的方程为x-y+4+λ(x+y-2)=0,整理得(1+λ)x+(λ-1)y+4-2λ=0.因为直线l与直线3x-2y+4=0平行,所以,解得λ=,故直线l的方程为x-y+=0,即3x-2y+9=0.★11光线沿着直线x-2y+1=0射入,遇到直线l:3x-2y+7=0即发生反射,求反射光线所在的直线方程.解设直线x-2y+1=0上任一点P(x0,y0)关于直线l的对称点为P'(x,y),因为PP'⊥l,所以=-.所以=-.①又因为PP'的中点M在l上,所以3-2+7=0.②由方程①②,可得点P的坐标为.所以x-2y+1=0关于直线l的对称直线的方程为-2+1=0.整理得29x-2y+85=0.故反射光线所在的直线方程为29x-2y+85=0.★12已知A(-3,5),B(2,15),直线l:3x-4y+4=0,在直线l上求一点P,使|PA|+|PB|的值最小,并求出最小值.解如图,设点A关于直线l的对称点为A'(x0,y0).∵AA'⊥l,∴AA'的中点在直线l上,∴即解得∴点A'的坐标为(3,-3).由|PA|=|PA'|知|PA|+|PB|=|PA'|+|PB|.又当B,P,A'三点共线时,|PA'|+|PB|的值最小,即使|PA|+|PB|的值最小.由两点式可得A'B的方程为,即为18x+y-51=0.又∵点P应是A'B与l的交点,∴解方程组得∴所求点P的坐标为.最小值为|A'B|==5.。
高中数学 2.2.3两条直线的位置关系同步练习二 新人教B版必修2
一、选择题(每小题5分，共30分)1．m ＝－1是直线mx ＋y －3＝0与直线2x ＋m (m －1)y ＋2＝0垂直的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：两直线垂直的充要条件是2m ＋m (m －1)＝0，解得m ＝0或m ＝－1，∴m ＝－1仅是两直线垂直的充分不必要条件．答案：A2．若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是 ( )A ．[π6，π3)B ．(π6，π2)C ．(π3，π2)D ．[π6，π2] 解析：解法1：求出交点坐标，再由交点在第一象限求得倾斜角的范围⎩⎨⎧y ＝kx －3，2x ＋3y －6＝0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3(2＋3)2＋3k ，y ＝6k －232＋3k ，∵交点在第一象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧x >0y >0，∴⎩⎪⎨⎪⎧3(2＋3)2＋3k >06k －232＋3k >0，∴k ∈(33，＋∞)．图1∴倾斜角范围为(π6，π2)．解法2：如图1所示，直线2x ＋3y －6＝0过点A (3,0)，B (0,2)，直线l 必过点C (0，－3)，当直线过A 点时，两直线的交点在x 轴，当直线l 绕C 点逆时针旋转时，交点进入第一象限，从而得出结果．答案：B3．直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是 ( )A ．x ＋2y －1＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．2x ＋y －3＝0D ．x ＋2y －3＝0解析：在直线x －2y ＋1＝0上任取两点(1,1)，(0，12)，这两点关于直线x ＝1的对称点分别为(1,1)，(2，12)，过这两点的直线方程为y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0.所以应选D. 答案：D4．(2009·上海高考)已知直线l 1：(k －3)x ＋(4－k )y ＋1＝0与l 2：2(k －3)x －2y ＋3＝0平行，则k 的值是 ( )A ．1或3B ．1或5C ．3或5D ．1或2解析：当k ＝4时，直线l 1的斜率不存在，直线l 2的斜率为1，两直线不平行；当k ≠4时，两直线平行的一个必要条件是3－k 4－k ＝k －3，解得k ＝3或k ＝5，但必须同时满足1k －4≠32(截距不相等)才是充要条件，检验知k ＝3、k ＝5均满足这个条件．故选C.答案：C5．光线入射在直线l 1：2x －y －3＝0上，经过x 轴反射到直线l 2上，再经过y 轴反射到直线l 3上，则l 3的直线方程为 ( )A ．x －2y ＋3＝0B ．2x －y ＋3＝0C ．2x ＋y －3＝0D ．2x －y ＋6＝0解析：2x －y －3＝0与x 轴交点为(32，0)所以2x －y －3＝0关于x 轴的对称直线为2x ＋y －3＝0,2x ＋y －3＝0关于y 轴对称的直线为2x －y ＋3＝0，所以l 3的方程为2x －y ＋3＝0.选B.答案：B6．设两条平行直线的方程分别为x ＋y ＋a ＝0、x ＋y ＋b ＝0，已知a 、b 是关于x 的方程x 2＋x ＋c ＝0的两个实数根，且0≤c ≤18，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别为( )A.12，24B.2，22C.2，12D.22，12解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝－1ab ＝c，|a －b |＝(a ＋b )2－4ab ＝1－4c ，∵0≤c ≤18，∴|a－b |∈[22，1]，∴两直线间的距离d ＝|a －b |2∈[12，22]，∴两条直线之间的距离的最大值和最小值分别为22，12. 答案：D二、填空题(每小题5分，共20分)7．与直线3x ＋4y ＋12＝0平行，且与坐标轴构成的三角形面积是24的直线l 的方程是__________．解析：由题意可设直线l ：3x ＋4y ＋c ＝0，令x ＝0，y ＝－c 4，令y ＝0，x ＝－c 3，∴12·|c |4·|c |3＝24⇒c ＝±24，∴直线l ：3x ＋4y ±24＝0. 答案：3x ＋4y ±24＝08．点P (4cos θ，3sin θ)到直线x ＋y －6＝0的距离的最小值等于__________．解析：由点到直线的距离公式可得d ＝|4cos θ＋3sin θ－6|2＝|5sin(θ＋φ)－6|2∵－5≤5sin(θ＋φ)≤5，∴－11≤5sin(θ＋φ)－6≤－1.∴d min ＝22.答案：229．直线l 1：a 1x ＋b 1y ＋1＝0和直线l 2：a 2x ＋b 2y ＋1＝0的交点为(2,3)，则过两点Q 1(a 1，b 1)，Q 2(a 2，b 2)的直线方程为__________．解析：∵(2,3)为两直线l 1，l 2的交点，∴2a 1＋3b 1＋1＝0,2a 2＋3b 2＋1＝0，由此可知，点Q 1(a 1，b 1)，Q 2(a 2，b 2)都在直线2x ＋3y ＋1＝0上， 又∵l 1与l 2是两条不同的直线， ∴a 1与a 2，b 1与b 2不可能全相同， 因此Q 1，Q 2为不同的两点，∴过两点Q 1，Q 2的直线方程为2x ＋3y ＋1＝0. 答案：2x ＋3y ＋1＝010．(2009·全国卷Ⅰ)若直线m 被两平行线l 1：x －y ＋1＝0与l 2：x －y ＋3＝0所截得的线段的长为22，则m 的倾斜角可以是①15° ②30° ③45° ④60° ⑤75°其中正确答案的序号是________．(写出所有正确答案的序号)图2解析：两平行线间的距离为d ＝|3－1|1＋1＝2，如图2所示，可知直线m 与l 1、l 2的夹角为30°，l 1、l 2的倾斜角为45°，所以直线m 的倾斜角等于30°＋45°＝75°或45°－30°＝15°.故填①⑤.答案：①⑤三、解答题(共50分)11．(15分)等腰Rt△ABC 的斜边AB 所在的直线方程是3x －y ＋2＝0，C (145，25)，求直线AC 和直线BC 的方程和△ABC 的面积．解：k AB ＝3，设与直线AB 夹角为45°的直线斜率为k ，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪k －31＋3k ＝tan45°＝1.∴k ＝12或－2.∴直线AC 、BC 的方程为y －25＝12(x －145)和y －25＝－2(x －145)， 即x －2y －2＝0和2x ＋y －6＝0， 又C 到直线AB 的距离d ＝10，∴S △ABC ＝12|AB |·d ＝12×210×10＝10.12．(15分)△ABC 中，A (1,4)，∠ABC 的平分线所在直线方程为x －2y ＝0，∠ACB 的平分线所在直线的方程为x ＋y －1＝0(如图3)，求BC 边所在直线的方程．图3解：设A 点关于直线x －2y ＝0的对称点为A 1(x 1，y 1)，则有⎩⎪⎨⎪⎧y 1－4x 1－1＝－2x 1＋12－(y 1＋4)＝0，可解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝195y 1＝－85，即A 1(195，－85)，设点A 关于x ＋y －1＝0的对称点为A 2(x 2，y 2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧y 2－4x 2－1＝1，(x 2＋1)＋(y 2＋4)－2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－3y 2＝0.即A 2(－3,0)．则直线A 1A 2即直线BC 的方程为y ＝0－(－85)－3－195[x －(－3)]即4x ＋17y ＋12＝0.13．(20分)两条互相平行的直线分别过点A (6,2)和B (－3，－1)，并且各自绕着A 、B 旋转，如果两条平行直线间的距离为d ，求：(1)d 的变化范围；(2)当d 取最大值时，两条直线的方程．解：(1)方法1：①当两条直线的斜率不存在时，即两直线分别为x ＝6和x ＝－3，则它们之间的距离为9.②当两条直线的斜率存在时，设这两条直线方程为 l 1：y －2＝k (x －6)， l 2：y ＋1＝k (x ＋3)，即l 1：kx －y －6k ＋2＝0，l 2：kx －y ＋3k －1＝0.∴d ＝|3k －1＋6k －2|k 2＋1＝3|3k －1|k 2＋1，即(81－d 2)k 2－54k ＋9－d 2＝0. ∵k ∈R ，且d ≠9，d >0，∴Δ＝542－4(81－d 2)(9－d 2)≥0， 即0<d ≤310且d ≠9.综合①②可知，所求的d 的变化范围为(0,310]．图4方法2：如图4所示， 显然有0<d ≤|AB |.而|AB |＝(6＋3)2＋(2＋1)2＝310.故所求的d 的变化范围为(0,310]．(2)由图4可知，当d 取最大值时，两直线垂直于AB .而k AB ＝2－(－1)6－(－3)＝13，∴所求的直线的斜率为－3.故所求的直线方程分别为y －2＝－3(x －6)和y ＋1＝ －3(x ＋3)，即3x ＋y －20＝0和3x ＋y ＋10＝0.。
高中数学2.2直线的方程2.2.3两条直线的位置关系学案新人教B版必修2
2.2.3 两条直线的位置关系1．会通过解方程组发现直线相交、平行、重合的条件．2．会判断两条直线相交、平行和重合，并会求两条直线的交点坐标．3．理解用勾股定理推导两条直线垂直的条件，并能熟练运用这一条件判断两条直线是否垂直．1．两条直线相交、平行与重合的条件(1)两条直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的位置关系，可以用方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解的个数进行判断，也可用直线方程的系数进行判断，方法如下：111222y________ __________________ ______________【做一做1】直线1与l 2为两条不重合的直线，则下列命题： ①若l 1∥l 2，则斜率k 1＝k 2； ②若斜率k 1＝k 2，则l 1∥l 2； ③若倾斜角α1＝α2，则l 1∥l 2； ④若l 1∥l 2，则倾斜角α1＝α2. 其中正确命题的个数是( )．A ．1B ．2C ．3D ．4 2．两条直线垂直的条件(1)设直线l 1，l 2的方程分别为A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 1，A 2，B 1，B 2均不为0)，则l 1⊥l 2⇔________.(2)设直线l 1，l 2的方程分别为y ＝k 1x ＋b 1，y ＝k 2x ＋b 2，则l 1⊥l 2⇔________.与直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0平行与垂直的直线若直线l ′与l 平行，则l ′可设为Ax ＋By ＋D ＝0(D ≠C )； 若直线l ′与l 垂直，则l ′可设为Bx －Ay ＋D ′＝0.过点(x 0，y 0)且与Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线可表示为A (x －x 0)＋B (y －y 0)＝0； 过点(x 0，y 0)且与Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线可表示为B (x －x 0)－A (y －y 0)＝0. 【做一做2】下列直线中与直线x －3y ＋3＝0垂直的是( )． A ．3x ＋y －1＝0 B ．3ax ＋ay －a ＝0 C ．3x －y ＋1＝0 D ．x ＋3y ＋3＝01．关于直线的对称问题剖析：设直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，则①l 关于x 轴对称的直线方程是Ax ＋B (－y )＋C ＝0； ②l 关于y 轴对称的直线方程是A (－x )＋By ＋C ＝0； ③l 关于原点对称的直线方程是A (－x )＋B (－y )＋C ＝0； ④l 关于y ＝x 对称的直线方程是Bx ＋Ay ＋C ＝0；⑤l 关于直线y ＝－x 对称的直线方程是A (－y )＋B (－x )＋C ＝0； ⑥l 关于点P (x 0，y 0)对称的直线方程是A (2x 0－x )＋B (2y 0－y )＋C ＝0.求点关于点的对称点，点关于直线的对称点，直线关于点的对称直线，直线关于直线的对称直线问题，其实质都是中点问题与垂直问题的结合．2．教材中的“思考与讨论”已知直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，如何用这两条直线的斜率k 1，k 2以及b 1，b 2，判定这两条直线平行或者重合？证明你的结论，并说明与直线y ＝kx ＋b 平行的直线可表示为y ＝kx ＋b 1(b 1≠b )． 剖析：l 1∥l 2的条件是k 1＝k 2且b 1≠b 2；l 1与l 2重合的条件是k 1＝k 2且b 1＝b 2.证明：设直线l 1，l 2的一般式分别为A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则k 1＝－A 1B 1，b 1＝－C 1B 1，k 2＝－A 2B 2，b 2＝－C 2B 2，而当A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－C 1B 2≠0时，l 1∥l 2，所以当k 1＝k 2且b 1≠b 2时，l 1∥l 2.又因为当A 1＝λA 2，B 1＝λB 2，C 1＝λC 2(λ≠0)时，l 1与l 2重合，所以当k 1＝－A 1B 1＝－λA 2λB 2＝k 2，b 1＝－C 1B 1＝－λC 2λB 2＝b 2时，l 1与l 2重合，所以k 1＝k 2且b 1＝b 2时，l 1与l 2重合．题型一 判断两直线的位置关系【例1】判断下列直线的位置关系．(1)已知两条直线l 1：3x ＋5y －6＝0，l 2：6x ＋10y ＋3＝0； (2)已知两条直线l 1：3x －6y ＋14＝0，l 2：2x ＋y －2＝0.分析：利用判断两直线位置关系的条件，可以用斜率形式，也可以用一般形式．反思：(1)①判断两条直线平行，首先判断其斜率相等(斜率存在时)，即k 1＝k 2.两条直线斜率相等，则两条直线可能平行也可能重合，还需要再进一步判断截距不相等，即b 1≠b 2.如果两条直线斜率不存在，两条直线为x ＝a 1，x ＝a 2，只需a 1≠a 2即可；②判断两直线平行，也可用系数比．(2)判断两直线垂直：①如果斜率都存在，只判断k 1k 2＝－1；如果一条直线的斜率不存在，则另一条直线的斜率必等于零，从斜率的角度判断，应注意上面的两种情况；②利用A 1A 2＋B 1B 2＝0判断．题型二 利用两直线的位置关系定参数【例2】已知两条直线l 1：x ＋my ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0.当m 为何值时，直线l 1与l 2：(1)相交；(2)平行；(3)重合？分析：根据两条直线相交、平行、重合的条件列方程或不等关系求解． 反思：利用两直线的位置关系定参数问题一定不要忽视特殊情况，即斜率为0或斜率不存在的情况，再者注意对结果进行检验．题型三 求与已知直线平行或垂直的直线方程【例3】已知点A (2,2)和直线l ：3x ＋4y －20＝0.求： (1)过点A 和直线l 平行的直线方程； (2)过点A 和直线l 垂直的直线方程． 分析：本题可根据直线平行与垂直时斜率间的关系，求出所求直线的斜率后用点斜式求解，也可利用直线系方程的方法来求解．反思：求经过点A (x 0，y 0)与直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0平行或垂直的直线方程，当l 的斜率存在(求垂直直线时，要求斜率不为零)时，可利用直线方程的点斜式求直线方程，也可利用待定系数法根据直线系方程求直线方程．题型四 对称问题【例4】光线由点A (－1,4)射出，在直线l ：2x ＋3y －6＝0上反射，已知反射光线过点B ⎝⎛⎭⎪⎫3，6213，求反射光线所在直线的方程．分析：根据反射规律，所求反射光所在直线除了过点B 外，还经过A 关于l 的对称点A ′. 反思：点关于直线的对称一般要利用中点坐标公式及直线的垂直来综合解决，至于光的反射问题一定要看清谁做镜面，及入射光与反射光经过的点．题型五 易错辨析【例5】求经过点A (2,1)且与直线2x ＋ay －10＝0垂直的直线l 的方程． 错解：∵所求直线与2x ＋ay －10＝0垂直，∴根据l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1，得所求直线的斜率为a2，∴根据点斜式得l ：y －1＝a2(x －2)，整理得ax －2y －2a ＋2＝0.错因分析：漏掉a ＝0时特殊情况的讨论，其实斜率为0的直线与斜率不存在的直线也是相互垂直的，但却不能用k 1k 2＝－1来求．【例6】当a 为何值时，直线x ＋2ay －1＝0和直线(3a －1)x －ay －1＝0平行？错解：由3a －11＝－a 2a ≠1，得3a －1＝－12.∴a ＝16，∴当a ＝16时，两直线平行．错因分析：漏掉对a ＝0时的讨论，要知道利用上述分式条件容易丢解，克服的办法是先将特殊情况讨论完．1已知两条直线y ＝ax －2和y ＝(a ＋2)x ＋1互相垂直，则a 等于( )． A ．2 B ．1 C ．0 D ．－12过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( )． A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0 D ．x ＋2y －1＝03已知两直线l 1：(3＋a )x ＋4y －5＋3a ＝0与l 2：2x ＋(5＋a )y －8＝0. (1)l 1与l 2相交时，a ≠__________； (2)l 1与l 2平行时，a ＝__________； (3)l 1与l 2重合时，a ＝__________； (4)l 1与l 2垂直时，a ＝__________.4求和直线4x ＋3y ＋5＝0平行且在x 轴上的截距为－3的直线方程． 答案：基础知识·梳理 1．(1)平行A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2(A 2B 2C 2≠0) 有一个交点 A 1A 2≠B 1B 2 A 1A 2＝B 1B 2＝C 1C 2(2)k 1＝k 2且b 1≠b 2 k 1＝k 2且b 1＝b 2 k 1≠k 2 【做一做1】C ①错，②③④正确． 2．(1)A 1A 2＋B 1B 2＝0 (2)k 1k 2＝－1 【做一做2】A 典型例题·领悟【例1】(1)解法一：直线l 1化为斜截式为y ＝－35x ＋65，直线l 2化为斜截式为y ＝－35x －310，由此可知l 1的斜率为k 1＝－35，在y 轴上的截距为b 1＝65，l 2的斜率为k 2＝－35，在y 轴上的截距为b 2＝－310.因为k 1＝k 2＝－35，b 1＝65≠－310＝b 2，所以l 1∥l 2.解法二：因为36＝510≠－63，所以l 1∥l 2.(2)解法一：由直线l 1的方程，知l 1的斜率为k 1＝12；由直线l 2的方程，知l 2的斜率为k 2＝－2. 显然，k 1k 2＝12×(－2)＝－1，所以l 1⊥l 2.解法二：因为3×2＋(－6)×1＝6－6＝0， 所以l 1⊥l 2.【例2】解：∵直线l 1：x ＋my ＋6＝0，直线l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0， ∴A 1＝1，B 1＝m ，C 1＝6，A 2＝m －2，B 2＝3，C 2＝2m .(1)若l 1与l 2相交，则A 1B 2－A 2B 1≠0，即1×3－m (m －2)≠0，即m 2－2m －3≠0，∴(m －3)(m ＋1)≠0，∴m ≠3且m ≠－1. 故当m ≠3且m ≠－1时，直线l 1与l 2相交． (2)若l 1∥l 2，则有⎩⎪⎨⎪⎧A 1B 2－A 2B 1＝0，B 1C 2－B 2C 1≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－m m －2＝0，2m 2－18≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －3＝0，m 2≠9，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3或m ＝－1，m ≠3且m ≠－3.∴m ＝－1.故当m ＝－1时，直线l 1与l 2平行．(3)若l 1与l 2重合，则有⎩⎪⎨⎪⎧A 1B 2－A 2B 1＝0，B 1C 2－B 2C 1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－m m －2＝0，2m 2－18＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3或m ＝－1，m ＝3或m ＝－3，∴m ＝3.故当m ＝3时，直线l 1与l 2重合．综上所述，当m ≠3且m ≠－1时，两直线相交；当m ＝－1时，两直线平行；当m ＝3时，两直线重合．【例3】(1)解法一：利用直线方程的点斜式求解．由l ：3x ＋4y －20＝0，得k l ＝－34.设过点A 且平行于l 的直线为l 1， 则kl 1＝k l ＝－34，所以l 1的方程为y －2＝－34(x －2)，即3x ＋4y －14＝0.解法二：利用直线系方程求解．设过点A 且平行于直线l 的直线l 1的方程为3x ＋4y ＋m ＝0. 由点A (2,2)在直线l 1上，得3×2＋4×2＋m ＝0，解得m ＝－14. 故直线l 1的方程为3x ＋4y －14＝0.(2)解法一：设过点A 与l 垂直的直线为l 2. 因为k l kl 2＝－1，所以kl 2＝43，故直线l 2的方程为y －2＝43(x －2)，即4x －3y －2＝0.解法二：设l 2的方程为4x －3y ＋m ＝0. 因为l 2经过点A (2,2)，所以4×2－3×2＋m ＝0，解得m ＝－2. 故l 2的方程为4x －3y －2＝0.【例4】解：如图所示，设点A 关于直线l ：2x ＋3y －6＝0的对称点A ′的坐标为(x 0，y 0)，则y 0－4x 0＋1＝32，即3x 0－2y 0＝－11.①∵AA ′的中点在直线l 上， ∴2⎝⎛⎭⎪⎫x 0－12＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫y 0＋42－6＝0，即2x 0＋3y 0－2＝0.② 由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－2913，y 0＝2813.由两点式方程可得反射光线所在直线的方程为y －6213＝6213－28133＋2913(x －3)，即13x －26y ＋85＝0.【例5】正解1：①当a ＝0时，已知直线化为x ＝5，此时直线斜率不存在，则所求直线l 的斜率为0，∵直线l 过点A (2,1)，∴直线l 的方程为y －1＝0(x －2)，即y ＝1. ②当a ≠0时，已知直线2x ＋ay －10＝0的斜率为－2a，∵直线l 与已知直线垂直，设所求直线斜率为k ，∴k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a ＝－1，∴k ＝a2.∵直线l 过点A (2,1)，∴所求直线l 的方程为y －1＝a2(x －2)，即ax －2y －2a ＋2＝0.所求直线l 的方程为y ＝1或ax －2y －2a ＋2＝0. 又y ＝1是ax －2y －2a ＋2＝0的一个特例， 因此上两条直线可合写成ax －2y －2a ＋2＝0.正解2：根据题意可设直线l 的方程为ax －2y ＋D ＝0， 又点A 在直线l 上，∴2a －2×1＋D ＝0，∴D ＝2－2a ，∴所求直线l 的方程为ax －2y ＋2－2a ＝0. 【例6】正解1：①当a ≠0时，由3a －11＝－a2a ≠1，得3a －1＝－12，∴a ＝16.②当a ＝0时，直线方程分别为x ＝1和x ＝－1，两直线平行． 综上，当a ＝0或a ＝16时，两直线平行．正解2：由两直线平行，得⎩⎪⎨⎪⎧1·－a ＝3a －1·2a ， ①1·－1≠3a －1·－1. ②由①可得a ＝0或a ＝16，由②可得a ≠23.∴当a ＝0或a ＝16时，两直线平行．随堂练习·巩固1．D 两条直线的斜率分别为a 和a ＋2且相互垂直，即a (a ＋2)＝－1，解得a ＝－1. 2．A 与直线x －2y －2＝0平行的直线方程可设为x －2y ＋c ＝0，将点(1,0)代入解得c ＝－1，故直线方程为x －2y －1＝0.3．(1)－7或－1 (2)－7 (3)－1 (4)－133 由题意知A 1＝3＋a ，B 1＝4，C 1＝－5＋3a ，A 2＝2，B 2＝5＋a ，C 2＝－8.则D 1＝(3＋a )(5＋a )－8＝a 2＋8a ＋7，D 2＝－32－(－5＋3a )(5＋a )＝－(3a 2＋10a ＋7)． 当D 1≠0，即a ≠－7或－1时，l 1与l 2相交； 当D 1＝0，D 2≠0，即a ＝－7时，l 1与l 2平行； 当D 1＝0，D 2＝0，即a ＝－1时，l 1与l 2重合；当A 1A 2＋B 1B 2＝0，即a ＝－133时，l 1与l 2垂直．4．解：与直线4x ＋3y ＋5＝0平行的直线方程可设为4x ＋3y ＋c ＝0，令y ＝0，得x ＝－c 4，由题意得－c4＝－3，故c ＝12，所以所求的直线方程为4x ＋3y ＋12＝0.。
高中数学必修二课件-2.2.3 两条直线的位置关系-人教B版
解法二a：)(∵2a直＋线3)＝l1⊥0，l2，解∴得(aa＝＋±2)(1a.－1)＋(1－
故当a＝1或a＝－1时，直线l1⊥l2. 要[注点意评直] 线在的利斜用率k1是·k否2＝有－可1判能定不垂存直在关这系一时情，况一．定
已知直线 2ax＋y－1＝0 与直线(a－1)x＋ay
＋1＝0 垂直，则实数 a 的值等于( )
2.2.3 两条直线的位置关系
课前自主预习
课堂典例讲练
方思法想警方示法探技究巧
新知推广应用
课后强化作业
课前自主预习
k1k2 1
1．两直线垂直的条件 (1)l1：A1x＋B1y＋C1＝0， l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2i ＋B2i ≠0)，
A1A2 Bl11B⊥2 l2⇔0 _____________________.
1
3
A.2
B.2
C．0 或12
D．0 或32
[答案] C [解析] 由已知，得2a(a－1)＋a＝0，∴a＝0或12.
两直线垂直的简单应用 过点 P－1，32且与直线 x－4y－1＝0 垂直的直线 方程是__________________．
[答案] 8x＋2y＋5＝0 [解析] 由题意，知所求直线的斜率为－4， 又∵直线过点P－1，32， ∴所求直线方程为y－32＝－4(x＋1)， 即8x＋2y＋5＝0.
A．x＋y－1＝0 B．x－y＋1＝0
C．x＋y＋1＝0 D．x－y－1＝0
[答案] A
[解析] 直线x－y＋1＝0关于y轴对称的直线方程 为－x－y＋1＝0，即x＋y－1＝0.
点 P(－1,1)关于直线 ax－y＋b＝0 的对称点是
Q(3，－1)，则 a、b 的值依次是( )
高中数学人教B版必修二学案：2.2.3 两条直线的位置关系
2.2.3 两条直线的位置关系[学习目标] 1.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标,能根据直线的一般式方程判定两条直线的位置关系,能根据斜率判定两条直线平行或垂直.2.进一步体会几何问题代数化的基本思想.[知识链接]1.直线的倾斜角α的取值范围0°≤α＜180°.2.经过两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1.3.直线方程的形式有点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式. [预习导引]1.两条直线相交、平行与重合的条件(1)两条直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0,l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的位置关系,可以用方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解的个数进行判断,也可用直线方程的系数进行判断,方法如下：111222距来进行判断.具体判断方法如表所示.对坐标平面内的任意两条直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0,有l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.如果B 1B 2≠0,则l 1的斜率k 1＝－A 1B 1,l 2的斜率k 2＝－A 2B 2.又可以得出：l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1.要点一 直线的交点问题例1 求经过原点,且经过直线2x ＋3y ＋8＝0和x －y －1＝0的交点的直线l 的方程.解 方法一 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2， 所以直线2x ＋3y ＋8＝0和x －y －1＝0的交点坐标为(－1,－2). 又直线l 经过原点,所以直线l 的方程为 y －0－2－0＝x －0－1－0,即2x －y ＝0. 方法二 设所求直线方程为2x ＋3y ＋8＋λ(x －y －1)＝0, ∵直线过原点(0,0), ∴8－λ＝0,λ＝8,∴直线方程为2x ＋3y ＋8＋8x －8y －8＝0,10x －5y ＝0, 即2x －y ＝0.规律方法 本题中的方法一是通法通解.方法二利用过交点的直线系方程避免了解方程组的过程,减少了运算量,因此我们必须熟练掌握这一方法,并能灵活运用它解决求过两直线交点的直线方程的问题.跟踪演练1 求经过两直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点P ,且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程.解 方法一 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，x ＋y －2＝0得 P (0,2).因为l 3的斜率为34,且l ⊥l 3,所以直线l 的斜率为－43,由斜截式可知l 的方程为y ＝－43x ＋2,即4x ＋3y －6＝0.方法二 设直线l 的方程为x －2y ＋4＋λ(x ＋y －2)＝0, 即(1＋λ)x ＋(λ－2)y ＋4－2λ＝0, 又∵l ⊥l 3,∴3×(1＋λ)＋(－4)(λ－2)＝0, 解得λ＝11,∴直线l 的方程为4x ＋3y －6＝0. 要点二 两条直线的平行关系例2 判断下列各小题中的直线l 1与l 2是否平行： (1)l 1经过点A (－1,－2),B (2,1),l 2经过点M (3,4),N (－1,－1)； (2)l 1的斜率为1,l 2经过点A (1,1),B (2,2)；(3)l 1经过点A (0,1),B (1,0),l 2经过点M (－1,3),N (2,0)； (4)l 1经过点A (－3,2),B (－3,10),l 2经过点M (5,－2),N (5,5). 解 (1)k 1＝1－(－2)2－(－1)＝1,k 2＝－1－4－1－3＝54,k 1≠k 2,l 1与l 2不平行；(2)k 1＝1,k 2＝2－12－1＝1,k 1＝k 2,∴l 1∥l 2或l 1与l 2重合. (3)k 1＝0－11－0＝－1,k 2＝0－32－(－1)＝－1,k 1＝k 2,数形结合知,l 1∥l 2. (4)l 1与l 2都与x 轴垂直,∴l 1∥l 2.规律方法 判断两条直线平行,应首先看两条直线的斜率是否存在,即先看两点的横坐标是否相等,对于横坐标相等是特殊情况,应特殊判断.在证明两条直线平行时,要区分平行与重合,必需强调不共线才能确定平行.因为斜率相等也可以推出两条直线重合.跟踪演练2 已知直线l 1经过点A (3,a ),B (a －1,2),直线l 2经过点C (1,2),D (－2,a ＋2).若l 1∥l 2,求a 的值.解 设直线l 2的斜率为k 2,由斜率公式得 k 2＝2－(a ＋2)1－(－2)＝－a 3.若l 1∥l 2,则l 1的斜率k 1＝－a3,由斜率公式k 1＝2－a a －4,则2－a a －4＝－a3,∴a ＝1或a ＝6.经检验,当a ＝1或a ＝6时,l 1∥l 2. 要点三 两条直线的垂直关系例3 判断下列各题中的直线l 1,l 2是否垂直：(1)l 1经过点A (－1,－2),B (1,2),l 2经过点P (－2,－1),Q (2,1)； (2)l 1经过点A (3,4),B (3,6),l 2经过点P (－5,20),Q (5,20).解 (1)直线l 1的斜率k 1＝2－(－2)1－(－1)＝2,直线l 2的斜率k 2＝1－(－1)2－(－2)＝12,因为k 1·k 2＝1≠－1,所以l 1与l 2不垂直.(2)直线l 1的斜率不存在,直线l 2的斜率k 2＝20－205－(－5)＝0,所以l 1⊥l 2.规律方法 两条直线垂直需判定k 1k 2＝－1,使用它的前提条件是两条直线斜率都存在,若其中一条斜率不存在,另一条斜率为零,此时两直线也垂直,注意讨论的全面性.跟踪演练3 已知△ABC 三个顶点坐标分别为A (－2,－4),B (6,6),C (0,6),求此三角形三边的高所在直线的斜率. 解 由斜率公式可得k AB ＝6－(－4)6－(－2)＝54,k BC ＝6－66－0＝0,k AC ＝6－(－4)0－(－2)＝5.由k BC ＝0知,直线BC ∥x 轴,∴BC 边上的高线与x 轴垂直,其斜率不存在.设AB 、AC 边上高线的斜率分别为k 1、k 2, 由k 1k AB ＝－1,k 2k AC ＝－1, 即k 1×54＝－1,k 2×5＝－1,解得k 1＝－45,k 2＝－15.综上可知BC 边上的高所在直线的斜率不存在； AB 边上的高所在直线的斜率为－45；AC 边上的高所在直线的斜率为－15.1.直线l 1：2x ＋3y －2＝0；l 2：2x ＋3y ＋2＝0的位置关系是( ) A.垂直 B.平行 C.相交 D.重合答案 B解析 ∵A 1B 2－A 2B 1＝0且A 1C 2≠A 2C 1,∴l 1∥l 2.2.已知直线l 1的斜率k 1＝－85,直线l 2的斜率k 2＝58,则l 1与l 2的位置关系为( )A.平行B.重合C.垂直D.无法确定答案 C解析 ∵k 1·k 2＝－1,∴l 1⊥l 2. 3.下列说法正确的有( )①若两直线斜率相等,则两直线平行； ②若l 1∥l 2,则k 1＝k 2；③若两直线中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率存在,则两直线相交； ④若两直线斜率都不存在,则两直线平行. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个答案 A解析 当k 1＝k 2时,l 1与l 2平行或重合,①不成立；②中斜率不存在时,不正确；④同①,也不正确.只有③正确.故选A.4.直线l 过点(－1,2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直,则l 的方程是( ) A.3x ＋2y －1＝0 B.3x ＋2y ＋7＝0 C.2x －3y ＋5＝0 D.2x －3y ＋8＝0 答案 A解析 与2x －3y ＋4＝0垂直的直线方程为3x ＋2y ＋m ＝0,把(－1,2)代入直线方程得m ＝－1. 5.一条光线从A (3,2)发出,到x 轴上的M 点后,经x 轴反射通过点B (－1,6),则反射光线所在直线的斜率为__________. 答案 －2解析 如图所示,作A 点关于x 轴的对称点A ′,所以点A ′在直线MB 上. 由对称性可知A ′(3,－2),所以光线MB 所在直线的斜率为k A ′B ＝6－(－2)－1－3＝－2.故反射光线所在直线的斜率为－2.1.两直线平行或垂直的判定方法2.在两条直线平行或垂直关系的判断中体会分类讨论的思想.。
人教B版高中数学必修二2.2.3两条直线的位置关系.doc
高中数学学习材料唐玲出品2.2.3两条直线的位置关系【目标要求】(1)熟练掌握两条直线平行与垂直的条件，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系．（2）能够根据两条直线的方程求出它们的交点坐标．（3）进一步掌握求直线方程的方法．（4）进一步理解直线方程的概念，理解运用直线的方程讨论两条直线位置关系的思想方法． 合的思想方法．【巩固教材——稳扎马步】1．下列两条直线12:2560:40l x y l x y +-=-+=与的交点是( )A ． (2,2)-B ． (2,2)-C ． (2,4)-D ．(4,2)- 2．直线21x ay -=和221x ay -=平行，则实数a 为( )A ． 0B ． -1C ． 1D ．23．已知1:210l x my +-=与2:320l x y n +-=重合则, m n 应当满足( )A ．33,24m n ==B ． 24,33m n ==C ．34,23m n ==D ．43,32m n == 4．若直线()()2243660a a x a a y ++++--=与y 轴垂直，则a 等于 ( )A ．-3或-1B ．2或-3C ．-1D ．2【重难突破——重拳出击】5．下列说法中，正确的是( )A.若直线1l 与2 l 的斜率相等，则1l ∥2 l .B.若直线1l 与2 l 互相平行，则它们的斜率相等.C.直线1l 与2 l 中，若一条直线的斜率存在，另一条直线的斜率不存在，则1l 与2 l 一定相交.D.若直线1l 与2 l 的斜率都不存在，则1l ∥2 l6．过点A(1.2)和点B(-3,2)的直线于直线0y =的位置关系是（ ）A ． 相交B ．平行C ．重合D ．以上都不对7．如果直线212:260:(1)(1)0l ax y l x a y a ++=+-+-=与直线平行但不重合，则a 的值等于( )A ． -1或2B ．-1C ．2D ．238．如果直线l 沿x 轴负方向平移3个单位，再沿y 轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，那么直线l 的斜率是( )A ．13- B ． -3 C ． 13D ．3 9．已知定点()()2,3,3,2,A B ---直线l 过点()1,1P 且与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是( )A ．344k k ≥≤-或B ．344k -≤≤C ． 3144k k ≥≤-或D ．344k -≤≤ 10．直线320x y m ++=和直线()213230m x y m +-+-=的位置关系是（ ）A ．平行B ．相交C ．重合D ．视m 的取值而定11．已知直线420mx y +-=与250x y n -+=垂直，垂足为()1,p ，则m n p -+的值为 （ ）A ．24B ．20C ．0D ．-112．设a b 、、c 分别是△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对应边的边长，则直线sin 0x A ay C ⋅++=与sin sin 0by y B C -⋅+=的位置关系是( )A ． 相交B ．平行C ．重合D ．垂直【巩固提高——登峰揽月】13.已知直线l 的方程为3x+4y-12＝0，求直线'l 的方程，使得：(1)'l 与l 平行，且过点(-1，3)；(2)'l 与l 垂直，且'l 与两轴围成的三角形面积为4.14.求经过两条直线0132=++y x 和043=+-y x 的交点，并且垂直于直线0743=-+y x 的直线的方程：【课外拓展——超越自我】15.对于直线l 上任一点（y x ,），点（y x y x 3,24++）仅在l 上，求直线l 的方程16. 已知两定点A （2，5），B （-2，1），M 和N 是过原点的直线l 上两个动点，且，，如果直线和的交点在轴上，求，及点的MN l AB AM BN C y M N C =22//坐标。
高中数学2.2直线的方程2.2.3两条直线的位置关系预习导学案新人教B版必修2
2.2.3 两条直线的位置关系预习导航1．两条直线相交、平行与重合的条件(1)两条直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的位置关系，可以用方程组1112220,0A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩的解的个数进行判断，也可用直线方程的系数进行判断，方法如下：111222的截距来进行判断，具体判断方法如下表所示.k1＝k2且b1＝b2k1≠k2应用斜率判断两直线的位置关系时应注意什么？ 提示：应用斜率判断两直线的位置关系时，应注意：(1)当k 1≠k 2时l 1与l 2相交，指的是斜率存在的两直线．当两直线斜率都不存在时，两直线平行或重合．当一条直线斜率存在而另一条直线斜率不存在时，两直线相交．(2)k 1＝k 2⇔l 1∥l 2成立的条件是：l 1，l 2的斜率都存在，且l 1与l 2不重合． 2．两条直线垂直的条件(1)设直线l 1，l 2的方程分别为A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 1，A 2，B 1，B 2均不为0)，则l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.(2)设直线l 1，l 2的方程分别为y ＝k 1x ＋b 1，y ＝k 2x ＋b 2，则l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1. 思考2 (1)与直线y ＝kx ＋b(k≠0)垂直的所有直线可以怎样表示？ (2)与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的所有直线可以怎样表示？ 提示：(1)与直线y ＝kx ＋b(k≠0)垂直的所有直线可以表示为y ＝－1kx ＋m. (2)与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的所有直线可以表示为Bx －Ay ＋m ＝0.特别提醒 (1)过点(x 0，y 0)且与Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线可表示为A(x －x 0)＋B(y －y 0)＝0；(2)过点(x 0，y 0)且与Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线可表示为B(x －x 0)－A(y －y 0)＝0； (3)当直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0(22A ＋22B ≠0)与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(22A ＋22B ≠0)相交时，直线系(A 1x ＋B 1y ＋C 1)＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0必过定点，此定点为两条直线l 1，l 2的交点．。
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2.2.3 两条直线的位置关系 第一课时 优化训练
1．已知过A (－2，m )和B (m,4)的直线与斜率为－2的直线平行，则m 的值是( )
A ．－8
B ．0
C ．2
D ．10
解析：选A.由题意可知，k AB ＝4－m m ＋2
＝－2， 所以m ＝－8.
2．直线l 1：x ＝1与直线l 2：x ＝0的位置关系是( )
A ．相交
B ．平行
C ．重合
D ．不确定
解析：选B.直线l 1与l 2的斜率都不存在，且1≠0，
∴l 1∥l 2.
3．经过点A (1,1，)和点B (－3,2)的直线l 1与过点C (4,5)和点D (a ，－7)的直线l 2平行，则a ＝( )
A ．1
B ．4
C ．52
D ．44
解析：选C.因为k 1＝2－1－3－1＝－14
，又l 1∥l 2， 所以k 2＝－7－5a －4＝－14，故a ＝52. 4．直线l 过A (1,1)点且与过B (2,5)，C (3，－1)两点的直线平行，则直线l 的方程为________．
答案：6x ＋y －7＝0
5．经过点P (－2，－1)和点Q (3，a )的直线与倾斜角是45°的直线平行，则a ＝________.
解析：由题意得tan 145°＝a ＋13＋2
， 解得a ＝4.
答案：4
1．直线Ax ＋4y －1＝0与直线3x －y －C ＝0重合的条件是( )
A ．A ＝12，C ≠0
B ．A ＝－12，
C ＝14
C ．A ＝－12，C ≠－14
D ．A ＝－12，C ＝－14
解析：选D.l 1与l 2重合，则A 3＝4－1＝－1－C ，从而A ＝－12，C ＝－14
. 2．直线2x －y ＋k ＝0和直线4x －2y ＋1＝0的位置关系是( )
A ．平行
B ．不平行
C ．平行或重合
D ．既不平行也不重合
解析：选C.当k ＝12时，两直线重合，当k ≠12
时，两直线平行． 3．下列说法正确的是( )
A ．若两条直线平行，则它们斜率相等
B ．若两直线斜率相等，则它们互相平行
C ．若两条直线一条直线斜率不存在，另一条斜率存在，则它们一定不平行
D ．若两条直线斜率都不存在，则它们互相平行
解析：选C.由两直线平行的条件知若两条直线一条直线斜率不存在，另一条斜率存在，则它们一定不平行．
4．设集合A ＝{(x ，y )|y －3x －1＝2，x ，y ∈R }，B ＝{(x ，y )|4x ＋ay －16＝0，x ，y ∈R }，若A ∩B ＝∅，则a 的值为( ) A ．a ＝4 B ．a ＝－2
C ．a ＝4或a ＝－2
D ．a ＝－4或a ＝2
解析：选C.A ∩B ＝∅包含两种情况：①直线4x ＋ay －16＝0过点(1,3)；②直线4x ＋ay －16＝0与y －3＝2(x －2)平行，由①可得a ＝4；又由②可得a ＝－2.
5．P 1(x 1，y 1)是直线l ：f (x ，y )＝0上一点，P 2(x 2，y 2)是直线l 外一点，则方程f (x ，y )＋f (x 1，y 1)＋f (x 2，y 2)＝0所表示的直线与l 的关系是( )
A ．重合
B ．平行
C ．垂直
D ．位置关系不定
解析：选B.∵P 1点在直线l 上，∴f (x 1，y 1)＝0，
又∵P 2点不在直线上，
∴f (x 2，y 2)≠0，∴f (x ，y )＋f (x 1，y 1)＋f (x 2，y 2)＝0，
即f (x ，y )＋f (x 2，y 2)＝0，
∴直线l 与方程表示的直线平行．
6．全集U ＝{(x ，y )|x ，y ∈R }，集合M ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ，y |y －3x －2＝1，N ＝{(x ，y )|y ≠x ＋1}，则∁U (M ∪N )等于( )
A ．{(2,3)}
B ．∅
C ．(2,3)
D ．{(x ，y )|y ＝x ＋1}
答案：A
7．过l 1：3x －5y －10＝0和l 2：x ＋y ＋1＝0的交点，且平行于l 3：x ＋2y －5＝0的直线方程为________．
解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －5y －10＝0x ＋y ＋1＝0
得交点为(58，－138)， l 3的斜率为－12
. ∴所求直线方程为y ＋138＝－12(x －58
)， 得8x ＋16y ＋21＝0.
答案：8x ＋16y ＋21＝0
8．在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCD 的边AB ∥DC ，AD ∥BC ，已知A (－2,0)，B (6,8)，C (8,6)，则D 点的坐标为________．
解析：依题意，直线CD 的斜率k CD ＝k AB ＝8－06－－2
＝1，且过C (8,6)，则CD 的方程为y －6＝1×(x －8)，即x －y －2＝0.直线AD 的斜率为k AD ＝k BC ＝6－88－6
＝－1，且过点A (－2,0)，则AD 的方程为y ＝－1×(x ＋2)，即x ＋y ＋2＝0.
由⎩
⎪⎨⎪⎧
x －y －2＝0x ＋y ＋2＝0得D (0，－2)． 答案：(0，－2)
9．若直线l 1：2x ＋my ＋1＝0与直线l 2：y ＝3x －1平行，则m ＝________.
解析：由题意可知直线l 2的斜率为k 2＝3.
(1)当m ＝0时，直线l 1：2x ＋1＝0的斜率不存在，而直线l 2的斜率k 2存在，所以直线l 1不与直线l 2平行；
(2)当m ≠0时，直线l 1的斜率k 1＝－2m ，要使直线l 1与直线l 2平行，则应满足k 1＝k 2＝3，即－2m ＝3，解得m ＝－23
. 答案：－23
10．已知两直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0和l 2：2x ＋my －1＝0.试确定m 、n 的值，使
(1)l 1与l 2相交于点P (m ，－1)；
(2)l 1∥l 2.
解：(1)∵m 2－8＋n ＝0且2m －m －1＝0，∴m ＝1，n ＝7.
(2)由m ·m －8×2＝0，得m ＝±4.
由8×(－1)－n ·m ≠0，得n ≠∓2.
即m ＝4，n ≠－2或m ＝－4，n ≠2时，l 1∥l 2.
11．光线从点A (－3,4)射出，到x 轴上的点B 后，被x 轴反射到y 轴上的点C ，又被y 轴反射，这时反射光线恰好过点D (－1,6)，求光线BC 所在直线的斜率．
解：设B (a,0)，C (0，b )，过点B 、C 作两条法线交于点E ，
则∠E ＝90°.
所以∠ECB ＋∠EBC ＝90°，
所以2∠ECB ＋2∠EBC ＝180°.
由入射角等于反射角，得
∠DCB ＋∠ABC ＝180°，
所以AB ∥CD .
所以k AB ＝k CD ，即－4a ＋3
＝b －6.① 由入射角等于反射角，还可得直线AB 的倾斜角与直线BC 的倾斜角互补，
所以k AB ＝－k BC ，即－4a ＋3＝－b －a
.② 解①②得a ＝－75，b ＝72
. 所以B (－75，0)，C (0，72)．所以k BC ＝52
. 12．是否存在m ，使得三条直线3x －y ＋2＝0,2x ＋y ＋3＝0，mx ＋y ＝0能够构成三角形？若存在，请求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．
解：存在．
能够使直线mx ＋y ＝0,3x －y ＋2＝0,2x ＋y ＋3＝0构成三角形的m 值有无数个，因此我们考虑其反面情况，即三条直线不能构成三角形，有两种可能：有两条直线平行，或三条直线过同一点．
由于3x －y ＋2＝0与2x ＋y ＋3＝0相交，且交点坐标为(－1，－1)，因此，mx ＋y ＝0与3x －y ＋2＝0平行时，m ＝－3；mx ＋y ＝0与2x ＋y ＋3＝0平行时，m ＝2；mx ＋y ＝0过3x －y ＋2＝0与2x ＋y ＋3＝0的交点时，m ＝－1.
综上所述，三条直线不能构成三角形时，m ＝－3或m ＝2或m ＝－1.
满足题意的m 值为{m |m ∈R 且m ≠－3且m ≠2且m ≠－1}．。